The coefficients of power expansion and $a$-points of an entire function with Borel exceptional value
For entire functions with Borel exceptional values, we establish the relationship between the rate of approaching $\infty$ for the sequence of their $a$-points and the rate of approaching 0 for the sequence of their Taylor coefficients.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1829 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507696953819136 |
|---|---|
| author | Andrusyak, I. V. Filevych, P. V. Андрусяк, І. В. Філевич, П. В. |
| author_facet | Andrusyak, I. V. Filevych, P. V. Андрусяк, І. В. Філевич, П. В. |
| author_sort | Andrusyak, I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:16Z |
| description | For entire functions with Borel exceptional values, we establish the relationship between the rate of approaching $\infty$ for the sequence of their $a$-points and the rate of approaching 0 for the sequence of their Taylor coefficients. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
I. В. Андрусяк (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”),
П. В. Фiлевич (Прикарпат. нац. ун-т iм. В. Стефаника, Iвано-Франкiвськ)
КОЕФIЦIЄНТИ СТЕПЕНЕВОГО РОЗВИНЕННЯ I \bfita -ТОЧКИ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ,
ЯКА МАЄ БОРЕЛЕВЕ ВИНЯТКОВЕ ЗНАЧЕННЯ
For entire functions with Borel exceptional values, we establish the relationship between the rate of approaching \infty for the
sequence of their a-points and the rate of approaching 0 for the sequence of their Taylor coefficients.
Для целых функций, имеющих борелевское исключительное значение, установлена связь между скоростью стрем-
ления к \infty последовательности их a-точек и скоростью стремления к 0 последовательности их тейлоровских
коэффициентов.
1. Вступ. У цiй статтi будемо використовувати стандартнi означення i позначення з теорiї
розподiлу значень мероморфних функцiй (див., наприклад, [1]).
Зокрема, якщо f \not \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} — цiла функцiя i a, z \in \BbbC , то число z називаємо a-точкою (a-
точкою кратностi m) функцiї f, якщо z є нулем (нулем кратностi m) функцiї f - a. Через
nf (r, a), Nf (r, a), Tf (r) i Mf (r) позначимо лiчильну функцiю a-точок, усереднену лiчильну
функцiю a-точок, характеристику Неванлiнни i максимум модуля функцiї f вiдповiдно.
Нагадаємо, що число a називається пiкаровим винятковим значенням функцiї f, якщо кiль-
кiсть її a-точок є скiнченною, i борелевим винятковим значенням функцiї f, якщо категорiя
зростання функцiї nf (r, a) нижча за категорiю зростання функцiї f. Як вiдомо, трансцендентна
цiла функцiя має в \BbbC щонайбiльше одне борелеве (а тому й пiкарове) виняткове значення.
Якщо число a \in \BbbC не є пiкаровим винятковим значенням функцiї f (у цьому випадку
f є трансцендентною), то нехай (\zeta n(a)) — послiдовнiсть усiх її a-точок, занумерованих з
урахуванням кратностей у порядку неспадання модулiв. Нехай також (an) — послiдовнiсть
коефiцiєнтiв степеневого розвинення функцiї f в околi точки z = 0, тобто an = f (n)(0)/n! для
всiх n \in \BbbN 0 (\BbbN 0 = \BbbN \cup \{ 0\} ). Покладемо
Gf (a) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| \zeta n(a)| n
\sqrt{}
| an| .
Наступнi теореми, що встановлюють зв’язок мiж швидкiстю прямування до \infty послiдовнос-
тi (\zeta n(a)) i швидкiстю прямування до 0 послiдовностi (an), доведено в [2].
Теорема A. (i) Якщо число a \in \BbbC не є пiкаровим винятковим значенням цiлої функцiї f,
то Gf (a) \geq 1.
(ii) Якщо число b \in \BbbC є борелевим, але не є пiкаровим винятковим значенням цiлої функцiї
f, то Gf (b) = +\infty .
Теорема B. (i) Iснує цiла функцiя f без пiкарового виняткового значення така, що для
кожного a \in \BbbC правильною є рiвнiсть Gf (a) = 1.
(ii) Для довiльних q > 1 i b \in \BbbC iснує трансцендентна цiла функцiя f така, що b — її
пiкарове виняткове значення i для кожного a \in \BbbC \setminus \{ b\} виконується нерiвнiсть Gf (a) < q.
c\bigcirc I. В. АНДРУСЯК, П. В. ФIЛЕВИЧ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2 147
148 I. В. АНДРУСЯК, П. В. ФIЛЕВИЧ
Зауважимо, що з пункту (ii) теореми A випливає, що функцiя f, iснування якої стверджу-
ється у пунктi (i) теореми B, не може мати борелевого виняткового значення.
