Symmetric α-stable stochastic process and the third initial-boundary-value problem for the corresponding pseudodifferential equation
We consider a pseudodifferential equation of parabolic type with operator of fractional differentiation with respect to a space variable generating a symmetric $\alpha$ -stable process in a multidimensional Euclidean space with an initial condition and a boundary condition imposed on the values of a...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1790 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507653447352320 |
|---|---|
| author | Osipchuk, M. M. Portenko, N. I. Осипчук, М. М. Портенко, М. І. |
| author_facet | Osipchuk, M. M. Portenko, N. I. Осипчук, М. М. Портенко, М. І. |
| author_sort | Osipchuk, M. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:39Z |
| description | We consider a pseudodifferential equation of parabolic type with operator of fractional differentiation with respect to a space variable generating a symmetric $\alpha$ -stable process in a multidimensional Euclidean space with an initial condition
and a boundary condition imposed on the values of an unknown function at the points of the boundary of a given domain.
The last condition is quite similar to the condition of the so-called third (mixed) boundary-value problem in the theory
of differential equations with the difference that a traditional (co)normal derivative is replaced in our problem with a
pseudodifferential operator. Another specific feature of the analyzed problem is the two-sided character of the boundary
condition, i.e., a consequence of the fact that, in the case of \alpha with values between 1 and 2, the corresponding process
reaches the boundary making infinitely many visits to both the interior and exterior regions with respect to the boundary. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
М. М. Осипчук (Прикарпат. нац. ун-т iм. В. Стефаника, Iвано-Франкiвськ),
М. I. Портенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
СИМЕТРИЧНИЙ \bfitalpha -СТIЙКИЙ ВИПАДКОВИЙ ПРОЦЕС
ТА ТРЕТЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВА ЗАДАЧА
ДЛЯ ВIДПОВIДНОГО ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ
We consider a pseudodifferential equation of parabolic type with operator of fractional differentiation with respect to a
space variable generating a symmetric \alpha -stable process in a multidimensional Euclidean space with an initial condition
and a boundary condition imposed on the values of an unknown function at the points of the boundary of a given domain.
The last condition is quite similar to the condition of the so-called third (mixed) boundary-value problem in the theory
of differential equations with the difference that a traditional (co)normal derivative is replaced in our problem with a
pseudodifferential operator. Another specific feature of the analyzed problem is the two-sided character of the boundary
condition, i.e., a consequence of the fact that, in the case of \alpha with values between 1 and 2, the corresponding process
reaches the boundary making infinitely many visits to both the interior and exterior regions with respect to the boundary.
Рассматривается псевдодифференциальное уравнение параболического типа с оператором дробного дифференци-
рования по пространственной переменной, являющимся генератором симметричного \alpha -устойчивого случайного
процесса в многомерном евклидовом пространстве. Область, на границе которой задаются краевые условия, огра-
ничивается замкнутой достаточно гладкой поверхностью. Краевое условие, называемое в работе третьим, прирав-
нивает к нулю некоторую линейную комбинацию предельных значений (изнутри и снаружи области) в каждой точке
поверхности результата действия на неизвестную функцию определенного псевдодифференциального оператора по
пространственной переменной — аналога нормальной производной в классике — и предельных значений этой же
функции в той же точке.
1. Вступ. Крайовi чи початково-крайовi задачi посiдають важливе мiсце в теорiї диферен-
цiальних рiвнянь з частинними похiдними. Для диференцiальних рiвнянь параболiчного та
елiптичного типiв узагальненi розв’язки згаданих задач мають явнi ймовiрнiснi зображення
(див., наприклад, [2, с. 4 – 7]). Ми розглядатимемо псевдодиференцiальне рiвняння параболiч-
ного типу
\partial u(t, x)
\partial t
= \bfA u(t, \cdot )(x), t > 0, x \in \BbbR d, (1)
де \BbbR d — d-вимiрний (d \geq 2) евклiдiв простiр, а оператор \bfA визначається символом ( - c| \lambda | \alpha )\lambda \in \BbbR d
з деякими фiксованими параметрами c > 0 та \alpha \in (1, 2). Одновимiрний випадок (d = 1) ми
розглядати не будемо, оскiльки результати, якi нас тут цiкавитимуть, є частковими випадка-
ми вiдповiдних тверджень, одержаних у [7]. Граничний випадок \alpha = 2 (а тому \bfA = c \cdot \Delta з
оператором Лапласа \Delta ) добре вивчений i тут не розглядатиметься.
Оператор \bfA є генератором симетричного (чи краще — ротацiйно iнварiантного) \alpha -стiйкого
процесу. Це — процес Маркова в \BbbR d
\bigl(
позначимо його через (x0(t))t\geq 0
\bigr)
зi щiльнiстю ймовiрностi
переходу
\bigl(
вiдносно лебегової мiри в \BbbR d
\bigr)
, що задається рiвнiстю
g0(t, x, y) =
1
(2\pi )d
\int
\BbbR d
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
i(x - y, \xi ) - ct| \xi | \alpha
\bigr\}
d\xi , t > 0, x \in \BbbR d, y \in \BbbR d.
Функцiя
\bigl(
g0(t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d,y\in \BbbR d є фундаментальним розв’язком задачi Кошi для псевдодифе-
ренцiального рiвняння (1).
c\bigcirc М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО, 2017
1406 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
СИМЕТРИЧНИЙ \alpha -СТIЙКИЙ ВИПАДКОВИЙ ПРОЦЕС ТА ТРЕТЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВА . . . 1407
Позначимо через \bfB оператор, символ якого є \BbbR d-значною функцiєю (2ci| \lambda | \alpha - 2\lambda )\lambda \in \BbbR d . Не-
важко зрозумiти, що мiж операторами \bfA i \bfB є досить простий зв’язок: \bfA =
1
2
\bfd \bfi \bfv (\bfB ), де
\bfd \bfi \bfv — оператор дивергенцiї. Таким чином, \bfB є деяким аналогом градiєнта у класичнiй (при
\alpha = 2) теорiї. Для фiксованого орта \nu \in \BbbR d через \bfB \nu позначатимемо оператор, що визнача-
ється символом (2ci| \lambda | \alpha - 2(\lambda , \nu ))\lambda \in \BbbR d . Цей оператор є аналогом оператора диференцiювання в
напрямку \nu .
Нехай задано деяку обмежену замкнену поверхню S, яка роздiляє множину \BbbR d \setminus S на двi
вiдкритi пiдмножини: внутрiшню D та зовнiшню \BbbR d \setminus D (D означає замикання множини D
в \BbbR d). Будемо припускати, що в кожнiй точцi x \in S iснує дотична до S гiперплощина. Через
\nu (x) позначатимемо одиничний вектор зовнiшньої нормалi до S в точцi x \in S.
Нехай \BbbC b(\BbbR d) — банахiв простiр неперервних обмежених дiйснозначних заданих на \BbbR d
функцiй iз рiвномiрною нормою \| \cdot \| . Задавши на S деякi неперервнi дiйснозначнi функцiї
(q(x))x\in S та (r(x))x\in S (другу з них вважатимемо невiд’ємною), а також зафiксувавши деяку
функцiю \varphi \in \BbbC b(\BbbR d), розглянемо задачу (далi — основна задача) побудови неперервної функцiї
(U(t, x, \varphi ))t>0,x\in \BbbR d , яка задовольняє:
(i) псевдодиференцiальне рiвняння
\partial U(t, x, \varphi )
\partial t
= \bfA U(t, \cdot , \varphi )(x), t > 0, x \in \BbbR d \setminus S;
(ii) початкову умову U(0+, x, \varphi ) = \varphi (x), x \in \BbbR d;
(iii) граничну умову
1 + q(x)
2
\bfB \nu (x)U(t, \cdot , \varphi )(x+) - 1 - q(x)
2
\bfB \nu (x)U(t, \cdot , \varphi )(x - ) =
= r(x)U(t, x, \varphi ) при t > 0, x \in S.
