Trees as set levels for pseudoharmonic functions in the plane. II
Let $T$ be a forest formed by finitely many locally finite trees. Let $V_0$ be the set of all vertices of $T$ of degree 1. We propose a sufficient condition for the image of an embedding $\Psi : T \setminus V_0 \rightarrow R^2$ to be a level set of a pseudoharmonic function.
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1838 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507710788730880 |
|---|---|
| author | Polulyakh, E. O. Полулях, Є. О. |
| author_facet | Polulyakh, E. O. Полулях, Є. О. |
| author_sort | Polulyakh, E. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:16Z |
| description | Let $T$ be a forest formed by finitely many locally finite trees. Let $V_0$ be the set of all vertices of $T$ of degree 1. We propose a sufficient condition for the image of an embedding $\Psi : T \setminus V_0 \rightarrow R^2$ to be a level set of a pseudoharmonic function. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 515.173.2, 517.54, 517.572
Є. О. Полулях (Iн-т математики НАН України, Київ)
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ
НА ПЛОЩИНI. II
Let T be a forest formed by finitely many locally finite trees. Let V0 be the set of all vertices of T of degree 1. We propose
a sufficient condition for the image of an embedding \Psi : T \setminus V0 \rightarrow \BbbR 2 to be a level set of a pseudoharmonic function.
Пусть T — лес, состоящий из конечного количества локально конечных деревьев, V0 — множество его вершин
валентности 1. Предложено достаточное условие того, чтобы образ вложения \Psi : T \setminus V0 \rightarrow \BbbR 2 являлся множеством
уровня псевдогармонической функции.
1. Означення i основний результат. Нехай \Gamma = (V,E) — граф (можливо, нескiнченний) з
множиною вершин V i множиною ребер E.
Валентнiстю вершини будемо далi називати кiлькiсть ребер, iнцидентних данiй вершинi.
Будемо вважати, що ця величина для кожної вершини є скiнченною. Позначимо через V0
множину всiх вершин \Gamma валентностi 1.
Шляхом, що з’єднує вершини v\prime v\prime \prime \in V, називається скiнченна послiдовнiсть ребер ek =
= (vk - 1, vk), k = 1, . . . , n, така, що v\prime = v0, v
\prime \prime = vn i ek \not = el при k \not = l. Шлях називається
простим, якщо vi \not = vj при i \not = j, i, j \in \{ 0, 1, . . . , n\} .
На графi \Gamma можна природним чином задати структуру топологiчного простору \^\Gamma (див. [1]).
Ми не будемо розрiзняти граф \Gamma i його „топологiчний носiй” \^\Gamma .
Припустимо, що граф T є деревом (кожну пару рiзних вершин T можна з’єднати єдиним
шляхом).
Нехай S2 — двовимiрна сфера. Зафiксуємо точку s \in S2, наприклад її пiвнiчний полюс.
Означення 1 [1]. Неперервне вiдображення \Phi : T \rightarrow S2 називається плоским, якщо воно
має такi властивостi:
(i) \Phi - 1(s) = V0 (у випадку V0 = \varnothing це означає, що s /\in \Phi (T ));
(ii) множина \Phi (T ) \cup \{ s\} є замкненою в S2;
(iii) вiдображення \Phi | T\setminus V0
: T \setminus V0 \rightarrow S2 є гомеоморфiзмом на свiй образ.
Означення 2 [1]. Неперервне вiдображення \Psi : T \setminus V0 \rightarrow \BbbR 2 називається плоским, якщо
iснують такi плоске вiдображення \Phi : T \rightarrow S2 i гомеоморфiзм \psi : \BbbR 2 \rightarrow S2 \setminus \{ s\} , що
\Psi = \psi - 1 \circ \Phi | T\setminus V0
.
Розглянемо скiнченний лiс T = T1 \sqcup . . . \sqcup Tn (диз’юнктне об’єднання скiнченної кiлькостi
дерев, самi дерева можуть бути i нескiнченними).
Означення 3. Неперервне вiдображення \Psi : T \setminus V0 \rightarrow \BbbR 2 називається плоским, якщо плос-
кими є всi вiдображення \Psi i = \Psi | Ti\setminus V0
: Ti \setminus V0 \rightarrow \BbbR 2, а також \Psi (Ti \setminus V0) \cap \Psi (Tj \setminus V0) = \varnothing
при i, j \in \{ 1, . . . , n\} , i \not = j.
c\bigcirc Є. О. ПОЛУЛЯХ, 2016
254 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI. II 255
Означення 4 [2, 3]. Функцiя f : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR називається псевдогармонiчною в точцi z \in \BbbR 2,
якщо iснують такi вiдкритий окiл Uz цiєї точки i гомеоморфiзм \varphi : Uz \rightarrow \{ (x, y) \in \BbbR 2 |
x2 + y2 < 1\} , що \varphi (z) = 0, а функцiя f \circ \varphi - 1 гармонiчна i не є сталою.
Функцiя f : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR називається псевдогармонiчною, якщо вона псевдогармонiчна в кожнiй
точцi z \in \BbbR 2.
Наступна теорема є основним результатом даної статтi.
Теорема 1. Припустимо, що валентнiсть кожної вершини скiнченного лiсу T або дорiв-
нює 1, або є парним числом, бiльшим нiж 2. Нехай \Psi : T \setminus V0 \rightarrow \BbbR 2 — плоске вiдображення.
Тодi iснує псевдогармонiчна функцiя f : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR , для якої \Psi (T \setminus V0) = f - 1(0).
Далi будемо позначати через \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}A, A i \mathrm{F}\mathrm{r}A внутрiшнiсть, замикання i межу множини A
вiдповiдно.
Нехай W — область на площинi \BbbR 2 або на двовимiрнiй сферi S2. Позначимо I = [0, 1].
Означення 5 [4]. Проста неперервна крива \eta : I \rightarrow W називається надрiзом областi W,
якщо \eta (0) \in \mathrm{F}\mathrm{r}W i \eta (t) \in W при t > 0.
Точка z \in \mathrm{F}\mathrm{r}W називається досяжною з W, якщо iснує такий надрiз \eta областi W, що
\eta (0) = z.
Проста неперервна крива \nu : I \rightarrow W називається розрiзом областiW мiж точками z1, z2 \in
\in \mathrm{F}\mathrm{r}W, якщо \nu (0) = z1, \nu (1) = z2, \nu (t) \in W при t \in (0, 1).
Означення 6 [4]. Нехай X — топологiчний простiр, E \subset X. Множина E називається
локально зв’язною в точцi x \in X, якщо для кожного околуU точки x вX знайдеться такий окiл
V цiєї точки, що будь-яку пару точок y\prime , y\prime \prime \in V \cap E можна з’єднати зв’язною пiдмножиною
множини U \cap E.
2. Властивостi плоских вiдображень скiнченного лiсу. 2.1. Дводольнi графи, якi є
деревами. В цьому пунктi ми будемо вважати, що валентнiсть вершин графа може бути не-
скiнченною.
Зауваження 1. Якщо граф є деревом, то кожне його ребро однозначно визначається своїми
кiнцями. Тому ми будемо записувати шлях, що з’єднує вершини дерева v\prime i v\prime \prime , як P (v\prime , v\prime \prime ) =
= (v0, v1, . . . , vm), маючи на увазi, що P (v\prime , v\prime \prime ) є послiдовнiстю ребер ei = (vi - 1, vi), i \in
\in \{ 1, . . . ,m\} .
Означення 7. Граф G = (V,E) називається дводольним, якщо множина його вершин V
є сумою двох пiдмножин V \prime i V \prime \prime , що не перетинаються, i кожне ребро e \in E з’єднує деяку
вершину з V \prime з якоюсь вершиною з V \prime \prime .
Вершини v1, v2 \in V будемо називати сусiднiми, якщо вони з’єднанi ребром, тобто
(v1, v2) \in E.
Нехай v \in V. Позначимо через
N(v) = \{ w \in V | (v, w) \in E\} (1)
множину всiх вершинG,що є сусiднiми з v. Зрозумiло, що у випадку, коли графG є дводольним,
N(v\prime ) \subset V \prime \prime для кожного v\prime \in V \prime , i навпаки, N(v\prime \prime ) \subset V \prime для кожного v\prime \prime \in V \prime \prime .
Зафiксуємо функцiї
fv : N(v) \rightarrow \{ - 1, 1\} , v \in V \prime . (2)
Для кожного \varepsilon : V \prime \rightarrow \{ - 1, 1\} розглянемо набiр функцiй
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
256 Є. О. ПОЛУЛЯХ
\varphi \varepsilon
v = \varepsilon (v) \cdot fv : N(v) \rightarrow \{ - 1, 1\} , v \in V \prime . (3)
Скажемо, що функцiї \varphi \varepsilon
v1 i \varphi \varepsilon
v2 узгодженi, якщо або N(v1) \cap N(v2) = \varnothing , або \varphi \varepsilon
v1(w) = \varphi \varepsilon
v2(w)
для кожної вершини w \in N(v1) \cap N(v2).
Твердження 1. Якщо дводольний граф G є деревом, то для довiльного набору функцiй (2)
знайдеться таке вiдображення \varepsilon : V \prime \rightarrow \{ - 1, 1\} , що для кожної пари вершин v1, v2 \in V \prime
функцiї \varphi \varepsilon
v1 i \varphi \varepsilon
v2 узгодженi.
Доведення. Побудуємо \varepsilon : V \prime \rightarrow \{ - 1, 1\} . Зафiксуємо вершину v0 \in V \prime .
Нехай v \in V \prime . Граф G є деревом, тому iснує єдиний шлях
(v0, w1, v1, . . . , wn, vn = v), vi \in V \prime , wi \in V \prime \prime , i \in \{ 1, . . . , n\} ,
який з’єднує v0 з v в G (очевидно, n залежить вiд v).
Позначимо
r(v) =
\bigm| \bigm| \bigl\{ i \in \{ 1, . . . , n\} : fvi - 1(wi) \not = fvi(wi)
\bigr\} \bigm| \bigm| , \varepsilon (v) = ( - 1)r(v) .
Для v = v0 будемо вважати, що n = 0. Тому r(v0) = 0 i \varepsilon (v0) = 1.
Перевiримо, що функцiї з набору \{ \varphi \varepsilon
v, v \in V \prime \} попарно узгодженi.
Нехай v(1), v(2) \in V \prime . Якщо N(v(1))\cap N(v(2)) = \varnothing , то \varphi \varepsilon
v(1)
i \varphi \varepsilon
v(2)
узгодженi за означенням.
Нехай w \in N(v(1)) \cap N(v(2)). З того, що G є деревом, випливає рiвнiсть \{ w\} = N(v(1)) \cap
\cap N(v(2)). Дiйсно, якщо iснує iнша вершина w\prime \in N(v(1))\cap N(v(2)), то замкнений шлях (v(1), w,
v(2), w\prime , v(1)) утворює цикл, а це неможливо.
Розглянемо шляхи P (v0, v(1)) i P (v0, v(2)). Зазначимо, що принаймнi один iз них проходить
через вершину w. Дiйсно, якщо це не так, то сума шляхiв P (v0, v(1)) i P (v0, v(2)) мiстить шлях
P (v(1), v(2)), який не проходить через w. Разом зi шляхом P \prime (v(1), v(2)) = (v(1), w, v(2)) вiн
утворює цикл, а це неможливо, тому що G є деревом.
Не обмежуючи загальностi мiркувань, можемо вважати, що через вершину w проходить
шлях P (v0, v
(1)). Внаслiдок того, що G є деревом, шлях P (v0, v
(1)) мiстить також ребро
(w, v(1)) \in E. Тому
P (v0, v
(1)) =
\bigl(
v0, w1, v1, . . . , wm - 1, vm - 1, wm = w, vm = v(1)
\bigr)
.
Розглянемо два випадки:
1. Шлях P (v0, v(1)) не проходить через вершину v(2). Тодi
P (v0, v
(2)) = (v0, w1, v1, . . . , wm - 1, vm - 1, w, v
(2)),
r(v(k)) =
\left\{ r(vm - 1), якщо fvm - 1(w) = fv(k)(w),
r(vm - 1) + 1, якщо fvm - 1(w) \not = fv(k)(w),
k = 1, 2.
Легко бачити, що fv(1)(w) = fv(2)(w) тодi й тiльки тодi, коли r(v(1)) = r(v(2)). Тому рiвнiсть
fv(1)(w) = fv(2)(w) рiвносильна рiвностi \varepsilon (v(1)) = \varepsilon (v(2)). Внаслiдок цього
\varphi \varepsilon
v(1)
(w) = \varepsilon (v(1))fv(1)(w) = \varepsilon (v(2))fv(2)(w) = \varphi \varepsilon
v(2)
(w) (4)
i \varphi \varepsilon
v(1)
узгоджена з \varphi \varepsilon
v(2)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI. II 257
2. Шлях P (v0, v(1)) проходить через v(2). Тодi вiн повинен мiстити також ребро (v(2), w),
тому
P (v0, v
(1)) = (v0, w1, v1, . . . , wm - 1, vm - 1 = v(2), w, v(1)),
r(v(1)) =
\left\{ r(v
(2)), якщо fv(2)(w) = fv(1)(w),
r(v(2)) + 1, якщо fv(2)(w) \not = fv(1)(w),
i рiвнiсть (4) знову виконується. Отже, у цьому випадку також \varphi \varepsilon
v(1)
узгоджена з \varphi \varepsilon
v(2)
.
Беручи до уваги довiльнiсть у виборi вершин v(1) i v(2), приходимо до висновку, що функцiя
\varepsilon вiдповiдає вимогам твердження.
Твердження 1 доведено.
2.2. Властивостi компонент доповнення до образу скiнченного лiсу при плоскому вi-
дображеннi. Нехай граф T = T1\sqcup . . .\sqcup Tn є скiнченним лiсом, а вiдображення \Psi : T \setminus V0 \rightarrow \BbbR 2
— плоским.
Введемо наступнi позначення. Нехай
\scrQ = \{ Q\lambda \} \lambda \in \Lambda
— множина всiх компонент зв’язностi доповнення \BbbR 2 \setminus \Psi (T \setminus V0), iндексованих за допомогою
елементiв деякої множини \Lambda . Для кожного i \in \{ 1, . . . , n\} нехай
\scrQ i = \{ Q\lambda \} \lambda \in \Lambda i
, \Lambda i = \{ \lambda \in \Lambda | Q\lambda \cap \Psi (Ti \setminus V0) \not = \varnothing \}
— множина тих компонент \BbbR 2 \setminus \Psi (T \setminus V0), якi межують з образом дерева Ti.
Нехай \scrQ (i) є множиною компонент доповнення \BbbR 2 \setminus \Psi (Ti \setminus V0), i \in \{ 1, . . . , n\} .
Зрозумiло, що для будь-якого i \in \{ 1, . . . , n\} кожна множина, яка є елементом \scrQ , мiститься
в якiйсь множинi, що є елементом \scrQ (i). З iншого боку, справджується таке твердження.
Твердження 2. Нехай i \in \{ 1, . . . , n\} . Кожна множина, яка є елементом \scrQ (i), мiстить
рiвно одну пiдмножину, що є елементом \scrQ i.
Доведення. Згiдно з означенням 3 позначимо \Psi i = \Psi | Ti\setminus V0
. Нехай \Psi i разом з вiдображен-
нями \Phi i : Ti \rightarrow S2 i \psi i : \BbbR 2 \rightarrow S2 \setminus \{ s\} вiдповiдають означенню 2.
Нехай Q \in \scrQ (i). Позначимо \^Q = \psi i(Q). Згiдно з лемою 2 з [1] межа \mathrm{F}\mathrm{r} \^Q гомеоморфна
колу S1. З цього випливає (див. [4]), що:
область \^Q локально зв’язна в кожнiй точцi межi \mathrm{F}\mathrm{r} \^Q;
кожна точка \^z \in \mathrm{F}\mathrm{r} \^Q досяжна з \^Q.
Отже, внаслiдок рiвностi \mathrm{F}\mathrm{r}Q = \psi - 1
i (\mathrm{F}\mathrm{r} \^Q \setminus \{ s\} ) кожна точка z \in \mathrm{F}\mathrm{r}Q досяжна з Q.
1. Доведемо, що Q мiстить деяку множину Q\lambda з \scrQ i.
З означень 1 – 3 випливає, що кожна множина \Psi (Tj \setminus V0), i = 1, . . . , n, є замкненою в \BbbR 2.
Фiксуємо z \in \mathrm{F}\mathrm{r}Q \subset \Psi (Ti \setminus V0). Зауважимо, що точка z вiддiлена вiд замкненої множини
Ri = \Psi (T \setminus V0) \setminus \Psi (Ti \setminus V0) =
\bigcup
j\in \{ 1,...,n\}
j \not =i
\Psi (Tj \setminus V0). (5)
Тому iснує \varepsilon > 0, для якого U\varepsilon (z) \cap \Psi (T \setminus V0) = U\varepsilon (z) \cap \Psi (Ti \setminus V0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
258 Є. О. ПОЛУЛЯХ
Ми знаємо, що точка z досяжна з Q, тобто iснує така проста неперервна крива \alpha : I \rightarrow \BbbR 2,
що \alpha (0) = z i \alpha (t) \in Q \subset \BbbR 2 \setminus \Psi (Ti \setminus V0) при кожному t > 0.
Не обмежуючи загальностi мiркувань, можемо вважати, що \alpha (t) \in U\varepsilon (z), t \in I. Тодi
зв’язна множина A = \{ \alpha (t) | t > 0\} мiститься в U\varepsilon (z)\setminus \Psi (T \setminus V0). Отже, iснує \lambda \in \Lambda , для якого
A \subset Q\lambda \subset Q.
З iншого боку, за побудовою z \in A \cap \Psi (Ti \setminus V0) \subset Q\lambda \cap \Psi (Ti \setminus V0) \not = \varnothing . Внаслiдок цього
\lambda \in \Lambda i i Q\lambda \in \scrQ i.
2. Нехай для деяких \lambda , \mu \in \Lambda i виконується включення Q\lambda \cup Q\mu \subset Q. Доведемо, що
Q\lambda = Q\mu .
Зафiксуємо w1 \in Q\lambda \cap \Psi (Ti \setminus V0) i w2 \in Q\mu \cap \Psi (Ti \setminus V0). Зрозумiло, що w1, w2 \in \mathrm{F}\mathrm{r}Q.
Розглянемо точки \^w1 = \psi i(w1), \^w2 = \psi i(w2) \in \mathrm{F}\mathrm{r} \^Q.
Зi спiввiдношення \mathrm{F}\mathrm{r} \^Q \sim = S1 випливає, що iснує проста дуга \^L \subset \mathrm{F}\mathrm{r} \^Q з кiнцями \^w1 i \^w2,
яка не мiстить видiлену точку s сфери S2. Тодi множина L = \psi - 1
i (\^L) \subset \mathrm{F}\mathrm{r}Q \subset \Psi (Ti \setminus V0) є
простою дугою з кiнцями w1 i w2.
Компакт L не перетинається з замкненою множиною Ri (див. (5)), тому L вiддiлений вiд
Ri i iснує a > 0, для якого Ua(L) \cap Ri = \varnothing .
