On one class of quaternionic mappings
We consider a new class of quaternionic mappings associated with spatial partial differential equations. We obtain a description of all mappings from this class by using four analytic functions of complex variable.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1826 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507692009783296 |
|---|---|
| author | Kuz’menko, T. S. Shpakovskii, V. S. Кузьменко, Т. С. Шпаківський, В. С. |
| author_facet | Kuz’menko, T. S. Shpakovskii, V. S. Кузьменко, Т. С. Шпаківський, В. С. |
| author_sort | Kuz’menko, T. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:28:56Z |
| description | We consider a new class of quaternionic mappings associated with spatial partial differential equations. We obtain a description of all mappings from this class by using four analytic functions of complex variable. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.548
В. С. Шпакiвський, Т. С. Кузьменко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ОДИН КЛАС КВАТЕРНIОННИХ ВIДОБРАЖЕНЬ
We consider a new class of quaternionic mappings associated with spatial partial differential equations. We obtain a
description of all mappings from this class by using four analytic functions of complex variable.
Рассмотрен новый класс кватернионных отображений, имеющих связь с пространственными уравнениями в частных
производных. Получено описание всех отображений из этого класса с помощью четырех аналитических функций
комплексной переменной.
1. Вступ. Кватернiонний аналiз вже давно сформувався i активно розвивається як окремий на-
прямок в математицi завдяки його численним застосуванням у рiзних галузях науки, переважно
в математичнiй фiзицi та диференцiальних рiвняннях (див., наприклад, [1, 2]). Реалiзацiя тако-
го зв’язку полягає у введеннi спецiальних класiв кватернiонних „диференцiйовних” функцiй,
компоненти яких задовольняють певнi системи диференцiальних рiвнянь типу системи Кошi —
Рiмана.
Так, кватернiонний аналiз у просторi \BbbR 3 започатковано у роботi Г. Моiсiла i Н. Теодореско
[3], в якiй уперше запропоновано тривимiрний аналог системи рiвнянь Кошi — Рiмана. Вони
ввели поняття голоморфного вектора, як кватернiоннозначної вектор-функцiї, компоненти якої
неперервно диференцiйовнi i задовольняють згадану вище систему, що дiстала назву системи
Моiсiла — Теодореско. В тiй же роботi [3] автори довели аналог теореми Морера та аналоги iнте-
гральної теореми та iнтегральної формули Кошi. Започаткованi в [3] дослiдження було продов-
жено в роботi [4], де введено поняття iнтеграла типу Кошi та дослiджено iснування його межо-
вих значень, а також знайдено його застосування до систем сингулярних iнтегральних рiвнянь.
Р. Фютер [5] побудував чотиривимiрне узагальнення системи Моiсiла — Теодореско та для
введених ним регулярних функцiй довiв аналоги класичних результатiв комплексного аналiзу.
Згаданi дослiдження булo узагальненo в роботi [6] i разом iз застосуваннями у деяких
моделях математичної фiзики вiдображенo також в монографiї [2]. Слiд також вiдмiтити, що
так званi \alpha -голоморфнi функцiї f, якi є об’єктом дослiдження в роботi [2], задовольняють
тривимiрне рiвняння Гельмгольца
(\Delta 3 + \alpha )f :=
\partial 2f
\partial x2
+
\partial 2f
\partial y2
+
\partial 2f
\partial z2
+ \alpha f = 0,
де \alpha — кватернiон.
Останнi дослiдження у цьому напрямку (див., наприклад, [19 – 21]) полягають в рiзного
роду узагальненнях результатiв роботи [2].
Iншим, порiвняно новим, напрямком кватернiонного аналiзу в \BbbR 3 i \BbbR 4 є так званий моди-
фiкований кватернiонний аналiз, започаткований Г. Льойтвiлером на початку 90-х рокiв (див.,
наприклад, [7 – 9]). У конструкцiї Г. Льойтвiлера в \BbbR 3 першi двi компоненти введених ним гi-
перголоморфних функцiй f = u(x, y, z)+iv(x, y, z)+jw(x, y, z) (де i, j — базиснi кватернiоннi
одиницi) задовольняють рiвняння Лапласа – Бельтрамi
z\Delta 3u - \partial u
\partial z
= 0,
а третя компонента w задовольняє рiвняння
c\bigcirc В. С. ШПАКIВСЬКИЙ, Т. С. КУЗЬМЕНКО, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1 117
118 В. С. ШПАКIВСЬКИЙ, Т. С. КУЗЬМЕНКО
z2\Delta 3w - z
\partial w
\partial z
+ w = 0.
В роботi [7] отримано розклад гiперголоморфної функцiї в ряд по деякiй системi кватер-
нiонних полiномiв.
На вiдмiну вiд робiт [2, 3, 5, 6] в пiдходi Г. Льойтвiлера гiперголоморфною є степенева
функцiя, а частиннi похiднi гiперголоморфної функцiї знову гiперголоморфнi. В той же час мiж
описаними вище напрямками iснує певний зв’язок (див. [9]).
Ще однiєю сучасною теорiєю в кватернiонному аналiзi є теорiя так званих s-регулярних
функцiй, якi введенi Г. Джентiлi та Д. Струппою в роботi [11] в результатi розвитку iдеї
К. Куллiна [10].
Iдея полягає в наступному. Нехай x = x0 + x1i + x2j + x3k =: x0 + \mathrm{I}\mathrm{m} x, де x0, x1, x2,
x3 — дiйснi числа, а i, j, k — базиснi кватернiоннi одиницi. Кожен кватернiон x = x0 + \mathrm{I}\mathrm{m} x
при x \not = x0 можна подати у виглядi „комплексного числа” з новою уявною одиницею I:
x = x0+I | \mathrm{I}\mathrm{m} x| , де I :=
\mathrm{I}\mathrm{m} x
| \mathrm{I}\mathrm{m} x|
, а | \cdot | — модуль кватернiона. Очевидно, що I2 = - 1. У такому
ж виглядi можна подати й кватернiоннозначну функцiю: f(x) = U(x0, | \mathrm{I}\mathrm{m} x| )+I V (x0, | \mathrm{I}\mathrm{m} x| ).
Тодi функцiя f називається s-регулярною (див. [11]), якщо „комплекснозначна” функцiя f =
= U + IV є голоморфною функцiєю „комплексної” змiнної x = x0 + I | \mathrm{I}\mathrm{m} x| . Очевидно, що
s-регулярними є всi кватернiоннi полiноми. У наш час теорiя s-регулярних функцiй продовжує
стрiмко розвиватися (див. [12, 13]).
У цiй роботi розглядається спецiальний клас вiдображень в алгебрi комплексних кватер-
нiонiв, який не охоплюється згаданими вище теорiями. Зазначимо, що комутативна алгебра
бiкомплексних чисел (або комутативних кватернiонiв Сегре [14]) є пiдалгеброю алгебри комп-
лексних кватернiонiв. У цiй пiдалгебрi видiляється тривимiрний дiйсний пiдпростiр i розгля-
даються вiдображення, якi визначенi в областi цього пiдпростору i набувають значень у всiй
алгебрi комплексних кватернiонiв. Такi вiдображення, якi є неперервними i диференцiйовними
за Гато, назвемо G-моногенними. Вони i є основним об’єктом дослiдження.
