Robust feedback synthesis for the canonical system
The paper deals with the problems of global and local robust feedback synthesis of bounded control for a system with unknown bounded perturbation. Our approach is based on the method of controllability function proposed by V. I. Korobov. The ranges of perturbations are found from the condition that...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1842 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507716223500288 |
|---|---|
| author | Korobov, V. I. Revina, T. V. Коробов, В. И. Ревина, Т. В. Коробов, В. И. Ревина, Т. В. |
| author_facet | Korobov, V. I. Revina, T. V. Коробов, В. И. Ревина, Т. В. Коробов, В. И. Ревина, Т. В. |
| author_sort | Korobov, V. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:34Z |
| description | The paper deals with the problems of global and local robust feedback synthesis of bounded control for a system with unknown bounded perturbation. Our approach is based on the method of controllability function proposed by V. I. Korobov.
The ranges of perturbations are found from the condition that the total derivative of the controllability function caused by the perturbed system must be negative. We determine the largest segment of variation of the perturbation and construct a positional control that steers an arbitrary initial point to the origin within a finite period of time. The length of this period is estimated both from below and from above. A two-dimensional system is considered as an example. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.977.14
В. И. Коробов, Т. В. Ревина (Харьков. нац. ун-т им. В. Н. Каразина, Киев)
РОБАСТНЫЙ ПОЗИЦИОННЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
The paper deals with the problems of global and local robust feedback synthesis of bounded control for a system with
unknown bounded perturbation. Our approach is based on the method of controllability function proposed by V. I. Korobov.
The ranges of perturbations are found from the condition that the total derivative of the controllability function caused by
the perturbed system must be negative. We determine the largest segment of variation of the perturbation and construct a
positional control that steers an arbitrary initial point to the origin within a finite period of time. The length of this period
is estimated both from below and from above. A two-dimensional system is considered as an example.
Розглянуто задачi глобального i локального робастного позицiйного синтезу обмеженого керування системою з
невiдомим обмеженим збуренням. Розв’язок базується на методi функцiї керованостi В. I. Коробова. Межi змiни
збурення знаходяться з умови, щоб повна похiдна функцiї керованостi в силу збуреної системи була вiд’ємною.
У роботi знайдено найширший вiдрiзок змiни меж збурення та побудовано керування, яке переводить довiльну
початкову точку у початок координат за скiнченний час, на який отримано оцiнки зверху та знизу. Як приклад
розглянуто двовимiрну систему.
1. Введение. Рассмотрим систему
\.x = (A0 + p(t, x)R)x+ b0u, (1)
где t \geq 0, x \in Q \subset \BbbR n, Q — некоторая окрестность начала координат, u — скалярное управление,
удовлетворяющее ограничению | u| \leq 1, A0 — матрица, элементы главной наддиагонали которой
равны 1, а остальные элементы нулевые, b0 — вектор, у которого последний элемент равен 1, а
остальные элементы нулевые,
R =
\left(
r11 r12 0 0 . . . 0 0
r21 r22 r23 0 . . . 0 0
. . .
rn - 21 rn - 22 rn - 23 rn - 24 . . . rn - 2n - 1 0
rn - 11 rn - 12 rn - 13 rn - 14 . . . rn - 1n - 1 rn - 1n
rn1 rn2 rn3 rn4 . . . rnn - 1 rnn
\right)
, (2)
rij — некоторые заданные числа, 1 \leq j \leq i+1, 1 \leq i, j \leq n. Будем считать, что функция p(t, x)
неизвестна, тогда такие системы называют робастными (см., например [1; 2, с. 173]). Возмуще-
ния матрицы A0 вида A0 + pR в [2, с. 176] называются аффинными. Будем считать, что p(t, x)
удовлетворяет заданному ограничению d1 \leq p(t, x) \leq d2. Требуется построить ограниченное
управление, переводящее произвольную начальную точку x0 \in Q в начало координат за конеч-
ное время при любом возмущении p(t, x), удовлетворяющем ограничению d1 \leq p(t, x) \leq d2.
Классическим примером такой постановки задачи является управление движением тележки
по поверхности с неизвестным ограниченным трением. Движение этой системы описывается
уравнением
\.x1 = x2,
c\bigcirc В. И. КОРОБОВ, Т. В. РЕВИНА, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3 341
342 В. И. КОРОБОВ, Т. В. РЕВИНА
\.x2 = p(t, x1, x2)x2 + u.
Слагаемое p(t, x1, x2)x2 — сила трения.
При решении задач оптимального управления, т. е. при нахождении экстремума функцио-
нала, управление ищут либо в виде u = u(t) (программное управление), либо в виде функ-
ции от фазовых координат u = u(x) (синтезирующее управление). Под задачей оптимального
быстродействия понимается задача нахождения программного управления, переводящего за-
данную точку в заданную за минимальное время. Конкретные примеры решения линейных
задач оптимального быстродействия приведены в книге [3]. В общем случае линейная зада-
ча оптимального быстродействия решена В. И. Коробовым и Г. М. Скляром в работе [4] на
основании введения понятия \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}-проблемы моментов Маркова. В работе [5] приведен общий
подход к решению задачи синтеза допустимых управлений, т. е. нахождения управления, пере-
водящего произвольную начальную точку в начало координат за конечное время. В работе [6]
для системы \.x = Ax + b(u + v), | u| \leq d, | v| \leq \gamma < d было построено не зависящее от
возмущения v ограниченное управление u = u(x), решающее задачу синтеза. В отличие от
настоящей работы, в работе [6] использована техника дифференциальных включений. Задача
позиционного синтеза в постановке, близкой к приведенной в настоящей работе, рассматри-
валась в [7, 8]. В работе [9] применен метод Ляпунова для стабилизации за конечное время
системы \.x = A0x + b0u + d(t, x), где d(t, x) удовлетворяет некоторому ограничению, задан-
ному в неявной форме. В этой работе используется метод функции управляемости и условия
стабилизации за конечное время сформулированы на языке линейных матричных неравенств.
В последнее время идея синтеза за конечное время рассматривается в разных формули-
ровках [9 – 13]. В работе [12] изучаются треугольные системы, являющиеся частным случаем
предложенных систем из [14]. Отметим, что в отличие от работ [11, 12] применение метода
функции управляемости позволяет построить управление, удовлетворяющее заранее заданным
ограничениям, и получить оценку на время попадания. В [2, с. 201] решается задача робастной
стабилизации систем с аффинными постоянными возмущениями.
2. Постановка задачи. Вначале опишем условия, которым должно удовлетворять возму-
щение p(t, x).
Определение 1. Множеством допустимых возмущений \scrP d1,d2 называется множество
функций p(t, x) : [0,+\infty )\times Q \rightarrow \BbbR , таких, что выполняются следующие условия:
1) p(t, x) непрерывна по t и x;
2) в каждой области K1(\rho 2) =
\bigl\{
(t, x) : 0 \leq t < +\infty , \| x\| \leq \rho 2
\bigr\}
, функция p(t, x) удов-
летворяет условию Липшица
\bigm| \bigm| p(t, x\prime \prime ) - p(t, x\prime )
\bigm| \bigm| \leq \ell 1(\rho 2)\| x\prime \prime - x\prime \| (где \ell 1(\rho 2) зависит от
функции p);
3) d1 \leq p(t, x) \leq d2 для всех (t, x) \in [0,+\infty )\times Q.
