On the solution of the problem of stochastic stability of the integral manifold by the Lyapunov’s second method
By using the method of Lyapunov functions, we establish sufficient conditions of stability and asymptotic stability in probability for the integral manifold of the Itˆo differential equations in the presence of random perturbations from the class of processes with independent increments. Theorems on...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1818 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507683005661184 |
|---|---|
| author | Vasilina, G. K. Tleubergenov, M. I. Василина, Г. К. Тлеубергенов, М. И. Василина, Г. К. Тлеубергенов, М. И. |
| author_facet | Vasilina, G. K. Tleubergenov, M. I. Василина, Г. К. Тлеубергенов, М. И. Василина, Г. К. Тлеубергенов, М. И. |
| author_sort | Vasilina, G. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:28:56Z |
| description | By using the method of Lyapunov functions, we establish sufficient conditions of stability and asymptotic stability in
probability for the integral manifold of the Itˆo differential equations in the presence of random perturbations from the class
of processes with independent increments. Theorems on the stochastic stability of the analytically given integral manifold
of differential equations are proved in the first approximation and under the permanent action of small (in the mean) random
perturbations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925, 519.216
Г. К. Василина, М. И. Тлеубергенов
(Казах. нац. ун-т им. аль-Фараби, Ин-т математики и мат. моделирования МОН Республики Казахстан, Алматы)
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ИНТЕГРАЛЬНОГО МНОГООБРАЗИЯ ВТОРЫМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА
By using the method of Lyapunov functions, we establish sufficient conditions of stability and asymptotic stability in
probability for the integral manifold of the Itô differential equations in the presence of random perturbations from the class
of processes with independent increments. Theorems on the stochastic stability of the analytically given integral manifold
of differential equations are proved in the first approximation and under the permanent action of small (in the mean) random
perturbations.
Iз допомогою методу функцiй Ляпунова отримано достатнi умови стiйкостi та асимптотичної стiйкостi за ймовiр-
нiстю iнтегрального многовиду диференцiальних рiвнянь Iто за наявностi випадкових збурень iз класу процесiв
iз незалежними приростами. Доведено теореми про стохастичну стiйкiсть за першим наближенням при постiйно
дiючих малих у середньому випадкових збуреннях аналiтично заданого iнтегрального многовиду диференцiальних
рiвнянь.
Основные теоремы метода функций Ляпунова и их различные модификации об устойчивости
невозмущенного движения в классе обыкновенных дифференциальных уравнений (см., напри-
мер, [1 – 3]) обобщены в [4 – 7] на случай инвариантных множеств с помощью функций Ляпу-
нова вида V (\rho , t), где \rho = \rho (x,M) — расстояние от изображающей точки x до множества M.
Вследствие сложности построения функции V (\rho , t), как функции от расстояния \rho , в задаче
построения уравнений устойчивого программного движения обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений используется аналитическое описание множества [8, 9], и, по существу, задача
исследования устойчивости множества сводится к исследованию устойчивости тривиального
решения некоторой системы. В работах [10, 11] для аналитически заданных инвариантных
множеств в классе обыкновенных дифференциальных уравнений доказаны аналоги теорем
второго метода Ляпунова. При этом для аналитически заданных инвариантных множеств в [12,
13] доказаны теоремы об устойчивости по первому приближению, устойчивости при постоянно
действующих возмущениях.
Впервые задача о стохастической устойчивости невозмущенного движения методом функ-
ций Ляпунова была исследована в [14, 15]. В классе обыкновенных дифференциальных урав-
нений при случайных возмущениях из класса винеровских процессов (как частный случай
процессов с независимыми приращениями) методом функций Ляпунова в [16] доказаны тео-
ремы о стохастической устойчивости невозмущенного движения. В этом же классе в [16 – 19]
доказаны теоремы о стохастической устойчивости инвариантных множеств с помощью функ-
ций Ляпунова вида V (\rho , t).
Достаточные условия устойчивости аналитически заданного интегрального многообразия
[10 – 13] обобщены в [20 – 23] на класс стохастических дифференциальных уравнений при на-
личии случайных возмущений из класса винеровских процессов.
Задача о стохастической устойчивости невозмущенного движения при случайных возмуще-
ниях из класса процессов с независимыми приращениями рассматривалась в [24].
c\bigcirc Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ, 2016
14 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ . . . 15
Настоящая работа посвящена исследованию стохастической устойчивости аналитически
заданного интегрального многообразия при наличии случайных возмущений из класса процес-
сов с независимыми приращениями.
1. Постановка задачи о стохастической устойчивости аналитически заданного инте-
грального многообразия. Пусть задано стохастическое дифференциальное уравнение без
последействия
\.x = X(x(t), t)dt+ \sigma (x(t), t)dw(t) +
\int
Rn
f(x(t), t, u)\~\nu (dt, du), (1)
где функции X(x, t), \sigma (x, t), f(x, t, u) не случайны, X, f — векторные функции со значениями
в Rn, t \geq 0, x \in Rn, u \in Rn, \sigma (x, t) — матричная функция размера n \times m, w(t) — m-мерный
винеровский процесс с независимыми компонентами, \~\nu (t, A) = \nu (t, A) - t\Pi (A), \nu (t, A) —
пуассоновская мера на Rn, E\nu (t, A) = t\Pi (A), процесс w(t) и мера \nu (t, A) независимы между
собой, \Pi (A) — мера на \sigma -алгебре борелевских множеств Rn.
Предположим, что:
1) существует постоянная L > 0 такая, что
\| X(x, t)\| 2 + \| \sigma (x, t)\| 2 +
\int
Rn
\| f(x, t, u)\| 2\Pi (du) \leq L(1 + \| x\| 2);
2) функции X(x, t), \sigma (x, t), f(x, t, u) непрерывны по совокупности аргументов;
3) выполнено локальное условие Липшица по x, т. е. для любого R > 0 найдется постоянная
CR > 0 такая, что при \| x\| \leq R, \| y\| \leq R
\| X(x, t) - X(y, t)\| 2 + \| \sigma (x, t) - \sigma (y, t)\| 2+
+
\int
Rn
\| f(x, t, u) - f(y, t, u)\| 2\Pi (du) \leq CR\| x - y\| 2.
