Semigroups of endotopisms of efficient and connected relations
For binary relations satisfying the conditions of efficiency and connectedness, it is shown that the semigroup of all endotopisms of any effective and connected binary relation characterizes this relation to within an isotopism or an antiisotopism.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1845 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507718024953856 |
|---|---|
| author | Toichkina, E. A. Тоичкина, Е. А. Тоичкина, Е. А. |
| author_facet | Toichkina, E. A. Тоичкина, Е. А. Тоичкина, Е. А. |
| author_sort | Toichkina, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:34Z |
| description | For binary relations satisfying the conditions of efficiency and connectedness, it is shown that the semigroup of all endotopisms of any effective and connected binary relation characterizes this relation to within an isotopism or an antiisotopism. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
Е. А. Тоичкина (Луган. нац. ун-т им. Т. Шевченко)
ПОЛУГРУППЫ ЭНДОТОПИЗМОВ ЭФФЕКТИВНЫХ
СВЯЗНЫХ ОТНОШЕНИЙ
For binary relations satisfying the conditions of efficiency and connectedness, it is shown that the semigroup of all
endotopisms of any effective and connected binary relation characterizes this relation to within an isotopism or an
antiisotopism.
Для бiнарних вiдношень, що задовольняють умови ефективностi та зв’язностi, доведено, що напiвгрупа ендотопiзмiв
будь-якого такого вiдношення характеризує це бiнарне вiдношення з точнiстю до iзотопiзму або антиiзотопiзму.
1. Введение. Исследованию связей любой алгебраической системы с производными струк-
турами, такими как группа автоморфизмов, полугруппа эндоморфизмов, решетка подсистем,
решетка конгруэнций, посвящено большое количество работ (см., например, [1 – 3]). Одной
из первых работ, в которой была рассмотрена связь бинарного отношения с соответствующей
ему полугруппой эндоморфизмов, является статья Л. М. Глускина [4], где показано, что любое
отношение квазипорядка определяется полугруппой эндоморфизмов этого отношения с точно-
стью до изоморфизма или антиизоморфизма. В то же время Л. Б. Шнеперман в [5] показал,
что результат Глускина невозможно перенести на класс всех рефлексивных бинарных отноше-
ний, при этом им были найдены абстрактные характеристики полугруппы всех эндоморфизмов
квазиупорядоченного множества и квазиупорядоченной полугруппы всех эндоморфизмов от-
ношения квазипорядка. Позже Б. В. Попов [6] из класса рефлексивных бинарных отношений
выделил подкласс, на который распространил упомянутый выше результат Глускина.
Данная работа посвящена изучению эффективных бинарных отношений и связи этих от-
ношений с их полугруппой эндотопизмов, которая с точностью до изоморфизма содержит в
себе полугруппу эндоморфизмов. Понятие эндотопизма было введено Б. В. Поповым [7] как
обобщение понятия эндоморфизма для случая \mu -арных отношений. С помощью полугрупп эн-
дотопизмов им были охарактеризованы с точностью до изотопизма определенные структуры
этих отношений. Кроме того, оказывается, полугруппа эндотопизмов произвольного бинар-
ного отношения, определенного на некотором множестве, является соответствием (в смысле
А. Г. Куроша [8]) симметрической полугруппы на этом множестве. В частности, для любой
эквивалентности полугруппа всех ее эндотопизмов является соответствием полугруппы эндо-
морфизмов той же эквивалентности [9]. Некоторые свойства полугруппы эндотопизмов произ-
вольного отношения эквивалентности изучались в [10].
Опишем кратко структуру работы. В п. 2 приведены необходимые определения и вспомо-
гательные утверждения. В п. 3 на элементах минимального идеала полугруппы эндотопизмов
бинарного отношения с помощью свойств только операции умножения построено новое отно-
шение, изотопное данному бинарному отношению (лемма 4). Установлено, что если бинарное
отношение удовлетворяет условию эффективности и связности, то полугруппа эндотопизмов
определяет это бинарное отношение с точностью до так называемого изотопизма или ан-
тиизотопизма (теорема 1). Аналогичнаяя характеристика также справедлива для полугруппы
эндоморфизмов эффективных связных отношений (теорема 2). Все понятия, которые не опре-
деляются в работе, можно найти в [13, 14].
c\bigcirc Е. А. ТОИЧКИНА, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3 377
378 Е. А. ТОИЧКИНА
2. Основные понятия и вспомогательные леммы. 2.1. Пусть \rho \subseteq A\times B — произвольное
бинарное отношение, где A и B — множества, содержащие не менее двух элементов. Здесь
рассматриваются случаи, когда A = B и A \cap B = \varnothing . Бинарное отношение \rho называется
эффективным, если \{ x \in A| \exists y \in B : (x, y) \in \rho \} = A и \{ y \in B| \exists x \in A : (x, y) \in \rho \} = B.
Бинарное отношение \rho \subseteq A \times B называется связным [14], если не существуют непустых
множеств A1, A2, B1 и B2, таких что A1 \cup A2 = A, B1 \cup B2 = B, A1 \cap A2 = \varnothing , B1 \cap B2 = \varnothing и
\rho \subseteq (A1 \times B1) \cup (A2 \times B2).
В дальнейшем будем рассматривать только эффективные и связные бинарные отношения,
при этом слова „эффективное” и „связное” будем опускать.
Бинарные отношения \rho \subseteq A\times B и \rho
\prime \subseteq A
\prime \times B\prime
называются изотопными [7], если существует
такая упорядоченная пара (\tau , \sigma ) биективных отображений \tau : A\rightarrow A
\prime
, \sigma : B \rightarrow B
\prime
, что для всех
x \in A, y \in B
(x, y) \in \rho \leftrightarrow (x\tau , y\sigma ) \in \rho
\prime
.
Эндотопизмом бинарного отношения \rho называется упорядоченная пара (\varphi 1, \varphi 2), где \varphi 1 —
преобразование множества A, а \varphi 2 — преобразование множества B, такая, что для всех x \in A,
y \in B
(x, y) \in \rho \Rightarrow (x\varphi 1, y\varphi 2) \in \rho .
