Functions with nondegenerate critical points on the boundary of the surface
We prove an analog of the Morse theorem in the case where the critical point belongs to the boundary of an $n$-dimensional manifold and find the least number of critical points for the Morse functions defined on the surfaces whose critical points coincide with the critical points of their restrictio...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1819 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507683950428160 |
|---|---|
| author | Hladysh, B. I. Prishlyak, O. O. Гладиш, Б. І. Пришляк, О. О. |
| author_facet | Hladysh, B. I. Prishlyak, O. O. Гладиш, Б. І. Пришляк, О. О. |
| author_sort | Hladysh, B. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:28:56Z |
| description | We prove an analog of the Morse theorem in the case where the critical point belongs to the boundary of an $n$-dimensional manifold and find the least number of critical points for the Morse functions defined on the surfaces whose critical points coincide with the critical points of their restriction to boundary. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 516.91
Б. I. Гладиш*, О. О. Пришляк (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ФУНКЦIЇ З НЕВИРОДЖЕНИМИ КРИТИЧНИМИ ТОЧКАМИ
НА МЕЖI ПОВЕРХНI
We prove an analog of the Morse theorem in the case where the critical point belongs to the boundary of an n-dimensional
manifold and find the least number of critical points for the Morse functions defined on the surfaces whose critical points
coincide with the critical points of their restriction to boundary.
Доказан аналог теоремы Морса в случае, когда критическая точка лежит на границе n-мерного многообразия.
Найдено минимальное число критических точек для функций Морса на поверхности, у которых критические точки
совпадают с критическими точками их ограничения на границу поверхности.
1. Вступ. У просторi всiх функцiй з C\infty -топологiєю на замкненому многовидi множина функцiй
Морса утворює вiдкриту скрiзь щiльну множину. Цi функцiї є структурно стiйкими. На мно-
говидах з межею вiд функцiй Морса природно вимагають, щоб їх обмеження на внутрiшнiсть
було функцiєю Морса. Проте в залежностi вiд поставлених цiлей поведiнка на межi може бути
рiзною. Так, у класичнiй теорiї Морса [1] функцiї Морса є сталими на кожнiй компонентi межi.
Якщо не накладати нiяких обмежень на поведiнку на межi, то функцiя в загальному положен-
нi не має критичних точок на межi i її обмеження на межу є функцiєю Морса. Такi функцiї
часто називають m-функцiями [2]. Третiм типом функцiй є функцiї з критичними точками на
межi, якi розглядаються у цiй статтi. Зауважимо, що є науковi роботи, де пiд функцiями Морса
розумiють функцiї кожного з трьох типiв.
Топологiчна класифiкацiя є провiдною задачею топологiчних дослiджень. Класичними ро-
ботами по дослiдженню топологiчних властивостей функцiй є роботи [1, 3 – 5]. Г. Рiб та
А. С. Кронрод побудували граф, що дозволяє класифiкувати простi функцiї Морса на по-
верхнях. О. В. Болсинов та А. Т. Фоменко [6], дослiджуючи гамiльтонову механiку, розглядали
пошарову еквiвалентнiсть функцiй Морса на поверхнi, ввiвши для цього поняття атомiв та
молекул.
На поверхнях з межею С. I. Максименко [7] та О. О. Пришляк [8] отримали топологiчну
класифiкацiю m-функцiй.
Часто виникають ситуацiї, коли потрiбно розглядати функцiї, iнварiантнi при деяких вi-
дображеннях, симетрiях тощо. Нехай W — замкнений 2-вимiрний многовид, на якому задано
iнволюцiю \varphi : W \rightarrow W, множина нерухомих точок fix(\varphi ) вiдображення \varphi є гладким однови-
мiрним пiдмноговидом, M = W/ \sim , де x \sim \varphi (x), x \in W. Тодi fix(\varphi ) = \partial M. Нехай f — така
функцiя Морса на W, що f | fix(\varphi ) теж є функцiєю Морса i критичнi точки f належать множи-
нi fix(\varphi ). Таким чином, виникає функцiя на поверхнi M, всi критичнi точки якої належать
\partial M = fix(\varphi ).
Основною метою роботи є дослiдження топологiчних властивостей функцiй, критичнi точки
яких є невиродженими та збiгаються з критичними точками обмеження цих функцiй на межу
двовимiрного многовиду i є невиродженими для цього обмеження.
* Пiдтримано Австрiйською академiєю наук у рамках проекту мiж Австрiйською академiєю наук та НАН України
„Новi математичнi методи в астрофiзицi елементарних частинок i квантовiй фiзицi (2015–2017)”.
c\bigcirc Б. I. ГЛАДИШ, О. О. ПРИШЛЯК, 2016
28 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ФУНКЦIЇ З НЕВИРОДЖЕНИМИ КРИТИЧНИМИ ТОЧКАМИ НА МЕЖI ПОВЕРХНI 29
2. Функцiї на \bfitn -вимiрних многовидах з межею. Нехай M — многовид розмiрностi n
з межею \partial M, f : M \rightarrow \Re — функцiя, що визначена на многовидi M. Локально межу можна
записати у виглядi \partial M = \{ x1, x2, . . . , xn| xn = 0\} для деякої системи координат (x1, x2, . . . , xn).
