Hahn-Jordan decomposition as an equilibrium state of the conflict system
The notion of conflict system is introduced in terms of couples of probability measures. We construct several models of conflict systems and show that every trajectory with initial state given by a couple of measures $\mu, \nu$ converges to an equilibrium state specified by the normalized component...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1822 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507688476082176 |
|---|---|
| author | Koshmanenko, V. D. Petrenko, S. M. Кошманенко, В. Д. Петренко, С. М. |
| author_facet | Koshmanenko, V. D. Petrenko, S. M. Кошманенко, В. Д. Петренко, С. М. |
| author_sort | Koshmanenko, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:28:56Z |
| description | The notion of conflict system is introduced in terms of couples of probability measures. We construct several models of conflict systems and show that every trajectory with initial state given by a couple of measures $\mu, \nu$ converges to an equilibrium state specified by the normalized components $\mu_+, \nu_+$ of the classical Hahn – Jordan decomposition of the
signed measure $\omega = \mu - \nu$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. Д. Кошманенко, С. M. Петренко (Iн-т математики НАН України, Київ)
РОЗКЛАД ГАНА – ЖОРДАНА ЯК РIВНОВАЖНИЙ СТАН
СИСТЕМИ КОНФЛIКТУ
The notion of conflict system is introduced in terms of couples of probability measures. We construct several models of
conflict systems and show that every trajectory with initial state given by a couple of measures \mu , \nu converges to an
equilibrium state specified by the normalized components \mu +, \nu + of the classical Hahn – Jordan decomposition of the
signed measure \omega = \mu - \nu .
Введено понятие системы конфликта в терминах пар вероятностных мер. Построено несколько моделей систем
конфликта и показано, что каждая траектория с начальным состоянием, заданным парой мер \mu , \nu , сходится к
равновесному состоянию, которое фиксируется нормированными компонентами \mu +, \nu + классического разложения
Хана – Жордана заряда \omega = \mu - \nu .
1. Вступ. Сучасна математична теорiя конфлiкту ґрунтується на рiвняннях Лотки – Вольтерра
\.x1 = x1(r1 - a11x1 + a12x2), \.x2 = x2(r2 + a21x1 - a22x2) (1.1)
та їх спецiалiзованих версiях, вiдомих як рiвняння Ланчестера та рiвняння Рiхардсона (див.
[1]). В (1.1) функцiї xi(t) позначають кiлькiсть бiологiчного виду в момент часу t, а дiйснi
коефiцiєнти ri, aik є параметрами задачi.
Система рiвнянь (1.1) з початку виникнення призначалася для опису динамiки кiлькiсних
змiн двох бiологiчних видiв у результатi їх природної популяцiї, конфлiктної боротьби та ефек-
тiв самознищення внаслiдок перенасичення. Багато таких прикладiв, зокрема ряд моделей
поширення епiдемiй, розглянуто в монографiї [2] (див. також [3]). Згодом виявилося, що цi
рiвняння в певному сенсi є унiверсальними. Вони придатнi не лише в математичнiй бiологiї,
а i для побудови моделей конфлiкту та опису динамiчної поведiнки складних систем рiзної
природи в екологiї, соцiальних науках, процесах взаємодiї рiзних мов, релiгiйних, полiтичних
i навiть вiйськових конфлiктах (див. дискусiю на цi теми в лекцiях Й. Епштейна [1]).
Важливо зауважити, що рiвняння (1.1) описують динамiку кiлькiсних змiн опонентiв. В
застосуваннях саме кiлькiснi характеристики конфлiктуючих сторiн мають вирiшальне значен-
ня. Iдеологiя теорiї конфлiктiв на основi рiвнянь Лотки – Вольтерра спрямована на здобуття
переваги та перемоги для однiєї iз сторiн та мiнiмiзацiю втрат, або, щонайменше, на порятунок
для сторони, яка програє. Про встановлення компромiсу мiж опонентами не йдеться.
Бiльш глибоке дослiдження явища конфлiкту та створення досконалiшої теорiї потребує
статистичного аналiзу величезної кiлькостi актiв конфлiктної боротьби, якi повторюються не-
злiченну кiлькiсть разiв. Такий аналiз можливий лише в термiнах теорiї ймовiрностей, коли
стан системи конфлiкту задається розподiлами випадкових величин, пов’язаних з опонентами
у просторi їхнього iснування. Перехiд вiд рiвнянь Лотки – Вольтерра до рiвнянь у термiнах
iмовiрнiсних розподiлiв аналогiчний переходу вiд класичної фiзики до квантової в термiнах
рiвнянь.
У цiй статтi пiд системою конфлiкту будемо розумiти складну фiзичну систему, яка опи-
сує конфлiктну взаємодiю двох альтернативних сторiн у термiнах iмовiрнiсних розподiлiв на
спiльному просторi iснування. Наведемо математичне означення.
c\bigcirc В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО, 2016
64 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
РОЗКЛАД ГАНА – ЖОРДАНА ЯК РIВНОВАЖНИЙ СТАН СИСТЕМИ КОНФЛIКТУ 65
Нехай \Omega позначає компакт з деякого метричного простору, на якому задано \sigma -алгебру
пiдмножин \scrR . Позначимо через \scrM +(\Omega ) сiм’ю всiх \sigma -адитивних додатних мiр на \scrR . Пiдклас
iмовiрнiсних мiр позначимо через \scrM +
1 (\Omega ).
Кожну пару мiр \mu , \nu \in \scrM +
1 (\Omega ) називаємо станом системи конфлiкту мiж парою опонентiв,
розподiли яких на \Omega задано цими мiрами. Довiльне вiдображення\biggl\{
\mu
\nu
\biggr\}
\divideontimes - \rightarrow
\biggl\{
\mu \prime
\nu \prime
\biggr\}
, \mu , \nu , \mu \prime , \nu \prime \in \scrM +
1 (\Omega ), (1.2)
називаємо композицiєю конфлiкту, а трiйку (\Omega ,\scrM +
1 (\Omega ),\divideontimes ) — системою конфлiкту.
Звичайно, вiдображення \divideontimes задається нелiнiйними рiвняннями в дискретному чи неперерв-
ному часi (див. нижче) i має додатковi властивостi. Рiвняння описують еволюцiю змiн розподi-
лiв, заданих мiрами \omega , \nu на просторi \Omega , внаслiдок конфлiктної взаємодiї протидiючих сторiн.
Замiсть наведених вище рiвнянь Лотки – Вольтерра ми розглядаємо рiвняння вигляду
\mu N+1 = \mu N (\theta N + 1 - \nu N ), \nu N+1 = \nu N (\theta N + 1 - \mu N ), (1.3)
\mu N+1 = \mu N (\theta N + 1) - \tau N , \nu N+1 = \nu N (\theta N + 1) - \tau N (1.4)
для дискретного часу N = 0, 1, . . . та
\.\mu = \mu (\theta - \nu ), \.\nu = \nu (\theta - \mu ), (1.5)
\.\mu =
\mu \theta - \nu
z
, \.\nu =
\nu \theta - \mu
z
(1.6)
для неперервного часу t \geq 0. Тут \theta = \theta (\mu , \nu ) — скалярна функцiя, яка називається показником
(глобальної) конфлiктностi мiж опонентами, математично задається як квадратична форма вiд
мiр \mu , \nu , її явний вигляд визначається конкретною моделлю. Функцiя \tau = \tau (\mu , \nu ) називається
показником локальної конфронтацiї (або окупацiї) i є квадратичною формою на просторi мiр
\scrM +
1 (\Omega ). Знаменник z у рiвняннях (1.4) необхiдний для нормування мiр на одиницю.
