Conditions for a submanifold $F^n$ from $E^{n + p}$ to lie in $E^{2n − 1}$
We consider a submanifold $F^n$ with $n$ principal directions in the space $E^{n + p}$, where $p \geq n_1$.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1843 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507715846012928 |
|---|---|
| author | Nasedkina, Ya. S. Наседкина, Я. С. Наседкина, Я. С. |
| author_facet | Nasedkina, Ya. S. Наседкина, Я. С. Наседкина, Я. С. |
| author_sort | Nasedkina, Ya. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:34Z |
| description | We consider a submanifold $F^n$ with $n$ principal directions in the space $E^{n + p}$, where $p \geq n_1$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514.76
Я. С. Наседкина (Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков)
ОБ УСЛОВИЯХ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ПОДМНОГООБРАЗИЯ \bfitF \bfitn *
We consider a submanifold Fn with n principal directions in the space En+p, where p \geq n - 1.
Розглядається пiдмноговид Fn з n головними напрямками у просторi En+p, де p \geq n - 1.
Вопросы принадлежности поверхности F 2 c вырожденным эллипсом нормальной кривизны
рассматривались в [1, с. 146; 5]. Принадлежность поверхности F 2 из En с невырожденным
эллипсом нормальной кривизны к пространству E4 в полной мере рассмотрена в [3]. Условия
принадлежности поверхности F 2 сфере S4 с невырожденным эллипсом нормальной кривизны
изучены в [4].
В данной работе рассматриваются подмногообразия Fn с n главными направлениями в про-
странстве En+p, p \geq n - 1, и их принадлежность пространству E2n - 1. Основным результатом
работы является следующая теорема
Теорема 1. Пусть в каждой точке P подмногообразия Fn \subset En+p, p \geq n - 1, с n
главными направлениями (n - 1)-мерное подпространство Nn - 1, содержащее индикатрису
нормальной кривизны в виде невырожденного (n - 1)-мерного симплекса, проходит через точку
P \in Fn и существует такая координатная сеть, что координатные линии касаются главных
направлений. Пусть никакие n - 1 из n главных векторов нормальной кривизны, отложенные
от точки P, не находятся в (n - 2)-мерном подпространстве Nn - 2. Тогда подмногообразие
Fn лежит в некотором подпространстве E2n - 1.
Доказательство теоремы будет приведено ниже.
Лемма 1. Если многообразие Fn \subset En+p имеет n главных направлений, то его индикат-
риса нормальной кривизны является (n - 1)-симплексом либо вырождается в подсимплекс.
Рассмотрим индикатрису нормальной кривизны поверхности Fn с радиусом-вектором r =
= r(u1, . . . , un) в точке x подмногообразия. По определению это подмножество в нормальном
пространстве Np, состоящее из концов векторов нормальной кривизны, отложенных от точ-
ки x и взятых для всех касательных направлений. Запишем вектор нормальной кривизны для
направления \tau , которое определяется дифференциалами (du1, du2, . . . , dun). Первая квадра-
тичная форма поверхности ds2 = gijdu
iduj . Пусть IIk = Lk
ijdu
iduj , k = 1, . . . , p — вторая
квадратичная форма поверхности. Поскольку единичная сфера в касательном пространстве
(n - 1)-мерна, ее образ в нормальном пространстве в общем случае будет (n - 1)-мерным
подмногообразием в нормальном подпространстве размерности
n(n - 1)
2
[2].
Пусть X1, . . . , Xp — координаты в нормальном пространстве Np относительно базиса
n1, . . . , np. Для любого единичного касательного направления \tau =
\biggl\{
dui
ds
\biggr\}
координаты век-
тора нормальной кривизны для этого направления имеют вид
Xk = Lk
ii
\biggl(
dui
ds
\biggr) 2
.
В выбранной точке можно получить gij = \delta ij .
* Поддержана грантами НАН Украины и Российским фондом фундаментальных исследований (2012г.)
c\bigcirc Я. С. НАСЕДКИНА, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3 357
358 Я. С. НАСЕДКИНА
Положим \lambda i =
\biggl(
dui
ds
\biggr) 2
, i = 1, . . . , n. В пространстве с координатами \lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda n урав-
нения \lambda 1 + \lambda 2 + . . .+ \lambda n = 1 и неравенства \lambda i \geq 0 задают симплекс. Индикатриса нормальной
кривизны является образом этого симплекса при линейном отображении, которое задается ра-
венствами Xk = Lk
ii\lambda
i . Если отображение невырождено, то индикатриса нормальной кривизны
является (n - 1)-симплексом. Он лежит в некотором (n - 1)-мерном пространстве Nn - 1. Ес-
ли же отображение вырождается, то образ является подсимплексом меньшей размерности. В
дальнейшем будем предполагать, что этот симплекс не вырождается. Он имеет n вершин по
числу главных направлений на Fn.
