Elliptic problems with boundary conditions of higher orders in Hörmander spaces
In a class of inner product H¨ormander spaces, we study a general elliptic problem for which the maximum order of the boundary conditions is not smaller than the order of the elliptic equation. The role of the order of regularity of these spaces is played by an arbitrary radial positive function $R_...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1797 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507660699303936 |
|---|---|
| author | Kasirenko, T. M. Murach, A. A. Касіренко, Т. М. Мурач, О. О. |
| author_facet | Kasirenko, T. M. Murach, A. A. Касіренко, Т. М. Мурач, О. О. |
| author_sort | Kasirenko, T. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:27:02Z |
| description | In a class of inner product H¨ormander spaces, we study a general elliptic problem for which the maximum order of the
boundary conditions is not smaller than the order of the elliptic equation. The role of the order of regularity of these spaces
is played by an arbitrary radial positive function $R_O$-varying at infinity in the sense of Avakumovi´c. We prove that the
operator of the problem under investigation is bounded and Fredholm on the appropriate pairs of the indicated H¨ormander
spaces. A theorem on isomorphism generated by this operator is proved. For the generalized solutions of this problem, we
establish a local a priori estimate and prove the theorem on the local regularity of these solutions in H¨ormander spaces. As
an application, we establish new sufficient conditions of continuity for the given generalized derivatives of the solutions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.223
Т. М. Касiренко (Iн-т математики НАН України, Київ),
О. О. Мурач (Iн-т математики НАН України, Київ, Чернiгiв. нац. пед. ун-т)
ЕЛIПТИЧНI ЗАДАЧI З КРАЙОВИМИ УМОВАМИ ВИСОКИХ ПОРЯДКIВ
У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА
In a class of inner product Hörmander spaces, we study a general elliptic problem for which the maximum order of the
boundary conditions is not smaller than the order of the elliptic equation. The role of the order of regularity of these spaces
is played by an arbitrary radial positive function RO-varying at infinity in the sense of Avakumović. We prove that the
operator of the problem under investigation is bounded and Fredholm on the appropriate pairs of the indicated Hörmander
spaces. A theorem on isomorphism generated by this operator is proved. For the generalized solutions of this problem, we
establish a local a priori estimate and prove the theorem on the local regularity of these solutions in Hörmander spaces. As
an application, we establish new sufficient conditions of continuity for the given generalized derivatives of the solutions.
В классе гильбертовых пространств Хермандера исследована общая эллиптическая задача, для которой максимум
порядков краевых условий больше, чем порядок эллиптического уравнения, или равнен ему. Показателем регу-
лярности для этих пространств является произвольная радиальная положительная функция, RO-меняющаяся на
бесконечности по Авакумовичу. Показано, что оператор исследуемой задачи является ограниченным и нетеровым
в подходящих парах указанных пространств Хермандера. Доказана теорема об изоморфизме, порожденном этим
оператором. Для обобщенных решений этой задачи установлена локальная априорная оценка и доказана теорема
об их локальной регулярности в пространствах Хермандера. В качестве приложения получены новые достаточные
условия непрерывности заданных обобщенных производных решений.
1. Вступ. Основний результат теорiї загальних елiптичних крайових задач в обмежених обла-
стях з гладкою межею полягає у тому, що цi задачi є нетеровими у придатних парах функ-
цiональних просторiв Соболєва або Гельдера (див., наприклад, [1] (§2), [2] (розд. III, §6) i
[3 – 5]). Цей результат має рiзнi наслiдки, серед яких твердження про пiдвищення регулярностi
розв’язкiв елiптичних задач. Проте, класичнi шкали Соболєва i Гельдера є недостатньо тонко
градуйованими для низки задач, що виникають в аналiзi i теорiї диференцiальних рiвнянь. У
цьому зв’язку Л. Хермандер [3] увiв широкi класи нормованих функцiональних просторiв, для
яких показником регулярностi розподiлiв є не число, а досить загальна вагова функцiя, залежна
вiд частотних змiнних. Крiм того, вiн [3, 6] навiв застосування цих просторiв до дослiдження
характеру розв’язностi i регулярностi розв’язкiв лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинни-
ми похiдними. Простори Хермандера i їх рiзнi узагальнення застосовуються в математичному
аналiзi, теорiї диференцiальних рiвнянь, теорiї випадкових процесiв (див. [7 – 11]).
В. А. Михайлець i другий автор цiєї статтi [8, 12 – 18] побудували теорiю розв’язностi
загальних елiптичних систем на гладких многовидах i елiптичних крайових задач у класах
гiльбертових просторiв Хермандера, якi отримуються iнтерполяцiєю з функцiональним пара-
метром пар гiльбертових просторiв Соболєва. Показником регулярностi для цих просторiв є
радiальнi функцiї, правильно змiннi на нескiнченностi за Караматою [19] (див. [20, 21]). За
допомогою методу iнтерполяцiї з функцiональним параметром гiльбертових просторiв вдалося
перенести основнi результати „соболєвської” теорiї елiптичних рiвнянь i задач на зазначенi
простори Хермандера. Цi результати були доповненi у [22 – 28] для бiльш широких класiв гiль-
бертових просторiв Хермандера. Зауважимо, що згаданий метод iнтерполяцiї виявився плiдним
i в теорiї параболiчних початково-крайових задач [29, 30].
У побудованiй теорiї розглянуто винятком елiптичнi задачi, в яких порядки крайових умов
меншi, нiж порядок елiптичного рiвняння. Мета даної статтi — доповнити цю теорiю резуль-
c\bigcirc Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ, 2017
1486 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ЕЛIПТИЧНI ЗАДАЧI З КРАЙОВИМИ УМОВАМИ ВИСОКИХ ПОРЯДКIВ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 1487
татами про характер розв’язностi i властивостi розв’язкiв елiптичних задач, у яких порядок
принаймнi однiєї з крайових умов бiльший або рiвний за порядок елiптичного рiвняння або
рiвний йому. Цi задачi будемо дослiджувати у класi гiльбертових просторiв Хермандера, пока-
зником регулярностi для яких є довiльна радiальна функцiя, RO-змiнна на нескiнченностi за
Авакумовичем [31] (див. [20]). Цей клас було видiлено у [32, 33] i названо розширеною собо-
лєвською шкалою. Вiн мiстить уточнену соболєвську шкалу та складається з усiх гiльбертових
просторiв, iнтерполяцiйних вiдносно пар гiльбертових просторiв Соболєва.
Робота складається з 7 пунктiв. У п. 2 сформульовано елiптичну крайову задачу, яка дослi-
джується, i розглянуто формально спряжену до неї задачу вiдносно спецiальної формули Грiна.
У п. 3 наведено означення функцiональних просторiв Хермандера, якi утворюють розширену
соболєвську шкалу. Пункт 4 мiстить основнi результати роботи про властивостi дослiджува-
ної задачi у просторах Хермандера. У п. 5 як застосування основних результатiв отримано
достатнi умови неперервностi узагальнених похiдних розв’язкiв дослiджуваної задачi, зокрема
умови класичностi її узагальненого розв’язку. Пункт 6 присвячено iнтерполяцiї з функцiональ-
ним параметром пар гiльбертових просторiв та її застосуванням до розширеної соболєвської
шкали. Результати роботи доведено у заключному п. 7.
2. Постановка задачi. Нехай \Omega — довiльна обмежена область у евклiдовому просторi \BbbR n,
n \geq 2. Припускаємо, що межа \Gamma цiєї областi є нескiнченно гладким компактним многовидом
вимiрностi n - 1, причому C\infty -структура на \Gamma iндукована простором \BbbR n.
В областi \Omega розглянемо таку крайову задачу:
Au = f в \Omega , (1)
Bju = gj на \Gamma , j = 1, . . . , q. (2)
Тут
A := A(x,D) :=
\sum
| \mu | \leq 2q
a\mu (x)D
\mu
є лiнiйним диференцiальним оператором на \Omega := \Omega \cup \Gamma довiльного парного порядку 2q \geq 2, а
кожне
Bj := Bj(x,D) :=
\sum
| \mu | \leq mj
bj,\mu (x)D
\mu
— крайовим лiнiйним диференцiальним оператором на \Gamma довiльного порядку mj \geq 0. Усi коефi-
цiєнти a\mu (x) i bj,\mu (x) цих диференцiальних операторiв є нескiнченно гладкими комплекснозна-
чними функцiями на \Omega i \Gamma вiдповiдно. Взагалi, у роботi функцiї та розподiли вважаються ком-
плекснозначними, тому всi розглянутi функцiональнi простори теж вважаємо комплексними.
У наведених формулах i далi використано такi стандартнi позначення: \mu := (\mu 1, . . . , \mu n) —
мультиiндекс з невiд’ємними цiлими компонентами, | \mu | := \mu 1 + . . . + \mu n, D
\mu := D\mu 1
1 . . . D\mu n
n ,
де Dk := i\partial /\partial xk для кожного номера k \in \{ 1, . . . , n\} , i — уявна одиниця, а x = (x1, . . . , xn) —
довiльна точка простору \BbbR n. Також покладемо D\nu := i\partial /\partial \nu , де \nu (x) — орт внутрiшньої нормалi
до межi \Gamma у точцi x \in \Gamma .
Будемо припускати, що крайова задача (1), (2) є елiптичною в областi \Omega , тобто дифе-
ренцiальний оператор A є правильно елiптичним на \Omega , а набiр B := (B1, . . . , Bq) крайових
диференцiальних операторiв задовольняє умову Лопатинського щодо A на \Gamma (див., наприклад,
огляд [1] (п. 1.2) або довiдник [2] (розд. III, § 6, пп. 1, 2)).
Приклад 1. Розглянемо крайову задачу, яка складається з диференцiального рiвняння (1),
де диференцiальний оператор A є правильно елiптичним на \Omega , i крайових умов
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1488 Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
\partial k+j - 1u
\partial \zeta k+j - 1
+
\sum
| \mu | <k+j - 1
bj,\mu (x)D
\mu = gj на \Gamma , j = 1, . . . , q.
Тут k \geq 0 — цiле число, а \zeta : \Gamma \rightarrow \BbbR n — нескiнченно гладке поле векторiв \zeta (x), недотичних
до \Gamma у точцi x \in \Gamma . Безпосередньо перевiряється, що ця крайова задача є елiптичною в
областi \Omega . Якщо 0 \leq k \leq q, то вона є регулярною елiптичною (див., наприклад, [5] (п. 5.2.1,
зауваження 4)). Важливий окремий випадок цiєї задачi отрима ємо, поклавши A := \Delta q, де \Delta —
оператор Лапласа, та \zeta (x) := \nu (x) для усiх x \in \Gamma .
Далi припускаємо, що
m := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ m1, . . . ,mq\} \geq 2q.
Пов’яжемо iз задачею (1), (2) лiнiйне вiдображення
u \mapsto \rightarrow (Au,Bu) = (Au,B1u, . . . , Bqu), де u \in C\infty (\Omega ). (3)
Мета роботи — дослiдити властивостi продовження за неперервнiстю цього вiдображення у
придатних парах функцiональних просторiв Хермандера.
