Best trigonometric and bilinear approximations for the classes of $(ψ, β)$ -differentiable periodic functions
We establish the exact-order estimates for the best $m$-term trigonometric approximations of the classes $L^{\psi}_{\beta, 1}$ in the space $L_q,\; 2 < q < \infty$. We also determine the exact orders of the best bilinear approximations for the classes of functions of two variables gen...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1846 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507721385639936 |
|---|---|
| author | Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. |
| author_facet | Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. |
| author_sort | Shkapa, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:34Z |
| description | We establish the exact-order estimates for the best $m$-term trigonometric approximations of the classes $L^{\psi}_{\beta, 1}$ in the space
$L_q,\; 2 < q < \infty$.
We also determine the exact orders of the best bilinear approximations for the classes of functions of two
variables generated by functions of a single variable from the class$L^{\psi}_{\beta, p}$ by the shifts of the argument in the space $L_{q_1,q_2},\; 1 \leq q_1,\; q_2 \leq \infty$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Шкапа (Iн-т математики НАН Українi, Київ)
НАЙКРАЩI ТРИГОНОМЕТРИЧНI I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ
(\bfitpsi , \bfitbeta )-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ
We establish the exact-order estimates for the best m-term trigonometric approximations of the classes L\psi \beta ,1 in the space
Lq, 2 < q <\infty . We also determine the exact orders of the best bilinear approximations for the classes of functions of two
variables generated by functions of a single variable from the class L\psi \beta ,p by the shifts of the argument in the space Lq1,q2 ,
1 \leq q1, q2 \leq \infty .
Установлены точные по порядку оценки величин наилучшихm-членных тригонометрических приближений классов
L\psi \beta ,1 в пространстве Lq, 2 < q <\infty . Найдены также точные порядки наилучших билинейных приближений классов
функций двух переменных, порожденных из функциями одной переменной класса L\psi \beta ,p сдвигами аргумента, в
пространстве Lq1,q2 , 1 \leq q1, q2 \leq \infty .
Вступ. У роботi встановлюються точнi за порядком оцiнки найкращих m-членних тригоно-
метричних наближень функцiй iз класiв L\psi \beta ,p у метрицi Lq для певних спiввiдношень мiж
параметрами p та q. Крiм цього, знайдено також порядки найкращих бiлiнiйних наближень
класiв функцiй двох змiнних вигляду g(x, y) = f(x - y), x, y \in [ - \pi , \pi ], що породженi iз функ-
цiй f(x) \in L\psi \beta ,p, 1 \leq p \leq \infty , зсувами аргументу на всеможливi y \in [ - \pi , \pi ]. Бiльш детально про
цi величини мова буде йти пiзнiше, а спочатку наведемо необхiднi позначення та означення.
Нехай Lq — простiр 2\pi -перiодичних i сумовних у степенi q, 1 \leq q <\infty (вiдповiдно суттєво
обмежених при q = \infty ), на вiдрiзку [ - \pi , \pi ] функцiй f. Норма в цьому просторi визначається
таким чином:
\| f\| Lq = \| f\| q =
\left\{
\left( 1
2\pi
\pi \int
- \pi
| f(x)| qdx
\right) 1/q
, 1 \leq q <\infty ,
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in [ - \pi ,\pi ]
| f(x)| , q = \infty .
Для функцiї f \in L1 розглянемо її ряд Фур’є\sum
k\in \BbbZ
\^f(k)eikx,
де \^f(k) =
1
2\pi
\int \pi
- \pi
f(x)e - ikxdx — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Скрiзь нижче будемо вважати, що для f \in L1 виконується умова
\pi \int
- \pi
f(x)dx = 0.
Нехай далi \psi (t) \not = 0, t \in \BbbN , \beta — довiльне фiксоване дiйсне число. Якщо ряд
\sum
k\in \BbbZ \setminus \{ 0\}
ei
\pi
2 \beta signk
\psi (| k| )
\^f(k)eikx
c\bigcirc В. В. ШКАПА, 2016
386 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
НАЙКРАЩI ТРИГОНОМЕТРИЧНI I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 387
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї, то її, наслiдуючи О. I. Степанця [1, с. 25], (див. також
[2, с. 132], т. I), назвемо (\psi , \beta ) — похiдною функцiї f i позначимо f\psi \beta . Множину функцiй f, що
задовольняють таку умову, позначатимемо L\psi \beta . Далi будемо вважати, що функцiя f належить
класу L\psi \beta ,p, якщо
f \in L\psi \beta i f\psi \beta \in Up =
\bigl\{
\varphi : \varphi \in Lp, \| \varphi \| p \leq 1
\bigr\}
, 1 \leq p \leq \infty .
Зауважимо, що при \psi (| k| ) = | k| - r, r > 0, k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} , класи L\psi \beta ,p збiгаються з класами
Вейля – Надя W r
p,\beta (див., наприклад, [1, с. 25]).
Позначимо через B множину функцiй \psi (t), t \in \BbbN , що задовольняють такi умови:
1) \psi є додатнiми i незростаючiми;
2) iснує така стала C > 0, що
\psi (t)
\psi (2t)
\leq C \forall t \in \BbbN .
Зазначимо, що до множини B належать, наприклад, функцiї
1
tr
, r > 0,
\mathrm{l}\mathrm{n}\gamma (t+ 1)
tr
, \gamma \in \BbbR , r > 0
та iн.
Далi для величин A i B запис A \asymp B означає, що iснують такi додатнi сталi C1 та C2, що
C1A \leq B \leq C2A. Якщо тiльки B \leq C2A (B \geq C1A), то пишемо B \ll A (B \gg A). Всi сталi
Ci, i = 1, 2, . . . , якi будуть зустрiчатися у роботi, можуть залежати лише вiд тих параметрiв,
що входять в означення класу та метрики, в якiй вимiрюється похибка наближення.
