Analogs of the spherical transform on the hyperbolic plane
We introduce the notion of “$s$”-convolution on the hyperbolic plane $H^2$ and consider its properties. Analogs of the Helgason spherical transform on the spaces of compactly supported distributions in $H^2$ are studied. We prove a Paley –Wiener – Schwartz-type theorem for these transforms.
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1853 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507729263591424 |
|---|---|
| author | Vasilyanskaya, V. S. Volchkov, V. V. Василянская, В. С. Волчков, Вит. В. Василянская, В. С. Волчков, Вит. В. |
| author_facet | Vasilyanskaya, V. S. Volchkov, V. V. Василянская, В. С. Волчков, Вит. В. Василянская, В. С. Волчков, Вит. В. |
| author_sort | Vasilyanskaya, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:54Z |
| description | We introduce the notion of “$s$”-convolution on the hyperbolic plane $H^2$ and consider its properties. Analogs of the Helgason spherical transform on the spaces of compactly supported distributions in $H^2$ are studied. We prove a Paley –Wiener – Schwartz-type theorem for these transforms. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:13:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. С. Василянская, Вит. В. Волчков (Донец. нац. ун-т)
АНАЛОГИ СФЕРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
We introduce the notion of “s”-convolution on the hyperbolic plane \BbbH 2 and consider its properties. Analogs of the Helgason
spherical transform on the spaces of compactly supported distributions in \BbbH 2 are studied. We prove a Paley – Wiener –
Schwartz-type theorem for these transforms.
Визначено поняття „s”-згортки на гiперболiчнiй площинi \BbbH 2 та розглянуто її властивостi. Вивчено аналоги сфе-
ричного перетворення на просторах розподiлiв iз компактним носiєм у \BbbH 2. Доведено теорему типу Пелi – Вiнера –
Шварца для вказаних перетворень.
1. Введение. Пусть \BbbD — открытый круг | z| < 1 на комплексной плоскости \BbbC со стандартной
структурой многообразия [1] (лекция 6) и римановой структурой, задаваемой метрическим
тензором
gi,j(z) =
\delta i,j
(1 - | z| 2)2
, i, j \in \{ 1, 2\}
(\delta i,j — символ Кронекера). Как известно (см. [2], введение), это риманово многообразие изо-
метрично вещественной гиперболической плоскости \BbbH 2 постоянной секционной кривизны 4.
Сферическое преобразование для гладкой радиальной функции f на \BbbH 2 с компактным носите-
лем определяется равенством
\~f(\lambda ) =
\int
\BbbD
f(z)\varphi \lambda (z)d\mu (z), \lambda \in \BbbC , (1.1)
где
d\mu (z) =
i
2
dz \wedge dz
(1 - | z| 2)2
, \varphi \lambda (z) =
1
2\pi
2\pi \int
0
\biggl(
1 - | z| 2
| z - ei\theta | 2
\biggr) 1+i\lambda
2
d\theta .
Преобразование (1.1) является аналогом классического преобразования Ганкеля в евклидовом
пространстве и играет существенную роль в различных вопросах гармонического анализа
на \BbbH 2.
Пусть G — группа конформных автоморфизмов круга \BbbD , dg — мера Хаара на G. Для точки
z \in \BbbD обозначим через gz образ точки z при отображении g \in G. Пусть также o — центр
круга \BbbD . В работе [3] начато изучение свойств решений уравнений вида\int
G
f1(go) f2(g
- 1z)
\biggl(
1 - z \cdot go
1 - z \cdot go
\biggr) s
dg = 0, (1.2)
где f1, f2 — функции на \BbbD , s — фиксированное целое число. При s = 0 левая часть в (1.2)
дает обычную свертку функций f1 и f2 на \BbbH 2. Теория уравнений свертки на областях в \BbbH 2
развита в [4] (часть 2), [5] (главы 15, 20), [6] (часть 2). В общем случае (1.2) можно рассматри-
вать как аналог искаженного уравнения свертки на фазовом пространстве группы Гейзенберга
c\bigcirc В. С. ВАСИЛЯНСКАЯ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4 469
470 В. С. ВАСИЛЯНСКАЯ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ
[5] (глава 12). Локальные аспекты соответствующей теории в настоящее время еще не разрабо-
таны. Для описания решений уравнений (1.2) и ряда других вопросов, связанных с указанными
уравнениями, важно иметь в качестве инструмента подходящий вариант сферического преобра-
зования. В данной работе вводится такое преобразование и изучаются его свойства. Основным
результатом является теорема типа Винера – Пэли, доказанная в пункте 5.
2. ”\bfits ”-Свертка на группе \bfitG . Пусть \scrD (M) — пространство бесконечно дифференцируе-
мых финитных функций на гладком многообразииM,\scrD \prime (M) — пространство распределений на
M, \scrE \prime (M) — множество распределений на M с компактным носителем. Запись t1\vee t2 \in \scrE \prime (M)
обозначает, что t1, t2 принадлежат \scrD \prime (M) и хотя бы одно из этих распределений принадлежит
\scrE \prime (M).
Предположим, что t1\vee t2 \in \scrE \prime (G). Для s \in \BbbZ определим ”s”-свертку t1
s\ast t2 как распределение
\langle t1
s\ast t2, \varphi \rangle = \langle t2(h), \langle t1(g), \varphi (gh) es(g - 1o, ho)\rangle \rangle , \varphi \in \scrD (G), (2.1)
где
es(z, w) =
\biggl(
1 - z w
1 - z w
\biggr) s
, z, w \in \BbbD .
Для изучения свойств ”s”-свертки приведем сначала одно тождество для функции es.
Лемма 2.1. Пусть z, w \in \BbbD , g \in G. Тогда
es(w, go) es(go, z) = es(g
- 1z, g - 1w) es(w, z). (2.2)
В частности,
es(gz, go) = es(g
- 1o, z). (2.3)
Доказательство. Запишем действие g в виде
gz =
az + b
bz + a
, где a, b \in \BbbC , | a| 2 - | b| 2 = 1.
Тогда go = b/a,
g - 1z =
az - b
- bz + a
и (2.2) получается непосредственным вычислением. Полагая в (2.2) w = o и заменяя g на g - 1,
приходим к (2.3).
Лемма 2.2. Пусть ti \in \scrD \prime (G), i = 1, 2, 3, и хотя бы два из распределений ti имеют
компактный носитель. Тогда
(t1
s\ast t2)
s\ast t3 = t1
s\ast (t2
s\ast t3).
Доказательство. Для \varphi \in \scrD (G) по определению ”s”-свертки имеем
\langle (t1
s\ast t2)
s\ast t3, \varphi \rangle = \langle t3(h), \langle t2(u), \langle t1(v), \varphi (vuh)A\rangle \rangle \rangle ,
\langle t1
s\ast (t2
s\ast t3), \varphi \rangle = \langle t3(h), \langle t2(u), \langle t1(v), \varphi (vuh)B\rangle \rangle \rangle ,
где A = es(u
- 1v - 1o, ho) es(v
- 1o, uo), B = es(v
- 1o, uho) es(u
- 1o, ho). Осталось заметить, что
A = B в силу леммы 2.1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
АНАЛОГИ СФЕРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 471
Произвольную локально интегрируемую функцию f на G будем отождествлять с распре-
делением
\varphi \rightarrow
\int
G
\varphi (g)f(g) dg, \varphi \in \scrD (G), (2.4)
где dg — мера Хаара на G, нормированная соотношением\int
G
\psi (go)dg =
\int
\BbbD
\psi (z)d\mu (z), \psi \in \scrD (\BbbH 2).