Для опису областi значень цього продовження нам потрiбна спецiальна формула Грiна [34]
(формула (4.1.10))
(Au, v)\Omega +
m - 2q+1\sum
j=1
(Dj - 1
\nu Au,wj)\Gamma +
q\sum
j=1
(Bju, hj)\Gamma =
= (u,A+v)\Omega +
m+1\sum
k=1
\left( Dk - 1
\nu u,Kkv +
m - 2q+1\sum
j=1
R+
j,kwj +
q\sum
j=1
Q+
j,khj
\right)
\Gamma
,
де u, v \in C\infty (\Omega ), w1, . . . , wm - 2q+1, h1, . . . , hq \in C\infty (\Gamma ) та через (\cdot , \cdot )\Omega i (\cdot , \cdot )\Gamma позначено
вiдповiдно скалярнi добутки у гiльбертових просторах L2(\Omega ) i L2(\Gamma ) функцiй, квадратично
iнтегровних на \Omega i \Gamma вiдносно мiр Лебега. Тут A+ — диференцiальний оператор, формально
спряжений до A, тобто
(A+v)(x) :=
\sum
| \mu | \leq 2q
D\mu (a\mu (x)v(x)).
Окрiм того, всi R+
j,k i Q+
j,k є дотичними диференцiальними операторами, формально спряже-
ними вiдповiдно до Rj,k i Qj,k вiдносно (\cdot , \cdot )\Gamma , а дотичнi лiнiйнi диференцiальнi оператори
Rj,k := Rj,k(x,D\tau ) i Qj,k := Qj,k(x,D\tau ) взято iз зображення крайових диференцiальних опе-
раторiв Dj - 1
\nu A i Bj у виглядi
Dj - 1
\nu A(x,D) =
m+1\sum
k=1
Rj,k(x,D\tau )D
k - 1
\nu , j = 1, . . . ,m - 2q + 1,
Bj(x,D) =
m+1\sum
k=1
Qj,k(x,D\tau )D
k - 1
\nu , j = 1, . . . , q.
Зазначимо, що \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d} Rj,k \leq 2q + j - k i \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d} Qj,k \leq mj - k + 1, причому, звiсно, Rj,k = 0
при k \geq 2q + j + 1 i Qj,k = 0 при k \geq mj + 2. Нарештi, кожне Kk := Kk(x,D) — деякий
крайовий лiнiйний диференцiальний оператор на \Gamma порядку \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}Kk \leq 2q - k з коефiцiєнтами
класу C\infty (\Omega ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ЕЛIПТИЧНI ЗАДАЧI З КРАЙОВИМИ УМОВАМИ ВИСОКИХ ПОРЯДКIВ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 1489
Спецiальна формула Грiна приводить до такої крайової задачi в областi \Omega :
A+v = \omega в \Omega , (4)
Kkv +
m - 2q+1\sum
j=1
R+
j,kwj +
q\sum
j=1
Q+
j,khj = \theta k на \Gamma , k = 1, . . . ,m+ 1. (5)
Ця задача мiстить окрiм невiдомої функцiї v на \Omega ще m - q + 1 додаткову невiдому функцiю
w1, . . . , wm - 2q+1, h1, . . . , hq на межi \Gamma . Задачу (4), (5) називають формально спряженою до
задачi (1), (2) вiдносно розглянутої спецiальної формули Грiна. Вiдомо [34] (теорема 4.1.1), що
крайова задача (1), (2) елiптична тодi i тiльки тодi, коли формально спряжена задача (4), (5)
елiптична як крайова задача з додатковими невiдомими функцiями на межi областi.
Приклад 2. Наведемо спецiальну формулу Грiна для елiптичної крайової задачi
\Delta u = f в \Omega ,
\partial 2u
\partial \nu 2
= g на \Gamma , (6)
заданої в крузi \Omega := \{ (x1, x2) \in \BbbR 2 : x21+x
2
2 < 1\} . Зауважимо, що \Delta u = \partial 2\nu u - \partial \nu u+\partial 2\varphi u на \Gamma ;
тут \partial \nu := \partial /\partial \nu = - \partial /\partial \varrho i \partial \varphi := \partial /\partial \varphi , а (\varrho , \varphi ) — полярнi координати. Застосувавши другу
класичну формулу Грiна для оператора Лапласа, отримаємо
(\Delta u, v)\Omega + (\Delta u,w)\Gamma + (\partial 2\nu u, h)\Gamma =
= (u,\Delta v)\Omega - (\partial \nu u, v)\Gamma + (u, \partial \nu v)\Gamma + (\partial 2\nu u - \partial \nu u+ \partial 2\varphi u,w)\Gamma + (\partial 2\nu u, h)\Gamma =
= (u,\Delta v)\Omega + (u, \partial \nu v + \partial 2\varphi w)\Gamma + (\partial \nu u, - v - w)\Gamma + (\partial 2\nu u,w + h)\Gamma
для довiльних функцiй u, v \in C\infty (\Omega ) i w, h \in C\infty (\Gamma ). Отже, спецiальна формула Грiна для
крайової задачi (6) набирає вигляду
(\Delta u, v)\Omega + (\Delta u,w)\Gamma + (\partial 2\nu u, h)\Gamma =
= (u,\Delta v)\Omega + (u, \partial \nu v + \partial 2\varphi w)\Gamma + (D\nu u, - iv - iw)\Gamma + (D2
\nu u, - w - h)\Gamma .
Тому крайова задача
\Delta v = \omega в \Omega ,
\partial \nu v + \partial 2\varphi w = \theta 1, - iv - iw = \theta 2, - w - h = \theta 3 на \Gamma
є формально спряженою до задачi (6) вiдносно цiєї формули Грiна. Отримана формально спря-
жена задача мiстить двi додатковi невiдомi функцiї w i h на \Gamma .
3. Простори Хермандера i розширена соболєвська шкала. Елiптичну крайову задачу (1),
(2) будемо дослiджувати у придатних парах гiльбертових просторiв Хермандера [3] (п. 2.2),
якi утворюють розширену соболєвську шкалу, введену в [32, 33]. Нагадаємо означення цих
просторiв i деякi їхнi властивостi, потрiбнi у подальшому.
Для просторiв Хермандера, якi використовуються у роботi, показником регулярностi розпо-
дiлiв є функцiональний параметр \alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O}. За означенням клас \mathrm{R}\mathrm{O} складається з усiх вимiрних
за Борелем функцiй \alpha : [1,\infty ) \rightarrow (0,\infty ), для яких iснують числа такi b > 1 i c \geq 1, що
c - 1 \leq \alpha (\lambda t)/\alpha (t) \leq c для довiльних t \geq 1 i \lambda \in [1, b] (сталi b i c можуть залежати вiд \alpha ). Такi
функцiї називають RO-змiнними на нескiнченностi. Клас RO введений В. Г. Авакумовичем [31]
у 1936 р. i достатньо повно вивчений (див., наприклад, [20] (додаток 1) i [21] (пп. 2.0 – 2.2)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1490 Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
Цей клас допускає простий опис, а саме,
\alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O} \leftrightarrow \alpha (t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( \beta (t) + : t\int
1
\gamma (\tau )
\tau
d\tau
\right) для t \geq 1,
де дiйснi функцiї \beta i \gamma вимiрнi за Борелем i обмеженi на пiвосi [1,\infty ) (див., наприклад, [20],
додаток 1, теорема 1).
Для нас важливою є властивiсть класу \mathrm{R}\mathrm{O}: для кожної функцiї \alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O} iснують такi числа
s0, s1 \in \BbbR , s0 \leq s1, i c0, c1 > 0, що
c0\lambda
s0 \leq \alpha (\lambda t)
\alpha (t)
\leq c1\lambda
s1 для всiх t \geq 1, \lambda \geq 1 (7)
(див. [20], додаток 1, теорема 2). Покладемо
\sigma 0(\alpha ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
s0 \in \BbbR : виконується лiва нерiвнiсть у (7)
\bigr\}
,
\sigma 1(\alpha ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
s1 \in \BbbR : виконується права нерiвнiсть у (7)
\bigr\}
.
Числа \sigma 0(\alpha ) i \sigma 1(\alpha ) є вiдповiдно нижнiм i верхнiм iндексами Матушевської [35] функцiї
\alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O} (див. також [21], п. 2.1.2). Звiсно, - \infty < \sigma 0(\alpha ) \leq \sigma 1(\alpha ) <\infty .
Наведемо деякi характернi приклади функцiй, RO-змiнних на нескiнченностi.
Приклад 3. Розглянемо неперервну функцiю \alpha : [1,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) таку, що
\alpha (t) := ts(\mathrm{l}\mathrm{n} t)r1(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} t)r2 . . . (\mathrm{l}\mathrm{n} . . . \mathrm{l}\mathrm{n}\underbrace{} \underbrace{}
k разiв
t)rk при t\gg 1.
Тут довiльно вибрано цiле число k \geq 1 i дiйснi числа s, r1, . . . , rk. Функцiя \alpha належить класу
\mathrm{R}\mathrm{O} i для неї \sigma 0(\alpha ) = \sigma 1(\alpha ) = s.
Взагалi, класу \mathrm{R}\mathrm{O} належить будь-яка вимiрна функцiя \alpha : [1,\infty ) \rightarrow (0,\infty ), яка обмежена
i вiдокремлена вiд нуля на кожному компактi i є правильно змiнною на нескiнченностi за
Й. Караматою [19]. Остання властивiсть означає, що \alpha (\lambda t)/\alpha (t) \rightarrow \lambda s при t\rightarrow \infty для деякого
s \in \BbbR . Iндекси Матушевської такої функцiї дорiвнюють числу s, яке називають порядком
змiнювання функцiї на нескiнченностi. Правильно змiннi функцiї широко застосовуються у
математицi (див. [20, 21]).
Приклад 4. Нехай \theta \in \BbbR , \delta > 0 i r \in (0, 1]. Покладемо
\alpha (t) :=
\Biggl\{
t\theta +\delta sin(ln ln t)r при t > e,
t\theta при 1 \leq t \leq e.
Тодi \alpha належить \mathrm{R}\mathrm{O}, до того ж \sigma 0(\alpha ) = \theta - \delta i \sigma 1(\alpha ) = \theta + \delta [36] (приклад 6).
Нехай \alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O}. Дамо означення простору Хермандера H\alpha спочатку на \BbbR n, де цiле n \geq 1,
а потiм на \Omega i \Gamma . Цей простiр складається з розподiлiв (узагальнених функцiй), якi нам зручно
трактувати як антилiнiйнi функцiонали на вiдповiдному просторi основних функцiй.
За означенням лiнiйний простiр H\alpha (\BbbR n) складається з усiх повiльно зростаючих на \BbbR n
розподiлiв w таких, що їх перетворення Фур’є \widehat w локально iнтегровне за Лебегом на \BbbR n i
задовольняє умову \int
\BbbR n
\alpha 2(\langle \xi \rangle ) | \widehat w(\xi )| 2 d\xi <\infty ,
де \langle \xi \rangle := (1+ | \xi | 2)1/2 є згладженим модулем вектора \xi \in \BbbR n. Цей простiр надiлений скалярним
добутком
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ЕЛIПТИЧНI ЗАДАЧI З КРАЙОВИМИ УМОВАМИ ВИСОКИХ ПОРЯДКIВ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 1491
(w1, w2)H\alpha (\BbbR n) :=
\int
\BbbR n
\alpha 2(\langle \xi \rangle )\widehat w1(\xi )\widehat w2(\xi ) d\xi
i вiдповiдною нормою
\| w\| H\alpha (\BbbR n) := (w,w)
1/2
H\alpha (\BbbR n)
та є гiльбертовим i сепарабельним вiдносно цiєї норми.
