Normality of the Orlicz - Sobolev classes
We establish a series of new criteria of equicontinuity and, hence, normality of the mappings of Orlicz – Sobolev classes in terms of inner dilatations.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1825 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507689688236032 |
|---|---|
| author | Ryazanov, V. I. Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Рязанов, В. И. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Рязанов, В. И. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Ryazanov, V. I. Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Рязанов, В. И. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Рязанов, В. И. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Ryazanov, V. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:28:56Z |
| description | We establish a series of new criteria of equicontinuity and, hence, normality of the mappings of Orlicz – Sobolev classes in terms of inner dilatations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. И. Рязанов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Славянск),
Р. Р. Салимов (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
Е. А. Севостьянов (Житомир. гос. ун-т им. И. Франко)
НОРМАЛЬНОСТЬ КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА
We establish a series of new criteria of equicontinuity and, hence, normality of the mappings of Orlicz – Sobolev classes in
terms of inner dilatations.
Отримано низку нових критерiїв одностайної неперервностi i, як наслiдок, нормальностi вiдображень класiв Орлi-
ча – Соболєва в термiнах внутрiшнiх дилатацiй.
1. Введение. Пусть D — область в \BbbR n, n \geq 2. Напомним, что гомеоморфизм f : D \rightarrow \BbbR n
называется отображением с конечным искажением, если f \in W 1,1
loc и
\| f \prime (x)\| n \leq K(x) J(x, f) (1)
для некоторой почти всюду конечной функции K(x) \geq 1, где f \prime (x) — якобиева матрица f,
\| f \prime (x)\| — ее операторная норма: \| f \prime (x)\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}| h| =1 | f \prime (x)h| и J(x, f) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} f \prime (x) — якобиан
отображения f.
Эти отображения естественным образом обобщают известные отображения с ограничен-
ным искажением по Решетняку (см. [1]). Впервые понятие отображения с конечным искаже-
нием было введено в случае плоскости для f \in W 1,2
loc в работе [2], а затем в пространстве в
монографии [3]. Эта концепция нашла множество последователей и стала одним из основных
объектов исследования в геометрической теории функций последнего времени (см., например,
многочисленные ссылки в монографиях [4, 5]).
Ранее (см., например, [6 – 8]) для формулировки критериев нормальности классов отобра-
жений с конечным искажением мы пользовались внешней дилатацией
KO(x, f) =
\left\{
\| f \prime (x)\| n
J(x, f)
, если J(x, f) \not = 0,
1, если f \prime (x) = 0,
\infty - в остальных точках
(2)
(см. также работу [9], где проблемы нормальности классов обсуждаются для случая отобра-
жений, удовлетворяющих некоторым условиям относительно p-модуля). В данной работе мы
усилим соответствующие результаты в терминах внутренней дилатации
KI(x, f) =
\left\{
J(x, f)
ln(f \prime (x))
, если J(x, f) \not = 0,
1, если f \prime (x) = 0,
\infty - в остальных точках,
(3)
где l(f \prime (x)) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}| h| =1 | f \prime (x)h| . Для этого заметим, что
KI(x, f) \leq Kn - 1
O (x, f) (4)
c\bigcirc В. И. РЯЗАНОВ, Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2016
106 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
НОРМАЛЬНОСТЬ КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА 107
(см., например, разд. 1.2.1 в [1]). Известно, что KI = KO при n = 2, но при n \geq 3, как по-
казывает элементарный пример сжатия вдоль одной из осей, в (4) может иметь место строгое
неравенство.
Для заданной выпуклой возрастающей функции \varphi : [0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ), \varphi (0) = 0, классом
Орлича называют класс всех функций g : D \rightarrow \BbbR таких, что\int
D
\varphi (| g(x)| ) dm(x) < \infty , (5)
где m обозначает меру Лебега в \BbbR n (см. [10]).
Классом Орлича – Соболева W 1,\varphi
loc (D) называется класс всех локально интегрируемых функ-
ций f, заданных в D, с первыми обобщенными производными по Соболеву, градиент \nabla f
которых принадлежит классу Орлича локально в области D. Заметим, что по определению
W 1,\varphi
loc \subset W 1,1
loc . Как обычно, пишем f \in W 1,p
loc , если \varphi (t) = tp, p \geq 1.
Аналогично, если f — локально интегрируемая вектор-функция n вещественных перемен-
ных x1, . . . , xn, f = (f1, . . . , fm), fi \in W 1,1
loc , i = 1, . . . ,m, и\int
D
\varphi (| \nabla f(x)| ) dm(x) < \infty , (6)
где | \nabla f(x)| =
\sqrt{} \sum m
i=1
\sum n
j=1
\biggl(
\partial fi
\partial xj
\biggr) 2
, то снова пишем f \in W 1,\varphi
loc . Мы также используем
обозначение W 1,\varphi
loc в случае более общих функций \varphi , чем в классах Орлича, где всегда предпо-
лагается выпуклость функции \varphi и ее нормировка \varphi (0) = 0.
