Degenerate Backlund transformation
A concept of degenerate B¨acklund transformation is introduced for two-dimensional surfaces in many-dimensional Euclidean spaces. It is shown that if a surface in $R^n, n \geq 4$, admits a degenerate B¨acklund transformation, then this surface is pseudospherical, i.e., its Gauss curvature is consta...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1820 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507685640732672 |
|---|---|
| author | Gor'kavyi, V. A. Nevmerzhitskaya, E. N. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. |
| author_facet | Gor'kavyi, V. A. Nevmerzhitskaya, E. N. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. |
| author_sort | Gor'kavyi, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:28:56Z |
| description | A concept of degenerate B¨acklund transformation is introduced for two-dimensional surfaces in many-dimensional Euclidean spaces. It is shown that if a surface in $R^n, n \geq 4$, admits a degenerate B¨acklund transformation, then this surface is pseudospherical, i.e., its Gauss curvature is constant and negative. The complete classification of pseudospherical surfaces in $R^n, n \geq 4$ that admit degenerate Bianchi transformations is obtained. Moreover, we also obtain a complete classification of pseudospherical surfaces in $R^n, n \geq 4$, admitting degenerate Backlund transformations into straight lines. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514
В. А. Горькавый (Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков),
Е. Н. Невмержицкая (Харьков. нац. ун-т им. В. Н. Каразина)
ВЫРОЖДЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА
A concept of degenerate Bäcklund transformation is introduced for two-dimensional surfaces in many-dimensional
Euclidean spaces. It is shown that if a surface in \BbbR n, n \geq 4, admits a degenerate Bäcklund transformation, then this
surface is pseudospherical, i.e., its Gauss curvature is constant and negative. The complete classification of pseudospherical
surfaces in \BbbR n, n \geq 4 that admit degenerate Bianchi transformations is obtained. Moreover, we also obtain a complete
classification of pseudospherical surfaces in \BbbR n, n \geq 4, admitting degenerate Bäcklund transformations into straight lines.
Введено поняття виродженого перетворення Беклунда для двовимiрних поверхонь у багатовимiрному евклiдовому
просторi. Доведено, що якщо поверхня в \BbbR n, n \geq 4, допускає вироджене перетворення Беклунда, то вона є
псевдосферичною, тобто має сталу вiд’ємну гауссову кривину. Повнiстю описано псевдосферичнi поверхнi в \BbbR n,
n \geq 4, що допускають вироджене перетворення Бьянкi, а також псевдосферичнi поверхнi в \BbbR n, n \geq 4, що
допускають вироджене перетворення Беклунда, результуючою кривою якого є пряма.
Введение. Работа посвящена вопросам обобщения классической теории преобразований Бэк-
лунда двумерных псевдосферических поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве
\BbbR 3 на случай двумерных поверхностей в многомерном евклидовом пространстве \BbbR n, n \geq 4.
Данная проблематика была инициирована работами Ю. А. Аминова и А. Сыма [1, 2], а затем
получила развитие в работах авторов (см., например, [5 – 9] и обзор [10]). Проведенные иссле-
дования показали, что, с одной стороны, часть классических результатов успешно переносится
на случай поверхностей в \BbbR n, n \geq 4, тогда как, с другой стороны, некоторые результаты уже
перестают быть справедливыми, чем и объясняется интерес к этому направлению.
В классической теории понятие преобразования Бэклунда для двумерных поверхностей в
\BbbR 3 опирается на следующую геометрическую конструкцию (см. [3], гл. 10, § 25, [14], гл. I, § 4).
Определение 1. Диффеоморфизм поверхностей \psi : F 2 \rightarrow \~F 2 в \BbbR 3 называется преобразо-
ванием Бэклунда, если для любой точки P \in F 2 выполнены следующие условия:
(B1) прямая в \BbbR 3, соединяющая P \in F 2 с соответствующей по отображению \psi точкой
\~P = \psi (P ) \in \~F 2, касается обеих поверхностей в указанных точках;
(B2) расстояние между P \in F 2 и \~P \in \~F 2 равно фиксированному l0 > 0, не зависящему
от P \in F 2;
(B3) угол между касательными плоскостями поверхностей TPF 2 и T \~P
\~F 2 равен фиксиро-
ванному \omega 0 \in (0, \pi /2], не зависящему от P \in F 2.
Известно, что если две поверхности в \BbbR 3 соединены преобразованием Бэклунда, то обе
поверхности являются псевдосферическими, т. е. имеют постоянные отрицательные гауссовы
кривизны, K = \~K = - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0/l
2
0. Более того, каждая псевдосферическая поверхность в \BbbR 3
локально допускает непрерывное семейство различных преобразований Бэклунда. Это дает
возможность по заданной псевдосферической поверхности построить цепочку новых псев-
досферических поверхностей, последовательно применяя преобразования Бэклунда, при этом
между различными преобразованиями Бэклунда имеют место определенные коммутационные
соотношения [13] (гл. 3, § 2), [14] (гл. I, § 4).
c\bigcirc В. А. ГОРЬКАВЫЙ, Е. Н. НЕВМЕРЖИЦКАЯ, 2016
38 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ВЫРОЖДЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА 39
Частным случаем преобразования Бэклунда является преобразование Бьянки, соответствую-
щее значению \omega 0 = \pi /2. Оно имеет ряд исключительных свойств: в частности, преобразование
Бьянки достаточно просто описывается с помощью орициклических координат на псевдосфе-
рической поверхности (см. [3], гл. 10, § 24).
С аналитической точки зрения псевдосферические поверхности в \BbbR 3 интерпретируются
в терминах решений уравнения синус-Гордона
\partial 2W
\partial p\partial q
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}W, функция W (p, q) представля-
ет собой угол между координатными асимптотическими линиями чебышевской сети (p, q) на
поверхности (см. [11, 12] и [13], гл. 2, § 7). Соответственно, описанное выше понятие пре-
образования Бэклунда для псевдосферических поверхностей F \rightarrow \~F интерпретируется как
некоторое преобразование решений W \rightarrow \~W уравнения синус-Гордона, которое также назы-
вается преобразованием Бэклунда [13] (гл. 3, § 1), [14] (гл. I, § 5). Описанная конструкция и
заложенные в ней общие идеи преобразования решений нелинейных уравнений легли в основу
современной теории интегрируемых систем, в которой уравнение синус-Гордона играет роль
одного из наиболее фундаментальных и показательных примеров. Этим тоже, в определен-
ной степени, объясняется интерес к развитию и обобщению теории преобразований Бэклунда
псевдосферических поверхностей.