Простiр H\alpha (\BbbR n) — гiльбертiв iзотропний випадок просторiв \scrB p,k, введених i дослiджених
Л. Хермандером в [3] (пп. 2.2) (див також його монографiю [6], п. 10.1). А саме, H\alpha (\BbbR n) = \scrB p,k,
якщо p = 2 i k(\xi ) = \alpha (\langle \xi \rangle ) при \xi \in \BbbR n. Зауважимо, що у гiльбертовому випадку p = 2 простори
Хермандера збiгаються з просторами, введеними Л. Р. Волевичем i Б. П. Панеяхом [37] (§ 2).
Якщо \alpha (t) \equiv ts для деякого s \in \BbbR , то H\alpha (\BbbR n) =: H(s)(\BbbR n) — гiльбертiв простiр Соболєва
порядку s. Взагалi,
s0 < \sigma 0(\alpha ) \leq \sigma 1(\alpha ) < s1 \Rightarrow H(s1)(\BbbR n) \lhook \rightarrow H\alpha (\BbbR n) \lhook \rightarrow H(s0)(\BbbR n), (8)
до того ж обидва вкладення неперервнi й щiльнi.
Дотримуючись [8, 33], клас функцiональних просторiв \{ H\alpha (\BbbR n) : \alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O}\} називаємо
розширеною соболєвською шкалою на \BbbR n. Її аналоги для \Omega i \Gamma будуються стандартним чином
(див. [35, с. 4, 32, с. 30]). Наведемо вiдповiднi означення; тепер n \geq 2.
За означенням, лiнiйний простiр H\alpha (\Omega ) складається зi звужень в область \Omega всiх розподiлiв
w \in H\alpha (\BbbR n) i надiлений нормою
\| v\| H\alpha (\Omega ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| w\| H\alpha (\BbbR n) : w \in H\alpha (\BbbR n), w = v в \Omega
\bigr\}
,
де v \in H\alpha (\Omega ). Простiр H\alpha (\Omega ) є гiльбертовим i сепарабельним вiдносно цiєї норми, а множина
C\infty (\Omega ) щiльна в ньому.
Лiнiйний простiр H\alpha (\Gamma ) складається, коротко кажучи, з усiх розподiлiв на \Gamma , якi в локаль-
них координатах дають елементи простору H\alpha (\BbbR n - 1). Наведемо детальне означення. Довiльно
виберемо скiнченний атлас iз C\infty -структури на многовидi \Gamma , утворений локальними картами
\pi j : \BbbR n - 1 \updownarrow \Gamma j , де j = 1, . . . ,\varkappa . Тут вiдкритi множини \{ \Gamma 1, . . . ,\Gamma \varkappa \} складають покриття
многовиду \Gamma . Виберемо також функцiї \chi j \in C\infty (\Gamma ), де j = 1, . . . ,\varkappa , якi утворюють розбиття
одиницi на \Gamma , що задовольняє умову \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi j \subset \Gamma j .
За означенням лiнiйний простiр H\alpha (\Gamma ) складається з усiх розподiлiв h на \Gamma таких, що
(\chi jh) \circ \pi j \in H\alpha (\BbbR n - 1) для усiх j \in \{ 1, . . . ,\varkappa \} . Тут (\chi jh) \circ \pi j є зображенням розподiлу h у
локальнiй картi \pi j . Простiр H\alpha (\Gamma ) надiлено нормою
\| h\| H\alpha (\Gamma ) :=
\left( \varkappa \sum
j=1
\| (\chi jh) \circ \pi j\| 2H\alpha (\BbbR n - 1)
\right) 1/2 .
Вiн гiльбертiв i сепарабельний вiдносно цiєї норми та з точнiстю до еквiвалентностi норм не
залежить вiд зробленого вибору атласу i розбиття одиницi [32, с. 32]. Множина C\infty (\Gamma ) щiльна
в H\alpha (\Gamma ).
Щойно означенi функцiональнi простори утворюють розширенi соболєвськi шкали \{ H\alpha (\Omega ) :
\alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O}\} i \{ H\alpha (\Gamma ) : \alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O}\} на \Omega i \Gamma вiдповiдно. Вони мiстять гiльбертовi шкали просторiв
Соболєва: якщо \alpha (t) \equiv ts для деякого s \in \BbbR , то H\alpha (\Omega ) =: H(s)(\Omega ) i H\alpha (\Gamma ) =: H(s)(\Gamma ) є
гiльбертовими просторами Соболєва порядку s.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1492 Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
Вiдмiтимо властивiсть цих шкал, що випливає з [3] (теореми 2.2.2, 2.2.3). Нехай \alpha , \eta \in
\in \mathrm{R}\mathrm{O} i \Lambda \in \{ \Omega ,\Gamma \} . Функцiя \alpha /\eta обмежена в околi нескiнченностi тодi i тiльки тодi, коли
H\eta (\Lambda ) \lhook \rightarrow H\alpha (\Lambda ). Це вкладення неперервне i щiльне. Воно компактне тодi i тiльки тодi, коли
\alpha (t)/\eta (t) \rightarrow 0 при t \rightarrow \infty . Зокрема, виконуються властивiсть (8), якщо у нiй замiнити \BbbR n на
\Omega або \Gamma , при цьому вкладення будуть компактними i щiльними.
4. Основнi результати. Сформулюємо отриманi нами результати про властивостi елiпти-
чної крайової задачi (1), (2) у просторах Хермандера H\alpha , розглянутих вище. Для них показник
регулярностi має вигляд \alpha (t) \equiv \varphi (t)ts, де \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O} i s \in \BbbR . Щоб не вказувати аргумент t
у показнику, будемо використовувати функцiональний параметр \varrho (t) := t аргумента t \geq 1 й
записувати \alpha у виглядi \varphi \varrho s. Якщо \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O}, то, звiсно, \varphi \varrho s \in \mathrm{R}\mathrm{O} та \sigma j(\varphi \varrho s) = \sigma j(\varphi ) + s для
кожного j \in \{ 0, 1\} .
Позначимо через N лiнiйний простiр усiх розв’язкiв u \in C\infty (\Omega ) крайової задачi (1), (2) у
випадку, коли f = 0 в \Omega i кожне gj = 0 на \Gamma . Позначимо також через N \star лiнiйний простiр усiх
розв’язкiв
(v, w1, . . . , wm - 2q+1, h1, . . . , hq) \in C\infty (\Omega )\times (C\infty (\Gamma ))m - q+1
формально спряженої крайової задачi (4), (5) у випадку, коли \omega = 0 в \Omega i кожне \theta k = 0
на \Gamma . Оскiльки обидвi задачi елiптичнi в \Omega , то простори N i N \star є скiнченновимiрним [34]
(наслiдок 4.1.1).
Теорема 1. Нехай \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O} i \sigma 0(\varphi ) > m + 1/2. Тодi вiдображення (3) продовжується
єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого оператора
(A,B) : H\varphi (\Omega ) \rightarrow H\varphi \varrho - 2q
(\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
H\varphi \varrho - mj - 1/2
(\Gamma ) =: \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ). (9)
Цей оператор нетерiв. Його ядро дорiвнює N, а область значень складається з усiх векторiв
(f, g1, . . . , gq) \in \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) таких, що
(f, v)\Omega +
m - 2q+1\sum
j=1
(Dj - 1
\nu f, wj)\Gamma +
q\sum
j=1
(gj , hj)\Gamma = 0
для всiх (v, w1, . . . , wm - 2q+1, h1, . . . , hq) \in N \star .
(10)
Iндекс оператора (9) дорiвнює \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star та не залежить вiд \varphi .
Як i ранiше, у формулi (10) через (\cdot , \cdot )\Omega i (\cdot , \cdot )\Gamma позначено скалярнi добутки у гiльбертових
просторах L2(\Omega ) i L2(\Gamma ) вiдповiдно. Тут, згiдно з твердженням 4, наведеним у п. 6, для кожної
функцiї f \in H\varphi \varrho - 2q
(\Omega ), де \sigma 0(\varphi ) > m+ 1/2, коректно означено образи
Dj - 1
\nu f \in H\varphi \varrho - 2q - j+1/2
(\Gamma ) \subset L2(\Gamma )
вiдносно крайового оператора Dj - 1
\nu порядку j - 1 \leq m - 2q.
З огляду на теорему 1 нагадаємо, що лiнiйний обмежений оператор T : E1 \rightarrow E2, де E1
i E2 — банаховi простори, називають нетеровим, якщо його ядро \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T i коядро E2/T (E1)
скiнченновимiрнi. Якщо цей оператор нетерiв, то його область значень замкнена у просторi E2
(див., наприклад, [39], лемма 19.1.1) i для нього означено скiнченний iндекс
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} T := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl(
E2/T (E1)
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ЕЛIПТИЧНI ЗАДАЧI З КРАЙОВИМИ УМОВАМИ ВИСОКИХ ПОРЯДКIВ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 1493
Зокрема, для елiптичної крайової задачi з прикладу 2 безпосередньо перевiряється, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N =
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star = 3, i тому iндекс оператора (9) дорiвнює нулю.
Зауважимо, що умову \sigma 0(\varphi ) > m + 1/2 у теоремi 1 не можна вiдкинути чи послабити.
Зокрема, якщо \varphi (t) \equiv ts для деяких дiйсного s \leq mj + 1/2 i цiлого j \in \{ 1, . . . , q\} , то
вiдображення u \mapsto \rightarrow Bju, де u \in C\infty (\Omega ), не можна продовжити до неперервного лiнiйного
оператора, що дiє з простору Соболєва H(s)(\Omega ) у лiнiйний топологiчний простiр \scrD \prime (\Gamma ) усiх
розподiлiв на \Gamma (див., наприклад, [8] зауваження 3.5).
У випадку, коли N = \{ 0\} i N \star = \{ 0\} , оператор (9) здiйснює iзоморфiзм мiж просторами
H\varphi (\Omega ) i \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ). Це випливає з теореми 1 i теореми Банаха про обернений оператор.
У загальному випадку оператор (9) породжує iзоморфiзм мiж деякими їхнiми пiдпросторами
скiнченної ковимiрностi. Цi пiдпростори i проектори на них зручно будувати у такий спосiб.
Розглянемо розклад простору H\varphi (\Omega ), де \sigma 0(\varphi ) > 0, у пряму суму пiдпросторiв
H\varphi (\Omega ) = N \dotplus
\bigl\{
u \in H\varphi (\Omega ) : (u,w)\Omega = 0 для всiхw \in N
\bigr\}
. (11)
Ця рiвнiсть правильна, оскiльки вона є звуженням розкладу простору L2(\Omega ) в ортогональну
суму пiдпростору N i його доповнення. Щодо розкладу простору \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) скористаємося
таким результатом.