Отметим, что классы Орлича – Соболева сейчас, как и ранее, изучаются в самых различных
аспектах многими авторами (см., например, [6] и дальнейшие ссылки в указанной статье).
Основным инструментом исследования в данной статье являются модули семейств кривых
и поверхностей. Следуя [5] (разд. 9.2), далее k-мерной поверхностью S в \BbbR n называем произ-
вольное непрерывное отображение S : \omega \rightarrow \BbbR n, где \omega — открытое множество в \BbbR k := \BbbR k\cup \{ \infty \}
и k = 1, . . . , n - 1. Функцией кратности поверхности S называется число прообразов
N(S, y) = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}S - 1(y) = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d} \{ x \in \omega : S(x) = y\} , y \in \BbbR n.
Другими словами, символ N(S, y) обозначает кратность накрытия точки y поверхностью S.
Известно, что функция кратности является полунепрерывной снизу, и, значит, измерима отно-
сительно произвольной хаусдорфовой меры Hk (см. [5], разд. 9.2).
Для борелевской функции \rho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] ее интеграл над поверхностью S определяется
равенством \int
S
\rho d\scrA :=
\int
\BbbR n
\rho (y)N(S, y) dHky. (7)
Пусть \Gamma — семейство k-мерных поверхностей S. Борелева функция \rho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] назы-
вается допустимой для семейства \Gamma (пишут \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma ), если
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
108 В. И. РЯЗАНОВ, Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ\int
S
\rho k d\scrA \geq 1
для каждой поверхности S \in \Gamma . Тогда модулем семейства \Gamma называется величина
M(\Gamma ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in adm\Gamma
\int
\BbbR n
\rho n(x) dm(x) .
2. Определения и предварительные замечания. Отображения, которые мы начинаем
рассматривать в настоящем пункте, не только являются интересными сами по себе, но и необ-
ходимы нам как аппарат для получения некоторых важных утверждений о классах Орлича –
Соболева. В работе [11] (разд. 13) Ф. Геринг определил K-квазиконформное отображение как
гомеоморфизм, изменяющий модуль кольцевых областей не более чем в K раз. Рассмотрение
следующих классов отображений было мотивировано кольцевым определением Геринга.
Пусть D и D\prime — области в \BbbR n, n \geq 2, Q : \BbbR n \rightarrow (0,\infty ) — измеримая по Лебегу функция.
Гомеоморфизм f : D \rightarrow D\prime будем называть нижним Q-гомеоморфизмом в точке x0 \in D, если
M (f (\Sigma \varepsilon )) \geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in ext adm\Sigma \varepsilon
\int
A\varepsilon
\rho n(x)
Q(x)
dm(x) (8)
для каждого кольца A\varepsilon = A(x0, \varepsilon , \varepsilon 0) = \{ x \in \BbbR n : \varepsilon < | x - x0| < \varepsilon 0\} , \varepsilon \in (0, \varepsilon 0), \varepsilon 0 \in (0, d0),
где d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D), а \Sigma \varepsilon обозначает семейство всех пересечений сфер S(x0, r) = \{ x \in \BbbR n :
| x - x0| = r\} , r \in (\varepsilon , \varepsilon 0), с областью D. Наконец, будем говорить, что гомеоморфизм f :
D \rightarrow D\prime является нижним Q-гомеоморфизмом в области D, если f является нижним Q-го-
меоморфизмом в каждой точке x0 \in D.
Далее, как обычно, \Gamma (A,B,C) для множеств A, B и C в \BbbR n обозначает семейство всех
кривых, соединяющих A и B в C.
Теперь пусть снова D и D\prime — области \BbbR n, n \geq 2, а Q : \BbbR n \rightarrow (0,\infty ) — измеримая по Лебегу
функция. Полагая Si := S(x0, ri), i = 1, 2, говорим, что гомеоморфизм f : D \rightarrow D\prime является
кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 \in D, если
M (f (\Gamma (S1, S2, D))) \leq
\int
A
Q(x)\eta n(| x - x0| ) dm(x) (9)
для каждого кольца A = A(x0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D) и каждой измеримой
по Лебегу функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такой, что
r2\int
r1
\eta (r) dr \geq 1. (10)
Понятие кольцевого Q-гомеоморфизма впервые было введено в работе [12] в связи с ис-
следованием уравнений Бельтрами на плоскости, а позже было распространено на простран-
ственный случай в работе [7] (см. также монографию [5]).
Замечание 1. Нижние и верхние Q-гомеоморфизмы тесно взаимосвязаны (см. следствия
5 и 6 из работы [6]): в \BbbR n, n \geq 2, нижний Q-гомеоморфизм f : D \rightarrow D\prime в точке x0 \in D с
Q, интегрируемой в окрестности x0 в степени n - 1, является кольцевым Q\ast -гомеоморфизмом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
НОРМАЛЬНОСТЬ КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА 109
в x0 c Q\ast = Qn - 1 и, в частности, при n = 2 любой нижний Q-гомеоморфизм f : D \rightarrow D\prime в
точке x0 \in D с Q, интегрируемой в окрестности x0, является кольцевым Q-гомеоморфизмом в
точке x0.