Особое значение имеют так называемые солитонные решения уравнения синус-Гордона,
в частности односолитонные решения W (p, q) = 4 arctg e\lambda p+q/\lambda . С геометрической точки зре-
ния этим решениям соответствуют специальные псевдосферические поверхности в \BbbR 3: по-
верхность Бельтрами, получающаяся вращением трактрисы, и поверхности Дини, получаю-
щиеся винтовым вращением трактрисы [13] (гл. 3, § 2 – 4). Для каждого односолитонного
решения уравнения синус-Гордона имеется преобразование Бэклунда, переводящее его в три-
виальное решение \~W \equiv 0. Соответствующее геометрическое преобразование для поверхностей
Бельтрами и Дини является вырожденным в том смысле, что результирующая поверхность \~F
вырождается в кривую, а именно в прямую (ось вращения). Конечно, такое вырожденное пре-
образование Бэклунда уже не удовлетворяет в полной мере требованиям определения 1.
Основной целью данной работы является обобщение описанной конструкции вырожденно-
го преобразования Бэклунда на случай двумерных поверхностей в многомерном евклидовом
пространстве \BbbR n, n \geq 3. Предлагаемый геометрический подход основывается на следующей
модификации определения 1.
Определение 2. Регулярное отображение \psi : F 2 \rightarrow \gamma поверхности F 2 в кривую \gamma в мно-
гомерном евклидовом пространстве \BbbR n, n \geq 3, назовем вырожденным преобразованием Бэк-
лунда, если для любой точки P \in F 2 выполнены следующие условия:
(DB1) прямая в \BbbR n, соединяющая P \in F 2 с соответствующей по отображению \psi точкой
\~P = \psi (P ) \in \gamma , касается поверхности F 2 в точке P ;
(DB2) расстояние между P \in F 2 и \~P \in \gamma равно фиксированному l0 > 0, не зависящему
от P \in F 2;
(DB3) угол между касательной плоскостью TPF
2 поверхности F 2 и плоскостью \Pi P ,
натянутой на прямую, соединяющую P \in F 2 с \~P \in \gamma , и касательную прямую кривой \gamma
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
40 В. А. ГОРЬКАВЫЙ, Е. Н. НЕВМЕРЖИЦКАЯ
в точке \~P , равен фиксированному \omega 0 \in (0, \pi /2], не зависящему от P \in F 2. 1
Вырожденное преобразование Бэклунда с \omega 0 = \pi /2 будем называть вырожденным преоб-
разованием Бьянки.
В работе доказан аналог теоремы Бэклунда: если поверхность F 2 в \BbbR n, n \geq 3, допускает
вырожденное преобразование Бэклунда, то F 2 является псевдосферической, ее гауссова кри-
визна равна K = - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0/l
2
0. При доказательстве этого утверждения приведены условия на
фундаментальные формы поверхности, являющиеся необходимыми и достаточными для того,
чтобы F 2 допускала вырожденное преобразование Бэклунда.
Затем рассмотрены обобщенные поверхности Бельтрами в \BbbR n, n \geq 4, введенные в работе
[8] как обобщение классической поверхности Бельтрами в \BbbR 3. Показано, что, как и поверхность
Бельтрами в \BbbR 3, обобщенные поверхности Бельтрами, и только эти поверхности в \BbbR n, n \geq 4,
допускают вырожденное преобразование Бьянки. Заметим, что любая регулярная кривая в
\BbbR n - 2 \subset \BbbR n, n \geq 3, может быть получена локально как образ некоторой области на обобщенной
поверхности Бельтрами под действием вырожденного преобразования Бьянки.
Далее, как обобщение классических поверхностей Дини в \BbbR 3, вводятся в рассмотрение
обобщенные поверхности Дини в \BbbR n, n \geq 4. Показано, что, как и поверхности Дини в \BbbR 3,
каждая обобщенная поверхность Дини в \BbbR n, n \geq 4 допускает вырожденное преобразование
Бэклунда с \omega 0 \not = \pi /2, при этом результирующая кривая \gamma представляет собой прямую в \BbbR n.
Доказано и обратное утверждение: если какая-либо поверхность F 2 в \BbbR n, n \geq 4, допускает
вырожденное преобразование Бэклунда с \omega 0 \not = \pi /2, при котором кривая \gamma представляет собой
интервал прямой в \BbbR n, то F 2 представляет собой область на обобщенной поверхности Дини.
Открытым остается вопрос о существовании и классификации псевдосферических поверх-
ностей в \BbbR n, n \geq 4, допускающих вырожденное преобразование Бэклунда с \omega 0 \not = \pi /2, при
котором результирующая кривая \gamma в \BbbR n отлична от прямой.
1. Вырожденное преобразование Бэклунда — необходимые и достаточные условия.
Рассмотрим регулярную поверхность F 2 в \BbbR n, n \geq 3, и некоторое ее преобразование \psi :
F 2 \rightarrow \~F . Прямые в \BbbR n, соединяющие соответствующие точки на F 2 и \~F , будут касаться
поверхности F 2, если их направляющие векторы задают касательное векторное поле X на F 2.
Не уменьшая общности, локальные координаты (u1, u2) на F 2 можно ввести таким образом,
чтобы X было коллинеарно \partial 1r, тогда преобразование \psi задается в виде 2
\~r = r +
l
| \partial 1r|
\partial 1r, (1)
где r(u1, u2) и \~r(u1, u2) — радиусы-векторы F 2 и \~F . Функция l(u1, u2) отвечает за расстояние
между соответствующими по отображению \psi точками на F 2 и \~F .
1Регулярность отображения \psi подразумевает, что плоскость \Pi P определена однозначно для любой точки P \in
\in F 2. Взаимное расположение пары двумерных подпространств в \BbbR n определяется двумя углами: стационарными
значениями углов между векторами из одного и другого подпространств [3] (гл. 8, § 14), [4]. Поскольку, благодаря
выполнению условия DB1, плоскости TPF
2 и \Pi P пересекаются по прямой, соединяющей точки P и \~P , один из
двух стационарных углов между этими плоскостями равен нулю, а второй стационарный угол \omega определяется как
угол между векторами в TPF
2 и T \~P
\~F 2
1 , ортогональными к прямой P \~P . Именно постоянство этого угла, \omega \equiv \omega 0, и
подразумевается в условии DB3.
2Здесь и в дальнейшем мы используем обозначения \partial j =
\partial
\partial uj
, \partial ij =
\partial 2
\partial ui\partial uj
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ВЫРОЖДЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА 41
Проанализируем, когда рассматриваемое преобразование \psi , задаваемое формулой (1), удо-
влетворяет всем требованиям из определения 2 и, таким образом, представляет собой вырож-
денное преобразование Бэклунда. Очевидно, условие (DB1) уже выполнено по построению, а
условие (DB2) выполняется тогда и только тогда, когда l \equiv l0.
