Maximum principle for the Laplacian with respect to the measure in a domain of the Hilbert space
We obtain the maximum principle for two versions of the Laplacian with respect to the measure, namely, for the “classical” and “$L^2$” versions in a domain of the Hilbert space.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1852 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507727697018880 |
|---|---|
| author | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. |
| author_facet | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. |
| author_sort | Bogdanskii, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:54Z |
| description | We obtain the maximum principle for two versions of the Laplacian with respect to the measure, namely, for the “classical” and “$L^2$” versions in a domain of the Hilbert space. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98+517.954
Ю. В. Богданский (Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ”, Киев)
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЛАПЛАСИАНА ПО МЕРЕ
В ОБЛАСТИ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
We obtain the maximum principle for two versions of the Laplacian with respect to the measure, namely, for the “classical”
and “L2” versions in a domain of the Hilbert space.
В областi гiльбертового простору одержано принцип максимуму для двох версiй оператора Лапласа за мiрою:
„класичної” та „L2-версiї”.
В настоящей работе рассматриваются две версии оператора Лапласа в области гильбертова
пространства и для них доказываются соответствующие принципы максимума. Обе версии
оператора Лапласа основаны на понятии дифференцируемости меры вдоль векторного поля.
Вторая (L2-версия) оперирует такими понятиями, как поверхностная мера (ассоциированная с
мерой в исходном пространстве) и след на границе области функции соболевского класса.
Конструкция поверхностной меры в бесконечномерном пространстве впервые была предло-
жена в работах А. В. Скорохода (см., например, [1]). Несколько иной подход был развит в серии
работ А. В. Угланова (см., например, [2]). Конструкция А. В. Угланова позволяет применять по-
верхностные меры к исследованию ряда задач для дифференциальных уравнений с частными
производными в банаховых пространствах (и в пространствах Фреше). Однако его подход тре-
бует наложения весьма жестких ограничений на рассматриваемые поверхности. Оба подхода
были основаны на понятии дифференцируемости меры вдоль постоянных направлений.
Для гауссовских мер некоторые результаты, связанные с поверхностными мерами, были
получены рядом авторов (см., например, [3]), а в работе [4] для гауссовских мер предложена
конструкция мер на поверхностях уровня соболевских функций. В работе В. И. Богачева [5]
на основе метода П. Маллявэна приведена конструкция построения поверхностных мер для
более общих (не обязательно гауссовских) гладких мер, а в работах О. В. Пугачева этот подход
получил дальнейшее развитие (см., например, [6]).
Результаты, полученные в данной работе, основаны на альтернативной конструкции по-
верхностной меры, которая предполагает возможность дифференцировать меру в исходном
пространстве вдоль некоторого гладкого векторного поля, трансверсального к заданной по-
верхности. Этот подход предполагает гладкость исходной поверхности и допускает обобщение
— построение мер на незамкнутых поверхностях конечной коразмерности.
Дифференцируемость мер вдоль векторных полей была (неявно) введена в работах [7, 8] (см.
[8] и приведенную в ней библиографию). Явная конструкция логарифмической производной
меры вдоль векторного поля и исследование достаточных условий ее существования приведены
в работе Ю. Л. Далецкого [9].
Следует также отметить серию работ, посвященную исследованию поверхностных мер,
ассоциированных с гауссовскими мерами в сепарабельном банаховом пространстве. В этих
работах на основе метода П. Маллявэна разработана схема построения следов соболевских
функций на поверхностях уровня и приведены соответствующие формулы интегрирования по
частям. Полученные результаты применяются при построении слабых решений эллиптических
c\bigcirc Ю. В. БОГДАНСКИЙ, 2016
460 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЛАПЛАСИАНА ПО МЕРЕ В ОБЛАСТИ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 461
краевых задач. Одни из последних работ в этом направлении — работы [10, 11] (см. также
приведенную в них библиографию).
Подход, на основе которого в работах автора введен оператор следа, отличен от подхода из
работы [11] и аналогичен конструкции построения оператора следа в классической конечно-
мерной теории.
1. Предварительные сведения. Пусть H — сепарабельное вещественное гильбертово про-
странство (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H \leq \infty ), \mu — неотрицательная конечная борелевская мера на H, G — ограни-
ченная область с границей S = \partial G.