В работе [13] доказано, что каждый гомеоморфизм f с конечным искажением на плоскости
является кольцевым Q-гомеоморфизмом при Q(x) = KO(x, f) в каждой точке x0 \in D. В
работе [6] (теорема 5) аналогичный результат установлен в пространстве для гомеоморфизмов
f с конечным искажением классов Орлича – Соболева W 1,\varphi
loc при условии на функцию \varphi типа
Кальдерона (11) (см. ниже) и, в частности, классов W 1,p
loc при p > n - 1 [14]. В следующем
пункте мы устанавливаем более тонкий результат в терминах внутренней дилатации KI(x, f).
3. Основная лемма. Следующее утверждение является ключевым для дальнейшего иссле-
дования.
Лемма 1. Пусть D и D\prime — области в \BbbR n, n \geq 3, \varphi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) — такая неубывающая
функция, что для некоторого t\ast \in (0,\infty )
\infty \int
t\ast
\biggl[
t
\varphi (t)
\biggr] 1
n - 2
dt < \infty . (11)
Тогда любой гомеоморфизм f : D \rightarrow D\prime конечного искажения класса W 1,\varphi
loc является нижним
Q-гомеоморфизмом с Q(x) = K
1
n - 1
I (x, f).
Доказательство. Обозначим через B (борелево) множество всех точек x \in D, где отоб-
ражение f имеет полный дифференциал и J(x, f) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} f \prime (x) \not = 0. Заметим, что множество
B представляет собой не более чем счетное объединение таких борелевских множеств Bl,
l = 1, 2, . . . , что отображения fl = f | Bl
являются билипшицевыми гомеоморфизмами (см.,
например, [15], лемма 3.2.2). Без ограничения общности можно считать, что множества Bl
попарно не пересекаются. Обозначим также через B\ast оставшееся множество всех точек x \in D,
где f имеет полный дифференциал, однако f \prime (x) = 0.
По теореме 1 в [6] мера Лебега множества B0 := D \setminus (B
\bigcup
B\ast ) равна нулю. Следователь-
но, по теореме 9.1 [5] Hn - 1(B0 \cap Sr) = 0 для почти всех сфер Sr := S(x0, r) с центром в
произвольной точке x0 \in D, где „почти всех” определяется в смысле модуля семейства поверх-
ностей. Тогда в силу леммы 9.1 [5] Hn - 1(B0 \cap Sr) = 0 для почти всех r \in \BbbR и по следствию 4
в [6] Hn - 1(f(B0) \cap S\ast
r ) = 0 и Hn - 1(f(B\ast ) \cap S\ast
r ) = 0 для почти всех r \in \BbbR , где S\ast
r = f(Sr).
Заметим, что также Hn - 1(f(B0) \cap S\ast
r ) = 0 и Hn - 1(f(B\ast ) \cap S\ast
r ) = 0 для почти всех
сфер Sr := S(x0, r) в смысле модуля семейства поверхностей. Действительно, пусть \Gamma 0
— подсемейство всех сфер Sr := S(x0, r), для которых либо Hn - 1(f(B0) \cap S\ast
r ) > 0, ли-
бо Hn - 1(f(B\ast ) \cap S\ast
r ) > 0. Обозначим через R множество всех r \in \BbbR , для которых либо
Hn - 1(f(B0)\cap S\ast
r ) > 0, либо Hn - 1(f(B\ast )\cap S\ast
r ) > 0. В силу изложенного выше m1(R) = 0. Тогда
по теореме Фубини m(E) = 0, где E = \{ x \in D : | x - x0| = r \in R\} . Функция \rho 1 : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ],
определенная символом \infty при x \in E и равная нулю на оставшемся множестве, обобщенно
допустима для семейства \Gamma 0. Таким образом, по (9.18) в [5] M(\Gamma 0) \leq
\int
E
\rho n1dm(x) = 0, т. е.
M(\Gamma 0) = 0.
По теореме Кирсбрауна (см. [15], теорема 2.10.43) каждое отображение fl может быть
продолжено до липшицевого отображения \widetilde fl : \BbbR n \rightarrow \BbbR n, которое по теореме Радемахера –
Степанова дифференцируемо почти всюду в \BbbR n (см. [15], теорема 3.1.6). В силу единственности
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
110 В. И. РЯЗАНОВ, Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
аппроксимативного дифференциала (см. [15], пункт 3.1.2) можно считать, что при всех x \in Bl
выполнено равенство \widetilde fl \prime (x) = f \prime (x).
Пусть \Gamma обозначает семейство всех сфер Sr, r \in (\varepsilon , \varepsilon 0), \varepsilon 0 < d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D). Для
произвольной функции \rho \ast \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m} f(\Gamma ) такой, что \rho \ast \equiv 0 вне f(D), полагаем \rho \equiv 0 вне D и на
B0 и
\rho (x) := \Lambda (x) \rho \ast (f(x)) при x \in B,
где
\Lambda (x) =
\biggl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} f \prime (x)
l(f \prime (x))
\biggr] 1
n - 1
= [ \lambda 2 . . . \lambda n]
1
n - 1 \geq [Jn - 1(x)]
1
n - 1 для почти всех x \in B.
Здесь \lambda n \geq . . . \geq \lambda 1 — главные дилатационные коэффициенты f \prime (x) (см., например, разд. I.4.1
в [1]) и Jn - 1(x) — (n - 1)-мерный якобиан f | Sr в точке x, где r = | x - x0| (см. разд. 3.2.1 в
[15]).
Рассуждая покусочно на каждом Bl, l = 1, 2, . . . , и учитывая теорему Кирсбрауна, по
теореме 3.2.5 о замене переменных в [15] имеем\int
Sr
\varrho n - 1 d\scrA \geq
\int
Sr
\ast
\varrho n - 1
\ast d\scrA \geq 1
для почти всех Sr и, таким образом, \varrho \in \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t} \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma .
Используя замену переменных на каждом Bl, l = 1, 2, . . . (см., например, теорему 3.2.5 в
[15]), и счетную аддитивность интеграла, получаем оценку\int
D
\varrho n(x)
K
1
n - 1
I (x, f)
dm(x) \leq
\int
f(D)
\varrho n\ast (x) dm(x),
что и завершает доказательство.
Следствие 1. Любой гомеоморфизм с конечным искажением в \BbbR n, n \geq 3, класса W 1,p
loc при
p > n - 1 является нижним Q-гомеоморфизмом с Q(x) = K
1
n - 1
I (x, f).
Следствие 2. Любой гомеоморфизм f \in W 1,\varphi
loc в \BbbR n, n \geq 3, при условии (11) на функцию
\varphi , в частности любой гомеоморфизм f \in W 1,p
loc при p > n - 1 с KI(x, f) \in L1
loc(D), является
кольцевым Q\ast -гомеоморфизмом в каждой точке x0 \in D с Q\ast (x) = KI(x, f).
Последнее следует непосредственно из леммы 1 с учетом взаимосвязи между нижними и
кольцевыми Q-гомеоморфизмами (см. замечание 1).
4. О функциях классов BMO, VMO и FMO. Говорят, что вещественная функция \varphi \in
\in L1
loc(D) имеет ограниченное среднее колебание в области D \subset \BbbR n (пишут \varphi \in \mathrm{B}\mathrm{M}\mathrm{O}(D),
либо просто \varphi \in \mathrm{B}\mathrm{M}\mathrm{O}), если
\| \varphi \| \ast = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
B\subset D
1
| B|
\int
B
\| \varphi (x) - \varphi B\| dm(x) < \infty , (12)
где точная нижняя грань в (12) берется по всем шарам B, лежащим в области D, а
\varphi B = -
\int
B
\varphi (x) dm(x) : =
1
| B|
\int
B
\varphi (x) dm(x) (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
НОРМАЛЬНОСТЬ КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА 111
обозначает среднее интегральное значение функции \varphi над шаром B.
Пространство BMO, введенное Джоном и Ниренбергом в работе [16], является одним из
важнейших понятий гармонического анализа, комплексного анализа, теории уравнений с част-
ными производными и смежных областей [17, 18]. Функция \varphi класса BMO называется функ-
цией исчезающего среднего колебания (сокращенно \varphi \in \mathrm{V}\mathrm{M}\mathrm{O}), если супремум в (12) по всем
шарам B в области D таким, что | B| < \varepsilon , стремится к нулю при \varepsilon \rightarrow 0. Пространство
VMO введено Сарасоном в статье [19]. Отметим, что значительное количество работ посвяще-
но изучению уравнений в частных производных, имеющих коэффициенты класса VMO (см.,
например, [20 – 24]).
Следуя работе [25], будем говорить, что функция \varphi : D \rightarrow \BbbR имеет конечное среднее коле-
бание в точке x0 \in D, если
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
-
\int
B(x0,\varepsilon )
| \varphi (x) - \widetilde \varphi \varepsilon | dm(x) < \infty , (14)
где
\widetilde \varphi \varepsilon = -
\int
B(x0,\varepsilon )
\varphi (x) dm(x) (15)
обозначает среднее интегральное значение функции \varphi над шаром B(x0, \varepsilon ) = \{ x \in \BbbR n : | x -
x0| < \varepsilon \} . Как известно, с условием (14) совместима ситуация, когда \widetilde \varphi \varepsilon \rightarrow \infty при \varepsilon \rightarrow 0.