С учетом этого справедлива следующая лемма.
Лемма 2.3. Пусть f \in C\infty (G), t \in \scrD \prime (G), f \vee t \in \scrE \prime (G). Тогда
(t
s\ast f)(u) = \langle t(g), f(g - 1u) es(uo, go)\rangle , (f
s\ast t)(u) = \langle t(g), f(ug - 1) es(g
- 1o, u - 1o)\rangle .
Доказательство. Согласно (2.1) и (2.4)
\langle t s\ast f, \varphi \rangle =
\int
G
f(h)\langle t(g), \varphi (gh) es(g - 1o, ho)\rangle dh =
=
\Biggl\langle
t(g),
\int
G
f(h)\varphi (gh) es(g
- 1o, ho) dh
\Biggr\rangle
=
=
\Biggl\langle
t(g),
\int
G
f(g - 1u)\varphi (u) es(g
- 1o, g - 1uo) du
\Biggr\rangle
для любой функции \varphi \in \scrD (G). Отсюда, учитывая (2.3), находим
\langle t s\ast f, \varphi \rangle =
\int
G
\varphi (u)\langle t(g), f(g - 1u) es(uo, go)\rangle du,
что доказывает первое равенство в лемме. Второе равенство доказывается аналогично.
Из доказательства леммы 2.3 видно, что ”s”-свертку двух функций f1, f2 \in Lloc(G) таких,
что f1 \vee f2 \in \scrE \prime (G), можно определить равенством
(f1
s\ast f2)(u) =
\int
G
f1(g)f2(g
- 1u) es(uo, go) dg. (2.5)
Для t \in \scrD \prime (G), \varphi \in \scrD (G) положим
\langle \v t, \varphi \rangle = \langle t(g), \varphi (g - 1)\rangle .
Тогда \v t \in \scrD \prime (G) и \v f(g) = f(g - 1) для f \in Lloc(G).
Лемма 2.4. Если t1 \vee t2 \in \scrE \prime (G), \varphi \in \scrD (G), то
(t1
s\ast t2)\v = \v t2
- s\ast \v t1, (2.6)
\langle t1
s\ast t2, \varphi \rangle = \langle t1, \varphi
- s\ast \v t2\rangle = \langle t2, \v t1
- s\ast \varphi \rangle . (2.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
472 В. С. ВАСИЛЯНСКАЯ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ
Доказательство. По свойству Фубини для прямого произведения распределений имеем
\langle (t1
s\ast t2)\v , \varphi \rangle = \langle t1
s\ast t2, \v \varphi \rangle = \langle t1(g), \langle t2(h), \varphi (h - 1g - 1) es(g
- 1o, ho)\rangle \rangle =
= \langle \v t1(g), \langle \v t2(h), \varphi (hg) e( - s)(h
- 1o, go)\rangle \rangle = \langle \v t2
- s\ast \v t1, \varphi \rangle ,
откуда следует (2.6). Далее,
\langle t1
s\ast t2, \varphi \rangle = \langle t1(g), \langle t2(h), \varphi (gh) es(g - 1o, ho)\rangle \rangle = \langle t1(g), \langle \v t2(h), \varphi (gh - 1) e( - s)(h
- 1o, g - 1o)\rangle \rangle .
(2.8)
С другой стороны,
\langle t1
s\ast t2, \varphi \rangle = \langle t2(h), \langle \v t1(g), \varphi (g - 1h) e( - s)(ho, go)\rangle \rangle . (2.9)
Используя лемму 2.3, из (2.8) и (2.9) получаем (2.7).
Лемма 2.5. Пусть u, t, tn \in \scrD \prime (G), n \in \BbbN . Предположим, что tn \rightarrow t в \scrD \prime (G) и выполнено
хотя бы одно из следующих условий: 1) u \in \scrE \prime (G); 2) существует компакт C \subset G такой, что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} tn \subset C для любого n \in \BbbN . Тогда u
s\ast tn \rightarrow u
s\ast t и tn
s\ast u\rightarrow t
s\ast u в \scrD \prime (G).
Доказательство. Если u \in \scrE \prime (G), \varphi \in \scrD (G), то функция \psi (h) = \langle u(g), \varphi (gh) es(g - 1o, ho)\rangle
принадлежит \scrD (G) и \langle us\ast tn, \varphi \rangle = \langle tn, \psi \rangle .Отсюда \langle us\ast tn, \varphi \rangle \rightarrow \langle t, \psi \rangle = \langle us\ast t, \varphi \rangle , т. е. us\ast tn \rightarrow u
s\ast t
в \scrD \prime (G).
Предположим, что выполнено второе условие в лемме. Пусть \eta — произвольная функция
из \scrD (G) такая, что \eta = 1 в окрестности C. Тогда \langle u s\ast tn, \varphi \rangle = \langle tn, \eta \psi \rangle . Из этого равенства
снова получаем сходимость u
s\ast tn к u
s\ast t в \scrD \prime (G). Для свертки tn
s\ast u рассуждения проводятся
аналогично.
Пусть K = SO(2) — группа вращений \BbbR 2, \scrD \prime
\natural (G) — множество биинвариантных относи-
тельно K распределений на G, т. е.
t \in \scrD \prime
\natural (G) \Leftarrow \Rightarrow \langle t, \varphi \rangle = \langle t(g), \varphi (k1gk2)\rangle \forall k1, k2 \in K, \varphi \in \scrD (G).
Обозначим через dk меру Хаара на K, нормированную условием
\int
K
dk = 1. Нетрудно видеть,
что распределение \delta K , действующее по правилу
\langle \delta K , \varphi \rangle =
\int
K
\varphi (k)dk, \varphi \in \scrD (G),
является биинвариантным относительно K и для любого t \in \scrD \prime (G) имеют место равенства
\langle \delta K
s\ast t, \varphi \rangle =
\Biggl\langle
t(h),
\int
K
\varphi (kh)dk
\Biggr\rangle
, (2.10)
\langle t s\ast \delta K , \varphi \rangle =
\Biggl\langle
t(h),
\int
K
\varphi (hk)dk
\Biggr\rangle
. (2.11)
Лемма 2.6. Пусть t \in \scrD \prime
\natural (G). Тогда \v t = t.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
АНАЛОГИ СФЕРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 473
Доказательство. Для \varphi \in \scrD (G) положим
\varphi \natural (g) =
\int
K
\int
K
\varphi (k1gk2) dk1dk2.
Тогда \varphi \natural биинвариантна относительно K и ( \v \varphi )\natural = (\varphi \natural )\v . Далее, равенство \psi (go) = \varphi \natural (g)
корректно определяет радиальную функцию \psi на \BbbD , откуда (\varphi \natural )\v = \varphi \natural . Теперь имеем
\langle \v t, \varphi \rangle = \langle t, \v \varphi \rangle = \langle t, ( \v \varphi )\natural \rangle = \langle t, \varphi \natural \rangle = \langle t, \varphi \rangle ,
т. е. \v t = t.