Лема 1. Iснує скiнченновимiрний простiр G \subset C\infty (\Omega )\times
\bigl(
C\infty (\Gamma )
\bigr) q
такий, що для кожного
\varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O} з \sigma 0(\varphi ) > m + 1/2 правильним є розклад простору \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) у пряму суму
пiдпросторiв
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) = G\dotplus
\bigl\{
(f, g1, . . . , gq) \in \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) : виконується (10)
\bigr\}
, (12)
при цьому \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}G = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star .
Позначимо через P i Q косi проектори вiдповiдно просторiв H\varphi (\Omega ) i \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) на другi
доданки в сумах (11) i (12) паралельно першим доданкам. Звiсно, цi проектори не залежать
вiд \varphi .
Теорема 2. Нехай \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O} i \sigma 0(\varphi ) > m+1/2. Тодi звуження вiдображення (9) на пiдпро-
стiр P (H\varphi (\Omega )) є iзоморфiзмом
(A,B) : P
\bigl(
H\varphi (\Omega )
\bigr)
\updownarrow Q
\bigl(
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
\bigr)
. (13)
Дослiдимо властивостi узагальнених розв’язкiв елiптичної крайової задачi (1), (2) у просто-
рах Хермандера. Нагадаємо означення таких розв’язкiв. Покладемо
Hm+1/2+(\Omega ) :=
\bigcup
\alpha \in RO :
\sigma 0(\alpha )>m+1/2
H\alpha (\Omega ) =
\bigcup
s>m+1/2
H(s)(\Omega ).
Тут остання рiвнiсть правильна з огляду на властивiсть (8). Згiдно з теоремою 1, для кожної
функцiї u \in Hm+1/2+(\Omega ) коректно означено вектор
(f, g) := (f, g1, . . . , gq) := (A,B)u \in L2(\Omega )\times
\bigl(
L2(\Gamma )
\bigr) q
.
Функцiю u називаємо (сильним) узагальненим розв’язком крайової задачi (1), (2) з правою
частиною (f, g).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1494 Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
Теорема 3. Нехай параметри \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O} i \lambda \in \BbbR задовольняють нерiвностi \sigma 0(\varphi ) > m+1/2
i 0 < \lambda < \sigma 0(\varphi ) - m + 1/2, а функцiї \chi , \eta \in C\infty (\Omega ) — умову \eta = 1 в околi \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi . Тодi iснує
таке число c = c(\varphi , \lambda , \chi , \eta ) > 0, що для довiльної функцiї u \in H\varphi (\Omega ) виконується оцiнка
\| \chi u\| H\varphi (\Omega ) \leq c
\Bigl( \bigm\| \bigm\| \eta (A,B)u
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
+ \| \eta u\|
H\varphi \varrho - \lambda (\Omega )
\Bigr)
. (14)
Тут c не залежить вiд u.
Зауваження 1. У випадку, коли \chi = \eta = 1, нерiвнiсть (14) є глобальною апрiорною
оцiнкою узагальненого розв’язку u елiптичної крайової задачi (1), (2). У цьому випадку умовою
\lambda < \sigma 0(\varphi ) - m+1/2 можна знехтувати. Взагалi, нерiвнiсть (14) є локальною апрiорною оцiнкою
розв’язку u. Справдi, для кожної непорожньої вiдкритої (у топологiї \Omega ) пiдмножини множини
\Omega можна вибрати функцiї \chi , \eta так, щоб вони задовольняли умову теореми 3 i їх носiї лежали в
цiй пiдмножинi. Якщо 0 < \lambda \leq 1, то в нерiвностi (14) замiсть \eta (A,B)u можна взяти \chi (A,B)u
Дослiдимо регулярнiсть узагальнених розв’язкiв елiптичної крайової задачi (1), (2). Нехай
V — вiдкрита множина в \BbbR n, яка має непорожнiй перетин з областю \Omega . Покладемо \Omega 0 := \Omega \cap V
i \Gamma 0 := \Gamma \cap V (можливий випадок, коли \Gamma 0 = \varnothing ). Для довiльного параметра \alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O} введемо
локальнi аналоги просторiв H\alpha (\Omega ) i H\alpha (\Gamma ).
За означенням лiнiйний простiр H\alpha
loc(\Omega 0,\Gamma 0) cкладається з усiх розподiлiв u \in \scrD \prime (\Omega ) таких,
що \chi u \in H\alpha (\Omega ) для довiльної функцiї \chi \in C\infty (\Omega ) iз \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \Omega 0 \cup \Gamma 0. Тут, як звичайно,
\scrD \prime (\Omega ) позначає лiнiйний топологiчний простiр усiх розподiлiв в \Omega . Топологiя у лiнiйному
просторi H\alpha
loc(\Omega 0,\Gamma 0) задається напiвнормами u \mapsto \rightarrow \| \chi u\| H\alpha (\Omega ), де \chi — довiльна функцiя з
означення цього простору. Аналогiчно, лiнiйний простiр H\alpha
loc(\Gamma 0) складається з усiх розподiлiв
h \in \scrD \prime (\Gamma ) таких, що \chi h \in H\alpha (\Gamma ) для довiльної функцiї \chi \in C\infty (\Gamma ) iз \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \Gamma 0. Топологiя у
лiнiйному просторi H\alpha
loc(\Gamma 0) задається напiвнормами h \mapsto \rightarrow \| \chi h\| H\alpha (\Gamma ), де \chi — довiльна функцiя
з означення цього простору.
Теорема 4. Нехай функцiя u \in Hm+1/2+(\Omega ) є узагальненим розв’язком елiптичної крайової
задачi (1), (2), правi частини якої задовольняють умову
(f, g) \in H\varphi \varrho - 2q
loc (\Omega 0,\Gamma 0)\oplus
q\bigoplus
j=1
H\varphi \varrho - mj - 1/2
loc (\Gamma 0) =: \scrH \varphi \varrho - 2q
loc (\Omega 0,\Gamma 0) (15)
для деякого функцiонального параметра \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O} такого, що \sigma 0(\varphi ) > m+ 1/2. Тодi розв’язок
u належить H\varphi
loc(\Omega 0,\Gamma 0).
Вiдмiтимо важливi окремi випадки цiєї теореми. Якщо \Omega 0 = \Omega i \Gamma 0 = \Gamma , то локальнi
простори H\varphi
loc(\Omega 0,\Gamma 0) i \scrH \varphi \varrho - 2q
loc (\Omega 0,\Gamma 0) збiгаються з просторами H\varphi (\Omega ) i \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) вiд-
повiдно. Тому теорема 4 стверджує, що регулярнiсть узагальненого розв’язку u пiдвищується
глобально, тобто в усiй областi \Omega аж до її межi \Gamma . Якщо \Gamma 0 = \varnothing i \Omega 0 = \Omega , то, згiдно з цiєю
теоремою, регулярнiсть розв’язку u пiдвищується в околах усiх внутрiшнiх точок замкненої
областi \Omega .
Теореми 1 – 4 або їхнi версiї вiдомi у випадку соболєвських просторiв, коли \varphi (\cdot ) \equiv 1 (див.,
наприклад, [40] (розд. 5), [41] (розд. 4, 7), [34] (розд. 4), [42] (розд. 7) та [1] (§ 2). Вiдмiтимо,
що, мабуть, уперше Б. Р. Вайнберг i В. В. Грушин [43] (§ 4, формула (76)) звернули увагу на
те, що в описi (10) областi значень оператора (A,B) потрiбно використовувати вираз вигляду
m - 2q+1\sum
j=1
(Dj - 1
\nu f, wj)\Gamma .
Теореми 1 – 4 i лему 1 доведемо у п. 7. Там же обґрунтуємо i зауваження 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ЕЛIПТИЧНI ЗАДАЧI З КРАЙОВИМИ УМОВАМИ ВИСОКИХ ПОРЯДКIВ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 1495
5. Застосування основних результатiв. Як застосування просторiв Хермандера наведемо
достатнi умови неперервностi узагальнених похiдних (заданого порядку) розв’язкiв елiптичної
крайової задачi (1), (2). Цi умови виводяться з теореми 4 i теореми вкладення Хермандера [3]
(теорема 2.2.7). Останню для розширеної соболєвської шкали можна сформулювати так: нехай
0 \leq p \in \BbbZ i \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O}, тодi
\infty \int
1
t2p+n - 1\varphi - 2(t) dt <\infty \leftrightarrow H\varphi (\Omega ) \subset Cp(\Omega ), (16)
до того ж вкладення неперервне; див. [23] (лема 2) або [8] (твердження 2.6(vi)). Зауважимо,
що у соболєвському випадку, коли \varphi (t) \equiv ts для деякого s \in \BbbR , властивiсть (16) є теоремою
вкладення Соболєва:
s > p+ n/2 \leftrightarrow H(s)(\Omega ) \lhook \rightarrow Cp(\Omega ).
Теорема 5. Нехай цiле число p \geq 0. Припустимо, що функцiя u \in Hm+1/2+(\Omega ) є уза-
гальненим розв’язком елiптичної крайової задачi (1), (2), правi частини якої задовольняють
умову (15) для деякого функцiонального параметра \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O} такого, що \sigma 0(\varphi ) > m+ 1/2 i
\infty \int
1
t2p+n - 1\varphi - 2(t)dt <\infty . (17)
Тодi u належить Cp(\Omega 0 \cup \Gamma 0).
Зауваження 2. Умова (17) є точною. А саме, нехай 0 \leq p \in \BbbZ , \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O} i \sigma 0(\varphi ) > m+1/2,
тодi з iмплiкацiї\Bigl(
u \in Hm+1/2+(\Omega ) i (A,B)u \in \scrH \varphi \varrho - 2q
loc (\Omega 0,\Gamma 0)
\Bigr)
\Rightarrow u \in Cp(\Omega 0 \cup \Gamma 0) (18)
випливає, що \varphi задовольняє умову (17).
Сформулюємо достатню умову, за якою узагальнений розв’язок u крайової задачi (1), (2)
є класичним, тобто u \in C2q(\Omega ) \cap Cm(U\sigma \cup \Gamma ) для деякого числа \sigma > 0, де U\sigma := \{ x \in \Omega :
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,\Gamma ) < \sigma \} . Якщо розв’язок u цiєї задачi класичний, то її лiвi частини обчислюються за
допомогою класичних похiдних i є неперервними функцiями на \Omega i \Gamma вiдповiдно.
Теорема 6. Нехай функцiя u \in Hm+1/2+(\Omega ) є узагальненим розв’язком елiптичної крайової
задачi (1), (2), де
f \in H\varphi 1\varrho - 2q
loc (\Omega ,\varnothing ) \cap H\varphi 2\varrho - 2q
loc (U\sigma ,\Gamma ), (19)
gj \in H\varphi 2\varrho
- mj - 1/2
(\Gamma ) при кожному j \in \{ 1, . . . , q\} (20)
для деякого числа \sigma > 0 i параметрiв \varphi 1, \varphi 2 \in \mathrm{R}\mathrm{O}, якi задовольняють умови \sigma 0(\varphi 1) > m+1/2,
\sigma 0(\varphi 2) > m+ 1/2 i
\infty \int
1
t2q+n - 1\varphi - 2
1 (t)dt <\infty , (21)
\infty \int
1
t2m+n - 1\varphi - 2
2 (t)dt <\infty . (22)
Тодi розв’язок u є класичним.
Теореми 5, 6 i зауваження 2 будуть обґрунтованi у п. 7.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1496 Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
6. Iнтерполяцiя з функцiональним параметром. Простори Хермандера, якi утворюють
розширену соболєвську шкалу, можна отримати iнтерполяцiєю з функцiональним параметром
пар гiльбертових просторiв Соболєва. Цей факт вiдiграватиме ключову роль у доведеннi те-
ореми 1. Метод iнтерполяцiї з функцiональним параметром гiльбертових просторiв уперше
з’явився у статтi К. Фояша i Ж.-Л. Лiонса [44, с. 278]. Вiн є природним узагальненням кла-
сичного iнтерполяцiйного методу Ж.-Л. Лiонса [4] (розд. 1, п. 5) i С.-Г. Крейна [2, с. 253] на
випадок, коли параметром iнтерполяцiї є не число, а досить загальна функцiя. Наведемо озна-
чення iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв та її властивостi,
потрiбнi у подальшому. Будемо дотримуватися монографiї [8] (пп. 1.1). При цьому достатньо
обмежитися випадком сепарабельних гiльбертових просторiв.
Нехай задано таку впорядковану пару X := [X0, X1] сепарабельних комплексних гiльбер-
тових просторiв X0 i X1, що X1 є щiльним лiнiйним многовидом у просторi X0 та iснує таке
число c > 0, що \| w\| X0 \leq c \| w\| X1 для довiльного w \in X1 (коротше кажучи, виконується
неперервне i щiльне вкладення X1 \lhook \rightarrow X0). Пару X називаємо припустимою. Для неї iснує
самоспряжений додатно визначений оператор J у гiльбертовому просторi X0 з областю ви-
значення X1 такий, що \| Jw\| X0 = \| w\| X1 для довiльного w \in X1. Оператор J називається
породжуючим для X i однозначно визначається за парою X.
Позначимо через \scrB множину всiх вимiрних за Борелем функцiй \psi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ), якi
вiдокремленi вiд нуля на кожнiй множинi [r,\infty ) i обмеженi на кожному вiдрiзку [a, b], де
r > 0 i 0 < a < b < \infty . Нехай \psi \in \scrB . У просторi X0 за допомогою спектральної теореми
означений, як функцiя вiд J, оператор \psi (J), взагалi необмежений. Позначимо через [X0, X1]\psi
або, коротше, X\psi область визначення оператора \psi (J), надiлену скалярним добутком
(w1, w2)X\psi :=
\bigl(
\psi (J)w1, \psi (J)w2
\bigr)
X0
i вiдповiдною нормою \| w\| X\psi = (w,w)
1/2
X\psi
. Простiр X\psi гiльбертiв i сепарабельний, до того ж
виконується неперервне i щiльне вкладення X\psi \lhook \rightarrow X0.
Функцiю \psi \in \scrB називаємо iнтерполяцiйним параметром, якщо для довiльних припустимих
пар X = [X0, X1] i Y = [Y0, Y1] гiльбертових просторiв i для будь-якого лiнiйного вiдобра-
ження T, заданого на X0, виконується така умова: якщо при кожному j \in \{ 0, 1\} звуження
вiдображення T на простiр Xj є обмеженим оператором T : Xj \rightarrow Yj , то i звуження вiдобра-
ження T на простiр X\psi є обмеженим оператором T : X\psi \rightarrow Y\psi . У цьому випадку говоримо,
що простiр X\psi отримано iнтерполяцiєю з функцiональним параметром \psi пари X.
Функцiя \psi \in \scrB є iнтерполяцiйним параметром тодi i тiльки тодi, коли вона псевдовгнута
в околi нескiнченностi, тобто еквiвалентна там деякiй угнутiй додатнiй функцiї. Цей факт
випливає з теореми Ж. Петре [45] про опис усiх iнтерполяцiйних функцiй додатного порядку.
Сформулюємо зазначену iнтерполяцiйну властивiсть розширеної соболєвської шкали.
Твердження 1. Нехай задано функцiю \alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O} i дiйснi числа s0, s1 такi, що s0 < \sigma 0(\alpha ) i
s1 > \sigma 1(\alpha ). Покладемо
\psi (t) =
\left\{ t
- s0/(s1 - s0) \alpha
\bigl(
t1/(s1 - s0)
\bigr)
при t \geq 1,
\alpha (1) при 0 < t < 1.
(23)
Тодi функцiя \psi \in \scrB є iнтерполяцiйним параметром i виконується така рiвнiсть просторiв
разом з еквiвалентнiстю норм у них:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ЕЛIПТИЧНI ЗАДАЧI З КРАЙОВИМИ УМОВАМИ ВИСОКИХ ПОРЯДКIВ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 1497\Bigl[
H(s0)(\Lambda ), H(s1)(\Lambda )
\Bigr]
\psi
= H\alpha (\Lambda ),
де \Lambda \in \{ \BbbR n,\Omega ,\Gamma \} . Якщо \Lambda = \BbbR n, то буде рiвнiсть норм у цих просторах.
Це твердження доведено в [8] (теореми 2.19 i 2.22) для G \in \{ \BbbR n,\Gamma \} i в [38] (теорема 5.1)
для G = \Omega .
Зауважимо, що розширена соболєвська шкала замкнена вiдносно iнтерполяцiї з функцiо-
нальним параметром [8] (теорема 2.18) i збiгається (з точнiстю до еквiвалентностi норм) iз
класом усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних для пар гiльбертових просторiв Соболєва
[8] (теорема 2.24). Остання властивiсть випливає з теореми В. I. Овчинникова [46] (пп. 11.4) про
опис усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних для заданої пари гiльбертових просторiв.
Нагадаємо, що властивiсть гiльбертового простору H бути iнтерполяцiйним для припустимої
пари X = [X0, X1] означає таке: виконується неперервне вкладення X1 \lhook \rightarrow H \lhook \rightarrow X0 i будь-
який лiнiйний оператор, обмеженим на кожному з просторiв X0 i X1, також є обмеженим на H.
Сформулюємо двi загальнi властивостi iнтерполяцiї [8] (теореми 1.7, 1.5), якi будуть вико-
ристанi у доведеннях.
Твердження 2. Нехай задано двi припустимi пари X = [X0, X1] i Y = [Y0, Y1] гiль-
бертових просторiв. Нехай, окрiм того, на X0 задано лiнiйне вiдображення T таке, що
його звуження на простори Xj , де j = 0, 1, є обмеженими i нетеровими операторами T :
Xj \rightarrow Yj , якi мають спiльне ядро i однаковий iндекс. Тодi для довiльного iнтерполяцiйного
параметра \psi \in \scrB обмежений оператор T : X\psi \rightarrow Y\psi нетерiв з тим же ядром i iндексом, а
його область значень дорiвнює Y\psi \cap T (X0).
Твердження 3. Нехай задано скiнченне число припустимих пар [X
(j)
0 , X
(j)
1 ] гiльбертових
просторiв, де j = 1, . . . , q. Тодi для довiльної функцiї \psi \in \scrB справедливою є рiвнiсть просторiв
разом iз рiвнiстю норм у них:\left[ q\bigoplus
j=1
X
(j)
0 ,
q\bigoplus
j=1
X
(j)
1
\right]
\psi
=
q\bigoplus
j=1
\Bigl[
X
(j)
0 , X
(j)
1
\Bigr]
\psi
.
Лiнiйнi диференцiальнi оператори з гладкими коефiцiєнтами є обмеженими на парах при-
датних просторiв Хермандера. А саме, правильним є такий результат.
Твердження 4. (i) Нехай L є лiнiйний диференцiальний вираз порядку l \geq 0 на \Omega з коефi-
цiєнтами класу C\infty (\Omega ). Тодi вiдображення u \mapsto \rightarrow Lu, де u \in C\infty (\Omega ), продовжується єдиним
чином (за неперервнiстю) до обмеженого лiнiйного оператора
L : H\alpha (\Omega ) \rightarrow H\alpha \varrho - l(\Omega )
для кожного параметра \alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O}.
(ii) Нехай K — крайовий лiнiйний диференцiальний вираз порядку k \geq 0 на межi \Gamma з
коефiцiєнтами класу C\infty (\Gamma ). Тодi вiдображення u \mapsto \rightarrow Ku, де u \in C\infty (\Omega ), продовжується
єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого лiнiйного оператора
K : H\alpha (\Omega ) \rightarrow H\alpha \varrho - k - 1/2
(\Gamma )
для кожного параметра \alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O} такого, що \sigma 0(\alpha ) > k + 1/2.
У випадку просторiв Соболєва, коли \alpha (t) \equiv ts, твердження 4 є вiдомим. Звiдси випадок
довiльного \alpha \in \mathrm{R}\mathrm{O} виводиться за допомогою iнтерполяцiї з функцiональним параметром на
пiдставi твердження 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1498 Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
7. Доведення основних результатiв. Доведемо теореми 1 – 6, лему 1 та обґрунтуємо за-
уваження 1 i 2.
Доведення теореми 1. У соболєвському випадку, коли \varphi = \varrho s i дiйсне s > m + 1/2, ця
теорема є вiдомою за винятком вказаного зв’язку скiнченновимiрного простору N \star з формально
спряженою задачею (4), (5). У такому виглядi теорема 1 мiститься у результатi, доведеному в
монографiї [41] (теорема 4.1.3). У повному обсязi, але за додаткового припущення s \in \BbbZ ,
теорема 1 мiститься у результатi, встановленому в монографiї [34] (наслiдок 4.1.1). Покажемо,
що i для дробових s ця теорема правильна у повному обсязi.
Згiдно з теоремою 4.1.3 [41], вiдображення (3) продовжується за неперервнiстю до обме-
женого i нетерового оператора
(A,B) : Hs,(m+1)(\Omega ) \rightarrow Hs - 2q,(m+1 - 2q)(\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
H(s - mj - 1/2)(\Gamma ) =: \scrQ s - 2q(\Omega ,\Gamma ) (24)
для довiльного s \in \BbbR . Тут Hs,(r)(\Omega ), s \in \BbbR i 1 \leq r \in \BbbZ , — модифiкований за Ройтбергом
гiльбертiв простiр Соболєва [41] (пп. 2.1). Зокрема, якщо s \geq 0 i s /\in \{ 1/2, . . . , r - 1/2\} , то
Hs,(r)(\Omega ) є, за означенням, поповненням простору C\infty (\Omega ) за нормою
\| u\| Hs,(r)(\Omega ) :=
\Biggl(
\| u\| 2
H(s)(\Omega )
+
r\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| (Dk - 1
\nu u)\upharpoonright \Gamma
\bigm\| \bigm\| 2
H(s - k+1/2)(\Gamma )
\Biggr) 1/2
.
Зазначимо, що виконується неперервне вкладення Hs+\delta ,(r)(\Omega ) \lhook \rightarrow Hs,(r)(\Omega ) при \delta > 0. Окрiм
того, якщо s > r - 1/2, то простори Hs,(r)(\Omega ) i H(s)(\Omega ) рiвнi як поповнення C\infty (\Omega ) за
еквiвалентними нормами. Тому оператор (9), де \varphi = \varrho s, i оператор (24) рiвнi при s > r - 1/2.
