Jacobi-type block matrices corresponding to the two-dimensional moment problem: polynomials of the second kind and Weyl function
We continue our investigations of Jacobi-type symmetric matrices corresponding to the two-dimensional real power moment problem. We introduce polynomials of second kind and the corresponding analog of the Weyl function.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1855 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507733228257280 |
|---|---|
| author | Dudkin, M. Ye. Kozak, V. I. Дудкін, М. Є. Козак, В. І. |
| author_facet | Dudkin, M. Ye. Kozak, V. I. Дудкін, М. Є. Козак, В. І. |
| author_sort | Dudkin, M. Ye. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:54Z |
| description | We continue our investigations of Jacobi-type symmetric matrices corresponding to the two-dimensional real power moment problem. We introduce polynomials of second kind and the corresponding analog of the Weyl function. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.8
М. Є. Дудкiн, В. I. Козак (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ)
БЛОЧНI МАТРИЦI ТИПУ ЯКОБI,
ЩО ВIДПОВIДАЮТЬ ДВОВИМIРНIЙ ПРОБЛЕМI МОМЕНТIВ:
ПОЛIНОМИ ДРУГОГО РОДУ ТА ФУНКЦIЯ ВЕЙЛЯ
We continue our investigations of Jacobi-type symmetric matrices corresponding to the two-dimensional real power moment
problem. We introduce polynomials of second kind and the corresponding analog of the Weyl function.
Продолжены начатые авторами ранее исследования симметричных матриц типа Якоби, соответствующих двумерной
действительной проблеме моментов. Введены полиномы второго рода и соответствующий аналог функции Вейля.
1. Вступ. Велику i значну частину наукової дiяльностi Ю. М. Березанського присвячено вивчен-
ню властивостей матриць типу Якобi та їх блокових аналогiв [2 – 4, 6, 7]. Основним iнструмен-
том дослiдження тут є створений Ю. М. Березанським i доведений ним до досконалостi метод
розкладу за узагальненими власними векторами [2 – 5, 7]. Деякi iз таких типу Якобi (зокрема,
симетричних) блокових матриць дослiджувалися в [6, 7, 9 – 11, 17]. У [13] не тiльки дослiджува-
лись, але й застосовувалися блоковi матрицi до iнтегрування деяких диференцiально-рiзницевих
рiвнянь (блокових аналогiв ланцюжкiв Тода, де блоки вiдповiдають матрицям, що пов’язанi з
комплексною проблемою моментiв). Матрицi з [17] вiдносяться до двовимiрної дiйсної проб-
леми моментiв i є безпосереднiм узагальненням звичайних матриць Якобi, що вiдповiдають
класичнiй проблемi моментiв Гамбургера та виникаючим при цьому полiномам [1, 2, 20]. У
[17] побудовано полiноми першого роду, якi вiдповiдають двовимiрнiй дiйснiй проблемi момен-
тiв. Тепер, як доповнення до попереднiх дослiджень, ми пропонуємо полiноми другого роду та
вiдповiдну функцiю типу Вейля.
Для блокових матриць, що вiдповiдають двовимiрнiй дiйснiй проблемi моментiв, на вiдмi-
ну вiд випадку комплексної проблеми моментiв можливi фiзичнi застосування зi зв’язаними
маятниками.
Зауважимо, що вiдомi рiзнi узагальнення полiномiв другого роду, наприклад у випадку
матричної проблеми моментiв i вiдповiдних матричних полiномiв [14, 15, 18, 19, 22 – 24]. Але
всi вiдомi узагальнення стосуються лише випадку однiєї змiнної.
Для опису полiномiв першого i другого роду необхiдною є побудова вiдповiдної спектраль-
ної теорiї. Таку побудову широко розвинено в роботах Ю. М. Березанського [2, 5, 7, 12] i,
зокрема, вичерпно викладено в [7]. У подальших дослiдженнях можливi використання по-
лiномiв другого роду для з’ясування питань, традицiйних для класичної проблеми моментiв
Гамбургера, а саме: чи однозначно заданi матрицi визначають вiдповiдну пару комутуючих
самоспряжених операторiв? У разi неоднозначностi можна буде описати всi такi пари.
2. Попереднi вiдомостi. З метою введення основних об’єктiв дослiдження та їх взає-
мозв’язкiв опишемо спочатку коротко двовимiрну дiйсну проблему моментiв та вiдповiдну їй
спектральну теорiю блокових матриць типу Якобi, детально описану в [17].
Взагалi дiйсна двовимiрна проблема моментiв полягає у пошуку умов для заданої двоiн-
дексної послiдовностi \{ sm,n\} , m, n \in \BbbN 0, дiйсних чисел так, щоб iснувала мiра d\rho (x, y) на
дiйснiй площинi \BbbR 2 i виконувалися рiвностi
c\bigcirc М. Є. ДУДКIН, В. I. КОЗАК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4 495
496 М. Є. ДУДКIН, В. I. КОЗАК
sm,n =
\int
\BbbR 2
xmynd\rho (x, y), m, n \in \BbbN 0. (1)
Як вiдомо, для зображення (1) необхiдною є додатна визначенiсть послiдовностi \{ sm,n\} \infty m,n=0,
тобто
\infty \sum
j,k,m,n=0
fj,k \=fm,nsj+m,k+n \geq 0
для всiх фiнiтних (скiнченних) послiдовностей комплексних чисел (fj,k)
\infty
j,k=0, fj,k \in \BbbC .