Если преобразования \varphi 1 и \varphi 2 биективны и
(x, y) \in \rho \leftrightarrow (x\varphi 1, y\varphi 2) \in \rho ,
то упорядоченная пара (\varphi 1, \varphi 2) называется автотопизмом отношения \rho .
Пусть Et(\rho ) — множество всех эндотопизмов бинарного отношения \rho . Легко видеть, что
Et(\rho ) относительно операции покомпонентного умножения образует полугруппу. Очевидно,
полугруппа Et(\rho - 1) бинарного отношения \rho - 1 \subseteq B \times A изоморфна полугруппе Et(\rho ).
Всюду в статье для изоморфизма полугрупп и отношений будем использовать знак \sim =, а для
изотопизма отношений — знак \simeq .
2.2. Преобразование \varphi произвольного множества M такое, что M\varphi = \{ x\} , условимся
обозначать символом \varphi x. Легко видеть, что пара (\varphi a, \varphi b) преобразований множеств A и B
соответственно является эндотопизмом \rho \subseteq A \times B, если (a, b) \in \rho . Множество всех правых
нулей полугруппы Et(\rho ) будем обозначать через L, т. е.
L = \{ (\varphi 1, \varphi 2)| Et(\rho )(\varphi 1, \varphi 2) = \{ (\varphi 1, \varphi 2)\} \} .
Можно показать, что L состоит из всевозможных эндотопизмов вида (\varphi a, \varphi b), где (a, b) \in \rho , и
образует двусторонний идеал в полугруппе Et(\rho ).
Через \varphi xy обозначим такое преобразование произвольного множества M, такое что M\varphi =
= \{ x, y\} , где x \not = y. Заметим, что если \varphi x = \varphi y \leftrightarrow x = y, то это несправедливо для преобразо-
ваний вида \varphi xy.Можно показать, что (\varphi ab, \varphi c) — эндотопизм отношения \rho , если (a, c), (b, c) \in \rho ,
и, аналогично, (\varphi a, \varphi bc) — эндотопизм отношения \rho , если (a, c), (a, b) \in \rho . Пусть Et2(\rho ) — мно-
жество всех эндотопизмов отношения \rho \subseteq A \times B вида (\varphi ab, \varphi c) или (\varphi a, \varphi bc). Справедлива
следующая лемма.
Лемма 1. Для любого g \in Et(\rho ) выполняется условие
g \in Et2(\rho ) \leftrightarrow | L \cdot g| = 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ПОЛУГРУППЫ ЭНДОТОПИЗМОВ ЭФФЕКТИВНЫХ СВЯЗНЫХ ОТНОШЕНИЙ 379
Доказательство. Пусть g \in Et2(\rho ) — произвольный эндотопизм. Если g = (\varphi ab, \varphi c), то
для любого эндотопизма (\varphi x, \varphi y) \in L имеем
(\varphi x, \varphi y)(\varphi ab, \varphi c) =
\Biggl\{
(\varphi a, \varphi c), если x \in a\varphi - 1
ab ,
(\varphi b, \varphi c), если x \in b\varphi - 1
ab .
Таким образом, | L \cdot g| = 2. Аналогично, если g = (\varphi a, \varphi bc), то также | L \cdot g| = 2.
Пусть теперь | L \cdot g| = 2 для некоторого g = (\varphi 1, \varphi 2) \in Et(\rho ). Заметим, что если ранг
какого-либо из преобразований \varphi 1 или \varphi 2 не меньше 3, то L \cdot g состоит не менее чем из
3 элементов. В самом деле, пусть A\varphi 1 = \{ a, b, c, . . .\} , где a, b, c, . . . — попарно различные
элементы, и x \in a\varphi - 1
1 . Поскольку \rho — эффективное бинарное отношение, то найдется такой
элемент y \in B, что (x, y) \in \rho . Тогда (\varphi x, \varphi y)(\varphi 1, \varphi 2) = (\varphi a, \varphi z), где z = y\varphi 2. Таким образом,
(\varphi a, \varphi z) \in L \cdot g. Аналогично, (\varphi b, \varphi z\prime )(\varphi c, \varphi z\prime \prime ) \in L \cdot g, и тогда | L \cdot g| \geq 3, в то время как
| L \cdot g| = 2. Следовательно, преобразования \varphi 1 и \varphi 2 имеют ранг не больше чем 2, причем по
крайней мере одно из этих преобразований имеет ранг 2.
Предположим, что для эндотопизма g = (\varphi 1, \varphi 2) преобразования \varphi 1 и \varphi 2 имеют ранг 2.
ПустьA\varphi 1 = \{ a, b\} , аB\varphi 2 = \{ c, d\} . Так же, как и выше, можно показать, что (\varphi a, \varphi x), (\varphi b, \varphi y) \in
\in L \cdot g, где x, y \in \{ c, d\} . Допустим, что x \not = y. Тогда
L \cdot g = \{ (\varphi a, \varphi c), (\varphi b, \varphi d)\} или L \cdot g = \{ (\varphi a, \varphi d), (\varphi b, \varphi c)\} .
Если L \cdot g = \{ (\varphi a, \varphi c), (\varphi b, \varphi d)\} , то для всех (\varphi u, \varphi v) \in L, т. е. для всех (u, v) \in \rho
u \in a\varphi - 1
1 \Rightarrow v \in c\varphi - 1
2 и u \in b\varphi - 1
1 \Rightarrow v \in d\varphi - 1
2 .
Следовательно,
\rho \cap (a\varphi - 1
1 \times d\varphi - 1
2 ) = \varnothing и \rho \cap (b\varphi - 1
1 \times c\varphi - 1
2 ) = \varnothing .
