Sharp Remez-type inequalities of various metrics in the classes of functions with а given comparison function
For any $p \in [1,\infty ],\; \omega > 0, \;\beta \in (0, 2\omega )$, and any measurable set $B \subset I_d := [0, d], \mu B \leq \beta$, we obtain the following sharp Remez-type inequality of various metrics $$E_0(x)\infty \leq \frac{\| \varphi \|_{\infty} }{E_0 (\varphi )L_p(I_{2\ome...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1796 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507659350835200 |
|---|---|
| author | Gaydabura, A. E. Kofanov, V. A. Гайдабура, А. Е. Кофанов, В. А. Гайдабура, А. Е. Кофанов, В. А. |
| author_facet | Gaydabura, A. E. Kofanov, V. A. Гайдабура, А. Е. Кофанов, В. А. Гайдабура, А. Е. Кофанов, В. А. |
| author_sort | Gaydabura, A. E. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:27:02Z |
| description | For any $p \in [1,\infty ],\; \omega > 0, \;\beta \in (0, 2\omega )$, and any measurable set $B \subset I_d := [0, d], \mu B \leq \beta$, we obtain the following sharp Remez-type inequality of various metrics
$$E_0(x)\infty \leq \frac{\| \varphi \|_{\infty} }{E_0 (\varphi )L_p(I_{2\omega} \setminus B_1)}\| x\|_{ L_p(I_d\setminus B)}$$
on the classes $S_{\varphi} (\omega )$ of $d$-periodic $(d \geq 2\omega)$ functions $x$ with a given sine-shaped $2\omega$ -periodic comparison function $\varphi$,
where $B_1 := [(\omega \beta )/2, (\omega + \beta )/2], E_0(f)L_p(G)$ is the best approximation of the function $f$ by constants in the
metric of the space $L_p(G)$. In particular, we prove sharp Remez-type inequalities of various metrics in the Sobolev spaces
of differentiable periodic functions. We also obtain inequalities of this type in the spaces of trigonometric polynomials and
splines. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. Е. Гайдабура, В. А. Кофанов (Днепропетр. нац. ун-т)
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА
НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ ФУНКЦИЕЙ СРАВНЕНИЯ
For any p \in [1,\infty ], \omega > 0, \beta \in (0, 2\omega ), and any measurable set B \subset Id := [0, d], \mu B \leq \beta , we obtain the following
sharp Remez-type inequality of various metrics
E0(x)\infty \leq \| \varphi \| \infty
E0(\varphi )Lp(I2\omega \setminus B1)
\| x\| Lp(Id\setminus B)
on the classes S\varphi (\omega ) of d-periodic (d \geq 2\omega ) functions x with a given sine-shaped 2\omega -periodic comparison function \varphi ,
where B1 := [(\omega - \beta )/2, (\omega + \beta )/2] and E0(f)Lp(G) is the best approximation of the function f by constants in the
metric of the space Lp(G). In particular, we prove sharp Remez-type inequalities of various metrics in the Sobolev spaces
of differentiable periodic functions. We also obtain inequalities of this type in the spaces of trigonometric polynomials and
splines.
Для довiльних p \in [1,\infty ], \omega > 0, \beta \in (0, 2\omega ), i будь-якої вимiрної множини B \subset Id := [0, d], \mu B \leq \beta , отримано
точну нерiвнiсть рiзних метрик типу Ремеза
E0(x)\infty \leq \| \varphi \| \infty
E0(\varphi )Lp(I2\omega \setminus B1)
\| x\| Lp(Id\setminus B)
на класах S\varphi (\omega ) d-перiодичних функцiй x (d \geq 2\omega ), що мають задану синусоподiбну 2\omega -перiодичну функцiю
порiвняння \varphi , де B1 := [(\omega - \beta )/2, (\omega + \beta )/2], E0(f)Lp(G) — найкраще наближення функцiї f константами в
метрицi простору Lp(G).
Як наслiдок отримано точнi нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза на соболєвських класах диференцiйовних
перiодичних функцiй та на просторах тригонометричних полiномiв i полiномiальних сплайнiв.
1. Введение. Пусть G \subset \bfR . Будем рассматривать пространства Lp(G), 1 \leq p \leq \infty , всех
измеримых функций x : G \rightarrow \bfR , для которых \| x\| Lp(G) < \infty , где
\| x\| Lp(G) :=
\left\{
\left( \int
G
| x(t)| pdt
\right) 1/p
, если 1 \leq p < \infty ,
\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in G
| x(t)| , если p = \infty .
Пусть d > 0, Id — окружность, реализованная в виде отрезка [0, d] с отождествленными
концами. Для r \in \bfN , G = \bfR , или G = Id, через Lr
\infty (G) обозначим пространство всех функций
x \in L\infty (G), имеющих локально абсолютно непрерывные производные до (r - 1)-го порядка и
таких, что x(r) \in L\infty (G). Для таких G вместо \| x\| L\infty (G) будем писать \| x\| \infty .
Будем говорить, что f \in L1
\infty (\bfR ) является функцией сравнения для x \in L1
\infty (\bfR ), если
существует такое \alpha \in \bfR , что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
x(t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
f(t) + \alpha , \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
x(t) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
f(t) + \alpha ,
и из равенства x(\xi ) = f(\eta ) + \alpha , где \xi , \eta \in \bfR , следует неравенство
\bigm| \bigm| x\prime (\xi )\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| f \prime (\eta )
\bigm| \bigm| , если
указанные производные существуют.
c\bigcirc А. Е. ГАЙДАБУРА, В. А. КОФАНОВ, 2017
1472 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ . . . 1473
Нечетную 2\omega -периодическую функцию \varphi \in L1
\infty (I2\omega ) будем называть S -функцией, если
она имеет следующие свойства: \varphi является четной относительно \omega /2, | \varphi | — выпуклая вверх
на [0, \omega ] и строго монотонная на [0, \omega /2].
