Wiman-type inequality for functions analytic in a polydisc
We prove an analog of Wiman-type inequality for analytic functions in a polydisc $\mathbb{D}^p = \{z \in \mathbb{C}^p : |z_j| < 1,\; j \in \{ 1, . . . ,p\} \} , p \in N.$ The obtained inequality is sharp.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1823 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507688051408896 |
|---|---|
| author | Kurylyak, A. O. Skaskiv, O. B. Shapovalovs’ka, L. O. Куриляк, А. О. Скасків, О. Б. Шаповаловська, Л. О. |
| author_facet | Kurylyak, A. O. Skaskiv, O. B. Shapovalovs’ka, L. O. Куриляк, А. О. Скасків, О. Б. Шаповаловська, Л. О. |
| author_sort | Kurylyak, A. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:28:56Z |
| description | We prove an analog of Wiman-type inequality for analytic functions in a polydisc $\mathbb{D}^p = \{z \in \mathbb{C}^p : |z_j| < 1,\; j \in \{ 1, . . . ,p\} \} , p \in N.$ The obtained inequality is sharp. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.55
А. О. Куриляк, О. Б. Скаскiв, Л. О. Шаповаловська (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА ДЛЯ АНАЛIТИЧНИХ У ПОЛIКРУЗI ФУНКЦIЙ
We prove an analog of Wiman-type inequality for analytic functions in a polydisc \BbbD p = \{ z \in \BbbC p : | zj | < 1, j \in
\in \{ 1, . . . , p\} \} , p \in \BbbN . The obtained inequality is sharp.
Доказан аналог неравенства Вимана для функций, аналитических в полидиске \BbbD p = \{ z \in \BbbC p : | zj | < 1, j \in
\in \{ 1, . . . , p\} \} , p \in \BbbN . Полученное неравенство является точным.
1. Вступ. За теоремою Вiмана – Валiрона (див. [1 – 8]) для кожної вiдмiнної вiд тотожно сталої
цiлої функцiї
f(z) =
+\infty \sum
n=0
anz
n (1)
i довiльного \varepsilon > 0 iснує така множина E \subset [1; +\infty ) скiнченної логарифмiчної мiри (тобто\int
E
dr
r
< +\infty ), що для всiх r \in [1; +\infty ) \setminus E виконується нерiвнiсть Вiмана
Mf (r) \leq \mu f (r) \mathrm{l}\mathrm{n}
1/2+\varepsilon \mu f (r),
де Mf (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | f(z)| : | z| = r\} , \mu f (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | an| rn : n \geq 0\} .
Якщо f — аналiтична функцiя в одиничному крузi \BbbD = \{ z : | z| < 1\} вигляду (1), то для
кожного \delta > 0 iснує така множина E = Ef (\delta ) \subset (0, 1) скiнченної логарифмiчної мiри на
(0, 1), тобто
\int
Ef (\delta )
dr
1 - r
< +\infty , що для всiх r \in (0, 1) \setminus Ef (\delta ) виконується нерiвнiсть (див.,
наприклад, [9 – 12])
Mf (r) \leq
\mu f (r)
(1 - r)1+\delta
\mathrm{l}\mathrm{n}1/2+\delta \mu f (r)
1 - r
.
У статтi [10] вказано, що для функцiї g(z) =
\sum +\infty
n=1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ n\varepsilon \} zn i деякого \varepsilon \in (0, 1) виконується
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 1 - 0
Mg(r)
\mu g(r)
1 - r
\mathrm{l}\mathrm{n}1/2
\mu g(r)
1 - r
\geq C > 0.
У статтi [13] нерiвнiсть типу Вiмана доведено для аналiтичних функцiй, заданих степеневими
рядами вигляду
f(z) = f(z1, z2) =
+\infty \sum
n+m=0
anmzn1 z
m
2
з областю збiжностi \{ z = (z1, z2) \in \BbbC 2 : | z1| < 1, z2 \in \BbbC \} .