Рiвноважним станом системи конфлiкту називається пара мiр \mu \infty , \nu \infty \in \scrM +
1 (\Omega ), для якої
права частина рiвнянь в однiй iз систем (1.3) – (1.6) тотожно дорiвнює нулю.
У цiй роботi ми докладно розглянемо кiлька моделей систем конфлiкту лише з дискретним
часом, хоча основний результат є справедливим i для неперервного часу.
Вiзьмемо довiльну пару \mu , \nu \in \scrM +
1 (\Omega ), \mu \not = \nu . Згiдно з класичним результатом з теорiї мiри
(див., наприклад, [4 – 6]) для заряду \omega = \mu - \nu iснує розклад Гана множини \Omega на двi частини
\Omega = \Omega + \cup \Omega - , \Omega + \cap \Omega - = \varnothing (1.7)
такий, що для \omega має мiсце розклад Жордана
\omega = \omega + - \omega - , \omega +(\Omega - ) = 0 = \omega - (\Omega +), (1.8)
де компоненти \omega +, \omega - \in \scrM +(\Omega ) визначаються умовами
\omega +(A) = \omega +(A+) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
B\subseteq A
\omega (B), A+ = A \cap \Omega +, A,B \in \scrR ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
66 В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
\omega - (A) = \omega - (A - ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
B\subseteq A
- \omega (B), A - = A \cap \Omega - .
Звичайно, розклад Гана (1.7) не єдиний, але додатнi мiри \omega +, \omega - в (1.8) фiксуються зарядом \omega
однозначно. Нормуючи їх на одиницю, одержуємо двi ймовiрнiснi мiри з \scrM +
1 (\Omega ):
\mu + :=
\omega +
\omega +(\Omega )
, \nu - :=
\omega -
\omega - (\Omega )
. (1.9)
Таким чином, справедливою є наступна теорема.
Теорема 1.1. Кожна траєкторiя системи конфлiкту, задана однiєю з систем рiвнянь
(1.3) – (1.6) з початковим станом \mu , \nu \in \scrM +
1 (\Omega ), збiгається до рiвноважного стану \mu \infty , \nu \infty \in
\in \scrM +
1 (\Omega ). При цьому виконуються рiвностi
\mu \infty = \mu +, \nu \infty = \nu - , (1.10)
де \mu +, \nu - визначено в (1.9).
Ми доведемо цю теорему для кiлькох фiксованих моделей: коли \mu , \nu — дискретнi мiри,
кусково-рiвномiрно розподiленi, абсолютно неперервнi на вiдрiзку [0, 1] та абстрактнi на ком-
пактнiй множинi. Доведення для загального випадку буде опублiковано пiзнiше.
Зауважимо, що в роботах [7, 8] вже дослiджувались системи конфлiкту у випадку дискрет-
них мiр. У термiнах стохастичних векторiв такi системи вивчалися також у [9 – 11]. Зокрема, в
цих роботах доведено iснування нерухомих граничних точок (рiвноважних станiв). Застосуван-
ня теорiї систем конфлiкту до моделювання природних процесiв наведено в роботах [12, 13].
Зазначимо також, що опис множини граничних точок у роботах [7 – 11] по сутi збiгається iз
рiвноважними станами з цiєї роботи, але в [7 – 11] цей результат не було явно сформульовано i
доведено.
Мета цiєї роботи — узагальнити i довести встановлений зв’язок мiж розкладом Гана –
Жордана для зарядiв та рiвноважними станами систем конфлiкту в термiнах широкого класу
мiр.
2. Системи конфлiкту в термiнах дискретних мiр. Нехай простiр \Omega — скiнченний набiр
точок, \Omega = \{ \omega 1, \omega 2, . . . , \omega n\} , 2 \leq n < \infty , а \sigma -алгебра \scrR складається з усiх упорядкованих
пiдмножин з \Omega включно з \Omega та \varnothing . Тодi кожну мiру \mu \in \scrM +
1 (\Omega ) можна ототожнити з вектором
p = (p1, . . . , pn), якщо покласти pi = \mu (\omega i), i = 1, . . . , n. Такий вектор буде стохастичним,
оскiльки pi \geq 0 та p1 + . . . + pn = 1. Множину всiх стохастичних векторiв розмiрностi n \geq 2
позначаємо через \BbbR n
+,1. Отже, далi замiсть пар мiр \mu , \nu \in \scrM +
1 (\Omega ) розглядаємо пари стохас-
тичних векторiв p, r \in \BbbR n
+,1, \| p\| 1 = \| r\| 1 = 1. У просторi таких пар вводимо композицiю
конфлiкту \divideontimes , яка в термiнах координат визначається формулами
p\prime i = pi(\theta + 1 - ri), r\prime i = ri(\theta + 1 - pi), i = 1, 2, . . . , n,
де \theta =
\sum n
i=1 piri = (p, r) — скалярний добуток в \BbbR n. Легко перевiрити, що p\prime , r\prime \in \BbbR n
+,1, тобто
є стохастичними, \| p\prime \| 1 = \| r\prime \| 1 = 1. Таким чином, ми побудували модель системи конфлiкту
(\Omega ,\BbbR n
+,1,\divideontimes ). Траєкторiї такої системи
\{ pN , rN\} \divideontimes - \rightarrow \{ pN+1, rN+1\} , N = 0, 1, . . . , (2.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
РОЗКЛАД ГАНА – ЖОРДАНА ЯК РIВНОВАЖНИЙ СТАН СИСТЕМИ КОНФЛIКТУ 67
з довiльними початковими станами \{ p, r\} , p, r \in \BbbR n
+,1, визначаються рiвняннями вигляду (1.3)
в термiнах координат
pN+1
i = pNi
\bigl(
\theta N + 1 - rNi
\bigr)
, rN+1
i = rNi
\bigl(
\theta N + 1 - pNi
\bigr)
, N = 1, 2, . . . , (2.2)
де p0 = p, r0 = r та \theta N = (pN , rN ).
Теорема 2.1. Кожна траєкторiя (2.1) системи конфлiкту (\Omega ,\BbbR n
+,1,\divideontimes ) з початковим ста-
ном \{ p, r\} , p, r \in \BbbR n
+,1, збiгається до рiвноважного стану \{ p\infty , r\infty \} при N \rightarrow \infty , тобто
iснують граничнi вектори
p\infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
pN , r\infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
rN (2.3)
i вони є нерухомими вiдносно перетворення координат, заданого рiвняннями (2.2).
Доведення. Нехай p \not = r та pi > ri > 0 для деякого i \in 1, n. Тодi з (2.2) випливає, що
послiдовнiсть dNi := pNi - rNi монотонно зростає при N \rightarrow \infty . Оскiльки очевидно, що вона є
обмеженою, dNi \leq 1, то iснує границя
0 < d\infty i = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
dNi \leq 1.