В умовi (iii) пiд записом f(x+)
\bigl(
вiдповiдно f(x - )
\bigr)
розумiємо границю функцiї (f(y))y\in \BbbR d
в точцi x \in S, якщо y наближається до x уздовж довiльної кривої, розташованої в деякому
замкненому обмеженому конусi \scrK в \BbbR d з вершиною в точцi x такому, що \scrK \subset (\BbbR d \setminus D) \cup \{ x\} \bigl(
вiдповiдно \scrK \subset D \cup \{ x\}
\bigr)
. Таку задачу ми називаємо третьою початково-крайовою задачею
для псевдодиференцiального рiвняння (1). При r(x) \equiv 0 вона стає другою початково-крайовою
задачею, її розв’язок побудовано в [6]. У цiй роботi ми цiкавимось фундаментальними розв’яз-
ками згаданих задач.
Як i в класичнiй теорiї, сформульовану задачу ми будемо розв’язувати з використанням
потенцiалiв простого шару (див. [6]) та теореми про стрибок нормальної, в даному випадку,
дробової похiдної останнiх. У наступному пунктi будуть сформульованi теорема про стрибок
та деякi iншi потрiбнi нам результати. Основнi твердження цiєї роботи наведено в пунктi 3.
Там ми побудуємо фундаментальний розв’язок задачi (i) – (iii). При цьому розглянемо окремо
випадок q(x) \equiv 0 — так звану симетричну початково-крайову задачу, та випадок r(x) \equiv 0 —
другу початково-крайову задачу.
Задача (i) – (iii) у випадку, коли S є гiперплощиною, розглядалася в [7]. Там, звичайно, є
свої особливостi та складнощi.
Якщо \alpha = 2
\Bigl(
та c =
1
2
\Bigr)
, то (x0(t))t\geq 0 є вiнеровим процесом. Деякi результати щодо
сформульованої задачi в цьому випадку можна знайти, зокрема, в книгах [2, 3] та статтi [1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1408 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
2. Допомiжнi результати. 2.1. Поверхня класу \bfitH \bfone +\bfitgamma та потенцiал простого шару. З
кожною точкою x \in S пов’яжемо локальну ортогональну систему координат (y1, y2, . . . , yd)
з початком у цiй точцi i таку, що yd = (\nu (x), y) для y \in \BbbR d. Далi припустимо iснування
такої сталої r0 > 0, що для кожної точки x \in S частина поверхнi S : Sr(x) = S \cap Br(x)\bigl(
Br(x) — куля в \BbbR d радiуса r з центром у точцi x
\bigr)
при r = r0 може бути задана в локальнiй
системi координат з початком у точцi x рiвнянням yd = Fx(y
1, . . . , yd - 1) з деякою однозначною
функцiєю
\bigl(
Fx(y)
\bigr)
y\in Dx
(Dx \subset \BbbR d - 1). Поверхня S називається поверхнею класу H1+\gamma для
деякого \gamma \in (0, 1), якщо для кожної точки x \in S вiдповiдна функцiя Fx в областi, локальнi
координати точок якої задовольняють нерiвнiсть
\sum d - 1
k=1
(yk)2 \leq r20/4, має частиннi похiднi
\partial Fx
\partial yk
, k = 1, 2, . . . , d - 1, якi задовольняють в цiй областi умову Гельдера з показником \gamma i
сталою, що не залежить вiд x (див., наприклад, [9], гл. III, § 8).
Нехай розглядувана поверхня S належить до класу H1+\gamma з деякою сталою \gamma \in (0, 1).
Iз властивостей поверхнi класу H1+\gamma ми регулярно будемо використовувати те, що iснують
додатне число \delta 0 та натуральне число m такi, що для кожної точки x \in S iснує скiнченний
набiр точок \{ x1, x2, . . . , xl\} на поверхнi S, для яких має мiсце спiввiдношення S \setminus Sr0/2(x) \subset
\subset
l\bigcup
k=1
Sr0/2(xk) з деяким l \leq m i при цьому \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}1\leq k\leq l \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}y\in Sr0/2
(xk) | y - x| \geq \delta 0.
Для зручностi подальших формулювань будемо говорити, що функцiя (v(t, x))t>0,x\in S на-
лежить класу \BbbU , якщо вона неперервна та iснує стала \beta < 1 така, що для кожного T > 0 при
всiх (t, x) \in (0, T ]\times S має мiсце нерiвнiсть | v(t, x)| \leq CT t
- \beta з деякою сталою CT > 0.
Далi всi сталi, що залежать вiд T i вигляд яких для нас не має значення (навiть, якщо вони
рiзнi), будемо позначати саме через CT .
Потенцiалом простого шару називається задана при t > 0, x \in \BbbR d функцiя
V0(t, x) =
t\int
0
d\tau
\int
S
g0(t - \tau , x, y)v(\tau , y) d\sigma y (2)
за умови, що вiдповiднi iнтеграли збiгаються. Внутрiшнiй iнтеграл у правiй частинi рiвнос-
тi (2) є поверхневим iнтегралом першого роду по поверхнi S за змiнною y. Нагадаємо деякi
потрiбнi нам далi властивостi функцiї V0 у припущеннi, що поверхня S належить класу H1+\gamma ,
а функцiя v — класу \BbbU (див. [6]).
По-перше, функцiя (V0(t, x))t>0,x\in \BbbR d неперервна на всiй областi визначення та для кожного
T > 0 задовольняє нерiвнiсть | V0(t, x)| \leq CT t
1 - \beta - 1/\alpha в областi (t, x) \in (0, T ]\times \BbbR d. По-друге,
в областi (t, x) \in (0,+\infty )\times (\BbbR d \setminus S) виконується рiвнiсть
\partial V0(t, x)
\partial t
= \bfA V0(t, \cdot )(x). I по-третє,
при фiксованих t > 0, x \in S має мiсце спiввiдношення
\bfB \nu (x)V0(t, \cdot )(x\pm ) = \mp v(t, x) +
t\int
0
d\tau
\int
S
g
\nu (x)
0 (t - \tau , x, y)v(\tau , y) d\sigma y, (3)
де g\nu (x)0 (t, x, y) = \bfB \nu (x)g0(t, \cdot , y)(x). Iнтеграл у правiй частинi (3) називається прямим значен-
ням дiї оператора \bfB \nu (x) на потенцiал простого шару V0 в точцi x \in S при фiксованому t > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
СИМЕТРИЧНИЙ \alpha -СТIЙКИЙ ВИПАДКОВИЙ ПРОЦЕС ТА ТРЕТЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВА . . . 1409
Його iснування, як i справедливiсть формули (3), доведено в [6]. Саме ж спiввiдношення (3)
будемо далi називати твердженням теореми про стрибок.
2.2. Рiвняння збурення. Для заданої неперервної невiд’ємної функцiї (r(x))x\in S розглянемо
функцiю
\bigl(
g(t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d,y\in \BbbR d , що є розв’язком рiвняння
g(t, x, y) = g0(t, x, y) -
t\int
0
d\tau
\int
S
g0(t - \tau , x, z)g(\tau , z, y)r(z) d\sigma z. (4)
Для початку зауважимо, що рiвняння (4) може бути розв’язане методом послiдовних набли-
жень. А саме, шукатимемо розв’язок цього рiвняння у виглядi
g(t, x, y) =
\infty \sum
k=0
( - 1)kgk(t, x, y), (5)
де при всiх t > 0, x \in \BbbR d, y \in \BbbR d та k = 1, 2, . . .
gk(t, x, y) =
t\int
0
d\tau
\int
S
g0(t - \tau , x, z)gk - 1(\tau , z, y)r(z) d\sigma z. (6)
Для оцiнювання членiв ряду в (5) скористаємось вiдомою (див. [4], гл. IV, а також [8])
нерiвнiстю
g0(t, x, y) \leq N
t\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+\alpha
, t > 0, x \in \BbbR d, y \in \BbbR d, (7)
з деякою сталою N > 0 та доведемо два твердження, необхiднi для подальшого викладу.
Лема 1. Для кожних t > 0, x \in \BbbR d та \theta > - 1 має мiсце нерiвнiсть\int
S
d\sigma y\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+\theta
\leq Ct -
1
\alpha
(\theta +1) (8)
з деякою сталою C > 0.
Доведення. Позначивши через I iнтеграл у лiвiй частинi нерiвностi (8), при t \geq 1, очевид-
но, можна записати (оскiльки d \geq 2) I \leq | S| t -
1
\alpha
(d+\theta ) \leq | S| t -
1
\alpha
(\theta +1), де | S| — площа поверхнi S.