Мета даної статтi — довести один аналог нерiвностi типу Вiмана для аналiтичних функцiй
у полiкрузi \BbbD p = \{ z = (z1, . . . , zp) \in \BbbC p : | zj | < 1, j \in \{ 1, . . . , p\} \} ,
c\bigcirc А. О. КУРИЛЯК, О. Б. СКАСКIВ, Л. О. ШАПОВАЛОВСЬКА, 2016
78 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА ДЛЯ АНАЛIТИЧНИХ У ПОЛIКРУЗI ФУНКЦIЙ 79
f(z) = f(z1, . . . , zp) =
+\infty \sum
\| n\| =0
anz
n, (2)
де zn = zn1
1 . . . z
np
p , p \in \BbbN , n = (n1, . . . , np) \in \BbbZ p
+, \| n\| =
\sum p
j=1
nj .
Позначимо через \scrA p клас таких аналiтичних функцiй.
2. Нерiвнiсть типу Вiмана для аналiтичних функцiй у полiкрузi. Для функцiй f \in \scrA p i
r = (r1, . . . , rp) \in [0, 1)p позначимо
\Delta r = \{ t = (t1, . . . , tp) \in [0, 1)p : tj \geq rj , j \in \{ 1, . . . , p\} \} , \frakM f (r) =
+\infty \sum
\| n\| =0
| an| rn,
Mf (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | f(z)| : | zj | \leq rj , j \in \{ 1, . . . , p\} \} , \mu f (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | an| rn : n \in \BbbZ p
+\} .
Нехай Df (r) = (Dij) — (p\times p)-матриця з елементами
Dij := ri
\partial
\partial ri
\biggl(
rj
\partial
\partial rj
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r)
\biggr)
= \partial i\partial j \mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r), \partial i := ri
\partial
\partial ri
, i, j \in \{ 1, . . . , p\} .
Наступне твердження доводиться майже дослiвним повторенням доведення теореми 3.1 з
[14] (див. також [13]).
Теорема 1. Нехай f \in \scrA p. Тодi iснує така абсолютна стала C0, що
(\forall r \in [0, 1)p) : \frakM f (r) \leq C0\mu f (r)(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Df (r) + I))1/2,
де I — одинична (p\times p)-матриця.
Множину E \subset [0, 1)p називатимемо множиною асимптотично скiнченної логарифмiчної
мiри на [0, 1)p, якщо iснує таке r0 \in [0, 1)p, що
\nu ln(E \cap \Delta r0) :=
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
E\cap \Delta r0
p\prod
i=1
dri
1 - ri
< +\infty ,
тобто множина E \cap \Delta r0 є множиною скiнченної логарифмiчної мiри на [0, 1)p, i E \subset [0, 1)p
— множина асимптотично нескiнченної логарифмiчної мiри на [0, 1)p, якщо iснує таке r0 \in
\in [0, 1)p, що \nu ln(E \cap \Delta r) = +\infty для всiх r \geq r0
\biggl(
тобто rj \geq r
(0)
j (\forall j \in \{ 1, . . . , p\} ), де
r = (r1, . . . , rp), r0 = (r
(0)
1 , . . . , r
(0)
p )
\biggr)
.
Лема 1. Нехай \delta > 0, h : \BbbR p
+ \rightarrow \BbbR + — така зростаюча за кожною змiнною функцiя, що
+\infty \int
1
. . .
+\infty \int
1
1
h(u)
p\prod
j=1
duj < +\infty .
Тодi iснує така множина E \subset [0, 1)p асимптотично скiнченної логарифмiчної мiри, що для
всiх r \in [0, 1)p \setminus E виконуються нерiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
80 А. О. КУРИЛЯК, О. Б. СКАСКIВ, Л. О. ШАПОВАЛОВСЬКА
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Df (r) + I) \leq
p\prod
i=1
1
1 - rj
h
\biggl(
\partial
\partial r1
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r), . . . ,
\partial
\partial rp
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r)
\biggr)
, (3)
\partial
\partial rs
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) \leq (\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r))
1+\delta 1
1 - rs
p\prod
j=1
j \not =s
\biggl(
1
1 - rj
\biggr) \delta
, s \in \{ 1, . . . , p\} . (4)
Доведення. Припустимо, що E0 \subset [0, 1)p — множина, для якої не виконується нерiвнiсть
(3). Доведемо, що E0 є множиною асимптотично скiнченної логарифмiчної мiри. Оскiльки
rj
\partial
\partial rj
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) є зростаючою функцiєю за кожною змiнною, то iснує таке r0 \in [1/2, 1)p, що
для кожного j \in \{ 1, . . . , p\} i всiх r \in \Delta r0
rj
\partial
\partial rj
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) + \mathrm{l}\mathrm{n} rj > 1.
