Inverse problem in the space of generalized functions
For a linear nonhomogeneous diffusion equation with fractional derivative of order $\beta \in (0, 2)$ with respect to time, we establish a unique solvability of the inverse problem of determination of a pair of functions: the generalized solution u (classical as a function of time) of the first bo...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1837 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507708545826816 |
|---|---|
| author | Lopushanskaya, G. P. Lopushanskyi, A. O. Rapita, V. Лопушанська, Г. П. Лопушанський, А. О. Рапіта, В. |
| author_facet | Lopushanskaya, G. P. Lopushanskyi, A. O. Rapita, V. Лопушанська, Г. П. Лопушанський, А. О. Рапіта, В. |
| author_sort | Lopushanskaya, G. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:16Z |
| description | For a linear nonhomogeneous diffusion equation with fractional derivative of order $\beta \in (0, 2)$ with respect to time, we establish a unique solvability of the inverse problem of determination of a pair of functions: the generalized solution u
(classical as a function of time) of the first boundary-value problem for the indicated equation with given generalized functions on the right-hand sides and the unknown (depending on time) continuous coefficient of the minor term of the
equation under the overdetermination condition
$$\bigl( u(\cdot , t), \varphi_0(\cdot ) \bigr) = F(t), t \in [0, T].$$
Here, $F$ is a given continuous function and $(u(\cdot , t), \varphi_0(\cdot ))$ is the value of the unknown generalized function u on a given
test function $\varphi_0$ for any $t \in [0, T]$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
A. Лопушанський (Жешув. ун-т, Польща),
Г. Лопушанська, В. Рапiта (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА У ПРОСТОРI УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ
For a linear nonhomogeneous diffusion equation with fractional derivative of order \beta \in (0, 2) with respect to time, we
establish a unique solvability of the inverse problem of determination of a pair of functions: the generalized solution u
(classical as a function of time) of the first boundary-value problem for the indicated equation with given generalized
functions on the right-hand sides and the unknown (depending on time) continuous coefficient of the minor term of the
equation under the overdetermination condition\bigl(
u(\cdot , t), \varphi 0(\cdot )
\bigr)
= F (t), t \in [0, T ].
Here, F is a given continuous function and (u(\cdot , t), \varphi 0(\cdot )) is the value of the unknown generalized function u on a given
test function \varphi 0 for any t \in [0, T ].
Установлена однозначная разрешимость обратной задачи для линейного неоднородного уравнения диффузии с
дробной производной порядка \beta \in (0, 2) по времени — задачи об определении пары функций: обобщенного
решения u (классического по времени) первой краевой задачи для такого уравнения с обобщенными функциями в
правых частях и неизвестного, зависящего от времени, непрерывного коэффициента в младшем члене уравнения
при условии переопределения \bigl(
u(\cdot , t), \varphi 0(\cdot )
\bigr)
= F (t), t \in [0, T ].
Здесь F — заданная непрерывная функция, (u(\cdot , t), \varphi 0(\cdot )) — значение неизвестной обобщенной функции u на
заданной основной функции \varphi 0 для каждого t \in [0, T ].
1. Вступ. Рiвняння з дробовими похiдними та оберненi задачi для них виникають при вивченнi
аномальної дифузiї та в iнших областях науки i технiки. Умови класичної розв’язностi задачi
Кошi та першої крайової задачi для рiвнянь з регуляризованою дробовою похiдною за часом
отримано у багатьох працях (див., наприклад, [1 – 8]). Деякi оберненi крайовi задачi для рiв-
няння дифузiї з рiзними невiдомими функцiями i параметрами було дослiджено, наприклад, у
[9 – 15].
Елiптичнi й параболiчнi крайовi задачi з узагальненими функцiями у правих частинах до-
слiджено достатньо повно (див. [16 – 20] та наведену там бiблiографiю). В роботах [21, 22]
доведено розв’язнiсть першої крайової задачi для рiвнянь з дробовою похiдною за часом у
просторах узагальнених функцiй.
У цiй статтi доведено iснування та єдинiсть розв’язку (u, b) оберненої крайової задачi
u
(\beta )
t - uxx - b(t)u = g(t)F0(x), (x, t) \in (0, l)\times (0, T ], (1)
u(0, t) = u(l, t) = 0, t \in [0, T ], (2)
u(x, 0) = F1(x), x \in (0, l), (3)
ut(x, 0) = F2(x), x \in (0, l), (4)
(u(\cdot , t), \varphi 0(\cdot )) = F (t), t \in [0, T ], (5)
з дробовою похiдною Рiмана – Лiувiлля порядку \beta \in (0, 2), де F0, F1, F2 — заданi узагальненi
функцiї, g, F — заданi неперервнi функцiї, (u(\cdot , t), \varphi 0(\cdot )) — значення невiдомої узагальненої
c\bigcirc A. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. ЛОПУШАНСЬКА, В. РАПIТА, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2 241
242 A. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. ЛОПУШАНСЬКА, В. РАПIТА
функцiї u на заданiй основнiй функцiї \varphi 0 для кожного t \in [0, T ]. У випадку \beta \in (0, 1] умови
(4) немає. Для доведення розв’язностi задачi застосовано метод функцiї Грiна.
Зауважимо, що при \beta = 1
\Bigl(
та
\partial u
\partial t
замiсть D1
t u
\Bigr)
оберненi крайовi задачi знаходження
пари функцiй (u, b) при гладких даних у правих частинах та iнших умовах перевизначення
дослiджувалися, наприклад, у [23, 24], де доведенo теореми iснування та єдиностi.
2. Основнi позначення, означення та допомiжнi результати. Будемо використовувати
наступнi позначення: Q0 = (0, l)\times (0, T ], \scrD (R) та \scrD (0, l) — простори нескiнченно диференцi-
йовних функцiй з компактними носiями вiдповiдно в R i (0, l), \scrD [0, l] = C\infty [0, l],
\scrD (Q0) =
\Biggl\{
v \in C\infty (Q0) :
\biggl(
\partial
\partial t
\biggr) k
v| t=T = 0, k = 0, 1, . . .
\Biggr\}
,
\scrD \prime (R), \scrD \prime (0, l), \scrD \prime [0, l] i \scrD \prime (Q0) — простори лiнiйних неперервних функцiоналiв (узагальнених
функцiй [25, c. 13 – 15]) на \scrD (R),\scrD (0, l),\scrD [0, l] i \scrD (Q0) вiдповiдно, (f, \varphi ) — значення f \in \scrD \prime (R)
(також f \in \scrD \prime (0, l), f \in \scrD \prime [0, l] i f \in \scrD \prime (Q0)) на основнiй функцiї \varphi \in \scrD (R) (на \varphi \in \scrD (0, l),
\varphi \in \scrD [0, l] i \varphi \in \scrD (Q0) вiдповiдно),
\scrD \prime
C( \=Q0) =
\bigl\{
v \in \scrD \prime ( \=Q0) : (v(\cdot , t), \varphi (\cdot )) \in C[0, T ] \forall \varphi \in \scrD [0, l]
\bigr\}
.
Позначимо через g\^\ast \varphi згортку узагальненої g та основної \varphi функцiй: (g\^\ast \varphi )(x) = (g(\xi ), \varphi (x+\xi )).
Через f\ast g позначимо згортку узагальнених функцiй f та g: (f \ast g, \varphi ) = (f, g\^\ast \varphi ) для кожної
основної функцiї \varphi . Будемо використовувати функцiю
f\lambda (t) =
\left\{
\theta (t)t\lambda - 1
\Gamma (\lambda )
для \lambda > 0,
f \prime 1+\lambda (t) для \lambda \leq 0,
де \Gamma (z) — гамма-функцiя, \theta (t) — функцiя Хевiсайда. Справджуються спiввiдношення
f\lambda \ast f\mu = f\lambda +\mu , f\lambda \^\ast f\mu = f\lambda +\mu .
Зауважимо, що похiдну Рiмана – Лiувiлля v(\beta )t (x, t) порядку \beta > 0 визначено формулою
v
(\beta )
t (x, t) = f - \beta (t) \ast v(x, t),
похiдну Джрбашяна – Капуто (регуляризовану похiдну дробового порядку) — формулами
D\beta
t u(x, t) =
1
\Gamma (1 - \beta )
\left[ \partial
\partial t
t\int
0
u(x, \tau )
(t - \tau )\beta
d\tau - u(x, 0)
t\beta
\right] =
= u
(\beta )
t (x, t) - f1 - \beta (t)u(x, 0) для \beta \in (0, 1),
D\beta
t u(x, t) =
1
\Gamma (2 - \beta )
\left[ \partial
\partial t
t\int
0
u\tau (x, \tau )
(t - \tau )\beta - 1
d\tau - ut(x, 0)
(t - \tau )\beta - 1
\right] =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА У ПРОСТОРI УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ 243
= u
(\beta )
t (x, t) - f1 - \beta (t)u(x, 0) - f2 - \beta (t)ut(x, 0) для \beta \in (1, 2).
Нехай
C2,\beta (Q0) = \{ v \in C(Q0) | vxx, D\beta
t v \in C(Q0)\} ,
C2,\beta ( \=Q0) = \{ v \in C2,\beta (Q0) | v, vt \in C( \=Q0)\} ,
C2,\beta ( \=Q0) = C2,\beta (Q0) \cap C( \=Q0) у випадку \beta \in (0, 1].
Введемо оператори
L : (Lv)(x, t) \equiv v
(\beta )
t (x, t) - vxx(x, t), (x, t) \in Q0, v \in \scrD \prime (Q0),
Lreg : (Lregv)(x, t) \equiv D\beta
t v(x, t) - vxx(x, t), (x, t) \in Q0, v \in C2,\beta ( \=Q0),
\^L : (\^Lv)(x, t) \equiv f - \beta \^\ast v(x, t) - vxx(x, t), (x, t) \in Q0, v \in \scrD (Q0),
i функцiональний простiр
X(Q0) = \{ v \in \scrD (Q0) : v(0, t) = 0, v(l, t) = 0, t \in [0, T ], \^Lv \in \scrD (Q0)\} .
Для v \in C2,\beta ( \=Q0), \psi \in X( \=Q0) правильною є формула Грiна (див. [15])\int
Q0
v(y, \tau )(\^L\psi )(y, \tau )dyd\tau =
\int
Q0
(Lregv)(y, \tau )\psi (y, \tau )dyd\tau +
+
l\int
0
v(y, 0)dy
T\int
0
f1 - \beta (\tau )\psi (y, \tau )d\tau +
l\int
0
vt(y, 0)dy
T\int
0
f2 - \beta (\tau )\psi (y, \tau )d\tau . (6)
Останнього доданка у випадку \beta \in (0, 1] немає.
Введемо такi припущення:
(\mathrm{F}0) g \in C[0, T ], Fj \in \scrD \prime [0, l], j = 0, 1, 2,
(\mathrm{F}) F, F (\beta ) \in C[0, T ], | F (t)| \geq f = const > 0, t \in [0, T ], \varphi 0 \in \scrD (0, l).
Означення 1. Пара функцiй
(u, b) \in \scrM (Q0) = \scrM := \scrD \prime
C( \=Q0)\times C[0, T ]
називається розв’язком задачi (1) – (5), якщо вона задовольняє тотожнiсть
T\int
0
\bigl(
u(\cdot , t), (\^L\psi )(\cdot , t)
\bigr)
dt =
T\int
0
g(t)
\bigl(
F0(\cdot ), \psi (\cdot , t)
\bigr)
dt+
T\int
0
b(t)
\bigl(
u(\cdot , t), \psi (\cdot , t)
\bigr)
dt+
+
2\sum
j=1
\left( Fj(\cdot ),
T\int
0
fj - \beta (t)\psi (\cdot , t)dt
\right) \forall \psi \in X( \=Q0) (7)
та умову (5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
244 A. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. ЛОПУШАНСЬКА, В. РАПIТА
Iз (3), (4) i (5) випливають необхiднi умови узгодження даних:
(F1, \varphi 0) = F (0), (F2, \varphi 0) = F \prime (0). (8)
Означення 2. Вектор-функцiя (G0(x, t, y, \tau ), G1(x, t, y), G2(x, t, y)) називається вектор-
функцiєю Грiна задачi
(Lregu)(x, t) = F (x, t), (x, t) \in Q0, (9)
u(0, t) = u(l, t) = 0, t \in [0, T ], (10)
u(x, 0) = F1(x), ut(x, 0) = F2(x), x \in [0, l], (11)
а також такої задачi для рiвняння
(Lu)(x, t) = F (x, t), (x, t) \in Q0,
якщо при достатньо регулярних F, F1, F2 функцiя
u(x, t) =
t\int
0
d\tau
l\int
0
G0(x, t, y, \tau )F (y, \tau )dy +
2\sum
j=1
l\int
0
Gj(x, t, y)Fj(y)dy, (x, t) \in Q0, (12)
є класичним (iз C2,\beta ( \=Q0)) розв’язком задачi (9) – (11). У випадку \beta \in (0, 1] третьої складової
G2(x, t, y), другої початкової умови та останнього доданка у (12) немає.
Це означення для випадку однорiдних крайових умов у задачi.
З означення 2 випливає, що
(LG0)(x, t, y, \tau ) = \delta (x - y, t - \tau ), (x, t), (y, \tau ) \in Q0, де \delta — дельта-функцiя Дiрака,
Gj(0, t, y) = Gj(l, t, y) = 0, y \in (0, l), t \in (0, T ], j = 0, 1, 2,
(LregGj)(x, t, y) = 0, (x, t) \in Q0, y \in (0, l), j = 1, 2, G1(x, 0, y) = \delta (x - y),
\partial
\partial t
G1(x, 0, y) = 0, G2(x, 0, y) = 0,
\partial
\partial t
G2(x, 0, y) = \delta (x - y), x, y \in (0, l).
Лема 1 [21, 22]. Справджуються спiввiдношення
Gj(x, t, y) =
t\int
0
fj - \beta (\tau )G0(x, t, y, \tau )d\tau , (x, t) \in \=Q0, y \in \Omega 0, j = 1, 2,
( \^\scrG 0(\^L\psi ))(\xi , \tau ) = \psi (\xi , \tau ), (\xi , \tau ) \in \=Q0,
( \^\scrG j(\^L\psi ))(\xi ) =
T\int
0
fj - \beta (t)\psi (\xi , t) dt, \xi \in \BbbR , \psi \in X( \=Q0),
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА У ПРОСТОРI УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ 245
(\widehat \scrG 0\varphi )(y, \tau ) =
T\int
\tau
dt
l\int
0
G0(x, t, y, \tau )\varphi (x, t)dx,
(\widehat \scrG j\varphi )(y) =
T\int
0
dt
l\int
0
Gj(x, t, y)\varphi (x, t)dx, \varphi \in \scrD ( \=Q0), j = 1, 2.
Лема 2 [15]. Вектор-функцiя Грiна першої крайової задачi (9) – (11) iснує.
Будемо використовувати позначення
( \widehat G0\varphi )(y, t, \tau ) =
l\int
0
G0(x, t, y, \tau )\varphi (x)dx,
( \widehat Gj\varphi )(y, t) =
l\int
0
Gj(x, t, y)\varphi (x)dx, j = 1, 2.
Згiдно з [22], для довiльної функцiї \varphi \in \scrD [0, l] маємо
(\widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau ) \in \scrD [0, l], 0 \leq \tau < t \leq T,
(\widehat Gj\varphi )(\cdot , t) \in \scrD [0, l], t \in [0, T ], j = 1, 2,
та справджуються оцiнки\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\biggl(
\partial
\partial y
\biggr) k
(\widehat G0\varphi )(y, t, \tau )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c0| | \varphi | | Ck[0,l] \cdot (t - \tau )\beta - 1, 0 \leq \tau < t \leq T, y \in [0, l], (13)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\biggl(
\partial
\partial y
\biggr) k
(\widehat Gj\varphi )(y, t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq cj | | \varphi | | Ck[0,l] \cdot tj - 1, (y, t) \in \=Q0, j = 1, 2, \varphi \in \scrD [0, l], (14)
k = 0, 1, 2, . . . . Тут | | \varphi | | Ck[0,l] = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq j\leq k \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq x\leq l | \varphi (j)(x)| , cj , j = 0, 1, 2, — певнi додат-
нi сталi.
Теорема 1 [22]. За припущення (\mathrm{F}0) iснує єдиний розв’язок u \in \scrD \prime
C(
\=Q0) першої крайової
задачi (2) – (4) для рiвняння
(Lu)(x, t) = g(t)F0(x), (x, t) \in Q0, (15)
що визначається формулою
\bigl(
u(\cdot , t), \varphi (\cdot )
\bigr)
=
t\int
0
g(\tau )
\bigl(
F0(\cdot ), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr)
d\tau +
2\sum
j=1
\bigl(
Fj(\cdot ), ( \widehat Gj\varphi )(\cdot , t)
\bigr)
\forall \varphi \in \scrD [0, l], t \in [0, T ].
(16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
246 A. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. ЛОПУШАНСЬКА, В. РАПIТА
При доведеннi теореми 1 (теореми 3 iз [22]), з використанням наведених у лемi 1 формул
та (13), (14), встановлено, що за припущення (\mathrm{F}0) функцiя (16) задовольняє тотожнiсть (7) при
b(t) = 0, а також тотожнiсть
(u, \widehat L\psi ) = (F,\psi ) +
2\sum
j=1
\left( Fj ,
T\int
0
fj - \beta (t)\psi (\cdot , t)dt
\right) \forall \psi \in X( \=Q0),
яка є узагальненням формули Грiна (6). Саме тому взято тотожнiсть (7) в означеннi розв’язку
задачi (1) – (5).
Зауважимо також, що G0(x, t, y, \tau ) = G0(x - y, t - \tau ), Gj(x, t, y) = Gj(x - y, t), j = 1, 2,
для рiвняння зi сталими коефiцiєнтами та формулу (16) можна записати у виглядi
u = (gF0) \ast G0 +
2\sum
j=1
Fj \ast Gj .
Легко бачити, що при регулярних Fj , j = 0, 1, 2, розв’язок задачi (2) – (4) для рiвняння (15)
буде регулярним в Q0.
3. Теореми iснування та єдиностi для оберненої задачi. Перейдемо до доведення iснуван-
ня розв’язку оберненої задачi (1) – (5).
З теореми 1 випливає, що за припущення (\mathrm{F}0) при вiдомому значеннi функцiї b \in C[0, T ]
розв’язок u \in \scrD \prime
C(
\=Q0) першої крайової задачi (1) – (4) задовольняє рiвняння
\bigl(
u(\cdot , t), \varphi (\cdot )
\bigr)
=
t\int
0
b(\tau )
\bigl(
u(\cdot , t), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr)
d\tau + h\varphi (t) \forall \varphi \in \scrD [0, l], (17)
де
h\varphi (t) =
t\int
0
g(\tau )
\bigl(
F0(\cdot ), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr)
d\tau +
2\sum
j=1
\bigl(
Fj(\cdot ), ( \widehat Gj\varphi )(\cdot , t)
\bigr)
, t \in [0, T ], (18)
та h\varphi \in C[0, T ] для кожної функцiї \varphi \in \scrD [0, l]. Навпаки, будь-який розв’язок u \in \scrD \prime
C(
\=Q0)
рiвняння (17) (при вiдомому значеннi функцiї b \in C[0, T ]) є розв’язком задачi (1) – (4).
З рiвняння (1) одержуємо\bigl(
u
(\beta )
t (\cdot , t), \varphi 0(\cdot )
\bigr)
=
\bigl(
u(\cdot , t), \varphi \prime \prime
0(\cdot )
\bigr)
+ b(t)
\bigl(
u(\cdot , t), \varphi 0(\cdot )
\bigr)
+ (F0, \varphi 0)g(t).
Використовуючи умову (5) та припущення (F), знаходимо вираз для b(t) через u:
b(t) =
\bigl[
F (\beta )(t) -
\bigl(
u(\cdot , t), \varphi \prime \prime
0(\cdot )
\bigr)
- (F0, \varphi 0)g(t)
\bigr]
[F (t)] - 1, t \in [0, T ]. (19)
З теореми 1 i припущення (F) випливає, що права частина (19) є неперервною функцiєю на
[0, T ]. Позначимо
r(u, t) =
\bigl[
F (\beta )(t) -
\bigl(
u(\cdot , t), \varphi \prime \prime
0(\cdot )
\bigr)
- (F0, \varphi 0)g(t)
\bigr]
[F (t)] - 1, t \in (0, T ]. (20)
Пiдставляючи r(u, t) в (17) замiсть b(t), отримуємо нелiнiйне рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА У ПРОСТОРI УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ 247
\bigl(
u(\cdot , t), \varphi (\cdot )
\bigr)
=
t\int
0
r(u, \tau )
\bigl(
u(\cdot , t), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr)
d\tau + h\varphi (t) \forall \varphi \in \scrD [0, l], t \in [0, T ], (21)
щодо невiдомої функцiї u \in \scrD \prime
C(
\=Q0). Ми звели задачу (1) – (5) до системи (21), (19). Справед-
ливим є обернене твердження, i ми отримуємо наступний результат.
Теорема 2. За припущень (\mathrm{F}0), (\mathrm{F}) i (8) пара функцiй (u, b) \in \scrM (Q0) є розв’язком задачi
(1) – (5) тодi i лише тодi, коли функцiя u \in \scrD \prime
C( \=Q0) є розв’язком рiвняння (21), а функцiю
b \in C[0, T ] визначено формулою (19).
Теорема 3. За припущень (\mathrm{F}0), (\mathrm{F}) i (8) iснують T \ast \in (0, T ] (Q\ast
0 = (0, l) \times (0, T \ast ] вiдпо-
вiдно) i розв’язок (u, b) \in \scrM (Q\ast
0) = \scrD \prime
C(
\=Q\ast
0) \times C[0, T \ast ] задачi (1) – (5): функцiя u є розв’язком
рiвняння (21), b визначено згiдно з (19).
Доведення. З теореми 1 випливає, що права частина (21) неперервна на [0, T ]. На пiдставi
теореми 2 достатньо довести розв’язнiсть рiвняння (21) в \scrD \prime
C( \=Q0).
Вiдомо [25], що узагальнена функцiя в обмеженiй областi має скiнченний порядок сингу-
лярностi: iснують k0, k1, k2 \in \{ 0, 1, 2, . . . \} i такi функцiї g0k, g1k, g2k \in L1(0, l), що
\bigl(
Fj , \varphi
\bigr)
=
kj\sum
k=0
l\int
0
gjk(y)\varphi
(k)(y)dy \forall \varphi \in \scrD [0, l], j = 0, 1, 2, (22)
а отже, iснують такi додатнi сталi Cj , що\bigm| \bigm| \bigl( Fj , \varphi
\bigr) \bigm| \bigm| \leq Cj | | \varphi | | Ckj [0,l]
\forall \varphi \in \scrD [0, l], j = 0, 1, 2.
Для v \in \scrD \prime
C(
\=Q0) i за теоремою 1 для розв’язку v першої крайової задачi для рiвняння (15)
маємо \bigm| \bigm| \bigl( v(\cdot , t), \varphi (\cdot )\bigr) \bigm| \bigm| \leq C| | \varphi | | CK [0,l] \forall t \in [0, T ], \varphi \in \scrD [0, l],
з деякими натуральним числом K i C = const > 0.
Нехай K \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ k0, k1, k2\} , R = const > 0,
MR =MR(Q0) =
\Biggl\{
v \in \scrD \prime
C( \=Q0) : | | v| | K := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in \scrD [0,l]
| (v(\cdot , t), \varphi (\cdot ))|
| | \varphi | | CK [0,l]
\leq R
\Biggr\}
.
Визначимо оператор P : \scrD \prime
C(
\=Q0) \rightarrow \scrD \prime
C(
\=Q0) як
\bigl(
(Pv)(\cdot , t), \varphi (\cdot )
\bigr)
= h\varphi (t) +
t\int
0
r(v, \tau )
\bigl(
v(\cdot , t), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr)
d\tau , t \in [0, T ], \varphi \in \scrD [0, l], (23)
де v \in \scrD \prime
C(
\=Q0), h\varphi (t) визначенo згiдно з (18).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
248 A. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. ЛОПУШАНСЬКА, В. РАПIТА
Застосуємо принцип Банаха. Спочатку покажемо iснування таких R\ast > 0, T \ast \in (0, T ],
Q\ast
0 = (0, l)\times (0, T \ast ] i MR\ast (Q\ast
0), що P :MR\ast (Q\ast
0) \rightarrow MR\ast (Q\ast
0).
Згiдно з (13),
t\int
0
| | ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )| | CK [0,l]d\tau =
t\int
0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq k\leq K
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq y\leq l
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\biggl(
\partial
\partial y
\biggr) k
( \widehat G0\varphi )(y, t, \tau )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\tau \leq
\leq c \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq k\leq K
| | \varphi | | Ck[0,l]
t\int
0
(t - \tau )\beta - 1d\tau = q| | \varphi | | CK [0,l] t
\beta , t \in [0, T ],
де c, q — певнi додатнi сталi. Тодi, використовуючи (22) та (13), для довiльних \varphi \in \scrD [0, l],
t \in [0, T ] одержуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
g(\tau )
\bigl(
F0(\cdot ), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr)
d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
g(\tau )
\left( k0\sum
k=0
l\int
0
g0k(y)
\biggl(
\partial
\partial y
\biggr) k
( \widehat G0\varphi )(y, t, \tau )dy
\right) d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq s\leq T
| g(s)|
k0\sum
k=0
l\int
0
| g0k(y)|
\left( t\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\biggl(
\partial
\partial y
\biggr) k
( \widehat G0\varphi )(y, t, \tau )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\tau
\right) dy \leq
\leq c \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq s\leq T
| g(s)|
k0\sum
k=0
l\int
0
| g0k(y)| dy | | \varphi | | Ck[0,l] t
\beta \leq
\leq c \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq s\leq T
| g(s)|
k0\sum
k=0
l\int
0
| g0k(y)| dy | | \varphi | | Ck0 [0,l] t
\beta = b0| | \varphi | | Ck0 [0,l] t
\beta ,
тобто \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
g(\tau )
\bigl(
F0(\cdot ), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr)
d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq b0| | \varphi | | Ck0 [0,l] t
\beta \leq b0| | \varphi | | CK [0,l] t
\beta . (24)
Так само, використовуючи (22) при j = 1, 2, оцiнки (14) та (24), отримуємо
| | h\varphi | | C[0,T ] \leq b0| | \varphi | | Ck0 [0,l] t
\beta +
2\sum
j=1
bj | | \varphi | | Ckj [0,l]
tj - 1 \leq [b0t
\beta + b1 + b2t]| | \varphi | | CK [0,l]. (25)
Тут b1, b2 — додатнi сталi (b2 = 0, якщо \beta \in (0, 1]).
Для кожної v \in MR маємо\bigm| \bigm| \bigl( v(\cdot , \tau ), \varphi \prime \prime
0(\cdot )
\bigr) \bigm| \bigm| \leq R\| \varphi \prime \prime
0\| CK [0,l] = b3R, \tau \in [0, T ],
а отже, | r(v, \tau )| \leq B + b3R
f
, \tau \in [0, T ], де B = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}t\in [0,T ] | F (\beta )(t) - (F0, \varphi 0)g(t)| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА У ПРОСТОРI УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ 249
Тодi, враховуючи (24) та (25), для довiльної функцiї \varphi \in \scrD [0, l] i всiх t \in [0, T ] знаходимо\bigm| \bigm| \bigl( (Pv)(\cdot , t), \varphi (\cdot )\bigr) \bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigl[
b0t
\beta + b1 + b2t
\bigr]
| | \varphi | | CK [0,l] +
(B + b3R)R
f
t\int
0
| | ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )| | CK [0,l]d\tau \leq
\leq
\biggl[
b0t
\beta + b1 + b2t+
(B + b3R)Rqt
\beta
f
\biggr]
| | \varphi | | CK [0,l] =
= [q0t
\beta R2 + q1t
\beta R+ q2]| | \varphi | | CK [0,l],
де q0 =
b3q
f
, q1 =
Bq
f
, q2 = b0T
\beta + b1 + b2T, а звiдси
\bigm| \bigm| \bigl( (Pv)(\cdot , t), \varphi (\cdot )\bigr) \bigm| \bigm|
| | \varphi | | CK [0,l]
\leq q0t
\beta R2 + q1t
\beta R+ q2 \forall t \in [0, T ], v \in MR, \varphi \in \scrD [0, l].
Виберемо R\ast = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 2q2, 1\} . Тодi q2 \leq R\ast /2, R\ast \leq R\ast 2 та потрiбна нерiвнiсть
(q0 + q1)t
\beta R\ast 2 + q2 \leq R\ast \forall t \in [0, T \ast ]
випливає з нерiвностi
2(q0 + q1)t
\beta R\ast \leq 1.
Остання ж нерiвнiсть виконується для всiх t \leq t\ast = [2(q0+q1)R
\ast ]
- 1
\beta . Отже, доведено iснування
таких R = R\ast > 0, T \ast = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ t\ast , T\} > 0, що P : MR\ast (Q\ast
0) \rightarrow MR\ast (Q\ast
0).
