Finite groups with given systems of $K-\mathfrak{U}$-subnormal subgroups
A subgroup $H$ of a finite group $G$ is called $\mathfrak{U}$-subnormal in Kegel’s sense or $K-\mathfrak{U}$-subnormal in $G$ if there exists a chain of subgroups $H = H_0 \leq H_1 \leq . . . \leq H_t = G$ such that either $H_{i-1}$ is normal in $H_i$ or $H_i/(H_{i-1})H_i$ is supersoluble for any...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1821 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507687392903168 |
|---|---|
| author | Kovaleva, V. A. Ковалева, В. А. Ковалева, В. А. |
| author_facet | Kovaleva, V. A. Ковалева, В. А. Ковалева, В. А. |
| author_sort | Kovaleva, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:28:56Z |
| description | A subgroup $H$ of a finite group $G$ is called $\mathfrak{U}$-subnormal in Kegel’s sense or $K-\mathfrak{U}$-subnormal in $G$ if there exists a
chain of subgroups $H = H_0 \leq H_1 \leq . . . \leq H_t = G$ such that either $H_{i-1}$ is normal in $H_i$ or $H_i/(H_{i-1})H_i$ is supersoluble for any $i = 1, . . . , t$. We describe finite groups for which every 2-maximal or every 3-maximal subgroup is $K-\mathfrak{U}$-subnormal. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.542
В. А. Ковалева (Гомел. гос. ун-т им. Ф. Скорины, Беларусь)
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ
\bfitK -U-СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП
A subgroup H of a finite group G is called U-subnormal in Kegel’s sense or K-U-subnormal in G if there exists a
chain of subgroups H = H0 \leq H1 \leq . . . \leq Ht = G such that either Hi - 1 is normal in Hi or Hi/(Hi - 1)Hi is
supersoluble for any i = 1, . . . , t. We describe finite groups for which every 2-maximal or every 3-maximal subgroup is
K-U-subnormal.
Пiдгрупа H скiнченної групи G називається U-субнормальною в сенсi Кегеля або K-U-субнормальною в G, якщо
iснує такий ланцюжок пiдгруп H = H0 \leq H1 \leq . . . \leq Ht = G, що або Hi - 1 є нормальною в Hi, або Hi/(Hi - 1)Hi
є надрозв’язною при будь-якому i = 1, . . . , t. У статтi описано скiнченнi групи, кожна 2-максимальна або кожна
3-максимальна пiдгрупа яких є K-U-субнормальною.
1. Введение. Все рассматриваемые в статье группы являются конечными, символом G обозна-
чена конечная группа. Обозначим символом U класс всех сверхразрешимых групп; символом
GU пересечение всех нормальных подгрупп N из G, для которых G/N \in U; символом \pi (G)
множество простых делителей порядка G.
Пусть \phi — некоторое упорядочение множества простых чисел. Запись p\phi q означает, что
p предшествует q в упорядочении \phi , p \not = q. Напомним, что группа G порядка p\alpha 1
1 p\alpha 2
2 . . . p\alpha n
n
называется \phi -дисперсивной, если p1\phi p2\phi . . . \phi pn и для любого i группа G имеет нормальную
подгруппу порядка p\alpha 1
1 p\alpha 2
2 . . . p\alpha i
i . Если при этом упорядочение \phi таково, что p\phi q всегда влечет
p > q, то \phi -дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.
Подгруппа H из G называется 2-максимальной (второй максимальной) подгруппой в G,
если H является максимальной подгруппой некоторой максимальной подгруппы из G. Анало-
гично можно определить 3-максимальные подгруппы и т. д.
Работы, посвященные изучению n-максимальных подгрупп (n > 1), составили обшир-
ное направление теории конечных групп, обогащенное большим числом глубоких теорем и
содержательных примеров. Наиболее ранние результаты в данном направлении были полу-
чены Л. Редеи [1], описавшим неразрешимые группы с абелевыми вторыми максимальными
подгруппами, и Б. Хуппертом [2], установившим сверхразрешимость группы, в которой все
вторые максимальные подгруппы нормальны. Кроме того, Б. Хупперт доказал, что если все
3-максимальные подгруппы из G нормальны в G, то коммутант G\prime является нильпотентной
группой и главный ранг G не превышает 2. Позже результаты Л. Редеи и Б. Хупперта получили
развитие в работах многих авторов (З. Янко, М. Судзуки, Т. М. Гаген, В. Е. Дескинс, А. Манн,
А. Е. Спенсер, Р. Шмидт, В. А. Ведерников, Э. М. Пальчик, Н. П. Конторович, Я. Г. Беркович,
Р. К. Агравал, М. Асаад, П. Флавелл и др.).
В последние годы круг математиков, вовлеченных в изучение n-максимальных подгрупп,
значительно расширился (А. Баллестер-Болинше, Л. М. Эскуэрро, В. Го, Ш. Го, К. П. Шам,
Б. Ли, Ш. Ли, В. А. Белоногов, А. Ф. Васильев, Т. И. Васильева, В. С. Монахов, В. Н. Семенчук,
c\bigcirc В. А. КОВАЛЕВА, 2016
52 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ K-U-СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП 53
А. Н. Скиба, В. Н. Тютянов, В. Н. Княгина, В. И. Мурашко, Д. П. Андреева, Ю. В. Лу-
ценко, Е. В. Легчекова и др.), что свидетельствует о несомненной актуальности данного
направления. Так, Го Шуин и К. П. Шам [3] доказали, что G разрешима, если все ее 2-
максимальные подгруппы имеют свойство покрытия-изолирования. В. Го, К. П. Шам, А. Н. Ски-
ба и Б. Ли [4 – 6] получили новые характеризации сверхразрешимых групп в терминах 2-
максимальных подгрупп. Ш. Ли [7] получил классификацию ненильпотентных групп, все
2-максимальные подгруппы которых являются TI-подгруппами. В. А. Белоногов [8] при-
вел описание не \pi -разложимых групп, в которых все 2-максимальные подгруппы являют-
ся \pi -разложимыми. В статье [9] В. Го, Ю. В. Луценко и А. Н. Скиба описали ненильпо-
тентные группы, любые две 3-максимальные подгруппы которых перестановочны. Описа-
ние групп, все 2-максимальные или все 3-максимальные подгруппы которых являются суб-
нормальными, было получено в [10]. В работе [11] А. Баллестер-Болинше, Л. М. Эскуэр-
ро и А. Н. Скиба получили полную классификацию групп, в которых вторые максималь-
ные подгруппы силовских подгрупп покрывают или изолируют главные факторы некоторых
главных рядов. В. Н. Княгиной и В. С. Монаховым [12] были изучены группы, каждая n-
максимальная подгруппа которых перестановочна с любой подгруппой Шмидта. В частности,
ими было установлено, что если n = 1, 2, 3, то группа метанильпотентна; если n \geq 4 и
группа разрешима, то нильпотентная длина группы не превышает n - 1. В [13] В. С. Мо-
нахов и В. Н. Княгина исследовали группы, в которых все 2-максимальные подгруппы \BbbP -
субнормальны.
