On rationally loxodromic holomorphic functions
We consider a functional equation of the form $f(qz) = R(z)f(z)$, where $R(z)$ is a rational function, $z \in C\setminus \{ 0\},\;q \in C\setminus \{ 0\},\; | q| < 1$. Holomorphic solutions of this equation are obtained. These solutions can be regarded as generalizations of p-loxodromic fu...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1798 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507659912871936 |
|---|---|
| author | Lukivska, Dz. V. Khrystiyanyn, A. Ya. Луківська, Дз. В. Христіянин, А. Я. |
| author_facet | Lukivska, Dz. V. Khrystiyanyn, A. Ya. Луківська, Дз. В. Христіянин, А. Я. |
| author_sort | Lukivska, Dz. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:27:02Z |
| description | We consider a functional equation of the form $f(qz) = R(z)f(z)$, where $R(z)$ is a rational function, $z \in C\setminus \{ 0\},\;q \in C\setminus \{ 0\},\; | q| < 1$. Holomorphic solutions of this equation are obtained. These solutions can be regarded as generalizations
of p-loxodromic functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
Дз. В. Лукiвська, А. Я. Христiянин (Львiв. нац. ун-т iм. I.Франка)
ПРО РАЦIОНАЛЬНО ЛОКСОДРОМНI ГОЛОМОРФНI ФУНКЦIЇ
We consider a functional equation of the form f(qz) = R(z)f(z), where R(z) is a rational function, z \in \BbbC \setminus \{ 0\} ,
q \in \BbbC \setminus \{ 0\} , | q| < 1. Holomorphic solutions of this equation are obtained. These solutions can be regarded as generalizations
of p-loxodromic functions.
Рассмотрено функциональное уравнение f(qz) = R(z)f(z), где R(z) — рациональная функция, z \in \BbbC \setminus \{ 0\} ,
q \in \BbbC \setminus \{ 0\} , | q| < 1. Найдены голоморфные решения этого уравнения. Эти решения являются некоторыми обобще-
ниями p-локсодромических функций.
Вступ. Позначимо \BbbC \ast = \BbbC \setminus \{ 0\} . Розглянемо рiвняння
f(qz) = p(z)f(z), z \in \BbbC \ast , (1)
де p(z) — деяка функцiя, q \in \BbbC \ast , | q| < 1. У випадку p(z) \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} розв’язками рiвняння (1)
є p-локсодромнi функцiї, тобто мероморфнi функцiї f, визначенi в \BbbC \ast , для яких виконується
f(qz) = pf(z), z \in \BbbC \ast [5]. Множину p-локсодромних функцiй iз мультиплiкатором q позна-
чатимемо через \scrL qp. Зокрема, якщо p(z) \equiv 1, то ми отримуємо класичнi локсодромнi функцiї.
Вони вивчалися у монографiях O. Раузенбергера [14], Ж. Валiрона [17] та I. Ельгуарша [3].
В останнi роки до тематики локсодромних функцiй та їх узагальнень неодноразово звертав-
ся А. Кондратюк та його учнi [4, 6 – 10, 12, 13]. Цi функцiї мають досить широкий спектр
застосувань, з деякими з них можна ознайомитися у роботах [2, 15].
Дану роботу присвячено пошуку голоморфних в \BbbC \ast розв’язкiв рiвняння (1) у випадку, коли
p(z) є рацiональною функцiєю.
Простi випадки Спочатку розглянемо функцiональне рiвняння
f(qz) =
a
zm
f(z), z \in \BbbC \ast , m \in \BbbZ . (2)
Знайдемо голоморфнi в \BbbC \ast розв’язки рiвняння (2).
Означення [5, 11, 16]. Функцiя, що визначається рiвнiстю
P (z) = (1 - z)
\infty \prod
n=1
(1 - qnz)
\biggl(
1 - qn
z
\biggr)
,
називається первинною функцiєю Шотткi – Кляйна.
Цю функцiю дослiджували Ф. Кляйн [11] та Ф. Шотткi [16] у другiй половинi XIX — на
початку XX ст. (див. також [1]). Ця функцiя голоморфна в \BbbC \ast i має нулi у точках \{ qn\} , n \in \BbbZ .
Первинна функцiя Шотткi – Кляйна має таку властивiсть [3, с. 94]:
P (qz) = - z - 1P (z). (3)
Спочатку знайдемо мероморфнi в \BbbC \ast розв’язки рiвняння (2).
Теорема 1. Мероморфна в \BbbC \ast функцiя f(z) = Pm
\bigl(
( - 1)mz
\bigr)
g(z), де g \in \scrL qa, задовольняє
рiвняння (2).
c\bigcirc ДЗ. В. ЛУКIВСЬКА, А. Я. ХРИСТIЯНИН, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11 1505
1506 ДЗ. В. ЛУКIВСЬКА, А. Я. ХРИСТIЯНИН
Доведення. Застосовуючи рiвнiсть (3) i a-локсодромнiсть функцiї g, отримуємо
f(qz) = Pm(q( - 1)mz)g(qz) =
\biggl(
- 1
( - 1)mz
P (( - 1)mz)
\biggr) m
ag(z) =
=
1
zm
Pm
\bigl(
( - 1)mz
\bigr)
ag(z) =
a
zm
f(z).
