On a Banach algebra generated by the Bergman operator, constant coefficients, and finitely generated groups of shifts
We study a Banach algebra generated by the Bergman operator, constant coefficients, and shifts formed by finitely generated commutative groups of hyperbolic transformations of the unit disk acting in the Lebesgue space $L_p, p > 1$, and obtain an effective criterion for the operators from the...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1799 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507664202596352 |
|---|---|
| author | Mozel’, V. A. Мозель, В. А. Мозель, В. А. |
| author_facet | Mozel’, V. A. Мозель, В. А. Мозель, В. А. |
| author_sort | Mozel’, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:27:02Z |
| description | We study a Banach algebra generated by the Bergman operator, constant coefficients, and shifts formed by finitely generated
commutative groups of hyperbolic transformations of the unit disk acting in the Lebesgue space $L_p, p > 1$, and obtain an
effective criterion for the operators from the considered Banach algebra to be Fredholm operators. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 983
В. А. Мозель (Отд-ние гидроакустики Ин-та геофизики НАН Украины, Одесса)
О БАНАХОВОЙ АЛГЕБРЕ, ПОРОЖДEННОЙ ОПЕРАТОРОМ БЕРГМАНА,
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И КОНЕЧНОПОРОЖДЕННЫМИ ГРУППАМИ СДВИГОВ
We study a Banach algebra generated by the Bergman operator, constant coefficients, and shifts formed by finitely generated
commutative groups of hyperbolic transformations of the unit disk acting in the Lebesgue space Lp , p > 1, and obtain an
effective criterion for the operators from the considered Banach algebra to be Fredholm operators.
Вивчається банахова алгебра, породжена дiючими у лебеговому просторi Lp, p > 1, оператором Бергмана, сталими
коефiцiєнтами та зсувами, утвореними скiнченнопородженими комутативними групами гiперболiчних перетворень
одиничного круга. Як результат одержано ефективний критерiй фредгольмовостi операторiв розглянутої банахової
алгебри.
1. Введение. Пусть D — единичный круг комплексной плоскости. В банаховом пространстве
Lp(D), p > 1, введем следующие операторы:
(Bf)(z) =
1
\pi
\int \int
D
f(\zeta )
(1 - \=\zeta z)2
dD\zeta
— известный оператор Бергмана;
(Wgf)(z) =
\bigm| \bigm| g\prime (z)\bigm| \bigm| 2/p f(g(z))
— изометрический оператор взвешенного сдвига, где g \in G — элемент бесконечной ком-
мутативной группы G = \langle g1, g2, . . . , gn\rangle , порожденной конечным числом образующих gs,
s = 1, 2, . . . , n, которые являются гиперболическими дробно-линейными преобразованиями
единичного круга с общей парой неподвижных точек, лежащих на границе. В данной работе
изучается банахова алгебра \frakB = \mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g} (\frakC ,WG), которая является расширением алгебры \frakC опе-
раторов вида Ag = \alpha gI + \beta gB + L \in \frakC , где \alpha g, \beta g \in \BbbC — комплексные постоянные, L —
компактный оператор, с помощью операторов \{ Wg : g \in G\} . Операторы алгебры \frakB имеют вид
M =
\sum
g\in G
AgWg, а норма в алгебре \frakB вводится правилом
| | | M | | | =
\sum
g\in G
| | | Ag| | | . (1)
Легко видеть, что
| | | Ag| | | = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ | \alpha g| , | \gamma g| = | \alpha g + \beta g| \} .
Операторы алгебры \frakB можно представить в виде
M = A(I - B) + CB + L, (2)
где L — компактный оператор, B — оператор Бергмана, A и C — функциональные операторы
вида
c\bigcirc В. А. МОЗЕЛЬ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11 1515
1516 В. А. МОЗЕЛЬ
A =
\sum
g\in G
\alpha gWg,
C =
\sum
g\in G
\gamma gWg
— абсолютно сходящиеся ряды, т. е.\sum
g\in G
| \alpha g| < \infty ,
\sum
g\in G
| \gamma g| < \infty
(\alpha g, \beta g, \gamma g = \alpha g + \beta g — постоянные, зависящие только от g \in G).
Аналогичная алгебра (одномерных операторов невзвешенного сдвига с постоянными коэф-
фициентами) была рассмотрена Н. Л. Василевским [1], однако там получен критерий обрати-
мости функциональных операторов в рассматриваемой алгебре, т. е. строгая фредгольмовость.
(Оператор алгебры \frakA называется строго фредгольмовым, если он фредгольмов и его регуляри-
затор принадлежит той же алгебре \frakA .)
Отметим, что спектры операторов взвешенного сдвига в различных ситуациях были вы-
числены А. Б. Антоневичем и группой минских математиков [2]. Там же эти результаты были
применены к исследованию C\ast -алгебр сингулярных интегральных операторов со сдвигами
(в частности, приведена теорема об изоморфизме C\ast -алгебр, порожденных динамическими
системами, и ее приложения к исследованиям фредгольмовости (нетеровости) функциональ-
ных операторов в пространстве периодических обобщенных функций и к некоторым классам
уравнений и краевых задач и получены формулы индекса). Там же отмечены все статьи и кни-
ги по этой тематике математиков (одесских, минских, ростовских) школы Ф. Д. Гахова (см.,
например, [3]).
В работе Ю. И. Карловича [4] (см. также [5]) анонсирован локально траекторный метод и
его вариант теоремы об изоморфизме с приложениями к уравнениям типа свертки с осцилли-
рующими коэффициентами со сдвигами, краевым задачам для таких уравнений и вычислению
индекса в различных пространствах.
Отметим также монографию Б. А. Пламеневского [6] и библиографию в ней.
В настоящей работе будет построена алгебра символов и указан критерий фредгольмовости
операторов рассматриваемой алгебры.
1. Метод исследования. Описывать фактор-алгебру \^\frakB = \frakB /\Im (здесь и далее \Im обозначает
алгебру компактных операторов) будем в два этапа.
На первом этапе произвольный элемент алгебры сводим к матричному так: пусть A \in \frakD ,
тогда
A =
\Biggl(
PAP PAQ
QAP QAQ
\Biggr)
,
где P и Q — взаимно дополнительные проекторы из \frakD , \frakD — некоторая операторная алгебра.
Справедлива следующая лемма (см. [7] и приведенную там библиографию).
Лемма 1. WgBW - 1
g = B + L, где L — компактный оператор.
Заметим, что операторы L2, L3 в представлении оператора M ниже компактны вследствие
того, что по сравнению с [7] имеет место безвесовая ситуация. Поэтому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
О БАНАХОВОЙ АЛГЕБРЕ, ПОРОЖДЕННОЙ ОПЕРАТОРОМ БЕРГМАНА. . . 1517
M =
\Biggl(
(I - B)M(I - B) (I - B)MB
BM(I - B) BMB
\Biggr)
=
\Biggl(
A(I - B) + L1 L2
L3 CB + L4
\Biggr)
и
\^M =
\Biggl(
\^A(I - B) \^0
\^0 \^CB
\Biggr)
=
\Biggl(
\^AI1 \^0
\^0 \^CI2
\Biggr)
,
где I1 и I2 — единичные операторы в пространствах \mathrm{I}\mathrm{m} (I - B) и \mathrm{I}\mathrm{m}B соответственно. Здесь
и далее через \^A обозначен класс смежности оператора A в фактор-алгебре по идеалу \Im всех
компактных операторов:
\^A = \{ A+ T : T \in \Im \} .
Таким образом, фредгольмовость каждого оператора исходной алгебры эквивалентна одновре-
менной обратимости пары функциональных операторов
A =
\sum
g\in G
\alpha gWg, (3)
C =
\sum
g\in G
\gamma gWg, (4)
где \sum
g\in G
| \alpha g| < \infty , (5)
\sum
g\in G
| \gamma g| < \infty . (6)
На втором этапе проводится изучение обратимости и фредгольмовости операторов вида (3),
(4) с условиями (5), (6).
2. Алгебры функциональных операторов. Алгебру функциональных операторов вида
(3), удовлетворяющих условию (5) и действующих в пространстве Lp(D), p > 1, обозначим
через \frakA
(1)
p .
2.1. Спектр изометрического оператора взвешенного сдвига. Справедлива следующая
теорема.
Теорема 1. Спектр \Gamma s изометрического оператора взвешенного сдвига
Wgs , s = 1, . . . , n,
совпадает с единичной окружностью. При этом оператор Wgs - \lambda I не является обратимым
для точек \lambda , лежащих на единичной окружности, в алгебре всех ограниченных линейных
операторов.
Замечание 1. Отметим, что в точках \lambda внутри и вне единичной окружности оператор
Wgs - \lambda I обратим.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Существенный спектр оператора Wgs совпадает с обычным спектром:
\mathrm{s}\mathrm{p}Wgs = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} - \mathrm{s}\mathrm{p}Wgs := \mathrm{s}\mathrm{p} \^Wgs = \Gamma s.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1518 В. А. МОЗЕЛЬ
Компактификацией вещественной оси \BbbR будет компактификация Бора: для случая перио-
дических функций n переменных это будет n-мерный тор.
Справедлива место следующая теорема.
Теорема 3. Функция
f(z1, z2, . . . , zn) =
+\infty \sum
i1,i2,...,in= - \infty
\alpha i1i2...inz
i1
1 zi22 . . . zinn (7)
с постоянными коэффициентами \alpha i1i2...in \in \BbbC является функцией на спектре и символом
функционального оператора
A =
+\infty \sum
i1,i2,...,in= - \infty
\alpha i1i2...inW
i1
g1W
i2
g2 . . .W
in
gn ,
и
\mathrm{s}\mathrm{p}A = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} - \mathrm{s}\mathrm{p}A = f(z1, z2, . . . , zn) =
+\infty \sum
i1,i2,...,in= - \infty
\alpha i1i2...inz
i1
1 zi22 . . . zinn .
Отметим, что функция (7) с постоянными коэффициентами \alpha i1i2...in \in \BbbC является функцией
на совместном спектре Sn [8, с. 91] (§ 13) операторов Wg1 ,Wg2 , . . . ,Wgn . (Здесь Sn = \Gamma 1 \times
\times \Gamma 2\times . . .\times \Gamma n — декартово произведение единичных окружностей; так как точки 0 и \infty лежат
вне этого произведения, то указанная функция является аналитической).
3. Главные результаты.
3.1. Алгебра символов алгебры \^\frakA
(1)
p . В алгебре \^\frakA
(1)
p введем норму по правилу: если опера-
тор A имеет вид (3), то \bigm\| \bigm\| \bigm\| \^A\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
:=
\sum
g\in G
| \alpha g| < \infty (8)
или, что эквивалентно, \bigm\| \bigm\| \bigm\| \^A\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
=
+\infty \sum
i1,i2,...,in= - \infty
| \alpha i1i2...in | < \infty . (8a)
Введем теперь алгебру символов \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^\frakA
(1)
p алгебры \^\frakA
(1)
p , которая состоит из функций вида
(7) с нормой \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^A
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
:=
+\infty \sum
i1,i2,...,in= - \infty
| \alpha i1i2...in | < \infty . (9)
Лемма 2. Соответствие \^\frakA
(1)
p \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^\frakA
(1)
p , \^A \mapsto \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^A является алгебраическим и изо-
метрическим изоморфизмом банаховых алгебр.
Доказательство. Докажем, что алгебры \^\frakA
(1)
p и \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^\frakA
(1)
p с нормами (8), (8а) и (9) соответ-
ственно являются банаховыми.
Алгебра \^\frakA
(1)
p . Сначала покажем, что произведение абсолютно сходящихся (мажорируемых)
рядов вида (3), (4) является абсолютно сходящимся (мажорируемым) рядом с конечной нормой
(9). Для этого представим искомое произведение в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
О БАНАХОВОЙ АЛГЕБРЕ, ПОРОЖДЕННОЙ ОПЕРАТОРОМ БЕРГМАНА. . . 1519
A \cdot C =
\left( \sum
g\in G
\alpha gWg
\right) \left( \sum
g\in G
\gamma gWg
\right) =
=
\sum
h\in G
\left[ \alpha h
\left( \sum
g\in G
\gamma gWg
\right) Wh
\right] =
=
\sum
h\in G
\alpha h
\left( \sum
g\in G
\gamma gWgh
\right) .
Тогда
\| A \cdot C\| 1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
h\in G
\alpha h
\left( \sum
g\in G
\gamma gWgh
\right) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
\leq
\sum
h\in G
| \alpha h|
\left( \sum
g\in G
| \gamma g| \| Wgh\|
\right) =
= \| A\| 1
\sum
g\in G
| \gamma g| \cdot 1 = \| A\| 1 \| C\| 1 < \infty
(так как \| Wg\| \equiv 1 для любого сдвига g \in G вследствие изометричности операторов взвешен-
ного сдвига Wg ).
Можно доказать, что и | | | Wg| | | \equiv 1 для любого сдвига g \in G. Действительно, очевидно,
что
| | | Wg| | | = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
L\in \Im
\| Wg - L\| \leq \| Wg\| = 1.
С другой стороны,
1 = | | | I| | | = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
L\in \Im
\| I - L\| = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
L\in \Im
\bigm\| \bigm\| Wg(I - L)W - 1
g
\bigm\| \bigm\| \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
L\in \Im
\| Wg(I - L)\| =
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
L\in \Im
\| Wg - WgL)\| = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
WgL\in \Im
\| Wg - WgL)\| = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
L\prime \in \Im
\bigm\| \bigm\| Wg - L\prime )
\bigm\| \bigm\| = | | | Wg| | | .
Итак, 1 \geq | | | Wg| | | и 1 \leq | | | Wg| | | , поэтому | | | Wg| | | = 1. Таким образом,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \^Wg
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \equiv | | | Wg| | | \equiv 1.
Поэтому и \bigm\| \bigm\| \bigm\| \^A \cdot \^C
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \^A\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \^C\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
< \infty .
Далее, совокупность классов смежности
\Bigl\{
\^A : A \in \frakA
(1)
p
\Bigr\}
, порожденных операторами A вида
(3), является линейным пространством относительно нормы (9). Осталось доказать его полноту.
Для этого необходимо доказать, что в нем любая фундаментальная последовательность
сходится (см., например, [9, с. 57] (п.13 § 2), а также [8, с. 92] (п. 1 § 4). Выберем произвольную
фундаментальную последовательность \{ \^xn\} классов смежности из алгебры \^\frakA
(1)
p и покажем,
что она сходится к некоторому элементу \^x алгебры \^\frakA
(1)
p .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1520 В. А. МОЗЕЛЬ
Напомним [8, с. 57, 92], что последовательность \{ xn\} элементов линейного нормирован-
ного пространства X называется фундаментальной, если для каждого положительного числа
\varepsilon существует такой номер N(\varepsilon ), что \| xm - xn\| < \varepsilon при m,n > N(\varepsilon ). Зададим \varepsilon > 0. Тогда
xm = Am =
\sum
g\in G
\alpha (m)
g Wg,
xn = An =
\sum
g\in G
\alpha (n)
g Wg,
xm - xn =
\sum
g\in G
\Bigl(
\alpha (m)
g - \alpha (n)
g
\Bigr)
Wg,
\| xm - xn\| 1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
g\in G
\Bigl(
\alpha (m)
g - \alpha (n)
g
\Bigr)
Wg
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
=
=
\sum
g\in G
\bigm| \bigm| \bigm| \alpha (m)
g - \alpha (n)
g
\bigm| \bigm| \bigm| < \varepsilon (10)
при m, n > N(\varepsilon ).
Из известного и легко проверяемого неравенства для комплексных чисел | | x| - | y| | \leq | x - y|
следует, что в неравенстве (10) выполнено\sum
g\in G
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \alpha (m)
g
\bigm| \bigm| \bigm| - \bigm| \bigm| \bigm| \alpha (n)
g
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \sum
g\in G
\bigm| \bigm| \bigm| \alpha (m)
g - \alpha (n)
g
\bigm| \bigm| \bigm| < \varepsilon (11)
при m, n > N(\varepsilon ). Отсюда следует, что последовательность
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \alpha (n)
g
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigr\} является фундаменталь-
ной для каждого g \in G и, по критерию Коши для каждого g \in G имеет предел. Обозначим его
через | \alpha g| := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigm| \bigm| \bigm| \alpha (n)
g
\bigm| \bigm| \bigm| при n \rightarrow \infty . Но тогда из (11) непосредственно получаем\sum
g\in G
| \alpha g| < \infty ,
т. е. неравенство (5) выполнено. Поэтому ряд
x = A =
\sum
g\in G
\alpha gWg
абсолютно сходится.
Итак, если xn = An =
\sum
g\in G
\alpha (n)
g Wg, то
\^x = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\^xn,
и полнота линейного пространства \^\frakA
(1)
p доказана, т. е. алгебра \^\frakA
(1)
p банахова.
Алгебра \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^\frakA
(1)
p . Повторяя рассуждения из предыдущего пункта доказательства настоящей
леммы, учитывая эквивалентность норм в (8) и (8а), представляя абсолютно сходящийся ряд
в (3) в виде кратного ряда (напомним, что G = \langle g1, g2, . . . , gn\rangle является конечнопорожденной
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
О БАНАХОВОЙ АЛГЕБРЕ, ПОРОЖДЕННОЙ ОПЕРАТОРОМ БЕРГМАНА. . . 1521
коммутативной группой), где Wg = Wg1Wg2 . . .Wgn , получаем, что произведение абсолютно
сходящихся кратных рядов вида (7)
\sum \infty
i1,i2,...,in= - \infty
\alpha i1i2...inz
i1
1 zi22 . . . zinn (здесь Wg1Wg2 . . .Wgn
заменено на zi11 zi22 . . . zinn ) также является абсолютно сходящимся кратным рядом вида (7), а
затем и полноту линейного пространства таких рядов. Итак, алгебра \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^\frakA
(1)
p также является
банаховой.
Из теоремы 3 и взаимной однозначности соответствия \^A \mapsto \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^A следует, что соответ-
ствие \^\frakA
(1)
p \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^\frakA
(1)
p является алгебраическим изоморфизмом указанных банаховых алгебр.
Изометричность данного изоморфизма очевидна.
Лемма доказана.
Отметим, что совместный спектр операторов Wg1 ,Wg2 , . . . ,Wgn совпадает с компактом
максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры \^\frakA
(1)
p .
3.1.1. C\ast -алгебра \^\frakA 2. Для дальнейшего важна следующая C\ast -алгебра.
В гильбертовом пространстве L2(D) (p = 2) введем унитарный (и изометрический) опера-
тор взвешенного сдвига
(Wgf)(z) =
\bigm| \bigm| g\prime (z)\bigm| \bigm| f(g(z)),
где g \in G.
Рассмотрим C\ast -алгебру \frakA 2 операторов вида
\frakA 2 \backepsilon A =
\sum
g\in G
\alpha gWg,
которые являются рядами, сходящимися (может быть, условно) по операторной норме. Оче-
видно, абсолютно сходящиеся ряды (3) с нормой (5) входят (как элементы) в множество \frakA 2,
только нормы у них разные. Алгебра \frakA 2 является наполненной, т. е. если оператор A алгебры
\frakA 2 обратим, то имеет место включение A - 1 \in \frakA 2.
Введем теперь C\ast -алгебру \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\^\frakA 2 функций вида
f(z1, z2, . . . , zn) =
+\infty \sum
i1,i2,...,in= - \infty
\alpha i1i2...inz
i1
1 zi22 . . . zinn ,
которые являются (может быть, условно) сходящимися кратными рядами.
Из теоремы 3 и теоремы [9], (§ 13, теорема 1) следует, что имеет место алгебраический, а
следовательно, изометрический изоморфизм
\^\frakA 2
\sim = \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^\frakA 2.
В частности, класс смежности \^A \in \^\frakA 2 обратим, если и только если его символ
\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^A =
+\infty \sum
i1,i2,...,in= - \infty
\alpha i1i2...inz
i1
1 zi22 . . . zinn
отличен от нуля в каждой точке множества Sn = \Gamma 1\times \Gamma 2\times . . .\times \Gamma n — n-мерного тора (совмест-
ного спектра [9] элементов \^Wgs , s = 1, 2, . . . , n), который совпадает с компактом максимальных
идеалов коммутативной C\ast -алгебры \^\frakA 2.
