On equicontinuity of homeomorphisms of the Orlicz and Orlicz – Sobolev classes in the closure of a domain
We investigate the behavior of homeomorphisms of the Orlicz – Sobolev classes in the closure of a domain. The theorems on equicontinuity of the indicated classes are obtained in terms of the prime ends of regular domains. In particular, it is shown that indicated classes are equicontinuous in domain...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1803 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507668228079616 |
|---|---|
| author | Petrov, E. A. Sevost'yanov, E. A. Петров, Е. А. Севостьянов, Е. А. Петров, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Petrov, E. A. Sevost'yanov, E. A. Петров, Е. А. Севостьянов, Е. А. Петров, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Petrov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:27:02Z |
| description | We investigate the behavior of homeomorphisms of the Orlicz – Sobolev classes in the closure of a domain. The theorems
on equicontinuity of the indicated classes are obtained in terms of the prime ends of regular domains. In particular, it is
shown that indicated classes are equicontinuous in domains with certain restrictions imposed on their boundaries provided
that the corresponding inner dilatation of order p has a majorant of finite mean oscillation at every point. We also prove
theorems on the (pointwise) equicontinuity of the analyzed classes in the case of locally connected boundaries. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Е. А. Севостьянов (Житомир. гос. ун-т им. И. Франко),
Е. А. Петров (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Славянск)
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ГОМЕОМОРФИЗМОВ
КЛАССОВ СОБОЛЕВА И ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА В ЗАМЫКАНИИ ОБЛАСТИ
We investigate the behavior of homeomorphisms of the Orlicz – Sobolev classes in the closure of a domain. The theorems
on equicontinuity of the indicated classes are obtained in terms of the prime ends of regular domains. In particular, it is
shown that indicated classes are equicontinuous in domains with certain restrictions imposed on their boundaries provided
that the corresponding inner dilatation of order p has a majorant of finite mean oscillation at every point. We also prove
theorems on the (pointwise) equicontinuity of the analyzed classes in the case of locally connected boundaries.
Вивчається поведiнка гомеоморфiзмiв класiв Орлiча – Соболєва в замиканнi заданої областi. В термiнах простих
кiнцiв регулярних областей отримано теореми про одностайну неперервнiсть вказаних класiв. Зокрема, доведено,
що в областях, межi яких задовольняють певнi обмеження, зазначенi класи є одностайно неперервними, як тiльки їх
внутрiшня дилатацiя порядку p має мажоранту скiнченного середнього коливання в кожнiй точцi. Отримано також
теореми про (поточкову) одностайну неперервнiсть вказаних класiв у випадку локально зв’язних меж.
1. Введение. Настоящая статья посвящена изучению глобального поведения классов Соболева
и Орлича – Соболева, а также кольцевых и нижних кольцевых отображений, тесно связанных с
их исследованием. В частности, эти исследования связаны с непрерывным граничным продол-
жением гомеоморфизмов в терминах так называемых простых концов, в связи с чем следует
отметить на недавние публикации [1, 2], а также классические результаты Р. Някки [3]. Основ-
ной целью статьи является получение результатов о равностепенной непрерывности указанных
классов в замыкании области в смысле простых концов, чему посвящены многие исследования
квазиконформных отображений и отображений с конечным искажением (см., например, [4]
и [5], разд. 3.7). Равностепенная непрерывность, полученная для локально связных границ в
последнем пункте работы, понимается в поточечном смысле. Мы ограничиваемся здесь рас-
смотрением гомеоморфизмов, при этом в качестве коэффициента искажения рассматриваем так
называемую внутреннюю дилатацию порядка \alpha , \alpha \in (n - 1, n]. В качестве области в образе при
отображении рассматривается фиксированная область D \prime с „хорошей” границей, а в качестве
области D определения гомеоморфизмов — так называемая регулярная область, отличающаяся
от «хорошей» на фиксированное квазиконформное отображение. Согласно теореме Римана, в
качестве примера регулярной области на плоскости можно рассматривать произвольную огра-
ниченную односвязную область.
Все необходимые определения, касающиеся понятия и свойств простых концов, могут быть
найдены в работах [1, 2], и потому не приводяться. Мы также опускаем понятия, связанные с
поверхностью, интегралом по поверхности и модулями семейств кривых и поверхностей. Все
эти понятия могут быть найдены в монографиях [6, 7]. Следуя [3], будем говорить, что конец
K является простым концом, если K содержит такую цепь разрезов \{ \sigma m\} , что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
M(\Gamma
\bigl(
C, \sigma m, D)
\bigr)
= 0
для некоторого континуума C в D, где M — модуль семейства \Gamma (C, \sigma m, D).
Будем говорить, что граница области D в \BbbR n является локально квазиконформной, если
каждая точка x0 \in \partial D имеет окрестность U, которая может быть отображена квазиконформным
c\bigcirc Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, Е. А. ПЕТРОВ, 2017
1564 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ГОМЕОМОРФИЗМОВ КЛАССОВ СОБОЛЕВА . . . 1565
отображением \varphi на единичный шар \BbbB n \subset \BbbR n так, что \varphi (\partial D \cap U) является пересечением \BbbB n с
координатной гиперплоскостью. Говорим, что ограниченная область D в \BbbR n регулярна, если D
может быть квазиконформно отображена на область с локально квазиконформной границей. В
силу леммы 1 [2] каждый простой конец P регулярной области D в \BbbR n, n \geq 2, содержит цепь
разрезов \sigma m, лежащую на сферах Sm с центром в некоторой точке x0 \in \partial D и евклидовыми
радиусами rm \rightarrow 0 при m\rightarrow \infty .
Как следует из теоремы 4.1 в [3], при квазиконформных отображениях g области D0 с
локально квазиконформной границей на область D в \BbbR n, n \geq 2, существует естественное
взаимно однозначное соответствие между точками \partial D0 и простыми концами области D и,
кроме того, предельные множества C(g, b), b \in \partial D0, совпадают с телом I(P ) соответствующих
простых концов P в D.
Если DP является пополнением регулярной области D ее простыми концами а g0 — квази-
конформным отображением области D0 с локально квазиконформной границей на D, то оно
естественным образом определяет в DP метрику \rho 0(p1, p2) =
\bigm| \bigm| \widetilde g0 - 1(p1) - \widetilde g0 - 1(p2)
\bigm| \bigm| , где \widetilde g0 —
продолжение g0 в D0, упомянутое выше.
Если g\ast является другим квазиконформным отображением некоторой области D\ast с ло-
кально квазиконформной границей на область D, то соответствующая метрика \rho \ast (p1, p2) =
=
\bigm| \bigm| \widetilde g\ast - 1(p1) - \widetilde g\ast - 1(p2)
\bigm| \bigm| порождает ту же самую сходимость и, следовательно, ту же самую
топологию в DP , как и метрика \rho 0, поскольку g0\circ g - 1
\ast является квазиконформным отображени-
ем между областями D\ast и D0, которое по теореме 4.1 из [3] продолжается до гомеоморфизма
между D\ast и D0.
В дальнейшем будем называть данную топологию в пространстве DP топологией простых
концов и понимать непрерывность отображений F : DP \rightarrow D \prime
P именно относительно этой
топологии.