Теорема 2. Kожен мероморфний у \BbbC \ast розв’язок рiвняння (2) має вигляд f(z) =
= Pm
\bigl(
( - 1)mz
\bigr)
g(z), де g \in \scrL qa.
Доведення. Нехай f — мероморфний розв’язок (2). Очевидно,
f(z) =
f(z)
Pm(( - 1)mz)
Pm
\bigl(
( - 1)mz
\bigr)
= g(z)Pm(( - 1)mz),
де g(z) =
f(z)
Pm(( - 1)mz)
. Тодi
f(qz) = g(qz)Pm(q( - 1)mz) = g(qz)
\biggl(
- 1
( - 1)mz
P
\bigl(
( - 1)mz
\bigr) \biggr) m
= z - mPm
\bigl(
( - 1)mz
\bigr)
g(qz).
З iншого боку, з огляду на (2)
f(qz) = az - mPm(( - 1)mz)g(z).
Порiвнюючи правi частини цих рiвностей, отримуємо g(qz) = ag(z) для всiх z \not = qn, n \in \BbbZ .
Цього достатньо щоб зробити висновок, що g є a-локсодромною.
Теорему 2 доведено.
Повернемося до питання знаходження голоморфних розв’язкiв рiвняння (2). Обмежимося
спочатку випадком m \in \BbbN .
Теорема 3. Голоморфна в \BbbC \ast функцiя f(z) = Cz\nu
\prod m
j=1
P
\biggl(
z
cj
\biggr)
, де \nu \in \BbbZ , c1, c2, . . . , cm —
комплекснi числа, не обов’язково рiзнi, такi, що
\prod m
j=1
cj = ( - 1)maq - \nu , а C — стала, задо-
вольняє рiвняння (2).
Доведення. Використовуючи формулу (3), одержуємо
f(qz) = Cq\nu z\nu
m\prod
j=1
P
\biggl(
qz
cj
\biggr)
= Cq\nu z\nu
m\prod
j=1
\biggl(
- cj
z
P
\biggl(
z
cj
\biggr) \biggr)
=
= Cq\nu z\nu
( - 1)mc1c2 . . . cm
zm
m\prod
j=1
P
\biggl(
z
cj
\biggr)
=
a
zm
Cz\nu
m\prod
j=1
P
\biggl(
z
cj
\biggr)
=
a
zm
f(z).
Щоб описати всi голоморфнi в \BbbC \ast розв’язки (2), нам знадобиться наступна властивiсть
p-локсодромних функцiй.
Лема A ([5]). Нехай функцiя f належить \scrL qp. Якщо f голоморфна в \BbbC \ast , то f(z) \equiv 0
або iснує k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} таке, що p = qk i f(z) = Czk, де C — стала. Навпаки, голоморфна в \BbbC \ast
функцiя вигляду f(z) = Czk, де k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} , C — стала, належить до \scrL qp.
Тепер можемо довести таку теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ПРО РАЦIОНАЛЬНО ЛОКСОДРОМНI ГОЛОМОРФНI ФУНКЦIЇ 1507
Теорема 4. Kожен голоморфний у \BbbC \ast розв’язок рiвняння (2) можна зобразити у виглядi
f(z) = Cz\nu
\prod m
j=1
P
\biggl(
z
cj
\biggr)
, де \nu \in \BbbZ , c1, c2, . . . , cm — комплекснi числа, не обов’язково рiзнi,
такi, що
\prod m
j=1
cj = ( - 1)maq - \nu , а C — стала.
Доведення. Припустимо, що функцiя f є голоморфним в \BbbC \ast розв’язком рiвняння (2). Тодi,
за теоремою 2 f(z) = Pm(( - 1)mz)g(z), де g \in \scrL qa. Оскiльки функцiї f та P голоморфнi в
\BbbC \ast , то g або голоморфна в \BbbC \ast або має полюси, причому лише в точках
\bigl\{
( - 1)mqk
\bigr\}
, k \in \BbbZ , i
кратнiсть кожного полюса lk \leq m, lk \in \BbbN , k \in \BbbZ .
Якщо g є голоморфною, то g(z) \equiv Cz\nu [5]. Тодi f(z) = Cz\nu Pm(( - 1)mz) =
= Cz\nu
\prod m
j=1
P
\biggl(
z
cj
\biggr)
, де c1 = c2 = . . . = cm = ( - 1)m.
В iншому випадку використаємо теорему про зображення a-локсодромних функцiй через
первинну функцiю Шотткi – Кляйна (див. [5]). А саме, нехай c1, c2 . . . , cn та d1, d2 . . . , dn — нулi
i полюси функцiї g у кiльцi Aq(R) = \{ z \in \BbbC : | q| R < | z| \leq R\} , R > 0, вiдповiдно i \partial Aq(R)
не мiстить нi нулiв, нi полюсiв функцiї g \in \scrL qa. Зауважимо, що для кожної a-локсодромної
функцiї g кiлькiсть її нулiв дорiвнює кiлькостi її полюсiв (з урахуванням кратностей) у кожному
такому кiльцi Aq(R) [5]. Тодi [5]
g(z) = Cz\nu
P
\biggl(
z
c1
\biggr)
P
\biggl(
z
c2
\biggr)
. . . P
\biggl(
z
cn
\biggr)
P
\biggl(
z
d1
\biggr)
P
\biggl(
z
d2
\biggr)
. . . P
\biggl(
z
dn
\biggr) , (4)
де
c1c2 . . . cn
d1d2 . . . dn
=
a
q\nu
, \nu \in \BbbZ , (5)
а C — стала.
Зрозумiло, що кожне кiльце Aq(R) мiстить лише одну точку з послiдовностi
\bigl\{
( - 1)mqk
\bigr\}
,
k \in \BbbZ . Зручно вибрати таке кiльце Aq(R), що мiстить полюси d1 = d2 = . . . = dn = ( - 1)mq0 =
= ( - 1)m. Зауважимо, що n = l0, де l0 — кратнiсть полюса в точцi z = ( - 1)m. Оскiльки\prod n
j=1
dj = ( - 1)mn, то звiдси випливає, що c1c2 . . . cn = ( - 1)mnaq - \nu .
Тепер функцiю f можна записати у виглядi
f(z) = Cz\nu
P
\Bigl(
z
c1
\Bigr)
P (
z
c2
) . . . P
\biggl(
z
cn
\biggr)
Pn
\biggl(
z
( - 1)m
\biggr) Pm
\bigl(
( - 1)mz
\bigr)
або
f(z) = Cz\nu P
\biggl(
z
c1
\biggr)
P
\biggl(
z
c2
\biggr)
. . . P
\biggl(
z
cn
\biggr)
Pm - n
\bigl(
( - 1)mz
\bigr)
.
Зауважимо, що ( - 1)m
2
= ( - 1)m. У випадку m = n теорему 4 доведено. Якщо n < m,
то покладемо cn+1 = cn+2 = . . . = cm = ( - 1)m. Тодi f(z) = Cz\nu
\prod m
j=1
P
\biggl(
z
cj
\biggr)
i знову,
використовуючи рiвнiсть ( - 1)m
2
= ( - 1)m, отримуємо
\prod m
j=1
cj = ( - 1)maq - \nu .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1508 ДЗ. В. ЛУКIВСЬКА, А. Я. ХРИСТIЯНИН
Теорему 4 доведено.
Тепер розглянемо функцiональне рiвняння
f(qz) =
a
(b - z)m
f(z), z \in \BbbC \ast , m \in \BbbZ . (6)
Знайдемо його голоморфнi в \BbbC \ast розв’язки.
Визначимо цiлу функцiю з послiдовнiстю нулiв \{ q - n\} , n \in \BbbN \cup \{ 0\} , 0 < | q| < 1,
H(z) =
\infty \prod
n=0
(1 - qnz).
Нескладно показати, що
H(qz) =
1
1 - z
H(z), z \in \BbbC \ast . (7)
Спочатку знайдемо мероморфнi розв’язки рiвняння (6).
Теорема 5. Мероморфна в \BbbC \ast функцiя f(z) = Hm
\Bigl( z
b
\Bigr)
g(z), де g \in \scrL qp, p =
a
bm
, задо-
вольняє рiвняння (6).
Доведення. Справдi, використовуючи (7), маємо
H
\Bigl( qz
b
\Bigr)
=
b
b - z
H
\Bigl( z
b
\Bigr)
. (8)
Оскiльки g є p-локсодромною з p =
a
bm
, то
f(qz) = Hm
\Bigl( qz
b
\Bigr)
g(qz)
(8)
=
\biggl(
b
b - z
\biggr) m
Hm
\Bigl( z
b
\Bigr) a
bm
g(z) =
a
(b - z)m
Hm
\Bigl( z
b
\Bigr)
g(z).
Теорему 5 доведено.
Теорема 6. Кожен мероморфний у \BbbC \ast розв’язок рiвняння (6) можна зобразити у виглядi
f(z) = Hm
\Bigl( z
b
\Bigr)
g(z), де g \in \scrL qp, p =
a
bm
.
Доведення. Нехай f є розв’язком рiвняння (6). Розглянемо функцiю g(z) =
f(z)
Hm
\Bigl( z
b
\Bigr) .
Оскiльки f є мероморфною функцiєю, а H — голоморфною, то отримуємо, що g є меромор-
фною. Застосовуючи формули (6) i (8), бачимо, що
g(qz) =
f(qz)
Hm
\Bigl( qz
b
\Bigr) =
a
(b - z)m
f(z)\biggl(
b
b - z
\biggr) m
Hm
\Bigl( z
b
\Bigr) =
a
bm
g(z) = pg(z).
Таким чином, для всiх z \not = bq - n, n \in \BbbN \cup \{ 0\} можемо зробити висновок, що g(qz) = pg(z).
Iншими словами, g є p-локсодромною.
Теорему 6 доведено.
Аналогiчно до розгляду рiвняння (2) обмежимося спочатку випадком m > 0.