Встановлено, що G-моногенними є не лише кватернiоннi полiноми, а й кватернiоннi степе-
невi ряди. Бiльш того, в роботi наведено конструктивний опис усiх G-моногенних вiдображень
за допомогою чотирьох аналiтичних функцiй комплексної змiнної. Як наслiдок, похiдна Гато G-
моногенного вiдображення в свою чергу є G-моногенним вiдображенням. Крiм того, дослiдже-
но зв’язок G-моногенних вiдображень з просторовими рiвняннями з частинними похiдними.
Зокрема, наведено застосування моногенних вiдображень до побудови розв’язкiв тривимiрного
рiвняння Лапласа.
2. Алгебра комплексних кватернiонiв. Нехай \BbbH (\BbbC ) — алгебра кватернiонiв над полем
комплексних чисел \BbbC , базис якої складається з одиницi алгебри 1 i елементiв I, J,K, для яких
виконуються такi правила множення:
I2 = J2 = K2 = - 1, IJ = - JI = K, JK = - KJ = I, KI = - IK = J.
Розглянемо в алгебрi \BbbH (\BbbC ) iнший базис \{ e1, e2, e3, e4\} , розклад елементiв якого в базисi
\{ 1, I, J,K\} має вигляд
e1 =
1
2
(1 + iI), e2 =
1
2
(1 - iI), e3 =
1
2
(iJ - K), e4 =
1
2
(iJ +K),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ПРО ОДИН КЛАС КВАТЕРНIОННИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 119
де i — уявна комплексна одиниця. Таблиця множення в новому базисi набирає вигляду
\cdot e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 e3 0
e2 0 e2 0 e4
e3 0 e3 0 e1
e4 e4 0 e2 0
. (1)
Норма кватернiона a =
\sum 4
k=1
akek, ak \in \BbbC , визначається рiвнiстю
\| a\| :=
\sqrt{} 4\sum
k=1
| ak| 2 , (2)
а одиниця алгебри \BbbH (\BbbC ) в цьому базисi є сумою iдемпотентiв: 1 = e1 + e2. Очевидно також,
що комутативна пiдалгебра з базисом \{ e1, e2\} є згаданою вище алгеброю бiкомплексних чисел
або алгеброю комутативних кватернiонiв Сегре [14].
Нагадаємо (див., наприклад, [15, c. 64]), що пiдмножина \scrI \subset \BbbH (\BbbC ) називається лiвим (або
правим) iдеалом, якщо з умови x \in \scrI випливає yx \in \scrI (або xy \in \scrI ) для довiльного y \in \BbbH (\BbbC ).
Зазначимо, що алгебра \BbbH (\BbbC ) мiстить два правих максимальних iдеали
\scrI 1 := \{ \lambda 2e2 + \lambda 4e4 : \lambda 2, \lambda 4 \in \BbbC \} , \scrI 2 := \{ \lambda 1e1 + \lambda 3e3 : \lambda 1, \lambda 3 \in \BbbC \}
i два лiвих максимальних iдеали
\widehat \scrI 1 := \{ \lambda 2e2 + \lambda 3e3 : \lambda 2, \lambda 3 \in \BbbC \} , \widehat \scrI 2 := \{ \lambda 1e1 + \lambda 4e4 : \lambda 1, \lambda 4 \in \BbbC \} .
Очевидно, що радикал алгебри складається лише з нульового елемента, тобто алгебра \BbbH (\BbbC ) є
напiвпростою.
Наслiдком очевидних рiвностей
\scrI 1 \cap \scrI 2 = \widehat \scrI 1 \cap \widehat \scrI 2 = 0, \scrI 1 \cup \scrI 2 = \widehat \scrI 1 \cup \widehat \scrI 2 = \BbbH (\BbbC )
є розклад у пряму суму:
\BbbH (\BbbC ) = \scrI 1 \oplus \scrI 2 = \widehat \scrI 1 \oplus \widehat \scrI 2.
Введемо в розгляд лiнiйнi функцiонали f1 : \BbbH (\BbbC ) \rightarrow \BbbC та f2 : \BbbH (\BbbC ) \rightarrow \BbbC , поклавши
f1(e1) = f1(e3) = 1, f1(e2) = f1(e4) = 0,
f2(e2) = f2(e4) = 1, f2(e1) = f2(e3) = 0,
при цьому очевидно f1(\scrI 1) = f2(\scrI 2) = 0.
Визначимо також лiнiйнi функцiонали \widehat f1 : \BbbH (\BbbC ) \rightarrow \BbbC та \widehat f2 : \BbbH (\BbbC ) \rightarrow \BbbC рiвностями
\widehat f1(e1) = \widehat f1(e4) = 1, \widehat f1(e2) = \widehat f1(e3) = 0,
\widehat f2(e2) = \widehat f2(e3) = 1, \widehat f2(e1) = \widehat f2(e4) = 0,
для яких очевидно \widehat f1(\widehat \scrI 1) = \widehat f2(\widehat \scrI 2) = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
120 В. С. ШПАКIВСЬКИЙ, Т. С. КУЗЬМЕНКО
3. Лiво-\bfitG -моногеннi та право-\bfitG -моногеннi вiдображення. Нехай
i1 = 1, i2 = a1e1 + a2e2, i3 = b1e1 + b2e2 (3)
при ak, bk \in \BbbC , k = 1, 2, — трiйка лiнiйно незалежних векторiв над полем дiйсних чисел \BbbR
(див. [16, с. 223]). Це означає, що рiвнiсть
\alpha 1i1 + \alpha 2i2 + \alpha 3i3 = 0, \alpha 1, \alpha 2, \alpha 3 \in \BbbR ,
виконується тодi i тiльки тодi, коли \alpha 1 = \alpha 2 = \alpha 3 = 0.
Видiлимо в алгебрi \BbbH (\BbbC ) лiнiйну оболонку E3 := \{ \zeta = xi1 + yi2 + zi3 : x, y, z \in \BbbR \} над
полем дiйсних чисел \BbbR , породжену векторами i1, i2, i3. Областi \Omega тривимiрного простору \BbbR 3
поставимо у вiдповiднiсть область \Omega \zeta := \{ \zeta = xi1 + yi2 + zi3 : (x, y, z) \in \Omega \} в E3.
Введемо позначення
\xi 1 := f1(\zeta ) = \widehat f1(\zeta ) = x+ ya1 + zb1,
\xi 2 := f2(\zeta ) = \widehat f2(\zeta ) = x+ ya2 + zb2.
Тепер елемент \zeta \in E3 можна подати у виглядi \zeta = \xi 1e1 + \xi 2e2, i згiдно з визначенням (2)
\| \zeta \| =
\sqrt{}
| \xi 1| 2 + | \xi 2| 2. (4)
Зауважимо, що в подальшому iстотним є припущення f1(E3) = f2(E3) = \BbbC , де fk(E3) при
k = 1, 2 — образ множини E3 при вiдображеннi fk. Очевидно, що воно має мiсце тодi i тiльки
тодi, коли хоча б одне з чисел у кожнiй з пар (a1, b1), (a2, b2) належить \BbbC \setminus \BbbR .
Скажемо, що деякий функцiонал f : \BbbH (\BbbC ) \rightarrow \BbbC правомультиплiкативний (або лiвомульти-
плiкативний), якщо для довiльних x \in \BbbH (\BbbC ) i y \in E3 справджується рiвнiсть f(yx) = f(y)f(x)\bigl(
або f(xy) = f(x)f(y)
\bigr)
.
