Topological conjugate piecewise linear unimodal mappings of an interval into itself
Let $f, g : [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ be a pair of continuous piecewise linear unimodal mappings and let $f$ be defined as follows: $f(x) = 2x$ for $x \leq 1/2$ and $f(x) = 2 - 2x$ for $x > 1/2$. Also let $h : [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ be a piecewise differentiable homeomorphism such tha...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1835 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507704349425664 |
|---|---|
| author | Kirichenko, V. V. Plakhotnyk, M. V. Кириченко, В. В. Плахотник, М. В. |
| author_facet | Kirichenko, V. V. Plakhotnyk, M. V. Кириченко, В. В. Плахотник, М. В. |
| author_sort | Kirichenko, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:16Z |
| description | Let $f, g : [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ be a pair of continuous piecewise linear unimodal mappings and let $f$ be defined as follows:
$f(x) = 2x$ for $x \leq 1/2$ and $f(x) = 2 - 2x$ for $x > 1/2$. Also let $h : [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ be a piecewise differentiable
homeomorphism such that $fh = hg$. Then $h$ is piecewise linear and the mapping $f$ completely determines $g$ and $h$, together with the ascending or descending monotone parts of $g$.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. В. Кириченко, М. В. Плахотник (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ТОПОЛОГIЧНО СПРЯЖЕНI КУСКОВО-ЛIНIЙНI
УНIМОДАЛЬНI ВIДОБРАЖЕННЯ IНТЕРВАЛУ В СЕБЕ
Let f, g : [0, 1] \rightarrow [0, 1] be a pair of continuous piecewise linear unimodal mappings and let f be defined as follows:
f(x) = 2x for x \leq 1/2 and f(x) = 2 - 2x for x > 1/2. Also let h : [0, 1] \rightarrow [0, 1] be a piecewise differentiable
homeomorphism such that fh = hg. Then h is piecewise linear and the mapping f completely determines g and h,
together with the ascending or descending monotone parts of g.
Пусть f, g : [0, 1] \rightarrow [0, 1] — пара непрерывных кусочно-линейных унимодальных отображений, причем f опре-
деляется следующим образом: f(x) = 2x при x \leq 1/2 и f(x) = 2 - 2x при x > 1/2. Пусть fh = hg для
кусочно-непрерывного дифференцируемого гомеоморфизма h : [0, 1] \rightarrow [0, 1]. Тогда h кусочно-линейный, причем
отображение f, а также возрастающая и убывающая монотонные части отображения g полностью определяют g
и h.
1. Вступ. Характеризуючи динамiчну систему, Анрi Пуанкаре звернув увагу на вивчення топо-
логiчних та геометричних властивостей орбiт її точок, назвавши цi властивостi важливiшими за
емпiричнi деталi розв’язку динамiчної системи в конкретнiй системi координат (див. [3, 7]). Пiд
властивостями, незалежними вiд системи координат, вiн мав на увазi структуру перiодичних
орбiт, кiлькiсть i стiйкiсть перiодичних точок. Питання про те, чи можна вважати двi динамiчнi
системи однаковими, зводиться до питання про їх топологiчну спряженiсть.
Вiдображення f та g iнтервалу [0, 1] в себе називаються топологiчно спряженими, якщо
iснує гомеоморфiзм h : [0, 1] \rightarrow [0, 1], для якого комутує дiаграма
[0, 1]
f - - - - \rightarrow [0, 1]
h
\downarrow \downarrow h
[0, 1]
g - - - - \rightarrow [0, 1] ,
тобто виконується рiвнiсть
h(f(x)) = g(h(x)) (1)
для будь-якого x \in [0, 1].
Далi лiтерою f будемо позначати вiдображення
f(x) =
\left\{ 2x, якщо 0 \leq x < 1/2,
2 - 2x, якщо 1/2 \leq x \leq 1.
(2)
Ми розглядаємо вiдображення f та кусково-лiнiйне унiмодальне вiдображення g, яке вiдобра-
жає iнтервал [0, 1] в себе.
Нагадаємо, що вiдображення g : [0, 1] \rightarrow [0, 1] iнтервалу [0, 1] називається унiмодальним
(одновершинним), якщо воно зростає на деякому промiжку [0, v] i спадає на промiжку [v, 1],
причому на кожному з вказаних двох промiжкiв вiдображення g є бiєкцiєю цього промiжку
та [0, 1].
c\bigcirc В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2 217
218 В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
Топологiчна спряженiсть неперервних вiдображень iнтервалу в себе вивчалась також у [6],
де описано класи топологiчно спряжених вiдображень, напiвгрупа iтерацiй яких є скiнченною
групою.
Про вiдображення f, задане формулою (2), вiдомо, що воно топологiчно спряжене з так
званим логiстичним вiдображенням \widetilde f(x) = 4x(1 - x). Вiдповiдний гомеоморфiзм [5, с. 14]
має вигляд \widetilde h(x) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\Bigl( \pi x
2
\Bigr)
. Вивчення логiстичних вiдображень, тобто вiдображень вигляду\widetilde f\lambda (x) = \lambda x(1 - x), є вiдомою задачею теорiї динамiчних систем (див., наприклад, [2, 5]) та
походить з математичного моделювання взаємодiї двох популяцiй.
У статтi [7] розглянуто топологiчну спряженiсть вiдображення f, заданого формулою (2),
та вiдображення fv iнтервалу [0, 1] в себе, заданого формулами
fv(x) =
\left\{
x
v
, якщо x \leq v,
1 - x
1 - v
, якщо x > v,
зокрема доведено топологiчну спряженiсть вiдображень f i fv для кожного v \in (0, 1), а також
вивчено питання про диференцiйовнiсть спрягаючого гомеоморфiзму hv. За теоремою Лебега
(див. [1] або [4, с. 15]) похiдна спрягаючого гомеоморфiзму hv iснує в кожнiй точцi iнтервалу
[0, 1], за винятком, можливо, множини мiри 0. Водночас у [7] доведено, що при кожному v \not = 1/2
похiдна гомеоморфiзму hv дорiвнює 0 в кожнiй точцi, де вона скiнченна.
Стаття складається з чотирьох пунктiв. У п. 3 ми доведемо таку теорему.
Теорема 1. Нехай вiдображення f, задане формулою (2), топологiчно спряжене з кусково-
лiнiйним унiмодальним вiдображенням g, що вiдображає iнтервал [0, 1] у себе, та h — гомео-
морфiзм, для якого справджується рiвнiсть (1). Якщо гомеоморфiзм h є неперервно диферен-
цiйовним на промiжку (\alpha , \beta ) для деяких 0 \leq \alpha < \beta \leq 1, то вiн кусково-лiнiйний.
Завдяки цiй теоремi задача опису кусково-лiнiйних унiмодальних вiдображень g iнтервалу
[0, 1] в себе, якi спряженi з вiдображенням f вигляду (2), зводиться до опису тих вiдображень,
що спряженi з f, i вiдповiдний гомеоморфiзм є кусково-лiнiйним.
Наступна лема є прикладом обмежень, якi необхiдно накласти на вiдображення g для того,
щоб спрягаючий гомеоморфiзм виявився кусково-лiнiйним.
Лема 1. Нехай неперервне кусково-лiнiйне вiдображення \widetilde f вiдображає iнтервал [0, 1] в
себе, причому \widetilde f(0) = 0, та зростаючий кусково-лiнiйний гомеоморфiзм h iнтервалу [0, 1] в
себе задає топологiчну спряженiсть вiдображень \widetilde f та g. Тодi g(0) = 0 та g\prime (0) = f \prime (0).
У п. 4 ми доведемо двi теореми, з яких випливає, що лема 1 в деякому сенсi вичерпує
перелiк обмежень, якi потрiбно накласти на кусково-лiнiйне унiмодальне вiдображення g для
того, щоб воно було топологiчно спряженим з вiдображенням f вигляду (2) з допомогою
кусково-лiнiйного спрягаючого гомеоморфiзму.
Теорема 2. Для довiльного v \in (0, 1) та довiльного зростаючого кусково-лiнiйного вi-
дображення g : [0, v] \rightarrow [0, 1], яке задовольняє умови g(0) = 0, g(v) = 1, g\prime (0) = 2, iснує єдине
продовження \widetilde g : [0, 1] \rightarrow [0, 1], яке топологiчно спряжене з вiдображенням (2) з допомогою
кусково-лiнiйного гомеоморфiзму.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ТОПОЛОГIЧНО СПРЯЖЕНI КУСКОВО-ЛIНIЙНI УНIМОДАЛЬНI ВIДОБРАЖЕННЯ IНТЕРВАЛУ В СЕБЕ 219
Теорема 3. Для довiльного v \in (0, 1) та довiльного спадного кусково-лiнiйного вiдображен-
ня g : [v, 1] \mapsto \rightarrow [0, 1], яке задовольняє умови g(v) = 1, g(1) = 0, (g2)\prime (x0) = 4, де x0 — нерухома
точка вiдображення g, iснує i до того ж єдине продовження \widetilde g цього вiдображення на весь
промiжок [0, 1], при якому отримане вiдображення \widetilde g топологiчно спряжене з вiдображенням
f з допомогою кусково-лiнiйного гомеоморфiзму.
2. Допомiжнi твердження. З того, що кусково-лiнiйне вiдображення f топологiчно спря-
жене з вiдображенням g i для гомеоморфiзму h виконується рiвнiсть (1), випливає ряд вла-
стивостей як вiдображення g, так i гомеоморфiзму h. Цi властивостi знадобляться нам для
подальшого викладу.
Лема 2. Гомеоморфiзм h, який визначає топологiчну спряженiсть вiдображень f вигля-
ду (2) та кусково-лiнiйного унiмодального вiдображення g, монотонно зростає, причому для
нього виконуються рiвностi h(0) = 0, h(1/2) = v, h(1) = 1.
Доведення. Гомеоморфiзм h iнтервалу [0, 1] в себе є неперервним оборотним вiдображен-
ням. Тому це — неперервне вiдображення, для якого виконується одна з двох пар умов:
h(0) = 0, h(1) = 1
або
h(0) = 1, h(1) = 0.
Друга пара умов не може мати мiсця. Справдi, розглянемо рiвнiсть (1) для x = 0, тобто
h(f(1/2)) = g(h(1/2)), з якої видно, що h(0) — нерухома точка вiдображення g, проте точка 1
не є нерухомою точкою вiдображення g.
Тепер розглянемо рiвнiсть (1) для x = 1/2, тобто h(f(1/2)) = h(h(1/2)), з якої бачимо, що
g(h(1/2)) = 1. Це означає, що h(1/2) = v.
Лему 2 доведено.
Зауваження 1. Рiвняння (1) можна записати у виглядi
h(fl(x)) = gl(h(x)) при x \leq 1/2,
h(fr(x)) = gl(h(x)) при x \geq 1/2,
де fl, gl — зростаючi, fr, gr — спаднi гiлки монотонностi вiдображень f та g.
У данiй роботi ми розглядаємо кусково-лiнiйне унiмодальне вiдображення g, яке тополо-
гiчно спряжене з вiдображенням f вигляду (2). Водночас питання опису всiх унiмодальних,
не обов’язково кусково-лiнiйних вiдображень g, якi топологiчно спряженi з f, залишається
вiдкритим.
Наведемо деякi властивостi кусково-лiнiйного унiмодального вiдображення g, котрi випли-
вають з того, що g топологiчно спряжене з вiдображенням f вигляду (2).
Лема 3. Вiдображення g має лише двi нерухомi точки, одна з яких — точка 0, а iнша
належить промiжку (v, 1).
Доведення. Iснування нерухомих точок, згаданих у лемi, є наслiдком побудови вiдображен-
ня g (щодо нерухомої точки) та теореми про промiжне значення неперервної функцiї (щодо
нерухомої точки на промiжку (v, 1)).