Згiдно з теоремою 4.1.3 [41], ядро оператора (24) збiгається з N, а область значень склада-
ється з усiх векторiв (f, g1, . . . , gq) \in \scrQ s - 2q(\Omega ,\Gamma ) таких, що задовольняють умову (10), у якiй
замiсть N \star фiгурує деякий скiнченновимiрний простiр, що лежить в C\infty (\Omega )\times
\bigl(
C\infty (\Gamma )
\bigr) m - q+1
i не залежить вiд s. Звiдси безпосередньо випливає рiвнiсть
(A,B)
\bigl(
Hs2,(m+1)(\Omega )
\bigr)
= \scrQ s2 - 2q(\Omega ,\Gamma ) \cap (A,B)
\bigl(
Hs1,(m+1)(\Omega )
\bigr)
при s1 < s2.
Зокрема,
(A,B)
\bigl(
H(s)(\Omega )
\bigr)
= \scrQ s - 2q(\Omega ,\Gamma ) \cap (A,B)
\bigl(
Hm,(m+1)(\Omega )
\bigr)
при m+ 1/2 < s \in \BbbR . (25)
Згiдно з теоремою 4.1.4 [34], простiр (A,B)
\bigl(
Hm,(m+1)(\Omega )
\bigr)
складається з усiх векторiв (f, g1, . . .
. . . , gq) \in \scrQ m - 2q(\Omega ,\Gamma ), якi задовольняють умову (10), де (\cdot , \cdot )\Gamma також є продовженням за
неперервнiстю скалярного добутку в L2(\Gamma ). Тому для кожного дiйсного s > m + 1/2 область
значень (A,B)
\bigl(
H(s)(\Omega )
\bigr)
оператора (9), де \varphi = \varrho s, є такою, як стверджується у теоремi 1.
Отже, у соболєвському випадку цю теорему обґрунтовано.
У загальному випадку доведемо її за допомогою iнтерполяцiї з функцiональним параметром
пар деяких просторiв Соболєва. За умовою \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O} та \sigma 0(\varphi ) > m+ 1/2. Виберемо такi дiйснi
числа l0 i l1, що m + 1/2 < l0 < \sigma 0(\varphi ) i \sigma 1(\varphi ) < l1. Вiдображення (3) продовжується за
неперервнiстю до обмежених i нетерових операторiв
(A,B) : H(li)(\Omega ) \rightarrow H(li - 2q)(\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
H(li - mj - 1/2)(\Gamma ) =: \scrH (li - 2q)(\Omega ,\Gamma ), i \in \{ 0, 1\} , (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ЕЛIПТИЧНI ЗАДАЧI З КРАЙОВИМИ УМОВАМИ ВИСОКИХ ПОРЯДКIВ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 1499
якi дiють у соболєвських просторах. Цi оператори мають спiльне ядро N i однаковий iндекс,
який дорiвнює \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star . Окрiм того,
(A,B)
\bigl(
H(li)(\Omega )
\bigr)
=
\bigl\{
(f, g) \in \scrH (li - 2q)(\Omega ,\Gamma ) : виконується (10)
\bigr\}
. (27)
Означимо функцiю \psi \in \scrB за формулою (23), у якiй покладемо \alpha := \varphi . Ця функцiя є iнтер-
поляцiйним параметром згiдно з твердженням 1. Тому на пiдставi твердження 2 з обмеженостi
та нетеровостi обох операторiв (26) випливає обмеженiсть i нетеровiсть оператора
(A,B) :
\bigl[
H(l0)(\Omega ), H(l1)(\Omega )
\bigr]
\psi
\rightarrow
\bigl[
\scrH (l0 - 2q)(\Omega ,\Gamma ),\scrH (l1 - 2q)(\Omega ,\Gamma )
\bigr]
\psi
. (28)
Вiн є звуженням оператора (26) з i = 0. Покажемо, що (28) — це оператор (9) iз теореми 1.
На пiдставi тверджень 1 i 3 маємо такi рiвностi просторiв разом з еквiвалентнiстю норм у
них: \Bigl[
H(l0)(\Omega ), H(l1)(\Omega )
\Bigr]
\psi
= H\varphi (\Omega ),\Bigl[
\scrH (l0 - 2q)(\Omega ,\Gamma ),\scrH (l1 - 2q)(\Omega ,\Gamma )
\Bigr]
\psi
=
\Bigl[
H(l0 - 2q)(\Omega ), H(l1 - 2q)(\Omega )
\Bigr]
\psi
\oplus
\oplus
q\bigoplus
j=1
\Bigl[
H(l0 - mj - 1/2)(\Gamma ), H(l1 - mj - 1/2)(\Gamma )
\Bigr]
\psi
= \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ).
Тому обмежений i нетерiв оператор (28) дiє в парi просторiв (9). Оскiльки цей оператор є
продовженням за неперервнiстю вiдображення (3), то вiн є оператором (9). На пiдставi тверд-
ження 2 ядро цього оператора та його iндекс збiгаються зi спiльним ядром N i однаковим
iндексом \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star операторiв (26). Окрiм того, область значень оператора (9) дорiвнює
(A,B)
\bigl(
H\varphi (\Omega )
\bigr)
= \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) \cap (A,B)
\bigl(
H(l0)(\Omega )
\bigr)
=
=
\bigl\{
(f, g) \in \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) : виконується (10)
\bigr\}
.
Тут ми використали рiвнiсть (27) та вкладення
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) \lhook \rightarrow \scrH (l0 - 2q)(\Omega ,\Gamma ),
яке випливає з властивостi (8), оскiльки l0 < \sigma 0(\varphi ). Таким чином, доведено всi властивостi
оператора (9), сформульованi в теоремi 1.
Теорему 1 доведено.
Доведення леми 1. Скористаємося обмеженим нетеровим оператором (24) для s := m.
Згiдно з теоремою 4.1.4 [34], вимiрнiсть коядра цього оператора дорiвнює \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star . Лiнiйний
многовид C\infty (\Omega ) \times
\bigl(
C\infty (\Gamma )
\bigr) q
є щiльним у просторi \scrQ m - 2q(\Omega ,\Gamma ). Тому на пiдставi леми 2.1
[47] iснує скiнченновимiрний простiр G \subset C\infty (\Omega )\times
\bigl(
C\infty (\Gamma )
\bigr) q
такий, що
\scrQ m - 2q(\Omega ,\Gamma ) = G\dotplus (A,B)
\bigl(
Hm,(m+1)(\Omega )
\bigr)
. (29)
Звiдси випливає, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}G = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star .
Нехай число s задовольняє умову m + 1/2 < s < \sigma 0(\varphi ). Тодi виконуються неперервнi
вкладення
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) \lhook \rightarrow \scrH (s - 2q)(\Omega ,\Gamma ) = \scrQ s - 2q(\Omega ,\Gamma ) \lhook \rightarrow \scrQ m - 2q(\Omega ,\Gamma )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1500 Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
на пiдставi (8) i того, що простори Hs - 2q,(m+1 - 2q)(\Omega ) i H(s - 2q)(\Omega ) рiвнi з точнiстю до еквiва-
лентностi норм при s - 2q > m+1 - 2q - 1/2, як це зазначалося у доведеннi теореми 1. Окрiм
того, G \subset \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ). Тому з рiвностi (29) випливає формула
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) = G\dotplus
\bigl(
(A,B)
\bigl(
Hm,(m+1)(\Omega )
\bigr)
\cap \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
\bigr)
. (30)
Згiдно з теоремою 4.1.4 [34], область значень (A,B)(Hm,(m+1)(\Omega ) оператора (24), де s = m,
складається з усiх векторiв (f, g1, . . . , gq) \in \scrQ m - 2q(\Omega ,\Gamma ), якi задовольняють умову (10). Тому
другий доданок у сумi (30) складається з усiх векторiв (f, g1, . . . , gq) \in \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ), якi
задовольняють (10). Отже, (30) перетворюється на рiвнiсть (12). У нiй, згiдно з наведеними
мiркуваннями, простiр G не залежить вiд s.
Лему 1 доведено.
Доведення теореми 2. Згiдно з теоремою 1, N — ядро, а Q
\bigl(
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
\bigr)
— область значень
оператора (9). Тому звуження вiдображення (9) на простiр P
\bigl(
H\varphi (\Omega )
\bigr)
є обмеженим лiнiйним
бiєктивним оператором. Отже, вiн є iзоморфiзмом (13) за теоремою Банаха про обернений
оператор.
Теорему 2 доведено.
Доведення теореми 3. У випадку, коли \chi = \eta = 1, ця теорема є наслiдком скiнченновимiр-
ностi ядра i замкненостi областi значень оператора (9), доведених у теоремi 1, та компактностi
вкладення H\varphi \varrho - \lambda (\Omega ) \lhook \rightarrow H\varphi (\Omega ). Це стверджує лема Пiтре [48] (лема 3). У цьому випадку \lambda —
довiльне додатне число. Таким чином, iснує таке число \~c = \~c(\varphi , \lambda ) > 0, що для довiльної
функцiї v \in H\varphi (\Omega ) виконується глобальна апрiорна оцiнка
\| v\| H\varphi (\Omega ) \leq \~c
\Bigl( \bigm\| \bigm\| (A,B)v
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
+ \| v\|
H\varphi \varrho - \lambda (\Omega )
\Bigr)
. (31)
Виведемо з цiєї оцiнки теорему 3 для \lambda = 1. Зауважимо спочатку, що нерiвнiсть \lambda < \sigma 0(\varphi ) -
m + 1/2, вказана в умовi цiєї теореми, виконується для \lambda = 1. Довiльно виберемо функцiю
u \in H\varphi (\Omega ). Нехай функцiї \chi , \eta \in C\infty (\Omega ) такi, як в умовi теореми 3. Узявши v := \chi u \in H\varphi (\Omega )
i \lambda := 1 в оцiнцi (31), запишемо
\| \chi u\| H\varphi (\Omega ) \leq \~c
\Bigl( \bigm\| \bigm\| (A,B)(\chi u)
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
+ \| \chi u\|
H\varphi \varrho - 1 (\Omega )
\Bigr)
. (32)
Переставивши оператор множення на функцiю \chi з диференцiальними операторами A i B1, . . .
. . . , Bq, отримаємо рiвнiсть
(A,B)(\chi u) = (A,B)(\chi \eta u) = \chi (A,B)(\eta u) + (A\prime , B\prime )(\eta u) = \chi (A,B)u+ (A\prime , B\prime )(\eta u).
Тут A\prime — деякий лiнiйний диференцiальний оператор на \Omega порядку \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}A\prime \leq 2q - 1, а B\prime :=
:= (B\prime
1, . . . , B
\prime
q) — набiр деяких крайових лiнiйних диференцiальних операторiв на \Gamma , порядки
яких задовольняють умову \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}B\prime
j \leq mj - 1 для кожного j \in \{ 1, . . . , q\} . При цьому всi коефi-
цiєнти операторiв A\prime i B\prime
j належать до C\infty (\Omega ) i C\infty (\Gamma ) вiдповiдно. Таким чином,
(A,B)(\chi u) = \chi (A,B)u+ (A\prime , B\prime )(\eta u). (33)
Згiдно з твердженням 4, виконується нерiвнiсть
\| (A\prime , B\prime )(\eta u)\| \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
\leq c1\| \eta u\| H\varphi \varrho - 1 (\Omega )
. (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ЕЛIПТИЧНI ЗАДАЧI З КРАЙОВИМИ УМОВАМИ ВИСОКИХ ПОРЯДКIВ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 1501
Тут i далi у доведеннi через c1, . . . , c7 позначено деякi додатнi числа, що не залежать вiд u.