Поэтому \rho \subseteq (a\varphi - 1
1 \times c\varphi - 1
2 ) \cup (b\varphi - 1
1 \times d\varphi - 1
2 ) и, следовательно, \rho не связно (пп. 2.1), что
противоречит связности отношения \rho . Аналогично можно показать, что в случае L \cdot g =
= \{ (\varphi a, \varphi d), (\varphi b, \varphi c)\} также возникает противоречие. Таким образом, x = y. Следовательно,
(\varphi a, \varphi d), (\varphi b, \varphi d) \in L \cdot g или (\varphi a, \varphi c), (\varphi b, \varphi c) \in L \cdot g. В первом случае, если учесть, что
A\varphi 1 = \{ a, b\} , для v \in d\varphi - 1
2 найдется элемент u \in a\varphi - 1
1 или u \in b\varphi - 1
1 , что (u, v) \in \rho , поэтому
(\varphi a, \varphi d) \in L \cdot g или (\varphi b, \varphi d) \in L \cdot g, но тогда в любом случае | L \cdot g| \geq 3, что невозможно.
Аналогично невозможен случай, когда (\varphi a, \varphi c), (\varphi b, \varphi c) \in L \cdot g. Таким образом, доказано, что
преобразования \varphi 1 и \varphi 2 не могут одновременно иметь ранг 2. Следовательно, одно из преоб-
разований \varphi 1, \varphi 2 имеет ранг 1, а другое — ранг 2. Поэтому g = (\varphi ab, \varphi c) или g = (\varphi a, \varphi cd), т. е.
g \in Et2(\rho ).
2.3. Пусть g, g\prime \in Et2(\rho ), g \not = g\prime и g = (\varphi ab, \varphi c), g
\prime = (\varphi a, \varphi bc), — произвольные эндото-
пизмы отношения \rho \subseteq A \times B. Определим отношения эквивалентности \varepsilon g и \varepsilon g\prime следующим
образом:
(x, y) \in \varepsilon g \leftrightarrow x\varphi ab = y\varphi ab и \varepsilon g \subseteq A\times A,
(x, y) \in \varepsilon g\prime \leftrightarrow x\varphi bc = y\varphi bc и \varepsilon g\prime \subseteq B \times B.
Для каждого g, g\prime \in Et2(\rho ) положим
Etg = g \cdot Et2(\rho )\setminus L и Etg\prime = g\prime \cdot Et2(\rho )\setminus L.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
380 Е. А. ТОИЧКИНА
Лемма 2. Справедливы равносильности:
h \in Etg \leftrightarrow h = (\varphi xy, \varphi z)\&\varepsilon h = \varepsilon g,
h \in Etg\prime \leftrightarrow h = (\varphi x, \varphi yz)\&\varepsilon h = \varepsilon g\prime .
Доказательство. Пусть g = (\varphi ab, \varphi c) и h \in Etg, тогда существует такой элемент f \in
\in Et2(\rho ), что h = g \cdot f и h /\in L. Если f = (\varphi x, \varphi yz), то
h = (\varphi ab, \varphi c) \cdot (\varphi x, \varphi yz) = (\varphi ab\varphi x, \varphi c\varphi yz) =
\Biggl\{
(\varphi x, \varphi y) и (x, y) \in \rho , если c \in y\varphi - 1
yz ,
(\varphi x, \varphi z) и (x, z) \in \rho , если c \in z\varphi - 1
yz ,
т. е. h \in L, что противоречит условию h \in Etg. Если f = (\varphi xy, \varphi z) , то h = (\varphi ab, \varphi c)\cdot (\varphi xy, \varphi z) =
= (\varphi ab\varphi xy, \varphi z) . Если (a, b) \in \varepsilon f , то либо h = (\varphi x, \varphi z) , если a \in x\varphi - 1
xy , либо h = (\varphi y, \varphi z) ,
если a \in y\varphi - 1
xy , т. е. h \in L, что противоречит условию h \in Etg. Поэтому (a, b) /\in \varepsilon f и тогда
h = (\varphi ab\varphi xy, \varphi z) = (\varphi xy, \varphi z) . Очевидно, что \varepsilon h = \varepsilon g.
Пусть теперь h = (\varphi xy, \varphi z) , \varepsilon h = \varepsilon g. Покажем, что h \in Etg. Пусть h\prime = (\psi xy,\psi z) , где
\psi xy =
\biggl(
a A\setminus \{ a\}
x y
\biggr)
, тогда h = g \cdot h\prime , следовательно, h \in Etg. Аналогично доказывается
второе утверждение леммы.
2.4. На множестве L зададим отношения эквивалентности \varepsilon 1 и \varepsilon 2, положив
((\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)) \in \varepsilon 1 \leftrightarrow u = p и ((\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)) \in \varepsilon 2 \leftrightarrow v = q.
Пусть g, g\prime \in Et2(\rho ), g \not = g\prime и g = (\varphi ab, \varphi c) , g
\prime = (\varphi a, \varphi bc) — произвольные эндотопизмы. С
помощью эндотопизмов g и g\prime определим такие бинарные отношения \eta g и \eta g\prime на L, что для
любых (\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q) \in L
((\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)) \in \eta g \leftrightarrow \exists f\in Etg (L \cdot f = \{ (\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)\} ) ,
((\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)) \in \eta g\prime \leftrightarrow \exists f \prime \in Etg\prime
\bigl(
L \cdot f \prime = \{ (\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)\}
\bigr)
.
Тогда справедлива следующая лемма.
Лемма 3. Пусть g, g\prime \in Et2(\rho ), g \not = g\prime и g = (\varphi ab, \varphi c) , g
\prime = (\varphi a, \varphi bc) . Тогда \eta g = \varepsilon 2,
\eta g\prime = \varepsilon 1.
Доказательство. Пусть g = (\varphi ab, \varphi c) и ((\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)) \in \eta g, тогда существует такой
элемент f \in Etg, что L \cdot f = \{ (\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)\} . Поскольку g = (\varphi ab, \varphi c) , то, согласно лемме
из пп. 2.3, f = (\varphi a\prime b\prime , \varphi c\prime ) и для любого (\varphi x, \varphi y) \in L
(\varphi x, \varphi y)(\varphi a\prime b\prime , \varphi
\prime
c) =
\Biggl\{
(\varphi \prime
a, \varphi
\prime
c), если x \in a\prime \varphi - 1
a\prime b\prime ,
(\varphi \prime
b, \varphi
\prime
c), если x \in b\prime \varphi - 1
a\prime b\prime .