Из результата Бохнера и Филлипса [10] вытекает следующее.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1522 В. А. МОЗЕЛЬ
Следствие 1. Банахова алгебра \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^\frakA
(1)
p абсолютно сходящихся кратных рядов Фурье
вида (7) является наполненной.
Отсюда непосредственно получаем такое утверждение.
Следствие 2. Банахова алгебра \^\frakA
(1)
p наполнена.
Доказательство. 1. Пусть p = 2 и класс смежности \^A \in \^\frakA
(1)
2 обратим. Тогда его символ
\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^A \in \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^\frakA 2 отличен от нуля, и поэтому из следствия 1 следует, что обратный к сим-
волу \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} - 1 \^A \in \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^\frakA
(1)
2 является абсолютно сходящимся кратным рядом Фурье. Теперь по
изоморфизму класс смежности \^A - 1 принадлежит \^\frakA
(1)
2 .
2. Варьируя показатель P и учитывая, что символ \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^A не зависит от P , получаем нужный
результат для любого p > 1.
Следствие 2 доказано.
3.2. Алгебра \^\frakB : алгебра символов. Из матричного представления оператора (2) (см. п. 1)
M =
\Biggl(
(I - B)M(I - B) (I - B)MB
BM(I - B) BMB
\Biggr)
=
\Biggl(
A(I - B) + L1 L2
L3 CB + L4
\Biggr)
и
\^M =
\Biggl(
\^A(I - B) \^0
\^0 \^CB
\Biggr)
=
\Biggl(
\^AI1 \^0
\^0 \^CI2
\Biggr)
,
где I1 и I2 — единичные операторы в пространствах \mathrm{I}\mathrm{m} (I - B) и \mathrm{I}\mathrm{m}B соответственно, следует,
что отображение
\pi : \^\frakB \rightarrow \pi ( \^\frakB ), (12)
где
\pi ( \^M) = (\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^A, \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^C) \in \pi ( \^\frakB ), (13)
с нормой \bigm\| \bigm\| \bigm\| \pi ( \^M)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl( \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^C
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\Bigr)
, (14)
\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^A, \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^C имеют вид кратных рядов (7), а их нормы
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^C
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
— вид (9),
является изометрическим изоморфизмом указанных банаховых алгебр. Алгебру \pi ( \^\frakB ) (12) –
(14) будем называть алгеброй символов алгебры \^\frakB .
3.3. Алгебра \^\frakB : фредгольмовость. Получили следующую теорему.
Теорема 4. Отображение (12) – (14) является изометрическим изоморфизмом банаховых
алгебр \^\frakB и ее алгебры символов \pi ( \^\frakB ). Оператор M вида (2) алгебры \frakB фредгольмов, если и
только если выполнено условие
\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^A \not = 0, \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m} \^C \not = 0
т. е.
+\infty \sum
i1,i2,...,in= - \infty
\alpha i1i2...inz
i1
1 zi22 . . . zinn \not = 0,
+\infty \sum
i1,i2,...,in= - \infty
\gamma i1i2...inz
i1
1 zi22 . . . zinn \not = 0
в каждой точке компакта максимальных идеалов Sn = \Gamma 1 \times \Gamma 2 \times . . .\times \Gamma n, т. е. если и только
если его символ невырожден.
Автор выражает благодарность Ю. И. Карловичу за руководство работой.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
О БАНАХОВОЙ АЛГЕБРЕ, ПОРОЖДЕННОЙ ОПЕРАТОРОМ БЕРГМАНА. . . 1523
Литература
1. Василевский Н. Л. Символы операторных алгебр // Докл. АН СССР. – 1977. – 235, № 1. – С. 15 – 18.
2. Антоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход. – Минск: Университетское,
1988. – 232 с.
3. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. – М.: Наука, 1977. –
448 с.
4. Карлович Ю. И. Локально-траекторный метод изучения обратимости в C\ast -алгебрах операторов с дискретными
группами сдвигов // Докл. АН СССР. – 1988. – 299, № 3. – С. 546 – 550.
