On the construction of solutions of linear differential equations according to given sequences
We consider the problem under what conditions the equation $f\prime \prime + Af = 0$ possesses an entire (meromorphic) solution with given sequences of zeros (poles) and critical points. The results are extended to equations of higher orders.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1793 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507657263120384 |
|---|---|
| author | Shavala, O. V. Шавала, О. В. |
| author_facet | Shavala, O. V. Шавала, О. В. |
| author_sort | Shavala, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:39Z |
| description | We consider the problem under what conditions the equation $f\prime \prime + Af = 0$ possesses an entire (meromorphic) solution
with given sequences of zeros (poles) and critical points. The results are extended to equations of higher orders. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.7
О. В. Шавала (Дрогобиц. держ. пед. ун-т iм. I. Франка)
ПРО ПОБУДОВУ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
ПО ЗАДАНИХ ПОСЛIДОВНОСТЯХ
We consider the problem under what conditions the equation f \prime \prime + Af = 0 possesses an entire (meromorphic) solution
with given sequences of zeros (poles) and critical points. The results are extended to equations of higher orders.
Рассматривается вопрос, когда уравнение f \prime \prime +Af = 0 имеет целое (мероморфное) решение с заданными последо-
вательностями нулей (полюсов) и критических точек. Результаты распространены на уравнения высшего порядка.
Нехай \Lambda — послiдовнiсть рiзних комплексних чисел \lambda k з їхнiми кратностями pk \in \BbbN , яка не має
точок скупчення в \BbbC , i \mathrm{M} — послiдовнiсть рiзних комплексних чисел \mu k з їхнiми кратностями
qk \in \BbbN , яка не має точок скупчення в \BbbC . Зокрема, будемо розглядати окремi випадки \Lambda 1, коли
pk = 1, i \mathrm{M}1, коли qk = 1.
У статтi [1] доведено, що для будь-якої послiдовностi \Lambda 1 iснує цiла функцiя A така, що
рiвняння
f \prime \prime +Af = 0 (1)
має цiлий розв’язок f з нулями в точках \lambda k. Цей результат було розвинуто у кiлькох напрямках:
1. Якщо у рiвняннi (1) A — цiла чи аналiтична у крузi функцiя, то результати продовжено
у працях [2 – 6]. Слiд виокремити випадок [7 – 9], коли A — аналiтична у крузi функцiя, а
послiдовнiсть нулiв розв’язку задовольняє умову Бляшке.
2. Випадок, коли у рiвняннi (1) A є мероморфною функцiєю, розглянуто у роботах [10, 11].
3. Випадкок, коли у рiвняннi (1) A є цiлою функцiєю i f(\lambda k) = bk, де bk — послiдовнiсть
комплексних чисел, розглянуто у роботах [12, 13].
4. Для рiвняння вищого порядку — у статтi [14].
У роботi [1] було отримано також наступний результат.
Теорема А [1, с. 242]. Для довiльних послiдовностей \Lambda 1 та \mathrm{M}1 таких, що \lambda n \not = \mu k, n, k \in
\in \BbbN , iснує цiла функцiя A така, що рiвняння (1) має цiлий розв’язок f з нулями в точках \lambda k,
похiдна якого f \prime має нулi в точках \mu k.
Цей результат було розвинено в [7], де автор розглянув концецiю Бляшке-критичних рiвнянь,
тобто таких, коли послiдовнiсть нулiв f \prime ненульового розв’язку рiвняння (1) задовольняє умову
Бляшке.
Нашою метою є доведення такого твердження.
Теорема 1 [15]. Для довiльних послiдовностей \Lambda та \mathrm{M}, де pk > 1, \lambda n \not = \mu k, n, k \in \BbbN ,
iснує мероморфна функцiя A з полюсами другого порядку в точках \lambda k така, що рiвняння (1)
має цiлий розв’язок f з нулями в точках \lambda k кратностi pk, похiдна якого f \prime окрiм нулiв у точках
\lambda k має нулi в точках \mu k кратностi qk.
c\bigcirc О. В. ШАВАЛА, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10 1437
1438 О. В. ШАВАЛА
Проф. А. Кондратюк звернув увагу на те, щоб розглядати питання, коли рiвняння (1) має
розв’язок з заданою послiдовнiстю полюсiв. У цьому зв’язку одержано таке твердження.
Теорема 2. Для довiльних послiдовностей \Lambda та \mathrm{M} комплексних чисел, \lambda n \not = \mu k, n, k \in \BbbN ,
iснує мероморфна функцiя A з полюсами другого порядку в точках \lambda k така, що рiвняння (1)
має мероморфний розв’язок f без нулiв iз полюсами в точках \lambda k кратностi pk, похiдна якого
f \prime має нулi в точках \mu k кратностi qk.
Для доведення теореми 1 нам знадобиться така лема.
Лема 1 [1, с. 300 – 301; 16, с. 201]. Для будь-якої послiдовностi \Lambda 1 i для будь-якої послi-
довностi \{ ak\} комплексних чисел iснує цiла функцiя h така, що
h(\lambda k) = ak, k \in \BbbN .