Лемма 2.7. Если t1, t2 \in \scrD \prime
\natural (G), t1 \vee t2 \in \scrE \prime (G), то t1
s\ast t2 \in \scrD \prime
\natural (G) и
t1
s\ast t2 = t2
- s\ast t1. (2.12)
Доказательство. Пусть k1, k2 \in K, \varphi \in \scrD (G). Биинвариантность t1
s\ast t2 следует из цепочки
равенств
\langle (t1
s\ast t2)(g), \varphi (k1gk2)\rangle = \langle t2(h), \langle t1(g), \varphi (k1ghk2) es(g - 1o, ho)\rangle \rangle =
= \langle t2(h), \langle t1(g), \varphi (k1ghk2) es((k1g) - 1o, ho)\rangle \rangle = \langle t2(h), \langle t1(g), \varphi (ghk2) es(g - 1o, ho)\rangle \rangle =
= \langle t1(g), \langle t2(h), \varphi (ghk2) es(g - 1o, hk2o)\rangle \rangle = \langle t1(g), \langle t2(h), \varphi (gh) es(g - 1o, ho)\rangle \rangle = \langle t1
s\ast t2, \varphi \rangle .
Соотношение (2.12) получаем из лемм 2.4 и 2.6.
3. ”s”-Свертка на плоскости \BbbH 2. Для T \in \scrD \prime (\BbbH 2) обозначим через T \uparrow распределение
на G, действующее по правилу
\langle T \uparrow , \varphi \rangle = \langle T, \.\varphi \rangle , \varphi \in \scrD (G),
где \.\varphi определяется равенством
\.\varphi (go) =
\int
K
\varphi (gk) dk, g \in G.
Отождествление функции f \in Lloc(\BbbH 2) с распределением
\psi - \rightarrow
\int
\BbbD
f(z)\psi (z) d\mu (z), \psi \in \scrD (\BbbH 2),
приводит к соотношению f \uparrow (g) = f(go). Кроме того,
\langle T \uparrow , \psi \uparrow \rangle = \langle T, \psi \rangle , \psi \in \scrD (\BbbH 2). (3.1)
Если T1 \vee T2 \in \scrE \prime (\BbbH 2), то введем ”s”-свертку T1
s
\times T2 следующим образом:
\langle T1
s
\times T2, \psi \rangle = \langle T \uparrow
1
s\ast T \uparrow
2 , \psi
\uparrow \rangle , \psi \in \scrD (\BbbH 2). (3.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
474 В. С. ВАСИЛЯНСКАЯ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ
Отметим, что дельта-функция в нуле на \BbbH 2 и распределение \delta K на G связаны соотношением
\delta \uparrow = \delta K . Отсюда и из (3.1), (2.10), (2.11) для T \in \scrD \prime (\BbbH 2) имеем
\delta
s
\times T = T \natural , T
s
\times \delta = T, (3.3)
где распределение T \natural действует по правилу
\langle T \natural , \psi \rangle =
\Biggl\langle
T (z),
\int
K
\psi (kz) dk
\Biggr\rangle
, \psi \in \scrD (\BbbH 2).
Лемма 3.1. Пусть T1 \vee T2 \in \scrE \prime (\BbbH 2). Тогда
(T1
s
\times T2)
\uparrow = T1
\uparrow s\ast T2 \uparrow .
Доказательство. Простые преобразования показывают, что
\langle T1 \uparrow s\ast T2 \uparrow , \varphi \rangle =
\Biggl\langle
T2(ho),
\Biggl\langle
T1(go),
\int
K
\.\varphi (gkho) es(k
- 1g - 1o, ho) dk
\Biggr\rangle \Biggr\rangle
, \varphi \in \scrD (G).
Отсюда
\langle T1 \uparrow s\ast T2 \uparrow , ( \.\varphi ) \uparrow \rangle = \langle T1 \uparrow s\ast T2 \uparrow , \varphi \rangle , (3.4)
поскольку (( \.\varphi ) \uparrow )\cdot = \.\varphi . С другой стороны,
\langle T1 \uparrow s\ast T2 \uparrow , ( \.\varphi ) \uparrow \rangle = \langle T1
s
\times T2, \.\varphi \rangle = \langle (T1
s
\times T2)
\uparrow , \varphi \rangle . (3.5)
Сравнивая (3.4) и (3.5), получаем утверждение леммы.
Лемма 3.2. Пусть Ti \in \scrD \prime (\BbbH 2), i = 1, 2, 3, и хотя бы два из распределений Ti принадле-
жат \scrE \prime (\BbbH 2). Тогда
(T1
s
\times T2)
s
\times T3 = T1
s
\times (T2
s
\times T3).
Доказательство. Используя (3.2), леммы 2.2 и 3.1, для \psi \in \scrD (\BbbH 2) имеем
\langle (T1
s
\times T2)
s
\times T3, \psi \rangle = \langle (T1
s
\times T2)
\uparrow s\ast T3 \uparrow , \psi \uparrow \rangle =
= \langle (T1 \uparrow s\ast T2 \uparrow )
s\ast T3 \uparrow , \psi \uparrow \rangle = \langle T1 \uparrow s\ast (T2 \uparrow s\ast T3 \uparrow ), \psi \uparrow \rangle =
= \langle T1 \uparrow s\ast (T2
s
\times T3)
\uparrow , \psi \uparrow \rangle = \langle T1
s
\times (T2
s
\times T3), \psi \rangle ,
что и требовалось доказать.
Следующее утверждение показывает непрерывность ”s”-свертки на \BbbH 2.
Лемма 3.3. Пусть U, T, Tn \in \scrD \prime (\BbbH 2), n \in \BbbN . Предположим, что Tn \rightarrow T в \scrD \prime (\BbbH 2) и
выполнено хотя бы одно из следующих условий: 1) U \in \scrE \prime (\BbbH 2); 2) существует компакт C \subset \BbbH 2
такой, что \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}Tn \subset C для любого n \in \BbbN . Тогда U
s
\times Tn \rightarrow U
s
\times T и Tn
s
\times U \rightarrow T
s
\times U в \scrD \prime (\BbbH 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
АНАЛОГИ СФЕРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 475
Доказательство. Из условия следует, что Tn
\uparrow \rightarrow T \uparrow в \scrD \prime (G). Тогда по лемме 2.5
U \uparrow s\ast Tn \uparrow \rightarrow U \uparrow s\ast T \uparrow и Tn \uparrow s\ast U \uparrow \rightarrow T \uparrow s\ast U \uparrow в \scrD \prime (G). Отсюда и из (3.2) получаем требуемое.
Рассмотрим теперь частные случаи определения ”s”-свертки на \BbbH 2. Если в (3.2) распреде-
ления T1 и T2 являются функциями, то
(T1
s
\times T2)(z) =
\int
G
T1(go)T2(g
- 1z) es(z, go) dg (3.6)
(см. (2.5) и лемму 3.1). Аналог леммы 2.3 формулируется следующим образом.
Лемма 3.4. Пусть f \in C\infty (\BbbH 2), T \in \scrD \prime (\BbbH 2) и f \vee T \in \scrE \prime (\BbbH 2). Тогда
(T
s
\times f)(go) = \langle T (z), f \natural (g - 1z) es(go, z)\rangle , (3.7)
(f
s
\times T )(go) = \langle T \natural (z), f(gz) es(z, g
- 1o)\rangle . (3.8)
Доказательство. Из лемм 2.3 и 3.1 следует, что T
s
\times f является функцией и
(T
s
\times f)(go) = (T
s
\times f) \uparrow (g) = (T \uparrow s\ast f\uparrow )(g) = \langle T \uparrow (h), f(h - 1go) es(go, ho)\rangle .
