Initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions
We consider an initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions. We prove comparison principle, establish the existence of a local solution, and study the problem of uniqueness and nonuniqueness.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1831 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507699779731456 |
|---|---|
| author | Gladkov, A. L. Kavitova, T. V. Гладков, А. Л. Кавитова, T. В. Гладков, А. Л. Кавитова, T. В. |
| author_facet | Gladkov, A. L. Kavitova, T. V. Гладков, А. Л. Кавитова, T. В. Гладков, А. Л. Кавитова, T. В. |
| author_sort | Gladkov, A. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:16Z |
| description | We consider an initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions. We prove comparison principle, establish the existence of a local solution, and study the problem of uniqueness and nonuniqueness. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
А. Л. Гладков (Белорус. гос. ун-т, Минск),
T. В. Кавитова (Витеб. гос. ун-т им. П. М. Машерова, Беларусь)
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
С НЕЛИНЕЙНЫМИ НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
We consider an initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary
conditions. We prove comparison principle, establish the existence of a local solution, and study the problem of uniqueness
and nonuniqueness.
Розглядається початково-крайова задача для напiвлiнiйного параболiчного рiвняння з нелiнiйними нелокальними
граничними умовами. Доведено принцип порiвняння, локальне iснування розв’язку i вивчено питання єдиностi та
неєдиностi.
1. Введение. Рассматриваются неотрицательные решения начально-краевой задачи для полу-
линейного параболического уравнения
ut = \Delta u+ c(x, t)up, x \in \Omega , t > 0, (1.1)
с нелинейным нелокальным граничным условием
\partial u(x, t)
\partial \nu
=
\int
\Omega
k(x, y, t)ul(y, t) dy, x \in \partial \Omega , t > 0, (1.2)
и начальным условием
u(x, 0) = u0(x), x \in \Omega , (1.3)
где p > 0, l > 0, \Omega — ограниченная область в пространстве \BbbR n, n \geq 1, с достаточно гладкой
границей \partial \Omega , \nu — единичная внешняя нормаль к \partial \Omega .
Относительно данных задачи (1.1) – (1.3) сделаны следующие предположения:
c(x, t) \in C\alpha
loc(\Omega \times [0,+\infty )), 0 < \alpha < 1, c(x, t) \geq 0,
k(x, y, t) \in C(\partial \Omega \times \Omega \times [0,+\infty )), k(x, y, t) \geq 0,
u0(x) \in C1(\Omega ), u0(x) \geq 0, x \in \Omega ,
\partial u0(x)
\partial \nu
=
\int
\Omega
k(x, y, 0)ul0(y) dy, x \in \partial \Omega .
Исследованию начально-краевых задач для параболических уравнений и систем с нелинейными
нелокальными граничными условиями Дирихле посвящено большое количество работ (см.,
например, [1 – 9] и приведенную в них библиографию). В частности, начально-краевая задача
для уравнения (1.1) с нелокальным граничным условием
u(x, t) =
\int
\Omega
k(x, y, t)ul(y, t) dy, x \in \partial \Omega , t > 0,
рассматривалась для случаев c(x, t) \leq 0 и c(x, t) \geq 0 соответственно в работах [2, 3] и [4, 5].
c\bigcirc А. Л. ГЛАДКОВ, T. В. КАВИТОВА, 2016
162 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 163
Отметим, что при p < 1 и l < 1 нелинейности соответственно в уравнении (1.1) и гранич-
ном условии (1.2) не удовлетворяют условию Липшица в правой полуокрестности точки u = 0.
Вопросы единственности и неединственности решений начально-краевых задач с нелипши-
цевыми нелинейностями для различных параболических уравнений и систем исследовались
многими авторами (см., например, [3, 5, 10 – 14] и приведенную в них библиографию).
В настоящей работе в пункте 2 для задачи (1.1) – (1.3) доказан принцип сравнения, в пункте 3
установлено локальное существование решения, а в пункте 4 исследованы вопросы единствен-
ности и неединственности решения.
2. Принцип сравнения. Пусть QT = \Omega \times (0, T ), ST = \partial \Omega \times (0, T ), \Gamma T = ST \cup \Omega \times \{ 0\} ,
T > 0.
Определение 2.1. Неотрицательную функцию u(x, t) \in C2,1(QT )\cap C1,0(QT \cup \Gamma T ) назовем
верхним решением задачи (1.1) – (1.3) в QT , если
ut \geq \Delta u+ c(x, t)up, (x, t) \in QT , (2.1)
\partial u(x, t)
\partial \nu
\geq
\int
\Omega
k(x, y, t)ul(y, t) dy, (x, t) \in ST , (2.2)
u(x, 0) \geq u0(x), x \in \Omega . (2.3)
Неотрицательную функцию u(x, t) \in C2,1(QT ) \cap C1,0(QT \cup \Gamma T ) назовем нижним решением
задачи (1.1) – (1.3) в QT , если неравенства (2.1) – (2.3) выполнены с противоположным знаком.
Функцию u(x, t) будем называть решением задачи (1.1) – (1.3) в QT , если u(x, t) одновременно
является верхним и нижним решением задачи (1.1) – (1.3) в QT .
Определение 2.2. Решение u(x, t) задачи (1.1) – (1.3) вQT назовем максимальным, если для
любого другого решения v(x, t) задачи (1.1) – (1.3) вQT выполнено неравенство v(x, t) \leq u(x, t)
в QT .
Теорема 2.1. Пусть u0(x) \not \equiv 0 в \Omega и u(x, t) — решение задачи (1.1) – (1.3) в QT . Тогда
u(x, t) > 0 для (x, t) \in QT \cup ST .