Напомним, что подгруппа H из G называется U-субнормальной в G, если найдется та-
кая цепь подгрупп H = H0 \leq H1 \leq . . . \leq Hn = G, что Hi/(Hi - 1)Hi \in U для всех
i = 1, . . . , n. Подгруппа H называется U-субнормальной в смысле Кегеля [14] или K-U-
субнормальной (см. [15, с. 236]) в G, если найдется такая цепь подгрупп H = H0 \leq H1 \leq . . .
. . . \leq Ht = G, что либо Hi - 1 нормальна в Hi, либо Hi/(Hi - 1)Hi \in U для всех i = 1, . . . , t.
Очевидно, что каждая U-субнормальная подгруппа является K-U-субнормальной. Для разре-
шимой группы G имеет место и обратное утверждение. В работах [16, 17] были получены
характеризации разрешимых групп, в которых все n-максимальные подгруппы являются U-
субнормальными, а следовательно, и K-U-субнормальными.
Заметим, что каждая субнормальная подгруппа является K-U-субнормальной. Обратное
утверждение в общем случае не является справедливым. Например, в симметрической группе
степени 3 подгруппа порядка 2 является K-U-субнормальной, но в то же время она не является
субнормальной. Это элементарное наблюдение, а также результаты работ [10, 16, 17] делают
естественными следующие вопросы.
Вопрос 1.1. Какова структура группы G при условии, что каждая 2-максимальная под-
группа из G является K-U-субнормальной?
Вопрос 1.2. Какова структура группы G при условии, что каждая 3-максимальная под-
группа из G является K-U-субнормальной?
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
54 В. А. КОВАЛЕВА
Важную роль при исследовании вопросов 1.1 и 1.2 играют минимальные несверхразреши-
мые группы. Напомним, что G называется минимальной несверхразрешимой группой, если G
не является сверхразрешимой, но каждая собственная подгруппа из G сверхразрешима. Ми-
нимальные несверхразрешимые группы были описаны Б. Хуппертом [2] и К. Дерком [18].
Мы говорим, что G является специальной группой Дерка – Хупперта или SDH-группой, если
G — такая минимальная несверхразрешимая группа, что GU является минимальной нормальной
подгруппой в G.
Решение вопроса 1.1 восходит к работам [16, 17]. Следующая теорема является следствием
теоремы 3.1 из [16] (или теоремы C из [17]) и леммы 2.2 (см. пункт 2).
Теорема A. Все 2-максимальные подгруппы из G являются K-U-субнормальными в G в
том и только в том случае, когда G либо сверхразрешима, либо является SDH-группой.
В данной работе на основе теоремы А мы проанализируем вопрос 1.2. Заметим, что посколь-
ку каждая подгруппа сверхразрешимой группы является K-U-субнормальной, то, фактически,
нам необходимо рассмотреть лишь случай, когда G — несверхразрешимая группа. Но в этом
случае, в силу теоремы A из [16] или теоремы A из [17], | \pi (G)| \leq 4. Ответ на вопрос 1.2
в случае, когда | \pi (G)| = 2, был получен в [19] (теорема 1.2). В данной работе мы приведем
полное решение этого вопроса для случаев | \pi (G)| = 3 и | \pi (G)| = 4.
Доказаны следующие теоремы.
Теорема B. Пусть G — несверхразрешимая группа с | \pi (G)| = 3, p, q, r — различные
простые делители | G| , P, Q и R — силовские p-подгруппа, q-подгруппа и r-подгруппа из G
соответственно. Каждая 3-максимальная подгруппа из G является K-U-субнормальной в G в
том и только в том случае, когда G является \phi -дисперсивной, например G = P \rtimes (Q\rtimes R), и
выполнены следующие условия:
(i) Каждая 2-максимальная подгруппа из QR индуцирует на P абелеву группу автомор-
физмов экспоненты, делящей p - 1. Каждая максимальная подгруппа из QR индуцирует на
P группу автоморфизмов, которая является либо неприводимой, либо абелевой экспоненты,
делящей p - 1.
(ii) Если P является минимальной нормальной подгруппой в G и P \not = GU, то либо GU = Q,
либо GU = PQ, каждая собственная подгруппа из G, содержащая PQ, сверхразрешима и R
индуцирует на Q неприводимую группу автоморфизмов. Более того, GU = Q в том и только
в том случае, когда PR сверхразрешима.
(iii) Если \Phi (P ) \not = 1, то GU = P, P/\Phi (P ) — нециклический главный фактор в G, Q и R
— циклические группы, причем r делит q - 1, а qr делит p - 1. Более того, если G является
минимальной несверхразрешимой группой, то | \Phi (P )| = p. Если G не является минимальной
несверхразрешимой группой, то \Phi (P )QR — SDH-группа и, следовательно, \Phi (P ) является
минимальной нормальной подгруппой в G.
(iv) Если P не является минимальной нормальной подгруппой в G и \Phi (P ) = 1, то P = P1\times
\times P2, где P1 и P2 — минимальные нормальные подгруппы в G и по крайней мере одна из этих
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ K-U-СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП 55
подгрупп не является циклической. Более того, в этом случае Q и R являются циклическими
группами, r делит q - 1, а qr делит p - 1.