Якщо ж 0 < t < 1 i \rho (x, S) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}y\in S | y - x| \geq \rho 0 з деякою сталою \rho 0 > 0, то I \leq
\leq | S| \rho - d - \theta
0 < | S| \rho - d - \theta
0 t -
1
\alpha
(\theta +1). Виберемо тепер \rho 0 > 0 досить малим i розглянемо випадок
x \in \BbbR d з \rho (x, S) < \rho 0. Нехай \~x \in S задовольняє рiвнiсть \rho (x, S) = | x - \~x| . Позначимо через \~y
проекцiю точки y \in S на гiперплощину, дотичну до S в точцi \~x. Розiб’ємо поверхню S на двi
частини: Sr0/2(\~x) та S \setminus Sr0/2(\~x). Враховуючи властивостi поверхнi S (див. пп. 2.1), можемо
записати
I \leq
\int
Sr0/2
(\~x)
d\sigma y
(t1/\alpha + | \~y - \~x| )d+\theta
+
l\sum
k=1
\int
Sr0/2
(xk)
d\sigma y
(t1/\alpha + | y - \~x| - | x - \~x| )d+\theta
= I \prime + I \prime \prime .
Для I \prime справджується нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1410 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
I \prime \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \cdot
r0/2\int
0
\xi d - 2 d\xi
(t1/\alpha + \xi )d+\theta
= \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \cdot
r0
2
t - 1/\alpha \int
0
\xi d - 2 d\xi
(1 + \xi )d+\theta
t -
1
\alpha
(\theta +1) \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \cdot t -
1
\alpha
(\theta +1),
де \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} означає деяку додатну сталу, значення якої для нас не є важливим.
Вибравши тепер \rho 0 < \delta 0 (число \delta 0 означено в пп. 2.1), матимемо | y - \~x| - | x - \~x| > \delta 0 - \rho 0 >
> 0, i тому
I \prime \prime \leq m| S| (\delta 0 - \rho 0)
- d - \theta < m| S| (\delta 0 - \rho 0)
- d - \theta t -
1
\alpha
(\theta +1),
що завершує доведення леми 1.
Зауважимо, що стала в нерiвностi (8) залежить лише вiд d, \theta i поверхнi S.
Наступна лема мiстить нерiвнiсть, подiбну до тих, що розглядалися А. Н. Кочубеєм (див. [4],
гл. IV). Ми використаємо запропонований там метод доведення.
Лема 2. Для кожних k > - 1, l > - 1, \varkappa > k - \alpha +1, \lambda > l - \alpha +1 i для всiх t > 0, x \in \BbbR d
та y \in \BbbR d має мiсце нерiвнiсть
t\int
0
d\tau
\int
S
(t - \tau )\varkappa /\alpha
((t - \tau )1/\alpha + | z - x| )d+k
\tau \lambda /\alpha
(\tau 1/\alpha + | y - z| )d+l
d\sigma z \leq
\leq K
\Biggl(
B
\biggl(
1 +
1
\alpha
(\varkappa - k - 1), 1 +
\lambda
\alpha
\biggr)
t1+
1
\alpha
(\varkappa +\lambda - k - 1)\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+l
+
+B
\biggl(
1 +
1
\alpha
(\lambda - l - 1), 1 +
\varkappa
\alpha
\biggr)
t1+
1
\alpha
(\varkappa +\lambda - l - 1)\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+k
\Biggr)
(9)
з деякою сталою K > 0, що залежить лише вiд d, l, k та поверхнi S, де B(\cdot , \cdot ) — бета-функцiя
Ейлера.
Доведення. Розiб’ємо множину iнтегрування у лiвiй частинi нерiвностi, що доводиться, на
частини (t > 0, x \in \BbbR d, y \in \BbbR d фiксованi):
\Pi 1 =
\bigl\{
(\tau , z) : \tau \in (0, t/2], z \in S
\bigr\}
, \Pi 2 =
\bigl\{
(\tau , z) : \tau \in (t/2, t], z \in S
\bigr\}
,
а їх, у свою чергу, на частини:
\Pi 11 =
\biggl\{
(\tau , z) \in \Pi 1 : (t - \tau )1/\alpha + | z - x| \leq 1
2
\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) \biggr\}
, \Pi 12 = \Pi 1 \setminus \Pi 11,
\Pi 21 =
\biggl\{
(\tau , z) \in \Pi 2 : \tau 1/\alpha + | y - z| \leq 1
2
\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) \biggr\}
, \Pi 22 = \Pi 2 \setminus \Pi 21.
Використавши очевиднi нерiвностi (u - v)\rho \geq u\rho - v\rho при 0 < v <
u
2
, 0 < \rho < 1 та
| y - x| \leq | y - z| + | z - x| , можемо записати
\tau 1/\alpha + | y - z| \geq t1/\alpha - (t - \tau )1/\alpha + | y - x| - | z - x| \geq 1
2
\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr)
при (\tau , z) \in \Pi 11,
(t - \tau )1/\alpha + | z - x| \geq t1/\alpha - \tau 1/\alpha + | y - x| - | y - z| \geq 1
2
\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr)
при (\tau , z) \in \Pi 21.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
СИМЕТРИЧНИЙ \alpha -СТIЙКИЙ ВИПАДКОВИЙ ПРОЦЕС ТА ТРЕТЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВА . . . 1411
Крiм того, очевидно, що
(t - \tau )1/\alpha + | z - x| > 1
2
\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr)
при (\tau , z) \in \Pi 12,
\tau 1/\alpha + | y - z| > 1
2
\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr)
при (\tau , z) \in \Pi 22.
Тому для лiвої частини нерiвностi (9) (позначимо її через I ) виконується
I \leq 2d+l\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+l
\int
\Pi 11\cup \Pi 22
(t - \tau )\varkappa /\alpha \tau \lambda /\alpha \bigl(
(t - \tau )1/\alpha + | z - x|
\bigr) d+k
d\tau d\sigma z+
+
2d+k\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+k
\int
\Pi 12\cup \Pi 21
(t - \tau )\varkappa /\alpha \tau \lambda /\alpha \bigl(
\tau 1/\alpha + | y - z|
\bigr) d+l
d\tau d\sigma z \leq
\leq 2d+l\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+l
t\int
0
d\tau
\int
S
(t - \tau )\varkappa /\alpha \tau \lambda /\alpha \bigl(
(t - \tau )1/\alpha + | z - x|
\bigr) d+k
d\sigma z+
+
2d+k\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+k
t\int
0
d\tau
\int
S
(t - \tau )\varkappa /\alpha \tau \lambda /\alpha \bigl(
\tau 1/\alpha + | y - z|
\bigr) d+l
d\sigma z.
З огляду на нерiвнiсть (8) можемо тепер записати
I \leq K
\left( 1\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+l
t\int
0
(t - \tau )
1
\alpha
(\varkappa - k - 1)\tau \lambda /\alpha d\tau +
+
1\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+k
t\int
0
(t - \tau )\varkappa /\alpha \tau
1
\alpha
(\lambda - l - 1) d\tau
\right) =
= K
\Biggl(
B
\biggl(
1 +
1
\alpha
(\varkappa - k - 1), 1 +
\lambda
\alpha
\biggr)
t1+
1
\alpha
(\varkappa +\lambda - k - 1)\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+l
+
+B
\biggl(
1 +
1
\alpha
(\lambda - l - 1), 1 +
\varkappa
\alpha
\biggr)
t1+
1
\alpha
(\varkappa +\lambda - l - 1)\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+k
\Biggr)
,
де K — деяка додатна стала, що залежить лише вiд d, l, k та поверхнi S.
Лему 2 доведено.
Перейдемо тепер до оцiнювання членiв ряду з рiвностi (5). Iз спiввiдношень (6) та нерiвнос-
тi (7) одержуємо
0 < gk(t, x, y) \leq N\| r\|
t\int
0
d\tau
\int
S
\tau
(\tau 1/\alpha + | z - x| )d+\alpha
gk - 1(t - \tau , z, y) d\sigma z
при всiх t > 0, x \in \BbbR d, y \in \BbbR d та k = 1, 2, . . . , де \| r\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in S r(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1412 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
Iндукцiєю по k з допомогою леми 2 доводимо, що при всiх t > 0, x \in \BbbR d, y \in \BbbR d та
k = 0, 1, 2, . . . має мiсце нерiвнiсть
gk(t, x, y) \leq Rk
t1+k(1 - 1/\alpha )\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+\alpha
, (10)
де числова послiдовнiсть \{ Rk : k \geq 0\} задовольняє рекурентне спiввiдношення (при k \geq 1)
Rk = Rk - 1NK\| r\|
\Bigl(
B
\bigl(
1 - 1/\alpha , 2 + (k - 1)(1 - 1/\alpha )
\bigr)
+B
\bigl(
2, k(1 - 1/\alpha )
\bigr) \Bigr)
з R0 = N, де N > 0 — стала з нерiвностi (7), а K > 0 — з нерiвностi (9).