Говорим также, что функция \varphi : D \rightarrow \BbbR имеет конечное среднее колебание в области D (пишем
\varphi \in \mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{O}(D), либо просто \varphi \in \mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{O}), если \varphi имеет конечное среднее колебание в каждой
точке x0 \in D.
Известно также, что при всех 1 \leq p < \infty имеют место включения \mathrm{L}\infty (D) \subset \mathrm{B}\mathrm{M}\mathrm{O}(D) \subset
\subset \mathrm{L}p
loc(D) [16 – 18]. Однако \mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{O}(D) не является подклассом Lp
loc(D) ни для какого p > 1, хотя
\mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{O}(D) \subset L1
loc(D) (см. соответствующий пример в разд. 11.2 в [5]). Таким образом, \mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{O}
существенно шире \mathrm{B}\mathrm{M}\mathrm{O}loc.
Приведем еще некоторые факты о функциях конечного среднего колебания из работы [25].
Предложение 1. Если для некоторых чисел \varphi \varepsilon \in \BbbR , \varepsilon \in (0, \varepsilon 0],
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
-
\int
B(x0,\varepsilon )
| \varphi (x) - \varphi \varepsilon | dm(x) < \infty , (16)
то функция \varphi имеет конечное среднее колебание в точке x0.
Следствие 3. В частности, если в точке x0 \in D выполнено условие
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
-
\int
B(x0, \varepsilon )
| \varphi (z)| dm(x) < \infty , (17)
то функция \varphi имеет конечное среднее колебание в x0.
Напомним, что точка x0 \in D называется точкой Лебега функции \varphi : D \rightarrow \BbbR , если \varphi
интегрируема в окрестности x0 и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
-
\int
B(x0, \varepsilon )
| \varphi (x) - \varphi (x0)| dm(x) = 0. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
112 В. И. РЯЗАНОВ, Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Известно, что для функции \varphi \in L1
loc(D) почти все точки D являются ее точками Лебега и,
таким образом, конечного среднего колебания.
5. Равностепенно непрерывные и нормальные классы. Прежде всего напомним неко-
торые необходимые для дальнейшего изложения определения. Пусть (X, d) и (X \prime , d\prime ) — метри-
ческие пространства с расстояниями d и d\prime соответственно. Семейство \frakF непрерывных отобра-
жений f : X \rightarrow X \prime называется нормальным, если из любой последовательности отображений
fm \in \frakF можно выделить подпоследовательность fmk
, которая сходится локально равномерно
в X к непрерывной функции f : X \rightarrow X \prime .
Введенное понятие очень тесно связано со следующим. Семейство \frakF отображений f : X \rightarrow
\rightarrow X \prime называется равностепенно непрерывным в точке x0 \in X, если для любого \varepsilon > 0
найдется такое \delta > 0, что d\prime (f(x), f(x0)) < \varepsilon для всех x с d(x, x0) < \delta и для всех f \in \frakF .
Говорят, что \frakF равностепенно непрерывно, если \frakF равностепенно непрерывно в каждой точке
из X. Как известно, любое нормальное семейство \frakF отображений f : X \rightarrow X \prime равностепенно
непрерывно (см., например, предложение 7.1 в [5]). Обратное заключение также справедливо,
если X сепарабельно, а X \prime компактно.
Следующее утверждение представляет собой версию теоремы Арцела – Асколи (см., напри-
мер, следствие 7.5 в [5]).
Предложение 2. Если (X, d) — сепарабельное, а (X \prime , d\prime ) — компактное метрическое про-
странство, то семейство \frakF отображений f : X \rightarrow X \prime нормально тогда и только тогда, когда
\frakF равностепенно непрерывно.
В дальнейшем в качестве пространства X используются области D в \BbbR n, n \geq 2, а в
качестве X \prime используется одноточечная компактификация \BbbR n. В расширенном пространстве
\BbbR n = \BbbR n
\bigcup
\{ \infty \} используется сферическая (хордальная) метрика h(x, y) = | \pi (x) - \pi (y)| , где
\pi — стереографическая проекция \BbbR n на сферу Sn
\biggl(
1
2
en+1,
1
2
\biggr)
в \BbbR n+1:
h(x,\infty ) =
1\sqrt{}
1 + | x| 2
, h(x, y) =
| x - y| \sqrt{}
1 + | x| 2
\sqrt{}
1 + | y| 2
, x \not = \infty \not = y.
Сферическим (хордальным) диаметром множества E \subset \BbbR n называется величина h(E) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x,y\in E h(x, y).
Комбинируя следствие 2 с результатами работы [7] о равностепенно непрерывных и нор-
мальных семействах кольцевых Q-гомеоморфизмов (см. также главу 7 в [5]), получаем следу-
ющие результаты.