Нехай p0 — критична точка функцiї f, (x1, x2, . . . , xn) — локальна система координат
в околi p0. Нагадаємо, що критична точка p0 функцiї f називається невиродженою, якщо
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Hf (x1, x2, . . . , xn)(p0) \not = 0, де Hf (x1, x2, . . . , xn)(p0) =
\biggl(
\partial 2f
\partial xi\partial xj
(x1, x2, . . . , xn)
\biggr) n
i,j=1
(p0)
— гессiан функцiї f у точцi p0. Гладка функцiя f : M \rightarrow \Re називається функцiєю Морса, якщо
всi її критичнi точки є невиродженими.
Рiвнем c \in \Re функцiї f : M \rightarrow \Re називається множина \{ f - 1(c)\} = \{ p \in M | f(p) = c\} .
Функцiю f : M \rightarrow \Re , визначену на многовидi, називатимемо простою, якщо на кожному рiвнi
вона має не бiльше однiєї критичної точки. Далi будемо розглядати лише простi функцiї.
Теорема 1. Нехай p0 \in \partial M — така невироджена критична точка функцiї f i невиро-
джена критична точка обмеження f | \partial M функцiї f на \partial M, що f(p0) = 0. Тодi iснує система
координат (x1, x2, . . . , xn), xn \geq 0, в околi p0, для якої p0 = (0, 0, . . . , 0) i функцiя f має
локальне зображення
f(x1, x2, . . . , xn) = - x21 - x22 - . . . - x2\lambda + x2\lambda +1 + . . .+ x2n - 1 + \delta x2n (1)
для деякого \delta \in \{ - 1,+1\} .
Доведення. Виберемо довiльну локальну систему координат (u1, u2, . . . , un) в околi кри-
тичної точки p0 таку, що p0 = (0, 0, . . . , 0) i un \geq 0. Тодi межа задається рiвнiстю un = 0.
Як i при доведеннi леми Морса в [9, с. 44], з умови f(0, 0, . . . , 0) = 0 випливає, що iснують
функцiї hi(u1, u2, . . . , un), i \in 1, n
\biggl(
наприклад, hi(u1, u2, . . . , un) =
\int 1
0
df(u1t, . . . unt)
dui
dt, i \in
\in 1, n
\biggr)
, такi, що f =
\sum n
i=1
ui \cdot hi(u1, u2, . . . , un).
Для критичних точок
\partial f
\partial ui
(0, 0, . . . , 0) = hi(0, 0, . . . , 0) = 0. Тодi, в свою чергу, f =
=
\sum n
i,j=1
uiuj \cdot gij(u1, u2, . . . , un) для деяких функцiй gij(u1, u2, . . . , un), i, j = 1, n. Поклавши
Gij \equiv (gij + gji)/2, отримаємо
f =
n\sum
i,j=1
uiuj \cdot Gij . (2)
Без обмеження загальностi можна вважати, що G11 \not = 0 (якщо це не так, то з невиродженостi
Hf | \partial M (x1, x2, . . . , xn)(p0) випливає, що iснує k \in \{ 2, 3, . . . , n - 1\} таке, що G1k \not = 0 i замiна
v1 = u1+uk, vk = u1 - uk приводить до бажаного результату). Враховуючи неперервнiсть Gij ,
переконуємося, що G11 \not = 0 в деякому околi точки p0.
З (2) маємо
\partial 2f
\partial u21
(0, 0, . . . , 0) = 2G11(0, 0, . . . , 0) \not = 0. Тому замiна x1 =
\sqrt{}
| G11| \cdot
\biggl(
u1 +
+
\sum n
i=2
G1i
G11
\cdot ui
\biggr)
є коректною, а решта координат, включаючи un, не змiнюються. Це означає,
що межа \partial M = \{ un = 0\} не змiнюється при даному перетвореннi i область \{ un \geq 0\} перехо-
дить сама в себе.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
30 Б. I. ГЛАДИШ, О. О. ПРИШЛЯК
Тодi мають мiсце зображення f =
\biggl(
x21 +
\sum n
i,j=2
uiuj \cdot Gij -
\biggl( \sum n
i=2
ui \cdot G1i
\biggr) 2
/G11 при
G11 > 0
\biggr) \bigwedge \biggl(
- x21 +
\sum n
i,j=2
uiuj \cdot Gij -
\Bigl( \sum n
i=2
ui \cdot G1i
\Bigr) 2
/G11 при G11 < 0
\biggr)
.
Далi, мiркуючи аналогiчно, отримуємо f =
\sum n - 1
i=1
\delta ix
2
i +F (u1, u2, . . . , un - 1)\cdot u2n для деяких
\delta i \in \{ - 1,+1\} , i = 1, n - 1, i деякої функцiї F, яка не залежить вiд un. З невиродженостi
критичної точки функцiї f випливає, що F (0) \not = 0.
Поклавши xn =
\sqrt{}
| F (x1, x2, . . . , xn - 1)| un, одержимо f =
\sum n
i=1
\delta ix
2
i , \delta i \in \{ - 1,+1\} .