Тепер покажемо, що оператор P є стискаючим на MR\ast (Q\ast
0). Для v1, v2 \in MR\ast (Q\ast
0), \varphi \in
\in \scrD [0, l] i t \in [0, T \ast ] маємо\bigm| \bigm| \bigl( (Pv1)(\cdot , t), \varphi (\cdot )\bigr) - \bigl( (Pv2)(\cdot , t), \varphi (\cdot )\bigr) \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigl( (Pv1)(\cdot , t) - (Pv2)(\cdot , t), \varphi (\cdot )
\bigr) \bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
\bigl[
r(v1, \tau )
\bigl(
v1(\cdot , \tau ), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr)
- r(v2, \tau )
\bigl(
v2(\cdot , \tau ), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr) \bigr]
d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
\bigl[
r(v1, \tau )
\bigl(
v1(\cdot , \tau ) - v2(\cdot , \tau ), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr)
+
+
\bigl(
r(v1, \tau ) - r(v2, \tau )
\bigr) \bigl(
v2(\cdot , \tau ), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr) \bigr]
d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
250 A. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. ЛОПУШАНСЬКА, В. РАПIТА
\leq
t\int
0
\bigm| \bigm| r(v1, \tau )\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigl( v1(\cdot , \tau ) - v2(\cdot , \tau ), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr) \bigm| \bigm| d\tau +
+
1
f
t\int
0
\bigm| \bigm| \bigl( v1(\cdot , \tau ) - v2(\cdot , \tau ), \varphi
\prime \prime
0(\cdot )
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigl( v2(\cdot , \tau ), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr) \bigm| \bigm| d\tau .
Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in \scrD [0,l]
\bigm| \bigm| \bigl( (Pv1)(\cdot , t), \varphi (\cdot )\bigr) - \bigl( (Pv2)(\cdot , t), \varphi (\cdot )\bigr) \bigm| \bigm|
| | \varphi | | CK [0,l]
\leq
\leq B + b3R
\ast
f
t\int
0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in \scrD [0,l]
\bigm| \bigm| \bigl( v1(\cdot , \tau ) - v2(\cdot , \tau ), ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )
\bigr) \bigm| \bigm|
| | ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )| | CK [0,l]
| | ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )| | CK [0,l]
| | \varphi | | CK [0,l]
d\tau +
+
R\ast | | \varphi \prime \prime
0 | | CK [0,l]
f
t\int
0
\bigm| \bigm| \bigl( v1(\cdot , \tau ) - v2(\cdot , \tau ), \varphi
\prime \prime
0(\cdot )
\bigr) \bigm| \bigm|
| | \varphi \prime \prime
0 | | CK [0,l]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in \scrD [0,l]
| | ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )| | CK [0,l]
| | \varphi | | CK [0,l]
d\tau \leq
\leq
\Biggl[
B + 2b3R
\ast
f
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in \scrD [0,l]
\int t
0 | | ( \widehat G0\varphi )(\cdot , t, \tau )| | CK [0,l]d\tau
| | \varphi | | CK [0,l]
\Biggr]
| | v1 - v2| | K \leq
\leq (B + 2b3R
\ast )qt\beta
f
| | v1 - v2| | K = (2q0R
\ast + q1)t
\beta | | v1 - v2| | K \forall t \in [0, T \ast ].
Зауважимо, що при \varphi
\prime \prime
0(x) \equiv 0, x \in [0, l], одержаний вираз не мiстить множник 2 (у цьому
випадку в попереднiй формулi
\bigl(
v1(\cdot , \tau ) - v2(\cdot , \tau ), \varphi
\prime \prime
0(\cdot )
\bigr)
= 0 для всiх \tau \in [0, T \ast ]).
При t \in [0, T \ast ] маємо
(2q0R
\ast + q1)t
\beta \leq 2q0R
\ast + q1
2(q0 + q1)R\ast =
2q0
2(q0 + q1)
+
q1
2(q0 + q1)R\ast \leq 2q0 + q1
2(q0 + q1)
< 1.
Отож, P — стискаючий оператор на MR\ast (Q\ast
0), i за теоремою Банаха одержуємо розв’язнiсть
рiвняння (21) у \scrD \prime
C( \=Q
\ast
0).
Теорема 4. За умови F (t) \not = 0, t \in [0, T ], розв’язок (u, b) \in \scrM (Q0) задачi (1) – (5) єдиний.
Доведення. Вiзьмемо два розв’язки (u1, b1), (u2, b2) \in \scrM (Q0) задачi (1) – (5) i пiдставимо
їх у рiвняння (1). Для u = u1 - u2, b = b1 - b2 отримуємо
u
(\beta )
t = uxx + b2u+ bu1.
З умов (2) – (4) випливає, що u = 0 на параболiчнiй межi Q0. Тодi за означенням 1
T\int
0
\bigl(
u(\cdot , t), (\widehat L\psi )(\cdot , t)\bigr) dt = T\int
0
\bigl(
b2(t)u(\cdot , t) + b(t)u1(\cdot , t), \psi (t)
\bigr)
dt \forall \psi \in X( \=Q0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА У ПРОСТОРI УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ 251
Згiдно з [21] (лема 3), для кожної \varrho \in \scrD ( \=Q0) iснує така функцiя \psi = \widehat \scrG 0\varrho \in X( \=Q0), що \widehat L\psi = \varrho
в \=Q0. Тодi для довiльної функцiї \varrho \in \scrD ( \=Q0)
T\int
0
\bigl(
u(\cdot , t), \varrho (\cdot , t)
\bigr)
dt =
T\int
0
\bigl(
b2(t)u(\cdot , t) + b(t)u1(\cdot , t), (\widehat \scrG 0\varrho )(\cdot , t)
\bigr)
dt. (26)
Iз (19) та умови перевизначення (5) випливає, що\bigl(
u(z, t), \varphi
\prime \prime
0(z)
\bigr)
= - b(t)F (t), t \in [0, T ]. (27)
Тодi з (26) отримуємо рiвняння
T\int
0
\bigl(
u(\cdot , t), \varrho (\cdot , t)
\bigr)
dt =
=
T\int
0
\Biggl(
b2(t)u(\cdot , t) -
(u(z, t), \varphi
\prime \prime
0(z))
F (t)
u1(\cdot , t), (\widehat \scrG 0\varrho )(\cdot , t)
\Biggr)
dt \forall \varrho \in \scrD ( \=Q0),
яке можна записати як
T\int
0
\Bigl(
u(\cdot , t), \varrho (\cdot , t) - b2(t)(\widehat \scrG 0\varrho )(\cdot , t) +
\varphi
\prime \prime
0(\cdot )w\varrho (t)
F (t)
\Bigr)
dt = 0 \forall \varrho \in \scrD ( \=Q0), (28)
де w\varrho (t) =
\bigl(
u1(\cdot , t), (\widehat \scrG 0\varrho )(\cdot , t)
\bigr)
— вiдома функцiя.
Iз леми 2 [21] випливає, що
\widehat \scrG 0\varrho \in \scrD ( \=Q0) \forall \varrho \in \scrD ( \=Q0),
а тому
w\varrho \in C[0, T ], \varrho (\cdot , t) - b2(t)(\widehat \scrG 0\varrho )(\cdot , t) +
\varphi
\prime \prime
0(\cdot )w\varrho (t)
F (t)
\in \scrD [0, l], t \in [0, T ],
та неперервна по t \in [0, T ]. Отже, для довiльних \varphi \in \scrD [0, l], \mu \in \scrD (0, T ) iснує єдиний
розв’язок \varrho = \varrho g iнтегрального рiвняння Вольтерра другого роду
\varrho (x, t) - b2(t)(\widehat \scrG 0\varrho )(x, t) +
\varphi
\prime \prime
0(x)w\varrho (t)
F (t)
= \varphi (x)\mu (t), (x, t) \in \=Q0,
\varrho g(\cdot , t) \in \scrD [0, l], t \in [0, T ], неперервний по t \in [0, T ]. Тодi з (28) отримуємо
T\int
0
\Bigl(
u(\cdot , t), \varphi (\cdot )
\Bigr)
\mu (t)dt = 0 \forall \varphi \in \scrD [0, l], \mu \in \scrD (0, T ).
За лемою Дюбуа-Реймона [26, c. 95]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
252 A. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. ЛОПУШАНСЬКА, В. РАПIТА\bigl(
u(\cdot , t), \varphi (\cdot )
\bigr)
= 0 \forall \varphi \in \scrD [0, l], t \in [0, T ],
так що u = 0 в \scrD \prime
C(
\=Q0). Тодi з (27) випливає, що b(t) \equiv 0, t \in [0, T ].
Зауваження. Так само можемо розглядати випадок крайової задачi в обмеженiй областi
\Omega 0 \subset \BbbR n, n \geq 2.
Аналогiчнi результати правильнi у випадку оберненої задачi Кошi
u
(\beta )
t - A(x,D)u - b(t)u = g(t)F0(x), (x, t) \in \BbbR n \times (0, T ] := Q0,
u(x, 0) = F1(x), ut(x, 0) = F2(x), x \in Rn,\bigl(
u(\cdot , t), \varphi 0(\cdot )
\bigr)
= F (t), t \in [0, T ],
що полягає у знаходженнi пари (u, b) \in \scrD \prime
C(
\=Q0) \times C[0, T ] при заданих \varphi 0 \in \scrD (\BbbR n), g, F \in
\in C[0, T ] та Fj , j = 0, 1, 2, iз просторiв узагальнених функцiй з компактними носiями в \BbbR n.
Тут
\scrD \prime
C(
\=Q0)) = \{ v \in \scrD \prime ( \=Q0))
\bigm| \bigm| \bigl( v(\cdot , t), \varphi (\cdot )\bigr) \in C[0, T ] \forall \varphi \in \scrD (Rn)\} ,
A(x,D) — елiптичний диференцiальний оператор зi змiнними нескiнченно диференцiйовними
коефiцiєнтами.
Лiтература
1. Anh V. V., Leonenko N. N. Spectral analysis of fractional kinetic equations with random datas // J. Statist. Phys. –
2001. – 104(5/6). – P. 1349 – 1387.
2. Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений
дробного порядка // Изв. АрмССР. Математика. – 1968. – 3, № 1. – С. 3 – 29.
3. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential
equations of parabolic type. – Basel etc.: Birkhäuser, 2004.
4. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения. – 1990. – 26, № 4. – C. 660 – 670.
5. Кочубей А. Н., Эйдельман С. Д. Уравнения одномерной фрактальной диффузии // Доп. НАН України. – 2003. –
№ 12. – С. 11 – 16.
6. Luchko Yu. Boundary value problem for the generalized time-fractional diffusion equation of distributed order //
Fract. Calc. Appl. Anal. – 2009. – 12, № 4. – P. 409 – 422.
7. Meerschaert M. M., Nane Erkan, Vallaisamy P. Fractional Cauchy problems on bounded domains // Ann. Probab. –
2009. – 37. – P. 979 – 1007.
8. Ворошилов A.А., Килбас А.А. Условия существования классического решения задачи Коши для диффузионно-
волнового уравнения с частной производной Капуто // Докл. АН. – 2007. – 414, № 4. – C. 1 – 4.
9. Cheng J., Nakagawa J., Yamamoto M., Yamazaki T. Uniqueness in an inverse problem for a one-dimentional fractional
diffusion equation // Inverse Problems. – 2000. – 25. – P. 1 – 16.
10. El-Borai Mahmoud M. On the solvability of an inverse fractional abstract Cauchy problem // LJRRAS. – 2001. – 4. –
P. 411 – 415.
11. Nakagawa J., Sakamoto K., Yamamoto M. Overview to mathematical analysis for fractional diffusion equation – new
mathematical aspects motivated by industrial collaboration // J. Math. Industry. – 2010. – 2A. – P. 99 – 108.
