Local times of self-intersection
This survey article is devoted to the local times of self-intersection as the most important geometric characteristics of random processes. The trajectories of random processes are, as a rule, very nonsmooth curves. This is why to characterize the geometric shape of the trajectory it is impossible t...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1841 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507713791852544 |
|---|---|
| author | Izyumtseva, O. L. Dorogovtsev, A. A. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. |
| author_facet | Izyumtseva, O. L. Dorogovtsev, A. A. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. |
| author_sort | Izyumtseva, O. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:34Z |
| description | This survey article is devoted to the local times of self-intersection as the most important geometric characteristics of random processes. The trajectories of random processes are, as a rule, very nonsmooth curves. This is why to characterize the geometric shape of the trajectory it is impossible to use the methods of differential geometry. Instead of this, one can consider the local times of self-intersection showing how much time the process stays in “small” vicinities of its self-crossing points. In our paper, we try to describe the contemporary state of the theory of local times of self-intersection for Gaussian and related processes. Different approaches to the definition, investigation, and application of the local times of self-intersection are considered. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
А. А. Дороговцев, О. Л. Изюмцева (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ
This survey article is devoted to the local times of self-intersection as the most important geometric characteristics of
random processes. The trajectories of random processes are, as a rule, very nonsmooth curves. This is why to characterize
the geometric shape of the trajectory it is impossible to use the methods of differential geometry. Instead of this, one
can consider the local times of self-intersection showing how much time the process stays in “small” vicinities of its
self-crossing points. In our paper, we try to describe the contemporary state of the theory of local times of self-intersection
for Gaussian and related processes. Different approaches to the definition, investigation, and application of the local times
of self-intersection are considered.
Статтю присвячено локальним часам самоперетину, що є однiєю з найважливiших геометричних характеристик
траєкторiй випадкового процесу. Як правило, траєкторiї випадкового процесу можуть бути дуже нерегулярними.
Тому їх геометричнi властивостi не можуть вивчатися методами диференцiальної геометрiї. Геометричними харак-
теристиками випадкового процесу є його часи перебування у нескiнченно малих околах своїх точок самоперетину. В
данiй статтi вiдображено сучасний стан теорiї локальних часiв самоперетину для гауссiвських та спорiднених iз ни-
ми випадкових процесiв. У роботi наведено рiзноманiтнi способи визначення, вивчення та застосування локальних
часiв самоперетину для рiзних класiв випадкових процесiв.
Введение. В данной статье авторы попытались отразить современное состояние области тео-
рии случайных процессов, посвященной локальным временам самопересечения. Понятие ло-
кального времени самопересечения возникает естественным образом при исследовании геомет-
рических свойств траекторий случайных процессов. Интерес к этому вопросу вызван несколь-
кими обстоятельствами. Во-первых, случайные кривые широко используются для моделирова-
ния физических объектов таких как, например, „длинные” молекулы белков, полимеров и т. д.
[1 – 4]. Такие кривые не должны иметь самопересечения. Поэтому учет „количества” самопере-
сечений у траектории случайного процесса имеет реальное прикладное значение. Во-вторых,
траектории широкого класса случайных процессов, таких как, например, винеровский, диффу-
зионный и т. д., являются недифференцируемыми функциями и имеют свойства, отличающиеся
от свойств гладких кривых. Оказалось, что обычные средства дифференциальной геометрии
не могут быть использованы при изучении негладких случайных процессов. Это обусловлено,
прежде всего, их хаотичностью, которая приводит к появлению множества точек самопересече-
ния. Локальное время самопересечения было предложено с целью охарактеризовать поведение
процесса в инфинитезимально малых окрестностях своих точек самопересечения. В отличие
от обычного локального времени в точке для одномерных случайных процессов, локальное
время самопересечения не может быть определено с помощью простой аппроксимации \delta -
функции. Необходима дополнительная компенсация расходящихся интегралов, названная, по
аналогии с физикой, перенормировкой. Полученные объекты характеризуют геометрию траек-
торий процесса. Так, в асимптотическом разложении площади „малой” трубки вокруг траекто-
рии случайного процесса содержатся, в качестве коэффициентов, как раз локальные времена
самопересечения. Возможны различные подходы к перенормировке и исследованию локальных
времен самопересечения. В данной статье рассматриваются гауссовские и близкие к ним про-
цессы. Соответственно, используется аппарат гауссовского анализа (разложение Ито – Винера,
преобразование Фурье – Винера и т. д.). Мы постарались привести основные и характерные
c\bigcirc А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, 2016
290 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 291
результаты, касающиеся различных подходов. Конечно, статья не может содержать все извест-
ные факты о локальных временах самопересечения. Выбор материала связан с предпочтениями
авторов и ограничением объема. Так, в работу не вошли факты, касающиеся локальных вре-
мен самопересечения устойчивых процессов и изоморфизма Дынкина. По этому поводу мы
отсылаем читателя к монографиям [69, 70].
Статья состоит из нескольких частей. Первая часть содержит результаты, касающиеся по-
строения локальных времен самопересечения для винеровского процесса, а также асимптотиче-
ского разложения площади малой трубки вокруг траектории винеровского процесса. Во второй
рассматриваются обобщенные функционалы белого шума, а также такие инструменты их ис-
следования, как разложение Ито – Винера и преобразование Фурье – Винера. В третьей части
обсуждаются свойства гауссовского процесса достаточные для существования его локального
времени. В четвертой части приводится построение перенормировки локального времени са-
мопересечения для процессов, полученных с помощью компактных возмущений винеровского
процесса. В пятой части обсуждаются локальные времена самопересечения для диффузионных
процессов на плоскости. В последней части работы мы рассматриваем гауссовские процессы,
получающиеся действием оператора вторичного квантования на винеровский процесс. Каж-
дому такому процессу, являющемуся функционалом белого шума, соответствует некоторый
линейный непрерывный оператор. В случае, когда оператор непрерывно обратим, мы доказы-
ваем существование локального времени в точке так же, как и у одномерного винеровского
процесса. Кроме того, доказана непрерывная зависимость локального времени от оператора,
порождающего процесс. Поскольку статья является обзорной, многие утверждения приводят-
ся либо без доказательств, либо с указанием только основных шагов. Однако в приведенных
ссылках читатель может найти подробное изложение.
1. Геометрические характеристики траекторий случайных процессов. В этом пункте
мы обсуждаем аналог теоремы Штейнера для траекторий случайных процессов. Пусть K \subset
\subset \BbbR n — выпуклое тело,
B(x, \varepsilon ) = \{ y \in \BbbR n : \| x - y\| < \varepsilon \} , K\varepsilon =
\bigcup
x\in K
B(x, \varepsilon ).
Теорема 1.1 (Штейнер, Минковский [5, 6]).
| K\varepsilon | =
n\sum
k=0
Ck
nWk(K)\varepsilon k.
Здесь | A| — мера Лебега множества A, а коэффициенты Wk(K) — это геометрические
характеристики тела K (W0(K) — объем, W1(K) — площадь поверхности, Wi(K), i = 0, n,
— интегралы поперечных мер Минковского).
Пусть \{ x(t), t \in [0; 1]\} — случайный процесс со значениями в \BbbR 2. Для того чтобы по-
нять, что могло бы служить геометрическими характеристиками траекторий x, рассмотрим
поведение площади \varepsilon -трубочки вокруг траектории x. Определим приближения
\Gamma n
\varepsilon =
n\bigcup
k=1
B
\biggl(
x
\biggl(
k
n
\biggr)
, \varepsilon
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
292 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Согласно формуле включения-исключения\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| n\bigcup
k=1
B
\biggl(
x
\biggl(
k
n
\biggr)
, \varepsilon
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = n\pi \varepsilon 2 -
\sum
k1<k2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| B\biggl( x\biggl( k1
n
\biggr)
, \varepsilon
\biggr) \bigcap
B
\biggl(
x
\biggl(
k2
n
\biggr)
, \varepsilon
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
\sum
k1<k2<k3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| B\biggl( x\biggl( k1
n
\biggr)
, \varepsilon
\biggr) \bigcap
B
\biggl(
x
\biggl(
k2
n
\biggr)
, \varepsilon
\biggr) \bigcap
B
\biggl(
x
\biggl(
k3
n
\biggr)
, \varepsilon
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - . . .
. . .+ ( - 1)n - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| B\biggl( x\biggl( 1
n
\biggr)
, \varepsilon
\biggr) \bigcap
. . .
\bigcap
B(x(1), \varepsilon )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (1.1)
Для x1, . . . , xn \in \BbbR 2 обозначим bn\varepsilon (x1, . . . , xn) = | B(x1, \varepsilon ) \cap . . . \cap B(xn, \varepsilon )| . Заметим, что
bn\varepsilon (x1, . . . , xn) = bn\varepsilon (0, x2 - x1, . . . , xn - x1) =
= pn - 1
\varepsilon (x2 - x1, . . . , xn - xn - 1) =
= \varepsilon 2pn - 1
1
\biggl(
x2 - x1
\varepsilon
, . . . ,
xn - xn - 1
\varepsilon
\biggr)
.
Выберем cn - 1 так, чтобы выполнялось соотношение\int
\BbbR 2(n - 1)
cn - 1p
n - 1
1 (u1, . . . , un - 1)du1 . . . dun - 1 = 1.
Положим
\widetilde pn - 1
\varepsilon (u1, . . . , un - 1) =
cn - 1
\varepsilon 2(n - 1)
pn - 1
1
\biggl(
u1
\varepsilon
, . . . ,
un - 1
\varepsilon
\biggr)
.
Для любой \varphi \in Cb(\BbbR 2(n - 1)) имеет место соотношение\int
\BbbR 2(n - 1)
\widetilde pn - 1
\varepsilon (u)\varphi (u)du \rightarrow \varphi (0), \varepsilon \rightarrow 0. (1.2)
Выражение (1.1) можно записать так:\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| n\bigcup
k=1
B
\biggl(
x
\biggl(
k
n
\biggr)
, \varepsilon
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
= n\pi \varepsilon 2 -
\sum
k1<k2
\varepsilon 2p11
\biggl(
x
\biggl(
k2
n
\biggr)
- x
\biggl(
k1
n
\biggr) \biggr)
\varepsilon
+
+
\sum
k1<k2<k3
\varepsilon 2p21
\left( x
\biggl(
k2
n
\biggr)
- x
\biggl(
k1
n
\biggr)
\varepsilon
,
x
\biggl(
k3
n
\biggr)
- x
\biggl(
k2
n
\biggr)
\varepsilon
\right) - . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 293
. . .+ ( - 1)n - 1\varepsilon 2pn - 1
1
\left( x
\biggl(
2
n
\biggr)
- x
\biggl(
1
n
\biggr)
\varepsilon
, . . . ,
x(1) - x
\biggl(
n - 1
n
\biggr)
\varepsilon
\right) . (1.3)
С учетом (1.2) отдельное слагаемое в (1.3) (будучи нормированным)
\sum
k1<...<km
cm - 1
\varepsilon 2(m - 1)
pm - 1
1
\left( x
\biggl(
k2
n
\biggr)
- x
\biggl(
k1
n
\biggr)
\varepsilon
, . . . ,
x
\biggl(
km
n
\biggr)
- x
\biggl(
km - 1
n
\biggr)
\varepsilon
\right) 1
nm - 1
могло бы сходиться при \varepsilon \rightarrow 0, n \rightarrow \infty к формальному интегралу\int
\Delta m
m - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti))d\vec{}t,
который естественно назвать m-кратным локальным временем самопересечения процесса x
(здесь \Delta m(t) = \{ 0 \leq t1 \leq . . . \leq tm \leq t\} , \Delta m(1) := \Delta m). Таким образом, возникшие „ло-
кальные времена самопересечения”, если их удастся хорошо определить, должны отвечать за
геометрические свойства траекторий процесса x. По-видимому, наиболее длинную историю
изучения имеют локальные времена самопересечения для винеровского процесса. Отметим,
прежде всего, что точки самопересечения у винеровской траектории действительно есть. Со-
ответствующий результат содержится в теореме Дворецкого – Эрдеша – Какутани.
Теорема 1.2 (Дворецкий – Эрдеш – Какутани [7, 71]). С вероятностью 1 на любом отрезке
времени d-мерный винеровский процесс в случае
1) d \geq 4 не имеет точек самопересечения,
2) d = 3 имеет точки самопересечения только кратности 2,
3) d = 2 имеет точки самопересечения произвольной кратности k.
Тейлор в [8] доказал, что с вероятностью 1 множество
D1 =
\bigl\{
x \in \BbbR 2 : \exists t1 \not = t2 \not = . . . \not = tk : w(t1) = w(t2) = . . . = w(tk) = x
\bigr\}
имеет хаусдорфову размерность 2, а
D2 =
\bigl\{
x \in \BbbR 3 : \exists t1 \not = t2 : w(t1) = w(t2) = x
\bigr\}
— Хаусдорфову размерность 1. Здесь w — винеровский процесс в \BbbR 2 или \BbbR 3. Следует также
упомянуть, что условия существования точек самопересечения у произвольного марковского
процесса приведены в работах [9, 10]. Вернемся к обсуждению локальных времен самопе-
ресечения для винеровского процесса в \BbbR 2. Процедура их построения выглядит следующим
образом. Для формального выражения
Tw
m :=
\int
\Delta m
m - 1\prod
i=1
\delta 0(w(ti+1) - w(ti))d\vec{}t,
регистрирующего m-кратные самопересечения винеровского процесса в \BbbR 2, рассмотрим ап-
проксимирующее его семейство случайных величин
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
294 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Tw
\varepsilon ,m :=
\int
\Delta m
m - 1\prod
i=1
f\varepsilon (w(ti+1) - w(ti))d\vec{}t.
Здесь
f\varepsilon (x) =
1
2\pi \varepsilon
e -
\| x\| 2
2\varepsilon , \varepsilon > 0, x \in \BbbR 2.
Предел таких величин Tw
\varepsilon ,m мог бы быть значением Tw
m. Заметим, что функции f\varepsilon иногда выби-
рают по-другому. Например, пусть h — плотность распределения вероятностей на \BbbR 2. Тогда в
качестве f\varepsilon (x) можно рассмотреть h\varepsilon (x) = \varepsilon - 2h(\varepsilon - 1x). Такие приближения рассматривались
в работах [11 – 15]. В частности, в качестве f\varepsilon (x) можно было бы взять функции
1
\pi \varepsilon 2
1\mathrm{I}B(0,\varepsilon )(x)
(см., например, [16, 17]). Нетрудно проверить, что
MTw
\varepsilon ,2 \sim
1
2\pi
| \mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon | , \varepsilon \rightarrow 0.
Это одна из причин расходимости семейства случайных величин Tw
\varepsilon ,m при \varepsilon \rightarrow 0. Предела
Tw
\varepsilon ,m нет из-за сингулярностей в интеграле, возникающих при близких между собой значениях
временных параметров. Для компенсации вклада „диагонали” используется процедура перенор-
мировки, заимствованная из квантовой физики [18 – 20]. Приведем два типа перенормировок,
предложенных Е. Б. Дынкиным и Дж. Розеном. Е. Б. Дынкин в [11] рассмотрел выражение
\Lambda w,\varphi
\varepsilon ,k =
\int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
q\varepsilon (w(si+1) - w(si))\varphi (\vec{}s )d\vec{}s,
где \varphi \in C(\Delta k), а плотность распределения вероятностей q на \BbbR 2 имеет такие свойства:
1)
\int
\BbbR 2
| \mathrm{l}\mathrm{n} \| x\| | kq(x)dx < +\infty для всех k > 0;
2)
\int
\BbbR 2
e\beta \| x\| q(x)dx < \infty для некоторого \beta > 0.
Пусть оператор Bl
k : C(\Delta k) \rightarrow C(\Delta l) действует по правилу
(Bl
k\varphi )(s1, . . . , sl) =
\sum
\sigma
\varphi (s\sigma (1), . . . , s\sigma (k)).
Здесь суммирование проводится всем таким сюръективным отображениям \sigma :
\{ 1, . . . , k\} \rightarrow \{ 1, . . . , l\} , что \sigma i \leq \sigma j для i < j. В качестве перенормировки \Lambda w,\varphi
\varepsilon ,k , Е. Б. Дынки-
ным было предложено выражение
\scrT w,\varphi
\varepsilon ,k =
k\sum
l=1
\biggl(
1
2\pi
\mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon
\biggr) k - l \int
\Delta l
l - 1\prod
i=1
q\varepsilon (w(si+1) - w(si))B
l
k(\varphi (\vec{}s ))d\vec{}s, \varphi \in C(\Delta k).
Теорема 1.3 [11]. Существует Lp-\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow 0 \scrT w,\varphi
\varepsilon ,k для всех 1 \leq p < +\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 295
Обозначим через \scrT w,\varphi
k предел случайных величин \scrT w,\varphi
\varepsilon ,k при \varepsilon \rightarrow 0. Положим \scrT w
k :=
:= \scrT w,1
k . Случайная величина \scrT w
k и есть перенормированное локальное время самопересечения
кратности k для винеровского процесса на плоскости.
Перенормировка Розена имеет вид
Lw
\varepsilon ,k =
\int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
\bigl\{
f\varepsilon (w(si+1) - w(si))
\bigr\}
d\vec{}s,
где для случайной величины \eta выражение \{ \eta \} означает \eta - M\eta .
Теорема 1.4 [21]. Существует
L2-\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
Lw
\varepsilon ,k.
Обозначим через Lw
k предел последовательности случайных величин Lw
\varepsilon ,k при \varepsilon \rightarrow 0. Слу-
чайная величина Lw
k называется перенормированным по Розену локальным временем самопе-
ресечения кратности k для винеровского процесса на плоскости. Следует отметить, что пере-
нормировка Розена — это обобщение перенормировки С. Варадана [22] для локального времени
двойного самопересечения винеровского процесса на плоскости. Оказывается, что введенные
Е. Б. Дынкиным и Дж. Розеном математические объекты взаимосвязаны.