Пусть \varphi : [0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ) — неубывающая функция, f — локально интегрируемая вектор-
функция n вещественных переменных x1, . . . , xn, f = (f1, . . . , fn), fi \in W 1,1
loc , i = 1, . . . , n. Бу-
дем говорить, что f : D \rightarrow \BbbR n принадлежит классу W 1,\varphi
loc , (пишем f \in W 1,\varphi
loc ), если\int
G
\varphi
\bigl(
| \nabla f(x)|
\bigr)
dm(x) < \infty для любой компактной подобласти G \subset D, где | \nabla f(x)| =
=
\sqrt{} \sum n
i=1
\sum n
j=1
\biggl(
\partial fi
\partial xj
\biggr) 2
. Класс W 1,\varphi
loc называется классом Орлича – Соболева.
Для отображений класса W 1,1
loc и произвольного \alpha \geq 1 корректно определена так называ-
емая внутренняя дилатация KI,\alpha (x, f) отображения f порядка \alpha в точке x, определяемая
равенствами
KI,\alpha (x, f) =
\left\{
| J(x, f)|
l\alpha
\bigl(
f \prime (x)
\bigr) , J(x, f) \not = 0,
1, f \prime (x) = 0,
\infty , — в остальных случаях.
(1)
Следуя [8] (разд. 7.22), будем говорить, что борелева функция \rho : X \rightarrow [0,\infty ], заданная
в метрическом пространстве X с мерой \mu , является верхним градиентом функции u : X \rightarrow
\rightarrow \BbbR , если для всех спрямляемых кривых \gamma , соединяющих произвольные точки x и y \in X,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1566 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, Е. А. ПЕТРОВ
выполняется неравенство | u(x) - u(y)| \leq
\int
\gamma
\rho | dx| . Будем также говорить, что в указанном
пространстве X выполняется (1;\alpha )-неравенство Пуанкаре, если найдутся постоянные C \geq 1
и \tau > 0 такие, что для каждого шара B \subset X, произвольной ограниченной непрерывной
функции u : X \rightarrow \BbbR и любого ее верхнего градиента \rho выполняется неравенство
1
\mu (B)
\int
B
| u - uB| d\mu (x) \leq C (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} B)
\left( 1
\mu (\tau B)
\int
\tau B
\rho \alpha d\mu (x)
\right) 1/\alpha
,
где uB :=
1
\mu (B)
\int
B
ud\mu (x). Метрическое пространство (X, d, \mu ) назовем \widetilde Q-регулярным по
Альфорсу при некотором \widetilde Q \geq 1, если
1
C
R
\widetilde Q \leq \mu (B(x0, R)) \leq CR
\widetilde Q при каждом x0 \in X,
некоторой постоянной C \geq 1 и произвольном R < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}X.
Всюду далее, если не оговорено противное, Q(x) : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] — измеримая по Лебегу
функция такая, что Q(x) \equiv 0 при x \not \in D и 0 < Q(x) <\infty при всех x \in D.
Для областей D, D \prime \subset \BbbR n, b0 \in D, b \prime 0 \in D \prime и произвольной измеримой по Лебегу функции
Q(x) : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] обозначим символом \frakF \alpha ,b0,b \prime
0,\varphi ,Q
(D,D \prime ) семейство всех гомеоморфизмов
f : D \rightarrow D \prime класса W 1,\varphi
loc в D, f(D) = D\prime , таких, что KI,\alpha (x, f) \leq Q(x) при почти всех x \in D
и f(b0) = b \prime 0.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть область D регулярна, область D \prime ограничена, имеет локально квази-
конформную границу и, одновременно, является пространством, n-регулярным по Альфор-
су относительно евклидовой метрики и меры Лебега в \BbbR n, в котором выполнено (1;\alpha )-
неравенство Пуанкаре, n - 1 < \alpha \leq n. Пусть также C(f, P1)\cap C(f, P2) = \varnothing для произвольных
различных простых концов P1, P2 \in ED (где, как обычно, C(f, P ) обозначет предельное мно-
жество отображения f в точке P, а ED — пространство простых концов области D).
Предположим, Q \in L1
loc(\BbbR n), заданная неубывающая функция \varphi : [0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ) удовлетво-
ряет условию
\infty \int
1
\biggl(
t
\varphi (t)
\biggr) 1
n - 2
dt <\infty , (2)
и для каждого x0 \in D выполнено одно из следующих условий:
1) либо Q \in FMO(D);
2) либо в каждой точке x0 \in D при некотором \varepsilon 0 = \varepsilon 0(x0) > 0 и всех 0 < \varepsilon < \varepsilon 0
\varepsilon 0\int
\varepsilon
dt
t
n - 1
\alpha - 1 q
1
\alpha - 1
x0 (t)
<\infty ,
\varepsilon 0\int
0
dt
t
n - 1
\alpha - 1 q
1
\alpha - 1
x0 (t)
= \infty , (3)
где qx0(r) :=
1
\omega n - 1rn - 1
\int
| x - x0| =r
Q(x) d\scrH n - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ГОМЕОМОРФИЗМОВ КЛАССОВ СОБОЛЕВА . . . 1567
Тогда каждый элемент f \in \frakF \alpha ,b0,b \prime
0,\varphi ,Q
(D,D \prime ) продолжается до непрерывного отобра-
жения f : DP \rightarrow D \prime
P при этом, семейство отображений \frakF b0,b \prime
0,\varphi ,Q
(DP , D \prime
P ), состоящее из
всех продолженных таким образом отображений, является равностепенно непрерывным, а
значит, и нормальным в DP .
В случае локально связных границ заданной области справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть n \geq 2, n - 1 < \alpha \leq n, область D имеет не менее одной конечной
граничной точки, D локально связна на границе, область D \prime ограничена и кроме того, D \prime
является n-регулярным по Альфорсу пространством с евклидовой метрикой и мерой Лебега
в \BbbR n, в котором выполнено (1;\alpha )-неравенство Пуанкаре. Предположим, что Q \in L1
loc(\BbbR n),
заданная неубывающая функция \varphi : [0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ) удовлетворяет условию (2), и что либо
Q \in FMO(D), либо для каждого x0 \in D функция Q удовлетворяет условиям (3).
Тогда каждый элемент f \in \frakF \alpha ,b0,b \prime
0,\varphi ,Q
(D,D \prime ) продолжается до непрерывного отобра-
жения f : D \rightarrow D \prime , при этом, семейство отображений \frakF \alpha ,b0,b \prime
0,\varphi ,Q
(D,D \prime ), состоящее из
всех продолженных таким образом отображений, является равностепенно непрерывным, а
значит, и нормальным в D.