Тодi
\nu ln(E0 \cap \Delta r0)=
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
E0\cap \Delta r0
p\prod
i=1
dri
1 - ri
\leq
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
E0\cap \Delta r0
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Df (r) + I)
\prod p
i=1
(1 - rj)
h
\biggl(
\partial
\partial r1
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r), . . . ,
\partial
\partial rp
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r)
\biggr) p\prod
i=1
dri
1 - ri
\leq
\leq
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
E0\cap \Delta r0
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Df (r) + I)
h
\biggl(
r1
\partial
\partial r1
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r), . . . , rp
\partial
\partial rp
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r)
\biggr) p\prod
i=1
dri \leq
\leq
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
E0\cap \Delta r0
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Df (r) + I)
\prod p
i=1
2rj
h
\biggl(
r1
\partial
\partial r1
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r), . . . , rp
\partial
\partial rp
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r)
\biggr) p\prod
i=1
dri \leq
\leq 2p
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
E0\cap \Delta r0
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Df (r) + I)
\prod p
i=1
rj
h
\biggl(
r1
\partial
\partial r1
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) + \mathrm{l}\mathrm{n} r1, . . . , rp
\partial
\partial rp
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) + \mathrm{l}\mathrm{n} rp
\biggr) p\prod
i=1
dri.
Нехай U : [0, 1)p \rightarrow \BbbR p
+ — таке вiдображення, що U = (u1, . . . , up) i uj = rj
\partial
\partial rj
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) +
+ \mathrm{l}\mathrm{n} rj , j \in \{ 1, . . . , p\} . У випадку i \not = j маємо
\partial uj
\partial ri
=
\partial
\partial ri
\biggl(
rj
\partial
\partial ri
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) + \mathrm{l}\mathrm{n} rj
\biggr)
=
\partial
\partial ri
\biggl(
rj
\partial
\partial ri
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r)
\biggr)
=
1
ri
\partial i\partial j \mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r),
\partial ui
\partial ri
=
\partial
\partial ri
\biggl(
ri
\partial
\partial ri
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) + \mathrm{l}\mathrm{n} ri
\biggr)
=
1
ri
\partial i\partial j \mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) +
1
ri
, i, j \in \{ 1, . . . , p\} .
Отже, якобiан
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА ДЛЯ АНАЛIТИЧНИХ У ПОЛIКРУЗI ФУНКЦIЙ 81
J0 =
D(u1, . . . , up)
D(r1, . . . , rp)
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\partial u1
\partial r1
. . .
\partial u1
\partial rp
. . . . . . . . .
\partial up
\partial r1
. . .
\partial up
\partial rp
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Df (r) + I)
p\prod
i=1
rj .
Тодi
\nu ln(E0 \cap \Delta r0) = 2p
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
U - 1(E0\cap \Delta r0 )
du1 . . . dup
h(u1, . . . , up)
< 2p
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
[1,+\infty )p
du1 . . . dup
h(u1, . . . , up)
< +\infty .
Нехай Es \subset [0, 1)p — множини, для яких не виконуються нерiвностi (4) з s \in \{ 1, . . . , p\} .
Виберемо r0 \in [1/2, 1)p так, щоб rj
\partial
\partial rj
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) > 1 для всiх j \in \{ 1, . . . , p\} . Тодi для кожного
s \in \{ 1, . . . , p\} отримуємо
\nu ln(Es \cap \Delta r0) =
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
Es\cap \Delta r0
p\prod
i=1
dri
1 - ri
\leq
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
Es\cap \Delta r0
\partial
\partial rs
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) (1 - rs)\prod p
i=1
i \not =s
1
(1 - ri)\delta
\mathrm{l}\mathrm{n}1+\delta \frakM f (r)
p\prod
i=1
dri
1 - ri
.