При p(t, x) \equiv 0 система (1) называется канонической: \.x = A0x + b0u. В рассматриваемом
нами подходе она занимает центральное место, так как решение задачи синтеза для произ-
вольной линейной системы с одномерным управлением может быть сведено к решению задачи
синтеза для канонической системы [10, с. 42].
При p(t, x) \equiv 0 система (1) является полностью управляемой. В работе [15] дано управление
u(x), решающее задачу синтеза для канонической системы (точное определение задачи синтеза
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
РОБАСТНЫЙ ПОЗИЦИОННЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 343
будет дано ниже). Наша цель — для заданных rij найти такие d1 < 0 и d2 > 0, при которых
значение d2 - d1 \rightarrow \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}, и при этом для всех возмущений p(t, x) \in \scrP d1,d2 траектория x(t)
замкнутой системы с управлением u = u(x)
\.x = (A0 + p(t, x)R)x+ b0u(x), (3)
выходящая из произвольной начальной точки x0 \in Q, заканчивалась в начале координат в неко-
торый конечный момент времени T (x0, p(t, x)), т. е. \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow T (x0,p(t,x)) x(t) = 0. Эту задачу будем
называть (d1, d2) — локальным робастным позиционным синтезом ограниченного управления
(или робастной стабилизацией за конечное время). Если Q = \BbbR n, то задачу будем называть
(d1, d2) — глобальным робастным позиционным синтезом. Заметим, что при r11 = 0 в систе-
ме (1) первая координата неуправляема
\bigl(
при r12 p(t, x) \equiv - 1
\bigr)
, т. е. не при всех d1 и d2 задача
разрешима.
Опишем кратко структуру статьи. В п. 3 приведены результаты применения метода функции
управляемости. Основные результаты работы содержатся в п. 4. В п. 5 в качестве модельного
примера использована двумерная система.
3. Метод функции управляемости. В этом пункте мы напомним основные понятия и ре-
зультаты применения метода функции управляемости [5, 10]. Рассмотрим нелинейную систему
\.x = f(x, u), (4)
где x \in Q \subset \BbbR n, u \in \Omega \subset \BbbR r, причем \Omega таково, что 0 \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \Omega , f(0, 0) = 0.
Определение 2. Под локальным позиционным синтезом ограниченного управления будем
понимать нахождение такого управления u = u(x), x \in Q, что: 1) u(x) \in \Omega ; 2) траектория
x(t) замкнутой системы
\.x = f(x, u(x)), (5)
выходящая из произвольной начальной точки x0 \in Q, заканчивается в начале координат в
некоторый конечный момент времени T (x0).
Достаточные условия разрешимости задачи синтеза для системы (4) сформулированы в
[10, с. 14].
Замечание 1. Отметим трудности решения этой задачи.
1. Поскольку через конечную точку проходит бесконечное число траекторий и время дви-
жения по каждой траектории в эту точку конечно, в силу теоремы о единственности решения
правая часть уравнения (5) не может удовлетворять условию Липшица в рассматриваемой
окрестности.
2. Управление удовлетворяет заранее заданным ограничениям.
Для решения задачи позиционного синтеза в 1979 г. В. И. Коробовым был предложен метод
функции управляемости [5], развитый в работах [6, 7, 15, 16]. Приложение метода функции
управляемости к задачам управления хаосом можно найти в работе [17].
Опишем один из возможных подходов к решению задачи глобального позиционного синтеза
для канонической системы [10, с. 98; 15]:
\.x1 = x2, \.x2 = x3, . . . , \.xn - 1 = xn, \.xn = u, (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
344 В. И. КОРОБОВ, Т. В. РЕВИНА
где x \in \BbbR n, u — скалярное управление, удовлетворяющее ограничению | u| \leq 1. Заметим, что
при p(t, x) \equiv 0 система (1) совпадает с полностью управляемой системой (6). Обозначим
F - 1 =
1\int
0
(1 - t)e - A0tb0b
\ast
0e
- A\ast
0tdt =
\biggl(
( - 1)2n - i - j
(n - i)!(n - j)!(2n - i - j + 1)(2n - i - j + 2)
\biggr) n
i,j=1
,
(7)
D(\Theta ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\biggl(
\Theta - 2n - 2i+1
2
\biggr) n
i=1
.
В работе [18] указан аналитический метод нахождения элементов fij матрицы F.
Теорема 1. [10, с. 98; 15] Определим функцию управляемости \Theta = \Theta (x) как единственное
положительное решение уравнения
2a0\Theta = (D(\Theta )FD(\Theta )x, x), x \not = 0, \Theta (0) = 0, (8)
где постоянная a0 выбирается согласно неравенству
0 < a0 \leq
2
fnn
. (9)
Тогда управление вида
u(x) = - 1
2
b\ast 0D(\Theta (x))FD(\Theta (x))x (10)
решает для системы (6) задачу глобального позиционного синтеза непрерывного управления,
удовлетворяющего ограничению | u(x)| \leq 1. Более того, выполняется равенство вида \.\Theta (x) =
= - 1, т. е. функция управляемости является временем движения из произвольной начальной
точки x0 \in \BbbR n в начало координат.
Замечание 2. В отличие от функции Ляпунова, которая определяется явно, функция управ-
ляемости определяется неявно как решение уравнения (8). Напомним, что время быстродей-
ствия в задаче линейного быстродействия также определяется неявно [4].
4. Основные результаты. Рассмотрим систему (1). Обозначим y(\Theta , x) = D(\Theta )x. Тогда
уравнение (8) примет вид
2a0\Theta = (Fy(\Theta , x), y(\Theta , x)). (11)
Обозначим
F 1 = F - FH - HF = ((2n - i - j + 2)fij)
n
i,j=1. (12)
В случае, когда матрица F 1 положительно определена, уравнение (11) имеет единственное
положительное решение \Theta = \Theta (y) [10, с. 24]. Поскольку функция управляемости является
временем движения, матрица F 1 положительно определена [10, с. 88]. Пусть постоянная a0
удовлетворяет неравенству (9). Рассмотрим замкнутую систему (3), где u(x) задается формулой
(10). Обозначим через x(t) траекторию системы (3) и найдем производную в силу системы
\.\Theta =
d
dt
\Theta (x(t)). Из уравнения (11) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
РОБАСТНЫЙ ПОЗИЦИОННЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 345
2a0 \.\Theta =
\bigl(
F \.y(\Theta , x), y(\Theta , x)
\bigr)
+
\bigl(
Fy(\Theta , x), \.y(\Theta , x)
\bigr)
. (13)
Найдем \.y(\Theta , x). Обозначим H = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\biggl(
- 2n - 2i+ 1
2
\biggr) n
i=1
, тогда
d
d\Theta
D(\Theta ) =
1
\Theta
HD(\Theta ). Осю-
да
\.y(\Theta , x) = \.D(\Theta )x+D(\Theta ) \.x =
\.\Theta
\Theta
Hy(\Theta , x) +D(\Theta )A0D
- 1(\Theta )y(\Theta , x) +
+ p(t, x)D(\Theta )RD - 1(\Theta )y(\Theta , x) - 1
2
D(\Theta )b0b
\ast
0D(\Theta )Fy(\Theta , x).