Теорема 7. Нехай m \in \BbbN , a = bmqk, де k — додатне цiле. Тодi голоморфна в \BbbC \ast функцiя
f(z) = CzkHm
\Bigl( z
b
\Bigr)
, де C — стала, задовольняє рiвняння (6).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ПРО РАЦIОНАЛЬНО ЛОКСОДРОМНI ГОЛОМОРФНI ФУНКЦIЇ 1509
Доведення. Легко бачити, що
(b - z)mf(qz) = (b - z)mCqkzkHm
\Bigl( qz
b
\Bigr)
(8)
= (b - z)mCqkzk
\biggl(
b
b - z
\biggr) m
Hm
\Bigl( z
b
\Bigr)
= af(z).
Теорема 8. Нехай m \in \BbbN , a = bmqk, де k — додатне цiле. Тодi кожен голоморфний у \BbbC \ast
розв’язок рiвняння (6) має вигляд f(z) = CzkHm
\Bigl( z
b
\Bigr)
, де C — стала.
Доведення. Припустимо, що f є голоморфним у \BbbC \ast розв’язком (6). За теоремою 6
f(z) = Hm
\Bigl( z
b
\Bigr)
g(z), (9)
де g \in \scrL qp, p =
a
bm
. Запишемо (9) у виглядi
g(z) =
f(z)
Hm
\Bigl( z
b
\Bigr) . (10)
Функцiї f i H є голоморфними в \BbbC \ast . Ми також знаємо, що Hm має нулi в точках \{ bq - n\} ,
n \in \BbbN \cup \{ 0\} , кратностi m.
Якщо f має лише тi самi нулi, що i H, то g не має нулiв. Тодi g \in \scrL qp є голоморфною i за
лемою A g(z) \equiv Czk. В цьому випадку теорему доведено.
Припустимо, що f має також нулi, вiдмiннi вiд \{ bq - n\} , n \in \BbbN \cup \{ 0\} , тодi g має нулi.
А тому за властивiстю p-локсодромної функцiї [3, с. 93] g також має полюси. Оскiльки f є
голоморфним у \BbbC \ast розв’язком, то g може мати полюси лише у точках \{ bq - n\} , n \in \BbbN \cup \{ 0\} ,
кратностi ln \leq m.
Використаємо зображення g \in \scrL qp в кiльцi Aq(R), а саме рiвнiсть (4). Кожне кiльце Aq(R)
мiстить лише одну точку з послiдовностi \{ bq - n\} , n \in \BbbN \cup \{ 0\} . Виберемо таке кiльце Aq(R),
що мiстить полюси d1 = d2 = . . . = dl = q0 = b. Зауважимо що l = l0, де l0 — кратнiсть
полюса в точцi z = b. Тодi можна переписати (9) у виглядi
f(z) = Cz\nu
l\prod
j=1
P
\biggl(
z
cj
\biggr)
P l
\Bigl( z
b
\Bigr) Hm
\Bigl( z
b
\Bigr)
.
Оскiльки P
\Bigl( z
b
\Bigr)
має нулi в точках \{ bqn\} , n \in \BbbZ , а H
\Bigl( z
b
\Bigr)
— лише в точках \{ bq - n\} , n \in \BbbN \cup \{ 0\} ,
то приходимо до суперечностi.
Теорему 8 доведено.
Якщо m = 0, то розв’язками рiвнянь (2) i (6) є клас a-локсодромних функцiй. Нарештi, для
вiд’ємних цiлих m маємо таке твердження.
Теорема 9. Якщо m — вiд’ємне цiле, то рiвняння (2) i (6) не мають голоморфних в \BbbC \ast
розв’язкiв.
Доведення. Розглянемо рiвняння (2). Нехай m < 0 i, для визначеностi, m є парним. При-
пустимо, що iснує голоморфний у \BbbC \ast розв’язок f рiвняння (2). У цьому випадку за теоремою 2
вiн має вигляд f(z) = Pm(z)g(z), де g \in \scrL qa. Тодi g(z) = f(z)P - m(z). Як ми бачимо, g є
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1510 ДЗ. В. ЛУКIВСЬКА, А. Я. ХРИСТIЯНИН
голоморфною в \BbbC \ast . З огляду на лему A можна стверджувати, що g(z) \equiv Czk, k \in \BbbZ , C —
стала.
Але, з iншого боку, функцiя f(z) = CzkPm(z), де C — стала, не буде голоморфною в \BbbC \ast ,
бо f матиме полюси в точках \{ qn\} , n \in \BbbZ . Це суперечить нашому припущенню.
Мiркуючи аналогiчно, лише використовуючи H
\Bigl( z
b
\Bigr)
замiсть P (z) та застосовуючи теоре-
му 6 i лему A, доводимо теорему для рiвняння (6).
Загальний випадок. Нехай R — рацiональна функцiя. Тодi
R(z) = Czm
(a1 - z)(a2 - z) . . . (ak - z)
(b1 - z)(b2 - z) . . . (bl - z)
, m \in \BbbZ , (11)
де a1, a2, . . . , ak i b1, b2, . . . , bl — вiдмiннi вiд нуля комплекснi числа, не обов’язково рiзнi, такi,
що ai \not = bj для всiх i, j, а C — стала.