Для 2\omega -периодической S -функции \varphi через S\varphi (\omega ) обозначим класс функций x из про-
странства L1
\infty (\bfR ), для которых \varphi является функцией сравнения. Отметим, что классы S\varphi (\omega )
рассматривались в работах [1, 2]. Примерами классов S\varphi (\omega ) являются соболевские классы\bigl\{
x \in Lr
\infty (\bfR ) : \| x\| \infty \leq A0, \| x(r)\| \infty \leq Ar
\bigr\}
,
а также ограниченные подмножества пространства Tn (тригонометрических полиномов поряд-
ка не выше n) и пространства Sn,r
\bigl(
сплайнов порядка r дефекта 1 с узлами в точках k\pi /n,
k \in \bfZ
\bigr)
.
В теории аппроксимации полиномами важную роль играют неравенства типа Ремеза
\| T\| L\infty (I2\pi )
\leq C(n, \beta ) \| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (1)
на классе Tn, где B - произвольное измеримое по Лебегу множество B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta \in
\in (0, 2\pi ).
Начало этой тематике положила работа [3] Ремеза, в которой он нашел точную константу
в неравенстве вида (1) для алгебраических многочленов. В неравенстве Ремеза экстремальным
является многочлен Чебышева 1-го рода. Точная константа в неравенстве (1) для тригономет-
рических полиномов неизвестна. В ряде работ получены двусторонние оценки для точных кон-
стант C(n, \beta ). Кроме того, известно асимптотическое поведение констант C(n, \beta ) при \beta \rightarrow 2\pi
[4] и \beta \rightarrow 0 [5]. Подробную библиографию работ по данной тематике можно найти в [4 – 7]. В
работе [5] доказано неравенство
\| T\| L\infty (I2\pi ) \leq
\biggl(
1 + 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
n\beta
4m
\biggr)
\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (2)
для произвольного полинома T \in Tn, имеющего минимальный период 2\pi /m, и любого измери-
мого по Лебегу множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , где \beta \in (0, 2\pi m/n). Равенство в (2) достигается
для полинома T (t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nx +
1
2
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta /2). Этот результат был обобщен в [8], где для лю-
бой d-периодической функции x \in S\varphi (\omega ) (\varphi - заданная функция сравнения) и произвольного
измеримого по Лебегу множества B \subset Id, \mu B \leq \beta , доказаны неравенства
\| x\| \infty \leq
3\| \varphi \| \infty - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
\| \varphi \| \infty + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B) (3)
и
E0(x)\infty \leq 2\| \varphi \| \infty
\| \varphi \| \infty + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B) . (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1474 А. Е. ГАЙДАБУРА, В. А. КОФАНОВ
Здесь E0(x)\infty — наилучшее равномерное приближение константами функции x. Неравен-
ства (3) и (4) являются точными на классе S\varphi (\omega ) и обращаются в равенство для функции
x(t) = \varphi (t) +
1
2
\biggl(
\| \varphi \| \infty - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr)
.
В настоящей работе получено дальнейшее обобщение неравенства (4). Для произвольных
p \in [1,\infty ], \omega > 0, \beta \in (0, 2\omega ), и измеримого множества B \subset Id, \mu B \leq \beta , доказано точное
неравенство разных метрик типа Ремеза
E0(x)\infty \leq \| \varphi \| \infty
E0(\varphi )Lp(I2\omega \setminus B1)
\| x\| Lp(Id\setminus B)
на классах S\varphi (\omega ) d-периодических функций x с заданной функцией сравнения \varphi , где B1 :=
:=
\bigl[
(\omega - \beta )/2, (\omega +\beta )/2
\bigr]
, E0(\varphi )Lp(I2\omega \setminus B1) - наилучшее приближение функции \varphi константами
в метрике пространства Lp(I2\omega \setminus B1) (теорема 1). Как следствие получены точные неравен-
ства разных метрик типа Ремеза на соболевских классах дифференцируемых периодических
функций (теорема 2), а также на классах Tn тригонометрических полиномов (теорема 3) и
пространствах Sn,r периодических полиномиальных сплайнов (теорема 4).
2. Основная лемма. Пусть \alpha , y > 0. Для 2\omega -периодической S -функции \varphi положим
E\alpha
y :=
\bigl\{
t \in I2\omega : | \varphi (t) + \alpha | > y
\bigr\}
. (5)
Ясно, что для \beta \in (0, 2\omega ) существует единственное число y = y(\beta ), удовлетворяющее условию
\mu E\alpha
y(\beta ) = \beta , (6)
где \mu — мера Лебега.
Лемма 1. Пусть p принадлежит [1,\infty ]. Для любой 2\omega -периодической S -функции \varphi и
\beta \in (0, 2\omega ) справедливо соотношение
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\alpha >0
\left\{
\int
I2\omega \setminus E\alpha
y(\beta )
| \varphi (t) + \alpha | pdt
\right\}
1/p
= E0(\varphi )Lp(I2\omega \setminus B1),
где B1 :=
\biggl[
\omega - \beta
2
,
\omega + \beta
2
\biggr]
.
Доказательство. Достаточно провести для p < \infty . Не ограничивая общности можно
считать, что
\| \varphi \| \infty = 1. (7)
Рассмотрим функцию
f(\alpha ) :=
\int
I2\omega \setminus E\alpha
y(\beta )
| \varphi (t) + \alpha | pdt
и покажем, что \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
f(\alpha ) : \alpha > 0
\bigr\}
достигается в промежутке
M\beta :=
\biggl[
1
2
\biggl(
1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr)
, 1
\biggr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ . . . 1475
Для этого рассмотрим два случая: \alpha \in
\biggl(
0,
1
2
\biggl(
1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr) \biggr)
и \alpha > 1 и докажем, что в
обоих случаях
f(\alpha ) \geq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
f(\alpha ) : \alpha \in M\beta
\bigr\}
. (8)
Пусть сначала \alpha <
1
2
\biggl(
1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr)
, т. е. \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+ \alpha < 1 - \alpha . В этом случае
существуют такие числа u, v > 0, u+ v = \beta , v \geq u, что
\varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr)
+ \alpha = -
\biggl(
\varphi
\biggl(
- \omega + u
2
\biggr)
+ \alpha
\biggr)
,
и, вследствие четности функции \varphi относительно точек \pm \omega
2
, имеем
I2\omega \setminus E\alpha
y(\beta ) =
\biggl[
\omega - v
2
,
\omega + v
2
\biggr] \bigcup \biggl[
- \omega - u
2
,
- \omega + u
2
\biggr]
.