Обозначим
S(\Theta ) = \Theta
\bigl(
FD(\Theta )RD - 1(\Theta ) +D - 1(\Theta )R\ast D(\Theta )F
\bigr)
. (14)
В [10, с. 28] доказаны тождества
D(\Theta )A0D
- 1(\Theta ) = \Theta - 1A0, D(\Theta )b0 = \Theta - 1/2b0, FA0 +A\ast
0F - Fb0b
\ast
0F = - F 1,
используя которые, из равенства (13) получаем
\.\Theta
\biggl(
2a0 -
1
\Theta
\bigl(
(FH +HF )y(\Theta , x), y(\Theta , x)
\bigr) \biggr)
=
1
\Theta
\Bigl( \bigl(
- F 1 + p(t, x)S(\Theta )
\bigr)
y(\Theta , x), y(\Theta , x)
\Bigr)
.
Принимая во внимание уравнение (11), получаем, что производная функции управляемости в
силу системы (3) имеет вид
\.\Theta =
\bigl(
- F 1 + p(t, x)S(\Theta )
\bigr)
y(\Theta , x), y(\Theta , x))\bigl(
F 1y(\Theta , x), y(\Theta , x)
\bigr) . (15)
4.1. Наддиагональные возмущения. Не ограничивая общности, будем считать, что r12 = 1.
Пусть у матрицы R только элементы главной наддиагонали ненулевые. В этом случае систе-
ма (1) принимает вид
\.x1 =
\bigl(
1 + p(t, x)
\bigr)
x2,
\.xi = (1 + rii+1p(t, x))xi+1, i = 2, . . . , n - 1, (16)
\.xn = u.
В работе [19] рассмотрена задача робастного позиционного синтеза при одном возмущении,
т. е. в системе (16) все коэффициенты rii+1 равны нулю. В работе [20] рассмотрен случай
системы (16) при симметричном отрезке изменения возмущения, т. е. d1 = - d2.
Аналогично [10, с. 28] можно установить тождество D(\Theta )RD - 1(\Theta ) = \Theta - 1R (это связано
с тем, что матрица R в этом случае имеет такую же структуру, как и A0). Тогда
S(\Theta ) = S0 = FR+R\ast F. (17)
В дальнейшем мы существенно пользуемся тем, что матрица S не зависит от \Theta . В этом случае
матрица S0 имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
346 В. И. КОРОБОВ, Т. В. РЕВИНА
S0 =
=
\left(
0 f11 f12r23 . . . f1n - 1rn - 1n
f11 2f12 f13 + f22r23 . . . f1n + f2n - 1rn - 1n
f12r23 f13 + f22r23 2f23r23 . . . f2nr23 + f3n - 1rn - 1n
. . .
f1n - 1rn - 1n f1n + f2n - 1rn - 1n f2nr23 + f3n - 1rn - 1n . . . 2fn - 1nrn - 1n
\right)
.
Введем обозначения: \sigma (M) – спектр матрицы M ; \lambda max(M) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
\lambda : \lambda \in \sigma (M)
\bigr\}
;
\lambda max(M) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\lambda : \lambda \in \sigma (M)
\bigr\}
; выражение M > 0 (M < 0) означает, что матрица M
положительно определена (отрицательно определена).
Теорема 2. Пусть \~d01 = 1/\lambda min((F
1) - 1S0), \~d02 = 1/\lambda max
\bigl(
(F 1) - 1S0
\bigr)
, 0 < \gamma 1 < 1, \gamma 2 > 1,
d01 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
(1 - \gamma 1) \~d
0
1; (1 - \gamma 2) \~d
0
2
\bigr\}
, d02 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
(1 - \gamma 1) \~d
0
2; (1 - \gamma 2) \~d
0
1
\bigr\}
. (18)
Тогда для всех d1 и d2 таких, что d01 < d1 < d2 < d02, управление, задаваемое формулой (10),
решает задачу (d1, d2) — глобального робастного позиционного синтеза для системы (16).
При этом траектория замкнутой системы (3), выходящая из произвольной начальной точки
x(0) = x0 \in \BbbR n, заканчивается в точке x1(T ) = 0 в некоторый конечный момент времени
T = T (x0, d1, d2), для которого выполнена оценка
\Theta (x0)
\gamma 2
\leq T (x0, d1, d2) \leq
\Theta (x0)
\gamma 1
. (19)
Доказательство. Предположим, что p(t, x) \in \scrP d1,d2 , где d01 < d1 < d2 < d02. Обозначим
y = y(\Theta , x). Установим, что \.\Theta , определяемое по формуле (15), удовлетворяет неравенству
- \gamma 2 < \.\Theta < - \gamma 1. Поскольку F 1 > 0 [10, с. 88], то умножим (15) на (F 1y, y) и запишем
требуемое неравенство в виде
( - \gamma 2F
1y, y) <
\bigl(
( - F 1 + p(t, x)S0)y, y
\bigr)
< ( - \gamma 1F
1y, y),
или, что то же самое,
\bigl( \bigl(
(\gamma 1 - 1)F 1 + p(t, x)S0
\bigr)
y, y
\bigr)
< 0,
\bigl( \bigl(
(1 - \gamma 2)F
1 - p(t, x)S0
\bigr)
y, y
\bigr)
< 0.
Разделим первое неравенство на 1 - \gamma 1 > 0, а второе на \gamma 2 - 1 > 0. Тогда докажем, что\biggl(
- F 1 +
p
1 - \gamma 1
S0
\biggr)
< 0,
\biggl(
- F 1 +
p
1 - \gamma 2
S0
\biggr)
< 0 для всех d01 < p = p(t, x) < d02.
(20)
Рассмотрим первое из неравенств (20). Пусть оно выполняется при b1 <
p
1 - \gamma 1
< b2, тогда
b1(1 - \gamma 1) < p < b2(1 - \gamma 1). (21)
Аналогично из второго неравенства из (20) получаем
b2(1 - \gamma 2) < p < b1(1 - \gamma 2). (22)
Таким образом, из (21) и (22) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
РОБАСТНЫЙ ПОЗИЦИОННЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 347
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
b1(1 - \gamma 1); b2(1 - \gamma 2)
\bigr\}
< p < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
b2(1 - \gamma 1); b1(1 - \gamma 2)
\bigr\}
,
следовательно,
d01 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
b1(1 - \gamma 1); b2(1 - \gamma 2)
\bigr\}
, d02 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
b2(1 - \gamma 1); b1(1 - \gamma 2)
\bigr\}
. (23)
Найдем такие числа b1 и b2, что (F 1 - \~pS0) > 0 при b1 < \~p < b2. Сначала докажем, что
\lambda min((F
1) - 1S0) < 0, \lambda max((F
1) - 1S0) > 0. Действительно, произведение положительно опре-
деленной (F 1) - 1 и эрмитовой матрицы S0 является диагонализируемой матрицей, собственные
значения которой вещественны. При этом (F 1) - 1S0 имеет столько же положительных, отри-
цательных и нулевых собственных значений, как и матрица S0 [21, с. 550]. Установим, что
\lambda min(S0) < 0 и \lambda max(S0) > 0. Рассмотрим главный определитель второго порядка матри-
цы S0. Он равен
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 0 f11
f11 2f12
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = - f2
11 < 0, так как вследствие положительной определенности
матрицы F элемент f11 > 0. В силу критерия Сильвестра, если матрица неотрицательно опре-
делена, то ее главные миноры неотрицательны. Это значит, что спектр матрицы \sigma (S0) \nsubseteq \{ x :
x \geq 0\} . В силу критерия Сильвестра если матрица неположительно определена, то ее второй
главный минор неотрицателен. Это значит, что спектр матрицы \sigma (S0) \nsubseteq \{ x : x \leq 0\} . Также
\sigma (S0) \not = \{ 0\} , так как матрица S0 симметрична и не является тождественно нулевой.
Поскольку матрица (F 1 - \~pS0) симметрична, ее собственные значения вещественны. При
\~p = 0 эта матрица равна матрице F 1 > 0. Рассмотрим случай \~p > 0. Найдем такое наименьшее
значение параметра \~p = b2, что матрица (F 1 - b2S0) имеет нулевое собственное значение,
т. е. \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(F 1 - b2S0) = 0, а при 0 \leq \~p < b2 выполнено \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(F 1 - \~pS0) > 0. Это значит, что
1/b2 — собственное значение матрицы (F 1) - 1S0. Тогда b2 = 1/\lambda max((F
1) - 1S0) > 0, так как в
силу доказанного выше \lambda max((F
1) - 1S0) > 0. Рассуждая аналогично при \~p < 0, получаем, что
существует наибольшее b1 < 0 такое, что \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(F 1 - b1S0) = 0, а при b1 < \~p \leq 0 выполнено
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(F 1 - \~pS0) > 0. При этом b1 = 1/\lambda min((F
1) - 1S0) < 0. Тогда b1 = \~d01, b2 = \~d02, т. е.
(F 1 - \~pS0) > 0 при \~d01 < \~p < \~d02, и формула (18) совпадает с (23).
Из - \gamma 2 < \.\Theta < - \gamma 1 аналогично [10, с. 21] следует оценка времени попадания (19).
Ограниченность управления доказывается аналогично случаю для канонической системы
[10, с. 90]. А именно, так как b\ast 0D(\Theta ) = \Theta - 1/2b\ast 0, запишем управление (10) в виде u(x) =
=
\bigl(
a, y(\Theta , x)
\bigr)
\Theta - 1/2, где a = - 1
2
Fb0. Для доказательства ограниченности управления при
фиксированном \Theta решим задачу нахождения экстремума функции (a, y(\Theta , x))\Theta - 1/2 при огра-
ничениях
\bigl(
Fy(\Theta , x), y(\Theta , x)
\bigr)
- 2a0\Theta = 0. Решая задачу с помощью метода множителей Лагран-
жа, находим экстремальное значение u = \pm
\sqrt{}
2a0(F - 1a, a) = \pm
\sqrt{}
a0fnn/2, откуда с учетом
неравенства (9) получаем | u(x)| \leq 1, x \in \BbbR n, т. е. управление u(x) ограничено во всем про-
странстве.
Теорема 2 доказана.
Замечание 3. d02 - d01 монотонно убывает по \gamma 1 и монотонно возрастает по \gamma 2.
Замечание 4. Формула (18) дает точную оценку для d01 и d02.
4.2. Общий случай, локальный синтез. Пусть матрица R имеет вид (2). Тогда элементы
матрицы S(\Theta ), задаваемой формулой (14) — полиномы по \Theta степени не выше n. Под левым
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
348 В. И. КОРОБОВ, Т. В. РЕВИНА
собственным вектором матрицы M будем понимать собственный вектор сопряженной матри-
цы M\ast . Предположим, что \lambda min — наименьшее собственное значение матрицы (F 1) - 1S(0) =
= (F 1) - 1S0 — является алгебраически простым. Пусть xmin и ymin — правый и левый соб-
ственные векторы, соответствующие \lambda min, такие, что y\ast minxmin = 1. Предположим, что \lambda max —
наибольшее собственное значение матрицы (F 1) - 1S(0) = (F 1) - 1S0 — является алгебраически
простым. Пусть xmax и ymax — соответствующие \lambda max правый и левый собственные векторы,
что y\ast maxxmax = 1. Обозначим
\lambda 1 =
\left\{ \lambda min, если y\ast min(F
1) - 1S
\prime
(0)xmin \geq 0,
\lambda min + y\ast min(F
1) - 1S
\prime
(0)xmin, если y\ast min(F
1) - 1S
\prime
(0)xmin < 0,
(24)
\lambda 2 =
\left\{ \lambda max + y\ast max(F
1) - 1S
\prime
(0)xmax, если y\ast max(F
1) - 1S
\prime
(0)xmax \geq 0,
\lambda max, если y\ast max(F
1) - 1S
\prime
(0)xmax < 0.
(25)
Теорема 3. Пусть \~d01 = 1/\lambda 1, \~d02 = 1/\lambda 2, 0 < \gamma 1 < 1, \gamma 2 > 1 и числа d01 и d02 задаются
формулой (18).
Тогда существует такое c \leq 1, что в области Q, задаваемой равенством Q = \{ x : \Theta (x) \leq
\leq c\} для всех d1 и d2 таких, что d01 < d1 < d2 < d02, управление, задаваемое формулой (10),
решает задачу (d1, d2) — локального робастного позиционного синтеза для системы (1). При
этом траектория замкнутой системы (3), выходящая из произвольной начальной точки x(0) =
x0 \in Q, заканчивается в точке x1(T ) = 0 в некоторый конечный момент времени T =
= T (x0, d1, d2), для которого выполнена оценка (19).
Доказательство. Пусть область Q задается равенством Q = \{ x : \Theta (x) \leq 1\} и \lambda (\Theta ) —
собственное значение матрицы (F 1) - 1S(\Theta ). При достаточно малых \Theta выполнено \lambda (\Theta ) =
= \lambda (0) + \lambda
\prime
(0)\Theta + o(\Theta ). Как известно [21, с. 444], если
1) матрица A(t) дифференцируема в точке t = 0,
2) \lambda — алгебраически простое собственное значение матрицы A(0),
3) x и y — соответствующие \lambda правый и левый собственные векторы,
4) \lambda (t) — то собственное значение матрицы A(t), для которого \lambda (0) = \lambda ,
то
\lambda
\prime
(0) =
y\ast A
\prime
(0)x
y\ast x
.
В случае случае при достаточно малых \Theta справедливо \lambda (\Theta ) = \lambda min + y\ast min(F
1) - 1S
\prime
(0)xmin\Theta ,
откуда \lambda (\Theta ) \geq \lambda 1. Также при достаточно малых \Theta справедливо \lambda (\Theta ) = \lambda max + y\ast max(F
1) - 1 \times
\times S
\prime
(0)xmax\Theta , откуда \lambda (\Theta ) \leq \lambda 2. В силу того, что \lambda min(F
1) - 1S0 > 0 и \lambda max(F
1) - 1S0 < 0,
имеем \lambda 1 < 0 и \lambda 2 > 0. Дальнейший ход доказательства аналогичен доказательству теоремы 2
в случае наддиагональных возмущений.
Теорема 3 доказана.
4.3. Общий случай, глобальный синтез. Выберем произвольную начальную точку x(0) =
= x0 \in \BbbR n, пусть \Theta (x0) = \theta 0. Оценим элементы матрицы (F 1) - 1S(\Theta ) при 0 \leq \Theta \leq \theta 0 :
mij \leq
\bigl(
(F 1) - 1S(\Theta )
\bigr)
ij
\leq mij . Пусть матрицы M и M составлены из элементов mij и mij
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
РОБАСТНЫЙ ПОЗИЦИОННЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 349
соответственно. Кроме того, пусть
Ac =
1
2
(M +M), \bigtriangleup =
1
2
(M - M),
матрицы Mc и M\bigtriangleup задаются формулами
Mc =
1
2
(Ac +A\ast
c), M\bigtriangleup =
1
2
(\bigtriangleup +\bigtriangleup \ast ). (26)
Тогда в силу [22] спектр интервальной матрицы [M ;M ]
\bigl(
т. е. каждой матрицы, ij элемент
которой содержится на отрезке [mij ; mij ]
\bigr)
лежит на отрезке [\lambda , \lambda ], где
\lambda = \lambda min(Mc) - \rho (M\bigtriangleup ), \lambda = \lambda max(Mc) + \rho (M\bigtriangleup ). (27)
Заметим, что так как матрица (F 1) - 1S0 входит в интервальную [M ;M ], то \lambda \leq \lambda min
\bigl(
(F 1) - 1S0
\bigr)
,
\lambda \geq \lambda max
\bigl(
(F 1) - 1S0
\bigr)
, откуда следует, что \lambda < 0, \lambda > 0. Таким образом, справедлива следующая
теорема.
Теорема 4. Пусть \~d01 = 1/\lambda , \~d02 = 1/\lambda , 0 < \gamma 1 < 1, \gamma 2 > 1 и числа d01 и d02 задаются
формулой (18).
Тогда для всех d1 и d2 таких, что d01 < d1 < d2 < d02, управление, задаваемое формулой (10),
решает задачу (d1, d2) — глобального робастного позиционного синтеза для системы (1).
При этом траектория замкнутой системы (3), выходящая из произвольной начальной точки
x(0) = x0 \in \BbbR n, заканчивается в точке x1(T ) = 0 в некоторый конечный момент времени
T = T (x0, d1, d2), для которого выполнена оценка (19).
Замечание 5. Пусть p(t, x) — некоторая функция, принадлежащая классу \scrP d1,d2 . Для на-
хождения траектории, начинающейся в заданной точке x0 \in \BbbR n (x0 \in Q в случае локального
синтеза), действуем следующим образом. Решаем уравнение (8) при x = x0 и находим един-
ственный положительный корень \Theta (x0) = \theta 0. Положим \theta (t) = \Theta (x(t)). Траектория является
решением задачи Коши
\.x = (A0 + p(t, x)R)x - 1
2
b0b
\ast
0D(\theta )FD(\theta )x,
\.\theta =
( - F 1 + p(t, x)S(\theta ))D(\theta )x,D(\theta )x)
(F 1D(\theta )x,D(\theta )x)
x(0) = x0, \theta (0) = \theta 0.
Заметим, что при этом уравнение (8) достаточно решить только один раз — для нахождения \theta 0.
5. Пример: робастный синтез для двумерной системы. На примере двумерной управля-
емой системы продемонстрируем основные результаты работы. Рассмотрим задачу робастного
позиционного синтеза для системы\Biggl(
\.x1
\.x2
\Biggr)
=
\Biggl(
x2
u
\Biggr)
+ p(t, x1, x2)
\Biggl(
r11x1 + x2
r21x1 + r22x2
\Biggr)
(28)
при ограничениях на управление вида | u| \leq 1. В системе (28) числа r11, r21, r22 заданы, функция
p(t, x1, x2) — неизвестное возмущение, удовлетворяющее ограничению d1 \leq p(t, x1, x2) \leq d2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
350 В. И. КОРОБОВ, Т. В. РЕВИНА
При p(t, x1, x2) \equiv 0 система (28) является канонической системой. Она полностью управ-
ляема. Пусть u(x) — управление, задаваемое формулой (10). Наша цель — для заданных чисел
r11, r21, r22 найти такие d1 < 0 и d2 > 0, чтобы значение d2 - d1 \rightarrow \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}, и при этом для
всех возмущений p(t, x1, x2) \in \scrP d1,d2 траектория x(t) замкнутой системы (3) с управлением
u = u(x), выходящая из произвольной начальной точки x0, заканчивалась в начале координат
в некоторый конечный момент времени T
\bigl(
x0, p(t, x1, x2)
\bigr)
.
Запишем эту систему в матричном виде \.x =
\bigl(
A0 + p(t, x1, x2)R
\bigr)
x+ b0u, где
A0 =
\Biggl(
0 1
0 0
\Biggr)
, R =
\Biggl(
r11 1
r21 r22
\Biggr)
, b0 =
\Biggl(
0
1
\Biggr)
.
Для этой системы при любом p(t, x1, x2) \equiv p \not = - 1 выполнен критерий полной управляемости
при всех значениях r11, r21, r22, так как
rg(b0, (A0 + pR)b0) = rg
\Biggl(
0 1 + p
1 r22p
\Biggr)
= 20.
Матрицы F и D(\Theta ), задаваемые формулами (7), имеют вид
F =
\Biggl(
36 12
12 6
\Biggr)
, D(\Theta ) =
\Biggl(
\Theta - 3/2 0
0 \Theta - 1/2
\Biggr)
.
Определим функцию управляемости \Theta = \Theta (x1, x2) как решение уравнения (8), которое в
данном случае принимает вид
2a0\Theta
4 = 36x21 + 24\Theta x1x2 + 6\Theta 2x22, (29)
где 0 < a0 \leq 2/f22 = 1/3. Пусть a0 = 1/3. Управление (10), решающее задачу робастного
позиционного синтеза, таково:
u(x1, x2) = - 6x1
\Theta 2(x1, x2)
- 3x2
\Theta (x1, x2)
, (30)
где \Theta (x1, x2) — единственное положительное решение (29). Это управление удовлетворяет
ограничению | u(x1, x2)| \leq 1.
Рассмотрим случай p(t, x1, x2) \equiv 0. Заметим, что для нахождения траектории достаточно
решить уравнение (29) только в начальной точке. Пусть \Theta (x0) = \theta 0 — единственный поло-
жительный корень уравнения (29) при x = x0 \in \BbbR n. Это \theta 0 является временем движения из
произвольной начальной точки x0 в начало координат. Положим \theta (t) = \Theta (x(t)). Поскольку в
силу теоремы 1 выполнено \.\theta = - 1, \theta (0) = \theta 0, то \theta (t) = \theta 0 - t. Траектория при p(t, x1, x2) \equiv 0
является решением задачи Коши
\.x1 = x2,
\.x2 = - 6x1
(\theta 0 - t)2
- 3x2
\theta 0 - t
,
x(0) = x0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
РОБАСТНЫЙ ПОЗИЦИОННЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 351
Пусть начальная точка x0 = (4; - 4). Тогда единственное положительное решение уравне-
ния (29) равно \Theta (x0) = \theta 0 \approx 9, 68. Средняя из траекторий, представленных на рис. 1, соответ-
ствует p(t, x1, x2) \equiv 0.