Далi, за цiєї ж умови, pi > ri > 0, послiдовнiсть вiдношень координат RN
i = pNi /rNi роз-
бiгається до +\infty , оскiльки з (2.2), як легко переконатися, випливає, що RN
i = RN - 1
i kN - 1
i ,
kNi > kN - 1
i > 1, для всiх N \geq 1. Це означає, що rNi \rightarrow 0, а pNi \rightarrow p\infty i = d\infty i > 0, N \rightarrow \infty . Тому
для граничних значень маємо p\infty i = p\infty i (\theta \infty + 1). Це можливо, лише якщо скалярний добуток
(pN , rN ) \rightarrow 0 (докладнiше див. [7, 8]). Отже, \theta \infty = 0. Аналогiчно, якщо для якогось iншого
iндексу k \in 1, n виконується протилежна умова rk > pk > 0, то pNk \rightarrow 0, а rNk \rightarrow - d\infty k > 0
при N \rightarrow \infty . У випадку, коли pl = rl, неважко зрозумiти, що p\infty l = r\infty l = 0. Таким чином, у
випадку p \not = r доведено iснування граничних векторiв p\infty , r\infty . Нерухомiсть стану \{ p\infty , r\infty \}
вiдносно перетворення \divideontimes перевiряється безпосередньо з урахуванням того, що для кожної пари
координат p\infty i , r\infty i хоча б одна з них дорiвнює нулю. Якщо початковий стан задано рiвними
векторами, p = r, з додатними координатами, то граничнi вектори p\infty , r\infty також iснують i
утворюють рiвноважний стан (див. [7, 8]). Усi координати цих векторiв дорiвнюють 1/n.
Теорему 2.1 доведено.
Для простору \Omega = \{ \omega 1, \omega 2, . . . , \omega n\} i початкової пари стохастичних векторiв p, r \in \BbbR n
+,1
розклад Гана \Omega = \Omega + \cup \Omega - визначається так:
\omega i \subseteq \Omega +, якщо pi \geq ri, i \omega k \subseteq \Omega - , якщо pk < rk.
Далi пишемо i \in \BbbN +, якщо \omega i \subseteq \Omega +, та k \in \BbbN - , якщо \omega k \subseteq \Omega - . Розклад Жордана для заряду
p - r має вигляд
p - r = d+ - d - ,
де координати векторiв d+, d - \in \BbbR n
+ є такими:
d+i =
\Biggl\{
pi - ri при i \in \BbbN +,
0 - в протилежному випадку,
d - k =
\Biggl\{
rk - pk при k \in \BbbN - ,
0 - в протилежному випадку.
Вектори d+, d - , перенормованi на одиницю, позначимо через p+, r - :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
68 В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
p+ =
d+
D
, r - =
d -
D
, (2.4)
де
D =
1
2
n\sum
j=1
| dj | , dj = pj - rj . (2.5)
Далi стверджується, що вектори з рiвноважного стану \{ p\infty , r\infty \} в теоремi 2.1 збiгаються з
векторами p+, r - , визначеними в (2.4) згiдно з розкладом Жордана.
Теорема 2.2. Якщо початковий стан \{ p, r\} системи конфлiкту (\Omega ,\BbbR n
+,1,\divideontimes ) задано рiзни-
ми стохастичними векторами, p \not = r, то для граничних векторiв p\infty , r\infty з (2.3) справджу-
ються рiвностi
p\infty = p+, r\infty = r - ,
де p+, r - визначено в (2.4).
Доведення. Встановимо справедливiсть зображення векторiв p\infty , r\infty правими частинами
формул (2.4) в термiнах координат. Розглянемо спочатку найпростiший випадок, коли нерiвностi
pi > ri, pk < rk виконуються лише для двох iндексiв, а для всiх iнших pj = rj , j \not = i, k. Тодi
легко бачити, що p\infty j = r\infty j = 0, а p\infty i = 1 = r\infty k , p\infty k = 0 = r\infty i . В цьому випадку D = di = - dk
i зображення для p\infty , r\infty формулами (2.4), очевидно, є правильними.
Далi, нехай iснує хоча б пара iндексiв i1, i2 таких, що pi1 > ri1 , pi2 > ri2 . Тодi з (2.2)
одержуємо
di1
di2
=
d1i1
d1i2
=
dNi1
dNi2
=
d\infty i1
d\infty i2
=
p\infty i1
p\infty i2
.
Тому p\infty i1 = kdi1 , p
\infty
i2
= kdi2 , k > 0. Легко зрозумiти, що k = 1/D, оскiльки
\sum
i
p\infty i = 1. Цим
доведено, що
p\infty i =
di
D
=
d+i
D
= p+i , i \in \BbbN +.
Аналогiчним чином встановлюємо, що
r\infty k =
- dk
D
=
d - k
D
= r - k , k \in \BbbN - .
Насамкiнець зауважимо, що у випадку, коли iснує лише один iндекс k такий, що pk < rk, легко
зрозумiти, що r\infty l = 0 для всiх l \not = k, а r\infty k = 1. При цьому D = rk - pk i виконується формула
r\infty k = - dk/D = r - k = 1.
Теорему 2.2 доведено.
3. Динамiка у просторi кусково-рiвномiрно розподiлених мiр. Нехай \Omega = [0, 1], \scrR —
борелiвськa \sigma -алгебрa, а \mu , \nu \in \scrM kpp(\Omega ), де \scrM kpp(\Omega ) позначає клас iмовiрнiсних кусково-
рiвномiрно розподiлених мiр на [0, 1].
Для фiксованої пари мiр \mu , \nu \in \scrM kpp(\Omega ) позначимо через \{ h1, h2, . . . , l1, l2, . . .\} точки роз-
риву функцiй щiльностi цих мiр. Впорядковану послiдовнiсть рiзних точок iз набору
\{ 0, h1, h2, . . . , l1, l2, . . . , 1\} перепозначимо через \{ s1, s2, . . . , sk+1\} .Ця послiдовнiсть точок утво-
рює деяке скiнченне розбиття вiдрiзка [0, 1]:
[0, 1] =
k\bigcup
i=1
[si, si+1], (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
РОЗКЛАД ГАНА – ЖОРДАНА ЯК РIВНОВАЖНИЙ СТАН СИСТЕМИ КОНФЛIКТУ 69
де кожен вiдрiзок [si, si+1] має довжину 0 < qi = si+1 - si < 1. Очевидно, що мiри \mu , \nu є
рiвномiрно розподiленими на кожному вiдрiзку [si, si+1].
Використовуючи розбиття (3.1), поставимо у вiдповiднiсть фiксованим вище мiрам \mu , \nu \in
\in \scrM kpp(\Omega ) пару векторiв p, r \in \BbbR k
+,1, p = (p1, . . . , pk), r = (r1, . . . , rk) з невiд’ємними коорди-
натами:
pi := \mu ([si, si+1]), ri := \nu ([si, si+1]), i = 1, . . . , k. (3.2)
Зрозумiло, що
k\sum
i=1
pi = \mu ([0, 1]) = 1 =
k\sum
i=1
ri = \nu ([0, 1]).