Через c = c(\alpha ) обозначим единственный нуль функции \varphi (t) + \alpha в промежутке [ - \omega /2, \omega /2].
Не ограничивая общности можно считать, что \varphi возрастает в этом промежутке. Тогда
1
2
f(\alpha ) =
c\int
( - \omega +u)/2
| \varphi (t) + \alpha | pdt+
(\omega - v)/2\int
c
\bigm| \bigm| \varphi (t) + \alpha
\bigm| \bigm| pdt,
где u = u(\alpha ), v = v(\alpha ), причем u(\alpha )+v(\alpha ) = \beta , а \beta является фиксированным. Следовательно,
1
2
f \prime (\alpha ) = - p
c\int
( - \omega +u)/2
| \varphi (t) + \alpha | p - 1dt+ p
(\omega - v)/2\int
c
| \varphi (t) + \alpha | p - 1dt+
+c\prime (\alpha )| \varphi (c) + \alpha | p - 1
2
u\prime (\alpha )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \biggl( - \omega + u
2
\biggr)
+ \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p -
- 1
2
v\prime (\alpha )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \biggl( \omega - v
2
\biggr)
+ \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p - c\prime (\alpha )| \varphi (c) + \alpha | p.
Так как
\varphi (c) + \alpha = 0,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \biggl( - \omega + u
2
\biggr)
+ \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \biggl( \omega - v
2
\biggr)
+ \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , u\prime (\alpha ) + v\prime (\alpha ) = 0
(последнее равенство слдует из тождества u(\alpha ) + v(\alpha ) = \beta ), то
1
2p
f \prime (\alpha ) = -
c\int
( - \omega +u)/2
| \varphi (t) + \alpha | p - 1dt+
(\omega - v)/2\int
c
| \varphi (t) + \alpha | p - 1dt.
Поскольку функция \varphi выпукла вверх на [0, \omega ] и нечетна, то для точек
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1476 А. Е. ГАЙДАБУРА, В. А. КОФАНОВ
t1 \in
\biggl(
- \omega + u
2
, c
\biggr)
, t2 \in
\biggl(
c,
\omega - v
2
\biggr)
,
удовлетворяющих условию \bigm| \bigm| \varphi (t1) + \alpha
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \varphi (t2) + \alpha
\bigm| \bigm| ,
выполнено неравенство \bigm| \bigm| \varphi \prime (t1)
\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \varphi \prime (t2)
\bigm| \bigm| .
Поэтому, принимая во внимание равенство\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \biggl( - \omega + u
2
\biggr)
+ \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \biggl( \omega - v
2
\biggr)
+ \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
заключаем, что
c - - \omega + u
2
\geq \omega - v
2
- c
и
c\int
( - \omega +u)/2
\bigm| \bigm| \varphi (t) + \alpha
\bigm| \bigm| p - 1
dt \geq
(\omega - v)/2\int
c
\bigm| \bigm| \varphi (t) + \alpha
\bigm| \bigm| p - 1
dt.
Таким образом, f \prime (\alpha ) \leq 0 для \alpha \in
\biggl(
0,
1
2
\biggl(
1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr) \biggr)
и неравенство (8) в этом случае
доказано.
Пусть теперь \alpha > 1. Тогда \varphi (t) + \alpha > 0 для всех t \in \bfR в силу (7), причем функция
gt(\alpha ) := \varphi (t) + \alpha строго возрастает по переменной \alpha при каждом фиксированном t. Поэтому
функция f(\alpha ) также строго возрастает и не может достигать минимума при \alpha > 1. Тем
самым (8) полностью доказано.
Итак, функция f(\alpha ) достигает минимума в промежутке M\beta . В этом случае
E\alpha
y(\beta ) =
\biggl[
\omega - \beta
2
,
\omega + \beta
2
\biggr]
=: B1
и
1
2
f(\alpha ) =
c\int
- \omega /2
| \varphi (t) + \alpha | pdt+
(\omega - \beta )/2\int
c
| \varphi (t) + \alpha | pdt,
где c = c(\alpha ) — единственный нуль \varphi (t) + \alpha в промежутке [ - \omega /2, \omega /2]. Предполагая, как и
раньше, что \varphi возрастает в этом промежутке, имеем
1
2
f \prime (\alpha ) = - p
c\int
- \omega /2
| \varphi (t) + \alpha | p - 1dt+ p
(\omega - \beta )/2\int
c
| \varphi (t) + \alpha | p - 1dt. (9)
Ясно, что при возрастании \alpha \in M\beta величина c = c(\alpha ) убывает. При этом модуль первого
интеграла в (9) уменьшает, а модуль второго — увеличивает. Кроме того, очевидно, что f \prime (1) > 0
и ранее было доказано неравенство
f \prime
\biggl(
1
2
\biggl(
1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr) \biggr)
\leq 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ . . . 1477
Следовательно, минимум функции f(\alpha ) достигается в точке \alpha \in M\beta , удовлетворяющей усло-
вию
(\omega - \beta )/2\int
- \omega /2
| \varphi (t) + \alpha | p - 1\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\varphi (t) + \alpha )dt = 0, (10)
которое можно записать в виде\int
I2\omega \setminus B1
| \varphi (t) + \alpha | p - 1\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\varphi (t) + \alpha )dt = 0.
Из последнего равенства в силу критерия элемента наилучшего приближения в метрике про-
странства Lp следует утверждение леммы.
Замечание 1. При p = 1 условие (10) принимает вид
c+
\omega
2
=
\omega - \beta
2
- c,
где c — нуль функции \varphi (t) + \alpha в промежутке [ - \omega /2, - \omega /2]. Отсюда c = - \beta /4 и \alpha =
= - \varphi ( - \beta /4) = \varphi (\beta /4). Таким образом,
E0(\varphi )L1(I2\omega \setminus B1) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi + \varphi
\biggl(
\beta
4
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1(I2\omega \setminus B1)
. (11)
Кроме того, очевидно, что
E0(\varphi )L\infty (I2\omega \setminus B1) =
1
2
\biggl(
\| \varphi \| \infty + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr)
. (12)
3. Неравенства разных метрик типа Ремеза на классах функций с заданной функ-
цией сравнения. Для функции f \in L1(Id) через m(f, y), y > 0, обозначим ее функцию
распределения, определяемую равенством
m(f, y) := \mu
\bigl\{
t \in Id : | f(t)| > y
\bigr\}
, (13)
и пусть r(f, t) — убывающая перестановка (см., например, [9], §1.3) сужения функции | f | на
[0, d]. Положим r(f, t) = 0 для t > d.