Согласно [25, с. 276], эти условия обеспечивают существование и единственность с точ-
ностью до стохастической эквивалентности решения xx0,t0(t) уравнения (1) с начальным усло-
вием x(t0) = x0, являющегося непрерывным справа с вероятностью 1 строго марковским
случайным процессом.
Рассмотрим в пространстве Rn поверхность \Lambda (t), заданную системой уравнений
\Lambda (t) : \lambda (x, t) = 0, (2)
где \lambda = \lambda (x, t) \in C21
xt — r-мерная вектор-функция, r \leq n.
В дальнейшем приведем условия того, что эта поверхность является инвариантной для
уравнения (1) (интегральное многообразие), т. е. если (x0, t0) \in \Lambda (t0) с вероятностью 1, то
\mathrm{P}\{ (x(t), t) \in \Lambda (t), t \geq t0\} = 1,
а также исследуем ее на стохастическую устойчивость.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
16 Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
Определение 1. Назовем a(r) функцией класса K (a \in K), если a(r) — непрерывная,
строго возрастающая функция и a(0) = 0.
Условия инвариантности и стохастической устойчивости приведем в терминах функций
Ляпунова вида V (\lambda ;x, t) \in C221
\lambda xt : Rr \times Rn \times R+ \rightarrow R+ и таких, что V (0;x, t) = 0.
Обозначим V1(x, t) = V (\lambda (x, t), x, t). Очевидно, что V1(x, t) \in C21
xt . Будем рассматривать
такие функции Ляпунова, чтобы выполнялось неравенство\int
Rn
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl[
V1(x) + f(x, t, u), t) - V1(x, t) -
\biggl(
\partial V1
\partial xi
\biggr) T
fi(x, t, u)
\Biggr] \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Pi (du) < \infty . (3)
Введем производящий оператор
\~LV (\lambda (x, t), x, t) = \~LV1(x, t) =
\partial V1
\partial t
+
\biggl(
\partial V1
\partial xi
\biggr) T
Xi +
1
2
\mathrm{t}\mathrm{r}
\biggl[
\partial 2V1
\partial xi\partial xj
\sigma ik \sigma
T
jk
\biggr]
+
+
\int
Rn
\Biggl[
V1(x+ f(x, t, u), t) - V1(x, t) -
\biggl(
\partial V1
\partial xi
\biggr) T
fi(x, t, u)
\Biggr]
\Pi (du).
Определение 2 [16, c. 206]. Интегральное многообразие \Lambda (t) уравнения (1), определяемое
формулой (2), называется \rho -устойчивым по вероятности, если
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\rho (x0,\Lambda (t0))\rightarrow 0
Px0
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t>0
\rho (xx0,t0(t),\Lambda (t)) > \varepsilon
\biggr\}
= 0. (4)
Определение 3. Интегральное многообразие \Lambda (t) уравнения (1), определяемое формулой
(2), называется \lambda -устойчивым по вероятности, если
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\| \lambda (x0,t0)\| \rightarrow 0
Px0
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t>0
\| \lambda (xx0,t0(t), t)\| > \varepsilon
\biggr\}
= 0.
Определение 4 [16, c. 210]. Интегральное многообразие \Lambda (t) уравнения (1), определяе-
мое формулой (2), называется асимптотически \rho -устойчивым по вероятности, если оно \rho -
устойчиво по вероятности и, кроме того,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\rho (x0,\Lambda (t0))\rightarrow 0
Px0
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t>0
\rho (xx0,t0(t),\Lambda (t)) = 0
\biggr\}
= 1.
Определение 5. Интегральное многообразие \Lambda (t) уравнения (1), определяемое формулой
(2), называется асимптотически \lambda -устойчивым по вероятности, если оно \lambda -устойчиво по
вероятности и, кроме того,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\| \lambda (x0,t0)\| \rightarrow 0
Px0
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t>0
\| \lambda (xx0,t0(t), t)\| = 0
\biggr\}
= 1.
Теорема 1. Если для уравнения (1) и множества (2) существует функция Ляпунова
V (\lambda ;x, t) \in C221
\lambda xt со свойствами
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ . . . 17
V (0, x, t) \equiv 0, (5)
V (\lambda , x, t) \geq a(\| \lambda \| ), a \in K, (6)
\~LV1(x, t) \leq 0 (7)
и для V1 = V (\lambda (x, t), x, t) выполнено условие (3), а также существуют положительные
постоянные C1, C2, C3, C4, C5 такие, что
V1(x, t) \leq C1 + C2\| x\| 2,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial V1
\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq C3 + C4\| x\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial 2V1
\partial xi\partial xj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq C5,
то множество (2) является интегральным многообразием для уравнения (1).
Если, к тому же, функция \lambda (x, t) удовлетворяет условию
\| \lambda (x, t)\| \geq \alpha (\rho (x,\Lambda (t))), \alpha \in K, (8)
то множество \Lambda (t) (2) \rho -устойчиво по вероятности.
Замечание 1. В дальнейшем для краткости будем обозначать \alpha (\rho (x,\Lambda (t))) = \alpha (\rho ).
Доказательство. Пусть xx0,t0(t) = x(t) — такое произвольное решение уравнения (1), что
(x(t0), t0) \in \Lambda t0 с вероятностью 1. Применяя к процессу V1(x(t), t) обобщенную формулу Ито
[25, с. 274] (теорема 2), имеем
Ex0,t0V1(x(t), t) - V1(x0, t0) =
t\int
t0
E \~L1V1(x(s), s))ds.
Отсюда в силу условий (5), (7) получаем
Ex0,t0V1(x(t), t) \leq 0 (9)
для любого t \geq t0, или
Ex0,t0V (\lambda (x(t), t), x(t), t) \leq 0.