Пространство всех ограниченных непрерывных вещественных функций на H обозначим
через Cb = Cb(H). Символом Cp
b = Cp
b (H) обозначим пространство всех p раз дифференци-
руемых по Фреше вещественных функций f на H с непрерывными и равномерно ограничен-
ными на H производными f (k)(\cdot ), k = 1, 2, . . . , p. Аналогично введем пространство Cb(H;H)
непрерывных и ограниченных векторных полей на H, C1
b (H;H) — пространство непрерывно
дифференцируемых векторных полей на H , ограниченных с равномерно ограниченной на H
сильной производной.
Через Cp( \=G) обозначим семейство всех функций на \=G, допускающих продолжение на H
до функций класса Cp
b , через C1
0 (G) — подмножество в C1( \=G), состоящее из функций, каждая
из которых равна нулю в некоторой \varepsilon -окрестности границы S. Аналогично определяем C( \=G)
и C( \=G;H).
Пусть \bfX \in C1(H;H) и \Phi t = \Phi X
t — поток векторного поля \bfX . Дифференцируемость
меры \mu вдоль поля \bfX понимаем в сильном смысле: для каждого борелевского множества
A \in \frakB (H) существует предел \vargamma (A) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0
1
t
(\mu (\Phi tA) - \mu (A)), откуда следует, что \vargamma = dX\mu
является борелевской (знакопеременной) мерой, абсолютно непрерывной относительно меры \mu .
Функцию
d\vargamma
d\mu
(логарифмическую производную меры \mu вдоль поля \bfX , или дивергенцию поля \bfX
относительно меры \mu ) обозначим через div\mu \bfX .
„Классическую” версию оператора Лапласа по мере \mu для функции u \in C2
b определим как
дивергенцию поля gradu \in C1
b (H;H) относительно меры \mu : \Delta \mu u = div\mu (gradu).
Через L2(G) = L2(G;\mu ) обозначим пространство \mu | G-интегрируемых с квадратом изме-
римых функций на G. Аналогично через L2(G;H) = L2(G;H;\mu ) обозначим пространство
квадратично интегрируемых (по Бохнеру) векторных полей на G. L2(G;H) наделяется струк-
турой гильбертова пространства со скалярным произведением (\bfZ ,\bfW ) =
\int
G
(\bfZ (\cdot ),\bfW (\cdot ))d\mu и
соответствующей нормой | | | \bfZ | | | .
Условимся говорить, что граница S области G „согласована с мерой \mu ”, если она является
гладкой вложенной в H поверхностью коразмерности 1. Поле единичной внешней нормали
границы S продолжимо до векторного поля \bfn \in C1
b (H;H), и при этом мера \mu дифференцируема
вдоль поля \bfn . Согласование S с мерой \mu приводит к равенству \mu (S) = 0 (см. [12]).
Согласованная с S мера \mu индуцирует на S поверхностную борелевскую меру [12, 13],
которую обозначим через \sigma . Один из эквивалентных способов задания этой меры состоит в
следующем: для борелевского множества A \subset S множество \^A = \Phi n
( - \infty ;0]A :=
\bigcup
s\leq 0
\Phi n
sA
является борелевским в H, \sigma (A) =
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\Phi n
t
\^A.
Рассмотрим оператор grad : L2(G) \rightarrow L2(G;H) с естественной областью определения
C1( \=G) (C1( \=G) \ni u \mapsto \rightarrow gradu \in C(G;H)). Для корректного задания этого оператора необхо-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
462 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
димо выполнение следующего условия: равенство u = v (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G) (u, v \in C1( \=G)) влечет за
собой равенство gradu = grad v (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G). Данное требование выполнено для тех мер \mu ,
для которых неравенство \mu (U) > 0 имеет место для любого непустого открытого множества
U. Последнее условие следует из условия квазиинвариантности меры \mu на (H,\frakB (H)) (суще-
ствование плотного в H линейного многообразия квазиинвариантных сдвигов h для меры \mu
(\mu h(B) := \mu (B + h); \mu h \sim \mu )). Примером такой меры является гауссова мера \mu в H , ядерный
корреляционный оператор которой имеет плотный образ в H.
Дальнейшие построения предполагают выполнение следующих двух дополнительных усло-
вий на меру \mu :
а) оператор grad корректно определен и допускает замыкание;
б) div\mu \bfn | G \in L\infty (G).
Примером такой меры, согласованной с поверхностью S и удовлетворяющей условиям а) и
б), является мера \mu \varphi — „сглаженная” вдоль поля \bfn гауссова мера \mu , ядерный корреляционный
оператор которой имеет плотный образ в H (см. [14]). Сглаженная мера \mu \varphi строится по сле-
дующему принципу: пусть \varphi : \BbbR \rightarrow \BbbR — неотрицательная функция \varphi \in C1(\BbbR ),
\int
\BbbR
\varphi (t)dt < \infty
и существует константа C > 0, для которой неравенство | \varphi \prime (s)| \leq C\varphi (s) выполнено при всех
s \in \BbbR
\biggl(
например, \varphi (s) =
1
1 + s2
\biggr)
. На борелевских множествах A \in \frakB (H) значение меры \mu \varphi
определяется равенством
\mu \varphi (A) =
\int
\BbbR
\varphi (t)\mu (\Phi n
t A)dt. (1)
Совместное выполнение условий а) и б) позволяет корректно ввести оператор следа
\gamma : L2(G;\mu ) \rightarrow L2(S;\sigma ) = L2(S) с областью определения D(grad) (см. [13]). При этом для
u \in C1( \=G) справедливо равенство \gamma (u) = u| S ; оператор \gamma представляет собой ограниченный
оператор из банахова (в норме графика оператора grad) пространства D(grad) в L2(S).
В работе [15] доказано, что множество C1
0 (G) плотно в Ker \gamma (в норме графика оператора
grad).
Оператор div : L2(G;H) \rightarrow L2(G) определим формулой
div = - (grad | C1
0 (G))
\ast = - (grad| Ker \gamma )
\ast , (2)
L2-версию оператора Лапласа введем равенством \Delta Gu = \Delta u = div \circ gradu.
Аргументацией данного определения может служить формула\int
G
(gradu,\bfZ )d\mu +
\int
G
u \cdot div\mu \bfZ d\mu = 0,
справедливая для \bfZ \in C1(H;H); u \in C1
0 (G) (см., например, [15]).
2. Классическая версия.
Теорема 1. Пусть u \in C2( \=G), \mu дифференцируема вдоль поля gradu и \Delta \mu u \geq 0
(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G). Предположим также, что \mu (U) > 0 для каждого непустого открытого мно-
жества U \subset G. Тогда \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}G u = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}S u.
Доказательство. Неравенство \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}G u \geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}S u очевидно. Пусть существует точка x0 \in G,
для которой u(x0) > \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}S u.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЛАПЛАСИАНА ПО МЕРЕ В ОБЛАСТИ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 463
Допустим, что для векторного поля \bfZ = gradu имеет место неравенство \bfZ (x0) \not = 0. Тогда
открытое множество D = \{ x \in G | u(x) > u(x0)\} непусто. Пусть \Phi t — поток поля \bfZ . При
каждом t > 0 имеют место вложение \Phi tD \subset D и неравенство u(\Phi tx0) > u(x0), поэтому
существует окрестность V = V (t) точки x0, для которой V \cap \Phi tD = \varnothing . При этом V \cap D
открыто и непусто, V \cap D \subset D \setminus \Phi tD, поэтому при каждом t > 0 выполнено неравенство
u(\Phi tD) < u(D).
С другой стороны, при каждом t \geq 0 имеет место неравенство
d
dt
\mu (\Phi tD) =
\int
\Phi tD
div\mu \bfZ d\mu =
=
\int
\Phi tD
\Delta \mu ud\mu \geq 0. Полученное противоречие приводит к выводу, что \bfZ (x0) = 0. Тем самым
доказано, что (u(x) > \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}S u) \Rightarrow ((gradu)(x) = 0).
Теперь выберем \varepsilon > 0 и рассмотрим множество F\varepsilon = \{ x \in G | u(x) > \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}S u+ \varepsilon \} , F\varepsilon \subsetneqq G,
F\varepsilon открыто. Если x0 — предельная точка F\varepsilon , то в некоторой окрестности точки x0 имеет
место неравенство u(x) > \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}S u. В силу доказанного выше u постоянна в этой окрестности,
поэтому x0 \in F\varepsilon . Итак, F\varepsilon открыто и замкнуто, F\varepsilon = \varnothing в силу связности G. Утверждение
теоремы теперь следует из произвольности \varepsilon > 0.
Следствие 1. Задача Дирихле в области G для уравнения Лапласа \Delta \mu u = 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G)
имеет в классе функций C2( \=G) не более одного решения.
3. \bfitL 2-версия. Пусть G — ограниченная область в H , граница которой S согласована с мерой
\mu , выполнены условия а), б) из п. 1 и \gamma : D(grad) \rightarrow L2(S) — оператор следа.
Теорема 2. Пусть u \in D(grad). Тогда имеет место неравенство
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
S
\gamma (u) \leq \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
G
u.
Доказательство. Достаточно доказать, что
(u \in D(grad), u \geq 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G)) \Rightarrow (\gamma (u) \geq 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \sigma )).
Шаг 1. Докажем, что C1(S) := \{ f | S | f \in C1
b (H)\} плотно в L2(S, \sigma ).
Поскольку S — полное сепарабельное метрическое пространство, мера \sigma является радо-
новской. Потому достаточно показать, что индикатор любого компактного множества A \subset S
аппроксимируется в L2(S) функциями из C1(S).
Поскольку A замкнуто в H , то A =
\bigcap \infty
n=1
A1/n =
\bigcap \infty
n=1
(A1/n \cap S) (здесь A\varepsilon — \varepsilon -
окрестность множества A в H).
Зафиксируем \delta > 0. Существует такое \beta > 0, для которого \sigma ((A3\beta \setminus A) \cap S) < \delta . Также су-
ществует множество B =
\bigcup m
k=1
B(xk;\beta ) (B(x; \varepsilon ) — шар в H с центром в точке x радиуса \varepsilon ),
для которого имеют место вложения A \subset B \subset B2\beta \subset A3\beta . Для завершения доказательства
достаточно для каждого \varepsilon > 0 доказать существование функции u \in C1
b , для которой 0 \leq
\leq u(x) \leq 1 + \varepsilon для x \in H , | u(x) - 1| < \varepsilon для x \in B и u(x) = 0 для x /\in B2\beta .
Для одного шара B(xk;\beta ) возьмем функцию vk(x) = h(\| x - xk\| ), h \in C1(\BbbR ), h(t) = 1 при
t \leq \beta , h(t) = 0 при t > 2\beta и 0 \leq h(t) \leq 1 при всех t \in \BbbR .
Рассмотрим на \BbbR m функцию f(\vec{}y) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ y1, y2, . . . , ym\} , f \in C(\BbbR m), f(\vec{}0) = 0. Пусть
g \in C1(\BbbR m) такова, что g(\vec{}0) = f(\vec{}0) = 0, | g(\vec{}y) - f(\vec{}y)| < \varepsilon для каждого \vec{}y \in [0; 1]m. Тогда
функция u(x) = g(v1(x), v2(x), . . . , vm(x)) удовлетворяет требуемым условиям.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
464 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
Шаг 2. Пусть u \in D(grad), u \geq 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G). Для проверки неравенства \gamma (u) \geq 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \sigma )
теперь достаточно доказать утверждение
(v \in C1( \=G); v \geq 0) \Rightarrow
\left( \int
S
v| S \cdot \gamma (u)d\sigma \geq 0
\right) . (3)
Действительно, положим Y = \{ x \in S | \gamma (u)(x) < 0\} . Тогда в силу доказанного выше инди-
катор jY множества Y приближается в L2(S) функциями v \in C1(S), и предельным переходом
из (3) получим
\int
Y
\gamma (u)d\sigma \geq 0, откуда и будет следовать искомое равенство \sigma (Y ) = 0.
Сначала докажем, что (v \in C1( \=G), u \in D(grad)) \Rightarrow (uv \in D(grad), \gamma (uv) = v| S \cdot \gamma (u)).
Пусть um \in C1( \=G), um - \rightarrow
\Gamma
u (сходимость в норме графика в пространстве D(grad)).
Тогда v \cdot um \in C1( \=G), v \cdot um \rightarrow v \cdot u в L2(G). При m \rightarrow \infty в L2(G;H) существует предел
grad(v \cdot um) = v \cdot gradum + um \cdot grad v, равный v \cdot gradu+ u \cdot grad v. Поэтому uv \in D(grad),
а в L2(S) имеет место равенство
\gamma (uv) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\gamma (umv) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
(um| S \cdot v| S) = v| S \cdot \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
um| S = v| S \cdot \gamma (u).
Теперь (3) следует из леммы 1 работы [15], примененной к функции u \cdot v. Согласно упо-
мянутой лемме, для функции u \in D(grad) при t \in ( - \infty ; 0] существует
d
dt
\int
\Phi tG
ud\mu и имеет
место равенство
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi tG
ud\mu =
\int
S
\gamma (u)d\sigma .
Теорема 2 доказана.
Перейдем непосредственно к принципу максимума для лапласиана по мере в L2-версии.
При этом введем для меры \mu дополнительное условие.
Рассмотрим версию оператора grad для функций, определенных на всем пространстве:
grad = gradH : L2(H;\mu ) \rightarrow L2(H;H;\mu ) с областью определения D(grad) = C1
b (H).
Допустим, что оператор grad корректно определен и допускает замыкание grad. Нам по-
требуется дополнительное условие в) (gradu = 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu )) \Rightarrow (u = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu )).
Замечание 1. Условие в) не является следствием квазиинвариантности меры \mu . Например,
H = \BbbR , d\mu =
t2
1 + t4
dt, u = \eta = j[0;+\infty ) (функция Хевисайда).
Мера \mu квазиинвариантна, оператор grad =
d
dt
замыкаем в L2(\BbbR ;\mu ), \eta \in D(grad) и при
этом grad\eta = 0. С другой стороны, в конечномерном случае (H = \BbbR m) для инвариантной
лебеговской меры условия а) – в) выполнены.
В работе [16] доказано, что гауссова мера, ядерный корреляционный оператор которой
имеет плотный образ, удовлетворяет условию в). Докажем, что переход от меры \mu к мере
\mu \varphi , определенный формулой (1), сохраняет свойство в). Напомним, что функция \varphi \in C1(\BbbR )
удовлетворяет введенным для нее в п. 1 условиям.
Лемма 1. Пусть борелевская мера \mu на H удовлетворяет условиям а) и в). Тогда мера \mu \varphi ,
определенная формулой (1), удовлетворяет условиям а) – в).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЛАПЛАСИАНА ПО МЕРЕ В ОБЛАСТИ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 465
Доказательство. Условия а) и б) для меры \mu \varphi были получены в работе [14] (теорема 2).
Докажем условие в).
Обозначим для удобства через grad\varphi замыкание оператора grad в пространстве L2(H;\mu \varphi ).
Это означает, что u \in D(grad\varphi ), если существует последовательность функций um \in C1
b (H),
для которой um \rightarrow u в L2(H;\mu \varphi ), gradum \rightarrow grad\varphi u в L2(H;H;\mu \varphi ).
Пусть grad\varphi u = 0.
Замечание 2. Согласно работе [14] для неотрицательных функций f \in L1(H;\mu \varphi ) имеет
место следующее утверждение: для почти всех t \in \BbbR функция f \circ \Phi - t принадлежит L1(H;\mu ),
функция h(t) =
\int
H
(f \circ \Phi - t)d\mu интегрируема на \BbbR по мере \varphi dt и (формула (10) из [14])
\int
H
fd\mu \varphi =
\int
\BbbR
\varphi (t)dt
\int
H
(f \circ \Phi - t)d\mu . (4)
Поэтому
\int
\BbbR
\varphi (t)dt
\int
H
(um \circ \Phi - t - u\circ \Phi - t)
2d\mu =
\int
H
(um - u)2d\mu \varphi \rightarrow 0, m \rightarrow \infty (для упрощения
записи пишем \Phi t := \Phi n
t ).
Не теряя общности (переходя к подпоследовательности umk
), можно считать, что для почти
всех t \in \BbbR имеет место сходимость \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty
\int
H
(um \circ \Phi - t - u \circ \Phi - t)
2d\mu = 0. Аналогично\int
\BbbR
\varphi (t)dt
\int
H
\| gradum\| 2 \circ \Phi - td\mu =
\int
H
\| gradum\| 2d\mu \varphi \rightarrow 0 и (переходя еще раз к подпосле-
довательности) для почти всех t \in \BbbR имеет место равенство
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\int
H
\| gradum\| 2 \circ \Phi - td\mu = 0. (5)
Воспользуемся формулой grad(um \circ \Phi - t)(x) =
\biggl[
\partial
\partial x
(\Phi - tx)
\biggr] \ast
(gradum)(\Phi - tx) и оценкой\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial x
(\Phi - tx)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq eC1| t| , где C1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}H \| \bfn \prime (\cdot )\| (см. [14]).
Отсюда с учетом (5) получим (для почти всех t \in \BbbR , m \rightarrow \infty )\int
H
\| grad(um \circ \Phi - t)\| 2d\mu \leq
\int
H
e2C1| t| \| (gradum)(\Phi - tx)\| 2d\mu \rightarrow 0.
Итак, для почти всех t \in \BbbR имеют место сходимости um \circ \Phi - t \rightarrow u \circ \Phi - t в L2(H;\mu ),
grad(um \circ \Phi - t) \rightarrow 0 в L2(H;H;\mu ).
Поэтому из условия леммы следует, что существует множество F полной меры в \BbbR такое,
что для каждого t \in F существует число C(t), для которого u \circ \Phi - t = C(t) (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu ).
Далее будет доказано, что C(t) можно считать не зависящей от t. Точнее, существуют
множество F3 полной меры в \BbbR и константа C такие, что для всех t \in F3 выполнено равенство
u \circ \Phi - t = C (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu ). Но тогда в силу равенства (4) получим\int
H
(u - C)2d\mu \varphi =
\int
\BbbR
\varphi (t)dt
\int
H
(u \circ \Phi - t - C)2d\mu = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
466 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
откуда и будет следовать утверждение леммы: u = C (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu \varphi ).
В силу леммы 2 из работы [15] для меры \vargamma = \mu \varphi при всех t \in \BbbR мера \vargamma t := \vargamma \circ \Phi t абсолютно
непрерывна относительно меры \vargamma и при этом
d\vargamma t
d\vargamma
\in L\infty (H;\vargamma )
\biggl(
d\vargamma t
d\vargamma
\leq eC2| t| (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \vargamma ) , где
C2 = \| div\mu \bfn \| L\infty (\vargamma )
\biggr)
.
Для любого A \in \frakB (H) и m \in \BbbN имеет место равенство
\int
A
(um \circ \Phi t)d\vargamma -
\int
A
umd\vargamma =
t\int
0
ds
\int
A
(gradum \circ \Phi s,\bfn \circ \Phi s)d\vargamma . (6)
При этом \int
A
(um \circ \Phi t)d\vargamma =
\int
\Phi tA
umd\vargamma - t =
\int
\Phi tA
\biggl(
um \cdot d\vargamma - t
d\vargamma
\biggr)
d\vargamma \rightarrow
\rightarrow
\int
\Phi tA
\biggl(
u \cdot d\vargamma - t
d\vargamma
\biggr)
d\vargamma =
\int
A
(u \circ \Phi t)d\vargamma (m \rightarrow \infty ).
Аналогично
\int
A
(gradum,\bfn ) \circ \Phi sd\vargamma \rightarrow
\int
A
(grad\varphi u,\bfn ) \circ \Phi sd\vargamma (m \rightarrow \infty ), поэтому, учитывая
равенство grad\varphi u = 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \vargamma ), из (6) предельным переходом получаем равенство\int
A
(u \circ \Phi t)d\vargamma =
\int
A
ud\vargamma , (7)
справедливое для всех A \in \frakB (H) и t \in \BbbR .
Из (7) следует равенство u \circ \Phi t = u (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu \varphi ), справедливое при всех t \in \BbbR . Теперь
в силу (4) имеем
0 =
\int
H
(u \circ \Phi t - u)2d\mu \varphi =
\int
\BbbR
\varphi (s)ds
\int
H
(u \circ \Phi t - u)2 \circ \Phi - sd\mu .
Поэтому для каждого t \in \BbbR для почти всех s \in \BbbR имеет место равенство
u \circ \Phi t - s = u \circ \Phi - s (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu ). (8)
Рассмотрим на \BbbR функцию g(t) =
\int
H
(u \circ \Phi t)
2d\mu . Согласно замечанию 2, функция g опре-
делена для почти всех t \in \BbbR и локально интегрируема.
В силу (8) для каждого t \in \BbbR и для почти всех s имеет место равенство g(t + s) = g(s).
Поэтому для любых \alpha , \beta , t \in \BbbR выполнены равенства
\alpha +t\int
\alpha
g(s)ds =
\beta +t\int
\beta
g(s+ \alpha - \beta )ds =
\beta +t\int
\beta
g(s)ds. (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЛАПЛАСИАНА ПО МЕРЕ В ОБЛАСТИ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 467
Существует такое множество F1 полной меры в \BbbR , что g(\alpha ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0
1
t
\int \alpha +t
\alpha
g(s)ds для
каждого \alpha \in F1 (см., например, [17], теорема 5.4.2).
Поэтому в силу (9) g постоянна на F1. Поскольку на F2 = F \cap F1 имеет место равенство
g(t) = C2(t) \cdot \mu (H), C2(t) принимает постоянное значение на множестве F2.
Предыдущие рассуждения применимы к функции v = u + 1, поэтому из равенства u =
=
1
2
((u + 1)2 - u2 - 1) следует существование такого множества F3 полной меры в \BbbR и
константы C, что для всех t \in F3 выполнено равенство u \circ \Phi - t = C (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu ).
Лемма 1 доказана.
Теорема 3. Пусть G — ограниченная область в H, граница которой S согласована с мерой
\mu , и выполнены условия а) – в). Пусть u \in D(\Delta ), \Delta u \geq 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G). Тогда
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
G
u = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
S
\gamma (u).
Доказательство. В силу теоремы 2 достаточно доказать, что
(\gamma (u) \leq 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \sigma )) \Rightarrow (u \leq 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G)).
Пусть \varphi \in C1
b (\BbbR ) (\varphi непрерывно дифференцируема и ограничена на \BbbR вместе со своей про-
изводной). Тогда функция \varphi \circ u \in D(grad). Действительно, из сходимости последовательности
um \in C1( \=G) в норме графика grad к функции u следует сходимость \varphi \circ um \in C1( \=G) к функции
\varphi \circ u в норме графика grad. При этом grad(\varphi \circ u) = (\varphi \prime \circ u) \cdot gradu, \varphi \circ um| S \rightarrow \varphi \circ \gamma (u) в
L2(S;\sigma ). Но \varphi \circ um| S = \gamma (\varphi \circ um) \rightarrow \gamma (\varphi \circ u). Поэтому \gamma (\varphi \circ u) = \varphi \circ \gamma (u).
Пусть теперь u \in D(\Delta ), \gamma (u) \leq 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \sigma ), \Delta u \geq 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G) и функция \varphi \in C1
b (\BbbR )
удовлетворяет следующим условиям: \varphi (s) = 0 при s \leq 0; \varphi (s) > 0, \varphi \prime (s) > 0 при s > 0. Тогда
\gamma (\varphi \circ u) = 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \sigma ), т. е. \varphi \circ u \in Ker \gamma . В силу формулы (2) для векторного поля \bfZ = gradu и
для любой функции v \in Ker \gamma имеет место равенство
\int
G
v \cdot div\bfZ d\mu = -
\int
G
(\bfZ , gradv)d\mu , или,
что эквивалентно,
\int
G
\Delta u \cdot vd\mu = -
\int
G
(gradu, gradv)d\mu . В частности, для v = \varphi \circ u получаем
\int
G
(\varphi \circ u) \cdot \Delta ud\mu = -
\int
G
(\varphi \prime \circ u)\| gradu\| 2d\mu . (10)
Поскольку \Delta u \geq 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G), в силу выбора функции \varphi левая часть (10) неотрицательна, а
правая неположительна. Следовательно, (\varphi \prime \circ u) \cdot \| gradu\| = 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G), grad(\varphi \circ u) = 0
(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G).
Пусть vm \in C1
0 (G) — последовательность функций, которая в норме графика grad сходится
к функции \varphi \circ u (существование такой последовательности доказано в [15]). Тогда vm, продол-
женная на все H нулем вне G, сходится в норме графика оператора gradH к некоторой функции
h \in D(gradH). При этом h| G = \varphi \circ u, gradHh| G = grad(\varphi \circ u). Следовательно, gradHh = 0
(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu ) и в силу условия в) h = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu ).
Таким образом, существует такое C \geq 0, что \varphi \circ u = C (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G). Если C > 0, то
u(x) = C1 > 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G) и в этом случае \gamma (u) = C1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \sigma ), что противоречит неравенству
\gamma (u) \leq 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \sigma ). Итак, C = 0, а значит, u(x) \leq 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu | G).
Теорема 3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
468 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
Следствие 2. При выполнении условий а) – в) задача Дирихле в области G для уравнения
Лапласа в L2-версии \Delta u = 0, \gamma (u) = w имеет не более одного решения.
Литература
1. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1975. – 232 с.
2. Uglanov A. V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
2000. – 262 p.
3. Го Х.-С. Гауссовские меры в банаховых пространствах. – М.: Мир, 1979. – 176 с.
4. Airault H., Malliavin P. Integration geometrique sur l’espaces de Wiener // Bull. Sci. Math. (2). – 1988. – 112, № 1. –
P. 3 – 52.
5. Bogachev V. I. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximation in infinite dimensional spaces // Acta
Univ. carol. Math. et phys. – 1990. – 31, № 2. – P. 9 – 23.
6. Пугачев О. В. Емкости и поверхностные меры в локально выпуклых пространствах // Теория вероятностей и
ее применения. – 2008. – 53, № 1. – С. 178 – 188.
7. Скороход А. В. Об одном обобщении стохастического интеграла // Теория вероятностей и ее применения. –
1975. – 20. – С. 223 – 238.
8. Malliavin P. Stochastic analysis. – Berlin: Springer-Verlag, 1997. – 343 p.
9. Далецкий Ю. Л. Стохастическая дифференциальная геометрия // Успехи мат. наук. – 1983. – 38, № 3. –
С. 87 – 111.
10. Da Prato G., Lunardi A., Tubaro L. Surface measures in infinite dimension // Rend. Lincei. Mat. e appl. – 2014. –
25, № 3. – P. 309 – 330.
11. Celada P., Lunardi A. Traces of Sobolev functions on regular surfaces in infinite dimensions // J. Funct. Anal. –
2014. – 266. – P. 1948 – 1987.
12. Богданский Ю. В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса – Остроградского //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 10. – С. 1299 – 1313.
13. Богданский Ю. В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона
в L2-версии // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1169 – 1178.
14. Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве
// Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 6. – С. 733 – 739.
15. Богданский Ю. В. Граничный оператор следа в области гильбертова пространства и характеристическое
свойство его ядра // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 11. – С. 1450 – 1460.
16. Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Лапласиан по мере и эргодическая теорема // Укр. мат. журн. – 2015. –
67, № 9. – С. 1172 – 1180.
17. Богачев В. И. Основы теории меры. – Москва; Ижевск: РХД, 2006. – Т. 1. – 584 с.
Получено 17.04.15,
после доработки — 08.09.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1852 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:55Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d8/1d3de1dafd60310cf44aa567a77480d8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18522019-12-05T09:29:54Z Maximum principle for the Laplacian with respect to the measure in a domain of the Hilbert space Принцип максимума для лапласиана по мере в области гильбертова пространства Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. We obtain the maximum principle for two versions of the Laplacian with respect to the measure, namely, for the “classical” and “$L^2$” versions in a domain of the Hilbert space. В областi гiльбертового простору одержано принцип максимуму для двох версiй оператора Лапласа за мiрою: „класичної” та „$L^2$-версiї”. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1852 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 4 (2016); 460-468 Український математичний журнал; Том 68 № 4 (2016); 460-468 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1852/834 Copyright (c) 2016 Bogdanskii Yu. V. |
| spellingShingle | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. Maximum principle for the Laplacian with respect to the measure in a domain of the Hilbert space |
| title | Maximum principle for the Laplacian with respect to the measure in a domain of the Hilbert space |
| title_alt | Принцип максимума для лапласиана по мере в области гильбертова пространства |
| title_full | Maximum principle for the Laplacian with respect to the measure in a domain of the Hilbert space |
| title_fullStr | Maximum principle for the Laplacian with respect to the measure in a domain of the Hilbert space |
| title_full_unstemmed | Maximum principle for the Laplacian with respect to the measure in a domain of the Hilbert space |
| title_short | Maximum principle for the Laplacian with respect to the measure in a domain of the Hilbert space |
| title_sort | maximum principle for the laplacian with respect to the measure in a domain of the hilbert space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1852 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanskiiyuv maximumprincipleforthelaplacianwithrespecttothemeasureinadomainofthehilbertspace AT bogdanskijûv maximumprincipleforthelaplacianwithrespecttothemeasureinadomainofthehilbertspace AT bogdanskijûv maximumprincipleforthelaplacianwithrespecttothemeasureinadomainofthehilbertspace AT bogdanskiiyuv principmaksimumadlâlaplasianapomerevoblastigilʹbertovaprostranstva AT bogdanskijûv principmaksimumadlâlaplasianapomerevoblastigilʹbertovaprostranstva AT bogdanskijûv principmaksimumadlâlaplasianapomerevoblastigilʹbertovaprostranstva |