Approximation of the Bergman kernels by rational functions with fixed poles
We solve the problem of best rational approximations of the Bergman kernels on the unit circle of the complex plane in the quadratic and uniform metrics.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1804 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507669378367488 |
|---|---|
| author | Chaichenko, S. O. Чайченко, С. О. |
| author_facet | Chaichenko, S. O. Чайченко, С. О. |
| author_sort | Chaichenko, S. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:27:02Z |
| description | We solve the problem of best rational approximations of the Bergman kernels on the unit circle of the complex plane in
the quadratic and uniform metrics. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. О. Чайченко (Донбас. держ. пед. ун-т, Слов’янськ)
НАБЛИЖЕННЯ ЯДЕР БЕРГМАНА РАЦIОНАЛЬНИМИ ФУНКЦIЯМИ
З ФIКСОВАНИМИ ПОЛЮСАМИ
We solve the problem of best rational approximations of the Bergman kernels on the unit circle of the complex plane in
the quadratic and uniform metrics.
Решена задача о наилучших рациональных приближениях ядер Бергмана на единичной окружности комплексной
плоскости в квадратичной и равномерной метриках.
У серiї праць М. М. Джрбашяна [1 – 4] було розвинено метод, що дозволяв отримувати розв’яз-
ки екстремальних задач про найкращi рацiональнi наближення ядра Кошi на одиничному колi
комплексної площини як у квадратичнiй, так i в рiвномiрнiй метрицi. Цей метод, зокрема,
спирався на зображення ядра Кошi за допомогою вiдрiзка ряду Фур’є по ортонормованiй на
одиничному колi системi рацiональних функцiй, що визначається фiксованою послiдовнiстю
полюсiв, якi лежать зовнi одиничного круга (система Такенаки – Мальмквiста). У данiй робо-
тi, з використанням зазначеного методу i деяких результатiв роботи [4] знайдено розв’язок
аналогiчних задач для наближення вагових ядер Бергмана.
Наведемо означення i факти, якi будемо використовувати в цiй роботi. Нехай \bfa := \{ ak\} \infty k=0
— послiдовнiсть точок в одиничному крузi \BbbD := \{ z \in \BbbC : | z| < 1\} комплексної площини \BbbC ,
серед яких можуть бути точки скiнченної i навiть нескiнченної кратностi. Системою функцiй
Такенаки – Мальмквiста, породженою послiдовнiстю \bfa , називається система \varphi := \{ \varphi k\} \infty k=0
функцiй \varphi k вигляду [5] (§10.7)
\varphi 0(z) :=
\sqrt{}
1 - | a0| 2
1 - a0z
, \varphi k(z) :=
\sqrt{}
1 - | ak| 2
1 - akz
k - 1\prod
j=0
- | aj |
aj
z - aj
1 - ajz
, k = 1, 2, . . . , (1)
де при aj = 0 покладається | aj | /aj = - 1.
Вiдомо [5] (§10.7), що система Такенаки – Мальмквiста є ортонормованою системою на
одиничному колi \BbbT := \{ z \in \BbbC : | z| = 1\} , тобто
\langle \varphi k, \varphi l\rangle :=
\int
\BbbT
\varphi k(z)\varphi l(z) d\sigma (z) = \delta kl, k, l = 0, 1, . . . ,
де \sigma — нормована мiра Лебега на \BbbT , \delta kl — символ Кронекера.
Кожному елементу системи \varphi поставимо у вiдповiднiсть добуток Бляшке Bk степеня k,
тобто функцiю вигляду
B0(z) := 1, Bn(z) := \tau
n - 1\prod
j=0
z - aj
1 - ajz
, n = 1, 2, . . . ,
де aj \in \BbbD , j = 0, n - 1, i | \tau | = 1.
c\bigcirc С. О. ЧАЙЧЕНКО, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11 1577
1578 С. О. ЧАЙЧЕНКО
Лема 1. Для довiльних значень z, \zeta \in \BbbD i будь-якого n \in \BbbN справджується тотожнiсть
1
1 - z\zeta
=
n - 1\sum
k=0
\varphi k(z)\varphi k(\zeta ) +
Bn(z)Bn(\zeta )
1 - z\zeta
. (2)
Доведення леми 1 можна знайти в [1] (див. також роботу [6]).