В силу произвольности (\varphi x, \varphi y) \in L имеем L \cdot f = \{ (\varphi a\prime , \varphi c\prime ) , (\varphi b\prime , \varphi c\prime )\} . Таким образом,
\{ (\varphi a\prime , \varphi c\prime ) , (\varphi b\prime , \varphi c\prime )\} = \{ (\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)\} \leftrightarrow
\leftrightarrow
\biggl[
(\varphi a\prime , \varphi c\prime ) = (\varphi u, \varphi v)\& (\varphi b\prime , \varphi c\prime ) = (\varphi p, \varphi q)
(\varphi a\prime , \varphi c\prime ) = (\varphi p, \varphi q)\& (\varphi b\prime , \varphi c\prime ) = (\varphi u, \varphi v)
\Rightarrow v = q.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ПОЛУГРУППЫ ЭНДОТОПИЗМОВ ЭФФЕКТИВНЫХ СВЯЗНЫХ ОТНОШЕНИЙ 381
Итак, ((\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)) \in \varepsilon 2 и, следовательно, \eta g \subseteq \varepsilon 2.
Пусть теперь ((\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)) \in \varepsilon 2, где v = q. Поскольку (p, v) = (p, q), то (p, v), (u, v) \in
\in \rho . Так как g = (\varphi ab, \varphi c) , то f = (\varphi up, \varphi v) — эндотопизм и f \in Etg.Аналогично предыдущему
имеем L \cdot f = \{ (\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi v)\} . Учитывая, что v = q, имеем \{ (\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)\} = L \cdot
\cdot f. Но тогда ((\varphi u, \varphi v) , (\varphi p, \varphi q)) \in \eta g. Следовательно, \varepsilon 2 \subseteq \eta g. Аналогично можно доказать
справедливость второго утверждения в случае, когда g\prime = (\varphi a, \varphi bc) .
Очевидно, что если g, h \in Et2(\rho ) и \eta g \not = \eta h, то или \eta g = \varepsilon 1 и \eta h = \varepsilon 2, или \eta g = \varepsilon 2 и
\eta h = \varepsilon 1.
3. Характеризуемость бинарного отношения полугруппой эндотопизмов. 3.1. Рассмот-
рим фактормножества L1 = L/\varepsilon 1 и L2 = L/\varepsilon 2. Определим такое бинарное отношение \rho \ast \subseteq
\subseteq L1 \times L2, что \rho \ast =
\bigl\{ \bigl(
\=g1, \=g2
\bigr) \bigm| \bigm| g \in L
\bigr\}
, где \=g1 и \=g2 — классы эквивалентных элементов соот-
ветственно по \varepsilon 1 и \varepsilon 2, содержащие элемент g в качестве представителя.
Лемма 4. Бинарное отношение \rho \ast изотопно отношению \rho .
Доказательство. Определим отображения f1 : L1 \rightarrow A и f2 : L2 \rightarrow B, положив для произ-
вольного элемента g \in L, где g = (\varphi x, \varphi y) , \=g
1f1 = x и \=g2f2 = y. Убедимся, что \=g1f1 не зависит
от выбора представителя в классе \=g1. Пусть \=g1 = \=h1. Тогда (g, h) \in \varepsilon 1, где g = (\varphi x, \varphi y) , а
h =
\bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
. Согласно определению эквивалентности \varepsilon 1, имеет место равенство x = x\prime .
Поэтому \=g1f1 = \=h1f1 = x. Аналогично, \=g2f2 не зависит от выбора представителя в классе \=g2.
Можно показать, если учесть эффективность \rho , что отображения f1 и f2 — биективны. Теперь
для любых \=g11 \in L1 и \=g22 \in L2 имеем\bigl(
\=g11, \=g
2
2
\bigr)
\in \rho \ast \leftrightarrow \exists g\in L
\bigl(
\=g11 = \=g1\&\=g22 = \=g2
\bigr)
\leftrightarrow
\leftrightarrow \exists (x,y)\in \rho
\bigl(
g = (\varphi x, \varphi y)\&g1 =
\bigl(
\varphi x, \varphi y\prime
\bigr)
\&g2 = (\varphi x\prime , \varphi y)
\bigr)
\leftrightarrow
\leftrightarrow \exists (x,y)\in \rho
\bigl(
g = (\varphi x, \varphi y)\&\=g11f1 = x\&\=g22f2 = y
\bigr)
\leftrightarrow
\bigl(
\=g11f1, \=g
2
2f2
\bigr)
\in \rho .
3.2. Пусть h, h\prime \in Et2(\rho ) и \eta h \not = \eta h\prime . Положим L\prime
1 = L/\eta h, а L\prime
2 = L/\eta h\prime . Определим такое
бинарное отношение \rho \prime \subseteq L\prime
1\times L\prime
2, что \rho \prime =
\bigl\{ \bigl(
\=g1, \=g2
\bigr) \bigm| \bigm| g \in L
\bigr\}
, где \=g1 и \=g2 — классы эквивалент-
ных элементов соответственно по \eta g и \eta h, содержащие элемент g в качестве представителя. Из
пп. 2.4, 3.1 следует, что \rho изотопно \rho \prime или \rho \prime - 1. Таким образом, используя только операцию
умножения, в полугруппе Et(\rho ) можно восстановить отношение \rho с точностью до изотопизма,
что фактически означает справедливость приведенной ниже теоремы, для которой в пп. 3.3
дается прямое доказательство.
3.3.
Теорема 1. Пусть \rho \subseteq A \times B и \rho \prime \subseteq A\prime \times B\prime — произвольные эффективные связные
отношения. Если полугруппы Et(\rho ) и Et(\rho \prime ) изоморфны, то бинарные отношения \rho и \rho \prime или \rho
и \rho \prime - 1 изотопны.