Доказательство. Поскольку u0(x) \not \equiv 0 в \Omega и ut - \Delta u = c(x, t)up \geq 0 в QT , согласно
сильному принципу максимума u(x, t) > 0 в QT . Покажем, что u(x, t) > 0 при (x, t) \in ST .
Предположим, что существует такая точка (x0, t0) \in ST , что u(x0, t0) = 0. Тогда в силу
теоремы 3.6 (см. [15]) \partial u(x0, t0)/\partial \nu < 0, что противоречит условию (1.2).
Теорема 2.1 доказана.
Теорема 2.2. Пусть u(x, t) и v(x, t) — соответственно верхнее и нижнее решения зада-
чи (1.1) – (1.3) в QT . Кроме того, если \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(p, l) < 1, то предположим, что u(x, t) > 0 или
v(x, t) > 0 при (x, t) \in QT \cup \Gamma T . Тогда u(x, t) \geq v(x, t) при (x, t) \in QT \cup \Gamma T .
Доказательство. Пусть для t \in (0, T ) неотрицательная функция \varphi (x, \tau ) принадлежит
C2,1(Qt) и удовлетворяет однородному граничному условию Неймана. Умножим (2.1) на \varphi и
проинтегрируем полученное неравенство по области Qt. Применяя формулу Грина и формулу
интегрирования по частям, получаем\int
\Omega
u(x, t)\varphi (x, t) dx \geq
\int
\Omega
u(x, 0)\varphi (x, 0) dx+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
164 А. Л. ГЛАДКОВ, T. В. КАВИТОВА
+
t\int
0
\int
\Omega
(u(x, \tau )\varphi \tau (x, \tau ) + u(x, \tau )\Delta \varphi (x, \tau ) + c(x, \tau )up(x, \tau )\varphi (x, \tau )) dx d\tau +
+
t\int
0
\int
\partial \Omega
\varphi (x, \tau )
\int
\Omega
k(x, y, \tau )ul(y, \tau ) dy dSx d\tau . (2.4)
С другой стороны, нижнее решение v(x, t) удовлетворяет неравенству (2.4) с противоположным
знаком \int
\Omega
v(x, t)\varphi (x, t) dx \leq
\int
\Omega
v(x, 0)\varphi (x, 0) dx+
+
t\int
0
\int
\Omega
(v(x, \tau )\varphi \tau (x, \tau ) + v(x, \tau )\Delta \varphi (x, \tau ) + c(x, \tau )vp(x, \tau )\varphi (x, \tau )) dx d\tau +
+
t\int
0
\int
\partial \Omega
\varphi (x, \tau )
\int
\Omega
k(x, y, \tau )vl(y, \tau ) dy dSx d\tau . (2.5)
Пусть w(x, t) = v(x, t) - u(x, t). Из неравенств (2.4) и (2.5) получаем\int
\Omega
w(x, t)\varphi (x, t) dx \leq
\int
\Omega
w(x, 0)\varphi (x, 0) dx+
+
t\int
0
\int
\Omega
w(x, \tau )
\Bigl(
\varphi \tau (x, \tau ) + \Delta \varphi (x, \tau ) + p\theta p - 1
1 (x, \tau )c(x, \tau )\varphi (x, \tau )
\Bigr)
dx d\tau +
+l
t\int
0
\int
\partial \Omega
\varphi (x, \tau )
\int
\Omega
\theta l - 1
2 (y, \tau )k(x, y, \tau )w(y, \tau ) dy dSx d\tau , (2.6)
где \theta i, i = 1, 2, — непрерывные положительные в Qt функции для \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(p, l) < 1 и непрерывные
неотрицательные в Qt функции в противном случае.
Функцию \varphi (x, \tau ) определим как решение задачи
\varphi \tau +\Delta \varphi + p\theta p - 1
1 (x, \tau )c(x, \tau )\varphi = 0, (x, \tau ) \in Qt,
\partial \varphi (x, \tau )
\partial \nu
= 0, (x, \tau ) \in St,
\varphi (x, t) = \psi (x), x \in \Omega ,
где \psi (x) \in C\infty
0 (\Omega ), 0 \leq \psi \leq 1. Из принципа сравнения для линейных параболических уравне-
ний следует, что решение \varphi (x, \tau ) данной задачи неотрицательно и ограничено. В силу (2.6) и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 165
неравенства w(x, 0) \leq 0 имеем
\int
\Omega
w(x, t)\psi (x) dx \leq m(t)
t\int
0
\int
\Omega
w+(x, \tau ) dx d\tau , (2.7)
где
w+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(0, w), m(t) = l| \partial \Omega | \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\partial \Omega \times Qt
k(x, y, \tau ) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Qt
\theta l - 1
2 (x, \tau ) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
St
\varphi (x, \tau ),
| \partial \Omega | — мера Лебега множества \partial \Omega . Заметим, что m(t) \leq m(T0) при t \in (0, T0] для любого
T0 \in (0, T ).
Выберем последовательность \psi n(x) \in C\infty
0 (\Omega ), 0 \leq \psi n \leq 1, сходящуюся в L1(\Omega ) к функции
\gamma t(x) =
\Biggl\{
1, если w(x, t) > 0,
0, если w(x, t) \leq 0.
Подставляя в (2.7) \psi n(x) вместо \psi (x) и переходя к пределу при n\rightarrow \infty , получаем
\int
\Omega
w+(x, t) dx \leq m(T0)
t\int
0
\int
\Omega
w+(x, \tau ) dx d\tau , t \in (0, T0].
В силу произвольности T0 и леммы Гронуолла w+(x, t) \leq 0 в QT .
Теорема 2.2 доказана.