Множина \psi i(Ua(L)) є вiдкритим околом компакта \^L, тому iснує таке \varepsilon > 0,що \^L \subset U\varepsilon (\^L) \subset
\subset \psi i(Ua(L)). Позначимо U(L) = \psi - 1
i (U\varepsilon (\^L)). Це вiдкритий окiл дуги L.
Область \^Q локально зв’язна в точках \^w1, \^w2 \in \mathrm{F}\mathrm{r} \^Q (див. вище). Тому iснує таке \delta > 0, що
довiльну пару точок з U\delta ( \^wk) \cap \^Q можна з’єднати зв’язною множиною в U\varepsilon ( \^wk) \cap \^Q, k = 1, 2.
Нехай U(wk) = \psi - 1
i (U\delta ( \^wk), k = 1, 2. Множина U(w1) є вiдкритим околом точки w1 \in
\in \mathrm{F}\mathrm{r}Q\lambda , тому iснує z1 \in Q\lambda \cap U(w1). Аналогiчно, знайдеться z2 \in Q\mu \cap U(w2). Позначимо
\^zk = \psi i(zk) \in U\delta ( \^wk), k = 1, 2.
Вiдомо (див. [4]), що для кожної дуги L простої замкненої кривої \gamma в S2 i для довiльного
\varepsilon > 0 кожна з компонент доповнення S2 \setminus \gamma має розрiз l мiж кiнцями дуги L, котрий мiститься
в U\varepsilon (L).
Отже, знайдеться такий розрiз \^l областi \^Q мiж точками \^w1 i \^w2, що \^l \subset U\varepsilon (\^L).
Зрозумiло, що iснують точки \^w\prime
k \in (U\delta ( \^wk) \setminus \{ \^wk\} )\cap \^l, k = 1, 2. Нехай \^l\prime \subset \^l — проста дуга
з кiнцями \^w\prime
1 i \^w\prime
2. Очевидно, що \^l\prime \subset U\varepsilon (\^L) \cap \^Q.
Скористаємося локальною зв’язнiстю областi \^Q в точках \^w1 та \^w2 i знайдемо зв’язнi мно-
жини \^Ak, якi з’єднують точки \^zk та \^w\prime
k в \^Q \cap U\varepsilon ( \^wk), k = 1, 2.
За побудовою \^A1, \^A2 \subset U\varepsilon (\^L)\cap \^Q. Отже, зв’язна множина \^B = \^A1\cup \^l\prime \cup \^A2 є пiдмножиною
U\varepsilon (\^L) \cap \^Q i мiстить точки \^z1 та \^z2.
Таким чином, зв’язна множина B = \psi - 1
i ( \^B) мiстить точки z1 та z2 i є пiдмножиною
U(L)\cap Q \subset U(L)\cap (\BbbR 2 \setminus \Psi (Ti \setminus V0)) (див. рис. 1). За побудовою U(L)\cap Ri \subset Ua(L)\cap Ri = \varnothing ,
тому
B \subset \BbbR 2 \setminus \Psi (T \setminus V0).
Зi спiввiдношень z1 \in B\cap Q\lambda i z2 \in B\cap Q\mu випливає, що множина B\cup Q\lambda \cup Q\mu є зв’язною.
Очевидно, вона мiститься в доповненнi \BbbR 2 \setminus \Psi (T \setminus V0). Але за означенням множини Q\lambda i Q\mu є
компонентами \BbbR 2 \setminus \Psi (T \setminus V0). Тому повинна виконуватись рiвнiсть Q\lambda = B \cup Q\lambda \cup Q\mu = Q\mu .
Твердження 2 доведено.
Наслiдок 1. Для кожного i \in \{ 1, . . . , n\} iснує бiєктивна вiдповiднiсть мiж множинами
\scrQ i та \scrQ (i).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI. II 259
L
l\prime w1
w2
w\prime
2
w\prime
1
z2 \in Q\mu
z1 \in Q\lambda
U(w1)
U(w2)
Q
U(L)
Рис. 1. Множина B.
Отже, ми можемо iндексувати елементи \scrQ (i) за допомогою \Lambda i. Введемо такi позначення:
\scrQ (i) = \{ Q(i)
\lambda \} \lambda \in \Lambda i
, Q
(i)
\lambda \supset Q\lambda , i \in \{ 1, . . . , n\} .
Наслiдок 2. Для кожної пари iндексiв i \in \{ 1, . . . , n\} та \lambda \in \Lambda i виконується рiвнiсть
Q\lambda \cap \Psi (Ti \setminus V0) = Q
(i)
\lambda \cap \Psi (Ti \setminus V0).
Бiльш того, кожна точка z \in \Psi (Ti \setminus V0)\cap \mathrm{F}\mathrm{r}Q\lambda досяжна з областi Q\lambda за допомогою простої
неперервної кривої.
Доведення. Очевидно, виконується нерiвнiсть Q\lambda \cap \Psi (Ti \setminus V0) \subseteq Q
(i)
\lambda \cap \Psi (Ti \setminus V0).
Нехай z \in (Q
(i)
\lambda \cap \Psi (Ti \setminus V0)) для деяких i \in \{ 1, . . . , n\} та \lambda \in \Lambda i. Лема 2 з [1] гарантує, що
точка z досяжна з областi Q(i)
\lambda . Тому iснує надрiз \alpha : I \rightarrow Q
(i)
\lambda областi Q(i)
\lambda в точцi z її межi.
З iншого боку, за означенням плоского вiдображення точка z вiддiлена вiд замкненої множи-
ни Ri = (\Psi (T \setminus V0)\setminus \Psi (Ti\setminus V0)). Тому iснує таке \varepsilon > 0,що U\varepsilon (z)\cap \Psi (T \setminus V0) = U\varepsilon (z)\cap \Psi (Ti\setminus V0).
Не обмежуючи загальностi мiркувань, можемо вважати, що \alpha (I) \subset U\varepsilon (z). Тодi знайдеться
\mu \in \Lambda i, для якого \alpha (I) \subset Q\mu , причому \alpha (t) \in Q
(i)
\lambda \cap Q\mu для кожного 0 < t \leq 1. Внаслiдок
цього Q\mu \subset Q
(i)
\lambda i з твердження 2 випливає рiвнiсть \mu = \lambda .
Наслiдок 2 доведено.
2.3. Граф \bfitG (\bfPsi ). Зiставимо плоскому вiдображенню \Psi наступний граф G(\Psi ).
Вершинами графа G(\Psi ) нехай будуть такi об’єкти:
1) дерева T1, . . . , Tn;
2) елементи Q\lambda множини \scrQ .
Вершини Q\lambda i Ti з’єднаємо ребром, якщо \lambda \in \Lambda i (тобто \Psi (Ti \setminus V0) \cap Q\lambda \not = \varnothing ).
Граф G(\Psi ) = (V,E) є дводольним (множина його вершин розпадається в суму двох пiд-
множин, що не перетинаються, V = \{ Ti\} \sqcup \{ Q\lambda \} , а кiнцi кожного ребра належать до рiзних
пiдмножин з цiєї суми).
Зауважимо, що вершини графа G(\Psi ) можуть мати нескiнченну валентнiсть.
Лема 1. Граф G(\Psi ) є деревом.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
260 Є. О. ПОЛУЛЯХ
Доведення. Припустимо, що граф G(\Psi ) мiстить цикл
Tk1 , Q\lambda 1 , . . . , Tkm , Q\lambda m , Tkm+1 = Tk1 .
Не обмежуючи загальностi мiркувань, можемо вважати, що цей цикл є простим (всi його
вершини рiзнi). Тодi Q\lambda i
\cap Q\lambda j
= \varnothing при i \not = j. Аналогiчно i \Psi (Tki \setminus V0) \cap \Psi (Tkj \setminus V0) = \varnothing при
i \not = j.
Скористаємося наслiдком 2 та лемою 2 з [1] i для кожного i \in \{ 1, . . . ,m\} виберемо точки
w\prime
i \in \Psi (Tki \setminus V0) \cap Qki i w\prime \prime
i \in \Psi (Tki+1
\setminus V0) \cap Qki так, щоб виконувались такi умови:
якщо Tki складається з єдиного ребра, то w\prime
i = w\prime \prime
i - 1 (w\prime
1 = w\prime \prime
m при i = 1);
якщо Tki мiстить бiльше одного ребра, то \Psi - 1(w\prime
i),\Psi
- 1(w\prime \prime
i - 1) \in V (i \Psi - 1(w\prime \prime
m) \in V при
i = 1).
Знову використаємо наслiдок 2 i для кожного i \in \{ 1, . . . ,m\} знайдемо розрiз \alpha i : I \rightarrow Qki
областi Qki мiж точками w\prime
i, w
\prime \prime
i \in \mathrm{F}\mathrm{r}Qki .
Якщо w\prime
i+1 \not = w\prime \prime
i (w\prime
1 \not = w\prime \prime
m при i = m), то точки \Psi - 1(w\prime
i+1) та \Psi - 1(w\prime \prime
i ) є вершинами
дерева Tki . Тому є шлях Pi в Tki , що їх з’єднує. Зрозумiло, що вiн не мiстить вершин з V0.
Отже, образ цього шляху в \Phi (Tki \setminus V0) є носiєм простої неперервної кривої \beta i : I \rightarrow \BbbR 2.
Проходячи послiдовно кривi \alpha i, \beta i, отримуємо просту замкнену криву \gamma . Вона обмежує
замкнений диск D.
Зрозумiло, що для кожного i \in \{ 1, . . . ,m\} точка \alpha i(1/2) \in Q\lambda i
лежить на межi диска D, а
множина Q\lambda i
є вiдкритим околом цiєї точки. Внаслiдок цього Q\lambda i
\cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D \not = \varnothing , i \in \{ 1, . . . ,m\} .
Вiдкритi множини Q\lambda \cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D, \lambda \in \Lambda , попарно не перетинаються, тому непорожня множина
(\BbbR 2 \setminus \Psi (T \setminus V0)) \cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D =
\bigcup
\lambda \in \Lambda
(Q\lambda \cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D)
не є зв’язною. Отже, \Psi (T \setminus V0) \cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D \not = \varnothing .
Диск D є компактом, тому для кожного i \in \{ 1, . . . ,m\} множина Ti \cap \Psi - 1(D) мiститься у
скiнченному пiдграфi дерева Ti (див. [1], твердження 5) i iснує скiнченне число таких ребер
e1, . . . , eq графа T, що \Psi (ej) \cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D \not = \varnothing , i = 1, . . . , q, та
\Psi (T \setminus V0) \cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D \subseteq
q\bigcup
j=1
\Psi (ej).
Очевидно, iснує найменший пiдграф R графа T, який мiстить ребра e1, . . . , eq. Нехай R0 є
невиродженою (мiстить принаймнi одне ребро) зв’язною компонентою R. Зрозумiло, що R0 є
деревом. Перевiримо наступнi твердження.
1. Всi ребра R лежать в \Psi - 1(D).
2. Рiвно одна вершинаR0 лежить в \Psi - 1(\mathrm{F}\mathrm{r}D).Всi iншi вершиниR0 належать до\Psi - 1(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D).
Почнемо з першого твердження. Зауважимо, що коли Tki мiстить рiвно одне ребро e, то
\Psi (e) \cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D = \varnothing . Дiйсно, \Psi (e \setminus V0) \cap \mathrm{F}\mathrm{r}D = \{ w\prime
i\} . З iншого боку, обидва кiнця ребра
e за означенням мiстяться в V0, тому обидвi компоненти множини \Psi (e \setminus V0) \setminus \{ w\prime
i\} мають
непорожнiй перетин з околом нескiнченностi \BbbR 2 \setminus D (див. [1], лема 2). З викладеного випливає,
що e /\in \{ e1, . . . , eq\} .
Якщо Tki мiстить бiльше одного ребра, то або w\prime \prime
i - 1 = w\prime
i i \Psi - 1(\mathrm{F}\mathrm{r}D)\cap Tki = \{ \Psi - 1(w\prime
i)\} \subset
\subset V, або за побудовою Pi = \Psi - 1(\mathrm{F}\mathrm{r}D) \cap Tki = \Psi - 1 \circ \beta i(I) є шляхом, що з’єднує вершини
\Psi - 1(w\prime \prime
i - 1) та \Psi - 1(w\prime
i). Отже, у множину Pi входять лише цiлi ребра графа T.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI. II 261
За побудовою T \cap \Psi - 1(\mathrm{F}\mathrm{r}D) \subset
\bigcup m
i=1 Tki , тому ej \cap \Psi - 1(\mathrm{F}\mathrm{r}D) \subset V для кожного ребра ej
графа R. З нерiвностi \Psi (ek) \cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D \not = \varnothing випливає, що \Psi (ek) \subset \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D = D.
Перевiримо друге твердження. Оскiльки граф R0 зв’язний, то iснує таке i \in \{ 1, . . . ,m\} , що
R0 \subset Tki . Ми вже встановили вище, що Pi = \Psi - 1(\mathrm{F}\mathrm{r}D)\cap Tki є зв’язним пiдграфом дерева Tki
i не має спiльних ребер з R0.
Припустимо, що iснують двi вершини v1 \not = v2 графа R0 такi, що \Psi (v1), \Psi (v2) \in \mathrm{F}\mathrm{r}D \cap
\cap \Psi (R0). Тодi знайдуться шляхи P \prime та P \prime \prime в графах Pi та R0 вiдповiдно, якi з’єднують v1 з v2.
Множини ребер графiв Pi та R0 не перетинаються, тому P \prime \not = P \prime \prime i iснують два рiзних шляхи,
якi з’єднують вершини v1 i v2 в Tki . А це неможливо, оскiльки Tki є деревом.
Отже, рiвно одна вершина R0 (позначимо її v) лежить в \Psi - 1(\mathrm{F}\mathrm{r}D), а всi iншi вершини
належать до \Psi - 1(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D).
Iз викладеного вище випливає, що валентнiсть кожної вершини R0, крiм v, збiгається з
валентнiстю цiєї вершини в Tki . Дiйсно, якщо вершина w графа R0 належить до \Psi - 1(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D),
то образи всiх її сумiжних ребер в Tki мають непорожнiй перетин з \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D. Внаслiдок цого всi
ребра графа Tki , сумiжнi w, є ребрами пiдграфа R0.
Вiдомо (див. [1], твердження 2), що в деревi R0 є вершина v\prime \not = v, яка має валентнiсть
1. Тому валентнiсть v\prime в Tki також дорiвнює 1. А це неможливо, оскiльки v\prime /\in V0 згiдно
з означенням плоского вiдображення. Отримали суперечнiсть. Отже, граф G(\Psi ) не мiстить
циклiв.
Перевiримо зв’язнiсть графа G(\Psi ).
Зрозумiло, що для кожного Q\lambda \in \scrQ iснує така компонента Ti(\lambda ) графа T, що Q\lambda \cap Ti(\lambda ) \not = \varnothing .
За означенням графа G(\Psi ) його вершини Q\lambda i Ti(\lambda ) з’єднанi ребром.
Внаслiдок викладеного кожна компонента графа G(\Psi ) мiстить вершину вигляду Ti.
Припустимо, що G1 i G2 — двi рiзнi компоненти G(\Psi ). Нехай G1 мiстить вершину Ti, а
G2 — вершину Tj . Позначимо через V (G1) множину вершин компоненти G1. Тодi Ti \in V (G1),
Tj /\in V (G1). Введемо ще такi позначення:
C1 =
\bigcup
Tk\in V (G1)
\Psi (Tk \setminus V0), \^C1 =
\bigcup
Tk /\in V (G1)
\Psi (Tk \setminus V0).
За означенням плоского вiдображення всi множини \Psi (Tk \setminus V0), k \in \{ 1, . . . , n\} , замкненi i
попарно не перетинаються. Тому множини C1 i \^C1 замкненi та не перетинаються.
Зафiксуємо wi \in \Psi (Ti \setminus V0) \subset C1, wj \in \Psi (Tj \setminus V0) \subset \^C1 i з’єднаємо цi двi точки простою
неперервною кривою \gamma : I \rightarrow \BbbR 2, \gamma (0) = wi, \gamma (1) = wj .
Оскiльки множина \gamma - 1(C1) \ni 0 замкнена в I i wj = \gamma (1) /\in C1, то 1 > \tau 1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ t \in
\in I | \gamma (t) \in C1\} . Нехай \gamma (\tau 1) \in \Psi (Tr \setminus V0) для деякого r \in \{ 1, . . . , n\} . З iншого боку, замкненi
множини \gamma - 1( \^C1) \ni 1 та \gamma - 1(C1) не перетинаються, тому iснує \tau 2 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ t \in (\tau 1, 1]) | \gamma (t) \in
\in \^C1\} . За побудовою \gamma (\tau 2) \in \Psi (Ts \setminus V0) для деякого s \in \{ 1, . . . , n\} .
З одного боку, Tr \in V (G1). Також Ts /\in V (G1), оскiльки \gamma (\tau 2) /\in C1.
З iншого боку, \gamma (t) \in \BbbR 2 \setminus \Psi (T \setminus V0) для кожного t \in (\tau 1, \tau 2). Множина \{ \gamma (t) | \tau 1 < t <
< \tau 2\} зв’язна як образ зв’язної множини при неперервному вiдображеннi, тому знайдеться таке
Q\lambda \in \scrQ , що \gamma (t) \in Q\lambda , t \in (\tau 1, \tau 2). Очевидно, \gamma (\tau 1), \gamma (\tau 2) \in Q\lambda . Внаслiдок цього вершина
Q\lambda з’єднана ребром з кожною з вершин Tr та Ts. Отже, вершини Tr та Ts графа G(\Psi ) мають
належати до однiєї компоненти зв’язностi. Отримали суперечнiсть. Отже, графG(\Psi ) є зв’язним.
Лему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
262 Є. О. ПОЛУЛЯХ
Наслiдок 3. Нехай Q\lambda \cap Q\mu \not = \varnothing для деяких Q\lambda , Q\mu \in \scrQ . Тодi iснує єдиний iндекс i \in
\in \{ 1, . . . , n\} такий, що Q\lambda , Q\mu \in \scrQ i.
Доведення. За означенням \mathrm{F}\mathrm{r}Q\lambda \cup \mathrm{F}\mathrm{r}Q\mu \subset \Psi (T \setminus V0). Якщо Q\lambda \in \scrQ i для деякого i \in
\in \{ 1, . . . , n\} , то \mathrm{F}\mathrm{r}Q\lambda \cap \Psi (Ti \setminus V0) \not = \varnothing i в графi G(\Psi ) вершини Q\lambda та Ti з’єднанi ребром. З
урахуванням цього наслiдок випливає з леми 1.
Означення 8. Назвемо множини Q\lambda , Q\mu \in \scrQ , \lambda \not = \mu , сумiжними, якщо множина \mathrm{F}\mathrm{r}Q\lambda \cap
\cap \mathrm{F}\mathrm{r}Q\mu мiстить бiльше однiєї точки.
Наслiдок 4. Нехай Q\lambda \cap Q\mu \not = \varnothing для деяких \lambda , \mu \in \Lambda .
Тодi справджуються такi твердження:
Перетин \mathrm{F}\mathrm{r}Q\lambda \cap \mathrm{F}\mathrm{r}Q\mu = \mathrm{F}\mathrm{r}Q
(i)
\lambda \cap \mathrm{F}\mathrm{r}Q
(i)
\mu є зв’язною множиною (iндекс i вiдповiдає на-
слiдку 3).
Якщо Q\lambda i Q\mu сумiжнi, то областi Q(i)
\lambda , Q
(i)
\mu \in \scrQ (i) сумiжнi в сенсi означення 7 з [1].
Доведення. Перше твердження випливає з наслiдкiв 2, 3 i наслiдку 2 з [1]. Друге твердження
випливає з першого i з твердження 6 з [1].
2.4. Вiдображення \bfS \bfi \bfg \bfn .
Лема 2. Нехай валентнiсть кожної вершини лiсу T = T1 \sqcup . . . \sqcup Tn або дорiвнює одиницi,
або є парним числом, бiльшим нiж 2.
Тодi iснує таке вiдображення \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} : \scrQ \rightarrow \{ - 1, 1\} , що для кожної пари сумiжних областей
Q\lambda , Q\mu \in \scrQ виконується нерiвнiсть \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(Q\lambda ) \not = \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(Q\mu ).
Доведення. Розiб’ємо множину вершин графа G(\Psi ) на двi частини V1 = \{ T1, . . . , Tn\} та
V2 = \{ Q\lambda \} \lambda \in \Lambda , що не перетинаються.
За побудовою
N(Tk) = \{ Q\lambda | \lambda \in \Lambda k\} = \scrQ k
для кожної вершини Tk \in V1 (див. (1)).
Згiдно з лемою 3 з [1] для кожного k \in \{ 1, . . . , n\} iснує вiдображення \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(k) : \scrQ (k) \rightarrow
\rightarrow \{ - 1, 1\} , для якого виконується така умова: якщо Q
(k)
\lambda i Q(k)
\mu сумiжнi, то \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(k)(Q
(k)
\lambda ) \not =
\not = \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(k)(Q
(k)
\mu ).
Визначимо набiр вiдображень \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}k : \scrQ k \rightarrow \{ - 1, 1\} , k \in \{ 1, . . . , n\} , за допомогою спiввiд-
ношення \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}k(Q\lambda ) = \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(k)(Q
(k)
\lambda ), \lambda \in \Lambda k. Внаслiдок твердження 1 iснує така функцiя \varepsilon :
\{ 1, . . . , n\} \rightarrow \{ - 1, 1\} , що \varepsilon (r) \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}r(Q\lambda ) = \varepsilon (s) \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}s(Q\lambda ), якщо \lambda \in \Lambda r \cap \Lambda s, r, s \in \{ 1, . . . , n\} .
Отже, коректно визначено функцiю
\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} : \scrQ \rightarrow \{ - 1, 1\} ,
\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(Q\lambda ) = \varepsilon (k) \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}k(Q\lambda ), \lambda \in \Lambda k, k \in \{ 1, . . . , n\} .
Нехай множини Q\lambda i Q\mu сумiжнi для деяких \lambda , \mu \in \Lambda . Згiдно з наслiдком 3 iснує таке
k \in \{ 1, . . . , n\} , що \lambda , \mu \in \Lambda k. Наслiдок 4 гарантує, що множини Q(k)
\lambda та Q(k)
\mu сумiжнi, отже, з
властивостей вiдображення \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(k) випливають спiввiдношення
\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(Q\lambda ) = \varepsilon (k) \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}k(Q\lambda ) = \varepsilon (k) \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(k)(Q
(k)
\lambda ) \not =
\not = \varepsilon (k) \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(k)(Q(k)
\mu ) = \varepsilon (k) \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}k(Q\mu ) = \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(Q\mu ).
Лему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI. II 263
3. Побудова псевдогармонiчної функцiї. Ми скористаємось наступним топологiчним кри-
терiєм того, що функцiя є псевдогармонiчною (див. [5]).
Нехай F — топологiчний простiр, f : F \rightarrow \BbbR — функцiя. Позначимо через Lc = \{ z \in F |
f(z) = c\} , c \in f(F ), множину рiвня функцiї f.
Означення 9 [5]. Сiм’я \{ Lc\} c\in f(F ) множин рiвня функцiї f називається одностайно ло-
кально зв’язною в точцi z \in F, якщо для кожного околу W точки z знайдеться iнший її окiл
W \prime \subset W такий, що для будь-якого c \in f(F ) кожну пару точок з Lc \cap W \prime можна з’єднати в
W зв’язною пiдмножиною множини Lc.
Якщо сiм’я \{ Lc\} c\in f(F ) одностайно локально зв’язна в кожнiй точцi z \in F, кажуть, що
\{ Lc\} одностайно локально зв’язна на F .
Теорема 2 [5]. Нехай F — двовимiрна поверхня. Функцiя f : F \rightarrow \BbbR є псевдогармонiчною
на F тодi й лише тодi, коли виконуються такi умови:
(1) функцiя f неперервна;
(2) вiдображення f вiдкрите;
(3) сiм’я \{ Lc\} c\in f(F ) множин рiвня функцiї f одностайно локально зв’язна на F, можливо,
за винятком деякого дисконтинууму E \subset F.
3.1. Деякi технiчнi результати.
Лема 3. Нехай \{ Ui\} i\in \BbbN — деяка сiм’я зв’язних вiдкритих пiдмножин площини, а f : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR
— неперервна функцiя.
Припустимо, що виконуються такi умови:
1) Ui \cap Uj = \varnothing при i \not = j, i, j \in \BbbN ;
2)
\bigcup
i\in \BbbN Ui = \BbbR 2;
3) для всiх i \in \BbbN та x \in \mathrm{F}\mathrm{r}Ui точка x досяжна з Ui;
4) для кожного i \in \BbbN функцiя f | Ui : Ui \rightarrow \BbbR є вiдкритим вiдображенням;
5) f - 1(0) = \BbbR 2 \setminus
\bigcup
i\in \BbbN Ui; внаслiдок зв’язностi кожного Ui та неперервностi функцiї f з
цього випливає, що для кожного i \in \BbbN функцiя f набуває на Ui значень одного знаку;
6) для кожного x \in \BbbR 2 \setminus
\bigcup
i\in \BbbN Ui знайдуться двi множини Uj та Uk такi, що x \in \mathrm{F}\mathrm{r}Uj \cap
\cap \mathrm{F}\mathrm{r}Uk i f набуває значень рiзних знакiв на Uj i Uk;
7) сiм’я \{ Li
c\} c\in f(Ui)
множин рiвня функцiї f | Ui
: Ui \rightarrow \BbbR одностайно локально зв’язна на
Ui, i \in \BbbN .
Тодi функцiя f вiдповiдає таким вимогам:
a) f : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR є вiдкритим вiдображенням;
b) нехай для деякого x \in \BbbR 2 \setminus
\bigcup
i\in \BbbN Ui iснують вiдкритий окiл V та iндекси j, k \in \BbbN , j \not = k,
такi, що V \subset Uj \cup Uk; тодi сiм’я \{ Lc\} c\in f(\BbbR 2) множин рiвня f одностайно локально зв’язна в
точцi x.
Доведення. а) Перевiримо, що вiдображення f є вiдкритим.
Нехай множина W \in \BbbR 2 вiдкрита. Згiдно з умовою 4 даної леми всi множини f(W \cap Ui)
вiдкритi, тому множина
f
\Biggl(
W \cap
\bigcup
i\in \BbbN
Ui
\Biggr)
=
\bigcup
i\in \BbbN
f(W \cap Ui)
є вiдкритою.
Нехай x \in W \cap \BbbR 2 \setminus
\bigcup
i\in \BbbN Ui. Тодi f(x) = 0 згiдно з умовою 5. Вiдповiдно до умови 6
знайдемо такi iндекси j, k \in \BbbN , що x \in \mathrm{F}\mathrm{r}Uj \cap \mathrm{F}\mathrm{r}Uk, а також f вiд’ємна на Uj i додатна на Uk.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
264 Є. О. ПОЛУЛЯХ
Скористаємось умовою 3 i знайдемо надрiзи \alpha j : [0, 1] \rightarrow Uj i \alpha k : [0, 1] \rightarrow Uk областей Uj i Uk
вiдповiдно в точцi x їх спiльної межi. Тодi f \circ \alpha j(0) = f \circ \alpha k(0) = f(x) = 0, f \circ \alpha j(t) < 0 i
f \circ \alpha k(t) > 0 при t > 0.
Зафiксуємо окiл Wx \subset W точки x. Кривi \alpha j i \alpha k неперервнi, тому знайдуться такi tj , tk \in
\in (0, 1], що \alpha j(t) \in Wx при t \leq tj i \alpha k(t) \in Wx при t \leq tk. За побудовою cj = f \circ \alpha j(tj) < 0 i
ck = f \circ \alpha k(tk) > 0.
Позначимо Vf(x) = (cj , ck). Множина
A = \{ \alpha j(t) | t \in [0, tj ]\} \cup \{ \alpha k(t) | t \in [0, tk]\} \subset Wx
зв’язна, тому i її образ f(A) є зв’язною множиною. Очевидно, cj , ck \in f(A), тому i Vf(x) =
= (cj , ck) \subset f(A) \subset f(Wx) \subset f(W ). Зрозумiло, що множина Vf(x) є вiдкритим околом точки
f(x) = 0.
Отже, для довiльної точки x \in W \cap \BbbR 2 \setminus
\bigcup
i\in \BbbN Ui знайдуться її вiдкритий окiл Wx \subset W
i вiдкритий окiл Vf(x) її образу f(x) такi, що Vf(x) \subset f(Wx). Позначимо для зручностi F =
=W \cap
\bigl(
\BbbR 2 \setminus
\bigcup
i\in \BbbN Ui
\bigr)
. З очевидної рiвностi
W = \{ x \in F\} \cup
\bigcup
i\in \BbbN
(W \cap Ui) =
\bigcup
x\in F
Wx \cup
\bigcup
i\in \BbbN
(W \cap Ui)
випливає, що
f(W ) =
\bigcup
x\in F
f(Wx) \cup
\bigcup
i\in \BbbN
f(W \cap Ui) \supset
\bigcup
x\in F
Vf(x) \cup
\bigcup
i\in \BbbN
f(W \cap Ui) \supset
\supset \{ f(x)| x \in F\} \cup
\bigcup
i\in \BbbN
f(W \cap Ui) = f(W ).
Отже,
f(W ) =
\bigcup
x\in F
Vf(x) \cup
\bigcup
i\in \BbbN
f(W \cap Ui)
i множина f(W ) є вiдкритою.
Вiдкритiсть вiдображення f випливає з довiльностi вибору вiдкритої множини W \in \BbbR 2.
б) Нехай x \in \BbbR 2 \setminus
\bigcup
i\in \BbbN Ui i iснують вiдкритий окiл V та iндекси j, k \in \BbbN , j \not = k, такi,
що V \subset Uj \cup Uk. Перевiримо, що сiм’я \{ Lc\} c\in f(\BbbR 2) множин рiвня f є одностайно локально
зв’язною у точцi x.
З умови 1 випливає, що Ul \cap (Uj \cup Uk) = \varnothing для кожного l /\in \{ j, k\} , l \in \BbbN . Тому
Ul \cap V = \varnothing при l /\in \{ j, k\} . (6)
Внаслiдок умови 6 i попереднього спiввiдношення f набуває значень рiзних знакiв на Uj i
Uk. Не обмежуючи загальностi мiркувань, можемо вважати, що f вiд’ємна на Uj i додатна на
Uk, тобто f(Uj) \subset ( - \infty , 0) i f(Uj) \subset (0,+\infty ).
Зазначимо, що з умови 6 i рiвностi (6) також випливає, що V \setminus (Uj \cup Uk) \subset (\mathrm{F}\mathrm{r}Uj \cap \mathrm{F}\mathrm{r}Uk).
Внаслiдок цього f - 1(0) \cap V \subset (\mathrm{F}\mathrm{r}Uj \cap \mathrm{F}\mathrm{r}Uk).
Розглянемо вiдкритий окiл W точки x в \BbbR 2. Позначимо W0 =W \cap V.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI. II 265
Використавши умову 7, знайдемо вiдкритий окiл Qj \subset W0\cap Uj точки x у просторi Uj , який
має таку властивiсть: для будь-якого c \in f(Uj) кожну пару точок з Lj
c \cap Qj можна з’єднати у
W0 \cap Uj зв’язною пiдмножиною множини Lj
c. Виберемо також вiдкритий окiл Qk \subset W0 \cap Uk
точки x у просторi Uk такий, що для будь-якого c \in f(Uk) кожну пару точок з Lk
c \cap Qk можна
з’єднати у W0 \cap Uk зв’язною пiдмножиною множини Lk
c .
З означення iндукованої топологiї на пiдпросторi випливає, що знайдуться такi вiдкритi
околи W \prime
j i W \prime
k точки x в \BbbR 2, що Qj =W \prime
j \cap Uj i Qk =W \prime
k \cap Uk. Позначимо W \prime = V \cap W \prime
j \cap W \prime
k.
Нехай y1, y2 \in W \prime \cap Lc для деякого c \in f(\BbbR 2).
Якщо c \geq 0, то y1, y2 \in Uj . Тому за означенням y1, y2 \in Lj
c. З вибору околу W \prime випливає,
що y1, y2 \in Qj . Внаслiдок цього iснує зв’язна пiдмножина C \subset Lj
c \cap W0 \cap Uj , яка мiстить цi
точки. Очевидно, Lj
c \subset Lc, тому пару точок y1, y2 можна з’єднати у W зв’язною пiдмножиною
множини Lc.
Якщо c \leq 0, то y1, y2 \in Uk. Повторюючи попереднi мiркування, приходимо до висновку,
що i в цьому випадку точки y1 i y2 можна з’єднати у W зв’язною пiдмножиною множини Lc.
Враховуючи довiльнiсть вибору вiдкритого околу W точки x, робимо висновок, що сiм’я
\{ Lc\} c\in f(\BbbR 2) множин рiвня f одностайно локально зв’язна у точцi x.
Лему 3 доведено.
Нехай D = \{ (x, y) \in \BbbR 2 | (x - 1)2 + y2 \leq 1\} — замкнений диск радiуса 1 з центром у
точцi (0, 1). Позначимо також D\prime = D\setminus \{ 0\} = \{ (x, y) \in D | x > 0\} , D0 = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D, \mathrm{F}\mathrm{r}D = D\setminus D0.
Твердження 3. Iснує неперервна функцiя g : D\prime \rightarrow \BbbR , яка має такi властивостi:
(i) g(D\prime ) = [0, 1), g(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D) = (0, 1), \mathrm{F}\mathrm{r}D \setminus \{ 0\} = g - 1(0);
(ii) вiдображення g | IntD : \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D \rightarrow \BbbR вiдкрите;
(iii) сiм’я \{ Lc\} c\in [0,1) множин рiвня функцiї g одностайно локально зв’язна на D\prime .
Доведення. Розглянемо спочатку функцiю g0 : (\BbbR \setminus \{ 0\} )\times \BbbR \rightarrow \BbbR ,
g0(x, y) =
x2 + y2
2x
, x \in \BbbR \setminus \{ 0\} , y \in \BbbR .
Легко бачити, що множиною рiвня g - 1
0 (c), c \not = 0, цiєї функцiї є коло (x - c)2 + y2 = c2
радiуса | c| з центром у точцi (c, 0), з якого вилучено початок координат. Зокрема, g0(D\prime ) = (0, 1],
g0(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D) = (0, 1) i \mathrm{F}\mathrm{r}D \setminus \{ 0\} = g - 1
0 (1).
Зауважимо також, що D\prime = \{ z \in (\BbbR \setminus \{ 0\} )\times \BbbR | g0(z) \in (0, 1]\} .
Нехай
g1(z) = 1 - g0(z), z \in (\BbbR \setminus \{ 0\} )\times \BbbR .
Тодi g1(D\prime ) = [0, 1), g1(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D) = (0, 1) i \mathrm{F}\mathrm{r}D \setminus \{ 0\} = g - 1
1 (0). Отже, функцiя g1 вiдповiдає
умовi (i).
Також виконується спiввiдношення
D\prime = \{ z \in (\BbbR \setminus \{ 0\} )\times \BbbR | g1(z) \in [0, 1)\} . (7)
Легко бачити, що функцiя g1 : (\BbbR \setminus \{ 0\} ) \times \BbbR \rightarrow \BbbR є гладкою i не має критичних точок в
областi визначення.
Згiдно з теоремою про ранг (див. [6]) для кожного z \in (\BbbR \setminus \{ 0\} ) \times \BbbR iснує такий окiл
Uz, що функцiя g1| Uz : Uz \rightarrow \BbbR топологiчно еквiвалентна координатнiй проекцiї \pi 1 : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
266 Є. О. ПОЛУЛЯХ
0
D′
y
Рис. 2. Множини рiвня функцiї g.
\pi 1(x, y) = x, у деякому околi початку координат. Тобто iснують такi вкладення \chi z : Uz \rightarrow \BbbR 2 i
гомеоморфiзм \eta z : \BbbR \rightarrow \BbbR , що \chi z(z) = 0 i дiаграма
Uz
g1| Uz - - - - \rightarrow \BbbR
\chi z
\downarrow \downarrow \eta z
\BbbR 2 - - - - \rightarrow
\pi 1
\BbbR
є комутативною. З цього безпосередньо випливає, що вiдображення g1 є вiдкритим.
Перевiримо, що сiм’я множин рiвня функцiї g1 одностайно локально зв’язна в областi
визначення цiєї функцiї.
Нехай W — окiл точки z в (\BbbR \setminus \{ 0\} )\times \BbbR . Множина \chi z(Uz \cap W ) є околом точки 0 = \chi z(z),
тому iснує таке \delta > 0, що V\delta (0) = \{ (x, y) \in \BbbR 2 | x2 + y2 < \delta 2\} \subset \chi z(Uz \cap W ). Тодi
W \prime = \chi - 1
z (V\delta (0)) \subset W i z \in W \prime .
Зрозумiло, що для кожного c \in g1(W
\prime ) виконується включення
\chi z(g
- 1
1 (c)) \subset \pi - 1
1 (\eta z(c)) = \{ \eta z(c)\} \times \BbbR ,
тому множина
W \prime \cap g - 1
1 (c) = \chi - 1
z
\bigl(
V\delta (0) \cap (\{ \eta z(c)\} \times \BbbR )
\bigr)
\subset W
є зв’язною, як образ iнтервалу пiд дiєю неперервного вiдображення \chi - 1
z . Отже, для будь-
якого c \in g1(W
\prime ) кожну пару точок з множини W \prime \cap g - 1
1 (c) можна з’єднати в W зв’язною
пiдмножиною множини g - 1
1 (c).
Внаслiдок довiльностi вибору точки z та її околу W сiм’я множин рiвня функцiї g1 одно-
стайно локально зв’язна на множинi (\BbbR \setminus \{ 0\} )\times \BbbR .
Розглянемо функцiю g = g1| D\prime : D\prime \rightarrow \BbbR (див. рис. 2).
З викладеного вище випливає, що g вiдповiдає умовi (i).
Вiдображення g | IntD = g1| IntD : \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D \rightarrow \BbbR є вiдкритим, тому що g1 — вiдкрите вiдображен-
ня i \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D — вiдкрита пiдмножина його областi визначення. Отже, умова (ii) також виконується
для g.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI. II 267
Справедливiсть умови (iii) для g випливає з одностайної локальної зв’язностi сiм’ї множин
рiвня функцiї g1 i з того, що D\prime є повним прообразом множини [0, 1) (див. рiвнiсть (7)).
Твердження 3 доведено.
Наслiдок 5. Нехай A є власною вiдкритою пiдмножиною межi \mathrm{F}\mathrm{r}D, \^D = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D \cup A.
Тодi iснує неперервна функцiя \^g : \^D \rightarrow \BbbR , яка має такi властивостi:
(i) \^g( \^D) = [0, 1), \^g(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D) = (0, 1), A = \^g - 1(0);
(ii) вiдображення \^g | IntD : \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D \rightarrow \BbbR вiдкрите;
(iii) сiм’я \{ \^Lc\} c\in [0,1) множин рiвня функцiї \^g одностайно локально зв’язна на \^D.
Доведення. За умовою наслiдку A \not = \mathrm{F}\mathrm{r}D. Не обмежуючи загальностi мiркувань, можемо
вважати, що 0 /\in A. Тодi \^D \subset D\prime .
Розглянемо функцiю g : D\prime \rightarrow \BbbR , яка вiдповiдає твердженню 3. Нехай \^g = g | \^D : \^D \rightarrow \BbbR .
Очевидно, \^g задовольняє вимоги (i) та (ii) наслiдку.
Для перевiрки умови (iii) зазначимо, що внаслiдок вiдкритостi A в \mathrm{F}\mathrm{r}D для кожного z \in A
iснує такий окiл W 0
z в \BbbR 2, що Wz =W 0
z \cap \^D =W 0
z \cap D\prime . Тодi для кожного околу W точки z в
D\prime окiл W \cap Wz цiєї точки в D\prime буде пiдмножиною \^D. Для завершення доведення залишилося
зауважити, що \^Lc = Lc \cap \^D для кожного c \in [0, 1), i скористатись означенням 9.
Наслiдок 5 доведено.
3.2. Побудова функцiї \bfitf .
Твердження 4. Набiр множин \{ Q\lambda \} \lambda \in \Lambda утворює локально скiнченне замкнене покриття
площини.
Для кожного z \in \Phi (T \setminus V0) iснують принаймнi двi компонентиQ\lambda , Q\mu \in \scrQ , якi є сумiжними
i такими, що z \in Q\lambda \cap Q\mu .
Якщо z \in \Psi (T \setminus V ), то z \in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(Q\lambda \cup Q\mu ).
Доведення. Нехай z \in \BbbR 2. Щоб перевiрити першу частину твердження, потрiбно знайти
окiл Uz \ni z, який перетинається лише зi скiнченною кiлькiстю елементiв \{ Q\lambda \} .
За означенням \BbbR 2 = \Psi (T \setminus V0) \cup
\bigcup
\lambda Q\lambda .
Припустимо, z \in Q\mu для якогось \mu \in \Lambda . Внаслiдок того, що всi Q\lambda вiдкритi i попарно не
перетинаються, справджується рiвнiсть Q\mu \cap Q\lambda = \varnothing i окiл Uz = Q\mu вiдповiдає даним вимогам.
Нехай z \in \Psi (T \setminus V0). Тодi iснує i \in \{ 1, . . . , n\} , для якого z \in \Psi (Ti \setminus V0). Як i при доведеннi
твердження 2, зазначимо, що точка z вiддiлена вiд замкненої множини Ri (див. (5)). Тому iснує
такий її окiл \~U, що \~U \cap \Psi (T \setminus V0) = \~U \cap \Psi (Ti \setminus V0).
Розглянемо плоске вiдображення \Psi i = \Psi | Ti\setminus V0
: Ti \setminus V0 \rightarrow \BbbR 2. Нехай Uz є околом точки
z, який вiдповiдає лемi 1 з [1] вiдносно \Psi i. Зауважимо, що його можна вибрати як завгодно
малим, тому можемо вважати, що Uz \subset \~U.
Позначимо \Delta z = \{ \lambda \in \Lambda i | Q(i)
\lambda \cap Uz \not = \varnothing \} .
Лема 1 [1] i твердження 7 [1] стверджують, що окiл Uz гомеоморфний одиничному диску,
роздiленому на сектори скiнченною кiлькiстю променiв, якi з’єднують образ точки z з його
межею. Образом дерева T в диску є об’єднання цих променiв, а образами множин Q(i)
\mu , \mu \in \Delta z,
є сектори, причому образом кожної множини Q(i)
\mu є рiвно один сектор.
З викладеного випливають такi наслiдки:
z \in Q
(i)
\mu , \mu \in \Delta z;
є принаймнi два iндекси \lambda , \mu \in \Delta z, для яких образи компонент Q(i)
\lambda i Q(i)
\mu є сусiднiми
секторами в диску, отже, областi Q(i)
\lambda i Q(i)
\mu є сумiжними (див. означення 7 i твердження 6
з [1]);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
268 Є. О. ПОЛУЛЯХ
якщо z \in \Psi i(Ti\setminus V ) = \Psi (Ti\setminus V ), то число секторiв i променiв дорiвнює 2, тобто \Delta z = \{ \lambda , \mu \}
i Uz \subset Q
(i)
\lambda \cup Q(i)
\mu \cup (Q
(i)
\lambda \cap Q(i)
\mu ).
Внаслiдок вибору околу \~U з нерiвностiQ\mu \cap Uz \not = \varnothing випливає, що \mu \in \Lambda i. Тодi твердження 2
i наслiдок 2 гарантують, що Q\mu \cap Uz = Q
(i)
\mu \cap Uz.
Зокрема, z \in Uz \subset
\bigcup
\lambda \in \Delta z
Q\lambda . З означення сiм’ї \{ Q\lambda \} i з попереднього спiввiдношення
випливає, що Uz \cap Q\mu = \varnothing для кожного \mu /\in \Delta z. Внаслiдок цього сiм’я \{ Q\lambda \} \lambda \in \Lambda утворює
локально скiнченне замкнене покриття площини.
З урахуванням викладеного вище наслiдок 4 гарантує наступне:
z \in Q\mu , \mu \in \Delta z;
є принаймнi два iндекси \lambda , \mu \in \Delta z, для яких областi Q\lambda i Q\mu є сумiжними;
якщо z \in \Psi (T \setminus V ), то \Delta z = \{ \lambda , \mu \} i Uz \subset (Q\lambda \cup Q\mu ).
Твердження 4 доведено.
Введемо наступнi поняття (див. [7]).
Вiдкритою кривою A назвемо гомеоморфний образ iнтервалу (0, 1) в \BbbR 2. Нехай множина
A є образом вкладення \alpha : (0, 1) \rightarrow \BbbR 2 i A прямує до нескiнченностi в обох напрямках, тобто
| \alpha (t)| \rightarrow \infty як при t \rightarrow 0, так i при t \rightarrow 1. Тодi за теоремою Жордана про криву (див. [4])
доповнення \BbbR 2 \setminus A має двi компоненти зв’язностi. Позначимо їх \scrD i \scrD \ast .
Теорема 3 [7]. Нехай Ai, i = 1, . . . , n, є вiдкритими кривими, що не перетинаються i
прямують до нескiнченностi в обох напрямках. Нехай \scrD \ast (Ai) \cap \scrD \ast (Aj) = \varnothing для всiх i \not = j при
належному виборi \scrD (Ai) i \scrD \ast (Ai).
Тодi множину
n\bigcap
i=1
\scrD (Ai) =
\Biggl(
n\bigcap
i=1
\scrD (Ai)
\Biggr)
\cup
\Biggl(
n\bigcup
i=1
Ai
\Biggr)
можна гомеоморфно вiдобразити зi збереженням орiєнтацiї на об’єднання внутрiшностi оди-
ничного диска в \BbbR 2 i n вiдкритих дуг A\prime
1, . . . , A
\prime
n, що лежать на його межi i не перетинаються.
При цьому дуга A\prime
i буде образом вiдкритої кривої Ai.
Нехай Q\lambda \in \scrQ — компонента зв’язностi множини \BbbR 2 \setminus \Psi (T \setminus V0) i \lambda \in \Lambda i. Тодi Ai =
= Q\lambda \cap \Psi (Ti \setminus V0) \not = \varnothing . Згiдно з наслiдком 2 Ai = Q
(i)
\lambda \cap \Psi (Ti \setminus V0) \not = \varnothing . З леми 2 [1] випливає,
що Ai є вiдкритою кривою i прямує до нескiнченностi в обох напрямках. Отже, Ai дiлить \BbbR 2 на
двi компоненти зв’язностi. Позначимо через \scrD (Ai) ту з них, яка мiстить Q\lambda , а через \scrD \ast (Ai) —
iншу.
Позначимо J(\lambda ) =
\bigl\{
i \in \{ 1, . . . , n\} | \lambda \in \Lambda i
\bigr\}
. Зрозумiло, що J(\lambda ) \not = \varnothing .
Перевiримо, що \scrD \ast (Ai) \cap \scrD \ast (Aj) = \varnothing для кожної пари iндексiв i, j \in J(\lambda ), i \not = j.
Множини Ai та Aj зв’язнi i не перетинаються. Тому (Aj \subset \scrD (Ai)) \vee (Aj \subset \scrD \ast (Ai)). Якщо
Aj \subset \scrD \ast (Ai), то \scrD \ast (Ai) \cap Q\lambda \not = \varnothing , тому що множина \scrD \ast (Ai) вiдкрита i Aj = \mathrm{F}\mathrm{r}Q\lambda . А це
неможливо, тому що \varnothing \not = Q\lambda \subset \scrD (Ai) \cap \scrD (Aj).
Отже, Aj \subset \scrD (Ai). Внаслiдок цього \scrD \ast (Aj)\cap \scrD (Ai) \not = \varnothing , тому що множина \scrD (Ai) вiдкрита
i за побудовою Aj = \mathrm{F}\mathrm{r}\scrD \ast (Aj).
Аналогiчно, Ai \subset \scrD (Aj) i \scrD \ast (Ai) \cap \scrD (Aj) \not = \varnothing .
Очевидно, \scrD \ast (Ai) = (\scrD \ast (Ai) \cap \scrD \ast (Aj)) \cup (\scrD \ast (Ai) \cap \scrD (Aj)) \cup (\scrD \ast (Ai) \cap Aj). Якщо ми
припустимо, що \scrD \ast (Ai) \cap \scrD \ast (Aj) \not = \varnothing , то також повинна виконуватись нерiвнiсть \scrD \ast (Ai) \cap
\cap Aj \not = \varnothing . Дiйсно, в цьому випадку маємо непорожнi вiдкритi множини \scrD \ast (Ai) \cap \scrD \ast (Aj) i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI. II 269
\scrD \ast (Ai)\cap \scrD (Aj), що не перетинаються. Їх об’єднання не може збiгатися зi зв’язною множиною
\scrD \ast (Ai).
Отже, \scrD \ast (Ai) \cap \scrD \ast (Aj) = \varnothing для кожної пари iндексiв i, j \in J(\lambda ), i \not = j.
Внаслiдок викладеного множини Ai, i \in J(\lambda ), вiдповiдають умовам теореми 3.
З наслiдку 2 випливає, що
\bigcap
i\in J(\lambda )
\scrD (Ai) =
\left( \bigcap
i\in J(\lambda )
\scrD (Ai)
\right) \cup
\bigcup
i\in J(\lambda )
Ai = Q\lambda \cup
\bigcup
i\in J(\lambda )
Ai = Q\lambda .
Отже, iснує гомеоморфiзм h\lambda множини Q\lambda на об’єднання внутрiшностi одиничного диска
в \BbbR 2 i вiдкритих дуг A\prime
i, i \in J(\lambda ), що лежать на його межi i не перетинаються. При цьому
A\prime
i = h\lambda (Ai), i \in J(\lambda ).
Очевидно, ми можемо замiсть стандартного одиничного диска взяти D = \{ (x, y) \in \BbbR 2 |
(x - 1)2 + y2 \leq 1\} i вважати, що \^D = h\lambda (Q\lambda ) \subset D\prime , h\lambda (Q\lambda ) = \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D, h\lambda (Q\lambda ) \cap \mathrm{F}\mathrm{r}D =
=
\bigcup
i\in J(\lambda ) h\lambda (Ai) =
\bigcup
i\in J(\lambda )A
\prime
i.
Скористаємося наслiдком 5 i зафiксуємо неперервну функцiю g\lambda : \^D \rightarrow \BbbR , яка вiдповiдає
умовам (i) – (iii).
Нехай f\lambda : Q\lambda \rightarrow \BbbR , f\lambda (z) = \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\lambda ) \cdot g\lambda \circ h\lambda (z), z \in Q\lambda .
З умов (i) – (iii) наслiдку 5 випливає, що f\lambda має такi властивостi:
\mathrm{F}\mathrm{r}Q\lambda = f - 1
\lambda (0);
вiдображення f\lambda | Q\lambda
: Q\lambda \rightarrow \BbbR вiдкрите;
сiм’я \{ L\lambda
c \} c\in f\lambda (Q\lambda )
множин рiвня функцiї f\lambda одностайно локально зв’язна на Q\lambda .
Побудуємо функцiю f : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR за допомогою спiввiдношення
f(z) = f\lambda (z), якщо z \in Q\lambda .
За означенням вiдкритi множини Q\lambda i Q\mu не перетинаються при \lambda \not = \mu , \lambda , \mu \in \Lambda . Внаслiдок
цього Q\lambda \cap Q\mu = \mathrm{F}\mathrm{r}Q\lambda \cap \mathrm{F}\mathrm{r}Q\mu . Отже, якщо z \in Q\lambda \cap Q\mu , \lambda \not = \mu , то z \in \mathrm{F}\mathrm{r}Q\lambda \cap \mathrm{F}\mathrm{r}Q\mu i
f\lambda (z) = f\mu (z) = 0, тобто функцiю f означено коректно.
З твердження 4 випливає, що сiм’я \{ Q\lambda \} \lambda \in \Lambda утворює замкнене локально скiнченне покриття
площини. За означенням функцiя f | Q\lambda
= f\lambda : Q\lambda \rightarrow \BbbR неперервна для кожного \lambda \in \Lambda , тому
функцiя f : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR є неперервною (див. [8]).
Твердження 5. Сiм’я \{ Q\lambda \} \lambda \in \Lambda вiдкритих зв’язних пiдмножин площини i функцiя f задо-
вольняють умови леми 3.
Доведення. Множина \Lambda злiченна, тому що простiр \BbbR 2 має злiченну базу топологiї i Q\lambda \cap
\cap Q\mu = \varnothing при \lambda \not = \mu за означенням.
Очевидно, сiм’я \{ Q\lambda \} вiдповiдає умовi 1. Умова 2 є наслiдком твердження 4. Умова 3
випливає з наслiдку 2. Умови 4, 5 i 7 справедливi за побудовою функцiї f. Умова 6 є наслiдком
твердження 4 i леми 2.
Твердження 6. Якщо z \in \Psi (T \setminus V ), то сiм’я \{ Lc\} c\in f(\BbbR 2) множин рiвня функцiї f одно-
стайно локально зв’язна в точцi z.
Доведення. Це безпосереднiй наслiдок леми 3 i твердження 4.
Твердження 7. Функцiя f є псевдогармонiчною.
Доведення. З означення 3 i твердження 5 з [1] випливає, що образи вершин графа T пiд
дiєю вiдображення \Psi утворюють дискретну пiдмножину E площини.
Тому функцiя f задовольняє умови 1 – 3 теореми 2 внаслiдок тверджень 5 i 6.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
270 Є. О. ПОЛУЛЯХ
Лiтература
1. Полулях Є. О. Дерева як множини рiвня псевдогармонiчних функцiй на площинi // Укр. мат. журн. – 2013. –
65, № 7. – С. 974 – 995.
2. Morse M. Topological methods in the theory of functions of a complex variable. – Princeton, 1947. – 145 p.
3. Polulyakh E., Yurchuk I. On the pseudo-harmonic functions defined on a disk // Працi Iн-ту математики НАН
України. – 2009. – 80. – 151 с.
4. Newman M. H. A. Elements of the topology of plane sets of points. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1964. –
214 p.
5. Tôki Y. A topological characterization of pseudo-harmonic functions // Osaka Math. J. – 1951. – 3, № 1. – P. 101 – 122.
6. Зорич В. А. Математический анализ: В 2 т. – М.: МЦНМО, 2002. – Т. 1. – 664 с.
7. Kaplan W. Regular curve-families filling the plane. I // Duke Math. J. – 1940. – 7. – P. 154 – 185.
8. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. – М.: Наука, 1977. – 488 с.
Одержано 21.01.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1838 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:39Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/33/cafe697144579331aad78638a3030333.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18382019-12-05T09:29:16Z Trees as set levels for pseudoharmonic functions in the plane. II Дерева як множини рівня псевдогармонічних функцій на площині. II Polulyakh, E. O. Полулях, Є. О. Let $T$ be a forest formed by finitely many locally finite trees. Let $V_0$ be the set of all vertices of $T$ of degree 1. We propose a sufficient condition for the image of an embedding $\Psi : T \setminus V_0 \rightarrow R^2$ to be a level set of a pseudoharmonic function. Пусть $T$ — лес, состоящий из конечного количества локально конечных деревьев, $V_0$ — множество его вершин валентности 1. Предложено достаточное условие того, чтобы образ вложения $\Psi : T \setminus V_0 \rightarrow R^2$ являлся множеством уровня псевдогармонической функции. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1838 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 2 (2016); 254-270 Український математичний журнал; Том 68 № 2 (2016); 254-270 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1838/820 Copyright (c) 2016 Polulyakh E. O. |
| spellingShingle | Polulyakh, E. O. Полулях, Є. О. Trees as set levels for pseudoharmonic functions in the plane. II |
| title | Trees as set levels for pseudoharmonic functions in the plane. II |
| title_alt | Дерева як множини рівня псевдогармонічних функцій на площині. II |
| title_full | Trees as set levels for pseudoharmonic functions in the plane. II |
| title_fullStr | Trees as set levels for pseudoharmonic functions in the plane. II |
| title_full_unstemmed | Trees as set levels for pseudoharmonic functions in the plane. II |
| title_short | Trees as set levels for pseudoharmonic functions in the plane. II |
| title_sort | trees as set levels for pseudoharmonic functions in the plane. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1838 |
| work_keys_str_mv | AT polulyakheo treesassetlevelsforpseudoharmonicfunctionsintheplaneii AT polulâhêo treesassetlevelsforpseudoharmonicfunctionsintheplaneii AT polulyakheo derevaâkmnožinirívnâpsevdogarmoníčnihfunkcíjnaploŝiníii AT polulâhêo derevaâkmnožinirívnâpsevdogarmoníčnihfunkcíjnaploŝiníii |