У данiй роботi встановлено зв’язок мiж швидкiстю прямування до \infty послiдовностi a-точок
i швидкiстю прямування до 0 послiдовностi коефiцiєнтiв степеневого розвинення трансцендент-
ної цiлої функцiї з борелевим винятковим значенням. Зокрема, показано, що пункти (ii) теорем
A i B можна iстотно уточнити.
2. Формулювання результатiв. Позначимо через L клас неперервних зростаючих до +\infty
на [x0,+\infty ) функцiй, а через \scrE \ast клас усiх цiлих функцiй, якi не мають пiкарового виняткового
значення.
Нехай f — трансцендентна цiла функцiя з борелевим винятковим значенням, а \rho — її
порядок. Вiдомо (див., наприклад, [1, с. 148]), що тодi або \rho \in \BbbN , або \rho = +\infty .
Теорема 1. Нехай \rho \in \BbbN , b \in \BbbC .
(i) Для довiльної цiлої функцiї f \in \scrE \ast порядку \rho з борелевим винятковим значенням b iснує
така функцiя l \in L, що
l(x) = o(x), x \rightarrow +\infty , (1)
i виконується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| \zeta [l(n)](b)| n
\sqrt{}
| an| = +\infty . (2)
(ii) Для довiльної функцiї l \in L, яка задовольняє спiввiдношення (1), iснує цiла функцiя
f \in \scrE \ast порядку \rho з борелевим винятковим значенням b така, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| \zeta [l(n)](b)| n
\sqrt{}
| an| = 0. (3)
Теорема 2. Нехай b \in \BbbC .
(i) Для довiльної цiлої функцiї f \in \scrE \ast нескiнченного порядку з борелевим винятковим
значенням b iснує така функцiя l \in L, що
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} l(x) = o(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x), x \rightarrow +\infty , (4)
i виконується рiвнiсть (2).
(ii) Для довiльної функцiї l \in L, яка задовольняє спiввiдношення (4), iснує цiла функцiя
f \in \scrE \ast нескiнченного порядку з борелевим винятковим значенням b така, що виконується
рiвнiсть (3).
Пункти (ii) теорем 1 i 2 вказують на те, що функцiю l, iснування якої для заданої цiлої функ-
цiї f стверджується у пунктах (i) цих теорем, не можна вибрати незалежною вiд f. Зауважимо
також, що рiвностi, встановленi у пунктах (i) теорем 1 i 2, точнiшi за рiвнiсть Gf (b) = +\infty з
пункту (ii) теореми A.
Якщо f — трансцендентна цiла функцiя порядку \rho \in \BbbN з пiкаровим винятковим значенням
b \in \BbbC , то Gf (a) = (e\pi )1/\rho для кожного a \in \BbbC \setminus \{ b\} . Цей факт випливає з наведеної далi теореми,
оскiльки кожну таку функцiю можна зобразити у виглядi
f(z) = b+ ecz
\rho
g(z), (5)
де c \in \BbbC \setminus \{ 0\} , а g — цiла функцiя порядку не вище \rho - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
КОЕФIЦIЄНТИ СТЕПЕНЕВОГО РОЗВИНЕННЯ I a-ТОЧКИ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ . . . 149
Теорема 3. Нехай \rho \in \BbbN , b \in \BbbC , c \in \BbbC \setminus \{ 0\} , g — цiла функцiя, що має зростання не вище
порядку \rho мiнiмального типу, f — цiла функцiя вигляду (5), а (kn) — неспадна необмежена
зверху послiдовнiсть цiлих чисел. Тодi для всiх a \in \BbbC \setminus \{ b\} виконується подвiйна нерiвнiсть
e\pi \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
kn
n
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| \zeta kn(a)| \rho | an| \rho /n \leq e\pi \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
kn
n
, (6)
зокрема, якщо iснує границя
\Delta = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
kn
n
,
то для всiх a \in \BbbC \setminus \{ b\} справджується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| \zeta kn(a)|
n
\sqrt{}
| an| = (e\pi \Delta )1/\rho .
Зауважимо, що якщо цiлу функцiю f можна подати у виглядi, вказаному в теоремi 3, то
ця функцiя має порядок \rho i тип | c| (див. нижче лему 2), має борелеве виняткове значення b i
для неї Gf (a) = (e\pi )1/\rho , a \in \BbbC \setminus \{ b\} . Проте в зазначеному виглядi можна подати не кожну цiлу
функцiю скiнченного порядку, що має борелеве виняткове значення. Наприклад, якщо \rho \in \BbbN i
\zeta n = (n+ 1)1/\rho , n \in \BbbN 0, то добуток Вейєрштрасса
g(z) =
\infty \prod
n=0
E
\biggl(
z
\zeta n
, \rho
\biggr)
(7)
є цiлою функцiєю порядку \rho максимального типу (див. [1, с. 79, 341]), а тому його не можна
зобразити у вказаному виглядi, хоча вiн має борелеве виняткове значення 0 (легко бачити, що
ng(r, 0) є функцiєю порядку \rho нормального типу).