По определению T \uparrow имеем
(T
s
\times f)(go) =
\Biggl\langle
T (ho),
\int
K
f(k - 1h - 1go) dk es(go, ho)
\Biggr\rangle
.
Для фиксированных g, h \in G выберем такой элемент k1 \in K, что h - 1go = k1(h
- 1g) - 1o. Тогда
(T
s
\times f)(go) =
\Biggl\langle
T (ho),
\int
K
f(k - 1k1g
- 1ho) dk es(go, ho)
\Biggr\rangle
=
=
\Biggl\langle
T (ho),
\int
K
f(kg - 1ho) dk es(go, ho)
\Biggr\rangle
= \langle T (z), f \natural (g - 1z) es(go, z)\rangle ,
т. е. равенство (3.7) доказано. Равенство (3.8) получается аналогично.
Из доказательства леммы 3.4 видно, что ”s”-свертку двух функций f1, f2 \in Lloc(\BbbH 2) таких,
что f1 \vee f2 \in \scrE \prime (\BbbH 2), можно определить равенством
(f1
s
\times f2)(go) =
\int
\BbbD
f1(z) f2
\natural (g - 1z) es(go, z) d\mu (z). (3.9)
Используя (3.3), (3.9), лемму 3.3 и стандартный метод сглаживания (см., например, [4], гл. 1.3),
получаем
T1
s
\times T2 = T1
s
\times T2
\natural . (3.10)
Здесь, как и выше, T1 \vee T2 \in \scrE \prime (\BbbH 2).
Обозначим через \scrD \prime
\natural (\BbbH 2) пространство радиальных распределений на \BbbH 2, т. е. \scrD \prime
\natural (\BbbH 2) =
= \{ T \in \scrD \prime (\BbbH 2) : T = T \natural \} . Положим также \scrE \prime
\natural (\BbbH 2) = (\scrD \prime
\natural \cap \scrE \prime )(\BbbH 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
476 В. С. ВАСИЛЯНСКАЯ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ
Лемма 3.5. Пусть T1 \vee T2 \in \scrE \prime (\BbbH 2), \psi \in \scrD (\BbbH 2). Тогда:
(i) если T1, T2 \in \scrD \prime
\natural (\BbbH 2), то
T1
s
\times T2 = T2
- s
\times T1;
(ii) если T1 \in \scrD \prime
\natural (\BbbH 2), то
\langle T1
s
\times T2, \psi \rangle = \langle T2, T1
- s
\times \psi \rangle ;
(iii) \langle T1
s
\times T2, \psi \rangle = \langle T1, \psi
- s
\times T2\rangle .
Доказательство. Нетрудно видеть, что для любого T \in \scrD \prime
\natural (\BbbH 2) распределение T \uparrow является
биинвариантным относительно K. Поэтому утверждение (i) следует из (3.2) и леммы 2.7.
Аналогично, утверждения (ii), (iii) получаются из (3.2), (3.1), (3.10), лемм 2.4 и 2.6.
Пусть f \in Lloc(\BbbH 2). Обозначим через f\kappa , \kappa \in \BbbZ , компоненты f при разложении ее в ряд
Фурье, т. е.
f \kappa (z) =
1
2\pi
2\pi \int
0
f(z e - i\alpha ) ei\kappa \alpha d\alpha =
\int
K
f(\tau z) \tau - \kappa d\tau . (3.11)
Отображение f \rightarrow f\kappa распространяется на распределения следующим образом:
\langle T \kappa , \psi \rangle = \langle T, \psi - \kappa \rangle , T \in \scrD \prime (\BbbH 2), \psi \in \scrD (\BbbH 2).
Обобщая определение класса \scrD \prime
\natural (\BbbH 2), полагаем
\scrD \prime
\kappa (\BbbH 2) = \{ T \in \scrD \prime (\BbbH 2) : T = T \kappa \} , \scrE \prime
\kappa (\BbbH 2) = (\scrD \prime
\kappa \cap \scrE \prime )(\BbbH 2).
Лемма 3.6. Пусть T1 \vee T2 \in \scrE \prime (\BbbH 2), \kappa \in \BbbZ . Тогда
(T1
s
\times T2)
\kappa = T \kappa
1
s
\times T2. (3.12)
В частности, если T1 \in \scrD \prime
\kappa (\BbbH 2), T2 \in \scrE \prime (\BbbH 2), то T1
s
\times T2 \in \scrD \prime
\kappa (\BbbH 2).
Доказательство. В силу леммы 3.3 можно считать, что T1 и T2 являются функциями. В
этом случае имеем
(T1
s
\times T2)
\kappa (z) =
\int
K
(T1
s
\times T2)(\tau z) \tau
- \kappa d\tau =
=
\int
K
\int
G
T1(go)T2(g
- 1\tau z) es(\tau z, go) dg \tau
- \kappa d\tau =
=
\int
K
\int
G
T1(\tau h
- 1o)T2(hz) es(\tau z, \tau h
- 1o) dh \tau - \kappa d\tau =
=
\int
G
T2(hz)
\int
K
T1(\tau h
- 1o) es(\tau z, \tau h
- 1o) \tau - \kappa d\tau dh =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
АНАЛОГИ СФЕРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 477
=
\int
G
T2(hz) es(z, h
- 1o)
\int
K
T1(\tau h
- 1o) \tau - \kappa d\tau dh =
=
\int
G
T \kappa
1 (h
- 1o)T2(hz) es(z, h
- 1o) dh = (T \kappa
1
s
\times T2)(z),
что и требовалось доказать.
4. Квазиинвариантный оператор \bffrakL \bfits . Пусть \bigtriangleup — оператор Лапласа на \BbbC , \mathrm{I}\mathrm{d} — тож-
дественный оператор. Положим
\frakL s = (1 - | z| 2)2 \bigtriangleup - 4s(1 - | z| 2)
\biggl(
z
\partial
\partial z
- z
\partial
\partial z
\biggr)
- 4s2| z| 2 \mathrm{I}\mathrm{d} .
Лемма 4.1. Если T \in \scrD \prime (\BbbH 2), \psi \in C\infty (\BbbH 2) и \psi \vee T \in \scrE \prime (\BbbH 2), то
\langle \frakL sT, \psi \rangle = \langle T,\frakL - s\psi \rangle . (4.1)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда T \in \scrD \prime (\BbbH 2), \psi \in \scrD (\BbbH 2). Тогда
имеем
-
\biggl\langle
\partial T
\partial z
, z(1 - | z| 2)\psi
\biggr\rangle
=
=
\biggl\langle
T, (1 - | z| 2)2 \partial
\partial z
\biggl(
z
1 - | z| 2
\psi (z)
\biggr) \biggr\rangle
=
\biggl\langle
T, z(1 - | z| 2)\partial \psi
\partial z
\biggr\rangle
+ \langle T, \psi \rangle , (4.2)
\biggl\langle
\partial T
\partial z
, z(1 - | z| 2)\psi
\biggr\rangle
=
= -
\biggl\langle
T, (1 - | z| 2)2 \partial
\partial z
\biggl(
z
1 - | z| 2
\psi (z)
\biggr) \biggr\rangle
= -
\biggl\langle
T, z(1 - | z| 2)\partial \psi
\partial z
\biggr\rangle
- \langle T, \psi \rangle . (4.3)
Кроме того, \bigl\langle
(1 - | z| 2)2 \bigtriangleup T, \psi
\bigr\rangle
=
\bigl\langle
T, (1 - | z| 2)2 \bigtriangleup \psi
\bigr\rangle
, (4.4)
так как (1 - | z| 2)2\bigtriangleup совпадает с оператором Лапласа – Бельтрами на \BbbH 2 (см. [2], введение).