Розглянемо вiдображення Vs : [0, 1)p \rightarrow [0, 1)p - 1 \times \BbbR +, де Vs = (v
(s)
1 (r), . . . , v
(s)
p (r)) i
vj = rj , j \in \{ 1, . . . , p\} \setminus \{ s\} , vs = \mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r), s \in \{ 1, . . . , p\} .
Отже, якобiан
Js =
D(v
(s)
1 , . . . , v
(s)
p )
D(r1, . . . , rp)
=
\partial
\partial rs
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r).
Для логарифмiчної мiри множини Es \cap \Delta r0 маємо
\nu ln(Es \cap \Delta r0) =
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
Es\cap \Delta r0
\partial
\partial rs
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r)\prod p
i=1
i \not =s
1
(1 - ri)\delta
\mathrm{l}\mathrm{n}1+\delta \frakM f (r)
p\prod
i=1
i \not =s
dri
1 - ri
drs =
=
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
V - 1(Es\cap \Delta r0 )
1
u1+\delta
s
\prod p
i=1
i \not =s
1
(1 - ui)\delta
p\prod
i=1
i \not =s
dui
1 - ui
dus \leq
+\infty \int
1
dus
u1+\delta
s
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
(0,1)p - 1
p\prod
i=1
i \not =s
dui
(1 - ui)1 - \delta
< +\infty .
Залишилося зауважити, що множина E = \cup p
j=0Ej є множиною асимптотично скiнченної
логарифмiчної мiри на [0, 1)p.
Лему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай f \in \scrA p. Тодi для кожного \delta > 0 iснує така множина E = E(f, \delta ) \subset
\subset [0, 1)p асимптотично скiнченної логарифмiчної мiри, що для всiх r\in [0, 1)p \setminus E виконується
Mf (r) \leq \mu f (r)
p\prod
j=1
1
(1 - rj)1+\delta
\mathrm{l}\mathrm{n}p/2+\delta
\left( \mu f (r)
p\prod
j=1
1
1 - rj
\right) . (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
82 А. О. КУРИЛЯК, О. Б. СКАСКIВ, Л. О. ШАПОВАЛОВСЬКА
Доведення. Нехай E — виняткова множина з леми 1. Тодi для функцiї h(r) =
\prod p
j=1
r1+\delta
j
для всiх r \in [0, 1)p \setminus E отримуємо
\frakM f (r) \leq C0\mu f (r)(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Df (r) + I))1/2 \leq
\leq C0\mu f (r)
\Biggl(
p\prod
i=1
1
1 - ri
h
\biggl(
\partial
\partial r1
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r), . . . ,
\partial
\partial rp
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r)
\biggr) \Biggr) 1/2
\leq
\leq C0\mu f (r)
\Biggl(
p\prod
i=1
1
1 - rj
\biggl(
\partial
\partial ri
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r)
\biggr) 1+\delta
\Biggr) 1/2
\leq C0\mu f (r)\times
\times
\left( p\prod
j=1
\left( 1
1 - rj
\mathrm{l}\mathrm{n}(1+\delta )2 \frakM f (r)
1
(1 - rj)1+\delta
p\prod
i=1
i \not =s
\biggl(
1
1 - ri
\biggr) \delta (1+\delta )
\right)
\right)
1/2
=
= C0\mu f (r)
p\prod
j=1
1
1 - rj
\mathrm{l}\mathrm{n}
p(1+\delta )2
2 \frakM f (r)
p\prod
j=1
\biggl(
1
1 - rj
\biggr) \delta (1+(p - 1)(1+\delta ))/2
<
< \mu f (r)
p\prod
j=1
1
(1 - rj)1+\delta 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
p
2
+\delta 1 \frakM f (r), (6)
де \delta 1 > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \delta (1 + (p - 1)(1 + \delta ))/2, \delta (1 + \delta /2)\} . Тепер з нерiвностi (6) для всiх r \in \Delta r0 \setminus E
маємо
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) < \mathrm{l}\mathrm{n}\mu f (r) + (1 + \delta 1)
p\sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - rj
+
\Bigl( p
2
+ \delta 1
\Bigr)
\mathrm{l}\mathrm{n}2\frakM f (r),
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) -
\Bigl( p
2
+ \delta 1
\Bigr)
\mathrm{l}\mathrm{n}2\frakM f (r) < \mathrm{l}\mathrm{n}\mu f (r) + (1 + \delta 1)
p\sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - rj
,
тобто iснує таке r1 \in [0, 1)p, що для всiх r \in \Delta r1 \setminus E
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM f (r) < 2 \mathrm{l}\mathrm{n}
\left( \mu f (r)
p\prod
j=1
1
1 - rj
\right) ,
Mf (r) \leq \frakM f (r) \leq \mu f (r)
p\prod
j=1
1
(1 - rj)1+\delta 1
\left( 2 \mathrm{l}\mathrm{n}
\left( \mu f (r)
p\prod
j=1
1
1 - rj
\right) \right) p/2+\delta 1
\leq
\leq \mu f (r)
p\prod
j=1
1
(1 - rj)1+\delta 2
\left( \mathrm{l}\mathrm{n}
\left( \mu f (r)
p\prod
j=1
1
1 - rj
\right) \right) p/2+\delta 2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА ДЛЯ АНАЛIТИЧНИХ У ПОЛIКРУЗI ФУНКЦIЙ 83
де \delta 2 = 2\delta 1.
Теорему 2 доведено.
3. Точнiсть нерiвностi з теореми 2. З теореми 2 випливає, що для \delta > 0 множина
E = E(f, \delta ) =
\left\{ r \in [0, 1)p : Mf (r) > \mu f (r)
p\prod
j=1
1
(1 - rj)1+\delta
\mathrm{l}\mathrm{n}p/2+\delta
\left( \mu f (r)
p\prod
j=1
1
1 - rj
\right) \right\}
має асимптотично скiнченну логарифмiчну мiру на [0, 1)p.
У цьому пунктi ми доведемо, що обидва степенi 1 + \delta i p/2 + \delta в нерiвностi (5) не можна
замiнити одночасно числами меншими за 1 i p/2 вiдповiдно. З одного боку, наприклад, для
функцiї g(z) =
\prod p
j=1
1
1 - zj
i всiх r \in [0, 1)p одержимо
Mf (r) =
p\prod
j=1
1
1 - rj
, \mu f (r) = 1,
тобто степiнь 1 + \delta у нерiвностi (6) не можна замiнити числом меншим за 1.
З iншого боку, правильним є таке твердження.
Теорема 3. Iснують функцiя f \in \scrA p, стала C > 0 i така множина E \subset [0, 1)p асимпто-
тично нескiнченної логарифмiчної мiри, що для всiх r \in E виконується нерiвнiсть
Mf (r) \geq C\mu f (r)
p\prod
i=1
1
1 - ri
\mathrm{l}\mathrm{n}p/2
\Biggl(
\mu f (r)
p\prod
i=1
1
1 - ri
\Biggr)
.
Доведення. Розглянемо функцiю
f(z) =
p\prod
j=1
f0(zj), z = (z1, . . . , zp) \in \BbbC p,
де f0(\tau ) =
\sum +\infty
k=1
e
\surd
k\tau k, \tau \in \BbbC .
Для f i r = (r1, . . . , rp) \in [0, 1)p маємо
Mf (r) =
p\prod
j=1
Mf0(rj), \mu f (r) =
p\prod
j=1
\mu f0(rj).
Вiдомо [10], що для функцiї f0(z) iснує така стала C0 \in (0, 1), що
C0
\mu f0(t)
1 - t
\leq
Mf0(t)\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{n}Mf0(t)
\leq 1
C0
\mu f0(t)
1 - t
, t \in [t0, 1). (7)
З нерiвностей (7) випливає, що для кожного t \in (r\prime , 1) i деякої сталої C1 < C0
Mf0(t) \geq C1
\mu f0(t)
1 - t
\mathrm{l}\mathrm{n}1/2
\mu f0(t)
1 - t
. (8)
Функцiя g(t) = \mathrm{l}\mathrm{n}
\mu f0(t)
1 - t
є додатною зростаючою на (1/2, 1), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 1 - 0 g(t) = +\infty i тому
iснує обернена до g функцiя g - 1 : \BbbR + \rightarrow (1/2, 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
84 А. О. КУРИЛЯК, О. Б. СКАСКIВ, Л. О. ШАПОВАЛОВСЬКА
Доведемо таку нерiвнiсть:
g - 1(3g(t)) - g - 1
\biggl(
g(t)
3
\biggr)
> 1 - g - 1(3g(t)) t \in [t0, 1). (9)
Для фiксованого t \in (0, 1) точка xmax =
\biggl(
4 \mathrm{l}\mathrm{n}2
1
t
\biggr) - 1
є єдиною точкою максимуму функцiї
l(x) =
\surd
x - x \mathrm{l}\mathrm{n}
1
t
. Тому \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ l(x) : x > 0\} = l(xmax) =
\biggl(
4 \mathrm{l}\mathrm{n}
1
t
\biggr) - 1
i
g(t) = \mathrm{l}\mathrm{n}
\mu f0(t)
1 - t
\sim \mathrm{l}\mathrm{n}\mu f0(t) \sim
1
4 \mathrm{l}\mathrm{n} 1
t
\sim 1
4(1 - t)
, t \in [t0, 1).