Учитывая при этом условие (3), убеждаемся, что V (\lambda (x(t), t), x(t), t) = 0 для каждого t c
вероятностью 1. Поэтому и \lambda (x(t), t) = 0 для каждого t \geq t0 с вероятностью 1. Тогда получаем
\mathrm{P}
\left\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
ti\geq t0
ti\in Q+
\| \lambda (x(t), t)\| = 0
\right\} = 1,
где Q+ — множество неотрицательных рациональных чисел. Но в силу непрерывности справа
траекторий
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
18 Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
\mathrm{P}
\left\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
ti\geq t0
ti\in Q+
\| \lambda (x(t), t)\| = 0
\right\} = \mathrm{P} \{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
ti\geq t0
\| \lambda (x(t), t)\| = 0\} = 1.
Последнее означает инвариантность множества (2) для системы (1).
Докажем теперь устойчивость по вероятности множества (2). Для этого выберем произволь-
ное достаточно малое число \varepsilon > 0, произвольный момент t0 и начальную точку x0. Рассмотрим
решение xx0,t0(t) уравнения (1). Пусть \tau \varepsilon = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ t : \| \lambda (x(t)\| > \varepsilon \} , а \tau \varepsilon (t) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau \varepsilon , t). Тогда по
формуле Дынкина [26, с. 191] получим
Ex0,t0V (\lambda (x(\tau \varepsilon (t)), \tau \varepsilon (t));x(\tau \varepsilon (t)), \tau \varepsilon (t)) = V (\lambda (x0, t0), x0, t0)+
+Ex0,t0
\tau \varepsilon (t)\int
t0
\widetilde LV (\lambda (x(u), u);x(u), u)du.
Отсюда в силу (7) следует неравенство
Mx0,t0V (\lambda (x(\tau \varepsilon (t)), \tau \varepsilon (t));x(\tau \varepsilon (t)), \tau \varepsilon (t)) \leq V (\lambda (x0, t0);x0, t0),
которое с учетом (6) можно записать в виде\int
\tau \varepsilon <t
a(\| \lambda (x(\tau \varepsilon ), \tau \varepsilon )\| )Px0,t0(d\omega ) +
\int
\tau \varepsilon \geq t
a(\| \lambda (x(t), t)\| )Px0,t0(d\omega ) \leq V (\lambda (x0, t0);x0, t0).
Следовательно,
a(\varepsilon )Px0,t0\{ \tau \varepsilon < t\} \leq V (\lambda (x0, t0);x0, t0).
В силу непрерывности по \lambda функции V (\lambda ;x0, t0) и V (0;x, t) \equiv 0 из последнего неравенства
следует соотношение
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\| \lambda \| \rightarrow 0
Px0,t0 \{ \tau \varepsilon < t\} = 0,
которое влечет за собой \lambda -устойчивость \Lambda (t) в соответствии с определением 3. Учитывая
оценку (8), получаем \rho -устойчивость интегрального многообразия \Lambda (t) уравнения (1).
Теорема 2. Если для процесса x(t), описываемого уравнением (1), существует функция
Ляпунова V (\lambda ;x, t) \in C221
\lambda xt , V (0;x, t) \equiv 0 со свойствами (6),
V (\lambda ;x, t) \leq b(\| \lambda \| ), b \in K, (10)
\widetilde LV \leq - c(\| \lambda \| ), c \in K, (11)
и, кроме того, вектор-функция \lambda = \lambda (x, t) удовлетворяет условию (8), то интегральное
многообразие \Lambda (t) : \lambda (x, t) = 0 уравнения (1) асимптотически \rho -устойчиво по вероятности.
Доказательство. По теореме 1 условия (6) и (7) обеспечивают \lambda -устойчивость \Lambda (t) по
вероятности, а условие (8) влечет за собой \rho -устойчивость по вероятности интегрального мно-
гообразия \Lambda (t).
Докажем справедливость соотношения (4) — асимптотической \lambda -устойчивости по вероятнос-
ти \Lambda (t). Тогда из оценки (8) будет следовать асимптотическая \rho -устойчивость интегрального
многообразия \Lambda (t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ . . . 19
Пусть, как и при доказательстве теоремы 1, \tau \varepsilon = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ t : \| \lambda (x(t), t)\| > \varepsilon \} , \tau \varepsilon (t) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau \varepsilon , t).
Обозначим через \scrR множество таких выборочных траекторий процесса xx0,t0(t), что \tau \varepsilon (t) = t,
t \geq 0, т. е. те траектории, которые до момента t не вышли из множества \| \lambda (x(t), t)\| < \varepsilon . Тогда
по теореме 1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\| \lambda (x0,t0)\| \rightarrow 0
Px0,t0\{ \scrR \} = 1.
Из (9) и (11) следует неравенство
Ex0,t0V (\lambda (x(\tau \varepsilon (t)), \tau \varepsilon (t));x(\tau \varepsilon (t)), \tau \varepsilon (t)) \leq V (\lambda (x0, t0);x0, t0),
т. е. случайный процесс V (\lambda (x(\tau \varepsilon (t)), \tau \varepsilon (t));x(\tau \varepsilon (t)), \tau \varepsilon (t)) является неотрицательным супер-
мартингалом и по теореме Дуба [27, с. 291] с вероятностью 1 существует конечный предел,
который для траекторий из множества \scrR имеет вид
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
V (\lambda (x(\tau \varepsilon (t)), \tau \varepsilon (t));x(\tau \varepsilon (t)), \tau \varepsilon (t)) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
V (\lambda (x(t), t);x(t), t) = \kappa .
Покажем, что с вероятностью 1 \kappa = 0. Доказательство проведем от противного, т. е. пред-
положим, что найдется хотя бы одна пара x\ast 0, t
\ast
0 \in U\varepsilon (0), U\varepsilon (t0) = \{ x : \| \lambda (x, t)\| < \varepsilon \} , такая,
что для выборочных траекторий из множества \scrR с вероятностью q выполняется соотношение
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
V (\lambda (x(t), t);x(t), t) = V\ast > 0.
Тогда из свойства (10) бесконечно малого высшего предела функции V следует, что с вероят-
ностью q
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\| \lambda (x(t), t)\| \geq b - 1(V\ast ) > \varepsilon 1 > 0.