Така мiра d\rho (x, y) iснує i зображення (1) є єдиним для заданої послiдовностi \{ sm,n\} \infty m,n=0,
якщо крiм додатної визначеностi виконується умова [17]
\infty \sum
p=1
1
p
\sqrt{} \sum p
k=0C
k
p
\surd
s4p - 4k,4k
= \infty .
Побудови вiдповiдних матриць аналогiчнi одновимiрному випадку [1], але замiсть звичай-
ного простору l2 використовується простiр
\bfl 2 = \scrH 0 \oplus \scrH 1 \oplus \scrH 2 \oplus . . . , \scrH n = \BbbC n+1, n \in \BbbN 0,
\bfl 2 \ni f = (fn)
\infty
n=0,
\infty \sum
n=0
\| fn\| 2\scrH n
< \infty .
(2)
Вектор xn iз простору \scrH n = \BbbC n+1 має вигляд xn = (xn;0, . . . , xn;n). Для кожного \alpha \in
\in \{ 0, . . . , n\} число xn;\alpha є координатою базисного вектора \delta n;\alpha = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) \in \scrH n \in
\in \bfl 2 (одиниця занаходиться на \alpha -му мiстi), \delta 0 \equiv \delta 0;0 = (1). Узагальнення звичайної матрицi
Якобi, що вiдповiдає класичнiй проблемi моментiв Гамбургера, набирає вигляду пари блокових
матриць:
JA =
\left[
b0 c0 0 0 0 \cdot \cdot \cdot
a0 b1 c1 0 0 \cdot \cdot \cdot
0 a1 b2 c2 0 \cdot \cdot \cdot
...
...
...
...
...
. . .
\right] ,
an : \scrH n - \rightarrow \scrH n+1,
bn : \scrH n - \rightarrow \scrH n,
cn : \scrH n+1 - \rightarrow \scrH n, n \in \BbbN 0,
(3)
JB =
\left[
w0 v0 0 0 0 \cdot \cdot \cdot
u0 w1 v1 0 0 \cdot \cdot \cdot
0 u1 w2 v2 0 \cdot \cdot \cdot
...
...
...
...
...
. . .
\right] ,
un : \scrH n - \rightarrow \scrH n+1,
wn : \scrH n - \rightarrow \scrH n,
vn : \scrH n+1 - \rightarrow \scrH n, n \in \BbbN 0.
(4)
Матрицi (3) i (4) на фiнiтних векторах \bfl fin \subset \bfl 2 задають два оператори
\bfl 2 \supset \bfl fin \ni f - \rightarrow JAf = ((JAf)n)
\infty
n=0 \subset \bfl 2,
(JAf)n = an - 1fn - 1 + bnfn + cnfn+1,
\bfl 2 \supset \bfl fin \ni f - \rightarrow JBf = ((JBf)n)
\infty
n=0 \subset \bfl 2,
(JBf)n = un - 1fn - 1 + wnfn + vnfn+1,
(5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
БЛОЧНI МАТРИЦI ТИПУ ЯКОБI, ЩО ВIДПОВIДАЮТЬ ДВОВИМIРНIЙ ПРОБЛЕМI МОМЕНТIВ . . . 497
де для зручностi вважаємо f - 1 := 0. Без втрати загальностi матрицi JA, JB та вiдповiднi
оператори позначимо тими самими символами JA i JB .
Далi, припустимо, що цi матрицi мають особливу внутрiшню структуру, а саме, матрицi an
i cn мають певну форму та їхнi коефiцiєнти задовольняють деякi властивостi:
an =
\left[
an;0,0 \ast \ast . . . \ast
an;1,0 \ast \ast . . . \ast
0 an;2,1 \ast . . . \ast
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . an;n+1,n
\right]
\underbrace{} \underbrace{}
n+1
\right\}
n+2,
cn =
\left[
cn;0,0 cn;0,1 0 . . . 0 0
\ast \ast cn;1,2 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
\ast \ast \ast . . . cn;n - 1,n 0
\ast \ast \ast . . . \ast cn;n,n+1
\right]
\underbrace{} \underbrace{}
n+2
\right\}
n+1,
an;1,0, an;2,1, . . . , an;n+1,n > 0, cn;0,1, cn;1,2, . . . , cn;n,n+1 > 0, n \in \BbbN 0,
(6)
un =
\left[
un;0,0 \ast \ast . . . \ast
0 un;1,1 \ast . . . \ast
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . un;n,n
0 0 0 . . . 0
\right]
\underbrace{} \underbrace{}
n+1
\right\}
n+2,
vn =
\left[
vn;0,0 0 . . . 0 0 0
\ast vn;1,1 . . . 0 0 0
...
...
. . .
...
...
...
\ast \ast . . . vn;n - 1,n - 1 0 0
\ast \ast . . . \ast vn;n,n 0
\right]
\underbrace{} \underbrace{}
n+2
\right\}
n+1,
un;0,0, un;1,1, . . . , un;n,n > 0, vn;0,0, vn;1,1, . . . , vn;n,n > 0, n \in \BbbN 0.
(7)
У формулах (3) i (4) блоки bn i wn є симетричними ((n+ 1)\times (n+ 1))-матрицями, n \in \BbbN 0.
Оскiльки мова йде про симетричнi матрицi, то an;\alpha ,\beta = cn;\beta ,\alpha , \alpha = 0, 1, . . . , n, \beta =
= 0, 1, . . . , n+ 1, n \in \BbbN , i un;\alpha ,\beta = vn;\beta ,\alpha , \beta = 0, 1, . . . , n, \alpha = 0, 1, . . . , n+ 1, n \in \BbbN 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
498 М. Є. ДУДКIН, В. I. КОЗАК
За додаткових умов на блоки an, bn, cn i un, wn, vn, n \in \BbbN n (див. роздiл 6 [17]), матрицi
JA i JB є переставними: JAJB = JBJA (на фiнiтних векторах \bfl fin \subset \bfl 2).