Теорема 1. Пусть p \in [1,\infty ], \varphi — S -функция с периодом 2\omega , \beta \in (0, 2\omega ). Для любой
d-периодической функции x \in S\varphi (\omega ) и измеримого множества B \subset Id, \mu B \leq \beta , имеет место
неравенство
E0(x)\infty \leq \| \varphi \| \infty
E0(\varphi )Lp(I2\omega \setminus B1)
\| x\| LLp (Id\setminus B) , (14)
где B1 :=
\biggl[
\omega - \beta
2
,
\omega + \beta
2
\biggr]
.
Неравенство (14) является точным и обращается в равенство для функции x(t) = \varphi (t) -
- \alpha p(\varphi ,B1) и множества B = B1, где \alpha p(\varphi ,B1) — константа наилучшего приближения
функции \varphi в метрике пространства Lp(I2\omega \setminus B1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1478 А. Е. ГАЙДАБУРА, В. А. КОФАНОВ
Доказательство. Зафиксируем d-периодическую функцию x \in S\varphi (\omega ). Вследствие од-
нородности неравенства (14) можно считать, что E0(x)\infty = 1, а поскольку \varphi является S -
функцией, то
E0(x)\infty = \| \varphi \| \infty = 1. (15)
При этом существует такое \alpha \in \bfR , что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
x(t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
\varphi (t) + \alpha = 1 + \alpha , \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
x(t) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
\varphi (t) + \alpha = \alpha - 1.
Переходя, если нужно, к функции - x, можем считать в силу (15), что \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ x(t) : t \in \bfR \} \geq 1.
Тогда \alpha \geq 0.
Пусть для определенности функция \varphi возрастает на
\Bigl[
- \omega
2
,
\omega
2
\Bigr]
. Для \tau \in \bfR положим x\tau (t) :=
:= x(\tau + t), t \in \bfR . Выберем \tau 1, \tau 2 \in \bfR так, чтобы
x\tau 1
\Bigl( \omega
2
\Bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
x(t) = 1 + \alpha , x\tau 2
\Bigl(
- \omega
2
\Bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
x(t) = \alpha - 1.
Так как \varphi является функцией сравнения для x, то
(x\tau 1(t))+ \geq (\varphi (t) + \alpha )+
\bigm| \bigm| \bigm| t - \omega
2
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \omega , (16)
и
(x\tau 2(t)) - \geq (\varphi (t) + \alpha ) - ,
\bigm| \bigm| \bigm| t+ \omega
2
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \omega , (17)
где u\pm := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \pm u, 0\} . Отметим, что из (16) и (17), в частности, следует соотношение d \geq 2\omega ,
и кроме того, неравенства
m(x\pm , y) \geq m((\varphi (\cdot ) + \alpha )\pm , y), y \geq 0,
где функция m(f, y) определена соотношением (13). Поэтому
m(x, y) \geq m
\bigl(
\varphi (\cdot ) + \alpha , y
\bigr)
, y \geq 0,
откуда непосредственно следует, что
r(x, t) \geq r
\bigl(
\varphi (\cdot ) + \alpha , t
\bigr)
, t \geq 0. (18)
Заметим, что для любого измеримого множества B \subset Id, \mu B \leq \beta , имеет место неравенство
\int
B
| x(t)| pdt \leq
\beta \int
0
rp(x, t)dt,
а так как перестановка сохраняет Lp-норму функции, то
\| x\| pLp(Id\setminus B) =
\int
Id
| x(t)| pdt -
\int
B
| x(t)| pdt \geq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ . . . 1479
\geq
d\int
0
rp(x, t)dt -
\beta \int
0
rp(x, t)dt =
d\int
\beta
rp(x, t)dt.
Отсюда, принимая во внимание неравенство (18) и соотношение d \geq 2\omega , получаем
\| x\| pLp(Id\setminus B) \geq
2\omega \int
\beta
rp(\varphi (\cdot ) + \alpha , t)dt =
\int
I2\omega \setminus E\alpha
y(\beta )
| \varphi (t) + \alpha | pdt,
где E\alpha
y(\beta ) определено равенствами (5), (6). Теперь, применяя лемму 1, заключаем, что для
любого измеримого множества B, \mu B \leq \beta , выполнено неравенство
\| x\| Lp(Id\setminus B) \geq E0(\varphi )Lp(I2\omega \setminus B1),
из которого в силу (15) непосредственно следует (14).
Теорема 1 доказана.
Учитывая замечания к лемме 1, получаем такое следствие.
Следствие 1. В условиях теоремы 1 выполнены точные на классе S\varphi (\omega ) неравенства
E0(x)\infty \leq \| \varphi \| \infty \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi + \varphi
\biggl(
\beta
4
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1(I2\omega \setminus B1)
\| x\| L1(Id\setminus B) ,
и
E0(x)\infty \leq 2\| \varphi \| \infty
\| \varphi \| \infty + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B) .
Последнее неравенство было доказано в [8].
4. Неравенства разных метрик типа Ремеза на классах дифференцируемых периодичес-
ких функций. Символом \varphi r(t), r \in \bfN , обозначим сдвиг r-го 2\pi -периодического интеграла с
нулевым средним значением на периоде от функции \varphi 0 (t) = \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, удовлетворяющий усло-
вию \varphi r(0) = 0. Для \lambda > 0 положим \varphi \lambda ,r (t) := \lambda - r\varphi r(\lambda t). Ясно, что сплайн \varphi \lambda ,r (t) является
S -функцией с периодом 2\pi /\lambda . Пусть далее Kr := \| \varphi r\| \infty - константа Фавара.
Теорема 2. Пусть r \in \bfN , p \in [1,\infty ], \beta \in (0, 2\pi ). Тогда для любой функции x \in Lr
\infty (I2\pi )
и произвольного измеримого множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta /\lambda , где \lambda =
\Biggl(
Kr
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \infty
E0(x)\infty
\Biggr) 1/r
,
имеет место неравенство
E0(x)\infty \leq \| \varphi r\| \infty
E0(\varphi r)\alpha Lp(I2\pi \setminus B1)
\| x\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)\| x
(r)\| 1 - \alpha
\infty , (19)
где \alpha =
r
r + 1/p
, B1 :=
\biggl[
\pi - \beta
2
,
\pi + \beta
2
\biggr]
.
Неравенство (19) является точным и обращается в равенство для функции x(t) = \varphi r(t) -
- \alpha p(\varphi r, B1) и множества B = B1, где \alpha p(\varphi r, B1) — константа наилучшего приближения
функции \varphi в метрике пространства Lp(I2\pi \setminus B1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1480 А. Е. ГАЙДАБУРА, В. А. КОФАНОВ
Доказательство. Зафиксируем функцию x \in Lr
\infty (\bfR ). Вследствие однородности неравен-
ства (19) можно считать, что \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \infty = 1. (20)
Выберем \lambda из условия
E0(x)\infty = \| \varphi \lambda ,r\| \infty , (21)
т. е. \lambda =
\Biggl(
Kr
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \infty
E0(x)\infty
\Biggr) 1/r
. Тогда в силу теоремы сравнения Колмогорова [10] функция \varphi :=
:= \varphi \lambda ,r является функцией сравнения для функции x и, следовательно, x \in S\varphi
\Bigl( \pi
\lambda
\Bigr)
. В силу
теоремы 1 выполнено неравенство
E0(x)\infty \leq
\| \varphi \lambda ,r\| \infty
E0(\varphi \lambda ,r)Lp(I2\pi /\lambda \setminus
B1
\lambda
)
\| x\| Lp(I2\pi \setminus B).
Из этого неравенства и соотношения (21) следует, что
\| x\| Lp(I2\pi \setminus B) \geq E0(\varphi \lambda ,r)Lp(I2\pi /\lambda \setminus
B1
\lambda
)
.
Комбинируя последнее неравенство и равенство (21), а также применяя очевидные соотноше-
ния
\| \varphi \lambda ,r\| \infty = \lambda - r\| \varphi r\| \infty , E0(\varphi \lambda ,r)Lp(I2\pi /\lambda \setminus \lambda - 1B1) = \lambda - (r+1/p)E0(\varphi r)Lp(I2\pi ,\setminus B1)
и учитывая определение \lambda , получаем
E0(x)\infty
\| x\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\leq
\| \varphi \lambda ,r\| \infty
E0(\varphi \lambda ,r)
\alpha
Lp(I2\pi /\lambda \setminus \lambda - 1B1)
=
\| \varphi r\| \infty
E0(\varphi r)\alpha Lp(I2\pi ,\setminus B1)
.
Отсюда в силу (20) следует (19).
Теорема 2 доказана.
Замечание 2. При \beta = 0 неравенство (19) было доказано в [11], а при p = \infty — в [8].
Применяя неравенство Колмогорова [10]
\| x(k)\| \infty \leq \| \varphi r - k\| \infty
\biggl(
E0(x)\infty
\| \varphi r\| \infty
\biggr) (r - k)/r \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| k
r
\infty ,
а затем оценивая E0(x)\infty с помощью неравенства (19), получаем следующее неравенство типа
Колмогорова – Ремеза.
Следствие 2. В условиях теоремы 2 для любого k \in \bfN , k < r, имеет место неравенство\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\| \infty \leq \| \varphi r - k\| \infty
E0(\varphi r)\alpha Lp(I2\pi \setminus B1)
\| x\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty , (22)
где \alpha =
r - k
r + 1/p
, B1 :=
\biggl[
\pi - \beta
2
,
\pi + \beta
2
\biggr]
.
Неравенство (22) является точным и обращается в равенство для той же функции и того
же множества, что и неравенство (19).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ . . . 1481
Замечание 3. При \beta = 0 неравенство (20) было доказано в [12], а при p = \infty — в [8].
Учитывая замечание 1, из неравенств (19) и (20) получаем такое следствие.
Следствие 3. В условиях теоремы 2 выполнены точные на классе Lr
\infty (I2\pi ) неравенства
E0(x)\infty \leq \| \varphi r\| \infty
\Biggl(
\| x\| L1(I2\pi \setminus B)
\| \varphi r + \varphi r(
\beta
4 )\| L1(I2\pi \setminus B1)
\Biggr) r/(r+1)
\| x(r)\| 1/(r+1)
\infty ,
\| x(k)\| \infty \leq \| \varphi r - k\| \infty
\Biggl(
\| x\| L1(I2\pi \setminus B)
\| \varphi r + \varphi r(
\beta
4 )\| L1(I2\pi \setminus B1)
\Biggr) (r - k)/(r+1)
\| x(r)\| (k+1)(r+1)
\infty ,
а также неравенства
E0(x)\infty \leq 2\| \varphi r\| \infty
\| \varphi r\| \infty + \varphi r
\Bigl(
\pi - \beta
2
\Bigr) \| x\| L\infty (I2\pi \setminus B) ,
\| x(k)\| \infty \leq \| \varphi r - k\| \infty
\left( 2 \| x\| L\infty (I2\pi \setminus B)
\| \varphi r\| \infty + \varphi r
\Bigl(
\pi - \beta
2
\Bigr)
\right) (r - k)/r
\| x(r)\| k/r\infty ,
Последние два неравенства доказаны в [8].
5. Неравенства разных метрик типа Ремеза для тригонометрических полиномов. На-
помним, что Tn — пространство тригонометрических полиномов порядка не выше n.