Для дальнейших рассуждений нам необходимо доказать свойство возвратности выбороч-
ных траекторий процесса xx0,t0(t), принадлежащих множеству \scrR , по отношению к области
\{ \| \lambda (x(t), t)\| < \mu \} для каждого \mu , 0 < \mu < \varepsilon . Действительно, для таких \mu и всех \{ x :
\mu \leq \| \lambda (x(t), t)\| \leq \varepsilon \} из строгой монотонности c(r) выполняется оценка (11): LV \leq - c(\mu ).
Пусть \tau \mu — момент первого выхода процесса xx0,t0(t) из области \mu \leq \| \lambda \| \leq \varepsilon . Используя
(9), находим
Ex0,t0\tau
\mu (t) - t0 \leq c - 1(\mu )V (\lambda (x0, t0);x0, t0).
Отсюда на основании неравенства Чебышева получаем
Px0,t0\{ \tau \mu \geq t\} \leq c - 1(\mu )V (\lambda (x0, t0);x0, t0)
t
.
Переходя к пределу при t \rightarrow \infty , имеем
Px0,t0\{ \tau \mu < \infty \} = 1, (12)
что и доказывает возвратность траекторий процесса xx0,t0(t), принадлежащих множеству \scrR по
отношению к \{ \| \lambda (x, t)\| < \mu \} .
Из (12) и строгой марковости процесса x(t) для любого сколь угодно малого \mu > 0 получаем
0 < q = Px\ast
0,t
\ast
0
\{ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\| \lambda (x(t), t)\| > \varepsilon 1\} =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
20 Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
=
\int
\{ x:\| \lambda (x,t)\| =\mu \}
\infty \int
0
Px0,t0\{ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow \infty
\| \lambda (x(t), t)\| > \varepsilon 1\} Px\ast
0,t
\ast
0
\{ \tau \mu \in dt,> x(\tau \mu ) \in dx\} \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\{ x:\| \lambda (x,t)\| \leq \mu ,>t0>0\}
Px0,t0\{ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow \infty
\| \lambda (x(t), t)\| > \varepsilon 1\} ,
что противоречит определению 3 \lambda -устойчивости по вероятности интегрального многообразия
\Lambda (t).
Таким образом, для почти всех выборочных траекторий множества \scrR с вероятностью 1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \| \lambda (x(t), t)\| = 0 при t \rightarrow \infty для всех x \in U\varepsilon (0). Отсюда с учетом оценки V (\lambda ;x, t) \geq a(\| \lambda \| )
для почти всех траекторий из \scrR имеем \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow \infty \| \lambda (x(t), t)\| = 0, откуда с учетом (12) и оценки
(8) следует утверждение теоремы.
Замечание 2. Теоремы 1, 2 распространяют теоремы Р. З. Хасьминского [16, c. 207, 211]
о стохастической устойчивости невозмущенного движения на класс аналитически заданных
интегральных многообразий.
2. Задача о стохастической устойчивости интегрального многообразия по первому
приближению. Уравнение возмущенного движения относительно \Lambda (t) (4) запишем в виде
d\lambda = A(x, t)dt+B(x, t)d\omega +
\int
Rn
G(x(t), t, u)\~\nu (dt, du), (13)
где
A = (A1, A2, . . . , Ar)
T ,
Al(x, t) =
\partial \lambda l
\partial t
+
\biggl(
\partial \lambda l
\partial xi
\biggr) T
Xi +
1
2
\mathrm{t}\mathrm{r}
\biggl[
\partial 2\lambda l
\partial xi\partial xj
\sigma ik \sigma
T
jk
\biggr]
+
+
\int
Rn
\Biggl[
\lambda l(x+ f(x, t, u), t) - \lambda l(x, t) -
\biggl(
\partial \lambda l
\partial xi
\biggr) T
fi(x, t, u)
\Biggr]
\Pi (du),
B = (Blk, ) Blk(x, t) =
\biggl(
\partial \lambda l
\partial xi
\biggr) T
\sigma ik,
G = (G1, G2, . . . , Gr)
T , Gl(x, t, u) = \lambda l(x+ f(x, t, u), t) - \lambda l(x, t),
l = 1, r, k = 1,m, i, j = 1, n.
При этом в формуле (13) предполагаем сходимость интеграла
\int
Rn
G(x(t), t, u)\~\nu (dt, du) < \infty .