З попереднiх спiввiдношень випливає, що g(t) < 3g(2t - 1), t \in [t0, 1). Тому
g(2t - 1) >
g(t)
3
, 2t - 1 > g - 1
\biggl(
g(t)
3
\biggr)
, t - g - 1
\biggl(
g(t)
3
\biggr)
> 1 - t,
i, використовуючи нерiвнiсть g - 1(3g(t)) > g - 1(g(t)) = t, при t \in [t0, 1) отримуємо
g - 1(3g(t)) - g - 1
\biggl(
g(t)
3
\biggr)
> r1 - g - 1
\biggl(
g(t)
3
\biggr)
> 1 - t > 1 - g - 1(3g(t)).
Нерiвнiсть (9) доведено.
З (8) випливає, що iснують такi числа C1 \in (0, 1) i t\ast \in (t\prime , 1), що для всiх z \in \{ z :
t\ast < | zj | < 1, j \in \{ 1, . . . , p\} \}
Mf0(rk) \geq C1
\mu f0(rk)
1 - rk
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{n}
\mu f0(rk)
1 - rk
, g - 1
\biggl(
g(t\ast )
3
\biggr)
> r0, k \in \{ 1, . . . , p\} . (10)
Тому для всiх z \in \{ z : t\ast < | zj | < 1, j \in \{ 1, . . . , p\} \} отримаємо
p\prod
k=1
Mf0(rk) \geq
p\prod
k=1
\left( C1
\mu f0(rk)
1 - rk
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{n}
\mu f0(rk)
1 - rk
\right) ,
Mf (r) \geq Cp
1\mu f (r)
p\prod
k=1
1
1 - rk
\Biggl(
p\prod
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\mu f0(rk)
1 - rk
\Biggr) 1/2
.
(11)
Для r1 \in (t\ast , 1) визначимо такi x i y, що
x = x(r1) = g - 1
\biggl(
g(r1)
3
\biggr)
, y = y(r1) = g - 1(3g(r1)).
Визначимо множину
E\ast = \{ r \in [0, 1)p : r1 \in (t\ast , 1), rk \in (x, y), k \in \{ 2, . . . , p\} \} .
Зафiксуємо r1 \in (t\ast , 1). Тодi x i y є також фiксованими i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА ДЛЯ АНАЛIТИЧНИХ У ПОЛIКРУЗI ФУНКЦIЙ 85
g(x) = g(r1)/3, g(y) = 3g(r1), g(y) = 9g(x), (r2, . . . , rp) \in (x, y)p - 1.
Тому, використавши нерiвнiсть r1 > x, для r \in E\ast отримаємо
p\prod
k=1
g(rk) \geq gp(x) =
gp(y)
9p
=
1
(9p)p
(g(y) + . . .+ g(y)\underbrace{} \underbrace{}
p
)p \geq
\geq 1
(9p)p
(g(r1) + . . .+ g(rp))
p =
1
(9p)p
\Biggl(
p\sum
k=1
g(rk)
\Biggr) p
.
Тодi з (11) для всiх r \in E\ast одержуємо
Mf (r) \geq Cp
1\mu f (r)
p\prod
k=1
1
1 - rk
1
(9p)p
\Biggl(
p\sum
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\mu f0(rk)
1 - rk
\Biggr) p/2
=
= C2\mu f (r)
p\prod
k=1
1
1 - rk
\mathrm{l}\mathrm{n}p/2
\Biggl(
\mu f (r)
p\prod
k=1
1
1 - rk
\Biggr)
.