2. Вспомогательные сведения. Дальнейшее изложение существенно опирается на аппарат
нак называемых нижних Q-гомеоморфизмов (см. [6], гл. 9). Говорят, что некоторое свойство
P выполнено для p-почти всех поверхностей области D, если оно имеет место для всех по-
верхностей, лежащих в D, кроме, быть может, некоторого их подсемейства, p-модуль которого
равен нулю. Будем говорить, что измеримая по Лебегу функция \rho : \BbbR n \rightarrow \BbbR + обобщенно допус-
тима относительно p-модуля для семейства \Gamma k-мерных поверхностей S в \BbbR n, (сокращенно
\rho \in \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}p \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m} \Gamma ), если соотношение
\int
S
\rho k d\scrA \geq 1 выполнено для p-почти всех поверхностей
S семейства \Gamma . Следующий класс отображений представляет собой обобщение квазиконформ-
ных отображений в смысле кольцевого определения по Герингу [9])и исследуется отдельно
(см., например, [6], гл. 9). Пусть D и D \prime — заданные области в \BbbR n, n \geq 2, x0 \in D \setminus \{ \infty \} и Q :
\BbbR n \rightarrow (0,\infty ) — измеримая по Лебегу функция. Будем говорить, что f : D \rightarrow D \prime — нижнее
Q-отображение в точке x0 относительно p-модуля, как только
Mp
\bigl(
f(\Sigma \varepsilon )
\bigr)
\geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in extp adm\Sigma \varepsilon
\int
D\cap A(x0,\varepsilon ,r0)
\rho p(x)
Q(x)
dm(x) (4)
для каждого кольца
A(x0, \varepsilon , r0) =
\bigl\{
x \in \BbbR n : \varepsilon < | x - x0| < r0
\bigr\}
, (5)
где r0 \in (0, d0), d0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in D
| x - x0| , \Sigma \varepsilon обозначает семейство всех пересечений сфер S(x0, r)
с областью D, r \in (\varepsilon , r0). Если p = n, то будем говорить, что f — нижнее Q-отображение в
точке x0. Будем говорить, что f нижнее Q-отображение относительно p-модуля в A \subset D, если
соотношение (4) имеет место для каждого x0 \in A. Для отображения f : D \rightarrow \BbbR n, множества
E \subset D и y \in \BbbR n, определим функцию кратности N(y, f, E) как число прообразов точки y
во множестве E, т. е.
N(y, f, E) = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}
\bigl\{
x \in E : f(x) = y
\bigr\}
, N(f,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR n
N(y, f, E) . (6)
Полное доказательство следующей леммы в полном объеме приведено в [10] (лемма 2.3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1568 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, Е. А. ПЕТРОВ
Лемма 1. Пусть D — область в \BbbR n, n \geq 2, \varphi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) — неубывающая функция,
удовлетворяющая условию (2). Если p > n - 1, то каждое открытое дискретное отоб-
ражение f : D \rightarrow \BbbR n с конечным искажением класса W 1,\varphi
loc такое, что N(f,D) < \infty ,
является нижним Q-отображением относительно p-модуля в каждой точке x0 \in D при
Q(x) = N(f,D)K
p - n+1
n - 1
I,\alpha (x, f), \alpha : =
p
p - n+ 1
, где внутренняя дилатация KI,\alpha (x, f) отоб-
ражения f в точке x порядка \alpha определена соотношением (1), а кратность N(f,D) —
вторым соотношением в (6).
Пусть E, F \subset \BbbR n — произвольные множества. Обозначим через \Gamma (E,F,D) семейство всех
кривых \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbR n, которые соединяют E и F в D, т. е. \gamma (a) \in E, \gamma (b) \in F и \gamma (t) \in D
при t \in (a, b). Дальнейшее изложение существенно опираются на аппарат так называемых
Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля (см. [6], [гл. 7). Дадим определение этого класса
отображений. Пусть x0 \in D, тогда отображение f : D \rightarrow \BbbR n будем называть кольцевым Q-
отображением относительно p-модуля в точке x0, если для каждых 0 < r1 < r2 < d0 :=
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in D | x - x0|
Mp
\Bigl(
f(\Gamma
\bigl(
S1, S2, D)
\bigr) \Bigr)
\leq
\int
A(x0,r1,r2)\cap D
Q(x)\eta p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x), (7)
где A(x0, r1, r2) определено в (5), Si = S(x0, ri), i = 1, 2, и \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] — произвольная
измеримая по Лебегу функция такая, что
r2\int
r1
\eta (r)dr = 1. (8)
Отображение f : D \rightarrow \BbbR n будет называться кольцевым Q-гомеоморфизмом относительно
p-модуля на множестве A \subseteq D, если кольцевое условие (7) выполняется для любой точки
x0 \in A. Следующее утверждение доказано в [12] (следствие 5) при p = n для точек из D
(см. также случай внутренних точек и p > n - 1 [11]) (лемма 3.8). Для граничных точек облас-
ти D и произвольного p > n - 1 доказательство данного утверждения проводится аналогично
доказательству следствия 5 [12], и потому опускается.
Лемма 2. Пусть x0 \in D, p > n - 1 и ограниченный гомеоморфизм f : D \rightarrow \BbbR n является
нижним Q-отображением в области D \subset \BbbR n относительно p-модуля, Q \in L
n - 1
p - n+1
loc (\BbbR n).
Тогда f является кольцевым Q
n - 1
p - n+1 -отображением в точке x0 относительно \alpha -модуля, \alpha :=
:=
p
p - n+ 1
.
Справедливо следующее фундаментальное утверждение, аналог которого для гомеоморфиз-
мов и частного случая p = n = 2 доказан в [1] (лемма 5.1) (см. также аналогичный результат
для нижних Q-гомеоморфизмов в [2] (лемма 3)). Доказательство в случае p \in (n - 1, n] может
быть проведено по полной аналогии с доказательством леммы 5.1 [1].
Лемма 3. Пусть n \geq 2, \alpha \geq 1, область D \subset \BbbR n регулярна, а D \prime \subset \BbbR n ограничена и
имеет локально квазиконформную границу, являющуюся сильно достижимой относительно
\alpha -модуля. Пусть также отображение f : D \rightarrow D \prime , D \prime = f(D), является кольцевым Q-
гомеоморфизмом в каждой точке x0 \in \partial D относительно \alpha -модуля.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ГОМЕОМОРФИЗМОВ КЛАССОВ СОБОЛЕВА . . . 1569
Тогда f продолжается до непрерывного отображения f : DP \rightarrow D \prime
P , f(DP ) = D \prime
P ,
если выполнено следующее условие. Для каждой точки x0 \in \partial D найдутся \varepsilon 0 = \varepsilon 0(x0) > 0
и измеримая по Лебегу функция \psi (t) : (0, \varepsilon 0) \rightarrow [0,\infty ] со следующим свойством: для любого
\varepsilon \in (0, \varepsilon 0) выполнено условие I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\int \varepsilon 0
\varepsilon
\psi (t)dt < \infty , I(\varepsilon , \varepsilon 0) \rightarrow \infty при \varepsilon \rightarrow 0 и, кроме
того, при \varepsilon \rightarrow 0 \int
A(x0,\varepsilon ,\varepsilon 0)
Q(x)\psi \alpha
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x) = o(I\alpha (\varepsilon , \varepsilon 0)),
где, как обычно, сферическое кольцо A(x0, \varepsilon , \varepsilon 0) определено формулой (5).
3. О равностепенной непрерывности в областях с (\bfone ;\bfitalpha )-неравенством Пуанкаре, ре-
гулярных по Альфорсу. Справедливо следующее утверждение (см. [13], предложение 4.7).