Важливо, що ця вiдповiднiсть мiж мiрами та векторами є бiєктивною. При фiксованому
розбиттi (3.1) кожнiй парi векторiв p, r \in \BbbR k
+,1 однозначно вiдповiдає, згiдно з (3.2), пара
кусково-рiвномiрно розподiлених мiр \mu , \nu \in \scrM kpp(\Omega ). Для вiдновлення цих мiр спочатку по-
кладаємо \mu [si, si+1]) = pi, \nu ([si, si+1]) = ri, а для довiльної борелiвської пiдмножини A \subseteq [0, 1]
визначаємо
\mu (A) =
\sum
i
pi
| Ai|
qi
, \nu (A) =
\sum
i
ri
| Ai|
qi
, Ai = A \cap [si, si+1], (3.3)
де | Ai | позначає мiру Лебега множини Ai. Таким чином, розбиття (3.1) задає взаємно одно-
значну вiдповiднiсть мiж стохастичними векторами з \BbbR k
+ та мiрами з \scrM kpp(\Omega ), якi рiвномiрно
розподiленi на кожному промiжку [si, si+1].
Введемо у просторi пар кусково-рiвномiрно розподiлених мiр композицiю конфлiкту за
допомогою вiдображення
\{ \mu 0, \nu 0\} \divideontimes - \rightarrow \{ \mu 1, \nu 1\} , (3.4)
де нова пара мiр \mu 1, \nu 1 визначається по \mu 0 = \mu i \nu 0 = \nu за таким правилом. Кожна з мiр \mu 1, \nu 1
є кусково-рiвномiрно розподiленою на вiдрiзках [si, si+1] з розбиття (3.1) i має такi значення:
\mu 1([si, si+1]) := p1i , \nu 1([si, si+1]) := r1i , i = 1, . . . , k, (3.5)
де координати векторiв p1 = \{ p1i \} ki=1, r
1 = \{ r1i \} ki=1 визначено згiдно з формулами (2.2). Для
довiльної борелевої множини A \in \scrR значення мiр \mu 1, \nu 1 визначаються формулами, анало-
гiчними (3.3):
\mu 1(A) =
k\sum
i=1
\mu 1(Ai) =
k\sum
i=1
p1i | Ai| /qi, \nu 1(A) =
k\sum
i=1
\nu 1(Ai) =
k\sum
i=1
r1i | Ai| /qi.
Таким чином, ми побудували нову модель системи конфлiкту (\Omega ,\scrM kpp(\Omega ),\divideontimes ), де \Omega = [0, 1],
а вiдображення \divideontimes визначено в (3.4). Iтерацiя цього вiдображення задає деяку траєкторiю сис-
теми конфлiкту в просторi \scrM kpp(\Omega )\times \scrM kpp(\Omega ):
\{ \mu 0, \nu 0\} \divideontimes - \rightarrow \{ \mu 1, \nu 1\} \divideontimes - \rightarrow . . .
\divideontimes - \rightarrow \{ \mu N , \nu N\} \divideontimes - \rightarrow . . . , N = 1, 2, . . . . (3.6)
Наступна теорема є варiантом загальної теореми 1.1 у випадку кусково-рiвномiрно розпо-
дiлених мiр на вiдрiзку [0, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
70 В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
Теорема 3.1. Кожна траєкторiя (3.6) системи конфлiкту (\Omega ,\scrM kpp(\Omega ),\divideontimes ) з початковим
станом \{ \mu 0, \nu 0\} , \mu 0 = \mu , \nu 0 = \nu , \mu \not = \nu , \mu , \nu \in \scrM kpp(\Omega ), збiгається до рiвноважного стану
\{ \mu \infty , \nu \infty \} при N \rightarrow \infty . При цьому
\mu \infty = \mu +, \nu \infty = \nu - , (3.7)
де \mu +, \nu - — нормованi компоненти розкладу Гана – Жордана заряду \omega = \mu - \nu .
Доведення. Зазначимо, що за побудовою як початкова, так i гранична пара мiр вiдповiдають
одному i тому ж розкладу (3.1). Тому переходом до стохастичних векторiв доведення цiєї
теореми зводиться до застосування теорем 2.1, 2.2. Дiйсно, для кожної пари стохастичних
векторiв p0, r0 \in \BbbR k
+,1 за теоремою 2.1 iснують граничнi вектори p\infty , r\infty \in \BbbR k
+,1, iнварiантнi
вiдносно композицiї конфлiкту. Векторам p\infty , r\infty , якi iнварiантнi вiдносно перетворення \divideontimes ,
вiдповiдає пара кусково-рiвномiрно розподiлених мiр \mu \infty , \nu \infty iз простору \scrM kpp(\Omega ). Рiвностi
(3.7) встановлюються також переходом до стохастичних векторiв iз використанням (2.4) та
аргументацiї з доведення теореми 2.2.
Теорему 3.1 доведено.
Зауваження 3.1. Теорема 3.1 легко узагальнюється на випадок злiченного розбиття вiдрiз-
ка [0, 1], коли вектори p, r з координатами, заданими в (3.2), належать l2.
4. Випадок абсолютно неперервних мiр. Нехай \Omega = [0, 1], \scrR — борелiвськa \sigma -алгебра, а
\mu , \nu — пара абсолютно неперервних iмовiрнiсних мiр, \mu , \nu \in \scrM ac([0, 1]), \mu \not = \nu , щiльностi яких
— неперервнi функцiї:
\mu (A) =
\int
A
\rho (x)dx, \nu (A) =
\int
A
\sigma (x)dx, A \in \scrR , \rho , \sigma \in C([0, 1]). (4.1)
Завдяки неперервностi функцiя h(x) = \rho (x) - \sigma (x) змiнює свiй знак на вiдрiзку [0, 1] не бiльш
нiж злiченну кiлькiсть разiв. Це означає, що iснує не бiльш нiж злiченне розбиття вiдрiзка [0, 1]
на зв’язнi пiдмножини з \scrR :
[0, 1] =
n\bigcup
i=1
\Delta i, n \leq \infty , (4.2)
такi, що \Delta i \in \Omega + \vee \Omega - , i \in 1, n, де \Omega +, \Omega - вiдповiдають розкладу Гана для заряду \omega = \mu - \nu .
Використавши розбиття (4.2), спiвставимо мiрам \mu , \nu пару кусково-рiвномiрно розподiлених
мiр \widetilde \mu , \widetilde \nu за правилом
\widetilde \mu (A) = n\sum
i=1
\widetilde \mu i(A), \widetilde \nu (A) = n\sum
i=1
\widetilde \nu i(A), A \in \scrR , (4.3)
де \widetilde \mu i(A) = pi
| Ai|
| \Delta i|
, pi = \mu (\Delta i), \widetilde \nu j(A) = rj
| Aj |
| \Delta j |
, rj = \nu (\Delta j), Ai = A \cap \Delta i.
Лема 4.1. Нехай для \mu , \nu \in \scrM ac[0, 1], \mu \not = \nu , виконуються умови (4.1). Тодi траєкторiя
системи конфлiкту вигляду (3.6) з початковим станом \{ \widetilde \mu , \widetilde \nu \} , де \widetilde \mu , \widetilde \nu — пара кусково-рiвномiрно
розподiлених мiр, побудованих згiдно з (4.3), збiгається до рiвноважного стану \{ \widetilde \mu \infty , \widetilde \nu \infty \} ,
заданого мiрами
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
РОЗКЛАД ГАНА – ЖОРДАНА ЯК РIВНОВАЖНИЙ СТАН СИСТЕМИ КОНФЛIКТУ 71
\widetilde \mu \infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
\widetilde \mu N , \widetilde \nu \infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
\widetilde \nu N . (4.4)
При цьому
\widetilde \mu \infty (\Delta i) = \mu +(\Delta i), \widetilde \nu \infty (\Delta i) = \nu - (\Delta i), i \in 1, n, (4.5)
де \mu +, \nu - — нормованi компоненти розкладу Гана – Жордана для заряду \omega = \mu - \nu .
Доведення. Iснування границь (4.4), якi задають рiвноважний стан, випливає з теореми 3.1.
Доведемо рiвностi (4.5). Розглянемо на [0, 1] заряд \widetilde \omega = \widetilde \mu - \widetilde \nu . Згiдно з (4.3)
\widetilde \omega i(\Delta i) = \widetilde \mu i(\Delta i) - \widetilde \nu i(\Delta i) = pi - ri для всiх i \in 1, n.
На N -му кроцi траєкторiя системи конфлiкту вигляду (3.6) приводить до
\widetilde \omega N
i := \widetilde \omega N \upharpoonright \Delta i, \widetilde \omega N
i (\Delta i) = \widetilde \mu N
i (\Delta i) - \widetilde \nu Ni (\Delta i) = pNi - rNi , i \in 1, n,
де pNi , rNi визначено рiвняннями (2.2) та \widetilde \mu 0
i (\Delta i) = pi, \widetilde \nu 0i (\Delta i) = ri, N \in \BbbN , i \in 1, n. Якщо\widetilde \omega (\Delta i) > 0 для \Delta i \subseteq \Omega +, то pi > ri. Тодi за теоремою 2.2
p\infty i = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
pNi =
d+i
D
, r\infty i = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
rNi = 0.
Звiдси в термiнах зарядiв маємо
\widetilde \omega \infty
i (A) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
\widetilde \omega N
i (A) =
| A \cap \Delta i|
| \Delta i|
p\infty i =
| Ai|
| \Delta i|
d+i
D
, A \in \scrR .
Покажемо, що \mu +(\Delta i) = \widetilde \omega \infty
i (\Delta i) = \widetilde \mu \infty (\Delta i) = d+i /D. Дiйсно,
\mu +(\Delta i) :=
\omega +(\Delta i)
\omega +([0, 1])
=
\omega (\Delta i)
\omega (\Omega +)
=
\mu (\Delta i) - \nu (\Delta i)
\mu (\Omega +) - \nu (\Omega +)
=
pi - ri
D
=
d+i
D
.
Зрозумiло, що для \Delta k \subseteq \Omega - значення \mu +(\Delta k) = \widetilde \mu \infty (\Delta k) = 0. Це доводить першу з рiвностей
(4.5). Аналогiчним чином доводимо другу рiвнiсть, починаючи з \widetilde \omega (\Delta i) < 0 для \Delta i \subseteq \Omega - .
Якщо для якоїсь множини \Delta j \subseteq \Omega виявиться, що \widetilde \omega (\Delta j) = 0, то за теоремою 2.2 p\infty j =
= r\infty j = 0, тому
\mu +(\Delta j) = \widetilde \mu \infty (\Delta j) = \widetilde \nu \infty (\Delta j) = \nu - (\Delta j) = 0.
Лему 4.1 доведено.
Зазначимо, що згiдно з (4.5) значення мiр \widetilde \mu \infty , \mu + (та \widetilde \nu \infty , \nu - ) рiвнi мiж собою лише на
вiдрiзках \Delta i з розбиття (4.2). Для довiльних A \in \scrR взагалi \widetilde \mu \infty (A) \not = \mu +(A) та \widetilde \nu \infty (A) \not = \nu - (A).
Але, вдосконалюючи спосiб подрiбнення вiдрiзка [0, 1], можна досягти того, що вiдмiннiсть мiж
мiрами \widetilde \mu \infty , \mu + та \widetilde \nu \infty , \nu - стане як завгодно малою. Для цього проведемо додаткове розбиття
кожної множини \Delta i з (4.2):
[0, 1] =
n\bigcup
i=1
mi\bigcup
k=1
\Delta ik , n \leq \infty , mi < \infty , (4.6)
таким чином, щоб для довiльного наперед фiксованого \varepsilon > 0 виконувалась умова (C):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
72 В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Delta ik
| Mik - mik | < \varepsilon ,
де mik := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}x\in \Delta ik
h(x)/D, Mik := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in \Delta ik
h(x)/D, h(x) = \rho (x) - \sigma (x), D =
\int 1
0
| h(x)| dx.
Наступна теорема стверджує, що нормованi компоненти розкладу Гана – Жордана \mu +, \nu +
заряду \omega = \mu - \nu можна як завгодно точно наблизити мiрами з послiдовностi рiвноважних
станiв системи конфлiкту, побудованих за кусково-рiвномiрно розподiленими мiрами згiдно
з п. 3.
Теорема 4.1. Нехай для \mu , \nu \in \scrM ac[0, 1], \mu \not = \nu , виконується умова (4.1). Зафiксуємо
\varepsilon > 0 i позначимо через \widetilde \mu \varepsilon , \widetilde \nu \varepsilon пару кусково-рiвномiрно розподiлених мiр, побудованих по \mu , \nu
за допомогою розбиття (4.6), для якого виконується умова (C). Тодi для траєкторiї системи
конфлiкту вигляду (3.6) з початковим станом \{ \widetilde \mu \varepsilon , \widetilde \nu \varepsilon \} iснує рiвноважний стан, заданий мiрами\widetilde \mu \varepsilon ,\infty , \widetilde \nu \varepsilon ,\infty , для яких виконуються нерiвностi
| \widetilde \mu \varepsilon ,\infty (A) - \mu +(A)| < \varepsilon , | \widetilde \nu \varepsilon ,\infty (A) - \nu - (A)| < \varepsilon , A \in \scrR . (4.7)
Доведення. Зафiксуємо \Delta i \subseteq \Omega + i встановимо нерiвностi (4.7) для A \subseteq \Delta i. Почнемо з
нерiвностi
| \widetilde \mu \varepsilon ,\infty
i (A) - \mu +(A)| < \varepsilon , A \subseteq \Delta i. (4.8)
Нехай c та d позначають граничнi точки множини \Delta i. Тодi додаткове подрiбнення \Delta i з
умовою (C) при фiксованому \varepsilon можна задати послiдовнiстю точок
c = x1 < x2 < . . . < xmi+1 = d, \Delta ik = [xk, xk+1].
Кусково-рiвномiрно розподiленi мiри \widetilde \mu \varepsilon , \widetilde \nu \varepsilon визначаються описаним вище способом за своїми
компонентами:
\widetilde \mu \varepsilon
ik
(A) :=
| A \cap \Delta ik |
| \Delta ik |
\mu (\Delta ik) =
| Aik |
| \Delta ik |
pik , \widetilde \nu \varepsilon ik(A) :=
| A \cap \Delta ik |
| \Delta ik |
\nu (\Delta ik) =
| Aik |
| \Delta ik |
rik .
Тепер, використовуючи теорему 2.2, легко встановити, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
pNi = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
mi\sum
k=1
pNik .
Тому
mi\sum
k=1
p\infty ik =
mi\sum
k=1
pik - rik
D
=
1
D
\Biggl(
mi\sum
k=1
pik -
mi\sum
k=1
rik
\Biggr)
=
pi - ri
D
=
d+i
D
,
а завдяки лемi 4.1 маємо
\widetilde \mu \varepsilon ,\infty
ik
(A) =
| A \cap \Delta ik |
| \Delta ik |
p\infty ik , \widetilde \nu \infty ik (A) = 0, A \in \scrR , k \in 1,mi.
Зокрема, \widetilde \mu \varepsilon ,\infty
ik
(\Delta ik) = \mu +(\Delta ik) = d+ik/D. Як наслiдок, одержуємо рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
РОЗКЛАД ГАНА – ЖОРДАНА ЯК РIВНОВАЖНИЙ СТАН СИСТЕМИ КОНФЛIКТУ 73
\widetilde \mu \varepsilon ,\infty
i =
mi\sum
k=1
\widetilde \mu \varepsilon ,\infty
ik
.
Далi, для Aik := A \cap \Delta ik знаходимо
| \mu +(Aik) - \widetilde \mu \varepsilon ,\infty
i (Aik)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mu +(Aik) -
| Aik |
| \Delta ik |
\widetilde \mu \varepsilon ,\infty
ik
(\Delta ik)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mu +(Aik) -
| Aik |
| \Delta ik |
\mu +(\Delta ik)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Mik | Aik | - mik | \Delta ik |
| Aik |
| \Delta ik |
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = | Mik - mik | | Aik | \leq \varepsilon | Aik | ,
де першa нерiвнiсть випливає з того, що
\mu +(Aik) =
\mu (Aik)
D
- \nu (Aik)
D
=
\int
Aik
\rho (x)
D
dx -
\int
Aik
\sigma (x)
D
dx =
\int
Aik
h(x)
D
dx,
\mu +((Aik)) =
\int
Aik
h(x)
D
dx \leq Mik | Aik | ,
\mu +((\Delta ik)) =
\int
\Delta ik
h(x)
D
dx \geq mik | \Delta ik | ,
а друга нерiвнiсть виконується завдяки умовi (\bfC ). Бiльш того, з цих же мiркувань випливає
нерiвнiсть
| \mu +(Ai) - \widetilde \mu \varepsilon ,\infty
i (Ai)| < \varepsilon | Ai| \leq \varepsilon , Ai = A \cap \Delta i,
яка i доводить (4.8). Тепер для будь-якого A \in \scrR маємо
| \widetilde \mu \varepsilon ,\infty (A) - \mu +(A)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n\sum
i=1
\widetilde \mu \varepsilon ,\infty
i (A \cap \Delta i) -
n\sum
i=1
\mu +(A \cap \Delta i)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
n\sum
i=1
| \widetilde \mu \varepsilon ,\infty
i (Ai) - \mu +(Ai)| \leq \varepsilon
n\sum
i=1
| Ai| \leq \varepsilon .
Таким же способом встановлюємо аналогiчну нерiвнiсть для мiри \widetilde \nu \varepsilon ,\infty , тобто другу нерiв-
нiсть з (4.7).
Теорему 4.1 доведено.
Зауважимо, що це доведення можна дещо спростити, якщо умову (C) замiнити на таку: для
кожного \Delta ik з розбиття (4.6)
| \mu (Aik) - \mu (\Delta ik)| | Aik | /| \Delta ik | < \varepsilon | \Delta ik | , | \nu (Aik) - \nu (\Delta ik)| | Aik | /| \Delta ik | < \varepsilon | \Delta ik | , Aik = A\cap \Delta ik .
5. Рiвноважнi стани систем конфлiкту в термiнах абстрактних мiр. Нехай \Omega — компакт
абстрактного метричного простору, в якому зафiксовано \sigma -алгебру пiдмножин \scrR . Як i вище,
\scrM +
1 (\Omega ) позначає множину всiх \sigma -адитивних iмовiрнiсних мiр на \scrR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
74 В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
Розглянемо заряд \omega = \mu - \nu , побудований за парою мiр \mu , \nu \in \scrM +
1 (\Omega ), \mu \not = \nu , та вiдповiдний
йому розклад Гана – Жордана:
\Omega = \Omega + \cup \Omega - , \Omega + \cap \Omega - = \varnothing , \omega = \omega + - \omega - ,
\omega +(A) := \omega (A+), \omega - (A) := \omega (A - ), A+ = A \cap \Omega +, A - = A \cap \Omega - , A \in \scrR .
Зазначимо, що пiдмножини \Omega +,\Omega - визначено своїми властивостями:
\omega (A+) \geq 0 \forall A+ = A \cap \Omega +, \omega (A - ) \leq 0 \forall A - = A \cap \Omega - , A \in \scrR ,
i зафiксовано з точнiстю до A0 \in \scrR таких, що \omega (A0) = 0.
Далi через \mu +, \nu - позначаємо мiри, отриманi з \omega +, \omega - процедурою перенормування на
одиницю, тобто
\mu + =
\omega +
\omega +(\Omega )
, \nu - =
\omega -
\omega - (\Omega )
, A \in \scrR . (5.1)
Введемо мiж мiрами \mu , \nu \in \scrM +
1 (\Omega ) некомутативну композицiю конфлiкту \divideontimes ,
\mu 1 = \mu \divideontimes \nu , \nu 1 = \nu \divideontimes \mu ,
згiдно з рiвняннями (1.4):
\mu 1(A) = \mu (A)(\theta + 1) - \tau (A), \nu 1(A) = \nu (A)(\theta + 1) - \tau (A), A \in \scrR , (5.2)
де
\theta = \theta (\mu , \nu ) = \mu (\Omega - ) + \nu (\Omega +),
а
\tau (A) = \nu (A+) + \mu (A - ), A+ = A \cap \Omega +, A - = A \cap \Omega - , \theta = \theta (\Omega ).
Неважко переконатися, що \mu 1, \nu 1 — ймовiрнiснi мiри, тобто \mu 1, \nu 1 \in \scrM +
1 (\Omega ).
Iтерацiя композицiї \divideontimes породжує траєкторiю системи конфлiкту (\Omega ,\scrM +
1 (\Omega ),\divideontimes ) в термiнах
абстрактних мiр:
\{ \mu N , \nu N\} \divideontimes - \rightarrow \{ \mu N+1, \nu N+1\} , N = 0, 1, . . . , (5.3)
де згiдно з (5.2)
\mu N+1(A) = \mu N (A)(\theta N + 1) - \tau N (A),
\nu N+1(A) = \nu N (A)(\theta N + 1) - \tau N (A), A \in \scrR .