Доведення теореми 1. Скористаємось деякими iдеями з працi [1, с. 239, 240]. Вiзьмемо
цiлу функцiю P з нулями в точках \lambda k кратностi pk. За теоремою Вейєрштрасса [17, с. 296]
така функцiя iснує. Нехай f = Peg, де g — цiла функцiя, яку знайдемо пiзнiше. Тодi f \prime =
= P \prime eg + Pg\prime eg,
f \prime /f = P \prime /P + g\prime .
Функцiя f \prime /f має простi полюси в точках \lambda k i нулi в точках \mu k кратностi qk. Позначимо
P \prime + Pg\prime = P1e
h, (2)
де h — цiла функцiя, яку знайдемо пiзнiше. Функцiя P1 має нулi в точках \lambda k кратностi pk - 1 i
нулi в точках \mu k кратностi qk. За теоремою Вейєрштрасса [17, с. 296] така функцiя iснує. З (2)
отримуємо
g\prime = (P1e
h - P \prime )/P. (3)
Функцiя g\prime є цiлою, якщо кожен нуль P є нулем P1e
h - P \prime . Але P \prime i P1 мають нулi в точках
\lambda k кратностi pk - 1. Тому
h(\lambda k) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\biggl(
P \prime
P1
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=\lambda k
, (4)
де \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} v = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | v| + i\theta , \theta = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} v \in [ - \pi ;\pi ). З леми 1 випливає, що така функцiя h iснує. Тодi з
(3) знаходимо g\prime ,
g(z) =
z\int
z0
P1e
h - P \prime
P
dz + g(z0) (5)
i з формули f = Peg знаходимо розв’язок рiвняння (1). Таким чином, з рiвностi A = - f \prime \prime /f
одержуємо, що A — мероморфна функцiя з полюсами другого порядку в точках \lambda k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ПРО ПОБУДОВУ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1439
Приклад 1. Нехай f = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 z. Тодi f \prime = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2z i f є розв’язком рiвняння (1), де A =
= 2 - 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}2 z.
Для доведення теореми 2 скористаємось методом доведення теореми 1. Коротко зазначимо
лише деякi етапи доведення. Нехай f = Peg, де P = 1/ \~P , \~P — цiла функцiя з нулями в точках
\lambda k кратностi pk, g — цiла функцiя, яку знаходимо пiзнiше. Тодi з рiвностi (2) отримаємо, що
функцiя P1 має полюси в точках \lambda k кратностi pk+1 i нулi в точках \mu k кратностi qk. З рiвностi
(3) бачимо, що функцiя g\prime є цiлою, якщо виконується (4). Тодi шуканий мероморфний розв’язок
має вигляд f = Peg, де g знаходимо з (5). Таким чином, з формули A = - f \prime \prime /f одержуємо,
що A — мероморфна функцiя з полюсами другого порядку в точках \lambda k.
Приклад 2. Нехай f = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} - 2 z. Тодi f \prime = - 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} - 3 z \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z i f є розв’язком рiвняння (1), де
A = - 2 - 6 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}2 z.
Аналогiчно, використовуючи метод доведення теореми 1, можна отримати наступний ре-
зультат.
Теорема 3. Для довiльних послiдовностей \Lambda 1 та \mathrm{M} комплексних чисел таких, що \lambda n \not = \mu k,
n, k \in \BbbN , iснує мероморфна функцiя A з полюсами n-го порядку в точках \lambda k така, що рiвняння
f (n) +Af = 0
має розв’язок f такий, що f1/\alpha , \alpha \in \BbbR \setminus \{ 0, 1, 2, . . . , n - 1\} , є цiлою функцiєю з простими
нулями в точках \lambda k, похiдна якого f \prime має нулi в точках \mu k кратностi qk.
При доведеннi будемо вважати, що шуканий розв’язок має вигляд f = Q\alpha eg = Peg, де Q
— цiла функцiя з простими нулями в точках \lambda k, i у формулi (2) P1 = Q\alpha - 1
1 P2, де функцiя Q1
має простi нулi в точках \lambda k, а P2 — нулi в точках \mu k кратностi qk.
Лiтература
1. Šeda V. O niektorých vlastnostiach riešeni diferenciálnej rovnice y\prime \prime = Q(z)y, Q(z) \not \equiv 0 je celá funkcia // Acta Fac.
rerum. natur. Univ. comen. Math. – 1959. – 4. – P. 223 – 253.
2. Bank S. A note on the zero-sequences of solutions of linear differential equations // Results Math. – 1988. – 13. –
P. 1 – 11.
3. Heittokangas J., Laine I. Solutions of f \prime \prime + A(z)f = 0 with prescribed sequences of zeros // Acta Math. Univ.
Comenian. – 2005. – 74, № 2. – P. 287 – 307.