Доказательство. Пусть отображение \theta : Et(\rho ) \rightarrow Et(\rho \prime ) — изоморфизм полугруппы Et(\rho )
в Et(\rho \prime ). Поэтому (пп. 2.2) L\theta = L\prime и Et2(\rho )\theta = Et2(\rho
\prime ). Пусть g = (\varphi x, \varphi yz) и h = (\varphi uv, \varphi w)
— произвольные элементы множества Et2(\rho ). Тогда Etg\theta = (g \cdot Et2(\rho )\setminus L)\theta = g\theta \cdot Et2(\rho \prime )\setminus L\prime =
= Etg\theta и, аналогично, Eth\theta = Eth\theta . Поскольку g\theta \not = h\theta , то в полугруппе Et(\rho \prime ) (пп. 2.4)
\eta g\theta = \varepsilon \prime 1, а \eta h\theta = \varepsilon \prime 2,
или
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
382 Е. А. ТОИЧКИНА
\eta g\theta = \varepsilon \prime 2, а \eta h\theta = \varepsilon \prime 1.
Допустим, что \eta g\theta = \varepsilon \prime 1 и \eta h\theta = \varepsilon \prime 2. Докажем, что \rho и \rho \prime изотопны. Определим упорядочен-
ную пару отображений (\pi 1, \pi 2), где \pi 1 : A\rightarrow A\prime , а \pi 2 : B \rightarrow B\prime . Пусть x \in A — произвольный
элемент. В силу эффективности \rho найдется такой элемент y \in B, что (x, y) \in \rho . Так как
(x, y) \in \rho , то (\varphi x, \varphi y) \in L. Пусть (\varphi x, \varphi y)\theta = (\varphi x\prime , \varphi y\prime ), где (\varphi x\prime , \varphi y\prime ) \in L\prime . Положим x\pi 1 = x\prime .
Убедимся, что x\pi 1 не зависит от выбора элемента y. Пусть z \in B — такой любой другой
элемент, что (x, z) \in \rho . Тогда (\varphi x, \varphi z) \in L и ((\varphi x, \varphi y) , (\varphi x, \varphi z)) \in \varepsilon 1, а \varepsilon 1 = \eta g. Поэтому\bigl( \bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
, (\varphi x\prime \prime , \varphi z\prime )
\bigr)
\in \eta g\theta , где (\varphi x\prime \prime , \varphi z\prime ) = (\varphi x, \varphi z) \theta . Поскольку \eta g\theta = \varepsilon \prime 1, то x
\prime = x\prime \prime . Отоб-
ражение \pi 1 биективно. Действительно, для любого x\prime \in A\prime в силу эффективности \rho \prime найдется
такой элемент y\prime \in B\prime , что (x\prime , y\prime ) \in \rho \prime . Пусть
\bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
\theta - 1 = (\varphi x, \varphi y) . Тогда x\pi 1 = x\prime и
сюръективность отображения \pi 1 доказана. Пусть x\pi 1 = z\pi 1 = x\prime . Следовательно, найдутся
такие (\varphi x, \varphi y) , (\varphi z, \varphi y1) \in L, что (\varphi x, \varphi y) \theta =
\bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
и (\varphi z, \varphi y1) \theta =
\bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime \prime
\bigr)
. Так как\bigl( \bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
,
\bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime \prime
\bigr) \bigr)
\in \varepsilon \prime 1, а \varepsilon
\prime
1 = \eta g\theta , то (\varphi x, \varphi y) ,
\bigl(
\varphi z, \varphi y\prime \prime
\bigr)
\in \varepsilon 1, где \varepsilon 1 = \eta g. Поэтому x = z
и биективность отображения \pi 1 доказана. Аналогично определяется биективное отображение
\pi 2 : B \rightarrow B\prime . Если (\varphi x, \varphi y) \theta =
\bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
, где
\bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
\in L\prime , то полагаем y\pi 2 = y\prime . Элемент
y\prime \in B не зависит от выбора такого элемента x \in A, что (x, y) \in \rho . Таким образом,
(\varphi x, \varphi y)\theta = (\varphi x\pi 1 , \varphi y\pi 2)
для любых (x, y) \in \rho . Теперь для любых x \in A и y \in B имеем
(x, y) \in \rho \leftrightarrow (\varphi x, \varphi y) \in L\leftrightarrow (\varphi x\pi 1 , \varphi y\pi 2) \in L\prime \leftrightarrow (x\pi 1, y\pi 2) \in \rho \prime ,
т. е. бинарное отношение \rho изотопно отношению \rho \prime .
Пусть теперь \eta g\theta = \varepsilon \prime 2, \eta h\theta = \varepsilon \prime 1. Покажем, что \rho и \rho \prime - 1 изотопны. Определим упорядочен-
ную пару отображений (\pi 1, \pi 2), где \pi 1 : A \rightarrow B\prime , \pi 2 : B \rightarrow A\prime . Пусть x \in A — произвольный
элемент. В силу эффективности \rho найдется такой элемент y \in B, что (x, y) \in \rho . Так как
(x, y) \in \rho , то (\varphi x, \varphi y) \in L. Пусть (\varphi x, \varphi y)\theta = (\varphi x\prime , \varphi y\prime ), где (\varphi x\prime , \varphi y\prime ) \in L\prime . Положим x\pi 1 = y\prime .
Убедимся, что x\pi 1 не зависит от выбора элемента y. Пусть z \in B — такой любой другой
элемент, что (x, z) \in \rho . Тогда (\varphi x, \varphi z) \in L и ((\varphi x, \varphi y) , (\varphi x, \varphi z)) \in \varepsilon 1, а \varepsilon 1 = \eta g. Тогда\bigl( \bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
, (\varphi x\prime \prime , \varphi z\prime )
\bigr)
\in \eta g\theta , где (\varphi x\prime \prime , \varphi z\prime ) = (\varphi x, \varphi z) \theta . Поскольку \eta g\theta = \varepsilon \prime 2, то y\prime = z\prime . И
в этом случае x\pi 1 = z\prime = y\prime . Покажем, что отображение \pi 1 биективно. Действительно, для
любого y\prime \in B\prime в силу эффективности \rho \prime найдется такой x\prime \in A\prime , что (x\prime , y\prime ) \in \rho \prime . Тогда\bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
\in L\prime . Пусть
\bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
\theta - 1 =
\bigl(
\varphi x\prime \prime , \varphi y\prime \prime
\bigr)
, тогда
\bigl(
\varphi x\prime \prime , \varphi y\prime \prime
\bigr)
\in L. Поэтому x\prime \prime \pi 1 = y\prime .