12. Zhang Y., Xu X. Inverse source problem for a fractional diffusion equation // Inverse Problems. – 2011. – 27. –
P. 1–12.
13. Rundell W., Xu X., Zuo L. The determination of an unknown boundary condition in fractional diffusion equation //
Appl. Anal. – 2012. – 1. – P. 1–16.
14. Hatano Y., Nakagawa J., Wang Sh., Yamamoto M. Determination of order in fractional diffusion equation // J. Math.
Industry. – 2013. – 5A. – P. 51 – 57.
15. Лопушанський А. О., Лопушанська Г. П. Одна обернена крайова задача для дифузiйно-хвильового рiвняння з
дробовою похiдною // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 5. – С. 655 – 667.
16. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев: Наук. думка,
1965. – 800 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА У ПРОСТОРI УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ 253
17. Rojtberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1996. – xii+415 p.
18. Lions J.-L., Magenes E. Problemes aux limites non homogenes et applications. – Paris: Dunod, 1968.
19. Лось В. Н., Мурач А. А. Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости // Доп.
НАН України. – 2014. – № 6. – C. 23 – 31.
20. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Basel: Birkhäuser, 2014. –
xii+297 p.
21. Lopushanskyj А., Lopushanska H. Non-homogeneous fractional boundary value problem in spaces of generalized
functions // Visnyk Lviv. Univ. Ser. mech.-mat. – 2013. – 78. – P. 92 – 107.
22. Лопушанський А. О. Регулярнiсть розв’язкiв крайових задач для дифузiйно-хвильового рiвняння з узагальне-
ними функцiями в правих частинах // Карпат. мат. публ. – 2013. – 5, № 2. – C. 279 – 289.
23. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type // Math. Stud.: Monograph Ser. – Lviv: VNTL Publ.,
2003. – 10.
24. Снiтко Г. Обернена задача для параболiчного рiвняння з невiдомими молодшими коефiцiєнтами в областi з
вiльною межею // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2008. – 68. – C. 231 – 245.
25. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальний курс. – М.: Наука, 1965.
26. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1985.
Одержано 25.03.15,
пiсля доопрацювання — 28.09.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1837 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:36Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f7/3c2131461aa9eddc276823d70c433af7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18372019-12-05T09:29:16Z Inverse problem in the space of generalized functions Обернена задача у просторі узагальнених функцій Lopushanskaya, G. P. Lopushanskyi, A. O. Rapita, V. Лопушанська, Г. П. Лопушанський, А. О. Рапіта, В. For a linear nonhomogeneous diffusion equation with fractional derivative of order $\beta \in (0, 2)$ with respect to time, we establish a unique solvability of the inverse problem of determination of a pair of functions: the generalized solution u (classical as a function of time) of the first boundary-value problem for the indicated equation with given generalized functions on the right-hand sides and the unknown (depending on time) continuous coefficient of the minor term of the equation under the overdetermination condition $$\bigl( u(\cdot , t), \varphi_0(\cdot ) \bigr) = F(t), t \in [0, T].$$ Here, $F$ is a given continuous function and $(u(\cdot , t), \varphi_0(\cdot ))$ is the value of the unknown generalized function u on a given test function $\varphi_0$ for any $t \in [0, T]$. Установлена однозначная разрешимость обратной задачи для линейного неоднородного уравнения диффузии с дробной производной порядка $\beta \in (0, 2)$ по времени — задачи об определении пары функций: обобщенного решения $u$ (классического по времени) первой краевой задачи для такого уравнения с обобщенными функциями в правых частях и неизвестного, зависящего от времени, непрерывного коэффициента в младшем члене уравнения при условии переопределения $$\bigl( u(\cdot , t), \varphi_0(\cdot ) \bigr) = F(t), t \in [0, T].$$ Здесь $F$ — заданная непрерывная функция, $(u(\cdot , t), \varphi_0(\cdot ))$ — значение неизвестной обобщенной функции $u$ на заданной основной функции $\varphi_0$ для каждого $t \in [0, T]$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1837 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 2 (2016); 241-253 Український математичний журнал; Том 68 № 2 (2016); 241-253 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1837/819 Copyright (c) 2016 Lopushanskaya G. P.; Lopushanskyi A. O.; Rapita V. |
| spellingShingle | Lopushanskaya, G. P. Lopushanskyi, A. O. Rapita, V. Лопушанська, Г. П. Лопушанський, А. О. Рапіта, В. Inverse problem in the space of generalized functions |
| title | Inverse problem in the space of generalized functions |
| title_alt | Обернена задача у просторі узагальнених функцій |
| title_full | Inverse problem in the space of generalized functions |
| title_fullStr | Inverse problem in the space of generalized functions |
| title_full_unstemmed | Inverse problem in the space of generalized functions |
| title_short | Inverse problem in the space of generalized functions |
| title_sort | inverse problem in the space of generalized functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1837 |
| work_keys_str_mv | AT lopushanskayagp inverseprobleminthespaceofgeneralizedfunctions AT lopushanskyiao inverseprobleminthespaceofgeneralizedfunctions AT rapitav inverseprobleminthespaceofgeneralizedfunctions AT lopušansʹkagp inverseprobleminthespaceofgeneralizedfunctions AT lopušansʹkijao inverseprobleminthespaceofgeneralizedfunctions AT rapítav inverseprobleminthespaceofgeneralizedfunctions AT lopushanskayagp obernenazadačauprostoríuzagalʹnenihfunkcíj AT lopushanskyiao obernenazadačauprostoríuzagalʹnenihfunkcíj AT rapitav obernenazadačauprostoríuzagalʹnenihfunkcíj AT lopušansʹkagp obernenazadačauprostoríuzagalʹnenihfunkcíj AT lopušansʹkijao obernenazadačauprostoríuzagalʹnenihfunkcíj AT rapítav obernenazadačauprostoríuzagalʹnenihfunkcíj |