Комбинируя (4.2) – (4.4), получаем (4.1).
Лемма 4.2. Пусть T1 \vee T2 \in \scrE \prime (\BbbH 2). Тогда
\frakL s(T1
s
\times T2) = T1
s
\times \frakL sT2, (4.5)
\frakL s(T1
s
\times T2) = (\frakL sT1)
s
\times T2. (4.6)
Доказательство. Оператор \frakL s имеет следующие свойства квазиинвариантности относи-
тельно действия группы G :
\frakL s(\psi (g
- 1z) es(z, go)) = (\frakL s\psi )(g
- 1z) es(z, go), \psi \in C2(\BbbH 2) (4.7)
(см. [3], лемма 6). Используя (4.7), (3.6) и лемму 3.3, нетрудно установить равенство (4.5).
Аналогично получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
478 В. С. ВАСИЛЯНСКАЯ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ
(\frakL sT1)
s
\times T2 = T1
s
\times (\frakL - sT2) (4.8)
(см. (3.7) и (4.1)). Поскольку \frakL - sT = \frakL sT для любого T \in \scrD \prime
\natural (\BbbH 2), из (3.10), (4.5) и (4.8)
имеем
\frakL s(T1
s
\times T2) = \frakL s(T1
s
\times T \natural
2) = T1
s
\times \frakL s(T
\natural
2) = T1
s
\times \frakL - s(T
\natural
2) = (\frakL sT1)
s
\times T \natural
2 = (\frakL sT1)
s
\times T2.
Таким образом, лемма 4.2 доказана.
Следствие 4.1. Пусть \kappa \in \BbbZ , T \in \scrD \prime (\BbbH 2). Тогда
(\frakL sT )
\kappa = \frakL s(T
\kappa ). (4.9)
Доказательство. Учитывая (3.3), (3.12) и (4.5), имеем
(\frakL sT )
\kappa = (\frakL s(T
s
\times \delta ))\kappa = (T
s
\times \frakL s\delta )
\kappa = T \kappa
s
\times \frakL s\delta = \frakL s(T
\kappa
s
\times \delta ) = \frakL s(T
\kappa ),
что и требовалось доказать.
Обозначим через \rho , \varphi полярные координаты точки z \in \BbbC \setminus \{ 0\} . Равенство (4.9) показывает,
что действие \frakL s на функции вида h(\rho ) ei\kappa \varphi осуществляется по правилу
\frakL s(h(\rho ) e
i\kappa \varphi ) = (ls,\kappa h)(\rho ) e
i\kappa \varphi , (4.10)
где ls,\kappa — некоторый оператор. Нетрудно видеть, что
(ls,\kappa h)(\rho ) = (1 - \rho 2)2h\prime \prime (\rho ) +
(1 - \rho 2)2
\rho
h\prime (\rho ) -
\biggl(
(2s - \kappa )2\rho 2 +
\kappa 2
\rho 2
+ 2\kappa (2s - \kappa )
\biggr)
h(\rho ) =
= (d\kappa +1D\kappa h)(\rho ) + 4(\kappa 2 + \kappa (1 - 2s) - s)h(\rho ), (4.11)
где
(D\kappa h)(\rho ) = \rho \kappa (1 - \rho 2)s - \kappa +1 d
d\rho
\biggl(
h(\rho )
\rho \kappa (1 - \rho 2)s - \kappa
\biggr)
,
(d\kappa h)(\rho ) =
(1 - \rho 2)\kappa - s+1
\rho \kappa
d
d\rho
\biggl(
\rho \kappa h(\rho )
(1 - \rho 2)\kappa - s
\biggr)
.
(4.12)
Для 0 \leq \rho < 1 положим
Hs
\lambda ,\kappa (\rho ) = \rho | \kappa | (1 - \rho 2)\nu F
\biggl(
\nu + s+
| \kappa | - \kappa
2
, \nu - s+
| \kappa | + \kappa
2
; | \kappa | + 1; \rho 2
\biggr)
. (4.13)
Здесь и далее \lambda \in \BbbC , \nu = \nu (\lambda ) =
1 - i\lambda
2
и F — гипергеометрическая функция Гаусса.
Лемма 4.3. Имеют место равенства
D\kappa H
s
\lambda ,\kappa = c\kappa ,\lambda H
s
\lambda ,\kappa +1, d\kappa H
s
\lambda ,\kappa = \gamma \kappa ,\lambda H
s
\lambda ,\kappa - 1, (4.14)
где
c\kappa ,\lambda =
\left\{
2(\nu - s+ \kappa )(\nu + s - \kappa - 1)
\kappa + 1
, \kappa \geq 0,
- 2\kappa , \kappa < 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
АНАЛОГИ СФЕРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 479
\gamma \kappa ,\lambda =
\left\{
2\kappa , \kappa > 0,
2(\nu + s - \kappa )(1 - \nu + s - \kappa )
\kappa - 1
, \kappa \leq 0.
Доказательство. Обозначим
h(t) = t
| \kappa | - \kappa
2 (1 - t)\nu +\kappa - sF
\biggl(
\nu + s+
| \kappa | - \kappa
2
, \nu - s+
| \kappa | + \kappa
2
; | \kappa | + 1; t
\biggr)
.
Согласно (4.12)
D\kappa H
s
\lambda ,\kappa (\rho ) = 2 \rho \kappa +1(1 - \rho 2)s - \kappa +1h\prime (\rho 2). (4.15)
Используя формулы 2.8(25), 2.8(26) из [7], находим
h\prime (t) =
c\kappa ,\lambda
2
(1 - t)\nu - s+\kappa - 1F (\nu - s+ \kappa + 1, \nu + s; \kappa + 2; t) , (4.16)
если \kappa \geq 0, и
h\prime (t) =
c\kappa ,\lambda
2
t - \kappa - 1(1 - t)\nu - s+\kappa - 1F (\nu + s - \kappa - 1, \nu - s; - \kappa ; t) , (4.17)
если \kappa < 0. Из (4.15) – (4.17) получаем первое равенство в (4.14). Второе равенство доказы-
вается аналогично.
Следствие 4.2. ФункцияHs
\lambda ,\kappa (\rho ) e
i\kappa \varphi является собственной функцией оператора \frakL s с соб-
ственным значением - (\lambda 2 + 4s2 + 1).
Доказательство. В силу (4.14)
d\kappa +1D\kappa H
s
\lambda ,\kappa = 4(\nu + \kappa - s)(\nu + s - \kappa - 1)Hs
\lambda ,\kappa .
Отсюда и из (4.10), (4.11) получаем требуемое утверждение.