Из теоремы 2.2 вытекает следующее утверждение.
Теорема 2.3. Предположим, что задача (1.1) – (1.3) имеет решение в QT с неотрицатель-
ным начальным условием для \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(p, l) \geq 1 и положительным начальным условием в противном
случае. Тогда решение задачи (1.1) – (1.3) единственно.
3. Существование локального решения. В данном пункте докажем существование ло-
кального решения задачи (1.1) – (1.3), используя формулу представления решения и принцип
сжимающих отображений.
Пусть последовательность \{ \varepsilon m\} такова, что 0 < \varepsilon m < 1 и \varepsilon m \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty . При
\varepsilon = \varepsilon m, m = 1, 2, . . . , введем в рассмотрение функции u0\varepsilon (x), удовлетворяющие следующим
условиям:
u0\varepsilon (x) \in C1(\Omega ), u0\varepsilon (x) \geq \varepsilon , u0\varepsilon i(x) \geq u0\varepsilon j (x),
\varepsilon i \geq \varepsilon j , u0\varepsilon (x) \rightarrow u0(x) при \varepsilon \rightarrow 0,
\partial u0\varepsilon (x)
\partial \nu
=
\int
\Omega
k(x, y, 0)ul0\varepsilon (y) dy, x \in \partial \Omega .
Отметим, что в случае \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(p, l) < 1 условие Липшица в правой полуокрестности точки
u = 0 по крайней мере для одной из нелинейностей в (1.1) и (1.2) не выполняется. Поэтому рас-
смотрим вспомогательную задачу для уравнения (1.1) с граничным условием (1.2) и начальным
условием
u\varepsilon (x, 0) = u0\varepsilon (x), x \in \Omega . (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
166 А. Л. ГЛАДКОВ, T. В. КАВИТОВА
Теорема 3.1. Для некоторого T > 0 задача (1.1), (1.2), (3.1) имеет единственное реше-
ние в QT .
Доказательство. Пусть GN (x, y; t - \tau ) — функция Грина для уравнения теплопроводности
с однородным граничным условием Неймана. Отметим, что функция GN (x, y; t - \tau ) имеет
следующие свойства (см., например, [16]):
GN (x, y; t - \tau ) \geq 0, x, y \in \Omega , 0 \leq \tau < t, (3.2)\int
\Omega
GN (x, y; t - \tau ) dy = 1, x \in \Omega , 0 \leq \tau < t. (3.3)
Как известно, функция u\varepsilon (x, t) является решением задачи (1.1), (1.2), (3.1) в Q\sigma тогда и только
тогда, когда
u\varepsilon (x, t) =
\int
\Omega
GN (x, y; t)u0\varepsilon (y) dy +
t\int
0
\int
\Omega
GN (x, y; t - \tau )c(y, \tau )up\varepsilon (y, \tau ) dy d\tau +
+
t\int
0
\int
\partial \Omega
GN (x, \xi ; t - \tau )
\int
\Omega
k(\xi , y, \tau )ul\varepsilon (y, \tau ) dy dS\xi d\tau \equiv Lu\varepsilon (x, t), (x, t) \in Q\sigma . (3.4)
Для доказательства разрешимости уравнения (3.4) используем принцип сжимающих отображе-
ний. Определим последовательность \{ u\varepsilon ,n(x, t)\} , n = 1, 2, . . . , следующим образом:
u\varepsilon ,1(x, t) \equiv \varepsilon , (x, t) \in Q\sigma , (3.5)
и
u\varepsilon ,n+1(x, t) = Lu\varepsilon ,n(x, t), (x, t) \in Q\sigma , n = 1, 2, . . . . (3.6)
Пусть
M0\varepsilon = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Omega
u0\varepsilon (x).
C помощью метода математической индукции покажем, что при M > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\varepsilon ,M0\varepsilon ) и некотором
\gamma \in (0, \sigma ] имеют место соотношения
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Q\gamma
u\varepsilon ,n(x, t) \leq M, n = 1, 2, . . . . (3.7)
При n = 1 выполнение (3.7) очевидно. Предположим, что неравенство (3.7) выполняется для
n = m, и докажем его для n = m+ 1. Действительно, в силу (3.2) – (3.4) и (3.6)
u\varepsilon ,m+1(x, t) =
\int
\Omega
GN (x, y; t)u0\varepsilon (y) dy +
t\int
0
\int
\Omega
GN (x, y; t - \tau )c(y, \tau )up\varepsilon ,m(y, \tau ) dy d\tau +
+
t\int
0
\int
\partial \Omega
GN (x, \xi ; t - \tau )
\int
\Omega
k(\xi , y, \tau )ul\varepsilon ,m(y, \tau ) dy dS\xi d\tau \leq M0\varepsilon +Mp\nu (t) +M l\mu (t), (3.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 167
где (x, t) \in Q\gamma и
\nu (t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Omega
t\int
0
\int
\Omega
GN (x, y; t - \tau )c(y, \tau ) dy d\tau ,
\mu (t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Omega
t\int
0
\int
\partial \Omega
GN (x, \xi ; t - \tau )
\int
\Omega
k(\xi , y, \tau ) dy dS\xi d\tau .