На пiдставi формул (32) – (34) отримаємо нерiвностi
\| \chi u\| H\varphi (\Omega ) \leq \~c
\Bigl( \bigm\| \bigm\| \chi (A,B)u
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
+
\bigm\| \bigm\| (A\prime , B\prime )(\eta u)
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
+ \| \chi u\|
H\varphi \varrho - 1 (\Omega )
\Bigr)
\leq
\leq \~c \| \chi (A,B)u\| \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
+ \~c c1\| \eta u\| H\varphi \varrho - 1 (\Omega )
+ \~c \| \chi u\|
H\varphi \varrho - 1 (\Omega )
.
Тут за твердженням 4
\| \chi u\|
H\varphi \varrho - 1 (\Omega )
= \| \chi \eta u\|
H\varphi \varrho - 1 (\Omega )
\leq c2\| \eta u\| H\varphi \varrho - 1 (\Omega )
.
Отже,
\| \chi u\| H\varphi (\Omega ) \leq c3
\Bigl( \bigm\| \bigm\| \chi (A,B)u
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
+ \| \eta u\|
H\varphi \varrho - 1 (\Omega )
\Bigr)
. (35)
З цiєї нерiвностi випливає оцiнка (14), оскiльки
\| \chi (A,B)u\| \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
= \| \chi \eta (A,B)u\| \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
\leq c4\| \eta (A,B)u\| \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
на пiдставi твердження 4. Теорему 3 доведено у випадку, коли \lambda = 1. Звiсно, вона є правильною
i у випадку, коли 0 < \lambda < 1.
Доведемо тепер цю теорему у випадку, коли
1 < \lambda < \sigma 0(\varphi ) - m+ 1/2. (36)
Для кожного дiйсного числа l \geq 1 позначимо через \scrP l висновок теореми 3 у випадку, коли
\lambda = l. А саме, \scrP l позначає таке твердження: для довiльних функцiй \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O} i \chi , \eta \in C\infty (\Omega ),
якi задовольняють умови \sigma 0(\varphi ) > m+ 1/2, l < \sigma 0(\varphi ) - m+ 1/2 i \eta = 1 в околi \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi , iснує
таке число c = c(\varphi , l, \chi , \eta ) > 0, що для довiльної функцiї u \in H\varphi (\Omega ) виконується нерiвнiсть
(14) з \lambda = l. Iстиннiсть твердження \scrP 1 доведено вище. Довiльно виберемо дiйснi числа l \geq 1
i \delta \in (0, 1]. Доведемо, що \scrP l \Rightarrow \scrP l+\delta .
Припустимо, що твердження \scrP l є iстинним. Нехай функцiї \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O} i \chi , \eta \in C\infty (\Omega ) задо-
вольняють умови \sigma 0(\varphi ) > m + 1/2, l + \delta < \sigma 0(\varphi ) - m + 1/2 i \eta = 1 в околi \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi . Тодi
знайдеться функцiя \eta 1 \in C\infty (\Omega ) така, що \eta 1 = 1 в околi \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi i \eta = 1 в околi \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \eta 1.
За припущенням iснує таке число c5 > 0, що для довiльної функцiї u \in H\varphi (\Omega ) виконується
оцiнка
\| \chi u\| H\varphi (\Omega ) \leq c5
\Bigl( \bigm\| \bigm\| \eta 1(A,B)u
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
+ \| \eta 1u\| H\varphi \varrho - l (\Omega )
\Bigr)
. (37)
Оскiльки \sigma 0(\varphi \varrho - l - \delta +1) > m+ 1/2, то на пiдставi твердження \scrP 1 маємо оцiнку
\| \eta 1u\| H\varphi \varrho - l (\Omega )
\leq \| \eta 1u\| H\varphi \varrho - l - \delta +1 (\Omega )
\leq
\leq c6
\Bigl( \bigm\| \bigm\| \eta (A,B)u
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - l - \delta +1 - 2q
(\Omega ,\Gamma )
+ \| \eta u\|
H\varphi \varrho - l - \delta (\Omega )
\Bigr)
. (38)
Окрiм того,\bigm\| \bigm\| \eta 1(A,B)u
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
=
\bigm\| \bigm\| \eta 1\eta (A,B)u
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
\leq c7
\bigm\| \bigm\| \eta (A,B)u
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
. (39)
На пiдставi оцiнок (37) – (39) записуємо
\| \chi u\| H\varphi (\Omega ) \leq c5c7
\bigm\| \bigm\| \eta (A,B)u
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
+ c5c6
\Bigl( \bigm\| \bigm\| \eta (A,B)u
\bigm\| \bigm\|
\scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
+ \| \eta u\|
H\varphi \varrho - l - \delta (\Omega )
\Bigr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1502 Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
тобто отримали нерiвнiсть (14) з \lambda = l + \delta . Iмплiкацiю \scrP l \Rightarrow \scrP l+\delta обґрунтовано.
Тепер можемо довести теорему 3 у випадку (36). За доведеним правильним є ланцюжок
iмплiкацiй
\scrP 1 \Rightarrow \scrP 2 \Rightarrow . . .\Rightarrow \scrP [\lambda ] \Rightarrow \scrP \lambda ,
де твердження \scrP 1 iстинне, а \scrP \lambda є висновком теореми 3 у дослiджуваному випадку (як звичайно,
[\lambda ] — цiла частина числа \lambda ). Тому цей висновок також є iстинним.
Теорему 3 доведено.
У зауваженнi 1 потребують обґрунтування друге i останнє речення. Друге речення обґрун-
товане у першому абзацi доведення цiєї теореми, а останнє речення є безпосереднiм наслiдком
оцiнки (35).
Доведення теореми 4. Спочатку обґрунтуємо цю теорему у випадку, коли \Omega 0 = \Omega i \Gamma 0 = \Gamma .
За умовою u \in H(s)(\Omega ) для деякого дiйсного числа s такого, шо m + 1/2 < s < \sigma 0(\varphi ), i
(f, g) = (A,B)u \in \scrH \varphi \rho - 2q
(\Omega ,\Gamma ). Тому
(f, g) \in \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ) \cap (A,B)
\bigl(
H(s)(\Omega )
\bigr)
= (A,B)
\bigl(
H\varphi (\Omega )
\bigr)
.
Тут рiвнiсть є правильною на пiдставi теореми 1. Отже, поряд з умовою (A,B)u = (f, g)
виконується рiвнiсть (A,B)v = (f, g) для деякого v \in H\varphi (\Omega ). Тому (A,B)(u - v) = 0, що за
теоремою 1обумовлює включення w := u - v \in N \subset C\infty (\Omega ). Звiдси u = v + w \in H\varphi (\Omega ). У
дослiджуваному випадку теорему 4 доведено.
Доведемо її в загальному випадку. Мiркування проведемо за схемою, наведеною в [28,
с. 308]. Довiльно виберемо вiдкриту множину V1 \subset \BbbR n таку, що V1 \subset V i \Omega \cap V1 \not = \varnothing , та
покладемо \Omega 1 := \Omega \cap V1 i \Gamma 1 := \Gamma \cap V1. Доведемо, що u належить H\varphi
loc(\Omega 1,\Gamma 1).
Нехай функцiї \chi , \eta \in C\infty (\Omega ) такi, що їх носiї лежать в \Omega 0 \cup \Gamma 0, \chi = 1 в околi \Omega 1 \cup \Gamma 1 та
\eta = 1 на \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi . За умовою u \in H(s)(\Omega ) для деякого s \in \BbbR такого, що m+1/2 < s < \sigma 0(\varphi ), i
(A,B)u = (f, g) \in \scrH \varphi \rho - 2q
loc (\Omega 0,\Gamma 0). Тому
(A,B)(\chi u) = \eta (A,B)(\chi u) = \eta (f, g) - \eta (A,B)
\bigl(
(1 - \chi )u
\bigr)
.
Використовуючи проектор P \star з теореми 2, записуємо (A,B)(\chi u) = P \star
\bigl(
\eta (f, g)
\bigr)
+ F, де
F := (1 - P \star )
\bigl(
\eta (f, g)
\bigr)
- \eta (A,B)
\bigl(
(1 - \chi )u
\bigr)
.
Оскiльки P \star
\bigl(
\eta (f, g)
\bigr)
належить P \star
\bigl(
\scrH \varphi \rho - 2q
(\Omega ,\Gamma )
\bigr)
, то
F = (A,B)(\chi u) - P \star
\bigl(
\eta (f, g)
\bigr)
\in P \star
\bigl(
\scrH \varrho s - 2q
(\Omega ,\Gamma )
\bigr)
.
За теоремою 2 iснують функцiї u1 \in H\varphi (\Omega ) i u2 \in H(s)(\Omega ) такi, що (A,B)u1 = P \star
\bigl(
\eta (f, g)
\bigr)
i
(A,B)u2 = F. Тодi (A,B)(\chi u - u1 - u2) = 0, звiдки
w := \chi u - u1 - u2 \in N \subset C\infty (\Omega )
на пiдставi теореми 1. Зазначимо, що F належить \scrH \varrho l - 2q
loc (\Omega 1,\Gamma 1) для кожного дiйсного числа
l > \sigma 1(\varphi ), оскiльки (1 - P \star )
\bigl(
\eta (f, g)
\bigr)
\in N \star i \eta (A,B)
\bigl(
(1 - \chi )u
\bigr)
= 0 на \Omega 1 \cup \Gamma 1. Тому
u2 \in H\varrho l
loc(\Omega 1,\Gamma 1) \subset H\varphi
loc(\Omega 1,\Gamma 1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ЕЛIПТИЧНI ЗАДАЧI З КРАЙОВИМИ УМОВАМИ ВИСОКИХ ПОРЯДКIВ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 1503
згiдно з теоремою про локальне пiдвищення регулярностi розв’язкiв елiптичних крайових задач
у просторах Соболєва (див., наприклад, [41], теорема 7.2.1). Таким чином,
\chi u = u1 + u2 + w \in H\varphi
loc(\Omega 1,\Gamma 1).
Отже, \zeta u = \zeta \chi u належить H\varphi (\Omega ) для довiльної функцiї \zeta \in C\infty (\Omega ), яка задовольняє умову
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \zeta \subset \Omega 1 \cup \Gamma 1, тобто u належить H\varphi
loc(\Omega 1,\Gamma 1). Тепер u належить H\varphi
loc(\Omega 0,\Gamma 0) згiдно iз
зробленим вибором множини V1.
Теорему 4 доведено.
Доведення теореми 5. Довiльно виберемо точку x \in \Omega 0 \cup \Gamma 0 i функцiю \chi \in C\infty (\Omega ) таку,
що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \Omega 0 \cup \Gamma 0 i \chi = 1 у деякому околi V (x) точки x. З теореми 4, умови (17) i
еквiвалентностi (16) випливає включення \chi u \in H\varphi (\Omega ) \subset Cp(\Omega ). Тому u \in Cp(V (x)). Звiдси,
з урахуванням довiльностi вибору точки x, робимо висновок, що u належить Cp(\Omega 0 \cup \Gamma 0).