1. Найкращi тригонометричнi наближення. В цьому пунктi встановимо точнi за порядком
оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень функцiй iз класiв L\psi \beta ,1 у просто-
рi Lq, 2 < q < \infty . Спочатку дамо означення апроксимативної характеристики, яку будемо
дослiджувати.
Для f \in Lq, 1 \leq q \leq \infty , покладемо
em(f)q = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta m
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
T (\Theta m,\cdot )
\bigm\| \bigm\| f(\cdot ) - T (\Theta m, \cdot )
\bigm\| \bigm\|
q
, (1)
де T (\Theta m, x) =
\sum m
k=1
cke
inkx, \Theta m — набiр iз m цiлих чисел n1, . . . , nm та ck — довiльнi
комплекснi числа.
Величину (1) називають найкращим m-членним тригонометричним наближенням функцiї
f \in Lq. Якщо F \subset Lq — деякий функцiональний клас, то позначаємо
em(F )q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
em(f)q. (2)
Дослiдження апроксимативної характеристики (2) на тих або iнших функцiональних класах
отримало потужний розвиток у роботах [3 – 6]. У цих роботах можна ознайомитися з бiльш
детальною бiблiографiєю, що стосується вiдповiдного напрямку дослiджень.
Через Bq,\varepsilon , 2 < q <\infty , будемо позначати множину функцiй \psi (t), t \in \BbbN , якi задовольняють
такi умови:
1) \psi \in B;
2) iснує таке \varepsilon > 0, що послiдовнiсть \psi (t)t1 - \varepsilon , t \in \BbbN , не спадає;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
388 В. В. ШКАПА
3) послiдовнiсть \psi (t)t1 - 1/q, t \in \BbbN , не зростає.
Наведемо допомiжнi твердження, якi будемо використовувати при подальшому викладi.
Лема А [4]. Для довiльного тригонометричного полiнома
T (\Theta m, x) =
m\sum
k=1
cke
inkx
i для довiльного n \leq m iснує тригонометричний полiном T (\Theta n, x), який мiстить не бiльше як
n гармонiк i такий, що\bigm\| \bigm\| T (\Theta m) - T (\Theta n)
\bigm\| \bigm\|
q
\leq C3
\Bigl( m
n
\Bigr) 1/2
\| T (\Theta m)\| 2, 2 < q <\infty ,
причому має мiсце вкладення \Theta n \subset \Theta m.
Нехай f \in Lq, 1 < q <\infty . Для s \in \BbbN \cup \{ 0\} розглянемо множину
\rho (s) =
\bigl\{
k \in \BbbZ : 2s - 1 \leq | k| < 2s
\bigr\}
i покладемо
\delta s(f, x) =
\sum
k\in \rho (s)
\^f(k)eikx.
Теорема А (Лiттлвуда – Пелi) (див., наприклад, [7, т. II], гл. XV). Нехай задано 1 < q <
<\infty . Тодi iснують додатнi сталi C4(q), C5(q) такi, що для кожної функцiї f \in Lq має мiсце
оцiнка
C4(q)\| f\| q \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( \sum
s\in \BbbN \cup \{ 0\}
| \delta s(f, \cdot )| 2
\right) 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq C5(q)\| f\| q.
Теорема Б [8]. Нехай 1 < q \leq \infty , \beta \in \BbbR , \psi \in B \cap \Psi q\prime ,
1
q
+
1
q\prime
= 1, де \Psi q\prime — множина
монотонно незростаючих функцiй \psi (t), для яких iснує стала \alpha >
1
q\prime
така, що функцiя t\alpha \psi (t)
майже спадає1, i виконується одна з умов
\Delta 2
\biggl(
1
\psi (k)
\biggr)
\geq 0, k \in \BbbN , (3)
або
\Delta 2
\biggl(
1
\psi (k)
\biggr)
\leq 0, k \in \BbbN , (4)
де
\Delta 2
\biggl(
1
\psi (k)
\biggr)
=
1
\psi (k)
- 2
\psi (k + 1)
+
1
\psi (k + 2)
.
Тодi справедливим є наступне спiввiдношення
\scrE m(L\psi \beta ,1)q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi \beta ,1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x) -
m\sum
k= - m
\^f(k)eikx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\asymp \psi (m)m1/q\prime .
1 Функцiя t\alpha \psi (t) майже спадає, якщо знайдеться додатна стала K така, що t\alpha 1\psi (t1) \leq Kt\alpha 2\psi (t2) для будь-яких
t1 > t2 \geq 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
НАЙКРАЩI ТРИГОНОМЕТРИЧНI I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 389
Твердження А ([2, т. II, с.119]). Нехай \psi (k)— довiльна незростаюча послiдовнiсть невiд’єм-
них чисел, для яких виконується одна з умов (3) або (4) i, крiм того,\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \beta \pi 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| m - 1\sum
k=1
\psi (m)
\bigl(
k\psi (k)
\bigr) - 1
= O(1), (5)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по m. Тодi для довiльного тригонометричного полi-
нома tm порядку m виконується нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| (tm)\psi \beta (\cdot )\bigm\| \bigm\| 1 \leq O(1)(\psi (m)) - 1\| tm(\cdot )\| 1,
в якiй величина O(1) рiвномiрно обмежена по m i tm.
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай 2 < q < \infty , \psi (t) \in Bq,\varepsilon , t \in \BbbN , \beta \in \BbbR i виконується одна з умов (3)
або (4). Тодi справджується порядкова оцiнка
em(L
\psi
\beta ,1)q \asymp \psi (mq/2)m
q
2 (1 - 1/q).
Доведення. Спочатку встановимо оцiнку зверху. Запишемо ряд Фур’є функцiї f \in L\psi \beta ,1 у
термiнах \delta s(f, x) i за заданим m виберемо l \in \BbbN з умови 2l < m \leq 2l+1. Розглянемо полiном,
що наближає функцiю f, у виглядi
P (\Theta 2l , x) =
l - 1\sum
s=0
\delta s(f, x) +
\sum
l\leq s<\gamma l
P (\Theta ks , x),
де полiноми P (\Theta ks , x) побудовано таким чином, щоб для s \in [l; \gamma l) виконувалась порядкова
оцiнка \bigm\| \bigm\| \delta s(f) - P (\Theta ks)
\bigm\| \bigm\|
q
\ll
\biggl(
2s
ks
\biggr) 1/2 \bigm\| \bigm\| \delta s(f)\bigm\| \bigm\| 2, 2 < q <\infty .