Суть леми полягає в тому, що iнших нерухомих точок вiдображення g не має.
Вiдсутнiсть iнших нерухомих точок на промiжку (v, 1) випливає з того, що кожна нерухома
точка вiдображення g є точкою перетину графiка цього вiдображення з прямою y = x, втiм на
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
220 В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
промiжку (v, 1) вiдображення g спадає i, отже, не може мати бiльше нiж одну точку перетину
з графiком зростаючої функцiї y = x.
Припустимо тепер, що вiдображення g має нерухому точку x0 на промiжку (0, v). Викори-
стовуючи рiвнiсть (1) для x = h - 1(x0), отримуємо, що h - 1(x0) — нерухома точка вiдображення
fl на промiжку (0, 1/2), проте це вiдображення не має нерухомих точок на зазначеному про-
мiжку.
Лему 3 доведено.
Наслiдок 1. Траєкторiя довiльної точки x \in (0, 1) при дiї вiдображення g - 1
l прямує до 0.
3. Доведення теореми 1. Спочатку сформулюємо допомiжнi твердження.
Лема 4. Якщо гомеоморфiзм h кусково-неперервно диференцiйовний на деякому промiж-
ку (\alpha , \beta ) \subset (0, 1) та визначає топологiчну спряженiсть вiдображення f з кусково-лiнiйним
вiдображенням g, то iснують вiдкритi iнтервали A1, . . . , As, якi не перетинаються, причому
s\bigcup
i=1
Ai = [0, 1], i на кожному з цих iнтервалiв вiдображення h є неперервно диференцiйовним.
Лема 5. Якщо гомеоморфiзм h кусково-неперервно диференцiйовний на деякому промiжку
(\alpha , \beta ) \subset (0, 1) та A1, . . . , As — вiдкритi iнтервали, iснування яких гарантується лемою 4,
то для кожного i, 1 \leq i \leq s, iснує ki \in \BbbR таке, що для кожного x \in Ai вiдображення h
диференцiйовне в точцi f(x), причому має мiсце рiвнiсть
h\prime (f(x)) = kih
\prime (x).
Лема 6. Нехай x\ast — перiодична точка вiдображення f з перiодом n, орбiта якої належить
множинi
s\bigcup
i=1
Ai, причому h\prime (x\ast ) \not = 0, xi = f i(x\ast ), 1 \leq i < n, — траєкторiя точки x\ast . Нехай
Ac0 , Ac1 , . . . , Acn - 1 — множини з леми 4, яким належать точки траєкторiї (тобто xi \in Aci).
Тодi виконується рiвнiсть kc0 \cdot kc1 \cdot . . . \cdot kcn - 1 = 1, де числа kc0 , kc1 , . . . , kcn - 1 будуються за
iнтервалами Ac0 , Ac1 , . . . , Acn - 1 так, як у лемi 5.
Лема 7. Iснує iнтервал [a, b] \subset [0, 1], на якому похiдна h\prime вiдображення h є сталою.
Доведення теореми 1. За лемою 7 iснує iнтервал [a, b] \subset [0, 1], на якому похiдна вiдображен-
ня h є сталою. Позначимо h\prime (x) = p1 для кожного x \in [a, b]. Не обмежуючи загальностi можемо
вважати, що [a, b] повнiстю мiститься в деякому iнтервалi Ai, 1 \leq i \leq s, де \{ Ai\} визначено в
лемi 4. Згiдно з лемою 5, iснує ki \in \BbbR , залежне лише вiд i, таке, що для кожного x \in Ai справ-
джується рiвнiсть h\prime (f(x)) = kif(x). Оскiльки вiдображення f має кутовi коефiцiєнти 2 або - 2
на кожному з iнтервалiв своєї лiнiйностi, то \{ f(x)| x \in [a, b]\} має мiру \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 2(b - a), 1\} . Тепер
множину f([a, b]) можна записати у виглядi об’єднання f([a, b]) =
\biggl(
s\bigcup
i=1
[Ai \cap f([a, b])]
\biggr)
\cup C,
де C — скiнченна множина точок.
Теорему 1 доведено.
Лема 8. Нехай гомеоморфiзм h кусково-неперервно диференцiйовний на деякому промiжку
(\alpha , \beta ) \subset (0, 1) та визначає топологiчну спряженiсть вiдображення f вигляду (2) з кусково-
лiнiйним унiмодальним вiдображенням g. Тодi iснують числа \alpha = \alpha 1 < \alpha 2 < . . . < \alpha t = \beta
такi, що для кожного p \in 1, . . . , t - 1 iснує число kp таке, що h\prime (w) = kph
\prime (x) для всiх
x \in (\alpha p, \alpha p+1), де w = f(x).
Доведення. Для кожного x \in (\alpha , \beta ) диференцiйовнiсть вiдображення h у точцi x означає,
що для кожної послiдовностi \{ xn\} такої, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty xn = x, причому xn \not = x для всiх n, iснує
границя \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
h(x) - h(xn)
x - xn
. Розглянемо рiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ТОПОЛОГIЧНО СПРЯЖЕНI КУСКОВО-ЛIНIЙНI УНIМОДАЛЬНI ВIДОБРАЖЕННЯ IНТЕРВАЛУ В СЕБЕ 221
h(f(x)) = g(h(x)),
h(f(xn)) = g(h(xn)).
(3)
Розiб’ємо при необхiдностi iнтервал (\alpha , \beta ) на кiлька пiдiнтервалiв (\alpha 1, \alpha 2), (\alpha 2, \alpha 3), . . .
. . . , (\alpha t - 1, \alpha t), де \alpha t = \beta , таких, що для кожного p \in 1, . . . , t - 1 вiдображення g не має
точок зламу на промiжку (h(\alpha p), h(\alpha p+1)) та 1/2 \not \in (\alpha p, \alpha p+1). Для кожного p \in 1, . . . , t - 1
позначимо через ap та bp такi числа, що g(x) = apx + bp при x \in (h(\alpha p), h(\alpha p+1)). Нехай
вiдображення f при цих же x визначається рiвнiстю f(x) = ax + b, де ax + b \equiv 2x або
ax + b \equiv - 2x + 2. Додатково припустимо, що число x \in (\alpha , \beta ), зафiксоване на початку
доведення леми, не збiгається з жодним iз чисел \alpha 2, . . . , \alpha t - 1, тобто x \in (\alpha p, \alpha p+1) при деякому
p = 1, . . . , t - 1. Тодi для зафiксованої вище послiдовностi xn iснує таке N \in \BbbN , що при всiх
n > N має мiсце включення xn \in (\alpha p, \alpha p+1). Для цих n пару функцiональних рiвнянь (3)
можна записати у виглядi пари комутативних дiаграм
x
f - - - - \rightarrow ax+ b
h
\downarrow \downarrow h
h(x)
g - - - - \rightarrow aph(x) + bp
та
xn
f - - - - \rightarrow axn + b
h
\downarrow \downarrow h
h(xn)
g - - - - \rightarrow aph(xn) + bp .
(4)
Не обмежуючи загальностi будемо вважати, що послiдовнiсть \{ xn\} така, що для всiх n має
мiсце включення xn \in (\alpha p, \alpha p+1). Розглянемо довiльне число w = ax + b та послiдовнiсть
wn = axn + bn. Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty xn = x, то \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty wn = w. Далi, оскiльки xn \not = x для всiх
n, то wn \not = w для всiх n. Доведемо, що iснує границя \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
h(w) - h(wn)
w - wn
. З комутативностi
дiаграм (4) випливає, що h(w) = aph(x) + bp та h(wn) = aph(xn) + bp. Тодi
h(w) - h(wn)
w - wn
=
ap(h(x) - h(xn))
a(x - xn)
,
що доводить лему, якщо взяти kp =
ap
a
.
Доведення леми 5. Розiб’ємо iнтервал (\alpha , \beta ) на пiдiнтервали (\alpha 1, \alpha 2), (\alpha 2, \alpha 3), . . .
. . . , (\alpha t - 1, \alpha t), iснування яких гарантується лемою 8. Для кожного p вiдображення h дифе-
ренцiйовне на промiжку f(\alpha p, \alpha p+1), i можемо повторити на ньому мiркування з доведення
леми 8. Водночас, враховуючи, що вiдображення f є розтягуючим iз коефiцiєнтом 2, i засто-
совуючи наведенi мiркування скiнченну кiлькiсть разiв (яку позначимо k), отримуємо рiвнiсть
fk(\alpha , \beta ) = (0, 1). Крiм того, на кожному кроцi ми розбиваємо кожен з отриманих iнтерва-
лiв на скiнченну кiлькiсть пiдiнтервалiв, кожен з яких є одним з iнтервалiв шуканого набору
A1, . . . , As. Скiнченнiсть крокiв разом зi скiнченнiстю iнтервалiв розбиття на кожному кроцi
доводять лему.
Для подальших мiркувань нам потрiбнi два зауваження.
Зауваження 2. Множина перiодичних точок вiдображення f є щiльною у множинi [0, 1].
Дiйсно, графiк n-ї iтерацiї fn складається з 2n вiдрiзкiв, кожен з яких має кутовий коефiцiєнт
2n або - 2n i вiдображає деякий пiдiнтервал iнтервалу [0, 1] у множину [0, 1]. Довжина кожного
з iнтервалiв, якi вiдображаються в [0, 1] при дiї вiдображення fn, дорiвнює
1
2n
i прямує до 0
при зростаннi n. При цьому кожен такий iнтервал мiстить нерухому точку вiдображення fn, а
отже, деяку перiодичну точку вiдображення f.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
222 В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
Зауваження 3. Серед чисел k1, . . . , kt, визначених у лемi 5, жодне не дорiвнює нулю.
Це випливає з того, що якщо для деякого i має мiсце рiвнiсть ki = 0, то на множинi f(Ai)
вiдображення h є сталим. Останнє суперечить тому, що h — гомеоморфiзм.
Оскiльки множина [0, 1]\setminus \scrA є скiнченною, то з зауваження 2 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 2. Множина перiодичних точок вiдображення f, траєкторiї яких мiстяться у
множинi \scrA =
s\bigcup
i=1
Ai, щiльна в iнтервалi [0, 1].
Лема 9. Нехай x\ast — така перiодична точка вiдображення f, що її траєкторiя лежить у
множинi \scrA =
s\bigcup
i=1
Ai, причому h\prime (x\ast ) \not = 0. Тодi в деякому околi цiєї точки похiдна h\prime вiдобра-
ження h є сталою.
Доведення. Нехай n — перiод точки x\ast . Позначимо через xi елементи траєкторiї точки x\ast ,
тобто xi = f i(x\ast ), причому x0 = x\ast = xn. Оскiльки траєкторiя точки x\ast лежить в \scrA , то для
кожного i похiдна h\prime (xi) iснує. З леми 5 та зауваження 3 випливає, що для кожного i виконується
нерiвнiсть h\prime (xi) \not = 0. Нехай Ac0 , Ac1 , . . . , Acn - 1 — множини з леми 4, яким належать точки
траєкторiї (тобто xi \in Aci). Тодi з леми 5 маємо h\prime (x\ast ) = kc0 \cdot kc1 \cdot . . . \cdot kcn - 1h
\prime (x\ast ). З огляду на
те, що h\prime (x\ast ) \not = 0, отримуємо
kc0 \cdot kc1 \cdot . . . \cdot kcn - 1 = 1. (5)
Оскiльки множина Ac0 є вiдкритою та x\ast \in Ac0 , то iснує \varepsilon > 0 таке, що (x\ast - \varepsilon , x\ast +\varepsilon ) \subset Ac0 .
З того, що траєкторiя точки x\ast мiститься в \scrA , випливає, що не обмежуючи загальностi можемо
вважати, що першi n точок траєкторiї кожної точки iнтервалу (x\ast - \varepsilon , x\ast + \varepsilon ) також належать
\scrA , причому для кожної точки \widetilde x \in (x\ast - \varepsilon , x\ast + \varepsilon ) та для кожного i, 1 \leq i \leq n, має мiсце
включення f i(\widetilde x) \in Aci . Розглянемо вiдображення fn на iнтервалi (x\ast - \varepsilon , x\ast +\varepsilon ). Враховуючи,
що це вiдображення є кусково-лiнiйним, не обмежуючи загальностi, тобто зменшивши при
необхiдностi додатне число \varepsilon , можемо вважати, що вiдображення fn на iнтервалi (x\ast - \varepsilon , x\ast +\varepsilon )
є лiнiйним, причому fn(x\ast ) = x\ast . Вiдображення fn у згаданому околi точки x\ast має вигляд
fn(x) = 2n(x - x\ast ) або fn(x) = - 2n(x - x\ast ).
Припустимо, що fn(x) = 2n(x - x\ast ). Розглянемо довiльну точку \widetilde x \in (x\ast - \varepsilon , x\ast ) та послi-
довнiсть прообразiв цiєї точки \widetilde xi, задану рiвнiстю \widetilde x0 = x\ast та \widetilde xi+1 = (fn) - 1(\widetilde xi), де пiд (fn) - 1
мається на увазi вiдображення, обернене до вiдображення fn на iнтервалi (x\ast - \varepsilon , x\ast + \varepsilon ).
Оскiльки похiдна вiдображення fn на зазначеному iнтервалi бiльша за 1, то послiдовнiсть \widetilde xi
зростає i прямує до x\ast . З рiвностi (5) та леми 5 випливає, що для кожного i \geq 0 виконується
рiвнiсть h\prime (\widetilde xi) = h\prime (\widetilde xi - 1). Оскiльки вiдображення h є неперервно диференцiйовним, то з того,
що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}i\rightarrow \infty \widetilde xi = x\ast , випливає, що для кожного i \geq 0 має мiсце рiвнiсть h\prime (\widetilde xi) = h\prime (x\ast ), зокрема
h\prime (\widetilde x) = h\prime (x\ast ). З довiльностi точки \widetilde x \in (x\ast - \varepsilon , x\ast ) маємо, що на iнтервалi (x\ast - \varepsilon , x\ast ) похiдна
вiдображення h є сталою.
Що стосується випадку, коли fn(x) = - 2n(x - x\ast ), то потрiбно розглянути не прообрази,
а образи довiльної точки \widetilde x \in (x\ast - \varepsilon , x\ast ), пiсля чого доведення буде аналогiчним.
Лему 9 доведено.
4. Доведення теорем 2 та 3. Доведення теорем будуть конструктивними. В доведеннi
теореми 2 за зростаючою частиною кусково-лiнiйного вiдображення g однозначно будується
такий кусково-лiнiйний гомеоморфiзм h, який задовольняє функцiональне рiвняння (1). Пiсля
цього функцiональне рiвняння (1) дозволяє побудувати вiдображення g за вiдображенням f
та знайденим гомеоморфiзмом h. Теореми 2 та 3 також можна iнтерпретувати так, що як
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ТОПОЛОГIЧНО СПРЯЖЕНI КУСКОВО-ЛIНIЙНI УНIМОДАЛЬНI ВIДОБРАЖЕННЯ IНТЕРВАЛУ В СЕБЕ 223
вiдображення gl, так i вiдображення gr повнiстю визначає гомеоморфiзм h. Проте з леми 1
видно, що вiдображення gl не може бути довiльним, зокрема g\prime l(0) = 2.
Для кусково-лiнiйного гомеоморфiзму h, яке задає топологiчну спряженiсть f вигляду (2),
та унiмодального кусково-лiнiйного вiдображення g позначимо через k похiдну цього гомео-
морфiзму в точцi 0. Також позначимо через \varepsilon абсцису точки першого зламу вiдображення g,
тобто: а) h(x) = kx в деякому правому околi точки x = 0; б) g(x) = 2x для всiх x \in (0, \varepsilon ) та
в) x = \varepsilon — точка зламу вiдображення g.
Нехай A1, . . . , As — вiдкритi промiжки лiнiйностi g на iнтервалi [0, v],
s\bigcup
i=1
Ai = [0, v].
Лема 10. Для кожного x \in
\Bigl[
0,
\varepsilon
k
\Bigr]
виконується рiвнiсть h(x) = kx, причому точка
\varepsilon
k
є
точкою зламу вiдображення h.
Доведення. Оскiльки вiдображення h є кусково-лiнiйним, то для деякого достатньо малого
\delta рiвнiсть (1) набирає вигляду h(2x) = 2 \cdot kx при x \in [0, \delta ]. Величина числа \delta визначається
тим, що кусково-лiнiйне вiдображення h задається формулою h(x) = kx для всiх x \in (0, \delta ),
крiм того, для всiх x \in (0, k\delta ) має мiсце рiвнiсть g(x) = 2x. Проте з формули для h(x)
при x \in [0, \delta ] випливає, що вiдображення h задається рiвнiстю h(x) = kx для всiх x \in
\in (0, 2\delta ), що дозволяє розглянути функцiональне рiвняння h(2x) = g(kx) при x \in (0, 2\delta ). При
таких x множина значень g(kx) буде iнтервалом [0, y0], де y0 = h(4\delta ) = g(2k\delta ). Максимальна
величина промiжку для x, при якому функцiональне рiвняння (1) має вигляд h(2x) = 2 \cdot kx,
— це
\Bigl[
0,
\varepsilon
2k
\Bigr]
. При подальшому збiльшеннi цього промiжку функцiональне рiвняння (1) набере
вигляду h(2x) = a2 \cdot kx+ b2, де g(x) = a2x+ b2 — формула для вiдображення g на наступному
iнтервалi лiнiйностi пiсля (0, \varepsilon ).
Лему 10 доведено.
Фактично лема 10 стверджує, що вiдображення gl визначає довжину першого промiжку
лiнiйностi гомеоморфiзму h залежно вiд кутового коефiцiєнта k цього гомеоморфiзму на його
першому промiжку лiнiйностi.
Лема 11. Нехай для деякого v \in (0, 1) та кусково-лiнiйних унiмодальних вiдображень g та\widetilde g iнтервалу [0, 1] в себе, котрi топологiчно спряженi з вiдображенням f, виконуються рiвностi
g(v) = \widetilde g(v) = 1 та g(0) = g(1) = \widetilde g(0) = \widetilde g(1) = 0, причому g(x) = \widetilde g(x) при всiх x \in [0, v].
Тодi кутовi коефiцiєнти в нулi вiдповiдних цим вiдображенням спрягаючих гомеоморфiзмiв
збiгаються.
Ця лема є окремим випадком теореми 2. Лему 11 ми доведемо, обчисливши кутовий коефi-
цiєнт в околi нуля для гомеоморфiзму h, який визначає топологiчну спряженiсть вiдображень f
та g. При цьому будемо використовувати лише вiдображення gl, але не gr. Введемо ще одне по-
значення, а саме, позначимо через Gl(\alpha , \beta ) = (f - 1
l (\alpha ), g - 1
l (\beta )) та Gr(\alpha , \beta ) = (f - 1
r (\alpha ), g - 1
r (\beta ))
вiдображення квадрата [0, 1]2.
З того, що гомеоморфiзм h монотонно зростає, випливає така лема.
Лема 12. Нехай числа \alpha , \beta \in [0, 1] такi, що h(\alpha ) = \beta . Тодi графiк вiдображення h iнварi-
антний вiдносно Gl та Gr, тобто h(f - 1
l (\alpha )) = g - 1
l (\beta ) та h(f - 1
r (\alpha )) = g - 1
r (\beta ).
Доведення леми 11. Розглянемо точку \alpha = 1. За лемою 2 h(1) = 1. Розглянемо траєк-
торiю точки (1, 1) при дiї вiдображення Gl. Тодi Gn
l (1, 1) = (1/2n, g - n
l (1)). За лемою 12
h(1/2n) = g - n
l (1) для кожного n. За наслiдком 1 послiдовнiсть \{ g - n
l (1)\} монотонно спадає
до 0. Знайдемо k — кутовий коефiцiєнт гомеоморфiзму h в околi 0. За лемою 10 h(x) = kx
при x \in (0, \varepsilon /k), де \varepsilon — абсциса точки першого зламу кусково-лiнiйного вiдображення g. При
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
224 В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
достатньо великих n має мiсце включення 1/2n \in (0, \varepsilon /k), яке означає, що послiдовнiсть
kn = 2ng - n
l (1) стабiлiзується на деякому значеннi, яке i дорiвнює k.
Лему 11 доведено.
Зауваження 4. Як i при доведеннi леми 11, можна показати, що для кожних \alpha , \beta \in (0, 1)
таких, що h(\alpha ) = \beta , послiдовнiсть kn =
2ng - n
l (\beta )
\alpha
стабiлiзується незалежно вiд того, є го-
меоморфiзм h кусково-лiнiйним чи нi. Кускова лiнiйнiсть гомеоморфiзму h означає, що для
кожної пари чисел \alpha , \beta \in (0, 1) побудована послiдовнiсть стабiлiзується саме на значеннi k,
яке отримане в доведеннi леми 11 i не залежить вiд \alpha та \beta .
Доведення теореми 2. Припустимо, що гомеоморфiзм h задає топологiчну спряженiсть
вiдображень f та h. Використовуючи мiркування з доведення леми 11, за вiдображенням gl
однозначно будуємо число k, яке є кутовим коефiцiєнтом вiдображення h в околi 0. Тодi за
лемою 10 гомеоморфiзм h визначається рiвнiстю h(x) = kx для всiх x \in
\Bigl[
0,
\varepsilon
k
\Bigr]
, де \varepsilon — аб-
сциса точки першого зламу кусково-лiнiйного вiдображення g. Розглянемо настiльки велике
натуральне число n, щоб виконувалася нерiвнiсть
1
2n
<
\varepsilon
k
. Для кожного t \geq 0 з рiвнян-
ня (1) для x \in
\biggl[
1
2n - t+1
,
1
2n - t
\biggr]
та значень гомеоморфiзму h, визначених ранiше на промiжку\biggl[
1
2n - t+1
,
1
2n - t
\biggr]
, знаходимо значення h на промiжку
\biggl[
1
2n - t+1
,
1
2n - t
\biggr]
. При t = n - 1 рiвнян-
ня (1) буде визначеним на множинi x \in
\biggl[
1
4
,
1
2
\biggr]
, i це завершує процес знаходження вiдобра-
ження h на всьому вiдрiзку [0, 1]. Пiсля цього вiдображення gr встановлюється з рiвняння
h(fr(x)) = gr(h(x)) при x \in [1/2, 1] з допомогою рiвностi gr(x) = h(fr(h
- 1(x))).
Теорему 2 доведено.
Лема 1 встановлює обмеження на вiдображення g в околi точки 0 для того, щоб iснував
кусково-лiнiйний гомеоморфiзм h, який визначає топологiчну спряженiсть вiдображень f та g.
Має мiсце аналог цiєї леми для околу додатної нерухомої точки вiдображення g.
Лема 13. Нехай x0 — нерухома точка кусково-лiнiйного унiмодального вiдображення g,
яке спряжене з вiдображенням f вигляду (2) з допомогою кусково-лiнiйного вiдображення. Тодi
iснує \varepsilon > 0 таке, що для кожного x \in (x0 - \varepsilon , x0 + \varepsilon )\setminus \{ x0\} має мiсце рiвнiсть (g2)\prime (x0) = 4,
де g2, як i ранiше, позначає другу iтерацiю вiдображення g.
Для вiдображення h, яке визначає топологiчну спряженiсть вiдображень f та g, маємо
h(2/3) = x0, оскiльки 2/3 — нерухома точка вiдображення f. Нехай в лiвому околi точки
x0 вiдображення g задається формулою g1(x) = a1x + b1, а в правому околi — формулою
g2(x) = a2x+ b2.
Зауваження 5. У введених позначеннях довести лему 13 — це те саме, що довести, що
a1a2 = 4.
Дiйсно, оскiльки вiдображення g спадає на промiжку [v, 1], то для досить малого \varepsilon > 0
виконуються включення g(x0, x0 + \varepsilon ) \subset (v, x0) та g(x0 - \varepsilon , x0) \subset (x0, 1).
Тодi в лiвому околi (x0 - \varepsilon , x0) вiдображення g2 задається рiвнiстю g2(x) = g2(g1(x)), а в
правому околi (x0, x0+\varepsilon ) — рiвнiстю g2(x) = g1(g2(x)). Проте i в першому, i в другому випадку
вiдображення g2 буде лiнiйним у вiдповiдному околi i матиме кутовий коефiцiєнт a1a2.
Доведення леми 13. Нехай в лiвому околi точки 2/3 вiдображення h задається формулою
h1(x) = a3x+ b3, а в правому околi — формулою h2(x) = a4x+ b4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ТОПОЛОГIЧНО СПРЯЖЕНI КУСКОВО-ЛIНIЙНI УНIМОДАЛЬНI ВIДОБРАЖЕННЯ IНТЕРВАЛУ В СЕБЕ 225
Для достатньо малого \varepsilon вiзьмемо довiльне число \beta \in (x0, x0 + \varepsilon ) та розглянемо послiдов-
нiсть Gn
r (\alpha , \beta ), де \beta = h(\alpha ). Ця послiдовнiсть збiгається до точки (2/3, x0). Першi три елементи
зазначеної послiдовностi мають вигляд (\alpha , \beta ) \rightarrow (f - 1
r (\alpha ), g - 1
r (\beta )) \rightarrow (f - 2
r (\alpha ), g - 2
r (\beta )), тобто
(\alpha , \beta ) \rightarrow (f - 1
r (\alpha ), g - 1
1 (\beta )) \rightarrow (f - 2
r (\alpha ), g - 2
2 (\beta )), бо \beta > x0 та вiдображення g спадає в околi
точки x0.
Вiдображення g - 1
r (\beta ) та g - 2
r (\beta ) знайдемо як
g - 1
r (\beta ) =
\beta - b1
a1
та g - 2
r (\beta ) =
(\beta - b1)a
- 1
1 - b2
a2
=
\beta - b1 - a1b2
a1a2
.
Крiм того, f - 1
r (\alpha ) = 1 - \alpha
2
та f - 2
r (\alpha ) =
1
2
+
\alpha
4
. Також мають мiсце рiвностi
\beta = a4\alpha + b4,
g - 1
r (\beta ) = a3f
- 1
r (\alpha ) + b3,
g - 2
r (\beta ) = a4f
- 2
r (\alpha ) + b4.
Пiдставляючи першi двi з цих рiвностей у третю, отримуємо
(a4\alpha + b4) - b1 - a1b2
a1a2
= a4
\biggl(
1
2
+
\alpha
4
\biggr)
+ b4. (6)
Оскiльки вибiр числа \beta у вiдповiдному околi точки x0 є довiльним, з неперервностi вi-
дображення h випливає, що множина значень \alpha таких, що h(\alpha ) = \beta , де \beta вибрано з околу
точки x0, є деяким околом точки 2/3. Тому рiвнiсть (6) є тотожнiстю у вiдповiдному околi
точки \alpha . Тепер, прирiвнюючи коефiцiєнти при \alpha , маємо a1a2 = 4, що i потрiбно було довести.
Лему 13 доведено.
Доведення теореми 3. Нехай x0 — додатна нерухома точка вiдображення g та вiдображення\widetilde g, h — кусково-лiнiйний гомеоморфiзм, який визначає спряженiсть вiдображень f та g. Оскiльки
за лемою 2 h(2/3) = x0, то iснує \varepsilon > 0 таке, що h(x) = k(x - 2/3) + x0 для всiх x \in
\in (2/3, 2/3 + \varepsilon ). Розглянемо траєкторiю точки (1, 1) пiд дiєю вiдображення Gl. Позначимо
через (xn, yn) n-ту iтерацiю вказаної точки, тобто Gn
l (1, 1) = (xn, yn). З леми 12 для кожної
точки цiєї траєкторiї отримуємо
h(xn) = yn. (7)
Послiдовнiсть xn може бути задана рiвнiстю xn = f - 1
r (xn - 1) i прямує до точки 2/3,
причому для кожного k \in \BbbN мають мiсце включення (f - 1
r )2k(1) \in (1/2, 2/3) та (f - 1
r )2k+1(1) \in
\in (2/3, 1) i, крiм того, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}i\rightarrow \infty xn = 2/3. Враховуючи, що для досить великих непарних n
виконується включення xn \in (2/3, 2/3+\varepsilon ), рiвнiсть (7) можна записати як yn = k(xn - 2/3)+x0,
звiдки
k =
yn - x0
xn - 2/3
. (8)
Крiм того, з огляду на лему 13 без обмеження загальностi можемо вважати, що при цих досить
великих n для всiх yn вiдображення g2(x) задається рiвнiстю
g2(x) = 4(x - x0) + x0. (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
226 В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
Як i при доведеннi леми 13, можемо показати, що якщо xn \in (2/3, 2/3+ \varepsilon ), то
yn - x0
xn - 2/3
=
=
yn+2 - x0
xn+2 - 2/3
.
З рiвняння (9) маємо yn+2 =
yn + 3x0
4
. Також xn+2 можна знайти з формули xn+2 =
= (f - 1
r )2(xn), тобто xn+2 =
1
2
+
xn
4
. Пiдставляючи отриманi вирази у формулу
yn+2 - x0
xn+2 - 2/3
,
пiсля спрощення маємо
yn+2 - x0
xn+2 - 2/3
=
yn - x0
xn - 2/3
. Таким чином, h(2/3) = x0 та гомеоморфiзм
h має кутовий коефiцiєнт k, що визначається формулою (8) для кожного x \in (2/3, 2/3 + \varepsilon ).
Нехай \scrA 1 = (2/3, 2/3 + \varepsilon ) та розглянемо послiдовнiсть множин \scrA i+1 = f(\scrA i). Очевидно,
що для деякого скiнченного t \in \BbbN справджується рiвнiсть f t(\scrA 1) = [0, 1]. Для кожного i та
кожного x \in \scrA i рiвняння (1) дозволяє визначити значення гомеоморфiзму h на множинi \scrA i+1
за припущення, що цей гомеоморфiзм вже визначено на множинi \scrA i. Послiдовне застосуван-
ня цього рiвняння дозволяє визначити значення гомеоморфiзму h на всьому iнтервалi [0, 1].
Фактично ми довели, що вiдображення g своїми значеннями на промiжку [v, 1] повнiстю ви-
значає значення гомеоморфiзму h на iнтервалi [0, 1], а цей гомеоморфiзм, в свою чергу, визначає
вiдображення g на всьому iнтервалi [0, 1].
Теорему 3 доведено.
Автори висловлюють подяку В. В. Сергейчуку за цiннi зауваження при пiдготовцi цiєї
роботи.
Лiтература
1. Лебег Х. Интегрирование и отыскание примитивных функций. – М.; Л., 1934.
2. Мун Ф. Хаотические колебания. – М.: Мир, 1990. – 312 c.
3. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. – М.: Наука, 1971. – Т. 1.
4. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. – М.: Мир, 1979. – 592 с.
5. Шарковский А. Н., Коляда с. Ф., Сивак А. Г., Федоренко В. В. Введение в теорию функциональных уравнений.
– Киев: Наук. думка, 1989. – 216 с.
6. Fedorenko V., Kyrychenko V., Plakhotnyk M. Exponent matrices and topological equivalence of maps // Algebra and
Discrete Math. – 2007. – № 4. – P. 45 – 58.
7. Skufca J. D., Bolt E. M. A concept of homeomorphic defect for defining mostly conjugate dynamical systems //
Chaos. – 2008. – № 03118. – P. 1 – 18.
Одержано 14.01.15,
пiсля доопрацювання — 16.03.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1835 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:33Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a6/a4b4e36b13b6587ed4465a7730b2ada6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18352019-12-05T09:29:16Z Topological conjugate piecewise linear unimodal mappings of an interval into itself Топологічно спряжені кусково-лінійні унімодальні відображення інтервалу в себе Kirichenko, V. V. Plakhotnyk, M. V. Кириченко, В. В. Плахотник, М. В. Let $f, g : [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ be a pair of continuous piecewise linear unimodal mappings and let $f$ be defined as follows: $f(x) = 2x$ for $x \leq 1/2$ and $f(x) = 2 - 2x$ for $x > 1/2$. Also let $h : [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ be a piecewise differentiable homeomorphism such that $fh = hg$. Then $h$ is piecewise linear and the mapping $f$ completely determines $g$ and $h$, together with the ascending or descending monotone parts of $g$. Пусть $f, g : [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ — пара непрерывных кусочно-линейных унимодальных отображений, причем $f$ определяется следующим образом: $f(x) = 2x$ при $x \leq 1/2$ и $f(x) = 2 - 2x$ при $x > 1/2$. Пусть $fh = hg$ для кусочно-непрерывного дифференцируемого гомеоморфизма $h : [0, 1] \rightarrow [0, 1]$. Тогда $h$ кусочно-линейный, причем отображение $f$, а также возрастающая и убывающая монотонные части отображения $g$ полностью определяют $g$ и $h$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1835 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 2 (2016); 217-226 Український математичний журнал; Том 68 № 2 (2016); 217-226 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1835/817 Copyright (c) 2016 Kirichenko V. V.; Plakhotnyk M. V. |
| spellingShingle | Kirichenko, V. V. Plakhotnyk, M. V. Кириченко, В. В. Плахотник, М. В. Topological conjugate piecewise linear unimodal mappings of an interval into itself |
| title | Topological conjugate piecewise linear unimodal mappings
of an interval into itself |
| title_alt | Топологічно спряжені кусково-лінійні унімодальні
відображення інтервалу в себе |
| title_full | Topological conjugate piecewise linear unimodal mappings
of an interval into itself |
| title_fullStr | Topological conjugate piecewise linear unimodal mappings
of an interval into itself |
| title_full_unstemmed | Topological conjugate piecewise linear unimodal mappings
of an interval into itself |
| title_short | Topological conjugate piecewise linear unimodal mappings
of an interval into itself |
| title_sort | topological conjugate piecewise linear unimodal mappings
of an interval into itself |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1835 |
| work_keys_str_mv | AT kirichenkovv topologicalconjugatepiecewiselinearunimodalmappingsofanintervalintoitself AT plakhotnykmv topologicalconjugatepiecewiselinearunimodalmappingsofanintervalintoitself AT kiričenkovv topologicalconjugatepiecewiselinearunimodalmappingsofanintervalintoitself AT plahotnikmv topologicalconjugatepiecewiselinearunimodalmappingsofanintervalintoitself AT kirichenkovv topologíčnosprâženíkuskovolíníjníunímodalʹnívídobražennâíntervaluvsebe AT plakhotnykmv topologíčnosprâženíkuskovolíníjníunímodalʹnívídobražennâíntervaluvsebe AT kiričenkovv topologíčnosprâženíkuskovolíníjníunímodalʹnívídobražennâíntervaluvsebe AT plahotnikmv topologíčnosprâženíkuskovolíníjníunímodalʹnívídobražennâíntervaluvsebe |