Sequential closure of the space of jointly continuous functions in the space of separately continuous functions
Given compact spaces $X$ and $Y$, we study the space $S(X \times Y )$ of separately continuous functions $f : X \times Y \rightarrow R$ endowed with the locally convex topology generated by the seminorms $|| f||^x = \mathrm{max}_{y \in Y} |f(x, y)|,\; x \in X$, and $|| f||_y = \mathrm{max}_{x \...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1830 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507697949966336 |
|---|---|
| author | Voloshyn, H. A. Maslyuchenko, V. K. Волошин, Г. А. Маслюченко, В. К. |
| author_facet | Voloshyn, H. A. Maslyuchenko, V. K. Волошин, Г. А. Маслюченко, В. К. |
| author_sort | Voloshyn, H. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:16Z |
| description | Given compact spaces $X$ and $Y$, we study the space $S(X \times Y )$ of separately continuous functions $f : X \times Y \rightarrow R$ endowed with the locally convex topology generated by the seminorms $|| f||^x = \mathrm{max}_{y \in Y} |f(x, y)|,\; x \in X$,
and
$|| f||_y = \mathrm{max}_{x \in X} |f(x, y)|,\; y \in Y$.
Under the assumption that the compact space $X$ is metrizable, we prove that a
separately continuous function $f : X \times Y \rightarrow R$ is the limit of a sequence $(f_n)^{\infty}_{n=1}$ of jointly continuous function $f_n : X \times Y \rightarrow R$ in $S(X \times Y )$ provided that the set $D(f)$ of discontinuity points of $f$ has countable projections on $X$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
Г. А. Волошин (Буков. держ. фiн.-екон. ун-т; Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича),
В. К. Маслюченко (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
СЕКВЕНЦIАЛЬНЕ ЗАМИКАННЯ ПРОСТОРУ
СУКУПНО НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ
У ПРОСТОРI НАРIЗНО НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ
Given compact spaces X and Y, we study the space S(X \times Y ) of separately continuous functions f : X \times Y \rightarrow
\rightarrow \BbbR endowed with the locally convex topology generated by the seminorms \| f\| x = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}y\in Y | f(x, y)| , x \in X, and
\| f\| y = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in X | f(x, y)| , y \in Y. Under the assumption that the compact space X is metrizable, we prove that a
separately continuous function f : X \times Y \rightarrow \BbbR is the limit of a sequence (fn)
\infty
n=1 of jointly continuous function fn :
X \times Y \rightarrow \BbbR in S(X \times Y ) provided that the set D(f) of discontinuity points of f has countable projections on X.
Для компактных пространств X, Y изучается пространство S(X \times Y ) раздельно непрерывных функций f : X \times
\times Y \rightarrow \BbbR , наделенное локально выпуклой топологией, порожденной полунормами \| f\| x = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}y\in Y | f(x, y)| ,
x \in X, и \| f\| y = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in X | f(x, y)| , y \in Y. При предположении, что компактное пространство X метризуемо,
доказано, что раздельно непрерывная функция f : X \times Y \rightarrow \BbbR является пределом последовательности (fn)
\infty
n=1
совокупно непрерывных функций fn : X \times Y \rightarrow \BbbR в S(X \times Y ), если множество D(f) точек разрыва функции f
имеет счетную проекцию на X.
1. Вступ. Для компактних просторiв X i Y розглянемо простiр CC(X \times Y ) усiх нарiзно
неперервних функцiй f : X \times Y \rightarrow \BbbR . Для неперервної функцiї g : T \rightarrow \BbbR на компактному
просторi T введемо рiвномiрну норму \| g\| \infty = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}t\in T | g(t)| , а для нарiзно неперервної функцiї
f : X \times Y \rightarrow \BbbR — напiвнорми
\| f\| x = \| fx\| \infty , x \in X, i \| f\| y = \| fy\| \infty , y \in Y,
де fx = f(x, \cdot ) i fy = f(\cdot , y). Сукупнiсть \scrN (X,Y ) усiх напiвнорм \| \cdot \| x i \| \cdot \| y, де x \in X i
y \in Y, породжує на просторi CC(X\times Y ) деяку локально опуклу топологiю \scrT , яку ми називаємо
топологiєю пошарово рiвномiрної збiжностi. Локально опуклий простiр (CC(X \times Y ), \scrT ) ми
позначаємо символом S(X \times Y ). Простiр S = S[0, 1]2 був уведений у працi [1], де вивчалися
його першi властивостi. Зокрема, було показано, що замикання простору P = P [0, 1]2 всiх
полiномiв на квадратi [0, 1]2 у просторi S збiгається з замиканням простору C = C[0, 1]2 всiх
сукупно неперервних функцiй i дорiвнює S.