Для подальших дослiджень припустимо, що породженi виразами (3) i (4) оператори є са-
моспряженими i комутують у строгому резольвентному сенсi, або, якщо оператори необмеженi
i симетричнi iз нетривiальними iндексами дефекту, вважатимемо, що вони мають комутуючi
самоспряженi розширення.
У такому (двовимiрному) випадку узагальненi власнi вектори P (x, y) мають вигляд послi-
довностi P (x, y) = Pn(x, y)
\infty
n=0, де (x, y) \in \BbbR 2, Pn(x, y) \in \scrH n — вектор, коефiцiєнтами якого є
полiноми n-го порядку за змiнними x та y, а саме
Pn(x, y) = (Pn;0(x, y), Pn;1(x, y), . . . , Pn;n(x, y)), (8)
де Pn,\alpha — лiнiйна комбiнацiя елементiв
x0y0; x0y1, x1y0; x0y2, x1y1, x2y0; . . . ; x0yn, x1yn - 1, . . . , xn - \alpha y\alpha , . . .
для \alpha = 0, . . . , n.
Полiноми (8) є розв’язками системи двох рiзницевих рiвнянь
JAP (x, y) = xP (x, y), JBP (x, y) = yP (x, y). (9)
Тут у двовимiрному випадку виникають два рiвняння, на вiдмiну вiд класичного випадку, де
iснує лише одне. Умови (6) i (7) гарантують розв’язнiсть системи (9).
Тепер коротко зауважимо, як утворилися матрицi (3) i (4) iз властивостями (6) i (7). У
даному випадку для побудови Pn(x, y) проводиться ортогоналiзацiя за Шмiдтом системи xnym,
m, n \in \BbbN 0, вiдносно скалярного добутку простору L2 = L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)) функцiй, iнтегровних
iз квадратом на \BbbR 2 вiдносно мiри Бореля d\rho (x, y).
Припустимо, що функцiї
\BbbR 2 \ni (x, y) \mapsto - \rightarrow xmyn, m, n \in \BbbN 0, (10)
є лiнiйно незалежними i утворюють тотальну множину в L2, тобто, використовуючи порядок
[25]
x0y0; x0y1, x1y0; x0y2, x1y1, x2y0; . . . ; x0yn, x1yn - 1, . . . , xny0; . . . , (11)
отримуємо систему ортогональних полiномiв, поданих у виглядi таблицi
P0;0(x, y); P1;0(x, y), P2;0(x, y), . . . ; Pn;0(x, y), . . .
P1;1(x, y); P2;1(x, y), Pn;1(x, y),
P2;2(x, y); Pn;2(x, y),
. . .
Pn;n(x, y),
(12)
де кожний полiном має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
БЛОЧНI МАТРИЦI ТИПУ ЯКОБI, ЩО ВIДПОВIДАЮТЬ ДВОВИМIРНIЙ ПРОБЛЕМI МОМЕНТIВ . . . 499
Pn;\alpha (x, y) = kn;\alpha x
\alpha yn - \alpha + . . . , n \in \BbbN 0, \alpha = 0, 1, . . . , n, kn;\alpha > 0. (13)
Тут + . . . позначає наступну частину вiдповiдного полiнома i для визначеностi покладено
P0;0(x, y) := 1. Таким чином, Pn;\alpha (x, y) є лiнiйною комбiнацiєю елементiв
\{ 1; x0y1, x1y0; . . . ; x0yn, x1yn - 1, . . . , x\alpha yn - \alpha \} . (14)
Кожний стовпець у (12) — це вектор Pn(x, y), який є розв’язком (9).
Отже, тепер образи операторiв зсуву JAx
myn = xm+1yn та JBx
myn = xmyn+1 (позначенi
для простоти також через JA та JB) у базисi (12) мають вигляд матриць (3) i (4) з властивостями
(6) i (7).
Для подальшого запису перетворення Фур’є запишемо скалярний добуток:
(fn, Pn(x, y))\scrH n = fn;0Pn;0(x, y)+ fn;1Pn;1(x, y)+ . . .+ fn;nPn;n(x, y) \forall fn \in \scrH n, n \in \BbbN 0,
де fn;\alpha — координати вектора fn, \alpha = 0, 1, . . . , n, kn;\alpha > 0.
Тепер сформулюємо спектральну теорему для операторiв JA i JB.
Теорема 1. Нехай JA i JB — двi блочнi симетричнi матрицi (3) i (4) з умовами на блоки (ко-
ефiцiєнти) (6) i (7) вiдповiдно. Припустимо, що цi матрицi породжують обмеженi самоспря-
женi комутуючi оператори (зi строго циклiчним вектором) пiсля замикання за неперервнiстю
у просторi \bfl 2.
Тодi перетворення Фур’є за узагальненими власними векторами операторiв JA i JB має
вигляд
\bfl 2 \supset \bfl fin \ni f = (fn)
\infty
n=0 \mapsto - \rightarrow \^f(x, y) =
\infty \sum
n=0
(fn, Pn(x, y))\scrH n =
=
\infty \sum
n=0
n\sum
\alpha =0
Pn;\alpha (x, y)fn;\alpha \in L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)) = L2, (15)
де d\rho (x, y) — спектральна мiра операторiв JA i JB . У (15) Pn(x, y) = (Pn(x, y))
\infty
n=0 є уза-
гальненим власним вектором пари операторiв JA i JB, Pn(x, y) — вектор, коефiцiєнти якого
є полiномами за змiнними x i y вигляду (12), (13).