4. Sauer A. A note on the zero-sequences of solutions of f \prime \prime +Af = 0 // Proc. Amer. Math. Soc. – 1997. – 125, № 4. –
P. 1143 – 1147.
5. Grohn J. On non-normal solutions of linear differential equations, available at: https://arxiv.org/pdf/1602.00161.pdf
6. Chyzhykov I., Sheparovych I. Interpolation of analytic functions of moderate growth in the unit disc and zeros of
solutions of a linear differential equation, available at: http://arxiv.org/pdf/1401.0797.pdf
7. Heittokangas J. A survey on Blaschke-oscillatory differential equations, with updates // Blaschke Products and their
Applications / Eds J. Mashreghi, E. Fricain. – Springer, 2013. – P. 43 – 98.
8. Heittokangas J. Solutions of f \prime \prime + A(z)f = 0 in the unit disk having Blaschke sequences as the zeros // Comput.
Methods and Funct. Theory. – 2005. – 5, № 1. – P. 49 – 63.
9. Шавала О. Про голоморфнi розв’язки рiвняння f \prime \prime + a0f = 0, нулi яких задовольняють умову Бляшке // Мат.
студ. – 2007. – 28, № 2. – P. 213 – 216.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1440 О. В. ШАВАЛА
10. Винницкий Б., Шавала Е. О последовательностях нулей голоморфных решений линейных дифференциальных
уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. – 2008. – 44, № 10. – P. 1306 – 1310.
11. Шавала О. Про послiдовностi нулiв голоморфних розв’язкiв лiнiйних диференцiальних рiвнянь // ХII мiжнар.
наук. конф. iм. акад. М. Кравчука: Тези доп. – Київ, 2008. – Т. 1. – С. 437.
12. Vynnyts’kyi B., Shavala O. Remarks on Šeda theorem // Acta Math. Univ. Comenian. – 2012. – 81, № 1. – P. 55 – 59.
13. Vynnyts’kyi B., Shavala O. On interpolation properties of entire solutions of the equation f \prime \prime + a0f = 0 // Int. Conf.
“Complex Analysis and Related Topics”: Abstrs. – Lviv, 2013. – P. 90 – 91.
14. Шавала О. Про деякi властивостi мероморфних розв’язкiв лiнiйного диференцiального рiвняння третього
порядку // Всеукр. наук. конф. „Сучаснi проблеми теорiї ймовiрностей та математичного аналiзу”: Тези доп. –
Iвано-Франкiвськ, 2016. – С. 147 – 148.
15. Shavala O. On the sequences of zeros and critical points of entire solutions of the equation f \prime \prime + Af = 0 // Int. V.
Skorobohatko Math. Conf.: Abstrs. – Lviv, 2015. – Р. 148.
16. Гельфонд A. Исчисление конечных разностей. – M.: Наука, 1967.
17. Saks S., Zygmund A. Analytic functions. – Warszawa; Wroclaw: Nakladem Polsk. towarzystwa mat., 1952.
Одержано 24.03.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1793 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:48Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/16/4481d5bb3b233e63b67adc10f6d7e716.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17932019-12-05T09:26:39Z On the construction of solutions of linear differential equations according to given sequences Про побудову розв’язків лінійних диференціальних рівнянь по заданих послідовностях Shavala, O. V. Шавала, О. В. We consider the problem under what conditions the equation $f\prime \prime + Af = 0$ possesses an entire (meromorphic) solution with given sequences of zeros (poles) and critical points. The results are extended to equations of higher orders. Рассматривается вопрос, когда уравнение $f\prime \prime +Af = 0$ имеет целое (мероморфное) решение с заданными последо- вательностями нулей (полюсов) и критических точек. Результаты распространены на уравнения высшего порядка Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1793 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 10 (2017); 1437-1440 Український математичний журнал; Том 69 № 10 (2017); 1437-1440 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1793/775 Copyright (c) 2017 Shavala O. V. |
| spellingShingle | Shavala, O. V. Шавала, О. В. On the construction of solutions of linear differential equations according to given sequences |
| title | On the construction of solutions of linear differential equations according to given
sequences |
| title_alt | Про побудову розв’язків лінійних диференціальних рівнянь по заданих
послідовностях |
| title_full | On the construction of solutions of linear differential equations according to given
sequences |
| title_fullStr | On the construction of solutions of linear differential equations according to given
sequences |
| title_full_unstemmed | On the construction of solutions of linear differential equations according to given
sequences |
| title_short | On the construction of solutions of linear differential equations according to given
sequences |
| title_sort | on the construction of solutions of linear differential equations according to given
sequences |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1793 |
| work_keys_str_mv | AT shavalaov ontheconstructionofsolutionsoflineardifferentialequationsaccordingtogivensequences AT šavalaov ontheconstructionofsolutionsoflineardifferentialequationsaccordingtogivensequences AT shavalaov propobudovurozvâzkívlíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹpozadanihposlídovnostâh AT šavalaov propobudovurozvâzkívlíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹpozadanihposlídovnostâh |