Type of some nuclear subalgebras of the Toeplitz algebra generated by the inverse subsemigroups of a bicyclic semigroup
We construct a $Z$-graded structure of the Toeplitz algebra and consider nuclear $C\ast$ -subalgebras of the Toeplitz algebra generated by the inverse subsemigroups of the bicyclic semigroup. The types of these algebras with respect to the Toeplitz algebra are determined. In addition, it is shown,...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1802 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507666006147072 |
|---|---|
| author | Оvsepyan, K. H. Овсепян, К. Г. Овсепян, К. Г. |
| author_facet | Оvsepyan, K. H. Овсепян, К. Г. Овсепян, К. Г. |
| author_sort | Оvsepyan, K. H. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:27:02Z |
| description | We construct a $Z$-graded structure of the Toeplitz algebra and consider nuclear $C\ast$ -subalgebras of the Toeplitz algebra
generated by the inverse subsemigroups of the bicyclic semigroup. The types of these algebras with respect to the Toeplitz
algebra are determined. In addition, it is shown, that considered algebras are equipped with the structrure of Hilbert
$C\ast$ -modules. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
К. Г. Овсепян (Иджеван. филиал Ереван. гос. ун-та, Армения)
ТИП НЕКОТОРЫХ ЯДЕРНЫХ ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ ТЕПЛИЦА,
ПОРОЖДЕННЫХ ИНВЕРСНЫМИ ПОДПОЛУГРУППАМИ
БИЦИКЛИЧЕСКОЙ ПОЛУГРУППЫ
We construct a \BbbZ -graded structure of the Toeplitz algebra and consider nuclear C\ast -subalgebras of the Toeplitz algebra
generated by the inverse subsemigroups of the bicyclic semigroup. The types of these algebras with respect to the Toeplitz
algebra are determined. In addition, it is shown, that considered algebras are equipped with the structrure of Hilbert
C\ast -modules.
Наведено \BbbZ -градуювання алгебри Теплiца. Розглядаються ядернi C\ast -пiдалгебри алгебри Теплiца, що породжуються
iнверсними пiднапiвгрупами бiциклiчної напiвгрупи. Знайдено тип цих алгебр вiдносно алгебри Теплiца. Крiм того,
доведено, що розглядуванi алгебри надiленi структурою гiльбертових C\ast -модулiв.
1. Введение. Одним из известных и используемых алгебраических объектов в современной
математической физике является алгебра Теплица \scrT . В работах многих авторов исследуются
как эта алгебра, так и различные ее модификации [1 – 9]. В работе [1] доказано, что у C\ast -
алгебры, порожденной бициклической полугруппой, существуют с точностью до унитарной
эквивалентности одно бесконечномерное, точное неприводимое представление и серия одно-
мерных представлений, параметризуемых единичной окружностью. Из теоремы Кобурна [2]
следует, что все C\ast -алгебры, порожденные неунитарными изометрическими представлениями
полугруппы неотрицательных целых чисел \BbbZ +, канонически изоморфны. Эта теорема была
обобщена Дугласом [3] для полугрупп с архимедовым порядком и Мерфи [4] для полугрупп с
полным порядком. В работе [5] доказано обратное утверждение к теореме Мерфи [4], т. е. все
C\ast -алгебры, порожденные точными изометрическими неунитарными представлениями полу-
группы, канонически изоморфны только тогда, когда полугруппа оснащена полным порядком.
Таким образом, C\ast -алгебра, порожденная точным неунитарным бесконечномерным представ-
лением бициклической полугруппы, изоморфна алгебре Теплица. Данная статья посвящена
одному из обобщений алгебры Теплица, которое возникает при исследовании C\ast -алгебр, по-
рожденных инверсными подполугруппами бициклической полугруппы.
Ранее автором было начато изучение C\ast -подалгебр алгебры Теплица \scrT , порожденных
мономами, индекс которых кратен числу m. Такая C\ast -алгебра была обозначена через \scrT m и
было показано, что она неподвижна относительно конечной подгруппы группы S1 поряд-
ка m. Были описаны все неприводимые бесконечномерные представления этой C\ast -алгебры
(см. [10, 11]).
В работе [12] было продолжено исследование C\ast -алгебры \scrT m с несколько иной точки
зрения. Получено полное описание всех инвариантных идеалов алгебры \scrT m. Показано, что
их конечное число, в точности 2m, и каждый из них порождается одной или несколькими
разностями проекторов вида T iT \ast i - T jT \ast j , 0 \leq i < j \leq m. Также доказано, что если J —
инвариантный идеал C\ast -алгебры \scrT m и J \not = \scrK m, то она может быть представлена в виде прямой
суммы \scrT m \sim = \scrT n \oplus J для некоторого n < m.
В работе [13] показано, что алгебра \scrT m представляется в виде скрещенного произведения
\scrT m = \varphi (\scrA ) \times \delta m \BbbZ , где \scrA = C0(\BbbZ +) \oplus \BbbC I — алгебра непрерывных функций на \BbbZ +, которые
c\bigcirc К. Г. ОВСЕПЯН, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11 1551
1552 К. Г. ОВСЕПЯН
в бесконечности имеют конечный предел. Кроме того, полное описание автоморфизмов C\ast -
алгебр \scrT m и ее подалгебр \scrT (m) и \scrK m приведено в работе[14].
2. Необходимые сведения. Полугруппа S называется инверсной, если для любого a \in
\in S существует единственный инверсный элемент a\ast \in S такой, что справедливы равенства
a\ast aa\ast = a\ast и aa\ast a = a. Из определения следует, что a\ast \ast = a. Инверсная полугруппа с
единицей e называется бициклической полугруппой, если она порождена одним элементом a и
соотношением a\ast a = e.
Рассмотрим бициклическую полугруппу S с порождающим элементом a. Каждый эле-
мент бициклической полугруппы имеет вид ama\ast n, где m и n неотрицательные целые числа.
Элемент вида ama\ast n назовем мономом. Индексом монома b = ama\ast n из S назовем число
m - n и обозначим через \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(b). Отметим, что \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(b \cdot c) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(b) + \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(c) для любых эле-
ментов b, c \in S (см. [10]). Зафиксируем целое число m \in \BbbN и обозначим Sm = \{ b \in S :
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(b) = k \cdot m, где k \in \BbbZ \} . Пусть S(m) \subset S — подполугруппа, порожденная элементом am.