Лемма 4.4. Пусть \alpha , \beta \in \BbbZ +, r > 0, \lambda \in \BbbC . Тогда
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| z| \leq thr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \alpha +\beta
\partial z\alpha \partial z\beta
(Hs
\lambda ,\kappa (\rho ) e
i\kappa \varphi )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c er| Im\lambda |
(1 + | \lambda | )| \kappa | - \alpha - \beta
, (4.18)
где c не зависит от \lambda .
Доказательство. При | z| < 1, \theta \in \BbbR имеем
e - 2 arth| z| =
1 - | z|
1 + | z|
\leq 1 - | z| 2
| z - ei\theta | 2
\leq 1 + | z|
1 - | z|
= e2 arth| z| .
Отсюда \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 1 - | z| 2
| z - ei\theta | 2
\biggr) \nu \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \biggl( 1 - | z| 2
| z - ei\theta | 2
\biggr) 1
2
+ 1
2
Im\lambda
\leq e(1+| Im\lambda | ) arth| z| .
Из этой оценки и интегрального представления
c\nu ,\kappa ,sH
s
\lambda ,\kappa (| z| )
\biggl(
z
| z|
\biggr) \kappa
=
1
2\pi
2\pi \int
0
\biggl(
1 - | z| 2
| z - ei\theta | 2
\biggr) \nu
es(z, e
i\theta ) ei\kappa \theta d\theta , (4.19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
480 В. С. ВАСИЛЯНСКАЯ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ
где
c\nu ,\kappa ,s =
\left\{
\Gamma (\kappa + \nu - s)
\kappa ! \Gamma (\nu - s)
, \kappa \geq 0,
\Gamma (\nu + s - \kappa )
( - \kappa )! \Gamma (\nu + s)
, \kappa < 0
(см. [8], доказательство теоремы 1), заключаем, что (4.18) выполнено при \alpha = \beta = 0. Применяя
к (4.19) оператор
\partial \alpha +\beta
\partial z\alpha \partial z\beta
и используя формулу Лейбница, аналогично получаем (4.18) в общем
случае.
5. Преобразование \bfscrF \bfitkappa
\bfits . Для T \in \scrE \prime
\kappa (\BbbH 2), \kappa \in \BbbZ , положим
\scrF \kappa
s (T )(\lambda ) = \langle T,Hs
\lambda ,\kappa (\rho ) e
- i\kappa \varphi \rangle , \lambda \in \BbbC . (5.1)
Из равенства
Hs
\lambda ,\kappa (\rho ) =
= \rho | \kappa | (1 - \rho 2)
\kappa - | \kappa |
2 - s F
\biggl(
s+
| \kappa | - \kappa + 1 - i\lambda
2
, s+
| \kappa | - \kappa + 1 + i\lambda
2
; | \kappa | + 1;
\rho 2
\rho 2 - 1
\biggr)
(см. (4.13) и [7], формула 2.9(3)) видно, что \scrF \kappa
s (T ) является четной целой функцией перемен-
ной \lambda . В случае, когда T \in (\scrE \prime
\kappa \cap Lloc)(\BbbH 2), имеем
\scrF \kappa
s (T )(\lambda ) = 2\pi
1\int
0
\rho
(1 - \rho 2)2
T(\rho )Hs
\lambda ,\kappa (\rho ) d\rho ,
где T(\rho ) = T (\rho ei\varphi ) e - i\kappa \varphi .
Лемма 5.1. Для любого \lambda \in \BbbC имеет место равенство
\scrF \kappa
s (( - 1)\kappa \frakD - \kappa \delta ) (\lambda ) = 1,
где
\frakD k =
\left\{
1
k!
\biggl(
\partial
\partial z
\biggr) k
, k \geq 0,
1
( - k)!
\biggl(
\partial
\partial z
\biggr) - k
, k < 0.
Доказательство. Пусть T = \frakD - \kappa \delta , \psi \in \scrD (\BbbH 2). Тогда (см. (3.11) и [8], лемма 1)
\langle T \kappa , \psi \rangle = \langle T, \psi - \kappa \rangle = ( - 1)\kappa
\Biggl\langle
\delta ,
(1 - | z| 2)2
2\pi
2\pi \int
0
\frakD - \kappa
\biggl(
\psi (z e - i\alpha )
(1 - | z| 2)2
\biggr)
(0) e - i\kappa \alpha d\alpha
\Biggr\rangle
=
=
( - 1)\kappa
2\pi
2\pi \int
0
\frakD - \kappa
\bigl(
\psi (z e - i\alpha )
\bigr)
(0) e - i\kappa \alpha d\alpha = ( - 1)\kappa (\frakD - \kappa \psi )(0).
Те же преобразования показывают, что \langle T, \psi \rangle = ( - 1)\kappa (\frakD - \kappa \psi )(0), т. е. T = T \kappa и T \in \scrE \prime
\kappa (\BbbH 2).
Далее, если \kappa \geq 0, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
АНАЛОГИ СФЕРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 481
\scrF \kappa
s
\bigl(
( - 1)\kappa \frakD - \kappa \delta
\bigr)
(\lambda ) =
( - 1)\kappa
\kappa !
\biggl\langle \biggl(
\partial
\partial z
\biggr) \kappa
\delta , (1 - | z| 2)\nu F (\nu + s, \nu - s+ \kappa ; \kappa + 1; | z| 2) z \kappa
\biggr\rangle
=
=
1
\kappa !
\biggl\langle
\delta , (1 - | z| 2)2
\biggl(
\partial
\partial z
\biggr) \kappa
(z \kappa (1 - | z| 2)\nu - 2F (\nu + s, \nu - s+ \kappa ; \kappa + 1; | z| 2))
\biggr\rangle
=
=
1
\kappa !
\biggl(
\partial
\partial z
\biggr) \kappa
(z \kappa (1 - | z| 2)\nu - 2F (\nu + s, \nu - s+ \kappa ; \kappa + 1; | z| 2))(0).
Теперь согласно лемме 1 из [8]
\scrF \kappa
s (( - 1)\kappa \frakD - \kappa \delta ) (\lambda ) = \frakD - \kappa (z
\kappa )(0) = 1,
что доказывает лемму при \kappa \geq 0. Случай \kappa < 0 рассматривается аналогично.
Лемма 5.2. Пусть f \in \scrD \prime (\BbbH 2), T \in \scrE \prime
\natural (\BbbH 2) и \frakL sf = - (\lambda 2 + 4s2 + 1)f при некотором
\lambda \in \BbbC . Тогда
f
s
\times T = \scrF 0
s(T )(\lambda )f. (5.2)
Доказательство. Поскольку \frakL s является эллиптическим оператором, распределение f
является вещественно-аналитической функцией на \BbbH 2 (см. [9], гл. 8.6). Тогда по лемме 3.4
(f
s
\times T )(go) = \langle T (z), f(gz) es(z, g - 1o)\rangle , g \in G.
Теперь (5.2) следует из теоремы 1 [3].
Лемма 5.3. Пусть f \in \scrE \prime
\kappa (\BbbH 2), T \in \scrE \prime
\natural (\BbbH 2). Тогда
\scrF \kappa
s (f
s
\times T ) = \scrF \kappa
s (f)\scrF 0
s(T ). (5.3)
В частности,
\scrF \kappa
s (p(\frakL s)f)(\lambda ) = p( - \lambda 2 - s2 - 1)\scrF \kappa
s (f)(\lambda ) (5.4)
для любого алгебраического многочлена p.