Замечание 1. Индикатриса нормальной кривизны для подмногообразия с главными на-
правлениями всегда является симплексом, но этот симплекс при отображении сферы Sn из
касательного пространства с помощью вектора нормальной кривизны покрывается несколько
раз. Действительно, для касательных векторов \tau и - \tau вектор нормальной кривизны один и тот
же. Поэтому симплекс покрывается образом сферы Sn по крайней мере два раза.
Перейдем к доказательству теоремы 1.
Замечание 2. Размерность 2n - 1 в теореме 1 не может быть уменьшена.
Доказательство теоремы. Подмногообразие с n главными направлениями по лемме 1
имеет индикатрису нормальной кривизны — (n - 1)-мерный симплекс, находящийся в нор-
мальном пространстве Nn - 1. Поскольку по условию теоремы подпространство Nn - 1, со-
держащее симплекс нормальной кривизны, проходит через точку поверхности, выберем по-
ле нормалей n1, n2, . . . , np в нормальном пространстве Np следующим образом. Выберем
n1, n2, . . . , nn - 1 так, чтобы они лежали в Nn - 1 и были ортогональны между собой. Направим
векторы nn, nn+1, . . . , np ортогонально Nn - 1. Тогда вторые квадратичные формы поверхности,
соответствующие последней группе нормалей, являются нулевыми, т. е.,
L\beta
ij = 0, \beta = n, n+ 1, . . . , p. (1)
Можем считать, что p \geq n, так как при p = n - 1 доказывать нечего.
Запишем уравнения Кодацци
L\sigma
ij,k - L\sigma
ik,j = L\alpha
ij\mu \alpha \sigma /k - L\alpha
ik\mu \alpha \sigma /j , n \leq \sigma \leq p, (2)
где суммирование проводится по \alpha от 1 до n - 1 Из (1) следует, что левая часть уравнений (2)
равна нулю. Тогда уравнение (2) примет вид
0 = L\alpha
ij\mu \alpha \sigma /k - L\alpha
ik\mu \alpha \sigma /j , n \leq \sigma \leq p.
Поскольку Fn имеет n главных направлений, выберем на Fn координаты так, чтобы в точке
P координатные линии касались главных направлений. Тогда в точке P L\alpha
ij = 0 при i \not = j и
всех \alpha . Получаем линейную систему уравнений на коэффициенты кручения \mu \alpha \sigma /k :
n - 1\sum
\alpha =1
L\alpha
ii\mu \alpha \sigma /k = 0,
где i \not = k, i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , n, \sigma = n, n+ 1, . . . , p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ОБ УСЛОВИЯХ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ПОДМНОГООБРАЗИЯ Fn 359
Например, общий вид системы для \mu \alpha \sigma /2 запишем следующим образом:
L1
11\mu 1\sigma /2 + L2
11\mu 2\sigma /2 + . . .+ Ln - 1
11 \mu n - 1\sigma /2 = 0,
L1
33\mu 1\sigma /2 + L2
33\mu 2\sigma /2 + . . .+ Ln - 1
33 \mu n - 1\sigma /2 = 0,
. . . . . . . . . . . .
L1
nn\mu 1\sigma /2 + L2
nn\mu 2\sigma /2 + . . .+ Ln - 1
nn \mu n - 1\sigma /2 = 0.
Определитель этой системы состоит из коэффициентов вторых квадратичных форм и имеет
вид \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
L1
11 L2
11 . . . Ln - 1
11
L1
33 L2
33 . . . Ln - 1
33
. . . . . . . . . . . .
L1
nn L2
nn . . . Ln - 1
nn
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
.
Заметим, что строки этого определителя являются координатами главных векторов нор-
мальной кривизны ki =
\bigl(
L1
ii, L
2
ii, . . . , L
n - 1
ii
\bigr)
.
Этот определитель не будет равен нулю, так как по условию теоремы никакие n - 1 из
n главных векторов нормальной кривизны не находятся в (n - 2)-мерном подпространстве.