Пiсля замикання за неперервнiстю оператор (15) є унiтарним з \bfl 2 в L2. Образи операторiв
JA i JB є операторами множення на x i y в L2.
Рiвнiсть Парсеваля має вигляд
(f, g)l2 =
\int
\BbbR 2
\^f(x, y)\^g(x, y) d\rho (x, y),
(JAf, g)l2 =
\int
\BbbR 2
x \^f(x, y)\^g(x, y) d\rho (x, y),
(JBf, g)l2 =
\int
\BbbR 2
y \^f(x, y)\^g(x, y) d\rho (x, y)
(16)
\forall f, g \in \bfl fin.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
500 М. Є. ДУДКIН, В. I. КОЗАК
Полiноми Pn;\alpha (x, y), n \in \BbbN , \alpha = 0, . . . , n, i P0;0 = 1 утворюють ортонормовану систему в
L2 у сенсi \int \int
\BbbR 2
j\sum
i=1
Pj;i(x, y)fj;i
k\sum
i=l
Pk;l(x, y)fk;l = \delta j,k(fj , gk)\scrH j ,
де fj \in \scrH j , gk \in \scrH k, j, k \in \BbbN 0. Матрицi JA = (\tau j,k)
\infty
j,k=0, \tau j,k = (\tau j,k;\alpha ,\beta )
j,k
\alpha ,\beta =0, JB = (\theta j,k)
\infty
j,k=0,
\theta j,k = (\theta j,k;\alpha ,\beta )
j,k
\alpha ,\beta =0, вiдновлюються за формулами
\tau j,k;\alpha ,\beta = (JA\delta k,\beta , \delta j,\alpha )l2 =
\int \int
\BbbR 2
xPk;\beta (x, y)Pj;\alpha (x, y)d\rho (x, y),
\theta j,k;\alpha ,\beta = (JB\delta k,\beta , \delta j,\alpha )l2 =
\int \int
\BbbR 2
yPk;\beta (x, y)Pj;\alpha (x, y)d\rho (x, y).
(17)
Тут bn = \tau j,j , cn = \tau j,j+1, an = \tau j+1,j i wn = \theta j,j , vn = \theta j,j+1, un = \theta j+1,j , j \in \BbbN 0.
Детальне доведення теореми 1 див. у [17].
Таким чином, пряма спектральна задача для матриць JA i JB полягає у знаходженнi (вiд-
новленнi) спектральної мiри операторiв JA i JB . З цiєю метою шукаються узагальненi власнi
вектори P (x, y) = (Pn(x, y))
\infty
n=0, (x, y) \in \BbbR 2, якi є розв’язками системи (9).
Обернена спектральна задача полягає у знаходженнi операторiв JA i JB, тобто вiдповiдних
їм матриць вигляду (3) i (4) з внутрiшньою структурою (6) i (7), якi мають спектральну мiру
d\rho (x, y) в \BbbR 2. У даному випадку це теорема, аналогiчна теоремi 2 щодо комплексної проблеми
моментiв iз [13].
Теорема 2. Нехай спектральну мiру d\rho (x, y) задано так, що система функцiй (10) є лiнiйно
незалежною i тотальною в L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)) (наприклад, носiй мiри d\rho (x, y) є обмеженим i
мiстить вiдкриту пiдмножину \BbbR 2).
Тодi ця мiра є спектральною мiрою пари комутуючих обмежених самоспряжених опера-
торiв JA i JB, якi породженi блоковими тридiагональними (типу Якобi) матрицями (3) i (4) з
умовами на коефiцiєнти (блоки) (6) i (7).
Елементи матриць вiдновлюються за формулами (17), де Pn;\alpha (x, y), \alpha = 0, . . . , n, n \in \BbbN 0,
отримано за процедурою ортогоналiзацiї за Шмiдтом.
Якщо задана мiра d\rho (x, y) є спектральною для пари обмежених комутуючих самоспряже-
них операторiв JA i JB, породжених блоковими тридiагональними (типу Якобi) матрицями
(3) i (4) з умовами (6) i (7), то вiдновленi за d\rho (x, y) матрицi збiгаються з JA i JB .
Доведення теореми 2 вiдновлюється за матерiалами роботи [17].
3. Полiноми другого роду. Отже, розглядаються матрицi JA, JB типу (3) i (4) з умовами
(6) i (7) вiдповiдно. Припускається, що матрицi JA i JB комутують: JAJbf = JBJAf, f \in \bfl fin.
Також вважаємо, що породженi матрицями оператори JA i JB є обмеженими.
У попередньому пунктi йшлося про полiноми першого роду, якi є аналогом полiномiв
першого роду класичної теорiї якобiєвих матриць. У даному випадку також можна ввести
аналог полiномiв другого роду.
Полiноми другого роду Qn(z1, z2) визначимо виразом, який узагальнює вiдомий вираз для
полiномiв другого роду у класичному випадку, а саме, покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
БЛОЧНI МАТРИЦI ТИПУ ЯКОБI, ЩО ВIДПОВIДАЮТЬ ДВОВИМIРНIЙ ПРОБЛЕМI МОМЕНТIВ . . . 501
Qn(z1, z2) :=
\int \int
\BbbR 2
Pn(\lambda , \mu ) - Pn(\lambda , z2) - Pn(z1, \mu ) + Pn(z1, z2)
(\lambda - z1)(\mu - z2)
d\rho (\lambda , \mu ), (18)
де z1, z2 \in \BbbC \setminus \BbbR , n \in \BbbN 0, i d\rho (\lambda , \mu ) — мiра на \BbbR 2 iз компактним носiєм, що вiдповiдає парi
обмежених самоспряжених комутуючих операторiв JA, JB .