Таким образом, отображение \pi 1 сюръективно. Пусть теперь x\pi 1 = z\pi = y\prime . Это значит, что
найдутся такие (\varphi x, \varphi y) ,
\bigl(
\varphi z, \varphi y\prime \prime
\bigr)
\in L, что (\varphi x, \varphi y) \theta =
\bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
и
\bigl(
\varphi z, \varphi y\prime \prime
\bigr)
\theta =
\bigl(
\varphi z\prime , \varphi y\prime
\bigr)
.
Так как
\bigl( \bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
,
\bigl(
\varphi z\prime , \varphi y\prime
\bigr) \bigr)
\in \varepsilon \prime 2, а \varepsilon \prime 2 = \eta g\theta , то
\bigl(
(\varphi x, \varphi y) ,
\bigl(
\varphi z, \varphi y\prime \prime
\bigr) \bigr)
\in \varepsilon 1, где \varepsilon 1 = \eta g.
Поэтому x = z и биективность отображения \pi 1 установлена. Аналогично определяется биек-
тивное отображение \pi 2 : B \rightarrow A\prime . Если (\varphi x, \varphi y) \theta =
\bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
, где
\bigl(
\varphi x\prime , \varphi y\prime
\bigr)
\in L\prime , то полагаем
y\pi 2 = x\prime . Тогда для всех x \in A и y \in B таких, что (x, y) \in \rho ,
(\varphi x, \varphi y) \theta = (\varphi y\pi 2\varphi x\pi 1) .
Теперь для любых x \in A и y \in B имеем
(x, y) \in \rho \leftrightarrow (\varphi x, \varphi y) \in L\leftrightarrow (\varphi y\pi 2 , \varphi x\pi 1) \in L\prime \leftrightarrow (y\pi 2, x\pi 1) \in \rho \prime \leftrightarrow (x\pi 1, y\pi 2) \in \rho \prime - 1,
т. е. бинарное отношение \rho изотопно отношению \rho \prime - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ПОЛУГРУППЫ ЭНДОТОПИЗМОВ ЭФФЕКТИВНЫХ СВЯЗНЫХ ОТНОШЕНИЙ 383
3.4. Пусть \rho \subseteq C \times C — произвольное отношение на множестве C. Полугруппу всех
эндоморфизмов отношения \rho будем обозначать \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\rho ). Таким образом, для любого \varphi \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\rho )
и любых x, y \in C
(x, y) \in \rho \Rightarrow (x\varphi , y\varphi ) \in \rho .
Пусть \rho \subseteq A\times B — эффективное отношение, причем A\cap B = \varnothing , A\cup B = C. Тогда можно
считать, что \rho \subseteq C \times C, и рассматривать полугруппу \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\rho ).
Лемма 5. Пусть \rho \subseteq A \times B — эффективное бинарное отношение и A \cap B = \varnothing . Тогда
полугруппы Et(\rho ) и \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\rho ) изоморфны.
Доказательство. Пусть (\varphi 1, \varphi 2) \in Et(\rho ) — произвольный эндотопизм. С учетом того, что
A \cap B = \varnothing , определим преобразование \varphi множества C = A \cup B, положив x\varphi = x\varphi 1, если
x \in A, и x\varphi = x\varphi 2, если x \in B. Тогда
(x, y) \in \rho \Rightarrow (x\varphi 1, y\varphi 2) \in \rho \Rightarrow (x\varphi , y\varphi ) \in \rho ,
т. е. \varphi \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\rho ). Определим отображение \theta : Et(\rho ) \rightarrow \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\rho ), положив (\varphi 1, \varphi 2)\theta = \varphi . Легко
проверить, что отображение \theta биективно. Для завершения доказательства осталось показать,
что \theta является гомоморфизмом. Действительно, пусть (\varphi 1, \varphi 2), (\psi 1, \psi 2) \in Et(\rho ) — произволь-
ные эндотопизмы, (\varphi 1, \varphi 2)\theta = \varphi , (\psi 1, \psi 2)\theta = \psi . Пусть, далее, \varphi | A , (\psi \varphi )| A — ограничения
преобразований \varphi и \psi \varphi на множестве A, а \varphi | B , (\psi \varphi )| B — ограничения преобразований \varphi и
\psi \varphi на множестве B. Тогда для любого x \in A имеем
x \psi | A \varphi | A = (x \psi | A) \varphi | A = (x \psi | A)\varphi = x(\psi \varphi ) = x (\psi \varphi )| A .
Аналогично, для любого y \in B
y \psi | B \varphi | B = (y \psi | B) \varphi | B = (y \psi | B)\varphi = y(\psi \varphi ) = y (\psi \varphi )| B .
Таким образом, (\psi \varphi )| A = \psi | A \varphi | A и (\psi \varphi )| B = \psi | B \varphi | B . Тогда
((\psi | A , \psi | B) \cdot (\varphi | A , \varphi | B)) \theta = (\psi | A \varphi | A , \psi | B \varphi | B) \theta =
= ((\psi \varphi )| A , (\psi \varphi )| B) \theta = \psi \varphi = (\psi | A , \psi | B) \theta (\varphi | A , \varphi | B) \theta .
3.5.
Теорема 2. Пусть \rho \subseteq A \times B и \rho \prime \subseteq A\prime \times B\prime — произвольные эффективные и связные
бинарные отношения, где A \cap B = \varnothing и A\prime \cap B\prime = \varnothing , и пусть A \cup B = C и A\prime \cup B\prime = C \prime . Если
полугруппы эндоморфизмов \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\rho ) и \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\rho \prime ) изоморфны, то бинарные отношения \rho \subseteq C\times C
и \rho \prime \subseteq C \prime \times C \prime изоморфны или антиизоморфны.
Доказательство. Докажем вначале, что из изоморфизма бинарных отношений \rho \subseteq C \times C
и \rho \prime \subseteq C \prime \times C \prime следует их изотопизм. В самом деле, пусть отображение \varphi — изоморфизм
бинарных отношений \rho \subseteq C \times C и \rho \prime \subseteq C \prime \times C \prime . Покажем, что A\varphi = A\prime . Для любого x \in A
в силу эффективности \rho найдется такой элемент y \in B, что (x, y) \in \rho . Тогда (x\varphi , y\varphi ) \in \rho \prime .