Лема 1. Функцiонали f1 : \BbbH (\BbbC ) \rightarrow \BbbC та f2 : \BbbH (\BbbC ) \rightarrow \BbbC неперервнi i правомультиплiкатив-
нi, а функцiонали \widehat f1 : \BbbH (\BbbC ) \rightarrow \BbbC та \widehat f2 : \BbbH (\BbbC ) \rightarrow \BbbC неперервнi i лiвомультиплiкативнi.
Доведення. Вiдповiдна мультиплiкативнiсть всiх функцiоналiв встановлюється безпосеред-
ньою перевiркою, а неперервнiсть випливає з їх обмеженостi, а саме, якщо a =
\sum 4
k=1
akek \in
\in \BbbH (\BbbC ), то, наприклад, для f1 маємо
| f1(a)|
\| a\|
\leq | a1| + | a3| \sqrt{}
| a1| 2 + | a2| 2 + | a3| 2 + | a4| 2
\leq 2.
Аналогiчно доводиться неперервнiсть iнших функцiоналiв.
Лему доведено.
Неперервне вiдображення \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ) (або \widehat \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC )) називається право-G-
моногенним
\bigl(
або лiво-G-моногенним
\bigr)
в областi \Omega \zeta \subset E3, якщо \Phi
\bigl(
або \widehat \Phi \bigr) диференцiйовне
за Гато у кожнiй точцi цiєї областi, тобто якщо для кожного \zeta \in \Omega \zeta iснує такий елемент \Phi \prime (\zeta )\bigl(
або \widehat \Phi \prime (\zeta )
\bigr)
алгебри \BbbH (\BbbC ), що виконується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0+0
\Bigl(
\Phi (\zeta + \varepsilon h) - \Phi (\zeta )
\Bigr)
\varepsilon - 1 = h\Phi \prime (\zeta ) \forall h \in E3 (5)\Biggl(
або \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0+0
\Bigl( \widehat \Phi (\zeta + \varepsilon h) - \widehat \Phi (\zeta )\Bigr) \varepsilon - 1 = \widehat \Phi \prime (\zeta )h \forall h \in E3
\Biggr)
. (6)
При цьому \Phi \prime (\zeta ) назвемо правою похiдною Гато в точцi \zeta , а \widehat \Phi \prime (\zeta ) — лiвою похiдною Гато в
точцi \zeta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ПРО ОДИН КЛАС КВАТЕРНIОННИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 121
Теорема 1. Вiдображення \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ) вигляду
\Phi (\zeta ) =
4\sum
k=1
Uk(x, y, z)ek, x, y, z \in \BbbR , (7)
де Uk : \Omega \rightarrow \BbbC — диференцiйовнi функцiї в областi \Omega , є лiво-G-моногенним або право-G-
моногенним в областi \Omega \zeta \subset E3 тодi i тiльки тодi, коли виконуються вiдповiдно умови
\partial U1
\partial y
= a1
\partial U1
\partial x
,
\partial U2
\partial y
= a2
\partial U2
\partial x
,
\partial U3
\partial y
= a2
\partial U3
\partial x
,
\partial U4
\partial y
= a1
\partial U4
\partial x
,
\partial U1
\partial z
= b1
\partial U1
\partial x
,
\partial U2
\partial z
= b2
\partial U2
\partial x
,
\partial U3
\partial z
= b2
\partial U3
\partial x
,
\partial U4
\partial z
= b1
\partial U4
\partial x
(8)
або
\partial U1
\partial y
= a1
\partial U1
\partial x
,
\partial U2
\partial y
= a2
\partial U2
\partial x
,
\partial U3
\partial y
= a1
\partial U3
\partial x
,
\partial U4
\partial y
= a2
\partial U4
\partial x
,
\partial U1
\partial z
= b1
\partial U1
\partial x
,
\partial U2
\partial z
= b2
\partial U2
\partial x
,
\partial U3
\partial z
= b1
\partial U3
\partial x
,
\partial U4
\partial z
= b2
\partial U4
\partial x
.
(9)
Доведення. Необхiднiсть. Якщо вiдображення (7) право-G-моногенне в областi \Omega \zeta , то при
h = i1 рiвнiсть (5) набирає вигляду
\Phi \prime (\zeta ) =
4\sum
k=1
\partial Uk(x, y, z)
\partial x
ek, \zeta = xi1 + yi2 + zi3 \in \Omega \zeta .
Тепер, покладаючи в рiвностi (5) спочатку h = i2, а потiм h = i3, з урахуванням правил
множення для базисних елементiв отримуємо умови (8) для компонент право-G-моногенного
вiдображення (7).
Достатнiсть. Нехай \zeta = xi1 + yi2 + zi3 \in \Omega \zeta , h := h1i1 + h2i2 + h3i3, де h1, h2, h3 \in \BbbR i
додатне число \varepsilon таке, що \zeta + \varepsilon h \in \Omega \zeta . Враховуючи умови (8), маємо
\Bigl(
\Phi (\zeta + \varepsilon h) - \Phi (\zeta )
\Bigr)
\varepsilon - 1 - h
4\sum
k=1
\partial Uk(x, y, z)
\partial x
ek =
= \varepsilon - 1
4\sum
k=1
\Bigl(
Uk(x+ \varepsilon h1, y + \varepsilon h2, z + \varepsilon h3) - Uk(x, y, z)
\Bigr)
ek -
-
\biggl(
\partial U1
\partial x
h1 + a1
\partial U1
\partial x
h2 + b1
\partial U1
\partial x
h3
\biggr)
e1 -
\biggl(
\partial U2
\partial x
h1 + a2
\partial U2
\partial x
h2 + b2
\partial U2
\partial x
h3
\biggr)
e2 -
-
\biggl(
\partial U3
\partial x
h1 + a1
\partial U3
\partial x
h2 + b1
\partial U3
\partial x
h3
\biggr)
e3 -
\biggl(
\partial U4
\partial x
h1 + a2
\partial U4
\partial x
h2 + b2
\partial U4
\partial x
h3
\biggr)
e4 =
= \varepsilon - 1
4\sum
k=1
\Biggl(
Uk(x+ \varepsilon h1, y + \varepsilon h2, z + \varepsilon h3) - Uk(x, y, z) -
- \partial Uk(x, y, z)
\partial x
\varepsilon h1 -
\partial Uk(x, y, z)
\partial y
\varepsilon h2 -
\partial Uk(x, y, z)
\partial z
\varepsilon h3
\Biggr)
ek. (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
122 В. С. ШПАКIВСЬКИЙ, Т. С. КУЗЬМЕНКО
Внаслiдок диференцiйовностi функцiй Uk в областi \Omega справджуються спiввiдношення
Uk(x+ \varepsilon h1, y + \varepsilon h2, z + \varepsilon h3) - Uk(x, y, z) -
\partial Uk(x, y, z)
\partial x
\varepsilon h1 -
- \partial Uk(x, y, z)
\partial y
\varepsilon h2 -
\partial Uk(x, y, z)
\partial z
\varepsilon h3 = o(\varepsilon ), \varepsilon \rightarrow 0, k = 1, 4.
Тому, перейшовши до границi в рiвностi (10) при \varepsilon \rightarrow 0, отримаємо рiвнiсть (5). У випадку
лiво-G-моногенного вiдображення доведення аналогiчне.
Теорему 1 доведено.