Тепер розглянемо бiльш загальне рiвняння
f(qz) = R(z)f(z), z \in \BbbC \ast . (12)
Використовуючи результати iз попереднього пункту, можемо описати мероморфнi в \BbbC \ast розв’яз-
ки рiвняння (12).
Теорема 10. Нехай a1, a2, . . . , ak i b1, b2, . . . , bl — вiдмiннi вiд нуля комплекснi числа, не
обов’язково рiзнi, такi, що ai \not = bj для всiх i, j, а C — стала, m \in \BbbZ , g \in \scrL qp, де p =
= C
a1a2 . . . ak
b1b2 . . . bl
. Мероморфна в \BbbC \ast функцiя
f(z) =
H
\biggl(
z
b1
\biggr)
H
\biggl(
z
b2
\biggr)
. . . H
\biggl(
z
bl
\biggr)
H
\biggl(
z
a1
\biggr)
H
\biggl(
z
a2
\biggr)
. . . H
\biggl(
z
ak
\biggr)
Pm
\bigl(
( - 1)mz
\bigr) g(z)
задовольняє рiвняння (12).
Доведення. Використовуючи формулу (7), отримуємо
H
\Bigl( qz
a
\Bigr)
=
a
a - z
H
\Bigl( z
a
\Bigr)
. (13)
З огляду на рiвностi (3), (13) i беручи до уваги вибiр p, одержуємо
f(qz) =
H
\biggl(
qz
b1
\biggr)
H
\biggl(
qz
b2
\biggr)
. . . H
\biggl(
qz
bl
\biggr)
H
\biggl(
qz
a1
\biggr)
H
\biggl(
qz
a2
\biggr)
. . . H
\biggl(
qz
ak
\biggr)
Pm
\bigl(
q( - 1)mz
\bigr) g(qz) (3),(13)
=
(3),(13)
=
b1
b1 - z
H
\biggl(
z
b1
\biggr)
b2
b2 - z
H
\biggl(
z
b2
\biggr)
. . .
bl
bl - z
H
\biggl(
z
bl
\biggr)
a1
a1 - z
H
\biggl(
z
a1
\biggr)
a2
a2 - z
H
\biggl(
z
a2
\biggr)
. . .
ak
ak - z
H
\biggl(
z
ak
\biggr) \biggl(
- 1
( - 1)mz
P
\bigl(
( - 1)mz
\bigr) \biggr) m pg(z) =
= Czm
(a1 - z)(a2 - z) . . . (ak - z)
(b1 - z)(b2 - z) . . . (bl - z)
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ПРО РАЦIОНАЛЬНО ЛОКСОДРОМНI ГОЛОМОРФНI ФУНКЦIЇ 1511
\times
H
\biggl(
z
b1
\biggr)
H
\biggl(
z
b2
\biggr)
. . . H
\biggl(
z
bl
\biggr)
H
\biggl(
z
a1
\biggr)
H
\biggl(
z
a2
\biggr)
. . . H
\biggl(
z
ak
\biggr)
Pm
\bigl(
( - 1)mz
\bigr) g(z) = R(z)f(z).
Теорему 10 доведено.
Теорема 11. Нехай a1, a2, . . . , ak i b1, b2, . . . , bl — вiдмiннi вiд нуля комплекснi числа, не
обов’язково рiзнi, такi, що ai \not = bj для всiх i, j, C — стала, m \in \BbbZ , g \in \scrL qp, де p =
= C
a1a2 . . . ak
b1b2 . . . bl
. Тодi кожен мероморфний у \BbbC \ast розв’язок рiвняння (12) має вигляд
f(z) =
H
\biggl(
z
b1
\biggr)
H
\biggl(
z
b2
\biggr)
. . . H
\biggl(
z
bl
\biggr)
H
\biggl(
z
a1
\biggr)
H
\biggl(
z
a2
\biggr)
. . . H
\biggl(
z
ak
\biggr)
Pm
\bigl(
( - 1)mz
\bigr) g(z).
Доведення. Нехай f є мероморфним у \BbbC \ast розв’язком рiвняння (12). Розглянемо функцiю
g(z) =
f(z)H
\biggl(
z
a1
\biggr)
H
\biggl(
z
a2
\biggr)
. . . H
\biggl(
z
ak
\biggr)
Pm
\bigl(
( - 1)mz
\bigr)
H
\biggl(
z
b1
\biggr)
H
\biggl(
z
b2
\biggr)
. . . H
\biggl(
z
bl
\biggr) . (14)
Очевидно, що g мероморфна в \BbbC \ast . Тепер розглянемо g(qz),
g(qz) =
f(qz)H
\biggl(
qz
a1
\biggr)
H
\biggl(
qz
a2
\biggr)
. . . H
\biggl(
qz
ak
\biggr)
Pm
\bigl(
q( - 1)mz
\bigr)
H
\biggl(
qz
b1
\biggr)
H
\biggl(
qz
b2
\biggr)
. . . H
\biggl(
qz
bl
\biggr) (12)
=
(12)
= R(z)f(z)
H
\biggl(
qz
a1
\biggr)
H
\biggl(
qz
a2
\biggr)
. . . H
\biggl(
qz
ak
\biggr)
Pm
\bigl(
q( - 1)mz
\bigr)
H
\biggl(
qz
b1
\biggr)
H
\biggl(
qz
b2
\biggr)
. . . H
\biggl(
qz
bl
\biggr) .