Також зауважимо, що останнє перетворення координат не змiнює межу многовиду \partial M i
область \{ un \geq 0\} переходить у \{ xn \geq 0\} . Замiнивши xi на xj , i, j \in \{ 1, 2, . . . , n - 1\} , в
останньому зображеннi функцiї f, отримаємо рiвнiсть (1).
Теорему доведено.
Зауваження 1. Такий же результат отримано у [10] (лемi 2.6), але на вiдмiну вiд теореми 1
необхiдними умовами у вказанiй лемi є скрiзь дотичнiсть поля градiєнта.
Зауваження 2. Якщо p0 \in \partial M не є критичною точкою функцiї f такої, що f(p0) = 0, то
iснує система координат (x1, x2, . . . , xn), xn \geq 0, в околi p0, для якої функцiя f має вигляд
f(x1, x2, . . . , xn) = x1.
Справдi, нехай p0 \in \partial M не є критичною точкою функцiї f, f(p0) = 0. Виберемо довiльну
локальну систему координат (u1, u2, . . . , un), un \geq 0, в околi p0 таку, що p0 = (0, 0, . . . , 0). Тодi
\partial f
\partial ui
(p0) \not = 0 для деякого i \in 1, n - 1. Не втрачаючи загальностi вважатимемо, що
\partial f
\partial u1
(p0) \not = 0.
Оскiльки f(p0) = 0, то iснують такi гладкi функцiї ai(u1, . . . , un), що f = u1a1 + . . . + unan,
причому a1 \not = 0 в деякому околi p0. Тодi гладка замiна координат x1 = u1a1 + . . . + unan,
xi = ui, i = 2, n, яка не змiнює межу многовиду i область un \geq 0 переводить в область xn \geq 0,
приводить функцiю f до потрiбного вигляду.
Нехай p0 \in \partial M — критична точка функцiї f i її обмеження f\partial на \partial M, тодi iндексом
критичної точки називається пара (\lambda , \delta ), що визначається рiвнiстю (1).
Ця пара чисел повнiстю визначається парою iндексiв Морса для функцiй f i f\partial . Оскiль-
ки iндекси Морса не залежать вiд способу зведення функцiї до канонiчного вигляду (див.,
наприклад, [9]), то те саме виконується для iндексу (\lambda , \delta ).
3. Функцiї на поверхнях з межею. З теореми 1 безпосередньо випливає такий наслiдок.
Наслiдок. В околi точки, що є невиродженою критичною точкою як для функцiї f на
поверхнi, так i для її обмеження на межу, функцiя замiною координат зводиться до однiєї з
таких форм:
(i) f(x, y) = x2 + y2, y \geq 0,
(ii) f(x, y) = - x2 + y2, y \geq 0,
(iii) f(x, y) = x2 - y2, y \geq 0,
(iv) f(x, y) = - x2 - y2, y \geq 0.
Зауваження 3. З наслiдку отримуємо локальнi зображення функцiї Морса в околi її кри-
тичної точки, яка належить межi. Але на вiдмiну вiд леми Морса [9, с. 44] ми не можемо звести
їх до трьох форм, бо перетворення координат, яке (ii) переводить у (iii) чи навпаки, змiнює
межу поверхнi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ФУНКЦIЇ З НЕВИРОДЖЕНИМИ КРИТИЧНИМИ ТОЧКАМИ НА МЕЖI ПОВЕРХНI 31
Нагадаємо, що ми розглядаємо функцiї, якi на кожному критичному рiвнi мають лише одну
критичну точку. Дослiдимо структуру функцiї в околi критичного рiвня для випадкiв рiзних
iндексiв критичної точки.
1. Iндекс критичної точки p0 дорiвнює (0,+1). Згiдно з теоремою 1 iснує локальна система
координат (x, y) в околi p0 така, що f = x2 + y2. Звiдси видно, що p0 є точкою локального
мiнiмуму. Тодi при проходженнi p0 (замiни f - 1(p0 - \varepsilon ) на f - 1(p0 + \varepsilon ) для досить малого \varepsilon )
додається пiвдиск D2
+ = \{ (x, y) \in D2| y \geq 0\} , де D2 = \{ (x, y)| x2 + y2 \leq 1\} . Це показано на
рис. 1, а.
2. Iндекс критичної точки p0 дорiвнює (1, - 1). Тодi функцiя має локальне зображення
f = - x2 - y2, звiдки видно, що точка p0 є точкою локального максимуму. При проходженнi
p0 приклеюється пiвдиск D2
+ так, що точки \{ y = 0\} \cap \partial D2
+ приклеюються до кутiв, \partial D2
+ — до
межi лiнiї рiвня функцiї, а \{ (x, y) \in D2
+| y = 0\} додається до межi поверхнi. Цю перебудову
зображено на рис. 1, б.