(5.4)
Тут \mu 0 = \mu , \nu 0 = \nu , \tau N (A) = \nu N (A+) + \mu N (A - ), \theta
N = \tau N (\Omega ).
Теорема 5.1. Для кожної пари ймовiрнiсних мiр \mu , \nu \in \scrM +
1 (\Omega ), \mu \not = \nu , траєкторiя систе-
ми конфлiкту (5.3) збiгається до рiвноважного стану \{ \mu \infty , \nu \infty \} такого, що
\mu \infty (A) = \mu +(A), \nu \infty (A) = \nu - (A) для всiх A \in \scrR ,
де мiри \mu +, \nu - визначено в (5.1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
РОЗКЛАД ГАНА – ЖОРДАНА ЯК РIВНОВАЖНИЙ СТАН СИСТЕМИ КОНФЛIКТУ 75
Доведення. Для множин A0 \in \scrR , на яких \mu (A0) = \nu (A0), з (5.4) одержуємо \mu N+1(A0) =
= \mu N (A0)\theta
N . Завдяки \theta N < 1 це означає, що \mu N (A0) \rightarrow 0 та \nu N (A0) \rightarrow 0 одночасно при
N \rightarrow 0.
Нехай A \subseteq \Omega + \vee \Omega - . У загальному випадку множину A розкладаємо на A+ = A \cap \Omega + та
A - = A \cap \Omega - i завдяки адитивностi можемо розглядати поведiнку мiр окремо на A+ та A - .
Почнемо з A+ \subseteq \Omega +. Тодi \mu (A+) \geq \nu (A+) завдяки властивостям розкладу Гана – Жордана.
Нехай \mu (A+) > \nu (A+) > 0. Тодi з (5.2) випливає, що
dN+1(A+) := \mu N+1(A+) - \nu N+1(A+) = dN (A+)(\theta
N + 1) > dN (A+), N \geq 1,
оскiльки завжди \theta N + 1 > 1. Це означає, що послiдовнiсть dN (A+) монотонно зростає при
N \rightarrow \infty . Оскiльки очевидно, що dN (A+) = \mu N (A+) - \nu N (A+) < 1, то iснує границя
d\infty (A+) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
dN (A+). (5.5)
Крiм того, з умови \mu (A+) > \nu (A+) випливає, що вiдношення RN (A+) = \mu N (A+)/\nu
N (A+)
утворює послiдовнiсть, яка також є монотонно зростаючою. Дiйсно, беручи до уваги, що зараз
\tau N (A+) = \nu N (A+), маємо
RN+1(A+) =
\mu N+1(A+)
\nu N+1(A+)
=
\mu N (A+)(\theta
N + 1) - \nu N (A+)
\nu N (A+)(\theta N + 1) - \nu N (A+)
=
= RN (A+)k
N = R0k0k1 . . . kN , (5.6)
де
kN =
1 + \theta N - \nu N (A+)/\mu
N (A+)
\theta N
> 1, N \geq 0,
оскiльки \nu N (A+)/\mu
N (A+) < 1. Отже, RN+1(A+) > RN (A+) Бiльш того, покажемо, що
1 < k0 < k1 < . . . < kN < . . . . (5.7)
Нерiвнiсть 1 < k0 випливає з \mu (A+) > \nu (A+) > 0. З цiєї ж нерiвностi одержуємо k0 < k1 :
k1 = 1 +
1
\theta 1
\biggl(
1 - \nu 1(A+)
\mu 1(A+)
\biggr)
= 1 +
1
\theta 1
\biggl(
1 - \nu (A+)(1 + \theta ) - \nu (A+)
\mu (A+)(1 + \theta ) - \nu (A+)
\biggr)
>
> 1 +
1
\theta 1
\biggl(
1 - \nu (A+)\theta
\mu (A+)(1 + \theta ) - \mu (A+)
\biggr)
= 1 +
1
\theta 1
\biggl(
1 - \nu (A+)
\mu (A+)
\biggr)
>
> 1 +
1
\theta
\biggl(
1 - \nu (A+)
\mu (A+)
\biggr)
= k0,
де ми додатково скористалися нерiвнiстю \theta 1 < \theta , виконання якої випливає з формул
\theta 1 = \nu 1(\Omega +)+\mu 1(\Omega - ) = \nu (\Omega +)(1+\theta ) - \theta (\Omega +)+\mu (\Omega - )(1+\theta ) - \theta (\Omega - ) = (1+\theta )\theta - \theta = (\theta )2 < \theta ,
оскiльки \theta < 1. Тепер (5.7) отримуємо за iндукцiєю. З (5.6) та (5.7) видно, що
RN (A+) \rightarrow \infty при N \rightarrow \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
76 В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
Як наслiдок, \nu N (A+) \rightarrow 0 при N \rightarrow 0, оскiльки \mu N (A+) \leq 1. Тому \nu \infty (A+) = 0, i завдяки
(5.5) можемо зробимо висновок, що \mu N (A+) збiгається до границi, яка не перевищує одиницю:
1 \geq \mu \infty (A+) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
\mu N (A+) = d\infty (A+) > 0. (5.8)
Попереднi мiркування є правильними для всiх A+ \subseteq \Omega + з \mu (A+) > 0, оскiльки завжди вико-
нується умова \mu (A+) \geq \nu (A+), зокрема i для випадку, коли \nu (A+) = 0.
Якщо A = A - \subseteq \Omega - , то виконується нерiвнiсть \mu (A - ) \leq \nu (A - ). Тому, аналогiчно до
попереднього, доводимо iснування границь \nu \infty (A - ) = - d\infty (A - ) \geq 0 та \mu \infty (A - ) = 0.
Таким чином, ми довели iснування границь
\mu \infty (A) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
\mu N (A+), \nu \infty (A) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
\nu N (A - ), A \in \scrR ,
де враховано властивiсть адитивностi, \mu N (A) = \mu N (A+)+\mu N (A - ), \nu
N (A) = \nu N (A+)+\nu N (A - )
i те, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
\mu N (A - ) = \mu \infty (A - ) = 0 \forall A - \subseteq \Omega - , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
\nu N (A+) = \nu \infty (A+) = 0 \forall A+ \subseteq \Omega +. (5.9)
З (5.9) випливає рiвнiсть \theta \infty = 0, i тому граничний стан \{ \mu \infty , \nu \infty \} є нерухомим вiдносно
композицiї конфлiкту \divideontimes . Це означає, що цей стан є рiвноважним для траєкторiї (5.3) системи
конфлiкту (\Omega ,\scrM +
1 (\Omega ),\divideontimes ).
Доведемо другу частину теореми, а саме, покажемо, що побудований граничний рiвно-
важний стан визначається нормованими компонентами розкладу Гана – Жордана початкового
заряду \omega = \mu - \nu .
Нехай A1, A2 \subseteq \Omega + — довiльнi фiксованi множини i такi, що \omega (A1), \omega (A2) > 0. З (5.4)
видно, що вiдношення dN (A1)/d
N (A2) не залежить вiд N :
d1(A1)
d1(A2)
=
(\mu (A1) - \nu (A1))(\theta + 1)
(\mu (A2) - \nu (A2))(\theta + 1)
=
dN (A1)
dN (A2)
=
d(A1)
d(A2)
.