Таким чином, ряд у рiвностi (5) збiгається абсолютно при всiх t > 0, x \in \BbbR d, y \in \BbbR d та
рiвномiрно на множинi (t, x, y) \in (0, T ]\times \BbbR d\times \BbbR d для кожного T > 0. Звiдси робимо висновок,
що його сума
\bigl(
g(t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d,y\in \BbbR d є неперервною функцiєю, яка задовольняє рiвняння (4),
причому для кожного T > 0 iснує така стала CT > 0, що при всiх t \in (0, T ], x \in \BbbR d, y \in \BbbR d
має мiсце нерiвнiсть \bigm| \bigm| g(t, x, y)\bigm| \bigm| \leq CT
t\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+\alpha
. (11)
Зауваження 1. Функцiя
\bigl(
g(t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d,y\in \BbbR d задовольняє також i рiвняння
g(t, x, y) = g0(t, x, y) -
t\int
0
d\tau
\int
S
g(t - \tau , x, z)g0(\tau , z, y)r(z) d\sigma z. (12)
Це стає зрозумiлим, якщо довести, наприклад, за iндукцiєю по k спiввiдношення
gk(t, x, y) =
t\int
0
d\tau
\int
S
gk - 1(t - \tau , x, z)g0(\tau , z, y)r(z) d\sigma z
для всiх t > 0, x \in \BbbR d, y \in \BbbR d та k = 1, 2, . . . .
Зауважимо, що розв’язки кожного з рiвнянь (4) та (12) єдинi у класi функцiй, якi задоволь-
няють нерiвнiсть (11). Це випливає з того, що оцiнка (10) при всiх k \geq 1 має мiсце для рiзницi
кожних двох розв’язкiв кожного iз згаданих рiвнянь.
У наступному пiдпунктi ми встановимо, що функцiя
\bigl(
g(t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d,y\in \BbbR d є щiльнiстю
ймовiрностi переходу процесу Маркова, який утворюється з процесу (x0(t))t\geq 0 обривом
\bigl(
з
iнтенсивнiстю (r(x))x\in S
\bigr)
у точках поверхнi S.
2.3. Формула Фейнмана – Каца та апроксимацiйна процедура. При кожному t > 0 роз-
глянемо функцiю (Ft(x))x\in \BbbR d , що задається рiвнiстю
Ft(x) =
t\int
0
d\tau
\int
S
g0(\tau , x, y)r(y) d\sigma y, (13)
в якiй функцiя (r(x))x\in S та ж, що i в попередньому пiдпунктi.
Функцiя (13) (як функцiя аргументiв (t, x)) є потенцiалом простого шару з невiд’ємними
значеннями. Зауважимо, що функцiя (r(x))x\in S належить класу \BbbU зi сталими \beta = 0 та CT = \| r\| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
СИМЕТРИЧНИЙ \alpha -СТIЙКИЙ ВИПАДКОВИЙ ПРОЦЕС ТА ТРЕТЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВА . . . 1413
Тому, як нескладно бачити, при всiх t > 0, x \in \BbbR d має мiсце нерiвнiсть Ft(x) \leq K \cdot t1 - 1/\alpha з де-
якою сталою K > 0. Крiм того, з допомогою рiвняння Колмогорова – Чепмена, яке задовольняє
функцiя g0, легко перевiрити, що при t > 0, s > 0 та x \in \BbbR d виконується спiввiдношен-
ня Fs(x) +
\int
\BbbR d
g0(s, x, y)Ft(y) dy = Fs+t(x). Це дозволяє стверджувати, що функцiя (13) є
W-функцiєю, для якої виконується \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in \BbbR d Ft(x) \rightarrow 0, t \rightarrow 0 + . Звiдси випливає iснування
W-функцiонала (\eta t)t\geq 0 вiд процесу (x0(t))t\geq 0 з характеристикою (13) (див. [2], теорема 6.6).
Тобто при всiх t \geq 0, x \in \BbbR d виконується рiвнiсть \BbbE x\eta t = Ft(x), де \BbbE x означає умовне
математичне сподiвання при умовi x0(0) = x.
Наша мета в цьому пунктi — показати, що при всiх t > 0, x \in \BbbR d та \varphi \in \BbbC b(\BbbR d) має мiсце
спiввiдношення
\BbbE x\varphi (x0(t))e
- \eta t =
\int
\BbbR d
g(t, x, y)\varphi (y) dy, (14)
в якому
\bigl(
g(t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d,y\in \BbbR d — побудований у попередньому пiдпунктi розв’язок рiвнянь (4)
та (12).
Для початку апроксимуємо функцiонал \eta t деякими простiшими функцiоналами вiд процесу
(x0(t))t\geq 0. Для кожних h > 0 та x \in \BbbR d покладемо vh(x) =
\int
S
g0(h, x, y)r(y) d\sigma y. При фiксо-
ваному h > 0 ця функцiя є неперервною та обмеженою на \BbbR d. Визначимо (для фiксованого
h > 0) адитивний функцiонал (\eta
(h)
t )t\geq 0 вiд процесу (x0(t))t\geq 0 з допомогою спiввiдношення
\eta
(h)
t =
\int t
0
vh(x0(\tau )) d\tau . Це — W-функцiонал з характеристикою
\BbbE x\eta
(h)
t =
t\int
0
d\tau
\int
\BbbR d
g0(\tau , x, y)vh(y) dy =
t\int
0
d\tau
\int
S
g0(\tau + h, x, y)r(y) d\sigma y.
Пiсля нескладних перетворень одержуємо
\BbbE x\eta
(h)
t - \BbbE x\eta t =
t+h\int
t
d\tau
\int
S
g0(\tau , x, y)r(y) d\sigma y -
h\int
0
d\tau
\int
S
g0(\tau , x, y)r(y) d\sigma y.
З нерiвностi (7) та леми 1 при \theta = \alpha випливає, що для кожного T > 0 при всiх t \in (0, T ],
x \in \BbbR d та h > 0 має мiсце нерiвнiсть\bigm| \bigm| \BbbE x\eta
(h)
t - \BbbE x\eta t
\bigm| \bigm| \leq CT
\alpha
\alpha - 1
\Bigl(
(t+ h)1 - 1/\alpha - t1 - 1/\alpha + h1 - 1/\alpha
\Bigr)
,
де CT > 0 — деяка стала. Теорема 6.4 з [2] дозволяє стверджувати, що \eta (h)t \rightarrow \eta t при h\rightarrow 0+ у
середньому квадратичному при кожному t > 0. Звiдси одержуємо, що для кожної \varphi \in \BbbC b(\BbbR d)
мiж функцiями (t > 0, x \in \BbbR d) u(h)(t, x, \varphi ) = \BbbE x\varphi (x0(t))e
- \eta
(h)
t та u(t, x, \varphi ) = \BbbE x\varphi (x0(t))e
- \eta t
має мiсце спiввiдношення \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}h\rightarrow 0+ u
(h)(t, x, \varphi ) = u(t, x, \varphi ) в сенсi поточкової збiжностi.
При кожному h > 0 функцiя (u(h)(t, x, \varphi ))t>0,x\in \BbbR d є розв’язком рiвняння
u(h)(t, x, \varphi ) = u0(t, x, \varphi ) -
t\int
0
d\tau
\int
\BbbR d
g0(t - \tau , x, y)u(h)(\tau , y, \varphi ) vh(y) dy, (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1414 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
в якому
u0(t, x, \varphi ) =
\int
\BbbR d
g0(t, x, y)\varphi (y) dy. (16)
Перейдемо тепер у рiвняннi (15) до границi при h \rightarrow 0 + . Для цього потрiбно довести
допомiжне твердження.