Отметим (см. [17]), что существуют положительные константы \delta 1 и a1 такие, что
\mu (t) \leq a1
\surd
t при 0 \leq t \leq \delta 1. (3.9)
В силу (3.2), (3.3) имеем
\nu (t) \leq a2t при 0 \leq t \leq \delta 2, (3.10)
где \delta 2 и a2 — некоторые положительные константы. Выберем \gamma так, чтобы 0 < \gamma \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\delta 1, \delta 2)
и выполнялось неравенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(0,\gamma )
(Mp\nu (t) +M l\mu (t)) \leq M - M0\varepsilon . (3.11)
Из (3.8) и (3.11) следует (3.7) для n = m+ 1. В силу (3.2) – (3.6) и свойств u0\varepsilon (x) имеем
u\varepsilon ,n(x, t) \geq \varepsilon , (x, t) \in Q\gamma , n = 1, 2, . . . . (3.12)
Применяя формулу Лагранжа, для n = 2, 3, . . . получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Q\gamma
| u\varepsilon ,n+1(x, t) - u\varepsilon ,n(x, t)| =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Q\gamma
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
\int
\Omega
GN (x, \xi ; t - \tau )c(y, \tau )(up\varepsilon ,n(\xi , \tau ) - up\varepsilon ,n - 1(\xi , \tau )) d\xi d\tau +
+
t\int
0
\int
\partial \Omega
GN (x, \xi ; t - \tau )
\int
\Omega
k(\xi , y, \tau )(ul\varepsilon ,n(y, \tau ) - ul\varepsilon ,n - 1(y, \tau )) dy dS\xi d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Q\gamma
\Bigl(
p\theta p - 1
1,n (x, t)\nu (t) + l\theta l - 1
2,n (x, t)\mu (t)
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Q\gamma
| u\varepsilon ,n(x, t) - u\varepsilon ,n - 1(x, t)| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(0,\gamma )
\rho (t) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Q\gamma
| u\varepsilon ,n(x, t) - u\varepsilon ,n - 1(x, t)| \leq (M + \varepsilon )
\Biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(0,\gamma )
\rho (t)
\Biggr) n - 1
,
где \theta i,n(x, t), i = 1, 2, — непрерывные в Q\gamma функции такие, что \alpha 1 \leq \theta i,n(x, t) \leq M1, (x, t) \in
\in Q\gamma , \rho (t) = p(\alpha p - 1
1 +Mp - 1
1 )\nu (t)+l(\alpha l - 1
1 +M l - 1
1 )\mu (t), t \in [0, \gamma ]. Отметим, что положительные
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
168 А. Л. ГЛАДКОВ, T. В. КАВИТОВА
константы \alpha 1 и M1 не зависят от n. В силу (3.9) и (3.10) существует такая константа T \in (0, \gamma ),
что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(0,T )
\rho (t) < 1.
Следовательно, последовательность \{ u\varepsilon ,n(x, t)\} сходится равномерно в QT при n\rightarrow \infty . Опре-
делим
u\varepsilon (x, t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
u\varepsilon ,n(x, t).
В силу (3.7) и (3.12) имеем
\varepsilon \leq u\varepsilon (x, t) \leq M, (x, t) \in QT .
Переходя в (3.6) к пределу при n \rightarrow \infty и используя теорему Лебега о предельном переходе
под знаком интеграла, приходим к выводу, что предельная функция u\varepsilon (x, t) удовлетворяет
уравнению (3.4). Следовательно, u\varepsilon (x, t) является решением задачи (1.1), (1.2), (3.1) в QT .
Методом от противного докажем единственность решения задачи (1.1), (1.2), (3.1) в QT для
малых значений T . Пусть задача (1.1), (1.2), (3.1) имеет по крайней мере два решения u\varepsilon (x, t)
и v\varepsilon (x, t) в QT . Рассуждая, как и ранее, для малых значений T имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
QT
| u\varepsilon (x, t) - v\varepsilon (x, t)| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
QT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
\int
\Omega
GN (x, \xi ; t - \tau )c(y, \tau )(up\varepsilon (\xi , \tau ) - vp\varepsilon (\xi , \tau )) d\xi d\tau +
+
t\int
0
\int
\partial \Omega
GN (x, \xi ; t - \tau )
\int
\Omega
k(\xi , y, \tau )(ul\varepsilon (y, \tau ) - vl\varepsilon (y, \tau )) dy dS\xi d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
QT
\Bigl(
p\theta p - 1
1 (x, t)\nu (t) + l\theta l - 1
2 (x, t)\mu (t)
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
QT
| u\varepsilon (x, t) - v\varepsilon (x, t)| \leq
\leq \alpha \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
QT
| u\varepsilon (x, t) - v\varepsilon (x, t)| ,
где \theta i(x, t), i = 1, 2, — положительные непрерывные в QT функции и 0 < \alpha < 1. Очевидно,
u\varepsilon (x, t) = v\varepsilon (x, t) в QT .
Теорема 3.1 доказана.
Теорема 3.2. Для некоторого T > 0 задача (1.1) – (1.3) имеет максимальное решение вQT .
Доказательство. Пусть u\varepsilon — решение задачи (1.1), (1.2), (3.1). Легко видеть, что u\varepsilon явля-
ется верхним решением задачи (1.1) – (1.3). По теореме 2.2 при \varepsilon 1 \leq \varepsilon 2 выполняется неравен-
ство u\varepsilon 1 \leq u\varepsilon 2 . Согласно теореме Дини (см. [18]) для некоторого T > 0 последовательность
\{ u\varepsilon (x, t)\} сходится равномерно в QT при \varepsilon \rightarrow 0 к некоторой функции u(x, t). Переходя в (3.4)
к пределу при \varepsilon \rightarrow 0 и используя теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла,
приходим к выводу, что функция u(x, t) удовлетворяет в QT уравнению
u(x, t) =
\int
\Omega
GN (x, y; t)u0(y) dy +
t\int
0
\int
\Omega
GN (x, y; t - \tau )c(y, \tau )up(y, \tau ) dy d\tau +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 169
+
t\int
0
\int
\partial \Omega
GN (x, \xi ; t - \tau )
\int
\Omega
k(\xi , y, \tau )ul(y, \tau ) dy dS\xi d\tau .