Зазначимо, що це можливо зробити згiдно з лемою А, i при цьому iндекси \Theta ks мiстяться у
множинi номерiв гармонiк, якi входять у полiном \delta s(f, x). Згiдно з теоремою А, в силу якої при
деякому \gamma > 1 (цi числа будуть пiдiбранi нижче) i ks таких, що
\sum
l\leq s<\gamma l
ks \ll 2l, маємо
\bigm\| \bigm\| f - P (\Theta 2l)
\bigm\| \bigm\|
q
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
s\in \BbbN
\delta s(f) -
l - 1\sum
s=0
\delta s(f) -
\sum
l\leq s<\gamma l
P (\Theta ks)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll
\ll
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( \sum
l\leq s<\gamma l
| \delta s(f) - P (\Theta ks)| 2
\right) 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
s\geq \gamma l
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
= I1 + I2. (6)
Проведемо оцiнювання одержаних величин I1 та I2, починаючи з I2. Згiдно з теоремою Б
можемо записати
I2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
s\geq \gamma l
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
1\leq s<\gamma l
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll \psi (2\gamma l)2\gamma l(1 - 1/q). (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
390 В. В. ШКАПА
Перейдемо до оцiнювання I1. Застосувавши послiдовно нерiвнiсть Мiнковського та лему А,
будемо мати
I1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( \sum
l\leq s<\gamma l
| \delta s(f) - P (\Theta ks)| 2
\right) 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll
\left( \sum
l\leq s<\gamma l
\| \delta s(f) - P (\Theta ks)\| 2q
\right) 1/2
\ll
\ll
\left( \sum
l\leq s<\gamma l
2s
ks
\| \delta s(f)\| 22
\right) 1/2
=
\left( \sum
l\leq s<\gamma l
2s
ks
\| f - S2s - 1(f) - f + S2s(f)\| 22
\right) 1/2
\leq
\leq
\left( \sum
l\leq s<\gamma l
2s
ks
\biggl(
\| f - S2s - 1(f)\| 2 + \| f - S2s(f)\| 2
\biggr) 2
\right) 1/2
, (8)
де S2s(f, x) =
\sum 2s
k= - 2s
\^f(k)eikx. Далi, скориставшись теоремою Б при q = 2, продовжимо
оцiнку (8):
I1 \ll
\left( \sum
l\leq s<\gamma l
2s
ks
\psi 2(2s)2s
\right) 1/2
=
\left( \sum
l\leq s<\gamma l
22s
ks
\psi 2(2s)
\right) 1/2
. (9)
Тепер покладемо
ks =
\biggl[
2s\psi (2s)2l
\psi (2\gamma l)2\gamma l
\biggr]
+ 1, s = l, . . . , \gamma l, \gamma =
q
2
,
i покажемо, що кiлькiсть гармонiк у сукупностi полiномiв P (\Theta ks) при l \leq s < \gamma l, s \in \BbbN ,
не перевищує за порядком 2l. Дiйсно, оскiльки за умовою теореми iснує таке \varepsilon > 0, що
послiдовнiсть \psi (t)t1 - \varepsilon не спадає, то можемо записати
\sum
l\leq s<\gamma l
ks =
\sum
l\leq s<\gamma l
\biggl( \biggl[
2s\psi (2s)2l
\psi (2\gamma l)2\gamma l
\biggr]
+ 1
\biggr)
\leq 2l
2\gamma l\psi (2\gamma l)
\sum
l\leq s<\gamma l
2s\psi (2s) + 2\gamma l =
=
2l
2\gamma l\psi (2\gamma l)
\sum
l\leq s<\gamma l
2s\psi (2s)2s\varepsilon 2 - s\varepsilon + 2\gamma l \ll
\ll 2l
2\gamma l\psi (2\gamma l)
\psi (2\gamma l)2\gamma l(1 - \varepsilon )
\sum
l\leq s<\gamma l
2s\varepsilon + 2\gamma l \ll
\ll 2l
2\gamma l\psi (2\gamma l)
\psi (2\gamma l)2\gamma l(1 - \varepsilon )2\gamma l\varepsilon + 2\gamma l \ll 2l.
Таким чином, пiдставивши у (9) значення ks та врахувавши, що послiдовнiсть \psi (t)t1 - \varepsilon не
спадає i \gamma =
q
2
, отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
НАЙКРАЩI ТРИГОНОМЕТРИЧНI I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 391
I1 \ll
\left( \sum
l\leq s<\gamma l
22s\psi (2\gamma l)2\gamma l
2s\psi (2s)2l
\psi 2(2s)
\right) 1/2
\ll
\left( \psi (2\gamma l)2\gamma l2 - l \sum
l\leq s<\gamma l
\psi (2s)2s
\right) 1/2
\ll
\ll
\Bigl(
\psi (2\gamma l)2\gamma l2 - l\psi (2\gamma l)2\gamma l(1 - \varepsilon )2\gamma l\varepsilon
\Bigr) 1/2
= \psi (2\gamma l)2\gamma l2 -
l
2 = \psi (2\gamma l)2\gamma l(1 - 1/q). (10)
Спiвставивши (6), (7) i (10), одержимо шукану оцiнку зверху величини em(L
\psi
\beta ,1)q.