Застосовуючи (11) i (14), отримуємо
g(qz) = Czm
(a1 - z)(a2 - z) . . . (ak - z)
(b1 - z)(b2 - z) . . . (bl - z)
H
\biggl(
z
b1
\biggr)
H
\biggl(
z
b2
\biggr)
. . . H
\biggl(
z
bl
\biggr)
H
\biggl(
z
a1
\biggr)
H
\biggl(
z
a2
\biggr)
. . . H
\biggl(
z
ak
\biggr)
Pm
\bigl(
( - 1)mz
\bigr) g(z)\times
\times
H
\biggl(
qz
a1
\biggr)
H
\biggl(
qz
a2
\biggr)
. . . H
\biggl(
qz
ak
\biggr)
Pm(q( - 1)mz)
H
\biggl(
qz
b1
\biggr)
H
\biggl(
qz
b2
\biggr)
. . . H
\biggl(
qz
bl
\biggr) .
Використовуючи (3) i (13), записуємо g(qz) таким чином:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1512 ДЗ. В. ЛУКIВСЬКА, А. Я. ХРИСТIЯНИН
g(qz) = Czm
(a1 - z)(a2 - z) . . . (ak - z)
(b1 - z)(b2 - z) . . . (bl - z)
H
\biggl(
z
b1
\biggr)
H
\biggl(
z
b2
\biggr)
. . . H
\biggl(
z
bl
\biggr)
H
\biggl(
z
a1
\biggr)
H
\biggl(
z
a2
\biggr)
. . . H
\biggl(
z
ak
\biggr)
Pm
\bigl(
( - 1)mz
\bigr) g(z)\times
\times
a1
a1 - z
H
\biggl(
z
a1
\biggr)
a2
a2 - z
H
\biggl(
z
a2
\biggr)
. . .
ak
ak - z
H
\biggl(
z
ak
\biggr)
( - 1
( - 1)mz
P
\bigl(
( - 1)mz)
\bigr) m
b1
b1 - z
H
\biggl(
z
b1
\biggr)
b2
b2 - z
H
\biggl(
z
b2
\biggr)
. . .
bl
bl - z
H
\biggl(
z
bl
\biggr) .
Спрощуючи вираз у правiй частинi останньої рiвностi та враховуючи вибiр p, одержуємо
g(qz) = C
a1a2 . . . ak
b1b2 . . . al
g(z) = pg(z).
Таким чином, для всiх z \not = qn, n \in \BbbZ , виконується g(qz) = pg(z). Це означає, що g є p-
локсодромною з мультиплiкатором q.
Теорему 11 доведено.
Беручи до уваги доведенi вище твердження, можемо очiкувати, що голоморфнi в \BbbC \ast розв’яз-
ки рiвняння (12) iснуватимуть лише за умови, що
R(z) =
M(z)
zm(b1 - z)(b2 - z) . . . (bl - z)
,
де b1, b2, . . . , bl — вiдмiннi вiд нуля комплекснi числа, не обов’язково рiзнi, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}M(z) = 0 i
m \geq 0.
За таких умов рiвняння (12) набирає вигляду
f(qz) =
M
zm(b1 - z)(b2 - z) . . . (bl - z)
f(z), z \in \BbbC \ast , M = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} . (15)
Ми отримали наступнi теореми, якi описують голоморфнi в \BbbC \ast розв’язки рiвняння (15).
Теорема 12. Голоморфна в \BbbC \ast функцiя f(z) = Cz\nu
\prod l
i=1
H
\biggl(
z
bi
\biggr) \prod m
j=1
P
\biggl(
z
cj
\biggr)
, де \nu \in
\in \BbbZ \setminus \{ 0\} , c1, c2, . . . cm, — вiдмiннi вiд нуля комплекснi числа, не обов’язково рiзнi, а C — стала,
задовольняють рiвняння (15) з M = ( - 1)mq\nu
\prod l
i=1
bi
\prod m
j=1
cj .
Доведення. Справдi, використовуючи (3) i (13), отримуємо
f(qz) = Cq\nu z\nu
l\prod
i=1
H
\biggl(
qz
bi
\biggr) m\prod
j=1
P
\biggl(
qz
cj
\biggr)
= Cq\nu z\nu
l\prod
i=1
bi
bi - z
H
\biggl(
z
bi
\biggr) m\prod
j=1
\biggl(
- cj
z
P
\biggl(
z
cj
\biggr) \biggr)
=
=
M
l\prod
i=1
(bi - z)
Cz\nu
l\prod
i=1
H
\biggl(
z
bi
\biggr)
P
\biggl(
z
cj
\biggr)
=
M
(b1 - z)(b2 - z) . . . (bl - z)
f(z).