Аналiтичну у крузi \BbbD функцiю f вiдносять до простору Гардi H2(\BbbD ), якщо
\| f\| H2 := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\varrho <1
\left( \int
\BbbT
| f(\varrho z)| 2d\sigma (z)
\right) 1/2 <\infty .
Добре вiдомо, що функцiї з простору Гардi H2(\BbbD ) мають на колi \BbbT граничнi значення по
недотичних шляхах i
f(z) =
\int
\BbbT
d\sigma (t)
1 - z\=t
\forall z \in \BbbD . (3)
З леми 1 i формули (3) випливає, що для будь-якої функцiї f \in H2(\BbbD ) i довiльного n \in \BbbN
справджується зображення [4]
f(z) =
n - 1\sum
m=0
cm(f)\varphi m(z) +Bn(z)
\int
\BbbT
Bn(t)f(t)
1 - z\=t
d\sigma (t), z \in \BbbD , (4)
де
cm(f) :=
\int
\BbbT
f(t)Bm(t) d\sigma (t), m = 0, 1, . . . .
У теорiї просторiв Бергмана важливу роль вiдiграє функцiя вигляду (див., наприклад, [7,
c. 6])
\scrK \alpha (z;w) =
1
(1 - zw)2+\alpha
, \alpha = 0, 1, . . . , z, w \in \BbbD , (5)
яку називають (ваговим) ядром Бергмана для круга \BbbD .
Нехай
Sn+1(\scrK \alpha )(z;w) :=
n\sum
m=0
cm(\scrK \alpha )\varphi m(z) (6)
— частинна сума ряду Фур’є функцiї \scrK \alpha (z;w) за системою (1).
Справджується така лема.
Лема 2. Нехай an = an - 1 = . . . = an - \alpha \equiv w \in \BbbD . Тодi для довiльного n = \alpha , \alpha + 1, . . . ,
i z \in \BbbD
\scrK \alpha (z;w) - Sn+1(\scrK \alpha )(z;w) =
= ( - 1)\alpha
\biggl(
w
1 - | w| 2
\biggr) \alpha +1
\Biggl(
w - z
1 - wz
\Biggr) \alpha +1
Bn - \alpha (z)Bn - \alpha (w)
(wz - 1)
. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
НАБЛИЖЕННЯ ЯДЕР БЕРГМАНА РАЦIОНАЛЬНИМИ ФУНКЦIЯМИ З ФIКСОВАНИМИ ПОЛЮСАМИ 1579
Доведення. Оскiльки при w \in \BbbD буде \scrK \alpha \in H2(\BbbD ), то використовуючи зображення (4),
отримуємо
\scrK \alpha (z;w) =
1
(1 - zw)2+\alpha
=
n\sum
m=0
cm(\scrK \alpha )\varphi m(z) +Bn+1(z)\scrJ n,\alpha (z;w), (8)
де
\scrJ n,\alpha (z;w) :=
\int
\BbbT
Bn+1(t)\scrK \alpha (t;w)
1 - z\=t
d\sigma (t). (9)
Покладемо
\pi n(z) :=
n - \alpha - 1\prod
m=0
(am - z), \tau n(z) :=
n - \alpha - 1\prod
m=0
(1 - \=amz), n = \alpha , \alpha + 1, . . . .
Тодi
Bn+1(z) = Bn - \alpha (z)
\Bigl( w - z
1 - wz
\Bigr) \alpha +1
\biggl(
| w|
w
\biggr) \alpha +1
=
=
\pi n - \alpha (z)
\tau n - \alpha (z)
n - \alpha - 1\prod
m=0
| am|
am
\Bigl( w - z
1 - wz
\Bigr) \alpha +1
\biggl(
| w|
w
\biggr) \alpha +1
. (10)
Звiдси, використовуючи визначення функцiї \scrK \alpha (z;w) i очевидну тотожнiсть\Biggl(
\pi n(t)
\tau n(t)
\Biggr)
=
\tau n(t)
\pi n(t)
, t \in \BbbT ,
маємо
Bn+1(t)\scrK \alpha (t;w) =
n - \alpha - 1\prod
m=0
| am|
am
\biggl(
| w|
w
\biggr) \alpha +1
\Biggl(
1 - wt
w - t
\Biggr) \alpha +1
\tau n - \alpha (t)
\pi n - \alpha (t)
1
(1 - wt)2+\alpha
=
=
n - \alpha - 1\prod
m=0
| am|
am
\biggl(
| w|
w
\biggr) \alpha +1 \tau n - \alpha (t)
\pi n - \alpha (t)
1
(w - t)\alpha +1(1 - wt)
, t \in \BbbT . (11)
З рiвностей (9) i (11) одержуємо
\scrJ n,\alpha (z;w) =
n - \alpha - 1\prod
m=0
| am|
am
\biggl(
| w|
w
\biggr) \alpha +1 \int
\BbbT
\tau n - \alpha (t)
\pi n - \alpha (t)
1
(w - t)\alpha +1(1 - wt)
d\sigma (t)
1 - z\=t
=
=
1
2\pi i
n - \alpha - 1\prod
m=0
| am|
am
\biggl(
| w|
w
\biggr) \alpha +1 \int
\BbbT
\tau n - \alpha (t)
\pi n - \alpha (t)
1
(w - t)\alpha +1(t - z)
dt
1 - wt
. (12)
У спiввiдношеннi (12) пiдiнтегральна функцiя
gn,\alpha (t, w, z) :=
\tau n - \alpha (t)
\pi n - \alpha (t)
1
(w - t)\alpha +1(t - z)
1
1 - wt
, w, z \in \BbbD , \alpha = 0, 1, . . . ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1580 С. О. ЧАЙЧЕНКО
як функцiя змiнної t, зовнi одиничного круга \BbbD має єдиний простий полюс 1/w, а при | t| \rightarrow \infty
має порядок прямування до нуля \scrO (| t| - 2). Враховуючи цi факти i змiнюючи напрям iнтегру-
вання, з рiвностi (12) за теоремою про лишки отримуємо
\scrJ n,\alpha (z;w) = -
n - \alpha - 1\prod
m=0
| am|
am
\biggl(
| w|
w
\biggr) \alpha +1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 1/w
(t - 1/w)gn,\alpha (t, w, z) =
=
n - \alpha - 1\prod
m=0
| am|
am
\biggl(
| w|
w
\biggr) \alpha +1 1/w
(w - 1/w)\alpha +1(1/w - z)
\tau n - \alpha (1/w)
\pi n - \alpha (1/w)
=
= ( - 1)\alpha
\biggl(
| w|
1 - | w| 2
\biggr) \alpha +1 1
wz - 1
\Biggl( \prod n - \alpha - 1
m=0 (am - w)\prod n - \alpha - 1
m=0 (1 - amw)
\Biggr)
n - \alpha - 1\prod
m=0
| am|
am
=
= ( - 1)\alpha
\biggl(
| w|
1 - | w| 2
\biggr) \alpha +1 Bn - \alpha (w)
wz - 1
. (13)
Оскiльки | w| 2/w = w, то з рiвностей (8), (10) i (13) випливає формула (7).
Лему доведено.
Для довiльного фiксованого значення \omega \in \BbbD визначимо рацiональну функцiю
r\alpha ,n(z;w) = (1 - zw)Sn+1(\scrK \alpha )(z;w). (14)
Справджується таке твердження.