Зауважимо, що умови (8) i (9) є аналогами умов Кошi — Рiмана i у згорнутому виглядi
можуть бути записанi так:
\partial \Phi
\partial y
= i2
\partial \Phi
\partial x
,
\partial \Phi
\partial z
= i3
\partial \Phi
\partial x
(11)
для право-G-моногенного вiдображення i
\partial \widehat \Phi
\partial y
=
\partial \widehat \Phi
\partial x
i2,
\partial \widehat \Phi
\partial z
=
\partial \widehat \Phi
\partial x
i3 (12)
для лiво-G-моногенного вiдображення.
Розглянемо приклади право- i лiво-G-моногенних вiдображень. Враховуючи подання еле-
мента \zeta у виглядi \zeta = \xi 1e1+\xi 2e2 i таблицю множення алгебри \BbbH (\BbbC ), маємо \zeta n = \xi n1 e1+\xi n2 e2.
Шляхом перевiрки умов (11), (12) легко переконатися в тому, що вiдображення \Phi (\zeta ) = \zeta n є
одночасно право- i лiво-G-моногенним у всьому просторi E3. Аналогiчно перевiряється, що
вiдображення
\Phi (\zeta ) =
n\sum
k=0
\zeta k ck, ck \in \BbbH (\BbbC ), (13)
є право-G-моногенним в E3, а вiдображення
\widehat \Phi (\zeta ) = n\sum
k=0
ck \zeta
k, ck \in \BbbH (\BbbC ),
— лiво-G-моногенним в E3.
4. Конструктивний опис право-G-моногенних i лiво-G-моногенних вiдображень.
Лема 2. Розклад резольвенти має вигляд
(t - \zeta ) - 1 =
1
t - \xi 1
e1 +
1
t - \xi 2
e2 \forall t \in \BbbC , t \not = \xi 1, t \not = \xi 2. (14)
Доведення. Встановимо, при яких t \in \BbbC в алгебрi \BbbH (\BbbC ) iснує елемент (t - \zeta ) - 1, i знайдемо
коефiцiєнти Ak його розкладу за базисом
(t - \zeta ) - 1 =
4\sum
k=1
Ak ek.
Враховуючи подання (3) елементiв i1, i2, i3 за базисом \{ e1, e2, e3, e4\} i таблицю множення
алгебри \BbbH (\BbbC ), маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ПРО ОДИН КЛАС КВАТЕРНIОННИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 123
1 = (t - \zeta )(t - \zeta ) - 1 =
\Bigl(
(t - \xi 1)e1 + (t - \xi 2)e2
\Bigr) 4\sum
k=1
Ak ek =
= (t - \xi 1)A1e1 + (t - \xi 1)A3e3 + (t - \xi 2)A2e2 + (t - \xi 2)A4e4 = e1 + e2.
Тепер, прирiвнюючи коефiцiєнти при вiдповiдних базисних одиницях, отримуємо розклад (14).
Лему 2 доведено.
Iз рiвностi (14) випливає, що точки (x, y, z) \in \BbbR 3, якi вiдповiдають необоротним елементам
\zeta = xi1 + yi2 + zi3 \in E3, лежать на прямих
L1 : x+ y\mathrm{R}\mathrm{e} a1 + z\mathrm{R}\mathrm{e} b1 = 0, y \mathrm{I}\mathrm{m} a1 + z \mathrm{I}\mathrm{m} b1 = 0,
L2 : x+ y\mathrm{R}\mathrm{e} a2 + z\mathrm{R}\mathrm{e} b2 = 0, y \mathrm{I}\mathrm{m} a2 + z \mathrm{I}\mathrm{m} b2 = 0
у просторi \BbbR 3.
Область \Omega \in \BbbR 3 називають опуклою в напрямку прямої L, якщо вона мiстить кожен вiдрiзок,
який паралельний прямiй L i з’єднує двi точки цiєї областi.
Лема 3. Нехай область \Omega \in \BbbR 3 опукла в напрямку прямих L1 i L2, f1(E3) = f2(E3) = \BbbC , а
вiдображення \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ) право-G-моногенне в областi \Omega \zeta . Якщо точки \zeta 1, \zeta 2 \in \Omega \zeta такi,
що \zeta 1 - \zeta 2 \in \{ \zeta = xi1 + yi2 + zi3 : (x, y, z) \in L1\} , то
\Phi (\zeta 1) - \Phi (\zeta 2) \in \scrI 1. (15)
Якщо ж точки \zeta 1, \zeta 2 \in \Omega \zeta такi, що \zeta 1 - \zeta 2 \in \{ \zeta = xi1 + yi2 + zi3 : (x, y, z) \in L2\} , то
\Phi (\zeta 1) - \Phi (\zeta 2) \in \scrI 2. (16)
Спiввiдношення (15) доводиться за схемою доведення леми 1 з роботи [17], в якому замiсть
прямої L необхiдно використати пряму L1, а замiсть функцiонала f — функцiонал f1. Ана-
логiчно доводиться спiввiдношення (16) з замiною L1 i f1 вiдповiдно на L2 i f2. При цьому
використовується лема 1 цiєї роботи.
Повнiстю аналогiчно доводиться i наступне твердження.
Лема 4. Нехай область \Omega \in \BbbR 3 опукла в напрямку прямих L1 i L2, f1(E3) = f2(E3) = \BbbC ,
а вiдображення \widehat \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ) лiво-G-моногенне в областi \Omega \zeta . Якщо точки \zeta 1, \zeta 2 \in \Omega \zeta такi,
що \zeta 1 - \zeta 2 \in \{ \zeta = xi1 + yi2 + zi3 : (x, y, z) \in L1\} , то
\widehat \Phi (\zeta 1) - \widehat \Phi (\zeta 2) \in \widehat \scrI 1.
Якщо ж точки \zeta 1, \zeta 2 \in \Omega \zeta такi, що \zeta 1 - \zeta 2 \in \{ \zeta = xi1 + yi2 + zi3 : (x, y, z) \in L2\} , то
\widehat \Phi (\zeta 1) - \widehat \Phi (\zeta 2) \in \widehat \scrI 2.
Теорема 2. Кожне право-G-моногенне в областi \Omega \zeta вiдображення \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ) має
вигляд
\Phi (\zeta ) = \Phi 10(\zeta ) + \Phi 20(\zeta ),
де \Phi 10 : \Omega \zeta \rightarrow \scrI 1, \Phi 20 : \Omega \zeta \rightarrow \scrI 2 — деякi право-G-моногеннi в областi \Omega \zeta вiдображення зi
значеннями у правих максимальних iдеалах \scrI 1, \scrI 2, а кожне лiво-G-моногенне в областi \Omega \zeta
вiдображення має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
124 В. С. ШПАКIВСЬКИЙ, Т. С. КУЗЬМЕНКО
\widehat \Phi (\zeta ) = \widehat \Phi 10(\zeta ) + \widehat \Phi 20(\zeta ), (17)
де \widehat \Phi 10 : \Omega \zeta \rightarrow \widehat \scrI 1, \widehat \Phi 20 : \Omega \zeta \rightarrow \widehat \scrI 2 — деякi лiво-G-моногеннi в областi \Omega \zeta вiдображення зi
значеннями в лiвих максимальних iдеалах \widehat \scrI 1, \widehat \scrI 2.
Доведення. Iз розкладу одиницi 1 = e1 + e2 випливає, що довiльне вiдображення \Phi :
\Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ) має вигляд
\Phi = e1\Phi + e2\Phi
i при цьому e1\Phi \in \scrI 2, а e2\Phi \in \scrI 1.