а б
Рис. 1
3. Iндекс критичної точки p0 дорiвнює (1,+1). За теоремою 1 функцiю f можна подати
у виглядi f = - x2 + y2 для деякої системи координат (x, y) в околi p0. Точки перетину межi
поверхнi з межею лiнiї рiвня функцiї f ми називатимемо кутами. При проходженнi критичної
точки p0 перебудова вiдбувається таким чином: приклеюється смужка ABCD до межi лiнiї
рiвня так, щоб вершини A i D приклеїлися до кутiв, а сторони AB i CD — до компоненти межi
лiнiї рiвня. При цьому до межi додаються сторони BC i AD, зокрема AD до частини межi \partial M
на данiй лiнiї рiвня. Цю перебудову зображено на рис. 2, а.
4. Iндекс критичної точки p0 дорiвнює (0, - 1). Тодi функцiю можна записати у виглядi
f = x2 - y2 i перебудова вiдбуватиметься так: приклеюється смужка (квадрат) ABCD так, що
сторона BC приклеюється до межi лiнiї рiвня. При цьому до межi додаються сторони AB, CD
i AD, причому AD — до компоненти межi \partial M (рис. 2, б).
а б
Рис. 2
Функцiї Морса f i g на поверхнях X i Y будемо називати пошарово еквiвалентними, якщо
iснує гомеоморфiзм \lambda : X \rightarrow Y, що переводить компоненти лiнiї рiвня функцiї f у компоненти
лiнiї рiвня функцiї g. Також кажуть, що пара (X, f) пошарово еквiвалентна парi (Y, g).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
32 Б. I. ГЛАДИШ, О. О. ПРИШЛЯК
Атомом називається окiл критичного рiвня, що задається нерiвнiстю c - \varepsilon \leq f \leq c +
+ \varepsilon для достатньо малого \varepsilon , розбитий на лiнiї рiвня i розглянутий з точнiстю до пошарової
еквiвалентностi, тобто атом — це клас пошарової еквiвалентностi пари (U = \{ x| c - \varepsilon \leq f(x) \leq
\leq c+ \varepsilon \} , f | U ).
Функцiї Морса f i g називаються пошарово оснащено еквiвалентними в околi своїх кри-
тичних рiвнiв f - 1(c1) i g - 1(c2), якщо iснують \varepsilon 1 > 0, \varepsilon 2 > 0 i гомеоморфiзм \lambda : f - 1(c1 -
- \varepsilon 1, c1+\varepsilon 1) \rightarrow g - 1(c2 - \varepsilon 2, c2+\varepsilon 2), який переводить лiнiї рiвня функцiї f у лiнiї рiвня функцiї
g, зберiгаючи при цьому напрямок зростання функцiй.
Тодi означення f -атома вводиться аналогiчно до атома, але розглядається з точнiстю до
пошарової оснащеної еквiвалентностi. Таким чином, кожному атому вiдповiдають два f -атоми,
якi отримуються один з одного замiною знака функцiї.
На рис. 1 – 3 зображено f -атоми, якi називатимемо атомами A (A1 — рис. 1, а, A2 — рис. 1, б),
B (B1 (iндекс (1,+1)) — рис. 3, а, B2 (iндекс (0, - 1)) — рис. 3, б) i C (C1 — рис. 2, а i C2
— рис. 2, б). Атом C зручнiше зображати так, як це показано на рис. 4 (а — атом C1 (iндекс
(1,+1), б — атом C2 (iндекс (0, - 1))). (Це проекцiя частини тора x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u, y = (3+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u,
y = (3 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u, x > 0, 1 \leq z \leq 3 з критичною точкою (0, 0, 2) на площину yz, функцiя
висоти f(x, y, z) = z.)
а б
Рис. 3
а б
Рис. 4
Теорема 2. Кожен атом збiгається або з атомом A, або з атомом B, або з атомом C,
кожному з яких вiдповiдають два f -атоми.
Доведення. У випадках, коли iндекс критичної точки дорiвнює (0,+1) чи (1, - 1), отри-
маємо атом A. Тому далi вважаємо, що iндекс дорiвнює (1,+1) або (0, - 1). Нехай f(p0) = c.
Розглянемо окiл критичної точки p0, обмежений f - 1(c - \varepsilon ), f - 1(c+ \varepsilon ), деякими траєкторiями
поля градiєнта i межею поверхнi \partial M. Називатимемо областями додатностi функцiї f частину
поверхнi, де \{ f > c\} , i будемо зображати її заштрихованою, та областями вiд’ємностi частину
поверхнi, де \{ f < c\} , i будемо зображати її бiлим кольором. Ми отримаємо поверхню, зобра-
жену на рис. 5. Iснують двi можливостi склейки для кожного з атомiв: склеювати околи в межi
кiнцiв критичного рiвня або нi. У випадку склейки отримуємо атом B, в iншому випадку —
атом C.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ФУНКЦIЇ З НЕВИРОДЖЕНИМИ КРИТИЧНИМИ ТОЧКАМИ НА МЕЖI ПОВЕРХНI 33
Рис. 5
Означення 1. Просту функцiю Морса f : M \rightarrow \Re називатимемо mm-функцiєю, якщо
обмеження f\partial функцiї на межу \partial M теж є функцiєю Морса i всi критичнi точки функцiї f
належать межi поверхнi \partial M.
Означення 2. Mm-функцiю називатимемо оптимальною, якщо вона має найменше серед
усiх mm-функцiй число критичних точок на заданiй поверхнi.