Лема 3. Нехай an = an - 1 = . . . = an - \alpha \equiv w \in \BbbD . Тодi для довiльного n \in N i z \in \BbbD
r\alpha ,n(z;w) =
(1 - | w| 2)\alpha +1 + (w(w - z))\alpha +1Bn - \alpha (z)Bn - \alpha (w)
(1 - | w| 2)\alpha +1(1 - wz)\alpha +1
(15)
i функцiя r\alpha ,n(z;w) задовольняє iнтерполяцiйнi умови
r(sm - 1)
\alpha ,n (am;w) =
(\alpha + sm - 1)!wsm - 1
(1 - wam)\alpha +sm
, 0 \leq m \leq n. (16)
Доведення. Помноживши лiву i праву частину формули (7) на (1 - wz) i врахувавши
спiввiдношення (14), отримаємо рiвнiсть (15).
Нехай sk \geq 1 — кратнiсть появи числа am у послiдовностi \{ aj\} mj=0 , а pm(n) — кратнiсть
появи числа am у \{ aj\} nj=0 . Зрозумiло, що 1 \leq sm \leq pm(n), 0 \leq m \leq n i sn = pn(n). Отже,
якщо 0 \leq j \leq sk - 1 \leq pk(n), то функцiя
\psi nj(t) =
\pi n(t)
(t - am)j+1
є полiномом. Диференцiюючи j разiв по z формулу
\pi n(z) =
1
2\pi i
\int
\BbbT
\pi n(t)
t - z
dt, | z| \leq 1, (17)
знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
НАБЛИЖЕННЯ ЯДЕР БЕРГМАНА РАЦIОНАЛЬНИМИ ФУНКЦIЯМИ З ФIКСОВАНИМИ ПОЛЮСАМИ 1581
dj
dzj
[\pi n(z)] =
j!
2\pi i
\int
\BbbT
\pi n(t)
(t - z)j+1
dt,
звiдки при z = am одержуємо рiвнiсть
[\pi n(am)](j) =
j!
2\pi i
\int
\BbbT
\pi n(t)
(t - am)j+1
dt =
j!
2\pi i
\int
\BbbT
\psi nj(t)dt = 0, (18)
яка виконується при всiх 0 \leq j \leq sm - 1.
Далi зауважимо, що
dsm - 1
dzsm - 1
\Biggl(
1
(1 - zw)\alpha +1
\Biggr)
=
(\alpha + sm - 1)! wsm - 1
(1 - zw)\alpha +sm
, 0 \leq m \leq n. (19)
Нарештi пiсля (sm - 1)-кратного диференцiювання по z тотожностi
1
(1 - zw)\alpha +1
- r\alpha ,n(z;w) = ( - 1)\alpha
\Biggl(
wBn - \alpha (w)
1 - | w| 2
\Biggr) \alpha +1
Bn+1(z) =
= ( - 1)\alpha
\Biggl(
w Bn - \alpha (w)
1 - | w| 2
\Biggr) \alpha +1
\pi n+1(z)
\tau n+1(z)
, an = . . . = an - \alpha \equiv w \in \BbbD , z \in \BbbD ,
на пiдставi спiввiдношень (18) i (19) отримуємо (16), оскiльки
(\alpha + sm - 1)! wsm - 1
(1 - amw)1+\alpha
- rsm - 1
\alpha ,n (am;w) =
= ( - 1)\alpha
\Biggl(
w Bn - \alpha (w)
1 - | w| 2
\Biggr) \alpha +1 sm - 1\sum
j=0
Cj
sk - 1
\pi
(j)
n+1(am)
\tau
(sk - j)
n+1 (am)
= 0.
Лему доведено.
Для даного n (1 \leq n <\infty ) позначимо через \scrR (n) множину рацiональних функцiй вигляду
Rn(x) = c0 +
n\sum
m=1
cm\varphi m - 1(x).
