Generalized kernels of the Toeplitz type for exponentially convex functions
We prove an integral representation for the generalized kernels of the Toeplitz type connected with exponentially convex functions but not with positive-definite functions.
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1840 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507712642613248 |
|---|---|
| author | Chernobai, O. B. Чернобай, О. Б. |
| author_facet | Chernobai, O. B. Чернобай, О. Б. |
| author_sort | Chernobai, O. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:16Z |
| description | We prove an integral representation for the generalized kernels of the Toeplitz type connected with exponentially convex functions but not with positive-definite functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. Б. Чернобай (Нац. ун-т ДПС України, Iрпiнь)
УЗАГАЛЬНЕНI ЯДРА ТИПУ ТЕПЛIЦА
ДЛЯ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ
We prove an integral representation for the generalized kernels of the Toeplitz type connected with exponentially convex
functions but not with positive-definite functions.
Получено интегральное представление обобщенных ядер типа Теплица, связанных не с положительно определен-
ными функциями, а с экспоненциально выпуклыми функциями.
Вступ. У циклi робiт [1 – 8] було запропоновано корисне узагальнення класичної теореми Бох-
нера – Крейна про експоненцiальне зображення додатно визначеної функцiї на iнтервалi I =
= ( - l, l), 0 < l \leq \infty . Воно полягає в наступному. Неперервна додатно визначена функцiя k(x)
на iнтервалi I допускає зображення Бохнера – Крейна (див., наприклад, [9])
k(t) =
\int
\BbbR 1
ei\lambda td\sigma (\lambda ), t \in I, (1)
де d\sigma (\lambda ) — борелiвська скiнченна мiра. Додатна визначенiсть функцiї k(t) означає додатну
визначенiсть ядра K(x, y) = k(x - y), тобто нерiвнiсть\int \int
I\times I
K(x, y)f(y)f(x)dxdy \geq 0 (2)
для довiльних комплекснозначних функцiй C\infty
fin (I). Узагальнення полягало в тому, що замiсть
функцiї k(t) розглядалось додатно визначене ядро вигляду (ядро Теплiца)
I \times I \ni \langle x, y\rangle \mapsto \rightarrow K(x, y) = k\alpha \beta (x - y), x \in I\alpha , y \in I\beta ,
\alpha , \beta = 1, 2, I1 = [0, l), I2 = ( - l, 0),
де k\alpha \beta (t) - чотири неперервнi функцiї на своїх областях визначення. Замiсть зображення (1)
виникало чотири зображення для функцiй k\alpha \beta (t) з матричнозначною мiрою d\sigma (\lambda ), якi можна
записати таким чином:
K(x, y) =
\int
\BbbR 1
ei\lambda (x - y)
2\sum
\alpha ,\beta =1
\bfone \alpha (x)\bfone \beta (y)d\sigma \alpha \beta (\lambda ), \langle x, y\rangle \in I \times I, (3)
де \bfone 1(t), \bfone 2(t) — характеристичнi функцiї iнтервалiв I1 = [0, l) та I2 = ( - l, 0).
Операторний метод доведення результатiв робiт [1 – 8] було запропоновано у роботi [10].
Вiн, зокрема, дозволив вияснити умови єдиностi матричнозначної мiри d\sigma (\lambda ) в зображеннi
(3) (вiдомо, що мiра d\sigma (\lambda ) в зображеннi (1) у випадку l < \infty визначається неоднозначно).
Цей операторний метод також дозволив перенести зображення (3) на операторнозначнi ядра
K(x, y) [11].
c\bigcirc О. Б. ЧЕРНОБАЙ, 2016
278 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
УЗАГАЛЬНЕНI ЯДРА ТИПУ ТЕПЛIЦА ДЛЯ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 279
У цiй роботi запропоновано доведення результатiв типу (3), пов’язаних не з додатно ви-
значеними функцiями, а з експоненцiально опуклими функцiями. Для них також побудовано
вiдповiднi ядра типу Теплiца i одержано зображення вигляду (3). Матричнозначна мiра d\sigma (\lambda )
в такому зображеннi уже буде визначатись однозначно при довiльному 0 < l \leq \infty .
Нагадаємо, що експоненцiально опуклi функцiї k(t) були введенi С. Н. Бернштейном у [12].
Вони вiдрiзняються тим, що повинно бути додатно визначене ядро K(x, y) = k(x + y), x, y \in
\in ( - l, l, ) 0 < l \leq \infty , а не k(x - y). Їхнє зображення типу (1) буде таким:
k(t) =
\int
\BbbR 1
e\lambda td\sigma (\lambda ), t \in ( - l, l),
мiра d\sigma (\lambda ) завжди визначається однозначно (див., наприклад, [9, 13]). Вiдповiдне ядро типу
Теплiца визначається як додатно визначене ядро вигляду K(x, y) = k(x + y), x, y \in (0, l),
0 < l \leq +\infty , тобто задовольняє умову (2). Для нього буде отримано зображення типу (3) з
єдиною матричнозначною мiрою d\sigma (\lambda ).