Нехай f — функцiя Морса. Компоненти лiнiй рiвня називатимемо шарами. В результатi мно-
говид розбивається на об’єднання шарiв i отримуємо шарування з особливостями. Розглянемо
вiдношення еквiвалентностi на M, в якому точки еквiвалентнi, якщо вони належать одному
шару. Ввiвши фактор-топологiю у просторi шарiв, отримаємо деякий граф Г, який називається
графом Рiба функцiї Морса на многовидi.
Лема 1. Оптимальна mm-функцiя на поверхнi має рiвно один мiнiмум i один максимум.
Доведення. Для доведення леми потрiбно показати: 1) iснування mm-функцiї, яка має рiвно
один мiнiмум i один максимум; 2) якщо mm-функцiя має принаймнi двi точки мiнiмуму чи
максимуму, то вона не є оптимальною.
Спершу розглянемо деякi попереднi викладки. Зауважимо, що якщо поверхня мiстить один
f -атом B, приклеювання якого змiнює компоненту лiнiї рiвня з вiдрiзка на коло, то повинен
мiститися i симетричний йому атом B, який з кола робить вiдрiзок. Отже, приклеювання такої
пари атомiв додає до поверхнi смужку (приклеєний за протилежними сторонами квадрат), що у
свою чергу можна також отримати приклеюванням двох симетричних f -атомiв C. Це показано
на рис. 6. Тому далi замiнимо всi атоми B на атоми C. Така замiна змiнює функцiю, але не
змiнює поверхню та число критичних точок.
Рис. 6
Тодi кожна компонента зв’язностi кожного рiвня функцiї буде гомеоморфна вiдрiзку або
точцi. Отже, поверхня гомотопiчно еквiвалентна графу Рiба. Звiдси випливає, що ейлерова
характеристика поверхнi, як гомотопiчний iнварiант, дорiвнює ейлеровiй характеристицi вiдпо-
вiдного графа Рiба. Нехай граф Рiба має a вершин валентностi 1 (вони вiдповiдають за мiнiмуми
i максимуми) та b вершин валентностi 3 (вони вiдповiдають за сiдловi точки). Тодi граф має
a+b вершин i
3b+ a
2
ребер. Отже, ейлерова характеристика \chi = a+b - 3b+ a
2
=
a - b
2
. Звiдси
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
34 Б. I. ГЛАДИШ, О. О. ПРИШЛЯК
b = a - 2\chi та число критичних точок дорiвнює a+ b = 2a - 2\chi \geq 4 - 2\chi , бо a \geq 2 (оскiльки у
функцiї на компактi завжди є точка мiнiмуму i точка максимуму).
1. Розглянемо поверхнi, зображенi на рис. 7, та mm-функцiю f. На рис. 7, а зображено
орiєнтовану поверхню роду g з k компонентами межi — двовимiрний диск з k - 1 смужкою та
g - k + 1 парою перехрещених смужок. На рис. 7, б зображено неорiєнтовану поверхню роду
g з k компонентами межi — двовимiрний диск з k - 1 смужкою та g - k + 1 листком Мебiуса.
Функцiя f має рiвно один локальний мiнiмум i один локальний максимум i, отже, загальне
число її критичних точок дорiвнює 4 - 2\chi . Це означає, що вона має найменше можливе число
критичних точок на данiй поверхнi, тобто є оптимальною.
2. Далi припустимо, що mm-функцiя має принаймнi двi точки максимуму чи мiнiмуму,
тобто a \geq 3. Тодi загальне число її критичних точок 2a - 2\chi \geq 6 - 2\chi > 4 - 2\chi , де 4 - 2\chi —
число критичних точок заданої у п. 1 mm-функцiї. Це означає, що дана mm-функцiя не буде
оптимальною.
Лему доведено.
а
б
Рис. 7
Нехай f — mm-функцiя на поверхнi M. Через c+0 позначимо число критичних точок функцiї
f iндексу (0, 1), c - 0 — (0, - 1), c+1 — (1,+1), c - 1 — (1, - 1).
Лема 2. Нехай f : M \rightarrow \Re — оптимальна mm-функцiя на поверхнi M. Тодi ейлерова
характеристика поверхнi дорiвнює \chi (M) =
c+0 - c - 0 - c+1 + c - 1
2
.
Доведення. Розглянемо таке подвоєння DM поверхнi M, що атлас в точках межi задо-
вольняє умови теореми 1 i зауваження 2. Тодi функцiю f можна симетрично продовжити до
оптимальної mm-функцiї на DM. Звiдси \chi (DM) = 2\chi (M) - \chi (\partial M) = 2\chi (M), оскiльки
межа поверхнi \partial M є диз’юнктним об’єднанням кiл S1, а тому \chi (\partial M) = 0. Таким чином,
\chi (M) =
1
2
\chi (DM).