Перейдемо до встановлення оцiнки знизу. Вiдповiднi мiркування будуть базуватися на ви-
користаннi спiввiдношення двоїстостi (див., наприклад, [9, с. 25]): для будь-якої функцiї f \in Lq
em(f)q = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta m
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
P (\Theta m)
\bigm\| \bigm\| f - P (\Theta m)
\bigm\| \bigm\|
q
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta m
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in L\bot (\Theta m),\| g\| q\prime \leq 1
\pi \int
- \pi
f(x)g(x)dx, (11)
де L\bot (\Theta m) — множина функцiй, якi ортогональнi пiдпростору тригонометричних полiномiв з
номерами гармонiк iз множини \Theta m.
За заданим m виберемо l з умови 2l \asymp mq/2 i розглянемо функцiю
f(x) = C6\psi (2
l)
\bigl(
V2l+1(x) - V2l(x)
\bigr)
, C6 > 0,
де Vm(x) — ядро Валле – Пуссена вигляду
Vm(x) = 1 + 2
m\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ 2
2m - 1\sum
k=m+1
\biggl(
2m - k
m
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx.
Покажемо, що при певному виборi сталої C6 > 0 функцiя f належить класу L\psi \beta ,1. Для цього
достатньо пересвiдчитися, що \| f\psi \beta \| 1 \ll 1, i з цiєю метою скористаємось твердженням A.
Зауважимо, що умова (5) виконується, оскiльки iснує таке число \alpha > 1 - 1
q
,що послiдовнiсть
\varphi (m) = m\alpha \psi (m) не зростає, а
m - 1\sum
k=1
\psi (m)
k\psi (k)
=
m - 1\sum
k=1
\varphi (m)k\alpha
m\alpha \varphi (k)k
\leq 1
m\alpha
m - 1\sum
k=1
k\alpha
k
\leq 1.
Таким чином, оскiльки f тригонометричний полiном порядку 2l+2, на пiдставi тверджен-
ня А отримано
\| f\psi \beta \| 1 = C6\psi (2
l)
\bigm\| \bigm\| (V2l+1 - V2l)
\psi
\beta
\bigm\| \bigm\|
1
\ll \psi (2l)
\psi (2l+2)
\| V2l+1 - V2l\| 1.
Далi, врахувавши вiдоме спiввiдношення (див., наприклад, [10, с. 28])
\| V2l\| q \asymp 2l(1 - 1/q), 1 \leq q \leq \infty , (12)
з останньої нерiвностi одержимо, що \| f\psi \beta \| 1 \ll 1, а отже, f \in L\psi \beta ,1 при певному виборi сталоїC6.
Тепер перейдемо до вибору функцiї g, яка б задовольняла умови g \in L\bot (\Theta m) i \| g\| q\prime \leq 1.
Покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
392 В. В. ШКАПА
v1(x) = V2l+1(x) - V2l(x)
i розглянемо полiном
t1(x) = v1(x) - v\ast 1(x),
де v\ast 1(x) — функцiя, яка мiстить лише тi гармонiки v1(x), якi мають номери iз \Theta m.
Оцiнимо \| t1\| q\prime . Згiдно з (12) та рiвнiстю Парсеваля можемо записати
\| t1\| q\prime \leq \| v1\| q\prime + \| v\ast 1\| 2 \ll 2l(1 - 1/q\prime ) +m1/2 \ll m1/2.
Таким чином, функцiя g(x) = C7m
- 1/2t1(x) при певному виборi сталої C7 > 0 задовольняє
вимогу \| g\| q\prime \leq 1. Крiм цього, легко бачити, що g \in L\bot (\Theta m). Тому, пiдставивши f i g у
спiввiдношення (11), одержимо
em(L
\psi
\beta ,1)q \geq em(f)q =
=
\pi \int
- \pi
f(x)g(x)dx\gg m - 1/2\psi (2l)
\bigl(
\| V2l+1 - V2l\| 22 - m
\bigr)
\gg m - 1/2\psi (2l)2l. (13)
Врахувавши, що 2l \asymp mq/2, завершимо оцiнку (13):
em(L
\psi
\beta ,1)q \gg \psi
\bigl(
mq/2
\bigr)
m
q
2 (1 - 1/q).
Оцiнку знизу, а разом з нею i теорему доведено.
Зазначимо, що даний результат доповненнює оцiнку величини em(L
\psi
\beta ,p)q, 1 < p \leq 2 \leq
\leq q <\infty , яку було встановлено у роботi [11].
Порiвняємо теорему 1 з результатом, отриманим у роботi [12] при дослiдженнi величини
e\bot m(L
\psi
\beta ,1)q, яка означається згiдно з формулою
e\bot m(L
\psi
\beta ,1)q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi \beta ,1
e\bot m(f)q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi \beta ,1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta m
\bigm\| \bigm\| f(\cdot ) - S\Theta m(f, \cdot )
\bigm\| \bigm\|
q
,
де S\Theta m(f, x) =
\sum m
j=1
\^f(nj)e
injx. Нагадаємо, що величина e\bot m(L
\psi
\beta ,1)q називається найкращим
ортогональним тригонометричним наближенням класу L\psi \beta ,1 у просторi Lq. Таким чином, спiв-
ставляючи оцiнку з теореми 1 з оцiнкою величини e\bot m(L
\psi
\beta ,1)q [12]
e\bot m(L
\psi
\beta ,1)q \asymp \psi (m)m1 - 1/q,
бачимо, що при виконаннi умов теореми 1 цi величини мають рiзнi порядки.
Зазначимо також, що у випадку \psi (| k| ) = | k| - r, 1 - 1
q
< r < 1, оцiнку величини em(W r
1,\beta )q
одержано у роботi [4].
2. Найкращi бiлiнiйнi наближення. Нехай Lq1,q2 , 1 \leq q1, q2 \leq \infty — множина функцiй
f(x, y), x, y \in [ - \pi , \pi ], зi скiнченною мiшаною нормою
\| f(x, y)\| q1,q2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \| f(\cdot , y)\| q1\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
НАЙКРАЩI ТРИГОНОМЕТРИЧНI I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 393
причому норма обчислюється спочатку у просторi Lq1 за змiнною x \in [ - \pi , \pi ], а потiм вiд
результату за змiнною y \in [ - \pi , \pi ] у просторi Lq2 . Для f(x - y) \in Lq1,q2 покладемо
\tau m
\bigl(
f(x - y)
\bigr)
q1,q2
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
uj(x),vj(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x - y) -
m\sum
j=1
uj(x)vj(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,q2
,
де uj \in Lq1 , vj \in Lq2 .