Для вимiрної комплекснозначної функцiї (\psi (t, x))t\geq 0,x\in \BbbR d такої, що при кожному T > 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}0\leq t\leq T,x\in \BbbR d | \psi (t, x)| < +\infty , розглянемо її перетворення
\psi h(t, x) =
t\int
0
d\tau
\int
\BbbR d
g0(t - \tau , x, y)\psi (\tau , y)vh(y) dy, t > 0, x \in \BbbR d, h > 0.
Лема 3. Для даних чисел \varepsilon > 0, L > 0 та T > 0 iснує таке число \delta > 0, що нерiвнiсть\bigm| \bigm| \psi h(t
\prime , x\prime ) - \psi h(t, x)
\bigm| \bigm| < \varepsilon
виконується при всiх h > 0, t\prime \in (0, T ], t \in (0, T ], x\prime \in \BbbR d, x \in \BbbR d i для кожної функцiї
(\psi (t, x))t\geq 0,x\in \BbbR d з властивiстю \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}0\leq t\leq T,x\in \BbbR d | \psi (t, x)| < L, якщо тiльки | t\prime - t| + | x\prime - x| < \delta .
Доведення. Розглянемо при 0 < t < t\prime \leq T та x\prime \in \BbbR d, x \in \BbbR d рiзницю \psi h(t
\prime , x\prime ) - \psi h(t, x),
записавши її у виглядi суми двох доданкiв:
I1 =
t\int
0
d\tau
\int
\BbbR d
\bigl[
g0(t
\prime - \tau , x\prime , y) - g0(t - \tau , x, y)
\bigr]
\psi (\tau , y)vh(y) dy,
I2 =
t\prime \int
t
d\tau
\int
\BbbR d
g0(t
\prime - \tau , x\prime , y)\psi (\tau , y)vh(y) dy.
Оскiльки з нерiвностей (7) та (8) при \theta = \alpha випливає оцiнка\int
\BbbR d
g0(t, x, y)vh(y) dy =
\int
S
g0(h+ t, x, z)r(z) d\sigma z \leq \| r\| C(t+ h) - 1/\alpha \leq \| r\| Ct - 1/\alpha
з деякою сталою C > 0, то | I2| \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \cdot (t\prime - t)1 - 1/\alpha . Це означає, що I2 можна зробити як
завгодно малим, якщо тiльки малим вибрати t\prime - t.
Вiзьмемо тепер деяке число \rho \in (0, t) i запишемо I1 у виглядi суми двох iнтегралiв вiд тiєї
ж пiдiнтегральної функцiї: перший, I \prime 1, по (\tau , y) \in (0, t - \rho ) \times \BbbR d, а другий, I \prime \prime 1 , по (\tau , y) \in
\in (t - \rho , t)\times \BbbR d.
Враховуючи доведену вище нерiвнiсть, записуємо
| I \prime \prime 1 | \leq L
t\int
t - \rho
d\tau
\int
\BbbR d
g0(t
\prime - \tau , x\prime , y)vh(y) dy + L
t\int
t - \rho
d\tau
\int
\BbbR d
g0(t - \tau , x, y)vh(y) dy \leq
\leq L\| r\| C
t\int
t - \rho
\Bigl[
(t\prime - \tau ) - 1/\alpha + (t - \tau ) - 1/\alpha
\Bigr]
d\tau =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
СИМЕТРИЧНИЙ \alpha -СТIЙКИЙ ВИПАДКОВИЙ ПРОЦЕС ТА ТРЕТЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВА . . . 1415
= L\| r\| C \alpha
\alpha - 1
\Bigl[
(t\prime - t+ \rho )1 - 1/\alpha - (t\prime - t)1 - 1/\alpha + \rho 1 - 1/\alpha
\Bigr]
.
Це дозволяє вибрати \rho так, щоб I \prime \prime 1 стало малим рiвномiрно вiдносно t \in (0;T ], t\prime \in (0;T ]
(t < t\prime ), x \in \BbbR d, x\prime \in \BbbR d.
Якщо врахувати, що функцiя g0 рiвномiрно неперервна на множинi [\rho ,+\infty ) \times \BbbR d \times \BbbR d
для кожного \rho > 0, то для доведення того, що I \prime 1 можна зробити малим при достатньо малих
t\prime - t та | x\prime - x| , досить довести, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}h>0
\int
\BbbR d
vh(y) dy < +\infty . Але, оскiльки
\int
\BbbR d
vh(y) dy =
=
\int
S
r(z) d\sigma z \leq \| r\| | S| < +\infty , то лему 3 доведено.
З властивостей функцiї g0, як фундаментального розв’язку задачi Кошi для рiвняння (1),
випливає рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0+
\int
\BbbR d
\varphi (x)vh(x) dx =
\int
S
\varphi (x)r(x) d\sigma , (17)
справедлива для будь-якої \varphi \in \BbbC b(\BbbR d).
Лема 3 дозволяє вибрати послiдовнiсть hn \rightarrow 0+, n\rightarrow \infty , таку, що для кожної \varphi \in \BbbC b(\BbbR d)
виконується \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty u(hn)(t, x, \varphi ) = u(t, x, \varphi ) локально рiвномiрно по t \geq 0 та рiвномiрно по
x \in \BbbR d.
З рiвностi (17), використовуючи лему 3, одержуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
t\int
0
d\tau
\int
\BbbR d
g0(t - \tau , x, y)u(hn)(\tau , y, \varphi )vhn(y) dy =
t\int
0
d\tau
\int
S
g0(t - \tau , x, y)u(\tau , y, \varphi )r(y) d\sigma y.
Перехiд до границi у (15) по послiдовностi hn при n \rightarrow \infty приводить до такого рiвняння
для функцiї u:
u(t, x, \varphi ) = u0(t, x, \varphi ) -
t\int
0
d\tau
\int
S
g0(t - \tau , x, y)u(\tau , y, \varphi )r(y) d\sigma y. (18)
Це ж рiвняння одержимо, якщо домножити обидвi частини рiвняння (4) на \varphi (y) та зiнтегрувати
їх по y \in \BbbR d. Оскiльки обмежений розв’язок рiвняння (18) єдиний, то
u(t, x, \varphi ) =
\int
\BbbR d
g(t, x, y)\varphi (y) dy (19)
i рiвнiсть (14) доведено.
3. Початково-крайовi задачi. 3.1. Симетрична задача. В цьому пiдпунктi розглядати-
мемо задачу (i) – (iii) в частковому випадку, коли q(x) \equiv 0. Тодi умова (iii) набере вигляду
(iii\prime )
1
2
\bfB \nu (x)U(t, \cdot , \varphi )(x+) - 1
2
\bfB \nu (x)U(t, \cdot , \varphi )(x - ) = r(x)U(t, x, \varphi ), t > 0, x \in S.
Теорема 1. Побудована вище функцiя
\bigl(
g(t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d,y\in \BbbR d є фундаментальним розв’язком
задачi (i), (ii), (iii\prime ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1416 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
Доведення. Вiзьмемо довiльну функцiю \varphi \in \BbbC b(\BbbR d) i доведемо, що функцiя (19), яка є
розв’язком рiвняння (18), задовольняє умови задачi (i), (ii), (iii\prime ).
У п. 1 вже згадувалось, що функцiя g0 є фундаментальним розв’язком задачi Кошi для
рiвняння (1). Тому функцiя
\bigl(
u0(t, x, \varphi )
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d , задана рiвнiстю (16), задовольняє рiвняння з
умови (i) в областi (t, x) \in (0,+\infty )\times \BbbR d та початкову умову (ii) iз заданою функцiєю \varphi .
Нескладно зрозумiти, що функцiя Q(t, x, \varphi ) =
\int t
0
d\tau
\int
S
g0(t - \tau , x, y)u(\tau , y, \varphi )r(y) d\sigma y,
визначена для (t, x) \in (0,+\infty ) \times \BbbR d, є потенцiалом простого шару. З його властивостей (див.
пп. 2.1) маємо, що функцiя
\bigl(
Q(t, x, \varphi )
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d при кожнiй \varphi \in \BbbC b(\BbbR d) задовольняє умову (i)
та при всiх t > 0, x \in S рiвнiсть
\bfB \nu (x)Q(t, \cdot , \varphi )(x\pm ) = \mp r(x)u(t, x, \varphi ) +
t\int
0
d\tau
\int
S
g
\nu (x)
0 (t - \tau , x, y)u(\tau , y, \varphi )r(y) d\sigma y.