Теорема 3. Послiдовнiсть Q(z1, z2) = (Qn(z1, z2))
\infty
n=0, z1, z2 \in \BbbC \setminus \BbbR , де Qn(z1, z2) задано
формулою (18), є розв’язком системи рiзницевих рiвнянь iз початковими даними
an - 1Qn - 1(z1, z2) + bnQn(z1, z2) + cnQn+1(z1, z2) = z1Qn(z1, z2),
un - 1Qn - 1(z1, z2) + wnQn(z1, z2) + vnQn+1(z1, z2) = z2Qn(z1, z2),
Q0;0(z1, z2) = 0, n \in \BbbN , z1, z2 \in \BbbC ,
(19)
а отже, i Qn;0(z1, z2) = Q0;n(z1, z2) = 0, n \in \BbbN .
Доведення. Оскiльки P0;0(z1, z2) = 1, то з (18) безпосередньо отримуємо
Q0;0(z) = 0, z \in \BbbC . (20)
Обчислимо Q1;0(z1, z2). З (11), (12), (18) i P1;0(z1, z2) = P1;0(z1) робимо висновок, що
Q1;0(z1, z2) =
\int \int
\BbbR 2
Pn(\lambda ) - Pn(\lambda ) - Pn(z1) + Pn(z1)
(\lambda - z1)(\mu - z2)
d\rho (\lambda , \mu ) \equiv 0 \forall z1, z2 \in \BbbC . (21)
Обчислимо Q1;1(z1, z2). З (11), (12) i (18) маємо P1;1(z1, z2) = \mathrm{l}.\mathrm{c}.(1, z1, z2) = c0+c1z1+c2z2,
де через ”\mathrm{l}.\mathrm{c}.” позначено лiнiйну комбiнацiю вiдповiдних елементiв. Отже, маємо
Q1;1(z1, z2) =
\int \int
\BbbR 2
1
(\lambda - z1)(\mu - z2)
\Bigl(
(c0 + c1\lambda + c2\mu ) - (c0 + c1\lambda + c2z2) -
- (c0 + c1z1 + c2\mu ) + (c0 + c1z1 + c2z2)
\Bigr)
d\rho (\lambda , \mu ) \equiv 0 \forall z1, z2 \in \BbbC . (22)
Покажемо, що Qn;0(z1, z2) = 0. Полiном Pn;0(z1, z2), згiдно з (11), (12), має вигляд
Pn;0(z1, z2) = kn;0z
n
1 + \~Rn - 1(z1, z2),
де коефiцiєнти kn;0 > 0 i
\~Rn - 1(z1, z2) := \mathrm{l}.\mathrm{c}.\{ P0;0(z1, z2), P1;0(z1, z2), ..., Pn - 1;n - 1(z1, z2)\} .
Отже, завдяки (11), (12) i (18) полiном Qn;0(z1, z2) можна подати у виглядi
Qn;0(z1, z2) =
\int \int
\BbbR 2
1
(\lambda - z1)(\mu - z2)
\Bigl(
(kn;0\lambda
n + \~Rn - 1(\lambda , \mu )) - (kn;0\lambda
n + \~Rn - 1(\lambda , z2)) -
- (kn;0z
n
1 + \~Rn - 1(z1, \mu )) + (kn;0z
n
1 + \~Rn - 1(z1, z2))
\Bigr)
d\rho (\lambda , \mu ) =: \~Qn - 1;n - 1(z1, z2),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
502 М. Є. ДУДКIН, В. I. КОЗАК
де
\~Qn - 1;n - 1(z1, z2) = \mathrm{l}.\mathrm{c}.\{ Q0;0(z1, z2), Q1;0(z1, z2), ..., Qn - 1;n - 1(z1, z2)\} .
А оскiльки полiноми Qn;\alpha (z1, z2) лiнiйно незалежнi, то Qn;0(z1, z2) = 0.
Покажемо також, що Qn;n(z1, z2) = 0. Полiном Pn;n(z1, z2), згiдно з (11), (12), має вигляд
Pn;0(z1, z2) = kn;nz
n
2 + \~Rn - 1(z1, z2),
де коефiцiєнти kn;n > 0 i
\~Rn - 1(z1, z2) := \mathrm{l}.\mathrm{c}.\{ P0;0(z1, z2), P1;0(z1, z2), ..., Pn;n - 1(z1, z2)\} .
Отже, завдяки (11), (12) i (18), полiном Qn;n(z1, z2) можна записати у виглядi
Qn;n(z1, z2) =
\int \int
\BbbR 2
1
(\lambda - z1)(\mu - z2)
\Bigl(
(kn;n\mu
n + \~Rn - 1(\lambda , \mu )) - (kn;nz
n
2 + \~Rn - 1(\lambda , z2)) -
- (kn;n\mu
n + \~Rn - 1(z1, \mu )) + (kn;nz
n
2 + \~Rn - 1(z1, z2))
\Bigr)
d\rho (\lambda , \mu ) =: \~Qn;n - 1(z1, z2),
де
\~Qn;n - 1(z1, z2) = \mathrm{l}.\mathrm{c}.\{ Q0;0(z1, z2), Q1;0(z1, z2), ..., Qn - 1;n(z1, z2)\} .