Как следует из теоремы 1.2 из [19], если | \pi (G)| = 2, то несверхразрешимая группа G,
у которой все 3-максимальные подгруппы K-U-субнормальны, может не иметь нормальных
силовских подгрупп. Из теоремы B следует, что в случае, когда | \pi (G)| = 3, такая группа G
является \phi -дисперсивной для некоторого упорядочения \phi множества \pi (G). Следующая теорема
показывает, что в случае, когда | \pi (G)| = 4, G дисперсивна по Оре.
Теорема C. Пусть G — несверхразрешимая группа с | \pi (G)| = 4, p > q > r > t — различные
простые делители | G| , P, Q, R и T — силовские p-подгруппа, q-подгруппа, r-подгруппа и
t-подгруппа из G соответственно. Каждая 3-максимальная подгруппа из G является K-U-
субнормальной в G в том и только в том случае, когда выполнены следующие условия:
(i) G является дисперсивной по Оре группой.
(ii) P является минимальной нормальной подгруппой в G.
(iii) Каждая 2-максимальная подгруппа из QRT индуцирует на P абелеву группу автомор-
физмов экспоненты, делящей p - 1. Каждая максимальная подгруппа из QRT индуцирует на
P группу автоморфизмов, которая является либо неприводимой, либо абелевой экспоненты,
делящей p - 1.
(iv) Если P \not = GU, то либо GU = Q, либо GU = PQ, Q является минимальной нормальной
подгруппой в G и каждая собственная подгруппа из G, содержащая PQ, сверхразрешима.
(v) R и T являются циклическими группами. Более того, если QRT сверхразрешима, то Q
является циклической группой.
В работе используется стандартная терминология и обозначения, которые при необходимо-
сти можно найти в [15, 20, 21].
2. Предварительные результаты. Для дальнейшего изложения нам понадобятся следую-
щие результаты.
Лемма 2.1. Пусть H и K — подгруппы из G и H является K-U-субнормальной в G.
(1) H \cap K является K-U-субнормальной подгруппой в K [15] (6.1.7(2)).
(2) Если N — нормальная подгруппа из G, то HN/N является K-U-субнормальной под-
группой в G/N [15] (6.1.6(3)).
(3) Если K является K-U-субнормальной подгруппой в H, то K — K-U-субнормальная
подгруппа в G [15] (6.1.6(1)).
(4) Если GU \leq K, то K — K-U-субнормальная подгруппа в G [15] (6.1.7(1)).
(5) Если K \leq H и H сверхразрешима, то K является K-U-субнормальной подгруппой в G.
Лемма 2.2. Если каждая n-максимальная подгруппа из G является K-U-субнормальной
в G, то каждая (n - 1)-максимальная подгруппа из G сверхразрешима и каждая (n + 1)-
максимальная подгруппа из G является K-U-субнормальной в G.
Доказательство. Прежде всего покажем, что каждая (n - 1)-максимальная подгруппа из
G сверхразрешима. Пусть H — (n - 1)-максимальная подгруппа из G и K — произвольная
максимальная подгруппа из H. Тогда K является n-максимальной подгруппой в G, поэтому в
силу условия леммы K является K-U-субнормальной в G. Следовательно, K является K-U-
субнормальной в H по лемме 2.1(1). Поэтому либо K нормальна в H, либо H/KH \in U. Если
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
56 В. А. КОВАЛЕВА
K нормальна в H, то | H : K| — простое число. Пусть H/KH \in U. Тогда мы также получаем,
что | H : K| = | H/KH : K/KH | является простым числом. Таким образом, вследствие произ-
вольности подгруппы K все максимальные подгруппы из H имеют в H простые индексы.
Следовательно, подгруппа H сверхразрешима.
Пусть теперь E — некоторая (n + 1)-максимальная подгруппа из G, E1 и E2 — такие n-
максимальная и (n - 1)-максимальная подгруппы из G соответственно, что E \leq E1 \leq E2.
По доказанному выше E2 сверхразрешима, поэтому E1 также сверхразрешима. Следовательно,
E является K-U-субнормальной в E1 по лемме 2.1(5). Поскольку по условию леммы под-
группа E1 является K-U-субнормальной в G, E является K-U-субнормальной в G по лем-
ме 2.1(3).
Лемма доказана.
В работах [16, 17] были получены характеризации разрешимых групп, в которых все n-
максимальные подгруппы являются U-субнормальными, а следовательно, и K-U-субнормаль-
ными. В частности, справедлива следующая лемма.
Лемма 2.3 (см. [16] (теоремы B и C) или [17] (теоремы B и D)). Пусть G — разрешимая
группа, все n-максимальные подгруппы которой K-U-субнормальны в G.
(1) Если | \pi (G)| \geq n, то G является \phi -дисперсивной для некоторого упорядочения \phi мно-
жества \pi (G).
(2) Если | \pi (G)| \geq n+ 1, то G дисперсивна по Оре. Более того, если G несверхразрешима,
то G = A \rtimes B, где A = GU и B — холловы подгруппы в G, A либо имеет вид N1 \times . . .
. . .\times Nt, где Ni, i = 1, . . . , t, — минимальная нормальная подгруппа в G, являющаяся силовской
подгруппой в G, либо является силовской p-подгруппой в G экспоненты p для некоторого
простого числа p.
Напомним, что G называется группой Шмидта, если G не является нильпотентной, но
каждая собственная подгруппа из G нильпотентна.
Лемма 2.4. Пусть G — минимальная несверхразрешимая группа. Справедливы следующие
утверждения:
(1) G разрешима и | \pi (G)| \leq 3 [2].
(2) Если G не является группой Шмидта, то G дисперсивна по Оре [2].
(3) GU является единственной нормальной силовской подгруппой в G [2, 18].
(4) GU/\Phi (GU) — нециклический главный фактор группы G/\Phi (G) [18].
(5) Если S — дополнение к GU в G, то S/S \cap \Phi (G) является либо примарной циклической
группой, либо группой Миллера – Морено [18].