Доказательство. Прежде всего отметим, что f
s
\times T \in \scrE \prime
\kappa (\BbbH 2) (см. лемму 3.6). Далее, по
лемме 3.5 (iii)
\scrF \kappa
s (f
s
\times T )(\lambda ) = \langle f
s
\times T,Hs
\lambda ,\kappa (\rho ) e
- i\kappa \varphi \rangle = \langle f, (Hs
\lambda ,\kappa (\rho ) e
- i\kappa \varphi )
- s
\times T \rangle . (5.5)
Учитывая, что Hs
\lambda ,\kappa = H - s
\lambda , - \kappa , из следствия 4.2, леммы 5.2 и (5.5) имеем
\scrF \kappa
s (f
s
\times T )(\lambda ) = \langle f,\scrF 0
- s(T )(\lambda )H
s
\lambda ,\kappa (\rho ) e
- i\kappa \varphi \rangle = \scrF \kappa
s (f)(\lambda )\scrF 0
- s(T )(\lambda ).
Для доказательства (5.3) осталось заметить, что
\scrF 0
- s(T )(\lambda ) = \langle T,H - s
\lambda ,0\rangle = \langle T,Hs
\lambda ,0\rangle = \scrF 0
s(T )(\lambda ).
Полагая в (5.3) T = p(\frakL s) \delta и используя (4.1), (4.5) и следствие 4.2, получаем (5.4).
Лемма 5.4. Преобразование \scrF \kappa
s является инъективным на \scrE \prime
\kappa (\BbbH 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
482 В. С. ВАСИЛЯНСКАЯ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ
Доказательство. Пусть f \in \scrE \prime
\kappa (\BbbH 2) и \scrF \kappa
s (f) = 0. В силу леммы 5.3 для любой функции
\psi \in \scrD \natural (\BbbH 2) имеем \scrF \kappa
s (f
s
\times \psi ) = 0. Записывая f
s
\times \psi в виде (f
s
\times \psi )(z) = u(\rho ) ei\kappa \varphi (см. лемму
3.6) и используя интегральное представление
Hs
\lambda ,\kappa (\mathrm{t}\mathrm{h}t) =
2 3/2\Gamma (| \kappa | + 1)
\surd
\pi \Gamma (| \kappa | + 1
2)
1
(\mathrm{s}\mathrm{h}2t)| \kappa |
t\int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda \xi )(\mathrm{c}\mathrm{h}2t - \mathrm{c}\mathrm{h}2\xi )| \kappa | -
1
2\times
\times F
\biggl(
2s+ | \kappa | - \kappa , | \kappa | + \kappa - 2s; | \kappa | + 1
2
;
\mathrm{c}\mathrm{h}t - \mathrm{c}\mathrm{h}\xi
2\mathrm{c}\mathrm{h}t
\biggr)
d\xi (5.6)
(см. [5], предложение 7.3), получаем
\infty \int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda \xi )
\infty \int
\xi
u(\mathrm{t}\mathrm{h}t)
(\mathrm{s}\mathrm{h}2t)| \kappa | - 1
(\mathrm{c}\mathrm{h}2t - \mathrm{c}\mathrm{h}2\xi )| \kappa | -
1
2 F\kappa ,s
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{h}t - \mathrm{c}\mathrm{h}\xi
2\mathrm{c}\mathrm{h}t
\biggr)
dt d\xi = 0, (5.7)
где F\kappa ,s — гипергеометрическая функция из (5.6). Отсюда
\infty \int
\xi
u(\mathrm{t}\mathrm{h}t)
(\mathrm{s}\mathrm{h}2t)| \kappa | - 1
(\mathrm{c}\mathrm{h}2t - \mathrm{c}\mathrm{h}2\xi )| \kappa | -
1
2 F\kappa ,s
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{h}t - \mathrm{c}\mathrm{h}\xi
2\mathrm{c}\mathrm{h}t
\biggr)
dt = 0, \xi > 0.
После замены \mathrm{c}\mathrm{h}t = y это уравнение преобразуется к виду
\infty \int
x
u
\Biggl( \sqrt{}
y2 - 1
y
\Biggr)
y| \kappa |
(y2 - 1)| \kappa | /2
\biggl(
1 - x2
y2
\biggr) | \kappa | - 1
2
F\kappa ,s
\biggl(
1
2
- x
2y
\biggr)
dy = 0, x > 1.
Полагая g1(y) = u
\Biggl( \sqrt{}
y2 - 1
y
\Biggr)
y| \kappa |
(y2 - 1)| \kappa | /2
, g2(\eta ) = (1 - \eta 2)| \kappa | -
1
2 F\kappa ,s
\biggl(
1
2
- \eta
2
\biggr)
, G1(\xi ) =
= g1(e
\xi ) e\xi , G2(\xi ) = g2(e
- \xi ), приходим к уравнению свертки
\infty \int
t
G1(\xi )G2(\xi - t) d\xi = 0, t > 0,
решением которого является нулевая функция (см. [5], следствие 6.1). Таким образом, f
s
\times \psi = 0.
Теперь, аппроксимируя функциями \psi дельта-функцию в нуле, из (3.3) и леммы 3.3 заключаем,
что f = 0.
Лемма 5.4 доказана.
Для r > 0 положим
\mathrm{B}r = \{ z \in \BbbD : | z| < \mathrm{t}\mathrm{h}r\} , \mathrm{B}r = \{ z \in \BbbD : | z| \leq \mathrm{t}\mathrm{h}r\} .
Следующий результат является аналогом известной теоремы Винера – Пэли – Шварца для клас-
сического преобразования Фурье [9] (теорема 7.3.1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
АНАЛОГИ СФЕРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 483
Теорема 5.1. Для того чтобы четная целая функция w была преобразованием \scrF \kappa
s от
распределения из \scrE \prime
\kappa (\BbbH 2) с носителем в \mathrm{B}r, необходимо и достаточно, чтобы для некоторых
констант C1 и C2 имело место неравенство
| w(\lambda )| \leq C1 (1 + | \lambda | )C2 er| Im\lambda | , \lambda \in \BbbC . (5.8)
Доказательство. Необходимость. Пусть w = \scrF \kappa
s (T ), где T \in \scrE \prime
\kappa (\BbbH 2) и \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}T \subset \mathrm{B}r.
Поскольку T \in \scrE \prime (\BbbH 2), существуют такие константы C и N, что
| \langle T, \psi \rangle | \leq C
\sum
\alpha +\beta \leq N
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbD
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \alpha +\beta \psi
\partial z\alpha \partial z\beta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , \psi \in \scrD (\BbbH 2). (5.9)
Возьмем функцию h \in C\infty (\BbbR 1), которая равна 1 на ( - \infty , 1/2) и 0 на (1,\infty ). Тогда функция
\psi \lambda (z) = Hs
\lambda ,\kappa (\rho ) e
- i\kappa \varphi h(| \lambda | (\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}\rho - r))
принадлежит \scrD (\BbbH 2) и совпадает с Hs
\lambda ,\kappa (\rho ) e
- i\kappa \varphi в некоторой окрестности круга \mathrm{B}r. Отсюда и
из (5.1), (5.9) имеем
| w(\lambda )| = | \langle T, \psi \lambda \rangle | \leq C
\sum
\alpha +\beta \leq N
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in B
r+
1
| \lambda |
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \alpha +\beta \psi \lambda
\partial z\alpha \partial z\beta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Теперь определение функции \psi \lambda и доказательство леммы 4.4 показывают, что w удовлетво-
ряет (5.8).