Предположим далее, что вектор-функции X(x, t), \lambda (x, t) и матрица \sigma (x, t) такие, что урав-
нение возмущенного движения (13) относительно \Lambda (t) (2) принимает вид
d\lambda l =
\Bigl[
A
(1)
ls (x, t)\lambda s +A
(2)
l (\lambda , x, t)
\Bigr]
dt+
\Bigl[
B
(1)
lps(x, t)\lambda s +B
(2)
lp (\lambda , x, t)
\Bigr]
d\omega p+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ . . . 21
+
\int
Rn
Gl(x(t), t, u)\~\nu (dt, du), (14)
где A1 = (A
(1)
ls ), A2 = A
(2)
l , B1p = (b
(1)
lps), B2 = b
(2)
lp , причем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\{ t\geq 0,x\in \Lambda h\setminus \Lambda \}
\{ \| A2\| , \| B2\| \} = o(\| \lambda \| ). (15)
Здесь, как и в предыдущих пунктах, по повторяющимся индексам предполагается суммирование
(l, s = 1, r; p = 1,m). Тогда уравнение линейного приближения относительно вектор-функции
\lambda (x, t) примет вид
d\lambda l = A
(1)
ls (x, t)\lambda sdt+B
(1)
lps(x, t)\lambda sd\omega
j +
\int
Rn
Gl(x(t), t, u)\~\nu (dt, du)
или в векторно-матричном обозначении
d\lambda = A1(x, t)\lambda dt+B1p(x, t)\lambda d\omega
p +
\int
Rn
G(x(t), t, u)\~\nu (dt, du).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть заданные вектор-функция X(x, t), матрица-функция \sigma (x, t) исходного
уравнения (1) и вектор-функция \lambda (x, t) таковы, что выполняются следующие условия:
1) уравнение возмущенного движения (13) относительно программного многообразия \Lambda (t)
допускает представление (14);
2) существует непрерывно дифференцируемая функция Ляпунова V (\lambda ;x, t), удовлетворя-
ющая условиям (6), (10) и \widetilde L1V (\lambda ;x, t) \leq - c(\| \lambda \| ), c \in K,
где
\widetilde L1V (\lambda ;x, t) =
\partial V
\partial t
+
\biggl(
\partial V
\partial xi
\biggr) T
Xi +
\biggl(
\partial V
\partial \lambda l
\biggr) T
Al+
+
1
2
\mathrm{t}\mathrm{r}
\biggl[
\partial 2V
\partial xi \partial xj
aij
\biggr]
+
1
2
\mathrm{t}\mathrm{r}
\biggl[
\partial 2V
\partial \lambda \partial \lambda k
\widetilde BT
lk
\biggr]
+
+
\int
Rn
\Biggl[
V (\lambda (x+ f(x, t, u), t);x+ f(x, t, u), t) - V (\lambda (x, t), x, t) -
\biggl(
\partial V
\partial xi
\biggr) T
fi(x, t, u)
\Biggr]
\Pi (du)+
+
\partial V
\partial \lambda \mu
\left( A1\mu (x, t)\lambda \mu dt+B1j\mu (x, t)\lambda \mu d\omega
j +
\int
Rn
G1j\mu (x, t)\lambda \mu (x, t)dP (t, dx)
\right) ,
[aij ] = \sigma ik\sigma
T
jk;
3) a(r) \rightarrow \infty при t \rightarrow \infty ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
22 Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
4) вектор-функция \lambda (x, t) удовлетворяет неравенству (8).
Тогда интегральное многообразие \Lambda (t) (2) уравнения (1) асимптотически \rho -устойчиво по ве-
роятности при любых A2(\lambda ;x, t), B2(\lambda ;x, t), удовлетворяющих условию (15).
Доказательство. Составим производящий дифференциальный оператор функции V в силу
системы (1):
\widetilde LV (\lambda ;x, t) =
\partial V
\partial t
+
\biggl(
\partial V
\partial xi
\biggr) T
Xi +
\biggl(
\partial V
\partial \lambda l
\biggr) T \Bigl(
A
(1)
ls \lambda s +A
(2)
l
\Bigr)
+
1
2
\mathrm{t}\mathrm{r}
\biggl[
\partial 2V
\partial xi \partial xj
aij
\biggr] T
+
+
1
2
\mathrm{t}\mathrm{r}
\biggl[
\partial 2V
\partial \lambda l \partial \lambda k
\Bigl\{ \Bigl(
B
(1)
lps\lambda s
\Bigr) \Bigl(
\lambda T
s B
(1)
spl
\Bigr)
+
\Bigl(
B
(1)
lps\lambda s
\Bigr)
B
(2)
pl +B
(2)
lp
\Bigl(
\lambda T
s B
(1)
spl +B
(2)
lp B
(2)
pl
\Bigr) \Bigr\} \biggr]
+
+
\int
Rn
\Biggl[
V (\lambda (x+ f(x, t, u), t);x+ f(x, t, u), t) - V (\lambda (x, t), x, t) -
-
\biggl(
\partial V
\partial xi
\biggr) T
fi(x, t, u) +
\biggl(
\partial V
\partial \lambda l
\biggr) T
Gl(x, t, u)
\Biggr]
\Pi (du) =
= \widetilde L1V +
\biggl(
\partial V
\partial \lambda l
\biggr) T
A
(2)
l +
1
2
\mathrm{t}\mathrm{r}
\biggl[
\partial 2V
\partial \lambda l\partial \lambda q
\Bigl\{ \Bigl(
B
(1)
lps\lambda s
\Bigr)
B
(2)
pl +B
(2)
pl
\Bigl(
\lambda T
s B
(1)
spl
\Bigr)
+B
(2)
lp B
(2)
pl
\Bigr\} \biggr]
.
Здесь малость по условию (15) A2(\lambda ;x, t) и B2(\lambda ;x, t) обеспечивают определенную отрица-
тельность LV и вдоль исходной системы (1), что из условия 4 согласно теореме 2 влечет
асимптотическую \rho -устойчивость по вероятности программного движения \Lambda (t) (2) уравне-
ния (1).
Замечание 3. Теорема 3 распространяет теорему Р. З. Хасьминского [16, c. 299] и теорему
И. И. Гихмана, А. Я. Дороговцева [24] о стохастической устойчивости по первому прибли-
жению невозмущенного движения на стохастическую устойчивость аналитически заданного
интегрального многообразия.
3. Задача об устойчивости интегрального многообразия при постоянно действующих
случайных возмущениях. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
\.x = X(x, t), x \in Rn, (16)
с интегральным многообразием (2). Наряду с уравнением (16) рассмотрим уравнение
\.x = X(x, t) +R(x, t, \omega ), (17)
в котором вектор-функция R = R(x, t, \omega ) характеризует постоянно действующие случайные
возмущения.
Предположим что:
1) правая часть уравнения (16) X(x, t) непрерывна по t, t \geq 0, и удовлетворяет условию
Липшица по x, x \in Rn;
2) величина \vargamma (t, \omega ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ x\in Rn\} \| R(x, t, \omega )\| имеет конечное математическое ожидание.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ . . . 23
Определение 6. Интегральное многообразие \Lambda (t) (2) уравнения (1) стохастически \rho -
устойчиво при постоянно действующих случайных возмущениях, если для любых \varepsilon > 0 и
\Delta > 0 найдется такое \gamma > 0, что из неравенства
\rho (x0,\Lambda (t0)) + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq t0
M\vargamma (t, \omega ) < \gamma
при t \geq t0 следует неравенство
\mathrm{P}\{ \rho (x(t, \omega ),\Lambda (t)) > \Delta \} < \varepsilon ,
где \rho (x,\Lambda ) — расстояние от точки x \in Rn до множества \Lambda ,
\rho (x,\Lambda ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\in \Lambda
\| x - z\| ,
а выражение M\vargamma (t, \omega ) — математическое ожидание случайной величины \vargamma (t, \omega ).