Теорема 13. Кожен голоморфний у \BbbC \ast розв’язок рiвняння (15) можна записати у виглядi
f(z) = Cz\nu
\prod l
i=1
H
\biggl(
z
bi
\biggr) \prod m
j=1
P
\biggl(
z
cj
\biggr)
, де C — стала, \nu \in \BbbZ \setminus \{ 0\} , c1, c2, . . . cm, — вiдмiннi
вiд нуля комплекснi числа, не обов’язково рiзнi, такi що M = ( - 1)mq\nu
\prod l
i=1
bi
\prod m
j=1
cj .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ПРО РАЦIОНАЛЬНО ЛОКСОДРОМНI ГОЛОМОРФНI ФУНКЦIЇ 1513
Доведення. Нехай f є голоморфним у \BbbC \ast розв’язком рiвняння (15). Згiдно з теоремою 11,
мероморфнi розв’язки рiвняння (15) мають вигляд
f(z) =
l\prod
i=1
H
\biggl(
z
bi
\biggr)
Pm(( - 1)mz)g(z),
де g \in \scrL qp, p =
M
b1b2 . . . bl
. З цiєї множини розв’язкiв ми вибиратимемо голоморфнi в \BbbC \ast
функцiї. Можливi такi випадки:
1. Якщо g голоморфна, то f є добутком голоморфних функцiй, тобто f буде голоморфним
у \BbbC \ast розв’язком рiвняння (15).
Зауважимо що в даному випадку, за лемою А g(z) \equiv 0 або iснує \nu \in \BbbZ \setminus \{ 0\} таке, що
p =
M
b1b2 . . . bl
= q\nu i g(z) = Cz\nu , де C — стала. Iншими словами, функцiя f набирає вигляду
f(z) = Cz\nu Pm(( - 1)mz)
l\prod
i=1
H
\biggl(
z
bi
\biggr)
,
причому в цьому випадку M = q\nu
\prod l
i=1
bi = ( - 1)mq\nu
\prod l
i=1
bi
\prod m
j=1
( - 1)m, оскiльки
( - 1)m
2+m = 1.
2. Якщо g мероморфна i g має принаймнi один полюс, вiдмiнний вiд нулiв P
\bigl(
( - 1)mz
\bigr)
та
H
\biggl(
z
bi
\biggr)
, то очевидно, що f не буде голоморфною.
3. Нехай g мероморфна i має полюси в точках, якi є нулями функцiї H
\biggl(
z
bi
\biggr)
. Ми маємо
H
\biggl(
z
bi
\biggr)
= 0 \leftrightarrow z = biq
k,, k \in \BbbN \cup \{ 0\} . Оскiльки g є p-локсодромною, то g також матиме
полюси в точках z = biq
- k,, k \in \BbbN . Але в цьому випадку f не буде голоморфною.
4. Нехай g мероморфна i має полюси лише в точках, якi є нулями P, тобто g має полюси
лише в точках z = ( - 1)mqk, k \in \BbbZ . Через lk позначимо кратнiсть кожного такого полюса g.
Тодi необхiдною умовою для отримання голоморфного розв’язку f є умова lk \leq m.
Використовуючи зображення (4) p-локсодромної функцiї i мiркуючи, як при доведеннi
теореми 4,
f(z) = Pm
\biggl(
( - 1)mz
1
\biggr) l\prod
i=1
H
\biggl(
z
bi
\biggr)
Cz\nu
P
\biggl(
z
c1
\biggr)
P
\biggl(
z
c2
\biggr)
. . . P
\biggl(
z
cl0
\biggr)
P l0
\biggl(
z
( - 1)m
\biggr) ,
де
c1c2 . . . cl0
( - 1)ml0
=
p
q\nu
, \nu \in \BbbZ . (16)
Оскiльки l0 \leq m, то f є голоморфною. Позначаючи cl0+1 = cl0+2 = . . . = cm = ( - 1)m,
функцiю f можна записати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1514 ДЗ. В. ЛУКIВСЬКА, А. Я. ХРИСТIЯНИН
f(z) = Cz\nu
l\prod
i=1
H
\biggl(
z
bi
\biggr) m\prod
j=1
P
\biggl(
z
cj
\biggr)
,
де C — стала. При цьому з урахуванням (16) M = ( - 1)mq\nu
\prod l
i=1
bi
\prod m
j=1
cj .
Теорему 13 доведено.
Лiтература
1. Crowdy D. G. Geometric function theory: a modern view of a classical subject // Nonlinearity. – 2008. – 21, № 10. –
P. T205 – T219.
2. Marcotte J. Matthew salomone loxodromic spirals in M. C. Escher’s sphere surface // J. Humanist. Math. – 2014. –
4, № 2. – P. 25 – 46.
3. Hellegouarch Y. Invitation to the mathematics of Fermat – Wiles. Acad. Press, 2002.
4. Hushchak O., Kondratyuk A. The Julia exceptionality of loxodromic meromorphic functions // Vicnyk Lviv Univ.
Ser. Mech., Math. – 2013. – 78. – P. 35 – 41.