Нехай \rho \in \BbbN або \rho = +\infty , \scrE (\rho ) — клас усiх цiлих функцiй f порядку \rho , що мають борелеве
виняткове значення bf , i
F1(\rho ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
f\in \scrE (\rho )
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
a\in \BbbC \setminus \{ bf\}
Gf (a), F2(\rho ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
f\in \scrE (\rho )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
a\in \BbbC \setminus \{ bf\}
Gf (a).
Зрозумiло, що F1(\rho ) \leq F2(\rho ). За теоремою A маємо F1(\rho ) \geq 1 в кожному з випадкiв \rho \in \BbbN i
\rho = +\infty . З теореми 3 випливає, що F2(\rho ) \leq (e\pi )1/\rho у випадку \rho \in \BbbN .
З огляду на викладене виникає задача щодо встановлення точних значень величин F1(\rho ) та
F2(\rho ). Отримати розв’язок цiєї задачi у випадку \rho \in \BbbN авторам не вдалося. Зауважимо, однак,
що F1(+\infty ) = F2(+\infty ) = 1. Цей факт випливає з наступної теореми, яка уточнює пункт (ii)
теореми A.
Теорема 4. Нехай b \in \BbbC . Iснує трансцендентна цiла функцiя f порядку \rho = +\infty така,
що b — її пiкарове виняткове значення i для кожного a \in \BbbC \setminus \{ b\} справджується рiвнiсть
Gf (a) = 1.
3. Допомiжнi результати. Нехай \Omega — клас таких опуклих на [x0,+\infty ) функцiй \Phi , що
\Phi (x)/x \rightarrow +\infty , x \rightarrow +\infty .
Наступнi три твердження, якими скористаємося при доведеннi сформульованих вище тео-
рем, доведено в [3], [4, с. 41] i [5] вiдповiдно.
Лема 1. Нехай \Phi \in \Omega . Тодi iснує цiла функцiя f така, що \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}Mf (r) \sim \Phi (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r), r \rightarrow +\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
150 I. В. АНДРУСЯК, П. В. ФIЛЕВИЧ
Лема 2. Нехай \rho , \sigma \in (0,+\infty ), h — цiла функцiя порядку \rho i типу \sigma , а g — цiла функцiя,
що має зростання не вище порядку \rho мiнiмального типу. Тодi функцiя f(z) = h(z)g(z) має
порядок \rho i тип \sigma .
Лема 3. Нехай \Phi \in \Omega . Тодi для того щоб для довiльної функцiї \Psi \in \Omega такої, що \Psi (x) \sim
\sim \Phi (x), x \rightarrow +\infty , було правильним спiввiдношення \Psi \prime
+(x) \sim \Phi \prime
+(x), x \rightarrow +\infty , необхiдно i
достатньо, щоб виконувалась умова
\forall l \in L : \Phi \prime
+
\biggl(
x+
\Phi (x)
l(x)\Phi \prime
+(x)
\biggr)
\sim \Phi \prime
+(x), x \rightarrow +\infty . (8)
4. Доведення теорем. Доведення теореми 1. (i) Нехай \rho \in \BbbN , b \in \BbbC , а f \in \scrE \ast — цiла
функцiя порядку \rho з борелевим винятковим значенням b. Доведемо, що тодi iснує функцiя l \in L,
для якої виконуються спiввiдношення (1) i (2). Як легко бачити, для цього досить довести, що
для кожного фiксованого \varepsilon > 0 справджується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| \zeta [\varepsilon n](b)| n
\sqrt{}
| an| = +\infty .
Припустимо вiд супротивного, що iснують такi додатнi сталi \varepsilon i A, що | \zeta [\varepsilon n](b)| n
\sqrt{}
| an| \leq A,
n \in \BbbN 0. Нехай \mu f (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | an| rn : n \in \BbbN 0\} i \nu f (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ n \in \BbbN 0 : | an| rn = \mu f (r)\} —
максимальний член i центральний iндекс степеневого розвинення функцiї f вiдповiдно, а n1 —
номер першого вiдмiнного вiд нуля члена послiдовностi (\zeta n(a)). Оскiльки \nu f (r) \rightarrow +\infty , r \rightarrow
\rightarrow +\infty , то \nu f (r) \geq n1 для всiх r \geq r1, а тому для таких r маємо
\mu f (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | an| rn : n \geq n1\} \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ (Ar/| \zeta [\varepsilon n](b)| )n : n \geq n1\} .
Покладемо r2 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ r \geq 0 : \mu f (r) \geq 1\} , r0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ r1, r2\} i нехай r \geq r0. Зрозумiло, що тодi
(Ar/| \zeta [\varepsilon \nu f (r)](b)| )
n \geq 1. Отже, | \zeta [\varepsilon \nu f (r)](b)| \leq Ar, а тому й \varepsilon \nu f (r) \leq nf (Ar, b) для всiх r \geq r0.
Враховуючи, що r(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mu f (r))
\prime
+ = \nu f (r) i r(Nf (r, b))
\prime
+ = nf (r, b), для всiх r \geq r0 отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mu f (r) - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mu f (r0) =
r\int
r0
\nu f (t)
t
dt \leq 1
\varepsilon
r\int
r0
nf (At, b)
t
dt =
1
\varepsilon
(Nf (Ar, b) - Nf (Ar0, b)).
Звiдси випливає, що категорiя зростання функцiї \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mu f (r) не перевищує категорiю зростання
функцiї Nf (r, b). Але, як вiдомо, функцiї f та \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mu f (r), як i функцiї Nf (r, b) та nf (r, b), мають
однаковi категорiї зростання. Отже, категорiя зростання функцiї f не перевищує категорiю
зростання функцiї nf (r, b), а це суперечить тому факту, що b є борелевим винятковим значенням
функцiї f .
(ii) Нехай \rho \in \BbbN , b \in \BbbC , а функцiя l \in L задовольняє спiввiдношення (1). Доведемо, що
iснує цiла функцiя f \in \scrE \ast порядку \rho з борелевим винятковим значенням b, для якої виконується
рiвнiсть (3).
З (1) видно, що n = o(l - 1(n)), n \rightarrow \infty , а тому iснує додатна зростаюча до +\infty послiдовнiсть
(\eta n), для якої n\eta n = o(l - 1(n)), n \rightarrow \infty . Нехай (\zeta n) — така комплексна послiдовнiсть, що
\zeta \rho n = ( - 1)n(n+ 1)\eta n для кожного n \in \BbbN 0. Зауважимо, що тодi
| \zeta [l(n)]| = o((l - 1([l(n)]))1/\rho ) = o(n1/\rho ), n \rightarrow +\infty . (9)
Розглянемо добуток Вейєрштрасса (7), який задає цiлу функцiю g порядку \rho . Оскiльки
n = o(| \zeta n| \rho ), n \rightarrow \infty , то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
КОЕФIЦIЄНТИ СТЕПЕНЕВОГО РОЗВИНЕННЯ I a-ТОЧКИ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ . . . 151
\Delta 1 := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
ng(r, 0)
r\rho
= 0.
Отже, ng(r, 0) є функцiєю порядку \rho мiнiмального типу. Покладемо
K(r) =
1
\rho
\sum
| \zeta n| \leq r
1
\zeta \rho n
, r \geq 0.
Оскiльки ряд
\infty \sum
n=0
1
\zeta \rho n
=
\infty \sum
n=0
( - 1)n
(n+ 1)\eta n
є збiжним i його сумою є деяке додатне число S, то
\Delta 2 := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
| K(r)| = S/\rho > 0.
Оскiльки 0 < \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \Delta 1,\Delta 2\} < +\infty , то функцiя g за теоремою Лiндельофа (див. [1, с. 85]) має
нормальний тип. Тому 0 є борелевим (але не є пiкаровим) винятковим значенням функцiї g.
Крiм того, якщо \sigma \in (0,+\infty ) — тип функцiї g, а bn — n-й коефiцiєнт її степеневого розвинення,
то, використовуючи формулу Кошi – Адамара
\sigma e\rho = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n| bn| \rho /n,
отримуємо n
\sqrt{}
| bn| \leq (2\sigma e\rho /n)1/\rho , n \geq n0. Звiдси i з (9) випливає спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| \zeta [l(n)]| n
\sqrt{}
| bn| = 0.
Покладемо f(z) = b+ g(z). Тодi, як легко бачити, функцiєю, iснування якої стверджується,
i буде функцiя f.
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. (i) Нехай b \in \BbbC , а f \in \scrE \ast — цiла функцiя порядку \rho = +\infty з
борелевим винятковим значенням b. Доведемо, що тодi iснує функцiя l \in L, для якої правиль-
ними є спiввiдношення (4) i (2). Як легко бачити, для цього досить довести, що для кожного
фiксованого \varepsilon > 0 справджується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| \zeta [n\varepsilon ](b)| n
\sqrt{}
| an| = +\infty .
З формули Кошi – Адамара
\rho = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
- \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | an|
i рiвностi \rho = +\infty випливає iснування такої зростаючої послiдовностi (nk) невiд’ємних цiлих
чисел, що
\varepsilon k :=
- \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | ank
|
nk \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} nk
\rightarrow 0, k \rightarrow \infty .