(6) Если | \pi (G)| = 3, p > q > r — различные простые делители | G| , Q и R — силовские
q-подгруппа и r-подгруппа из G соответственно, то Q и R являются циклическими группами,
причем r делит q - 1, а qr делит p - 1 [22] (теорема 10).
3. Доказательства теорем B и C. Напомним, что максимальная подгруппа M из G называ-
ется U-нормальной в G, если G/MG \in U; в противном случае M называется U-абнормальной
в G. Заметим, что в случае, когда G разрешима, максимальная подгруппа M является U-
нормальной в G тогда и только тогда, когда | G : M | — простое число.
Доказательство теоремы B. Необходимость. Пусть W — максимальная подгруппа груп-
пы G. В силу условия теоремы и леммы 2.1(1) каждая 2-максимальная подгруппа из W яв-
ляется K-U-субнормальной в W. Поэтому по теореме A группа W либо сверхразрешима,
либо является SDH-группой. В частности, все 2-максимальные подгруппы из G сверхраз-
решимы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ K-U-СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП 57
Прежде всего покажем, что группа G разрешима. Поскольку каждая максимальная подгруп-
па из G является либо сверхразрешимой, либо SDH-группой, каждая собственная подгруп-
па из G разрешима в силу леммы 2.4(1). Если единичная подгруппа является единственной
3-максимальной подгруппой в G, то все 2-максимальные подгруппы из G имеют простые
порядки, поэтому каждая максимальная подгруппа из G является сверхразрешимой. Следо-
вательно, группа G либо сверхразрешима, либо является минимальной несверхразрешимой
группой.
Значит, в силу леммы 2.4(1) G разрешима. Пусть теперь T — неединичная 3-максимальная
подгруппа из G. Поскольку T является K-U-субнормальной подгруппой в G, найдется такая
собственная подгруппа H из G, что T \leq H и либо G/HG \in U, либо H является нормальной в
G. Если G/HG \in U, то G разрешима вследствие разрешимости подгруппы HG. Предположим,
что H нормальна в G. Пусть E/H — произвольная 3-максимальная подгруппа из G/H. Тогда
E является 3-максимальной подгруппой в G, а значит, E является K-U-субнормальной в G.
Следовательно, E/H является K-U-субнормальной в G/H по лемме 2.1(2). Тогда, условие
теоремы справедливо для G/H. Таким образом, по индукции получаем, что G/H разрешима,
и поэтому группа G также разрешима.
Поскольку G разрешима, в силу леммы 2.3(1) группа G является \phi -дисперсивной для
некоторого упорядочения \phi множества \pi (G). Пусть G = P \rtimes (Q\rtimes R).
(i) Пусть V < E < QR, где E — максимальная подгруппа из QR и V — максимальная
подгруппа из E. Тогда PE является максимальной подгруппой в G, а PV — максимальной
подгруппой в PE. Следовательно, PV сверхразрешима.
Предположим, что P не является минимальной нормальной подгруппой в PE. Тогда PE
не является SDH-группой, и поэтому PE сверхразрешима. Следовательно, PE/Op\prime ,p(PE)
является абелевой группой экспоненты, делящей p - 1 [23] (§ 1, 1.4) и [23] (приложения, 3.2).
Более того, Op\prime ,p(PE) = PCE(P ), следовательно, PE/Op\prime ,p(PE) \simeq E/CE(P ). Значит, E
индуцирует на P группу автоморфизмов экспоненты, делящей p - 1.
(ii) Предположим, что P является минимальной нормальной подгруппой в G и P \not = GU.
Тогда M = QR является максимальной подгруппой в G и M не является сверхразрешимой
группой. Следовательно, M является SDH-группой, и поэтому Q = MU является минимальной
нормальной подгруппой в M.
Легко видеть, что GU \leq PQ. Если P \leq GU, то GU = PQ, поскольку Q = MU \leq GU.
Предположим, что P \nleq GU. Тогда GU \cap P = 1, так как P является минимальной нормальной
подгруппой в G. Значит, GU = Q.
Очевидно, что в случае, когда GU = Q, группа PR сверхразрешима. Предположим, что
PR сверхразрешима. Покажем, что в этом случае GU = Q. Предположим, что GU = PQ.
Тогда QR является U-абнормальной подгруппой в G, и поэтому | P | = | G : QR| \geq p2 вслед-
ствие разрешимости группы G. Поскольку PR сверхразрешима, R является k-максимальной
подгруппой в PR для некоторого k \geq 2. Но PR является максимальной подгруппой G, так
как Q является минимальной нормальной подгруппой в M = QR. Следовательно, R является
(k+1)-максимальной подгруппой в G, и поэтому R — K-U-субнормальная подгруппа в G в си-
лу условия теоремы и леммы 2.2. Поэтому найдется такая собственная подгруппа H из G, что
R \leq H и либо H нормальна в G, либо G/HG \in U. Предположим, что H нормальна в G. Тогда
M\cap H нормальна в M. Поскольку R является максимальной подгруппой в M,R \leq M\cap H и R не
является нормальной в M, то M \cap H = M. Поэтому M = H нормальна в G, что противоречит
принятому предположению. Следовательно, GU \leq H. Значит, M = QR = MUR \leq GUR \leq H,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
58 В. А. КОВАЛЕВА
откуда получаем, что подгруппа M = H является U-нормальной в G. Данное противоречие
показывает, что GU = Q.
Покажем, наконец, что каждая собственная подгруппа группы G, содержащая PQ, сверх-
разрешима. Предположим, что это не так, и пусть V — такая собственная подгруппа из G,
что PQ \leq V и V не является сверхразрешимой. Поскольку каждая 2-максимальная подгруп-
па из G сверхразрешима, V является максимальной подгруппой в G и, следовательно, V —
SDH-группа. В силу леммы 2.4 (1) | \pi (V )| \leq 3. Если | \pi (V )| = 3, то Q является циклической
группой по лемме 2.4 (6), поэтому QR сверхразрешима, что противоречит рассматриваемому
нами случаю. Поэтому | \pi (V )| = 2, а значит, V = PQ. В силу леммы 2.4(5) Q/Q \cap \Phi (V )
является либо примарной циклической группой, либо группой Миллера – Морено. Так как V
нормальна в G и \Phi (V ) характеристична в V, то \Phi (V ) нормальна в G. Но Q является мини-
мальной нормальной подгруппой в M = QR, поэтому Q \cap \Phi (V ) = 1 и Q является абелевой
группой. Отсюда следует, что группа Q циклична. Полученное противоречие показывает, что
V сверхразрешима.