Але оскiльки полiноми Qn(z1, z2) є лiнiйно незалежними, то Qn;n(z1, z2) = 0.
Останнiй вираз дає початковi данi з (19).
Для завершення доведення залишилося перевiрити, що Qn(z1, z2), n \in \BbbN , задовольняє
обидва рiвняння (19). Розглянемо перше рiвняння. Згiдно з (18), (11) i (12) маємо
(JAQ(z1, z2))n =
=
\int \int
\BbbR 2
(JAP (\lambda , \mu ))n - (JAP (\lambda , z2))n - (JAP (z1, \mu ))n + (JAP (z1, z2))n
(\lambda - z1)(\mu - z2)
d\rho (\lambda , \mu ) =
=
\int \int
\BbbR 2
\lambda Pn(\lambda , \mu ) - \lambda Pn(\lambda , z2) - z1Pn(z1, \mu ) + z1Pn(z1, z2)
(\lambda - z1)(\mu - z2)
d\rho (\lambda , \mu ) =
= z1
\int \int
\BbbR 2
Pn(\lambda , \mu ) - Pn(\lambda , z2) - Pn(z1, \mu ) + Pn(z1, z2)
(\lambda - z1)(\mu - z2)
d\rho (\lambda , \mu )+
+
\int \int
\BbbR 2
Pn(\lambda , \mu ) - Pn(\lambda , z2)
(\mu - z2)
d\rho (\lambda , \mu ) =
= z1Qn(z1, z2) +
\int \int
\BbbR 2
\^Pn(\lambda , \mu , z2) d\rho (\lambda , \mu ) \forall z \in \BbbC \setminus \BbbR , n \in \BbbN . (23)
Згiдно з (11) i (12) останнiй iнтеграл у (23) дорiвнює нулю, отже, (23) приводить до
(JAQ(z1, z2))n = z1Qn(z1, z2), n \in \BbbN . Це означає, що перша з рiвностей (19) виконується.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
БЛОЧНI МАТРИЦI ТИПУ ЯКОБI, ЩО ВIДПОВIДАЮТЬ ДВОВИМIРНIЙ ПРОБЛЕМI МОМЕНТIВ . . . 503
Аналогiчно,
(JBQ(z1, z2))n =
=
\int \int
\BbbR 2
(JBP (\lambda , \mu ))n - (JBP (\lambda , z2))n - (JBP (z1, \mu ))n + (JBP (z1, z2))n
(\lambda - z1)(\mu - z2)
d\rho (\lambda , \mu ) =
=
\int \int
\BbbR 2
\mu Pn(\lambda , \mu ) - z2Pn(\lambda , z2) - \mu Pn(z1, \mu ) + z2Pn(z1, z2)
(\lambda - z1)(\mu - z2)
d\rho (\lambda , \mu ) =
= z2
\int \int
\BbbR 2
Pn(\lambda , \mu ) - Pn(\lambda , z2) - Pn(z1, \mu ) + Pn(z1, z2)
(\lambda - z1)(\mu - z2)
d\rho (\lambda , \mu )+
+
\int \int
\BbbR 2
Pn(\lambda , \mu ) - Pn(z1, \mu )
(\lambda - z1)
d\rho (\lambda , \mu ) =
= z2Qn(z1, z2) +
\int \int
\BbbR 2
\^Pn(\lambda , \mu , z1) d\rho (\lambda , \mu ). (24)
Згiдно з (11) i (12) останнiй iнтеграл у (24) також дорiвнює нулю. Отже, (24) дає
(JBQ(z1, z2))n = z2Qn(z1, z2), n \in \BbbN . Це означає, що друга з рiвнoстей (19) також вико-
нується.
Теорему 3 доведено.
Як результат, для полiномiв Qn(z1, z2) другого роду маємо ситуацiю, аналогiчну полiномам
першого роду: їх послiдовнiсть є розв’язком системи (19) для n = 1, 2, . . . iз заданими в
(19) початковими умовами Q0(z1, z2) = 0. Взагалi цi полiноми не ортогональнi у просторi
L2(\BbbR , d\rho (\lambda )) вiдносно мiри d\rho (\lambda ), породженої обмеженими комутуючими самоспряженими
операторами JA i JB .
Зауважимо також, що запропонований пiдхiд дозволяє записати полiноми другого роду i
для випадку комплексної проблеми моментiв, яких немає в [11, 13].
Як у випадку класичної проблеми моментiв Гамбургера, полiноми другого роду разом iз
полiномами першого роду можна використати для опису всiх спектральних мiр, породжених
самоспряженими розширеннями в \bfl 2 операторiв JA i JB у випадку, коли JA i JB не є обмежени-
ми i самоспряженими, а лише ермiтовими, але мають самоспряженi розширення, що комутують
у строгому резольвентному сенсi. Проте реалiзацiя такого проекту не є простою у зв’язку iз
вiдсутнiстю внутрiшнього опису матриць вигляду (3) та (4) iз властивостями (6) i (7) (як це
вiдомо для матриць, що вiдповiдають тригонометричнiй проблемi моментiв (CMV-матриць)
[21], або для матриць, що вiдповiдають сильнiй проблемi моментiв Гамбургера [16]). Також
є невiдомим внутрiшнiй опис матриць, що вiдповiдають нормальнiй проблемi моментiв [11].
Дослiдження цих питань планується у подальшому.
4. Вiдповiдний аналог функцiї Вейля. Нехай JA i JB — блоковi матрицi типу Якобi.