Зауважимо, що nk
\sqrt{}
| ank
| = n - \varepsilon k
k , k \in \BbbN 0.
Оскiльки b є борелевим винятковим значенням функцiї f, то функцiя nf (r, b) має скiнченний
порядок, а тому iснує таке число C > 0, що nf (r, b) - 1 \leq rC для всiх r \geq r0. Тодi n =
= nf (| \zeta n(b)| , b) - 1 \leq | \zeta n(b)| C для всiх n \geq n0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
152 I. В. АНДРУСЯК, П. В. ФIЛЕВИЧ
Отже, для кожного фiксованого \varepsilon > 0 маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| \zeta [n\varepsilon ](b)| n
\sqrt{}
| an| \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
| \zeta [n\varepsilon
k]
(b)| nk
\sqrt{}
| ank
| \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
[n\varepsilon
k]
1/Cn - \varepsilon k
k = +\infty ,
що й потрiбно було довести.
(ii) Нехай b \in \BbbC , а функцiя l \in L задовольняє спiввiдношення (4). Доведемо, що iснує
цiла функцiя f \in \scrE \ast нескiнченного порядку з борелевим винятковим значенням b, для якої
виконується рiвнiсть (3).
Нехай \Psi \in L — деяка функцiя, для якої \Psi - 1(x) = 2 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} l(x), x \geq x1. Тодi, згiдно з (4),
\sigma = 2 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} l(\Psi (\sigma )) = o(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\Psi (\sigma )), \sigma \rightarrow +\infty ,
а тому iснує така функцiя \varphi \in L, що 2\sigma \varphi (\sigma ) \leq \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\Psi (\sigma ) - 1, \sigma \geq \sigma 0 > 0. Покладемо
\Phi (\sigma ) =
\sigma \int
\sigma 0
\varphi (t)dt, \sigma \geq \sigma 0.
Зрозумiло, що \Phi \in \Omega , а тому за лемою 1 iснує така цiла функцiя g, що
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}Mg(r) \sim \Phi (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r), r \rightarrow +\infty .
Оскiльки \Phi (\sigma ) \leq (\sigma - \sigma 0)\varphi (\sigma ) \leq \sigma \varphi (\sigma ), \sigma \geq \sigma 0, то
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}Mg(r) \leq 2\Phi (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r) \leq 2 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r\varphi (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r) \leq \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\Psi (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r) - 1, r \geq r0.
Розглянемо цiлу функцiю f(z) = b + eg(z)h(z), де h(z) = e2\pi iz - 1. Зрозумiло, що функцiя g
є трансцендентною, а тому функцiя eg має нескiнченний порядок. Функцiя h має порядок 1 i
простi нулi в точках z \in \BbbZ , якi збiгаються з b-точками функцiї f, тобто \zeta n(b) = ( - 1)n[(n+1)/2],
n \in \BbbN 0. Отже, функцiя f має нескiнченний порядок i nf (r, b) = nh(r, 0) = 2[r] + 1, r \geq 0,
звiдки випливає, що число b є борелевим (але не є пiкаровим) винятковим значенням функцiї f .
Далi маємо
Mf (r) \leq eMg(r)(e2\pi r + 1) + | b| \leq e\Psi (log r), r \geq r1.
Нехай n \in \BbbN 0 — цiле число. Використовуючи нерiвнiсть Кошi | an| rn \leq Mf (r), r \geq 0, отримуємо
| an| \leq e\Psi (log r) - n log r, r \geq r1.
Звiдси для всiх n \geq \Psi (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r1), покладаючи r = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\Psi - 1(n)), маємо | an| \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(n(1 - \Psi - 1(n)).
Тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| \zeta [l(n)](b)| n
\sqrt{}
| an| \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
l(n)
2
e1 - \Psi - 1(n) =
e
2
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
1
l(n)
= 0,
тобто виконується рiвнiсть (3).
Теорему 2 доведено.
Доведення теореми 3. Нехай \rho \in \BbbN , b \in \BbbC , c \in \BbbC \setminus \{ 0\} , g — цiла функцiя, що має зро-
стання не вище порядку \rho мiнiмального типу, f — цiла функцiя вигляду (5), а (kn) — неспадна
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
КОЕФIЦIЄНТИ СТЕПЕНЕВОГО РОЗВИНЕННЯ I a-ТОЧКИ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ . . . 153
необмежена зверху послiдовнiсть цiлих чисел. Зафiксуємо довiльне a \in \BbbC \setminus \{ b\} i доведемо, що
виконується (6).
Покладемо h(z) = ecz
\rho
. Оскiльки Mh(r) = e| c| r
\rho
, то функцiя h має порядок \rho i тип | c| .
Скориставшись лемою 2, легко показати, що функцiя f, як вже зазначалося вище, також має
порядок \rho i тип \sigma = | c| .