Следовательно, u(x, t) является решением задачи (1.1) – (1.3) в QT . Несложно показать, что
u(x, t) является максимальным решением задачи (1.1) – (1.3) в QT .
Теорема 3.2 доказана.
4. Единственность и неединственность. В данном пункте будем использовать некоторые
рассуждения из [5, 13].
Теорема 4.1. Пусть u0(x) \equiv 0 в \Omega и u(x, t) — максимальное решение задачи (1.1) – (1.3)
вQT . Предположим, что для некоторого t0 \in [0, T ) выполняется хотя бы одно из двух условий:
0 < p < 1 и c(x0, t0) > 0 для некоторого x0 \in \Omega , (4.1)
0 < l < 1 и k(x, y0, t0) > 0 для любого x \in \partial \Omega и некоторого y0 \in \partial \Omega . (4.2)
Тогда максимальное решение u(x, t) задачи (1.1) – (1.3) нетривиально в QT .
Доказательство. Пусть выполнено (4.1). В силу непрерывности функции c(x, t) существу-
ют окрестность U(x0) точки x0 в \Omega и константа T1 \in (t0, T ) такие, что c(x, t) \geq c0 > 0, x \in
\in U(x0), t \in [t0, T1]. Введем в рассмотрение вспомогательную задачу
ut = \Delta u+ c(x, t)up, x \in U(x0), t0 < t < T1,
u(x, t) = 0, x \in \partial U(x0), t0 < t < T1, (4.3)
u(x, t0) = 0, x \in U(x0).
Построим нижнее решение задачи (4.3). Пусть u(x, t) = C(t - t0)
1
1 - pw(x, t), где C — некоторая
положительная константа и w(x, t) — решение задачи
wt = \Delta w, x \in U(x0), t0 < t < T1,
w(x, t) = 0, x \in \partial U(x0), t0 < t < T1, (4.4)
w(x, t0) = w0(x), x \in U(x0).
Здесь w0(x) — нетривиальная неотрицательная непрерывная в U(x0) функция, равная нулю на
\partial U(x0). Отметим, что u(x, t) = 0, если t = t0 или x \in \partial U(x0). В силу сильного принципа
максимума 0 < w(x, t) < M0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}U(x0)w0(x), x \in U(x0), t0 < t < T1.
Для всех (x, t) \in U(x0)\times (t0, T1) выполнено
ut - \Delta u - c(x, t)up =
C
1 - p
(t - t0)
p
1 - pw - c(x, t)Cp(t - t0)
p
1 - pwp \leq 0,
где C \leq M - 1
0 [c0(1 - p)]1/(1 - p).
Пусть u(x, t) — максимальное решение задачи (1.1) – (1.3) в QT с тривиальным начальным
условием. Согласно теореме 3.2 u(x, t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow 0 u\varepsilon (x, t), где u\varepsilon (x, t) — положительное верх-
нее решение задачи (1.1) – (1.3) в QT . Легко видеть, что u\varepsilon (x, t) является верхним решением
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
170 А. Л. ГЛАДКОВ, T. В. КАВИТОВА
задачи (4.3). Из принципа сравнения для задачи (4.3) следует, что u\varepsilon (x, t) \geq u(x, t), (x, t) \in
\in U(x0) \times [t0, T1). Переходя к пределу при \varepsilon \rightarrow 0 в данном неравенстве, получаем u(x, t) \geq
\geq u(x, t), (x, t) \in U(x0) \times [t0, T1). Из (1.2) и сильного принципа максимума заключаем, что
максимальное решение u(x, t) > 0 для x \in \Omega , t0 < t < T1.
Пусть выполнено (4.2). Тогда существуют окрестность V (y0) \subset \Omega точки y0 и константа
T2 \in (t0, T ) такие, что k(x, y, t) > 0 при x \in \partial \Omega , y \in V (y0), t0 \leq t \leq T2.
Воспользуемся заменой переменных, использованной в [19]. Пусть x \in \partial \Omega и \widehat n(x) — единич-
ная внутренняя нормаль к \partial \Omega в точке x. Поскольку \partial \Omega — гладкая поверхность, существует такая
константа \delta > 0, что отображение \psi : \partial \Omega \times [0, \delta ] \rightarrow \BbbR n, заданное формулой \psi (x, s) = x+s\widehat n(x),
определяет новые координаты (x, s) в окрестности \partial \Omega в \Omega . Непосредственными вычислениями
можно показать, что оператор \Delta в этих координатах, примененный к функции g(x, s) = g(s),
не зависящей от переменой x, в точке (x, s) вычисляется по формуле
\Delta g(x, s) =
\partial 2g
\partial s2
(x, s) -
n - 1\sum
j=1
Hj(x)
1 - sHj(x)
\partial g
\partial s
(x, s), (4.5)
где Hj(x), j = 1, . . . , n - 1, — главные кривизны \partial \Omega в точке x.