Составим уравнение возмущенного движения относительно множества \Lambda (t) (2) уравне-
ния (16):
\.\lambda = F (\lambda , x, t), F (0, x, t) \equiv 0,
где F — функция Н. П. Еругина, имеющая вид
F =
\partial \lambda
\partial x
X +
\partial \lambda
\partial t
.
Вдоль системы (17) \.\lambda представляется в виде
\.\lambda = F (\lambda , x, t) + F1(\lambda , x, t), F (0, x, t) \equiv F1(0, x, t) \equiv 0,
где F1 =
\partial \lambda
\partial x
R(x, t, \omega ).
Теорема 4. Пусть в Rn существует функция V (\lambda ;x, t) \in C111
\lambda xt со следующими свой-
ствами:
1) V (\lambda ;x, t) \geq a(\| \lambda \| ), a \in K;
2) для каждого \delta > 0 существует c\delta > 0 такое, что в области \{ \| \lambda \| > \delta \} \times \{ t > t0\}
выполнено неравенство \.V(16) < - c\delta V ;
3) a(r) \rightarrow \infty при t \rightarrow \infty ;
4) вектор-функция \lambda (x, t) удовлетворяет неравенству
\| \lambda (x, t)\| \geq \alpha (\rho ), \alpha \in K.
Тогда интегральное многообразие \Lambda (t) : \lambda (x, t) = 0 уравнения (16) \rho -устойчиво по вероятнос-
ти при постоянно действующих случайных возмущениях при t \geq t0.
Доказательство. Условия 1, 2 и 3 теоремы влекут \lambda -устойчивость по вероятности \Lambda (t) при
постоянно действующих случайных возмущениях. Действительно, из соотношения
\.V(17) \leq - c\delta V + c\vargamma (t, \omega ) + c\delta V
(\delta ),
где V (\delta ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ t>t0,\| \lambda (x,t)\| <\delta \} V (\lambda ;x, t), согласно лемме 2.1 из [16, c. 23] следует оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
24 Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
V (\lambda (x(t, \omega ), t);x(t, \omega ), t) \leq V (\lambda (x0, t0);x0, t0)e
- c\delta (t - t0) +
c
c\delta
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t>t0
\vargamma (t, \omega ) + V (\delta ),
или после применения операции математического ожидания
EV \leq V (\lambda (x0, t0);x0, t0)e
- c\delta (t - t0) +
c
c\delta
E\vargamma (t, \omega ) + V (\delta ).
Выберем \delta , \| \lambda (x0, t0)\| и E\vargamma (t, \omega ) достаточно малыми настолько, что
EV \leq \varepsilon \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ t>t0,\| \lambda (x,t)\| >\delta \}
V (\lambda (x, t);x, t). (18)
Далее, согласно лемме 4.1 из [16, c. 32]
\mathrm{P} \{ | \vargamma (t, \omega )| > R\} \leq EV (\vargamma (t, \omega ), x, t)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}UR\times \{ s>t0\} V (\lambda (x, s);x, s)
,
где UR = \{ x : \| \lambda (x, t)\| \leq R\} . Из малости в среднем EV с учетом (18) имеем малость величины
\mathrm{P}\{ \| \lambda (x(t; t0, x0)\| > \delta \} , а из условия 3 следует малость величины
\mathrm{P}\{ \rho (x(t, \omega ),\Lambda (t)) > \Delta \} ,
что и требовалось доказать.
Замечание 4. Условия теоремы 4 обеспечивают фактически \rho -устойчивость в среднем ин-
тегрального многообразия \Lambda (t).
Действительно, если применить математическое ожидание к неравенству a(\| \lambda \| ) \leq
\leq V (\lambda ;x, t), то из условия 4 теоремы следует малость E\rho и, следовательно, устойчивость
в среднем интегрального многообразия \Lambda (t).
Условия теоремы 4 можно ослабить, если рассматривать более узкий класс постоянно дей-
ствующих случайных возмущений.
Постоянно действующие возмущения представим в виде
R(x, t, \omega ) = \sigma (x, t) \cdot \xi (t, \omega ). (19)
Пусть \sigma (x, t) — интенсивность случайных возмущений в точке (x, t).
Определение 7. Интегральное многообразие \Lambda (t) (2) уравнения (16) \rho -устойчиво при по-
стоянно действующих случайных возмущениях вида (19), если для любых \varepsilon > 0 и \Delta > 0
найдется \kappa > 0 такое, что из неравенства
\rho (x0,\Lambda (t0)) + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x,t
\| \sigma (x, t)\| < \kappa
при t \geq t0 следует неравенство
\mathrm{P}\{ \rho (x(t, \omega ),\Lambda (t)) > \Delta \} < \varepsilon .
Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4 с заменой условия \.V(16) < - c\delta V на (более
слабое) условие \.V(16) < - c\delta . Кроме того, пусть \xi (t, \omega ) удовлетворяет следующему условию:
для любого \varepsilon > 0 существует \gamma > 0 такое, что при t0 \leq s \leq t
E \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ \gamma
t\int
s
| \xi (u, \omega )| du
\right\} \leq e\varepsilon (t - s). (20)
Тогда интегральное многообразие \Lambda (t) уравнения (16) \rho -устойчиво по вероятности для t \geq t0
при постоянно действующих случайных возмущениях вида (19).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ . . . 25
Доказательство. Положим
W (\lambda ;x, t) = eV (\lambda ;x,t) - 1, W (\delta ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\{ t>t0,\| \lambda (x,t)\| <\delta \}
W (\lambda ;x, t).
При любых \delta > 0 и \gamma > 0 имеем
dW
dt
= eV (\lambda ;x,t)
\biggl[
\.V(16) +
\biggl(
\partial V
\partial \lambda
\partial \lambda
\partial x
+
\partial V
\partial x
\biggr)
\sigma \xi
\biggr]
=
= W
\biggl[
\.V(16) +
\biggl(
\partial V
\partial \lambda
\partial \lambda
\partial x
+
\partial V
\partial x
\biggr)
\sigma \xi
\biggr]
+
\biggl[
\.V(16) +
\biggl(
\partial V
\partial \lambda
\partial \lambda
\partial x
+
\partial V
\partial x
\biggr)
\sigma \xi
\biggr]
.
Отсюда получаем
dW
dt
\leq W ( - c\delta + \gamma | \xi (t, \omega )| ) + \gamma | \xi (t, \omega )| + c\delta W
(\delta ).
Из последнего неравенства, используя лемму 2.1 из [16, с. 23], имеем
W (\lambda (x(t, \omega ), t), x(t, \omega ), t) \leq W (\lambda (x0, t0), x0, t0)e
\int t
t0
( - c\delta +\gamma | \xi (s,\omega )| )ds
+
+c\delta W
(\delta )
t\int
t0
e
\int t
s ( - c\delta +\gamma | \xi (u,\omega )| )duds+ \gamma
t\int
t0
e
\int t
s ( - c\delta +\gamma | \xi (u,\omega )| )du| \xi (s, \omega )| ds. (21)
Пусть \varepsilon — любое такое число, что 0 < \varepsilon <
1
2
. Из (20) следует, что число \gamma 0(\varepsilon ) можно выбрать
так, что при \gamma < \gamma 0(\varepsilon )
Ee\gamma
\int t
s | \xi (u,\omega )| )du \leq e\varepsilon c\delta (t - s). (22)
Отсюда с учетом того, что W (\delta ) \rightarrow 0, следует, что можно выбрать сначала \delta (\varepsilon ), а затем \kappa (\varepsilon ) и
\gamma 0(\varepsilon ) так, чтобы выполнялись и неравенство (22), и неравенство
E
\left[ W (\lambda (x0, t0), x0, t0)e
\int t
t0
( - c\delta +\gamma | \xi (u,\omega )| )du
+ c\delta W
(\delta )
t\int
t0
e
\int t
s ( - c\delta +\gamma | \xi (u,\omega )| )duds
\right] < \varepsilon .
Далее из равенств
J = \gamma
t\int
t0
e
\int t
s ( - c\delta +\gamma | \xi (u,\omega )| )du| \xi (s, \omega )| ds =
= e
\int t
t0
( - c\delta +\gamma | \xi (u,\omega )| )du - 1 + c\delta
t\int
t0
e
\int t
s ( - c\delta +\gamma | \xi (u,\omega )| )du ds
и неравенства (22) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
26 Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
EJ \leq e - c\delta (1 - \varepsilon )(t - t0) - 1 + c\delta
t\int
t0
e - c\delta (1 - \varepsilon )(t - s)ds \leq 2\varepsilon
1 - \varepsilon
\leq 4\varepsilon . (23)
Из (21) – (23) следует, что при любом t \geq t0
EW (\lambda (x(t, \omega ), t), x(t, \omega ), t) < 5\varepsilon ,
если \rho (x0,\Lambda (t0)) + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\geq t0 E\nu (t, \omega ) < \kappa (\varepsilon ). Далее, согласно лемме 4.1 из [16], из малости в
среднем EW имеем малость
\mathrm{P}\{ \| \lambda (x(t, t0, x0), t)\| > \delta \} .
Используя условие 4 теоремы, получаем малость
\mathrm{P}\{ \rho (x(t, \omega ),\Lambda (t)) > \Delta \} .
Замечание 5. Теоремы 4, 5 распространяют теорему Р. З. Хасьминского [16, c. 52] о сто-
хастической устойчивости при постоянно действующих случайных возмущениях невозмущен-
ного движения на стохастическую устойчивость аналитически заданного интегрального мно-
гообразия.
Литература
1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. – М., 1950. – 472 с.
2. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. – М.: Наука, 1965. – 208 с.
3. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. – М., 1966. – 530 с.
4. Матросов В. М. Об устойчивости движения // Прикл. математика и механика. – 1962. – 26, вып. 5. – С. 885 – 895.
5. Зубов В. И. Устойчивость движения. – М., 1973. – 272 с.
6. Малышев Ю. В. Об устойчивости некомпактных множеств для неавтономных систем // Теория устойчивости
и ее приложения. – Новосибирск, 1979. – С. 66 – 70.
7. Hajek O. Ordinary and asymptotic stability of noncompact sets // J. Different. Equat. – 1972. – № 11. – P. 49 – 65.
8. Галиуллин А. С., Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г., Фурасов В. Д. Построение систем программного дви-
жения. – М.: Наука, 1971. – 352 с.
9. Мухарлямов Р. Г. О построении дифференциальных уравнений оптимального движения к заданному многооб-
разию // Дифференц. уравнения. – 1971. – 7, № 10. – C. 688 – 699.
10. Галиуллин А. С. Устойчивость движения. – М.: Наука, 1973. – 104 с.
11. Мухаметзянов И. А. Об устойчивости программного многообразия // Дифференц. уравнения. – 1973. – 9,
№ 5. – С. 846 – 856.
12. Тлеубергенов М. И. Необходимые и достаточные условия устойчивости интегрального многообразия // Диф-
ференц. уравнения и обратные задачи динамики. – М.: Изд-во Ун-та дружбы народов, 1983. – С. 125 – 132.
13. Тлеубергенов М. И. Об устойчивости программного движения по первому приближению // Изв. АН КазССР.
Сер. физ.-мат. – 1984. – № 5. – С. 58 – 61.
14. Bertram J. E., Sarachik P. E. Stability of circuits with randomly time-varying parameters // Proc. Int. Circuit and
Inform. Theory (Los-Angeles. Calif. IRE trans. CT-6). – 1959. – P. 260 – 270.
15. Кац И. Я., Красовский Н. Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикл. математика и
механика. – 1960. – 27, вып. 5. – С. 809 – 823.
16. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их пара-
метров. – М., 1969. – 368 с.
17. Samoilenko A. M., Stanzhytskyi O. M. Qualitative and asymptotic analysis of differential equations with random
perturbations. – Singapore: World Sci. Publ., 2011. – 312 p.
18. Станжицкий А. Н. Об устойчивости по вероятности инвариантных множеств систем со случайными возму-
щениями // Нелiнiйнi коливання. – 1998. – 1, № 2. – С. 138 – 142.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ . . . 27
19. Станжицький О. М. Дослiдження iнварiантних множин стохастичних систем Iто за допомогою функцiй
Ляпунова // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 2. – С. 282 – 285.
20. Тлеубергенов М. И. Метод функций Ляпунова в задаче стохастической устойчивости программного движения
// Мат. журн. – 2001. – 1, № 2. – С. 98 – 106.
21. Тлеубергенов М. И. Об устойчивости интегрального многообразия стохастического дифференциального урав-
нения Ито // Изв. МОН РК, НАН РК. – 2001. – № 3. – С. 55 – 62.
22. Тлеубергенов М. И. Об устойчивости по вероятности программного движения // Изв. МОН РК, НАН РК. –
2002. – № 3. – С. 47 – 53.
23. Тлеубергенов М. И. Об устойчивости по вероятности программного движения при постоянно действующих
возмущениях // Изв. МОН РК, НАН РК. – 2004. – № 3. – С. 53 – 58.
24. Гихман И. И., Дороговцев А. Я. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений //
Укр. мат. журн. – 1965. – 17, № 6. – С. 3 – 21.
25. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. – Киев: Наук. думка, 1968. –
256 с.
26. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. – М.: Физматгиз, 1968. – 860 с.
27. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. – М.: Изд-во иностр. лит., 1956. – 609 с.
Получено 30.01.15,
после доработки — 26.06.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1818 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:12Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/af/5ac2264f428a35c752433d3208284caf.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18182019-12-05T09:28:56Z On the solution of the problem of stochastic stability of the integral manifold by the Lyapunov’s second method О решении задачи стохастической устойчивости интегрального многообразия вторым методом Ляпунова Vasilina, G. K. Tleubergenov, M. I. Василина, Г. К. Тлеубергенов, М. И. Василина, Г. К. Тлеубергенов, М. И. By using the method of Lyapunov functions, we establish sufficient conditions of stability and asymptotic stability in probability for the integral manifold of the Itˆo differential equations in the presence of random perturbations from the class of processes with independent increments. Theorems on the stochastic stability of the analytically given integral manifold of differential equations are proved in the first approximation and under the permanent action of small (in the mean) random perturbations. Iз допомогою методу функцiй Ляпунова отримано достатнi умови стiйкостi та асимптотичної стiйкостi за ймовiрнiстю iнтегрального многовиду диференцiальних рiвнянь Iто за наявностi випадкових збурень iз класу процесiв iз незалежними приростами. Доведено теореми про стохастичну стiйкiсть за першим наближенням при постiйно дiючих малих у середньому випадкових збуреннях аналiтично заданого iнтегрального многовиду диференцiальних рiвнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1818 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 1 (2016); 14-27 Український математичний журнал; Том 68 № 1 (2016); 14-27 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1818/800 Copyright (c) 2016 Vasilina G. K.; Tleubergenov M. I. |
| spellingShingle | Vasilina, G. K. Tleubergenov, M. I. Василина, Г. К. Тлеубергенов, М. И. Василина, Г. К. Тлеубергенов, М. И. On the solution of the problem of stochastic stability of the integral manifold by the Lyapunov’s second method |
| title | On the solution of the problem of stochastic stability of the integral manifold by the Lyapunov’s second method |
| title_alt | О решении задачи стохастической устойчивости интегрального многообразия вторым методом Ляпунова |
| title_full | On the solution of the problem of stochastic stability of the integral manifold by the Lyapunov’s second method |
| title_fullStr | On the solution of the problem of stochastic stability of the integral manifold by the Lyapunov’s second method |
| title_full_unstemmed | On the solution of the problem of stochastic stability of the integral manifold by the Lyapunov’s second method |
| title_short | On the solution of the problem of stochastic stability of the integral manifold by the Lyapunov’s second method |
| title_sort | on the solution of the problem of stochastic stability of the integral manifold by the lyapunov’s second method |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1818 |
| work_keys_str_mv | AT vasilinagk onthesolutionoftheproblemofstochasticstabilityoftheintegralmanifoldbythelyapunovssecondmethod AT tleubergenovmi onthesolutionoftheproblemofstochasticstabilityoftheintegralmanifoldbythelyapunovssecondmethod AT vasilinagk onthesolutionoftheproblemofstochasticstabilityoftheintegralmanifoldbythelyapunovssecondmethod AT tleubergenovmi onthesolutionoftheproblemofstochasticstabilityoftheintegralmanifoldbythelyapunovssecondmethod AT vasilinagk onthesolutionoftheproblemofstochasticstabilityoftheintegralmanifoldbythelyapunovssecondmethod AT tleubergenovmi onthesolutionoftheproblemofstochasticstabilityoftheintegralmanifoldbythelyapunovssecondmethod AT vasilinagk orešeniizadačistohastičeskojustojčivostiintegralʹnogomnogoobraziâvtorymmetodomlâpunova AT tleubergenovmi orešeniizadačistohastičeskojustojčivostiintegralʹnogomnogoobraziâvtorymmetodomlâpunova AT vasilinagk orešeniizadačistohastičeskojustojčivostiintegralʹnogomnogoobraziâvtorymmetodomlâpunova AT tleubergenovmi orešeniizadačistohastičeskojustojčivostiintegralʹnogomnogoobraziâvtorymmetodomlâpunova AT vasilinagk orešeniizadačistohastičeskojustojčivostiintegralʹnogomnogoobraziâvtorymmetodomlâpunova AT tleubergenovmi orešeniizadačistohastičeskojustojčivostiintegralʹnogomnogoobraziâvtorymmetodomlâpunova |