Введемо позначення \Phi 10 := e2\Phi , \Phi 20 := e1\Phi . Покажемо, що вiдображення \Phi 10, \Phi 20 право-
G-моногеннi в областi \Omega \zeta . Для цього рiвнiсть (5) помножимо злiва на e1:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0+0
e1
\Bigl(
\Phi (\zeta + \varepsilon h) - \Phi (\zeta )
\Bigr)
\varepsilon - 1 = e1h\Phi
\prime (\zeta ) \forall h \in E3. (18)
Оскiльки елементи e1 та h належать комутативнiй пiдалгебрi з базисом \{ e1, e2\} , то e1h = he1,
i тому з рiвностi (18) випливає рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0+0
\Bigl(
e1\Phi (\zeta + \varepsilon h) - e1\Phi (\zeta )
\Bigr)
\varepsilon - 1 = he1\Phi
\prime (\zeta ),
яка i доводить, що вiдображення \Phi 20 право-G-моногенне в областi \Omega \zeta . Аналогiчно доводиться
правo-G-моногеннiсть вiдображення \Phi 10.
Аналогiчно доводиться зображення (17).
Теорему 2 доведено.
В наступнiй теоремi описано всi право- та лiво-G-моногеннi вiдображення зi значеннями
вiдповiдно в iдеалах \scrI 1 та \widehat \scrI 1 за допомогою аналiтичних функцiй вiдповiдної комплексної
змiнної.
Позначимо через Dk область комплексної площини \BbbC , на яку область \Omega \zeta вiдображається
функцioналом fk, k = 1, 2.
Теорема 3. Нехай область \Omega опукла в напрямку прямої L2 i f1(E3) = f2(E3) = \BbbC . Тодi
кожне право-G-моногенне вiдображення \Phi 10 : \Omega \zeta \rightarrow \scrI 1 має вигляд
\Phi 10(\zeta ) = F12(\xi 2)e2 + F14(\xi 2)e4 \forall \zeta = xi1 + yi2 + zi3 \in \Omega \zeta , (19)
а лiво-G-моногенне вiдображення \widehat \Phi 10 : \Omega \zeta \rightarrow \widehat \scrI 1 записується у виглядi
\widehat \Phi 10(\zeta ) = F11(\xi 2)e2 + F13(\xi 2)e3 \forall \zeta = xi1 + yi2 + zi3 \in \Omega \zeta , (20)
де F12, F14, F11, F13 — деякi аналiтичнi в областi D2 функцiї змiнної \xi 2 := x+ ya2 + zb2.
Доведення. Оскiльки \Phi 10 набуває значень в iдеалi \scrI 1, то справджується рiвнiсть
\Phi 10(\zeta ) = V2(x, y, z)e2 + V4(x, y, z)e4, (21)
де V2 : \Omega \rightarrow \BbbC i V4 : \Omega \rightarrow \BbbC .
Для вiдображення \Phi 10 виконуються умови право-G- моногенностi (11) при \Phi = \Phi 10, з яких
пiсля пiдстановки в них виразiв (3), (21), з урахуванням однозначностi розкладу елементiв
алгебри \BbbH (\BbbC ) за базисом \{ e1, e2, e3, e4\} , отримаємо систему для знаходження функцiй V2, V4:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ПРО ОДИН КЛАС КВАТЕРНIОННИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 125
\partial V2
\partial y
= a2
\partial V2
\partial x
,
\partial V4
\partial y
= a2
\partial V4
\partial x
,
\partial V2
\partial z
= b2
\partial V2
\partial x
,
\partial V4
\partial z
= b2
\partial V4
\partial x
.
(22)
З першого i третього рiвнянь системи (22) знайдемо функцiю V2. Для цього видiлимо дiйсну
i уявну частини змiнної \xi 2:
\xi 2 = (x+ y\mathrm{R}\mathrm{e} a2 + z\mathrm{R}\mathrm{e} b2) + i(y \mathrm{I}\mathrm{m} a2 + z \mathrm{I}\mathrm{m} b2) := \tau 2 + i\eta 2
i зазначимо, що наслiдком вказаних рiвнянь є рiвностi
\partial V2
\partial \eta 2
\mathrm{I}\mathrm{m} a2 = i
\partial V2
\partial \tau 2
\mathrm{I}\mathrm{m} a2,
\partial V2
\partial \eta 2
\mathrm{I}\mathrm{m} b2 = i
\partial V2
\partial \tau 2
\mathrm{I}\mathrm{m} b2. (23)
Оскiльки з f1(E3) = f2(E3) = \BbbC випливає, що хоча б одне з чисел \mathrm{I}\mathrm{m} a2 або \mathrm{I}\mathrm{m} b2 вiдмiнне
вiд нуля, то з (23) отримуємо рiвнiсть
\partial V2
\partial \eta 2
= i
\partial V2
\partial \tau 2
.
Тепер так, як i при доведеннi теореми 2 з [17], з використанням леми 3 i теореми 6 з [18]
доводиться рiвнiсть V2(x1, y1, z1) = V2(x2, y2, z2) для точок (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) \in \Omega таких,
що вiдрiзок, який з’єднує цi точки, паралельний прямiй L2. Звiдси випливає, що функцiя V2
вигляду V2(x, y, z) := F12(\xi 2), де F12 — довiльна аналiтична функцiя в областi D2, є загальним
розв’язком системи, яка складається з першого i третього рiвнянь системи (22).
Тепер з другого i четвертого рiвнянь системи (22) аналогiчно встановлюємо, що функцiя V4
має вигляд V4(x, y, z) := F14(\xi 2), де F14 — довiльна аналiтична в областi D2 функцiя.
Повнiстю аналогiчно доводиться рiвнiсть (20).
Теорему 3 доведено.
В наступнiй теоремi, яка доводиться повнiстю аналогiчно до теореми 3, описано всi право-
та лiво-G-моногеннi вiдображення зi значеннями вiдповiдно в iдеалах \scrI 2 та \widehat \scrI 2 алгебри \BbbH (\BbbC )
за допомогою аналiтичних функцiй вiдповiдної комплексної змiнної.
Теорема 4. Нехай область \Omega опукла в напрямку прямої L1 i f1(E3) = f2(E3) = \BbbC . Тодi
кожне право-G-моногенне вiдображення \Phi 20 : \Omega \zeta \rightarrow \scrI 2 має вигляд
\Phi 20(\zeta ) = F21(\xi 1)e1 + F23(\xi 1)e3 \forall \zeta = xi1 + yi2 + zi3 \in \Omega \zeta , (24)
а лiво-G-моногенне вiдображення \widehat \Phi 20 : \Omega \zeta \rightarrow \widehat \scrI 2 записується у виглядi
\widehat \Phi 20(\zeta ) = F22(\xi 1)e1 + F24(\xi 1)e4 \forall \zeta = xi1 + yi2 + zi3 \in \Omega \zeta , (25)
де F21, F23, F22, F24 — деякi аналiтичнi в областi D1 функцiї змiнної \xi 1 := x+ ya1 + zb1.
З урахуванням теореми 2 та рiвностей (19), (24) доведено наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
126 В. С. ШПАКIВСЬКИЙ, Т. С. КУЗЬМЕНКО
Теорема 5. Нехай область \Omega опукла в напрямку прямих L1 i L2, а f1(E3) = f2(E3) = \BbbC .