Нехай \varepsilon \in (0, 1) — довiльне фiксоване число. З формули Кошi – Адамара
\sigma e\rho = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n| an| \rho /n
випливає, що
| an| \rho /n \leq (1 + \varepsilon )| c| e\rho /n, n \geq n0, | amp | \rho /mp \geq (1 - \varepsilon )| c| e\rho /mp, p \in \BbbN 0, (10)
де (mp) — деяка зростаюча послiдовнiсть невiд’ємних цiлих чисел.
Як вiдомо (див., наприклад, [6, с. 26]), Th(r) \sim | c| r\rho /\pi , r \rightarrow +\infty . Крiм того, оскiльки
функцiя g має зростання не вище порядку \rho мiнiмального типу, то Tg(r) = o(r\rho ), r \rightarrow +\infty .
Тому, використовуючи вiдомi властивостi характеристики Неванлiнни (див. [1, с. 45]), бачимо,
що Tf (r) \sim Th(r) \sim | c| r\rho /\pi , r \rightarrow +\infty .
Далi доведемо, що Nf (r, a) \sim | c| r\rho /\pi , r \rightarrow +\infty . Використовуючи другу основну теорему
теорiї розподiлу значень у формулюваннi, наведеному в [7, с. 255, 256], з q = 3, \lambda = 1, a1 = a,
a2 = b i a3 = \infty , отримуємо Tf (r) \leq Nf (r, a) + Nf (r, b) + S(r), де S(r) = o(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r) при
r \rightarrow +\infty зовнi такої множини E \subset [0,+\infty ), що
\int
E
dt < +\infty . Нехай d >
\int
E dt. Зрозумiло, що
для кожного r \geq d вiдрiзок [r - d, r] мiстить таку точку \beta (r), що \beta (r) /\in E. Тодi S(\beta (r)) =
= o(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \beta (r)) = o(Tf (r)) i Tf (\beta (r)) \sim Tf (r), якщо r \rightarrow +\infty . Крiм того, Nf (r, b) = Ng(r, 0) =
= o(r\rho ), r \rightarrow +\infty . Тому
Nf (r, a) \geq Nf (\beta (r), a) \geq Tf (\beta (r)) - Nf (\beta (r), b) - S(\beta (r)) = (1 + o(1))Tf (r), r \rightarrow +\infty .
З iншого боку, Nf (r, a) \leq Tf (r) +O(1), r \rightarrow +\infty . Отже, Nf (r, a) \sim Tf (r) \sim | c| r\rho /\pi , r \rightarrow +\infty .
Доведемо тепер, що nf (r, a) \sim | c| \rho r\rho /\pi , r \rightarrow +\infty . Розглянемо функцiю \Phi (x) = | c| e\rho x/\pi ,
x \geq 0, i нехай l \in L. Враховуючи, що \Phi \prime (x) = | c| \rho e\rho x/\pi , x \geq 0, отримуємо
\Phi \prime
\biggl(
x+
\Phi (x)
l(x)\Phi \prime (x)
\biggr)
= \Phi \prime
\biggl(
x+
1
\rho l(x)
\biggr)
=
| c| \rho
\pi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
\rho x+
1
l(x)
\biggr)
\sim | c| \rho
\pi
e\rho x = \Phi \prime (x), x \rightarrow +\infty ,
тобто для функцiї \Phi виконується умова (8). Зрозумiло також, що \Phi \in \Omega . Оскiльки функцiя
Nf (e
x, a) є опуклою на \BbbR i, згiдно з доведеним вище, Nf (e
x, a) \sim \Phi (x), x \rightarrow +\infty , то за лемою
3 маємо nf (e
x, a) = (Nf (e
x, a))\prime + \sim \Phi \prime (x), x \rightarrow +\infty , тобто nf (r, a) \sim | c| \rho r\rho /\pi , r \rightarrow +\infty .
Використовуючи останнє спiввiдношення, отримуємо
n+ 1 = nf (| \zeta n(a)| , a) \sim | c| \rho | \zeta n(a)| \rho /\pi , n \rightarrow \infty .
Тодi | \zeta n(a)| \rho \sim \pi n/(| c| \rho ), n \rightarrow +\infty , а тому, використовуючи (10), одержуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| \zeta kn(a)| \rho | an| \rho /n \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\pi kn
| c| \rho
(1 + \varepsilon )| c| e\rho
n
= (1 + \varepsilon )e\pi \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
kn
n
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
154 I. В. АНДРУСЯК, П. В. ФIЛЕВИЧ
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| \zeta kn(a)| \rho | an| \rho /n \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
p\rightarrow \infty
| \zeta kmp
(a)| \rho | amp | \rho /mp \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
p\rightarrow \infty
\pi kmp
| c| \rho
(1 - \varepsilon )| c| e\rho
mp
=
= (1 - \varepsilon )e\pi \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
p\rightarrow +\infty
kmp
mp
\geq (1 - \varepsilon )e\pi \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
kn
n
.
Звiдси завдяки довiльностi \varepsilon \in (0, 1) маємо (6).
Теорему 3 доведено.
Доведення теореми 4. Розглянемо функцiю f(z) = ee
z
+ b. Зрозумiло, що ця функцiя має
нескiнченний порядок i b є її пiкаровим винятковим значенням. Зафiксуємо довiльне a \in \BbbC \setminus \{ b\}
i доведемо, що Gf (a) = 1.
Для наведеної функцiї маємо Mf (r) = ee
r
+O(1), r \rightarrow +\infty . Вiдомо також (див., наприклад,
[6, с. 26]), що
Tf (r) \sim
er\surd
2\pi 3r
, r \rightarrow +\infty .
Нехай n \geq 3 — фiксоване цiле число. Використовуючи нерiвнiсть Кошi | an| rn \leq Mf (r),
r \geq 0, отримуємо
| an| \leq Cee
r - n log r, r \geq 1,
де C > 0 — деяка стала. Функцiя y(r) = er - n \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r, r \geq 1, має єдину точку мiнiмуму rn таку,
що rne
rn = n. Тодi
n
\sqrt{}
| an| \leq
n
\surd
Cey(rn)/n =
n
\surd
Ce1/rn/rn.
Враховуючи, що rn \sim \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n, n \rightarrow \infty , одержуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n n
\sqrt{}
| an| \leq 1. (11)
Далi доведемо, що
Nf (r, a) \sim
er\surd
2\pi 3r
, r \rightarrow +\infty . (12)
Використовуючи другу основну теорему теорiї розподiлу значень у формулюваннi, наведеному
в [7, с. 255, 256], з q = 3, \lambda = 2, a1 = a, a2 = b i a3 = \infty , отримуємо Tf (r) \leq Nf (r, a) + S(r),
де S(r) = o(r) при r \rightarrow +\infty зовнi такої множини E \subset [0,+\infty ), що
\int
E
tdt < +\infty . Нехай
c > 2
\int
E
tdt i \alpha (r) = r - c
r
, r \geq
\surd
c. Тодi для всiх r \geq
\surd
c маємо
r\int
\alpha (r)
tdt =
r2 - \alpha 2(r)
2
=
c(r + \alpha (r))
2r
\geq c
2
>
\int
E
tdt.
Отже, для кожного r \geq
\surd
c вiдрiзок [\alpha (r), r] мiстить таку точку \beta (r), що \beta (r) /\in E. Тодi
S(\beta (r)) = o(\beta (r)) = o(Tf (r)) i Tf (\beta (r)) \sim Tf (r), якщо r \rightarrow +\infty , а тому, як i при доведеннi
попередньої теореми, Nf (r, a) \sim Tf (r), r \rightarrow +\infty , звiдки випливає (12).
Доведемо тепер, що
nf (r, a) \sim er
\sqrt{}
r
2\pi 3
, r \rightarrow +\infty . (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
КОЕФIЦIЄНТИ СТЕПЕНЕВОГО РОЗВИНЕННЯ I a-ТОЧКИ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ . . . 155
Розглянемо функцiю
\Phi (x) =
1\surd
2\pi 3
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
ex - x
2
\Bigr)
, x \geq 0,
i покажемо, що для неї виконується умова (8). Для функцiї \Phi маємо
\Phi \prime (x) =
1\surd
2\pi 3
\biggl(
ex - 1
2
\biggr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
ex - x
2
\Bigr)
\sim 1\surd
2\pi 3
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
ex +
x
2
\Bigr)
, x \rightarrow +\infty .
Нехай l \in L. Покладемо
\gamma (x) =
\Phi (x)
l(x)\Phi \prime (x)
=
2
l(x)(2ex - 1)
, x \geq x0.
Тодi \gamma (x) \rightarrow 0, x \rightarrow +\infty , а тому
ex+\gamma (x) - ex = ex(e\gamma (x) - 1) = (1 + o(1))ex\gamma (x) = o(1), x \rightarrow +\infty .
Отже,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\Phi \prime (x+ \gamma (x))
\Phi \prime (x)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
ex+\gamma (x) - ex
\Bigr)
= 1,
тобто виконується (8). Зрозумiло також, що \Phi \in \Omega . Оскiльки, згiдно зi спiввiдношенням (12),
Nf (e
x, a) \sim \Phi (x), x \rightarrow +\infty , то за лемою 3 маємо nf (e
x, a) \sim \Phi \prime (x), x \rightarrow +\infty , звiдки й
випливає (13).
Зi спiввiдношення (13) отримуємо
n+ 1 = nf (| \zeta n(a)| , a) \sim e| \zeta n(a)|
\sqrt{}
| \zeta n(a)| /(2\pi 3), n \rightarrow \infty .
Тому | \zeta n(a)| \sim \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n, n \rightarrow +\infty . Звiдси i з (11) видно, що Gf (a) \leq 1. Але Gf (a) \geq 1 за теоремою
A. Отже, Gf (a) = 1.
Теорему 4 доведено.
Лiтература
1. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. – М.: Наука, 1970. – 592 с.
2. Пельчарська I. В., Шеремета М. М. Про розподiл значень i коефiцiєнти степеневого розвинення цiлої функцiї
// Доп. НАН України. – 2005. – № 5. – С. 21 – 25.
3. Clunie J. On integral functions having prescribed asymptotic growth // Can. J. Math. – 1965. – 17, № 3. – P. 396 – 404.
4. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. – М.: Наука, 1983. – 176 с.
5. Фiлевич П. В. Про асимптотичну рiвнiсть похiдних логарифмiв максимуму модуля i максимального члена
цiлої функцiї // Мат. вiсн. НТШ. – 2009. – 6. – С. 252 – 260.
6. Хейман У. Мероморфные функции. – М.: Мир, 1966. – 288 с.
7. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. – М.: Гостехтеориздат, 1941. – 388 с.
Одержано 13.03.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1829 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:25Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/93/25188c4ed62ff4b21e22cc9ff8914e93.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18292019-12-05T09:29:16Z The coefficients of power expansion and $a$-points of an entire function with Borel exceptional value Коефіцієнти степеневого розвинення і $a$-точки цілої функції, яка має борелеве виняткове значення Andrusyak, I. V. Filevych, P. V. Андрусяк, І. В. Філевич, П. В. For entire functions with Borel exceptional values, we establish the relationship between the rate of approaching $\infty$ for the sequence of their $a$-points and the rate of approaching 0 for the sequence of their Taylor coefficients. Для целых функций, имеющих борелевское исключительное значение, установлена связь между скоростью стремления к $\infty$ последовательности их $a$-точек и скоростью стремления к 0 последовательности их тейлоровских коэффициентов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1829 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 2 (2016); 147-155 Український математичний журнал; Том 68 № 2 (2016); 147-155 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1829/811 Copyright (c) 2016 Andrusyak I. V.; Filevych P. V. |
| spellingShingle | Andrusyak, I. V. Filevych, P. V. Андрусяк, І. В. Філевич, П. В. The coefficients of power expansion and $a$-points of an entire function with Borel exceptional value |
| title | The coefficients of power expansion and $a$-points of an entire function with Borel exceptional value |
| title_alt | Коефіцієнти степеневого розвинення і $a$-точки цілої функції, яка має борелеве виняткове значення |
| title_full | The coefficients of power expansion and $a$-points of an entire function with Borel exceptional value |
| title_fullStr | The coefficients of power expansion and $a$-points of an entire function with Borel exceptional value |
| title_full_unstemmed | The coefficients of power expansion and $a$-points of an entire function with Borel exceptional value |
| title_short | The coefficients of power expansion and $a$-points of an entire function with Borel exceptional value |
| title_sort | coefficients of power expansion and $a$-points of an entire function with borel exceptional value |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1829 |
| work_keys_str_mv | AT andrusyakiv thecoefficientsofpowerexpansionandapointsofanentirefunctionwithborelexceptionalvalue AT filevychpv thecoefficientsofpowerexpansionandapointsofanentirefunctionwithborelexceptionalvalue AT andrusâkív thecoefficientsofpowerexpansionandapointsofanentirefunctionwithborelexceptionalvalue AT fílevičpv thecoefficientsofpowerexpansionandapointsofanentirefunctionwithborelexceptionalvalue AT andrusyakiv koefícíêntistepenevogorozvinennâíatočkicíloífunkcííâkamaêborelevevinâtkoveznačennâ AT filevychpv koefícíêntistepenevogorozvinennâíatočkicíloífunkcííâkamaêborelevevinâtkoveznačennâ AT andrusâkív koefícíêntistepenevogorozvinennâíatočkicíloífunkcííâkamaêborelevevinâtkoveznačennâ AT fílevičpv koefícíêntistepenevogorozvinennâíatočkicíloífunkcííâkamaêborelevevinâtkoveznačennâ AT andrusyakiv coefficientsofpowerexpansionandapointsofanentirefunctionwithborelexceptionalvalue AT filevychpv coefficientsofpowerexpansionandapointsofanentirefunctionwithborelexceptionalvalue AT andrusâkív coefficientsofpowerexpansionandapointsofanentirefunctionwithborelexceptionalvalue AT fílevičpv coefficientsofpowerexpansionandapointsofanentirefunctionwithborelexceptionalvalue |