5.1. Наддиагональные возмущения. Вначале рассмотрим случай r11 = r21 = r22=0 т. е.
возмущаются только элементы главной наддиагонали. Установим, что d01 \approx - 0, 99 и d02 \approx 0, 33.
При rij = 0 система (28) принимает вид
\.x1 =
\bigl(
1 + p(t, x1, x2)
\bigr)
x2, \.x2 = u. (31)
Матрица F 1, задаваемая формулой (12), и S0, задаваемая формулой (17), имеют вид
F 1 =
\Biggl(
144 36
36 12
\Biggr)
, S0 =
\Biggl(
0 36
36 24
\Biggr)
,
поэтому
(F 1) - 1S0 =
\Biggl(
- 3 - 1
12 5
\Biggr)
.
Собственные значения матрицы (F 1) - 1S0 равны - 1 и 3. Тогда из (18) следует, что d01 =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \gamma 1 - 1, (1 - \gamma 2)/3\} , d02 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ (1 - \gamma 1)/3, \gamma 2 - 1\} .
Заметим, что если \gamma 1 и \gamma 2 близки к 1, то значения d01 и d02 близки к нулю. Например,
при \gamma 1 = 0,9 и \gamma 2 = 1,1 имеем d01 \approx - 0,03 и d02 \approx 0,03, и оценка (19) времени движения
T (x0) имеет вид 10 \Theta (x0)/11 \leq T (x0) \leq 10 \Theta (x0)/9. Значение d02 - d01 увеличивается при
уменьшении положительного параметра \gamma 1 и увеличении параметра \gamma 2 > 1 (см. замечание 3).
При \gamma 1 = 0.01 и \gamma 2 = 4 имеем d01 \approx - 0, 99, d02 \approx 0,33, при этом оценка (19) времени движения
T (x0) имеет вид \Theta (x0)/4 \leq T (x0) \leq 100 \Theta (x0). Хотя величина d02 - d01 больше, оценка времени
движения хуже.
Положим \gamma 1 = 0, 01, \gamma 2 = 4. Тогда d01 \approx - 0, 99, d02 \approx 0, 33. Пусть начальная точка x0 =
= (4; - 4). Тогда единственное положительное решение уравнения (29) равно \Theta (x0) = \theta 0 \approx
\approx 9,68. Три траектории, соответствующие p = - 0,9, p = 0 и p = 0,3, представлены на
рис. 1. При возмущении, удовлетворяющем неравенству - 0,9 \leq p(t, x1, x2) \leq 0.3, траектории
заполняют область между траекториями, соответствующими p = - 0,9 и p = 0,3.
5.2. Общий случай. Пусть хотя бы одно из чисел r11, r21, r22 отлично от нуля. Найдем
границы изменения возмущения d1 и d2 такие, чтобы управление вида (30) решало задачу
(d1, d2)-робастного позиционного синтеза для системы (28). Матрица S(\Theta ), задаваемая фор-
мулой (14), имеет вид
S(\Theta ) =
\Biggl(
72\Theta r11 + 24\Theta 2r21 36 + 12\Theta (r11 + r22) + 6\Theta 2r21
36 + 12\Theta (r11 + r22) + 6\Theta 2r21 24 + 12\Theta r22
\Biggr)
,
поэтому
(F 1) - 1S(\Theta ) =
\Biggl(
- 3 + \Theta (r11 - r22) + \Theta 2 r21
6 - 1 + \Theta r11 - 2r22
3 +\Theta 2 r21
6
12 + 2\Theta (2r22 - r11) 5 + \Theta (3r22 - r11) - \Theta 2 r21
2
\Biggr)
. (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
352 В. И. КОРОБОВ, Т. В. РЕВИНА
p = 0p = 0,3
p = –0,9
–6 –4 –2 20
2
–1
–2
–3
–4
2
3x2
x14
Рис. 1. Три траектории системы (31).
Вначале будем считать, что \Theta достаточно мало. Для нахождения границ изменения возмуще-
ния применим теорему 3. Для этого оценим собственное значение \lambda (\Theta ) матрицы (F 1) - 1S(\Theta ).
Как отмесено ранее, \sigma \{ (F 1) - 1S0\} = \{ - 1, 3\} . Рассмотрим случай минимального собственного
значения \lambda min матрицы (F 1) - 1S0. Тогда правый собственный вектор xmin и левый собственный
вектор ymin, соответствующие \lambda min, и такие, что y\ast minxmin = 1, имеют вид
xmin =
\bigl(
x1, - 2x1
\bigr) \ast
, ymin =
\biggl(
3
2x1
,
1
4x1
\biggr) \ast
, где x1 \not = 0,
откуда
y\ast min(F
1) - 1S
\prime
(0)xmin =
r11
2
.
Теперь рассмотрим случай максимального собственного значения матрицы, т. е.
\lambda max
\bigl(
(F 1) - 1S0
\bigr)
= 3. Тогда правый собственный вектор xmax и левый собственный вектор
ymax, соответствующие \lambda max, такие, что y\ast maxxmax = 1, имеют вид
xmax =
\bigl(
x1 - 6x1
\bigr) \ast
, ymax =
\biggl(
- 1
2x1
- 1
4x1
\biggr) \ast
, где x1 \not = 0,
откуда
y\ast max(F
1) - 1S
\prime
(0)xmax = - r11
2
+ 2r22.
Рассмотрим случай с конкретными значениями чисел rij . Пусть r11 = - 1, r21 = 1, r22 =
= - 1. Покажем, что при 0 \leq \Theta \leq 0,85 можно выбрать d01 \approx - 0,66 и d02 \approx 0,33. Поскольку
y\ast min(F
1) - 1S
\prime
(0)xmin = - 1/2, y\ast max(F
1) - 1S
\prime
(0)xmax = - 3/2, при достаточно малом \Theta таком,
что 0 \leq \Theta \leq 1, выполнены неравенства
\lambda (\Theta ) \geq - 1 - 1
2
\Theta \geq - 3
2
= \lambda 1, \lambda (\Theta ) \leq 3 - 3
2
\Theta \leq 3 = \lambda 2.
Собственные значения \lambda (\Theta ) матрицы (F 1) - 1S(\Theta ) имеют вид
\lambda 1,2(\Theta ) =
\Biggl\{
1 - \Theta - \Theta 2
6
\pm
\surd
36 - 18\Theta - 3\Theta 2 + 3\Theta 3 +\Theta 4
3
\Biggr\}
. (33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
РОБАСТНЫЙ ПОЗИЦИОННЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 353
На рис. 2 приведены собственные значения \lambda 1,2(\Theta ) матрицы (F 1) - 1S(\Theta ) при r11 = - 1, r21 = 1,
r22 = - 1. Оценка \lambda 1 \leq \lambda 1,2(\Theta ) \leq \lambda 2 выполняется при 0 \leq \Theta \leq 0,85, тогда теорема 3
справедлива при c = 0,85. Из формулы (18) при \~d01 = 1/\lambda 1, \~d02 = 1/\lambda 2 получаем d01 \approx - 0,66 и
d02 \approx 0,33.
