Preacyclicity over the rings with infinite fields of residues
We consider a simplicial scheme, its geometric realization, and the required properties of the simplicial scheme of unimodal frames and prove both a sufficiently strong theorem on acyclicity for the simplicial scheme of unimodal frames and a theorem stating that the first nontrivial group of homolog...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1834 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507708162048000 |
|---|---|
| author | Zainalov, B. R. Зайналов, Б. Р. Зайналов, Б. Р. |
| author_facet | Zainalov, B. R. Зайналов, Б. Р. Зайналов, Б. Р. |
| author_sort | Zainalov, B. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:16Z |
| description | We consider a simplicial scheme, its geometric realization, and the required properties of the simplicial scheme of unimodal frames and prove both a sufficiently strong theorem on acyclicity for the simplicial scheme of unimodal frames and a theorem stating that the first nontrivial group of homologies is generated by standard cycles over the rings with
infinite fields of residues. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Б. Р. ЗАЙНАЛОВ, 2016
202 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
УДК 512.7
Б. Р. Зайналов (Самарканд, Узбекистан)
ПРЕДАЦИКЛИЧНОСТЬ НАД КОЛЬЦАМИ
С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ ВЫЧЕТОВ
We consider a simplicial scheme, its geometric realization, and the required properties of the simplicial scheme of
unimodal frames and prove both a sufficiently strong theorem on acyclicity for the simplicial scheme of unimodal frames
and a theorem stating that the first nontrivial group of homologies is generated by standard cycles over the rings with
infinite fields of residues.
Розглядаються симпліціальна схема, її геометрична реалізація та необхідні властивості симпліціальних схем уні-
модулярних реперів. Доведено досить сильну теорему ациклічності для симпліціальних схем унімодулярних репе-
рів, а також теорему про те, що перша нетривіальна група гомологій породжується стандартними циклами над
кільцями з нескінченними полями лишків.
Введение. Основой для решения проблемы стабилизации в высшей алгебраической К-теории
колец является изучение некоторых симплициальных множеств с унимодулярными реперами.
Наиболее важные и интересные при этом симплициальные множества, рассмотренные в рабо-
тах [6, 7]. Для доказательства теорем о стабилизации необходимо уметь доказывать сильную
ацикличность симплициального множества унимодулярных реперов. Аналогично, если уметь
вычислять первую нетривиальную группу гомологий соответствующего симплициального
множества, то это даст ответ на проблему предстабилизации [5]. В данной работе мы вводим в
рассмотрение множество симплициальных схем [3] и связанные с ними унимодулярные репе-
ры. В п. 1 рассматривается определение симплициальных схем и их геометрическая реализа-
ция, в п. 2 построена гомология симплициальных схем, в п. 3 приведены необходимые свойства
симплициальных схем унимодулярных реперов, в п. 4 доказана достаточно сильная теорема
ацикличности для симплициальных схем унимодулярных реперов и, наконец, в п. 5 обобщается
теорема, рассмотренная в [4], в которой утверждается, что для дедекиндового кольца первая
нетривиальная группа гомологий порождается стандартными циклами. Эта теорема в более
общей формулировке доказана для колец с бесконечными полями вычетов. Отметим, что по-
лученный результат применим и к симплициальному множеству ван дер Каллена.
1. Симплициальные схемы и их геометрическая реализация. Для произвольного мно-
жества V через ε(V ) будем обозначать множество его непустых конечных подмножеств.
Симплициальной схемой будем называть пару (V , F), где F ⊂ ε(V ) , причем F вместе с
каждым множеством содержит все его непустые подмножества. В случаях, когда множество
V известно из контекста, будем опускать его в обозначениях и говорить, что F(⊂ ε(V )) явля-
ется симплициальной схемой.
Множества из F называются симплексами, при этом s = ϑ0,…,ϑ p{ } ∈F называется
p -мерным симплексом или p -симплексом, число p — размерностью симплекса
s : p = dim s . Если ′s = s , то ′s называется гранью симплекса s (собственной, если ′s ≠ s ).
Нульмерные грани называются вершинами.
Отметим, что обычно при определении симплициальной схемы налагают дополнительное
требование, что все одноэлементные множества являются симплексами. Это требование, оче-
видно, несущественно и по техническим причинам не будет использоваться в дальнейшем.
ПРЕДАЦИКЛИЧНОСТЬ НАД КОЛЬЦАМИ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ ВЫЧЕТОВ 203
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
Если Φ ⊂ F ⊂ ε(V ) — симплициальные схемы, то Φ называется симплициальной под-
схемой F . Нетрудно видеть, что множество всех граней симплексов s ∈F и множество
всех собственных граней s образуют подсхемы симплициальной схемы F , которые обозна-
чаются s , s соответственно. Ясно также, что произвольное объединение (и произвольное
пересечение) симплициальных подсхем снова является симплициальной подсхемой [3].
Пусть s = ϑ0,…,ϑ p{ } ∈F — некоторый симплекс. Через Fs будем обозначать мно-
жество тех конечных подмножеств t ∈ε(V ) , для которых t s = ∅ и t s ∈F . Ясно, что
Fs является подсхемой схемы F . Справедлива следующая очевидная лемма.
Лемма 1.1. Если t ∈Fs , то (Fs )t = Fst .
Предположим, что множества V и W не пересекаются и F ⊂ ε(V ), Φ ⊂ ε(W ) —
симплициальные схемы. Джойном или соединением схем F и Φ называется симплициаль-
ная схема F ∗Φ ⊂ ε(V W ), симплексами которой являются те u ∈ε(V W ) , для которых
u V или пусто, или лежит в F и u W или пусто, или лежит в Φ . Напомним теперь
конструкцию геометрической реализации симплициальной схемы [6]. Пусть F ⊂ ε(V ) —
симплициальная схема. Рассмотрим множество X отображений x : V → [0,1] таких, что:
а) ϑ ∈V : x(ϑ) ≠ 0{ } ∈F (в частности, это множество конечно);
b) x(ϑ)
ϑ∈V∑ = 1.
Пусть s = ϑ0,…,ϑ p{ } ∈F , положим s = x ∈X : x(ϑ) = 0, ϑ ∉s{ } . Имеется очевидная
биекция между s и стандартным p -мерным геометрическим симплексом Δ p =
= (t0,…, t p ) ∈R p+1{ : 0 ≤ ti ≤ 1, t0 +…+ t p = 1}. Воспользуемся этой биекцией и перенесем
топологию с Δ p на s . После этого на X вводится слабая топология: A ⊂ X открыто тог-
да и только тогда, когда A s открыто в s для любого s ∈F .
Множество X с введенной топологией называется геометрической реализацией F и обо-
значается F . По построению F является полиэдром, геометрические симплексы которого
находятся в однозначном соответствии с симплексами схемы F [3].
Напомним, что джойном или соединением топологических пространств X и Y называет-
ся фактор-пространство дизъюнктной суммы X Y X × Y × I по отношению эквивалент-
ности, порожденному отождествлениями
x ~ x × y × 0 ,
y ~ x × y ×1
при любых x ∈X , y ∈Y . Отметим, что имеет место следующее предложение.