Таким образом, коэффициенты кручения \mu \alpha \sigma /2 \equiv 0. Аналогично делаем заключение, что и
другие коэффициенты \mu \alpha \sigma /k \equiv 0. Заметим, что \sigma \geq n.
Возьмем кривую \gamma : ui = ui(t) на Fn и вдоль нее возьмем пространство E2n - 1, натянутое
на векторы r1, . . . , rn, n1, . . . , nn - 1 , где r1, r2, . . . , rn — векторы касательного пространства.
Полученные условия \mu \alpha \sigma /k = 0, L\sigma
ij = 0, \sigma \geq n запишем в виде
(n\sigma ui , n\alpha ) = 0, i = 1, . . . , n, \alpha = 1, . . . , n - 1,
(n\sigma ui , ruj ) = 0.
Рассмотрим векторное поле n\sigma = n\sigma (u
1, . . . , un). Производная этого векторного поля орто-
гональна n\sigma , поэтому она раскладывается по векторам r1, . . . , rn, n1, . . . , np
Пусть \rho и \sigma > n. Покажем что можно выбрать nn, . . . , np, так что \mu \rho \sigma /k = 0. Поскольку
L\rho
ij = 0, уравнения Риччи для выбранных индексов \rho , \sigma примут вид
\mu \rho \sigma /i,k - \mu \rho \sigma /k,i +
p\sum
\gamma =n
(\mu \sigma \gamma /i\mu \gamma \rho /k - \mu \sigma \gamma /k\mu \gamma \rho /i) = 0. (3)
Далее рассмотрение проведем аналогично изложенному в § 6 гл. 4 [1]. В фиксированной
точке P возмем единичные векторы nn, . . . , np, ортогональные между собой и будем их па-
раллельно переносить в нормальном расслоении в произвольную точку Q вдоль некоторого
соединяющего эти точки пути. Условие (3) является условием независимости этого перенесе-
ния от пути. Для так построенных нормальных векторов коэффициенты кручения \mu \rho \sigma /i \equiv 0.
Заметим, что эти векторы продолжают оставаться ортогональными к Nn - 1.
В силу общего разложения Вейнгартена имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
360 Я. С. НАСЕДКИНА
n\sigma ui = - L\sigma
ijg
jkruk +
p\sum
\rho =n
\mu \rho \sigma /in\rho +
n - 1\sum
\alpha =1
\mu \alpha \sigma /in\alpha .
Но L\sigma
ij = 0, \mu \alpha \sigma /i = \mu \sigma \rho /i = 0, поэтому n\sigma ui = 0, т. е. векторное поле n\sigma постоянно на Fn. За-
пишем условие ортогональности n\sigma касательному пространству подмногообразия (n\sigma , rui) = 0.
Поскольку n\sigma — постоянное векторное поле, интегрируя, получаем (n\sigma , r) = c. Таких урав-
нений имеем p - n + 1. Объемлющее пространство имеет размерность n + p. Следовательно,
координаты радиуса-вектора подмногообразия Fn удовлетворяют уравнению постоянного под-
пространства E2n - 1, т. е. поверхность Fn принадлежит E2n - 1.
Построим пример поверхности, показывающий, что условие существования главных на-
правлений существенно. Так, у линейчатого подмногообразия F 3 \subset E6 с радиусом-вектором
r(u1, u2, u3) = \rho (u1) + u2\xi 2(u1) + u3\xi 4(u1),
где \rho (u1) — некоторая кривая \Gamma в E6 с постоянными ненулевыми кривизнами k1, . . . , k5. Ко-
ордината u1 предполагается длиной дуги кривой \Gamma , \xi i — вектор-функции естественного репера
Френе кривой. В этом случае n = 3, p = 3, 2n - 1 = 5. Покажем, что у этого подмногообразия
индикатриса нормальной кривизны в точках \Gamma вырождается в плоскую область, ограниченную
эллипсом, т. е. не является симплексом, и, следовательно, согласно лемме 1 не имеет главных
направлений. Подмногообразие F 3 не лежит в E5, так как кривая \Gamma не лежит в E5 (k5 отлично
от нуля по построению).