(iii) Предположим, что \Phi (P ) \not = 1. Поскольку \Phi (P ) является характеристической подгруп-
пой в P, данная подгруппа нормальна в G. Поэтому в рассматриваемом случае каждая макси-
мальная подгруппа из G, содержащая P, является сверхразрешимой.
Покажем, что P/\Phi (P ) является нециклическим главным фактором группы G. Если все
максимальные подгруппы из G сверхразрешимы, то это следует из леммы 2.4 (4). В противном
случае рассмотрим несверхразрешимую максимальную подгруппу V из G. Тогда P \nleq V и V
является SDH-группой. Пусть Vp — силовская p-подгруппа в V. Тогда 1 \not = \Phi (P ) \leq Vp = P \cap V
нормальна в V, и поэтому Vp = V U = \Phi (P ) является минимальной нормальной подгруп-
пой в V. Значит, P/\Phi (P ) является нециклическим главным фактором в G. Следовательно,
P = GU.
Предположим, что G является минимальной несверхразрешимой группой. Тогда Q и R
являются циклическими группами, r делит q - 1, а qr делит p - 1 по лемме 2.4(6). Предпо-
ложим, что | \Phi (P )| \geq p2. Пусть M — такая максимальная подгруппа группы G, что P \nleq M.
Тогда G = PM и M = (P \cap M)QR = \Phi (P )QR, поскольку P/\Phi (P ) — главный фактор груп-
пы G. Так как группа M сверхразрешима, существует такая 2-максимальная подгруппа E из
M, что | M : E| = p2. Следовательно, M = \Phi (P )E, и поэтому G = PE. Поскольку E яв-
ляется K-U-субнормальной подгруппой в G, найдется такая собственная подгруппа H из G,
что E \leq H и либо H нормальна в G, либо G/HG \in U. Если H нормальна в G, то, оче-
видно, G/H сверхразрешима. Следовательно, P \leq H, и поэтому G = PE \leq H. Пришли к
противоречию. В случае, когда G/HG \in U, аналогично приходим к противоречию. Значит,
| \Phi (P )| = p.
Предположим, наконец, что G не является минимальной несверхразрешимой группой. По-
скольку каждая максимальная подгруппа из G, содержащая P, является сверхразрешимой,
существует такая несверхразрешимая максимальная подгруппа M, что PM = G. Не нарушая
общности доказательства, можно считать, что M = \Phi (P )QR. Так как M не является сверх-
разрешимой, то M — SDH-группа. Значит, \Phi (P ) = MU является минимальной нормальной
подгруппой в M, поэтому \Phi (P ) является минимальной нормальной подгруппой в G. Более
того, в силу леммы 2.4(6) Q и R являются циклическими группами, причем r делит q - 1, а qr
делит p - 1. Следовательно, мы имеем (iii).
(iv) Предположим, что P не является минимальной нормальной подгруппой в G и
\Phi (P ) = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ K-U-СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП 59
В силу теоремы Машке P = P1 \times P2, где P1 — минимальная нормальная подгруппа в G,
а P2 — нормальная подгруппа в G. Тогда L = P2QR является максимальной подгруппой в G.
Покажем, что P2 также является минимальной нормальной подгруппой в G. Если L является
SDH-группой, то P2 = LU — минимальная нормальная подгруппа в L, и поэтому P2 является
минимальной нормальной подгруппой в G. Предположим, что группа L сверхразрешима. Тогда
G/P1 \simeq L — сверхразрешимая группа. Если P1QR сверхразрешима, то G/P2 \simeq P1QR также
сверхразрешима, и, следовательно, группа G сверхразрешима. Противоречие. Значит, P1QR
не является сверхразрешимой группой. Но каждая 2-максимальная подгруппа из G сверхраз-
решима. Следовательно, P1QR является максимальной подгруппой в G, поэтому P2 является
минимальной нормальной подгруппой в G.
Поскольку группа G не является сверхразрешимой, по крайней мере одна из подгрупп
L = P2QR или T = P1QR несверхразрешима. Пусть T является SDH-группой. Тогда TU = P1,
и поэтому P1 не является циклической. Более того, в силу леммы 2.4(6) группы Q и R являются
циклическими, причем r делит q - 1, а qr делит p - 1.
Достаточность. Пусть E — произвольная неединичная 3-максимальная подгруппа группы
G и M — такая максимальная подгруппа из G, что E является 2-максимальной подгруппой в
M. Для того чтобы доказать, что подгруппа E является K-U-субнормальной в G, вследствие
разрешимости G, леммы 2.1(3) и теоремы А достаточно найти в G такую U-нормальную мак-
симальную подгруппу L, что E \leq L и L является либо сверхразрешимой, либо SDH-группой.
Сначала предположим, что GU \leq P.
Если P \leq M, то M = P \rtimes V, где V — максимальная подгруппа из QR. Следовательно,
V индуцирует на P группу автоморфизмов, которая является либо неприводимой, либо абеле-
вой группой экспоненты, делящей p - 1, в силу утверждения (i) теоремы. Если V/CV (P ) —
абелева группа экспоненты, делящей p - 1, то M сверхразрешима [23] (§ 1, 1.4)). Поэтому E
является K-U-субнормальной в G, так как M является U-нормальной подгруппой в G по лем-
ме 2.1(4). Если V/CV (P ) — неприводимая группа автоморфизмов подгруппы P, то V является
максимальной подгруппой в PV, и поэтому в силу утверждения (i) теоремы PV является SDH-
группой. Значит, рассуждая, как и выше, можем показать, что E является K-U-субнормальной
в G.
