Sharp Remez-type inequalities for differentiable periodic functions, polynomials and splines
For any $\omega > 0,\; \beta \in (0, 2\omega)$, and any measurable set $B \in I_d := [0, d],\; \mu B = \beta$, we obtain the following sharp inequality of the Remez type: $$||x||_{\infty} \leq \frac{3||\varphi||_{\infty} - \varphi \biggl(\frac{\omega - \beta}2 \biggr)}{||\varphi||_{\infty...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1836 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507704586403840 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. |
| author_facet | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. |
| author_sort | Kofanov, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:16Z |
| description | For any $\omega > 0,\; \beta \in (0, 2\omega)$, and any measurable set $B \in I_d := [0, d],\; \mu B = \beta$, we obtain the following sharp inequality
of the Remez type:
$$||x||_{\infty} \leq \frac{3||\varphi||_{\infty} - \varphi \biggl(\frac{\omega - \beta}2 \biggr)}{||\varphi||_{\infty} + \varphi \biggl(\frac{\omega - \beta}2 \biggr)} ||x||_{L_{\infty}(I_d\setminus B)}$$
on the set $S_{\varphi} (\omega )$ of functions $x$ with minimal period $d (d \geq 2\omega)$ and a given sine-shaped $2\omega$ -periodic comparison
function $\varphi$.
In particular, we prove the sharp Remez-type inequalities on the Sobolev spaces of differentiable periodic functions.
We also obtain inequalities of the indicated type on the spaces of trigonometric polynomials and polynomial splines. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. А. Кофанов (Днепропетр. нац. ун-т)
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА РЕМЕЗА
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ,
ПОЛИНОМОВ И СПЛАЙНОВ
For any \omega > 0, \beta \in (0, 2\omega ), and any measurable set B \in Id := [0, d], \mu B = \beta , we obtain the following sharp inequality
of the Remez type:
\| x\| \infty \leq
3\| \varphi \| \infty - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
\| \varphi \| \infty + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B)
on the set S\varphi (\omega ) of functions x with minimal period d (d \geq 2\omega ) and a given sine-shaped 2\omega -periodic comparison
function \varphi .
In particular, we prove the sharp Remez-type inequalities on the Sobolev spaces of differentiable periodic functions.
We also obtain inequalities of the indicated type on the spaces of trigonometric polynomials and polynomial splines.
Для довiльних \omega > 0, \beta \in (0, 2\omega ) i будь-якої вимiрної множини B \in Id := [0, d], \mu B = \beta , отримано точну
нерiвнiсть типу Ремеза
\| x\| \infty \leq
3\| \varphi \| \infty - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
\| \varphi \| \infty + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B)
на класах S\varphi (\omega ) функцiй x мiнiмального перiоду d (d \geq 2\omega ), що мають задану синусоподiбну 2\omega -перiодичну
функцiю порiвняння \varphi .
Як наслiдок отримано точнi нерiвностi типу Ремеза на соболєвських класах диференцiйовних перiодичних
функцiй та просторах тригонометричних полiномiв i полiномiальних сплайнiв.
1. Введение. В теории аппроксимации полиномами важную роль играют неравенства типа
Ремеза
\| T\| L\infty (I2\pi ) \leq C(n, \beta )\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (1)
на классе Tn тригонометрических полиномов T порядка не выше n, где B — произвольное
измеримое по Лебегу множество B \subset I2\pi := [0, 2\pi ], \mu B = \beta \in (0, 2\pi ).
Начало этой тематике положила работа [1], в которой найдена точная константа в неравенст-
ве вида (1) для алгебраических многочленов. В неравенстве Ремеза экстремальным является
многочлен Чебышева 1-го рода. Точная константа в неравенстве (1) для тригонометрических
полиномов неизвестна. В ряде работ получены двусторонние оценки для точных констант
C(n, \beta ). Кроме того, известно асимптотическое поведение констант C(n, \beta ) при \beta \rightarrow 2\pi [2] и
\beta \rightarrow 0 [3]. Подробную библиографию по данной тематике можно найти в [2 – 5].
В работе [3] доказано неравенство
\| T\| L\infty (I2\pi ) \leq
\biggl(
1 + 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
n\beta
4m
\biggr)
\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (2)
для произвольного полинома T \in Tn, имеющего минимальный период 2\pi /m, и любого измери-
мого по Лебегу множества B \subset I2\pi , \mu B = \beta , где \beta \in (0, 2\pi m/n). Равенство в (2) достигается
c\bigcirc В. А. КОФАНОВ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2 227
228 В. А. КОФАНОВ
для полинома T (t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nx - 1
2
\biggl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta
2
\biggr)
. Отметим, что из (2) следует асимптотическое
равенство
C(n, \beta ) = 1 +
(n\beta )2
8
+O(\beta 4), \beta \rightarrow 0.
В работе [3] также доказано, что точная константа C(n, \beta ) в неравенстве (1) совпадает с
точной константой в аналогичном неравенстве на пространствах полиномов с комплексными
коэффициентами.
В настоящей работе рассматриваются только полиномы с вещественными коэффициентами
и вещественнозначные функции. Получено обобщение неравенства (2) на произвольные классы
функций с заданной функцией сравнения (теорема 1). Как следствие установлены точные
неравенства типа Ремеза на соболевских классах дифференцируемых периодических функций
(теорема 2), а также на классах Sn,r периодических полиномиальных сплайнов порядка r
дефекта 1 по равномерному разбиению (теорема 4). Еще одним следствием теоремы 1 является
неравенство (2) и его модификация (следствие 2 из теоремы 3).