Предложение 1. Пусть X — \beta -регулярное по Альфорсу метрическое пространство с
мерой, в котором выполняется (1;\alpha )-неравенство Пуанкаре, \beta - 1 < \alpha \leq \beta . Тогда для
произвольных континуумов E и F, содержащихся в шаре B(x0, R), и некоторой постоянной
C > 0 выполняется неравенство M\alpha (\Gamma (E,F,X)) \geq 1
C
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}F\}
R1+\alpha - \beta
.
Имеет место следующее утверждение, обобщающее лему 3.7.1 [5] в случае нелокально
связных границ.
Лемма 4. Пусть \alpha \in (n - 1, n], область D регулярна, область D \prime ограничена, имеет
локально квазиконформную границу и, одновременно, является пространством, n-регулярным
по Альфорсу относительно евклидовой метрики и меры Лебега в \BbbR n, в котором выполнено
(1;\alpha )-неравенство Пуанкаре. Пусть также P0 — некоторый простой конец в ED, а \sigma m,
m = 1, 2, . . . , — соответствующая ему цепь разрезов, лежащих на сферах с центром в неко-
торой точке x0 \in \partial D и радиусов rm \rightarrow 0, m \rightarrow \infty . Пусть Dm — соответствующая P0
последовательность ассоциированных областей, а Cm — произвольная последовательность
континуумов, принадлежащих Dm. Потребуем, кроме того, чтобы C(f, P1) \cap C(f, P2) = \varnothing
для произвольных различных простых концов P1, P2 \in ED.
Предположим, что f : D \rightarrow D \prime — кольцевой Q-гомеоморфизм относительно \alpha -модуля в
D, f(D) = D \prime , такой, что b \prime 0 = f(b0) для некоторых b0 \in D и b \prime 0 \in D \prime . Пусть также
найдется \varepsilon 0 = \varepsilon (x0) > 0, такое, что при некотором 0 < p \prime < \alpha выполнено условие\int
A(x0,\varepsilon ,\varepsilon 0)
Q(x)\psi \alpha
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x) \leq KIp
\prime
(\varepsilon , \varepsilon 0), (9)
где сферическое кольцо A(x0, \varepsilon , \varepsilon 0) определено, как в (5), а \psi — некоторая неотрицательная
измеримая функция, такая, что при всех \varepsilon \in (0, \varepsilon 0)
I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\varepsilon 0\int
\varepsilon
\psi (t) dt <\infty , (10)
при этом, I(\varepsilon , \varepsilon 0) \rightarrow \infty при \varepsilon \rightarrow 0.
Тогда найдутся числа \widetilde \varepsilon 0 = \widetilde \varepsilon 0(x0) \in (0, \varepsilon 0) и M0 \in \BbbN такие, что
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} f(Cm) \leq C \cdot R1+\alpha - nKIp
\prime - \alpha (rm, \varepsilon 0)\Delta (\sigma , \widetilde \varepsilon 0, \varepsilon 0), m \geq M1,
где \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} f(Cm) — евклидов диаметр множества f(Cm),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1570 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, Е. А. ПЕТРОВ
\Delta (\sigma , \widetilde \varepsilon 0, \varepsilon 0) =
\left( 1 +
\int \varepsilon 0
\widetilde \varepsilon 0 \psi (t) dt\int \widetilde \varepsilon 0
\sigma
\psi (t) dt
\right)
\alpha
, (11)
R — радиус шара, содержащего область D \prime , а C — постоянная из предложения 1.
Доказательство. Прежде всего, по определению регулярной области, D может быть отоб-
ражена квазиконформно на область G с локально квазиконформной границей посредством
отображения g : D \rightarrow G. Заметим, что G \not = \BbbR n ввиду теоремы Лиувилля, имеющей место
для квазиконформных отображений (см. [14], следствие 2.12, гл. III). С другой стороны, в си-
лу леммы 3 отображение g продолжается до гомеоморфизма g : DP \rightarrow GP , причем согласно
теореме 4.1 [3] существует взаимно однозначное соответствие между точками границы G и
простыми концами в области G. В таком случае также существует взаимно однозначное соот-
ветствие между точками границы G и простыми концами в области D, а значит, таких простых
концов не менее двух.
Пусть теперь P1 \in ED — простой конец, не совпадающий с P0, где P0 — фиксированный
простой конец из условия леммы. Предположим, что Gm, m = 1, 2, . . . , — последовательность
областей, соответствующая простому концу P1 и xm \in G — такая произвольная последова-
тельность точек, что xm \rightarrow P1 при m\rightarrow \infty . Можно считать, что xm \in Gm для любого m \in \BbbN .
Тогда, так как f имеет непрерывное продолжение на DP в силу леммы 3, то f(xm) \rightarrow f(P1)
при m\rightarrow \infty . Заметим, что при всех m \geq m0 и некотором m0 \in \BbbN \bigm| \bigm| f(b0) - f(xm)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| b \prime 0 - f(xm)
\bigm| \bigm| \geq \bigm| \bigm| b \prime 0 - f(P1)
\bigm| \bigm| - \bigm| \bigm| f(xm) - f(P1)
\bigm| \bigm| \geq 1
2
d(b \prime 0, \partial D
\prime ) := \delta , (12)
где d(b \prime 0, \partial D
\prime ) обозначает евклидово расстояние между b \prime 0 и \partial D \prime . Построим последователь-
ность континуумов Km, m = 1, 2, . . . , следующим образом. Соединим точку x1 с точкой b0
произвольной кривой в D, которую мы обозначим через K1. Далее, соединим точки x2 и x1
кривой K \prime
1, лежащей в G1. Объединив кривые K1 и K \prime
1, получим кривую K2, соединяющую
точки b0 и x2. И так далее. Пусть на некотором шаге мы имеем кривую Km, соединяющую
точки xm и b0. Соединим точки xm+1 и xm кривой K \prime
m, лежащей в Gm. Объединяя между
собой кривые Km и K \prime
m, получаем кривую Km+1. И так далее.
Покажем, что найдется такой номер m1 \in \BbbN , что
Dm \cap Km = \varnothing \forall m \geq m1 . (13)
Предположим, что (13) не имеет места, тогда найдутся возрастающая последовательность
номеров mk \rightarrow \infty , k \rightarrow \infty , и последовательность точек \xi k \in Kmk
\cap Dmk
, k = 1, 2, . . . . Тогда,
с одной стороны, \xi k \rightarrow P0 при k \rightarrow \infty .
Рассмотрим следующую процедуру. Итак, возможны два случая: либо все элементы \xi k при
k = 1, 2, . . . принадлежат множеству D \setminus G1, либо найдется такой номер k1, что \xi k1 \in G1.
Далее, рассмотрим последовательность \xi k, k > k1. Здесь также, что возможны два случая:
либо \xi k при k > k1 принадлежат множеству D \setminus G2, либо найдется такой номер k2 > k1,
что \xi k2 \in G2. И так далее. Предположим что, элемент \xi kl - 1
\in Gl - 1 построен. Заметим, что
возможны два случая: либо \xi k при k > kl - 1 принадлежат множеству D \setminus Gl, либо найдется
такой номер kl > kl - 1, что \xi kl \in Gl. И так далее. Эта процедура может быть как конечной
(оборваться на каком-то l \in \BbbN ), так и бесконечной, в зависимости от чего мы имеем два случая:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ГОМЕОМОРФИЗМОВ КЛАССОВ СОБОЛЕВА . . . 1571
1) либо найдутся номера n0 \in \BbbN и l0 \in \BbbN такие, что \xi k \in D \setminus Gn0 при всех k > l0;
2) либо для каждого l \in \BbbN найдется такой элемент \xi kl , что \xi kl \in Gl, причем последова-
тельность kl является возрастающей по l \in \BbbN .
Рассмотрим каждый из этих случаев и покажем, что в обоих из них мы приходим к про-
тиворечию. Пусть имеет место случай 1, тогда все элементы последовательности \xi k принадле-
жат Kn0 , откуда следует существование подпоследовательности \xi kr , r = 1, 2, . . . , сходящейся
при r \rightarrow \infty к некоторой точке \xi 0 \in D. Однако, с другой стороны, \xi k \in Dmk
и, значит,
\xi 0 \in
\infty \bigcap
m=1
Dm \subset \partial D (см. [2], предложение 1). Полученное противоречие свидетельствует о
том, что случай 1 невозможен. Пусть имеет место случай 2, тогда одновременно \xi k \rightarrow P0
и \xi k \rightarrow P1 при k \rightarrow \infty . В силу непрерывного продолжения f на DP отсюда следует, что
f(\xi k) \rightarrow f(P0) и f(\xi k) \rightarrow f(P1) при k \rightarrow \infty , откуда f(P0) = f(P1), что противоречит усло-
вию C(f, P1)\cap C(f, P2) = \varnothing , P1 \not = P2. Полученное противоречие указывает на справедливость
соотношения (13).
Положим теперь \widetilde \varepsilon 0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \varepsilon 0, rm1+1\} , и пусть M0 — такое натуральное число, что rm <
< \widetilde \varepsilon 0 при всех m \geq M0. Заметим, что согласно соотношению (13) и определению разрезов
\sigma m \subset rm, \Gamma (Cm,Km, D) > \Gamma
\bigl(
S(x0, rm), S(x0, \widetilde \varepsilon 0), D\bigr)
и, значит, M\alpha
\bigl(
f(\Gamma (Cm,Km, D))
\bigr)
\leq
\leq M\alpha (f
\bigl(
\Gamma (S(x0, rm), S(x0, \widetilde \varepsilon 0), D)
\bigr)
(см. [7], теорема 6.4). Повторяя рассуждения, приведенные
при доказательстве леммы 3.7.1 [5], с помощью рассмотрения вспомогательной измеримой
функции \eta m(t) =
\Biggl\{
\psi (t)/I(rm, \widetilde \varepsilon 0), t \in (rm, \widetilde \varepsilon 0),
0, t \not \in (rm, \widetilde \varepsilon 0), I(a, b) =
\int b
a
\psi (t) dt, приходим к неравенству
M\alpha
\bigl(
\Gamma
\bigl(
f(Cm), f(Km), D \prime \bigr) \bigr) \leq KIp
\prime - \alpha (rm, \varepsilon 0)\Delta (rm, \widetilde \varepsilon 0, \varepsilon 0), m \geq M0, (14)
где \Delta определяется из соотношения (11) при \sigma = rm. Поскольку из (14) вытекает, что
M\alpha
\bigl(
\Gamma (f(Cm), f(Km), D \prime )
\bigr)
\rightarrow 0 при m \rightarrow \infty , а \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} f(Km) \geq \delta ввиду (12), то из пред-
ложения 1 вытекает существование некоторого M1 \geq M0 такого, что при всех m \geq M1
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} f(Cm) \leq CR1+\alpha - nM\alpha
\bigl(
\Gamma (f(Cm), f(Km), D \prime )
\bigr)
, (15)
где R — радиус шара, содержащего область D \prime , а C > 0 — постоянная из предложения 1. Тогда
из (14) и (15) вытекает, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} f(Cm) \leq CR1+\alpha - nKIp
\prime - \alpha (rm, \varepsilon 0)\Delta (rm, \widetilde \varepsilon 0, \varepsilon 0), m \geq M1.
Лемма 4 доказана.
Для заданных областей D, D \prime \subset \BbbR n, n \geq 2, n - 1 < p \leq n, измеримой по Лебегу
функции Q(x) : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ], b0 \in D, b \prime 0 \in D \prime , обозначим через \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ) семейство
кольцевых Q-гомеоморфизмов f : D \rightarrow D \prime относительно \alpha -модуля в D таких, что f(D) = D \prime ,
b \prime 0 = f(b0). В наиболее общем случае основное утверждение настоящего пункта может быть
сформулировано следующим образом.
Лемма 5. В условиях леммы 4 каждое f \in \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ) продолжается до гомео-
морфизма f : DP \rightarrow D \prime
P , при этом семейство таким образом продолженных отображений
является равностепенно непрерывным в DP .
Доказательство. Каждое отображение f имеет непрерывное продолжение на DP в силу
леммы 3. Равностепенная непрерывность семейства \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ) во внутренних точках
области D следует, например, из леммы 3.2.2 [5] при \alpha = n и леммы 2.4 [15] при \alpha \not = n.
Осталось показать равностепенную непрерывность семейства продолженных по непрерыв-
ности гомеоморфизмов \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
\bigl(
DP , D \prime
P
\bigr)
на ED.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1572 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, Е. А. ПЕТРОВ
Предположим противное, а именно, что семейство отображений \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
\bigl(
DP , D \prime
P
\bigr)
не
является равностепенно непрерывным в некоторой точке P0 \in ED. Тогда найдутся число
a > 0, последовательность Pk \in DP , k = 1, 2, . . . , и элементы fk \in \frakG b0,b \prime
0,Q
\bigl(
DP , D \prime
P
\bigr)
такие,
что d(Pk, P0) < 1/k и \bigm| \bigm| fk(Pk) - fk(P0)
\bigm| \bigm| \geq a, k = 1, 2, . . . . (16)
В силу возможности непрерывного продолжения каждого fk на границу D в терминах
простых концов для любого k \in \BbbN найдется такой элемент xk \in D, что d(xk, Pk) < 1/k и
| fk(xk) - fk(Pk)| < 1/k. Тогда из (16) следует, что\bigm| \bigm| fk(xk) - fk(P0)
\bigm| \bigm| \geq a/2, k = 1, 2, . . . . (17)
Аналогично, в силу непрерывного продолжения отображения fk в DP найдется последо-
вательность x \prime
k \in D, x \prime
k \rightarrow P0 при k \rightarrow \infty такая, что
\bigm| \bigm| fk(x \prime
k) - fk(P0)
\bigm| \bigm| < 1/k при k = 1, 2, . . . .
Тогда из (17) следует, что
| fk(xk) - fk(x
\prime
k)| \geq a/4, k = 1, 2, . . . . (18)
Пусть \sigma m, m = 1, 2, . . . , — соответствующая P0 цепь разрезов, лежащих на сферах с цент-
ром в некоторой точке x0 \in \partial D и радиусов rm \rightarrow 0, m \rightarrow \infty . Пусть Dm — соответствующая
P0 последовательность ассоциированных областей. Не ограничивая общности рассуждений,
можно считать, что xk и x \prime
k принадлежат области Dk. Соединим точки xk и x \prime
k кривой Ck
лежащей в Dk. Тогда согласно лемме 4 получим, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} f(Ck) \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty , что
противоречит неравенству (18). Полученное противоречие свидетельствует о том, что исходное
предположение об отсутствии равностепенной непрерывности семейства \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
(DP , D \prime
P )
было ошибочным.
Из леммы 5 на основе леммы 2.5 [15] (см. также лемму 2.3.1 [5]), получаем следующее
утверждение.
Теорема 3. Пусть \alpha \in (n - 1, n], область D регулярна, область D \prime ограничена, имеет
локально квазиконформную границу и одновременно является пространством, n-регулярным
по Альфорсу относительно евклидовой метрики и меры Лебега в \BbbR n, в котором выполнено
(1;\alpha )-неравенство Пуанкаре.
Предположим, что выполнено одно из следующих условий:
1) либо в каждой точке x0 \in D при некотором \varepsilon 0 = \varepsilon 0(x0) > 0 и всех 0 < \varepsilon < \varepsilon 0
выполнены условия типа (3);
2) либо Q \in FMO(D).
Тогда каждое f \in \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ) продолжается до гомеоморфизма f : DP \rightarrow D \prime
P ,
при этом семейство таким образом продолженных отображений является равностепенно
непрерывным в DP .
Доказательство теоремы 1. Пусть p — число, определяющееся из условия \alpha =
p
p - n+ 1
,
т. е., p := \alpha (n - 1)/(\alpha - 1)). Тогда p > n - 1 и по лемме 1 каждое отображение \frakF \alpha ,b0,b \prime
0,\varphi ,Q
(D,D \prime )
является нижним B-отображением относительно p-модуля при B(x) = Q
p - n+1
n - 1 (x, f) в D.
По лемме 2 отображение f является кольцевым B
n - 1
p - n+1 (x)-отображением в D относительно
\alpha -модуля. Другими словами, поскольку B
n - 1
p - n+1 (x) = Q(x), то f является кольцевым Q(x)-
отображением в D относительно \alpha -модуля, т. е., f \in \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ). Так как Q(x) удовлет-
воряет условиям 1 и 2 теоремы 3, то желанное утверждение непосредственно следует из этой
теоремы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ГОМЕОМОРФИЗМОВ КЛАССОВ СОБОЛЕВА . . . 1573
4. Случай локально связных границ. Как было отмечено во введении, случай локально
связной границы заслуживает отдельного рассмотрения. Имеет место следующее утверждение,
обобщающее лемму 3.7.1 [5] на случай произвольного порядка \alpha модуля семейств кривых.
Лемма 6. Пусть n \geq 2, \alpha \in (n - 1, n], область D \subset \BbbR n локально связна в точках границы,
x0 \in \partial D, x0 \not = \infty , а отображение f : D \rightarrow \BbbR n является кольцевым Q-гомеоморфизмом в
точке x0 относительно \alpha -модуля таким, что b \prime 0 = f(b0) для некоторых b0 \in D и b \prime 0 \in D \prime =
= f(D). Пусть также D \prime ограничена и является n-регулярным по Альфорсу пространством с
евклидовой метрикой и мерой Лебега в \BbbR n, в котором выполнено (1;\alpha )-неравенство Пуанкаре.
Предположим, что найдется такое \varepsilon 0 = \varepsilon (x0) > 0, что при некотором 0 < p \prime < \alpha , \varepsilon \rightarrow 0
и некоторой постоянной K > 0 выполнено условие (9), где сферическое кольцо A(x0, \varepsilon , \varepsilon 0)
определено, как в (5), а \psi — некоторая заданная неотрицательная измеримая функция такая,
что при всех \varepsilon \in (0, \varepsilon 0) имеет место соотношение (10), при этом, I(\varepsilon , \varepsilon 0) \rightarrow \infty при \varepsilon \rightarrow 0.
Тогда найдется число \widetilde \varepsilon 0 = \widetilde \varepsilon 0(x0) \in (0, \varepsilon 0) такое, что при каждом \sigma \in (0, \widetilde \varepsilon 0) и любого
континуума E1 \subset B(x0, \sigma ) \cap D выполнено неравенство
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} f(E1) \leq CR1+\alpha - nKIp
\prime - \alpha (\sigma , \varepsilon 0)\Delta (\sigma , \widetilde \varepsilon 0, \varepsilon 0), (19)
где \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} f(E1) — евклидов диаметр множества f(E1), \Delta определяется соотношением (11),
d — евклидово расстояние между множествами, R — радиус шара, содержащего область D \prime ,
а C — постоянная из предложения 1.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что I(\varepsilon 1, \varepsilon 0) > 0. Повторяя
рассуждения из доказательства леммы 3.7.1 [5], мы заключаем, что существуют a0 \in D и
\varepsilon 1 \in (0, \varepsilon 0) такие, что точка b0 может быть соединена некоторой кривой E2 с точкой a0,
E2 \subset D \setminus B(x0, \varepsilon 1), такой что
d
\bigl(
b \prime 0, f(a0)
\bigr)
\geq 1
2
d(b \prime 0, \partial D
\prime ) := \delta (20)
(здесь d обозначает евклидово расстояние между множествами). Пусть \sigma \in (0, \varepsilon 1), E1 \subset
\subset B(x0, \sigma ) \cap D — произвольный континуум. Дальнейший ход рассуждений повторяет тех-
нику, примененную во второй части доказательство леммы 4 (см. также [5]). Как и при
доказательстве этой леммы, рассматривая вспомогательную измеримую функцию \eta \sigma (t) =
=
\Biggl\{
\psi (t)/I(\sigma , \varepsilon 1), t \in (\sigma , \varepsilon 1)
0, t \not \in (\sigma , \varepsilon 1)
I(a, b) =
\int b
a
\psi (t) dt, и используя соотношения (9), (10), мы
приходим к оценке
M\alpha
\bigl(
\Gamma (f(E1), f(E2), D
\prime )
\bigr)
\leq KIp
\prime - \alpha (\sigma , \varepsilon 0)\Delta (\sigma , \varepsilon 1, \varepsilon 0), (21)
где \Delta определено в (11). Поскольку из (21) следует, что M\alpha
\bigl(
\Gamma (f(E1), f(E2), D
\prime )
\bigr)
\rightarrow 0 при
\sigma \rightarrow 0, в силу предложения 1
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} f(E1) \leq CR1+\alpha - nM\alpha
\bigl(
\Gamma (f(E1), f(E2), D
\prime )
\bigr)
, (22)
где R — радиус шара, содержащего область D \prime , а C > 0 — постоянная из предложения 1.
Из (21) и (22) следует соотношение (19).
Лемма 6 доказана.
В наиболее общем случае основное утверждение настоящего пункта может быть сформу-
лировано следующим образом.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1574 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, Е. А. ПЕТРОВ
Лемма 7. В условиях леммы 6 каждое f \in \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ) продолжается до непрерыв-
ного отображения f : D \rightarrow D \prime , при этом семейство таким образом продолженных отобра-
жений является равностепенно непрерывным в D.