Теорема 1. Пусть D и D\prime — области в \BbbR n, n \geq 3, \varphi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) — неубывающая
функция, удовлетворяющая условию (11) при некотором t\ast \in (0,\infty ). Пусть f : D \rightarrow D\prime —
такой гомеоморфизм класса Орлича – Соболева W 1,\varphi
loc с KI(x, f) \in L1
loc(D), что h(\BbbR n\setminus f(D)) \geq
\geq \Delta > 0. Тогда для каждого x0 \in D и x \in B(x0, \varepsilon (x0)), \varepsilon (x0) < d(x0) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D), имеет
место неравенство
h(f(x), f(x0)) \leq
\alpha n
\Delta
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ -
\varepsilon (x0)\int
| x - x0|
dr
rk
1
n - 1
x0 (r)
\right\} , (19)
где постоянная \alpha n зависит только от n, а kx0(r) обозначает среднее интегральное значение
функции KI(x, f) над сферой S(x0, r).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
НОРМАЛЬНОСТЬ КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА 113
Замечание 2. Оценку (19) можно также записать в виде
h(f(x), f(x0)) \leq
\alpha n
\Delta
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ - \omega
1
n - 1
n - 1
\varepsilon (x0)\int
| x - x0|
dr
\| KI\|
1
n - 1 (x0, r)
\right\} , (20)
где \omega n - 1 — площадь единичной сферы в \BbbR n, \| KI\| (x0, r) — норма сужения KI(x, f) на сфере
S(x0, r) в пространстве L1 (S(x0, r)) .
Следствие 4. В частности, оценки (19) и (20) имеют место для гомеоморфизмов f класса
Соболева W 1,p
loc при p > n - 1 с KI \in L1
loc.
Следствие 5. Пусть для гомеоморфизма f : D \rightarrow D\prime класса W 1,1
loc при r < \varepsilon (x0) <
< \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
e - 1, d(x0)
\bigr\}
выполнено условие
kx0(r) \leq
\biggl[
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
r
\biggr] n - 1
. (21)
Тогда при всех x \in B(x0, \varepsilon (x0)) имеет место оценка
h(f(x), f(x0)) \leq
\alpha n
\Delta
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
\varepsilon (x0)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
| x - x0|
. (22)
Следствие 6. В частности, если для некоторого \varepsilon (x0) < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ e - 1, d(x0)\}
KI(x, f) \leq
\biggl[
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
| x - x0|
\biggr] n - 1
, (23)
то оценка (22) имеет место всюду в шаре B(x0, \varepsilon (x0)).
Замечание 3. Если вместо условий (21) и (23) потребовать, соответственно, выполнения
неравенств
kx0(r) \leq c
\biggl[
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
r
\biggr] n - 1
(24)
и
KI(x, f) \leq c
\biggl[
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
| x - x0|
\biggr] n - 1
, (25)
то
h(f(x), f(x0)) \leq
\alpha n
\Delta
\left[ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
\varepsilon (x0)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
| x - x0|
\right]
1/c
1
n - 1
. (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
114 В. И. РЯЗАНОВ, Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Теорема 2. Пусть f : \BbbB n \rightarrow \BbbB n, n \geq 3, f(0) = 0, — гомеоморфизм класса W 1,\varphi
loc с условием
(11) и \int
\varepsilon <| x| <1
KI(x, f)
dm(x)
| x| n
\leq c \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
\varepsilon
\forall \varepsilon \in (0, 1). (27)
Тогда
| f(x)| \leq \gamma n | x| \beta n , (28)
где \gamma n — некоторая постоянная, зависящая только от n, \beta n = (\omega n - 1/c)
1
n - 1 и \omega n - 1 — площадь
единичной сферы в \BbbR n.
Теорема 3. Пусть D и D\prime — области в \BbbR n, n \geq 3, и f : D \rightarrow D\prime — такой гомеоморфизм
класса W 1,\varphi
loc , что h(\BbbR n \setminus f(D)) \geq \Delta > 0, и почти всюду KI(x, f) \leq Q(x) при Q \in \mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{O}(x0).
Тогда при некотором 0 < \varepsilon 0 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D)
h(f(x), f(x0)) \leq
\alpha n
\Delta
\Biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 1
\varepsilon 0
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 1
| x - x0|
\Biggr\} \beta
\forall x \in B(x0, \varepsilon 0), (29)
где постоянная \alpha n зависит только от n, а \beta — только от функции Q.
Следствие 7. В частности, оценка (29) справедлива, если
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
-
\int
B(x0,\varepsilon )
Q(x) dm(x) < \infty . (30)
Теперь пусть D — область в \BbbR n, n \geq 3, \varphi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) — неубывающая функция, Q :
\BbbR n \rightarrow (0,\infty ) — произвольная измеримая по Лебегу функция. Обозначим символом \scrO \varphi
Q,\Delta
семейство всех таких гомеоморфизмов f из D в \BbbR n с конечным искажением класса Орлича –
Соболева W 1,\varphi
loc , что h
\bigl(
\BbbR n \setminus f(D)
\bigr)
\geq \Delta > 0, KI(x, f) \leq Q(x) почти всюду. Обозначим также
через \scrS p
Q,\Delta , p \geq 1, семейство \scrO \varphi
Q,\Delta при \varphi (t) = tp.