Беручи до уваги визначення системи \{ \varphi m(z)\} \infty m=0 , легко зрозумiти, що \scrR (n) збiгається з
множиною рацiональних функцiй вигляду
b
(n)
0 +
n\sum
j=1
b
(n)
j
(1 - \=ajx)sj
.
Основним результатом роботи є таке твердження.
Теорема 1. На множинi функцiй \scrR (n) мiнiмум функцiонала
\mu \alpha (Rn) :=
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
(1 - xw)2+\alpha
- Rn(x)
(1 - xw)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 d\sigma (x) (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1582 С. О. ЧАЙЧЕНКО
реалiзує функцiя
r\alpha ,n(x;w) = (1 - xw)Sn+1(\scrK \alpha )(x;w) \in \scrR (n),
де Sn+1(\scrK \alpha )(x;w) — частинна сумма порядку n+1 ряду Фур’є функцiї \scrK \alpha (x;w) по системi (1),
an = an - 1 = . . . = an - \alpha \equiv w \in \BbbD , i при цьому виконується рiвнiсть
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Rn\in \scrR (n)
\mu \alpha (Rn) = \mu \alpha (r\alpha ,n) =
| wBn - \alpha (w)| 2\alpha +2
(1 - | w| 2)2\alpha +3
. (21)
Доведення. З тотожностi (7) випливає рiвнiсть\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
(1 - xw)2+\alpha
- Sn+1(\scrK \alpha )(x;w)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 d\sigma (x) =
=
| wBn - \alpha (w)| 2\alpha +2
(1 - | w| 2)2\alpha +2
\int
\BbbT
| Bn+1(x)| 2
| 1 - xw| 2
d\sigma (x) =
| wBn - \alpha (w)| 2\alpha +2
(1 - | w| 2)2\alpha +3
. (22)
Зауважимо, що довiльна рацiональна функцiя Rn(x) \in \scrR (n) дозволяє зображення вигляду
Rn(x) = (1 - xw)
n\sum
m=0
cm\varphi m(x), an = . . . = an - \alpha \equiv w \in \BbbD , (23)
з певними коефiцiєнтами \{ cm\} nk=0 i навпаки, для довiльного набору коефiцiєнтiв \{ cm\} nm=0
вираз з правої частини рiвностi (23) є деякою рацiональною функцiєю Rn \in \scrR (n).
Внаслiдок цього, беручи до уваги визначення функцiї r\alpha ,n(x;w) (рiвнiсть (14)), можна
стверджувати, що для довiльної функцiї Rn \in \scrR (n) функцiонал \mu \alpha (Rn) має зображення
\mu \alpha (Rn) =
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
(1 - xw)2+\alpha
-
n\sum
m=0
cm\varphi m(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
d\sigma (x) (24)
з певними коефiцiєнтами cm, m = 0, 1, . . . , n, i навпаки, для довiльного набору сталих cm,
m = 0, 1, . . . , n, вираз у правiй частинi спiввiдношення (24) є значенням функцiонала \mu \alpha (Rn)
при деякому Rn \in \scrR (n).
Враховуючи те, що сума Sn+1(\scrK \alpha )(x;w) є (n+1)-м вiдрiзком ряду Фур’є функцiї \scrK \alpha (x;w)
по ортонормованiй на одиничному колi \BbbT системi \{ \varphi m\} \infty m=0, зi спiввiдношень (22) i (24) для
довiльної рацiональної функцiї Rn \in \scrR (n) отримуємо
\mu \alpha (Rn) \geq \mu \alpha (r\alpha ,n) =
=
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
(1 - xw)2+\alpha
- Sn+1(\scrK \alpha )(x;w)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 d\sigma (x) = | wBn(w)| 2\alpha +2
(1 - | w| 2)2\alpha +3
. (25)
При цьому знак рiвностi у (25) можливий лише у випадку, коли
Rn(x) = r\alpha ,n(x;w), w \in \BbbD .