Звiдси одержуємо, що функцiя
\bigl(
u(t, x, \varphi )
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d , визначена рiвнiстю (19), задовольняє умо-
ву (iii\prime ). Завершує доведення очевидна тотожнiсть Q(0+, x, \varphi ) \equiv 0.
3.2. Несиметрична задача. Розглянемо загальний випадок, тобто, на вiдмiну вiд поперед-
нього пiдпункту, q(x) \equiv \diagup 0.
3.2.1. Фундаментальний розв’язок другої початково-крайової задачi. Припустимо, що
r(x) \equiv 0 i крайова умова сформульованої в п. 1 основної задачi має вигляд
(iii\prime \prime )
1 + q(x)
2
\bfB \nu (x)U(t, \cdot , \varphi )(x+) - 1 - q(x)
2
\bfB \nu (x)U(t, \cdot , \varphi )(x - ) = 0, t > 0, x \in S.
Зауваження 2. Задачу (i), (ii), (iii\prime \prime ) розглянуто у [6], де i побудовано її розв’язок. Тут ми
побудуємо фундаментальний розв’язок цiєї задачi.
Задамо функцiю (G0(t, x, y))t>0,x\in \BbbR d,y\in \BbbR d рiвнiстю
G0(t, x, y) = g0(t, x, y) +
t\int
0
d\tau
\int
S
g0(t - \tau , x, z)V (\tau , z, y)q(z) d\sigma z (20)
з деякою невiдомою функцiєю
\bigl(
V (t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in S,y\in \BbbR d .
Нашою метою в цьому пiдпунктi є побудова такої функцiї V, щоб для кожної \varphi \in \BbbC b(\BbbR d)
функцiя
U0(t, x, \varphi ) =
\int
\BbbR d
G0(t, x, y)\varphi (y) dy, t > 0, x \in \BbbR d, (21)
задовольняла умови (i), (ii), (iii\prime \prime ). Це i означатиме, що функцiя G0 є фундаментальним розв’яз-
ком другої початково-крайової задачi (i), (ii), (iii\prime \prime ). Очевидно, що для виконання умов (i), (ii)
достатньо, щоб при кожнiй \varphi \in \BbbC b(\BbbR d) функцiя
v(t, x, \varphi ) =
\int
\BbbR d
V (t, x, y)\varphi (y) dy, t > 0, x \in S, (22)
належала класу \BbbU . Це випливатиме з властивостей функцiї g0 та потенцiалу простого шару\int t
0
d\tau
\int
S
g0(t - \tau , x, z) v(\tau , z, \varphi )q(z) d\sigma z, якi були сформульованi у п. 1 та пп. 2.1 вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
СИМЕТРИЧНИЙ \alpha -СТIЙКИЙ ВИПАДКОВИЙ ПРОЦЕС ТА ТРЕТЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВА . . . 1417
Теорема про стрибок (див. пп. 2.1) приводить нас до висновку, що умова (iii\prime \prime ) буде вико-
нуватись, якщо функцiя V задовольнятиме рiвняння (t > 0, x \in S, y \in \BbbR d)
V (t, x, y) = g
\nu (x)
0 (t, x, y) +
t\int
0
d\tau
\int
S
g
\nu (x)
0 (t - \tau , x, z)V (\tau , z, y)q(z) d\sigma z. (23)
Спочатку оцiнимо функцiю
\bigl(
g
\nu (x)
0 (t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in S,y\in \BbbR d , для якої має мiсце зображення (див.,
наприклад, [5])
g
\nu (x)
0 (t, x, y) =
2
\alpha
\bigl(
y - x, \nu (x)
\bigr)
t
g0(t, x, y), t > 0, x \in S, y \in \BbbR d. (24)
Враховуючи оцiнку (7) та властивостi поверхнi S (див. пп. 2.1), одержуємо при t > 0, x \in S,
y \in S оцiнку
| g\nu (x)0 (t, x, y)| \leq C\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+\alpha - 1 - \gamma
(25)
з деякою сталою C > 0. Якщо ж t > 0, x \in S, y \in \BbbR d \setminus S, то можемо записати, що\bigm| \bigm| g\nu (x)0 (t, x, y)
\bigm| \bigm| \leq C\bigl(
\rho (y, S)
\bigr) d+\alpha - 1
, (26)
де \rho (y, S) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}x\in S | y - x| , C > 0 — деяка стала.
Далi розв’язуватимемо рiвняння (23) при t > 0, x \in S, y \in S методом послiдовних
наближень. Покладемо при t > 0, x \in S, y \in S нульове наближення V0(t, x, y) = g
\nu (x)
0 (t, x, y)
та для k \geq 1
Vk(t, x, y) =
t\int
0
d\tau
\int
S
g
\nu (x)
0 (t - \tau , x, z)Vk - 1(\tau , z, y)q(z) d\sigma z.
Iндукцiєю по k, використовуючи лему 2, доводимо, що при всiх t > 0, x \in S, y \in S та
k \geq 0 виконуються нерiвностi
| Vk(t, x, y)| \leq Rk
tk\gamma /\alpha \bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+\alpha - 1 - \gamma
, (27)
де числова послiдовнiсть \{ Rk : k \geq 0\} визначається спiввiдношеннями R0 = C та Rk =
= C
\biggl(
\alpha
k\gamma
+B
\Bigl( \gamma
\alpha
, 1 + (k - 1)
\gamma
\alpha
\Bigr) \biggr)
Rk - 1 при k \geq 1, в яких C > 0 — деяка стала.
Одержанi оцiнки функцiй (Vk(t, x, y))t>0,x\in S,y\in S приводять до того, що ряд
\sum \infty
k=0
Vk(t, x, y)
збiгається абсолютно при (t, x, y) \in (0,+\infty )\times S\times S та рiвномiрно по (x, y) \in S\times S i локально
рiвномiрно по t > 0. Його сума
\bigl(
V (t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in S,y\in S є неперервним розв’язком рiвняння (23)
i для кожного T > 0 iснує така стала CT > 0, що при всiх t \in (0, T ], x \in S, y \in S виконується
нерiвнiсть \bigm| \bigm| V (t, x, y)
\bigm| \bigm| \leq CT
1\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+\alpha - 1 - \gamma
. (28)
Крiм того, функцiя V задовольняє рiвняння (t > 0, x \in S, y \in S )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1418 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
V (t, x, y) = g
\nu (x)
0 (t, x, y) +
t\int
0
d\tau
\int
S
V (t - \tau , x, z)g
\nu (z)
0 (\tau , z, y)q(z) d\sigma z. (29)
Останнє випливає iз спiввiдношень (t > 0, x \in S, y \in S )
Vk(t, x, y) =
t\int
0
d\tau
\int
S
Vk - 1(t - \tau , x, z)g
\nu (z)
0 (\tau , z, y)q(z) d\sigma z, k \geq 1,
якi легко доводяться з допомогою iндукцiї по k та нерiвностей (25), (27).
Спiввiдношення (29) продовжує функцiю V на множину (t, x, y) \in (0,+\infty ) \times S \times \BbbR d.
Змiнюючи порядок iнтегрування з урахуванням оцiнок (25) та (28), легко доводимо, що побу-
дована функцiя
\bigl(
V (t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in S,y\in \BbbR d задовольняє рiвняння (23). На пiдставi оцiнок (26), (28)
та нерiвностi (8) можемо записати\bigm| \bigm| V (t, x, y)
\bigm| \bigm| \leq CT
1\bigl(
\rho (y, S)
\bigr) d+\alpha - 1
(30)
при t \in (0, T ], x \in S та y \in \BbbR d \setminus S для кожного T > 0 з деякою сталою CT > 0.
Враховуючи нерiвнiсть (7) та спiввiдношення (24), можемо записати оцiнку\bigm| \bigm| g\nu (x)0 (t, x, y)
\bigm| \bigm| \leq 2N
\alpha
1\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+\alpha - 1
, t > 0, x \in S, y \in \BbbR d.