Якщо F — деякий клас функцiй f(x), то величина
\tau m(F )q1,q2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\tau m
\bigl(
f(x - y)
\bigr)
q1,q2
(14)
називається найкращим бiлiнiйним наближенням. Класичний результат стосовно бiлiнiйних
наближень функцiй двох змiнних у просторi L2,2 належить Е. Шмiдту [13]. Згодом дослiдження
величин (14) для деяких функцiональних класiв проводилися в роботах [14 – 21]. У цих роботах
можна ознайомитися з детальнiшою iнформацiєю, а також вiдповiдною бiблiографiєю.
У цьому пунктi будуть встановленi точнi за порядком оцiнки величин \tau m(L
\psi
\beta ,p)q1,q2 для рiз-
них спiввiдношень мiж параметрами p, q1, q2. Перш нiж перейти до формулювання i доведення
одержаних результатiв, наведемо необхiднi допомiжнi твердження.
Теорема В [1, c. 215]. Нехай 1 < p < q <\infty , \psi \in B, \beta \in \BbbR i, крiм того, iснує \varepsilon > 0 таке,
що послiдовнiсть \psi (t)t1/p - 1/q+\varepsilon , t \in \BbbN , не зростає. Тодi справедливою є порядкова оцiнка
\scrE m(L\psi \beta ,p)q \asymp \psi (m)m1/p - 1/q.
Лема Б [3, c.107]. Нехай задано деяке число m \in \BbbN . Тодi для будь-якої функцiї
g(x) =
\sum
| k| \leq 2m
\widehat g(k)eikx
такої , що | \widehat g(k)| \leq 1 i | \widehat g(k)| = 1 при | k| \leq m, виконується спiввiдношення
\tau m
\bigl(
g(x - y)
\bigr)
2,1
\gg m1/2.
Нехай C(2l), l \in \BbbN \cup \{ 0\} , — множина цiлих чисел, що задовольняє умову | k| \leq 2l, i T (C(2l))
— множина тригонометричних полiномiв з номерами гармонiк iз C(2l).
Має мiсце наступне твердження.
Теорема Г [22]. Нехай t \in T (C(2l)). Тодi при 1 \leq q \leq p \leq \infty має мiсце нерiвнiсть
\| t\| p \leq 2 \cdot 2l(1/q - 1/p)\| t\| q. (15)
Нерiвнiсть (15) називають нерiвнiстю рiзних метрик.
Теорема Д [23]. Нехай \psi \in B, \beta \in \BbbR , 1 < p < \infty . Тодi для довiльного полiнома t \in
\in T (C(2l)) справедливою є оцiнка
\| t\psi \beta (\cdot )\| p \ll \psi - 1(2l)\| t(\cdot )\| p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
394 В. В. ШКАПА
Теорема Е [23]. Нехай 2 \leq p \leq q \leq \infty , \psi \in B, \beta \in \BbbR i, крiм того, iснує \varepsilon > 0 таке, що
послiдовнiсть \psi (t)t1/2+\varepsilon , t \in \BbbN , не зростає. Тодi справедлива порядкова оцiнка
em(L
\psi
\beta ,p)q \asymp \psi (m).
Зауважимо, що у випадку 2 \leq p \leq q < \infty результат теореми Е було встановлено у робо-
тi [24], а у випадку p = q = \infty — у роботi [25].
Теорема Є. Нехай 1 < p < \infty , \psi \in B, \beta \in \BbbR i, крiм того, iснує \varepsilon > 0 таке, що
послiдовнiсть \psi (t)ta+\varepsilon , a = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
1
p
,
1
2
\biggr\}
, t \in \BbbN , не зростає. Тодi справедливою є порядкова
оцiнка
em(L
\psi
\beta ,p)\infty \asymp \psi (m)m(1/p - 1/2)+ ,
де b+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ b; 0\} .
Теорема Ж [24]. Нехай 1 < p \leq 2 < q < \infty , \psi \in B, \beta \in \BbbR i, крiм того, iснує \varepsilon > 0 таке,
що послiдовнiсть \psi (t)t1/p+\varepsilon , t \in \BbbN , не зростає. Тодi справедливою є порядкова оцiнка
em(L
\psi
\beta ,p)q \asymp \psi (m)m1/p - 1/2.
Теорема З [27]. Нехай 2 \leq q < \infty , \psi \in B, \beta \in \BbbR , виконується одна з умов (3) або (4) i,
крiм того, iснує \varepsilon > 0 таке, що послiдовнiсть \psi (t)t1+\varepsilon , t \in \BbbN , не зростає. Тодi справедливою
є порядкова оцiнка
em(L
\psi
\beta ,1)q \asymp \psi (m)m1/2.
Тепер перейдемо до формулювання i доведення отриманих результатiв.
Теорема 2. Нехай 1 < p < q1 \leq 2, 1 \leq q2 \leq \infty , \psi (t) \in B, t \in \BbbN , \beta \in \BbbR i, крiм того,
iснує таке \varepsilon > 0, що послiдовнiсть \psi (t)t1/p - 1/q1+\varepsilon , t \in \BbbN , не зростає. Тодi справджується
порядкова оцiнка
\tau m(L
\psi
\beta ,p)q1,q2 \asymp \psi (m)m1/p - 1/q1 . (16)
Доведення. Покажемо, що оцiнка зверху в (16) випливає з оцiнки величини em(L
\psi
\beta ,p)q1 :
em(L
\psi
\beta ,p)q1 \ll \psi (m)m1/p - 1/q1 , 1 < p < q1 \leq 2, (17)
яка, в свою чергу, є наслiдком оцiнки наближення функцiй iз класiв L\psi \beta ,p їх сумами Фур’є
(теорема В).
Дiйсно, з одного боку, згiдно з оцiнкою (17) для довiльної функцiї f(x) iз класiв L\psi \beta ,p i
певної послiдовностi \{ nj\} mj=1 \subset \BbbZ маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x) -
m\sum
j=1
cje
injx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1
\ll \psi (m)m1/p - 1/q1 . (18)
З iншого боку, для лiвої частини (18) можемо записати
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
НАЙКРАЩI ТРИГОНОМЕТРИЧНI I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 395\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x) -
m\sum
j=1
cje
injx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x - y) -
m\sum
j=1
cje
inj(x - y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,\infty
=
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x - y) -
m\sum
j=1
cje
injxe - injy
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,\infty
. (19)
Спiвставивши (18) i (19), одержимо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x - y) -
m\sum
j=1
cje
injxe - injy
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,\infty
\ll \psi (m)m1/p - 1/q1 , (20)
i, поклавши в (20) einjx = uj(x) i e - injy = vj(y), приходимо до шуканої оцiнки зверху.
Встановимо в (16) оцiнку знизу. По заданому m пiдберемо l \in \BbbN iз спiввiдношення 2l - 1 \leq
\leq m < 2l i розглянемо бiлiнiйне наближення функцiї V2l+2(x - y).
Нехай системи функцiй \{ uj(x)\} mj=1 i \{ vj(y)\} mj=1, x, y \in [ - \pi , \pi ], такi, що\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| V2l+2(x - y) -
m\sum
j=1
uj(x)vj(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,1
\leq 2\tau m
\bigl(
V2l+2(x - y)
\bigr)
q1,1
.
Оскiльки для оператора Валле – Пуссена \bfV n, який дiє за формулою \bfV n[f ] = f \ast Vn (де \ast —
операцiя згортки), має мiсце рiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bfV 2l+3
\left[ V2l+2(x - y) -
m\sum
j=1
uj(x)vj(y)
\right] \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,1
=
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| V2l+2(x - y) -
m\sum
j=1
\bfV 2l+3
\bigl[
uj(x)vj(y)
\bigr] \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,1
i для f \in Lq, 1 \leq q \leq \infty , виконується нерiвнiсть (див., наприклад, [10, c. 91])\bigm\| \bigm\| \bfV n[f ]
\bigm\| \bigm\|
q
\leq 3\| f\| q,
то можна вважати, що функцiї uj(x) i vj(y) є тригонометричними полiномами з номерами
гармонiк iз множини C(2l+3), i при цьому справджується оцiнка\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| V2l+2(x - y) -
m\sum
j=1
uj(x)vj(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,1
\ll \tau m
\bigl(
V2l+2(x - y)
\bigr)
q1,1
. (21)
Таким чином, згiдно з (21) i (15) можемо записати\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| V2l+2(x - y) -
m\sum
j=1
uj(x)vj(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2,1
\ll
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
396 В. В. ШКАПА
\ll 2l(1/q1 - 1/2)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| V2l+2(x - y) -
m\sum
j=1
uj(x)vj(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,1
\ll
\ll 2l(1/q1 - 1/2)\tau m
\bigl(
V2l+2(x - y)
\bigr)
q1,1
. (22)
Далi, беручи до уваги спiввiдношення мiж числами m i l i використовуючи лему Б, iз (22)
знаходимо
\tau m
\bigl(
V2l+2(x - y)
\bigr)
q1,1
\gg 2 - l(1/q1 - 1/2)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| V2l+2(x - y) -
m\sum
j=1
uj(x)vj(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2,1
\gg
\gg 2 - l(1/q1 - 1/2)m1/2 \asymp 2 - l(1/q1 - 1). (23)
Тепер розглянемо функцiю
f1(x) = C8\psi (2
l)2 - l(1 - 1/p)V2l+2(x), C8 > 0,
i покажемо, що при певному виборi сталої C8 > 0 вона належить класу L\psi \beta ,p. Для цього
достатньо пересвiдчитися, що \| (f1)\psi \beta \| p \ll 1. З цiєю метою скориставшись теоремою Д i
спiввiдношенням (12), одержимо
\| (f1)\psi \beta \| p \asymp \psi (2l)2 - l(1 - 1/p)
\bigm\| \bigm\| (V2l+2)
\psi
\beta
\bigm\| \bigm\|
p
\ll \psi (2l)2 - l(1 - 1/p)\psi - 1(2l+2)\| V2l+2\| p \ll 1.
Звiдси робимо висновок, що f1 \in L\psi \beta ,p.
Насамкiнець, скориставшись оцiнкою (23), можемо записати
\tau m(L
\psi
\beta ,p)q1,q2 \gg \tau m(f1(x - y))q1,1 \asymp \psi (m)2 - l(1 - 1/p)\tau m
\bigl(
V2l+2(x - y)
\bigr)
q1,1
\gg
\gg \psi (m)2 - l(1 - 1/p) \cdot 2 - l(1/q1 - 1) = \psi (m)2l(1/p - 1/q1) \asymp \psi (m)m1/p - 1/q1 . (24)
Оцiнку знизу, а разом з нею i теорему доведено.
Наступне твердження є наслiдком теореми 2, а також вiдомих оцiнок величин em(L
\psi
\beta ,p)q1 .
Теорема 3. Нехай 1 < p \leq 2 < q1 \leq \infty , 1 \leq q2 \leq \infty , \psi (t) \in B, t \in \BbbN , \beta \in \BbbR i, крiм
того, iснує таке \varepsilon > 0, що послiдовнiсть \psi (t)t1/p+\varepsilon , t \in \BbbN , не зростає. Тодi справджується
порядкова оцiнка
\tau m(L
\psi
\beta ,p)q1,q2 \asymp \psi (m)m1/p - 1/2. (25)
Доведення. Оцiнка зверху випливає з оцiнки величини em(L
\psi
\beta ,p)q1 , 1 < p \leq 2 < q1 \leq \infty
(теореми Є i Ж).
Вiдповiдна оцiнка знизу в (25) випливає з (16) при q1 = 2 внаслiдок нерiвностi \| \cdot \| 2 \leq \| \cdot \| q1 ,
q1 \geq 2.
Теорема 4. Нехай 2 \leq p \leq q1 \leq \infty , 1 \leq q2 \leq \infty , \psi (t) \in B, t \in \BbbN , \beta \in \BbbR i, крiм того, iснує
таке \varepsilon > 0, що послiдовнiсть \psi (t)t1/2+\varepsilon , t \in \BbbN , не зростає. Тодi справджується порядкова
оцiнка
\tau m(L
\psi
\beta ,p)q1,q2 \asymp \psi (m). (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
НАЙКРАЩI ТРИГОНОМЕТРИЧНI I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 397
Доведення. Оцiнка зверху в (26) випливає з вiдповiдних оцiнок величин em(L
\psi
\beta ,p)q1 , 2 \leq
\leq p \leq q1 \leq \infty , iз теорем Е та Є.
Встановимо оцiнку знизу. По заданому m пiдберемо l \in \BbbN iз спiввiдношення 2l - 2 \leq m <
< 2l - 1 i розглянемо функцiю
f2(x) = C9\psi (2
l)2 - l/2Rl(x), C9 > 0,
де Rl(x) =
\sum 2l - 1
j=2l - 1
\varepsilon je
ijx, \varepsilon j = \pm 1, — полiноми Рудiна – Шапiро, для яких (див., наприк-
лад, [28, с. 155]) має мiсце порядкова оцiнка
\| Rl\| \infty \ll 2l/2. (27)
Легко переконатися, що f2 \in L\psi \beta ,p. Дiйсно, згiдно з теоремою Д та спiввiдношенням (27)
можемо записати \bigm\| \bigm\| (f2)\psi \beta \bigm\| \bigm\| p \asymp \psi - 1(2l)\| f2\| p \ll 2 - l/2\| Rl\| \infty \ll 2 - l/22l/2 = 1.
Звiдси випливає, що при належному виборi сталої C9 > 0 функцiя f2 належить класу L\psi \beta ,p.
Тепер, беручи до уваги, що полiноми Rl задовольняють умови леми Б i для них виконується
оцiнка
\tau m(Rl(x - y))2,1 \gg m1/2,
отримуємо
\tau m(L
\psi
\beta ,p)q1,q2 \gg \tau m(f2(x - y))2,1 \gg
\gg \psi (2l)2 - l/2\tau m(Rl(x - y))2,1 \gg \psi (2l)2 - l/2m1/2 \asymp \psi (m).
Оцiнку знизу, а разом з нею i теорему доведено.
На завершення роботи одержимо результат, який доповнює оцiнку з теореми 3 у випадку
p = 1. Але тут, у порiвняннi з умовами теореми 3, нам довелося накласти додатковi обмеження
на поведiнку функцiї \psi .Необхiднiсть цих обмежень була викликана використанням вiдповiдних
допомiжних тверджень.
Теорема 5. Нехай 2 \leq q1 < \infty , 1 \leq q2 \leq \infty , \psi (t) \in B, t \in \BbbN , \beta \in \BbbR , виконується одна з
умов (3) або (4) i, крiм того, iснує таке \varepsilon > 0, що послiдовнiсть \psi (t)t1+\varepsilon , t \in \BbbN , не зростає.
Тодi справджується порядкова оцiнка
\tau m(L
\psi
\beta ,1)q1,q2 \asymp \psi (m)m1/2. (28)
Доведення. Оцiнка зверху випливає з теореми З.
Перейдемо до встановлення в (28) оцiнки знизу i зауважимо, що при цьому достатньо
розглянути випадок q1 = 2.
За заданим m виберемо l \in \BbbN з умови 2l - 1 \leq m < 2l i розглянемо функцiю
f3(x) = C10\psi (2
l)V2l+2(x), C10 > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
398 В. В. ШКАПА
Скориставшись твердженням А та спiввiдношенням (12), можемо записати\bigm\| \bigm\| (f3)\psi \beta \bigm\| \bigm\| 1 \ll \psi (2l)\psi - 1(2l) \ll 1.
Звiдси робимо висновок, що f3 \in L\psi \beta ,1 при певному виборi сталої C10.
Таким чином, врахувавши (23) та спiввiдношення мiж числами m i l, одержимо
\tau m(L
\psi
\beta ,1)2,q2 \gg \tau m(f3(x - y))2,1 \asymp \psi (2l)\tau m(V2l+2(x - y))2,1 \gg \psi (2l)2l/2 \asymp \psi (m)m1/2.
Оцiнку знизу, а разом з нею i теорему доведено.
Зауваження. Для класiв W r
p,\beta вiдповiднi до теорем 2 – 5 твердження (як частковий випа-
док) встановив В. М. Темляков (див., наприклад, [3, с. 101]).
Лiтература
1. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 268 с.
2. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. – Киев: Ин-т математики НАН Украины. – 2002. – 40. –
Т. I. – 427 с.; Т. II. – 468 с.
3. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр Мат., ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – 112 с.
4. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах гладких периодических функций //
Мат. сб. – 1987. – 132, № 1. – С. 20 – 27.
5. Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения классов Бесова периодических
функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. – С. 61 – 100.
6. Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические приближение классов периодических функций многих пере-
менных в равномерной метрике // Мат. заметки. – 2007. – 82, № 2. – С. 247 – 261.
7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. I. — 615 с.; Т. II. – 537 с.
8. Грабова У. З., Сердюк А. С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв (\psi , \beta )-
диференцiйовних функцiй // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 9. – С. 1186 – 1197.
9. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
10. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 272 p.
11. Федоренко А. С. Наилучшиеm-членные тригонометрические приближения классов (\psi , \beta )-дифференцируемых
функций одной переменной // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 6. – С. 850 – 855.
12. Шкапа В. В. Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення функцiй iз класiв L\psi \beta ,1 // Теорiя наближення
функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11, № 3. – С. 315 – 329.
13. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integraldeichungen. I // Math. Ann. – 1907. – 63. – P. 433 – 476.
14. Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений функций двух переменных и некоторые их
приложения // Мат. сб. – 1987. – 134, № 1. – С. 93 – 107.
15. Темляков В. Н. Билинейная аппроксимация и приложения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – С. 191 –
215.
16. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах периодических функций с огра-
ниченной смешанной производной // Исследования по теории функций многих вещественных переменных. –
Ярославль: Ярослав. гос. ун-т, 1987. – С. 16 – 33.
17. Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические и билинейные приближения функций многих переменных из
классов Brp,\theta . I // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 11. – С. 1535 – 1547.
18. Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические и билинейные приближения функций многих переменных из
классов Brp,\theta . II // Укр. мат. журн. – 1993. – 45, № 10. – С. 1411 – 1423.
19. Романюк А. С. Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова Brp,\theta периодических функций
многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2006. – 70, № 2. – С. 69 – 98.
20. Романюк А. С., Романюк В. С. Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных
приближений классов функций нескольких переменных // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 4. – С. 536 – 551.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
НАЙКРАЩI ТРИГОНОМЕТРИЧНI I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 399
21. Солiч К. В. Оцiнки бiлiнiйних наближень класiв S\Omega
p,\theta B перiодичних функцiй двох змiнних // Укр. мат. журн. –
2012. – 64, № 8. – С. 1106 – 1120.
22. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – C. 244 – 278.
23. Романюк А. С. Неравенства для Lp-норм (\psi , \beta )-производных и поперечников по Колмогорову классов функций
многих переменных L\psi \beta ,p // Исследования по теории аппроксимации функций: Сб. науч. тр. – Киев: Ин-т
математики АН УССР. – 1987. – С. 92 – 105.
24. Федоренко А. С. О наилучших m-членных тригонометрических приближениях классов (\psi , \beta )-
дифференцируемых функций одной переменной // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь: Зб. наук.
пр. – Київ: Iн-т математики НАН України. – 1998. – Вип. 3. – С. 250 – 258.
25. Шкапа В. В. Найкращi наближення аналогiв ядер Бернуллi та класiв (\psi , \beta )-диференцiйовних перiодичних
функцiй // Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2014. – 11, № 4. – С. 413 – 424.
26. Шкапа В. В. Оцiнки найкращих m-членних та ортогональних тригонометричних наближень функцiй iз класiв
L\psi \beta ,p у рiвномiрнiй метрицi // Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2014. – 11, № 2. – С. 305 – 317.
27. Шкапа В. В. Апроксимативнi характеристики класiв L\psi \beta ,p перiодичних функцiй у просторi Lq // Укр. мат.
журн. – 2015. – 67, № 8. – С. 1139 – 1150.
28. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 496 с.
Одержано 22.06.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1846 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:49Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/94/a88b2249573fca3a7b99e283f740b494.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18462019-12-05T09:29:34Z Best trigonometric and bilinear approximations for the classes of $(ψ, β)$ -differentiable periodic functions Найкращі тригонометричні і білінійні наближення класів $(ψ, β)$ -диференційовних періодичних функцій Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. We establish the exact-order estimates for the best $m$-term trigonometric approximations of the classes $L^{\psi}_{\beta, 1}$ in the space $L_q,\; 2 < q < \infty$. We also determine the exact orders of the best bilinear approximations for the classes of functions of two variables generated by functions of a single variable from the class$L^{\psi}_{\beta, p}$ by the shifts of the argument in the space $L_{q_1,q_2},\; 1 \leq q_1,\; q_2 \leq \infty$. Установлены точные по порядку оценки величин наилучших $m$-членных тригонометрических приближений классов $L^{\psi}_{\beta, 1}$ в пространстве $L_q,\; 2 < q < \infty$. Найдены также точные порядки наилучших билинейных приближений классов функций двух переменных, порожденных из функциями одной переменной класса $L^{\psi}_{\beta, p}$ сдвигами аргумента, в пространстве $L_{q_1,q_2},\; 1 \leq q_1,\; q_2 \leq \infty$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1846 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 3 (2016); 386-399 Український математичний журнал; Том 68 № 3 (2016); 386-399 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1846/828 Copyright (c) 2016 Shkapa V. V. |
| spellingShingle | Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. Best trigonometric and bilinear approximations for the classes of $(ψ, β)$ -differentiable periodic functions |
| title | Best trigonometric and bilinear approximations for the classes of $(ψ, β)$ -differentiable periodic functions |
| title_alt | Найкращі тригонометричні і білінійні наближення класів $(ψ, β)$ -диференційовних періодичних функцій |
| title_full | Best trigonometric and bilinear approximations for the classes of $(ψ, β)$ -differentiable periodic functions |
| title_fullStr | Best trigonometric and bilinear approximations for the classes of $(ψ, β)$ -differentiable periodic functions |
| title_full_unstemmed | Best trigonometric and bilinear approximations for the classes of $(ψ, β)$ -differentiable periodic functions |
| title_short | Best trigonometric and bilinear approximations for the classes of $(ψ, β)$ -differentiable periodic functions |
| title_sort | best trigonometric and bilinear approximations for the classes of $(ψ, β)$ -differentiable periodic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1846 |
| work_keys_str_mv | AT shkapavv besttrigonometricandbilinearapproximationsfortheclassesofpsbdifferentiableperiodicfunctions AT škapavv besttrigonometricandbilinearapproximationsfortheclassesofpsbdifferentiableperiodicfunctions AT shkapavv najkraŝítrigonometričnííbílíníjnínabližennâklasívpsbdiferencíjovnihperíodičnihfunkcíj AT škapavv najkraŝítrigonometričnííbílíníjnínabližennâklasívpsbdiferencíjovnihperíodičnihfunkcíj |