5. Karlovich Yu. I. Local-trajectory method and isomorphism theorems for nonlocal C\ast -algebras // Oper. Theory: Adv.
and Appl. – 2007. – 170. – P. 137 – 166.
6. Пламеневский Б. А. Алгебры псевдодифференциальных операторов. – М.: Наука, 1986. – 256 с.
7. Джангибеков Г. Об алгебре, порожденной поликерноператорами со сдвигом // Докл. АН ТаджССР. – 1991. –
34, № 7. – С. 399 – 403.
8. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца. – М.: Физматгиз, 1960. –
316 с.
9. Наймарк М. А. Нормированные кольца. – М.: Наука, 1968. – 664 с.
10. Bochner S., Phillips R. S. Absolutely convergent Fourier expansion for non-commutative normed rings // Ann. Math. –
1942. – 43, № 2. – P. 409 – 418.
Получено 21.09.15,
после доработки — 26.09.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1799 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:54Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/21/cc233a93ee54820f61a1e9120f977821.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17992019-12-05T09:27:02Z On a Banach algebra generated by the Bergman operator, constant coefficients, and finitely generated groups of shifts О банаховой алгебре, порожденной оператором Бергмана, постоянными коэффициентами и конечнопорожденными группами сдвигов Mozel’, V. A. Мозель, В. А. Мозель, В. А. We study a Banach algebra generated by the Bergman operator, constant coefficients, and shifts formed by finitely generated commutative groups of hyperbolic transformations of the unit disk acting in the Lebesgue space $L_p, p > 1$, and obtain an effective criterion for the operators from the considered Banach algebra to be Fredholm operators. Вивчається банахова алгебра, породжена дiючими у лебеговому просторi $L_p, p > 1$, оператором Бергмана, сталими коефiцiєнтами та зсувами, утвореними скiнченнопородженими комутативними групами гiперболiчних перетворень одиничного круга. Як результат одержано ефективний критерiй фредгольмовостi операторiв розглянутої банахової алгебри. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1799 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 11 (2017); 1515-1523 Український математичний журнал; Том 69 № 11 (2017); 1515-1523 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1799/781 Copyright (c) 2017 Mozel’ V. A. |
| spellingShingle | Mozel’, V. A. Мозель, В. А. Мозель, В. А. On a Banach algebra generated by the Bergman operator, constant coefficients, and finitely generated groups of shifts |
| title | On a Banach algebra generated by the Bergman operator, constant coefficients,
and finitely generated groups of shifts |
| title_alt | О банаховой алгебре, порожденной оператором Бергмана, постоянными
коэффициентами и конечнопорожденными группами сдвигов |
| title_full | On a Banach algebra generated by the Bergman operator, constant coefficients,
and finitely generated groups of shifts |
| title_fullStr | On a Banach algebra generated by the Bergman operator, constant coefficients,
and finitely generated groups of shifts |
| title_full_unstemmed | On a Banach algebra generated by the Bergman operator, constant coefficients,
and finitely generated groups of shifts |
| title_short | On a Banach algebra generated by the Bergman operator, constant coefficients,
and finitely generated groups of shifts |
| title_sort | on a banach algebra generated by the bergman operator, constant coefficients,
and finitely generated groups of shifts |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1799 |
| work_keys_str_mv | AT mozelva onabanachalgebrageneratedbythebergmanoperatorconstantcoefficientsandfinitelygeneratedgroupsofshifts AT mozelʹva onabanachalgebrageneratedbythebergmanoperatorconstantcoefficientsandfinitelygeneratedgroupsofshifts AT mozelʹva onabanachalgebrageneratedbythebergmanoperatorconstantcoefficientsandfinitelygeneratedgroupsofshifts AT mozelva obanahovojalgebreporoždennojoperatorombergmanapostoânnymikoéfficientamiikonečnoporoždennymigruppamisdvigov AT mozelʹva obanahovojalgebreporoždennojoperatorombergmanapostoânnymikoéfficientamiikonečnoporoždennymigruppamisdvigov AT mozelʹva obanahovojalgebreporoždennojoperatorombergmanapostoânnymikoéfficientamiikonečnoporoždennymigruppamisdvigov |