Тодi кожне право-G-моногенне вiдображення \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ) має вигляд
\Phi (\zeta ) = F1(\xi 1)e1 + F2(\xi 2)e2 + F3(\xi 1)e3 + F4(\xi 2)e4 \forall \zeta = xi1 + yi2 + zi3 \in \Omega \zeta , (26)
де F1 i F3 — деякi аналiтичнi в областi D1 функцiї змiнної \xi 1 := x + ya1 + zb1, а F2 i F4 —
деякi аналiтичнi в областi D2 функцiї змiнної \xi 2 := x+ ya2 + zb2.
Очевидно, що вiдображення (13) буде право-G-моногенним в E3, оскiльки для нього функцiї
F1, F2, F3, F4 будуть полiномами. Але тепер можна сказати й бiльше. А саме, право-G-
моногенним у вiдповiднiй областi вiдображенням буде не тiльки полiном вигляду (13), а й
ряд вигляду
\Phi (\zeta ) =
\infty \sum
k=0
\zeta k ck, ck \in \BbbH (\BbbC ), (27)
для якого комплекснi степеневi ряди, що вiдiграють роль аналiтичних функцiй F1, F2, F3, F4,
є збiжними.
Тепер, згiдно з рiвностями (20) i (25), справедливим є твердження для лiво-G-моногенного
вiдображення.
Теорема 6. Нехай область \Omega опукла в напрямку прямих L1 i L2, а f1(E3) = f2(E3) = \BbbC .
Тодi кожне лiво-G-моногенне вiдображення \widehat \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ) має вигляд
\widehat \Phi (\zeta ) = F1(\xi 1)e1 + F2(\xi 2)e2 + F3(\xi 2)e3 + F4(\xi 1)e4 \forall \zeta = xi1 + yi2 + zi3 \in \Omega \zeta , (28)
де F1 i F4 — деякi аналiтичнi в областi D1 функцiї змiнної \xi 1 := x + ya1 + zb1, а F2 i F3 —
деякi аналiтичнi в областi D2 функцiї змiнної \xi 2 := x+ ya2 + zb2.
Аналогiчно до (27) вiдображення
\widehat \Phi (\zeta ) = \infty \sum
k=0
ck \zeta
k, ck \in \BbbH (\BbbC ), (29)
є лiво-G-моногенним.
Очевидно, що формула (26) дає можливiсть побудувати всi право-G-моногеннi вiдображен-
ня \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ), а формула (28) — усi лiво-G-моногеннi вiдображення \widehat \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC )
за допомогою чотирьох аналiтичних функцiй вiдповiдної комплексної змiнної. Зауважимо, що
в роботi [22] за допомогою аналiтичних функцiй комплексної змiнної побудовано так званi
At-гiперголоморфнi функцiї в довiльнiй алгебрi Келi – Дiксона At над полем \BbbR .
Порiвнюючи правi частини рiвностей (26) i (28), приходимо до висновку, що вiдображення
\Psi (\zeta ) буде одночасно право- i лiво-G-моногенним тодi i тiльки тодi, коли воно має вигляд
\Psi (\zeta ) = F1(\xi 1)e1 + F2(\xi 2)e2 + c3e3 + c4e4, де c3, c4 \in \BbbC . Тепер очевидно, що вiдображення
\Psi (\zeta ) = \zeta n = \xi n1 e1 + \xi n2 e2 одночасно право- i лiво-G-моногенне в E3.
Безпосереднiм наслiдком зображень (26), (28) є той факт, що множини всiх право- i лiво-
G-моногенних вiдображень зi значеннями в алгебрi \BbbH (\BbbC ) утворюють функцiональнi алгебри
в областях їх визначення. Тобто добуток двох, наприклад, право-G-моногенних вiдображень
знову є право-G-моногенним вiдображенням.
З урахуванням розкладу (14) i правил множення (1) одержуємо iнтегральнi зображення
право- i лiво-G-моногенних вiдображень:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ПРО ОДИН КЛАС КВАТЕРНIОННИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 127
\Phi (\zeta ) =
1
2\pi i
\int
\Gamma 1
(t - \zeta ) - 1
\Bigl(
F1(t)e1 + F3(t)e3
\Bigr)
dt+
1
2\pi i
\int
\Gamma 2
(t - \zeta ) - 1
\Bigl(
F2(t)e2 + F4(t)e4
\Bigr)
dt,
\widehat \Phi (\zeta ) = 1
2\pi i
\int
\Gamma 1
\Bigl(
F1(t)e1 + F4(t)e4
\Bigr)
(t - \zeta ) - 1dt+
1
2\pi i
\int
\Gamma 2
\Bigl(
F2(t)e2 + F3(t)e3
\Bigr)
(t - \zeta ) - 1dt,
де замкненi жордановi спрямлюванi кривi \Gamma k лежать у вiдповiдних областях Dk, охоплюють
вiдповiднi точки \xi k i не мiстять точок \xi n, k, n = 1, 2, при k \not = n.
Зазначимо також, що похiднi Гато право-G-моногенного вiдображення \Phi (\zeta ) i лiво-G-моно-
генного вiдображення \widehat \Phi (\zeta ) виражаються вiдповiдно формулами
\Phi \prime (\zeta ) = F \prime
1(\xi 1)e1 + F \prime
2(\xi 2)e2 + F \prime
3(\xi 1)e3 + F \prime
4(\xi 2)e4 (30)
i \widehat \Phi \prime (\zeta ) = F \prime
1(\xi 1)e1 + F \prime
2(\xi 2)e2 + F \prime
3(\xi 2)e3 + F \prime
4(\xi 1)e4.
Наступне твердження випливає безпосередньо з рiвностей (26) i (28), правi частини яких
є вiдповiдно право- i лiво-G-моногенними вiдображеннями в областi \Pi \zeta := \{ \zeta \in E3 : f1(\zeta ) \in
\in D1, f2(\zeta ) \in D2\} .
Теорема 7. Нехай область \Omega опукла в напрямку прямих L1 i L2, f1(E3) = f2(E3) = \BbbC ,
вiдображення \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ) право-G-моногенне, а \widehat \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ) лiво-G-моногенне в облас-
тi \Omega \zeta . Тодi \Phi i \widehat \Phi продовжуються до вiдображень, якi є вiдповiдно право- i лiво-G-моногенними
в областi \Pi \zeta .
Теорема 7 дає можливiсть легко знайти область право-G-моногенностi вiдображення (27) i
лiво-G-моногенностi вiдображення (29).
Принциповим наслiдком рiвностей (26) та (28) є наступне твердження, справедливе для
право- i лiво-G-моногенних вiдображень в довiльнiй областi \Omega \zeta .
Теорема 8. Нехай f1(E3) = f2(E3) = \BbbC , вiдображення\Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ) право-G-моногенне,
а \widehat \Phi : \Omega \zeta \rightarrow \BbbH (\BbbC ) лiво-G-моногенне в областi \Omega \zeta . Тодi похiднi Гато всiх порядкiв вiдображень
\Phi i \widehat \Phi є вiдповiдно право- i лiво-G-моногенними вiдображеннями в областi \Omega \zeta .
Доведення. Оскiльки куля \mho (яка повнiстю мiститься в областi \Omega ) з центром у довiль-
нiй точцi (x0, y0, z0) \in \Omega є опуклою множиною в напрямку прямих L1 i L2, то в околi
\mho \zeta := \{ \zeta = xi1 + yi2 + zi3 : (x, y, z) \in \mho \} точки \zeta 0 = x0i1 + y0i2 + z0i3 справджуються
рiвностi (26) i (30). Але при цьому компоненти розкладу (30) є аналiтичними функцiями вiд-
повiдних комплексних змiнних, тобто вираз для \Phi \prime (\zeta ) має вигляд рiвностi (26), а це i означає
праву-G-моногеннiсть вiдображення \Phi \prime (\zeta ). Для похiдної Гато довiльного порядку i для лiво-G-
моногенного вiдображення \widehat \Phi (\zeta ) доведення аналогiчне.