Лемма 1.1 [34].
Lw
2 - \scrT w
2 =
1
2\pi
.
Лемма 1.2 [34].
\scrT w
n (t)
d
= t
n\sum
k=1
Ck - 1
n - k
\biggl(
1
2\pi
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\biggr) n - k
\scrT w
k (1).
Здесь \scrT w
n (t) — перенормированное по Дынкину локальное время самопересечения для w на
\Delta n(t) = \{ 0 \leq t1 \leq . . . \leq tn \leq t\} .
Лемма 1.3 [34]. Существует
1\int
0
\scrT w
k (s)ds := Lp-\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
1\int
0
\scrT w
\varepsilon ,k(s)ds.
Следует отметить, что возможна иная точка зрения на локальные времена самопересечения.
Для случайного поля
X : \BbbR 2
+ \rightarrow \BbbR 2
определим меру посещения следующим образом:
\mu B(A) =
\int
B
1A(X(\vec{}t )) d\vec{}t.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
296 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Здесь B \subset \BbbR 2
+, A \subset \BbbR 2 — борелевские множества. Если мера \mu B имеет плотность (случайная
неотрицательная функция l(\cdot , B) \in L1(\BbbR 2) такая, что почти наверное \mu B(A) =
\int
A
l(x,B)dx),
то эта плотность была бы локальным временем поля X и для любой ограниченной борелевской
функции f выполнялось бы равенство\int
B
f(X(t))d\vec{}t =
\int
\BbbR 2
f(x)l(x,B)dx.
Определим теперь случайное поле X : \BbbR 2
+ \rightarrow \BbbR d, d = 2 или 3, по правилу
X(t1, t2) = w(t2) - w(t1).
Дж. Розен доказал следующее утверждение.
Теорема 1.5 [24]. Для любого борелевского множества B \subseteq \BbbR 2
+ X имеет локальное время
на B.
Согласно теореме 1.5, существует случайная неотрицательная функция l(\cdot ,\Delta 2) \in L1(\BbbR 2)
такая, что \int
\Delta 2
f\varepsilon (w(t2) - w(t1) - x0)d\vec{}t =
\int
\BbbR 2
l(x,\Delta 2)f\varepsilon (x - x0)dx, (1.4)
где, как и ранее, f\varepsilon (x) =
1
2\pi \varepsilon
e -
\| x\| 2
2\varepsilon , \varepsilon > 0, x \in \BbbR 2. Если функция l(\cdot ,\Delta 2) непрерывна в точке
x0 то согласно (1.4),
l(x0,\Delta 2) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\int
\Delta 2
f\varepsilon (w(t2) - w(t1) - x0)d\vec{}t.
Оказывается, что такая непрерывность имеет место для всех x0 \not = 0 [24]. Для обсуждения
локальных времен самопересечения важна точка x0 = 0. К сожалению, как это следует из
вышеизложенного, предел в (1.4) для x0 = 0 был бы равен +\infty . С. Варадан доказал следующий
факт.
Теорема 1.6 [22]. Для каждого t > 0 существует предел
L2- \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
\biggl[
\pi l(x,\Delta 2(t)) - t \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| x|
\biggr]
,
совпадающий с определенным ранее Lw
2 (t).
Траектории двумерного винеровского процесса являются очень нерегулярными кривыми
на плоскости. Такие понятия, как, например, кривизна кривой, не пригодны для характериза-
ции геометрических свойств винеровской траектории. Показательным в этом плане является
асимптотическое поведение площади ее „\varepsilon -трубочки”. Исследованию „\varepsilon -трубочки” винеровско-
го процесса посвящены работы [25 – 32]. Асимптотическое поведение площади „\varepsilon -трубочки”
вокруг траектории винеровского процесса на плоскости изучалось в работах [28, 29].
Для \varepsilon > 0 и T > 0 обозначим
\Gamma \varepsilon (0, T ) =
\bigcup
t\in [0;T ]
B(w(t), \varepsilon ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 297
Исследование асимптотического поведения площади \Gamma \varepsilon (0, T ) при \varepsilon \rightarrow 0 основано на оценке
времени последовательного попадания w в круги радиуса \varepsilon . Здесь мы приведем краткое опи-
сание соответствующего подхода, следуя работам Ле Галля [28, 29]. Рассмотрим винеровский
процесс w в \BbbR 2 на интервале времени [0; \zeta ], где \zeta — показательно распределенная с параметром
\lambda случайная величина, не зависящая от w. В этом случае площадь
| \Gamma \varepsilon (0, \zeta )| =
\int
\BbbR 2
1\{ \tau \varepsilon y\leq \zeta \} dy.
Здесь
\tau \varepsilon y = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ t \geq 0 : \| w(t) - y\| \leq \varepsilon \} .
Таким образом,
M | \Gamma \varepsilon (0, \zeta )| =
\int
\BbbR 2
P\{ \tau \varepsilon y \leq \zeta \} dy.
Для описания P\{ \tau \varepsilon y \leq \zeta \} рассмотрим функцию
G(x) =
+\infty \int
0
e - \lambda tpt(x) dt, x \not = 0,
где pt(x) =
1
2\pi t
e -
\| x\| 2
2t — двумерная гауссовская плотность. Известно, что
G(x) =
1
\pi
K0
\Bigl( \surd
2\lambda \| x\|
\Bigr)
,
где K0 — модифицированная функция Бесселя [72]. Поэтому при \| x\| \rightarrow 0
G(x) =
1
\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\| x\|
+
1
\pi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} 2 - \mathrm{l}\mathrm{n}\lambda
2
- \gamma
\biggr)
+ o
\biggl(
\| x\| 2 \mathrm{l}\mathrm{n} 1
\| x\|
\biggr)
,
где \gamma — постоянная Эйлера. Кроме того, при достаточно малых a > 0
G(x) = o(e - a\| x\| ), \| x\| \rightarrow +\infty .
Пусть \=B(y, r) — замкнутый круг с центром в y радиуса r. Обозначим через \tau момент первого
попадания винеровского процесса в круг \=B(0, 1), т. е.
\tau = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
t \geq 0 : w(t) \in \=B(0, 1)
\bigr\}
.
Тогда (см. [73])
Px\{ \tau < \zeta \} = c1
\int
S1
G(x - y)\sigma (dy).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
298 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Здесь \sigma — равномерное распределение на S1, а c1 — емкость единичного круга. Поскольку G(x)
имеет вышеприведенную асимптотику при \| x\| \rightarrow 0, то при 4\varepsilon < \| x\| \wedge \| y\| \wedge 1
2
, \| z\| < \varepsilon
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
Pz\{ \tau \varepsilon (x) < \zeta \} \leq k1G
\biggl(
x
2
\biggr)
,
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) 2
Pz\{ \tau \varepsilon (x) < \zeta , \tau \varepsilon (y) < \zeta \} \leq k2
\biggl(
G
\biggl(
x
2
\biggr)
+G
\biggl(
y
2
\biggr) \biggr)
G
\biggl(
x - y
2
\biggr)
,
где \tau \varepsilon (x) — момент первого попадания в \=B(x, \varepsilon ) [29]. Такие неравенства позволяют получить
оценки для моментов перенормированных локальных времен самопересечения. Для этого нуж-
но воспользоваться подходом к определению локального времени, основанным на изложенной
в начале статьи идеи. А именно, похоже, что для дельта-функций от значений винеровского
процесса справедливо равенство
n - 1\prod
k=1
\delta 0(w(sk+1) - w(sk)) =
\int
\BbbR 2
n\prod
k=1
\delta 0(w(sk) - y)dy, s1 < s2 < . . . < sn. (1.5)
Мы получим это равенство позднее как следствие более общего утверждения об обобщен-
ных функционалах белого шума. Используем (1.5) для построения приближений к локальному
времени самопересечения для w. Для \varepsilon > 0 положим
q\varepsilon (x) =
1
\pi \varepsilon 2
1B(0,\varepsilon )(x), x \in \BbbR 2.
Зададим
\~Tw
\varepsilon ,m =
\int
\Delta m
\int
\BbbR 2
m\prod
k=1
q\varepsilon (w(sk) - y) dy d\vec{}s.
Как и Tw
\varepsilon ,m, это выражение нуждается в перенормировке для того, чтобы сделать возможным
переход к пределу при \varepsilon \rightarrow 0. Соответствующая перенормировка имеет тот же вид, что и
перенормировка Дынкина [11]. Получившийся предел обозначим через \~Tw
m. Обозначим
Tw
\varepsilon ,m(\varphi ) :=
\int
\BbbR 2
\varphi (x)
\int
\Delta m
m\prod
k=1
q\varepsilon (w(sk) - x) d\vec{}s dx, \varphi \in S.
Для записи перенормировки определим число h\varepsilon так:
h\varepsilon = M
\zeta \int
0
q\varepsilon (w(s) - y) ds, \| y\| = \varepsilon .
Значение h\varepsilon не зависит от выбора y такого, что \| y\| = \varepsilon . Используя ранее определенный
потенциал G, можно записать
h\varepsilon = - G(\varepsilon ) + o
\biggl(
\varepsilon 2 \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr)
= - 1
\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
- 1
\pi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} 2 - \mathrm{l}\mathrm{n}\lambda
2
- \gamma
\biggr)
+ o
\biggl(
\varepsilon 2 \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 299
Перенормировку \~Tw
\varepsilon ,m(\varphi ), следуя [11], определим следующим образом:
\~Tw
\varepsilon ,m(\varphi ) =
\int
\BbbR 2
\varphi (y)
m\sum
j=2
Cj - 1
m - 1
hm - j
\varepsilon
j!
1\int
0
. . .
1\int
0
j\prod
i=1
q\varepsilon (w(si) - y) d\vec{}s dy.
Записывая интегралы по кубам как интегралы по симплексам с факториальным множителем и
используя (1.5), приходим к выводу, что предложенная перенормировка совпадает с перенорми-
ровкой Дынкина с точностью до константы и членов порядка малости o
\biggl(
\varepsilon 2 \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr)
, отличающих
h\varepsilon от - 1
\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
. Однако вышеприведенная конструкция, опирающаяся на выражение для G и
выбор q\varepsilon как нормированного индикатора круга радиуса \varepsilon , позволяет для оценки моментов
\~Tw
\varepsilon ,m(\varphi ) использовать оценки на время достижения круга и метод математической индукции.
Так получаются соотношения
M( \~Tw
\varepsilon ,m(\varphi ) - \~Tw
m(\varphi ))2p \leq cp\| \varphi \| 2p\infty \varepsilon
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) 2pk
, p \in \BbbN ,
где cp зависит только от p. Здесь \~Tw
k (\varphi ) — перенормированное локальное время самопере-
сечения процесса w, соответствующее функции \varphi (перенормированное по Дынкину время
получается при \varphi \equiv 1). Сам вид перенормировки для \~Tw
\varepsilon ,k(\varphi ) позволяет записать равенство
Tw
\varepsilon ,n(\varphi ) =
n\sum
k=1
Pn,k
\biggl(
1
\pi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
+ \beta
\biggr) \biggr)
Tw
k (\varphi ) +Rn(\varepsilon , \varphi ),
где Pn,k — многочлены, которые легко можно представить в явном виде, а остаток Rn(\varepsilon , \varphi )
удовлетворяет неравенству
MRn(\varepsilon , \varphi )
2p \leq c1p\| \varphi \| 2p\infty \varepsilon
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) 2np
, p \in \BbbN .
Возвращаясь к вопросу об асимптотике площади винеровской „\varepsilon -трубочки”, положим
S\varepsilon (\varphi ) =
\int
\BbbR 2
\varphi (y)1\{ y\in S\varepsilon (0;\zeta )\} dy
и рассмотрим
M
\Biggl(
S\varepsilon (\varphi ) +
n\sum
k=1
(h\varepsilon )
- kTw
\varepsilon ,k(\varphi )
\Biggr) 2
=
=
\int
\BbbR 2
\int
\BbbR 2
\varphi (y)\varphi (z)M
\Biggl(
Y\varepsilon (y) +
n\sum
k=1
(h\varepsilon )
- kXw
\varepsilon ,k(y)
\Biggr) \Biggl(
Y\varepsilon (z) +
n\sum
k=1
(h\varepsilon )
- kXw
\varepsilon ,k(z)
\Biggr)
dy dz, (1.6)
где
Y\varepsilon (y) = 1\{ y\in S\varepsilon (0;\zeta )\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
300 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Xw
\varepsilon ,k(y) =
\int
\Delta k
k\prod
j=1
q\varepsilon (w(sj) - y)d\vec{}s.
Отметим, что
1\{ y\in S\varepsilon (0;\zeta )\} = 1\{ \tau \varepsilon (y)<\zeta \} .
Поэтому
MY\varepsilon (y)Y\varepsilon (z) = P\{ \tau \varepsilon (y) \leq \tau \varepsilon (z) < \zeta \} + P\{ \tau \varepsilon (z) \leq \tau \varepsilon (y) < \zeta \} .
Ранее была приведена оценка\bigm| \bigm| h\varepsilon P\{ \tau \varepsilon (y) < \zeta \} +G(y)
\bigm| \bigm| \leq 2\varepsilon \rho (\| y\| ).
Заметим, что
P\{ \tau \varepsilon (y) \leq \tau \varepsilon (z) < \zeta \} = P\{ \tau \varepsilon (y) \leq \tau \prime \varepsilon (z) < \zeta \} - P\{ \tau \varepsilon (z) \leq \tau \varepsilon (y) \leq \tau \prime \varepsilon (z) < \zeta \} ,
где
\tau \prime \varepsilon (z) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ t \geq \tau \varepsilon (y) : w(t) \in B(z, \varepsilon )\} .
Используя строго марковское свойство и приведенные оценки для \tau \varepsilon , можно показать, что
P\{ \tau \varepsilon (y) \leq \tau \prime \varepsilon (z) < \zeta \} = h - 2
\varepsilon G(y)G(z - y) + r\varepsilon ,
где
r\varepsilon \leq c \varepsilon
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) 2\biggl(
G
\biggl(
y
2
\biggr)
\rho (\| z - y\| ) + \rho (\| y\| )G(z - y)
\biggr)
,
P\{ \tau \varepsilon (z) \leq \tau \varepsilon (y) \leq \tau \prime \varepsilon (z) < \zeta \} \leq c
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) 3
G
\biggl(
z
2
\biggr)
G
\biggl(
z - y
2
\biggr) 2
.
Поэтому \bigm| \bigm| MY\varepsilon (y)Y\varepsilon (z) - h - 2
\varepsilon (G(y) - G(z))G(y - z)2
\bigm| \bigm| \leq \biggl( \mathrm{l}\mathrm{n} 1
\varepsilon
\biggr) - 3
f2(y, z).
Аналогично можно показать, что для произвольного p \geq 2\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| MY\varepsilon (y)Y\varepsilon (z) -
p\sum
k=2
h - k
\varepsilon (G(y) - G(z))G(y - z)k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) - p - 1
fp(y, z),
где fp \in L1((\BbbR 2)2). Такие оценки можно провести и для других слагаемых в (1.6). Суммируя
их, получаем соотношение
M(S\varepsilon (\varphi ) + \Sigma n
k=1(h\varepsilon )
- kTw
\varepsilon ,k(\varphi ))
2 = o
\biggl( \biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) - n\biggr)
, \varepsilon \rightarrow 0.
Учитывая выражение Tw
\varepsilon ,k(\varphi ) через Tw
k (\varphi ), приведенное ранее, получаем асимптотическое раз-
ложение S\varepsilon (\varphi ) по степеням
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) - 1
. В случае \varphi \equiv 1 полученная формула принимает вид.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 301
Теорема 1.7 [29].
| \Gamma \varepsilon (0; \zeta )| = -
n\sum
k=1
h - k
\varepsilon \scrT w
k (\zeta ) +Rn,
где \scrT w
k (\zeta ) — перенормированное по Дынкину локальное время k-кратного самопересечения для
w на симплексе \Delta k(\zeta ),
h\varepsilon = - 1
\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
+ c\lambda ,
c\lambda — некоторая константа, зависящая от \lambda , а
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
h2n\varepsilon MR2
n = 0.
Предположим теперь, что w — винеровский процесс в \BbbR 3. Обозначим
\Delta \varepsilon
2 = \{ (s, t) \in \Delta 2 : t - s \geq \varepsilon \} ,
\{ \eta \} = \eta - M\eta .
Следующее утверждение описывает асимптотику \varepsilon -трубочки в случае размерности 3.
Теорема 1.8 [28]. Пусть
l(0,\Delta \varepsilon 2
2 ) =
\int
\Delta \varepsilon 2
2
\delta 0(w(t2) - w(t1))dt1dt2.
Тогда существует константа c > 0 такая, что для любого \varepsilon \in
\biggl(
0;
1
2
\biggr)
M
\Bigl(
\varepsilon - 2\{ | \Gamma \varepsilon (0; 1)| \} - \{ l(0,\Delta \varepsilon 2
2 )\}
\Bigr) 2
\leq c,
\varepsilon - 2
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) - 1/2
(| \Gamma \varepsilon (0; 1)| - \varepsilon )
d\rightarrow 1
\pi
N(0; 1), \varepsilon \rightarrow 0.
(N(0; 1) — стандартная случайная величина).
Результат Дворецкого – Эрдеша – Какутани о наличии лишь двойных самопересечений у
трехмерного винеровского процесса и теорема 1.8 показывают, что геометрия винеровско-
го процесса в пространстве существенно отличается от геометрии винеровского процесса на
плоскости.