Аналогiчно тому, як у [13] введено функцiю Вейля для комплексної проблеми моментiв, уведемо
аналог функцiї Вейля для двовимiрної дiйсної проблеми моментiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
504 М. Є. ДУДКIН, В. I. КОЗАК
Використовуючи вираз (18), отримуємо
M(z1, z2) = (Rz1(A)\delta 0, R\=z2(B)\delta 0)l2 =
\int \int
\BbbR 2
1
(\lambda - z1)(\mu - z2)
d\rho (\lambda , \mu ), z1, z2 \in \BbbC \setminus \BbbR . (25)
Як i у класичнiй проблемi моментiв Гамбургера, наступна теорема характеризує функцiю (25).
Теорема 4. Нехай JA i JB — блоковi матрицi типу Якобi, якi породжують в \bfl 2 обмеженi
комутуючi самоспряженi оператори, Rz1(A) i Rz2(B) — їх резольвенти (\mathrm{I}\mathrm{m}zi \not = 0, i = 1, 2).
Тодi функцiя M(z1, z2) = (Rz1(A)\delta 0, R\=z2(B)\delta 0)l2 однозначно визначає спектральну мiру цих
операторiв.
Доведення. Завдяки спектральним теоремам 1 i 2 отримуємо
M(z1, z2) = (Rz1(A)\delta 0, R\=z2(B)\delta 0)l2 =
\int \int
\BbbR 2
1
(\lambda - z1)(\mu - z2)
d\rho (\lambda , \mu ).
Оскiльки оператори JA iJB вважаються обмеженими, то спектр JA i JB є обмеженим, а
отже, для z1, z2 \in \BbbC \setminus \BbbR можемо записати
M(z1, z2) =
\int \int
\BbbR 2
1
(\lambda - z1)(\mu - z2)
d\rho (\lambda , \mu ) =
1
z1z2
\int \int
\BbbR 2
1
(1 - \lambda
z1
)(1 - \mu
z2
)
d\rho (\lambda , \mu ) =
=
1
z1z2
\int \int
\BbbR 2
\Biggl( \infty \sum
m=0
\biggl(
\lambda
z1
\biggr) m
\Biggr) \Biggl( \infty \sum
n=0
\biggl(
\lambda
z2
\biggr) n
\Biggr)
d\rho (\lambda , \mu ) =
=
1
z1z2
\int \int
\BbbR 2
\left( \infty \sum
m,n=0
1
zm1 zn2
\lambda m\mu n
\right) d\rho (\lambda , \mu ) =
=
1
z1z2
\infty \sum
n,m=0
1
zm1 zn2
\int \int
\BbbR 2
\lambda m\mu n d\rho (\lambda , \mu ) =
\infty \sum
m,n=0
sm,n
zm+1
1 zn+1
2
,
де (див. (1))
sm,n =
\int \int
\BbbR 2
\lambda m\mu n d\rho (\lambda , \mu ), m, n \in \BbbN 0.
З попереднього запису функцiї M(z1, z2) у виглядi ряду по zm1 zn2 випливає, що коефiцiєнти
sm,n цього ряду по M(z1, z2) вiдновлюються однозначно. Але цi коефiцiєнти є моментами мiри
d\rho (\lambda , \mu ) i задовольняють оцiнку | sn,m| \leq \| JA\| m\| JB\| n. Оскiльки мiра d\rho (\lambda , \mu ) вiдновлюється
однозначно за моментами sm,n, то i функцiя M(z1, z2) також вiдновлюється однозначно.
Теорему 4 доведено.
Лiтература
1. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов. – М.: Физматгиз, 1961. – 312 с.
2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям уравнений в частных разностях второго порядка //
Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 203 – 268.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
БЛОЧНI МАТРИЦI ТИПУ ЯКОБI, ЩО ВIДПОВIДАЮТЬ ДВОВИМIРНIЙ ПРОБЛЕМI МОМЕНТIВ . . . 505
3. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев: Наук. думка,
1965. – 450 с.
4. Березанский Ю. М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе. – Киев: Наук.
думка, 1988. – 800 с.
5. Бeрeзанский Ю. M., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ: Курс лекций. – Київ: Вища шк., 1990. –
600 с.
6. Berezansky Yu. M. Spectral theory of commutative Jacobi fields: direct and inverse problems // Fields Inst. Commun. –
2000. – 25. – P. 211 – 224.
7. Berezansky Yu. M. Some generalizations of the classical moment problem // Integr. Equat. Oper. Theory. – 2002. –
44. – P. 255 – 289.
8. Березанский Ю. М. Обобщенная проблема моментов, связанная с корреляционными мерами // Функцион.
анализ и прил. – 2003. – 37, № 4. – С. 86 – 91.
9. Berezansky Yu. M., Dudkin M. E. The complex moment problem in the exponential form // Meth. Funct. Anal. and
Top. – 2004. – № 4. – P. 1 – 10.
10. Berezansky Yu. M., Dudkin M. E. The direct and inverse spectral problems for the block Jacobi type unitary matrices
// Meth. Funct. Anal. and Top. – 2005. – 11, № 4. – P. 327 – 345.
11. Berezansky Yu. M., Dudkin M. E. The complex moment problem and direct and inverse spectral problems for the
block Jacobi type bounded normal matrices // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2006. – 12, № 1. – P. 1 – 32.
12. Berezansky Yu. M., Mierzejewski D. A. The investigation of generalized moment problem associated with correlation
measures // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2007. – 13, № 2. – P. 124 – 151.
13. Березанский Ю. М., Мохонько А. А. Интегрирование некоторых дифференциально-разностных нелинейных
уравнений с помощью спектральной теории блочных якобиевых нормальных матриц // Функцион. анализ и
прил. – 2008. – 42, № 1. – С. 1 – 21.
14. Derevyagin M. S., Derkach V. A. Spectral problems for generalized Jacobi matrices // Linear Algebra and Appl. –
2004. – 384. – P. 1 – 24.
15. Деревягин М. С., Деркач В. А. О сходимости аппроксимаций Паде обобщенных неванлиновских функций //
Тр. Моск. мат. о-ва. – 2007. – 68. – С. 135 – 184.
16. Dudkin M. E. The exact inner structure of the block Jacobi type unitary matrices connected with the corresponding
direct and inverse spectral problems matrices // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2008. – 14, № 2. – P. 168 – 176.
17. Dudkin M. E., Kozak V. I. Direct and inverse spectral problems for the block Jacobi type bounded symmetric matrices
related to the two dimensional real moment problem // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2014. – 21, № 3. – P. 219 – 251.
18. Дюкарев Ю. М. О дефектных числах симметрических операторов, порожденных блочными матрицами Якоби
// Мат. сб. – 2006. – № 8. – С. 73 – 100.
19. Крейн М. Г. Бесконечные J-матрицы и матричная проблема моментов // Докл. АН СССР. – 1949. – 69. № 2. –
С. 125 – 128.
20. Simon B. The classical moment problem as a self-adjoint finite differential operator // Adv. Math. – 1998. – 137. –
P. 82 – 203.
21. Simon B. Orthogonal polynomials on the unite circle. – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005. – Pts 1 and 2.
22. Simonov K. K. Strong matrix moment problem of Hamburger // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2006. – 12, № 2. – P.
183 – 196.
23. Симонов К. К. Ортогональные матричные полиномы Лорана // Мат. заметки. – 2006. – 79, № 2. – С. 316 – 320.
24. Симонов К. К. Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси // Укр. мат. вестн. – 2006. –
3, № 2. – С. 275 – 299.
25. Суетин П. К. Ортогональные многочлены по двум переменным. – М.: Наука, 1988. – 384 с.
Одержано 30.03.15,
пiсля доопрацювання — 25.11.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1855 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:00Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/93/d6ee6a5e9aa4798354d06270d9a50993.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18552019-12-05T09:29:54Z Jacobi-type block matrices corresponding to the two-dimensional moment problem: polynomials of the second kind and Weyl function Блочні матриці типу Якобі, що відповідають двовимірній проблемі моментів: поліноми другого роду та функція Вейля Dudkin, M. Ye. Kozak, V. I. Дудкін, М. Є. Козак, В. І. We continue our investigations of Jacobi-type symmetric matrices corresponding to the two-dimensional real power moment problem. We introduce polynomials of second kind and the corresponding analog of the Weyl function. Продолжены начатые авторами ранее исследования симметричных матриц типа Якоби, соответствующих двумерной действительной проблеме моментов. Введены полиномы второго рода и соответствующий аналог функции Вейля. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1855 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 4 (2016); 495-505 Український математичний журнал; Том 68 № 4 (2016); 495-505 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1855/837 Copyright (c) 2016 Dudkin M. Ye.; Kozak V. I. |
| spellingShingle | Dudkin, M. Ye. Kozak, V. I. Дудкін, М. Є. Козак, В. І. Jacobi-type block matrices corresponding to the two-dimensional moment problem: polynomials of the second kind and Weyl function |
| title | Jacobi-type block matrices corresponding to the two-dimensional moment problem: polynomials of the second kind and Weyl function |
| title_alt | Блочні матриці типу Якобі, що відповідають двовимірній проблемі моментів: поліноми другого роду та функція Вейля |
| title_full | Jacobi-type block matrices corresponding to the two-dimensional moment problem: polynomials of the second kind and Weyl function |
| title_fullStr | Jacobi-type block matrices corresponding to the two-dimensional moment problem: polynomials of the second kind and Weyl function |
| title_full_unstemmed | Jacobi-type block matrices corresponding to the two-dimensional moment problem: polynomials of the second kind and Weyl function |
| title_short | Jacobi-type block matrices corresponding to the two-dimensional moment problem: polynomials of the second kind and Weyl function |
| title_sort | jacobi-type block matrices corresponding to the two-dimensional moment problem: polynomials of the second kind and weyl function |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1855 |
| work_keys_str_mv | AT dudkinmye jacobitypeblockmatricescorrespondingtothetwodimensionalmomentproblempolynomialsofthesecondkindandweylfunction AT kozakvi jacobitypeblockmatricescorrespondingtothetwodimensionalmomentproblempolynomialsofthesecondkindandweylfunction AT dudkínmê jacobitypeblockmatricescorrespondingtothetwodimensionalmomentproblempolynomialsofthesecondkindandweylfunction AT kozakví jacobitypeblockmatricescorrespondingtothetwodimensionalmomentproblempolynomialsofthesecondkindandweylfunction AT dudkinmye bločnímatricítipuâkobíŝovídpovídaûtʹdvovimírníjproblemímomentívpolínomidrugogorodutafunkcíâvejlâ AT kozakvi bločnímatricítipuâkobíŝovídpovídaûtʹdvovimírníjproblemímomentívpolínomidrugogorodutafunkcíâvejlâ AT dudkínmê bločnímatricítipuâkobíŝovídpovídaûtʹdvovimírníjproblemímomentívpolínomidrugogorodutafunkcíâvejlâ AT kozakví bločnímatricítipuâkobíŝovídpovídaûtʹdvovimírníjproblemímomentívpolínomidrugogorodutafunkcíâvejlâ |