Достаточность.Если w имеет конечное число нулей, то в силу условия (5.8) и теоремы
Адамара о факторизации (см. [10], гл.1, § 3, п. 8) w(\lambda ) = p( - \lambda 2 - s2 - 1) для некоторого
многочлена p. Тогда согласно леммам 5.1 и 5.3
w = \scrF \kappa
s (( - 1)\kappa p(\frakL s)\frakD - \kappa \delta ),
что и требовалось доказать.
Предположим теперь, что w имеет бесконечно много нулей. Положим
W (\lambda ) =
w(\lambda )
q( - \lambda 2 - s2 - 1)
,
где многочлен q выбран таким образом, чтобы функция W была целой и
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\lambda \in \BbbC
| W (\lambda )| (1 + | \lambda | )2 e - r| Im\lambda | <\infty .
По теореме Винера – Пэли для косинус-преобразования Фурье существует четная функция \varphi \in
\in C(\BbbR 1) такая, что \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi \in [ - r, r] и
W (\lambda ) =
r\int
0
\varphi (t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda t) dt, \lambda \in \BbbC .
Обозначим через \Phi непрерывное решение уравнения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
484 В. С. ВАСИЛЯНСКАЯ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ
\infty \int
y
\Phi (x)\surd
x - y
F0,s
\Biggl(
1
2
- 1
2
\sqrt{}
1 + y
1 + x
\Biggr)
dx =
1\surd
2
\varphi
\Biggl(
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}
\sqrt{}
1 + y
2
\Biggr)
, y \geq 1,
где F0,s определено в (5.7) (см., например, [11], гл. 3, § 4, теорема 4.6). Полагая y = \mathrm{c}\mathrm{h}2\xi и
выполняя в интеграле замену переменной x = \mathrm{c}\mathrm{h}2t, имеем
23/2
\infty \int
\xi
f0(\mathrm{t}\mathrm{h}t) \mathrm{s}\mathrm{h}(2t)\surd
\mathrm{c}\mathrm{h}2t - \mathrm{c}\mathrm{h}2\xi
F0,s
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{h}t - \mathrm{c}\mathrm{h}\xi
2\mathrm{c}\mathrm{h}t
\biggr)
dt = \varphi (\xi ), \xi \geq 0,
где f0(\mathrm{t}\mathrm{h}t) = \Phi (\mathrm{c}\mathrm{h}2t). Отсюда и из (5.6) следует, что носитель функции f(z) = f0(| z| ) содер-
жится в Br и \scrF 0
s f =W. Используя теперь леммы 5.1 и 5.3, получаем
\scrF \kappa
s (( - 1)\kappa \frakD - \kappa \delta
s
\times q(\frakL s)f) = w,
что и завершает доказательство теоремы 5.1.
Литература
1. Постников М. М. Гладкие многообразия. – М.: Наука, 1987. – 478 с.
2. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – М.: Мир, 1987. – 735 с.
3. Трипольская Н. А., Волчков Вит. В. Об одном обобщении теоремы о среднем // Труды Ин-та прикл. математики
и механики НАН Украины. – 2012. – 24. – С. 225 – 233.
4. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht: Klüwer, 2003. – 454 p.
5. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg
group. – London: Springer, 2009. – 671 p.
6. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Offbeat integral geometry on symmetric spaces. – Basel: Birkhäuser, 2013. – 592 p.
7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М.: Наука, 1973. – Т. 1. – 294 с.
8. Василянская В. С., Волчков Вит. В. Интегралы типа Эйзенштейна на сфере и их обобщения // Труды Ин-та
прикл. математики и механики НАН Украины. – 2012. – 25. – С. 42 – 49.
9. Hörmander L. The analysis of linear partial differential operators. – New York: Springer, 1983. – Vols 1, 2.
10. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. – М.: Наука, 1983. – 175 с.
11. Helgason S. Integral geometry and Radon transforms. – New York: Springer, 2010. – 301 р.
Получено 10.10.13,
после доработки — 18.01.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1853 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:13:56Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/27/7d285b53c5149ed31ca4efca48085127.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18532019-12-05T09:29:54Z Analogs of the spherical transform on the hyperbolic plane Аналоги сферического преобразования на гиперболической плоскости Vasilyanskaya, V. S. Volchkov, V. V. Василянская, В. С. Волчков, Вит. В. Василянская, В. С. Волчков, Вит. В. We introduce the notion of “$s$”-convolution on the hyperbolic plane $H^2$ and consider its properties. Analogs of the Helgason spherical transform on the spaces of compactly supported distributions in $H^2$ are studied. We prove a Paley –Wiener – Schwartz-type theorem for these transforms. Визначено поняття „$s$”-згортки на гiперболiчнiй площинi $H^2$ та розглянуто її властивостi. Вивчено аналоги сферичного перетворення на просторах розподiлiв iз компактним носiєм у $H^2$. Доведено теорему типу Пелi – Вiнера – Шварца для вказаних перетворень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1853 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 4 (2016); 469-484 Український математичний журнал; Том 68 № 4 (2016); 469-484 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1853/835 Copyright (c) 2016 Vasilyanskaya V. S.; Volchkov V. V. |
| spellingShingle | Vasilyanskaya, V. S. Volchkov, V. V. Василянская, В. С. Волчков, Вит. В. Василянская, В. С. Волчков, Вит. В. Analogs of the spherical transform on the hyperbolic plane |
| title | Analogs of the spherical transform on the hyperbolic plane |
| title_alt | Аналоги сферического преобразования на гиперболической плоскости |
| title_full | Analogs of the spherical transform on the hyperbolic plane |
| title_fullStr | Analogs of the spherical transform on the hyperbolic plane |
| title_full_unstemmed | Analogs of the spherical transform on the hyperbolic plane |
| title_short | Analogs of the spherical transform on the hyperbolic plane |
| title_sort | analogs of the spherical transform on the hyperbolic plane |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1853 |
| work_keys_str_mv | AT vasilyanskayavs analogsofthesphericaltransformonthehyperbolicplane AT volchkovvv analogsofthesphericaltransformonthehyperbolicplane AT vasilânskaâvs analogsofthesphericaltransformonthehyperbolicplane AT volčkovvitv analogsofthesphericaltransformonthehyperbolicplane AT vasilânskaâvs analogsofthesphericaltransformonthehyperbolicplane AT volčkovvitv analogsofthesphericaltransformonthehyperbolicplane AT vasilyanskayavs analogisferičeskogopreobrazovaniânagiperboličeskojploskosti AT volchkovvv analogisferičeskogopreobrazovaniânagiperboličeskojploskosti AT vasilânskaâvs analogisferičeskogopreobrazovaniânagiperboličeskojploskosti AT volčkovvitv analogisferičeskogopreobrazovaniânagiperboličeskojploskosti AT vasilânskaâvs analogisferičeskogopreobrazovaniânagiperboličeskojploskosti AT volčkovvitv analogisferičeskogopreobrazovaniânagiperboličeskojploskosti |