З iншого боку, всi критичнi точки на поверхнi DM будуть внутрiшнiми, тому має мiсце
рiвнiсть Морса [3, с. 223] \chi (M) = c0 - c1 + c2, де ci — число критичних точок iндексу i,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ФУНКЦIЇ З НЕВИРОДЖЕНИМИ КРИТИЧНИМИ ТОЧКАМИ НА МЕЖI ПОВЕРХНI 35
i = 0, 2. З останньої рiвностi, пiдставляючи c0 = c+0 , c1 = c - 0 + c+1 , c2 = c - 1 , отримуємо
\chi (M) =
c+0 - (c - 0 + c+1 ) + c - 1
2
.
Теорема 3. Оптимальна mm-функцiя на орiєнтованiй поверхнi роду g з k компонентами
межi має 4g + 2k критичних точок, а на неорiєнтованiй поверхнi роду g з k компонентами
межi — 2g + 2k критичних точок.
Доведення. Нехай M — поверхня роду g з k компонентами межi, f — оптимальна mm-
функцiя на нiй. Зауважимо, що збiльшення компонент межi зменшує ейлерову характеристику,
оскiльки воно рiвносильне приклеюванню смужки. Тодi \chi (M) = 2 - 2g - k для орiєнтованого
випадку i \chi (M) = 2 - g - k у випадку неорiєнтованої поверхнi M.
З iншого боку, з леми 2 отримуємо \chi (M) =
c+0 - c - 0 - c+1 + c - 1
2
=
2 - c - 0 - c+1
2
, оскiльки
згiдно з лемою 1 оптимальна mm-функцiя має рiвно один мiнiмум i рiвно один максимум, якi
вiдповiдають критичним точкам iндексу (0,+1) i (1, - 1) вiдповiдно.
Далi елементарними перетвореннями отримаємо c+0 + c - 0 + c+1 + c - 1 = 4g + 2k i c+0 + c - 0 +
+ c+1 + c - 1 = 2g + 2k для орiєнтованого i неорiєнтованого випадкiв вiдповiдно, що i доводить
теорему.
Природно виникає питання: чи кожну функцiю Морса, задану на межi поверхнi, можна
продовжити на всю поверхню до оптимальної mm-функцiї з однозв’язними компонентами
рiвня?
Вiдразу ж з останньої теореми можна зробити висновок, що необхiдною умовою є те, що
для орiєнтованої (неорiєнтованої) поверхнi роду g з k компонентами межi функцiя повинна
мати 4g + 2k (2g + 2k) критичних точок.
Розглянемо випадок орiєнтованої поверхнi M роду g з однiєю компонентою межi. Тодi
число критичних точок оптимальної функцiї дорiвнює 4g + 2.
Теорема 4. Нехай f — функцiя Морса, задана на межi орiєнтованої поверхнi M роду
g з однiєю компонентою межi, яка має 4g + 2 критичнi точки з критичними значеннями
c1, c2, . . . , c4g+2 (c1 < c2 < . . . < c4g+2). Тодi якщо функцiю f можна продовжити на всю по-
верхню до оптимальної mm-функцiї з однозв’язними компонентами рiвня, то справджуються
такi твердження:
(i) першi три критичнi значення c1, c2, c3 функцiї f (як функцiї на колi) вiдповiдають
точкам локального мiнiмуму;
(ii) cеред критичних значень c4, c5, . . . , c4i+3 є принаймнi 2i значень, якi вiдповiдають
точкам локального мiнiмуму, для всiх натуральних i таких, що 4i+ 3 \leq 4g + 2.
Доведення. Зауважимо, що оскiльки компоненти множин рiвня однозв’язнi, то поверхня M
мiстить лише атоми A i C. З теореми 3 для поверхнi M маємо \chi (M) = 1 - 2g. Також оскiльки
точки, якi вiдповiдають числам мiнiмуму, збiльшують число компонент лiнiй рiвня на 1, а точки,
якi вiдповiдають числам максимуму, зменшують їх на 1, то для довiльного регулярного значення
a функцiї f частина поверхнi f - 1(( - \infty , a)) мiстить бiльше точок локального мiнiмуму, нiж
максимуму.
Припустимо, вiд супротивного, що (i) не виконується. Тодi за умовою теореми значення c1
є найменшим критичним значенням, тобто вiдповiдає точцi мiнiмуму на колi. Значення c2 не
може бути локальним максимумом, оскiльки двi сусiднi критичнi точки на колi будуть мати
значення меншi за c2, i тодi c2 буде щонайменше третiм за зростанням критичним значенням,
що суперечить умовi теореми. Таким чином, залишився випадок, коли c3 вiдповiдає точцi
максимуму. Розглянемо частину поверхнi f - 1(( - \infty , c3 + \varepsilon ]) для достатньо малого \varepsilon . Тодi лiнiя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
36 Б. I. ГЛАДИШ, О. О. ПРИШЛЯК
рiвня f - 1(c3 + \varepsilon ) має одну компоненту зв’язностi. Приклєїмо до поверхнi f - 1(( - \infty , c3 + \varepsilon ])
двовимiрний пiвдиск D2
+ = \{ (x, y) \in D2| y \geq 0\} за гомеоморфiзмом, що вiдображає [ - 1, 1]\times 0
у f - 1(c3 + \varepsilon ), i продовжимо функцiю на пiвдиск за формулою f(x, y) = y + c3 + \varepsilon . Тодi
згiдно з лемою 2 ейлерова характеристика отриманої поверхнi M \prime \chi (M \prime ) = 0. Це означає,
що M \prime мiстить принаймнi двi компоненти межi. Оскiльки решта (пiсля третього) атомiв не
будуть приклеюватись до однiєї з цих компонент межi, то число компонент межi може тiльки
збiльшитись. Отримана суперечнiсть доводить твердження (i).