5. Khoroshchak V. S., Khrystiyanyn A. Ya., Lukivska D. V. A class of Julia exceptional functions // Carpath. Math. Publ. –
2016. – 8, № 1. – P. 172 – 180.
6. Khoroshchak V. S., Kondratyuk A. A. The Riesz measures and a representation of multiplicatively periodic \delta -
subharmonic functions in a punctured euclidean space // Mat. Stud. – 2015. – 43, № 1. – P. 61 – 65.
7. Khoroshchak V. S., Sokulska N. B. Multiplicatively periodic meromorphic functions in the upper halfplane // Mat.
Stud. – 2014. – 42, № 2. – P. 143 – 148.
8. Khoroshchak V. S., Kondratyuk A. A. Stationary harmonic functions on homogeneous spaces // Ufimsk. Mat. Zh. –
2015. – 7, № 4. – P. 155 – 159.
9. Khrystiyanyn A. Ya., Kondratyuk A. A. Meromorphic mappings of torus onto the Riemann sphere // Carpath. Math.
Publ. – 2012. – 4, № 1. – P. 155 – 159.
10. Khrystiyanyn A. Ya., Kondratyuk A. A. Modulo-loxodromic meromorphic function in C\setminus 0 // Ufimsk. Mat. Zh. –
2016. – 8, № 4. – P. 156 – 162.
11. Klein F. Zur Theorie der Abel’schen Functionen // Math. Ann. – 1890. – 36. – P. 1 – 83.
12. Kondratyuk A. A., Zaborovska V. S. Multiplicatively periodic subharmonic functions in the punctured Euclidean
space // Mat. Stud. – 2013. – 40, № 2. – P. 159 – 164.
13. Kondratyuk A. A. Loxodromic meromorphic and \delta -subharmonic functions // Proc. Workshop Complex Anal. and
Appl. Different. and Functi. Equat. . – 2014. – 14. – P. 89 – 99.
14. Rausenberger O. Lehrbuch der Theorie der periodischen Functionen einer Variabeln. – Leipzig: Druck und Ferlag
von B. G Teubner, 1884.
15. Kos S., Pogány T. K. On the mathematics of navigational calculations for meridian sailing // Electron. J. Geogr. and
Math. – 2012.
16. Schottky F. Über eine specielle Function welche bei einer bestimmten linearen Transformation ihres Arguments
unverändert bleibt // J. reine und angew. Math. – 1887. – 101.
17. Valiron G. Cours d’Analyse Mathematique. Theorie des fonctions, 2nd Ed. – Masson et.Cie., Paris, 1947.
Одержано 17.04.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1798 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:50Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3b/9062a83d0cfd8d7ed0fbb9e7bb3b073b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17982019-12-05T09:27:02Z On rationally loxodromic holomorphic functions Про раціонально локсодромні голоморфні функції Lukivska, Dz. V. Khrystiyanyn, A. Ya. Луківська, Дз. В. Христіянин, А. Я. We consider a functional equation of the form $f(qz) = R(z)f(z)$, where $R(z)$ is a rational function, $z \in C\setminus \{ 0\},\;q \in C\setminus \{ 0\},\; | q| < 1$. Holomorphic solutions of this equation are obtained. These solutions can be regarded as generalizations of p-loxodromic functions. Рассмотрено функциональное уравнение $f(qz) = R(z)f(z)$, где $R(z)$ — рациональная функция,$z \in C\setminus \{ 0\},\;q \in C\setminus \{ 0\},\; | q| < 1$. Найдены голоморфные решения этого уравнения. Эти решения являются некоторыми обобще- ниями p-локсодромических функций. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1798 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 11 (2017); 1505-1514 Український математичний журнал; Том 69 № 11 (2017); 1505-1514 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1798/780 Copyright (c) 2017 Lukivska Dz. V.; Khrystiyanyn A. Ya. |
| spellingShingle | Lukivska, Dz. V. Khrystiyanyn, A. Ya. Луківська, Дз. В. Христіянин, А. Я. On rationally loxodromic holomorphic functions |
| title | On rationally loxodromic holomorphic functions |
| title_alt | Про раціонально локсодромні голоморфні функції |
| title_full | On rationally loxodromic holomorphic functions |
| title_fullStr | On rationally loxodromic holomorphic functions |
| title_full_unstemmed | On rationally loxodromic holomorphic functions |
| title_short | On rationally loxodromic holomorphic functions |
| title_sort | on rationally loxodromic holomorphic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1798 |
| work_keys_str_mv | AT lukivskadzv onrationallyloxodromicholomorphicfunctions AT khrystiyanynaya onrationallyloxodromicholomorphicfunctions AT lukívsʹkadzv onrationallyloxodromicholomorphicfunctions AT hristíâninaâ onrationallyloxodromicholomorphicfunctions AT lukivskadzv proracíonalʹnoloksodromnígolomorfnífunkcíí AT khrystiyanynaya proracíonalʹnoloksodromnígolomorfnífunkcíí AT lukívsʹkadzv proracíonalʹnoloksodromnígolomorfnífunkcíí AT hristíâninaâ proracíonalʹnoloksodromnígolomorfnífunkcíí |