Доказательство. Возможность непрерывного продолжения отображения f на D следует
из леммы 4 [16], поскольку области D \prime , содержащиеся в условии леммы 7, имеют сильно
достижимые границы относительно \alpha -модуля в силу предложения 1. Равностепенная непре-
рывность семейства \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ) во внутренних точках области D следует, например, из
леммы 3.2.2 [5] при \alpha = n и леммы 2.4 [15] при \alpha \not = n.
Осталось показать равностепенную непрерывность продолженных по непрерывности го-
меоморфизмов \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
\bigl(
D,D \prime
\bigr)
на \partial D.
Предположим противное, а именно, что семейство отображений \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
\bigl(
D,D \prime
\bigr)
не явля-
ется равностепенно непрерывным в некоторой точке x0 \in \partial D. Повторяя рассуждения, приве-
денные при доказательстве леммы 5 (см. также доказательство леммы 3.8.2 [5]), мы заключаем,
что в этом случае найдутся a > 0, последовательности xk, x \prime
k \in D, xk, x
\prime
k \rightarrow x0 при k \rightarrow \infty , и
элементы fk \in \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
\bigl(
D,D \prime
\bigr)
такие, что
| fk(xk) - fk(x
\prime
k)| \geq a/4, k = 1, 2, . . . . (23)
Поскольку по условию область D является локально связной на границе, то найдется
последовательность окрестностей Vm точки x0, m = 1, 2, . . . , лежащих в шаре B(x0, 2
- m),
такая, что Wm := Vm \cap D есть связное множество при каждом m \in \BbbN , а так как xk и
x \prime
k \rightarrow x0 при k \rightarrow \infty , то найдется подпоследовательность номеров mk, k = 1, 2, . . . , такая,
что xmk
\in Wk и x \prime
mk
\in Wk. Соединим точки xmk
и x \prime
mk
кривой Ck, лежащей в Wk. Тогда при
достаточно больших k число 2 - k меньше числа \widetilde \varepsilon 0 из леммы 6, поэтому в этой лемме можно
положить E1 := Ck. В таком случае\bigm| \bigm| fmk
(xmk
) - fmk
(x \prime
mk
)
\bigm| \bigm| \leq CR1+\alpha - nKIp
\prime - \alpha (2 - k, \varepsilon 0)\Delta (2 - k, \widetilde \varepsilon 0, \varepsilon 0) \rightarrow 0, k \rightarrow \infty ,
что противоречит (23). Полученное противоречие указывает на то, что исходное предположение
об отсутствии равностепенной непрерывности семейства \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
\bigl(
D,D \prime
\bigr)
было ошибочным.
Из леммы 7 на основе леммы 2.5 и доказательства теоремы 3.3 [15] (см. также [5] лем-
ма 2.3.1) получаем следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть \alpha \in (n - 1, n], область D локально связна на границе и имеет не менее
одной конечной граничной точки, а область D \prime ограничена, имеет локально квазиконформную
границу и одновременно является пространством, n-регулярным по Альфорсу относительно
евклидовой метрики и меры Лебега в \BbbR n, в котором выполнено (1;\alpha )-неравенство Пуанкаре.
Предположим, что либо Q \in FMO(D), либо в каждой точке x0 \in D выполняются усло-
вия (3).
Тогда каждое f \in \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ) продолжается до непрерывного отображения f :
D \rightarrow D \prime , при этом семейство таким образом продолженных отображений является равно-
степенно непрерывным в D.
Доказательство теоремы 2 точно такое же, как и доказательство теоремы 1. В силу лем-
мы 1 каждое отображение \frakF \alpha ,b0,b \prime
0,\varphi ,Q
(D,D \prime ) является нижним B-отображением относительно
p-модуля при B(x) = Q
p - n+1
n - 1 (x, f), где \alpha находится из условия \alpha =
p
p - n+ 1
. Однако,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ГОМЕОМОРФИЗМОВ КЛАССОВ СОБОЛЕВА . . . 1575
относительно B(x) выполнены условия 1 и 2 теоремы 3, поскольку B
n - 1
p - n+1 (x) = Q(x), где Q
удовлетворяет условиям 1, 2 теоремы 1. Оставшаяся часть утверждения следует из теоремы 4.
Еще один полезный результат касается классов Соболева, поэтому определим следующий
класс отображений. Для числа \alpha \geq 1, областей D, D \prime \subset \BbbR n, b0 \in D, b \prime 0 \in D\prime и произвольной
измеримой по Лебегу функции Q(x) : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ], обозначим символом R\alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime )
семейство всех гомеоморфизмов f : D \rightarrow D \prime класса W 1,\alpha
loc в D, f(D) = D \prime , имеющих N -
и N - 1-свойства Лузина, таких, что KI,\alpha (x, f) \leq Q(x) при почти всех x \in D и f(b0) = b \prime 0.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть n \geq 2, n - 1 < \alpha \leq n, Q \in L1
loc(\BbbR n), область D имеет не менее одной
конечной граничной точки, D локально связна на границе, область D \prime ограничена, и кроме
того, D \prime является n-регулярным по Альфорсу пространством с евклидовой метрикой и мерой
Лебега в \BbbR n, в котором выполнено (1;\alpha )-неравенство Пуанкаре. Пусть также Q \in FMO(D),
либо в каждой точке x0 \in D выполнены условия вида (3).
Тогда каждый элемент f \in R\alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ) продолжается до непрерывного отобра-
жения f : D \rightarrow D \prime , при этом семейство отображений R\alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ), состоящее из всех
продолженных таким образом гомеоморфизмов, является равностепенно непрерывным, а зна-
чит, и нормальным в D.
Доказательство. Достаточно показать, что каждое отображение f \in R\alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime )
принадлежит также классу \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ) (см. определения этих классов перед теоремами 1
и 5 соответственно). Действительно, пусть f \in R\alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ), тогда, в частности, f \in W 1,\alpha
loc ,
\alpha > n - 1. Отсюда в силу теоремы 1.1 [17] f - 1 \in W 1,1
loc . Поскольку отображение f имеет N -
свойство Лузина, вследствие замены переменной под знаком интеграла (см. [18], теоремы 3.2.5)
для любого компакта K \subset f(D)\int
K
\| g \prime (y)\| \alpha dm(y) =
\int
f - 1(K)
KI,\alpha (x, f)dm(x) <
\int
f - 1(K)
Q(x)dm(x) <\infty ,
где g(y) = f - 1(y), откуда f - 1 \in W 1,\alpha
loc . Кроме того, так как f \in W 1,\alpha
loc , \alpha > n - 1, то f является
дифференцируемым почти всюду (см. [19], лемма 3).
Таким образом, f является дифференцируемым почти всюду отображением, имеющим N - и
N - 1-свойства Лузина, таким, что f - 1 \in W 1,\alpha
loc и KI,\alpha (x, f) \leq Q(x), а указанные отображения
удовлетворяют неравенствам вида (7), что установлено в [20] (теорема 2.2). Таким образом,
R\alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ) \subset \frakG \alpha ,b0,b \prime
0,Q
(D,D \prime ) и, значит, заключение теоремы 5 следует из теоремы 4.
Литература
1. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yakubov E. The Beltrami equations and prime ends // Укр. мат. вiсн. – 2015. – 12,
№ 1. – С. 27 – 66.
2. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И. К теории простых концов для пространственных областей // Укр. мат. журн. –
2015. – 67, № 4. – С. 467 – 479 .
3. Näkki R. Prime ends and quasiconformal mappings // J. Anal. Math. – 1979. – 35. – P. 13 – 40.
4. Näkki R., Palka B. Uniform equicontinuity of quasiconformal mappings // Proc. Amer. Math. Soc. – 1973. – 37,
№ 2. – P. 427 – 433.
5. Севостьянов Е. А. Исследование пространственных отображений геометрическим методом. – Киев: Наук.
думка, 2014.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1576 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, Е. А. ПЕТРОВ
6. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Sci. +
Business Media, LLC, 2009.
7. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – Berlin etc.: Springer-Verlag,
1971. – 229.
8. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. – New York: Springer Sci.+Business Media, 2001.
9. Gehring F. W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103. – P. 353 – 393.
10. Севостьянов Е. А., Салимов Р. Р., Петров Е. А. Об устранении особенностей классов Орлича – Соболева //
Укр. мат. вестн. – 2016. – 13, № 3. – С. 324 – 349.
11. Ковтонюк Д., Салимов Р., Севостьянов Е. К теории отображений классов Соболева и Орлича – Соболева. –
Киев: Наук. думка, 2013.
12. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. К теории классов Орлича – Соболева //
Алгебра и анализ. – 2013. – 25, № 6. – С. 50 – 102.
13. Adamowicz T., Shanmugalingam N. Non-conformal Loewner type estimates for modulus of curve families // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Math. – 2010. – 35. – P. 609 – 626.
14. Rickman S. Quasiregular mappings // Results Math. and Relat. Areas. – Berlin etc.: Springer-Verlag, 1993. – 26, № 3.
15. Golberg A., Salimov R., Sevost’yanov E. Normal families of discrete open mappings with controlled p-module //
Contemp. Math. – 2016. – 667. – P. 83 – 103.
16. Афанасьева Е. С. О граничном поведении одного класса отображений в метрических пространствах // Укр.
мат. журн. – 2014. – 66, № 1. – С. 17 – 29.
17. Ziemer W. P. Change of variables for absolutely continuous functions // Duke Math. J. – 1969. – 36. – P. 171 – 178.
18. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987.
19. Väisälä J. Two new characterizations for quasiconformality // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1 Math. – 1965. – 362. –
P. 1 – 12.
20. Salimov R. R., Sevost’yanov E. A. The Poletskii and Väisälä inequalities for the mappings with (p, q)-distortion //
Complex Var. and Elliptic Equat. – 2014. – 59, № 2. – P. 217 – 231.
Получено 30.01.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1803 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:58Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/95/4cad23acdf7e598de2263e8645b62695.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18032019-12-05T09:27:02Z On equicontinuity of homeomorphisms of the Orlicz and Orlicz – Sobolev classes in the closure of a domain О равностепенной непрерывности гомеоморфизмов классов Соболева и Орлича – Соболева в замыкании области Petrov, E. A. Sevost'yanov, E. A. Петров, Е. А. Севостьянов, Е. А. Петров, Е. А. Севостьянов, Е. А. We investigate the behavior of homeomorphisms of the Orlicz – Sobolev classes in the closure of a domain. The theorems on equicontinuity of the indicated classes are obtained in terms of the prime ends of regular domains. In particular, it is shown that indicated classes are equicontinuous in domains with certain restrictions imposed on their boundaries provided that the corresponding inner dilatation of order p has a majorant of finite mean oscillation at every point. We also prove theorems on the (pointwise) equicontinuity of the analyzed classes in the case of locally connected boundaries. Вивчається поведiнка гомеоморфiзмiв класiв Орлiча – Соболєва в замиканнi заданої областi. В термiнах простих кiнцiв регулярних областей отримано теореми про одностайну неперервнiсть вказаних класiв. Зокрема, доведено, що в областях, межi яких задовольняють певнi обмеження, зазначенi класи є одностайно неперервними, як тiльки їх внутрiшня дилатацiя порядку p має мажоранту скiнченного середнього коливання в кожнiй точцi. Отримано також теореми про (поточкову) одностайну неперервнiсть вказаних класiв у випадку локально зв’язних меж. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1803 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 11 (2017); 1564-1576 Український математичний журнал; Том 69 № 11 (2017); 1564-1576 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1803/785 Copyright (c) 2017 Petrov E. A.; Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Petrov, E. A. Sevost'yanov, E. A. Петров, Е. А. Севостьянов, Е. А. Петров, Е. А. Севостьянов, Е. А. On equicontinuity of homeomorphisms of the Orlicz and Orlicz – Sobolev classes in the closure of a domain |
| title | On equicontinuity of homeomorphisms of the Orlicz
and Orlicz – Sobolev classes in the closure of a domain |
| title_alt | О равностепенной непрерывности гомеоморфизмов классов
Соболева и Орлича – Соболева в замыкании области |
| title_full | On equicontinuity of homeomorphisms of the Orlicz
and Orlicz – Sobolev classes in the closure of a domain |
| title_fullStr | On equicontinuity of homeomorphisms of the Orlicz
and Orlicz – Sobolev classes in the closure of a domain |
| title_full_unstemmed | On equicontinuity of homeomorphisms of the Orlicz
and Orlicz – Sobolev classes in the closure of a domain |
| title_short | On equicontinuity of homeomorphisms of the Orlicz
and Orlicz – Sobolev classes in the closure of a domain |
| title_sort | on equicontinuity of homeomorphisms of the orlicz
and orlicz – sobolev classes in the closure of a domain |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1803 |
| work_keys_str_mv | AT petrovea onequicontinuityofhomeomorphismsoftheorliczandorliczsobolevclassesintheclosureofadomain AT sevost039yanovea onequicontinuityofhomeomorphismsoftheorliczandorliczsobolevclassesintheclosureofadomain AT petrovea onequicontinuityofhomeomorphismsoftheorliczandorliczsobolevclassesintheclosureofadomain AT sevostʹânovea onequicontinuityofhomeomorphismsoftheorliczandorliczsobolevclassesintheclosureofadomain AT petrovea onequicontinuityofhomeomorphismsoftheorliczandorliczsobolevclassesintheclosureofadomain AT sevostʹânovea onequicontinuityofhomeomorphismsoftheorliczandorliczsobolevclassesintheclosureofadomain AT petrovea oravnostepennojnepreryvnostigomeomorfizmovklassovsobolevaiorličasobolevavzamykaniioblasti AT sevost039yanovea oravnostepennojnepreryvnostigomeomorfizmovklassovsobolevaiorličasobolevavzamykaniioblasti AT petrovea oravnostepennojnepreryvnostigomeomorfizmovklassovsobolevaiorličasobolevavzamykaniioblasti AT sevostʹânovea oravnostepennojnepreryvnostigomeomorfizmovklassovsobolevaiorličasobolevavzamykaniioblasti AT petrovea oravnostepennojnepreryvnostigomeomorfizmovklassovsobolevaiorličasobolevavzamykaniioblasti AT sevostʹânovea oravnostepennojnepreryvnostigomeomorfizmovklassovsobolevaiorličasobolevavzamykaniioblasti |