Теорему 5 доведено.
Обґрунтуємо зауваження 2. Нехай 0 \leq p \in \BbbZ , \varphi \in \mathrm{R}\mathrm{O} i \sigma 0(\varphi ) > m+1/2. Припустимо, що
iмплiкацiя (18) iстинна. Нехай V — деяка вiдкрита куля така, що V \subset \Omega 0. Довiльно виберемо
функцiю v \in H\varphi (V ). Згiдно з означенням простору H\varphi (V ) виконується рiвнiсть v = u \upharpoonright V
для деякого u \in H\varphi (\Omega ). Оскiльки (A,B)u належить \scrH \varphi \varrho - 2q
(\Omega ,\Gamma ), то на пiдставi (18) маємо
включення u \in Cp(\Omega 0\cup \Gamma 0). Звiдси v \in Cp(V ). Таким чином, H\varphi (V ) \subset Cp(V ), що обумовлює
за собою умову (17) на пiдставi (16). Зауваження 2 обґрунтовано.
Доведення теореми 6. Включення u \in C2q(\Omega ) є наслiдком умов (19) i (21) на пiдставi
теореми 5, у якiй покладаємо p := 2q, \varphi := \varphi 1, \Omega 0 := \Omega i \Gamma 0 := \varnothing . Включення u \in Cm(U\sigma \cup \Gamma )
є наслiдком умов (19), (20) i (22) на пiдставi тiєї ж теореми, у якiй беремо \Omega 0 := U\sigma i \Gamma 0 := \Gamma .
Таким чином, розв’язок u є класичним.
Теорему 6 доведено.
Лiтература
1. Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci. Vol. 79. Part. Different. Equat., IX. – Berlin:
Springer, 1997. – P. 1 – 144.
2. Функциональный анализ Под общ. ред. С. Г. Крейна. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
3. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.: Мир, 1965. – 380 с.
4. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э.. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971. – 372 с.
5. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. – М.: Мир,
1980. – 664 с.
6. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. – М.: Мир, 1986. –
Т. 2. – 456 с.
7. Jacob N. Pseudodifferential operators and Markov processes: In 3 vols. – London: Imperial College Press, 2001,
2002, 2005.
8. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin; Boston: De Gruyter,
2014. – xii+297 p. (Видання росiйською доступне як arXiv:1106.3214.)
9. Nicola F., Rodino L. Global pseudodifferential calculas on Euclidean spaces. – Basel: Birkhäuser, 2010. – x+306 p.
10. Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem. – Berlin: Wiley-VCH, 2000. – 348 p.
11. Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäuser, 2001. – xii+425 p.
12. Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic operators in a refined scale of functional spaces // Ukr. Math. J. – 2005. – 57,
№ 5. – P. 817 – 825.
13. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scales of spaces and elliptic boundary-value problems. II // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 3. – P. 398 – 417.
14. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scales of spaces and elliptic boundary-value problems. III // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 5. – P. 744 – 765.
15. Mikhailets V. A., Murach A. A. Regular elliptic boundary-value problem for homogeneous equation in two-sided
refined scale of spaces // Ukr. Math. J. – 2006. – 58, № 11. – P. 1748 – 1767.
16. Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic boundary-value problem in a two-sided refined scale of spaces // Ukr.
Math. J. – 2008. – 60, № 4. – P. 574 – 597.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1504 Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
17. Murach A. A. Douglis-Nirenberg elliptic systems in the refined scale of spaces on a closed manifold // Methods
Funct. Anal. and Top. – 2008. – 14, № 2. – P. 142 – 158.
18. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
19. Karamata J. Sur certains “Tauberian theorems” de M. M. Hardy et Littlewood // Mathematica (Cluj). – 1930. – 3. –
P. 33 – 48.
20. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
21. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 512 p.
22. Murach A. A. On elliptic systems in Hörmander spaces // Ukr. Math. J. – 2009. – 61, № 3. – P. 467 – 477.
23. Zinchenko T. N., Murach A. A. Douglis – Nirenberg elliptic systems in Hörmander spaces // Ukr. Math. J. – 2013. –
64, № 11. – P. 1672 – 1687.
24. Zinchenko T. N., Murach A. A. Petrovskii elliptic systems in the extended Sobolev scale // J. Math. Sci. – 2014. –
196, № 5. – P. 721 – 732.
25. Anop A. V., Murach A. A. Parameter-elliptic problems and interpolation with a function parameter // Methods Funct.
Anal. and Top. – 2014. — 20, № 2. – P. 103 – 116.
26. Anop A. V., Murach A. A. Regular elliptic boundary-value problems in the extended Sobolev scale // Ukr. Math. J. –
2014. – 66, № 7. – P. 969 – 985.
27. Chepurukhina I. S., Murach A. A. Elliptic boundary-value problems in the sense of Lawruk on Sobolev and Hörmander
spaces // Ukr. Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 764 – 784. –
28. Anop A. V., Kasirenko T. M. Elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces // Methods Funct. Anal. and
Top. – 2016. – 22, № 4. – P. 295 – 310.
29. Los V., Mikhailets V. A., Murach A. A. An isomorphism theorem for parabolic problems in Hr̈mander spaces and its
applications // Communs Pure and Appl. Anal. – 2017. – 16, № 1. – P. 69 – 97.
30. Los V., Murach A. Isomorphism theorems for some parabolic initial-boundary value problems in Hr̈mander spaces //
Open Math. – 2017. – 15. – P. 57 – 76.
31. Avakumović V. G. O jednom O-inverznom stavu // Rad Jugoslovenske Akad. Znan. Umjet. – 1936. – 254. – P. 167 –
186.
32. Михайлец В. А., Мурач А. А. Об эллиптических операторах на замкнутом многообразии // Доп. НАН України. –
2009. – № 3. – С. 13 – 19.
33. Mikhailets V. A., Murach A. A. Extended Sobolev scale and elliptic operators // Ukr. Math. J. – 2013. – 65, № 3. –
P. 435 – 447.
34. Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities. –
Providence: Amer. Math. Soc., 1997. – 414 p.
35. Matuszewska W. On a generalization of regularly increasing functions // Stud. Math. – 1964. – 24. – P. 271 – 279.
36. Чепурухiна I. С. Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком у розширенiй соболєвськiй шкалi // Диференцiальнi
рiвняння i сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2015. – 12, № 2. С. 338 – 374.
37. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат.
наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
38. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces // Results Math. – 2015. – 67,
№ 1. – P. 135 – 152.
39. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. – М.: Мир, 1987. –
Т. 3. – 696 с.
40. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных
производных при общих граничных условиях. I. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. – 206 с.
41. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1996. – xii+415 p.
42. Eskin G. Lectures on linear partial differential equations. – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2011. – 410 p.
43. Вайнберг Б. Р., Грушин В. В. О равномерно неэллиптических задачах. II // Мат. сб. – 1967. – 73(115), № 4. –
С. 126 – 154.
44. Foiaş C., Lions J.-L. Sur certains théorèmes d’interpolation // Acta Sci. Math. Szeged. – 1961. – 22, № 3-4. –
P. 269 – 282.
45. Peetre J. On interpolation functions. II // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1968. – 29, № 1-2. – P. 91 – 92.
46. Ovchinnikov V. I. The methods of orbits in interpolation theory // Math. Repts. – London: Harwood Acad. Publ.,
1984. – 13. – P. 349 – 515.
47. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых векторах и индексах линейных
операторов // Успехи мат. наук. – 1957. – 12, № 2. – С. 43 – 118.
48. Peetre J. Another approach to elliptic boundary problems // Communs Pure and Appl. Math. – 1961. – 14, № 4. –
P. 711 – 731.
Одержано 00.00.00
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1797 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:51Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3c/2fa92b02a4e0db9f5dcfcedda7a9583c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17972019-12-05T09:27:02Z Elliptic problems with boundary conditions of higher orders in Hörmander spaces Еліптичні задачі з крайовими умовами високих порядків у просторах Хермандера Kasirenko, T. M. Murach, A. A. Касіренко, Т. М. Мурач, О. О. In a class of inner product H¨ormander spaces, we study a general elliptic problem for which the maximum order of the boundary conditions is not smaller than the order of the elliptic equation. The role of the order of regularity of these spaces is played by an arbitrary radial positive function $R_O$-varying at infinity in the sense of Avakumovi´c. We prove that the operator of the problem under investigation is bounded and Fredholm on the appropriate pairs of the indicated H¨ormander spaces. A theorem on isomorphism generated by this operator is proved. For the generalized solutions of this problem, we establish a local a priori estimate and prove the theorem on the local regularity of these solutions in H¨ormander spaces. As an application, we establish new sufficient conditions of continuity for the given generalized derivatives of the solutions. В классе гильбертовых пространств Хермандера исследована общая эллиптическая задача, для которой максимум порядков краевых условий больше, чем порядок эллиптического уравнения, или равнен ему. Показателем регулярности для этих пространств является произвольная радиальная положительная функция, $R_O$-меняющаяся на бесконечности по Авакумовичу. Показано, что оператор исследуемой задачи является ограниченным и нетеровым в подходящих парах указанных пространств Хермандера. Доказана теорема об изоморфизме, порожденном этим оператором. Для обобщенных решений этой задачи установлена локальная априорная оценка и доказана теорема об их локальной регулярности в пространствах Хермандера. В качестве приложения получены новые достаточные условия непрерывности заданных обобщенных производных решений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1797 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 11 (2017); 1486-1504 Український математичний журнал; Том 69 № 11 (2017); 1486-1504 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1797/779 Copyright (c) 2017 Kasirenko T. M.; Murach A. A. |
| spellingShingle | Kasirenko, T. M. Murach, A. A. Касіренко, Т. М. Мурач, О. О. Elliptic problems with boundary conditions of higher orders in Hörmander spaces |
| title | Elliptic problems with boundary conditions of higher orders in Hörmander spaces |
| title_alt | Еліптичні задачі з крайовими умовами високих порядків
у просторах Хермандера |
| title_full | Elliptic problems with boundary conditions of higher orders in Hörmander spaces |
| title_fullStr | Elliptic problems with boundary conditions of higher orders in Hörmander spaces |
| title_full_unstemmed | Elliptic problems with boundary conditions of higher orders in Hörmander spaces |
| title_short | Elliptic problems with boundary conditions of higher orders in Hörmander spaces |
| title_sort | elliptic problems with boundary conditions of higher orders in hörmander spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1797 |
| work_keys_str_mv | AT kasirenkotm ellipticproblemswithboundaryconditionsofhigherordersinhormanderspaces AT murachaa ellipticproblemswithboundaryconditionsofhigherordersinhormanderspaces AT kasírenkotm ellipticproblemswithboundaryconditionsofhigherordersinhormanderspaces AT muračoo ellipticproblemswithboundaryconditionsofhigherordersinhormanderspaces AT kasirenkotm elíptičnízadačízkrajovimiumovamivisokihporâdkívuprostorahhermandera AT murachaa elíptičnízadačízkrajovimiumovamivisokihporâdkívuprostorahhermandera AT kasírenkotm elíptičnízadačízkrajovimiumovamivisokihporâdkívuprostorahhermandera AT muračoo elíptičnízadačízkrajovimiumovamivisokihporâdkívuprostorahhermandera |