Понятно, что S(m), Sm являются инверсными подполугруппами бициклической полугруп-
пы S. Связь этих полугрупп приведена в работе [10]. Рассмотрим точное бесконечномерное
неприводимое представление бициклической полугруппы (см. [1])
\pi : S \rightarrow B(l2(\BbbZ +)), \pi (ana\ast m) = TnT \ast m,
где T — оператор сдвига на l2(\BbbZ +), т. е. на базисе \{ ek\} k\in \BbbZ + действует следующим образом:
Tek = ek+1, и это представление порождает алгебру Теплица \scrT .
Обозначим через \scrT m C\ast -подалгебру алгебры Теплица \scrT , которая порождается инверсной
подполугруппой \pi (Sm). Иными словами, \scrT m порождается всеми мономами вида T kT \ast l, где
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(T kT \ast l) = cm, c \in \BbbZ .
Пусть \scrT (m) — C\ast -подалгебра алгебры Теплица, \scrT порождаемая \pi (S(m)). Очевидно, что
\scrT (m) \subset \scrT m. Приведем некоторые утверждения о рассматриваемых алгебрах, полученные в
работе [12], которые будут использованы в следующих пунктах.
Рассмотрим разложение гильбертова пространства l2(\BbbZ +) в виде прямой суммы
l2(\BbbZ +) = H1 \oplus H2 \oplus . . .\oplus Hm, (1)
где базис подпространства Hi состоит из векторов \{ ei - 1+km\} k\in \BbbZ + , 1 \leq i \leq m. Тогда подпро-
странствa Hi, 1 \leq i \leq m, инвариантны относительно алгебры \scrT m, поэтому любой элемент
A \in \scrT m однозначно представляется в виде
A = A| H1 \oplus . . .\oplus A| Hm .
Пусть \scrK — C\ast -подалгебра всех компактных операторов алгебры Теплица \scrT , а \scrK m — C\ast -
подалгебра всех компактных операторов алгебры \scrT m.
Лемма 1. Справедливо тождество
\scrK m = \scrK (H1)\oplus . . .\oplus \scrK (Hm).
В работах [10, 11] показано, что представления
\pi i : \scrT m \rightarrow B(Hi), \pi i(A) = A| Hi , i = 1, . . . ,m,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТИП НЕКОТОРЫХ ЯДЕРНЫХ ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ ТЕПЛИЦА, ПОРОЖДЕННЫХ ИНВЕРСНЫМИ . . . 1553
исчерпывают весь класс неприводимых, унитарно неэквивалентных, бесконечномерных пред-
ставлений алгебры \scrT m.
В работе [12] показано, что инвариантными идеалами алгебры \scrT m являются ядра бесконеч-
номерных представлений \pi i, i = 1, . . . ,m, и их всевозможные пересечения:
\scrJ i = \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\pi i) =
\bigl\{
\scrK (H1)\oplus . . .\oplus K(Hi - 1)\oplus 0\oplus K(Hi+1)\oplus . . .\oplus \scrK (Hm)
\bigr\}
.
Также доказано существование коротких точных последовательностей
0 \rightarrow \scrK m \rightarrow \scrT m \rightarrow C(S1) \rightarrow 0, (2)
0 \rightarrow
n\bigcap
k=1
\scrJ ik \rightarrow \scrT m \rightarrow \scrT n \rightarrow 0, (3)
кроме того, короткая точная последовательность (3) расщепляема.
Лемма 2 [11]. Существует естественное представление группы S1 в группе автомор-
физмов алгебры Теплица
\sigma 0 : S1 \rightarrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\scrT , \sigma 0(z)(T
nT \ast m) = z(n - m)TnT \ast m \forall m,n \in \BbbZ +.
Определим унитарный оператор uj : Hj \rightarrow l2(\BbbZ +), 1 \leq j \leq m, полагая на базисных
элементах uj(ej+km) = ek. Поскольку Hj — инвариантные пространства для C\ast -алгебры \scrT m,
то унитарный оператор u = u1 \oplus . . . \oplus um : H1 \oplus H2 \oplus . . . \oplus Hm \rightarrow
m\bigoplus
j=1
l2(\BbbZ +) порождает
вложение
\sigma : \scrT m \rightarrow
m\bigoplus
j=1
B(l2(\BbbZ +)),
\sigma (A) = uAu\ast , A \in \scrT m.
Поскольку Tmei+km = ei+(k+1)m, то \sigma (Tm) = T \oplus . . . \oplus T — m-я копия оператора сдвига T.
Алгебра \scrT (m) порождается операторами Tm и T \ast m, следовательно, для любого A \in \scrT (m)
найдется такой оператор B \in \scrT , что
\sigma (A) = B \oplus . . .\oplus B.
Очевидно, справедливо и обратное: для любого B \in \scrT найдется такой оператор A \in \scrT (m),
что \sigma (A) = B \oplus . . .\oplus B. Поэтому алгебру \scrT (m) будем отождествлять с алгеброй \sigma (\scrT (m)):
\scrT (m) \approx \sigma (\scrT (m)) = m\scrT =
\bigl\{
A : A = B \oplus B \oplus . . .\oplus B, B \in \scrT
\bigr\}
\lhook \rightarrow
m\bigoplus
\scrT , (4)
где через
m\bigoplus
\scrT обозначена прямая сумма m экземпляров алгебры Теплица \scrT .
Как показано в работе [12],
Pj | Hi =
\left\{ I, i - 1 \geq j,
TmT \ast m, i - 1 < j.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1554 К. Г. ОВСЕПЯН
Откуда получаем, что \sigma (Pi) = TT \ast \oplus . . .\oplus TT \ast \oplus I \oplus . . .\oplus I. Всюду в дальнейшем проекторы
Pi, 0 \leq i \leq m - 1, будем отождествлять с проекторами \sigma (Pi) : Pi \approx \sigma (Pi), 0 \leq i \leq m - 1.
Отсюда, в частности (с учетом леммы 1), следует, что подалгебру компактных операторов \scrK m
в \scrT m можно отождествить с алгеброй \sigma (\scrK m):
\scrK m \approx \sigma (\scrK m) =
m\bigoplus
\scrK . (5)
Из (4), (5) следует, что алгебра \scrT m может быть отождествлена с алгеброй \sigma (\scrT m):
\scrT m \approx \sigma (\scrT m) =
\bigl\{
A : A = (B +K1)\oplus . . .\oplus (B +Km), B \in \scrT , K1, . . . ,Km \in \scrK
\bigr\}
. (6)
3. Градуировка алгебры Теплица.
Определение 1. C\ast -aлгебра \scrA называется \BbbZ -градуированной по системе \{ \scrA k\} k\in \BbbZ и за-
писывается в виде
\scrA =
\bigoplus
k\in \BbbZ
\scrA k,
если пространства \scrA k, удовлетворяют следующим условиям:
1) \scrA k, k \in \BbbZ , замкнутые;
2) \scrA n \cdot \scrA m \subset \scrA n+m;
3) конечные суммы вида
\sum l
i=1,Bki
\in \scrA ki
Bki плотны в \scrA ;
4) \scrA k \cap \scrB k = 0, где \scrB k =
\Bigl\{ \sum l
i=1,Bki
\in \scrA ki
,Bki
/\in \scrA k
Bki
\Bigr\}
;
5) если B \in \scrA k, то B\ast \in \scrA - k.
Введем обозначение
\scrD k =
\bigl\{
A \in \scrT ; \sigma 0(z)(A) = zkA \forall z \in S1
\bigr\}
для любого k \in \BbbZ .
Каждому элементу A из \scrT сопоставим формальный ряд Фурье
A \simeq
\infty \sum
k= - \infty
Ak,
в котором коэффициенты определяются следующим образом:
Ak :=
\int
S1
\sigma 0(z)(A)z - kd\mu (z) \in \scrT , k \in \BbbZ
(\mu — нормированная мера Хаара на S1). Покажем, что коэффициенты Ak принадлежат \scrD k.
Действительно,
\sigma 0(z)(Ak) = \sigma 0(z)
\left( \int
S1
\sigma 0(t)(A)t - kd\mu (t)
\right) =
\int
S1
\sigma 0(zt)(A)t - kd\mu (t) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТИП НЕКОТОРЫХ ЯДЕРНЫХ ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ ТЕПЛИЦА, ПОРОЖДЕННЫХ ИНВЕРСНЫМИ . . . 1555
(w := zt) =
\int
S1
\sigma 0(w)z
kw - kd\mu (z - 1w) = zk
\int
S1
\sigma 0(w)w
- kd\mu (w) = zkAk.
Последнее равенство получено с учетом инвариантности меры Хаара. Обозначим через \scrL k
замкнутое подпространство в \scrT , порожденное всеми линейными комбинациями тех моно-
мов A, для которых \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}A = k. Покажем, что подпространство Lk совпадает с подпростран-
ством \scrD k для любого k \in \BbbZ . Включение \scrL k \subset \scrD k очевидно. Покажем обратное включе-
ние. Пусть A принадлежит \scrD k, т. е. \sigma 0(z)(A) = zkA \forall z \in S1. Последнее означает, что
A =
\int
S1
\sigma 0(z)(A)z
- kd\mu (z). Поскольку конечные линейные комбинации мономов плотны в
\scrT , то для любого \varepsilon > 0 найдется конечная сумма такая, что выполняется неравенство
\bigm\| \bigm\| \bigm\| A -
-
\sum l
j=1
Bj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| < \varepsilon .
С другой стороны, имеет место неравенство\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\int
S1
\left( \sigma 0(z)(A) - \sigma 0(z)
\left( l\sum
j=1
Bj
\right) \right) z - kd\mu (z)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A -
l\sum
j,ind(Bj)=k
Bj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < \varepsilon .
Так как
\sum l
j,ind(Bj)=k
Bj \in \scrL k и \scrL k — замкнутое пространство, то и A принадлежит \scrL k. Таким
образом,
\scrL k = \scrD k =
\bigl\{
A \in \scrT ; \sigma 0(z)(A) = zkA \forall z \in S1
\bigr\}
.
Теорема 1. Алгебра Теплица является \BbbZ -градуированной алгеброй по системе \{ \scrL k\} k\in \BbbZ :
\scrT =
\infty \bigoplus
k= - \infty
\scrL k. (7)
Доказательство. Поскольку \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(AB) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(A) + \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(B), то \scrL k \cdot \scrL m \subset \scrL k+m. Покажем,
что сумма в (7) является ортогональной. Действительно, пусть C \in \scrL p, D \in \scrL q, где p \not = q,
тогда \int
S1
\sigma 0(z)(C)\sigma 0(z)(D)d\mu (z) = CD
\int
S1
z(p - q)d\mu (z) = 0.
Более того, конечные линейные комбинации вида
\sum l
k=1
Ak плотны в алгебре Теплица. Оста-
лось доказать, что \scrL k \cap
\Bigl\{ \sum l
i=1, Bki
\in \scrL ki
, Bki
/\in \scrL k
Bki
\Bigr\}
= 0. Пусть A при любом \scrL k такой, что
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A -
l\sum
i=1,Bki
\in \scrL ki
,Bki
/\in \scrL k
Bki
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < \delta \forall \delta > 0.
Так как A принадлежит \scrL k, то согласно вышеизложенному A =
\int
S1
\sigma 0(z)(A)z - kd\mu (z). Отсюда
получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1556 К. Г. ОВСЕПЯН
\| A\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\int
S1
\sigma 0(z)
\left( A -
l\sum
i=1,Bki
\in \scrL ki
Bki
\right) z - kd\mu (z)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in S1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sigma 0(z)
\left( A -
l\sum
i=1,Bki
\in \scrL ki
Bki
\right) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \delta .
Последнее означает, что алгебра Теплица является \BbbZ -градуированной алгеброй по системе
\{ \scrL k\} k\in \BbbZ .
Аналогичным образом можно доказать следующую лемму.
Лемма 3. Справедливо тождество
\scrT m =
\infty \bigoplus
k= - \infty
\scrL km,
где \scrL jm =
\bigl\{
A \in \scrT ; \sigma 0(z)(A) = zjmA \forall z \in S1
\bigr\}
.
Определение 2 [6]. Пусть R — кольцо с единицей. Левым R-модулем называется абелева
группа M с операцией умножения на элементы кольца R : R \times M - \rightarrow M, (r,m) - \rightarrow rm,
которая удовлетворяет следующим условиям:
1) (r1r2)m = r1(r2m) \forall m \in M, \forall r1, r2 \in R,
2) 1m = m \forall m \in M,
3) r(m1 +m2) = rm1 + rm2 \forall m1,m2 \in M, \forall r \in R,
4) (r1 + r2)m = r1m+ r2m \forall m \in M, \forall r1, r2 \in R.
Аналогичным образом определяется правый модуль.
Определение 3. Пусть A — C\ast -алгебра. Правый предгильбертов A-модуль — это комп-
лексное линейное пространство E, наделенное правой A-модульной структурой и A-значным
скалярным произведением
\langle , \rangle : E \times E \rightarrow A,
которое удовлетворяет следующим условиям:
1) \langle x, \alpha \cdot y + \beta \cdot z\rangle = \alpha \langle x, y\rangle + \beta \langle x, z\rangle для любых x, y, z \in E, \alpha , \beta \in \BbbC ,
2) \langle x, ya\rangle = \langle x, y\rangle a для любых x, y \in E, a \in A,
3) \langle x, y\rangle = \langle y, x\rangle \ast для любых x, y \in E,
4) \langle x, x\rangle \geq 0, \langle x, x\rangle = 0 \leftrightarrow x = 0, x \in E.
Замыкая предгильбертов A-модуль E по норме \| v\| | E =
\sqrt{}
\| \langle v, v\rangle \| , получаем гильбертов
E -модуль над C\ast -алгеброй A.
Теорема 2. C\ast -алгебра \scrT m является предгильбертовым \scrL 0-модулем.
Доказательство. Рассмотрим действие \scrL 0 на \scrT m :
\scrL 0 \times \scrT m \rightarrow \scrT m, \scrT m \times \scrL 0 \rightarrow \scrT m.
Поскольку индекс любого элемента из \scrL 0 равен нулю и \scrL 0 — комутативная алгебра, то A \cdot
\cdot B,B \cdot A \in \scrT m, где A \in \scrT m, B \in \scrL 0. Таким образом, \scrT m является \scrL 0-модулем. Покажем, что
\scrT m является предгильбертовым \scrL 0-модулем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТИП НЕКОТОРЫХ ЯДЕРНЫХ ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ ТЕПЛИЦА, ПОРОЖДЕННЫХ ИНВЕРСНЫМИ . . . 1557
Определим скалярное произведение
\langle A,B\rangle =
\left( \int
S1
\sigma 0(z)(A
\ast )\sigma 0(z)(B)d\mu
\right) , A,B \in \scrT m. (8)
Согласно лемме 3 A =
\sum
k\in \BbbZ ,Akm\in \scrL km
Akm, B =
\sum
k\in \BbbZ ,Bkm\in \scrL km
Bkm, следовательно,
\langle A,B\rangle =
\sum
k\in \BbbZ ,Akm\in \scrL km,Bkm\in \scrL km
\left( \int
S1
\sigma 0(z)(A
\ast
km)\sigma 0(z)(Bkm)d\mu
\right) .
Так как Akm, Bkm принадлежит \scrL km, то \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(A\ast
kmBkm) = - km + km = 0, следовательно,
определенное выше скалярное произведение является \scrL 0-значным. Нетрудно проверить, что
скалярное произведение, определенное уравнением (8), удовлетворяет всем условиям опреде-
ления 3. Таким образом, \scrT m является предгильбертовым \scrL 0-модулем.
Определение 4 [6]. C\ast -алгебра A называется ядерной, если для любой C\ast -алгебры B на
A\otimes B существует единственная норма, по которой она превращается в C\ast -алгебру.
Лемма 4. Для любого m \in \BbbN C\ast -алгебра \scrT m является ядерной алгеброй.
Доказательство. В работе [12] показано существование короткой точной последователь-
ности
0 \rightarrow \scrK m \rightarrow \scrT m \rightarrow C(S1) \rightarrow 0,
где \scrK m = K(H1) \oplus . . . \oplus K(Hm). Поскольку K(Hi) — алгебра компактных операторов на
гильбертовом пространстве Hi — является ядерной C\ast -алгеброй (см. пример 6.3.2 [6]), то
\scrK m также является ядерной алгеброй. Кроме того, C(S1) ядерная алгебра, так как любая
коммутативная C\ast -алгебра ядерная (см. теорема 6.4.15 [6]). Используя тот факт, что расширение
ядерной C\ast -алгебры по ядерной C\ast -алгебре является ядерной C\ast -алгеброй (см. теорему 6.3.2
[6]), получаем, что \scrT m — ядерная C\ast -алгебра.
Поскольку для любого натурального l Ml(\BbbC ) ядерная алгебра (см. теорему 6.3.9 [6]), то
согласно теореме 6.5.2 [6], существует короткая точная последовательность
0 \rightarrow \scrK m \otimes Ml(\BbbC ) \rightarrow \scrT m \otimes Ml(\BbbC ) \rightarrow C(S1)\otimes Ml(\BbbC ) \rightarrow 0.
Так как A\otimes Ml(\BbbC ) \sim = Ml(A), то
0 \rightarrow Ml(\scrK m) \rightarrow Ml(\scrT m) \rightarrow Ml(C(S1)) \rightarrow 0.
Аналогично, учитывая существование расщепляемой короткой точной последовательности (3),
убеждаемся в существовании следующей короткой точной расщепляемой последовательности:
0 \rightarrow Ml
\Biggl(
n\bigcap
k=1
\scrJ ik
\Biggr)
\rightarrow Ml(\scrT m) \rightarrow Ml(\scrT n) \rightarrow 0.
Докажем предварительную лемму о подалгебре алгебры \scrT m, которая порождается \scrT (m) и
проекторами P1, . . . , Pi. Этот результат будет использован в следующем пункте.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1558 К. Г. ОВСЕПЯН
Лемма 5. C\ast -алгебра, порожденная \scrT (m) и проекторами P1, . . . , Pl, 1 \leq l < m, имеет
вид
C\ast \bigl[ \scrT (m), P1, . . . , Pl
\bigr]
= \scrT (m) +\scrK 0,
где \scrK 0 =
\bigl\{
K1 \oplus K2 \oplus . . . \oplus Kl \oplus Kl+1 \oplus . . . \oplus Kl+1 = K1 \oplus K2 \oplus . . . \oplus Kl \oplus (m - l)Kl+1,
Ki \in \scrK , i = 1, . . . , l + 1
\bigr\}
.
Доказательство. Сначала покажем, что \scrK C\ast [\scrT (m),P1,...,Pl] = \scrK 0. Поскольку алгебра \scrT (m)
действует неприводимо на Hl, l = 1, . . . ,m, из разложения (1) и содержит TmlT \ast ml -
- Tm(l+1)T \ast m(l+1) — компактный оператор на Hl, то согласно теореме 2.4.9 [6], она содержит
весь идеал компактных операторов на Hl. Кроме того, так как алгебра \scrT (m) на пространствах
Hl, l = 1, . . . ,m, действует одинаково, то \scrK (m) = \{ K \oplus . . .\oplus K = mK, K \in \scrK \} .
В работе [12] показано, что
Pj | Hl
=
\left\{ I| Hl
, l \geq j,
TmT \ast m| Hl
, l < j.
Поэтому разности Pk - Pi, 1 \leq k < i \leq l, являются конечномерными операторами на Hj ,
1 \leq j \leq l, и, следовательно, компактными, а на Hj , l+1 \leq j < m, Pk - Pi = 0, 1 \leq k < i \leq l.
Таким образом, \scrK C\ast [\scrT (m),P1,...,Pl] =
\bigl\{
K1 \oplus K2 \oplus . . .\oplus Kl \oplus Kl+1 \oplus . . .\oplus Kl+1 = K1 \oplus K2 \oplus . . .
. . .\oplus Kl \oplus (m - l)Kl+1, Ki \in \scrK , i = 1, . . . , l + 1
\bigr\}
= \scrK 0.
Осталось доказать, что Pj принадлежит \scrT (m) +\scrK 0. Имеем
Pj = Pj | H1 \oplus . . .\oplus Pj | Hj \oplus Pj | Hj+1 \oplus . . .\oplus Pj | Hm =
= TmT \ast m| H1 \oplus . . .\oplus TmT \ast m| Hj \oplus I| Hj+1 \oplus . . .\oplus I| Hm =
= (TmT \ast m| H1 \oplus . . .\oplus TmT \ast m| Hm)+
+(0\oplus . . .\oplus 0\oplus (I - TmT \ast m)| Hj+1 \oplus . . .\oplus (I - TmT \ast m)| Hm) =
= C +D,
где C = TmT \ast m| H1 \oplus . . . \oplus TmT \ast m| Hm \in \scrT (m) и D = 0 \oplus . . . \oplus 0 \oplus (I - TmT \ast m)| Hj+1 \oplus . . .
. . .\oplus (I - TmT \ast m)| Hm \in \scrK 0, так как (I - TmT \ast m)| Hl
является конечномерным оператором на
Hl и, следовательно, компактным. Таким образом, Pj = C + D, 1 \leq j \leq l, где C \in \scrT (m),
D \in \scrK 0.
4. Тип алгебры. В работе [15] мы ввели определение типа алгебры для C\ast -алгебр.
Определение 5 (тип алгебры). Пусть заданы алгебры A и B такие, что A \subset B. Рас-
смотрим цепочку алгебр
A \subsetneq A1 \subsetneq . . . . \subsetneq An - 1 \subsetneq B.
Цепочка называется неуплотняемой, если нельзя вложить другую алгебру в эту цепочку. Типом
алгебры B относительно алгебры A называется максимальная длина неуплотняемых цепочек,
содержащихся между алгебрами A и B, и обозначается через tB(A).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТИП НЕКОТОРЫХ ЯДЕРНЫХ ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ ТЕПЛИЦА, ПОРОЖДЕННЫХ ИНВЕРСНЫМИ . . . 1559
Иными словами, если tB(A) = n, то в цепочке
A \subseteq C1 \subseteq C2 \subseteq . . . \subseteq Cn \subset B, n \geq 1,
какие-нибудь две алгебры обязательно совпадают. Будем говорить, что алгебра B является
алгеброй конечного типа относительно алгебры A, если tB(A) < \infty . Если A — максимальная
собственная подалгебра в B, то будем считать, что tB(A) = 1.
Лемма 6. Тип алгебры \scrK 0 относительно алгебры \scrK (m) равен l:
t\scrK 0(\scrK (m)) = l.
Доказательство. Рассмотрим оператор F1 : \scrK 0 \rightarrow \scrK (m), который действует следующим
образом:
F1(A) = A1 \oplus A1 \oplus . . .\oplus A1, где A = A1 \oplus . . .\oplus Al \oplus Al+1 \oplus . . .\oplus Al+1.
Обозначим
J1 =
\bigl\{
B1 - F1(B1) : для всех B1 \in \scrK 0
\bigr\}
,
\scrK (j)
1 (m - j) =
\bigl\{
0\oplus \oplus . . .\oplus 0\oplus Aj+1 \oplus . . .\oplus Aj+1, Aj+1 \in \scrK
\bigr\}
,
где индекс (j)
1 (m - j) показывает, что первые j слагаемых из m начиная с первого элемента
равны нулю, а остальные m - j являются копией одного и того же элемента. Пусть F2 :
J1 \rightarrow \scrK (1)
1 (m - 1) — оператор, который действует следующим образом:
F2(0\oplus A2 \oplus . . .\oplus Al \oplus . . .\oplus Al+1) = 0\oplus A2 \oplus . . .\oplus A2.
Обозначим J2 = \{ B2 - F2(B2) : для всех B2 \in J1\} . Продолжая этот процес, на l-м шаге
получаем Fl : Jl - 1 \rightarrow \scrK (l)
1 (m - l) : Fl(0 \oplus 0 \oplus . . . \oplus Al \oplus Al+1 \oplus . . . \oplus Al+1) = 0 \oplus 0 \oplus . . .
. . .\oplus Al+1\oplus . . .\oplus Al+1. Обозначим Jl = \{ Bl - Fl(Bl) : для всех Bl \in Jl - 1\} . С другой стороны,
согласно вышеприведенному определению Jl = \scrK (l)
1 (m - l). Ясно, что \scrK (m) \cap Jl = \{ 0\} .
Согласно нашему построению можно записать \scrK 0 = \scrK (m) \oplus J1, где под прямой суммой
понимается прямая сумма банаховых пространств. С другой стороны, J1 = \scrK (1)
1 (m - 1)\oplus J2,
a J2 = \scrK (2)
1 (m - 2) \oplus J3, . . . , Jl - 1 = \scrK (l)
1 (m - l + 1) \oplus Jl. Отсюда получаем \scrK 0 = \scrK (m) \oplus
\oplus \scrK (1)
1 (m - 1)\oplus \scrK (2)
1 (m - 2)\oplus . . .\oplus \scrK (l)
1 (m - l).
Таким образом,
\scrK (m) \subset \scrK (m)\oplus \scrK (1)
1 (m - 1) \subset \scrK (m)\oplus \scrK (1)
1 (m - 1)\oplus \scrK (2)
1 (m - 2) \subset . . .
. . . \subset \scrK (m)\oplus \scrK (1)
1 (m - 1)\oplus \scrK (2)
1 (m - 2)\oplus . . .\oplus \scrK (l - 1)
1 (m - l + 1) \subset \scrF . (9)
Сначала покажем, что (9) — неуплотняемая цепочка, которая содержит \scrK (m) и содержится в
\scrK 0. Для этого достаточно показать, что \scrK (m)\oplus \scrK (1)
1 (m - 1) является собственной подалгеброй
в \scrK (m) \oplus \scrK (1)
1 (m - 1) \oplus \scrK (2)
1 (m - 2). Действительно, \scrK (m) \oplus \scrK (1)
1 (m - 1) = \{ A0 \oplus (m -
- 1)A1 \forall A0, A1 \in \scrK \} \subset \{ B0\oplus B1\oplus (m - 2)B2 \forall B0, B1, B2 \in \scrK \} = \scrK (m)\oplus \scrK (1)
1 (m - 1)\oplus \scrK (2)
1 (m -
- 2). Таким образом, мы доказали, что t\scrK 0(\scrK (m)) \geq l. Покажем, что t\scrK 0(\scrK (m)) = l. Последнее
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1560 К. Г. ОВСЕПЯН
докажем методом от противного. Для определенности предположим, что t\scrK 0(\scrK (m)) = l + 1.
Это означает, что существует неуплотняемая максимальная цепочка длины l + 1:
\scrK (m) \subset D1 \subset D2 \subset . . . \subset Dl \subset \scrK 0.
В качестве D1 можно использовать любую из алгебр\Bigl\{
K0
1 \oplus K0
2 \oplus . . .\oplus K0
r \oplus (m - r)K0
r+1, 1 \leq r \leq l, K0
i \in \scrK , i = 1, 2, . . . , l + 1
\Bigr\}
. (10)
Если в D1 r \not = 1, то цепочка \scrK (m) \subset D1 уплотняемая, следовательно, r = 1. Если в каче-
стве D2 рассматривать алгебру, которая получается из (10) при r > 2, то цепочка D1 \subset D2
будет уплотняемой, следовательно, D2 получается из (10) при r = 2. Аналогичным образом
продолжая этот процесс, на (l - 1)-м шаге получаем Dl - 1 = \scrK 0. Пришли к противоречию,
следовательно, (9) является максимальной неуплотняемой цепочкой, т. е.
t\scrK 0(\scrK (m)) = l.
Следствие 1. Тип алгебры \scrK m относительно алгебры \scrK (m) равен m - 1:
t\scrK m(\scrK (m)) = m - 1.
Доказательство. Как и в доказательстве леммы 6, \scrK m = \scrK (m)\oplus \scrK (1)
1 (m - 1)\oplus \scrK (2)
1 (m -
- 2)\oplus . . .\oplus \scrK (m - 1)
1 (1). Отсюда следует неуплотняемая цепочка
\scrK (m) \subset \scrK (m)\oplus \scrK (1)
1 (m - 1) \subset \scrK (m)\oplus \scrK (1)
1 (m - 1)\oplus K
(2)
1 (m - 2) \subset
\subset . . .\scrK (m)\oplus \scrK (1)
1 (m - 1)\oplus . . .\oplus \scrK (m - 2)
1 (2) \subset \scrK m,
т. е.
t\scrK m(\scrK (m)) = m - 1.
Следствие 2. Существуют такие неуплотняемые цепочки длины m - 1:
\scrK (m) \subset \scrK (m)\oplus \scrK (1)
2 (m - 1) \subset \scrK (m)\oplus \scrK (1)
2 (m - 1)\oplus \scrK (2)
2 (m - 2) \subset . . .
. . . \subset \scrK (m)\oplus \scrK (1)
2 (m - 1)\oplus \scrK (2)
2 (m - 2)\oplus \scrK (m - 1)
2 (1) = \scrK m,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\scrK (m) \subset \scrK (m)\oplus \scrK (1)
m (m - 1) \subset \scrK (m)\oplus \scrK (1)
m (m - 1)\oplus \scrK (2)
m (m - 2) \subset . . .
. . . \subset \scrK (m)\oplus \scrK (1)
m (m - 1)\oplus \scrK (2)
m (m - 2)\oplus \scrK (m - 1)
m (1) = \scrK m.
Имея в виду отождествление, приведенное в начале пункта 2, в частности, используя фор-
мулы (4) – (6), лемму 5 можно сформулировать следующим образом:
C\ast -алгебра, порожденная \scrT (m) и проекторами P1, . . . , Pl, 1 \leq l < m, имеет вид
C\ast [\scrT (m), P1, . . . , Pl] = \scrT (m) +
\bigl(
\scrK (1)
1 (m - 1)\oplus \scrK (2)
1 (m - 2)\oplus . . .\oplus \scrK (l)
1 (m - l)
\bigr)
. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТИП НЕКОТОРЫХ ЯДЕРНЫХ ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ ТЕПЛИЦА, ПОРОЖДЕННЫХ ИНВЕРСНЫМИ . . . 1561
Теорема 3. Тип алгебры \scrT m относительно алгебры \scrT (m) равен m - 1:
t\scrT m(\scrT (m)) = m - 1.
Доказательство. Рассмотрим цепочку
\scrT (m) \subset C\ast [\scrT (m), P1] \subset
\subset C\ast [\scrT (m), P1, P2] \subset . . . \subset C\ast [\scrT (m), P1, . . . , Pm - 2] \subset
\subset C\ast [\scrT (m), P1, . . . , Pm - 2, Pm - 1] = \scrT m.
Покажем неуплотняемость этой цепочки, откуда и будет следовать доказательство теоремы. С
учетом равенства (11), приведенная выше цепочка принимает вид
\scrT (m) \subset \scrT (m) +\scrK (1)
1 (m - 1) \subset \scrT (m) +
\bigl(
\scrK (1)
1 (m - 1)\oplus \scrK (2)
1 (m - 2)
\bigr)
\subset . . .
. . . \subset \scrT (m) +
\bigl(
(\scrK (1)
1 (m - 1)\oplus \scrK (2)
1 (m - 2)\oplus . . .\oplus \scrK (m - 1)
1 (1)
\bigr)
\subset \scrT (m) +\scrK m. (12)
С другой стороны, согласно следствию 1 цепочка \scrK (1)
1 (m - 1) \subset \scrK (1)
1 (m - 1)\oplus \scrK (2)
1 (m - 2) \subset . . .
. . . \subset (\scrK (1)
1 (m - 1) \oplus \scrK (2)
1 (m - 2) \oplus . . . \oplus \scrK (m - 1)
1 (1) \subset \scrK m неуплотняема и t\scrK m
\bigl(
\scrK (1)
1 (m -
- 1)
\bigr)
= m - 2. Из вышеизложенного и из того, что \scrT (m) \cap \scrK (i)
1 (m - i) = \{ 0\} , следует, что
t\scrT m(\scrT (m) + \scrK (1)
1 (m - 1)) = m - 2. Поскольку \scrT (m) — собственная подалгебра в \scrT (m) +
\scrK (1)
1 (m - 1), то t\scrT m(\scrT (m)) = m - 1.
Следствие 3. Существуют следующие неуплотняемые цепочки длины m - 1:
\scrT (m) \subset C\ast [\scrT (m), P2] \subset
\subset C\ast [\scrT (m), P1, P2] \subset . . . \subset C\ast [\scrT (m), P1, . . . , Pm - 1] = \scrT m,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\scrT (m) \subset C\ast [\scrT (m), Pm - 1] \subset
\subset C\ast [\scrT (m), Pm - 1, Pm - 2] \subset . . . \subset C\ast [\scrT (m), P2, . . . , Pm - 1] = \scrT m.
Теорема 4. Тип алгебры \scrT m относительно алгебры \scrT \oplus \scrT \oplus . . .\oplus \scrT конечен и равен m - 1:
t\scrT \oplus \scrT \oplus ...\oplus \scrT (\scrT m) = m - 1 < \infty .
Доказательство. Рассмотрим цепочку алгебр
\scrT m =
\bigl\{
A : A = (B +K1)\oplus . . .\oplus (B +Km), B \in \scrT ,K1, . . . ,Km \in \scrK
\bigr\}
\subset
\subset
\bigl\{
(B1 +K1)\oplus (B +K2)\oplus . . .\oplus (B +Km) \forall B1 \in \scrT , B \in \scrT , K1, . . . ,Km \in \scrK
\bigr\}
\subset
\subset
\bigl\{
(B1 +K1)\oplus (B2 +K2)\oplus (B +K3)\oplus . . .\oplus (B +Km)
\forall B1, B \in \scrT , B2 \in \scrT , K1, . . . ,Km \in \scrK
\bigr\}
\subset . . .
. . . \subset
\bigl\{
(B1 +K1)\oplus (B2 +K3)\oplus (B3 +K3)\oplus . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1562 К. Г. ОВСЕПЯН
. . .\oplus (Bm - 2 +Km - 2)\oplus (B +Km - 1)\oplus (B +Km)
\forall B1, . . . , Bm - 2 \in \scrT , B \in \scrT , K1, . . . ,Km \in \scrK
\bigr\}
\subset
\subset
\bigl\{
(B1 +K1)\oplus (B2 +K3)\oplus (B3 +K3)\oplus . . .
. . .\oplus (Bm - 2 +Km - 2)\oplus (Bm - 1 +Km - 1)\oplus (B +Km)
\forall B1, . . . , Bm - 1 \in \scrT , B \in \scrT , K1, . . . ,Km \in \scrK
\bigr\}
=
= \scrT \oplus \scrT \oplus . . .\oplus \scrT . (13)
Неуплотняемость данной цепочки можно доказать, как и в доказательстве леммы 6. Доказа-
тельство того, что не существует неуплотняемая цепочка длины больше чем m - 1, которая
содержит \scrT m и содержится в \scrT \oplus \scrT \oplus . . .\oplus \scrT , приведем методом от противного. Предположим,
что существует неуплотняемая цепочка длины m:
\scrT m \subset \scrA 1 \subset \scrA 2 \subset . . . \subset \scrA m - 2 \subset \scrA m - 1 \subset \scrT \oplus \scrT \oplus . . .\oplus \scrT .
Как известно, каждый элемент алгебры \scrT m имеет вид\bigl\{
(B \oplus B \oplus B \oplus . . .\oplus B) + (K1 \oplus . . .\oplus Km), B \in \scrT ,K1, . . . ,Km \in \scrK
\bigr\}
. (14)
Если в этом выражение один B заменить на другой элемент из алгебры Теплица, то получим
другие алгебры, любая из которых может быть использована в качестве \scrA 1. Как и в доказатель-
стве леммы 6, положим \scrA 1 =
\bigl\{
(B\oplus D1\oplus B\oplus . . .\oplus B)+(K1\oplus . . .\oplus Km), B,D1 \in \scrT ,K1, . . . ,Km \in
\in \scrK
\bigr\}
. Таких алгебр всего m. Если в (14) заменить несколько B на разные элементы из алгебры
Теплица и рассматривать полученную алгебру в качестве \scrA 1, то цепочка \scrT m \subset \scrA 1 будет уплот-
няемой. \scrA 2 получим, если в выражении mB два элемента заменить разными элементами из
алгебры Теплица. Продолжая этот процесс, убеждаемся, что \scrA m - 1 = \scrT \oplus \scrT \oplus . . .\oplus \scrT . Следо-
вательно, цепочка (13) максимальна. Последнее означает, что t\scrT \oplus \scrT \oplus ...\oplus \scrT (\scrT m) = m - 1.
Следствие 4. Справедливо тождество\bigl\{
(B1 +K1)\oplus (B +K2)\oplus . . .\oplus (B +Km), B1, B \in \scrT , K1, . . . ,Km \in \scrK
\bigr\}
= \scrT \oplus \scrT m - 1.
Доказательство. Действительно, используя (9), (11), (12), получаем
(B1 +K1)\oplus (B +K2)\oplus . . .\oplus (B +Km) =
= (B1 +K1)\oplus ((B \oplus . . .\oplus B) + (K2 \oplus . . .\oplus Km)) \in \scrT \oplus \scrT m - 1.
Обратное включение очевидно.
Таким образом, на основании вышеизложенного, цепочка (13) принимает вид
\scrT m \subset \scrT \oplus \scrT m - 1 \subset \scrT \oplus \scrT \oplus \scrT m - 2 \subset . . . \subset \scrT \oplus \scrT \oplus . . .\oplus \scrT 2 \subset \scrT \oplus \scrT \oplus . . .\oplus \scrT .