Предположим, что P \nleq M. Не нарушая общности доказательства, можем предполагать,
что QR \leq M. Если \Phi (P ) \not = 1, то в силу утверждения (iii) теоремы группа M = \Phi (P )QR
является SDH-группой. Следовательно, | M : E| делится по крайней мере на одно из чисел q
или r, и поэтому для некоторой максимальной подгруппы D из QR имеем E \leq PD. В силу
утверждения (i) теоремы группа PD сверхразрешима. Поэтому E является K-U-субнормальной
подгруппой в G. Рассмотрим, наконец, случай, когда \Phi (P ) = 1. Если P является минимальной
нормальной подгруппой в G, то M = QR — сверхразрешимая группа. Поэтому E является
K-U-субнормальной в G в силу утверждения (i) теоремы. Предположим, что P = P1 \times P2,
где P1 и P2 — минимальные нормальные подгруппы группы G и по крайней мере одна из
этих подгрупп не является циклической. Не нарушая общности доказательства, можем пред-
полагать, что M = P1QR. Легко видеть, что P1 является минимальной нормальной подгруп-
пой в M, поэтому QR является максимальной подгруппой в M. Поскольку GU \leq P, QR
сверхразрешима. Следовательно, | M : E| делится по крайней мере на одно из чисел q или
r. Значит, рассуждая, как и выше, получаем, что E является K-U-субнормальной подгруп-
пой в G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
60 В. А. КОВАЛЕВА
Предположим теперь, что GU \nleq P. Тогда в силу утверждений (ii) – (iv) теоремы P является
минимальной нормальной подгруппой в G, каждая максимальная подгруппа из G, содержащая
PQ, является сверхразрешимой и либо GU = Q, либо GU = PQ. Если PQ \leq M, то подгруппа
M сверхразрешима и U-нормальна в G. Следовательно, E является K-U-субнормальной в G.
Предположим, что PQ \nleq M. Тогда в силу утверждения (ii) теоремы M сопряжена с одной
из подгрупп QR или PR. Если M = QR, то r делит | M : E| . Следовательно, для некоторой
такой максимальной подгруппы D из QR, что | QR : D| = r, получаем E \leq PD. Поскольку
PQ \leq PD, подгруппа PD сверхразрешима и U-нормальна в G. Значит, E является K-U-
субнормальной в G. Рассмотрим теперь случай, когда M = PR. Если M сверхразрешима, то
GU = Q по утверждению (ii) теоремы, и поэтому QR является U-нормальной подгруппой в G.
Значит, | P | = | G : QR| = p. Следовательно, r делит | M : E| , и поэтому существует такая мак-
симальная подгруппа W из G, что | G : W | = r. Следовательно, E является K-U-субнормальной
в G. Наконец, если группа M не является сверхразрешимой, то M является SDH-группой в
силу утверждения (i) теоремы. Следовательно, рассуждая, как и выше, получаем, что подгруппа
E является K-U-субнормальной в G.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы C. Необходимость. Как и при доказательстве необходимости
в теореме B, получаем, что каждая максимальная подгруппа из G либо сверхразрешима,
либо является SDH-группой. В частности, все 2-максимальные подгруппы из G сверхраз-
решимы.
(i) Рассуждая так же, как и при доказательстве необходимости в теореме B, можно показать,
что группа G разрешима. Поэтому в силу леммы 2.3(2) группа G является дисперсивной по
Оре, т. е. G = P \rtimes (Q\rtimes (R\rtimes T )).
(ii) Покажем, что P является минимальной нормальной подгруппой в G.
Предположим, что это не так. Отметим прежде всего, что поскольку | \pi (G)| = 4, то G не
является минимальной несверхразрешимой группой в силу леммы 2.4(3). Пусть M — такая
максимальная подгруппа из G, что P \nleq M. Тогда G = PM и M \cap P \not = 1. Следовательно,
| \pi (M)| = 4, и поэтому M сверхразрешима в силу леммы 2.4(1). Пусть теперь L — произ-
вольная максимальная подгруппа из G, содержащая P. Если L является SDH-группой, то
P = LU — минимальная нормальная подгруппа в L. Следовательно, P является минимальной
нормальной подгруппой в G. Противоречие. Значит, L сверхразрешима. Таким образом, все
максимальные подгруппы группы G являются сверхразрешимыми. Следовательно, G являет-
ся минимальной несверхразрешимой группой. Полученное противоречие показывает, что P
является минимальной нормальной подгруппой в G.
(iii) Пусть V < E < QRT, где E — максимальная подгруппа из QRT и V — максимальная
подгруппа из E. Тогда PE является максимальной подгруппой в G, а PV — максимальной
подгруппой в PE. Следовательно, PV сверхразрешима.
Предположим, что P не является минимальной нормальной подгруппой в PE. Тогда PE
не является SDH-группой, и поэтому PE сверхразрешима. Следовательно, PE/Op\prime ,p(PE)
является абелевой группой экспоненты, делящей p - 1 [23] (§1, 1.4 и приложения, 3.2). Более
того, Op\prime ,p(PE) = PCE(P ), следовательно, PE/Op\prime ,p(PE) \simeq E/CE(P ). Значит, E индуцирует
на P группу автоморфизмов экспоненты, делящей p - 1.
(iv) Предположим, что P \not = GU. Тогда W = QRT не является сверхразрешимой. По-
скольку W является максимальной подгруппой в G по (ii), в силу отмеченного выше W
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ K-U-СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП 61
является SDH-группой. Следовательно, Q = WU является минимальной нормальной под-
группой в W.
Очевидно, что GU \leq PQ. Более того, Q = WU \leq GU. Поэтому в силу леммы 2.3 (2) либо
GU = Q, либо GU = PQ. Если GU = Q, то Q является минимальной нормальной подгруппой
в G, поскольку Q является минимальной нормальной подгруппой в W. Во втором случае Q
является минимальной нормальной подгруппой в G по лемме 2.3 (2).
Пусть, наконец, M — такая максимальная подгруппа из G, что PQ \leq M. Поскольку по
доказанному выше Q нормальна в G, M не является SDH-группой. Следовательно, M сверх-
разрешима.