Спiвставлення спiввiдношень (22) i (25) переконує нас у справедливостi формули (21).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
НАБЛИЖЕННЯ ЯДЕР БЕРГМАНА РАЦIОНАЛЬНИМИ ФУНКЦIЯМИ З ФIКСОВАНИМИ ПОЛЮСАМИ 1583
Теорему доведено.
У випадку \alpha = 0 ядра (5) мають вигляд
\scrK 0(z;w) := \scrK (z;w) =
1
(1 - zw)2
, z, w \in \BbbD ,
i називаються (звичайними) ядрами Бергмана [7, c. 6].
Покладаючи \alpha = 0, з теореми 1 отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок. На множинi функцiй \scrR (n) мiнiмум функцiоналa
\mu (\scrK ;Rn) :=
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
(1 - xw)2
- Rn(x)
(1 - xw)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 d\sigma (x) (26)
реалiзує функцiя
rn(x;w) = (1 - xw)Sn+1(\scrK )(x;w) \in \scrR (n),
де Sn+1(\scrK )(x;w) — частинна сумма порядку n+1 ряду Фур’є функцiї \scrK (x;w) по системi (1),
an \equiv w \in \BbbD , i при цьому виконується рiвнiсть
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Rn\in \scrR (n)
\mu (\scrK ;Rn) = \mu (\scrK ; rn) =
| wBn(w)| 2
(1 - | w| 2)3
. (27)
Використовуючи лему 2 i теорему 1, отримуємо таке твердження.
Теорема 2. Серед рацiональних функцiй Rn \in \scrR (n) мiнiмум функцiоналу
\nu \alpha (Rn) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| x| =1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
(1 - xw)1+\alpha
- Rn(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , Rn \in \scrR (n), \alpha = 0, 1, . . . , (28)
реалiзує функцiя
r\alpha ,n(x;w) = (1 - xw)Sn+1(\scrK \alpha )(x;w) \in \scrR (n),
де Sn+1(\scrK \alpha )(x;w) — частинна сумма порядку n+1 ряду Фур’є функцiї \scrK \alpha (x;w) по системi (1),
an = an - 1 = . . . = an - \alpha \equiv w \in \BbbD , i при цьому
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Rn\in \scrR (n)
\nu \alpha (Rn) = \nu \alpha (r\alpha ,n) =
\Biggl(
| wBn - \alpha (w)|
1 - | w| 2
\Biggr) 1+\alpha
. (29)
Зi спiввiдношення (28) випливає, що при \alpha = 0 величина у правiй частинi рiвностi (29) є
найкращим рiвномiрним наближенням ядра Кошi, тобто функцiї вигляду
\scrC (z;w) := 1
1 - zw
, z, w \in \BbbD ,
на одиничному колi за допомогою рацiональних функцiй iз множини \scrR (n). Її точне значення
вперше було отримано в [6].
Доведення. Дiйсно, зi спiввiдношень (20), (21) i (29) одержуємо
| wBn - \alpha (w)| 2\alpha +2
(1 - | w| 2)2\alpha +3
\leq \mu \alpha (Rn) =
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
(1 - xw)2+\alpha
- Rn(x)
1 - xw
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 d\sigma (x) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
1584 С. О. ЧАЙЧЕНКО
=
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
(1 - xw)1+\alpha
- Rn(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 d\sigma (x)
| 1 - xw| 2
\leq \nu 2\alpha (Rn)
\int
\BbbT
d\sigma (x)
| 1 - xw| 2
=
\nu 2\alpha (Rn)
1 - | w| 2
,
звiдки випливає, що для довiльного Rn \in \scrR (n)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Rn\in w(ak)
\nu \alpha (Rn) \geq
\Biggl(
| wBn - \alpha (w)|
1 - | w| 2
\Biggr) 1+\alpha
.