Теорема 3. Пусть p \in [1,\infty ], n,m \in \bfN , m \leq n, \beta \in (0, 2\pi m/n). Если тригономет-
рический полином T \in Tn имеет минимальный период 2\pi /m, то для любого измеримого
множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , имеет место неравенство
E0(T )\infty \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1/p \| T\| Lp(I2\pi \setminus B)
E0(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ))Lp(I2\pi \setminus Bm
1 )
, (23)
где Bm
1 =
n - 1\bigcup
k=0
\biggl\{
Bm,n
1 +
2k\pi
n
\biggr\}
, Bm,n
1 =
\biggl[
1
2
\biggl(
\pi
n
- \beta
m
\biggr)
,
1
2
\biggl(
\pi
n
+
\beta
m
\biggr) \biggr]
.
Неравенство (23) является точным и обращается в равенство для полинома T (t) =
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt - \alpha p
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ), Bm
1
\bigr)
и множества B = Bm
1 , где \alpha p
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ), Bm
1
\bigr)
— константа наилуч-
шего приближения функции \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ) в метрике пространства Lp(I2\pi \setminus Bm
1 ).
Доказательство. Зафиксируем полином T \in Tn и пусть его минимальный период равен
2\pi
m
. Вследствие однородности (23) можно считать, что
E0(T )\infty = 1. (24)
Тогда полином \varphi (t) := \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt является функцией сравнения для полинома T (t) (см., например,
доказательство теоремы 8.1.1 из [13]). Ясно, что \varphi является S -функцией с периодом
2\pi
n
. Таким
образом, T \in S\varphi
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
.
В силу (24) существует такое \alpha \in \bfR , что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
T (t) = 1 + \alpha , \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
T (t) = \alpha - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1482 А. Е. ГАЙДАБУРА, В. А. КОФАНОВ
Переходя, если нужно, к полиному - T, можем считать согласно (24), что \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
T (t) : t \in \bfR
\bigr\}
\geq
\geq 1. Тогда \alpha \geq 0. Для \tau \in \bfR положим T\tau (t) := T (\tau + t), t \in \bfR . Выберем \tau 1, \tau 2 \in \bfR так,
чтобы
T\tau 1
\Bigl( \pi
2n
\Bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
T (t) = 1 + \alpha , T\tau 2
\Bigl(
- \pi
2n
\Bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
T (t) = \alpha - 1.
Поскольку \varphi является функцией сравнения для T, то
(T\tau 1(t))+ \geq (\varphi (t) + \alpha )+,
\bigm| \bigm| \bigm| t - \pi
2n
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \pi
n
, (25)
и
(T\tau 2(t)) - \geq (\varphi (t) + \alpha ) - ,
\bigm| \bigm| \bigm| t+ \pi
2n
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \pi
n
, (26)
где u\pm : = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \pm u, 0\} . Пусть T — сужение полинома T на [0, 2\pi /m], а \varphi — сужение \varphi
на [0, 2\pi /n]. Отметим, что из (25), (26) следует соотношение 2\pi /m \geq 2\pi /n, т. е. m \leq n, и
неравенство
m(T\pm , y) \geq m
\bigl(
(\varphi + \alpha )\pm , y
\bigr)
, y \geq 0,
где функция m(f, y) определена в (13). Следовательно,
m(T , y) \geq m(\varphi + \alpha , y), y \geq 0.
Отсюда непосредственно следует неравенство
r(T , t) \geq r(\varphi + \alpha , t), t \geq 0. (27)
Заметим далее, что для любого измеримого по Лебегу множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , имеет
место неравенство \int
B
| T (t)| pdt \leq
\beta \int
0
rp(T, t)dt,
а так как перестановка сохраняет Lp-норму функции, то
\| T\| pLp(I2\pi \setminus B) =
\int
I2\pi
| T (t)| pdt -
\int
B
| T (t)| pdt \geq
\geq
2\pi \int
0
rp(T, t)dt -
\beta \int
0
rp(T, t)dt =
2\pi \int
\beta
rp(T, t)dt.
Отсюда, учитывая 2\pi /m-периодичность полинома T и неравенство (27), получаем
\| T\| pLp(I2\pi \setminus B) \geq m
2\pi /m\int
\beta /m
rp(T , t)dt \geq
\geq m
2\pi /n\int
\beta /m
rp(\varphi + \alpha , t)dt = m
\int
I2\pi /n\setminus E\alpha
y(\beta )
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt+ \alpha | pdt, (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ . . . 1483
где
E\alpha
y :=
\bigl\{
t \in I2\pi /n : | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt+ \alpha | > y
\bigr\}
,
а y = y(\beta ) выбрано так, что \mu E\alpha
y(\beta ) =
\beta
m
. Применяя лемму 1, из (28) выводим
\| T\| pLp(I2\pi \setminus B) \geq mEp
0
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )
\bigr)
Lp(
2\pi
n
\setminus Bm,n
1 )
=
m
n
Ep
0
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )
\bigr)
Lp(2\pi \setminus Bm
1 )
.
Из последнего неравенства в силу (24) следует (23).
Теорема 3 доказана.
Учитывая равенства (11), (12), имеем
E0
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )
\bigr)
L1(2\pi \setminus Bm
1 )
= nE0
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )
\bigr)
L1(
2\pi
n
\setminus Bm,n
1 )
=
= n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ) + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\biggl(
\beta
4m
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1(
2\pi
n
\setminus Bm,n
1 ))
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ) + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\biggl(
\beta
4m
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1(I2\pi \setminus Bm
1 )
и
E0 (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ))L\infty (I2\pi \setminus Bm
1 )
=
1
2
\biggl(
1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\biggl(
\pi
2n
- \beta
2m
\biggr) \biggr)
= \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
\beta
4m
n.
Таким образом, получаем такое следствие.
Следствие 4. В условиях теоремы 3 выполнены точные на классе Tn неравенства
E0(T )\infty \leq n
m
\| T\| L1(I2\pi \setminus B)\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ) + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\beta
4m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1(I2\pi \setminus Bm
1 )
и
E0(T )\infty \leq
\biggl(
1 + \mathrm{t}\mathrm{g}2
n\beta
4m
\biggr)
\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) .
Последнее неравенство доказано в [8].
6. Неравенства разных метрик типа Ремеза для периодических полиномиальных
сплайнов. Пусть r, n \in \bfN . Напомним, что символом Sn,r обозначено пространство 2\pi -
периодических полиномиальных сплайнов порядка r дефекта 1 с узлами в точках k\pi /n, k \in \bfZ .