Предложение 1.1. Пусть F ⊂ ε(V ) , Φ ⊂ ε(W ) — симплициальные схемы, причем
V W = ∅. Тогда F ∗ Φ = F ∗Φ .
Доказательство. Естественные вложения F ⊂ F ∗Φ ⊃ Φ индуцируют вложения
F ⊂ F *Φ ⊃ Φ . Определим, далее, отображение F × Φ × I → F ∗Φ по формуле
x × y × t z , где z(ϑ) = (1− t)x(ϑ) при ϑ ∈V , z(ω) = t y(ϑ) при ω ∈W . Если s ∈F ,
r ∈Φ , то построенное отображение непрерывно отображает s × r × I в s r и, по-
204 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
скольку топология на F × Φ × I определяется подмножествами вида s × r × I , постро-
енное отображение непрерывно. Кроме того, ясно, что отображения F → F ∗Φ , Φ →
→ F ∗Φ и F × Φ × I → F ∗Φ согласованы с отождествлениями, используемыми при
построении F ∗ Φ , и тем самым определяют непрерывное отображение F ∗ Φ → F ∗Φ .
Обратное отображение строится следующим образом: пусть x : V W → [0,1] ∈F ∗Φ .
Если z W = 0 , то x V = x ∈ F и z сопоставляется точка x . Если z V = 0, то
y = z W ∈ Φ и z сопоставляется точка y . Пусть z V ≠ 0, z W ≠ 0 . Положим
t = z(ω)
ω∈W
∑ , x = 1
1− t
z V ∈ F , y = 1
t
z W ∈ Φ
и сопоставим z точку x × y × t ∈ F × Φ × I . Несложно проверить, что так определенное
отображение F × Φ → F ∗ Φ непрерывно и является обратным к построенному выше.
2. Гомология симплициальных схем. Пусть F ⊂ ε(V ) — некоторая симплициальная
схема. Обозначим через C p (F) свободную абелеву группу, базисом которой являются
такие последовательности ϑ0,…,ϑ p{ } не обязательно различных элементов V , что
ϑ0,…,ϑ p{ } ∈F . Определим гомоморфизм d : C p (F) → C p−1(F) обычной формулой
d(ϑ0,…,ϑ p ) = (−1)i (ϑ0,…, ϑ̂i ,…,ϑ p )
i=0
p
∑ ,
где знак ∧ над ϑ означает, что компонента ϑi опускается. Тривиальная проверка показы-
вает, что d2 = 0 , т. е. C∗(F) = C0(F) ←
d
C1(F) ← ∆… является комплексом. Группы гомо-
логий Hi (C∗(F)) обозначаются также Hi (F) и называются (целочисленными) группами го-
мологий симплициальной схемы F . Для топологического пространства X через C∗(X) бу-
дем обозначать его сингулярный цепной комплекс [3], а через Hi (X) — группы сингулярных
гомологий X : Hi (X) = Hi (C∗(X)) . Если F ⊂ ε(V ) — симплициальная схема и ϑ0,…,ϑ p{ }
— сингулярный комплекс F , то имеется единственный линейный сингулярный симплекс f :
Δ p → F , переводящий i -ю вершину Δ p в ϑi . Таким образом, возникает вложение ком-
плексов C∗(F) ⊂ C∗ F( ), которое, как известно [3], является гомотопической эквивалент-
ностью. В частности, Hi (F) = Hi F( ) . Положим C−1(F) = Z и определим пополнение ε :
C0(F) → C−1(F) формулой ε(ϑ) = 1 для любой ϑ( ϑ{ } ∈F). Комплекс
C∗(F) = C−1(F) ←
ε
C0(F) ←
d
C1(F) ←…
называется пополненным комплексом симплициальной схемы F , его гомологии обозначают-
ся Hi (F) и называются приведенными гомологиями схемы F . Тогда справедлива следующая
очевидная лемма.
Лемма 2.1. а) Если F = ∅, то H−1(F) = Z .
b) Если F ≠ ∅, то H−1(F) = 0, H0(F) = H0(F)⊕ Z и Hi (F) = Hi (F) при i > 0 .
ПРЕДАЦИКЛИЧНОСТЬ НАД КОЛЬЦАМИ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ ВЫЧЕТОВ 205
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
Таким образом, k -ацикличность при k ≤ −2 не означает ничего, (−1)-ацикличность
означает непустоту, 0-ацикличность — непустоту и линейную связность и т. д.
Пусть F1 и F2 — подсхемы симплициальной схемы F , тогда C∗(F1) , C∗(F2 ) — под-
комплексы C∗(F) , причем C∗(F1)C∗(F2 ) = C∗(F1 F2 ), C∗(F1) + C∗(F2 ) = C∗(F1 F2 ).
Обозначим через
i1 : F1 F2 ⊂ F1, i2 : F1 F2 ⊂ F2 , j1 : F1 ⊂ F1 F2 , j2 : F2 ⊂ F1 F2
соответствующие вложения. Тогда возникает точная последовательность комплексов
0 → C∗(F1 F2 ) →
i1
−i2( )
C∗(F1)⊕ C∗(F2 ) →
( j1, j2 )
C∗(F1 F2 ) → 0.
Соответствующая длинная точная последовательность групп гомологий
…→ Hi (F1 F2 ) →
i1
−i2( )
Hi (F1)⊕ Hi (F2 ) →
( j1), ( j2 )( )
→
( j1), ( j2 )( )
Hi (F1 F2 )→
∂
Hi−1(F1 F2 ) →…
называется последовательностью Майера –Вьеториса подсхем F1 и F2 . Имеются также ана-
логичная точная последовательность пополненных комплексов
0 → C∗(F1 F2 ) →
i1
−i2( )
C∗(F1)⊕ C∗(F2 ) →
( j1, j2 )
C∗(F1 F2 ) → 0
и длинная точная последовательность Майера –Вьеториса для приведенных гомологий.
Помимо сингулярного комплекса C∗(F) симплициальной схемы F часто рассматривают
также так называемый ориентированный комплекс W∗(F) . Имеется естественное действие
симметрической группы p+1∑ на C p (F), заданное формулой
π(ϑ0,…,ϑ p ) = ϑπ−1(0),…,ϑπ−1( p)( ) .
Через Wp (F) обозначим фактор-группу C p (F) по подгруппе, порожденной вырожден-
ными симплексами (т. е. теми (ϑ0,…,ϑ p ) , у которых не все ϑi различны) и элементами ви-
да
π(ϑ0,…,ϑ p ) = sign(π) ⋅ (ϑ0,…,ϑ p ),
где sign(π) = ±1 — четность подстановки.
Несложно проверить, что дифференциал d : C p (F) → C p−1(F) при переходе к фактор-
группам определяет дифференциал d : Wp (F) → Wp−1(F). Таким образом, получаем комплекс
W∗(F) и эпиморфизм комплексов C∗(F) → W∗(F), который является гомотопической экви-
валентностью [3] (гл. 5, § 8). Через W∗(F) будем обозначать соответствующий пополненный
комплекс. Группа Wp (F) может быть также описана как абелева группа, образующими ко-
206 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
торой являются ориентированные p -мерные симплексы F (ориентацией симплекса
ϑ0,…,ϑ p{ } ∈F называется упорядочение множества ϑ0,…,ϑ p{ } , причем два упорядо-
чения определяют одну ориентацию, если они отличаются на четную подстановку), и образу-
ющие, соответствующие противоположным ориентациям одного и того же симплекса, отли-
чаются знаком.
Будем говорить, что сингулярные симплексы (ϑ0,…,ϑ p ) и (ω0,…,ωq ) схемы F транс-
версальны, если ϑ0,…,ϑ p{ } ω0,…,ωq = ∅{ } и ϑ0,…,ϑ p ,ω0,…,ωq{ } ∈F . В этом
случае положим (ϑ0,…,ϑ p )∗ (ω0,…,ωq ) = (ϑ0,…,ϑ p , ω0,…,ωq ) ∈C p+q+1(F). Распростра-
ним это определение по линейности на произвольные цепи комплекса C∗(F) : две цепи транс-
версальны, если любой симплекс, входящий с ненулевым коэффициентом в первую цепь,
трансверсален любому комплексу, входящему с ненулевым коэффициентом во вторую цепь;
(–1)-мерная цепь трансверсальна любой цепи.
Лемма 2.2. Если цепи σ и τ трансверсальны, трансверсальны и цепи dσ и τ , σ и
dτ . Кроме того, d(σ ∗ τ) = dσ ∗ τ + (−1)dim(σ)+1σ ∗ dτ .
Доказательство. Первое утверждение очевидно, а второе следует из формулы
d(ϑ0,…,ϑ p ,ω0,…,ωq ) =
= (−1)i (ϑ0,…, ϑ̂i ,…,ϑ p ,ω0,…,ωq )
i=0
p
∑ + (−1)i (ϑ0,…, ϑ̂i ,…,ϑ p ,ω0,…, ω̂ j ,…,ωq )
i=0
q
∑ .
Пусть F ⊂ ε(V ) , Φ ⊂ ε(W ) (где V W = ∅ — симплициальные схемы). Комплексы
C∗(F) , C∗(Φ) естественно вкладываются в C∗(F ∗Φ), причем их образы очевидно трансвер-
сальны. Тем самым при любых p и q получаем гомоморфизм
C p (F)⊗ Cq (Φ) →
→
C p+q+1(F ∗Φ) .
Для любого комплекса C через C[−1] будем обозначать комплекс, у которого C[−1]i =
= Ci−1 и дифференциал получается из дифференциала комплекса C изменением знака. Ис-
пользуя лемму 2.1, видим, что мы построили гомоморфизм комплексов
C∗(F)[−1] ⊗
⊗ C∗(Φ)[−1] → C∗(F ∗Φ)[−1].
Предложение 2.1. Гомоморфизм C∗(F)[−1]⊗ C∗(Φ)[−1]→ C∗(F ∗Φ)[−1] является го-
мотопической эквивалентностью. В частности, для любого n имеется точная последо-
вательность
0 → H k (F)⊗ Hl (Φ)
k+l=n−1
→ Hn (F ∗Φ) → Tor ( H k (F), Hl (Φ)) → 0
k+l=n−2
.
Доказательство. Второе утверждение следует из первого и из теоремы Кюнкета [3] (см.
гл. VI). Для доказательства первого утверждения отметим, что гомоморфизм C∗(F)[−1] ⊗
⊗ C∗(Φ)[−1] определяет при переходе к факторам гомоморфизм, который, очевидно, является
изоморфизмом.
В коммутативной диаграмме
ПРЕДАЦИКЛИЧНОСТЬ НАД КОЛЬЦАМИ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ ВЫЧЕТОВ 207
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
C∗(F)[−1]⊗ C∗(Φ)[−1]→ C∗(F ∗Φ)[−1]
↓ ↓
W∗(F)[−1]⊗ W∗(Φ)[−1]→ W∗(F ∗Φ)[−1]
все стрелки, кроме, возможно, верхней горизонтальной, являются гомотопическими эквива-
лентностями. Следовательно, и эта стрелка — эквивалентность.
Cледствие 2.1. Если F m-ациклична, а Φ n -ациклична, то F ∗Φ (m + n + 2) -ацик-
лична.
Возьмем в качестве Φ k -мерную сферу, т. е. симплициальную схему всех собственных
подмножеств (k + 2)-элементного множества ϑ0,…,ϑk+1{ } . Поскольку Hi (Φ) = 0 при
i ≠ k и
H k (Φ) = Z , причем образующим является класс гомологий цикла τ =
=
(−1) j (ϑ0,…,
ϑi ,…,ϑk )j=0
k+1∑ , из леммы 2.2 получаем такое следствие.
Следствие 2.2. Если Φ — k -мерная сфера, то Hn (F ∗Φ) = Hn−k−1(F) . Этот изомор-
физм переводит класс цикла σ ∈ Cn−k−1(F) в класс цикла σ ∗ τ ∈ Cn (F ∗Φ) .
3. Симплициальная схема унимодулярных реперов. Пусть A — ассоциативное кольцо
с единицей. Обозначим через GL n (A) группу обратимых (m × n)-матриц над кольцом A ,
через M n,m (A) множество всех (n × m)-матриц над A . Обозначим, далее, через A∞ сво-
бодный левый А-модуль со счетным базисом e1,…, en ,…, через An его подмодуль с базисом
e1,…, en . Элементы из An будем, как правило, представлять столбцами их координат в бази-
се e1,…, en , тем самым отождествляя An с M n,1(A). Если ϑ0,…,ϑk ∈An , то будем отож-
дествлять последовательность (ϑ0,…,ϑk ) с соответствующей матрицей из M n,k+1(A) . По-
ложим также GL(A) = lim GL n (A) и будем отождествлять эту группу с подгруппой
AutA(A∞ ) .
Лемма 3.1. Пусть P — A-модуль, ϑ0,…,ϑk ∈P . Тогда следующие условия равно-
сильны:
а) ϑ0,…,ϑk образуют базис свободного прямого слагаемого Р;
b) существуют w0,…, wk ∈P∗ = HomA(P, A) такие, что wi (ϑ j ) = δij (символ Кро-
некера).
Доказательство. а) → b). Пусть P = P1 ⊕ P2 , где P1 — свободный модуль с базисом
ϑ0,…,ϑk . Тогда любой p ∈P однозначно записывается в виде p = λ0ϑ0 +…+ λkϑk + p2 ,
где λi ∈A , p2 ∈P2 , и мы можем определить функционалы w j формулами w j (p) = λ j .
b) → а). Положим P2 = ker w0 … ker wk . Для любого p ∈P элемент p − w0(p)ϑ0 –…
… − wk (p)ϑk лежит в P2 . Наоборот, если p = λ0ϑ0 +…+ λkϑk + p2 , где p2 ∈P2 , то
λ j = w j (p) и p2 = p − w0(p)ϑ0 −…− wk (p)ϑk . Таким образом, любой p ∈P однозначно
записывается в виде λ0ϑ0 +…+ λkϑk + p2 , где λi ∈A , p2 ∈P2 и P = P1 ⊕ P2 , где P1 —
свободный модуль с базисом ϑ0,…,ϑk .
Если выполнены равносильные условия леммы 3.1, то будем говорить, что элементы
ϑ0,…,ϑk в совокупности унимодулярны или образуют унимодулярный репер.
208 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
Через Um(P) ⊂ ε(P) будем обозначать симплициальную схему, k -симплексами которой
являются такие множества {ϑ0,…,ϑk}, что ϑi — унимодулярный в совокупности. Сим-
плициальную схему Um (A∞ ) будем обозначать через U .
Лемма 3.2. а) Если P — прямое слагаемое модуля Q и ϑ0,…,ϑk ∈P , то ϑi унимо-
дулярны в совокупности в модуле Р в том и только в том случае, когда они унимодулярны в
совокупности в модуле Q . В частности, ε(An )U = Um(An ) .
b) Пусть ϑ0,…,ϑk ∈An , ′w0,…, ′wk ∈M1, n (A) . Если ( ′w0,…, ′wk )T ϑ0,…,ϑk( )∈GLk (A) ,
то (ϑ0,…,ϑk ) — унимодулярный репер.
с) Пусть ϑ0,…,ϑk ∈An и ϑ = (∗,…,∗,1)T ∈An+1. Тогда унимодулярность репера
(ϑ0,…,ϑk ) равносильна унимодулярности репера (ϑ0,…,ϑk ,ϑ).
d) Если α ∈GL(A), то реперы (ϑ0,…,ϑk ) и (αϑ0,…,αϑk ) унимодулярны одно-
временно (ϑi ∈A∞).
е) Унимодулярность репера (ϑ0,…,ϑk ) эквивалентна унимодулярности репера (ϑ0 ,
ϑ1 + λ1ϑ0,…,ϑk + λkϑ0 ).
Доказательство. а) Пусть Q = P ⊕ ′P . Допустим, что ϑi унимодулярны в Q и
wi ∈Q∗ — такие функционалы, что wi (ϑ j ) = δij . Обозначим wi (ϑ j ) = wi (ϑ j ) = δij и, следо-
вательно, ϑ j унимодулярны в P . Наоборот, допустим, что ϑi унимодулярны в P и
wi ∈P∗ — такие функционалы, что wi (ϑ j ) = δij . Обозначим через π проекцию Q на P ,
тогда wiπ ∈Q∗ и (wiπ)(ϑ j ) = wi (ϑ j ) = δij . Следовательно, ϑ j унимодулярны в Q .
b) Обозначим через α матрицу ( ′w0,…, ′wk )T ϑ0,…,ϑk( ) и положим α−1( ′w0,…, ′wk )T =
= (w0,…, wk )T . Тогда wi (ϑ j ) = δij и, следовательно, репер (ϑ0,…,ϑk ) унимодулярен.
с) Допустим, что репер (ϑ0,…,ϑk ) унимодулярный. Выберем w0,…, wk ∈
∈ M1,n (A) = (An )∗ так, что wi (ϑ j ) = δij . Тогда
w0 0
… …
wk 0
0 1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
(ϑ0,…,ϑk ,ϑ) =
1 … 0 ∗
.....................
0 … 1 ∗
0 … 0 1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
∈GLk+2(A),
а репер (ϑ0,…,ϑk ,ϑ) унимодулярен согласно п. b). Обратное утверждение очевидно.
d) Если ϑ0,…,ϑk унимодулярны в совокупности и wi (ϑ j ) = δij , то (wiα−1)(αϑ j ) = δij ,
а значит, αϑ j унимодулярны в совокупности.
е) Если (ϑ0,…,ϑk ) — унимодулярный репер и wi (ϑ j ) = δij , то
w0
...
wk
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
ϑ0,ϑ1 + λ1ϑ0,…,ϑk + λkϑ0( ) =
1 λ1 … λk
0 1 … 0
...........................
0 0 … 1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
∈GLk+1(A).
ПРЕДАЦИКЛИЧНОСТЬ НАД КОЛЬЦАМИ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ ВЫЧЕТОВ 209
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
Следовательно, (ϑ0,ϑ1 + λ1ϑ0,…,ϑk + λkϑ0 ) — унимодулярный репер соглаcно п. b).
Стабильным рангом кольца A , которое обозначается через s.r. A , называется наимень-
шее натуральное число n такое, что для любого унимодулярного столбца (λ0, λ1,…, λn )T
существуют такие элементы µ1,…,µn ∈A , что столбец (λ1 + µ1λ0,…, λn + µnλ0 )T также
унимодулярен. Если такие n не существуют, то будем говорить, что s.r. A = ∞ [2]. Соглас-
но теореме Басса [1] для нетерового коммутативного кольца A s.r. A ≤ dim Max A +1 , где
Max A — спектр максимальных идеалов А. В частности, s.r. A ≤ dim A +1.
Доказательство следующего известного и тривиального факта можно найти, например,
в [1].
Лемма 3.3. Если n ≥ s.r. A +1 , то группа GLn (A) транзитивно действует на мно-
жестве унимодулярных столбцов высоты n.
Лемма 3.4. Предположим, что столбец (λ1,…, λn ,…, λm )T унимодулярен и n ≥ s.r. A .
Тогда к λ1,…, λn можно прибавить такие линейные комбинации λn+1,…, λm , что соот-
ветствующий столбец высоты n унимодулярен.
Доказательство. Найдем такие µi , что µii=1
m∑ λi = 1. Столбец λ1,…, λn( ,
µii=1
m∑ λi )T , очевидно, унимодулярен. Согласно определению стабильного ранга найдутся
такие θ1,…,θn , что столбец
λ1 + θ1, µi
i=1
m
∑ λi
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
,…, λn + θn µi
i=1
m
∑ λi
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
T
унимодулярен.
Предложение 3.1. Предположим, что n ≥ s.r. A +1 и ϑ ∈A∞ — унимодулярный стол-
бец. Тогда:
а) существует такая α ∈GL(A), что α ⋅ An = An , α ⋅ (An + en+1) = An + en+1 и n-я ко-
ордината αϑ равна единице;
b) существует такое ′ϑ ∈An+1 + en , что ϑ и ′ϑ унимодулярны в совокупности.
Доказательство. а) Пусть ϑ = (λ1,…, λn ,…, λm )T согласно лемме 3.4, а также сущест-
вует такая матрица β ∈M n,m−n (A) , что столбец (λ1,…, λn )T + β(λn+1,…, λm )T унимодуля-
рен. В силу леммы 3.3 найдется такой γ ∈GLn (A), что
γ (λ1,…, λn )T + β(λn+1,…, λm )T⎡⎣ ⎤⎦ = (0,…,1)T .
Теперь достаточно положить α = γ
1 β
0 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
.
b) При доказательстве этого утверждения мы можем заменить ϑ на αϑ для любой
α ∈GL(A) такой, что α ⋅ (An−1 + en ) = An−1 + en . Действуя, как и при доказательстве п. а),
210 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
можем считать, что ϑ = (λ1,…, λn−1,…)T , где столбец (λ1,…, λn−1)T унимодулярен. В этом
случае можно взять ′ϑ = en .
4. Теорема ацикличности. Пусть F ⊂ ε(N ) — симплициальное множество, X ⊂ V и
d — целое число. Тогда справедлива следующая теорема.
Предложение 4.1. Пусть F ⊂ ε(N ) — симплициальная схема, X ⊂ V и d — целое чис-
ло. Кроме того, пусть:
а) ε(X) F d -ациклична;
b) для любого (k −1)-симплекса s = {ϑ1,…,ϑk} ∈F такого, что vi ∉X при i = 1,…, k ,
схема ε(X) Fs (d − k) -ациклична.
Тогда F d -ациклична.
Доказательство. Обозначим через Fi симплициальную подсхему F , симплексом кото-
рой являются те {ϑ0, ...,ϑ p} ∈F , для которых не более i среди элементов ϑ0,…,ϑ p лежат
вне Х. Тогда F0 ⊂ Fs ⊂…, F = Fk и F0 = ε(X) F . Индукцией по k докажем, что Fk
d -ациклична. F0 = ε(X) F d -ациклична по условию. Пусть Fk d -ациклична. Покажем,
что Fk+1 также d -ациклична. Рассмотрим такой k -симплекс s = {ϑ1,…,ϑk} ∈F , что
ϑi ∉X при i = 0,…, k , и положим
st(s) =
S⊂r∈Fk+1
r
st(s) =
S⊂r∈Fk+1
r . Тогда Fk+1 =
=
Fk
s
st(s), кроме того, легко видеть, что:
1) st(s) = ε(X) Fs( )∗ s ;
2) st(s) Fk = ε(X) Fs( )∗ s ;
3) st(s) st( ′s ) ⊂ Fk при s ≠ ′s .
Теперь достаточно проверить сохранение d -ацикличности при присоединении очередной
st(s). При этом присоединение, согласно свойствам 1 – 3, приведет к тому, что получилось на
предыдущем этапе: ε(X) Fs( )∗ s приклеивается относительно ε(X) Fs( )∗ s . Тогда симп-
лициальная схема ε(X) Fs( )∗ s бесконечно ациклична в силу предложения 2.1 (так как
симплициальная схема s -бесконечно ациклична). Cхема s (k − 2)-ациклична ( s ≅ sk−1 —
сфера), и, следовательно, ε(X) Fs( )∗ s (d − k −1) + (k − 2) + 2 = d −1( )-ациклична. Теперь
осталось воспользоваться следующей леммой.
Лемма 4.1. Пусть Φ и Ψ — подсхемы симплициальной схемы F . Предположим, что
Φ и Ψ d -ацикличны, а Φ Ψ (d −1)-ациклична. Тогда Φ Ψ d -ациклична.
Доказательство. Достаточно рассмотреть точную последовательность Майера –Вьето-
риса
…, Hi (F)⊕ Hi F Φ( ) → Hi F Φ( ) →
∂
Hi−1 F Φ( ) →….
Предложение 4.2. В обозначениях предложения 4.1 предположим, что:
а) для любого симплекса s = {ϑ1,…,ϑk} ∈F такого, что ϑi ∉X при i = 0,…, k ,
симплициальная схема ε(X) Fs( ) (d − k +1)-ациклична;
b) существует вершина {y0} ∈F такая, что ε(X) F ⊂ F{y0} .
Тогда симплициальная схема F (d +1)-ациклична.
ПРЕДАЦИКЛИЧНОСТЬ НАД КОЛЬЦАМИ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ ВЫЧЕТОВ 211
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
Доказательство. Сохраним обозначения из предыдущего доказательства. При переходе
от F0 к F1 присоединим прежде всего st({y0}) = ε(X) F{y0}( )∗{y0}. По условию
ε(X) F{y0} = ε(X) F = F0 , так что симплициальная схема F0 st({y0}) совпадает с
st({y0}) и, следовательно, бесконечно ациклична (а значит, и (d +1)-ациклична). На после-
дующих этапах (d +1)-ацикличность сохраняется, как и в доказательстве предложения 4.1.
Теорема 4.1. Пусть А — ассоциативное кольцо с единицей. Тогда симплициальная схе-
ма ε(An )U = Um(An ) (n − r −1)-ациклична.
Доказательство проведем индукцией по n . Если n = 0 , то n − r −1 ≤ −2 и доказывать
нечего. Предположим, что утверждение теоремы справедливо при всех n ≤ N .
Лемма 4.2. Пусть s = {ϑ1,…,ϑk} ∈U . Если n − k ≤ N , то симплициальная схема
ε(An )Us (n − r − k −1) -ациклична.
Доказательство проведем индукцией по n . Утверждение правильно при n − r − k < −1,
тем самым можно считать, что n ≥ r + k ≥ r +1. Справедливость (или несправедливость) дан-
ного утверждения, очевидно, сохраняется при применении к реперу s любого автоморфизма
A∞ , сохраняющего An . Согласно предложению 3.1 а) мы можем таким образом считать, что
n -я координата ϑk равна единице. Запишем ϑ1,…,ϑk−1 в виде ϑi = λiϑk + ′ϑk , где n -я
координата ′ϑi равна нулю. Наконец, положим
ε(An )Us = F , X = An−1 , d = n − r − k −1
и воспользуемся предложением 4.1. Согласно лемме 3.2 е) и с) получим
ε(X) F = ε(An−1)U{ϑ1,…,ϑk } = ε(An−1)U{ϑ1,…,ϑk } .
Эта симплициальная схема d -ациклична либо по предположению индукции, либо по условию
k = 1. Далее, если t = {w1,…, wl} ∈F и wi записать в виде wi = µiϑk + ′wi , где n -я коор-
дината wi равна нулю, то
ε(X) Ft = ε(An−1)U{w1,…,wl ,ϑ1,…,ϑk } = ε(An−1)U{ ′w1,…, ′wl ,ϑv1,…,ϑk−1} .
Эта схема (d − l)-ациклична по предположению индукции. Предложение 4.1 показывает,
что симплициальная схема F d -ациклична.
Лемма 4.3. Если n ≤ N , то симплициальная схема
ε An (An + en+1)( )U (n − r)-
ациклична.
Доказательство. Положим
ε An (An + en+1)( )U = F , X = An, d = n − r −1 и
воспользуемся предложением 4.2. Пусть s = {ϑ1,…,ϑl} ∈F , причем ϑi ∉An . Тогда
ϑi ∈An + en+1 и в силу леммы 3.2 е) и с) получаем ε(X) Fs = ε(An )U{v1,…,vl } =
= ε(An )U{v1−vl ,…,vl−1−vl } . Полученная симплициальная схема (n − r − (l −1) −1 = d − l +1)-
ациклична либо в силу леммы 4.2, либо по условию l = 1. Тем самым выполнено условие
предложения 4.2 а). Условие предложения 4.2 b), очевидно, выполняется, если y0 = en+1.
Таким образом, согласно предложению 4.2 симплициальная схема (F − (d +1) = n − r)-
ациклична.
212 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
Лемма 4.4. Пусть s = {ϑ1,…,ϑl} ∈U . Тогда симплициальная схема ε An( ∩
∩ (An + en+1) ) ∩ Us (n − r − k)-ациклична при n − k ≤ N .
Доказательство проведем индукцией по n . Если n = r , то утверждение нетривиально
только при k = 1 . Можно проверить, что в этом случае
ε An (An + en+1)( )Us ≠ ∅, где
ϑ ∈A∞ . Это следует из предложения 3.1 b). При n ≥ r +1 доказательство дословно совпада-
ет с доказательством леммы 4.2.
Лемма 4.5. Um(AN+1) (N − r) -ациклична.
Доказательство. Положим F = Um(AN+1) , d = N − r , X = AN (AN + en+1) и вос-
пользуемся предложением 4.1. Тогда
ε(X) F = ε AN (AN + en+1)( )Us (N − r − l)-ацик-
лична согласно лемме 4.3. Если s = {ϑ1,…,ϑl} ∈F , то ε(X) Fs =
ε AN (AN + eN+1)( )
Us (N − r − l)-ациклична согласно лемме 4.4. Предложение 4.1 показывает, что F
d -ациклична.
Следствие 4.1. В условиях теоремы 4.1 симплициальная схема
ε An (An + en+1)( )U
(n − r)-ациклична. Кроме того, если s = {ϑ1,…,ϑl} ∈U , то симплициальная схема
ε(An )Us (n − r − k −1) -ациклична, а
ε An (An + en+1)( )Us (n − r − k)-ациклична.
Все утверждения были доказаны по ходу доказательства теоремы 4.1.
5. Обобщенная теорема. Пусть F ⊂ ε V( ) — симплициальная схема. Комплекс C* F( )
является, очевидно, подкомплексом
C* ε V( )( ). Предположим теперь, что ϑ0,…,ϑ p+1{ } ∈
∈ ε ϑ( ), причем все собственные грани симплекса ϑ0,…,ϑ p+1{ } лежат в F , т. е.
ϑ0,…, ϑ̂i ,…,ϑ p+1{ } ∈F при всех i = 0,…, p +1, где знак ϑ̂i означает, что компонента ϑi
опускается. Тогда p -мерная цепь
d ϑ0,…,ϑ p+1( ) = (−1)( )i ϑ0,…, ϑ̂i ,…,ϑ p+1( )
i=0
p+1
∑
лежит в C* F( ) и является, очевидно, циклом. Такие циклы будем называть стандартными
p -мерными циклами симплициальной схемы F и обозначать ϑ0,…,ϑ p⎡⎣ ⎤⎦ .
Согласно [4] для произвольного дедекиндова кольца A группа
Hn−2 Um(An )( ) порожда-
ется стандартными циклами. В данной работе мы рассмотрим кольца, у которых все поля вы-
четов бесконечны, и докажем в этом случае более общий результат. Всюду в данной работе
(если не оговорено противное) кольцо A обозначает нетерово коммутативное кольцо, у кото-
рого все поля вычетов бесконечны. Обозначим через X спектр максимальных идеалов коль-
ца A : X = Max A . Пространство X нетерово в силу нетеровости A . Через d мы обозна-
чим размерность Крулля X : d = dim X [1]. Для произвольной точки x ∈X через k(x) обо-
значим поле вычетов в точке x : k(x) = A/µ x , где µ x — соответствующий максимальный
идеал кольца A . Если a ∈A , то через a(x) обозначим значение a в точке x , т. е. образ a
ПРЕДАЦИКЛИЧНОСТЬ НАД КОЛЬЦАМИ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ ВЫЧЕТОВ 213
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
при канонической проекции A → A/µ x = k(x) ; если ϑ = a1,…, an( )T ∈An , то через
v(x) ∈k(x)n обозначим столбец a1(x),…, an (x)( )T .
Пусть ϑ1,…,ϑk ∈An и x ∈X . Через rank x ϑ1,…,ϑk( ) обозначим ранг (n × k)-мат-
рицы ϑ1(x),…,ϑk (x)( ) над полем k(x) . Положим, кроме того, Fj = ϑ1,…,ϑk( ) = x ∈X :{
rank x ϑ1,…,ϑk( ) < j }. Очевидно, что Fj = ϑ1,…,ϑk( ) = X , если j > min(k, n). Кроме того,
если j ≤ min(k, n), то x ∈Fj = ϑ1,…,ϑk( ) в том и только в том случае, когда все j -миноры
матрицы ϑ1(x),…,ϑk (x)( ) равны нулю, т. е. когда все j -миноры матрицы ϑ1(x)( , …
… , ϑk (x) )∈M n,k (A) равны нулю в точке x . Таким образом, справедлива следующая лемма.
Лемма 5.1. Пусть I — идеал кольца A , порожденный всевозможными j -минорами
матрицы ϑ0,…,ϑk( ). Тогда Fj ϑ1,…,ϑk( ) = V (I ) . В частности, Fj ϑ1,…,ϑk( ) всегда
замкнуто в X .
Теперь, чтобы получить основной результат данной работы, сформулируем и докажем не-
сколько следующих лемм.
Лемма 5.2. Пусть A — произвольное коммутативное кольцо и ϑ1,…,ϑk ∈An . Тогда
следующие условия равносильны:
а) (ϑ1,…,ϑk ) — унимодулярный репер;
b) строки матрицы (ϑ1,…,ϑk ) порождают модуль;
c) Fk ϑ1,…,ϑk( ) = ∅ ;
d) идеал I , порожденный k -минорами матрицы ϑ1,…,ϑk( ), совпадает с A .
Доказательство. Условие b) в точности означает существование таких строк
ω1,…,ω k ∈M1,n (A), что ω i ϑ1,…,ϑk( ) = (0,…,1,…, 0), где 1 находится в i -й строке. Та-
ким образом, условия а) и b) равносильны для любого (не обязательно коммутативного) коль-
ца A . Если (ϑ1,…,ϑk ) — унимодулярный репер, то для любого x ∈X репер
(v1(x),…, vk (x)) также унимодулярен, т. е. строки матрицы (ϑ1(x),…,ϑk (x)) порождают
M1,k k(x)( ) и, следовательно, ранг этой матрицы равен k . Тем самым из условия а) следует
условие с).
Условия с) и d) равносильны согласно лемме 5.1.
Предположим, наконец, что выполнено условие d). Зафиксируем некоторые k строк
матрицы (ϑ1,…,ϑk ). Соответствующую (k × k)-подматрицу обозначим через α , а взаим-
ную к ней матрицу — через α . Формула α ⋅α = det α ⋅1k показывает, что подмодуль, по-
рожденный строками α , содержит det α ⋅ M1, k (A). Таким образом, подмодуль, порожденный
строками ϑ1,…,ϑk , содержит I ⋅ M1,k (A) = M1,k (A).
Лемма 5.3. Предположим, что k < n и заданы k -реперы ϑ 1
i ,… ,ϑ k
i( ), l ≤ i ≤ N , такие,
что при всех i и j ≥ 0 выполнено неравенство codim Fi ϑ1
i ,…,ϑk
i( ) ≥ k +1− j . Тогда
найдется ϑ ∈An такой, что при всех i и j ≥ 0 codim Fi ϑ1
i ,…,ϑk
i( ) ≥ k + 2 − j .
Доказательство. Ограничимся индексами j ≤ k +1. Заметим, что при любом выборе
вектора Fi ϑ1
i ,…,ϑk
i ,ϑ( ) ⊂ Fi ϑ1
i ,…,ϑk
i( ). Поскольку codim Fi v1
i ,…, vk
i( ) ≥ k +1− j , то до-
214 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
статочно подобрать вектор v таким образом, чтобы Fi ϑ1
i ,…,ϑk
i ,ϑ( ) не содержал целиком
ни одной компоненты Fi ϑ1
i ,…,ϑk
i( ) коразмерности k +1− j . Если Y — такая компонента,
то Y ⊄ Fj−1 ϑ1
i ,…,ϑk
i( ), поскольку codim Fj−1 ϑ1
i ,…,ϑk
i( ) ≥ k + 2 − j , и мы можем выбрать
точку y ∈EY − Fj−1 v1
i ,…, vk
i( ). Ранг матрицы v1
i (y),…, vk
i (y)( ) равен j −1. Для того чтобы
y ∉Fj ϑ1
i ,…,ϑk
i ,ϑ( ) , необходимо и достаточно, чтобы вектор ϑ(y) не лежал в линейном
подпространстве ϑ1
i (y),…,ϑk
i (y) размерности j −1 ≤ k < n . Выполнив эту процедуру для
всех i, j ≤ k +1 и всех компонент, получим конечное S ⊂ X и для любой y ∈S конечный
набор собственных линейных подпространств в k(y)n таких, что если ϑ(y) не лежит в соот-
ветствующих подпространствах при всех y ∈S , то вектор k(y) удовлетворяет требованиям
леммы. Поскольку поле бесконечно, то объединение конечного числа собственных подпро-
странств k(y)n не может покрыть все пространство k(y)n и, значит, найдется ϑ y ∈k(y)n , не
лежащий в соответствующих подпространствах. Теперь осталось заметить, что согласно ки-
тайской теореме об остатках найдется такой ϑ ∈An , что ϑ(y) = ϑ y при всех y ∈S.
Лемма 5.4. Предположим, что k < n и задано конечное множество унимодулярных
k -реперов ϑ1
i ,…,ϑk
i( ). Для любого r = 1,…, n − k можно построить векторы ωn ,…,ωr
такие, что codim Fj ϑ1
i ,…,ϑk
i , ωn ,…,ωr( ) ≥ n +1− j при 1 ≤ j ≤ k + r .
Доказательство. Применив несколько раз лемму 5.3, построим такие векторы
ω i ,…,ωn−k , что codim Fj ϑ1
i ,…,ϑk
i , ωn ,…,ωr( ) ≥ n +1− j при всех i и j . Это доказы-
вает справедливость данного утверждения при r = n − k . Воспользуемся теперь обратной ин-
дукцией по r . Пусть codim Fj ϑ1
i ,…,ϑk
i , ωn ,…,ωr( ) ≥ n +1− j при l ≤ j ≤ k + r +1. Пока-
жем, что можно подобрать такие ai ,…, ar ∈A, что ω1
l = ω i , … , ai , ωr+1, … , ωr
l =
= ωr + arωr+1 удовлетворяют требованиям леммы. Заметим, что при любом ai справедливо
включение
Fj ϑ1
i ,…,ϑk
i , ωn ,…,ωr( ) ⊂ Fj−1 ϑ1
i ,…,ϑk
i , ωn ,…,ωr+1( ),
и так как codim Fj+1 ϑ1
i ,…,ϑk
i , ωn ,…,ωr( ) ≥ n − j , достаточно подобрать ai таким обра-
зом, чтобы при l ≤ j ≤ k + r +1 Fj ϑ1
i ,…,ϑk
i , ω1
i ,…,ωr
i( ) не содержало ни одной компоненты
Fj+1 ϑ1
i ,…,ϑk
i , ω i ,…,ωr+1( ) коразмерности n − j . Пусть Y — такая компонента. Посколь-
ку codim Fj+1 ϑ1
i ,…,ϑk
i , ωn ,…,ωr+1( ) ≥ n +1− j , то Y ⊄ Fj ϑ1
i ,…,ϑk
i , ω i ,…,ωr+1( ) . Вы-
берем точку y ∈Y − Fj ϑ1
i ,…,ϑk
i , ω1,…,ωr+1( ), тогда dimk(y) ϑ1
i (y) ,…,ϑk
i (y) ,
ω1(y),…,ωr+1(y) = j и необходимо подобрать ai так, чтобы
dimk(y) ϑ1
i (y),…,ϑk
i (y), ω1(y) + a1(y)ωr+1(y),…,ωr (y) + ar (y)ωr+1(y) = j .
ПРЕДАЦИКЛИЧНОСТЬ НАД КОЛЬЦАМИ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ ВЫЧЕТОВ 215
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
Действуя так же, как при доказательстве леммы 5.3, видим, что достаточно установить
следующую лемму.
Лемма 5.5. Пусть k — бесконечное поле и задано конечное число k + r +1 реперов
ϑ1
i ,…,ϑk
i , ω1
i ,…,ωr+1
i( ) , где k < n , r < n − k , причем векторы ϑ1
i ,…,ϑk
i линейно не-
зависимы, а векторы ϑ1
i ,…,ϑk
i , ω1
i ,…,ωr+1
i линейно зависимы. Тогда найдутся такие
λ1,…, λr ∈k , что
ϑ1
i ,…,ϑk
i , ω1
i + λ1ωr+1
i ,…,ωr
i + λrωr+1
i = ϑ1
i ,…,ϑk
i , ω1
i ,…,ω k+1
i
при всех i .
Доказательство. Зафиксируем i и запишем соотношение линейной зависимости
θ1
iϑ1
i +…+ θk
i ϑk
i + σ1
iω1
i +…+ σr+1
i ωr+1
i = 0 . В силу линейной независимости ϑ1
i ,…,ϑk
i не все
коэффициенты σ равны нулю. При произвольном выборе λ имеем
ϑ1
i ,…,ϑk
i , ω1
i + λ1ωr+1
i ,…,ωr
i + λrωr+1
i ú
ú θ1
iϑ1
i +…+ θk
i ϑk
i + σ1
i (ω1
i + λ1ω k+1
i ) +…+ σr
i (ωr
i + λrωr+1
i ) =
= σ1
iλ1 +…+ σr
iλr − σr+1
i( ) ⋅ωr+1
i .
Таким образом, достаточно подобрать λ так, чтобы они не обращали в нуль ни одну из
линейных форм σ1
iλ1 +…+ σr
iλr − σr+1
i . Существование таких λ очевидно вследствие бес-
конечности поля k .
Следствие 5.1. Пусть k ≤ n − d −1 и заданы унимодулярные реперы ϑ1
i ,…,ϑk
i( ). То-
гда найдется такой вектор ω ∈An, что все реперы ϑ1
i ,…,ϑk
i , ω( ) унимодулярны.
Доказательство. Применив лемму 5.4 с r = 1, найдем вектор ω ∈An такой, что
Fj ϑ1
i ,…,ϑk
i , ω( ) ≥ n +1− j при j ≤ k +1. В частности, codim Fk+1 ϑ1
i ,…,ϑk
i ,ω( ) ≥
≥ n − k ≥ d +1 и, значит, Fk+1 ϑ1
i ,…,ϑk
i ,ω( ) = ∅ , т. е. репер (ϑ1
i ,…,ϑk
i ,ω) унимодулярен.
Теорема 5.1. Симплициальная схема Um(An ) (n − d − 2)-ациклична, группа
Hn−d−1(Um(An )) порождается стандартными циклами.
Доказательство. То, что симплициальная схема Um(An ) (n − d − 2)-ациклична, следует
из теоремы 4.1, но в рассматриваемом случае можно дать более простое доказательство.
Пусть r ≤ n − d − 2 и ni ϑ0
i ,…,ϑr
i( )∑ — r -мерный цикл. Согласно следствию 5.1 сущест-
вует такое ω ∈An , что ω,ϑ1
i ,…,ϑr
i{ } ∈Um(An ) при любом i . Осталось заметить, что
ni ϑ0
i ,…,ϑr
i( )∑ = d ni ω,ϑ0
i ,…,ϑr
i( )∑( ) .
216 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
Рассмотрим теперь произвольный (n − d −1)-мерный цикл z = ni ϑ0
i ,…,ϑn−d−2
i( )∑ . Со-
гласно следствию 5.1 можно найти такой ω ∈An , что
ω,ϑ0
i ,…,
ϑ j
i ,…,
ϑn−d−2
i{ } ∈Um(An )
при любом i и j = 0,…, n − d − 2 . Тем самым ω,ϑ0
i ,…,ϑn−d−2
i⎡⎣ ⎤⎦ — стандартные циклы и
d ni∑ ω,ϑ0
i ,…,ϑn−d−2
i( )( ) = ni ω,ϑ0
i ,…,ϑn−d−2
i⎡⎣ ⎤⎦∑ .
Приведенные выше рассуждения без изменений переносятся на комплекс, рассмотренный
ван дер Калленом [6]. Комплекс ван дер Каллена K* Um(An )( ) является подкомплексом
C* Um(An )( ) , где K p ⊂ C p — свободная абелева группа, порожденная такими последова-
тельностями ϑ0,…,ϑ p( ) , что ϑi попарно различны и ϑ0,…,ϑ p{ } ∈Um(An ).
Теорема 5.2. Комплекс
K* Um(An )( ) (n − d − 2)-ацикличен, группа
Hn−d−2 K* Um(An )( )( )
порождается стандартными циклами, т. е. циклами вида
ϑ0,…,ϑn−d−1[ ] = d ϑ0,…,ϑn−d−1( ),
где vi попарно различны и ϑ0,…,ϑn−d−1( ) — унимодулярный репер для всех i =
= 0,…, n − d − 1.
Литература
1. Басс Х. Алгебраическая К-теория. – М.: Мир, 1973.
2. Вассерштейн Л. Н. Стабильный ранг колец и размерность топологических пространств // Функцион. анализ и
его прил. – 1971. – 5, № 2. – С. 17 – 27.
3. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. – М.: Мир, 1976.
4. Зайналов Б. Р. Вычисление образующих гомологий симплициальных схем унимодулярных реперов над деде-
киндовым кольцом // Материалы респ. науч. конф. ,,Актуальные проблемы математического анализа”
(9 – 10 ноября 2012 г.). – Самарканд: Самарканд. гос. ун-т, 2012. – Ч. 1. – С. 86 – 87.
5. Зайналов Б. Р., Cуслин А. А. Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 11. – С. 1464 – 1476.
6. Van der Kallen W. Homology stability for linear groups // Invent. Math. – 1980. – № 3. – P. 269 – 295.
7. Suslin A. A. Stability in algebraic K -theory // Lect. Notes Math. – 1982. – 966. – P. 304 – 334.
Получено 06.04.15
|
| id | umjimathkievua-article-1834 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:36Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/13/b04461fda1d45f936f0745034de20313.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18342019-12-05T09:29:16Z Preacyclicity over the rings with infinite fields of residues Предацикличность над кольцами с бесконечными полями вычетов Zainalov, B. R. Зайналов, Б. Р. Зайналов, Б. Р. We consider a simplicial scheme, its geometric realization, and the required properties of the simplicial scheme of unimodal frames and prove both a sufficiently strong theorem on acyclicity for the simplicial scheme of unimodal frames and a theorem stating that the first nontrivial group of homologies is generated by standard cycles over the rings with infinite fields of residues. Розглядаються симпліціальна схема, її геометрична реалізація та необхідні властивості симпліціальних схем унімодулярних реперів. Доведено досить сильну теорему ациклічності для симпліціальних схем унімодулярних реперів, а також теорему про те, що перша нетривіальна група гомологій породжується стандартними циклами над кільцями з нескінченними полями лишків. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1834 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 2 (2016); 202-216 Український математичний журнал; Том 68 № 2 (2016); 202-216 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1834/816 Copyright (c) 2016 Zainalov B. R. |
| spellingShingle | Zainalov, B. R. Зайналов, Б. Р. Зайналов, Б. Р. Preacyclicity over the rings with infinite fields of residues |
| title | Preacyclicity over the rings with infinite fields of residues |
| title_alt | Предацикличность над кольцами с бесконечными полями вычетов |
| title_full | Preacyclicity over the rings with infinite fields of residues |
| title_fullStr | Preacyclicity over the rings with infinite fields of residues |
| title_full_unstemmed | Preacyclicity over the rings with infinite fields of residues |
| title_short | Preacyclicity over the rings with infinite fields of residues |
| title_sort | preacyclicity over the rings with infinite fields of residues |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1834 |
| work_keys_str_mv | AT zainalovbr preacyclicityovertheringswithinfinitefieldsofresidues AT zajnalovbr preacyclicityovertheringswithinfinitefieldsofresidues AT zajnalovbr preacyclicityovertheringswithinfinitefieldsofresidues AT zainalovbr predacikličnostʹnadkolʹcamisbeskonečnymipolâmivyčetov AT zajnalovbr predacikličnostʹnadkolʹcamisbeskonečnymipolâmivyčetov AT zajnalovbr predacikličnostʹnadkolʹcamisbeskonečnymipolâmivyčetov |