Поэтому x\varphi \in A\prime , т. е. A\varphi \subseteq A\prime . Так как \varphi - 1 — изоморфизм бинарных отношений \rho \prime и \rho , то
в свою очередь имеем A\prime \varphi - 1 \subseteq A. Тогда A\prime \subseteq A\varphi и, следовательно, A\varphi = A\prime . Аналогично
B\varphi = B\prime . Пусть \varphi | A и \varphi | B — ограничения отображения \varphi соответственно на множествах A и
B. Тогда \varphi | A : A\rightarrow A\prime и \varphi | B : B \rightarrow B\prime — биективные отображения и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
384 Е. А. ТОИЧКИНА
(x, y) \in \rho \leftrightarrow (x\varphi , y\varphi ) \in \rho \prime \leftrightarrow (x \varphi | A , y \varphi | B) \in \rho \prime ,
т. е. (\varphi | A , \varphi | B) — изотопизм отношений \rho и \rho \prime .
С другой стороны, пусть (\varphi 1, \varphi 2) — изотопизм бинарных отношений \rho и \rho \prime . Определим
отображение \varphi : C \rightarrow C \prime следующим образом: для любого x \in C полагаем x\varphi = x \varphi | A ,
если x \in A, и x\varphi = x \varphi | B , если x \in B. Поскольку отображения \varphi | A и \varphi | B биективны, то
отображение \varphi также будет биективным и
(x, y) \in \rho \leftrightarrow (x \varphi | A , y \varphi | B) \in \rho \prime \leftrightarrow (x\varphi , y\varphi ) \in \rho \prime ,
т. е. \varphi — изоморфизм отношений \rho и \rho \prime .
Аналогично можно показать, что из антиизоморфизма бинарных отношений \rho \subseteq C \times C и
\rho \prime \subseteq C \prime \times C \prime следует их антиизотопизм, и наоборот.
Таким образом, бинарные отношения \rho \subseteq C \times C и \rho \prime \subseteq C \times C \prime изоморфны или антиизо-
морфны тогда и только тогда, когда они соответственно изотопны или антиизотопны. Теперь в
силу теоремы 1 предыдущей леммы имеем
\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\rho ) \sim = \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\rho \prime ) \leftrightarrow Et(\rho ) \sim = Et(\rho \prime ) \Rightarrow
\biggl[
\rho \simeq \rho \prime ,
\rho \simeq \rho \prime - 1 \leftrightarrow
\biggl[
\rho \sim = \rho \prime ,
\rho \sim = \rho \prime - 1 .
Пример. Пусть \alpha = \{ (1, 3), (2, 4)\} — бинарное отношение на множествах A = \{ 1, 2\} ,
B = \{ 3, 4, 5\} , а \beta = \{ (a, d), (b, d)\} — на множествах C = \{ a, b, c\} и D = \{ d\} .
Тогда Et(\alpha ) = \{ \varphi i| \leq i \leq 12\} , где
\varphi 1 =
\biggl( \biggl(
1 2
1 1
\biggr)
,
\biggl(
3 4 5
3 3 3
\biggr) \biggr)
, \varphi 2 =
\biggl( \biggl(
1 2
1 1
\biggr)
,
\biggl(
3 4 5
3 3 4
\biggr) \biggr)
,
\varphi 3 =
\biggl( \biggl(
1 2
1 1
\biggr)
,
\biggl(
3 4 5
3 3 5
\biggr) \biggr)
, \varphi 4 =
\biggl( \biggl(
1 2
1 2
\biggr)
,
\biggl(
3 4 5
3 4 3
\biggr) \biggr)
,
\varphi 5 =
\biggl( \biggl(
1 2
1 2
\biggr)
,
\biggl(
3 4 5
3 4 4
\biggr) \biggr)
, \varphi 6 =
\biggl( \biggl(
1 2
1 2
\biggr)
,
\biggl(
3 4 5
3 4 5
\biggr) \biggr)
,
\varphi 7 =
\biggl( \biggl(
1 2
2 1
\biggr)
,
\biggl(
3 4 5
4 3 3
\biggr) \biggr)
, \varphi 8 =
\biggl( \biggl(
1 2
2 1
\biggr)
,
\biggl(
3 4 5
4 3 4
\biggr) \biggr)
,
\varphi 9 =
\biggl( \biggl(
1 2
2 1
\biggr)
,
\biggl(
3 4 5
4 3 5
\biggr) \biggr)
, \varphi 10 =
\biggl( \biggl(
1 2
2 2
\biggr)
,
\biggl(
3 4 5
4 4 3
\biggr) \biggr)
,
\varphi 11 =
\biggl( \biggl(
1 2
2 2
\biggr)
,
\biggl(
3 4 5
4 4 4
\biggr) \biggr)
, \varphi 12 =
\biggl( \biggl(
1 2
2 2
\biggr)
,
\biggl(
3 4 5
4 4 5
\biggr) \biggr)
.
Et(\beta ) = \{ \psi i| 1 \leq i \leq 12\} ,
где
\psi 1 =
\biggl( \biggl(
a b c
a a a
\biggr)
,
\biggl(
d
d
\biggr) \biggr)
, \psi 2 =
\biggl( \biggl(
a b c
a a b
\biggr)
,
\biggl(
d
d
\biggr) \biggr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
ПОЛУГРУППЫ ЭНДОТОПИЗМОВ ЭФФЕКТИВНЫХ СВЯЗНЫХ ОТНОШЕНИЙ 385
\psi 3 =
\biggl( \biggl(
a b c
a a c
\biggr)
,
\biggl(
d
d
\biggr) \biggr)
, \psi 4 =
\biggl( \biggl(
a b c
a b a
\biggr)
,
\biggl(
d
d
\biggr) \biggr)
,
\psi 5 =
\biggl( \biggl(
a b c
a b b
\biggr)
,
\biggl(
d
d
\biggr) \biggr)
, \psi 6 =
\biggl( \biggl(
a b c
a b c
\biggr)
,
\biggl(
d
d
\biggr) \biggr)
,
\psi 7 =
\biggl( \biggl(
a b c
b a a
\biggr)
,
\biggl(
d
d
\biggr) \biggr)
, \psi 8 =
\biggl( \biggl(
a b c
b a b
\biggr)
,
\biggl(
d
d
\biggr) \biggr)
,
\psi 9 =
\biggl( \biggl(
a b c
b a c
\biggr)
,
\biggl(
d
d
\biggr) \biggr)
, \psi 10 =
\biggl( \biggl(
a b c
b b a
\biggr)
,
\biggl(
d
d
\biggr) \biggr)
,
\psi 11 =
\biggl( \biggl(
a b c
b b b
\biggr)
,
\biggl(
d
d
\biggr) \biggr)
, \psi 12 =
\biggl( \biggl(
a b c
b b c
\biggr)
,
\biggl(
d
d
\biggr) \biggr)
.
Отображение \theta : \varphi i \mapsto \rightarrow \psi i — изоморфизм полугрупп Et(\alpha ) и Et(\beta ), при этом сами отноше-
ния \alpha и \beta не изотопны и не антиизотопны. Заметим, что теорема 1 не выполняется, так как
бинарные отношения \alpha и \beta не являются эффективными.
Пусть теперь \alpha = \{ (1, 2)(1, 3)\} — бинарное отношение на множествахA = \{ 1\} иB = \{ 2, 3\} ,
\beta = \{ (a, b), (c, d)\} — на множествах C = \{ a, c\} и D = \{ b, d\} . Легко убедитьcя, что полугруппы
Et(\alpha ) и Et(\beta ) изоморфны, но бинарные отношения \alpha и \beta не изотопны и не антиизотопны.
Здесь отношения \alpha и \beta эффективны, но теорема 1 не выполняется, так как отношение \beta не
связно.
1. Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее подгрупп. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960. – 158 с.
2. Шеврин Л. Н., Овсянников А. Я. Полугруппы и их подполугрупповые решетки. – Екатеринбург: Изд-во Урал.
ун-та, 1990. – Т. 1. – 238 с.
3. Kozhukhov I. B. On semigroups with maximal or minimal conditipn on left congruences // Semigroup Forum. – 1980.
– 31. – P. 337 – 350.
4. Глускин Л. М. Полугруппа изотонных преобразований // Успехи мат. наук. – 1961. – № 5. – С. 157 – 162.
5. Шнеперман Л. Б. Полугруппы эндоморфизмов квазиупорядоченных множеств // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Гер-
цена. – 1962. – 238. – C. 21 – 37.
6. Попов Б. В. Полугруппы эндоморфизмов рефлексивных бинарных отношений // Ученые записки ЛГПИ им.
А. И. Герцена. – 1967. – 302. – С. 116 – 123.
7. Попов Б. В. Полугруппы эндотопизмов \mu -арных отношений // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена. – 1965. – 274.
– С. 184 – 201.
8. Курош А. Г. Общая алгебра (лекции 1969/70 учеб. года). – М.: Наука, 1974. – 160 с.
9. Жучок Ю. В., Тоичкина Е. А. Соответствия полугруппы эндоморфизмов отношения эквивалентности // Мат.
заметки. – 2015. – 97, № 2. – С. 217 – 230.
10. Жучок Ю. В., Тоичкина Е. А. Полугруппы эндотопизмов отношения эквивалентности // Мат. сб. – 2014. – 205,
№ 5. – С. 37 – 54.
11. Мальцев А. И. Алгебраические системы. – М.: Наука, 1970. – 392 с.
12. Биркгоф O Г. Теория структур. – М.: Изд-во иностр. лит., 1952. – 408 с.
13. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. – М.: Мир, 1972. – Т. 1. – 285 с.
14. Riguet J. Relations binaires, fermetures, correspondances de Galois, Bull. Soc. Math. France. – 1948. – 76. –
P. 114 – 155.
Получено 28.03.15,
после доработки — 12.08.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1845 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:45Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4e/aafcab646b82f08f2e1fbe666c17704e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18452019-12-05T09:29:34Z Semigroups of endotopisms of efficient and connected relations Полугруппы эндотопизмов эффективных связных отношений Toichkina, E. A. Тоичкина, Е. А. Тоичкина, Е. А. For binary relations satisfying the conditions of efficiency and connectedness, it is shown that the semigroup of all endotopisms of any effective and connected binary relation characterizes this relation to within an isotopism or an antiisotopism. Для бiнарних вiдношень, що задовольняють умови ефективностi та зв’язностi, доведено, що напiвгрупа ендотопiзмiв будь-якого такого вiдношення характеризує це бiнарне вiдношення з точнiстю до iзотопiзму або антиiзотопiзму. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1845 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 3 (2016); 377-387 Український математичний журнал; Том 68 № 3 (2016); 377-387 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1845/827 Copyright (c) 2016 Toichkina E. A. |
| spellingShingle | Toichkina, E. A. Тоичкина, Е. А. Тоичкина, Е. А. Semigroups of endotopisms of efficient and connected relations |
| title | Semigroups of endotopisms of efficient and connected relations |
| title_alt | Полугруппы эндотопизмов эффективных связных отношений |
| title_full | Semigroups of endotopisms of efficient and connected relations |
| title_fullStr | Semigroups of endotopisms of efficient and connected relations |
| title_full_unstemmed | Semigroups of endotopisms of efficient and connected relations |
| title_short | Semigroups of endotopisms of efficient and connected relations |
| title_sort | semigroups of endotopisms of efficient and connected relations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1845 |
| work_keys_str_mv | AT toichkinaea semigroupsofendotopismsofefficientandconnectedrelations AT toičkinaea semigroupsofendotopismsofefficientandconnectedrelations AT toičkinaea semigroupsofendotopismsofefficientandconnectedrelations AT toichkinaea polugruppyéndotopizmovéffektivnyhsvâznyhotnošenij AT toičkinaea polugruppyéndotopizmovéffektivnyhsvâznyhotnošenij AT toičkinaea polugruppyéndotopizmovéffektivnyhsvâznyhotnošenij |