Обозначим через g = \langle dr, dr\rangle = gijdu
iduj первую фундаментальную форму поверхности,
\Gamma k
ij — символы Кристоффеля, N1, . . . , Nn - 2 — ортонормированный базис нормалей на F 2,
L\sigma = \langle d2r,N\sigma \rangle = L\sigma
ijdu
iduj — соответствующие вторые фундаментальные формы, \mu \nu \sigma =
= \langle dN\nu , N\sigma \rangle = \mu \nu \sigma | jdu
j — формы кручения. Для упрощения выкладок можно специализировать
выбор локальных координат (u1, u2) так, чтобы они были ортогональными:
g12 \equiv 0. (2)
Записывая представление для \psi в виде
\~r = r +
l0\surd
g11
\partial 1r (3)
и дифференцируя (3) c применением деривационных формул Вейнгартена, получаем
\partial 1\~r = \partial 1r +
l0\surd
g11
\Gamma 2
11\partial 2r +
l0\surd
g11
n - 2\sum
\sigma =1
L\sigma
11N\sigma , (4)
\partial 2\~r =
\biggl(
1 + l0
\Gamma 2
12\surd
g11
\biggr)
\partial 2r +
l0\surd
g11
n - 2\sum
\sigma =1
L\sigma
12N\sigma . (5)
Преобразованная поверхность \~F будет вырождаться в некоторую кривую \gamma тогда и только
тогда, когда бивектор [\partial 1\~r, \partial 2\~r] \equiv 0. Принимая во внимание (4), (5), легко видеть, что \partial 1\~r не
обращается в нуль, а \partial 2\~r будет коллинеарным \partial 1\~r тогда и только тогда, когда \partial 2\~r \equiv 0, т. е. когда
выполнены условия
L\sigma
12 \equiv 0, 1 \leq \sigma \leq n - 2, (6)
1 + l0
\Gamma 2
12\surd
g11
\equiv 0. (7)
В этом случае вектор-функция \~r зависит только от u1 и задает некоторую регулярную кривую
\gamma .
Проверим выполнение условия (DB3). Для каждой точки P \in F 2 касательная плоскость
TPF
2 натянута на пару векторов \partial 1r, \partial 2r. В свою очередь, плоскость \Pi P натянута на векторы
\partial 1r (направляющий вектор прямой, соединяющей P \in F 2 с \psi (P ) \in \gamma ) и \partial 1\~r (касательный
вектор кривой \gamma в точке \psi (P )). Плоскости TPF 2 и \Pi P пересекаются по прямой с направляющим
вектором \partial 1r. Ортогональным к \partial 1r вектором в TPF 2 будет вектор \zeta = \partial 2r, а ортогональным
к \partial 1r вектором в \Pi P — вектор
\~\zeta = \langle \partial 1r, \partial 1r\rangle \partial 1\~r - \langle \partial 1r, \partial 1\~r\rangle \partial 1r =
l0\surd
g11
\Gamma 2
11\partial 2r +
l0\surd
g11
n - 2\sum
\sigma =1
L\sigma
11N\sigma .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
42 В. А. ГОРЬКАВЫЙ, Е. Н. НЕВМЕРЖИЦКАЯ
Угол \omega между плоскостями TPF 2 и \Pi P определяется углом между векторами \zeta и \~\zeta .Постоянство
угла \omega \equiv \omega 0 означает, что \langle \zeta , \~\zeta \rangle 2 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \omega 0| \zeta | 2| \~\zeta | 2. Подставляя указанные выше выражения для
\zeta и \~\zeta , убеждаемся, что условие (DB3) будет выполняться тогда и только тогда, когда
g22
\bigl(
\Gamma 2
11
\bigr) 2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \omega 0
n - 2\sum
\sigma =1
(L\sigma
11)
2 . (8)
Таким образом, имеет место следующая лемма.
Лемма 1. Регулярная поверхность F 2 в \BbbR n, n \geq 3, допускает вырожденное преобразова-
ние Бэклунда тогда и только тогда, когда локально поверхность F 2 может быть парамет-
ризована ортогональными координатами (u1, u2) так, что выполнены условия (6) – (8). При
этом упомянутое вырожденное преобразование Бэклунда задается формулой (3).
Заметим, что условия (2), (6) – (8), как и выражение (3) для рассматриваемого преобразо-
вания \psi , являются инвариантными относительно шкалирующих замен координат u1 = u1(\^u1),
u2 = u2(\^u2) с
du2
d\^u2
> 0. Если же
du2
d\^u2
< 0, то (2), (6), (8) будут по-прежнему инвариантными,
тогда как в (3) и (7) следует изменить знак, т. е. суммы заменить разностями.
Следствием леммы 1 является следующее утверждение, представляющее один из основных
результатов статьи.
Теорема 1. Если регулярная поверхность F 2 в \BbbR n, n \geq 3, допускает вырожденное преоб-
разование Бэклунда, то F 2 является псевдосферической, ее гауссова кривизна равна
K \equiv - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0
l20
.
Доказательство. Предположим сначала, что \omega 0 = \pi /2. Тогда из (8) следует, что \Gamma 2
11 \equiv 0,
т. е. \partial 2g11 = 0. Это означает, что g11 зависит только от u1, поэтому, выполнив шкалирующую за-
мену координат u1 \rightarrow \^u1 =
\int
\surd
g11du
1, можно положить g11 = 1. В этом случае из (7) следует,
что \partial 1g22 = - 2
l0
g22, т. е. g22 = e
- 2
l0
u1
h, где h = h(u2) — произвольная положительная функция.
Выполнив шкалирующую замену координат u2 \rightarrow \^u2 =
\int \surd
hdu2, можно положить h \equiv 1. Та-
ким образом, получаем, что метрика поверхности F 2 имеет вид ds2 = (du1)2 + e
- 2
l0
u1
(du2)2,
а это в точности метрика плоскости Лобачевского кривизны K \equiv - 1
l20
в орициклических ко-
ординатах (u1, u2). Заметим, что само вырожденное преобразование Бьянки в этом случае
принимает вид
\~r = r + l0 \partial 1r. (9)
Предположим теперь, что \omega 0 \not = \pi /2. Условия (2) и (6) означают, что координатные линии на
F 2 образуют сеть линий кривизны. Как следствие, F 2 имеет плоскую нормальную связность,
и поэтому ортонормированный базис нормалей N1, . . . , Nn - 2 на F 2 можно выбрать таким
образом, что все формы кручения \mu \nu \sigma \equiv 0. В этом случае фундаментальные уравнения Гаусса –
Кодацци – Риччи для поверхности F 2 принимают вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ВЫРОЖДЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА 43
R1212 =
n - 2\sum
\sigma =1
L\sigma
11L
\sigma
22, (10)
\partial 2L
\sigma
11 + \Gamma 2
11L
\sigma
22 - \Gamma 1
12L
\sigma
11 = 0, 1 \leq \sigma \leq n - 2, (11)
\partial 1L
\sigma
22 + \Gamma 1
22L
\sigma
11 - \Gamma 2
12L
\sigma
22 = 0, 1 \leq \sigma \leq n - 2. (12)
Здесь через R1212 обозначен коэффициент риманова тензора:
R1212 = g22
\bigl(
\partial 2\Gamma
2
11 - \partial 1\Gamma
2
12 + \Gamma 1
11\Gamma
2
12 + \Gamma 2
11\Gamma
2
22 - \Gamma 1
12\Gamma
2
11 - \Gamma 2
12\Gamma
2
12
\bigr)
. (13)
Проанализируем (10) – (12) вместе с (2), (6) – (8).