(v) Так как P является минимальной нормальной подгруппой в G по (ii), QRT являет-
ся максимальной подгруппой в G. Следовательно, группа QRT либо сверхразрешима, либо
является SDH-группой. Если QRT — SDH-группа, то R и T цикличны по лемме 2.4 (6).
Предположим, что QRT сверхразрешима. В этом случае GU = P. Поскольку G не является
минимальной несверхразрешимой группой, существует такая максимальная подгруппа M в G,
что P \leq M и M является SDH-группой. Так как GU = P \leq M, M является U-нормальной в G
по лемме 2.1 (4). Следовательно, | G : M | является простым числом вследствие разрешимости
группы G. Более того, в силу леммы 2.4 (1) | \pi (M)| = 3. Если | G : M | = t, то | T | = t. Кроме
того, подгруппы Q и R являются циклическими по лемме 2.4 (6). Рассуждая, как и выше,
получаем, что в случаях, когда | G : M | = q и | G : M | = r, подгруппы Q, R и T являются
циклическими.
Достаточность. Пусть E — произвольная неединичная 3-максимальная подгруппа группы
G и M — такая максимальная подгруппа из G, что E является 2-максимальной подгруппой
в M. Для того чтобы доказать, что подгруппа E является K-U-субнормальной в G, в силу
леммы 2.1 (3) теоремы А и разрешимости группы G достаточно найти в G такую U-нормальную
максимальную подгруппу L, что E \leq L и L является либо сверхразрешимой, либо SDH-
группой.
Прежде всего предположим, что P = GU. Если P \leq M, то M является U-нормальной
подгруппой в G по лемме 2.1 (4). Более того, M = P \rtimes V, где V — максимальная подгруппа из
QRT. Следовательно, V индуцирует на P группу автоморфизмов, которая является либо непри-
водимой, либо абелевой группой экспоненты, делящей p - 1, в силу утверждения (iii) теоремы.
Если V/CV (P ) — абелева группа экспоненты, делящей p - 1, то M сверхразрешима [23] (§ 1,
1.4). Поэтому E является K-U-субнормальной в G, так как M является U-нормальной подгруп-
пой в G по лемме 2.1(4). Если V/CV (P ) — неприводимая группа автоморфизмов подгруппы
P, то V является максимальной подгруппой в PV, и поэтому в силу утверждения (iii) теоре-
мы PV является SDH-группой. Следовательно, E является K-U-субнормальной подгруппой
в G.
Предположим, что P \nleq M. Не нарушая общности доказательства, можем предполагать,
что M = QRT. Поскольку E является 2-максимальной подгруппой в M, E индуцирует на
P абелеву группу автоморфизмов экспоненты, делящей p - 1, в силу утверждения (iii) тео-
ремы. Поэтому так же, как и выше, получаем, что группа PE сверхразрешима. Значит, E
является K-U-субнормальной в G, поскольку PE является K-U-субнормальной в G по лем-
ме 2.1 (4).
Предположим теперь, что P \not = GU. В этом случае в силу утверждения (iv) теоремы либо
GU = Q, либо GU = PQ, Q является минимальной нормальной подгруппой в G и каждая
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
62 В. А. КОВАЛЕВА
максимальная подгруппа из G, содержащая PQ, сверхразрешима. Если PQ \leq M, то M сверх-
разрешима и является U-нормальной подгруппой в G.
Следовательно, E является K-U-субнормальной в G. Предположим, что PQ \nleq M. Тогда
в силу утверждений (iv) и (v) теоремы M сопряжена с одной из подгрупп PRT или QRT.
Пусть M = QRT. Легко видеть, что Q является минимальной нормальной подгруппой в M.
Поэтому | M : E| делится по крайней мере на одно из чисел r или t. Следовательно, существует
такая максимальная подгруппа V в G, что E \leq V и | G : V | \in \{ r, t\} . Так как PQ \leq V, V
сверхразрешима. Следовательно, как и выше, получаем, что E является K-U-субнормальной
в G. Рассмотрим, наконец, случай, когда M = PRT. Поскольку P является минимальной
нормальной подгруппой в M и RT сверхразрешима, | M : E| делится по крайней мере на одно
из чисел r или t. Поэтому так же, как и выше, получаем, что E является K-U-субнормальной
в G.
Теорема доказана.
В заключение отметим, что легко построить примеры, показывающие, что группы, удовлет-
воряющие условиям теорем B и C, существуют. Более того, в группах, описанных в теоремах B
и C, а также в теореме 1.2 из [19], все вторые максимальные подгруппы сверхразрешимы.
Частичное описание групп со сверхразрешимыми вторыми максимальными подгруппами было
получено в работе В. Н. Семенчука [24].
Литература
1. Rédei L. Ein Satz uber die endlichen einfachen Gruppen // Acta Math. – 1950. – 84. – P. 129 – 153.
2. Huppert B. Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen // Math. Z. – 1954. – 60. – S. 409 – 434.
3. Guo X. Y., Shum K. P. Cover-avoidance properties and the structure of finite groups // J. Pure and Appl. Algebra. –
2003. – 181. – P. 297 – 308.
4. Guo W., Shum K. P., Skiba A. N. X-semipermutable subgroups of finite groups // J. Algebra. – 2007. – 315. –
P. 31 – 41.
5. Guo W., Skiba A. N. Finite groups with given s-embedded and n-embedded subgroups // J. Algebra. – 2009. – 321. –
P. 2843 – 2860.
6. Li B., Skiba A. N. New characterizations of finite supersoluble groups // Sci. China. Ser. A: Math. – 2008. – 50,
№ 1. – P. 827 – 841.
7. Li Sh. Finite non-nilpotent groups all of whose second maximal subgroups are TI-groups // Math. Proc. Roy. Irish
Acad. A. – 2000. – 100, № 1. – P. 65 – 71.
8. Белоногов В. А. Конечные группы, все 2-максимальные подгруппы которых \pi -разложимы // Тр. Ин-та мате-
матики и механики УрО РАН. – 2014. – 20, № 2. – С. 29 – 43.