Теорему 8 доведено.
5. Зв’язок право- i лiво-\bfitG -моногенних вiдображень з рiвняннями в частинних похiд-
них. Розглянемо лiнiйне диференцiальне рiвняння в частинних похiдних iз сталими коефiцi-
єнтами:
\scrL nU(x, y, z) :=
\sum
\alpha +\beta +\gamma =n
C\alpha ,\beta ,\gamma
\partial nU
\partial x\alpha \partial y\beta \partial z\gamma
= 0, C\alpha ,\beta ,\gamma \in \BbbR . (31)
Якщо вiдображення \Phi (\zeta ) є n разiв праводиференцiйовним за Гато, а вiдображення \widehat \Phi (\zeta ) —
n разiв лiводиференцiйовним за Гато, то наслiдком рiвностей (5) i (6) є вiдповiдно рiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
128 В. С. ШПАКIВСЬКИЙ, Т. С. КУЗЬМЕНКО
\partial \alpha +\beta +\gamma \Phi
\partial x\alpha \partial y\beta \partial z\gamma
= i\alpha 1 i
\beta
2 i
\gamma
3 \Phi
(\alpha +\beta +\gamma )(\zeta ) = i\beta 2 i
\gamma
3 \Phi
(n)(\zeta )
i
\partial \alpha +\beta +\gamma \widehat \Phi
\partial x\alpha \partial y\beta \partial z\gamma
= \widehat \Phi (\alpha +\beta +\gamma )(\zeta ) i\alpha 1 i
\beta
2 i
\gamma
3 = \widehat \Phi (n)(\zeta ) i\beta 2 i
\gamma
3 .
Тому внаслiдок рiвностi
\scrL n\Phi (\zeta ) =
\sum
\alpha +\beta +\gamma =n
C\alpha ,\beta ,\gamma i
\beta
2 i
\gamma
3 \Phi (n)(\zeta ) (32)
кожне n разiв праводиференцiйовне за Гато вiдображення \Phi при виконаннi умов \Phi (n)(\zeta ) \not = 0 i\sum
\alpha +\beta +\gamma =n
C\alpha ,\beta ,\gamma i
\beta
2 i
\gamma
3 = 0 (33)
задовольняє рiвняння \scrL n\Phi (\zeta ) = 0. Аналогiчно внаслiдок рiвностi
\scrL n
\widehat \Phi (\zeta ) = \widehat \Phi (n)(\zeta )
\sum
\alpha +\beta +\gamma =n
C\alpha ,\beta ,\gamma i
\beta
2 i
\gamma
3 (34)
кожне n разiв лiводиференцiйовне за Гато вiдображення \widehat \Phi при виконаннi умов \widehat \Phi (n)(\zeta ) \not = 0
i (33) задовольняє рiвняння \scrL n
\widehat \Phi (\zeta ) = 0. Вiдповiдно, всi дiйснозначнi компоненти розкладу
вiдображень \Phi i \widehat \Phi за базисом \{ e1, e2, e3, e4, ie1, ie2, ie3, ie4\} є розв’язками рiвняння (31).
Таким чином, задача про побудову розв’язкiв рiвняння (31) у виглядi компонент право-
або лiводиференцiйовних за Гато вiдображень зводиться до вiдшукання в алгебрi \BbbH (\BbbC ) трiйки
лiнiйно незалежних над полем \BbbR векторiв (3), якi задовольняють характеристичне рiвняння (33).
Зауважимо, що якщо обидва функцiонали f1, f2 набувають значень в \BbbC , то згiдно з теоремою
8 кожне право- i лiво-G-моногенне вiдображення задовольняє рiвнiсть (32).
Очевидно, що спiввiдношення
f1(E3) = f2(E3) = \BbbC (35)
має мiсце тодi i тiльки тодi, коли хоча б одне з чисел у кожнiй з пар (a1, b1), (a2, b2) належить
\BbbC \setminus \BbbR . Якщо рiвняння (31) має особливий вигляд, то можна вказати достатнi умови для вико-
нання спiввiдношень (35). Для цього введемо позначення
P (a, b) :=
\sum
\alpha +\beta +\gamma =n
C\alpha ,\beta ,\gamma a
\beta b\gamma . (36)
Теорема 9. Нехай в алгебрi \BbbH (\BbbC ) iснує трiйка лiнiйно незалежних над полем \BbbR векторiв
вигляду (3), якi задовольняють рiвнiсть (33). Тодi якщо P (a, b) \not = 0 при всiх дiйсних значеннях
a, b, то виконуються спiввiдношення (35).
Доведення. Використовуючи таблицю множення алгебри, маємо рiвностi
i\beta 2 = a\beta 1e1 + a\beta 2e2, i\gamma 3 = b\gamma 1e1 + b\gamma 2e2.
Тепер рiвнiсть (33) набирає вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
ПРО ОДИН КЛАС КВАТЕРНIОННИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 129\sum
\alpha +\beta +\gamma =n
C\alpha ,\beta ,\gamma
\Bigl(
a\beta 1 b
\gamma
1 e1 + a\beta 2 b
\gamma
2 e2
\Bigr)
= 0,
або в рiвносильнiй формi \sum
\alpha +\beta +\gamma =n
C\alpha ,\beta ,\gamma a
\beta
k b
\gamma
k = 0, k = 1, 2. (37)
Оскiльки розв’язок системи (37) iснує (за умовою теореми) i P (a, b) \not = 0 при всiх дiйсних
a, b, то рiвностi (37) можуть виконуватися лише тодi, коли хоча б одне з чисел у кожнiй з пар
(a1, b1), (a2, b2) належить множинi \BbbC \setminus \BbbR .
Теорему 9 доведено.
Тепер зауважимо, що з умови теореми P (a, b) \not = 0 випливає, що завжди Cn,0,0 \not = 0, оскiльки
в iншому випадку при a = b = 0 було б P (a, b) = 0. Крiм того, оскiльки функцiя P (a, b)
неперервна на \BbbR 2, то умова P (a, b) \not = 0 по сутi означає одне з двох: P (a, b) > 0 або P (a, b) < 0
при всiх a, b \in \BbbR .
Очевидно також, що рiвняння вигляду (31) елiптичного типу завжди задовольняє умову
P (a, b) \not = 0 при всiх a, b \in \BbbR . Але водночас iснують рiвняння вигляду (31), для яких P (a, b) > 0
i якi не є елiптичними. Таким, наприклад, є рiвняння
\partial 5u
\partial x5
+
\partial 5u
\partial x\partial y2\partial z2
+
\partial 5u
\partial x\partial z4
= 0.
6. Приклад. Покажемо зв’язок право- i лiво-G-моногенних вiдображень з тривимiрним
рiвнянням Лапласа
\Delta 3U(x, y, z) :=
\partial 2U
\partial x2
+
\partial 2U
\partial y2
+
\partial 2U
\partial z2
= 0. (38)
Для рiвняння (38) характеристичне рiвняння (33) набирає вигляду
1 + i22 + i23 = 0. (39)
Подiбно до [23], трiйку лiнiйно назалежних над полем \BbbR векторiв i1 = 1, i2, i3 назвемо
гармонiчною трiйкою, якщо має мiсце рiвнiсть (39) i виконуються умови i22 \not = 0, i23 \not = 0.