Действительно, найдем первую и вторую квадратичные формы этой поверхности:
ru1 = \xi 1(1 - k1u2) + \xi 3(k2u2 - k3u3) + k4u3\xi 5,
ru2 = \xi 2,
ru3 = \xi 4,
где ki, i = 1, . . . , 5, — кривизны кривой \Gamma . Отсюда видно, что g11 = (1 - k1u2)
2 + (k2u2 -
- k3u3)
2 + (k4u3)
2, g12 = 0, g13 = 0, g22 = 1, g23 = 0, g33 = 1.
Далее, так как ki = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = 0, то
ru1u1 = \xi 2(k1(1 - k1u2) - k22u2 + k2k3u3) + \xi 4(k3(k2u2 - k3u3) - k24u3) + \xi 6k5k4u3,
ru1u2 = - \xi 1k1 + \xi 3k2,
ru1u3 = - \xi 3k3 + \xi 5k4,
ru2u2 = 0, ru2u3 = 0, ru3u3 = 0.
Запишем касательные и нормали к подмногообразию на кривой \Gamma , т. е. при u2 = 0, u3 = 0:
ru1 = \xi 1, n1 = \xi 5,
ru2 = \xi 2, n2 = \xi 3,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ОБ УСЛОВИЯХ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ПОДМНОГООБРАЗИЯ Fn 361
ru3 = \xi 4, n3 = \xi 6.
Найдем индикатрисы нормальной кривизны линейчатого многообразия на кривой \Gamma . Пер-
вые и вторые квадратичные формы на \Gamma примут вид
ds2 = du21 + du22 + du23,
L1
11 = 0, L1
12 = 0, L1
13 = k4,
L\alpha
22 = L\alpha
23 = L\alpha
33 = 0, \alpha = 1, 2, 3,
L2
11 = 0, L2
12 = k2, L2
13 = - k3,
L3
11 = 0, L3
12 = 0, L3
13 = 0.
Индикатриса нормальной кривизны kn = X1n1 + X2n2 + X3n3. Обозначим
duk
ds
= yk,
k = 1, 2, 3. Тогда Xi = Li
11y
2
1 + 2Li
12y1y2 + Li
22y
2
2 + 2Li
13y1y3 + Li
33y
2
3 + 2Li
23y2y3. Учитывая
получившиеся значения для Lk
ij , имеем
X1 = 2k4y1y3,
X2 = 2k2y1y2 - 2k3y1y3,
X3 = 0,
где
(y1)
2 + (y2)
2 + (y3)
2 = 1. (4)
Из (4) так как X3 = 0, следует, что индикатриса — плоское ограниченное множество. Можно
говорить о границе этого множества. Индикатриса строится с помощью отображения единич-
ной сферы S2 из касательного пространства к F 3 на плоскость с координатами X1, X2, при
этом это отображение многолистное. Следовательно, на границе множества точек индикатрисы
якобиан отображения J
\biggl(
X1, X2
y1, y3
\biggr)
= 0. Это обстоятельство дает возможность определить вид
границы множества точек индикатрисы.
Имеем,
J =
\biggl(
X1, X2
y1, y3
\biggr)
,
J = 4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\partial k4y1y3
\partial y1
\partial (k2y1y2 - k3y1y3)
\partial y1
\partial k4y1y3
\partial y3
\partial (k2y1y2 - k3y1y3)
\partial y3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
J =
- 4k4k2y1\sqrt{}
1 - y21 - y23
(1 - 2y21).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
362 Я. С. НАСЕДКИНА
При y1 = 0 и y21 =
1
2
якобиан равен нулю. Если y1 = 0, то получим вырождение — точку
на плоскости. Тогда
y1 = \pm 1\surd
2
, y2 = \pm 1\surd
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi , y3 = \pm 1\surd
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi .
Подставим полученные значения для y1, y2, y3 в X1, X2. Найдем
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi =
1
k2
\biggl(
X2 - k3
k4
X1
\biggr)
, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi =
X1
k4
.
После преобразования \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \varphi + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \varphi = 1 получим уравнение второго порядка на X1, X2 :
(X1)2
k24
+
1
k22
\biggl(
X2 - k3
k4
X1
\biggr) 2
= 1.
Это уравнение эллипса.
Таким образом, индикатриса является частью плоскости, ограниченной эллипсом. Посколь-
ку, все L3
ij = 0 на кривой \Gamma , плоскость, в которой лежит индикатриса, проходит через точку
поверхности и, следовательно, F 3 не имеет главных направлений.
Замечание 3. В общем случае для подмногообразия F 3 в E6 индикатриса является неко-
торой поверхностью трехмерного пространства N3. Пример такой поверхности — поверхность
Штейнера — приведен в книге [2]. Если же подмногообразие F 3 лежит в некотором E5, то
индикатриса — плоское множество, причем плоскость, в которой лежит это множество, прохо-
дит через соответствующую точку подмногообразия F 3. Естественно поставить вопрос: если
F 3 лежит в E6 и его индикатриса имеет указанное свойство, то будет ли на самом деле F 3
лежать в некотором E5 ?
Замечание 4. В построенном выше примере указанное свойство индикатрисы выполняет-
ся только в точках кривой \Gamma .
Автор выражает благодарность профессору Аминову Ю. А. за его поддержку и советы,
которые способствовали улучшению статьи.
Литература
1. Аминов Ю. А. Геометрия подмногообразий. – Киев: Наук., думка, 2002. – 468 c.
2. Схоутен И. А., Стройк Д. Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. – М.: Изд-во иностр.,
лит., 1948. – Т. 2. – 348 c.
3. Aminov Yu. A., Nasiedkina Ia. S. Conditions on a Surface F 2 \in En to lie in E4 // J. Math. Physics., Anal., Geom. –
2013. – 9, № 2. – P. 127 – 149.
4. Аминов Ю. А., Наседкина Я. С. Условия принадлежности двумерной поверхности из E5 гиперсфере или
гиперплоскости // Мат. заметки. – 2013. – 94, № 2. – С. 163 – 174.
5. Наседкина Я. С. (Тандура Я. С.) Об условиях принадлежности поверхности трехмерной сфере // Вестн.
Харьков. нац. ун-та. Сер. математика, прикл. математика и механика. – 2007. – 790, № 57. – С. 140 – 145.
Получено 12.07.13,
после доработки — 16.03.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1843 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:43Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c8/ef16e1c8c34feaf4190a3574680ff3c8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18432019-12-05T09:29:34Z Conditions for a submanifold $F^n$ from $E^{n + p}$ to lie in $E^{2n − 1}$ Об условиях принадлежности подмногообразия $F^n$ из $E^{n + p}$ подпространству $E^{2n − 1}$ Nasedkina, Ya. S. Наседкина, Я. С. Наседкина, Я. С. We consider a submanifold $F^n$ with $n$ principal directions in the space $E^{n + p}$, where $p \geq n_1$. Розглядається пiдмноговид $F^n$ з $n$ головними напрямками у просторi $E^{n + p}$, де $p \geq n_1$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1843 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 3 (2016); 357-362 Український математичний журнал; Том 68 № 3 (2016); 357-362 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1843/825 Copyright (c) 2016 Nasedkina Ya. S. |
| spellingShingle | Nasedkina, Ya. S. Наседкина, Я. С. Наседкина, Я. С. Conditions for a submanifold $F^n$ from $E^{n + p}$ to lie in $E^{2n − 1}$ |
| title | Conditions for a submanifold $F^n$ from $E^{n + p}$ to lie in $E^{2n − 1}$ |
| title_alt | Об условиях принадлежности подмногообразия $F^n$ из $E^{n + p}$ подпространству $E^{2n − 1}$ |
| title_full | Conditions for a submanifold $F^n$ from $E^{n + p}$ to lie in $E^{2n − 1}$ |
| title_fullStr | Conditions for a submanifold $F^n$ from $E^{n + p}$ to lie in $E^{2n − 1}$ |
| title_full_unstemmed | Conditions for a submanifold $F^n$ from $E^{n + p}$ to lie in $E^{2n − 1}$ |
| title_short | Conditions for a submanifold $F^n$ from $E^{n + p}$ to lie in $E^{2n − 1}$ |
| title_sort | conditions for a submanifold $f^n$ from $e^{n + p}$ to lie in $e^{2n − 1}$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1843 |
| work_keys_str_mv | AT nasedkinayas conditionsforasubmanifoldfnfromenptolieine2n1 AT nasedkinaâs conditionsforasubmanifoldfnfromenptolieine2n1 AT nasedkinaâs conditionsforasubmanifoldfnfromenptolieine2n1 AT nasedkinayas obusloviâhprinadležnostipodmnogoobraziâfnizenppodprostranstvue2n1 AT nasedkinaâs obusloviâhprinadležnostipodmnogoobraziâfnizenppodprostranstvue2n1 AT nasedkinaâs obusloviâhprinadležnostipodmnogoobraziâfnizenppodprostranstvue2n1 |