2. Неравенства типа Ремеза на классах функций с заданной функцией сравнения. Бу-
дем рассматривать функции, определенные на числовой оси \bfR или на некотором подмножестве
B \subset \bfR . Для G = B или G = \bfR через L\infty (G) обозначим пространство измеримых на G функ-
ций x, имеющих конечную норму
\| x\| L\infty (G) := \mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in G
| x(t)| .
Пусть d > 0, Id — окружность, реализованная в виде отрезка [0, d] с отождествленными конца-
ми. Если G = \bfR или G = Id, то вместо \| x\| L\infty (G) будем писать \| x\| \infty . Для таких G и r \in \bfN через
Lr
\infty (G) обозначим множество функций x \in L\infty (G), имеющих локально абсолютно непрерыв-
ные производные до (r - 1)-го порядка, причем x(r) \in L\infty (G). Для 2\pi -периодических функций
и q \in [1,\infty ) будем рассматривать также пространства Lq(I2\pi ) измеримых функций с конечной
нормой
\| x\| q :=
\left( 2\pi \int
0
| x(t)| qdt
\right)
1
q
.
Будем говорить, что f \in L1
\infty (\bfR ) является функцией сравнения для x \in L1
\infty (\bfR ), если
существует такое \alpha \in \bfR , что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
x(t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
f(t) + \alpha , \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
x(t) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
f(t) + \alpha ,
и из равенства x(\xi ) = f(\eta ) + \alpha , где \xi , \eta \in \bfR , следует неравенство | x\prime (\xi )| \leq | f \prime (\eta )| , если
указанные производные существуют.
Нечетную 2\omega -периодическую функцию \varphi \in L1
\infty (I2\omega ) будем называть S-функцией, если она
имеет такие свойства: \varphi — четная относительно \omega /2, | \varphi | — выпуклая вверх на [0, \omega ] и строго
монотонная на [0, \omega /2].
Для 2\omega -периодической S-функции \varphi через S\varphi (\omega ) обозначим класс функций x из простран-
ства L1
\infty (Id) с некоторым d \geq 2\omega , для которых \varphi является функцией сравнения. Отметим, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА РЕМЕЗА . . . 229
классы S\varphi (\omega ) рассматривались в работах [6, 7]. Примерами классов S\varphi (\omega ) являются соболев-
ские классы \bigcup
d\geq \lambda
\Bigl\{
x \in Lr
\infty (Id) : \| x\| \infty \leq A0, \| x(r)\| \infty \leq Ar
\Bigr\}
,
а также ограниченные подмножества пространства Tn (тригонометрических полиномов по-
рядка не выше n) и пространства Sn,r (сплайнов порядка r дефекта 1 с узлами в точках
k\pi /n, k \in \bfZ ).
Для d > 0 и x \in L\infty (Id) положим E0(x)\infty := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| x - c\| \infty : c \in \bfR \} .
Основным результатом настоящей работы является следующая теорема. Схема доказатель-
ства этой теоремы заимствована из работы [3], но вместо перестановок здесь использована
общая идея сравнения, восходящая к Колмогорову [8], что позволило обобщить неравенство
(2) на классы S\varphi (\omega ).
Теорема 1. Пусть \varphi — S-функция с периодом 2\omega , \beta \in (0, 2\omega ). Тогда для любого d > 0,
любой функции x \in S\varphi (\omega ), имеющей минимальный период d, и произвольного измеримого по
Лебегу множества B \subset Id, \mu B = \beta , выполнены неравенства
\| x\| \infty \leq
3\| \varphi \| \infty - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
\| \varphi \| \infty + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B) (3)
и
E0(x)\infty \leq 2\| \varphi \| \infty
\| \varphi \| \infty + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B). (4)
Неравенства (3) и (4) являются точными на классе S\varphi (\omega ) и обращаются в равенства для
функции x(t) = \varphi (t) +
1
2
\biggl(
\| \varphi \| \infty - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr)
.
Доказательство. Зафиксируем функцию x \in S\varphi (\omega ) с минимальным периодом d. Не огра-
ничивая общности можем считать, что
\| \varphi \| \infty = 1, (5)
а так как \varphi является S-функцией, то для любого \alpha \in \bfR
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
\varphi (t) + \alpha = 1 + \alpha , \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
\varphi (t) + \alpha = \alpha - 1.
Поскольку \varphi является функцией сравнения для x, существует такое \alpha \in \bfR , что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
x(t) = 1 + \alpha , \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
x(t) = \alpha - 1.
Переходя, если нужно, к функции - x, можем считать, что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
x(t) \geq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
x(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Тогда \alpha \geq 0, \| x\| \infty = 1 + \alpha .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
230 В. А. КОФАНОВ
Пусть для определенности функция \varphi возрастает на отрезке
\Bigl[
- \omega
2
,
\omega
2
\Bigr]
. Для \tau \in \bfR положим
x\tau (t) := x(\tau + t), t \in \bfR . Выберем \tau 1, \tau 2 \in \bfR так, чтобы
x\tau 1
\Bigl( \omega
2
\Bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
x(t) = 1 + \alpha , x\tau 2
\Bigl(
- \omega
2
\Bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
x(t) = \alpha - 1. (6)
Поскольку \varphi является функцией сравнения для x, выполнены неравенства
(x\tau 1(t))+ \geq (\varphi (t) + \alpha )+,
\bigm| \bigm| \bigm| t - \omega
2
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \omega , (7)
и
(x\tau 2(t)) - \geq (\varphi (t) + \alpha ) - ,
\bigm| \bigm| \bigm| t+ \omega
2
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \omega , (8)
где u\pm := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \pm u, 0\} . Отметим, что из (7) и (8), в частности, следует соотношение d \geq 2\omega .
Докажем неравенство (3). Возможны два случая: \alpha \in [0, 1] и \alpha > 1. Пусть сначала \alpha \in [0, 1],
причем \alpha и \beta таковы, что
\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+ \alpha \geq 1 - \alpha . (9)
Положим B1 :=
\biggl[
\omega - \beta
2
,
\omega + \beta
2
\biggr]
. Символом c1 обозначим ближайший слева от - \omega
2
нуль
функции \varphi + \alpha , а символом c2 — ближайший справа от
\omega
2
нуль этой функции и положим
I := [c1, c2]. Ясно, что c2 - c1 = 2\omega . Применяя последовательно (7), (9) и (6), получаем\bigm\| \bigm\| (x\tau 1)+\bigm\| \bigm\| L\infty (I\setminus B1)
\geq \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+ \alpha \geq 1 - \alpha =
\bigm\| \bigm\| (x\tau 2) - \bigm\| \bigm\| \infty .
Поэтому для любого измеримого по Лебегу множества B \subset Id, \mu B = \beta ,
\| x\| L\infty (Id\setminus B) \geq
\bigm\| \bigm\| (x\tau 1)+\bigm\| \bigm\| L\infty (I\setminus B1)
\geq \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+ \alpha . (10)
Таким образом, в рассматриваемом случае
\| x\| \infty
\| x\| L\infty (Id\setminus B)
\leq 1 + \alpha
\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+ \alpha
:= f(\alpha ). (11)
Нетрудно видеть, что f \prime (\alpha ) \leq 0 для \alpha \geq 0. А так как в силу предположения (9) \alpha \geq
\geq 1
2
\biggl(
1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr)
, то
\| x\| \infty
\| x\| L\infty (Id\setminus B)
\leq
1 +
1
2
\biggl(
1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr)
\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+
1
2
\biggl(
1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr) =
3 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
1 + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) .
Тем самым (3) доказано в случае, когда \alpha \in [0, 1], причем \alpha и \beta таковы, что выполнено
неравенство (9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА РЕМЕЗА . . . 231
Пусть, по-прежнему, \alpha \in [0, 1], но выполнено неравенство, противоположное (9), т. е.
\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+ \alpha < 1 - \alpha =
\bigm\| \bigm\| (\varphi + \alpha ) -
\bigm\| \bigm\|
\infty .
В этом случае существуют такие числа u, v > 0, u+ v = \beta , v \geq u, что
\varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr)
+ \alpha = -
\biggl(
\varphi
\biggl(
- \omega - u
2
\biggr)
+ \alpha
\biggr)
= \varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
- \alpha . (12)
Положим B2 :=
\biggl[
\omega - v
2
,
\omega + v
2
\biggr] \bigcup \biggl[
- \omega - u
2
,
- \omega + u
2
\biggr]
. Тогда в силу (7), (8) и (12)
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| (x\tau 1)+\bigm\| \bigm\| L\infty (I\setminus B2)
,
\bigm\| \bigm\| (x\tau 2) - \bigm\| \bigm\| L\infty (I\setminus B2)
\Bigr\}
\geq \varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr)
+ \alpha .
Ясно, что для любого измеримого по Лебегу множества B \subset Id, \mu B = \beta ,
\| x\| L\infty (Id\setminus B) \geq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| (x\tau 1)+\bigm\| \bigm\| L\infty (I\setminus B2)
,
\bigm\| \bigm\| (x\tau 2) - \bigm\| \bigm\| L\infty (I\setminus B2)
\Bigr\}
.
Поэтому
\| x\| L\infty (Id\setminus B) \geq \varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr)
+ \alpha . (13)
Следовательно, в рассматриваемом случае
\| x\| \infty
\| x\| L\infty (Id\setminus B)
\leq 1 + \alpha
\varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr)
+ \alpha
.
Учитывая, что в силу (12) \alpha =
1
2
\biggl(
\varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
- \varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr) \biggr)
, имеем
\| x\| \infty
\| x\| L\infty (Id\setminus B)
\leq
1 +
1
2
\biggl(
\varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
- \varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr) \biggr)
\varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr)
+
1
2
\biggl(
\varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
- \varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr) \biggr) =
=
2 + \varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
- \varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr)
\varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
+ \varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr) .
После несложного преобразования и подстановки v = \beta - u получаем
\| x\| \infty
\| x\| L\infty (Id\setminus B)
\leq 2
1 + \varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
\varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
+ \varphi
\biggl(
\omega + u - \beta
2
\biggr) - 1. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
232 В. А. КОФАНОВ
Докажем, что
1 + \varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
\varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
+ \varphi
\biggl(
\omega + u - \beta
2
\biggr) \leq 2
1 + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) . (15)
Ясно, что (15) эквивалентно неравенству
1 + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
\leq
\leq \varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
+ 2\varphi
\biggl(
\omega + u - \beta
2
\biggr)
- \varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
:= F (u). (16)
Заметим, что F (0) = 1+\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
. Кроме того, u+v = \beta , u \leq v. Следовательно, u \leq \beta
2
< \omega .
Поэтому для доказательства (16) достаточно убедиться в том, что
F \prime (u) \geq 0, u \in
\biggl[
0,
\beta
2
\biggr]
. (17)
Имеем
2F \prime (u) = \varphi \prime
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
+ 2\varphi \prime
\biggl(
\omega + u - \beta
2
\biggr)
- \varphi \prime
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
=
= \varphi \prime
\biggl(
\omega + u
2
\biggr) \biggl(
1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr)
+ 2\varphi \prime
\biggl(
\omega + u - \beta
2
\biggr)
. (18)
Заметим, что
\omega
2
<
\omega + u
2
<
\omega + \beta /2
2
< \omega . Поэтому, в силу предположения о возрастании
функции \varphi на
\Bigl[
- \omega
2
,
\omega
2
\Bigr]
, она убывает на
\Bigl[ \omega
2
, \omega
\Bigr]
. Следовательно, \varphi \prime
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
\leq 0 для почти
всех u \in
\biggl[
0,
\beta
2
\biggr]
. С другой стороны,
\beta - u
2
\leq \beta
2
< \omega . Поэтому - \omega
2
<
\omega + u - \beta
2
<
\omega
2
и
\varphi \prime
\biggl(
\omega + u - \beta
2
\biggr)
\geq 0 для почти всех u \in
\biggl[
0,
\beta
2
\biggr]
в силу указанного предположения. Покажем,
что \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \prime
\biggl(
\omega + u
2
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \varphi \prime
\biggl(
\omega + u - \beta
2
\biggr)
, u \in
\biggl[
0,
\beta
2
\biggr]
. (19)
Для этого вследствие выпуклости вверх функции \varphi на [0, \omega ] и нечетности этой функции доста-
точно заметить, что расстояние
u
2
точки
\omega + u
2
до точки
\omega
2
максимума функции \varphi не превышает
расстояния \rho 1 точки
\omega + u - \beta
2
до точки
\omega
2
и это расстояние
u
2
не превышает расстояния \rho 2
точки
\omega + u - \beta
2
до точки - \omega
2
минимума функции \varphi . Действительно, так как u + v = \beta и
u \leq v, то 2u \leq \beta . Поэтому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА РЕМЕЗА . . . 233
\rho 1 =
\omega
2
- \omega + u - \beta
2
=
\beta - u
2
\geq u
2
и
\rho 2 =
\omega + u - \beta
2
+
\omega
2
= \omega - \beta - u
2
=
2\omega - \beta
2
+
u
2
\geq u
2
.
Тем самым (19) доказано. Из (19) и (18) следует (17) в силу очевидного двойного неравенства
0 \leq 1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
\leq 2. Из (17) в свою очередь вытекают неравенства (16) и (15). Оценивая
правую часть (14) с помощью неравенства (15), получаем неравенство (3) в случае \alpha \in [0, 1].
Осталось рассмотреть случай \alpha > 1. Как и в предыдущем случае, устанавливаем неравен-
ство (11). А поскольку f \prime (\alpha ) \leq 0 для \alpha \geq 0, то для \alpha > 1 имеем
\| x\| \infty
\| x\| L\infty (Id\setminus B)
\leq 1 + \alpha
\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+ \alpha
\leq 2
\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+ 1
\leq
3 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
1 + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) .
Таким образом, (3) полностью доказано.
Докажем теперь неравенство (4). В силу предположения (5) и того, что \varphi является функ-
цией сравнения для функции x, имеем E0(x)\infty = \| \varphi \| \infty = 1. Как и при доказательстве (3),
рассмотрим два случая возможных значений \alpha в равенствах (6).
Пусть сначала \alpha \in [0, 1], причем выполнено предположение (9), т. е.
\alpha \geq 1
2
\biggl(
1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr)
.
Тогда в силу неравенств (10) для любого измеримого по Лебегу множества B \subset Id, \mu B = \beta ,
E(x)\infty
\| x\| L\infty (Id\setminus B)
\leq 1
\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+ \alpha
\leq 1
\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+
1
2
\biggl(
1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr) .
Отсюда в рассматриваемом случае следует (4).
Пусть теперь \alpha \in [0, 1], но вместо (9) имеет место неравенство
\alpha <
1
2
\biggl(
1 - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr)
.
Тогда существуют такие числа u, v > 0, u + v = \beta , v \geq u, что выполнены равенства (12).
Поэтому для любого измеримого по Лебегу множества B \subset Id, \mu B = \beta , в силу (7) и (8) имеют
место неравенства (13). Следовательно, в рассматриваемом случае
E(x)\infty
\| x\| L\infty (Id\setminus B)
\leq 1
\varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr)
+ \alpha
.
Учитывая, что в силу (12) \alpha =
1
2
\biggl(
\varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
- \varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr) \biggr)
, имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
234 В. А. КОФАНОВ
E(x)\infty
\| x\| L\infty (Id\setminus B)
\leq 2
\varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
+ \varphi
\biggl(
\omega - v
2
\biggr) =
2
\varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
+ \varphi
\biggl(
\omega + u - \beta
2
\biggr) . (20)
Из (19) следует, что функция g(u) := \varphi
\biggl(
\omega + u
2
\biggr)
+ \varphi
\biggl(
\omega + u - \beta
2
\biggr)
возрастает на
\biggl[
0,
\beta
2
\biggr]
.
Поэтому g(u) \geq g(0) = 1 + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
для u \in
\biggl[
0,
\beta
2
\biggr]
и из (20) следует (4). Тем самым (4)
доказано для \alpha \in [0, 1].
Пусть теперь \alpha > 1. Тогда аналогично предыдущему случаю имеем
E(x)\infty
\| x\| L\infty (Id\setminus B)
\leq 1
\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+ \alpha
<
1
\varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
+ 1
.
Отсюда непосредственно следует (4).
Теорема 1 доказана.
3. Неравенства типа Ремеза на классах дифференцируемых периодических функций.
Символом \varphi r(t), r \in \bfN , обозначим сдвиг r-го 2\pi -периодического интеграла с нулевым средним
значением на периоде от функции \varphi 0(t) = \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, удовлетворяющий условию \varphi r(0) = 0.
Для \lambda > 0 положим \varphi \lambda ,r(t) := \lambda - r\varphi r(\lambda t). Ясно, что сплайн \varphi \lambda ,r(t) является S-функцией с
периодом 2\pi /\lambda . Пусть r \in \bfN , x \in Lr
\infty (\bfR ). Положим Ar :=
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \infty и выберем \lambda из условия
E0(x)\infty = Ar \| \varphi \lambda ,r\| \infty , т. е.
\lambda =
\biggl(
KrAr
E0(x)\infty
\biggr) 1
r
,
где Kr := \| \varphi r\| \infty — константа Фавара. Тогда в силу теоремы сравнения Колмогорова [8] сплайн
\varphi (t) := Ar\varphi \lambda ,r(t) является функцией сравнения для функции x. Если к тому же функция x
является d-периодической с минимальным периодом d, то x \in S\varphi
\Bigl( \pi
\lambda
\Bigr)
, причем вследствие
теоремы сравнения Колмогорова d \geq 2\pi
\lambda
. Поэтому в силу теоремы 1 для произвольного \beta \in
\in (0, 2\pi ) и любого измеримого по Лебегу множества B \subset I2\pi , \mu B =
\beta
\lambda
, выполнены неравенства
\| x\| \infty \leq
3Ar\lambda
- rKr - Ar\varphi \lambda ,r
\biggl(
1
2
\biggl(
\pi
\lambda
- \beta
\lambda
\biggr) \biggr)
Ar\lambda - rKr +Ar\varphi \lambda ,r
\biggl(
1
2
\biggl(
\pi
\lambda
- \beta
\lambda
\biggr) \biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B)
и
E0(x)\infty \leq 2Ar\lambda
- rKr
Ar\lambda - rKr +Ar\varphi \lambda ,r
\biggl(
1
2
\biggl(
\pi
\lambda
- \beta
\lambda
\biggr) \biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B).
Приведенные выше рассуждения доказывают следующую теорему.
Теорема 2. Пусть r \in \bfN , а функция x \in Lr
\infty (Id) имеет минимальный период d, d \geq 2\pi
\lambda
,
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА РЕМЕЗА . . . 235
\lambda =
\biggl(
KrAr
E0(x)\infty
\biggr) 1
r
.
Тогда для любого \beta \in (0, 2\pi ) и произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset Id,
\mu B =
\beta
\lambda
, выполнены неравенства
\| x\| \infty \leq
3Kr - \varphi r
\biggl(
1
2
(\pi - \beta )
\biggr)
Kr + \varphi r
\biggl(
1
2
(\pi - \beta )
\biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B)
и
E0(x)\infty \leq 2Kr
Kr + \varphi r
\biggl(
1
2
(\pi - \beta )
\biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B).
При каждом фиксированном \lambda > 0 оба неравенства являются точными на классе\bigcup \biggl\{
Lr
\infty (Id) : d \geq 2\pi
\lambda
\biggr\}
функций с некоторым минимальным периодом d \geq 2\pi
\lambda
и обращаются в равенства для функции
x(t) = \varphi \lambda ,r(t) +
1
2
\biggl(
\lambda - rKr - \varphi \lambda ,r
\biggl(
1
2
\biggl(
\pi
\lambda
- \beta
\lambda
\biggr) \biggr) \biggr)
.
Пусть теперь x \in Lr
\infty (I2\pi ), k = 1, . . . , r - 1, q \in [1,\infty ]. Применяя к функции x неравенство\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq \| \varphi r - k\| q
\| \varphi r\|
1 - k
r\infty
E0(x)
1 - k
r\infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| k
r
\infty
,
принадлежащее Колмогорову [8] при q = \infty и Лигуну [9] при q < \infty , а затем оценивая E0(x)\infty
c помощью второго неравенства из теоремы 2, получаем такое следствие.
Следствие 1. Пусть r \in \bfN , k = 1, . . . , r - 1, q \in [1,\infty ]. Тогда для любой функции x \in
\in Lr
\infty (I2\pi ), любого \beta \in (0, 2\pi ) и произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset Id,
\mu B =
\beta
\lambda
(где \lambda определено в теореме 2), выполнено неравенство
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq 2\| \varphi r - k\| q\biggl[
Kr + \varphi r
\biggl(
1
2
(\pi - \beta )
\biggr) \biggr] 1 - k
r
\| x\| 1 -
k
r
L\infty (I2\pi \setminus B)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| k
r
\infty
.
Данное неравенство является точным и обращается в равенство для функции x(t) = \varphi r(t) +
+
1
2
\biggl(
Kr - \varphi r
\biggl(
1
2
(\pi - \beta )
\biggr) \biggr)
.
4. Неравенства типа Ремеза для тригонометрических полиномов. Напомним, что сим-
волом Tn мы обозначаем пространство тригонометрических полиномов порядка не выше n.
Зафиксируем полином T \in Tn и пусть его минимальный период равен
2\pi
m
, m \in \bfN . Положим
A := \| T\| \infty . Известно (см., например, доказательство теоремы 8.1.1 из [10]), что полином
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
236 В. А. КОФАНОВ
\varphi (t) := A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt является функцией сравнения для полинома T (t). Очевидно, что \varphi является
S-функцией с периодом
2\pi
n
. Таким образом, T \in S\varphi
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
. Поэтому, применяя теорему 1 к
полиному T, для произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset I 2\pi
m
, \mu B = \beta <
2\pi
n
,
получаем такие оценки:
\| T\| \infty
\| T\|
L\infty
\biggl(
I 2\pi
m
\setminus B
\biggr) \leq
3A - A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\biggl(
1
2
\Bigl( \pi
n
- \beta
\Bigr) \biggr)
A+A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\biggl(
1
2
\Bigl( \pi
n
- \beta
\Bigr) \biggr) =
3 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta n
2
1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta n
2
= 1 + 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
\beta n
4
и
E0(T )\infty
\| T\|
L\infty
\biggl(
I 2\pi
m
\setminus B
\biggr) \leq 2A
A+A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n
\biggl(
1
2
\Bigl( \pi
n
- \beta
\Bigr) \biggr) =
2
1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta n
2
= 1 + \mathrm{t}\mathrm{g}2
\beta n
4
.
Пусть теперь k \in \bfN . Тогда, применяя неравенство Бернштейна (см., например, [11, с. 20]),
а затем оценивая E0(T )\infty с помощью последнего неравенства, имеем\bigm\| \bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq nkE0(T )\infty \leq nk
\biggl(
1 + \mathrm{t}\mathrm{g}2
\beta n
4
\biggr)
\| T\|
L\infty
\biggl(
I 2\pi
m
\setminus B
\biggr) .
Если вместо неравенства Бернштейна применить его обобщение [12] (см. также [13])\bigm\| \bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq nk\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\cdot )\| q E0(T )\infty , q \geq 1,
то получим неравенство\bigm\| \bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq nk\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\cdot )\| q
\biggl(
1 + \mathrm{t}\mathrm{g}2
\beta n
4
\biggr)
\| T\|
L\infty
\biggl(
I 2\pi
m
\setminus B
\biggr) .
Таким образом, из теоремы 1 вытекает следующая теорема.
Теорема 3. Пусть n,m \in \bfN , \beta \in
\biggl(
0,
2\pi
n
\biggr)
. Тогда для любого тригонометрического по-
линома T \in Tn, имеющего минимальный период
2\pi
m
, и произвольного измеримого по Лебегу
множества B \subset I 2\pi
m
, \mu B = \beta , выполнены неравенства
\| T\| \infty \leq
\biggl(
1 + 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
\beta n
4
\biggr)
\| T\|
L\infty
\biggl(
I 2\pi
m
\setminus B
\biggr) (21)
и
E0(T )\infty \leq
\biggl(
1 + \mathrm{t}\mathrm{g}2
\beta n
4
\biggr)
\| T\|
L\infty
\biggl(
I 2\pi
m
\setminus B
\biggr) . (22)
Кроме того, для любого k \in \bfN и q \in [1,\infty ]\bigm\| \bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq nk\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\cdot )\| q
\biggl(
1 + \mathrm{t}\mathrm{g}2
\beta n
4
\biggr)
\| T\|
L\infty
\biggl(
I 2\pi
m
\setminus B
\biggr) . (23)
Неравенства (21) – (23) являются точными на классе Tn и обращаются в равенства для
полинома T (t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt+
1
2
\biggl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
n\beta
2
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА РЕМЕЗА . . . 237
Замечание 1. Неравенства (21) и (23) (при q = \infty ) были получены ранее в работе [3].
Перейдем теперь в теореме 3 от периода
2\pi
m
к основному периоду 2\pi и от множества
B \subset I 2\pi
m
к произвольному множеству B \subset I2\pi . При этом ясно, что если множество B1 реализует
точную верхнюю грань (при фиксированном T )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\| T\| \infty
\| T\|
L\infty
\biggl(
I 2\pi
m
\setminus B
\biggr) : B \subset I 2\pi
m
, \mu B =
\beta
m
\right\} ,
то множество \~B1 :=
\bigcup m
k=1
\biggl(
B1 +
2\pi
m
k
\biggr)
реализует верхнюю грань
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
\| T\| \infty
\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B)
: B \subset I2\pi , \mu B = \beta
\biggr\}
.
Справедливо такое следствие.
Следствие 2. Пусть n,m \in \bfN , \beta \in
\biggl(
0,
2\pi
n
m
\biggr)
. Тогда для любого тригонометрического
полинома T \in Tn, имеющего минимальный период
2\pi
m
, и произвольного измеримого по Лебегу
множества B \subset I2\pi , \mu B = \beta , выполнены неравенства
\| T\| \infty \leq
\biggl(
1 + 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
\beta n
4m
\biggr)
\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (24)
и
E0(T )\infty \leq
\biggl(
1 + \mathrm{t}\mathrm{g}2
\beta n
4m
\biggr)
\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B). (25)
Кроме того, для любого k \in \bfN и q \in [1,\infty ]\bigm\| \bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq nk\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\cdot )\| q
\biggl(
1 + \mathrm{t}\mathrm{g}2
\beta n
4m
\biggr)
\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B). (26)
Неравенства (24) – (26) являются точными на классе Tn и обращаются в равенства для поли-
нома T (t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt+
1
2
\biggl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta
2
\biggr)
.
Замечание 2. Неравенства (24) и (26) (при q = \infty ) были получены в работе [3].
5. Неравенства типа Ремеза для периодических полиномиальных сплайнов. В на-
стоящем пункте получены аналоги результатов из предыдущего пункта для полиномиальных
сплайнов. Пусть r, n \in \bfN . Напомним, что символом Sn,r обозначено пространство 2\pi -перио-
дических полиномиальных сплайнов порядка r дефекта 1 с узлами в точках k\pi /n, k \in \bfZ . Ясно,
что Sn,r \subset Lr
\infty (\bfR ).
Зафиксируем сплайн s \in Sn,r, и пусть он имеет минимальный период 2\pi /m. Положим
A := \| s\| \infty /\| \varphi n,r\| \infty , \varphi (t) := A\varphi n,r(t). Тогда в силу неравенства Тихомирова [14]\bigm\| \bigm\| \bigm\| s(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq \| s\| \infty
\| \varphi n,r\| \infty
= A. (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
238 В. А. КОФАНОВ
Таким образом, для сплайна s \in Lr
\infty (\bfR ) выполнены условия теоремы сравнения Колмогоро-
ва [8]
\| s\| \infty \leq A \| \varphi n,r\| \infty ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| s(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq A.
Согласно этой теореме, функция \varphi (t) := A\varphi n,r(t) является функцией сравнения для сплайна
s. Ясно, что \varphi является S-функцией с периодом 2\pi /n. Таким образом, s \in S\varphi
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
. Поэтому
в силу теоремы 1 для любого измеримого по Лебегу множества B \subset I 2\pi
m
, \mu B = \beta < 2\pi /n,
выполняются неравенства
\| s\| \infty \leq
3An - rKr - A\varphi n,r
\biggl(
1
2
\Bigl( \pi
n
- \beta
\Bigr) \biggr)
An - rKr +A\varphi n,r
\biggl(
1
2
\Bigl( \pi
n
- \beta
\Bigr) \biggr) \| s\| L\infty (I2\pi /m\setminus B)
и
E0(s)\infty \leq 2An - rKr
An - rKr +A\varphi n,r
\biggl(
1
2
\Bigl( \pi
n
- \beta
\Bigr) \biggr) \| s\| L\infty (I2\pi /m\setminus B). (28)
Пусть теперь r \in \bfN , k = 1, 2, . . . , r. Применяя неравенство Тихомирова [14]\bigm\| \bigm\| \bigm\| s(k)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq nk Kr - k
Kr
E0(s)\infty , s \in Sn,r,
а затем оценивая E0(s)\infty с помощью неравенства (28), имеем
\bigm\| \bigm\| \bigm\| s(k)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq nk Kr - k
Kr
E0(s)\infty \leq 2nkKr - k
Kr + \varphi r
\biggl(
1
2
(\pi - \beta n)
\biggr) \| s\| L\infty (I2\pi /m\setminus B).
Применяя вместо неравенства Тихомирова неравенство Лигуна [15]\bigm\| \bigm\| \bigm\| s(k)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq nk \| \varphi r - k\| q
Kr
E0(s)\infty , q \in [1,\infty ), k = 1, 2, . . . , r - 1,
для сплайнов s \in Sn,r, получаем
\bigm\| \bigm\| \bigm\| s(k)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq 2nk\| \varphi r - k\| q
Kr + \varphi r
\biggl(
1
2
(\pi - \beta n)
\biggr) \| s\| L\infty (I2\pi /m\setminus B).
Приведенные выше рассуждения доказывают следующую теорему.
Теорема 4. Пусть r, n,m \in \bfN , \beta \in
\biggl(
0,
2\pi
n
\biggr)
. Тогда для любого сплайна s \in Sn,r, имею-
щего минимальный период
2\pi
m
, и произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset I 2\pi
m
,
\mu B = \beta , выполнены неравенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА РЕМЕЗА . . . 239
\| s\| \infty \leq
3Kr - \varphi r
\biggl(
1
2
(\pi - \beta n)
\biggr)
Kr + \varphi r
\biggl(
1
2
(\pi - \beta n)
\biggr) \| s\|
L\infty
\biggl(
I 2\pi
m
\setminus B
\biggr)
и
E0(s)\infty \leq 2Kr
Kr + \varphi r
\biggl(
1
2
(\pi - \beta n)
\biggr) \| s\|
L\infty
\biggl(
I 2\pi
m
\setminus B
\biggr) .
Кроме того, для q \in [1,\infty ) и k = 1, . . . , r - 1 или q = \infty и k = 1, . . . , r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| s(k)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq 2nk\| \varphi r - k\| q
Kr + \varphi r
\biggl(
1
2
(\pi - \beta n)
\biggr) \| s\|
L\infty
\biggl(
I 2\pi
m
\setminus B
\biggr) .
Все три неравенства являются точными на классе Sn,r и обращаются в равенства для сплайна
s(t) = \varphi n,r(t) +
1
2
\biggl(
n - rKr - \varphi n,r
\biggl(
1
2
\biggl(
\pi
n
- \beta
n
\biggr) \biggr) \biggr)
.
Рассуждая, как и в предыдущем пункте, переходя в теореме 4 от периода
2\pi
m
к основному
периоду 2\pi и от множества B \subset I 2\pi
m
к произвольному множеству B \subset I2\pi , приходим к такому
следствию.
Следствие 3. Пусть r, n,m \in \bfN , \beta \in
\biggl(
0,
2\pi
n
m
\biggr)
. Тогда для любого сплайна s \in Sn,r,
имеющего минимальный период
2\pi
m
, и произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset
\subset I2\pi , \mu B = \beta , выполнены неравенства
\| s\| \infty \leq
3Kr - \varphi r
\biggl(
1
2
\biggl(
\pi - \beta n
m
\biggr) \biggr)
Kr + \varphi r
\biggl(
1
2
\biggl(
\pi - \beta n
m
\biggr) \biggr) \| s\| L\infty (I2\pi \setminus B)
и
E0(s)\infty \leq 2Kr
Kr + \varphi r
\biggl(
1
2
\biggl(
\pi - \beta n
m
\biggr) \biggr) \| s\| L\infty (I2\pi \setminus B).
Кроме того, для q \in [1,\infty ) и k = 1, . . . , r - 1 или q = \infty и k = 1, . . . , r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| s(k)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq 2nk\| \varphi r - k\| q
Kr + \varphi r
\biggl(
1
2
\biggl(
\pi - \beta n
m
\biggr) \biggr) \| s\| L\infty (I2\pi \setminus B).
Все три неравенства являются точными на классе Sn,r и обращаются в равенства для сплайна
s(t) = \varphi n,r(t) +
1
2
\biggl(
n - rKr - \varphi n,r
\biggl(
1
2
\biggl(
\pi
n
- \beta
n
\biggr) \biggr) \biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
240 В. А. КОФАНОВ
Литература
1. Remes E. Sur une propriete еxtremale des polynomes de Tchebychef // Зап. Наук.-дослiд. iн-ту математики й
механiки та Харкiв. мат. товариства. Сер 4. – 1936. – 13, вип. 1. – С. 93 – 95.
2. Ganzburg M. I. On a Remez-type inequality for trigonometric polynomials // J. Approxim. Theory. – 2012. – 164. –
P. 1233 – 1237.
3. Nursultanov E., Tikhonov S. A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials // Consr. Approxim. – 2013. –
38. – P. 101 – 132.
4. Borwein P., Erdelyi T. Polynomials and polynomial inequalities. – New York: Springer, 1995.
5. Ganzburg M. I. Polynomial inequalities on measurable sets and their applications // Consr. Approxim. – 2001. – 17. –
P. 275 – 306.
6. Bojanov B., Naidenov N. An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos // J.
Anal. Math. – 1999. – 78. – P. 263 – 280.
7. Кофанов В. А. Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной
функцией сранения // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 969 – 984.
8. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на
бесконечном интервале // Избр. труды. Математика, механика. – М.: Наука, 1985. – С. 252 – 263.
9. Ligun A. A. Inequalities for upper bounds of functionals // Anal. Math. – 1976. – 2, № 1. – P. 11 – 40.
10. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. — 616 c.
12. Calderon A. P., Klein G. On an extremum problem concerning trigonometrical polynomials // Stud. Math. – 1951. –
12. – P. 166 – 169.
13. Тайков Л. В. Одно обобщение неравенства Бернштейна // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 78. – С. 43 – 47.
14. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений
// Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 3. – С. 81 – 120.
15. Лигун А. А. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых
классов функций // Мат. заметки. – 1976. – 19, № 6. – С. 913 – 926.
Получено 12.03.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1836 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:33Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/16/39a0ea9ff91129ec77899ab005241616.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18362019-12-05T09:29:16Z Sharp Remez-type inequalities for differentiable periodic functions, polynomials and splines Точные неравенства типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. For any $\omega > 0,\; \beta \in (0, 2\omega)$, and any measurable set $B \in I_d := [0, d],\; \mu B = \beta$, we obtain the following sharp inequality of the Remez type: $$||x||_{\infty} \leq \frac{3||\varphi||_{\infty} - \varphi \biggl(\frac{\omega - \beta}2 \biggr)}{||\varphi||_{\infty} + \varphi \biggl(\frac{\omega - \beta}2 \biggr)} ||x||_{L_{\infty}(I_d\setminus B)}$$ on the set $S_{\varphi} (\omega )$ of functions $x$ with minimal period $d (d \geq 2\omega)$ and a given sine-shaped $2\omega$ -periodic comparison function $\varphi$. In particular, we prove the sharp Remez-type inequalities on the Sobolev spaces of differentiable periodic functions. We also obtain inequalities of the indicated type on the spaces of trigonometric polynomials and polynomial splines. Для довiльних $\omega > 0,\; \beta \in (0, 2\omega)$ i будь-якої вимiрної множини $B \in I_d := [0, d],\; \mu B = \beta$, отримано точну нерiвнiсть типу Ремеза $$||x||_{\infty} \leq \frac{3||\varphi||_{\infty} - \varphi \biggl(\frac{\omega - \beta}2 \biggr)}{||\varphi||_{\infty} + \varphi \biggl(\frac{\omega - \beta}2 \biggr)} ||x||_{L_{\infty}(I_d\setminus B)}$$ на класах $S_{\varphi} (\omega )$ функцiй $x$ мiнiмального перiоду $d (d \geq 2\omega)$, що мають задану синусоподiбну $2\omega$ -перiодичну функцiю порiвняння $\varphi$. Як наслiдок отримано точнi нерiвностi типу Ремеза на соболєвських класах диференцiйовних перiодичних функцiй та просторах тригонометричних полiномiв i полiномiальних сплайнiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1836 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 2 (2016); 227-240 Український математичний журнал; Том 68 № 2 (2016); 227-240 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1836/818 Copyright (c) 2016 Kofanov V. A. |
| spellingShingle | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. Sharp Remez-type inequalities for differentiable periodic functions, polynomials and splines |
| title | Sharp Remez-type inequalities for differentiable periodic functions, polynomials and splines |
| title_alt | Точные неравенства типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов |
| title_full | Sharp Remez-type inequalities for differentiable periodic functions, polynomials and splines |
| title_fullStr | Sharp Remez-type inequalities for differentiable periodic functions, polynomials and splines |
| title_full_unstemmed | Sharp Remez-type inequalities for differentiable periodic functions, polynomials and splines |
| title_short | Sharp Remez-type inequalities for differentiable periodic functions, polynomials and splines |
| title_sort | sharp remez-type inequalities for differentiable periodic functions, polynomials and splines |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1836 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesfordifferentiableperiodicfunctionspolynomialsandsplines AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesfordifferentiableperiodicfunctionspolynomialsandsplines AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesfordifferentiableperiodicfunctionspolynomialsandsplines AT kofanovva točnyeneravenstvatiparemezadlâdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijpolinomovisplajnov AT kofanovva točnyeneravenstvatiparemezadlâdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijpolinomovisplajnov AT kofanovva točnyeneravenstvatiparemezadlâdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijpolinomovisplajnov |