Approximation of some classes of set-valued periodic functions by generalized trigonometric polynomials
We generalize some known results on the best, best linear, and best one-sided approximations by trigonometric polynomials from the classes of $2 \pi$ -periodic functions presented in the form of convolutions to the case of classes of set-valued functions.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1851 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507726038171648 |
|---|---|
| author | Babenko, V. V. Babenko, V. F. Polishchuk, M. V. Бабенко, В. В. Бабенко, В. Ф. Полищук, М. В. Бабенко, В. В. Бабенко, В. Ф. Полищук, М. В. |
| author_facet | Babenko, V. V. Babenko, V. F. Polishchuk, M. V. Бабенко, В. В. Бабенко, В. Ф. Полищук, М. В. Бабенко, В. В. Бабенко, В. Ф. Полищук, М. В. |
| author_sort | Babenko, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:54Z |
| description | We generalize some known results on the best, best linear, and best one-sided approximations by trigonometric polynomials
from the classes of $2 \pi$ -periodic functions presented in the form of convolutions to the case of classes of set-valued functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко (Днепропетр. нац. ун-т им. О. Гончара),
В. В. Бабенко (Ун-т Юты, США),
М. В. Полищук (Днепропетр. нац. ун-т им. О. Гончара)
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
МНОГОЗНАЧНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ОБОБЩЕННЫМИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ
We generalize some known results on the best, best linear, and best one-sided approximations by trigonometric polynomials
from the classes of 2\pi -periodic functions presented in the form of convolutions to the case of classes of set-valued functions.
Одержано узагальнення деяких вiдомих результатiв щодо найкращих, найкращих лiнiйних i найкращих односто-
роннiх наближень тригонометричними полiномами класiв числових 2\pi -перiодичних функцiй, зображених у виглядi
згортки, на випадок класiв багатозначних функцiй.
1. Введение. В теории приближений хорошо известны результаты по точному решению за-
дач наилучшего, наилучшего линейного и наилучшего одностороннего приближения классов
периодических функций, представимых в виде свертки, тригонометрическими полиномами.
Обзор и изложение большинства имеющихся в этих направлениях результатов, а также даль-
нейшие ссылки можно найти в статьях [1, 2] и монографиях [3, 4]. Цель данной работы —
распространение некоторых из этих результатов на случай многозначных функций.
Задачи об аппроксимации многозначных функций начали рассматривать относительно недав-
но. Обзор и изложение ряда известных в этом направлении результатов можно найти в [8 – 11].
Кратко опишем структуру работы. Во втором пункте статьи приведены необходимые опре-
деления, обозначения и факты, относящиеся к случаю числовых периодических функций. В
третьем пункте изложены необходимые определения и факты из теории многозначных функ-
ций. В четвертом пункте приведены постановки задач аппроксимации многозначных функций.
Пятый пункт посвящен изложению некоторых результатов по приближениям многозначных
периодических функций, представимых в виде свертки, „обобщенными тригонометрическими
полиномами”.
2. Приближение классов числовых функций. Пусть C и Lp, 1 \leq p \leq \infty , — пространства
2\pi -периодических функций f : \BbbR \rightarrow \BbbR с соответствующими нормами \| \cdot \| C и \| \cdot \| Lp.
Пусть X есть Lp, 1 \leq p <\infty , или C, и H — конечномерное подпространство пространства
X . Для f \in X положим
E (f,H)X = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
T\in H
\| f - T\| X . (1)
Пусть также \scrM \subset X — некоторый класс функций,
E (\scrM , H)X = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrM
En (f,H)X . (2)
Величины (1) и (2) называются наилучшими приближениями функции f и класса \scrM соответ-
ственно подпространством H в метрике пространства X .
Далее положим
U (\scrM , H)X = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
A
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrM
\| f - Af\| X ,
c\bigcirc В. Ф. БАБЕНКО, В. В. БАБЕНКО, М. В. ПОЛИЩУК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4 449
450 В. Ф. БАБЕНКО, В. В. БАБЕНКО, М. В. ПОЛИЩУК
где \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}A берется по всевозможным линейным операторам A : X \rightarrow H . Величина U (\scrM , H)X
называется наилучшим линейным приближением класса \scrM подпространством H в метрике
пространства X .
Как обычно, свертку K \ast \varphi функций K \in L1 (ядра свертки) и \varphi \in L1 определим равенством
K \ast \varphi (x) =
2\pi \int
0
K(t)\varphi (x - t)dt.
Пусть Fp = \{ \varphi \in Lp, 1 \leq p \leq \infty : \| \varphi \| p \leq 1\} . Через K \ast Fp обозначим класс функций вида
f(x) = K \ast \varphi (x), \varphi \in Fp.
Как известно (см., например, [1 – 3, 5, 6]), многие важные классы числовых периодических
функций являются классами типа K \ast Fp.
Через HT
2n - 1, n = 1, 2, . . . , обозначим множество тригонометрических полиномов Tn - 1(x)
порядка не выше n - 1, т. е. множество функций вида
Tn - 1(x) =
a0
2
+
n - 1\sum
k=1
ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx, ak, bk \in \BbbR .
С. М. Никольским [1] были получены весьма общие условия на ядро K, задающее класс
функций, каждое из которых позволяет вычислить величины E
\bigl(
K \ast F\infty , H
T
2n - 1
\bigr)
C
и E
\bigl(
K \ast F1, H
T
2n - 1
\bigr)
L1
. Мы приведем здесь только условие N\ast
n:
Будем говорить, что ядро K удовлетворяет условию N\ast
n, если существуют полином T \ast \in
\in HT
2n - 1 и точка \theta \in [0, \pi /n] такие, что почти всюду
(K(x) - T \ast (x))\varphi n(x - \theta ) \geq 0.
Здесь и везде ниже
\varphi n(x) := \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nx.
C. М. Никольский доказал следующую теорему.
Теорема A. Если ядро K удовлетворяет условию N\ast
n, то
E
\bigl(
K \ast F\infty , H
T
2n - 1
\bigr)
C
= U
\bigl(
K \ast F\infty , H
T
2n - 1
\bigr)
C
=
= En
\bigl(
K \ast F1, H
T
2n - 1
\bigr)
L1
= Un
\bigl(
K \ast F1, H
T
2n - 1
\bigr)
L1
=
= E
\bigl(
K,HT
2n - 1
\bigr)
L1
= \| K - T \ast \| L1 = \| K \ast \varphi n\| C .
Условию N\ast
n удовлетворяют практически все важные для теории аппроксимации конкрет-
ные ядра (примеры см. в работах [1, 2, 5, 6]).
Относительно наилучших линейных приближений классов периодических функций приве-
дем следующую теорему, которая устанавливается аналогично теореме 1 из работы [7].
Теорема B. Пусть p, q \in [1,\infty ] и p - 1 + q - 1 = 1. Если K \in Lq, то для любого n \in \BbbN
U(K \ast Fp, H
T
2n - 1)C = E(K,HT
2n - 1)Lq .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МНОГОЗНАЧНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 451
3. Определения и факты, связанные с многозначными функциями. Приведем необхо-
димые определения и факты, связанные с пространствами непустых компактных подмножеств
пространства \BbbR m, а также с многозначными функциями. Доказательства приведенных ниже
фактов можно найти в [12 – 14]. Обозначим через K(\BbbR m) пространство непустых компактных
подмножеств пространства \BbbR m. Через Kc(\BbbR m) будем обозначать совокупность выпуклых эле-
ментов пространства K(\BbbR m). Будем рассматривать многозначные 2\pi -периодические функции
f : \BbbR \rightarrow K(\BbbR m), т. е. такие функции f, что f(x+ 2\pi ) = f(x) для любого x \in \BbbR .
Как обычно, линейную комбинацию множеств A,B \subset K(\BbbR m) определим равенством
\lambda A+ \mu B = \{ \lambda a+ \mu b : a \in A, b \in B\} , \lambda , \mu \in \BbbR .
Выпуклую оболочку множества A \subset K(\BbbR m) будем обозначать через \mathrm{c}\mathrm{o}A.
Если a = (a1, . . . , am) \in \BbbR m, то | a| lm2 :=
\sqrt{} \sum m
j=1
aj2, (a, \xi ) =
\sum m
k=1
ak\xi k — скалярное
произведение элементов a = (a1, . . . , am) \in \BbbR m и \xi = (\xi 1, . . . , \xi m) \in \BbbR m. Для точки a \in \BbbR m и
множества B \in K(\BbbR m) положим
d(a,B) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
b\in B
| a - b| lm2 .
Это расстояние от точки a до множества B. Для множеств A,B \in K(\BbbR m) пусть
d(A,B) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
a\in A
d(a,B).
Это расстояние от множестваA до множестваB. Хаусдорфова метрика \delta в пространствеK(\BbbR m)
определяется следующим образом. Если A,B \in K(\BbbR m), то
\delta (A,B) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ d(A,B), d(B,A)\} .
Отметим, что K(\BbbR m) и Kc(\BbbR m) с хаусдорфовой метрикой являются полными метрическими
пространствами.
Метрика \delta (A,B) имеет следующие свойства:
\delta (\lambda A, \lambda B) = \lambda \delta (A,B) \forall \lambda > 0 \forall A,B \in K(\BbbR m),
\delta (A+B,C +D) \leq \delta (A,C) + \delta (B,D) \forall A, B, C, D \in K(\BbbR m),
\delta (\mathrm{c}\mathrm{o} A, \mathrm{c}\mathrm{o} B) \leq \delta (A,B) \forall A,B \in K(\BbbR m),
\delta (\alpha A, \beta A) \leq | \alpha - \beta | \| A\| \forall \alpha , \beta \in \BbbR \forall A \in Kc(\BbbR m),
где \| A\| := \delta (A, \{ \theta \} ) (здесь и везде ниже \theta = (0, . . . , 0) — нулевой элемент пространства \BbbR m).
Интеграл Аумана [15] от многозначной функции f : [0, 2\pi ] \rightarrow K(\BbbR m) определяется как
множество всех интегралов от интегрируемых селекций функции f :
I(f) =
2\pi \int
0
f(x)dx :=
\left\{
2\pi \int
0
\phi (x)dx : \phi (x) \in f(x) п. в., \phi интегрируемо
\right\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
452 В. Ф. БАБЕНКО, В. В. БАБЕНКО, М. В. ПОЛИЩУК
Известно (см., например, [16]), что если функция f : [0, 2\pi ] \rightarrow K(\BbbR m) измерима, а функция
\| f(\cdot )\| суммируема (совокупность таких функций обозначим через LA
1 ), то
2\pi \int
0
f(x)dx \in Kc(\BbbR m).
Нам понадобятся следующие свойства интеграла Аумана для функций f, g \in LA
1 (см., напри-
мер, [13, 14]):
2\pi \int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}(f(x))dx =
2\pi \int
0
f(x)dx,
\delta
\left( 2\pi \int
0
f(x)dx,
2\pi \int
0
g(x)dx
\right) \leq
2\pi \int
0
\delta (f(x), g(x))dx.
4. Задачи аппроксимации, связанные с многозначными функциями. Через LA
p , 1 \leq
\leq p \leq \infty , обозначим совокупность таких функций f \in LA
1 , что \| f(\cdot )\| \in Lp. В LA
p введем
метрику, положив
\delta LA
p
(f, g) := \| \delta (f(\cdot ), g(\cdot ))\| Lp .
Пусть также
\Phi p := \{ f \in LA
p : \delta LA
p
(f, \{ \theta \} ) \leq 1\} .
Пусть, как и в пункте 2, задано ядро K \in L1. Мы будем рассматривать задачи аппроксима-
ции классов K \ast \Phi p многозначных функций, представимых в виде
f(x) =
2\pi \int
0
K(x - t)g(t)dt, g \in \Phi p,
где интеграл понимается в смысле Аумана. В силу свойств интеграла Аумана функции класса
K \ast \Phi p являются выпуклозначными.
В качестве аппроксимирующих будем использовать многозначные функции вида
\tau (x) =
2\pi \int
0
T (x - t)h(t)dt, (3)
где T — полином из HT
2n - 1, а h — функция из LA
1 . Совокупность всевозможных функций такого
вида обозначим через SV HT
2n - 1.
Для функции f \in K \ast \Phi p, 1 \leq p \leq \infty , положим
\scrE
\bigl(
f, SV HT
2n - 1
\bigr)
LA
p
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \in SV HT
2n - 1
\delta LA
p
(f, \tau ) .
Пусть также
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МНОГОЗНАЧНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 453
\scrE
\bigl(
K \ast \Phi q, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
p
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in K\ast \Phi q
\scrE
\bigl(
f, SV HT
2n - 1
\bigr)
LA
p
.
Наряду с задачей отыскания величин \scrE
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
p
, которую можно рассматри-
вать как многозначный аналог задачи наилучшего приближения класса функций тригономет-
рическими полиномами, будем рассматривать задачу отыскания величин
\scrU
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
q
:= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
T\in HT
2n - 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f=K\ast g\in K\ast \Phi p
\| K \ast g - T \ast g\| LA
q
как многозначный аналог задачи о наилучшем линейном приближении соответствующих клас-
сов числовых функций.
Теперь мы несколько расширим совокупность аппроксимирующих функций и вместо сово-
купности SV HT
2n - 1 будем использовать совокупность \widetilde SV H
T
2n - 1 многозначных функций вида
\~\tau (x) = \tau (x) +Br(\theta ), (4)
где \tau \in SV HT
2n - 1 и Br(\theta ) = \{ z \in \BbbR m : | z| lm2 \leq 1\} , r \geq 0.
Для функции f \in K \ast \Phi p, 1 \leq p \leq \infty , положим
\scrE +
\biggl(
f,\widetilde SV H
T
2n - 1
\biggr)
LA
p
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \in \widetilde SV H
T
2n - 1
\forall x f(x)\subset \tau (x)
\delta LA
p
(f, \tau ) .
Задача отыскания (оценки) величины
\scrE +
\biggl(
K \ast \Phi q,\widetilde SV H
T
2n - 1
\biggr)
LA
p
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in K\ast \Phi q
\scrE +
\biggl(
f,\widetilde SV H
T
2n - 1
\biggr)
LA
p
является многозначным аналогом задачи наилучшего одностороннего приближения классов
числовых функций и, по мнению авторов, представляет определенный интерес.
5. Полученные результаты.
Теорема 1. Пусть n \in \BbbN , p, q \in [1,\infty ] и p - 1 + q - 1 = 1. Если K \in Lq, то
\scrE
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
\infty
\leq \scrU
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
\infty
\leq En
\bigl(
K,HT
2n - 1
\bigr)
Lq
. (5)
Если K \in L1, то для p \in [1,\infty ]
\scrE
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
p
\leq \scrU
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
p
\leq En
\bigl(
K,HT
2n - 1
\bigr)
L1
. (6)
Доказательство. Установим сначала неравенство (5). Пусть T \ast \in HT
2n - 1 — полином
наилучшего Lq-приближения для K и g \in \Phi p. Использовав свойства хаусдорфовой метрики и
интеграла, оценим \delta (K \ast g(x), T \ast \ast g(x)):
\delta (K \ast g(x), T \ast \ast g(x)) = \delta
\left( 2\pi \int
0
K(x - t) g(t)dt,
2\pi \int
0
T \ast (x - t) g(t)dt
\right) =
= \delta
\left( 2\pi \int
0
K(x - t) \mathrm{c}\mathrm{o} g(t)dt,
2\pi \int
0
T \ast (x - t) \mathrm{c}\mathrm{o} g(t)dt
\right) \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
454 В. Ф. БАБЕНКО, В. В. БАБЕНКО, М. В. ПОЛИЩУК
\leq
2\pi \int
0
\delta (K(x - t)\mathrm{c}\mathrm{o} g(t), T \ast (x - t)\mathrm{c}\mathrm{o} g(t)) dt \leq
\leq
2\pi \int
0
| K(x - t) - T \ast (x - t)| \delta (\mathrm{c}\mathrm{o} g(t), \{ \theta \} ) dt.
Таким образом,
\delta (K \ast g(x), T \ast \ast g(x)) \leq
2\pi \int
0
| K(x - t) - T \ast (x - t)| \delta (\mathrm{c}\mathrm{o} g(t), \{ \theta \} ) dt. (7)
Применяя неравенство Гельдера, получаем
\| \delta (K \ast g(\cdot ), T \ast \ast g(\cdot ))\| L\infty
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \BbbR
\left( 2\pi \int
0
| K(x - t) - T \ast (x - t)| qdt
\right)
1
q
\left( 2\pi \int
0
\delta (\mathrm{c}\mathrm{o} g(t), \{ \theta \} )p dt
\right)
1
p
\leq En
\bigl(
K,HT
2n - 1
\bigr)
Lq
.
Соотношение (5) установлено.
Пусть теперь K \in L1, f = K \ast g \in K \ast \Phi p и T \ast \in HT
2n - 1 — полином наилучшего
L1-приближения для K. Применяя неравенство (7) и обобщенное неравенство Минковского,
имеем
\| \delta (K \ast g(\cdot ), T \ast \ast g(\cdot ))\| Lp \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2\pi \int
0
| K(\cdot - t) - T \ast (\cdot - t)| \delta (\mathrm{c}\mathrm{o} g(t), \{ \theta \} ) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
\leq
\leq \| K - T \ast \| L1\| g(\cdot )\| LA
p
\leq E(K,HT
2n - 1)L1 ,
так что
\scrE
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
p
\leq \scrU
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
p
\leq En
\bigl(
K,HT
2n - 1
\bigr)
L1
.
Соотношение (6) установлено.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Если ядро K(t) удовлетворяет условию N\ast
n, то при p = 1 или p = \infty справед-
ливо
\scrE
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
p
= \scrU
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
p
=
= E
\bigl(
K \ast Fp, H
T
2n - 1
\bigr)
Lp
= \| K \ast \varphi n\| L\infty ,
где \varphi n(x) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nx, x \in \BbbR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МНОГОЗНАЧНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 455
Доказательство. При p = 1 и p = \infty оценка
\scrE
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
p
\leq \scrU
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
p
\leq
\leq E
\bigl(
K,HT
2n - 1
\bigr)
L1
= \| K \ast \varphi n\| L\infty
следует из теоремы 1 и теоремы А.
Установим оценку снизу сначала для p = \infty . Выберем произвольное a \in \BbbR m так, что
\delta h(\{ a\} , \{ \theta \} ) = | a| lm2 = 1. Тогда K \ast (\varphi n(\cdot )\{ a\} ) = K \ast \varphi n(\cdot ) \cdot \{ a\} \in \Phi \infty .
Пусть также \tau \in SV HT
2n - 1 имеет вид (3) и \psi — произвольная интегрируемая селекция из
функции h. Тогда
\| \delta (K \ast \varphi n(\cdot ) \cdot \{ a\} , \tau (\cdot ))\| L\infty = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \BbbR
\delta (K \ast \varphi n(x) \cdot \{ a\} , \tau (x)) \geq
\geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \BbbR
d(\tau (x),K \ast \varphi n(x) \cdot \{ a\} ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \BbbR
d
\left( 2\pi \int
0
T (x - t)h(t)dt,K \ast \varphi n(x) \cdot \{ a\}
\right) \geq
\geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\pi \int
0
T (x - t)\psi (t)dt - K \ast \varphi n(x) \cdot \{ a\}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
lm2
=
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \BbbR
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in \BbbR m
| \xi | lm2
=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( \xi , 2\pi \int
0
T (x - t)\psi (t)dt
\right) - K \ast \varphi n(x) \cdot (\xi , a)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \BbbR
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in \BbbR m
| \xi | lm2
=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\pi \int
0
T (x - t) (\xi , \psi (t)) dt - K \ast \varphi n(x) \cdot (\xi , a)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in \BbbR m
| \xi | lm2
=1
| (\xi , a)| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \BbbR
| K \ast \varphi n(x)| = \| K \ast \varphi n\| L\infty
(последнее неравенство в приведенной выкладке имеет место в силу теоремы Чебышева об
альтернансе). Следовательно,
\scrE
\bigl(
K \ast \Phi \infty , SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
\infty
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in K\ast \Phi \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \in SV HT
2n - 1
\| \delta (f(\cdot ), \tau (\cdot )) \| \infty \geq
\geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \in SV HT
2n - 1
\| \delta (K \ast \varphi n(\cdot ) \cdot \{ a\} , \tau (\cdot ))\| L\infty \geq \| K \ast \varphi n\| L\infty .
Оценка снизу, а с ней и утверждение теоремы для случая p = \infty доказаны.
Теперь установим оценку снизу при p = 1. Выберем произвольное a \in \BbbR m так, что
\delta (\{ a\} , \{ \theta \} ) = | a| lm2 = 1, и произвольную функцию g \in F1. Ясно, что g(\cdot ) \cdot \{ a\} \in \Phi 1 и
f(\cdot ) = K \ast g(\cdot ) \cdot \{ a\} \in K \ast \Phi 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
456 В. Ф. БАБЕНКО, В. В. БАБЕНКО, М. В. ПОЛИЩУК
Пусть \tau \in SV HT
2n - 1 имеет вид (3) и \psi — произвольная интегрируемая селекция из функции
h. Тогда
\| \delta (f(\cdot ), \tau (\cdot ))\| L1 =
2\pi \int
0
\delta (K \ast g(x) \cdot \{ a\} , \tau (x))dx \geq
\geq
2\pi \int
0
d(\tau (x),K \ast g(x) \cdot \{ a\} )dx =
2\pi \int
0
d
\left( 2\pi \int
0
T (x - t)h(t)dt,K \ast g(x) \cdot \{ a\}
\right) dx \geq
\geq
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\pi \int
0
T (x - t)\psi (t)dt - K \ast g(x) \cdot \{ a\}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
lm2
dx =
=
2\pi \int
0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in \BbbR m
| \xi | lm2
=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( \xi , 2\pi \int
0
T (x - t)\psi (t)dt
\right) - K \ast g(x) \cdot (\xi , a)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dx =
=
2\pi \int
0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in \BbbR m
| \xi | lm2
=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\pi \int
0
T (x - t) (\xi , \psi (t)) dt - K \ast g(x) \cdot (\xi , a)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dx \geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in \BbbR m
| \xi | lm2
=1
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\pi \int
0
T (x - t) (\xi , \psi (t)) dt - K \ast g(x) \cdot (\xi , a)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dx \geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in \BbbR m
| \xi | =1
| (\xi , a)| E(K \ast g,HT
2n - 1)L1 = E(K \ast g,HT
2n - 1)L1 .
Таким образом,
\scrE
\bigl(
K \ast g \cdot \{ a\} , SV HT
2n - 1
\bigr)
LA
1
\geq E
\bigl(
K \ast g,HT
2n - 1
\bigr)
L1
,
так что с учетом теоремы А получаем
\scrE
\bigl(
K \ast \Phi 1, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
1
\geq E
\bigl(
K \ast F1, H
T
2n - 1
\bigr)
L1
= \| K \ast \varphi n\| L\infty .
Оценка снизу в случае p = 1 установлена.
Теорема 2 доказана.
Оценка снизу, относящаяся к случаю p = 1, допускает следующее обобщение.
Теорема 3. Для любого ядра K \in L1, любых p, q \in [1,\infty ], q \leq p, и любого n \in \BbbN
\scrE
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
q
\geq E
\bigl(
K \ast Fp, H
T
2n - 1
\bigr)
Lq
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МНОГОЗНАЧНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 457
Доказательство. Выберем произвольное a \in \BbbR m так, что | a| lm2 = 1, и произвольную
функцию g \in Fp. Ясно, что g(\cdot ) \cdot \{ a\} \in \Phi p и f(\cdot ) = K \ast g(\cdot ) \cdot \{ a\} \in K \ast \Phi p.
Как и в доказательстве предыдущей теоремы, пусть \tau \in SV HT
2n - 1 имеет вид (3) и \psi —
произвольная интегрируемая селекция из функции h. Тогда
\| \delta (f(\cdot ), \tau (\cdot ))\| Lq =
\left( 2\pi \int
0
\delta (K \ast g(x) \cdot \{ a\} , \tau (x))qdx
\right)
1
q
\geq
\geq
\left( 2\pi \int
0
d(\tau (x),K \ast g(x) \cdot \{ a\} )qdx
\right)
1
q
=
=
\left( 2\pi \int
0
d
\left( 2\pi \int
0
T (x - t)h(t)dt,K \ast g(x) \cdot \{ a\}
\right) q
dx
\right)
1
q
\geq
\geq
\left( 2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\pi \int
0
T (x - t)\psi (t)dt - K \ast g(x) \cdot \{ a\}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q
lm2
dx
\right)
1
q
=
=
\left( 2\pi \int
0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in \BbbR m
| \xi | lm2
=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( \xi , 2\pi \int
0
T (x - t)\psi (t)dt
\right) - K \ast g(x) \cdot (\xi , a)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q
dx
\right)
1
q
\geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in \BbbR m
| \xi | lm2
=1
\left( 2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\pi \int
0
T (x - t) (\xi , \psi (t)) dt - K \ast g(x) \cdot (\xi , a)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q
dx
\right)
1
q
\geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in \BbbR m
| \xi | =1
| (\xi , a)| E(K \ast g,HT
2n - 1)Lq = E(K \ast g,HT
2n - 1)Lq .
Таким образом,
\scrE
\bigl(
K \ast g \cdot \{ a\} , SV HT
2n - 1
\bigr)
LA
q
\geq E
\bigl(
K \ast g,HT
2n - 1
\bigr)
Lq
,
так что
\scrE
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
q
\geq E
\bigl(
K \ast Fp, H
T
2n - 1
\bigr)
Lq
.
Теорема 3 доказана.
Следующая теорема дает многозначный аналог теоремы B.
Теорема 4. Пусть n \in \BbbN , p, q \in [1,\infty ] и p - 1 + q - 1 = 1. Если K \in Lq, то
\scrU
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
\infty
= En
\bigl(
K,HT
2n - 1
\bigr)
Lq
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
458 В. Ф. БАБЕНКО, В. В. БАБЕНКО, М. В. ПОЛИЩУК
Доказательство. Неравенство
\scrU
\bigl(
K \ast \Phi p, SV H
T
2n - 1
\bigr)
LA
\infty
\leq En
\bigl(
K,HT
2n - 1
\bigr)
Lq
следует из теоремы 1. Докажем неравенство противоположного смысла.
Выберем произвольное a \in \BbbR m так, что | a| lm2 = 1. Ясно, что для произвольной функции
g \in Fp будет g(\cdot ) \cdot \{ a\} \in \Phi p и f(\cdot ) = K \ast g(\cdot ) \cdot \{ a\} \in K \ast \Phi p.
Для любого T \in HT
2n - 1 будем иметь
\delta (K \ast g(x)\{ a\} , T \ast g(x)\{ a\} ) = | K \ast g(x) - T \ast g(x)| \cdot | a| lm2 = | K \ast g(x) - T \ast g(x)| .