Нагадаємо, що секвенцiальним замиканням множини E у топологiчному просторi T нази-
вається множина E
s
, що складається з усiх границь послiдовностей точок tn з E у просторi T.
У статтi [2] вивчалися секвенцiальнi замикання P
s
i C
s
у просторi S. Там було з’ясовано, що
P
s
= C
s
, i доведено, що в C
s
входять всi тi елементи f \in S, у яких проекцiя \mathrm{p}\mathrm{r}X(D(f)) мно-
жини D(f) точок розриву на вiсь абсцис не бiльш нiж злiченна. Питання про рiвнiсть C
s
= S
залишилося вiдкритим i досi на нього немає вiдповiдi.
Тут ми розглядаємо загальнiший випадок простору S(X \times Y ) i з’ясовуємо, що для метри-
зовного компакта X i компактного простору Y тi функцiї f \in S(X \times Y ), у яких \mathrm{p}\mathrm{r}X(D(f)) не
бiльш нiж злiченна, належать до секвенцiального замикання C(X \times Y )
s
простору C(X \times Y )
усiх сукупно неперервних функцiй f : X \times Y \rightarrow \BbbR . Цей результат було анонсовано у [3].
Випадок X = [0, 1] розглянуто у статтi [4].
c\bigcirc Г. А. ВОЛОШИН, В. К. МАСЛЮЧЕНКО, 2016
156 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
СЕКВЕНЦIАЛЬНЕ ЗАМИКАННЯ ПРОСТОРУ СУКУПНО НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 157
2. \bfitvarepsilon -Вiдокремнi множини i розбиття одиницi. Нехай X — метричний простiр, вiдстань
мiж елементами x\prime i x\prime \prime якого позначається символом | x\prime - x\prime \prime | X . Для x0 \in X i r > 0 нехай
B(x0, r) = \{ x \in X : | x - x0| X < r\} i B[x0, r] = \{ x \in X : | x - x0| X \leq r\} — вiдповiдно вiдкрита i
замкнена кулi в X. Для \varepsilon > 0 множина A \subseteq X називається \varepsilon -вiдокремною, якщо для довiльних
рiзних елементiв x\prime i x\prime \prime з A виконується нерiвнiсть | x\prime - x\prime \prime | X \geq \varepsilon .
Лема 1. Нехай X — метричний компакт i A — скiнченна \varepsilon -вiдокремна пiдмножина в X.
Тодi iснує така скiнченна максимальна \varepsilon -вiдокремна множина в X, що B \supseteq A.
Доведення. Припустимо, що не iснує скiнченної максимальної \varepsilon -вiдокремної множини B
такої, що B \supseteq A.
Тодi сама множина A не є максимальною, отже, iснує така скiнченна \varepsilon -вiдокремна множина\widetilde A, що \widetilde A \supset A. Зокрема, iснує елемент x1 \in \widetilde A\setminus A. При цьому множина A1 = A \cup \{ x1\} є
скiнченною \varepsilon -вiдокремною i не є максимальною. Так само iснує такий елемент x2 \in X\setminus A1,
що множина A2 = A1 \cup \{ x2\} є скiнченною \varepsilon -вiдокремною i не є максимальною. Цей процес
можна продовжувати до нескiнченностi, в результатi чого утвориться така послiдовнiсть точок
xn \in X, що скiнченнi множини An = A\cup \{ x1, . . . , xn\} будуть \varepsilon -вiдокремними i xn /\in An - 1 для
кожного n \in \BbbN (тут A0 = A). Для цiєї послiдовностi виконується нерiвнiсть | xn - xm| X \geq \varepsilon , як
тiльки n \not = m. Тодi i для кожної пiдпослiдовностi (xnk
)\infty k=1 послiдовностi (xn)\infty n=1 виконується
нерiвнiсть | xnk
- xnj | X \geq \varepsilon при k \not = j, отже, пiдпослiдовнiсть (xnk
)\infty k=1 не фундаментальна,
а значить, i не збiжна в X. Таким чином, з послiдовностi (xn)\infty n=1 не можна видiлити збiжну
пiдпослiдовнiсть, що суперечить компактностi простору X. Отже, наше припущення хибне i
твердження леми є правильним.
Наслiдок. Нехай X — метричний компакт. Тодi для кожного \varepsilon > 0 в X iснує максимальна
скiнченна \varepsilon -вiдокремна множина B = \{ x1, . . . , xn\} .
Доведення випливає з леми 1 при A = \varnothing .
Лема 2. Нехай X — метричний компакт, A = \{ x1, . . . , xn\} — максимальна \varepsilon -вiдокремна
множина, що складається з рiзних точок xk, i Uk = B(xk, \varepsilon ) при k = 1, . . . , n. Тодi xj /\in Uk
при k \not = j i
n\bigcup
k=1
Uk = X.
Доведення. За означенням | xj - xk| X \geq \varepsilon при j \not = k, отже, xj /\in Uk при j \not = k. Нехай
x \in X. Якщо x \in A, то x = xk для деякого k = 1, . . . , n, тому x \in Uk. Припустимо, що
x /\in A. Тодi скiнченна множина B = A \cup \{ x\} не може бути \varepsilon -вiдокремною, адже B \supset A i A
— максимальна \varepsilon -вiдокремна множина. Оскiльки сама множина A є \varepsilon -вiдокремною, то iснує
такий номер k = 1, . . . , n, що | x - xk| X < \varepsilon , тобто x \in Uk.
Лема 3. Нехай x1, . . . , xn — рiзнi точки з метричного простору X, Uk = B(xk, \varepsilon ) при
k = 1, . . . , n, xj /\in Uk при k \not = j i
n\bigcup
k=1
Uk = X. Тодi iснує така послiдовнiсть неперервних
функцiй \varphi k : X \rightarrow [0, 1], що носiй \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi k = Uk при k = 1, . . . , n,
\sum n
k=1
\varphi k(x) = 1 на X i
\varphi k(xj) = \delta k,j =
\Biggl\{
1, k = j,
0, k \not = j.
Доведення. Для кожного k = 1, . . . , n покладемо
\psi k(x) =
\left\{
1
\varepsilon
(\varepsilon - | x - xk| X), | x - xk| X \leq \varepsilon ,
0, | x - xk| X \geq \varepsilon .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
158 Г. А. ВОЛОШИН, В. К. МАСЛЮЧЕНКО
Зрозумiло, що функцiї \psi k коректно визначено, причому їх звуження \psi k| Bk
i \psi k| Ak
на замкненi
множини Bk = B[xk, \varepsilon ] i Ak = X\setminus Uk неперервнi, тому i функцiї \psi k неперервнi, а з ними буде
неперервною i їхня сума \psi =
\sum n
k=1
\varphi k(x).
Очевидно, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi k = Uk при k = 1, . . . , n i 0 \leq \psi k \leq 1 на X. Але
\bigcup n
k=1
Uk = X, тому
для кожної точки x \in X iснує таке k, що x \in Uk, а отже, \psi (x) \geq \psi k(x) > 0. Таким чином,
\psi (x) > 0 на X, i тому на X можна визначити функцiї \varphi k =
\psi k
\psi
, якi теж будуть неперервними,
i для них \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi k = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\psi k = Uk, 0 \leq \varphi k(x) \leq 1 при k = 1, . . . , n i
\sum n
k=1
\varphi k(x) = 1 на X,
при цьому
\varphi k(xj) =
\psi k(xj)
\psi (xj)
=
\psi k(xj)
\psi j(xj)
= \delta k,j .
Лема 4. Нехай A — довiльна не бiльш нiж злiченна множина в компактному метричному
просторi X. Тодi iснують послiдовностi додатних чисел \varepsilon n, що, спадаючи, прямують до нуля,
i скiнченних максимальних \varepsilon n-вiдокремних множин Bn таких, що Bn \subseteq Bn+1 для кожного n i
A \subseteq
\bigcup \infty
n=1
Bn = B.