З iншого боку, використовуючи тотожнiсть (7), знаходимо
\nu \alpha (r\alpha ,n) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
(1 - xw)1+\alpha
- (1 - xw)Sn+1(\scrK \alpha )(x;w)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbT
| 1 - xw|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
(1 - xw)2+\alpha
- Sn+1(\scrK \alpha )(x;w)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbT
| 1 - xw|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( w
1 - | w| 2
\biggr) 1+\alpha
Bn - \alpha (w)
Bn+1(x)
wx - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\Biggl(
| wBn - \alpha (w)|
1 - | w| 2
\Biggr) 1+\alpha
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbT
| Bn+1(x)| =
\Biggl(
| wBn - \alpha (w)|
1 - | w| 2
\Biggr) 1+\alpha
.
Теорему доведено.
Лiтература
1. Джрбашян М. М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям // Изв. АН АрмССР. Сер. Математика.
– 1956. – 9, № 7. – С. 3 – 28.
2. Джрбашян М. М. Ортогональные системы рациональных функций на окружности // Изв. АН АрмССР. Сер.
Математика. – 1956. – 1, № 1. – С. 3 – 24.
3. Джрбашян М. М. Ортогональные системы рациональных функций на окружности // Изв. АН АрмССР. Сер.
Математика. – 1956. – 1, № 2. – С. 106 – 125.
4. Джрбашян М. М. Разложения по системам рациональных функций с фиксированными полюсами // Изв. АН
АрмССР. Сер. Математика. – 1967. – 2, № 1. – С. 3 – 51.
5. Уолш Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплесксной области. – М.:
Изд-во иностр. лит., 1961. – 508 с.
6. Савчук В. В. Найкращi лiнiйнi методи наближення та оптимальнi ортонормованi системи простору Гардi //
Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 5. – С. 661 – 671.
7. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces. – New York etc.: Springer-Verlag, 2000. – 286 p.
Одержано 27.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1804 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:59Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a1/8697ff608a8faace7ad37aa356cf26a1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18042019-12-05T09:27:02Z Approximation of the Bergman kernels by rational functions with fixed poles Наближення ядер Бергмана раціональними функціями з фіксованими полюсами Chaichenko, S. O. Чайченко, С. О. We solve the problem of best rational approximations of the Bergman kernels on the unit circle of the complex plane in the quadratic and uniform metrics. Решена задача о наилучших рациональных приближениях ядер Бергмана на единичной окружности комплексной плоскости в квадратичной и равномерной метриках. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1804 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 11 (2017); 1577-1584 Український математичний журнал; Том 69 № 11 (2017); 1577-1584 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1804/786 Copyright (c) 2017 Chaichenko S. O. |
| spellingShingle | Chaichenko, S. O. Чайченко, С. О. Approximation of the Bergman kernels by rational functions with fixed poles |
| title | Approximation of the Bergman kernels by rational functions with fixed poles |
| title_alt | Наближення ядер Бергмана раціональними функціями з фіксованими
полюсами |
| title_full | Approximation of the Bergman kernels by rational functions with fixed poles |
| title_fullStr | Approximation of the Bergman kernels by rational functions with fixed poles |
| title_full_unstemmed | Approximation of the Bergman kernels by rational functions with fixed poles |
| title_short | Approximation of the Bergman kernels by rational functions with fixed poles |
| title_sort | approximation of the bergman kernels by rational functions with fixed poles |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1804 |
| work_keys_str_mv | AT chaichenkoso approximationofthebergmankernelsbyrationalfunctionswithfixedpoles AT čajčenkoso approximationofthebergmankernelsbyrationalfunctionswithfixedpoles AT chaichenkoso nabližennââderbergmanaracíonalʹnimifunkcíâmizfíksovanimipolûsami AT čajčenkoso nabližennââderbergmanaracíonalʹnimifunkcíâmizfíksovanimipolûsami |