Пусть \{ w(t), t \geq 0\} — винеровский процесс в \BbbR 3. Согласно теореме 1.4 существует случай-
ная неотрицательная функция l(\cdot ,\Delta 2(t)) \in L1(\BbbR 3) такая, что\int
\Delta 2(t)
f\varepsilon (w(t2) - w(t1))d\vec{}t =
\int
\BbbR 3
f\varepsilon (x)l(x,\Delta 2(t))dx.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
302 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Следует отметить, что, как и в двумерном случае, l(x,\Delta 2(t)) не является непрерывной в точке
x = 0. Действительно,
Ml(x,\Delta 2(t)) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
M
\int
\Delta 2(t)
f\varepsilon (w(t2) - w(t1) - x) d\vec{}t =
=
\int
\Delta 2(t)
1\sqrt{}
2\pi (t2 - t1)
3 e
- \| x\| 2
2(t2 - t1) d\vec{}t =
= \| x\|
\int
\Delta 2
\bigl(
t
\| x\| 2
\bigr) 1\sqrt{}
2\pi (t\prime 2 - t\prime 1)
3 e
- \| x\| 2
2(t\prime 2 - t\prime 1) d\vec{}t\prime =
= \| x\|
\int
\Bigl\{
s1\geq 0,s1\geq 0
s1+s2\leq t
\| x\| 2
\Bigr\} 1
\surd
2\pi s2
3 e
- 1
2s2 d\vec{}s =
=
t
\| x\|
t
\| x\| 2\int
0
1
\surd
2\pi s2
3 e
- 1
2s2 ds2 - \| x\|
t
\| x\| 2\int
0
s2\surd
2\pi s2
3 e
- 1
2s2 ds2 \sim
t
\| x\|
, x \rightarrow 0.
М. Йор в работе [33] предложил следующую перенормировку. Для x > 0 обозначим через
Yx(t) случайный процесс вида
1
2
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{n} 1
| x|
\biggl(
2\pi l(x,\Delta 2(t)) -
t
| x|
\biggr)
.
Справедливым является следующее утверждение.
Теорема 1.9 [33]. Семейство случайных процессов Yx сходится по распределению при x \rightarrow
0 к 2\beta , где \beta — одномерный винеровский процесс.
Далее предлагается несколько иной подход к определению локального времени самопере-
сечения для винеровского процесса в \BbbR 3. Вместо
Tw
2 =
\int
\Delta 2
\delta 0(w(t2) - w(t1))d\vec{}t
рассмотрим
T =
\int
\Delta 2
\varkappa (w(t2) - w(t1))d\vec{}t,
где \varkappa — это мера на p-мерном многообразии в \BbbR 3, p \leq 3. Как уже отмечалось, если p = 0,
а размерность пространства d = 2, т. е. d - p = 2, то согласно Дж. Розену [21] существует
предел в среднем квадратическом Tw
\varepsilon ,2 - MTw
\varepsilon ,2. Оказывается, что это имеет место, когда d = 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 303
А именно будет рассмотрена ситуация, когда значения винеровского процесса в \BbbR 3 в разные
моменты времени оказываются на одной гладкой кривой, т. е. \varkappa — это мера длины на 1-мерном
многообразии в \BbbR 3. Таким образом, снова d - p = 2. Увеличив размерность \varkappa , мы, „грубо
говоря”, понизили размерность пространства и свели трехмерный случай к двумерному. Дей-
ствительно, пусть \{ w(t), t \in [0; 1]\} — винеровский процесс в \BbbR 3. Рассмотрим в пространстве
гладкую регулярную кривую \Gamma , заданную параметрически
x(t) =
\left\{
x1 = x1(t),
x2 = x2(t),
x3 = x3(t),
t \in [0; 1].
Пусть существуют константы 0 < a1 < a2 такие, что
a1 \leq \| x\prime (t)\| \leq a2. (1.7)
В этом случае можно показать, что к T применима перенормировка Розена. Пусть S(\BbbR 3) —
это пространство Шварца быстро убывающих функций на \BbbR 3. Для обобщенной функции \varkappa из
S\ast (\BbbR 3) такой, что для любой \varphi \in S(\BbbR 3)
\langle \varkappa , \varphi \rangle =
\int
\Gamma
\varphi dl,
рассмотрим выражение
T =
\int
\Delta 2
\varkappa (w(t2) - w(t1))d\vec{}t,
регистрирующее случаи попадания разности w(t2) - w(t1) на кривую \Gamma , которые зависят, грубо
говоря, от двух координат процесса w.
Пусть
T\varepsilon :=
\int
\Delta 2
\varkappa \varepsilon (w(t2) - w(t1))d\vec{}t
— это аппроксимирующее T семейство случайных величин. Здесь
\varkappa \varepsilon = \varkappa \ast 1
\surd
2\pi \varepsilon
3 e
- \| x\| 2
2\varepsilon , x \in \BbbR 3 \varepsilon > 0.
Следующие два результата отражают „двумерность” рассматриваемой конструкции. Следую-
щая лемма показывает, что T\varepsilon имеет логарифмическую асимптотику, как и в случае двумерного
винеровского процесса. В случае специальной кривой доказательство утверждения приведено
в [34, 35]. В данной работе мы приводим доказательство для произвольной регулярной кривой
в пространстве.
Лемма 1.4. Пусть K — это множество таких значений t, что x(t) = 0. Тогда
MT\varepsilon \sim | K| 1
2\pi
| \mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon | , \varepsilon \rightarrow 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
304 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Доказательство. Заметим, что
MT\varepsilon =
\int
\Delta 2
\int
\BbbR 3\times 2
1\int
0
f\varepsilon (y2 - y1 - x(t))\times
\times 1
\surd
2\pi s1
3 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- \| y1\| 2
2s1
\biggr\}
1\sqrt{}
2\pi (s2 - s1)
3 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- \| y2 - y1\| 2
2(s2 - s1)
\biggr\}
\| x\prime (t)\| dt d\vec{}y d\vec{}s =
=
\int
\Delta 2
1\sqrt{}
2\pi (s2 - s1 + \varepsilon )
3
1\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- \| x(t)\| 2
2(s2 - s1 + \varepsilon )
\biggr\}
\| x\prime (t)\| dt d\vec{}s.
Кривая гамма проходит через нуль конечное число раз. Действительно, пусть это не так, тогда
существует бесконечное число точек t1, . . . , tn, . . . из отрезка [0; 1] таких, что x(t1) = . . .
. . . = x(tn) = . . . = 0. Из ограниченной последовательности \{ tn\} n\geq 1 выберем сходящуюся
подпоследовательность \{ tnk
\} k\geq 1. Тогда \| x\prime (tnk
)\| \rightarrow 0, k \rightarrow +\infty . Согласно условию (1.7), для
любого tnk
\in [0; 1] справедливо соотношение
a1 \leq \| x\prime (tnk
)\| \leq a2. (1.8)
Устремляя k к бесконечности в (1.8), приходим к противоречию. Поэтому далее считаем, что x
обращается в нуль в точках \{ t1, . . . , tN\} \in [0; 1]. Для любого \delta > 0 обозначим K =
\bigcup N
i=1(ti -
\delta ; ti + \delta ). Нетрудно показать, что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon >0
\int
\Delta 2
1\sqrt{}
2\pi (s2 - s1 + \varepsilon )
\int
[0;1]\setminus K
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- \| x(t)\| 2
2(s2 - s1 + \varepsilon )
\biggr\}
\| x\prime (t)\| dt d\vec{}s < +\infty . (1.9)
Для ti \in (0; 1), рассмотрим
\int
\Delta 2
1\sqrt{}
2\pi (s2 - s1 + \varepsilon )
3
ti - \delta \int
ti+\delta
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- \| x(t)\| 2
2(s2 - s1 + \varepsilon )
\biggr\}
\| x\prime (t)\| dt d\vec{}s.
Поскольку кривая \Gamma гладкая, то
\| x(t)\| 2 = \| x\prime (ti)\| 2(t - ti)
2 + o((t - ti)
2), t \rightarrow ti.
Следовательно, для любого \sigma > 0 существует \delta > 0 такое, что для t \in (ti - \delta ; ti + \delta ), t \not = ti\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \| x(t)\| 2
\| x\prime (ti)\| 2(t - ti)2
- 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \sigma .
Отсюда следует, что
\int
\Delta 2
1\sqrt{}
2\pi (s2 - s1 + \varepsilon )
3
ti - \delta \int
ti+\delta
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- \| x(t)\| 2
2(s2 - s1 + \varepsilon )
\biggr\}
\| x\prime (t)\| dt d\vec{}s
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 305
равен или меньше, чем
\int
\Delta 2
1\sqrt{}
2\pi (s2 - s1 + \varepsilon )
3
ti - \delta \int
ti+\delta
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (1 - \sigma )\| x\prime (ti)\| 2(t - ti)
2
2(s2 - s1 + \varepsilon )
\biggr\}
\| x\prime (t)\| dt d\vec{}s \leq
\leq 1 + \sigma \prime
2\pi
\int
\Delta 2
d\vec{}s
s2 - s1 + \varepsilon
=
1 + \sigma \prime
2\pi
| \mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon | + o(\mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon ), \varepsilon \rightarrow 0. (1.10)
С другой стороны, справедлива следующая оценка снизу:
\int
\Delta 2
1\sqrt{}
2\pi (s2 - s1 + \varepsilon )
3
ti - \delta \int
ti+\delta
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (1 + \sigma )\| x\prime (ti)\| 2(t - ti)
2
2(s2 - s1 + \varepsilon )
\biggr\}
\| x\prime (t)\| dt d\vec{}s \geq
\geq 1 - \sigma \prime \prime
2\pi
| \mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon | + o(\mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon ), \varepsilon \rightarrow 0. (1.11)
Величины \sigma \prime и \sigma \prime \prime могут быть сделаны достаточно малыми выбором \delta . Нетрудно показать, что
в случае, когда ti = 0 или ti = 1, оценки (1.10), (1.11) имеют место для интегралов
\int
\Delta 2
1\sqrt{}
2\pi (s2 - s1 + \varepsilon )
3
\delta \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- \| x(t)\| 2
2(s2 - s1 + \varepsilon )
\biggr\}
\| x\prime (t)\| dt d\vec{}s,
\int
\Delta 2
1\sqrt{}
2\pi (s2 - s1 + \varepsilon )
3
1\int
1 - \delta
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- \| x(t)\| 2
2(s2 - s1 + \varepsilon )
\biggr\}
\| x\prime (t)\| dt d\vec{}s,
что и завершает доказательство леммы.
Теорема 1.10 [34, 35]. Существует
L2-\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
[T\varepsilon - MT\varepsilon ].
Таким образом, геометрия перенормировки для локального времени самопересечения трех-
мерного винеровского процесса, соответствующего мере длины на гладкой кривой, сходна с
геометрией перенормировки для локального времени самопересечения винеровского процесса
на плоскости.
2. Обобщенные функционалы белого шума. Доказательства всех вышеизложенных ре-
зультатов из первого пункта, касающихся перенормированных локальных времен самопересе-
чения для винеровского процесса, а также асимптотическое поведение площади \varepsilon -трубочки
вокруг траектории винеровского процесса существенно базируются на условии марковости.
В настоящем пункте обсуждается иной подход, при котором локальное время самопересече-
ний для винеровского процесса рассматривается как обобщенный функционал от него. При
этом инструментами исследования являются разложение Ито – Винера и преобразование Фу-
рье – Винера.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
306 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Теорема 2.1 (Разложение Ито – Винера [36–39, 52]). Всякая случайная величина \alpha , имею-
щая конечный второй момент и измеримая относительно двумерного винеровского процесса
w = (w1, w2), однозначно представляется в виде сходящегося в среднем квадратическом ряда
из ортогональных слагаемых
\alpha =
\infty \sum
n=0
\sum
n1+n2=n
\int
\Delta n
\alpha n(r1, . . . , rn1 , rn1+1, . . . , rn2)dw1(r1) . . .
. . . dw1(rn1)dw2(rn1+1) . . . dw2(rn2).
Здесь при n = 0 соответствующее слагаемое является просто числом \alpha 0 = M\alpha . При n > 0
функция \alpha n такова, что\int
\Delta n
\alpha 2
n(r1, . . . , rn1 , rn1+1, . . . , rn2)dr1 . . . drn1drn1+1 . . . drn2 < +\infty .
Нетрудно проверить, что для любого \varepsilon > 0 M(Tw
\varepsilon ,k)
2 < +\infty . Следовательно, случайная
величина Tw
\varepsilon ,k имеет разложение Ито – Винера. Обозначим через
Hn(x) = ( - 1)nex
2/2
\biggl(
d
dx
\biggr) n
e - x2/2
n-й многочлен Эрмита со старшим коэффициентом 1. Для функции f \in L2([0; 1]) обозначим
через f\otimes n ее n-кратную тензорную степень, т. е., ядро
f\otimes n(t1, . . . , tn) = f(t1) . . . f(tn).
Известно [36–39, 52], что
n!
\int
\Delta n
f\otimes n(t1, . . . , tn)dw(t1) . . . dw(tn) =
= \| f\| nHn
\left( 1
\| f\|
1\int
0
f(t)dw(t)
\right) .
Здесь \| \cdot \| — норма в пространстве L2([0; 1]). Обозначим
Iin(f
\otimes n) = n!
\int
\Delta n
f\otimes n(t1, . . . , tn)dwi(t1) . . . dwi(tn), i = 1, 2.
Можно проверить, что при \varepsilon \rightarrow 0 разложение Ито – Винера для Tw
\varepsilon ,k превращается в формаль-
ный ряд
Tw
k =
\infty \sum
n=0
\sum
n1
1+n1
2+...+nk - 1
1 +nk - 1
2 =n
\int
\Delta k
k - 1\prod
j=1
2\prod
m=1
1\sqrt{}
nj
m!
H
nj
m
(0)\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 307
\times Im
nj
m
\biggl( \biggl(
1\mathrm{I}[sj ;sj+1]\surd
sj+1 - sj
\biggr) \otimes nj
m
\biggr)
fsj+1 - sj (0) d\vec{}s.
Поэтому перенормировка данного выражения состоит в вычитании слагаемых, содержащих
ядра „взрывающиеся” на диагонали симплекса \Delta k.
Прежде чем мы обсудим результаты подобного рода, определим действие обобщенных
функций на гауссовские функционалы. Необходимость в этом вызвана тем, что при рассмот-
рении локальных времен самопересечения естественным образом возникает выражение вида\prod k - 1
j=1
\delta 0(x(tj+1) - x(tj)). Приведем необходимые определения и факты о действии функций
из пространства Шварца на гладкие гауссовские функционалы [23, 39, 47, 48].
Определение 2.1 [38 – 48, 52]. Пусть H — полное сепарабельное гильбертово простран-
ство. Линейное соответствие \xi такое, что
H \ni x - \rightarrow (x, \xi ) \sim N(0, \| x\| 2),
называется белым шумом в H.
Для нас важен следующий пример.
Пример 2.1. Пусть H = L2([0; 1]), w(t), t \in [0; 1], — винеровский процесс в \BbbR . Зададим
соответствие следующим образом:
L2([0; 1]) \ni x - \rightarrow (x, \xi ) =
1\int
0
x(t) dw(t).
Используя свойства стохастического интеграла, нетрудно проверить, что \xi — белый шум в
L2([0; 1]). При этом исходный винеровский процесс w может быть представлен в виде w(t) =
= (1\mathrm{I}[0;t], \xi ).
Пусть \xi — белый шум в L2([0; 1]). Далее считаем, что \sigma -алгебра случайных событий \scrF
порождена \xi , т. е. \scrF = \sigma (\xi ). Обозначим через \scrP \subset L2(\Omega ,\scrF , P ) множество случайных величин,
элементы которого имеют конечное разложение Ито – Винера, т. е.
\scrP =
\Biggl\{
F \in L2(\Omega ,\scrF , P ) : F =
N\sum
n=0
In(fn)
\Biggr\}
, N \geq 1.
Определим норму
\| F\| 2p,\alpha =
N\sum
n=0
(1 + n)\alpha \| In(fn)\| p
для любого \alpha \in \BbbR . Здесь \| In(fn)\| p — обычная Lp-норма случайной величины In(fn).
Определение 2.2 [39, 47]. Пополнение \scrP по норме \| \cdot \| p,\alpha называется пространством
Соболева порядка \alpha относительно Lp-сходимости.
Заметим, что для \alpha 1 < \alpha 2 Dp,\alpha 1 \supset Dp,\alpha 2 . Обозначим
D\infty :=
\bigcap
\alpha >0
\bigcap
1<p<\infty
Dp,\alpha ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
308 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
D - \infty :=
\bigcup
\alpha >0
\bigcup
1<p<\infty
Dp, - \alpha .
Пусть D\infty (\BbbR d) — пространство случайных векторов с координатами из D\infty .
Замечание 2.1. Поскольку Dp,0 = Lp(\Omega ,\scrF , P ), то элементы пространства Dp,\alpha для \alpha \geq 0
являются „обычными” винеровскими функционалами. В случае \alpha < 0 это не так. Элементы
пространств Dp, - \alpha , \alpha > 0, называются обобщенными винеровскими функционалами. Следу-
ющее рассуждение содержит важный пример таких функционалов. Обозначим через \scrS (\BbbR d)
пространство Шварца функций медленного роста на \BbbR d. Положим
\| \varphi \| 2k = \| (1 + | x| 2 - \Delta )k\varphi \| \infty , (2.1)
\varphi \in \scrS (\BbbR d), k \in \BbbZ , \| \varphi \| \infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR d
| f(x)| ,
где \Delta =
\sum d
i=1
\biggl(
\partial
\partial xi
\biggr) 2
. Пусть \scrT 2k — пополнение \scrS (\BbbR d) по норме (2.1). Известно [49, 50], что
\scrS (\BbbR d) \subset . . . \subset \scrT 2 \subset \scrT 0 = \widehat C(\BbbR d) \subset \scrT - 2 \subset . . . \subset \scrS \prime (\BbbR d).