Ясно, что Sn,r \subset Lr
\infty (\bfR ).
Теорема 4. Пусть p \in [1,\infty ], r, n,m \in \bfN , m \leq n, \beta \in (0, 2\pi m/n). Если сплайн s \in Sn,r
имеет минимальный период 2\pi /m, то для любого измеримого множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta ,
имеет место неравенство
E0(s)\infty \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1/p \| \varphi n,r\| \infty
E0(\varphi n,r)Lp(I2\pi \setminus Bm
1 )
\| T\| Lp(I2\pi \setminus B), (29)
где Bm
1 =
n - 1\bigcup
k=0
\biggl\{
Bm,n
1 +
2k\pi
n
\biggr\}
, Bm,n
1 =
\biggl[
1
2
\biggl(
\pi
n
- \beta
m
\biggr)
,
1
2
\biggl(
\pi
n
+
\beta
m
\biggr) \biggr]
.
Неравенство (29) является точным и обращается в равенство для сплайна s(t) = \varphi n,r(t) -
- \alpha p(\varphi ,B
m
1 ) и множества B = Bm
1 , где \alpha p(\varphi n,r, B
m
1 ) — константа наилучшего приближения
сплайна \varphi n,r в метрике пространства Lp(I2\pi \setminus Bm
1 ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1484 А. Е. ГАЙДАБУРА, В. А. КОФАНОВ
Доказательство. Зафиксируем сплайн s \in Sn,r с минимальным периодом 2\pi /m. Вслед-
ствие однородности (29) можно считать, что
E0(s)\infty = \| \varphi n,r\| \infty . (30)
Тогда в силу неравенства Тихомирова [14]
\bigm\| \bigm\| s(r)\bigm\| \bigm\| \infty \leq E0(s)\infty
\| \varphi n,r\| \infty
= 1.
Следовательно, для сплайна s \in Lr
\infty (\bfR ) выполнены условия теоремы сравнения Колмогоро-
ва [10]. Согласно этой теореме, функция \varphi (t) := \varphi n,r(t) является функцией сравнения для
сплайна s. Ясно, что \varphi является S -функцией с периодом 2\pi /n. Таким образом, s \in S\varphi
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
.
В силу (30) существует такое \alpha \in \bfR , что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
s(t) = \| \varphi n,r\| \infty + \alpha , \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
s(t) = \alpha - \| \varphi n,r\| \infty .
Переходя, если нужно, к сплайну - s, можем считать в силу (30), что \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ s(t) : t \in \bfR \} \geq
\geq \| \varphi n,r\| \infty . Тогда \alpha \geq 0. Для \tau \in \bfR положим s\tau (t) := s(\tau + t), t \in \bfR . Выберем \tau 1, \tau 2 \in \bfR
так, чтобы
s\tau 1
\Bigl( \pi
2n
\Bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
s(t) = \| \varphi n,r\| \infty + \alpha , s\tau 2
\Bigl(
- \pi
2n
\Bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
s(t) = \alpha - \| \varphi n,r\| \infty .
Поскольку \varphi является функцией сравнения для s, то
(s\tau 1(t))+ \geq (\varphi (t) + \alpha )+,
\bigm| \bigm| \bigm| t - \pi
2n
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \pi
n
, (31)
и
(s\tau 2(t)) - \geq (\varphi (t) + \alpha ) - ,
\bigm| \bigm| \bigm| t+ \pi
2n
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \pi
n
, (32)
где u\pm := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \pm u, 0\} . Пусть s — сужение сплайна s на [0, 2\pi /m], а \varphi - сужение \varphi на
[0, 2\pi /n]. Отметим, что из (31), (32) следуют соотношение 2\pi /m \geq 2\pi /n, т. е. m \leq n, и
неравенство
m(s\pm , y) \geq m
\bigl(
(\varphi + \alpha )\pm , y
\bigr)
, y \geq 0,
Отсюда, повторяя рассуждения из доказательства теоремы 3, выводим неравенство
r(s, t) \geq r(\varphi + \alpha , t), t \geq 0,
а из него получаем
\| s\| pLp(I2\pi \setminus B) \geq m
\int
I2\pi /n\setminus E\alpha
y(\beta )
| \varphi n,r + \alpha | pdt, (33)
где
E\alpha
y :=
\bigl\{
t \in I2\pi /n : | \varphi n,r(t) + \alpha | > y
\bigr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ . . . 1485
а y = y(\beta ) выбрано так, что \mu E\alpha
y(\beta ) =
\beta
m
. Применяя к правой части (33) лемму 1, как и при
доказательстве теоремы 3, заключаем, что
\| s\| pLp(I2\pi \setminus B) \geq
m
n
Ep
0 (\varphi n,r)Lp(2\pi \setminus Bm
1 )
.
Из последнего неравенства в силу (30) следует (29).
Теорема 4 доказана.
Учитывая замечания к лемме 1, как и при доказательстве следствия 4, приходим к такому
утверждению.
Следствие 5. В условиях теоремы 4 выполнены точные на классе Sn,r неравенства
E0(s)\infty \leq n
m
\| \varphi n,r\| \infty \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi n,r(\cdot ) + \varphi n,r
\biggl(
\beta
4m
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1(I2\pi \setminus Bm
1 )
\| s\| L1(I2\pi \setminus B)
и
E0(s)\infty \leq 2\| \varphi n,r\| \infty
\| \varphi n,r\| \infty + \varphi n,r
\biggl(
\pi
2n
- \beta
2m
\biggr) \| s\| L\infty (I2\pi \setminus B) .
Последнее неравенство доказано в [8].
Литература
1. Bojanov B., Naidenov N. An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos // J.
Anal. Math. – 1999. – 78. – P. 263 – 280.
2. Кофанов В. А. Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной
функцией сранения // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 969 – 984.
3. Remes E. Sur une propriete еxtremale des polynomes de Tchebychef // Зап. наук.-дослiд. Iн-ту математики й
механiки та Харкiв. мат. тов-ства. – Харкiв: Харкiв. держ. ун-т, 1936.– 13, вип. 1. – С. 93 – 95.