Тому, домноживши обидвi частини спiввiдношення (29) на \varphi (y) та зiнтегрувавши його по
y \in \BbbR d (тут враховуємо нерiвнiсть (30)), для функцiї
\bigl(
v(t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in S , заданої рiвнiстю (22),
одержимо, що для кожної \varphi \in \BbbC b(\BbbR d) при кожному T > 0 виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| v(t, x, \varphi )\bigm| \bigm| \leq
\leq CT t
- 1+1/\alpha , t \in (0, T ], x \in S, з деякою сталою CT > 0. Отже, функцiя (v(t, x, y))t>0,x\in S
належить класу \BbbU .
Сформулюємо тепер основний результат цього пiдпункту у виглядi теореми.
Теорема 2. Функцiя
\bigl(
G0(t, x, y)
\bigr)
t>0, x\in \BbbR d, y\in \BbbR d , задана рiвнiстю (20), де
\bigl(
V (t, x,
y)
\bigr)
t>0,x\in S,y\in \BbbR d задовольняє рiвняння (23), є фундаментальним розв’язком задачi (i), (ii), (iii\prime \prime ).
Зауважимо, що для функцiї G0 можна запропонувати дещо iнше зображення. А саме, для
t > 0, x \in \BbbR d та y \in S покладемо
\~V (t, x, y) = g0(t, x, y) +
t\int
0
d\tau
\int
S
g0(t - \tau , x, z)V (\tau , z, y) q(z) d\sigma z.
Використовуючи зображення V (\tau , z, y) при \tau > 0, z \in S, y \in S у виглядi ряду
\sum \infty
k=0
Vk(\tau , z, y),
отримуємо, що \~V є розв’язком рiвняння
\~V (t, x, y) = g0(t, x, y) +
t\int
0
d\tau
\int
S
\~V (t - \tau , x, z)g
\nu (z)
0 (\tau , z, y)q(z) d\sigma z
при t > 0, x \in \BbbR d та y \in S. Як наслiдок, маємо дуальне до (20) зображення функцiї G0 (t > 0,
x \in \BbbR d та y \in \BbbR d \setminus S):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
СИМЕТРИЧНИЙ \alpha -СТIЙКИЙ ВИПАДКОВИЙ ПРОЦЕС ТА ТРЕТЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВА . . . 1419
G0(t, x, y) = g0(t, x, y) +
t\int
0
d\tau
\int
S
\~V (t - \tau , x, z) g
\nu (z)
0 (\tau , z, y) q(z) d\sigma z.
Звiдси легко отримати формули G0(t, x, y\pm ) =
\bigl(
1 \pm q(y)
\bigr)
\~V (t, x, y), справедливi при t > 0,
x \in \BbbR d та y \in S. Тому цiлком природно покласти для t > 0, x \in \BbbR d та y \in S
G0(t, x, y) =
1
2
\bigl[
G0(t, x, y+) +G0(t, x, y - )
\bigr]
= \~V (t, x, y).
Зауважимо, що з рiвностi (20) при t > 0, x \in S та y \in \BbbR d випливають спiввiдношення
\bfB \nu (x)G0(t, \cdot , y)(x\pm ) = (1\mp q(x))V (t, x, y).
3.2.2. Фундаментальний розв’язок основної задачi. В цьому пiдпунктi вiдмовимось вiд
додаткових обмежень щодо функцiй r i q, тобто розглянемо сформульовану у вступi основну
задачу (i) – (iii). Фундаментальний розв’язок цiєї задачi будуватимемо як спiльний розв’язок
пари рiвнянь (t > 0, x \in \BbbR d, y \in \BbbR d)
G(t, x, y) = G0(t, x, y) -
t\int
0
d\tau
\int
S
G0(t - \tau , x, z)G(\tau , z, y)r(z) d\sigma z, (31)
G(t, x, y) = G0(t, x, y) -
t\int
0
d\tau
\int
S
G(t - \tau , x, z)G0(\tau , z, y)r(z) d\sigma z, (32)
в яких функцiя
\bigl(
G0(t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d,y\in \BbbR d та ж, що i в попередньому пiдпунктi.
Зауважимо, що рiвняння (31), (32) достатньо розв’язувати на множинi (t, x, y) \in (0,+\infty )\times
\times S \times S. Тодi спiввiдношення (32) продовжить одержаний розв’язок на множину (t, x, y) \in
\in (0,+\infty )\times S \times \BbbR d, а (31) — на множину (t, x, y) \in (0,+\infty )\times \BbbR d \times \BbbR d.
Розв’язок рiвнянь (31), (32) шукаємо у виглядi суми ряду
G(t, x, y) =
\infty \sum
k=0
( - 1)kGk(t, x, y), (33)
де при k \geq 1
Gk(t, x, y) =
t\int
0
d\tau
\int
S
G0(t - \tau , x, z)Gk - 1(\tau , z, y)r(z) d\sigma z =
=
t\int
0
d\tau
\int
S
Gk - 1(t - \tau , x, z)G0(\tau , z, y)r(z) d\sigma z.
Зауваження 3. Справедливiсть другої рiвностi доводиться iндукцiєю по k з допомогою
доведених нижче оцiнок.
Спiввiдношення (20), нерiвностi (7), (28) та лема 2 приводять нас до оцiнки
\bigm| \bigm| G0(t, x, y)
\bigm| \bigm| \leq CT
t1 - 1/\alpha \bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+\alpha - 1
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1420 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
яка справджується при всiх t \in (0, T ], x \in S, y \in S для кожного T > 0 з деякою сталою
CT > 0.
З допомогою iндукцiї по k встановлюємо нерiвностi для кожних k \geq 0, T > 0:
\bigm| \bigm| Gk(t, x, y)
\bigm| \bigm| \leq Rk
t(k+1)(1 - 1/\alpha )\bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+\alpha - 1
, t \in (0, T ], x \in S, y \in S, (34)
де числова послiдовнiсть \{ Rk : k \geq 0\} задається спiввiдношеннями R0 = CT та Rk =
= K
\biggl(
B
\biggl(
1 - 1
\alpha
, 1 + k
\biggl(
1 - 1
\alpha
\biggr) \biggr)
+B
\biggl(
2 - 1
\alpha
, k
\biggl(
1 - 1
\alpha
\biggr) \biggr) \biggr)
Rk - 1 при k \geq 1, в яких CT > 0,
K > 0 — деякi сталi (перша, можливо, залежить вiд T ).
З оцiнок (34) випливає, що ряд у спiввiдношеннi (33) збiгається абсолютно при (t, x, y) \in
\in (0,+\infty )\times S \times S та рiвномiрно по (x, y) \in S \times S i локально рiвномiрно по t > 0. Його сума\bigl(
G(t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in S,y\in S задовольняє рiвняння (31), (32) на множинi (t, x, y) \in (0,+\infty )\times S \times S.
Крiм того, має мiсце оцiнка
\bigm| \bigm| G(t, x, y)\bigm| \bigm| \leq CT
t1 - 1/\alpha \bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+\alpha - 1
(35)
при всiх t \in (0, T ], x \in S, y \in S для кожного T > 0 з деякою сталою CT > 0. Рiвнос-
тi (31), (32) продовжують функцiю G на множину (t, x, y) \in (0,+\infty )\times \BbbR d\times \BbbR d зi збереженням
нерiвностi (35). Тут ми знову скористалися лемою 2.
Для кожної \varphi \in \BbbC b(\BbbR d) покладемо
U(t, x, \varphi ) =
\int
\BbbR d
G(t, x, y)\varphi (y) dy, t > 0, x \in \BbbR d. (36)
З рiвняння (31) випливає спiввiдношення
U(t, x, \varphi ) = U0(t, x, \varphi ) -
t\int
0
d\tau
\int
S
G0(t - \tau , x, z)U(\tau , z, \varphi )r(z) d\sigma z, t > 0, x \in \BbbR d, (37)
де U0(t, x, \varphi ) =
\int
\BbbR d
G0(t, x, y)\varphi (y) dy, t > 0, x \in \BbbR d.
Функцiя U0 задовольняє умови (i), (ii) та умову (iii) з функцiєю r(x) \equiv 0.
Для iнтеграла у правiй частинi (37)
\bigl(
позначимо його через
\bigl(
W (t, x)
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d
\bigr)
має мiсце
зображення W (t, x) =
\int t
0
d\tau
\int
S
g0(t - \tau , x, z)w(\tau , z, \varphi ) d\sigma z, в якому
w(t, x, \varphi ) = r(x)U(t, x, \varphi ) - q(x)
t\int
0
d\tau
\int
S
V (\tau , x, z)U(t - \tau , z, \varphi )r(z) d\sigma z,
де функцiя V визначена в пп. 3.2.1.