Домножая (12) на L\sigma
11 и суммируя по \sigma , с учетом (10) получаем
1
2
\partial 2
\Biggl(
n - 2\sum
\sigma =1
(L\sigma
11)
2
\Biggr)
+ \Gamma 2
11R1212 - \Gamma 1
12
n - 2\sum
\sigma =1
(L\sigma
11)
2 = 0. (14)
Записывая (8) в виде
\sum n - 2
\sigma =1 (L
\sigma
11)
2 = g22
\bigl(
\Gamma 2
11
\bigr) 2
tg2\omega 0 и подставляя в (14), имеем
1
2
\partial 2(g22
\bigl(
\Gamma 2
11
\bigr) 2
tg2\omega 0) + \Gamma 2
11R1212 - \Gamma 1
12g22
\bigl(
\Gamma 2
11
\bigr) 2
tg2\omega 0 = 0,
или, после упрощения,
\Gamma 2
11
\bigl(
R1212 + tg2\omega 0 g22
\bigl(
\partial 2\Gamma
2
11 + \Gamma 2
22\Gamma
2
11 - \Gamma 1
12g22\Gamma
2
11
\bigr) \bigr)
= 0. (15)
Если бы \Gamma 2
11 \equiv 0, то, с одной стороны, с учетом (7) снова получили бы, что метрика
поверхности F 2 приводится к виду ds2 = (du1)2 + e
- 2
l0
u1
(du2)2, а сама поверхность имеет
гауссову кривизну K \equiv - 1
l20
. С другой стороны, из (8) при \Gamma 2
11 \equiv 0 следует, что L1
11 = . . .
. . . = Ln - 2
11 \equiv 0, а в силу (10) это означало бы, что гауссова кривизна F 2 равна нулю, K \equiv 0.
Противоречие.
Поэтому \Gamma 2
11 \not = 0, и из (15) находим
R1212 = - tg2\omega 0 g22
\bigl(
\partial 2\Gamma
2
11 + \Gamma 2
22\Gamma
2
11 - \Gamma 1
12\Gamma
2
11
\bigr)
. (16)
Из (13) и (16) следует, что
R1212 = - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0 g22
\bigl(
\partial 1\Gamma
2
12 - \Gamma 1
11\Gamma
2
12 + \Gamma 2
12\Gamma
2
12
\bigr)
,
и тогда с учетом
\surd
g11\partial 1
\Gamma 2
12\surd
g11
= \partial 1\Gamma
2
12 - \Gamma 1
11\Gamma
2
12 получаем
R1212 = - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0 g22
\biggl(
\surd
g11 \partial 1
\biggl(
\Gamma 2
12\surd
g11
\biggr)
+ \Gamma 2
12\Gamma
2
12
\biggr)
. (17)
Но \Gamma 2
12 = - 1
l0
\surd
g11 в силу (7), поэтому (17) сводится к виду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
44 В. А. ГОРЬКАВЫЙ, Е. Н. НЕВМЕРЖИЦКАЯ
R1212 = - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0
l20
g11g22.
Это означает, что гауссова кривизна поверхности F 2 равна K =
R1212
g11g22
\equiv - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0
l20
, что и
требовалось доказать.
Таким образом, вырожденное преобразование Бэклунда можно построить только для псев-
досферических поверхностей в \BbbR n. Естественно, возникает вопрос о том, какие именно псевдо-
сферические поверхности в \BbbR n допускают вырожденное преобразование Бэклунда. Частичному
ответу на этот вопрос и будет посвящена оставшаяся часть работы. Для простоты будем пред-
полагать далее, что l0 = 1. Это не уменьшает общности, поскольку при произвольном l0 мы
всегда можем использовать гомотетию с коэффициентом \lambda = 1/l0. Условия (DB1) – (DB3) из
определения 2, очевидно, инвариантны относительно таких преобразований в \BbbR n.
2. Обобщенные поверхности Бельтрами и вырожденное преобразование Бьянки. В
работе [8] был введен в рассмотрение следующий класс псевдосферических поверхностей в
\BbbR n, n \geq 3.
Определение 3. Обобщенной поверхностью Бельтрами в \BbbR n, n \geq 3, называется двумер-
ная поверхность, задаваемая радиусом-вектором
r(u1, u2) = e - u1
\rho (u2) + \xi (u1), (18)
где \rho (u2) \in \BbbR m, m \geq 2, и \xi (u1) \in \BbbR k, k \geq 1, — вектор-функции со значениями во взаимно
ортогональных подпространствах в \BbbR n = \BbbR m \oplus \BbbR k, удовлетворяющие условиям\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\xi du1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 = 1 - e - 2u1
, (19)
\bigm| \bigm| \rho (u2)\bigm| \bigm| \equiv 1,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\rho du2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \equiv 1. (20)
В простейшем случае при m = 2, k = 1 получаем классическую поверхность Бельтрами в
\BbbR 3, задаваемую радиусом-вектором
r(u1, u2) = e - u1 \bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u2, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u2, 0
\bigr)
+
\bigl(
0, 0, \varsigma (u1)
\bigr)
,
где \varsigma (u1) =
\int \sqrt{}
1 - e - 2u1du1 = u1 -
\sqrt{}
1 - e - 2u1 + \mathrm{l}\mathrm{n}(1 +
\sqrt{}
1 - e - 2u1).
При других значениях m \geq 2, k \geq 1 возникает содержательный набор разнообразных
поверхностей в \BbbR n, n \geq 4. В работе [8] показано, что каждая из этих поверхностей, по аналогии
с поверхностью Бельтрами, является псевдосферической, ее гауссова кривизна равна K \equiv - 1,
координаты (u1, u2) являются орициклическими, т. е. метрика поверхности имеет вид ds2 =
= (du1)2 + e - 2u1
(du2)2, а преобразование по формуле \~r = r + \partial 1r переводит поверхность в
кривую с радиусом-вектором \~r = \xi +
d\xi
du1
.
Оказывается, обобщенными поверхностями Бельтрами исчерпываются псевдосферические
поверхности в \BbbR n, n \geq 4, допускающие вырожденное преобразование Бьянки в смысле расмат-
риваемого в данной работе oпределения 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ВЫРОЖДЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА 45
Теорема 2. Пусть F 2 — обобщенная поверхность Бельтрами в \BbbR n, n \geq 4, заданная
радиусом-вектором (18), удовлетворяющим (19), (20). Тогда преобразование \~r = r + \partial 1r удо-
влетворяет требованиям oпределения 2 при l0 = 1, \omega 0 = \pi /2 и, таким образом, задает
вырожденное преобразование Бьянки.