Зауважимо, що експоненцiально опуклi функцiї, як правило, розглядаються в довiльному
iнтервалi (l\prime , l\prime \prime ), - \infty \leq l\prime < l\prime \prime \leq \infty , який завжди можна перетворити за допомогою зсуву на
скiнченний або нескiнченний iнтервал типу ( - l, l).
Насамкiнець наведено вiдповiднi результати, пов’язанi з класичною проблемою моментiв.
Перейдемо до детального викладу.
1. Формулювання результатiв. Нехай I — iнтервал вигляду I = ( - l, l), де 0 < l \leq \infty ,
I1 = [0, l), I2 = ( - l, 0). Для довiльних \alpha , \beta = 1, 2 позначимо
I\alpha \beta = \{ t = x+ y| x \in I\alpha , y \in I\beta \} ,
тобто I11 = [0, 2l), I12 = ( - l, l), I21 = ( - l, l), I22 = ( - 2l, 0), що є суттєвою вiдмiннiстю вiд
задачi, розглянутої у роботi [10].
Розглянемо обмежене додатно визначене ядро
I \times I \ni \langle x, y\rangle \mapsto \rightarrow K(x, y) \in \BbbC 1.
Ядру K поставимо у вiдповiднiсть такi чотири функцiї I\alpha \beta \ni t \mapsto \rightarrow k\alpha \beta (t) \in \BbbC 1, що
K(x, y) = k\alpha \beta (x+ y), \langle x, y\rangle \in I\alpha \times I\beta , \alpha , \beta = 1, 2. (4)
Всi функцiї k\alpha \beta будемо вважати неперервними в їх областях визначення.
Кожне додатно визначене ядро ермiтове, тобто K(x, y) = K(y, x), \langle x, y\rangle \in I \times I, тому iз
зображення (4) одержимо
k\alpha \alpha (t) = k\alpha \alpha (t), t \in I\alpha \alpha , \alpha = 1, 2,
k12(t) = k21(t), t \in I12.
Для кожного \alpha , \beta = 1, 2 звуження K \upharpoonright (I\alpha \times I\beta ) є неперервною функцiєю k\alpha \beta (x + y), тому
функцiя K неперервна на (I \times I) \setminus (I \times \{ 0\} ) \cup (\{ 0\} \times I) i обмежена на I \times I за означенням.
Обмеженiсть K приводить до обмеженостi кожної функцiї k\alpha \beta на I\alpha \beta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
280 О. Б. ЧЕРНОБАЙ
Теорема. Для кожного ядра типу (4) має мiсце iнтегральне зображення
K(x, y) =
\int
\BbbR 1
e\lambda (x+y)
2\sum
\alpha ,\beta =1
\bfone \alpha (x)\bfone \beta (y)d\sigma \alpha \beta (\lambda ), \langle x, y\rangle \in I \times I. (5)
Тут \bfone \alpha — характеристична функцiя iнтервалу I\alpha , \alpha = 1, 2, i d\sigma (\lambda ) = (d\sigma \alpha \beta (\lambda ))
2
\alpha ,\beta =1 — скiнчен-
на невiд’ємна матрична борелiвська мiра на \BbbR 1 (d\sigma 11(\lambda ) i d\sigma 22(\lambda ) є невiд’ємними скiнченними
мiрами, d\sigma 12(\lambda ) = d\sigma 21(\lambda ) має скiнченну варiацiю на \BbbR 1).
Навпаки, кожне ядро вигляду (5) iз скiнченною невiд’ємною матричнозначною мiрою d\sigma (\lambda )
є узагальненим ядром.
Мiра d\sigma (\lambda ) в зображеннi (5) визначається однозначно.
Доведення аналогiчне доведенню теореми 1 з роботи [10]. Наведемо основнi моменти цього
доведення i тi змiни, якi необхiдно внести.
1. Побудуємо спочатку гiльбертовий простiр HK , в якому дiятиме оператор, та квазiядерне
оснащення цього простору:
HK, - \supset HK \supset HK,+ \supset D, (6)
вкладення D \lhook \rightarrow HK,+ є неперервним.
Позначимо через \bfone \alpha \beta (x, y) характеристичну функцiю множини I\alpha \times I\beta i побудуємо ядро
K\alpha \beta (x, y) = \bfone \alpha \beta (x, y)K(x, y), \langle x, y\rangle \in I \times I, \alpha , \beta = 1, 2.
На основi рiвностi (4) можемо записати
K(x, y) =
2\sum
\alpha ,\beta =1
K\alpha \beta (x, y) =
2\sum
\alpha \beta =1
\bfone \alpha \beta (x, y)k\alpha \beta (x+ y), \langle x, y\rangle \in I \times I. (7)
Введемо квазiскалярний добуток у просторi HK таким чином:
(f, g)HK
=
\int \int
I\times I
K(x, y)f(y)g(x)dxdy =
=
2\sum
\alpha ,\beta =1
\int \int
I\alpha \times I\beta
k\alpha \beta (x+ y)f(y)g(x)dxdy, f, g \in L2, (8)
де L2 = L2(I, dx) — гiльбертовий простiр L2, побудований за мiрою Лебега dx на I. Ядро
K(x, y) обмежене, тому iнтеграл (8) iснує. Другу рiвнiсть у (8) записано на основi (7). Ядро
K(x, y) додатно визначене, тому (8) буде квазicкалярним добутком.