Лема 4. Функцiя
\bigl(
w(t, x, \varphi )
\bigr)
t>0,x\in S при кожнiй \varphi \in \BbbC b(\BbbR d) належить класу \BbbU .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
СИМЕТРИЧНИЙ \alpha -СТIЙКИЙ ВИПАДКОВИЙ ПРОЦЕС ТА ТРЕТЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВА . . . 1421
Доведення. Дiйсно, з допомогою рiвностi (36) та безпосереднiх обчислень приходимо до
нерiвностi | U(t, x, \varphi )| \leq \| \varphi \| CT
\int
\BbbR d
t1 - 1/\alpha \bigl(
t1/\alpha + | y - x|
\bigr) d+\alpha - 1
dy \leq CT , а вже звiдси випливає, що\bigm| \bigm| r(x)U(t, x, \varphi )
\bigm| \bigm| \leq CT \| r\| та внаслiдок леми 1 при \theta = \alpha - 1 - \gamma \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q(x)
t\int
0
d\tau
\int
S
V (\tau , x, z)U(t - \tau , z, \varphi )r(z) d\sigma z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \| q\| \| r\| CT
t\int
0
d\tau
\int
S
d\sigma z\bigl(
\tau 1/\alpha + | z - x|
\bigr) d+\alpha - 1 - \gamma
\leq CT t
\gamma /\alpha
при всiх t \in (0, T ], x \in S для кожного T > 0 з деякими сталими CT > 0. Неперервнiсть
функцiї w на (0,+\infty )\times S є очевидною.
Лему 4 доведено.
Нескладнi викладки з використанням спiввiдношення (23) та теореми про стрибок при-
водять до рiвностi
1 + q(x)
2
\bfB \nu (x)W (t, \cdot )(x+) - 1 - q(x)
2
\bfB \nu (x)W (t, \cdot )(x - ) = - r(x)U(t, x, \varphi ),
t > 0, x \in S.
Таким чином, функцiя
\bigl(
U(t, x, \varphi )
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d , задана спiввiдношенням (36), задовольняє умо-
ву (iii). Потенцiал простого шару W задовольняє умову (i) та нульову початкову умову. Отже,
ми одержали таке твердження.
Теорема 3. Функцiя
\bigl(
G(t, x, y)
\bigr)
t>0,x\in \BbbR d,y\in \BbbR d , задана рiвнiстю (33), є фундаментальним
розв’язком задачi (i) – (iii).
Лiтература
1. Aryasova O. V., Portenko M. I. One class of multidimensional stochastic differential equations having no property of
weak uniqueness of a solution // Theory Stochast. Process. – 2005. – 11(27), № 3-4. – P. 14 – 28.
2. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. – М.: Физматгиз, 1963. – 860 с.
3. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов: В 3 т. – М.: Наука, 1975. – Т. 2. – 640 с.
4. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential
equations of parabolic type // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2004. – 125. – 387 p.
5. Osypchuk M. M. On some perturbations of a stable process and solutions to the Cauchy problem for a class of
pseudo-differential equations // Carpath. Math. Publ. – 2015. – 7, № 1. – P. 101 – 107.
6. Осипчук М. М., Портенко М. I. Про потенцiали простого шару для одного класу псевдодиференцiальних
рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 11. – С. 1512 – 1524.
7. Osypchuk M. M., Portenko M. I. On the third initial-boundary value problem for some class of pseudo-differential
equations related to a symmetric \alpha -stable process // J. Pseudo-Different. Operators and Appl. – 2017. doi:
10.1007/s11868-017-0210-3
8. Osypchuk M. M., Portenko M. I. One type of singular perturbations of a multidimensional stable process // Theory
Stochast. Process. – 2014. – 19(35), № 2. – P. 42 – 51.
9. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 424 с.
Одержано 20.06.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1790 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:44Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c3/c8c50db37e3a33af4194a7778902bbc3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17902019-12-05T09:26:39Z Symmetric α-stable stochastic process and the third initial-boundary-value problem for the corresponding pseudodifferential equation Симетричний α-стійкий випадковий процес та третя початково-крайова задача для відповідного псевдодиференціального рівняння Osipchuk, M. M. Portenko, N. I. Осипчук, М. М. Портенко, М. І. We consider a pseudodifferential equation of parabolic type with operator of fractional differentiation with respect to a space variable generating a symmetric $\alpha$ -stable process in a multidimensional Euclidean space with an initial condition and a boundary condition imposed on the values of an unknown function at the points of the boundary of a given domain. The last condition is quite similar to the condition of the so-called third (mixed) boundary-value problem in the theory of differential equations with the difference that a traditional (co)normal derivative is replaced in our problem with a pseudodifferential operator. Another specific feature of the analyzed problem is the two-sided character of the boundary condition, i.e., a consequence of the fact that, in the case of \alpha with values between 1 and 2, the corresponding process reaches the boundary making infinitely many visits to both the interior and exterior regions with respect to the boundary. Рассматривается псевдодифференциальное уравнение параболического типа с оператором дробного дифференци- рования по пространственной переменной, являющимся генератором симметричного $\alpha$ -устойчивого случайного процесса в многомерном евклидовом пространстве. Область, на границе которой задаются краевые условия, ограничивается замкнутой достаточно гладкой поверхностью. Краевое условие, называемое в работе третьим, приравнивает к нулю некоторую линейную комбинацию предельных значений (изнутри и снаружи области) в каждой точке поверхности результата действия на неизвестную функцию определенного псевдодифференциального оператора по пространственной переменной — аналога нормальной производной в классике — и предельных значений этой же функции в той же точке. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1790 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 10 (2017); 1406-1421 Український математичний журнал; Том 69 № 10 (2017); 1406-1421 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1790/772 Copyright (c) 2017 Osipchuk M. M.; Portenko N. I. |
| spellingShingle | Osipchuk, M. M. Portenko, N. I. Осипчук, М. М. Портенко, М. І. Symmetric α-stable stochastic process and the third initial-boundary-value problem for the corresponding pseudodifferential equation |
| title | Symmetric α-stable stochastic process and the third
initial-boundary-value problem for the corresponding pseudodifferential equation |
| title_alt | Симетричний α-стійкий випадковий процес та третя
початково-крайова задача для відповідного псевдодиференціального рівняння |
| title_full | Symmetric α-stable stochastic process and the third
initial-boundary-value problem for the corresponding pseudodifferential equation |
| title_fullStr | Symmetric α-stable stochastic process and the third
initial-boundary-value problem for the corresponding pseudodifferential equation |
| title_full_unstemmed | Symmetric α-stable stochastic process and the third
initial-boundary-value problem for the corresponding pseudodifferential equation |
| title_short | Symmetric α-stable stochastic process and the third
initial-boundary-value problem for the corresponding pseudodifferential equation |
| title_sort | symmetric α-stable stochastic process and the third
initial-boundary-value problem for the corresponding pseudodifferential equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1790 |
| work_keys_str_mv | AT osipchukmm symmetricastablestochasticprocessandthethirdinitialboundaryvalueproblemforthecorrespondingpseudodifferentialequation AT portenkoni symmetricastablestochasticprocessandthethirdinitialboundaryvalueproblemforthecorrespondingpseudodifferentialequation AT osipčukmm symmetricastablestochasticprocessandthethirdinitialboundaryvalueproblemforthecorrespondingpseudodifferentialequation AT portenkomí symmetricastablestochasticprocessandthethirdinitialboundaryvalueproblemforthecorrespondingpseudodifferentialequation AT osipchukmm simetričnijastíjkijvipadkovijprocestatretâpočatkovokrajovazadačadlâvídpovídnogopsevdodiferencíalʹnogorívnânnâ AT portenkoni simetričnijastíjkijvipadkovijprocestatretâpočatkovokrajovazadačadlâvídpovídnogopsevdodiferencíalʹnogorívnânnâ AT osipčukmm simetričnijastíjkijvipadkovijprocestatretâpočatkovokrajovazadačadlâvídpovídnogopsevdodiferencíalʹnogorívnânnâ AT portenkomí simetričnijastíjkijvipadkovijprocestatretâpočatkovokrajovazadačadlâvídpovídnogopsevdodiferencíalʹnogorívnânnâ |