Доведення. Нехай A = \{ an, n \in \BbbN \} . Вiзьмемо \varepsilon 1 = 1 i, використавши лему 1, знайдемо
таку скiнченну максимальну \varepsilon 1-вiдокремну множину B1 в X, що A1 = \{ a1\} \subseteq B1.
Розглянемо числа
\rho 1 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
x\in B1
| x - a2| X i \varepsilon 2 =
\left\{
1
2
, \rho 1 = 0,
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1
2
, \rho 1
\biggr\}
, \rho 1 > 0.
Зрозумiло, що 0 < \varepsilon 2 \leq 1
2
< 1 = \varepsilon 1. Легко перевiрити, що множина A2 = B1 \cup \{ a2\} буде
скiнченною i \varepsilon 2-вiдокремною. Тому за лемою 1 iснує така максимальна скiнченна \varepsilon 2-вiдокремна
множина B2 в X, що A2 \subseteq B2. Тодi B1 \subseteq B2 i \{ a1, a2\} \subseteq B2.
Розглянемо тепер числа
\rho 2 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
x\in B2
| x - a3| X i \varepsilon 3 =
\left\{
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
\varepsilon 2,
1
3
\biggr\}
, \rho 2 = 0,
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
\rho 2, \varepsilon 2,
1
3
\biggr\}
, \rho 2 > 0.
Зрозумiло, що 0 < \varepsilon 3 \leq \varepsilon 2 i \varepsilon 3 \leq
1
3
. Скiнченна множина A3 = B2 \cup \{ a3\} є \varepsilon 3-вiдокремною,
а отже, за лемою 1 iснує скiнченна максимальна \varepsilon 3-вiдокремна множина B3 в X така, що
A3 \subseteq B3. При цьому B2 \subseteq B3 i \{ a1, a2, a3\} \subseteq B3.
Нехай вже визначено числа \varepsilon 1, . . . , \varepsilon n i скiнченнi максимальнi \varepsilon 1-, . . . , \varepsilon n-вiдокремнi в X
множини B1, . . . , Bn такi, що 0 < \varepsilon n \leq \varepsilon n - 1 \leq . . . \leq \varepsilon 1, \varepsilon k \leq 1
k
при k = 1, . . . , n, Bn \supseteq
\supseteq Bn - 1 . . . \supseteq B1 i \{ a1, . . . , an\} \subseteq Bn.
Розглянемо числа
\rho n = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
x\in Bn
| x - an+1| X i \varepsilon n+1 =
\left\{
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
\varepsilon n,
1
n+ 1
\biggr\}
, \rho n = 0,
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
\rho n, \varepsilon n+1,
1
n+ 1
\biggr\}
, \rho n > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
СЕКВЕНЦIАЛЬНЕ ЗАМИКАННЯ ПРОСТОРУ СУКУПНО НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 159
Тодi 0 < \varepsilon n+1 \leq \varepsilon n i \varepsilon n+1 \leq 1
n+ 1
за побудовою. Скiнченна множина An+1 = Bn \cup \{ an+1\}
буде \varepsilon n+1-вiдокремною. Отже, за лемою 1 iснує така скiнченна максимальна \varepsilon n+1-вiдокремна
множина Bn+1 в X , що An+1 \subseteq Bn+1. Для неї Bn \subseteq Bn+1 i \{ a1, . . . , an+1\} \subseteq Bn+1. Отже, дану
побудову можна продовжити ще на один крок. Продовжуючи її до нескiнченностi, отримуємо
шуканi послiдовностi чисел \varepsilon n i скiнченних максимальних \varepsilon n-вiдокремних множин Bn.
Побудовану в лемi 4 послiдовнiсть скiнченних максимальних \varepsilon n-вiдокремних множин Bn
будемо називати мажорантною для множини A.
3. Апроксимацiйна теорема. Нехай A — не бiльш нiж злiченна множина в метрично-
му компактi X i (Bn)
\infty
n=1 — мажорантна для A послiдовнiсть скiнченних максимальних \varepsilon n-
вiдокремних множин Bn, до того ж \varepsilon n \downarrow 0. Далi, нехай Bn = \{ bn,1, . . . , bn,mn\} , де bn,k \not = bn,j
при k \not = j, Un,k = B(bn,k, \varepsilon n) i \varphi n,k : X \rightarrow [0, 1] при k = 1, . . . ,mn — це неперервнi функцiї,
побудованi згiдно з лемою 3, для яких \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi n,k = Un,k при k = 1, . . . ,mn,
\sum mn
k=1
\varphi n,k(x) = 1
на X i \varphi n,k(bn,j) = \delta k,j при k = 1, . . . ,mn.