Поэтому
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in \Phi p
\| \delta (K \ast g(x), T \ast g(x))\| L\infty \geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in Fp
\| \delta (K \ast g(x)\{ a\} , T \ast g(x)\{ a\} )\| L\infty =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in Fp
\| K \ast g(x) - T \ast g(x)\| L\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in Fp
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\pi \int
0
(K(x - t) - T (x - t)g(t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \BbbR
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in Fp
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\pi \int
0
(K(x - t) - T (x - t))g(t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \BbbR
\| K(x - \cdot ) - T (x - \cdot )\| Lq =
= \| K - T\| Lq \geq E(K,HT
2n - 1)Lq .
Теорема 4 доказана.
В заключение приведем теорему, которая дает оценку сверху для наилучшего приближения
класса многозначных функций обобщенными полиномами вида (4), значения которых при
каждом x \in \BbbR содержат в качестве подмножества значение аппроксимируемой функции.
Теорема 5. Пусть n \in \BbbN , p, q \in [1,\infty ] и p - 1 + q - 1 = 1. Если K \in Lq, то
\scrE +
\biggl(
K \ast \Phi p,\widetilde SV H
T
2n - 1
\biggr)
LA
\infty
\leq 2En
\bigl(
K,HT
2n - 1
\bigr)
Lq
.
Доказательство. Пусть T \ast \in HT
2n - 1 — полином наилучшего Lq-приближения для K.
Пусть также задана функция f = K \ast \Phi p. В силу теоремы 1 для любого x \in \BbbR
\delta (K \ast g(x), T \ast \ast g(x)) \leq E(K,HT
2n - 1)Lq =: e.
Положим \widetilde \tau (x) = T \ast \ast g(x) +Be(\theta ).
Нетрудно видеть, что
K \ast g(x) \subset \widetilde \tau (x)
и
\delta (K \ast g(x), \widetilde \tau (x)) = \delta (K \ast g(x), T \ast \ast g(x) +Be(\theta )) \leq
\leq \delta (K \ast g(x), T \ast \ast g(x)) + \delta (Be(\theta ), \theta ) \leq 2E(K,HT
2n - 1)Lq .
Отсюда и следует утверждение теоремы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МНОГОЗНАЧНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 459
Литература
1. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР.
Сер. мат. – 1946. – 10, № 3. – C. 207 – 256.
2. Дзядык В. К. О наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от
линейной комбинации абсолютно монотонных ядер // Мат. заметки. – 1974. – 16, № 5. – С. 691 – 701.
3. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближений. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
4. Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г. Аппроксимация с ограничениями. – Киев: Наук. думка, 1982. –
252 с.
5. Бабенко В. Ф. Приближение классов сверток // Сиб. мат. журн. – 1987. – 28, № 5. – C. 6 – 21.
6. Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Развитие исследований по точному решению экстремальных задач теории наилуч-
шего приближения // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 1. – C. 4 – 17.
7. Бабенко В. Ф., Пичугов С. А. О наилучшем линейном приближении некоторых классов дифференцируемых
периодических функций // Мат. заметки. – 1980. – 27, № 5. – C. 683 – 689.
8. Vitale R. A. Approximations of convex set-valued functions // J. Approxim. Theory. – 1979. – 26. – P. 301 – 316.
9. Artstein Z. Piecewise linear approximations of set-valued maps // J. Approxim. Theory. – 1989. – 56. – P. 41 – 47.
10. Dyn N., Farkhi E. Approximations of set-valued functions with compact images – an overview, approximation and
probability // Banach Center Publ. – 2006. – 72. – P. 1 – 14.
11. Dyn N., Farkhi E., Mokhov A. Approximation of set-valued functions: adaptation of classical approximation
operators. – Hackensack: Imperial College Press, 2014. – 153 p.
12. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. – М.: Физматлит, 2004. –
416 с.
13. Aubin J. P., Frankowska H. Set-valued analysis. – Boston: Birkhäuser, 1990. – 461 p.
14. Hu S., Papageorgiou N. Handbook of multivalued analysis. Vol. 1. Theory. – Kluwer Acad. Publ., 1997. – 964 p.
15. Aumann R. J. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. and Appl. – 1965. – 12, № 1. – P. 1 – 12.
16. Асеев С. М. Квазилинейные операторы и их применение в теории многозначных отображений // Труды
Мат. ин-та АН СССР. – 1985. – 167. – С. 25 – 52.