Здесь \widehat C(\BbbR d) — банахово пространство всех непрерывных функций на \BbbR d, сходящихся к нулю
на бесконечности, \scrS \ast (\BbbR d) — пространство обобщенных функций Шварца [49, 50]. Для F \in
\in D\infty (\BbbR d) обозначим через \sigma := (\langle DFi, DFj\rangle )dij=1 матрицу Грама для случайных элементов
DF1, . . . , DFd (D — стохастическая производная [23, 38]). Предположим, что:
1) \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\sigma > 0,
2) [\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\sigma ] - 1 \in
\bigcap
1<p<\infty Lp.
Справедливым является следующее утверждение.
Теорема 2.2 [39, 47]. Для каждого p \in (1;+\infty ) и k = 0, 1, 2, . . . существует положитель-
ная константа c = Cp,k такая, что для всех \varphi \in \scrS (\BbbR d) выполняется соотношение
\| \varphi (F )\| p, - 2k \leq c\| \varphi \| - 2k.
Обозначим \varphi \varepsilon = \varphi \ast p\varepsilon , где p\varepsilon (x) =
1\surd
2\pi \varepsilon
n e
- \| x\| 2
2\varepsilon . Из теоремы 2.2 следует, что для k0 \geq 1,
\{ \varphi \varepsilon (F )\} \varepsilon >0 фундаментальна в Dp, - 2k0 , т. е. существует предел \varphi \varepsilon (F ), \varepsilon \rightarrow 0 в Dp, - 2k0 .
Определение 2.3. Значение обобщенной функции \varphi на F — это
\varphi (F ) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\varphi \varepsilon (F ).
Замечание 2.2. В условиях теоремы 2.2 обобщенный функционал \varphi (F ) имеет разложение
Ито – Винера, элементы которого являются пределами соответствующих элементов разложения
\varphi \varepsilon (F ). В частности, естественно определить M\varphi (F ) как предел M\varphi \varepsilon (F ). Заметим также, что
в условиях теоремы случайная величина F имеет плотность распределения pF \in C\infty (\BbbR d) [23].
Поэтому для \varphi = \delta 0 справедливо равенство
M\delta 0(F ) = pF (0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 309
Для обобщенных гауссовских функционалов из Dp, - 2k естественным образом определено
спаривание с функционалами из Dq,2k, которое по-прежнему будем обозначать с помощью
математического ожидания M\alpha G, \alpha \in Dq,2k, G \in Dp, - 2k. Наиболее важным является случай,
когда \alpha — стохастическая экспонента (элемент пространства D\infty ). Для G \in Dp, - 2k можно
определить его преобразование Фурье – Винера.
Определение 2.4 [51, 52]. Преобразованием Фурье – Винера случайной величины \beta , инте-
грируемой с квадратом и измеримой относительно белых шумов \xi 1, \xi 2, называется выражение
\scrT (\beta )(h1, h2) = M\beta \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
(h1, \xi 1) + (h2, \xi 2) -
1
2
(\| h1\| 2 + \| h2\| 2)
\biggr\}
.
Замечание 2.3. Любая случайная величина, удовлетворяющая условиям определения 2.4,
однозначно восстанавливается по своему преобразованию Фурье – Винера.
В силу замечания 2.3 далее, для удобства, мы иногда обсуждаем не локальные времена
самопересечения случайных процессов, а их преобразование Фурье – Винера.
Пример 2.2 [53, 54]. Пусть w — двумерный винеровский процесс. Рассмотрим обобщен-
ный функционал
\prod k - 1
i=1
\delta 0(w(si+1) - w(si)). Его разложение Ито – Винера имеет вид
k - 1\prod
i=1
\delta 0(w(si+1) - w(si)) =
=
\infty \sum
n=0
\sum
n1
1+n1
2+...+nk - 1
1 +nk - 1
2 =n
k - 1\prod
j=1
2\prod
m=1
1
nj
m!
Im
nj
m
\Biggl( \biggl(
1\mathrm{I}[sj ;sj+1]\surd
sj+1 - sj
\biggr) \otimes nj
m
\Biggr)
H
nj
m
(0)fsj+1 - sj (0),
где ft(x) =
1
2\pi t
e -
\| x\| 2
2t .
Найдем преобразование Фурье – Винера
\prod k - 1
i=1
\delta 0(w(si+1) - w(si)):
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
\delta 0(w(ti+1) - w(ti))
\Biggr)
(h) =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon (w(ti+1) - w(ti))
\Biggr)
(h) =
1\prod k
i=1
\Delta ti
e -
1
2
\Sigma k - 1
i=1 \| Ptiti+1h\|
2
,
где Ptiti+1 — проектор на 1[ti;ti+1].
Пример 2.3. Пусть g \in C
\bigl(
[0; 1], L2([0; 1])
\bigr)
, \xi — белый шум в L2([0; 1]). Рассмотрим гаус-
совский процесс в\BbbR x(t) = (g(t), \xi ).Найдем преобразование Фурье – Винера
\prod k - 1
i=1
\delta 0(x(ti+1) -
- x(ti)). Для того чтобы выполнялись условия теоремы 2.2, определитель Грама
G(\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1)) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}((\Delta g(ti),\Delta g(tj))
k - 1
ij=1,
где \Delta g(ti) = g(ti+1) - g(ti), должен быть отличен от нуля (здесь мы используем соотношение
M\Delta x(ti)\Delta x(tj) = (\Delta g(ti),\Delta g(tj)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
310 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Если это условие выполняется, то
\prod k - 1
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti)) является обобщенным функциона-
лом от \xi и его преобразование Фурье – Винера имеет вид
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti))
\Biggr)
(h) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon (x(ti+1) - x(ti))
\Biggr)
(h) =
=
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- 1
2
(A - 1
t1...tk
u, u)
\biggr\}
G(\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1))
,
u =
\bigl(
(\Delta g(t1), h), . . . , (\Delta g(tk - 1), h)
\bigr)
, At1...tk =
\bigl(
(\Delta g(ti),\Delta g(tj))
\bigr) k - 1
ij=1
.
Обозначим через Pt1...tk проектор на линейную оболочку \Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1). Докажем сле-
дующее утверждение.
Лемма 2.1 [34]. Для произвольного h \in L2([0; 1])
(A - 1
t1...tk
u, u) = \| Pt1...tkh\|
2.
Доказательство. Определим оператор Bt1...tk следующим образом:
Bt1...tkh =
1
G(\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1))
k - 1\sum
ij=1
( - 1)i+jMij(\Delta g(ti), h)\Delta g(tj),
где Mij — минор матрицы At1...tk , соответствующий i-й строке и j-му столбцу. Покажем, что
Bt1...tk = Pt1...tk . Для этого нужно доказать, что:
1) для произвольного h \bot \Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1)
Bt1...tkh = 0;
2) для произвольного l = 1, k - 1
Bt1...tk\Delta g(tl) = \Delta g(tl).
Пункт 1 очевиден. Проверим пункт 2. Заметим, что
Bt1...tk\Delta g(tl) =
=
1
G(\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1))
k - 1\sum
ij=1
( - 1)i+jMij(\Delta g(ti),\Delta g(tl))\Delta g(tj) =
=
1
G(\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1))
k - 1\sum
j=1
\Delta g(tj)
k - 1\sum
j=1
( - 1)i+j ,
Mij(\Delta g(ti),\Delta g(tl)) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 311
=
1
G(\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1))
\left( k - 1\sum
j=1
j \not =l
\Delta g(tj)
k - 1\sum
j=1
( - 1)i+jMij(\Delta g(ti),\Delta g(tl)) +
+ \Delta g(tl)
k - 1\sum
i=1
( - 1)i+lMil(\Delta g(ti),\Delta g(tl))
\right) .
В силу свойств определителя первое слагаемое равно нулю. Второе слагаемое равно
1
G(\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1))
\Delta g(tl)
k - 1\sum
i=1
( - 1)i+lMil(\Delta g(ti),\Delta g(tl)) =
=
1
G(\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1))
\Delta g(tl)G(\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1)) = \Delta g(tl).
Соотношения из пунктов 1 и 2 влекут равенство
Bt1...tkh = Pt1...tkh.
Лемма 2.1 доказана.
Из леммы 2.1 следует, что
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti))
\Biggr)
(h) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- 1
2
\| Pt1...tkh\| 2
\biggr\}
G(\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1))
.
Далее через fn
\varepsilon обозначена плотность распределения гауссовского вектора \eta \sim N(0, \varepsilon I) в \BbbR n,
т. е.
fn
\varepsilon (x) =
1\surd
2\pi \varepsilon
n e
- \| x\| 2
2\varepsilon , \varepsilon > 0, x \in \BbbR n.
Как и ранее, \{ \eta \} = \eta - M\eta . Nualart и Vives в [55] доказали следующее утверждение.
Теорема 2.3. Пусть w — винеровский процесс в \BbbR 2. Тогда существует
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\int
\Delta 2
\bigl\{
f2
\varepsilon (w(t2) - w(t1))
\bigr\}
d\vec{}t
в D\alpha ,2 для всех \alpha <
1
2
.
Позже этот результат был усилен в работе Imkeller, Perez–Abrew, Vives [53].
Теорема 2.4. Пусть w — винеровский процесс в \BbbR 2. Тогда существует
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\int
\Delta 2
\bigl\{
f2
\varepsilon (w(t2) - w(t1))
\bigr\}
d\vec{}t
в D\alpha ,2 для всех \alpha < 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
312 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Также в [53] было показано, что для размерности n \geq 3 семейство случайных величин\biggl\{ \int
\Delta 2
\{ fn
\varepsilon (w(t2) - w(t1))\} d\vec{}t, 0 < \varepsilon \leq 1
\biggr\}
не является ограниченным в L2(\Omega ,\scrF , P ).
Теорема 2.5. Семейство случайных величин\left\{ 1\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{n} 1
\varepsilon
\int
\Delta 2
\{ f3
\varepsilon (w(t2) - w(t1))\} d\vec{}t, 0 < \varepsilon \leq 1
\right\}
слабо компактно в D\alpha ,2 для всех \alpha <
1
2
.
Теорема 2.6. Для всех n \geq 4 семейство случайных величин\left\{ \varepsilon (n - 3)/2
\int
\Delta 2
\{ fn
\varepsilon (w(t2) - w(t1))\} d\vec{}t, 0 < \varepsilon \leq 1
\right\}
слабо компактно в D\alpha ,2 для всех \alpha <
4 - n
2
.
Теоремы 2.5, 2.6 были уточнены в работе Я. Ху [56].
Теорема 2.7. Семейство случайных величин\left\{ 1\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{n} 1
\varepsilon
\int
\Delta 2
\{ f3
\varepsilon (w(t2) - w(t1))\} d\vec{}t, 0 < \varepsilon \leq 1
\right\}
слабо компактно в D\alpha ,2 при \varepsilon \rightarrow 0 для \alpha <
1
2
. Для \alpha \geq 1
2
данное семейство неограниченно в
D\alpha ,2 при \varepsilon \rightarrow 0.
Теорема 2.8. Семейство случайных величин\left\{ \varepsilon (n - 3)/2
\int
\Delta 2
\{ fn
\varepsilon (w(t2) - w(t1))\} d\vec{}t, 0 < \varepsilon \leq 1
\right\}
слабо компактно в D\alpha ,2 при \varepsilon \rightarrow 0 и \alpha <
4 - n
2
. Для \alpha \geq 4 - n
2
данное семейство случайных
величин неограниченно при \varepsilon \rightarrow 0.
В [57] Я. Ху исследовал локальное время самопересечения для процесса x = (BH
1 , . . . , BH
d ),
где BH
1 , . . . , BH
d — независимые фрактальные броуновские движения, H \in (0, 1). Был доказан
следующий результат.
Теорема 2.9. Для H < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
3
2d
,
2
d+ 2
\biggr)
\int
\Delta 2
\bigl\{
\delta 0(x(t2) - x(t1))
\bigr\}
d\vec{}t
является элементом пространства D1,2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 313
А. В. Руденко в [15] привел необходимые и достаточные условия для существования ло-
кального времени центрированного гауссовского поля как элемента некоторого пространства
Соболева.
Пусть \xi (t), t \in T, — это центрированное гауссовское поле. Обозначим
V\varepsilon =
\int
T
f\varepsilon (\xi (t))\nu (dt), G(s, t) = K - 1/2(t, t)K(s, t)K - 1/2(s, s)
и
In =
\int
T
\int
T
\int
Sd
\| G(s, t)x\| n\sigma (dx) \nu (ds)\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}K(s, s)
\nu (dt)\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}K(t, t)
,
где K — ковариационная матрица поля \xi , Sd — единичная сфера в \BbbR d, \sigma — равномерная
поверхностная мера на Sd. А. В. Руденко доказал следующий факт.
Теорема 2.10 [15]. Для \alpha \in \BbbR следующие утверждения эквивалентны:
1) V\varepsilon \rightarrow V, \varepsilon \rightarrow 0 в D\alpha ,2;
2) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow 0 \| V\varepsilon \| \alpha ,2 < +\infty ;
3)
\sum \infty
n=0
I2n(2n+ 1)\alpha +d/2 - 1 < +\infty .
Следствие 1. [15] При \alpha < - d
2
утверждения теоремы эквивалентны условию\int
T
\nu (dt)\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}K(t, t)
< +\infty .
3. Локальный нондетерминизм гауссовских процессов. При построении локального вре-
мени самопересечения для винеровского процесса существенно использовалась его марковская
природа. Для гауссовских процессов марковское свойство влечет за собой некоторую невырож-
денность распределений конечномерных распределений. Именно это свойство играет решаю-
щую роль при построении локальных времен самопересечения. В этом пункте мы приводим и
обсуждаем определения локального нондетерминизма, строгого локального нондетерминизма
случайных процессов, характеризующие невырожденность конечных семейств приращений на
малых интервалах времени. Начнем с более слабого свойства локального нондетерминизма,
возникшего в работах С. Бермана [58 – 60].
Пусть \{ x(t), t \in J\} — центрированный гауссовский процесс со значениями в \BbbR , заданный
на открытом интервале J. Предположим, что существует такое \varepsilon > 0, что:
1) M(x(t) - x(s))2 > 0 для всех s, t \in J таких, что
0 < | t - s| \leq \varepsilon ,
2) Mx2(t) > 0 для всех t \in J.
Для m \geq 2, t1, . . . , tm из J : t1 < t2 < . . . < tm обозначим через
Vm =
D(x(tm) - x(tm - 1)/x(t1), . . . , x(tm - 1))
D(x(tm) - x(tm - 1))
отношение условной и безусловной дисперсии приращения x(tm) - x(tm - 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
314 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Определение 3.1 [58]. Гауссовский процесс x является локально нондетерминированным
на J, если для каждого m \geq 2
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow 0
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tm - t1\leq c
Vm > 0.
Обозначим
Um =
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(x(t1), . . . , x(tm))
Dx(t1)D(x(t2) - x(t1)) . . . D(x(tm) - x(tm - 1))
.
Справедливым является следующее утверждение.
Лемма 3.1. Гауссовский процесс x является локально нондетерминированным на J тогда
и только тогда, когда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow 0
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tm - t1\leq c
Um > 0, m \geq 2.
Доказательство леммы следует из равенства Um = V2 . . . Vm.
Замечание 3.1.
Um = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}
\Biggl(
x(t1)\sqrt{}
Dx(t1)
,
x(t2) - x(t1)\sqrt{}
D(x(t2) - x(t1))
, . . . ,
x(tm) - x(tm - 1)\sqrt{}
D(x(tm) - x(tm - 1))
\Biggr)
.
Следующая лемма дает еще одну характеризацию свойства локального нондетерминизма
случайного процесса.
Лемма 3.2 [58]. Процесс x является локально нондетерминированным на J тогда и толь-
ко тогда, когда для любого m \geq 2 и каждого вектора \vec{}b = (b1, . . . , bm) \not = 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow 0
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tm - t1\leq c
D
\left\{ b1
x(t1)\sqrt{}
Dx(t1)
+
m\sum
j=2
bj
x(tj) - x(tj - 1)\sqrt{}
D(x(tj) - x(tj - 1))
\right\} > 0. (3.1)
Доказательство. Необходимость. Пусть x имеет свойство локального нондетерминизма.
Предположим, что существует такой вектор \vec{}b \not = 0, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow 0
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tm - t1\leq c
D
\left\{ b1
x(t1)\sqrt{}
Dx(t1)
+
m\sum
j=2
bj
x(tj) - x(tj - 1)\sqrt{}
D(x(tj) - x(tj - 1))
\right\} = 0.
Это означает, что для некоторой последовательности tl = (tl1, . . . , t
l
m)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
tlm - tl1\rightarrow 0
D
\left\{ b1
x(t1)\sqrt{}
Dx(t1)
+
m\sum
j=2
bj
x(tj) - x(tj - 1)\sqrt{}
D(x(tj) - x(tj - 1))
\right\} = 0. (3.2)
Из слабо компактной последовательности векторов
\vec{}xl :=
\left( x(tl1)\sqrt{}
Dx(tl1)
,
x(tl2) - x(tl1)\sqrt{}
D(x(tl2) - x(tl1))
, . . . ,
x(tlm) - x(tlm - 1)\sqrt{}
D(x(tlm) - x(tlm - 1))
\right)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 315
в \BbbR m выберем слабо сходящуюся подпоследовательность. Считаем, что это она сама. Тогда
\vec{}xl \Rightarrow \eta , tlm - tl1 \rightarrow 0,
где \eta имеет гауссовское распределение, а также
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\vec{}xl \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\vec{}\eta , tlm - tl1 \rightarrow 0, (3.3)
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\vec{}xl \rightarrow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\vec{}\eta , tlm - tl1 \rightarrow 0. (3.4)
Поскольку x — центрированный гауссовский процесс, то условие (3.2) означает, что
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\vec{}xl
\vec{}b,\vec{}b) \rightarrow 0, tlm - tl1 \rightarrow 0. (3.5)
В силу (3.3)
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\vec{}xl
\vec{}b,\vec{}b) \rightarrow (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\vec{}\eta \vec{}b,\vec{}b), tlm - tl1 \rightarrow 0. (3.6)
Из (3.5), (3.6) следует, что
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\vec{}\eta \vec{}b,\vec{}b) = 0.
Это означает, что \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\vec{}\eta вырождена. Из (3.4) следует, что \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\vec{}xl \rightarrow 0, tlm - tl1 \rightarrow 0. Это
противоречит локальной неопределенности процесса x.
Достаточность. Пусть выполняется условие (3.1), однако x не является локально нонде-
терминированным, т. е.
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow 0
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tm - t1\leq c
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}
\Biggl(
x(t1)\sqrt{}
Dx(t1)
,
x(t2) - x(t1)\sqrt{}
D(x(t2) - x(t1))
, . . . ,
x(tm) - x(tm - 1)\sqrt{}
D(x(tm) - x(tm - 1))
\Biggr)
= 0.
Это означает, что существует последовательность tl = (tl1, . . . , t
l
m) такая, что
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}
\left( x(tl1)\sqrt{}
Dx(tl1)
,
x(tl2) - x(tl1)\sqrt{}
D(x(tl2) - x(tl1))
, . . . ,
x(tlm) - x(tlm - 1)\sqrt{}
D(x(tlm) - x(tlm - 1))
\right) \rightarrow 0, tlm - tl1 \rightarrow 0.
Снова из слабой компактности последовательности
\vec{}xl :=
\left( x(tl1)\sqrt{}
Dx(tl1)
,
x(tl2) - x(tl1)\sqrt{}
D(x(tl2) - x(tl1))
, . . . ,
x(tlm) - x(tlm - 1)\sqrt{}
D(x(tlm) - x(tlm - 1))
\right)
выбираем слабо сходящуюся подпоследовательность. Эта подпоследовательность сходится к
вырожденному гауссовскому вектору \eta . Значит, существует такой вектор \vec{}b \not = 0, что \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\vec{}\eta \vec{}b = 0.
Следовательно,
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\vec{}xl
\vec{}b,\vec{}b) \rightarrow 0, tlm - tl1 \rightarrow 0,
что противоречит условию (3.1).
Лемма 3.2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
316 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Ранее уже отмечалось, что гауссовский процесс может быть определен с помощью белого
шума в пространстве L2([0; 1]). Рассмотрим произвольную функцию
g \in C
\bigl(
[0; 1], L2([0; 1])),
где C([0; 1], L2([0; 1])) — пространство непрерывных функций из [0; 1] в L2([0; 1]). Формула
x(t) = (g(t), \xi ), t \in [0; 1], задает центрированный гауссовский процесс x, все свойства которо-
го полностью определяются функцией g. Поэтому удобно было бы иметь определение свойства
локального нондетерминизма в терминах функции g. Пусть G(e1, . . . , en) — определитель Гра-
ма, построенный по векторам e1, . . . , en. Следующая лемма описывает свойство локального
нондетерминизма в терминах функции g, которая задает процесс x.
Лемма 3.3. Гауссовский процесс x является локально нондетерминорованным на J, если
для каждого m \geq 2
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow 0
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tm - t1\leq c
G(g(t1),\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tm - 1))
\| g(t1)\| 2\| \Delta g(t1)\| 2 . . . \| \Delta g(tm - 1)\| 2
> 0.
Доказательство. Данное утверждение является следствием определения Vm и соотноше-
ния
V2 . . . Vm =
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(x(ti), x(tj))
m
ij=1
D(x(t1))D((x(t2) - x(t1))) . . . D(x(tm) - x(tm - 1))
=
=
G(g(t1),\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tm - 1))
\| g(t1)\| 2\| \Delta g(t1)\| 2 . . . \| \Delta g(tm - 1)\| 2
.
Следующая лемма описывает широкий класс гауссовских процессов, обладающих свой-
ством локального нондетерминизма.
Лемма 3.4. Пусть A — непрерывно обратимый оператор в L2([0; 1]). Тогда гауссовский
процесс x(t) = (A1\mathrm{I}[0;t], \xi ), t \in [0; 1], является локально неопределенным на (0; 1).
Доказательство. Обозначим g0(t) := 1\mathrm{I}[0;t]. Покажем, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow 0
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tm - t1\leq c
G(Ag0(t1), A\Delta g0(t1), . . . , A\Delta g0(tm - 1))
\| Ag0(t1)\| 2\| A\Delta g0(t1)\| 2 . . . \| A\Delta g0(tm - 1)\| 2
> 0.
Для этого нам понадобится следующее утверждение.
Лемма 3.5. Пусть A — непрерывно обратимый оператор в гильбертовом пространстве
H. Тогда для всех k \geq 1 существует положительная константа c(k), зависящая от k и
оператора A, такая, что для любых e1, . . . , ek \in H выполняется соотношение
G(Ae1, . . . , Aek) \geq c(k)G(e1, . . . , ek).
Доказательство. Для доказательства леммы достаточно проверить, что
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} G
\biggl(
Af1
\| Af1\|
, . . . ,
Afk
\| Afk\|
\biggr)
> 0,
где инфимум берется по всем ортонормированным системам (f1, . . . , fk). Использовав метод
ортогонализации Грама–Шмидта, построим ортонормированную систему q1, . . . , qk из
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 317
Af1
\| Af1\|
, . . . ,
Afk
\| Afk\|
. Здесь
qj =
Afj
\| Afj\|
-
j - 1\sum
i=1
aij
Afi
\| Afi\|
с некоторыми aij . Докажем, что
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(f1,...,fk)
G
\biggl(
Af1
\| Af1\|
, . . . ,
Afk
\| Afk\|
\biggr)
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(f1,...,fk)
k\prod
i=1
\| qi\| 2 > 0.
Доказательство проведем от противного. Предположим, что это не так. Тогда существуют
последовательность \{ fn
1 , . . . , f
n
k \} n\geq 1 и j = 1, k такие, что \| qnj \| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty . Непрерывная
обратимость оператора A влечет следующее:\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| fn
j
\| Afn)j\|
-
j - 1\sum
i=1
anij
fn
i
\| Afn
i \|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty .
Однако \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| fn
j
\| Afn
j \|
-
j - 1\sum
i=1
anij
fn
i
\| Afn
i \|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \geq 1
\| Afn
j \|
> 0.
Полученное противоречие доказывает лемму 3.5.
Из леммы 3.5 следует, что
G(Ag0(t1), A\Delta g0(t1), . . . , A\Delta g0(tm - 1))
\| Ag0(t1)\| 2\| A\Delta g0(t1)\| 2 . . . \| A\Delta g0(tm - 1)\| 2
>
> c(m)\| A\| - m G(g0(t1),\Delta g0(t1), . . . ,\Delta g0(tm - 1))
\| g0(t1)\| 2\| \Delta g0(t1)\| 2 . . . \| \Delta g0(tm - 1)\| 2
= c(m)\| A\| - m.
Таким образом,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow 0
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tm - t1\leq c
G(A\Delta g0(t1), . . . , A\Delta g0(tm - 1))
G(A\Delta g0(t1), . . . , A\Delta g0(tm - 2))\| A\Delta g0(tm - 1)\| 2
> 0. (3.7)
Из (3.7) следует, что процесс x является локально нондетерминированным.
Лемма 3.4 доказана.
В некоторых случаях выполнение условия локального нондетерминизма может быть гаран-
тировано в терминах ковариационной функции случайного процесса.
Пусть x — гауссовский марковский процесс, удовлетворяющий свойствам 1, 2, сформули-
рованным в начале этого пункта.
Лемма 3.6 [58]. Процесс x обладает свойством локального нондетерминизма тогда и
только тогда, когда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<t - s\leq c
| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(x(t) - x(s), x(s))| \sqrt{}
M(x(t) - x(s))2Mx(s)2
< 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
318 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Далее рассмотрим гауссовский процесс вида
x(t) =
t\int
- \infty
F (t, u)\varkappa (du), t \in J.
Здесь F — это измеримая функция по паре переменных (t, u), а \varkappa — центрированный гауссов-
ский процесс на \BbbR с независимыми приращениями и
M(\varkappa (t) - \varkappa (s))2 = N(t) - N(s),
где N — неубывающая функция. Предположим, что
t\int
- \infty
F 2(t, u)dN(u) < +\infty , t \in J.
Лемма 3.7 [58]. Пусть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow 0
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t - s\leq c
t,s\in J
\int t
s
F 2(t, u)dN(u)\int s
- \infty
(F (t, u) - F (s, u))2dN(u)
> 0,
тогда x является локально нондетерминированным процессом на J.
Перейдем к рассмотрению условия локального нондетерминизма для гауссовских процес-
сов со стационарными приращениями. Случайный процесс \{ x(t), t \geq 0\} со значениями в \BbbR
такой, что:
1) для любых t, s
M(x(t) - x(s))2 < +\infty ;
2) для любых t1, s1, t2, s2
r(t1, s1, t2, s2) = M(x(t1) - x(s1))(x(t2) - x(s2))
удовлетворяет соотношению
r(t1 + h, s1 + h, t2 + h, s2 + h) = r(t1, s1, t2, s2);
3) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}h\rightarrow 0M | x(t+ h) - x(t)| 2 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}h\rightarrow 0 r(0, h, 0, h) = 0,
называется процессом со стационарными приращениями.
Пример 3.1. Пусть x1 — стационарный в широком смысле случайный процесс. Тогда
x(t) :=
t\int
0
x1(s) ds
является процессом со стационарными приращениями.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 319
Пример 3.2. Фрактальное броуновское движение (центрированный гауссовский процесс с
функцией ковариации вида
K(t, s) =
1
2
(t2H + S2H - | t - s| 2H), H \in (0; 1),
является процессом со стационарными приращениями.
Пусть x — случайный процесс со стационарными приращениями. Будем считать, что x(0) =
= 0. Обозначим \sigma 2(t) = Mx(t)2. Известно [62], что \sigma 2(t) имеет спектральное представление
вида
\sigma 2(t) =
1
4
\int
\BbbR
| eixt - 1| 2 (1 + x2)
x2
dF (x), (3.8)
где F — ограниченная неубывающая функция.
Лемма 3.8 [58]. Существует такое d > 0, что x является локально нондетерминирован-
ным на (0; d) тогда и только тогда, когда:
1)
\int +\infty
0
x2dF (x) = +\infty ;
2) для всех m \geq 2 и каждого ненулевого вектора (b1, . . . , bm) выполняется следующее:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
tm\rightarrow 0
\int
\BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| m\sum
j=1
bj
eixtj - eixtj - 1
\sigma (tj - tj - 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 1 + x2
x2
dF (x) > 0.
Вернемся к рассмотрению гауссовского процесса x(t) = (g(t), \xi ). Следующее условие стро-
гого локального нондетерминизма гарантирует, что конечные семейства приращений процесса
x ведут себя так же, как приращения винеровского процесса на малых интервалах времени [34].
Определение 3.2. Процесс x (или функция g) является строго локально нондетерминиро-
ванным, если для любого фиксированного k \geq 2 и произвольного M \subset \{ 1, . . . , k - 1\}
G
\bigl(
\Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1)
\bigr)
\sim G(\Delta g(ti), i /\in M)
\prod
i\in M
\| \Delta g(ti)\| 2, \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i\in M
\Delta ti \rightarrow 0.
Приведем пример класса процессов, имеющих свойство, описанное в определении 3.2. По-
прежнему, \xi — белый шум в пространстве L2([0; 1]), S — компактный оператор в L2([0; 1]), I —
тождественный оператор в том же пространстве.
Определение 3.3 [34, 64]. Процесс
x(t) = ((I + S)1\mathrm{I}[0;t], \xi )
называется процессом, полученным с помощью компактных возмущений винеровского.
Богатый класс процессов, полученных с помощью компактных возмущений винеровского,
возникает при решении краевых задач с белым шумом [63].
Пример 3.3 [34, 64]. Пусть \xi — белый шум в L2
\biggl( \biggl[
0;
\pi
2
\biggr] \biggr)
, w(t) = (1\mathrm{I}[0;t], \xi ), а u — решение
следующей краевой задачи [63]:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
320 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
u\prime \prime + u = \xi ,
u(0) = 0,
u
\Bigl( \pi
2
\Bigr)
= 0.
(3.9)
Под решением задачи (3.9) понимается непрерывный в среднем квадратическом случайный
процесс такой, что для любой f \in C2
\biggl( \biggl[
0;
\pi
2
\biggr] \biggr)
, носитель которой лежит внутри отрезка
\biggl[
0;
\pi
2
\biggr]
выполняется равенство
\pi /2\int
0
u(s)(f(s) + f \prime \prime (s))ds =
\pi /2\int
0
f(s)dw(s).
Пусть G — функция Грина задачи (3.9). Можно показать, что случайный процесс
u(t) =
\pi /2\int
0
G(t, s)dw(s)
является решением задачи (3.9) и u(t) = (S1\mathrm{I}[0;t], \xi ), где S — компактный оператор. Тем самым
процесс w(t) + u(t) удовлетворяет определению 3.2.
Лемма 3.9 [34, 64]. Если оператор I + S обратим, то функция g(t) = (I + S)1\mathrm{I}[0;t], t \in
\in [0; 1], является строго локально нондетерминированной.
Доказательство. Заметим, что для произвольного \delta > 0 в силу обратимости оператора
I + S
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\biggl\{
G(g(t\prime \prime 1) - g(t\prime 1), . . . , g(t
\prime \prime
n) - g(t\prime n)) :
0 \leq t\prime 1 < t\prime \prime 1 \leq . . . \leq t\prime n < t\prime \prime n \leq 1, \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
i=1,n
(t\prime \prime i - t\prime i) \geq \delta
\biggr\}
> 0.
Из компактности оператора S следует, что
\| g(t\prime \prime ) - g(t\prime )\| \sim
\surd
t\prime \prime - t\prime , t\prime \prime - t\prime \rightarrow 0.
Рассмотрим последовательность \{ 0 \leq tk1 < . . . < tkn \leq 1, k \geq 1\} и множество M \prime \subset \{ 1, . . . , n -
- 1\} такие, что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i\in M \prime
tki+1 - tki \rightarrow 0, k \rightarrow \infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
i/\in M \prime
tki+1 - tki > 0.
Используя компактность оператора S, можно проверить, что
G
\bigl(
\Delta g(tk1), . . . ,\Delta g(tkn - 1)
\bigr)
\sim G(\Delta g(tki ), i /\in M \prime )
\prod
i\in M \prime
\Delta tki , k \rightarrow \infty . (3.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 321
Из (3.10) следует утверждение леммы.
Лемма 3.9 доказана.
Все приведенные условия для гауссовских процессов так или иначе связаны с существо-
ванием их локальных времен. Соответствующий результат был получен С. Берманом в [58] и
имеет следующий вид.
Теорема 3.1 [58]. Пусть центрированный гауссовский процесс x(t), t \in [0;T ], имеет сле-
дующие свойства:
1) x(0) = 0 почти наверное;
2) x является локально нондетерминированным на (0;T );
3) существуют положительные действительные числа \gamma и \delta и непрерывная четная функ-
ция b(t) такая, что b(0) = 0, b(t) > 0, t \in (0, T ],
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
h - \gamma
h\int
0
[b(t)] - 1 - 2\delta dt = 0
и M(x(t) - x(s))2 \geq b2(t - s) для всех s, t \in [0;T ].
Тогда существует модификация l(x, t), x \in \BbbR , t \in [0;T ], локального времени, непрерывного
по паре переменных (x, t) почти наверное, которое удовлетворяет условию Гельдера по t
равномерно по x, т. е. для каждого \gamma \prime < \gamma существуют такие случайные величины \eta \prime и \eta ,
почти наверное положительные и конечные, что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x
\bigm| \bigm| l(x, t+ h) - l(x, t)
\bigm| \bigm| \leq \eta \prime | h| \gamma
для всех t, t+ h \in [0;T ] и | h| < \eta .
В теореме 3.1 приведены условия, гарантирующие существование локального времени гаус-
совского процесса, имеющего свойство локального нондетерминизма. Следует отметить, что в
работе [84] приведены достаточные условия наличия различных модификаций свойства локаль-
ного нондетерминизма у гауссовского поля. В качестве применения получен ряд результатов,
касающихся асимптотического поведения локального времени поля (асимптотика малых шаров,
большие уклонения). На примере процессов, полученных с помощью компактных возмущений
винеровского, выясним как строится перенормированное локальное время самопересечений
для строго локально нондетерминированных гауссовских процессов на плоскости.
4. Регуляризация локальных времен самопересечения для процессов, полученных с
помощью компактных возмущений винеровского. Пусть x — это процесс полученный с
помощью компактных возмущений винеровского на плоскости, т. е. гауссовский случайный
процесс, заданный с помощью независимых гауссовских белых шумов \xi 1, \xi 2 в пространстве
L2([0; 1]) следующим образом:
x(t) =
\bigl(
((I + S)1\mathrm{I}[0;t], \xi 1), ((I + S)1\mathrm{I}[0;t], \xi 2)
\bigr)
, t \in [0; 1].
Здесь I, S — соответственно тождественный и компактный операторы в L2([0; 1]), \| S\| < 1.
Далее, для простоты изложения, будем использовать обозначения
g0(t) := 1\mathrm{I}[0;t], g(t) := (I + S)g0(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
322 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
В настоящем пункте строится регуляризация преобразования Фурье – Винера локального
времени самопересечений процесса x. Как было отмечено в пункте 2, преобразование Фурье –
Винера случайной величины
T x
k =
\int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti)) d\vec{}t
могло бы иметь вид
\scrT (T x
k )(h1, h2) =
\int
\Delta k
1
G(\Delta g(t1) . . .\Delta g(tk))
e -
1
2
(\| Pt1,...,tk
h1\| 2+\| Pt1,...,tk
h2\| 2)d\vec{}t, (4.1)
где, как и ранее, G(\Delta g(t1) . . .\Delta g(tk) — определитель Грама, построенный по \Delta g(t1), . . .
. . . ,\Delta g(tk - 1), а Pt1,...,tk — проектор на линейное подпространство, порожденное \Delta g(t1), . . .
. . . ,\Delta g(tk - 1). Однако интеграл (4.1) расходится на любой диагонали симплекса \Delta k. Поэтому
построение перенормировки для локального времени самопересечений процесса x эквивалент-
но сейчас регуляризации расходящегося интеграла (4.1). Обозначим через \widetilde \Delta g(t1), . . . , \widetilde \Delta g(tk - 1)
ортонормированную систему, полученную из \Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1) с помощью обычной про-
цедуры ортогонализации. Поскольку элементы \Delta g(t1), . . . ,\Delta g(tk - 1) линейно независимы, то
элементы \widetilde \Delta g(t1), . . . , \widetilde \Delta g(tk - 1) не равны нулю [34]. Для M \subset \{ 1, . . . , k - 1\} обозначим че-
рез PM проектор на линейное подпространство, порожденное \widetilde \Delta g(ti), i \in M. Регуляризация
расходящегося интеграла (4.1) описывается следующим утверждением.
Теорема 4.1. Для произвольной функции h \in L2([0; 1]) интеграл\int
\Delta k
1
G(\Delta g(t1) . . .\Delta g(tk))
\sum
M\subset 1,...,k - 1
( - 1)| M | \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- 1
2
\| PMh\| 2
\biggr\}
d\vec{}t
сходится.
Доказательство. Пусть I1, . . . , In — непересекающиеся интервалы (t11, t
1
2), . . . , (t
n
1 , t
n
2 ) от-
резка [0; 1]. Положим Iig = g(ti2) - g(ti1), i = 1, n. Рассмотрим определитель Грама G(I1g, . . .
. . . , Ing), построенный по I1g, . . . , Ing. Используя свойство строгого локального нондетерми-
низма, можно проверить, что
cn = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
G(I1g, . . . , Ing)\prod n
j=1
(tj2 - tj1)
> 0,
где инфимум берется по всем непересекающимся интервалам (t11; t
1
2), . . . , (t
n
1 ; t
n
2 ). Следователь-
но, \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\Delta k
1
G(\Delta g(t1) . . .\Delta g(tk))
\left( \sum
M\subset 1,...,k - 1
( - 1)| M | \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- 1
2
\| PMh\| 2
\biggr\} \right) d\vec{}t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq c
\int
\Delta k
1\prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
M\subset 1,...,k - 1
( - 1)| M | \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- 1
2
\| PMh\| 2
\biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\vec{}t.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 323
Справедливо соотношение
\int
\Delta k
1\prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
M\subset 1,...,k - 1
( - 1)| M | \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- 1
2
\| PMh\| 2
\biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\vec{}t =
=
\int
\Delta k
k - 1\prod
j=1
1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- 1
2
(h,\Delta g(tj))
2
\biggr\}
tj+1 - tj
d\vec{}t \leq
\leq
\int
\Delta k
k - 1\prod
j=1
\bigl(
h, \widetilde \Delta g(tj)
\bigr) 2
tj+1 - tj
d\vec{}t.
Оценим интеграл
\int
\Delta k
k - 1\prod
j=1
(h, \widetilde \Delta g(tj))
2
tj+1 - tj
d\vec{}t, сначала проинтегрировав по переменной tk, затем по
tk - 1 и т. д.
Заметим, что
\widetilde \Delta g(tk - 1) =
\Delta g(tk - 1) - Pt1...tk\Delta g(tk - 1)
\| \Delta g(tk - 1) - Pt1...tk\Delta g(tk - 1)\|
.
Поскольку процесс x строго локально нондетерминированный, то\bigm\| \bigm\| \Delta g(tk - 1) - Pt1...tk\Delta g(tk - 1)
\bigm\| \bigm\| 2 =
=
\Gamma t1...tk
\Gamma t1...tk - 1
\sim \| \Delta g(tk - 1)\| 2, tk - tk - 1 \rightarrow 0.
Более того, \bigm\| \bigm\| \Delta g(tk - 1)
\bigm\| \bigm\| 2 \sim tk - tk - 1, tk - tk - 1 \rightarrow 0,
поэтому
\| \Delta g(tk - 1) - Pt1...tk\Delta g(tk - 1)\| 2
tk - tk - 1
\rightarrow 1, tk - tk - 1 \rightarrow 0.
Следовательно, существует такая положительная константа c, что\bigm\| \bigm\| \Delta g(tk - 1) - Pt1...tk\Delta g(tk - 1)
\bigm\| \bigm\| 2
tk - tk - 1
\geq c.
Поэтому
1\int
tk - 1
(h, \widetilde \Delta g(tk - 1))
2
tk - tk - 1
dtk \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
324 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
\leq
1\int
tk - 1
\bigl(
h,\Delta g(tk - 1) - Pt1...tk\Delta g(tk - 1)
\bigr) 2
(tk - tk - 1)2
dtk \leq
\leq 2c
\left[ 1\int
tk - 1
(h,\Delta g(tk - 1))
2
(tk - tk - 1)2
dtk +
1\int
tk - 1
(h, Pt1...tk\Delta g(tk - 1))
2
(tk - tk - 1)2
dtk
\right] .
Покажем, что существует такая положительная константа c, что
1\int
tk - 1
(h,\Delta g0(tk - 1))
2
tk - tk - 1
dtk \leq c\| h\| 2.
Действительно, нетрудно заметить, что
1\int
tk - 1
(h,\Delta g0(tk - 1))
2
tk - tk - 1
dt \leq 2
1\int
tk - 1
h(s1)
1\int
s1
h(s2)
s2 - tk - 1
ds2ds1.
Рассмотрим в L2([tk - 1; 1]) интегральный оператор с ядром
k(s1, s2) =
1
s2 - tk - 1
1\mathrm{I}\{ s2>s1\} .
Покажем, что k задает ограниченный оператор в L2([tk - 1; 1]), использовав следующее утвер-
ждение, называемое тестом Шура [65].
Теорема 4.2 [65]. Если существуют строго положительные функции p, q : [tk - 1; 1] \rightarrow
\rightarrow (0;+\infty ) и \alpha , \beta > 0 такие, что
1\int
tk - 1
k(s1, s2)q(s2)ds2 \leq \alpha p(s1),
1\int
tk - 1
k(s1, s2)p(s1)ds1 \leq \beta q(s2),
то k соответствует ограниченному оператору в L2([tk - 1, 1]) с нормой не больше чем \alpha \beta .
Положим
p(s1) =
1\surd
s1 - tk - 1
,
q(s2) =
1\surd
s2 - tk - 1
.
Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 325
1\int
tk - 1
k(s1, s2)q(s2)ds2 =
1\int
s1
1
(s2 - tk - 1)3/2
ds2 \leq
2\surd
s1 - tk - 1
,
1\int
tk - 1
k(s1, s2)p(s1)ds1 =
s2\int
tk - 1
1
s1 - tk - 1
ds1
1
s2 - tk - 1
=
2\surd
s2 - tk - 1
.
Таким образом,
2
1\int
tk - 1
h(s1)
1\int
s1
h(s2)
s2 - tk - 1
ds2ds1 \leq 8\| h\| 2.
Следовательно,
1\int
tk - 1
(h,\Delta g(tk - 1))
2
(tk - tk - 1)2
dtk =
=
1\int
tk - 1
((I + S\ast )h,\Delta g0(tk - 1))
2
(tk - tk - 1)2
dtk \leq
\leq c\| (I + S\ast )h\| 2 \leq c\prime \| h\| 2 (4.2)
и
1\int
tk - 1
(h, Pt1...tk\Delta g(tk - 1))
2
(tk - tk - 1)2
dtk =
1\int
tk - 1
((I + S\ast )Pt1...tkh,\Delta g0(tk - 1))
2
(tk - tk - 1)2
dtk \leq
\leq c\| (I + S\ast )Pt1...tkh\|
2 \leq
\leq c\prime \| h\| 2. (4.3)
Из оценок (4.2), (4.3) следует, что
1\int
tk - 1
(h, \widetilde \Delta g(tk - 1))
2
tk - tk - 1
dtk \leq c\prime \prime \| h\| 2.
Возвращаясь к интегралу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
326 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
\int
\Delta k
k - 1\prod
j=1
(h, \widetilde \Delta g(tj))
2
tj+1 - tj
d\vec{}t,
получаем соотношение \int
\Delta k
k - 1\prod
j=1
(h, \widetilde \Delta g(tj))
2
tj - tj - 1
d\vec{}t =
=
\int
\Delta k - 1
k - 2\prod
j=1
(h, \widetilde \Delta g(tj))
2
tj+1 - tj
1\int
tk - 1
(h, \widetilde \Delta g(tk - 1))
2
tk - tk - 1
dtkdt1 . . . dtk - 1 \leq
\leq c\prime \prime \| h\| 2
\int
\Delta k - 1
k - 2\prod
j=1
(h, \widetilde \Delta g(tj))
2
tj+1 - tj
d\vec{}t.
Следовательно, \int
\Delta k
k - 1\prod
j=1
(h, \widetilde \Delta g(tj))
2
tj+1 - tj
d\vec{}t \leq c\prime \prime \prime \| h\| 2(k - 1).
Теорема 4.1 доказана.
В качестве приложения теоремы 4.1 рассмотрим следующий пример.
Пример 4.1. Пусть
x(t) =
\Bigl(
((I - P1\mathrm{I}[0;1])g
0(t), \xi 1), ((I - P1\mathrm{I}[0;1])g
0(t), \xi 2)
\Bigr)
, t \in [0; 1],
— броуновский мост на плоскости. Здесь P1\mathrm{I}[0;1] — проектор на 1\mathrm{I}[0;1].
В силу теоремы 4.1, регуляризированное преобразование Фурье – Винера локального вре-
мени двойных самопересечений процесса x имеет вид
\scrT (\scrT x
2 )(h1, h2) =
=
\int
\Delta 2
1
\| \Delta g(t1)\| 2
\biggl(
1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- 1
2
(\| Pt1t2h1\| 2 + \| Pt1t2h2\| 2)
\biggr\} \biggr)
d\vec{}t, (4.4)
где \| \Delta g(t1)\| 2 = t2 - t1 - (t2 - t1)
2. Формально теорема 4.1 не может быть применена, так как
\| P1\mathrm{I}[0;1]\| = 1. Однако можно показать, что доказательство теоремы 4.1 справедливо и в этом
случае. Найдем разложение Ито – Винера перенормированного локального времени двойного
самопересечения процесса x, использовав (4.4). Заметим, что
\scrT (\scrT x
2 )(h1, h2) =
=
\int
\Delta 2
\infty \sum
k=1
( - 1
2)
k
k!
\biggl(
(h1,\Delta g(t1))
2
\| \Delta g(t1)\| 2
+
(h2,\Delta g(t1))
2
\| \Delta g(t1)\| 2
\biggr) k 1
\| \Delta g(t1)\| 2
d\vec{}t =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 327
=
\int
\Delta 2
\infty \sum
k=1
( - 1
2
)k
k\sum
l=0
1
l!(k - l)!
\biggl(
(h1,\Delta g(t1))
2
\| \Delta g(t1)\| 2
\biggr) 2l\biggl( (h2,\Delta g(t1))
2
\| \Delta g(t1)\| 2
\biggr) 2k - 2l 1
\| \Delta g(t1)\| 2
d\vec{}t =
=
\int
\Delta 2
\infty \sum
k=1
( - 1
2
)k
k\sum
l=0
1
l!(k - l)!
1\int
2k. . .
\int
0
(\Delta g(t1))
\otimes 2lh\otimes 2l
1 \times
\times (\Delta g(t1))
\otimes 2k - 2lh\otimes 2k - 2l
2
1
\| \Delta g(t1)\| 2k+2
du dv d\vec{}t. (4.5)
Здесь мы используем обозначение ab для
1\int
l. . .
\int
0
a(u1, . . . , ul)b(u1, . . . , ul) d\vec{}u, a, b \in L2([0; 1])
\otimes l.
Из (4.5) следует, что формальное разложение Ито – Винера для \scrT x
2 имеет вид
\scrT x
2 =
\infty \sum
k=1
\biggl(
- 1
2
\biggr) k k\sum
l=0
1
l!(k - l)!
\times
\times
1\int
2k. . .
\int
0
\int
\Delta 2
(1\mathrm{I}[t1;t2] - (t2 - t1)1\mathrm{I}[0;1])
\otimes 2l(1\mathrm{I}[t1;t2] - (t2 - t1)1\mathrm{I}[0;1])
\otimes 2k - 2l\times
\times 1
(t2 - t1 - (t2 - t1)2)k+1
d\vec{}t dw1
1 . . . dw
1
2l dw
2
2l+1 . . . dw
2
2k.
5. Локальные времена самопересечения для диффузионных процессов. В настоящем
пункте исследуются локальные времена самопересечения для двумерных диффузионных про-
цессов, описанных посредством стохастических дифференциальных уравнений вида
dy(s) = a(y(s))ds+B(y(s))dw(s),
y(0) = y0.
(5.1)
Коэффициенты a : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR 2, B : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR 2\times 2 удовлетворяют условию Липшица и существуют
такие положительные константы m1, m2, что
m1 \leq B\ast B \leq m2. (5.2)
Мотивировкой к исследованию локальных времен самопересечения диффузионного процес-
са (5.1) является следующее утверждение.
Теорема 5.1 [34]. С положительной вероятностью траектория двумерного диффузион-
ного процесса y имеет точки самопересечения.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
328 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Доказательство. Обозначим через Cy0([0; 1],\BbbR 2) и C \prime
y0([0; 1],\BbbR
2) пространства непрерыв-
ных и непрерывно дифференцируемых функций соответственно из [0; 1] в \BbbR 2, равных y0 в точке
нуль. Пусть \mu y — распределение процесса y в пространстве Cy0([0; 1],\BbbR 2). Согласно теореме
Струка – Варадана [23], носитель меры \mu y в Cy0([0; 1],\BbbR 2) равен замыканию множества\left\{ f : \exists h \in L2([0; 1],\BbbR 2) : f(t) = y0 +
t\int
0
a(f(s))ds+
t\int
0
B(f(s))h(s) ds
\right\} .
Заметим, что для g \in C1
y0([0; 1],\BbbR
2), в силу обратимости D, существует такое h, что
g(t) - y0 -
t\int
0
a(g(s))ds =
t\int
0
B(g(s))h(s)ds.
Следовательно, все функции класса C1
y0([0; 1],\BbbR
2) принадлежат \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mu y. Выберем функцию
f \in C1
y0([0; 1],\BbbR
2) так, чтобы для любого t \in [0; 1] выполнялось следующее:
f \prime
1(t)
2 + f \prime
2(t)
2 \not = 0
и чтобы кривая, заданная параметрически,
x1(t) = f1(t),
x2(t) = f2(t),
t \in [0; 1],
имела точки самопересечения. Выберем \varepsilon так, чтобы для произвольной функции g \in
\in Cy0([0; 1]), удовлетворяющей условию \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}[0;1] | fi - gi| < \varepsilon , i = 1, 2, кривая, заданная пара-
метрически,
x1(t) = g1(t),
x2(t) = g2(t),
t \in [0; 1],
имела точки самопересечения. Поскольку для решения y стохастического дифференциального
уравнения
P
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
[0;1]
| fi - gi| < \varepsilon , i = 1, 2
\biggr\}
> 0,
то вероятность того, что траектория y на [0; 1] имеет точки самопересечения, положительна.
Теорема 5.1 доказана.
Теорема 5.1 дает основание для исследования локальных времен самопересечения диффу-
зионного процесса (5.1). Пусть, как и ранее,
T y
\varepsilon ,2 =
\int
\Delta 2
f\varepsilon (y(s2) - y(s1))d\vec{}t.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 329
Теорема 5.2 [34, 66].
MT y
\varepsilon ,2 \sim
1
2\pi
| \mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon | M
1\int
0
1
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B(y(s))
ds, \varepsilon \rightarrow 0.
Доказательство. Обозначим через \scrE y(s, x1, x2) переходную плотность данного диффузи-
онного процесса. Справедлива следующая оценка [67]:
c1
s
e -
c2\| x1 - x2\|
2
s \leq \scrE y(s, x1, x2) \leq
c3
s
e -
c4\| x1 - x2\|
2
s . (5.3)
Из оценки (5.3) следует, что для любого t \in (0; 1)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon >0
M
1\int
t
t\int
0
f\varepsilon (y(s2) - y(s1))ds1ds2 < +\infty . (5.4)
Для некоторого фиксированного n \in \BbbN рассмотрим разбиение симплекса
\Delta 2 =
n - 1\bigcup
k=0
\Delta 2
\biggl(
k
n
;
k + 1
n
\biggr)
\cup
n - 2\bigcup
k=0
Rk
2 ,
где
\Delta 2
\biggl(
k
n
;
k + 1
n
\biggr)
:=
\biggl\{
k
n
\leq s1 \leq s2 \leq
k + 1
n
\biggr\}
,
Rk
2 :=
\biggl\{
k
n
\leq s1 \leq
k + 1
n
,
k + 1
n
\leq s2 \leq 1
\biggr\}
.
Обозначим
Pn :=
n - 2\bigcup
k=0
Rk
2 , \Delta n
2 :=
n - 1\bigcup
k=0
\Delta 2
\biggl(
k
n
;
k + 1
n
\biggr)
.
В силу оценки (5.4)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon >0
\int
Pn
f\varepsilon (y(s2) - y(s1))d\vec{}s \leq c(n),
где c(n) — положительная константа, зависящая от n.
Исследуем асимптотическое поведение
M
\int
\Delta n
2
f\varepsilon (y(s2) - y(s1))d\vec{}s
при \varepsilon \rightarrow 0. Заметим, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
330 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
M
\int
\Delta n
2
f\varepsilon (y(s2) - y(s1))d\vec{}s = M
n - 1\sum
k=0
\int
\Delta 2(
k
n
, k+1
n
)
f\varepsilon (y(s2) - y(s1))d\vec{}s =
=
n - 1\sum
k=0
\int
\Delta 2(
k
n
, k+1
n
)
MMf\varepsilon (y(s2) - y(s1))/\scrF k/n)d\vec{}s =
= M
n - 1\sum
k=0
\int
\Delta 2(
k
n
, k+1
n
)
\int
\BbbR 2\times 2
f\varepsilon (x2 - x1)\times
\times \scrE y
\biggl(
s1 -
k
n
, y(
k
n
), x1
\biggr)
\scrE y(s2 - s1, x1, x2) dx1 dx2 d\vec{}s,
где \scrF t = \sigma (w(r), r \leq t). Согласно методу параметрикса [68], предыдущее выражение равно
M
n - 1\sum
k=0
\int
\Delta 2(
k
n
, k+1
n
)
\int
\BbbR 2\times 2
f\varepsilon (x2 - x1)
\left( \scrE x\biggl( s1 - k
n
, y
\biggl(
k
n
\biggr)
, x1
\biggr)
+
+
s1\int
k/n
\int
\BbbR 2
\Phi
\biggl(
s3 -
k
n
, y
\biggl(
k
n
\biggr)
, x3) \scrE x(s1 - s3, x3, x1
\biggr)
dx3ds3
\right) \times
\times
\left( \scrE \widetilde x(s2 - s1, x1, x2) +
s2\int
s1
\int
\BbbR 2
\Phi (s3 - s1, x1, x3) \scrE \widetilde x(s2 - s3, x3, x2)dx3ds3
\right) dx1 dx2 d\vec{}s,
где процессы x на
\biggl[
k
n
; s1
\biggr]
и \widetilde x на [s1; s2] удовлетворяют уравнениям
dx(s) = a
\biggl(
y
\biggl(
k
n
\biggr) \biggr)
ds+B
\biggl(
y
\biggl(
k
n
\biggr) \biggr)
dw(s),
x
\biggl(
k
n
\biggr)
= y
\biggl(
k
n
\biggr)
,
d\widetilde x(s) = a(x(s1))ds+B(x(s1))dw(s),
\widetilde x(s1) = x(s1),
а для функции \Phi справедлива оценка [68]
\bigm| \bigm| \Phi (s3 - s1, x1, x2)
\bigm| \bigm| \leq c3
(s3 - s1)3/2
e
- c4\| x3 - x1\|
2
(s3 - s1) . (5.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 331
Таким образом,
M
\int
\Delta n
2
f\varepsilon (y(s2) - y(s1))d\vec{}s =
M
n - 1\sum
k=0
\int
\Delta 2(
k
n
, k+1
n
)
\int
\BbbR 2\times 2
f\varepsilon (x2 - x1) \scrE x
\biggl(
s1 -
k
n
, y
\biggl(
k
n
\biggr)
, x1)\scrE \widetilde x(s2 - s1, x1, x2
\biggr)
dx1 dx2 d\vec{}s +
+I1(k, n, \varepsilon ) + I2(k, n, \varepsilon ) + I3(k, n, \varepsilon ),
где
I1(k, n, \varepsilon ) = M
n - 1\sum
k=0
\int
\Delta 2(
k
n
, k+1
n
)
\int
\BbbR 2\times 2
f\varepsilon (x2 - x1)\scrE \widetilde x(s2 - s1, x1, x2)\times
\times
s1\int
k
n
\int
\BbbR 2
\Phi
\biggl(
s3 -
k
n
, y
\biggl(
k
n
\biggr)
, x3
\biggr)
\scrE x(s1 - s3, x3, x1)dx3ds3dx1dx2d\vec{}s,
I2(k, n, \varepsilon ) = M
n - 1\sum
k=0
\int
\Delta 2(
k
n
, k+1
n
)
\int
\BbbR 2\times 2
f\varepsilon (x2 - x1)\scrE x
\biggl(
s1 -
k
n
, y
\biggl(
k
n
\biggr)
, x1
\biggr)
\times
\times
s2\int
s1
\int
\BbbR 2
\Phi (s3 - s1, x1, x3)\scrE \widetilde x(s2 - s3, x3, x2) dx3 ds3 dx1 dx2 d\vec{}s,
I3(k, n, \varepsilon ) = M
n - 1\sum
k=0
\int
\Delta 2(
k
n
, k+1
n
)
\int
\BbbR 2\times 2
f\varepsilon (x2 - x1)\times
\times
s2\int
s1
s1\int
k
n
\int
\BbbR 2\times 2
\Phi
\biggl(
s3 -
k
n
, y
\biggl(
k
n
\biggr)
, x3
\biggr)
\Phi (s4 - s1, x1, x4)\scrE x(s1 - s3, x3, x1)\times
\times \scrE \widetilde x(s2 - s4, x4, x2)dx3dx4ds3ds4dx1dx2d\vec{}s.
Используя оценки переходной плотности диффузионного процесса (5.3) и функции \Phi (5.5),
можно установить соотношение
MT y
\varepsilon ,2 \leq
1
2\pi
| \mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon | M
n - 1\sum
k=0
1
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B(y( kn))|
1
n
+ o(| \mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon | ) + c(n).
Как следствие
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
332 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
MT y
\varepsilon ,2
1
2\pi | \mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon |
\leq M
1\int
0
1
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B(y(s))|
ds. (5.6)
Используя аналогичные рассуждения, можно показать, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
MT y
\varepsilon ,2
1
2\pi | \mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon |
\geq M
1\int
0
1
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B(y(s))|
ds. (5.7)
Из (5.6) и (5.7) следует, что
MT y
\varepsilon ,2 \sim
1
2\pi
| \mathrm{l}\mathrm{n} \varepsilon | M
1\int
0
1
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B(y(s))|
ds, \varepsilon \rightarrow 0.
Теорема 5.2 доказана.
6. О непрерывной зависимости локального времени от оператора, порождающего ин-
тегратор. Понятие локального времени для одномерного винеровского процесса появилось
в работах П. Леви 1939 г. Свойства введенного объекта были описаны в работах [74, 75],
которые положили начало теории локальных времен для случайных процессов. Обзор резуль-
татов теории локальных времен для винеровского процесса изложен в работе А. Н. Бородина
[76]. Начиная с работ С. Бермана [58 – 60], которые обсуждались в пункте 3, локальные време-
на изучены для широкого класса гауссовских процессов. С. Берман ввел понятие локального
нондетерминизма, которое, в некотором смысле, означает почти независимость приращений
процесса на малых интервалах времени. При некоторых технических условиях это свойство
обеспечивает существование и регулярность локального времени как функции пространствен-
ной и временной координат. Различные версии локального нондетерминизма для гауссовских
процессов были предложены в работах [77 – 79]. Более того, в этих работах авторы не только
доказали существование локального времени для локально нондетерминированного гауссов-
ского процесса, а и исследовали его асимптотические свойства, такие как закон повторного
логарифма, асимптотика малых шаров. Наличие „хороших” свойств у локально нондетерми-
нированного гауссовского процесса наталкивает на мысль найти класс гауссовских процессов,
имеющих некоторый аналог свойства локального нондетерминизма. Возникает гипотеза, что
для такого класса процессов результаты, касающиеся существования и перенормировок для
локальных времен и локальных времен самопересечения винеровского процесса будут иметь
место. Такой класс процессов был введен в работах А. А. Дороговцева [79, 80] в связи с
потребностями стохастического интегрирования.
Определение 6.1 [79]. Центрированный гауссовский процесс x(t), t \in [0; 1], называется
интегратором, если существует положительная константа c такая, что для произвольных
разбиения 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1 и действительных чисел a0, . . . , an - 1 выполняется
следующее соотношение:
M
\Biggl(
n - 1\sum
k=0
ak(x(tk+1) - x(tk))
\Biggr) 2
\leq c
n - 1\sum
k=0
a2k\Delta tk. (6.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 333
Неравенство (6.1) означает, что для любой функции из пространства L2([0; 1]) определен
стохастический интеграл по x. Соответствующее стохастическое исчисление, включая формулу
Ито, изложено в [79]. Следующее утверждение описывает структуру интеграторов.
Лемма 6.1 [79]. Центрированный гауссовский процесс x(t), t \in [0; 1], является интегра-
тором тогда и только тогда, когда существуют гауссовский белый шум \xi [38 – 48, 52] в
L2([0; 1]) и линейный непрерывный оператор A в этом же пространстве такой, что x имеет
представление
x(t) = (A1\mathrm{I}[0;t], \xi ), t \in [0; 1]. (6.2)
Заметим, что если A — тождественный оператор, то x в (6.2) является винеровским процес-
сом. Операторы A = I+S, где I, S — сответственно тождественный и компактный операторы в
пространстве L2([0; 1]), порождают класс процессов, полученных с помощью компактных воз-
мущений винеровского процесса, который был определен в пункте 3. В случае, когда оператор
A является непрерывно обратимым, в этом же пункте было проверено, что гауссовский процесс
x является локально нондетерминированным. В случае непрерывно обратимого оператора I+S
в пункте 4 была построена регуляризация преобразования Фурье – Винера для k-кратных ло-
кальных времен самопересечения процесса, полученного с помощью компактных возмущений
винеровского процесса на плоскости. Это наталкивает на мысль, что если оператор A непре-
рывно обратим, то x имеет свойства, сходные со свойствами винеровского процесса. Далее
мы увидим, что у процесса x, порожденного непрерывно обратимым оператором A, как и у
винеровского процесса, существует локальное время в точке, а также установим непрерывную
зависимость локального времени от оператора, порождающего интегратор.
Теорема 6.1 [81]. Пусть оператор A в представлении (6.2) процесса x непрерывно обра-
тим. Тогда существует модификация l(u, t), u \in \BbbR , t \in [0; 1], локального времени, непрерыв-
ного по паре переменных (u, t) почти наверное, которое удовлетворяет условию Гельдера по
t равномерно по u, т. е. для любой \gamma <
1
2
существуют положительные конечные случайные
величины \eta и \eta 1 такие, что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u
| l(u, t+ h) - l(u, t)| \leq \eta 1| h| \gamma
для всех t, t+ h \in [0; 1] и | h| < \eta .
Теорема 6.1 была доказана в [81]. Здеcь мы кратко напомним основные шаги доказательства.
Доказательство. Для доказательства теоремы покажем, что x удовлетворяет условиям 1 –
3 теоремы 3.1. Очевидно, что x(0) = 0 почти наверное. Из леммы 3.4 следует, что x имеет
свойство локального нондетерминизма. Покажем, что процесс x удовлетворяет условию 3 тео-
ремы 3.1. Пусть b(t) = c
\surd
t, c > 0. Выберем \delta <
1
2
и \gamma так, что \gamma <
1
2
- \delta . Нетрудно заметить,
что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
h - \gamma
h\int
0
t - 1/2 - \delta dt =
2
1 - 2\delta
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
h1/2 - \delta - \gamma = 0.
Проверим теперь, что локальное время непрерывно зависит от оператора A. Предположим,
что An, A — непрерывно обратимые операторы в L2([0; 1]), которые порождают интеграторы
xn, x соответственно, т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
334 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
xn(t) = (An1\mathrm{I}[0;t], \xi ),
x(t) = (A1\mathrm{I}[0;t], \xi ), t \in [0; 1].
Из теоремы 6.1 следует, что существуют случайные величины
ln(u) := ln(u, 1) =
1\int
0
\delta u(xn(t))dt,
l(u) := l(u, 1) =
1\int
0
\delta u(x(t))dt, u \in \BbbR .
Теорема 6.2 [82]. Пусть An, A — непрерывно обратимые операторы в L2([0; 1]) такие,
что:
1) для любого y \in L2([0; 1])
\| Any - Ay\| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty ;
2) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\geq 1 \| A - 1
n \| < +\infty .
Тогда
M
\int
\BbbR
(ln(u) - l(u))2du \rightarrow 0, n \rightarrow \infty .
Доказательство. Достаточно показать, что
M
\int
\BbbR
l2n(u)du \rightarrow M
\int
\BbbR
l2(u)du, n \rightarrow \infty ,
и
M
\int
\BbbR
ln(u)l(u)du \rightarrow M
\int
\BbbR
l2(u)du, n \rightarrow \infty .
Далее нам понадобится следующее утверждение.
Теорема 6.3 [82]. Пусть f1, . . . , fn — линейно независимые элементы в пространстве
L2([0; 1]). Тогда справедливо равенство обобщенных гауссовских функционалов\int
\BbbR
n\prod
k=1
\delta 0((fk, \xi ) - u)du =
n - 1\prod
k=1
\delta 0((fk+1 - fk, \xi )). (6.3)
Доказательство. Найдем преобразование Фурье – Винера левой и правой части равенства
(6.3). Обозначим через \scrT (\alpha )(h) преобразование Фурье – Винера случайной величины \alpha . Можно
показать, что
\scrT
\left( n - 1\prod
j=1
\delta 0((rj , \xi ))
\right) (h) =
1
(2\pi )
n - 1
2
\sqrt{}
G(r1, . . . , rn - 1)
e -
1
2
\| Pr1,...,rn - 1h\|
2
(6.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 335
(см. [34, 64]). Найдем преобразование Фурье – Винера
\int
\BbbR
n\prod
k=1
\delta 0((fk, \xi ) - u)du:
\scrT
\left( \int
\BbbR
n\prod
k=1
\delta 0((fk, \xi ) - u)du
\right) (h) =
=
\int
\BbbR
1
(2\pi )
n
2
\sqrt{}
G(f1, . . . , fn)
e -
1
2
(B - 1(f1,...,fn)(u\vec{}e - \vec{}a),u\vec{}e - \vec{}a)du, (6.5)
где
\vec{}e =
\left( 1
...
1
\right) , \vec{}a =
\left( (f1, h)
...
(fn, h)
\right) .
Интегрируя (6.5) по u, получаем
1
(2\pi )
n - 1
2
\sqrt{}
G(f1, . . . , fn)
\sqrt{}
B - 1(f1, . . . , fn)e, e
\times
\times \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- 1
2
(B - 1(f1, . . . , fn)a, a) -
(B - 1(f1, . . . , fn)a, e)
2
(B - 1(f1, . . . , fn)e, e)
\biggr\}
. (6.6)
Нетрудно показать, что
(B - 1(f1, . . . , fn)a, a) = \| Pf1,...,fnh\| 2.
Рассмотрим f \in ЛO\{ f1, . . . , fn\} такую, что (f, fk) = 1, k = 1, n. Здесь через ЛO\{ f1, . . . , fn\}
обозначена линейная оболочка, порожденная элементами f1, . . . , fn. Тогда
(B - 1(f1, . . . , fn)\vec{}e,\vec{}e) = \| Pf1,...,fnf\| 2 = \| f\| 2,
(B - 1(f1, . . . , fn)\vec{}a,\vec{}e) = (Pf1,...,fnh, f).
Таким образом, (6.6) равно
1
(2\pi )
n - 1
2
\sqrt{}
G(f1, . . . , fn)\| f\|
e -
1
2
(\| Pf1,...,fn
h\| 2 - \| PfPf1,...,fn
h\| 2).
Обозначим
f\bot = \{ v \in ЛО\{ f1, . . . , fn\} : (v, f) = 0\} .
Тогда
\scrT
\left( \int
\BbbR
n\prod
k=1
\delta 0((fk, \xi ) - u)du
\right) (h) =
=
1
(2\pi )
n - 1
2
\sqrt{}
G(f1, . . . , fn)
\| f\| e -
1
2
\| P
f\bot h\|
. (6.7)
Сравнивая (6.4) и (6.7), получаем следующий набор условий на элементы rk, k = 1, n - 1:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
336 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
1) ЛО\{ r1, . . . , rn - 1\} = f\bot ;
2) G(r1, . . . , rn - 1) = G(f1, . . . , fn)\| f\| 2.
Заметим, что rj := fj+1 - fj удовлетворяют условиям 1, 2.
Обозначим
L = ЛО\{ f2 - f1, . . . , fn - fn - 1\} .
Тогда f \bot L. Если r — расстояние от f1 до L, то
G(f1, . . . , fn) = G(f1, f2 - f1, . . . , fn - fn - 1) = r2G(f2 - f1, . . . , fn - fn - 1).
Поскольку \biggl(
f1,
f
\| f\|
\biggr)
= \| f1\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha = r,
то r =
1
\| f\|
. Следовательно,
\| f\| 2G(f1, . . . , fn - 1) = G(f2 - f1, . . . , fn - fn - 1).
Теорема 6.3 доказана.
Из теоремы 6.3 следует, что
M
\int
\BbbR
ln(u)ln(u)du = M
1\int
0
1\int
0
\delta 0(xn(t) - xn(s))dsdt =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
M
1\int
0
1\int
0
f\varepsilon (xn(t) - xn(s))dsdt =
2\surd
2\pi
\int
\Delta 2
dsdt
\| An1\mathrm{I}[s;t]\|
.
Из непрерывной обратимости операторов An и условия 2 теоремы 6.2 следует, что
1
\| An1\mathrm{I}[s;t]\|
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| A - 1
n \| 1\surd
t - s
<
c\surd
t - s
, c > 0.
По теореме Лебега об ограниченной сходимости
M
\int
\BbbR
l2n(u)du \rightarrow M
\int
\BbbR
l2(u)du, n \rightarrow \infty .
Покажем, что
M
\int
\BbbR
ln(u)l(u)du \rightarrow M
\int
\BbbR
l2(u)du, n \rightarrow \infty .
Снова, согласно теореме 6.3, справедливо представление
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 337
M
\int
\BbbR
ln(u)l(u)du = M
1\int
0
1\int
0
\delta 0(xn(t) - x(s))dsdt =
=
2\surd
2\pi
\int
\Delta 2
dsdt
\| An1\mathrm{I}[0;t] - A1\mathrm{I}[0;s]\|
=
=
2\surd
2\pi
\int
\Delta 2
dsdt
\| An(1\mathrm{I}[0;t] - A - 1
n A1\mathrm{I}[0;s])\|
\leq
\leq 2\surd
2\pi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\| A - 1
n \|
\int
\Delta 2
dsdt
\| 1\mathrm{I}[0;t] - \varkappa n(s)\|
,
где \varkappa n(s) = A - 1
n A1\mathrm{I}[0;s].
Далее нам понадобится следующая лемма.
Лемма 6.2 [82]. Для любого 0 \leq \alpha < 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in L2([0;1])
1\int
0
1
\| 1\mathrm{I}[0;t] - y\| 1+\alpha
dt < +\infty .
Доказательство. Обозначим g0(t) := 1\mathrm{I}[0;t]. Заметим, что
1\int
0
1
\| g0(t) - y\| 1+\alpha
dt =
+\infty \int
0
\lambda
\bigl\{
t : \| g0(t) - y\| - (1+\alpha ) \geq z
\bigr\}
dz,
где \lambda — мера Лебега на \BbbR .
Тогда для доказательства леммы достаточно показать, что для b > 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in L2([0;1])
+\infty \int
b
\lambda
\bigl\{
t : \| g0(t) - y\| - (1+\alpha ) \geq z
\bigr\}
dz < +\infty .
Для любых g0(t0), g0(t1) из замкнутого шара B
\biggl(
y,
1
z1/(1+\alpha )
\biggr)
имеет место соотношение
| t0 - t1| = \| g0(t0) - g0(t1)\| 2 \leq
4
z2/(1+\alpha )
. (6.8)
Из (6.8) следует, что\biggl\{
t : \| g0(t) - y\| \leq 1
z1/(1+\alpha )
\biggr\}
\subset
\biggl[
t0 -
4
z2/(1+\alpha )
; t0 +
4
z2/(1+\alpha )
\biggr]
(6.9)
для некоторого t0 такого, что
\| g0(t0) - y\| \leq 1
z1/(1+\alpha )
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
338 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
Из (6.9) следует, что для 0 \leq \alpha < 1
+\infty \int
b
\lambda
\biggl\{
t : \| g0(t) - y\| \leq 1
z1/(1+\alpha )
\biggr\}
dz \leq 4
+\infty \int
b
dz
z2/(1+\alpha )
< +\infty .
Лемма 6.2 доказана.
Из леммы 6.2 следует, что последовательность\biggl\{
1
\| 1\mathrm{I}[0;t] - \varkappa n(s)\|
\biggr\}
n\geq 1
равномерно интегрируема. Следовательно,
M
\int
\BbbR
ln(u)l(u)du \rightarrow M
\int
\BbbR
l2(u)du, n \rightarrow \infty .
Теорема 6.3 доказана.
Литература
1. Den Hollander F. Random polymers: Springer. – 2009. – 257 p.
2. Bolthausen E. Large deviation and interacting random walks // Lect. Probab. Theory and Statistics. – 2002. – P. 1 – 124.
3. Dolan A. K., Edwards S. F. The effect of excluded volume on polymer dispersant action // Process. Rjy Soc. London.
A. – 1975. – 343. – P. 427 – 442.
4. Westwater J. On Edward’s model for polymer chains. II. Self-consistent potential // Communs Math. Phys. – 1981. –
79, № 1. – P. 53 – 73.
5. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. – М.: Наука, 1966. – 416 с.
6. Грей А. Трубки. Формула Вейля и ее обобщения. – М.: Мир, 1993. – 300 с.
7. Dvoretzky A., Erd’́os P., Kakutani S. Multiple points of paths of Brownian motion in the plane// Bull. Res. Cous.
Isr. – 1954. – 3. – P. 364 – 371.
8. Taylor S. Multiple points for the sample paths of the symmetric stable processes // Z. wahrscheinlichkeitstheor. und
verw. Geb. – 1966. – 5. – S. 247 – 264.
9. Shieh N.-R. Multiple points of sample paths of Markov processes // Ann. Probab. – 1992. – 20, № 2. – P. 553 – 562.
10. Rogers L. C. G. Multiple points of Markov processes in a complete metric space // Sem. de Probab. XX. – 1989. –
23. – P. 186 – 197.
11. Dynkin E. B. Regularized self-intersection local times of planar Brownian motion // Ann. Probab. – 1988. – 16,
№ 1. – P. 58 – 74.
12. Rosen J. Joint continuity of renormalized intersection local times // Ann. Inst. H. Poincare. – 1996. – 32, № 6. –
P. 671 – 700.
13. Rosen J. Self-intersections of stavle processes in the plane local times and limit theorems // Semin. Stochast. Process.
– 1990. – 1991. – P. 285 – 320.
14. Chen X. Random walk intersections: large deviations and some related topics. – Amer. Math. Soc., 2010. – 332 p.
15. Rudenko A. Local time as an element of the Sobolev space // Theory Stochast. Process. – 2007. – 13, № 29. –
P. 65 – 79.
16. Le Gall J.-F., Rosen J., Shieh N.-R. Multiple points of Levy processes // Ann. Probab. – 1989. – 17, № 2. – P. 503 – 515.
17. Khoshnevisan D. Intersections of Brownian motions // Expo. Math. – 2003. – 21. – P. 97 – 114.
18. Саймон Б. Модель P )(\varphi )2 эвклидовой квантовой теории поля. – М.: Мир, 1976. – 358 с.
19. Хепп К. Теория перенормировок. – М.: Наука, 1974. – 256 с.
20. Symanzik K. Euclidean quantum field theory. I. Equations for a scalar model // J. Math. Phys. – 1966. – 7. –
P. 510 – 525.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ 339
21. Rosen J. A renormalized local time for multiple intersections of planar Brownian motion // Sem. Probab. XX. –
1986. – 20. – P. 515 – 531.
22. Varadhan S. Appendix to: Euclidian quantum field theory, by K. Symanzik. – New York: R. Jost, 1969.
23. Ватанабэ С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. – М.: Наука,
1986. – 448 с.
24. Rosen J. A local time approach to the self-intersections of Brownian Paths in Space // Comput. Appl. Probab. –
2008. – 10. – P. 23 – 37.
25. Donsker M., Varadhan S. Asymptotic for the Wiener sausage // Communs Pure and Appl. Math. – 1975. – 28. –
P. 525 – 565.
26. Kac M., Luttinger J. Bose – Einstein consideration in the presence of impurities // J. Math. Phys. – 1974. – 15. –
P. 183 – 186.
27. Eisele T., Lang R. Asymptotics for the Wiener sausage with drift // Probab. Theory Relat. Fields. – 1987. – 74. –
P. 125 – 140.
28. Le Gall J.-F. Fluctuation results for the Wiener sausage //Ann. Probab. – 1988. – 16, № 3. – P. 991 – 1018.
29. Le Gall J.-F. Wiener sausage and self-intersection local times // J. Funct. Anal. – 1990. – 88, № 2. – P. 299 – 311.
30. Spitzer F. Electrostatic capacity, heat flow and Brownian motion // Z. wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb. –
1964. – 3. – P. 110 – 121.
31. Van den Berg M., Toth B. Exponentional estimates for the Wiener sausage // Probab. Theory Relat. Fields. – 1991. –
88. – P. 249 – 259.
32. Rataj J., Schmidt V., Spodarev E. On the expected surface area of the Wiener sausage // Math. Nachr. – 2007.
33. Yor M. Renormalisation et convergence en loi pour temps locaux d’intersection du mouvement brownien dans \BbbR 3 //
Sem. Probab. XIX. Lect. Notes Math. – 1985. – 1123. – P. 332 – 249.
34. Дороговцев А. А., Изюмцева О. Л. Локальные времена самопересечения для гауссовских процессов. – Германия:
LAP Lambert Acad. Publ., 2011. – 152 с.
35. Изюмцева О. Л. О локальном времени самопересечения для винеровского процесса, построенного по сингу-
лярной мере// Мат.вестн. НТШ. – 2008. – 5. – С. 47 – 60.
36. Bouleu N., Hirsch F. Dirichlet forms and analysis on Wiener space. – Berlin; New York: Walter de Cruyter, 1991. –
1961 p.
37. Cameron R. N., Martin W. T. The orthogonal development of non-linear functionals in series of Fourier – Hermite
functions // Ann. Math. – 1947. – 48, № 2. – P. 385 – 392.
38. Дороговцев А. А. Элементы стохастического дифференциального исчисления // Математика сегодня. – Киев:
Вища шк., 1994. – С. 105 – 131.
39. Watanabe S. Stochastic differential equation and Malliavin calculus. – Berlin etc.: Springer-Verlag, 1984. – 112 p.
40. Kuo H.-H. Lecturs on white on white analysis // Soochow Math. J. – 1992. – 18, № 3. – P. 1 – 12.
41. Kuo H.-H. Introduction to stochastic integration. – Birkh’́auser, 2006. – 278 p.
42. Zakai M.] The Malliavin calculus // Acta Appl. Math. – 1985. – 3. – P. 175 – 207.
43. ’́Ustunel A. S. An introduction to analysis on Wiener space // Lect. Notes Math. – Berlin: Springer-Verlag, 1995.
44. Obata N. White noise calculus and Fock space // Lect. Notes Math. – Berlin: Springer-Verlag, 1987. – 1577.
45. Malliavin P. Stochastic analysis. – Berlin: Springer-Verlag, 1997.
46. Дороговцев А. А. Стохастический анализ и случайные отображения в гильбертовом пространстве. – Киев:
Наук. думка, 1992. – 120 с.
47. Watanabe S. Analysis of Wiener functionals (Malliavin calculus) and its application to heat kernels // Ann. Probab. –
1987. – 75, № 1. – P. 1 – 39.
48. Janson S. Gaussian Hilbert spaces. – Cambridge Univ. Press, 1997. – 340 p.
49. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. – М.: Физматлит, 2004. – 400 с.
50. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. – М.: Физматгиз, 1959. – Т. 1. –
472 с.
51. Cameron R. H., Martin W. T. Fourier – Wiener transforms of functionals belonging to L2 over the space C // Duke
Math. J. – 1947. – 14. – P. 99 – 107.
52. Хида Т. Броуновское движение. – М.: Мир, 1989. – 300 с.
53. Imkeller P., Perez-Abrew V., Vives J. Chaos expansions of double intersection local time of Brownian motion in \BbbR d
and renormalization // Stochast. Roc. Appl. – 1995. – 56, № 1. – P. 1 – 34.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
340 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА
54. Дороговцев А. А., Бакун В. В. Случайные отображения и обобщенные аддитивные функционалы от винеров-
ского процесса // Теория вероятностей и ее применения. – 2003. – 48, № 1. – С. 43 – 61.
55. Nualart D., Vives J. Chaos expansions and local times // Publ. Math. – 36, № 2. – P. 827 – 836.
56. Hu Y. On the self-intersection locval time of Brownian motion via chaos expansion // Publ. Math. – 1996. – 40. –
P. 337 – 350.
57. Hu Y. Self-intersection local time of fractional Brownian motion via chaos // J. Math. Kyoto Univ. – 2001. – 41,
№ 2. – P. 233 – 250.
58. Berman S. Local nondeterminism and local times of Gaussian processes // Indiana Univ. Math. J. – 1973. – 23. –
P. 69 – 94.
59. Berman S. Self-intersections and local nondeteerminism of Gaussian processes // Ann. Probab. – 1991. – 19. –
P. 160 – 191.
60. Berman S. Local nondeterminism and local times of general stochastic processes // Ann. Inst. H. Poincare. – 1983. –
19, № 2. – P. 189 – 207.
61. Лифшиц М. А. Гауссовские случайные функции. – Киев: ТВиМС, 1995. – 246 с.
62. Дуб Д. Вероятностные процессы. – М.: Изд-во иностр. лит., 1956. – 606 с.
63. Розанов Ю. А. Случайные поля и стохастические уравнения с частными производными. – М.: Физматгиз,
1995. – 256 с.
64. Dorogovtsev A. A., Izyumtseva O. L. On regularization of the formal Fourier – Wiener transform of the self-intersection
local time of a planar Gaussian process // Theory Stochast. Process. – 2011. – 17, № 33, № 1. – P. 28 – 38.
65. Халмош П., Сандер В. Ограниченные интегральные операторы в пространствах L2. – М.: Наука, 1985. – 160 с.
66. Izyumtseva O. L. The constant of renormalization for self-intersection local time of diffusion process in the plane //
Ukr. Math. J. – 2008. – 60, № 11. – P. 1489 – 1498.
67. Aronson D. G. Bounds for the fundamental solutions of a parabolic equation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1967. –
P. 890 – 896.
68. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 427 с.
69. Marcus M., Rosen J. Markov processes, Gaussian processes and local times. – Cambridge Univ. Press, 2006. – 620 p.
70. Marcus M., Rosen J. Renormalized self-intersection local times and Wick power chaos processes // Mem. AMS. –
1999. – 675 p.
71. Morters P., Peres Y. Brownian motion. – Cambridge Univ. Press, 2010. – 416 p.
72. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Физматгиз, 1963. –
1100 c.
73. Port S. C., Charles G. S. Brownian motion and classical potential theory. – New York: Acad. Press, 1978. – 236 p.
74. Levy P. Sur certains processes stochastiques homogeneous // Compos. Math. – 1939. – 7, № 2. – P. 162 – 174.
75. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. – М.: Наука, 1972.
76. Бородин А. Н. Броуновское локальное время // Успехи мат. наук. – 1989. – 44, вып. 2 (266). – C. 7 – 44.
77. Cuzick J. Local nondeterminism and zeros of Gaussian processes // Ann. Probab. – 1978. – 6. – P. 72 – 84.
78. Cuzick J., DuPreez J. Joint continuity of Gaussian local times // Ann. Probab. – 1982. – 10. – P. 810 – 817.
79. Xiao Y. Strong local nondeterminism and sample path properties of Gaussian random fields // Theory Probab. and
Statistics with Appl. – Beijing: Higher Education Press, 2007. – P. 136 – 176.
80. Dorogovtsev A. A. Stochastic integration and one class of Gaussian random processes // Ukr. Math. J. – 1998. – 50,
№ 4. – P. 495 – 505.
81. Dorogovtsev A. A. Smoothing problem in anticipating scenario // Ukr. Math. J. – 2005. – 57, № 9. – P. 1424 – 1441.
82. Izyumtseva O. L. On the local times for Gaussian integrators // Theory Stochast. Process. – 2014. – 19, № 35. –
P. 11 – 25.
83. Dorogovtsev A. A., Izyumtseva O. L. Properties of Gaussian local times // Lith. Math. J. – 2015.
84. Xiao Y. Strong local nondeterminism and sample path properties of Gaussian random fields // Asymptotic Theory in
Probability and Statistics with Appl. – 0000. – Vol. 2. – P. 136 – 176.
Получено 03.11.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1841 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:42Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f9/b39ef96e35e9b1a408ba01f8ef500ff9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18412019-12-05T09:29:34Z Local times of self-intersection Локальные времена самопересечения Izyumtseva, O. L. Dorogovtsev, A. A. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. This survey article is devoted to the local times of self-intersection as the most important geometric characteristics of random processes. The trajectories of random processes are, as a rule, very nonsmooth curves. This is why to characterize the geometric shape of the trajectory it is impossible to use the methods of differential geometry. Instead of this, one can consider the local times of self-intersection showing how much time the process stays in “small” vicinities of its self-crossing points. In our paper, we try to describe the contemporary state of the theory of local times of self-intersection for Gaussian and related processes. Different approaches to the definition, investigation, and application of the local times of self-intersection are considered. Статтю присвячено локальним часам самоперетину, що є однiєю з найважливiших геометричних характеристик траєкторiй випадкового процесу. Як правило, траєкторiї випадкового процесу можуть бути дуже нерегулярними. Тому їх геометричнi властивостi не можуть вивчатися методами диференцiальної геометрiї. Геометричними характеристиками випадкового процесу є його часи перебування у нескiнченно малих околах своїх точок самоперетину. В данiй статтi вiдображено сучасний стан теорiї локальних часiв самоперетину для гауссiвських та спорiднених iз ними випадкових процесiв. У роботi наведено рiзноманiтнi способи визначення, вивчення та застосування локальних часiв самоперетину для рiзних класiв випадкових процесiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1841 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 3 (2016); 290-340 Український математичний журнал; Том 68 № 3 (2016); 290-340 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1841/823 Copyright (c) 2016 Izyumtseva O. L.; Dorogovtsev A. A. |
| spellingShingle | Izyumtseva, O. L. Dorogovtsev, A. A. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Local times of self-intersection |
| title | Local times of self-intersection |
| title_alt | Локальные времена самопересечения |
| title_full | Local times of self-intersection |
| title_fullStr | Local times of self-intersection |
| title_full_unstemmed | Local times of self-intersection |
| title_short | Local times of self-intersection |
| title_sort | local times of self-intersection |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1841 |
| work_keys_str_mv | AT izyumtsevaol localtimesofselfintersection AT dorogovtsevaa localtimesofselfintersection AT izûmcevaol localtimesofselfintersection AT dorogovcevaa localtimesofselfintersection AT izûmcevaol localtimesofselfintersection AT dorogovcevaa localtimesofselfintersection AT izyumtsevaol lokalʹnyevremenasamoperesečeniâ AT dorogovtsevaa lokalʹnyevremenasamoperesečeniâ AT izûmcevaol lokalʹnyevremenasamoperesečeniâ AT dorogovcevaa lokalʹnyevremenasamoperesečeniâ AT izûmcevaol lokalʹnyevremenasamoperesečeniâ AT dorogovcevaa lokalʹnyevremenasamoperesečeniâ |