Обратно, если регулярная поверхность в \BbbR n, n \geq 4, допускает вырожденное преобразова-
ние Бьянки с l0 = 1, то эта поверхность представляет собой, с точностью до движения в \BbbR n,
область на обобщенной поверхности Бельтрами, задаваемой радиусом-вектором (18), удов-
летворяющим (19), (20), а соответствующее вырожденное преобразование Бьянки задается
формулой \~r = r + \partial 1r.
Доказательство. Пусть F 2 — обобщенная поверхность Бельтрами в \BbbR n, n \geq 4, заданная
радиусом-вектором (18), удовлетворяющим (19), (20). Дифференцируя (18), находим
\partial 1r = - e - u1
\rho +
d\xi
du1
, \partial 2r = e - u1 d\rho
du2
, (21)
\partial 12r = - e - u1 d\rho
du2
. (22)
Из (21) с учетом (19), (20) следует, что метрика поверхности F 2 имеет вид ds2 = (du1)2 +
+ e - 2u1
(du2)2, и, как следствие, \Gamma 2
12 = - 1, \Gamma 2
11 = 0. А из (22) вытекает, что \partial 12r = - \partial 2r, и,
значит, L\sigma
12 = 0, 1 \leq \sigma \leq n. Поэтому если положить l0 = 1, \omega 0 = \pi /2, то условия (6) – (8)
будут выполнены, и следовательно, по лемме 1, преобразование поверхности F 2, задаваемое
формулой \~r = r + \partial 1r, будет вырожденным преобразованием Бьянки с l0 = 1.
Обратно, предположим, что поверхность F 2 в \BbbR n, n \geq 4, допускает вырожденное преоб-
разование Бьянки с l0 = 1. Тогда, принимая во внимание лемму 1 и доказательство теоремы 1
при \omega 0 = \pi /2, получаем, что локально поверхность F 2 параметризуется орициклическими ко-
ординатами (u1, u2), а ее вырожденное преобразование Бьянки задается формулой \~r = r+ \partial 1r.
Псевдосферические поверхности в \BbbR n, n \geq 4, которые допускают параметризацию орицик-
лическими координатами (u1, u2) так, что преобразование по формуле \~r = r + \partial 1r является
вырожденным, т. е. переводит поверхность в кривую, были полностью описаны в [8], каждая
из таких поверхностей, с точностью до движения в \BbbR n, является областью на обобщенной
поверхности Бельтрами, что и требовалось доказать.
Из теоремы 2 и результатов работы [8] следует, что любая регулярная кривая в \BbbR n - 2 \subset \BbbR n
может быть локально получена как результат вырожденного преобразования Бьянки некоторой
(области на) обобщенной поверхности Бельтрами в \BbbR n, n \geq 3.
3. Обобщенные поверхности Дини. Рассмотрим еще один специальный класс поверхно-
стей в многомерном евклидовом пространстве.
Определение 4. Обобщенной поверхностью Дини в \BbbR n, n \geq 3, назовем двумерную поверх-
ность, задаваемую радиусом-вектором
r(u1, u2) =
1
ch (u1 + u2ctg\omega 0)
\rho (u2) +
\bigl(
u1 - th (u1 + u2ctg\omega 0)
\bigr)
\xi 0, (23)
где \rho (u2) — вектор-функция со значениями в некотором \BbbR n - 1 \subset \BbbR n, удовлетворяющая усло-
виям \bigm| \bigm| \rho (u2)\bigm| \bigm| \equiv 1,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\rho du2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \equiv 1, (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
46 В. А. ГОРЬКАВЫЙ, Е. Н. НЕВМЕРЖИЦКАЯ
\xi 0 — единичный направляющий вектор прямой \BbbR 1 — ортогонального дополнения к \BbbR n - 1 в \BbbR n,
т. е. \BbbR n = \BbbR n - 1 \oplus \BbbR 1, а \omega 0 \in (0, \pi /2) постоянная.
В простейшем случае, при n = 3 из (24) следует, что \rho = (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u2, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u2, 0), а (23) описывает
классическую поверхность Дини в \BbbR 3, задаваемую радиусом-вектором
r(u1, u2) =
1
ch (u1 + u2ctg\omega 0)
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u2, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u2, 0
\bigr)
+
\bigl(
0, 0, u1 - th (u1 + u2ctg\omega 0)
\bigr)
. (25)
При других значениях n \geq 4 возникает содержательный набор разнообразных поверхностей
в \BbbR n, во многом наследующих свойства классической поверхности Дини, что и объясняет
используемую нами терминологию.
Теорема 3. Пусть F 2 — обобщенная поверхность Дини в \BbbR n, n \geq 3, заданная радиусом-
вектором (23), удовлетворяющим (24). Тогда:
1) поверхность F 2 является псевдосферической, гауссова кривизна равна K \equiv - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0;
2) поверхность F 2 получается винтовым вращением трактрисы в \BbbR n;
3) метрика поверхности F 2 имеет вид
ds2 = th 2(u1 + u2ctg\omega 0)(du
1)2 +
1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0 ch 2(u1 + u2ctg\omega 0)
(du2)2, (26)
поверхность регулярна при u1 + u2ctg\omega 0 \not = 0, а ее сингулярная линия — ребро возврата u1 +
+ u2ctg\omega 0 = 0 — представляет собой винтовую линию в \BbbR n;
4) преобразование \~r = r + cth(u1 + u2ctg\omega 0) \partial 1r удовлетворяет требованиям oпределе-
ния 2 при l0 = 1 и, таким образом, задает вырожденное преобразование Бэклунда, при этом
результирующая кривая представляет собой прямую \BbbR 1 с направляющим вектором \xi 0.
Доказательство. Дифференцируя (23), находим касательные векторы поверхности F 2:
\partial 1r = - sh(u1 + u2ctg\omega 0)
ch 2(u1 + u2ctg\omega 0)
\rho + th 2(u1 + u2ctg\omega 0)\xi 0, (27)
\partial 2r = - ctg\omega 0
sh(u1 + u2ctg\omega 0)
ch 2(u1 + u2ctg\omega 0)
\rho +
1
ch (u1 + u2ctg\omega 0)
d\rho
du2
- ctg\omega 0
ch 2(u1 + u2ctg\omega 0)
\xi 0. (28)
Из (27), (28) с учетом (24) непосредственно следует, что метрика поверхности F 2 имеет ука-
занный в формулировке вид. Вычисляя стандартным образом гауссову кривизну этой метрики,
несложно убедиться, что K \equiv - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0, т. е. рассматриваемая поверхность действительно яв-
ляется псевдосферической.
Поскольку детерминант матрицы коэффициентов первой квадратичной формы равен
th 2(u1 + u2ctg\omega 0)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0 ch 2(u1 + u2ctg\omega 0)
,
параметризация поверхности F 2 координатами (u1, u2) является регулярной при u1+u2ctg\omega 0 \not =
\not = 0, а при u1 + u2ctg\omega 0 = 0 получаем некоторую сингулярную кривую на F 2.
Если выполнить замену координат \^u1 = u1 + u2ctg\omega 0, \^u2 = u2, то радиус-вектор (23)
примет вид
r(\^u1, \^u2) =
1
ch \^u1
\rho (\^u2) +
\bigl(
\^u1 - th \^u1 - \^u2ctg\omega 0)
\bigr)
\xi 0. (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ВЫРОЖДЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА 47
Отсюда несложно увидеть, что поверхность F 2 получается применением к плоской кривой
x1 =
1
ch \^u1
, x2 = . . . = xn - 1 = 0, xn = \^u1 - th \^u1 винтового вращения в \BbbR n, получаемого
одновременным вращением в \BbbR n - 1 вдоль натурально параметризованной сферической кривой
с радиусом-вектором \rho (\^u2) и параллельным переносом вдоль прямой \BbbR 1. Очевидно, что ука-
занная плоская кривая представляет собой в точности трактрису, ее особая точка \^u1 = 0 при
упомянутом винтовом вращении описывает ребро возврата на F 2.
Наконец, применим к F 2 преобразование (3) c l0 = 1. Рассмотрим сначала область \Omega + \subset F 2,
определяемую условием u1 + u2ctg\omega 0 > 0. Подставляя (23) и (27) в (3), получаем
\~r = r + cth(u1 + u2ctg\omega 0)\partial 1r = u1\xi 0, (30)
т. е. полученная в результате преобразования кривая \gamma представляет собой прямую \BbbR 1 с на-
правляющим вектором \xi 0.
Проверим выполнение условий (6) – (8), выполнение которых означает, что рассматриваемое
преобразование является вырожденным преобразованием Бэклунда с l0 = 1.
Вычисляя символы Кристоффеля поверхности F 2, находим
\Gamma 1
11 =
1
ch (u1 + u2ctg\omega 0)sh(u1 + u2ctg\omega 0)
, \Gamma 2
11 = - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega 0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega 0th (u
1 + u2ctg\omega 0), (31)
\Gamma 1
12 =
ctg\omega 0
ch (u1 + u2ctg\omega 0)sh(u1 + u2ctg\omega 0)
, \Gamma 2
12 = - th (u1 + u2ctg\omega 0). (32)
Подставляя (32) в (7), убеждаемся, что (7) будет выполнено.
Далее, дифференцируя (23) и подставляя (31), (32), находим
n - 2\sum
\sigma =1
L\sigma
11N\sigma = \partial 11r - \Gamma 1
11\partial 1r - \Gamma 2
11\partial 2r = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0
sh2(u1 + u2ctg\omega 0)
ch 3(u1 + u2ctg\omega 0)
\rho +
+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega 0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega 0
sh(u1 + u2ctg\omega 0)
ch 2(u1 + u2ctg\omega 0)
d\rho
du2
+ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0
sh(u1 + u2ctg\omega 0)
ch 3(u1 + u2ctg\omega 0)
\xi 0, (33)
n - 2\sum
\sigma =1
L\sigma
12N\sigma = \partial 12r - \Gamma 1
12\partial 1r - \Gamma 2
12\partial 2r = 0. (34)
Из (34) непосредственно следует (6). Получая из (33) сумму
n - 2\sum
\sigma =1
(L\sigma
11)
2 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \omega 0
sh2(u1 + u2ctg\omega 0)
ch 4(u1 + u2ctg\omega 0)
и подставляя ее вместе с (31) в (8), убеждаемся, что (8) также будет выполнено.
Таким образом, преобразование (30) удовлетворяет требованиям определения 2 и, следова-
тельно, задает преобразование Бэклунда для области \Omega + \subset F 2.
Рассмотрим теперь \Omega - \subset F 2, определяемую условием u1 + u2ctg\omega 0 < 0. Несложно прове-
рить, что преобразование (3), т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
48 В. А. ГОРЬКАВЫЙ, Е. Н. НЕВМЕРЖИЦКАЯ
\~r = r + | cth(u1 + u2ctg\omega 0)| \partial 1r = r - cth(u1 + u2ctg\omega 0)\partial 1r,
уже не будет представлять собой вырожденное преобразование Бэклунда, а преобразование
\~r = r - | cth(u1 + u2ctg\omega 0)| \partial 1r = r + cth(u1 + u2ctg\omega 0)\partial 1r
будет задавать преобразование Бэклунда для области \Omega - \subset F 2, как и для области \Omega + \subset F 2.
При этом оно может быть записано в виде (3), если выполнить замену координат u \rightarrow - u,
v \rightarrow - v. Указанная замена позволяет свести все вычисления для \Omega - к проведенным выше
вычислениям для \Omega +. Необходимость такой замены объясняется тем, что переход от области
\Omega - к области \Omega + на поверхности F 2 происходит вдоль ее особой линии, представляющей
собой ребро возврата.
Теорема доказана.
Оказывается, что обобщенными поверхностями Дини исчерпываются все двумерные псев-
досферические поверхности в многомерном евклидовом пространстве, допускающие вырож-
денное преобразование Бэклунда с \omega 0 \not = \pi /2, при котором результирующая кривая представ-
ляет собой прямолинейный отрезок.
Теорема 4. Предположим, что регулярная поверхность F 2 в \BbbR n, n \geq 4, допускает вы-
рожденное преобразование Бэклунда \psi : F 2 \rightarrow \gamma с l0 = 1 и \omega 0 \not = \pi /2, при котором кривая
\gamma представляет собой интервал прямой в \BbbR n. Тогда, с точностью до движения в \BbbR n, по-
верхность F 2 представляет собой область на обобщенной поверхности Дини, задаваемой
радиусом-вектором (23), удовлетворяющим (24), а соответствующее вырожденное преобра-
зование Бэклунда задается формулой \~r = r + cth(u1 + u2ctg \omega 0) \partial 1r.
Доказательство. Не уменьшая общности, будем считать, что отрезок \gamma лежит на прямой,
проходящей через начало координат в \BbbR n. Обозначим эту прямую и ее ортогональное допол-
нение через \BbbR 1 и \BbbR n - 1, т. е. \BbbR n = \BbbR n - 1 \oplus \BbbR n, а единичный направляющий вектор прямой \BbbR 1
через \xi 0.
Поскольку поверхность F 2 допускает вырожденное преобразование Бэклунда, по лемме 1
ее можно параметризовать локальными ортогональными координатами (u1, u2) так, что вы-
полнены условия (6) – (8), и при этом само вырожденное преобразование Бэклунда задается
формулой (3).
Радиус-вектор поверхности F 2 представим в виде
r = \zeta (u1, u2) + z(u1, u2)\xi 0,
где \zeta (u1, u2) — вектор-функция со значениями в \BbbR n - 1, а z(u1, u2) — скалярная функция. Под-
ставляя \partial 1r = \partial 1\zeta + \partial 1z \xi 0 и g11 = | \partial 1\zeta | 2 + (\partial 1z)
2 в (3), получаем
\~r = \zeta +
1\sqrt{}
| \partial 1\zeta | 2 + (\partial 1z)2
\partial 1\zeta +
\Biggl(
z +
\partial 1z\sqrt{}
| \partial 1\zeta | 2 + (\partial 1z)2
\Biggr)
\xi 0.
По условию вектор-функция \~r задает отрезок на прямой \BbbR 1 с направляющим вектором \xi 0,
поэтому
\zeta +
1\sqrt{}
| \partial 1\zeta | 2 + (\partial 1z)2
\partial 1\zeta = 0. (35)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ВЫРОЖДЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА 49
С локальной точки зрения возможны две ситуации: \zeta \equiv 0 и \zeta \not \equiv 0. Если бы \zeta \equiv 0, то
поверхность F 2 вырождалась бы в прямую, что противоречит регулярности F 2. Поэтому будем
предполагать, что \zeta \not = 0 и, не уменьшая общности, представим \zeta в виде
\zeta =
1
ch\varphi
\rho ,
где \rho (u1, u2) — единичная вектор-функция, | \rho | \equiv 1, а \varphi (u1, u2) — скалярная функция. Тогда (35)
примет вид\left( 1
ch\varphi
+
1\sqrt{} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial 1\biggl( 1
ch\varphi
\rho
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 + (\partial 1z)2
\partial 1
\biggl(
1
ch\varphi
\biggr) \right) \rho +
1\sqrt{} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial 1\biggl( 1
ch\varphi
\rho
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 + (\partial 1z)2
1
ch\varphi
\partial 1\rho = 0.
(36)
Поскольку | \rho | \equiv 1, то \langle \rho , \partial 1\rho \rangle \equiv 0. Поэтому, домножая (36) скалярно на \partial 1\rho , получаем \partial 1\rho \equiv 0,
т. е. \rho = \rho (u2). Cамо равенство принимает вид
1
ch\varphi
+
1\sqrt{} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial 1\biggl( 1
ch\varphi
\rho
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 + (\partial 1z)2
\partial 1
\biggl(
1
ch\varphi
\biggr)
= 0. (37)
Запишем теперь условие ортогональности координат (u1, u2) на поверхности F 2. Поскольку
радиус-вектор F 2 представлен в виде
r =
1
ch\varphi
\rho + z\xi 0, (38)
базисные касательные векторы поверхности F 2,
\partial 1r = \partial 1
\biggl(
1
ch\varphi
\biggr)
\rho + \partial 1z \xi 0, \partial 2r = \partial 2
\biggl(
1
ch\varphi
\biggr)
\rho +
1
ch\varphi
d\rho
du2
+ \partial 2z \xi 0,
будут ортогональны тогда и только тогда, когда
\partial 1
\biggl(
1
ch\varphi
\biggr)
\partial 2
\biggl(
1
ch\varphi
\biggr)
+ \partial 1z \partial 2z = 0. (39)
Разрешая (37) и (39) относительно первых производных функции z(u1, u2), получаем
\partial 1z = th 2\varphi \partial 1\varphi , (40)
\partial 2z = - 1
ch 2\varphi
\partial 2\varphi (41)
с точностью до замены z \rightarrow - z, соответствующей преобразованию симметрии в \BbbR n = \BbbR n - 1 \oplus
\oplus \BbbR 1 относительно горизонтальной гиперплоскости \BbbR n - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
50 В. А. ГОРЬКАВЫЙ, Е. Н. НЕВМЕРЖИЦКАЯ
Совместность системы соотношений (40), (41), т. е. \partial 12z = \partial 21z, приводит к условию
\partial 12\varphi = 0, (42)
которому должна удовлетворять функция \varphi (u1, u2). Но это означает, что \varphi = au1+bu2+c, где a,
b, c — константы. Решение системы (40), (41) при этом имеет вид z = au1+c - th (au1+bu2+c)
с точностью до аддитивной константы, соответствующей параллельному переносу в \BbbR n =
= \BbbR n - 1 \oplus \BbbR 1 вдоль вертикальной прямой \BbbR 1. Заметим, что a \not = 0, b \not = 0 в силу регулярности
поверхности F 2.
Воспользуемся теперь условием (8). Как и при доказательстве предыдущих утверждений,
вычисляя производные радиуса-вектора поверхности F 2, коэффициенты первой фундаменталь-
ной формы и символы Кристоффеля, а затем находя вектор
n - 2\sum
\sigma =1
L\sigma
11N\sigma = \partial 11r - \Gamma 1
11\partial 1r - \Gamma 2
11\partial 2r
и с его помощью вычисляя
\sum n - 2
\sigma =1
(L\sigma
11)
2 , после подстановки соответствующих величин в (8)
получаем \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\rho du2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 = tg2\omega 0 b
2. (43)
Правая часть не равна нулю, поэтому
d\rho
du2
\not = 0, а значит, вектор-функция \rho (u2) задает регу-
лярную кривую на единичной сфере Sn - 2 \subset \BbbR n - 1, причем u2 представляет собой аффинный
параметр на этой кривой. Не уменьшая общности можно считать, что u2 — натуральный пара-
метр, т. е.
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\rho du2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \equiv 1. Этого всегда можно добиться шкалирующей заменой \^u2 =
\int \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\rho du2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du2.
В этом случае из (43), применив при необходимости замену u2 \rightarrow - u2, получим b = ctg\omega 0.
Таким образом, с точностью до движения в \BbbR n рассматриваемая поверхность F 2 локально
задается радиусом-вектором (38), где вектор-функция \rho (u2) удовлетворяет (24), а \varphi = au1 +
+c+ctg\omega 0u
2, z = au1+c - th (au1+ctg\omega 0u
2+c). Применяя шкалирующую замену \^u1 = au1+c,
можем положить a = 1, c = 0. Как результат, получаем, что радиус-вектор поверхности F 2
имеет вид (23), т. е. F 2 представляет собой область на обобщенной поверхности Дини, а ее
вырожденное преобразование Бэклунда по формуле (3) с l0 = 1 записывается в виде \~r =
= r + cth(u1 + u2ctg\omega 0) \partial 1r, что и требовалось доказать.
Замечание. Если в определении 4 допустить \omega 0 = \pi /2, то задаваемая радиусом-вектором
(23) поверхность F 2 в \BbbR n будет представлять собой обобщенную поверхность Бельтрами.