Побудовану тут послiдовнiсть розбиттiв одиницi \Phi n = (\varphi n,k)
mn
k=1 назвемо асоцiйованою з
мажорантною послiдовнiстю (Bn)
\infty
n=1. Подiбну конструкцiю було розглянуто у статтi [5].
Теорема 1. Нехай A — не бiльш нiж злiченна множина в метричному компактi X,
(Bn)
\infty
n=1 — мажорантна для A послiдовнiсть скiнченних максимальних \varepsilon n-вiдокремних мно-
жин Bn = \{ bn,1, . . . , bn,mn\} i (\Phi n)
\infty
n=1 — асоцiйована з (Bn)
\infty
n=1 послiдовнiсть розбиттiв оди-
ницi \Phi n = (\varphi n,k)
mn
k=1. Для функцiї g : X \rightarrow Z зi значеннями в локально опуклому просторi Z
покладемо
gn(x) =
mn\sum
k=1
\varphi n,k(x)g(bn,k)
для кожного x \in X. Тодi:
1) функцiї gn неперервнi i gn(x) дискретно збiгається до g(x) на A
\bigl(
позначення
gn(x)
d - \rightarrow g(x)
\bigr)
, тобто для кожного x \in A iснує такий номер Nx, що gn(x) = g(x), як
тiльки n \geq Nx;
2) якщо функцiя g неперервна, то gn \rightrightarrows g на X;
3) якщо g неперервна в точцi x0, то gn(x0) \rightarrow g(x0) в Z.
Доведення. 1. Неперервнiсть функцiї gn випливає з неперервностi функцiй \varphi n,k i операцiй
у локально опуклому просторi Z. Нехай x \in A. Оскiльки A \subseteq
\bigcup \infty
n=1Bn, то iснує такий номер
Nx, що x \in BNx . Тодi x \in Bn при n \geq Nx, адже послiдовнiсть множин Bn зростає. Тому при
кожному n \geq Nx iснує таке j = 1, . . . ,mn, що x = bn,j . В такому випадку
gn(x) = gn(bn,j) =
mn\sum
k=1
\varphi n,k(bn,j)g(bn,k) =
mn\sum
k=1
\delta k,jg(bn,k) = g(bn,j) = g(x),
звiдки i випливає, що gn(x)
d - \rightarrow g(x).
2. За умовою функцiя g неперервна на метричному компактi X, а тому i рiвномiрно непе-
рервна на ньому [6, c. 261]. Розглянемо довiльний абсолютно опуклий окiл нуля W в локально
опуклому просторi Z i знайдемо для нього таке \delta > 0, що для довiльних x\prime i x\prime \prime з X з нерiвностi
| x\prime - x\prime \prime | X < \delta випливає, що g(x\prime ) - g(x\prime \prime ) \in W. Оскiльки \varepsilon n \rightarrow 0, то iснує такий номер N, що
\varepsilon n < \delta при n \geq N.
Нехай x \in X i n \geq N. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
160 Г. А. ВОЛОШИН, В. К. МАСЛЮЧЕНКО
gn(x) - g(x) =
mn\sum
k=1
\varphi n,k(x)(g(bn,k) - g(x)) =
\sum
| bn,k - x| X<\varepsilon n
\varphi n,k(x)(g(bn,k) - g(x)),
адже \varphi n,k(x) = 0 при | bn,k - x| X \geq \varepsilon n i
\sum n
k=1
\varphi n,k(x) = 1. Але при | bn,k - x| X < \varepsilon n буде
виконуватися нерiвнiсть | bn,k - x| X < \delta i тому g(bn,k) - g(x) \in W. В такому випадку
gn(x) - g(x) \in
\sum
k\in In,x
\lambda n,kW,
де In,x = \{ k \in 1,mn : | bn,k - x| X < \varepsilon n\} i \lambda n,k = \varphi n,k(x).Оскiльки
\sum
k\in In,x
\lambda n,k \leq
\sum mn
k=1
\lambda n,k =
= 1 i \lambda n,k \geq 0, то
\sum
k\in In,x
\lambda n,kW \in W, адже множина W є абсолютно опуклою. Тому gn(x) -
- g(x) \in W, як тiльки n \geq N, причому номер N не залежить вiд x. Отже, gn \rightrightarrows g на X.
3. Нехай функцiя g неперервна в точцi x0. Доведемо, що тодi gn(x0) \rightarrow g(x0) у просторi
Z. Вiзьмемо абсолютно опуклий окiл нуля W в Z i знайдемо таке \delta > 0, що з нерiвностi
| x - x0| X < \delta випливає, що g(x) - g(x0) \in W. Як i в п. 2, для довiльного номера n маємо
gn(x0) - g(x0) =
mn\sum
k=1
\varphi n,k(x)(g(bn,k) - g(x0)) =
\sum
| bn,k - x0| X<\varepsilon n
\varphi n,k(x0)(g(bn,k) - g(x0)).
Як i ранiше, \varepsilon n \rightarrow 0, тому iснує такий номер N, що \varepsilon n < \delta , як тiльки n \geq N. У такому
випадку при n \geq N i | bn,k - x0| X < \varepsilon n маємо | bn,k - x0| X < \delta , отже, g(bn,k) - g(x0) \in W i
gn(x0) - g(x0) \in
\sum
| bn,k - x0| X<\varepsilon n
\varphi n,k(x0)W \subseteq W,
оскiльки
\sum
| bn,k - x0| X<\varepsilon n
\varphi n,k(x0) \leq 1, \varphi n,k(x0) \geq 0 i окiл W є абсолютно опуклим. Таким
чином, gn(x0) \rightarrow g(x0) в Z при n\rightarrow \infty .
4. Наближення нарiзно неперервних функцiй. Тут ми застосуємо теорему 1 до вивчення
секвенцiального замикання простору C(X\times Y ) сукупно неперервних функцiй f : X\times Y \rightarrow \BbbR у
просторi S(X\times Y ) нарiзно неперервних функцiй з топологiєю пошарово рiвномiрної збiжностi.
Для вiдображення f : X\times Y \rightarrow \BbbR символомC(f) позначається множина його точок сукупної
неперервностi, а CY (f) = \{ x \in X : \{ x\} \times Y \subseteq C(f)\} .
Теорема 2. Нехай X — метричний компакт, Y — компактний простiр, f \in S(X \times Y ),
A — не бiльш нiж злiченна пiдмножина простору X, (Bn)
\infty
n=1 — мажорантна для A послi-
довнiсть скiнченних максимальних \varepsilon n-вiдокремних множин Bn = \{ bn,1, . . . , bn,mn\} , (\Phi n)
\infty
n=1
— асоцiйована з (Bn)
\infty
n=1 послiдовнiсть розбиттiв одиницi \Phi n = (\varphi n,k)
mn
k=1, \varphi : X \rightarrow Cp(Y ),
\varphi (x) = fx — асоцiйоване з f вiдображення,
\varphi n(x) =
mn\sum
k=1
\varphi n,k(x)\varphi (bn,k)
для n \in N i x \in X, a fn(x, y) = \varphi n(x)(y). Тодi (fn)y \rightrightarrows fy наX для кожного y \in Y, fxn \rightrightarrows fx на
Y для кожного x \in CY (f), f
x
n
d - \rightarrow fx для кожного x \in B =
\bigcup \infty
n=1
Bn, зокрема, i для кожного
x \in A. При цьому fn \in C(X \times Y ) для кожного n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
СЕКВЕНЦIАЛЬНЕ ЗАМИКАННЯ ПРОСТОРУ СУКУПНО НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 161
Доведення. Розглянемо локально опуклий простiр Z = Cp(Y ) усiх неперервних функцiй g :
Y \rightarrow \BbbR з топологiєю поточкової збiжностi. Вiдображення \varphi : X \rightarrow Cp(Y ) буде неперервним,
оскiльки f : X \times Y \rightarrow \BbbR — нарiзно неперервна функцiя. Тому за п. 2 теореми 1 \varphi n(x) \rightrightarrows \varphi (x)
на X при n\rightarrow \infty .
Оскiльки лiнiйний функцiонал \delta y(g) = g(y) неперервний на просторi Cp(Y ), то i
(fn)y(x) = fn(x, y) = \delta y \circ \varphi n(x) \rightrightarrows \delta y \circ \varphi (x) = f(x, y) = fy(x)
на X при n\rightarrow \infty для кожного y \in Y.
Нехай x \in CY (f), тодi \{ x\} \times Y \subseteq C(f). З компактностi простору Y легко вивести, що
x \in C(\varphi ), де C(\varphi ) — множина точок неперервностi вiдображення \varphi : X \rightarrow Cu(Y ), a Cu(Y )
— банахiв простiр неперервних функцiй g : Y \rightarrow \BbbR з топологiєю рiвномiрної збiжностi, що
породжується рiвномiрною нормою \| g\| \infty = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}y\in Y | g(y)| . За п. 3 теореми 1 \varphi n(x) \rightarrow \varphi (x) у
просторi Cu(Y ), тобто fxn \rightrightarrows fx на Y при n\rightarrow \infty .
Нарештi, fxn = \varphi n(x)
d - \rightarrow \varphi (x) = fx для кожного x \in B за п. 1 теореми 1.
Неперервнiсть функцiй
fn(x, y) =
mn\sum
k=1
\varphi n,k(x)f(bn,k, y)
легко випливає з неперервностi функцiй \varphi n,k : X \rightarrow \BbbR i f bn,k : Y \rightarrow \BbbR .
Позначимо через D(f) множину точок розриву вiдображення f.
Теорема 3. Нехай f \in S(X \times Y ) i \mathrm{p}\mathrm{r}X(D(f)) не бiльш нiж злiченна. Тодi f \in C(X \times Y )
s
.
Доведення. Нехай A = \mathrm{p}\mathrm{r}X(D(f)). Тодi CY (f) = X\setminus A. Скориставшись лемами 3 i 4, побу-
дуємо послiдовнiсть (Bn)
\infty
n=1 скiнченних максимальних \varepsilon n-вiдокремних множин, мажорантну
до множини A i асоцiйовану з нею послiдовнiсть розбиттiв одиницi \Phi n = (\varphi n,k)
mn
k=1. Нехай
fn(x, y) =
mn\sum
k=1
\varphi n,k(x)f(bn,k, y)
— функцiї fn : X\times Y \rightarrow \BbbR , що визначенi в теоремi 2. За теоремою 2 будемо мати (fn)y \rightrightarrows fy на
X для кожного y \in Y, fxn \rightrightarrows fx на Y для кожного x \in CY (f) = X\setminus A i fxn
d - \rightarrow fx для кожного
x \in A, а отже, i fxn \rightrightarrows fx на X для кожного x \in A. Таким чином, fxn \rightrightarrows fx на Y для кожного
x \in X. Оскiльки fn \in C(X \times Y ) i fn \rightarrow f у просторi S(X \times Y ), то f \in C(X \times Y )
s
.
Лiтература
1. Волошин Г. А., Маслюченко В. К. Топологiзацiя простору нарiзно неперервних функцiй // Карп. мат. публ. –
2013. – 5, № 2. – С. 199 – 207.
2. Волошин Г. А., Маслюченко В. К., Маслюченко О. В. Про пошарово рiвномiрне наближення нарiзно неперервних
функцiй многочленами // Мат. вiсн. НТШ. – 2013. – 10. – C. 135 – 158.
3. Волошин Г. А., Маслюченко В. К. Про секвенцiальне замикання простору сукупно неперервних функцiй у
просторi нарiзно неперервних функцiй // Мат. мiжн. наук.-практ. конф., присв. 70-рiччю Бук. держ. фiн.-екон.
у-ту „Iнновацiйнi вимiри розвитку економiки в умовах глобалiзацiї”. – Чернiвцi, 2014. – С. 302 – 303.
4. Волошин Г. А., Маслюченко В. К. Про лiнiйну iнтерполяцiю векторнозначних функцiй та її застосування //
Мат. студ. – 2014. – 42, № 2. – С. 129 – 133.
5. Власюк Г., Маслюченко В. К. Многочлени Бернштейна i нарiзно неперервнi функцiї // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту.
Математика. – 2007. – Вип. 336–337. – С. 52 – 59.
6. Келлi Дж. Общая топология. – М.: Наука, 1981. – 432 с.
Одержано 07.04.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1830 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:26Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4d/c4f5633b64095ec19ad47a2492c9ca4d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18302019-12-05T09:29:16Z Sequential closure of the space of jointly continuous functions in the space of separately continuous functions Секвенціальне замикання простору сукупно неперервних функцій у просторі нарізно неперервних функцій Voloshyn, H. A. Maslyuchenko, V. K. Волошин, Г. А. Маслюченко, В. К. Given compact spaces $X$ and $Y$, we study the space $S(X \times Y )$ of separately continuous functions $f : X \times Y \rightarrow R$ endowed with the locally convex topology generated by the seminorms $|| f||^x = \mathrm{max}_{y \in Y} |f(x, y)|,\; x \in X$, and $|| f||_y = \mathrm{max}_{x \in X} |f(x, y)|,\; y \in Y$. Under the assumption that the compact space $X$ is metrizable, we prove that a separately continuous function $f : X \times Y \rightarrow R$ is the limit of a sequence $(f_n)^{\infty}_{n=1}$ of jointly continuous function $f_n : X \times Y \rightarrow R$ in $S(X \times Y )$ provided that the set $D(f)$ of discontinuity points of $f$ has countable projections on $X$. Для компактных пространств $X, Y$ изучается пространство $S(X \times Y )$ раздельно непрерывных функций $f : X \times Y \rightarrow R$, наделенное локально выпуклой топологией, порожденной полунормами $|| f||^x = \mathrm{max}_{y \in Y} |f(x, y)|,\; x \in X$, и $|| f||_y = \mathrm{max}_{x \in X} |f(x, y)|,\; y \in Y$. При предположении, что компактное пространство $X$ метризуемо, доказано, что раздельно непрерывная функция $f : X \times Y \rightarrow R$ является пределом последовательности $(f_n)^{\infty}_{n=1}$ совокупно непрерывных функций $f_n : X \times Y \rightarrow R$ в $S(X \times Y )$, если множество $D(f)$ точек разрыва функции $f$ имеет счетную проекцию на $X$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1830 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 2 (2016); 156-161 Український математичний журнал; Том 68 № 2 (2016); 156-161 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1830/812 Copyright (c) 2016 Voloshyn H. A.; Maslyuchenko V. K. |
| spellingShingle | Voloshyn, H. A. Maslyuchenko, V. K. Волошин, Г. А. Маслюченко, В. К. Sequential closure of the space of jointly continuous functions in the space of separately continuous functions |
| title | Sequential closure of the space of jointly continuous
functions in the space of separately continuous functions |
| title_alt | Секвенціальне замикання простору сукупно неперервних
функцій у просторі нарізно неперервних функцій |
| title_full | Sequential closure of the space of jointly continuous
functions in the space of separately continuous functions |
| title_fullStr | Sequential closure of the space of jointly continuous
functions in the space of separately continuous functions |
| title_full_unstemmed | Sequential closure of the space of jointly continuous
functions in the space of separately continuous functions |
| title_short | Sequential closure of the space of jointly continuous
functions in the space of separately continuous functions |
| title_sort | sequential closure of the space of jointly continuous
functions in the space of separately continuous functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1830 |
| work_keys_str_mv | AT voloshynha sequentialclosureofthespaceofjointlycontinuousfunctionsinthespaceofseparatelycontinuousfunctions AT maslyuchenkovk sequentialclosureofthespaceofjointlycontinuousfunctionsinthespaceofseparatelycontinuousfunctions AT vološinga sequentialclosureofthespaceofjointlycontinuousfunctionsinthespaceofseparatelycontinuousfunctions AT maslûčenkovk sequentialclosureofthespaceofjointlycontinuousfunctionsinthespaceofseparatelycontinuousfunctions AT voloshynha sekvencíalʹnezamikannâprostorusukupnoneperervnihfunkcíjuprostorínaríznoneperervnihfunkcíj AT maslyuchenkovk sekvencíalʹnezamikannâprostorusukupnoneperervnihfunkcíjuprostorínaríznoneperervnihfunkcíj AT vološinga sekvencíalʹnezamikannâprostorusukupnoneperervnihfunkcíjuprostorínaríznoneperervnihfunkcíj AT maslûčenkovk sekvencíalʹnezamikannâprostorusukupnoneperervnihfunkcíjuprostorínaríznoneperervnihfunkcíj |