9. Го В., Луценко Ю. В., Скиба А. Н. О ненильпотентных группах, любые две 3-максимальные подгруппы которых
перестановочны // Сиб. мат. журн. – 2009. – 50, № 6. – С. 1255 – 1268.
10. Луценко Ю. В., Скиба А. Н. Конечные группы с субнормальными вторыми или третьими максимальными
подгруппами // Мат. заметки. – 2012. – 91, № 5. – С. 680 – 688.
11. Ballester-Bolinches A., Ezquerro L. M., Skiba A. N. On second maximal subgroups of Sylow subgroups of finite
groups // J. Pure and Appl. Algebra. – 2011. – 215, № 4. – P. 705 – 714.
12. Княгина В. Н., Монахов В. С. О перестановочности n-максимальных подгрупп с подгруппами Шмидта // Тр.
Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2012. – 18, № 3. – С. 125 – 130.
13. Monakhov V. S., Kniahina V. N. Finite groups with \BbbP -subnormal subgroups // Ric. mat. – 2013. – 62, № 2. –
P. 307 – 322.
14. Kegel O. H. Zur Struktur mehrfach faktorisierbarer endlicher Gruppen // Math. Z. – 1965. – 87. – S. 409 – 434.
15. Ballester-Bolinches A., Ezquerro L. M. Classes of finite groups. – Dordrecht: Springer-Verlag, 2006.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ K-U-СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП 63
16. Ковалева В. А., Скиба А. Н. Конечные разрешимые группы, у которых все n-максимальные подгруппы U-
субнормальны // Сиб. мат. журн. – 2013. – 54, № 1. – С. 86 – 97.
17. Kovaleva V. A., Skiba A. N. Finite soluble groups with all n-maximal subgroups \frakF -subnormal // J. Group Theory. –
2014. – 17. – P. 273 – 290.
18. Doerk K. Minimal nicht uberauflosbare, endliche Gruppen // Math. Z. – 1966. – 91. – S. 198 – 205.
19. Kovaleva V. A., Yi X. Finite biprimary groups with all 3-maximal subgroups U-subnormal // Acta math. hung. –
2015. – 146, № 1. – P. 47 – 55.
20. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. – Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992.
21. Guo W. The theory of classes of groups. – Beijin etc.: Sci. Press-Kluwer Acad. Publ., 2000.
22. Ballester-Bolinches A., Esteban-Romero R. On minimal non-supersoluble groups // Rev. mat. Iberoamer. – 2007. –
23, № 1. – P. 127 – 142.
23. Between nilpotent and solvable / Ed. M. Weinstein. – Passaic N.J.: Polygonal Publ. House, 1982.
24. Семенчук В. Н. Разрешимые группы со вторыми максимальными сверхразрешимыми подгруппами // Вопросы
алгебры. – 1985. – 1. – С. 86 – 96.
Получено 11.02.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1821 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:16Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2c/400cb3329a32050fa7b553150c23252c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18212019-12-05T09:28:56Z Finite groups with given systems of $K-\mathfrak{U}$-subnormal subgroups Конечные группы с заданными системами $K-\mathfrak{U}$-субнормальных подгрупп Kovaleva, V. A. Ковалева, В. А. Ковалева, В. А. A subgroup $H$ of a finite group $G$ is called $\mathfrak{U}$-subnormal in Kegel’s sense or $K-\mathfrak{U}$-subnormal in $G$ if there exists a chain of subgroups $H = H_0 \leq H_1 \leq . . . \leq H_t = G$ such that either $H_{i-1}$ is normal in $H_i$ or $H_i/(H_{i-1})H_i$ is supersoluble for any $i = 1, . . . , t$. We describe finite groups for which every 2-maximal or every 3-maximal subgroup is $K-\mathfrak{U}$-subnormal. Пiдгрупа $H$ скiнченної групи $G$ називається $\mathfrak{U}$-субнормальною в сенсi Кегеля або $K-\mathfrak{U}$-субнормальною в $G$, якщо iснує такий ланцюжок пiдгруп $H = H_0 \leq H_1 \leq . . . \leq H_t = G$, що або $H_{i-1}$ є нормальною в $H_i$, або $H_i/(H_{i-1})H_i$ є надрозв’язною при будь-якому $i = 1, . . . , t$. У статтi описано скiнченнi групи, кожна 2-максимальна або кожна 3-максимальна пiдгрупа яких є $K-\mathfrak{U}$-субнормальною. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1821 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 1 (2016); 52-63 Український математичний журнал; Том 68 № 1 (2016); 52-63 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1821/803 Copyright (c) 2016 Kovaleva V. A. |
| spellingShingle | Kovaleva, V. A. Ковалева, В. А. Ковалева, В. А. Finite groups with given systems of $K-\mathfrak{U}$-subnormal subgroups |
| title | Finite groups with given systems of $K-\mathfrak{U}$-subnormal subgroups |
| title_alt | Конечные группы с заданными системами $K-\mathfrak{U}$-субнормальных подгрупп |
| title_full | Finite groups with given systems of $K-\mathfrak{U}$-subnormal subgroups |
| title_fullStr | Finite groups with given systems of $K-\mathfrak{U}$-subnormal subgroups |
| title_full_unstemmed | Finite groups with given systems of $K-\mathfrak{U}$-subnormal subgroups |
| title_short | Finite groups with given systems of $K-\mathfrak{U}$-subnormal subgroups |
| title_sort | finite groups with given systems of $k-\mathfrak{u}$-subnormal subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1821 |
| work_keys_str_mv | AT kovalevava finitegroupswithgivensystemsofkmathfrakusubnormalsubgroups AT kovalevava finitegroupswithgivensystemsofkmathfrakusubnormalsubgroups AT kovalevava finitegroupswithgivensystemsofkmathfrakusubnormalsubgroups AT kovalevava konečnyegruppyszadannymisistemamikmathfrakusubnormalʹnyhpodgrupp AT kovalevava konečnyegruppyszadannymisistemamikmathfrakusubnormalʹnyhpodgrupp AT kovalevava konečnyegruppyszadannymisistemamikmathfrakusubnormalʹnyhpodgrupp |