4. Ganzburg M. I. On a Remez-type inequality for trigonometric polynomials // J. Approxim. Theory. – 2012. – 164. –
P. 1233 – 1237.
5. Nursultanov E., Tikhonov S. A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials // Constr. Approxim. – 2013. –
38. – P. 101 – 132.
6. Borwein P., Erdelyi T. Polynomials and polynomial inequalities. – New York: Springer, 1995.
7. Ganzburg M. I. Polynomial inequalities on measurable sets and their applications // Constr. Approxim. – 2001. –
17. – P. 275 – 306.
8. Кофанов В. А. Точные неравенства типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов
и сплайнов // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 2. – С. 227 – 240.
9. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. – Киев: Наук.
думка, 1992. – 304 с.
10. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на
бесконечном интервале // Избр. труды. Математика, механика.– М.: Наука, 1985.
11. Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Inequalities of Kolmogorov type and Some their applications in
approximation theory // Rend. Circ. Mat. Palermo. Ser. 2, Suppl. – 1998. – 52. – P. 223 – 237.
12. Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Inequalities for norms of intermediate derivatives of periodic functions
and their aplications // East J. Approxim. – 1997. – 3, № 3. – P. 351 – 376.
13. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
14. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближе-
ний // Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 3. – С. 81 – 120.
Получено 07.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1796 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:50Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fc/4c23b4ae94bc99301fca43b1e74012fc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17962019-12-05T09:27:02Z Sharp Remez-type inequalities of various metrics in the classes of functions with а given comparison function Точные неравенства разных метрик типа Ремеза на классах функций с заданной функцией сравнения Gaydabura, A. E. Kofanov, V. A. Гайдабура, А. Е. Кофанов, В. А. Гайдабура, А. Е. Кофанов, В. А. For any $p \in [1,\infty ],\; \omega > 0, \;\beta \in (0, 2\omega )$, and any measurable set $B \subset I_d := [0, d], \mu B \leq \beta$, we obtain the following sharp Remez-type inequality of various metrics $$E_0(x)\infty \leq \frac{\| \varphi \|_{\infty} }{E_0 (\varphi )L_p(I_{2\omega} \setminus B_1)}\| x\|_{ L_p(I_d\setminus B)}$$ on the classes $S_{\varphi} (\omega )$ of $d$-periodic $(d \geq 2\omega)$ functions $x$ with a given sine-shaped $2\omega$ -periodic comparison function $\varphi$, where $B_1 := [(\omega \beta )/2, (\omega + \beta )/2], E_0(f)L_p(G)$ is the best approximation of the function $f$ by constants in the metric of the space $L_p(G)$. In particular, we prove sharp Remez-type inequalities of various metrics in the Sobolev spaces of differentiable periodic functions. We also obtain inequalities of this type in the spaces of trigonometric polynomials and splines. Для довiльних $p \in [1,\infty ],\; \omega > 0, \;\beta \in (0, 2\omega )$, i будь-якої вимiрної множини $B \subset I_d := [0, d], \mu B \leq \beta$, отримано точну нерiвнiсть рiзних метрик типу Ремеза $$E_0(x)\infty \leq \frac{\| \varphi \|_{\infty} }{E_0 (\varphi )L_p(I_{2\omega} \setminus B_1)}\| x\|_{ L_p(I_d\setminus B)}$$ на класах $S_{\varphi} (\omega )$ $d$-перiодичних функцiй $x (d \geq 2\omega )$, що мають задану синусоподiбну $2\omega$ -перiодичну функцiю порiвняння $\varphi$ , де $B_1 := [(\omega \beta )/2, (\omega + \beta )/2], E_0(f)L_p(G)$ — найкраще наближення функцiї $f$ константами в метрицi простору $L_p(G)$. Як наслiдок отримано точнi нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза на соболєвських класах диференцiйовних перiодичних функцiй та на просторах тригонометричних полiномiв i полiномiальних сплайнiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1796 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 11 (2017); 1472-1485 Український математичний журнал; Том 69 № 11 (2017); 1472-1485 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1796/778 Copyright (c) 2017 Gaydabura A. E.; Kofanov V. A. |
| spellingShingle | Gaydabura, A. E. Kofanov, V. A. Гайдабура, А. Е. Кофанов, В. А. Гайдабура, А. Е. Кофанов, В. А. Sharp Remez-type inequalities of various metrics in the classes of functions with а given comparison function |
| title | Sharp Remez-type inequalities of various metrics in the classes
of functions with а given comparison function |
| title_alt | Точные неравенства разных метрик типа Ремеза на классах
функций с заданной функцией сравнения |
| title_full | Sharp Remez-type inequalities of various metrics in the classes
of functions with а given comparison function |
| title_fullStr | Sharp Remez-type inequalities of various metrics in the classes
of functions with а given comparison function |
| title_full_unstemmed | Sharp Remez-type inequalities of various metrics in the classes
of functions with а given comparison function |
| title_short | Sharp Remez-type inequalities of various metrics in the classes
of functions with а given comparison function |
| title_sort | sharp remez-type inequalities of various metrics in the classes
of functions with а given comparison function |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1796 |
| work_keys_str_mv | AT gaydaburaae sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricsintheclassesoffunctionswithagivencomparisonfunction AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricsintheclassesoffunctionswithagivencomparisonfunction AT gajdaburaae sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricsintheclassesoffunctionswithagivencomparisonfunction AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricsintheclassesoffunctionswithagivencomparisonfunction AT gajdaburaae sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricsintheclassesoffunctionswithagivencomparisonfunction AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricsintheclassesoffunctionswithagivencomparisonfunction AT gaydaburaae točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezanaklassahfunkcijszadannojfunkciejsravneniâ AT kofanovva točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezanaklassahfunkcijszadannojfunkciejsravneniâ AT gajdaburaae točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezanaklassahfunkcijszadannojfunkciejsravneniâ AT kofanovva točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezanaklassahfunkcijszadannojfunkciejsravneniâ AT gajdaburaae točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezanaklassahfunkcijszadannojfunkciejsravneniâ AT kofanovva točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezanaklassahfunkcijszadannojfunkciejsravneniâ |