Пусть \alpha > 1/(1 - l), 0 < \xi 0 \leq 1 и t0 < T3 \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(T2, t0 + \delta 2). В точках множества
Q\delta ,T3 = \partial \Omega \times [0, \delta ]\times (t0, T3) с координатами (x, s, t) определим функцию
u(x, s, t) = (t - t0)
\alpha
\biggl(
\xi 0 -
s\surd
t - t0
\biggr) 3
+
,
а для точек множества \Omega \times [t0, T3) \setminus Q\delta ,T3 положим u(x, s, t) \equiv 0. Покажем, что u(x, s, t) —
нижнее решение задачи (1.1) – (1.3) в \Omega \times (t0, T4) для некоторого T4 \in (t0, T3). Действительно,
применяя (4.5), получаем
ut(x, s, t) - \Delta u(x, s, t) - c(x, t)up(x, s, t) = \alpha (t - t0)
\alpha - 1
\biggl(
\xi 0 -
s\surd
t - t0
\biggr) 3
+
+
+
3
2
s(t - t0)
\alpha - 3/2
\biggl(
\xi 0 -
s\surd
t - t0
\biggr) 2
+
- 6(t - t0)
\alpha - 1
\biggl(
\xi 0 -
s\surd
t - t0
\biggr)
+
-
- 3(t - t0)
\alpha - 1/2
\biggl(
\xi 0 -
s\surd
t - t0
\biggr) 2
+
n - 1\sum
j=1
Hj(x)
1 - sHj(x)
- c(x, t)up(x, s, t) \leq 0
в \Omega \times (t0, T3) для достаточно малых значений \xi 0.
Очевидно, справедливы равенства
\partial u
\partial \nu
(x, 0, t) = - \partial u
\partial s
(x, 0, t) = 3(t - t0)
\alpha - 1
2 \xi 20 .
Для x \in \partial \Omega и достаточно малых значений t - t0 выполнено
\partial u
\partial \nu
(x, t) -
\int
\Omega
k(x, y, t)ul(y, t) dy = 3(t - t0)
\alpha - 1
2 \xi 20 -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 171
- (t - t0)
\alpha l
\int
\partial \Omega \times [0,\delta ]
k(x, (y, s), t)| J(y, s)|
\biggl(
\xi 0 -
s\surd
t - t0
\biggr) 3l
+
dy ds \leq 3(t - t0)
\alpha - 1
2 \xi 20 -
- (t - t0)
\alpha l+
1
2
\int
\partial \Omega
dy
\xi 0\int
0
k(x, (y, z
\surd
t - t0), t)| J(y, z
\surd
t - t0)| (\xi 0 - z)3l+ dz \leq
\leq 3(t - t0)
\alpha - 1
2 \xi 20 - C(t - t0)
\alpha l+
1
2 \leq 0,
где J(y, s) — якобиан перехода к новым переменным, константа C не зависит от t. Завершение
доказательства теоремы такое же, как в первой части теоремы.
Теорема 4.1 доказана.
Замечание 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 4.1, но только (4.1) и (4.2) заменены
следующими условиями:
0 < p < 1 и c(x, t) \not \equiv 0 в Q\tau для любого \tau > 0 (4.6)
и
0 < l < 1 и существуют последовательности \{ tk\} и \{ yk\} , k \in N, такие, что
tk > 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
tk = 0, yk \in \partial \Omega , k(x, yk, tk) > 0 для любого x \in \partial \Omega . (4.7)
Тогда максимальное решение задачи (1.1) – (1.3) положительно в QT \cup ST .
Следствие 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 4.1, но только (4.1) и (4.2) заменены
на (4.6) и (4.7), и
c(x, t) и k(x, y, t) не убывают по t \in [0, t] для некоторого t \in (0, T ). (4.8)
Тогда существует только одно положительное решение задачи (1.1) – (1.3) в QT \cup ST .
Доказательство. Пусть u(x, t) — максимальное решение задачи (1.1) – (1.3) с u0(x) \equiv 0
в \Omega . Из замечания 4.1 следует неравенство u(x, t) > 0 при (x, t) \in QT \cup ST . Предположим, что
существует другое положительное в QT \cup ST решение v(x, t) задачи (1.1) – (1.3) с тривиальным
начальным условием. В силу (4.8) v(x, t+ \tau ) — положительное верхнее решение задачи (1.1) –
(1.3) в Qt - \tau для \tau \in (0, t). Из теоремы 2.2 следует, что u(x, t) \leq v(x, t + \tau ) при (x, t) \in
\in Qt - \tau \cup \Gamma t - \tau . Переходя к пределу при \tau \rightarrow 0, имеем u(x, t) \leq v(x, t) для (x, t) \in Qt \cup \Gamma t. В
силу определения 2.2 и теоремы 2.3 получаем v(x, t) = u(x, t) для всех (x, t) \in QT \cup ST .
Следствие 4.1 доказано.
Теорема 4.2. Пусть \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(p, l) < 1, u0 \not \equiv 0, выполнено (4.8) и хотя бы одно из условий
(4.6), (4.7). Тогда решение задачи (1.1) – (1.3) единственно.
Доказательство. Для доказательства единственности достаточно показать, что если v —
решение задачи (1.1) – (1.3), то
u(x, t) \leq v(x, t), (x, t) \in QT1 , (4.9)
где u — максимальное решение задачи (1.1) – (1.3).
Рассмотрим три случая: 0 < l < 1 и 0 < p \leq 1, 0 < l < 1 и p > 1, 0 < p < 1 и l \geq 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
172 А. Л. ГЛАДКОВ, T. В. КАВИТОВА
Пусть 0 < l < 1 и 0 < p \leq 1. Обозначим z = u - v, тогда z удовлетворяет задаче
zt \leq \Delta z + c(x, t)zp, (x, t) \in QT1 ,
\partial z(x, t)
\partial \nu
\leq
\int
\Omega
k(x, y, t)zl(y, t) dy, (x, t) \in ST1 , (4.10)
z(x, 0) \equiv 0, x \in \Omega .
В силу следствия 4.1 существует единственное решение h следующей задачи:
ht = \Delta h+ c(x, t)hp, (x, t) \in QT2 ,
\partial h(x, t)
\partial \nu
=
\int
\Omega
k(x, y, t)hl(y, t) dy, (x, t) \in ST2 ,
h(x, 0) \equiv 0, x \in \Omega ,
такое, что h(x, t) > 0, x \in \Omega , 0 < t < T2. Пусть T3 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(T1, T2). Используя рассуждения
из доказательств следствия 4.1 и теоремы 2.2, можно показать, что h \geq z и u \geq h. Обозначим
a = h - z и воспользуемся неравенством (см., например, [20])
hq - uq + vq \geq (h - u+ v)q,
где 0 < q \leq 1 и \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ h, v\} \leq u \leq h+ v. В результате получим
at \geq \Delta a+ c(x, t)ap, (x, t) \in QT3 ,
\partial a(x, t)
\partial \nu
\geq
\int
\Omega
k(x, y, t)al(y, t) dy, (x, t) \in ST3 ,
a(x, 0) \equiv 0, x \in \Omega .
Покажем, что a(x, t) > 0 в QT3 . Действительно, если предположить противное, то в силу
теоремы 2.1 существует такое \=t \in (0, T3), что a(x, t) \equiv 0 в Q\=t. Тогда\int
\Omega
k(x, y, t)(hl(y, t) + vl(y, t)) dy =
\partial h(x, t)
\partial \nu
+
\partial v(x, t)
\partial \nu
=
\partial z(x, t)
\partial \nu
+
\partial v(x, t)
\partial \nu
=
=
\partial u(x, t)
\partial \nu
=
\int
\Omega
k(x, y, t)ul(y, t) dy =
\int
\Omega
k(x, y, t)(z(y, t) + v(y, t))l dy =
=
\int
\Omega
k(x, y, t)(h(y, t) + v(y, t))l dy, (x, t) \in S\=t.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 173
При выполнении условия (4.7) получим противоречие с тем, что 0 < l < 1, h(x, t) > 0 и
v(x, t) > 0 в Q\=t, k(x, yk, tk) > 0 для любого x \in \partial \Omega , некоторых yk \in \partial \Omega , 0 < tk < \=t. Если
выполнено условие (4.6), то получить противоречие можно другим способом. Действительно,
c(x, t)(h+ v)p = c(x, t)(z + v)p = c(x, t)up = ut - \Delta u = (z + v)t - \Delta (z + v) =
= (h+ v)t - \Delta (h+ v) = c(x, t)(hp + vp), (x, t) \in Q\=t.
Это противоречит тому, что 0 < p < 1, h(x, t) > 0 и v(x, t) > 0 в Q\=t, c(x1, t1) > 0 для
некоторых x1 \in \Omega , t1 \in (0, \=t).
Поскольку a(x, t) > 0 в Q\=t, применяя следствие 4.1 и теорему 2.2, заключаем, что a(x, t) \geq
\geq h(x, t) в Q\=t \cup \Gamma \=t. Таким образом, выполнено неравенство (4.9) для случая 0 < l < 1 и
0 < p \leq 1.
Рассмотрим второй случай 0 < l < 1 и p > 1. Легко заметить, что существует такая
константа \beta > 0, что
up(x, t) - vp(x, t) \leq \beta (u(x, t) - v(x, t)), (x, t) \in QT4 ,
где T4 < T2. Пусть z = u - v. Тогда функция z удовлетворяет задаче (4.10) с p = 1 и \beta c(x, t)
вместо c(x, t). Дальнейшее доказательство такое же, как в первом случае с p = 1.
Третий случай рассматривается аналогично.
Теорема 4.2 доказана.
Замечание 4.2. Пусть u0 \not \equiv 0 и при некотором \tau > 0 выполнено хотя бы одно из следую-
щих трех условий:
l \geq 1 и c(x, t) \equiv 0 в Q\tau ,
p \geq 1 и k(x, y, t) \equiv 0 в \partial \Omega \times Q\tau ,
c(x, t) \equiv 0 в Q\tau и k(x, y, t) \equiv 0 в \partial \Omega \times Q\tau .
Тогда в силу теорем 2.1 и 2.3 решение задачи (1.1) – (1.3) единственно.
Литература
1. Deng K. Comparison principle for some nonlocal problems // Quart. Appl. Math. – 1992. – 50, № 3. – P. 517 – 522.
2. Gladkov A., Guedda M. Blow-up problem for semilinear heat equation with absorption and a nonlocal boundary
condition // Nonlinear Anal. – 2011. – 74, № 13. – P. 4573 – 4580.
3. Gladkov A., Guedda M. Semilinear heat equation with absorption and a nonlocal boundary condition // Appl. Anal. –
2012. – 91, № 12. – P. 2267 – 2276.
4. Gladkov A., Kim K. I. Blow-up of solutions for semilinear heat equation with nonlinear nonlocal boundary condition
// J. Math. Anal. and Appl. – 2008. – 338. – P. 264 – 273.
5. Gladkov A., Kim K. I. Uniqueness and nonuniqueness for reaction-diffusion equation with nonlocal boundary condition
// Adv. Math. Sci. Appl. – 2009. – 19, № 1. – P. 39 – 49.
6. Gladkov A., Nikitin A. A reaction-diffusion system with nonlinear nonlocal boundary conditions // Int. J. Part. Different.
Equat. – 2014. – 2014. – P. 1 – 10.
7. Liu D., Mu C. Blow-up properties for a semilinear reaction-diffusion system with nonlinear nonlocal boundary
conditions // Abstrs Appl. Anal. – 2010. – 2010. – P. 1 – 17.
8. Pao C. V. Asymptotic behavior of solutions of reaction-diffusion equations with nonlocal boundary conditions // J.
Comput. and Appl. Math. – 1998. – 88. – P. 225 – 238.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
174 А. Л. ГЛАДКОВ, T. В. КАВИТОВА
9. Yin Y. On nonlinear parabolic equations with nonlocal boundary condition // J. Math. Anal. and Appl. – 1994. – 185,
№ 1. – P. 161 – 174.
10. Bokes P. A uniqueness result for a semilinear parabolic system // J. Math. Anal. and Appl. – 2007. – 331. – P. 567 – 584.
11. Cortazar C., Elgueta M., Rossi J. D. Uniqueness and non-uniqueness for a system of heat equations with non-linear
coupling at the boundary // Nonlinear Anal. – 1999. – 37, № 2. – P. 257 – 267.
12. Cortazar C., Elgueta M., Rossi J. D. Uniqueness and nonuniqueness for the porous medium equation with non linear
boundary condition // Different. Integr. Equat. – 2003. – 16, № 10. – P. 1215 – 1222.
13. Escobedo M., Herrero M. A. A semilinear parabolic system in a bounded domain // Ann. mat. pura ed appl. – 1993. –
165. – P. 315 – 336.
14. Kordo\u s M. On uniqueness for a semilinear parabolic system coupled in an equation and a boundary condition // J.
Math. Anal. and Appl. – 2004. – 298. – P. 655 – 666.
15. Hu B. Blow-up theories for semilinear parabolic equations // Lect. Notes Math. – 2011. – 2018. – 127 p.
16. Kahane C. S. On the asymptotic behavior of solutions of parabolic equations // Czechoslovak Math. J. – 1983. – 33,
№ 108. – P. 262 – 285.
17. Hu B., Yin H.-M. Critical exponents for a system of heat equations coupled in a non-linear boundary condition //
Math. Methods Appl. Sci. – 1996. – 19, № 14. – P. 1099 – 1120.
18. Bartle R., Sherbert D. Introduction to real analysis. – John Wiley \& Sons, Inc., 2011. – 402 p.
19. Cortazar C. M., del Pino M., Elgueta M. On the short-time behavior of the free boundary of a porous medium equation
// Duke Math. J. – 1997. – 87, № 1. – P. 133 – 149.
20. Aguirre J., Escobedo M. A Cauchy problem for ut - \Delta u = up : Asymptotic behavior of solutions // Ann. Fac. sci.
Toulouse. –1986/87. – 8. – P. 175 – 203.
Получено 09.02.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1831 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:28Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fe/343fcd6d39f58181e76f55df7a8b17fe.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18312019-12-05T09:29:16Z Initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions Начально-краевая задача для полулинейного параболического уравнения с нелинейными нелокальными граничными условиями Gladkov, A. L. Kavitova, T. V. Гладков, А. Л. Кавитова, T. В. Гладков, А. Л. Кавитова, T. В. We consider an initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions. We prove comparison principle, establish the existence of a local solution, and study the problem of uniqueness and nonuniqueness. Розглядається початково-крайова задача для напiвлiнiйного параболiчного рiвняння з нелiнiйними нелокальними граничними умовами. Доведено принцип порiвняння, локальне iснування розв’язку i вивчено питання єдиностi та неєдиностi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1831 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 2 (2016); 162-174 Український математичний журнал; Том 68 № 2 (2016); 162-174 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1831/813 Copyright (c) 2016 Gladkov A. L.; Kavitova T. V. |
| spellingShingle | Gladkov, A. L. Kavitova, T. V. Гладков, А. Л. Кавитова, T. В. Гладков, А. Л. Кавитова, T. В. Initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions |
| title | Initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions |
| title_alt | Начально-краевая задача для полулинейного параболического уравнения с нелинейными нелокальными граничными условиями |
| title_full | Initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions |
| title_fullStr | Initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions |
| title_full_unstemmed | Initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions |
| title_short | Initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions |
| title_sort | initial-boundary-value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1831 |
| work_keys_str_mv | AT gladkoval initialboundaryvalueproblemforasemilinearparabolicequationwithnonlinearnonlocalboundaryconditions AT kavitovatv initialboundaryvalueproblemforasemilinearparabolicequationwithnonlinearnonlocalboundaryconditions AT gladkoval initialboundaryvalueproblemforasemilinearparabolicequationwithnonlinearnonlocalboundaryconditions AT kavitovatv initialboundaryvalueproblemforasemilinearparabolicequationwithnonlinearnonlocalboundaryconditions AT gladkoval initialboundaryvalueproblemforasemilinearparabolicequationwithnonlinearnonlocalboundaryconditions AT kavitovatv initialboundaryvalueproblemforasemilinearparabolicequationwithnonlinearnonlocalboundaryconditions AT gladkoval načalʹnokraevaâzadačadlâpolulinejnogoparaboličeskogouravneniâsnelinejnyminelokalʹnymigraničnymiusloviâmi AT kavitovatv načalʹnokraevaâzadačadlâpolulinejnogoparaboličeskogouravneniâsnelinejnyminelokalʹnymigraničnymiusloviâmi AT gladkoval načalʹnokraevaâzadačadlâpolulinejnogoparaboličeskogouravneniâsnelinejnyminelokalʹnymigraničnymiusloviâmi AT kavitovatv načalʹnokraevaâzadačadlâpolulinejnogoparaboličeskogouravneniâsnelinejnyminelokalʹnymigraničnymiusloviâmi AT gladkoval načalʹnokraevaâzadačadlâpolulinejnogoparaboličeskogouravneniâsnelinejnyminelokalʹnymigraničnymiusloviâmi AT kavitovatv načalʹnokraevaâzadačadlâpolulinejnogoparaboličeskogouravneniâsnelinejnyminelokalʹnymigraničnymiusloviâmi |