Автор выражает искреннюю благодарность Г. С. Аршаковичу за полезные советы, которые
способствовали улучшению статьи.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
ТИП НЕКОТОРЫХ ЯДЕРНЫХ ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ ТЕПЛИЦА, ПОРОЖДЕННЫХ ИНВЕРСНЫМИ . . . 1563
Литература
1. Aрзуманян B. A. *-Представления инверсных полугрупп // Изв. АН АрмССР. – 1976. – 218. – С. 361 – 396.
2. Coburn L. A. The C*-algebra generated by an isometry // Bull. Amer. Math. Soc. – 1967. – 73. – P. 722 – 726.
3. Douglas R. G. On the C*-algebra of a one-parameter semigroup of isometries // Acta Math. – 1972. – 128. –
P. 143 – 152.
4. Murphy G. J. Ordered groups and Toeplitz algebras // J. Operator Theory. – 1987. – 18. – P. 303 – 326.
5. Aukhadiev M. A., Tepoyan V. H. Isometric representations of totally ordered semigroups // Lobachevskii J. Math. –
2012. – 33, № 3. – P. 239 – 243.
6. Мерфи Дж., С*-алгебра и теория операторов. – М.: Факториал, 1997.
7. Davidson K. R. C\ast -algebras by example // Fields Institute Monograph. – AMS, 1996. – 6.
8. Jang S. Y. Uniqueness property of C*-algebras like the Toeplitz algebras // Trends Math. – 2003. – 6. – P. 29 – 32.
9. Григорян С. А., Салахутдинов А. Ф. C*-алгебры, порожденные полугруппами с сокращением // Сиб. мат.
журн. – 2010. – 51, № 1. – С. 16 – 25.
10. Овсепян К. Г. O C\ast -алгебрах порожденных инверсными подполугруппами бициклической полугруппы // Изв.
НАН Армении. Математика. – 2014. – 49, № 5. – С. 67 – 75.
11. Липачева Е. В., Овсепян К. Г. Структура подалгебр алгебры Теплица, неподвижных относительно конечной
группы автоморфизмов // Изв. вузов. Математика. – 2015. – №6. – С. 14 – 23.
12. Hovsepyan K. H., Lipacheva E. V. The structure of invariant ideals of some subalgebras of Toeplitz algebra // J.
Contemp. Math. Anal. – 2015. – 50, № 2. – P. 70 – 79.
13. Hovsepyan K. H. The C*-algebra \scrT m as a crossed product // Proc. Yerevan State Univ., Phys. and Math. Sci. –
2014. – №3. – P. 24 – 30.
14. Липачева Е. В., Овсепян К. Г. Автоморфизмы некоторых подалгебр алгебры Теплица // Сиб. мат. журн. –
2016. – 57, № 3. – С. 666 – 674.
15. Овсепян К. Г. Подалгебры алгебры Теплица и тип алгебры // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского. – 2013. –
Вып. 47. – С. 136 – 138.
Получено 05.04.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1802 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:56Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/eb/1db13888462f6f8acfe7b13bead140eb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18022019-12-05T09:27:02Z Type of some nuclear subalgebras of the Toeplitz algebra generated by the inverse subsemigroups of a bicyclic semigroup Тип некоторых ядерных подалгебр алгебры Теплица, порожденных инверсными подполугруппами бициклической полугруппы Оvsepyan, K. H. Овсепян, К. Г. Овсепян, К. Г. We construct a $Z$-graded structure of the Toeplitz algebra and consider nuclear $C\ast$ -subalgebras of the Toeplitz algebra generated by the inverse subsemigroups of the bicyclic semigroup. The types of these algebras with respect to the Toeplitz algebra are determined. In addition, it is shown, that considered algebras are equipped with the structrure of Hilbert $C\ast$ -modules. Наведено $Z$-градуювання алгебри Теплiца. Розглядаються ядернi $C \ast $ -пiдалгебри алгебри Теплiца, що породжуються iнверсними пiднапiвгрупами бiциклiчної напiвгрупи. Знайдено тип цих алгебр вiдносно алгебри Теплiца. Крiм того, доведено, що розглядуванi алгебри надiленi структурою гiльбертових $C\ast$ -модулiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1802 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 11 (2017); 1551-1563 Український математичний журнал; Том 69 № 11 (2017); 1551-1563 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1802/784 Copyright (c) 2017 Оvsepyan K. H. |
| spellingShingle | Оvsepyan, K. H. Овсепян, К. Г. Овсепян, К. Г. Type of some nuclear subalgebras of the Toeplitz algebra generated by the inverse subsemigroups of a bicyclic semigroup |
| title | Type of some nuclear subalgebras of the Toeplitz algebra generated by the inverse
subsemigroups of a bicyclic semigroup |
| title_alt | Тип некоторых ядерных подалгебр алгебры Теплица, порожденных
инверсными подполугруппами бициклической полугруппы |
| title_full | Type of some nuclear subalgebras of the Toeplitz algebra generated by the inverse
subsemigroups of a bicyclic semigroup |
| title_fullStr | Type of some nuclear subalgebras of the Toeplitz algebra generated by the inverse
subsemigroups of a bicyclic semigroup |
| title_full_unstemmed | Type of some nuclear subalgebras of the Toeplitz algebra generated by the inverse
subsemigroups of a bicyclic semigroup |
| title_short | Type of some nuclear subalgebras of the Toeplitz algebra generated by the inverse
subsemigroups of a bicyclic semigroup |
| title_sort | type of some nuclear subalgebras of the toeplitz algebra generated by the inverse
subsemigroups of a bicyclic semigroup |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1802 |
| work_keys_str_mv | AT ovsepyankh typeofsomenuclearsubalgebrasofthetoeplitzalgebrageneratedbytheinversesubsemigroupsofabicyclicsemigroup AT ovsepânkg typeofsomenuclearsubalgebrasofthetoeplitzalgebrageneratedbytheinversesubsemigroupsofabicyclicsemigroup AT ovsepânkg typeofsomenuclearsubalgebrasofthetoeplitzalgebrageneratedbytheinversesubsemigroupsofabicyclicsemigroup AT ovsepyankh tipnekotoryhâdernyhpodalgebralgebryteplicaporoždennyhinversnymipodpolugruppamibicikličeskojpolugruppy AT ovsepânkg tipnekotoryhâdernyhpodalgebralgebryteplicaporoždennyhinversnymipodpolugruppamibicikličeskojpolugruppy AT ovsepânkg tipnekotoryhâdernyhpodalgebralgebryteplicaporoždennyhinversnymipodpolugruppamibicikličeskojpolugruppy |