По-iншому у справедливостi твердження (i) можна переконатися за допомогою послiдовної
склейки атомiв A i C, а саме, атоми A1 i C1 приклеюються однозначно. Це показує, що значення
c1 i c2 вiдповiдають точкам мiнiмуму. Далi, якщо приклеювати атом C1 (однозначно з точнiстю
до симетричностi), то c3 теж буде вiдповiдати точцi мiнiмуму, а якщо атом C2 (це можна зробити
двома способами), то ми отримаємо двi компоненти межi. Це призводить до суперечностi, тому
c3 теж буде вiдповiдати точцi мiнiмуму (рис. 8).
Рис. 8
Припустимо, що (ii) не виконується. Тодi серед критичних значень c4, . . . , c4i+3 є принаймнi
2i+1, якi вiдповiдають точкам максимуму, i вiдповiдно не бiльше 2i - 1, якi вiдповiдають точкам
мiнiмуму. Звiдси серед c1, c2, . . . , c4i+3 не бiльше 2i - 1 + 3 = 2i + 2 вiдповiдають точкам
мiнiмуму. Згiдно iз зауваженням на початку доведення, для будь-якого регулярного значення
функцiї серед критичних точок з меншим значенням є не менше локальних мiнiмумiв, нiж
локальних максимумiв. Це означає, що серед критичних значень c1, . . . , c4i+3 рiвно 2i + 1
вiдповiдають точкам максимуму i 2i+ 2 — точкам мiнiмуму.
Таким чином, f - 1((c4i+3 + \varepsilon ) має одну компоненту зв’язностi. Як i ранiше, приклеїмо до
неї двовимiрний пiвдиск D2
+, i з леми 2 отримаємо, що ейлерова характеристика отриманої
поверхнi M \prime \chi (M \prime ) =
1 - (2i+ 1) - (2i+ 1) + 1
2
= - 2i. Звiдси випливає, що межа поверхнi
M \prime має парне число компонент, а отже, мiстить принаймнi двi компоненти межi. Отримуємо
суперечнiсть.
Теорему доведено.
Нехай f — mm-функцiя з n критичними точками. Як у роботi Арнольда [11], поставимо
їй у вiдповiднiсть пiдстановку таким чином: занумеруємо критичнi точки вiд 1 до n в порядку
зростання значень функцiї f в них. Нехай число i вiдповiдає критичному значенню функцiї
ci, i = 1, n. Рухаючись по межi поверхнi, починаючи вiд точки мiнiмуму, запишемо номери
критичних точок. Отримаємо пiдстановку на n числах. Число ai пiдстановки (1a1a2 . . . an - 1)
називатимемо числом максимуму, якщо ai - 1 < ai i ai+1 < ai, та числом мiнiмуму, якщо
ai - 1 > ai i ai+1 > ai, i = 1, n - 2, де a0 = 1. Зауважимо, що у так побудованiй пiдстановцi
(1a1a2 . . . an - 1) числа мiнiмуму i числа максимуму чергуються, а пiдстановки (1a1a2 . . . an - 1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ФУНКЦIЇ З НЕВИРОДЖЕНИМИ КРИТИЧНИМИ ТОЧКАМИ НА МЕЖI ПОВЕРХНI 37
i (1an - 1an - 2 . . . a1) задають одну i ту ж поверхню з точнiстю до напрямку проходження.
Крiм того, числу мiнiмуму вiдповiдає точка локального мiнiмуму функцiї на колi, а числу
максимуму — точка локального максимуму.
Приклад. Розглянемо випадок орiєнтованої поверхнi роду 1 з однiєю компонентою межi
(тор з дiркою). Тодi за теоремою 3 оптимальна mm-функцiя має 6 критичних точок. Число
функцiй Морса на колi з 6 критичними точками дорiвнює числу вiдповiдних пiдстановок, а са-
ме 16. Серед цих пiдстановок 4 не задовольняють умови теореми 4. Це пiдстановки (164523),
(154623), (132645), (132546). Отже, вiдповiднi функцiї Морса не можна продовжити на всю
поверхню до mm-функцiй з однозв’язними компонентами рiвня. Решту пiдстановок можна
отримати при проходженнi межi поверхонь, склеєних з атомiв A i C. Якщо зафiксувати напря-
мок проходження, то кожнiй пiдстановцi вiдповiдатиме одна поверхня, в противному разi —
двi. Зауважимо, що якщо не вимагати однозв’язностi компонент рiвня, тобто крiм атомiв A
i C можливi атоми B, то всi пiдстановки на торi з дiркою можуть бути реалiзованi mm-
функцiями. Зокрема, зазначеним вище чотирьом пiдстановкам вiдповiдає така послiдовнiсть
атомiв: A1C1B1B2C2A2.