Позначимо через C\infty
0 (I) множину всiх функцiй з C\infty (I), фiнiтних в околах - l, 0, l та
нескiнченно диференцiйовних; на C\infty
0 (I) введемо стандартним чином топологiю злiченно-
нормованого простору. На таких фiнiтних функцiях визначимо оператор
\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(A\prime ) = C\infty
0 (I) \ni u \mapsto \rightarrow A\prime u =
d
dx
u := (\scrL u)(x). (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
УЗАГАЛЬНЕНI ЯДРА ТИПУ ТЕПЛIЦА ДЛЯ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 281
Лема. Оператор A\prime ермiтiв вiдносно квазiскалярного добутку (8), тобто
(A\prime u, v)HK
= (u,A\prime v)HK
, u, v \in C\infty
0 (I). (10)
Доведення. Використовуючи (8), одержуємо
(A\prime u, v)HK
=
2\sum
\alpha ,\beta =1
\int \int
I\alpha \times I\beta
k\alpha \beta (x+ y)u\prime (y)v(x)dxdy, u, v \in C\infty
0 (I). (11)
Зафiксуємо \alpha , \beta i функцiї u, v \in C\infty
0 (I) та розглянемо iнтеграл\int \int
I\alpha \times I\beta
k\alpha \beta (x+ y)u\prime (y)v(x)dxdy. (12)
Функцiю K\alpha \beta (x, y) з I\alpha \beta продовжимо довiльним чином на всю площину \BbbR 2 в обмежену
функцiю i продовжимо функцiї u(y) та v(x) рiвними нулю для y \in \BbbR 1\setminus I\beta , x \in \BbbR 1\setminus I\alpha . Оскiльки
всi функцiї з C\infty
0 (I) анулюються в околах - l, 0, l, то продовженi функцiї u, v будуть фiнiтними
вiдносно I.
Використавши формулу iнтегрування частинами, запишемо iнтеграл (12) таким чином:\int \int
I\alpha \times I\beta
k\alpha \beta (x+ y)u\prime (y)v(x)dxdy =
\int \int
\BbbR 1\times \BbbR 1
k\alpha \beta (x+ y)u\prime (y)v(x)dxdy =
=
\int
\BbbR 1
k\alpha \beta (t)
\left( \int
\BbbR 1
u\prime (t - x)v(x)dx
\right) dt =
\int
\BbbR 1
k\alpha \beta (t)
\left( \int
\BbbR 1
u(t - x)v\prime (x)dx
\right) dt =
=
\int \int
I\alpha \times I\beta
k\alpha \beta (x+ y)u(y)v\prime (x)dxdy. (13)
Рiвностi (13) застосуємо до кожного доданка в (11) i в результатi отримаємо (10).
Лему доведено.
2. Для простоти будемо вважати, що ядро K невироджене, тобто вираз (8) задає не квазi-
скалярний, а скалярний добуток. Як будувати простiр HK i його квазiядерне оснащення (6) у
загальному випадку виродженого ядра вказано в загальнiй схемi, викладенiй у [14, с. 5] (§ 5,
п. 5.2) (див. також [9, с. 8], § 1). Цю схему було застосовано i в статтi [10].
Таким чином, спiввiдношення (10) вказує, що оператор A\prime ермiтiв у гiльбертовому просторi
HK . В цьому просторi дiє класична iнволюцiя L2 \ni f(x) \mapsto \rightarrow f(x) \in L2 i оператор A\prime (9) дiйсний
вiдносно цiєї iнволюцiї, тому його дефектнi числа рiвнi i вiн має самоспряжене розширення в
цьому гiльбертовому просторi HK . Позначимо через A деяке його самоспряжене розширення.
Розглянемо спочатку випадок скiнченного iнтервалу I = ( - l, l), l < \infty . Позначимо через
W 1
2,0(I) пiдпростiр соболєвського простору W 1
2 (I), що складається з функцiй u \in W 1
2 (I), для
яких u(0) = 0. Цей простiр можна взяти в якостi простору HK,+ у ланцюжку (6), оскiльки
вкладення HK,+ = W 1
2,0(I) \subset HK буде квазiядерним (бо вкладення W 1
2,0(I) \subset L2 квазiядерне,
а L2 \subset HK неперервне завдяки обмеженостi ядра K(x, y)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
282 О. Б. ЧЕРНОБАЙ
Таким чином, ми маємо основний ланцюжок (6) вигляду
HK, - \supset HK \supset HK,+ = W 1
2,0(I) \supset D = C\infty
0 (I),
де вкладення HK,+ \lhook \rightarrow HK квазiядерне, а D \lhook \rightarrow HK,+ щiльне i неперервне. Звуження оператора
A на D (тобто A\prime ) дiє неперервно з D = C\infty
0 (I) в HK,+.
3. Ми будемо, як i в статтi [10], використовувати частинний випадок загальної теореми з
[14, с. 5] (§ 5, теорема 5.1). Так, введемо квазiядерний ланцюжок
H - := W - 1
2,0 (I) \supset L2 \supset W 1
2,0(I) =: H+. (14)
Тодi в цьому частинному випадку справджується таке твердження (див. також [10], тверджен-
ня 3.1).
Твердження. Для ядра K має мiсце зображення
K =
\int
\BbbR 1
\Omega (\lambda )d\rho (\lambda ). (15)
Тут \Omega (\lambda ) \in H - \otimes H - — елементарне додатно визначене ядро, норма \| \Omega (\lambda )\| H - \otimes H - обмежена
по \lambda \in \BbbR 1, мiра d\rho (\lambda ) борелiвська i скiнченна. Iнтеграл (15) збiгається за нормою простору
H - \otimes H - .
Додатна визначенiсть ядра \Omega (\lambda ), \lambda \in \BbbR 1, означає, що для будь-яких u \in H+ має мiсце
нерiвнiсть
(\Omega (\lambda ), u\otimes u)L2\otimes L2 \geq 0.
Елементарний характер ядра \Omega (\lambda ) полягає у виконаннi рiвностi
(\Omega (\lambda ), v \otimes (A\prime u))L2\otimes L2 = (\Omega (\lambda ), (A\prime v)\otimes u)L2\otimes L2 = \lambda (\Omega (\lambda ), v \otimes u) \forall \lambda \in \BbbR 1, u, v \in C\infty
0 (I).
4. Доведення теореми базується на застосуваннi тверження та класичного факту про нескiн-
ченну диференцiйовнiсть узагальненого розв’язку рiвняння
d\xi
dx
= \lambda \xi , \lambda \in \BbbR 1, на довiльному
iнтервалi G \subset \BbbR 1, тобто на формулi \xi (x) = ce\lambda x, x \in \widetilde G, c — деяка стала, а \widetilde G — замикання G.
Позначимо через H\alpha ,+ пiдпростiр простору H+ = W 1
2,0(I), що складається з функцiй
простору H+, якi дорiвнюють нулю на I \setminus I\alpha , i нехай
H\alpha \beta ,+ =: H\alpha ,+ \otimes H\beta ,+ \subset H+ \otimes H+, \alpha , \beta = 1, 2.
Зауважимо, що для u \in H+ функцiя u(x)\bfone \alpha (x) \in H\alpha ,+.
Нехай
H\alpha , - \supset L2(I\alpha ) \supset H\alpha ,+, \alpha = 1, 2, (16)
— вiдповiдне оснащення простору L2(I\alpha ).
Зафiксуємо \lambda \in \BbbR 1 i позначимо через \Omega \alpha \beta (\lambda ) звуження узагальненої функцiї \Omega (\lambda ) \in H - \otimes
\otimes H - на простiр H\alpha \beta ,+, \alpha , \beta = 1, 2. Очевидно,
(\Omega (\lambda ), v \otimes u)L2\otimes L2 =
2\sum
\alpha ,\beta =1
(\Omega \alpha \beta (\lambda ),\bfone \alpha (x)v(x)\bfone \beta (y)u(y))L2(I\alpha )\otimes L2(I\beta ), u, v \in H+. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
УЗАГАЛЬНЕНI ЯДРА ТИПУ ТЕПЛIЦА ДЛЯ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 283
Знайдемо певне зображення для \Omega \alpha \beta (\lambda ) (\alpha , \beta i \lambda фiксованi). Розглянемо бiлiнiйну форму a:
H\beta ,+ \oplus H\alpha ,+ \ni \langle u\beta , v\alpha \rangle \mapsto \rightarrow a(u\beta , v\alpha ) := (\Omega \alpha \beta (\lambda ), v\alpha \otimes u\beta )L2(I\alpha )\otimes L2(I\beta ). (18)
Вона є неперервною. Насправдi, функцiя \| \Omega (\lambda )\| H - \otimes H - , \lambda \in \BbbR 1, обмежена, тому
| a(u\beta , v\alpha )| = | (\Omega (\lambda ), v\alpha \otimes u\beta )L2\otimes L2 | \leq
\leq \| \Omega (\lambda )\| H - \otimes H - \| v\alpha \otimes u\beta \| H+\otimes H+ \leq c\| u\beta \| H\beta ,+
\| v\alpha \| H\alpha ,+ .
Використовуючи ланцюжок (16), можемо, завдяки неперервностi форми (18), стверджувати,
що iснують неперервнi оператори R : H\beta ,+ - \rightarrow H\alpha , - i S : H\alpha ,+ - \rightarrow H\beta , - i має мiсце рiвнiсть
(\Omega \alpha ,\beta (\lambda ), v\alpha \otimes u\beta )L2(I\alpha )\otimes L2(I\beta ) = (Ru\beta , v\alpha )L2(I\alpha ) = (u\beta , Sv\alpha )L2(I\beta ),
u\beta \in H\beta ,+, v\alpha \in H\alpha ,+, \alpha , \beta = 1, 2.
(19)
Оскiльки Ru\beta є узагальненим розв’язком рiвняння \scrL \xi = \lambda \xi всерединi iнтервалу I\alpha , маємо
(Ru\beta )(x) = c1(u\beta )e
\lambda x, x \in \widetilde I\alpha , u\beta \in H\beta ,+, (20)
де стала c = c1(u\beta ) залежить вiд u\beta .
З лiнiйностi i неперервностi R випливає, що функцiонал H\beta ,+ \ni u\beta \rightarrow c1(u\beta ) \in \BbbC 1 є
лiнiйним i неперервним.
Аналогiчно отримаємо зображення
(Sv\alpha )(y) = c2(v\alpha )e
\lambda y, y \in \widetilde I\beta , v\alpha \in H\alpha ,+. (21)
Спiввiдношення (19) дає можливiсть записати
c1(u\beta )
\int
I\alpha
e\lambda xv\alpha (x)dx = c2(v\alpha )
\int
I\beta
u\beta (y)e
\lambda ydy, u\beta \in H\beta ,+, v\alpha \in H\alpha ,+. (22)
Разом з тим iз рiвностi (22) видно, що з деякою сталою \tau \in \BbbC 1
c1(u\beta ) = \tau
\int
I\beta
u\beta (y)e
\lambda ydy, u\beta \in H\beta ,+. (23)
Використовуючи (19) – (23), одержуємо
(\Omega \alpha \beta (\lambda ), v\alpha \otimes u\beta )L2(I\alpha )\otimes L2(I\beta ) = \tau
\int \int
I\alpha \times I\beta
e\lambda (x+y)v\alpha (x)u\beta (y)dxdy,
u\beta \in H\beta ,+, v\alpha \in H\alpha ,+.
Ця рiвнiсть означає, що \Omega \alpha \beta (\lambda ) є гладкою функцiєю \Omega \alpha \beta (\lambda ;x, y) i
\Omega \alpha \beta (\lambda ;x, y) = \tau \alpha \beta (\lambda )e
\lambda (x+y), x \in \widetilde I\alpha , y \in \widetilde I\beta , \alpha , \beta = 1, 2 (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
284 О. Б. ЧЕРНОБАЙ
(стала \tau залежить вiд \lambda , \alpha , \beta ).
Нехай u, v \in H+ = W 1
2,0(I). Тодi завдяки рiвностям (17), (24) можна записати
(\Omega (\lambda ), v \otimes u)L2\otimes L2 =
2\sum
\alpha ,\beta =1
\tau \alpha \beta (\lambda )
\int \int
I\alpha \times I\beta
e\lambda (x+y)v(x)u(y)dxdy =
=
\int \int
I\times I
\left( 2\sum
\alpha ,\beta =1
e\lambda (x+y)\bfone \alpha (x)\bfone \beta (y)\tau \alpha \beta (\lambda )
\right) v(x)u(y)dxdy. (25)
Оскiльки функцiї u, v \in W 1
2,0(I) в рiвностi (25) є довiльними, то ядро \Omega (\lambda ) є звичайним ядром
\Omega (\lambda ;x, y) i можна записати зображення
\Omega (\lambda ;x, y) =
2\sum
\alpha ,\beta =1
e\lambda (x+y)\bfone \alpha (x)\bfone \beta (y)\tau \alpha \beta (\lambda ), x, y \in I. (26)
Зауважимо, що матриця \tau (\lambda ) = (\tau \alpha \beta (\lambda ))
2
\alpha ,\beta =1 невiд’ємно визначена для будь-яких \lambda \in \BbbR 1.
Так, iз спiввiдношення (25) ми можемо зробити висновок, що
2\sum
\alpha ,\beta =1
\tau \alpha \beta (\lambda )c\alpha c\beta = (\Omega (\lambda ), v \otimes u)L2\otimes L2 \geq 0,
c\alpha =
\int
I\alpha
e\lambda xu(x)dx, u \in H+, \alpha , \beta = 1, 2.
Дана нерiвнiсть показує, що матриця \tau (\lambda ) є невiд’ємно визначеною, оскiльки числа c\alpha довiльнi.
Iз невiд’ємностi \tau (\lambda ) випливають наступнi нерiвностi:
\tau 11(\lambda ) \geq 0, \tau 22(\lambda ) \geq 0, | \tau 12(\lambda )| 2 \leq \tau 11(\lambda )\tau 22(\lambda ), \lambda \in \BbbR 1. (27)
Використовуючи мiру \rho з твердження, отримаємо матричновизначену невiд’ємну борелiв-
ську мiру d\sigma (\lambda ) на \BbbR 1 :
d\sigma (\lambda ) = \tau (\lambda )d\rho (\lambda ) := (\tau \alpha \beta (\lambda )d\rho (\lambda ))
2
\alpha ,\beta =1 = (d\sigma \alpha \beta (\lambda ))
2
\alpha ,\beta =1. (28)
Пiсля пiдстановки (26) у зображення (15) одержимо формулу (5).
Перейдемо до дослiдження збiжностi iнтегралiв у (9). У вiдповiдностi з (27), (28) мiри
d\sigma 11(\lambda ), d\sigma 22(\lambda ) невiд’ємнi. Нехай t \in [0, 2l) є довiльним, покладемо в (5) x = y = t, тодi iнте-
грал
\int
\BbbR 1
e\lambda td\sigma 11(\lambda ) = K(t, t) < \infty збiгається. Аналогiчно переконуємось у збiжностi iнтеграла\int
\BbbR 1
e\lambda td\sigma 22(\lambda ) при довiльному t \in ( - 2l, 0] (при t = 0 вiн збiгається завдяки обмеженостi ядра
K). Збiжнiсть iнтегралiв iз мiрами d\sigma 12(\lambda ) i d\sigma 21(\lambda ) гарантовано оцiнкою (27).
Отже, цi властивостi мiри d\sigma \alpha \beta (\lambda ) викликають абсолютну збiжнiсть чотирьох iнтегралiв у
(5) та їх неперервнiсть вiдносно \langle x, y\rangle \in I \times I.
Таким чином, ми довели зображення (5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
УЗАГАЛЬНЕНI ЯДРА ТИПУ ТЕПЛIЦА ДЛЯ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 285
5. Доведемо обернене твердження: кожен iнтеграл (5) має вигляд (4) з неперервними функ-
цiями k\alpha \beta (t) i є обмеженим додатно визначеним ядром, тому що для довiльних f \in C\infty
fin(I)\int \int
I\times I
K(x, y)f(y)f(x)dxdy =
=
\int \int
I\times I
\left( \int
\BbbR 1
e\lambda (x+y)
2\sum
\alpha ,\beta =1
\bfone \alpha (x)\bfone \beta (y)d\sigma \alpha \beta (\lambda )
\right) f(y)f(x)dxdy =
=
\int
\BbbR 1
\left( 2\sum
\alpha ,\beta =1
\int
I\alpha
e\lambda xf(x)dx
\int
I\beta
e\lambda yf(y)dy
\right) d\rho (\lambda ) =
=
\int
\BbbR 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
I
e\lambda xf(x)dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
d\rho (\lambda ) \geq 0.
6. Розглянемо випадок l = \infty . Тодi замiсть ланцюжка (14) потрiбно побудувати деякий
новий ланцюжок (див. [14, с. 5], § 5, п. 5.1, а також [9, с. 8], § 1). Так, нехай \BbbR 1 \ni p(x) \geq 1 —
нескiнченно диференцiйовна вага, для якої p - 1(x) є iнтегровною на \BbbR 1 вiдносно мiри Лебега
dx. У вiдповiдностi зi згаданими працями ми можемо побудувати ланцюжок
G - \supset G0 \supset G+, G0 = L2(\BbbR 1, dx), G+ = L2(\BbbR 1, p(x)dx).
Узагальнене ядро даного типу, як i ранiше, обмежене, тому K \in G - \otimes G - , i ми можемо
побудувати замiсть (8) квазiскалярний добуток
(f, g)HK
=
\int \int
\BbbR 1\times \BbbR 1
K(x, y)f(y)g(x)dxdy, f, g \in G+, (29)
що породжує гiльбертiв простiр HK .
Роль ланцюжка (14) зараз вiдiграє наступний ланцюжок з нульовим простором H0 = G0 :
H - \supset H0 \supset H+. (30)
ТутH+ = W 1
2,0(\BbbR 1, q(x)dx) — пiдпростiр, який складається з функцiй простору W 1
2 (\BbbR 1, q(x)dx),
що дорiвнюють нулю в точцi x = 0; q(x) \geq p(x), x \in \BbbR 1, — нескiнченно диференцiйовна вага,
для якої iснує така стала C > 0, що
\bigm| \bigm| q\prime (x)\bigm| \bigm| \leq Cq(x), x \in \BbbR 1, i
\int
\BbbR 1
p(x)
q(x)
dx < \infty .
У вiдповiдностi з [9, с. 1] (§ 3, теорема 3.6) можна стверджувати, що вкладення
W 1
2 (\BbbR 1, q(x)dx) \lhook \rightarrow L2(\BbbR 1, p(x)dx) квазiядерне (див. також [15]). Отже, вкладення H+ \lhook \rightarrow G+
також є квазiядерним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
286 О. Б. ЧЕРНОБАЙ
Введемо простiр HK,+, як простiр функцiй u \in H+ зi скалярним добутком (29), i скон-
струюємо ланцюжок
HK, - \supset HK \supset HK,+. (31)
Вкладення простору HK,+ \lhook \rightarrow HK зараз також є квазiядерним, i ми можемо взяти це оснащення
замiсть (6).
Пiсля такої замiни доведення теореми зберiгається у випадку l = \infty , але необхiдно вико-
ристовувати ланцюжки (30) та (31) замiсть ланцюжка (14).
7. Доведемо єдинiсть мiри d\sigma (\lambda ) в зображеннi (5). Це зображення еквiвалентне чотирьом
формулам при рiзних \alpha , \beta = 1, 2 :
K(x, y) =
\int
\BbbR 1
e\lambda (x+y)d\sigma \alpha \beta (\lambda ), де \alpha = \beta = 1, x, y \in [0, l), (32)
\alpha = 1, \beta = 2, x \in [0, l), y \in ( - l, 0),
\alpha = 2, \beta = 1, x \in ( - l, 0), y \in [0, l),
\alpha = 2, \beta = 2, x, y \in ( - l, 0).
Розглянемо випадок \alpha = \beta = 1. Функцiя
F (t+ is) =
\int
\BbbR 1
e\lambda (t+is)d\sigma 11(\lambda ) (33)
буде аналiтичною функцiєю змiнної z = t + is при t \in (0, 2l) i s \in \BbbR 1, оскiльки в (33)
множник ei\lambda s по модулю дорiвнює 1. Тобто функцiя (33) аналiтична у смузi t \in (0, 2l), s \in \BbbR 1,
i однозначно залежить вiд своїх значень на осi \varepsilon + is, s \in \BbbR 1, де \varepsilon \in (0, 2l) є фiксованим. Але
F (\varepsilon + is) =
\int
\BbbR 1
ei\lambda se\lambda \varepsilon d\sigma 11(\lambda ), s \in \BbbR 1,
— перетворення Фур’є – Стiльтьєса невiд’ємної мiри e\lambda \varepsilon d\sigma 11(\lambda ), i ця мiра однозначно вiднов-
люється по ньому. Тим самим однозначно вiдновлюється i d\sigma 11(\lambda ).
У випадку \alpha = 1, \beta = 2 замiсть (33) маємо функцiю
F (t+ is) =
\int
\BbbR 1
e\lambda (t+is)d\sigma 12(\lambda ),
яка буде аналiтичною при t \in ( - l, l) \setminus \{ 0\} i s \in \BbbR 1. Вiзьмемо знову вiсь \varepsilon + is iз фiксованим
\varepsilon \in (0, l). Функцiя F (\varepsilon + is) буде перетворенням Фур’є – Стiльтьєса вже комплексної мiри
e\lambda \varepsilon d\sigma 12(\lambda ), але i ця мiра, а отже, i мiра d\sigma 12(\lambda ) вiдновлюються по перетворенню Фур’є –
Стiльтьєса.
Аналогiчно розглядаються i випадки \alpha = 2, \beta = 1 i \alpha = \beta = 2. Вiдновлення не обов’язково
додатної мiри по її перетворенню Фур’є – Стiльтьєса див., наприклад, у [16, с. 16] (п. 4).
Таким чином, теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
УЗАГАЛЬНЕНI ЯДРА ТИПУ ТЕПЛIЦА ДЛЯ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 287
Зауважимо, що єдинiсть мiри d\sigma (\lambda ) в зображеннi (5) означає, що оператор A, який фiгурував
у п. 2 доведення, насправдi буде єдиним самоспряженим розширенням оператора A\prime , бо iншi
розширення цього оператора будуть давати iншi мiри d\sigma (\lambda ). Тим самим можна стверджувати,
що оператор A\prime iстотно самоспряжений у просторi HK .
2. Зв’язок з проблемою моментiв. Вiдомо, що додатно визначенi функцiї тiсно пов’язанi
з класичною проблемою моментiв (див., наприклад, [9, 13, 14]). Виявляється, що доведена
теорема пов’язана з так званою сильною проблемою моментiв, коли йдеться про зображення
послiдовностi дiйсних чисел sj , j \in \BbbZ : \{ . . . , - 1, 0, 1, . . .\} , у виглядi iнтегралiв
sj =
\int
\BbbR 1
\lambda jd\sigma (\lambda ), j \in \BbbZ , (34)
де d\sigma (\lambda ) — деяка невiд’ємна борелiвська мiра на осi \BbbR 1 (див. [17] i наведену там бiблiографiю).
Необхiдною i достатньою умовою зображення (34) є додатна визначенiсть дискретного ядра
Kj,k = sj+k, j, k \in \BbbZ , тобто виконання нерiвностей
\infty \sum
j,k= - \infty
Kj,kfkfj =
\infty \sum
j,k= - \infty
sj+kfkfj \geq 0
для довiльної фiнiтної послiдовностi f = (fj)
\infty
j= - \infty комплексних чисел.
Зображення (34) пов’язане з доведеною теоремою при l = +\infty . А саме, вiзьмемо її в формi
виконання рiвностей (32).Тодi мова буде йти про справедливiсть таких чотирьох зображень
додатно визначеного дискретного ядра Kj,k, j, k \in \BbbZ :
Kj,k =
\int
\BbbR 1
\lambda j+kd\sigma \alpha \beta (\lambda ), де \alpha = \beta = 1, j, k \in \BbbZ + := \{ 0, 1, . . .\} , (35)
\alpha = 1, \beta = 2, j \in \BbbZ +, k \in \BbbZ - := \{ . . . , - 2, - 1\} ,
\alpha = 2, \beta = 1, j \in \BbbZ - , k \in \BbbZ +, \alpha = \beta = 2, j, k \in \BbbZ - .
Тут двовимiрна матрична мiра d\sigma (\lambda ) = (d\sigma \alpha \beta (\lambda ))
2
\alpha ,\beta =1 повинна бути невiд’ємною.
Можна показати, що в цьому випадку має мiсце аналог доведеної теореми iз зображенням
(35) замiсть (5), (34).
Лiтература
1. Cotlar M., Sadosky C. On the Helson – Szegö theorem and related class of modified Toeplitz kernels // Proc. Symp.
Pure Math. – 1979. – 35, Pt I. – P. 383 – 407.
2. Cotlar M., Sadosky C. Prolongements des formes de Hankel generalisees en formes de Toeplitz // C. r. Acad. sci.
Paris. – 1987. – P. 167 – 170.
3. Arocena R. Generalized Toeplitz kernels and dilations of intertwining operators // Integr. Equat. Operator Theory. –
1983. – 6. – P. 759 – 778.
4. Arocena R. Generalized Toeplitz kernels and dilations of intertwin ing operators II: the continuons case // Acta Sci.
Math. (Szeged). – 1989. – 53. – P. 123 – 137.
5. Arocena R., Cotlar M. Dilation of generalized Toeplitz kernels and some vectorial moment and weighted problems
// Lect. Notes Math. – 1982. – 908. – P. 169 – 188.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
288 О. Б. ЧЕРНОБАЙ
6. Bruzual R. Local semigroups of contractions and some applications to Fourier representations theorems // Integr.
Equat. and Operator Theory. – 1987. – 10. – P. 780 – 801.
7. Bruzual R. Representation of measurable positive definite generalized Toeplitz kernels in \BbbR // Integr. Equat. and
Operator Theory. – 1997. – 29. – P. 251 – 260.
8. Bruzual R. Domingues M. A proof of the continuous commutant lifting theorem // Operator Theory and Relat.
Topies: (Proc. Mark Krein Int. Conf., Odessa, Ukraine, August 18 – 22, 1997). – Basel: Birkhäuser-Verlag, 2000. –
2. – P. 83 – 89.
9. Berezanskii Yu. M. Expansions in eigenfunctions of selfadjoint operators. – Providence, R.I: Amer. Math. Soc., 1968.
(Rus. edition: Kiev: Naukova Dumka, 1965. – 800 с.).
10. Berezansky Yu. M., Chernobai O. B. On the theory of generalized Toeplitz kernels // Укр. мат. журн. – 2000. – 52,
№ 11. – С. 1458 – 1472.
11. Чернобай О. Б. Спектральне представлення для узагальнених операторнозначних ядер Теплiца // Укр. мат.
журн. – 2005. – 57, № 12. – С. 1698 – 1710.
12. Бернштейн С. Н. Об определении и свойствах аналитических функций вещественной переменной: Собр. соч. –
1952. – Т. 1.
13. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов. – М.: Физматгиз, 1961.
14. Berezansky Yu. M., Kondratiev Yu. G. Spectral methods in infinite-dimensional analysis. – Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 1995. – Vol. 1. – xvii+572 p.; Vol. 2. – viii+427 p. (Rus. edition: Kiev: Naukova Dumka, 1988. – 680 c.).
15. Berezansky Yu. M., Sheftel Z. G., Us G. F. Functional analysis. – Basel: Birkhäuser-Verlag, 1996. – Vol. 1. – xix+423 p.;
Vol. 2. – xvi+293 p. (Rus. edition: Kiev: Vyshcha Shkola, 1990. – 600 c.).
16. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – М.: Мир, 1965. – Т. 2.
17. Berezansky Yu. M., Dudkin M. E. The strong Hamburger moment problem and related direct and inverse spectral
problems for block Jacobi – Laurent matrices // Methods Funct. Anal. and Top. – 2010. – 16, № 3. – P. 203 – 241.
Одержано 16.04.15,
пiсля доопрацювання — 10.09.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1840 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:40Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/67/13b5124e28e5f63c12e366179d586e67.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18402019-12-05T09:29:16Z Generalized kernels of the Toeplitz type for exponentially convex functions Узагальнені ядра типу Тепліца для експоненціально опуклих функцій Chernobai, O. B. Чернобай, О. Б. We prove an integral representation for the generalized kernels of the Toeplitz type connected with exponentially convex functions but not with positive-definite functions. Получено интегральное представление обобщенных ядер типа Теплица, связанных не с положительно определенными функциями, а с экспоненциально выпуклыми функциями. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1840 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 2 (2016); 278-288 Український математичний журнал; Том 68 № 2 (2016); 278-288 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1840/822 Copyright (c) 2016 Chernobai O. B. |
| spellingShingle | Chernobai, O. B. Чернобай, О. Б. Generalized kernels of the Toeplitz type for exponentially convex functions |
| title | Generalized kernels of the Toeplitz type for exponentially convex functions |
| title_alt | Узагальнені ядра типу Тепліца для експоненціально опуклих функцій |
| title_full | Generalized kernels of the Toeplitz type for exponentially convex functions |
| title_fullStr | Generalized kernels of the Toeplitz type for exponentially convex functions |
| title_full_unstemmed | Generalized kernels of the Toeplitz type for exponentially convex functions |
| title_short | Generalized kernels of the Toeplitz type for exponentially convex functions |
| title_sort | generalized kernels of the toeplitz type for exponentially convex functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1840 |
| work_keys_str_mv | AT chernobaiob generalizedkernelsofthetoeplitztypeforexponentiallyconvexfunctions AT černobajob generalizedkernelsofthetoeplitztypeforexponentiallyconvexfunctions AT chernobaiob uzagalʹneníâdratiputeplícadlâeksponencíalʹnoopuklihfunkcíj AT černobajob uzagalʹneníâdratiputeplícadlâeksponencíalʹnoopuklihfunkcíj |