Пiсля пiдстановки рiвностей (3) в умови (39) приходимо до наступного твердження: гар-
монiчними трiйками в алгебрi \BbbH (\BbbC ) є вектори 1, i2, i3, розклад яких за базисом \{ e1, e2, e3, e4\}
має вигляд (3), i комплекснi числа ak, bk, k = 1, 2, задовольняють систему рiвнянь
1 + a21 + b21 = 0, 1 + a22 + b22 = 0. (40)
Систему (40) задовольняють, зокрема, вирази a1 = i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, b1 = i \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t, a2 = i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \tau , b2 =
= i \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau , t, \tau \in \BbbC , яким вiдповiдають
\xi 1 = x+ iy \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t+ iz \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t, \xi 2 = x+ iy \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \tau + iz \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau , t, \tau \in \BbbC . (41)
Оскiльки для рiвняння Лапласа P (a, b) = 1+a2+ b2 > 0, то умови теореми 9 виконуються,
а отже, кожне право- i лiво-G-моногенне вiдображення задовольняє рiвняння (38). Зображення
(26) i (28), в яких \xi 1, \xi 2 визначено рiвностями (41), визначають моногеннi вiдображення в
\BbbH (\BbbC ), пов’язанi з рiвнянням (38). Звiдси випливає, що розв’язками рiвняння (38) є дiйсна i
уявна частини функцiї U(x, y, z) = F (x+ iy \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t+ iz \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t), де t \in \BbbC i F — довiльна аналiтична
функцiя.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
130 В. С. ШПАКIВСЬКИЙ, Т. С. КУЗЬМЕНКО
Лiтература
1. Gürlebeck K., Sprössig W. Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers. – John Wiley and Sons,
1997.
2. Kravchenko V. V., Shapiro M. V. Integral representations for spatial models of mathematical physics // Pitman Research
Notes in Mathematics. – Addison Wesley Longman Inc, 1996.
3. Moisil G. C., Theodoresco N. Functions holomorphes dans l’espace // Mathematica (Cluj). – 1931. – 5. – P. 142 – 159.
4. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. – М.: Наука, 1966.
5. Fueter R. Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen \Delta u = 0 und \Delta \Delta u = 0 mit vier reellen Variablen //
Comment. math. helv. – 1935. – 7. – P. 307 – 330.
6. Sudbery A. Quaternionic analysis // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1979. – 85. – P. 199 – 225.
7. Leutwiler H. Modified quaternionic analysis in \BbbR 3 // Complex Variables Theory Appl. – 1992. – 20. – P. 19 – 51.
8. Hempfling Th., Leutwiler H. Modified quaternionic analysis in \BbbR 4 // Clifford Algebras and their Appl. in Math.
Physics. – Aachen; Dordrecht: Kluwer, 1998. – P. 227 – 238.
9. Eriksson-Bique S.-L. A correspondence of hyperholomorphic and monogenic functions in \BbbR 4 // Clifford Analysis and
its Applications. NATO Sci. Ser. – 2001. – 25. – P. 71 – 80.
10. Cullen C. G. An integral theorem for analytic intrinsic functions on quaternions // Duke Math. J. – 1965. – 32. –
P. 139–148.
11. Gentili G., Struppa D. C. A new approach to Cullen-regular functions of a quaternionic variable // Comptes Rend.
Math. – 2006. – 342, № 10. – P. 741 – 744.
12. Colombo F., Sabadini S., Struppa D. C. Noncommutative functional calculus: theory and applications of slice
hyperholomorphic functions // Progr. Math. – 2011. – 289.
13. Gentili G., Stoppato C., Struppa D. Regular functions of a quaternionic variable // Springer Monogr. Math. – 2013.
14. Segre C. The real representations of complex elements and extension to bicomplex systems // Math. Ann. – 1892. –
40. – P. 413 – 467.
15. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – М.: Мир, 1976.
16. Plaksa S. A., Pukhtaevich R. P. Constructive description of monogenic functions in n-dimensional semi-simple algebra
// An. şti. Univ. Ovidius Constanţa. – 2014. – 22, № 1. – P. 221 – 235.
17. Plaksa S. A., Shpakovskii V. S. Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third
rank // Ukr. Math. J. – 2011. – 62, № 8. – P. 1251 – 1266.
18. Толстов Г. П. О криволинейном и повторном интеграле // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1950. – 35. – С. 3 – 101.
19. Herus O. F. On hyperholomorphic functions of the space variable // Ukr. Math. J. – 2011. – 63, № 4. – P. 530 – 537.
20. Gerus O. F., Shapiro M. On the boundary values of a quaternionic generalization of the Cauchy-type integral in \BbbR 2
for rectifiable curves // J. Natur. Geom. – 2003. – 24, № 1–2. – P. 121 – 136.
21. Schneider B. Some properties of a Cauchy-type integral for the Moisil-Theodoresco system of partial differential
equations // Ukr. Math. J. – 2006. – 58, № 1. – P. 105 – 112.
22. Flaut C., Shpakivskyi V. Holomorphic functions in generalized Cayley – Dickson algebras // Adv. Appl. Clifford Alg. –
2015. – 25, № 1. – P. 95 – 112.
23. Ketchum P. W. Analytic functions of hypercomplex variables // Trans. Amer. Math. Soc. – 1928. – 30, № 4. –
P. 641 – 667.
Одержано 16.12.14,
пiсля доопрацювання — 15.02.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1826 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:21Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e4/36b067c9594b61b2dfd1548f406a27e4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18262019-12-05T09:28:56Z On one class of quaternionic mappings Про один клас кватерніонних відображень Kuz’menko, T. S. Shpakovskii, V. S. Кузьменко, Т. С. Шпаківський, В. С. We consider a new class of quaternionic mappings associated with spatial partial differential equations. We obtain a description of all mappings from this class by using four analytic functions of complex variable. Рассмотрен новый класс кватернионных отображений, имеющих связь с пространственными уравнениями в частных производных. Получено описание всех отображений из этого класса с помощью четырех аналитических функций комплексной переменной. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1826 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 1 (2016); 117-130 Український математичний журнал; Том 68 № 1 (2016); 117-130 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1826/808 Copyright (c) 2016 Kuz’menko T. S.; Shpakovskii V. S. |
| spellingShingle | Kuz’menko, T. S. Shpakovskii, V. S. Кузьменко, Т. С. Шпаківський, В. С. On one class of quaternionic mappings |
| title | On one class of quaternionic mappings |
| title_alt | Про один клас кватерніонних відображень |
| title_full | On one class of quaternionic mappings |
| title_fullStr | On one class of quaternionic mappings |
| title_full_unstemmed | On one class of quaternionic mappings |
| title_short | On one class of quaternionic mappings |
| title_sort | on one class of quaternionic mappings |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1826 |
| work_keys_str_mv | AT kuzmenkots ononeclassofquaternionicmappings AT shpakovskiivs ononeclassofquaternionicmappings AT kuzʹmenkots ononeclassofquaternionicmappings AT špakívsʹkijvs ononeclassofquaternionicmappings AT kuzmenkots proodinklaskvaterníonnihvídobraženʹ AT shpakovskiivs proodinklaskvaterníonnihvídobraženʹ AT kuzʹmenkots proodinklaskvaterníonnihvídobraženʹ AT špakívsʹkijvs proodinklaskvaterníonnihvídobraženʹ |