На основании предложения 2, а также результатов пункта 4 получаем следующие теоремы.
Теорема 4. Пусть \varphi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) — неубывающая функция, удовлетворяющая усло-
вию (11). Если Q \in \mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{O}, то класс \scrO \varphi
Q,\Delta образует нормальное семейство отображений.
Следствие 8. При условии (11) класс \scrO \varphi
Q,\Delta образует нормальное семейство отображений,
если выполнено условие
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
-
\int
B(x0,\varepsilon )
Q(x) dm(x) < \infty \forall x0 \in D. (31)
Следствие 9. В частности, класс \scrS p
Q,\Delta образует нормальное семейство отображений
при p > 1, как только выполнено одно из двух условий: Q \in \mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{O} или (31).
Теорема 5. Пусть Q \in L1
loc, n \geq 3, и при некотором \varepsilon (x0) < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D)
\varepsilon (x0)\int
0
dr
\| Q\|
1
n - 1
1 (x0, r)
= \infty \forall x0 \in D, (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
НОРМАЛЬНОСТЬ КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА 115
где \| Q\| 1(x0, r) обозначает норму функции Q в пространстве L1 над сферой S(x0, r). Тогда
при любом \Delta > 0 классы \scrO \varphi
Q,\Delta и \scrS p
Q,\Delta образуют нормальные семейства отображений, если \varphi
удовлетворяет условию (11) и, соответственно, если p > 1.
Следствие 10. Классы \scrO \varphi
Q,\Delta и \scrS p
Q,\Delta образуют нормальные семейства отображений, как
только функция \varphi удовлетворяет соотношению (11) и, соответственно, p > 1, а функция
Q(x) имеет лишь особенности логарифмического типа.
Пусть, как и выше, D — область в \BbbR n, n \geq 3, \varphi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) — неубывающая функция.
Для неубывающей функции \Phi : [0,\infty ] \rightarrow [0,\infty ], M > 0 и \Delta > 0 через \scrO \Phi ,\varphi
M,\Delta обозначим
семейство всех таких гомеоморфизмов класса Орлича – Соболева W 1,\varphi
loc , что h
\bigl(
\BbbR n \setminus f(D)
\bigr)
\geq
\geq \Delta > 0 и \int
D
\Phi (KI(x, f))
dm(x)
(1 + | x| 2)n
\leq M. (33)
Аналогично, через \scrS \Phi ,p
M,\Delta , p \geq 1, обозначаем классы \scrO \Phi ,\varphi
M,\Delta при \varphi (t) = tp.
Комбинируя теорему 4.1 работы [8] со следствием 2, получаем следующее утверждение.
Теорема 6. Пусть \Phi : [0,\infty ] \rightarrow [0,\infty ] — такая неубывающая выпуклая функция, что при
некотором \delta 0 > \Phi (0)
\infty \int
\delta 0
d\tau
\tau [\Phi - 1(\tau )]
1
n - 1
= \infty . (34)
Тогда классы \scrO \Phi ,\varphi
M,\Delta при условии (11), а также классы \scrS \Phi ,p
M,\Delta при p > 1 являются равностепенно
непрерывными, и, следовательно, образуют нормальные семейства отображений при любых
M \in (0,\infty ) и \Delta \in (0, 1).
Как следует из работы [8], условие вида (34) является не только достаточным, но и необхо-
димым для нормальности указанных классов.
Литература
1. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск: Наука, 1982.
2. Iwaniec T., Sverák V. On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer. Math. Soc. – 1993. – 118. – P. 181 – 188.
3. Iwaniec T., Martin G. Geometrical function theory and non-linear analysis. – Oxford: Clarendon Press, 2001.
4. Gutlyanskii V. Ya., Ryazanov V. I., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: a geometric approach // Develop.
Math. – New York etc.: Springer, 2012. – 26.
5. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory // Springer Monogr. Math. – New
York etc.: Springer, 2009.
6. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. К теории классов Орлича – Соболева //
Алгебра и анализ. – 2013. – 25, № 6. – С. 49 – 101.
7. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеоморфизмов // Сиб.
мат. журн. – 2007. – 48, № 6. – С. 1361 – 1376.
8. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем отображений //
Сиб. мат. журн. – 2011. – 52, № 3. – С. 665 – 679.
9. Golberg A., Salimov R., Sevost’yanov E. Distortion estimates under mappings with controlled p-module // Ann. Univ.
Bucharest. Math. Ser. – 2014. – 63, № 5. – P. 95 – 114.
10. Birnbaum Z., Orlicz W. Über die Verallgemeinerungen des Begriffes der zueinander konjugierten Potenzen // Stud.
Math. – 1931. – 3. – P. 1 – 67.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
116 В. И. РЯЗАНОВ, Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
11. Gehring F. W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103. – P. 353 – 393.
12. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equation // J. Anal. Math. – 2005. – 96. – P. 117–150.
13. Lomako T., Salimov R., Sevost’yanov E. On equicontinuity of solutions to the Beltrami equations // Ann. Univ.
Bucharest. Math. Ser. – 2010. – 69, № 2. – P. 263 – 274.
14. Calderon A. P. On the differentiability of absolutely continuous functions // Riv. mat. Univ. Parma. – 1951. – 2. –
P. 203 – 213.
15. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987.
16. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation // Communs Pure and Appl. Math. – 1961. – 14. –
P. 415 – 426.
17. Heinonen J., Kilpelainen T., Martio O. Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations. – Oxford etc.:
Clarendon Press, 1993.
18. Reimann H. M., Rychener T. Funktionen Beschränkter Mittlerer Oscillation // Lect. Notes Math. – 1975. – 487.
19. Sarason D. Functions of vanishing mean oscillation // Trans. Amer. Math. Soc. – 1975. – 207. – P. 391 – 405.
20. Chiarenza F., Frasca M., Longo P. W 2,p-solvability of the Dirichlet problem for nondivergence elliptic equations
with VMO coefficients // Trans. Amer. Math. Soc. – 1993. – 336, № 2. – P. 841 – 853.
21. Iwaniec T., Sbordone C. Riecz transforms and elliptic PDEs with VMO coefficients // J. Anal. Math. – 1998. – 74. –
P. 183 – 212.
22. Martio O., Ryazanov V., Vuorinen M. BMO and injectivity of space quasiregular mappings // Math. Nachr. – 1999. –
205. – S. 149 – 161.
23. Palagachev D. K. Quasilinear elliptic equations with VMO coefficients // Trans. Amer. Math. Soc. – 1995. – 347,
№ 7. – P. 2481 – 2493.
24. Ragusa M. A. Elliptic boundary value problem in vanishing mean oscillation hypothesis // Comment. math. Univ.
carol. – 1999. – 40, № 4. – P. 651 – 663.
25. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вестн. – 2005. – 2,
№ 3. – С. 395 – 417.
Получено 09.12.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1825 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:19Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/64/e3c989c66f9479a690333fbf612ebd64.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18252019-12-05T09:28:56Z Normality of the Orlicz - Sobolev classes Нормальность классов Орлича - Соболева Ryazanov, V. I. Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Рязанов, В. И. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Рязанов, В. И. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. We establish a series of new criteria of equicontinuity and, hence, normality of the mappings of Orlicz – Sobolev classes in terms of inner dilatations. Отримано низку нових критерiїв одностайної неперервностi i, як наслiдок, нормальностi вiдображень класiв Орлiча – Соболєва в термiнах внутрiшнiх дилатацiй. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1825 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 1 (2016); 106-116 Український математичний журнал; Том 68 № 1 (2016); 106-116 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1825/807 Copyright (c) 2016 Ryazanov V. I.; Salimov R. R.; Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Ryazanov, V. I. Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Рязанов, В. И. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Рязанов, В. И. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Normality of the Orlicz - Sobolev classes |
| title | Normality of the Orlicz - Sobolev classes |
| title_alt | Нормальность классов Орлича - Соболева |
| title_full | Normality of the Orlicz - Sobolev classes |
| title_fullStr | Normality of the Orlicz - Sobolev classes |
| title_full_unstemmed | Normality of the Orlicz - Sobolev classes |
| title_short | Normality of the Orlicz - Sobolev classes |
| title_sort | normality of the orlicz - sobolev classes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1825 |
| work_keys_str_mv | AT ryazanovvi normalityoftheorliczsobolevclasses AT salimovrr normalityoftheorliczsobolevclasses AT sevost039yanovea normalityoftheorliczsobolevclasses AT râzanovvi normalityoftheorliczsobolevclasses AT salimovrr normalityoftheorliczsobolevclasses AT sevostʹânovea normalityoftheorliczsobolevclasses AT râzanovvi normalityoftheorliczsobolevclasses AT salimovrr normalityoftheorliczsobolevclasses AT sevostʹânovea normalityoftheorliczsobolevclasses AT ryazanovvi normalʹnostʹklassovorličasoboleva AT salimovrr normalʹnostʹklassovorličasoboleva AT sevost039yanovea normalʹnostʹklassovorličasoboleva AT râzanovvi normalʹnostʹklassovorličasoboleva AT salimovrr normalʹnostʹklassovorličasoboleva AT sevostʹânovea normalʹnostʹklassovorličasoboleva AT râzanovvi normalʹnostʹklassovorličasoboleva AT salimovrr normalʹnostʹklassovorličasoboleva AT sevostʹânovea normalʹnostʹklassovorličasoboleva |