Таким образом, мы полностью описали двумерные поверхности в \BbbR n, допускающие вы-
рожденное преобразование Бэклунда с \omega 0 \not = \pi /2, при котором результирующая кривая пред-
ставляет собой прямолинейный отрезок. Безусловный интерес вызывает вопрос о том, суще-
ствуют ли двумерные поверхности в \BbbR n, допускающие вырожденное преобразование Бэклунда
с \omega 0 \not = \pi /2, при котором результирующая кривая \gamma отлична от (интервала) прямой линии, т. е.
имеет ненулевую кривизну. Если такие поверхности существуют, то как выглядит их радиус-
вектор и насколько произвольной при этом может быть результирующая кривая \gamma ? Возможный
метод нахождения ответов на эти вопросы состоит в анализе разрешимости системы уравне-
ний Гаусса – Кодацци – Риччи для поверхностей в \BbbR n, дополненной условиями (2) и (6) – (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ВЫРОЖДЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА 51
на коэффициенты фундаментальных форм, с последующим интегрированием деривационных
формул Вейнгартена.
Литература
1. Aminov Yu. A., Sym A. On Bianchi and Backlund transformations of two-dimensional surfaces in E4 // Math. Phys.,
Anal., Geom. – 2000. – 3. – P. 75 – 89.
2. Aminov Yu. A., Sym A. On Bianchi and Backlund transformations of two dimensional surfaces in four dimensional
Euclidean space // Backlund and Darboux Transformations. The Geometry of Solitons. AARMS-CRM Workshop,
Halifax, NS, 1999, Canada, June 4-9. – 2001. – P. 91 – 93.
3. Аминов Ю. А. Геометрия подмногообразий. – Киев: Наук. думка, 2002. – 468 c.
4. Борисенко А. А., Николаевский Ю. А. Многообразия Грассмана и грассманов образ подмногообразий // Успехи
мат. наук. – 1991. – 46, № 2. – C. 41 – 83.
5. Gorkavyy V. On pseudo-spherical congruencies in E4 // Мат. физика, анализ, геометрия. – 2003. – 10, № 4. –
C. 498 – 504.
6. Горькавый В. А. Конгруэнции Бианки двумерных поверхностей в E4 // Мат. сб. – 2005. – 196, № 10. –
C. 79 – 102.
7. Gorkavyy V. O., Nevmerzhytska O. M. Ruled surfaces as рseudo-sрherical congruencies // Журн. мат. физики,
анализа, геометрии. – 2009. – 5, № 3. – C. 359 – 374.
8. Горькавый В. А., Невмержицкая Е. Н. О двумерных псевдосферических поверхностях с вырожденным пре-
образованием Бианки // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 11. – C. 1460 – 1468.
9. Gorkavyy V. An example of Bianchi transformation in E4 // Журн. мат. физики, анализа, геометрии. – 2012. – 8,
№ 3. – C. 240 – 247.
10. Горькавый В. А. Обобщение преобразования Бианки – Беклунда псевдосферических поверхностей // Итоги
науки и техники. Совр. математика и ее приложения. Тематические обзоры. – 2014. – 126. – C. 191 – 218.
11. Позняк Э. Г. Геометрическая интерпретация регулярных решений уравнения Zxy = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}Z // Дифференц.
уравнения. – 1979. – 15, № 7. – C. 1332 – 1336.
12. Позняк Э. Г., Попов А. Г. Геометрия уравнения sin-Гордона // Итоги науки и техники. Геометрия. – 1991. –
23. – C. 99 – 130.
13. Попов А. Г. Геометрия Лобачевского и математическая физика. – М.: Моск. гос. ун-т, 2012. – 320 с.
14. Tenenblat K. Transformations of manifolds and applications to differential equations // Pitman Monogr. and Surv. in
Pure and Appl. Math. – London: Longman, 1998. – 93. – 209 р.
Получено 17.03.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1820 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:15Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c4/3bf0d0d33d9a674b6210b4a25ab28fc4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18202019-12-05T09:28:56Z Degenerate Backlund transformation Вырожденное преобразование Бэклунда Gor'kavyi, V. A. Nevmerzhitskaya, E. N. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. A concept of degenerate B¨acklund transformation is introduced for two-dimensional surfaces in many-dimensional Euclidean spaces. It is shown that if a surface in $R^n, n \geq 4$, admits a degenerate B¨acklund transformation, then this surface is pseudospherical, i.e., its Gauss curvature is constant and negative. The complete classification of pseudospherical surfaces in $R^n, n \geq 4$ that admit degenerate Bianchi transformations is obtained. Moreover, we also obtain a complete classification of pseudospherical surfaces in $R^n, n \geq 4$, admitting degenerate Backlund transformations into straight lines. Введено поняття виродженого перетворення Беклунда для двовимiрних поверхонь у багатовимiрному евклiдовому просторi. Доведено, що якщо поверхня в $R^n, n \geq 4$, допускає вироджене перетворення Беклунда, то вона є псевдосферичною, тобто має сталу вiд’ємну гауссову кривину. Повнiстю описано псевдосферичнi поверхнi в $R^n, n \geq 4$, що допускають вироджене перетворення Бьянкi, а також псевдосферичнi поверхнi в $R^n, n \geq 4$, що допускають вироджене перетворення Беклунда, результуючою кривою якого є пряма. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1820 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 1 (2016); 38-51 Український математичний журнал; Том 68 № 1 (2016); 38-51 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1820/802 Copyright (c) 2016 Gor'kavyi V. A.; Nevmerzhitskaya E. N. |
| spellingShingle | Gor'kavyi, V. A. Nevmerzhitskaya, E. N. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. Degenerate Backlund transformation |
| title | Degenerate Backlund transformation |
| title_alt | Вырожденное преобразование Бэклунда |
| title_full | Degenerate Backlund transformation |
| title_fullStr | Degenerate Backlund transformation |
| title_full_unstemmed | Degenerate Backlund transformation |
| title_short | Degenerate Backlund transformation |
| title_sort | degenerate backlund transformation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1820 |
| work_keys_str_mv | AT gor039kavyiva degeneratebacklundtransformation AT nevmerzhitskayaen degeneratebacklundtransformation AT gorʹkavijva degeneratebacklundtransformation AT nevmeržickaâen degeneratebacklundtransformation AT gorʹkavijva degeneratebacklundtransformation AT nevmeržickaâen degeneratebacklundtransformation AT gor039kavyiva vyroždennoepreobrazovaniebéklunda AT nevmerzhitskayaen vyroždennoepreobrazovaniebéklunda AT gorʹkavijva vyroždennoepreobrazovaniebéklunda AT nevmeržickaâen vyroždennoepreobrazovaniebéklunda AT gorʹkavijva vyroždennoepreobrazovaniebéklunda AT nevmeržickaâen vyroždennoepreobrazovaniebéklunda |