Доведемо, що множина E\ast є множиною асимптотично нескiнченної логарифмiчної мiри.
Оскiльки g - 1
\biggl(
g(t\ast )
3
\biggr)
> r0, то E\ast \cap \Delta r0 = E\ast . Тому з нерiвностi (9) за означенням E\ast
одержимо
\nu ln(E
\ast \cap \Delta r0) = \nu ln(E
\ast ) =
\int
\cdot \cdot \cdot
\int
E\ast
p\prod
k=1
drk
1 - rk
=
1\int
t\ast
y\int
x
. . .
y\int
x\underbrace{} \underbrace{}
p - 1
p\prod
k=1
drk
1 - rk
=
=
1\int
t\ast
\left( y\int
x
dr2
1 - r2
\right) p - 1
dr1
1 - r1
=
1\int
t\ast
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - y
- \mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - x
\biggr) p - 1 dr1
1 - r1
=
=
1\int
t\ast
\left( \mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - g - 1(3g(r1))
- \mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - g - 1
\biggl(
g(r1)
3
\biggr)
\right)
p - 1
dr1
1 - r1
=
=
1\int
t\ast
\mathrm{l}\mathrm{n}p - 1
1 - g - 1
\biggl(
g(r1)
3
\biggr)
1 - g - 1(3g(r1))
dr1
1 - r1
=
=
1\int
t\ast
\mathrm{l}\mathrm{n}p - 1
\left( 1 +
g - 1(3g(r1)) - g - 1
\biggl(
g(r1)
3
\biggr)
1 - g - 1(3g(r1))
\right) dr1
1 - r1
> \mathrm{l}\mathrm{n}p - 1 2
1\int
t\ast
dr1
1 - r1
= +\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
86 А. О. КУРИЛЯК, О. Б. СКАСКIВ, Л. О. ШАПОВАЛОВСЬКА
Зрозумiло, що \nu ln(E
\ast \cap \Delta r1) = +\infty для кожного r1 \in [0, 1)p, r1 > r0.
Теорему 3 доведено.
Лiтература
1. Wiman A. Über dem Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytischen Function und dem grössten
Gliede der zugehörigen Taylorischen Reiche // Acta Math. – 1914. – 37. – P. 305 – 326.
2. Valiron G. Sur les fonctions entieres d’ordre fini et d’ordre null et en particulier les fonctions a correspondance
reguliere // Ann Fac. sci. Univ. Toulouse. – 1914. – 5. – P. 117 – 257.
3. Valiron G. Fonctions analytiques. – Paris: Pres. Univ. France, 1954.
4. Wittich H. Neuere Untersuchungen über eindeutige analytische Funktionen. – Berlin etc.: Springer-Verlag, 1955.
5. Skaskiv O. B., Filevych P. V. On the size of an exceptional set in the Wiman theorem // Mat. Stud. – 1999. – 12,
№ 1. – P. 31 – 36.
6. Скаскiв О. Б., Зрум О. В. Про виняткову множину у нерiвностях типу Вiмана для цiлих функцiй // Мат. студ. –
2004. – 21, № 1. – С.13 – 24.
7. Скаскiв О. Б. Випадковi лакунарнi степеневi ряди i нерiвнiсть Вiмана // Мат. студ. – 2008. – 30, № 1. –
С. 101 – 106.
8. Kurylyak A. O., Ovchar I. E., Skaskiv O. B. Wiman’s inequality for Laplace integrals // Int. J. Math. Anal. – 2014. –
8, № 8. – P. 381 – 385.
9. K\"ovari T. On the maximum modulus and maximal term of functions analytic in the unit disc // J. London Math.
Soc. – 1966. – 41. – P. 129 – 137.
10. Сулейманов Н. М. Оценки типа Вимана – Валирона для степенных рядов с конечным радиусом сходимости и
их точность // Докл. АН СССР. – 1980. – 253, № 4. – С. 822 – 824.
11. Куриляк А. О., Скаскiв О. Б. Нерiвнiсть типу Вiмана для аналiтичних функцiй в одиничному крузi i категорiї
Бера // Наук. вiсн. Чернiв. нац. ун-ту. Сер. мат. – 2011. – 1, № 4. – С. 73 – 79.
12. Kuryliak A. O., Skaskiv O. B., Chyzhykov I. E. Baire categories and Wiman’s inequality for analytic functions // Bull.
Soc. Sci. Lett. L\'\mathrm{o}d\'\mathrm{z}. Ser. Rech. Déform. – 2012. – 62, № 3. – P. 17 – 33.
13. Kuryliak A. O., Shapovalovska L. O., Skaskiv O. B. Wiman’s type inequality for some double power series // Mat.
Stud. – 2013. – 39, № 2. – P. 134 – 141.
14. Gopala Krishna J., Nagaraja Rao I. H. Generalised inverse and probability techniques and some fundamental growth
theorems in \BbbC k // J. Indian Math. Soc. – 1977. – 41. – P. 203 – 219.
Одержано 25.12.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1823 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:17Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/99/bd9edefd66f6fd3e885def25069e7799.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18232019-12-05T09:28:56Z Wiman-type inequality for functions analytic in a polydisc Нерівність типу Вімана для аналітичних у полікрузі функцій Kurylyak, A. O. Skaskiv, O. B. Shapovalovs’ka, L. O. Куриляк, А. О. Скасків, О. Б. Шаповаловська, Л. О. We prove an analog of Wiman-type inequality for analytic functions in a polydisc $\mathbb{D}^p = \{z \in \mathbb{C}^p : |z_j| < 1,\; j \in \{ 1, . . . ,p\} \} , p \in N.$ The obtained inequality is sharp. Доказан аналог неравенства Вимана для функций, аналитических в полидиске $\mathbb{D}^p = \{z \in \mathbb{C}^p : |z_j| < 1,\; j \in \{ 1, . . . ,p\} \} , p \in N.$ Полученное неравенство является точным. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1823 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 1 (2016); 78-86 Український математичний журнал; Том 68 № 1 (2016); 78-86 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1823/805 Copyright (c) 2016 Kurylyak A. O.; Skaskiv O. B.; Shapovalovs’ka L. O. |
| spellingShingle | Kurylyak, A. O. Skaskiv, O. B. Shapovalovs’ka, L. O. Куриляк, А. О. Скасків, О. Б. Шаповаловська, Л. О. Wiman-type inequality for functions analytic in a polydisc |
| title | Wiman-type inequality for functions analytic in a polydisc |
| title_alt | Нерівність типу Вімана для аналітичних у полікрузі функцій |
| title_full | Wiman-type inequality for functions analytic in a polydisc |
| title_fullStr | Wiman-type inequality for functions analytic in a polydisc |
| title_full_unstemmed | Wiman-type inequality for functions analytic in a polydisc |
| title_short | Wiman-type inequality for functions analytic in a polydisc |
| title_sort | wiman-type inequality for functions analytic in a polydisc |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1823 |
| work_keys_str_mv | AT kurylyakao wimantypeinequalityforfunctionsanalyticinapolydisc AT skaskivob wimantypeinequalityforfunctionsanalyticinapolydisc AT shapovalovskalo wimantypeinequalityforfunctionsanalyticinapolydisc AT kurilâkao wimantypeinequalityforfunctionsanalyticinapolydisc AT skaskívob wimantypeinequalityforfunctionsanalyticinapolydisc AT šapovalovsʹkalo wimantypeinequalityforfunctionsanalyticinapolydisc AT kurylyakao nerívnístʹtipuvímanadlâanalítičnihupolíkruzífunkcíj AT skaskivob nerívnístʹtipuvímanadlâanalítičnihupolíkruzífunkcíj AT shapovalovskalo nerívnístʹtipuvímanadlâanalítičnihupolíkruzífunkcíj AT kurilâkao nerívnístʹtipuvímanadlâanalítičnihupolíkruzífunkcíj AT skaskívob nerívnístʹtipuvímanadlâanalítičnihupolíkruzífunkcíj AT šapovalovsʹkalo nerívnístʹtipuvímanadlâanalítičnihupolíkruzífunkcíj |