4. Висновки. Доведено аналог теореми Морса для функцiй, критичнi точки яких лежать
на межi многовиду. Знайдено число критичних точок оптимальної функцiї Морса на поверхнi,
обмеження якої на межу теж є функцiєю Морса i всi критичнi точки лежать на межi поверхнi.
Вiдкритим залишається питання про те, чи кожну функцiю Морса, задану на межi поверхнi
роду g з k компонентами межi, можна продовжити до функцiї Морса з тими самими критичними
точками.
Автори сподiваються, що доведенi у цiй статтi теореми можна буде узагальнити для функцiй
з iзольованими критичними точками.
Лiтература
1. Милнор Дж., Уолес А. Дифференциальная топология. – М.: Мир, 1972. – 279 с.
2. Jankowski A., Rubinsztein R. Functions with non-degenerate critical points on manifolds with boundary // Comment.
Math. Prace Mat. – 1972. – 16. – P. 99 – 112.
3. Reeb G. Sur les points singulies de une forme de Pfaff completement integrable ou de une function numerique //
Comp. Rend. Hebdomadaires Seaces Acad. Sci. – 1954. – 222. – P. 847 – 849.
4. Кронрод А. С. О функциях двух переменных // Успехи мат. наук. – 1950. – 5, № 1(35). – С. 24 – 112.
5. Шарко В. В. Функции на поверхностях // Некоторые вопросы совр. математики: Труды Ин-та математики
НАН Украины. – 1998. – 25. – С. 408 – 434.
6. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновые системы. Геометрия, топология, классификация:
В 2 т. – Ижевск: Изд. дом „Удмурд. ун-т”, 1999. – Т. 1. – 444 с.
7. Максименко С. I. Еквiвалентнiсть m-функцiй на поверхнях // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 8. – С. 1129 – 1135.
8. Пришляк О. О. Функцiї загального положення на поверхнях з межею // Вiсн. Київ. ун-ту iм. Т. Шевченка.
Математика. Механiка. – 2008. – № 20. – С. 77 – 79.
9. Matsumoto Y. An introduction to Morse theory. – Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1985. – Vol. 208. –
237 p.
10. Borodzik M., Nemethi A., Ranicki A. Morse theory for manyfolds with boundary. – 2014. – 38 p. – (arXiv:1207.
3066v4[math. GT]).
11. Арнольд В. И. Исчисление змей и комбинаторика чисел Бернулли, Ейлера и Спингера груп Кокстера // Успехи
мат. наук. – 1992. — 47, № 1(283). – С. 3 – 45.
Одержано 18.03.15,
пiсля доопрацювання — 11.10.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1819 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:13Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/da/2d1aa05066d46511fec7459a336d6eda.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18192019-12-05T09:28:56Z Functions with nondegenerate critical points on the boundary of the surface Функції з невиродженими критичними точками на межі поверхні Hladysh, B. I. Prishlyak, O. O. Гладиш, Б. І. Пришляк, О. О. We prove an analog of the Morse theorem in the case where the critical point belongs to the boundary of an $n$-dimensional manifold and find the least number of critical points for the Morse functions defined on the surfaces whose critical points coincide with the critical points of their restriction to boundary. Доказан аналог теоремы Морса в случае, когда критическая точка лежит на границе $n$-мерного многообразия. Найдено минимальное число критических точек для функций Морса на поверхности, у которых критические точки совпадают с критическими точками их ограничения на границу поверхности. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1819 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 1 (2016); 28-37 Український математичний журнал; Том 68 № 1 (2016); 28-37 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1819/801 Copyright (c) 2016 Hladysh B. I.; Prishlyak O. O. |
| spellingShingle | Hladysh, B. I. Prishlyak, O. O. Гладиш, Б. І. Пришляк, О. О. Functions with nondegenerate critical points on the boundary of the surface |
| title | Functions with nondegenerate critical points on the boundary of the surface |
| title_alt | Функції з невиродженими критичними точками на межі поверхні |
| title_full | Functions with nondegenerate critical points on the boundary of the surface |
| title_fullStr | Functions with nondegenerate critical points on the boundary of the surface |
| title_full_unstemmed | Functions with nondegenerate critical points on the boundary of the surface |
| title_short | Functions with nondegenerate critical points on the boundary of the surface |
| title_sort | functions with nondegenerate critical points on the boundary of the surface |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1819 |
| work_keys_str_mv | AT hladyshbi functionswithnondegeneratecriticalpointsontheboundaryofthesurface AT prishlyakoo functionswithnondegeneratecriticalpointsontheboundaryofthesurface AT gladišbí functionswithnondegeneratecriticalpointsontheboundaryofthesurface AT prišlâkoo functionswithnondegeneratecriticalpointsontheboundaryofthesurface AT hladyshbi funkcííznevirodženimikritičnimitočkaminamežípoverhní AT prishlyakoo funkcííznevirodženimikritičnimitočkaminamežípoverhní AT gladišbí funkcííznevirodženimikritičnimitočkaminamežípoverhní AT prišlâkoo funkcííznevirodženimikritičnimitočkaminamežípoverhní |