Λ1
Λ2
Λ
0
Λ1
Λ2
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
2
1
1
2
Рис. 2. Собственные значения матрицы (F 1) - 1S(\Theta ) при r11 = - 1, r21 = 1, r22 = - 1.
При \Theta > 0,85 теорема 3 неприменима. В этом случае возможно применение методов
интервального анализа, хотя при 0 \leq \Theta \leq 0,85 методы интервального анализа (теорема 4) дают
более узкий интервал для изменения границ возмущения, чем теорема 3. Требуется оценить
элементы матрицы (F 1) - 1S(\Theta ), задаваемой формулой (32), которая при r11 = - 1, r21 = 1,
r22= - 1 принимает вид
(F 1) - 1S(\Theta ) =
\left( - 3 +
\Theta 2
6
- 1 +
\Theta
3
+
\Theta 2
6
12 - 2\Theta 5 - 2\Theta - \Theta 2
2
\right) .
Gjcrjkmre при \Theta \geq 0 функции - 3 +
\Theta 2
6
и - 1 +
\Theta
3
+
\Theta 2
6
монотонно возрастают, а 12 - 2\Theta и
5 - 2\Theta - \Theta 2
2
монотонно убывают, при 0 \leq \Theta \leq 0,85 матрицы M и M имеют вид
M \approx
\Biggl(
- 3 - 1
10, 29 2, 92
\Biggr)
, M \approx
\Biggl(
- 2, 88 - 0, 59
12 5
\Biggr)
,
и собственные значения (27) интервальной матрицы [M ;M ] лежат на отрезке [ - 6,98; 8]. По-
лученная оценка дает большую погрешность на истинные собственные значения матрицы
(F 1) - 1S(\Theta ). Из формулы (33) следует более точная оценка: \{ \lambda 1(\Theta ), \lambda 2(\Theta )\} \in [ - 1,5; 3]. Из
теоремы 4 получаем, что d01 \approx - 0,14 и d02 \approx 0,12. В этом случае d02 - d01 \approx 0,26. Теорема 3 дает
более широкий интервал: d02 - d01 \approx 0,99.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
354 В. И. КОРОБОВ, Т. В. РЕВИНА
Пусть 0 \leq \Theta \leq 1,8. Покажем, что выполнены соотношения d01 \approx - 0,11 и d02 \approx 0,11.
Матрицы M и M имеют вид
M \approx
\Biggl(
- 3 - 1
8, 4 - 0.22
\Biggr)
, M \approx
\Biggl(
- 2.46 0, 14
12 5
\Biggr)
,
и собственные значения (27) интервальной матрицы [M ;M ] лежат на отрезке [ - 8,79; 8,45]. Эта
оценка дает большую погрешность на истинные собственные значения матрицы (F 1) - 1S(\Theta ).
Из формулы (33) следует более точная оценка: \{ \lambda 1(\Theta ), \lambda 2(\Theta )\} \in [ - 2,9; 3]. Из теоремы 4
получаем d01 \approx - 0,11 и d02 \approx 0,11.
Пусть 0 \leq \Theta \leq 3. Покажем, что выполнены соотношения d01 \approx - 0,08 и d02 \approx 0,10. Матрицы
M и M имеют вид
M \approx
\Biggl(
- 3 - 1
6 - 5.5
\Biggr)
, M \approx
\Biggl(
- 1.5 1.5
12 5
\Biggr)
,
и собственные значения (27) интервальной матрицы [M ;M ] лежат на отрезке [ - 12,08; 9,58]. Эта
оценка дает большую погрешность на истинные собственные значения матрицы (F 1) - 1S(\Theta ).
Из формулы (33) следует более точная оценка: \{ \lambda 1(\Theta ), \lambda 2(\Theta )\} \in [ - 7,1; 3]. Из теоремы 4
получаем d01 \approx - 0,08 и d02 \approx 0.10.
Границы областей управляемости — это линии уровня функции \Theta (x1, x2), задаваемой урав-
нением (29). На рис. 3 представлены области управляемости, ограниченные линиями уровня
функции \Theta (x1, x2) при \Theta = 0,85, \Theta = 1,8, \Theta = 3. Увеличение размера эллипсов соответствует
увеличению значения \Theta . При 0 \leq \Theta \leq 0,85 согласно теореме 3 имеем d02 - d01 \approx 0,99, а согласно
теореме 4 — d02 - d01 \approx 0,26. Для больших эллипсов получены оценки в силу теоремы 4. При
0 \leq \Theta \leq 1,8 выполнено d02 - d01 \approx 0,22, а при 0 \leq \Theta \leq 3 — d02 - d01 \approx 0,18.
В качестве конкретной реализации возмущения рассмотрим функцию p = p(t, x1, x2) =
= 0,33 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
50(x21 + x22)t
\bigr)
. Выберем в качестве начальной точки x0 = (0.12; - 0.1). Решая урав-
нение (29), получаем \Theta (x0) = \theta 0 \approx 0,83. Тогда в силу теоремы 3 d01 \approx - 0,66 и d02 \approx 0, 33. Для
нахождения траектории воспользуемся замечанием 5. Траектория является решением задачи
Коши
\.x1 = - px1 + (1 + p)x2,
\.x2 = p x1 - p x2 -
6 x1
\theta 2
- 3x2
\theta
,
\.\theta =
( - 12 + 6p \theta + 2p \theta 2) x21 + ( - 6 + 6p+ 4p \theta + 2p \theta 2) x1 x2 \theta + ( - 1 + 2p+ p \theta ) x22 \theta
2
12x21 + 6x1 x2 \theta + x22 \theta
2
,
x1(0) = 0, 12, x2(0) = - 0, 1, \theta (0) = 0, 83. (34)
Пусть (x01(t), x
0
2(t), \theta (t)) —- решение системы (34). На рис. 4 представлена кривая
(x01(t), x
0
2(t)). На рис. 5 приведен график управления
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
РОБАСТНЫЙ ПОЗИЦИОННЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 355
[–0,66;0,33]
[–0.08;0.10]
[–0,11;0,11]
[–0,14;0,12]
–2 –1 1 2 x1
x2
–2
–1
1
2
Рис. 3. Области управляемости
0 x1
x2
0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12
–0,20
–0,15
–0,10
–0,05
Рис. 4
t
u
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1.0–
–0.5
0.5
1.0
Рис. 5
u(x01(t), x
0
2(t)) = - 6x01(t)
\theta 2(t)
- 3x02(t)
\theta (t)
,
причем | u(x01(t), x02(t))| \leq 1. Функция управляемости \theta (t) близка к линейной (y = 0,83 - t) и
представлена на рис. 6. Можно показать численно, что время попадания в начало координат
равно T \approx 0,78. При этом оценка (19) дает более грубый результат, а именно: 0,21 \leq T \leq 83,25.
График производной по времени от функции управляемости приведен на рис. 7.
Литература
1. Ackermann J. Parameter space design of robust control systems // IEEE Trans. Automat. Contr. – 1980. – 25, № 6. –
P. 1058 – 1072.
2. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002. – 303 с.
3. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе М. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных
процессов. – М.: Наука, 1961. – 393 с.
4. Коробов В. И., Скляр Г. М. Оптимальное быстродействие и степенная проблема моментов // Мат. сб. – 1987. –
134(176), № 2(10). – С. 186 – 206.
5. Коробов В. И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости //
Мат. сб. – 1979. – 109(151), № 4(8). – С. 582 – 606.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
356 В. И. КОРОБОВ, Т. В. РЕВИНА
0 0,4
0,4
0,6
0,6
0,80,2
0,2
t
Θ
Рис. 6
t
d0.7
0,40,2 0,6
–1,3
–1,2
–1,1
–1,0
–0,9
–0,8
Рис. 7
6. Коробов В. И. Решение задачи синтеза для управляемых процессов с возмущениями с помощью функции
управляемости // Дифференц. уравнения. – 1987. – 23, № 2. – С. 236 – 243.
7. Коробов В. И., Гавриляко В. М. Робастные системы. Синтез ограниченного управления // Вiсн. Харк. ун-ту.
„Математика, прикл. математика i механiка”. – 2005. – 711, вып. 55. – С. 23 – 27.
8. Ревина Т. В. Решение одной задачи синтеза управления для робастных систем на основе метода функции
управляемости // Динам. системы. – 2008. – 25. – С. 83 – 93.
9. Polyakov A., Efimov D., Perruquetti W. Finite-time stabilization using implicit Lyapunov function technique // Proc.
9th IFAC Symp. Nonlinear Control Systems. – Toulouse, France: IFAC Publ., 2013. – P. 140 – 145.
10. Коробов В. И. Метод функции управляемости. – М.: Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика”,
2007. – 576 с.
11. Ding S., Qian C., Li S. Global finite-time stabilization of a class of upper-triangular systems // Proc. Amer. Control
Conf., Baltimore, MD, USA, June 30 – July 2, 2010. – P. 4223 – 4228.
12. Du H., Qian C., Frye M. T., Li S. Global finite-time stabilization of a class of nonlinear systems via bounded output
feedback controllers // Proc. 18th IFAC World Congr., Milano, Italy, August 28 - September 2, 2011. – P. 233 – 238.
13. Ovseevich A. A local feedback control bringing a linear system to equilibrium // J. Optim. Theory and Appl. – 2015.
– 165. – P. 532 – 544.
14. Коробов В. И. Управляемость, устойчивость некоторых нелинейных систем // Дифференц. уравнения. – 1973.
– 9, № 4. – С. 614 – 619.
15. Коробов В. И., Скляр Г. М. Методы построения позиционных управлений и допустимый принцип максимума //
Дифференц. уравнения. – 1990. – 26, № 11. – С. 1914 – 1924.
16. Rodoumta K., Bowong S. Construction of bounded feedback by the controllability function method // Appl. Math.
Sci. – 2007. – 1, № 6. – P. 267 – 279.
17. Bowong S., Moukam Kakmeni F. M. Chaos control and duration time of a class of uncertain chaotic systems // Phys.
Lett. – A. – 2003 . – 316. – P. 206 – 217.
18. Скорик В. А. Аналитическое обращение одного семейства плохо обусловленных матриц, возникающих в
методе функции управляемости // Вiсн. Харк. ун-ту. „Математика, прикл. математика i механiка”. – 1999. –
444. – С. 15 – 23.
19. Korobov V. I., Revina T. V. Robust feedback synthesis problem for systems with a single perturbation // Communs
Math. Anal. – 2014. – 17, № 2. – P. 217 – 230.
20. Ревина Т. В. Несколько подходов к определению границ изменения возмущения в задаче глобального ро-
бастного синтеза // Вiсн. Харк. ун-ту. „Математика, прикл. математика i механiка”. – 2014. – 1133, вып. 70. –
С. 140 – 150.
21. Хорн Р. А., Джонсон Ч. Р. Матричный анализ., пер. с англ. под ред. Х. Д. Икрамова. – М.: Мир, 1989 – с. 656.
22. Rohn J. Bounds on eigenvalues of interval matrices // Z. angew. Math. und Mech. – 1998. – 78, № 0. – Issue S3.–
S. 1049 – 1050.
Получено 20.05.15,
после доработки — 13.10.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1842 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:44Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d9/1803d149858790697fb090bb132171d9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18422019-12-05T09:29:34Z Robust feedback synthesis for the canonical system Робастный позиционный синтез для канонической системы Korobov, V. I. Revina, T. V. Коробов, В. И. Ревина, Т. В. Коробов, В. И. Ревина, Т. В. The paper deals with the problems of global and local robust feedback synthesis of bounded control for a system with unknown bounded perturbation. Our approach is based on the method of controllability function proposed by V. I. Korobov. The ranges of perturbations are found from the condition that the total derivative of the controllability function caused by the perturbed system must be negative. We determine the largest segment of variation of the perturbation and construct a positional control that steers an arbitrary initial point to the origin within a finite period of time. The length of this period is estimated both from below and from above. A two-dimensional system is considered as an example. Розглянуто задачi глобального i локального робастного позицiйного синтезу обмеженого керування системою з невiдомим обмеженим збуренням. Розв’язок базується на методi функцiї керованостi В. I. Коробова. Межi змiни збурення знаходяться з умови, щоб повна похiдна функцiї керованостi в силу збуреної системи була вiд’ємною. У роботi знайдено найширший вiдрiзок змiни меж збурення та побудовано керування, яке переводить довiльну початкову точку у початок координат за скiнченний час, на який отримано оцiнки зверху та знизу. Як приклад розглянуто двовимiрну систему. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1842 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 3 (2016); 341-356 Український математичний журнал; Том 68 № 3 (2016); 341-356 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1842/824 Copyright (c) 2016 Korobov V. I.; Revina T. V. |
| spellingShingle | Korobov, V. I. Revina, T. V. Коробов, В. И. Ревина, Т. В. Коробов, В. И. Ревина, Т. В. Robust feedback synthesis for the canonical system |
| title | Robust feedback synthesis for the canonical system |
| title_alt | Робастный позиционный синтез для канонической системы |
| title_full | Robust feedback synthesis for the canonical system |
| title_fullStr | Robust feedback synthesis for the canonical system |
| title_full_unstemmed | Robust feedback synthesis for the canonical system |
| title_short | Robust feedback synthesis for the canonical system |
| title_sort | robust feedback synthesis for the canonical system |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1842 |
| work_keys_str_mv | AT korobovvi robustfeedbacksynthesisforthecanonicalsystem AT revinatv robustfeedbacksynthesisforthecanonicalsystem AT korobovvi robustfeedbacksynthesisforthecanonicalsystem AT revinatv robustfeedbacksynthesisforthecanonicalsystem AT korobovvi robustfeedbacksynthesisforthecanonicalsystem AT revinatv robustfeedbacksynthesisforthecanonicalsystem AT korobovvi robastnyjpozicionnyjsintezdlâkanoničeskojsistemy AT revinatv robastnyjpozicionnyjsintezdlâkanoničeskojsistemy AT korobovvi robastnyjpozicionnyjsintezdlâkanoničeskojsistemy AT revinatv robastnyjpozicionnyjsintezdlâkanoničeskojsistemy AT korobovvi robastnyjpozicionnyjsintezdlâkanoničeskojsistemy AT revinatv robastnyjpozicionnyjsintezdlâkanoničeskojsistemy |