Relationship between normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space $E_3$

We establish the relationship between the normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space $E_3$.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автори:	Potapenko, I. V., Потапенко, І. В.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1839
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860507712665681920
author	Potapenko, I. V. Потапенко, І. В.
author_facet	Potapenko, I. V. Потапенко, І. В.
author_sort	Potapenko, I. V.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-12-05T09:29:16Z
description	We establish the relationship between the normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space $E_3$.
first_indexed	2026-03-24T02:13:40Z
format	Article
fulltext	© І. В. ПОТАПЕНКО, 2016 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2 271 УДК 514.752.433 І. В. Потапенко (Одес. нац. ун-т ім. І. І. Мечникова) ЗВ’ЯЗОК МІЖ НОРМОВАНИМИ ТЕНЗОРАМИ ДВОХ РЕГУЛЯРНИХ СІТОК НА ПОВЕРХНІ В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ E3 We establish the relationship between the normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space E3 . Установлена зависимость между нормированными тензорами двух регулярных сетей на поверхности в евклидовом пространстве E3. Основи теорії сіток у тензорній формі було введено Я. С. Дубновим та викладено в монографії В. Ф. Кагана [1, с. 366 − 370]. Оскільки на будь-якій регулярній поверхні можна ввести довіль- ну кількість різноманітних за своїми властивостями сіток, то виникає потреба зв’язати нормо- вані тензори двох довільно взятих сіток. Саме цьому питанню і присвячено дану статтю. Окремо виділено, як наслідок, зв’язок між нормованими тензорами двох регулярних сіток на поверхні зі сталим сітковим кутом між координатними лініями. Наведемо основні поняття, які будемо використовувати в даній роботі. Під однопарамет- ричною сім’єю кривих на поверхні, що віднесена до координат x1, x2 , будемо називати су- купність кривих, які задаються рівнянням f (x1, x2, c) = 0 , (1) де параметр с ��набуває довільних значень у деякому інтервалі. Означення 1. Однопараметрична сім’я ліній на поверхні називається регулярною в деякій області, якщо в цій області через кожну точку поверхні проходить одна і тільки одна лінія сім’ї. Віднесемо кожну криву регулярної однопараметричної сім’ї до натурального параметра s , для довільної точки (x1, x2 ) похідні dx 1 ds , dx 2 ds по кривій, що проходить через цю точку, є однозначними функціями від x1, x2: dx1 ds = λ1(x1, x2 ), dx 2 ds = λ2(x1, x2 ) . (2) Рівняння (2) називаються диференціальними рівняннями регулярної сім’ї ліній на поверхні. Зауважимо, що функції λ1 , λ2 є компонентами контраваріантного тензора типу (0, 1) — одиничного вектора, дотичного до кривої сім’ї, що проходить через точку (x1, x2 ) , оскільки вони задовольняють в області регулярності співвідношення gαβλαλβ = 1. (3) Таким чином, регулярна однопараметрична сім’я ліній на поверхні визначається полем одинич- ного вектора (λ1, λ2 ) або тензором типу (0, 1). Позначаючи через l (λ1, λ2 ) поле одинич- 272 І. В. ПОТАПЕНКО ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2 ного вектора сім’ї ліній у регулярній області, будемо говорити, що воно повністю визначає регулярну однопараметричну сім’ю кривих на поверхні через диференціальне рівняння (2). Означення 2. Дві різні однопараметричні сім’ї кривих, що є регулярними у спільній області, утворюють на поверхні регулярну сітку, якщо: 1) через кожну точку області сітки проходять дві криві, що належать різним сім’ям; 2) лінії з різних сімей у жодній точці не мають спільної дотичної. Зауважимо, що В. Ф. Каган [1] використовував термін ,,регулярна область сітки”. Нехай l (λ1, λ2 ) та m(µ1,µ2 ) — напрямні вектори однопараметричних сімей, що утво- рюють сітку. Диференціальні рівняння двох утворюючих сімей будуть мати вигляд dx1 ds1 = λ1(x1, x2 ), dx 2 ds1 = λ2(x1, x2 ) , (4) dx1 ds2 = µ1(x1, x2 ) , dx 2 ds2 = µ2(x1, x2 ) , де ds1, ds2 — довжини дуг першої та другої складових сімей. Виключаючи ds1, ds2 з (4), маємо dx1 dx2 − λ1 λ2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ dx1 dx2 − µ1 µ2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 0 . (5) Рівняння (5) запишемо у вигляді λ2µ2(dx1)2 − (λ1µ2 + λ2µ1)dx1dx2 + λ1µ1(dx2 )2 = 0 . (6) Оскільки рівняння (6) визначає обидві сім’ї сітки, то його можна розглядати як диференці- альне рівняння сітки. Запишемо рівняння (6) у тензорному вигляді. Для цього розглянемо контраваріантний тензор другої валентності: λiµ j . (7) Виконуючи симетрування (7) з діленням на інваріантний скаляр 1 2 sinω , де ω(x1, x2 ) — сітко- вий кут, що змінюється в межах від 0 до π , отримуємо контраваріантний тензор з матрицею компонент: 2λ1µ1 sinω λ1µ2 + λ2µ1 sinω λ1µ2 + λ2µ1 sinω 2λ2µ2 sinω ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . (8) ЗВ’ЯЗОК МІЖ НОРМОВАНИМИ ТЕНЗОРАМИ ДВОХ РЕГУЛЯРНИХ СІТОК НА ПОВЕРХНІ … 273 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2 Оскільки напрямні вектори однопараметричних сімей l (λ1, λ2 ) та m(µ1,µ2 ) — орти, то мають місце співвідношення gαβλαµβ = cosω , (9) λ1µ2 − λ2µ1 = sinω g . (10) Використовуючи дискримінантний тензор поверхні cij , (10) записуємо у вигляді λiµ j − λ jµi = cij sinω . (11) Дискримінант матриці (8) дорівнює − 1 g . Для регулярної сітки зведені мінори матриці (8) утворюють симетричний тензор другої ва- лентності φ  ij з компонентами − 2λ 2µ2g sinω (λ1µ2 + λ2µ1)g sinω (λ1µ2 + λ2µ1)g sinω − 2λ 1µ1g sinω ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . (12) В індексному позначенні матимемо φ  ij = − ciαc jβ(λαµβ + λβµα ) sinω . (13) Тензор (13), уведений Я. С. Дубновим [1, с. 341], називається нормованим тензором сітки, відіграє ключову роль в теорії регулярних сіток і є основним об’єктом дослідження в даній роботі. Використовуючи тензор сітки (13), диференціальне рівняння сітки (6) записуємо у вигляді φ  ij dx idx j = 0. (14) Основним результатом цієї статті є така теорема. Теорема. Нехай l1(λ1, λ2 ) , m1(µ1,µ2 ) та l2( λ1, λ2 ) , m2( µ 1, µ2 ) — напрямні вектори однопараметричних сімей, що утворюють дві регулярні сітки на заданій поверхні з сітко- вими кутами ω1(x1, x2 ), ω2(x1, x2 ) , репери (l1,m1) , (l2,m2 ) орієнтовані в додатному на- прямі та φ  ij , ψ  ij — нормовані тензори цих сіток відповідно. Тоді дані тензори зв’язані між собою співвідношенням 274 І. В. ПОТАПЕНКО ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2 ψ  11 ψ  12 ψ  22 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = = sinω1 sinω2 cosα cosβ − sin(α + β) sinα sinβ 1 2 sin(α + β) cos(α + β) − 1 2 sin(α + β) sinα sinβ sin(α + β) cosα cosβ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ϕ  11 ϕ  12 ϕ  22 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + g sin(β − α) 1 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (15) де α(x1, x2 ), β(x1, x2 ) — кути між векторами l1, l2 та m1, m2 відповідно, що відкла- даються в додатному напрямі. Доведення. Позначимо через α(x1, x2 ) кут між векторами l1, l2 , тоді кут між вектора- ми m1 , m2 буде дорівнювати α(x1, x2 ) + Δω(x1, x2 ) = β(x1, x2 ) , де Δω(x1, x2 ) = ω2(x1, x2 ) − − ω1(x1, x2 ) — приріст сіткового кута при переході від першої регулярної сітки до другої з сітковими кутами ω1(x1, x2 ), ω2(x1, x2 ) відповідно, всі кути відкладаються в додатному напрямі. Оскільки вектори-орти l2 , m2 є результатами повороту одиничних векторів l1, m1 у кожній точці дотичної площини на кути α(x1, x2 ) та β(x1, x2 ) відповідно, то мають місце такі формули зв’язку між координатами цих векторів [1, c. 345]: λ1 = λ1 cosα − λ2 sinα , λ2 = λ1 sinα + λ2 cosα , µ 1 = µ1 cosβ − µ2 sinβ , µ 2 = µ1 sinβ + µ2 cosβ. Використовуючи формули [1, c. 341] λ1µ1 = − sinω1 2g ϕ  22 , λ1µ2 = sinω1 2g ϕ  12+ g( ), λ2µ1 = sinω1 2g ϕ  12− g( ), λ2µ2 = − sinω1 2g ϕ  11 , маємо ψ  11 = − 2g λ2 µ2 sinω2 = − 2g sinω2 (λ1 sinα + λ2 cosα)(µ1 sinβ + µ2 cosβ) = ЗВ’ЯЗОК МІЖ НОРМОВАНИМИ ТЕНЗОРАМИ ДВОХ РЕГУЛЯРНИХ СІТОК НА ПОВЕРХНІ … 275 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2 = − 2g sinω2 (λ1µ1 sinα sinβ + λ1µ2 sinα cosβ + + λ2µ1 cosα sinβ + λ2µ2 cosα cosβ) = = − sinω1 sinω2 − ϕ  22 ⎛ ⎝⎜ sinα sinβ + ϕ  12+ g( ) sinα cosβ + + ϕ  12− g( ) cosα sinβ − ϕ  11 cosα cosβ ⎞ ⎠⎟ = = sinω1 sinω2 ϕ  11 cosα cosβ − ϕ  12 sin(α + β)⎛ ⎝ ⎞ ⎠ + + ϕ  22 sinα sinβ + g sin(β − α) , (16) ψ  12 = g( λ1µ2 + λ2 µ1) sinω2 = g sinω2 ((λ1 cosα − λ2 sinα)(µ1 sinβ + µ2 cosβ) + + (λ1 sinα + λ2 cosα)(µ1 cosβ − µ2 sinβ)) = = g sinω2 (λ1µ1 cosα sinβ + λ1µ2 cosα cosβ − λ2µ1 sinα sinβ − − λ2µ2 sinα cosβ + λ1µ1 sinα cosβ − λ1µ2 sinα sinβ + + λ2µ1 cosα cosβ − λ2µ2 cosα sinβ) = = g sinω2 (λ1µ1 sin(α + β) − λ2µ2 sin(α + β) + (λ1µ2 + λ2µ1) cos(α + β)) = = sinω1 sinω2 ϕ  11 1 2 sin(α + β) + ϕ  12 cos(α + β) − ϕ  22 1 2 sin(α + β)⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ , (17) ψ  22 = − 2g λ1µ1 sinω2 = − 2g sinω2 (λ1 cosα − λ2 sinα)(µ1 cosβ − µ2 sinβ) = = − 2g sinω2 (λ1µ1 cosα cosβ − λ1µ2 cosα sinβ − − λ2µ1 sinα cosβ + λ2µ2 sinα sinβ) = = − sinω1 sinω2 −ϕ  22 cosα cosβ − ϕ  12+ g( ) cosα sinβ⎛ ⎝⎜ − 276 І. В. ПОТАПЕНКО ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2 − ϕ  12− g( ) sinα cosβ − ϕ  11 sinα sinβ ⎞ ⎠⎟ = = sinω1 sinω2 ϕ  11 sinα sinβ ⎛ ⎝⎜ + ϕ  12 sin(α + β) + ϕ  22 cosα cosβ + g sin(β − α) ⎞ ⎠⎟ . (18) З (16) − (18) випливає (15). Теорему доведено. Наслідок 1. Нехай l1(λ1, λ2 ) , m1(µ1,µ2 ) та l2( λ1, λ2 ), m 2( µ1, µ2 ) — напрямні век- тори однопараметричних сімей, що утворюють дві регулярні сітки на заданій поверхні з однаковими сітковими кутами ω1(x1, x2 ) = ω2(x1, x2 ) , репери (l1,m1) , (l2,m 2 ) орієнтова- ні в додатному напрямі та ϕ  ij , ψ  ij — нормовані тензори цих сіток відповідно. Тоді дані тензори зв’язані між собою співвідношенням ψ  11 ψ  12 ψ  22 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = cos2 α − sin(2α) sin2 α 1 2 sin(2α) cos(2α) − 1 2 sin(2α) sin2 α sin(2α) cos2 α ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ϕ  11 ϕ  12 ϕ  22 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (19) де α(x1, x2 ) — кут між векторами l1, l2 . Доведення випливає з (15) та умови ω1(x1, x2 ) = ω2(x1, x2 ) , Δω = β(x1, x2 ) − α(x1, x2 ) = = 0. Тобто β(x1, x2 ) = α(x1, x2 ). Наслідок 1 доведено. Як приклад, що ілюструє останній наслідок, розглянемо дві відомі регулярні ортогональні сітки ліній на поверхні, а саме сітку ліній кривини [1, c. 363, 364] та LGT-сітку [2]. Лінії, вздовж яких геодезичний скрут досягає екстремального значення, було введено в [3, c. 353, 354]. Вони завжди існують в будь-якій не омбілічній точці поверхні. Дотичні вектори цих ліній утворюють кути π 4 , 3π 4 з відповідними лініями кривини в даній точці поверхні та ортогональну сітку, яку будемо називати, використовуючи термінологію [2], LGT-сіткою. Наслідок 2. Нехай l1(λ1, λ2 ) , m1(µ1,µ2 ) та l2( λ1, λ2 ), m2( µ 1, µ2 ) — напрямні век- тори однопараметричних сімей, що утворюють дві регулярні ортогональні сітки на заданій поверхні, а саме сітку ліній кривини і LGT-сітку, репери (l1,m1) , (l2,m2 ) орієнтовані в до- датному напрямі та ϕ  ij , ψ  ij — нормовані тензори цих сіток відповідно. Тоді дані тензори зв’язані між собою співвідношенням ЗВ’ЯЗОК МІЖ НОРМОВАНИМИ ТЕНЗОРАМИ ДВОХ РЕГУЛЯРНИХ СІТОК НА ПОВЕРХНІ … 277 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2 ψ  11 ψ  12 ψ  22 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ = 1 2 −1 1 2 1 2 0 − 1 2 1 2 1 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ϕ  11 ϕ  12 ϕ  22 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ . (20) Доведення. Для доведення (20) скористаємося співвідношенням (19), підставляючи замість α(x1, x2 ) значення π 4 , оскільки при переході від сітки ліній кривини до LGT-сітки напрям вектора l2( λ1, λ2 ) можна вибрати так, щоб кут α(x1, x2 ) був гострим, а отже, згідно з [3, c. 353, 354], саме π 4 . Наслідок 2 доведено. Різноманіття сіток на поверхні вражає. Найбільш відомі чебишовська, геодезична, асимп- тотична, сітка ліній кривини, ізотермічна та інші. Саме наявність на поверхні певного типу сітки характеризує тип самої поверхні. Отриманий у даній роботі результат дозволяє за допомогою формул (15) переходити від однієї регулярної сітки поверхні до іншої через нормований тензор сітки (13), використовуючи диференціальне рівняння (14). Література 1. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Часть вторая. − М.; Л.: ОГИЗ, 1948. − 408 с. 2. Бескоровайная Л. Л., Вашпанова Т. Ю. LGT-сеть и ее свойства // Вестн. Киев. нац. ун-та им. Т. Шевченко. Сер. физ.-мат. науки. − 2010. − Вып. 2. − С. 7 − 12. 3. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. − М.: Наука, 1988. − 509 с. Одержано 01.04.15
id	umjimathkievua-article-1839
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-03-24T02:13:40Z
publishDate	2016
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/f3/e6f967e76bb1467f6a0feb346d2ca4f3.pdf
spelling	umjimathkievua-article-18392019-12-05T09:29:16Z Relationship between normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space $E_3$ Зв’язок між нормованими тензорами двох регулярних сіток на поверхні в евклідовому просторі $E_3$ Potapenko, I. V. Потапенко, І. В. We establish the relationship between the normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space $E_3$. Установлена зависимость между нормированными тензорами двух регулярных сетей на поверхности в евклидовом пространстве $E_3$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1839 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 2 (2016); 271-277 Український математичний журнал; Том 68 № 2 (2016); 271-277 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1839/821 Copyright (c) 2016 Potapenko I. V.
spellingShingle	Potapenko, I. V. Потапенко, І. В. Relationship between normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space $E_3$
title	Relationship between normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space $E_3$
title_alt	Зв’язок між нормованими тензорами двох регулярних сіток на поверхні в евклідовому просторі $E_3$
title_full	Relationship between normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space $E_3$
title_fullStr	Relationship between normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space $E_3$
title_full_unstemmed	Relationship between normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space $E_3$
title_short	Relationship between normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space $E_3$
title_sort	relationship between normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the euclidean space $e_3$
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1839
work_keys_str_mv	AT potapenkoiv relationshipbetweennormalizedtensorsoftworegularnetworksonthesurfacesintheeuclideanspacee3 AT potapenkoív relationshipbetweennormalizedtensorsoftworegularnetworksonthesurfacesintheeuclideanspacee3 AT potapenkoiv zvâzokmížnormovanimitenzoramidvohregulârnihsítoknapoverhnívevklídovomuprostoríe3 AT potapenkoív zvâzokmížnormovanimitenzoramidvohregulârnihsítoknapoverhnívevklídovomuprostoríe3

Relationship between normalized tensors of two regular networks on the surfaces in the Euclidean space $E_3$

Репозитарії

Схожі ресурси