Получено 03.05.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1851 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:53Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9f/58dcf3488cc18de50316b961e102e19f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18512019-12-05T09:29:54Z Approximation of some classes of set-valued periodic functions by generalized trigonometric polynomials Приближение некоторых классов многозначных периодических функций обобщенными тригонометрическими полиномами Babenko, V. V. Babenko, V. F. Polishchuk, M. V. Бабенко, В. В. Бабенко, В. Ф. Полищук, М. В. Бабенко, В. В. Бабенко, В. Ф. Полищук, М. В. We generalize some known results on the best, best linear, and best one-sided approximations by trigonometric polynomials from the classes of $2 \pi$ -periodic functions presented in the form of convolutions to the case of classes of set-valued functions. Одержано узагальнення деяких вiдомих результатiв щодо найкращих, найкращих лiнiйних i найкращих одностороннiх наближень тригонометричними полiномами класiв числових $2 \pi$ -перiодичних функцiй, зображених у виглядi згортки, на випадок класiв багатозначних функцiй. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1851 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 4 (2016); 449-459 Український математичний журнал; Том 68 № 4 (2016); 449-459 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1851/833 Copyright (c) 2016 Babenko V. V.; Babenko V. F.; Polishchuk M. V. |
| spellingShingle | Babenko, V. V. Babenko, V. F. Polishchuk, M. V. Бабенко, В. В. Бабенко, В. Ф. Полищук, М. В. Бабенко, В. В. Бабенко, В. Ф. Полищук, М. В. Approximation of some classes of set-valued periodic functions by generalized trigonometric polynomials |
| title | Approximation of some classes of set-valued
periodic functions by generalized trigonometric polynomials |
| title_alt | Приближение некоторых классов многозначных периодических функций обобщенными тригонометрическими полиномами |
| title_full | Approximation of some classes of set-valued
periodic functions by generalized trigonometric polynomials |
| title_fullStr | Approximation of some classes of set-valued
periodic functions by generalized trigonometric polynomials |
| title_full_unstemmed | Approximation of some classes of set-valued
periodic functions by generalized trigonometric polynomials |
| title_short | Approximation of some classes of set-valued
periodic functions by generalized trigonometric polynomials |
| title_sort | approximation of some classes of set-valued
periodic functions by generalized trigonometric polynomials |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1851 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovv approximationofsomeclassesofsetvaluedperiodicfunctionsbygeneralizedtrigonometricpolynomials AT babenkovf approximationofsomeclassesofsetvaluedperiodicfunctionsbygeneralizedtrigonometricpolynomials AT polishchukmv approximationofsomeclassesofsetvaluedperiodicfunctionsbygeneralizedtrigonometricpolynomials AT babenkovv approximationofsomeclassesofsetvaluedperiodicfunctionsbygeneralizedtrigonometricpolynomials AT babenkovf approximationofsomeclassesofsetvaluedperiodicfunctionsbygeneralizedtrigonometricpolynomials AT poliŝukmv approximationofsomeclassesofsetvaluedperiodicfunctionsbygeneralizedtrigonometricpolynomials AT babenkovv approximationofsomeclassesofsetvaluedperiodicfunctionsbygeneralizedtrigonometricpolynomials AT babenkovf approximationofsomeclassesofsetvaluedperiodicfunctionsbygeneralizedtrigonometricpolynomials AT poliŝukmv approximationofsomeclassesofsetvaluedperiodicfunctionsbygeneralizedtrigonometricpolynomials AT babenkovv približenienekotoryhklassovmnogoznačnyhperiodičeskihfunkcijobobŝennymitrigonometričeskimipolinomami AT babenkovf približenienekotoryhklassovmnogoznačnyhperiodičeskihfunkcijobobŝennymitrigonometričeskimipolinomami AT polishchukmv približenienekotoryhklassovmnogoznačnyhperiodičeskihfunkcijobobŝennymitrigonometričeskimipolinomami AT babenkovv približenienekotoryhklassovmnogoznačnyhperiodičeskihfunkcijobobŝennymitrigonometričeskimipolinomami AT babenkovf približenienekotoryhklassovmnogoznačnyhperiodičeskihfunkcijobobŝennymitrigonometričeskimipolinomami AT poliŝukmv približenienekotoryhklassovmnogoznačnyhperiodičeskihfunkcijobobŝennymitrigonometričeskimipolinomami AT babenkovv približenienekotoryhklassovmnogoznačnyhperiodičeskihfunkcijobobŝennymitrigonometričeskimipolinomami AT babenkovf približenienekotoryhklassovmnogoznačnyhperiodičeskihfunkcijobobŝennymitrigonometričeskimipolinomami AT poliŝukmv približenienekotoryhklassovmnogoznačnyhperiodičeskihfunkcijobobŝennymitrigonometričeskimipolinomami |