Ця властивiсть, очевидно, виконується i при граничному переходi N - \rightarrow \infty , тому
d(A1)
d(A2)
=
d\infty (A1)
d\infty (A2)
.
Далi, згiдно з (5.8) \mu \infty (A+) = d\infty (A+), тому
\mu \infty (A1)
\mu \infty (A2)
=
d(A1)
d(A2)
. (5.10)
З (5.10) робимо висновок, що для A+ \subseteq \Omega + значення \mu \infty (A+) пропорцiйнi до d(A+), тобто
\mu \infty (A+) = k\mu d(A+), де коефiцiєнт k\mu , очевидно, є не залежним вiд A+. Звiдси, використовуючи
те, що \mu \infty (\Omega +) = 1, знаходимо
k\mu =
1
d(\Omega +)
=
1
\omega (\Omega +)
=
1
\omega +(\Omega )
.
Отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
РОЗКЛАД ГАНА – ЖОРДАНА ЯК РIВНОВАЖНИЙ СТАН СИСТЕМИ КОНФЛIКТУ 77
\mu \infty (A+) =
\mu (A+) - \nu (A+)
\omega +(\Omega )
= \mu +(A+), A+ \in \Omega +,
i тому \mu \infty = \mu +, оскiльки на \Omega - мiри \mu \infty , \mu + дорiвнюють нулю.
Аналогiчно доводимо, що
\nu \infty (B1)
\nu \infty (B2)
=
d(B1)
d(B2)
, B1, B2 \subseteq \Omega - .
Це означає, що справжується рiвнiсть \nu \infty (B - ) = k\nu d(B - ), де коефiцiєнт k\nu є не залежним вiд
B - \subseteq \Omega - i легко знаходиться:
k\nu = - 1
d(\Omega - )
= - 1
\omega - (\Omega )
.
Тому
\nu \infty (B - ) =
\nu (B - ) - \mu (B - )
\omega - (\Omega )
= \nu - (B - ), B - \in \Omega - .
Отже, \nu \infty = \nu +, оскiльки на \Omega + мiри \nu \infty , \nu + дорiвнюють нулю.
Теорему 5.1 доведено.
Лiтература
1. Epstein J. M. Nonlinear dynamics, mathematical biology, and social science. – Addison-Wesley Publ. Co., 1997.
2. Murray J. D. Mathematical biology I: An Introduction. – Springer, 2002.
3. Bandyopadhyay M., Chattopadhyay J. Ratio-dependent predator-prey model: effect of environmental fluctuation and
stability // Nonlinearity. – 2005. – 18. – P. 913 – 936.
4. Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная. – М.: Наука, 1964. – 211 с.
5. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. – Киев: Вища шк., 1990. – 600 с.
6. Danford N., Schwartz J. T. Linear operators. – New York; London, 1958. – Pt. 1.
7. Кошманенко В. Д. Теорема про конфлiкт для пари стохастичних векторiв // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 4. –
С. 555 – 560.
8. Koshmanenko V. D. Theorem of conflicts for a pair of probability measures // Math. Meth. Oper. Res. – 2004. – 59,
№ 2. – P. 303 – 313.
9. Bodnarchuk M., Koshmanenko V., Kharchenko N. The properties of the limiting states of the conflict dynamical
systems // Nonlinear Oscillations. – 2004. – 7, № 4. – P. 446 – 461.
10. Koshmanenko V. D., Kharchenko N. V. Invariant points of a dynamical system of conflict in the space of piecewise-
uniformly distributed measures // Ukr. Math. J. – 2004. – 56, № 7. – P. 927 – 938.
11. Albeverio S., Bodnarchyk M., Koshmanenko V. Dynamics of discrete conflict interactions between non-annihilating
opponent // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2005. – 11, № 4. – P. 309 – 319.
12. Albeverio S., Koshmanenko V., Samoilenko I. The conflict interaction between two complex systems: cyclic migration
// J. Interdiscipl. Math. – 2008. – 11, № 2. – P. 163 – 185.
13. Koshmanenko V., Samoilenko I. The conflict triad dynamical system // Commun Nonlinear Sci. Numer Simulat. –
2011. – 16. – P. 2917 – 2935.
Одержано 04.07.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1822 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:17Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/94/d0c620d50abf0a05f4adcbce34b9dd94.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18222019-12-05T09:28:56Z Hahn-Jordan decomposition as an equilibrium state of the conflict system Розклад Гана - Жордана як рівноважний стан системи конфлікту Koshmanenko, V. D. Petrenko, S. M. Кошманенко, В. Д. Петренко, С. М. The notion of conflict system is introduced in terms of couples of probability measures. We construct several models of conflict systems and show that every trajectory with initial state given by a couple of measures $\mu, \nu$ converges to an equilibrium state specified by the normalized components $\mu_+, \nu_+$ of the classical Hahn – Jordan decomposition of the signed measure $\omega = \mu - \nu$. Введено понятие системы конфликта в терминах пар вероятностных мер. Построено несколько моделей систем конфликта и показано, что каждая траектория с начальным состоянием, заданным парой мер $\mu, \nu$, сходится к равновесному состоянию, которое фиксируется нормированными компонентами $\mu_+, \nu_+$ классического разложения Хана –Жордана заряда $\omega = \mu - \nu$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1822 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 1 (2016); 64-77 Український математичний журнал; Том 68 № 1 (2016); 64-77 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1822/804 Copyright (c) 2016 Koshmanenko V. D.; Petrenko S. M. |
| spellingShingle | Koshmanenko, V. D. Petrenko, S. M. Кошманенко, В. Д. Петренко, С. М. Hahn-Jordan decomposition as an equilibrium state of the conflict system |
| title | Hahn-Jordan decomposition as an equilibrium state of the
conflict system |
| title_alt | Розклад Гана - Жордана як рівноважний стан системи
конфлікту |
| title_full | Hahn-Jordan decomposition as an equilibrium state of the
conflict system |
| title_fullStr | Hahn-Jordan decomposition as an equilibrium state of the
conflict system |
| title_full_unstemmed | Hahn-Jordan decomposition as an equilibrium state of the
conflict system |
| title_short | Hahn-Jordan decomposition as an equilibrium state of the
conflict system |
| title_sort | hahn-jordan decomposition as an equilibrium state of the
conflict system |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1822 |
| work_keys_str_mv | AT koshmanenkovd hahnjordandecompositionasanequilibriumstateoftheconflictsystem AT petrenkosm hahnjordandecompositionasanequilibriumstateoftheconflictsystem AT košmanenkovd hahnjordandecompositionasanequilibriumstateoftheconflictsystem AT petrenkosm hahnjordandecompositionasanequilibriumstateoftheconflictsystem AT koshmanenkovd rozkladganažordanaâkrívnovažnijstansistemikonflíktu AT petrenkosm rozkladganažordanaâkrívnovažnijstansistemikonflíktu AT košmanenkovd rozkladganažordanaâkrívnovažnijstansistemikonflíktu AT petrenkosm rozkladganažordanaâkrívnovažnijstansistemikonflíktu |