Sufficient conditions for the existence of the $\upsilon$ -density for zeros of entire function of order zero
We select the subclasses of zero-order entire functions $f$ for which we present sufficient conditions for the existence of $\upsilon$ -density for zeros of $f$ in terms of the asymptotic behavior of the logarithmic derivative F and regular growth of the Fourier coefficients of $F$.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1856 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507733163245568 |
|---|---|
| author | Zabolotskii, N. V. Mostova, M. R. Заболоцький, М. В. Мостова, М. Р. |
| author_facet | Zabolotskii, N. V. Mostova, M. R. Заболоцький, М. В. Мостова, М. Р. |
| author_sort | Zabolotskii, N. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:54Z |
| description | We select the subclasses of zero-order entire functions $f$ for which we present sufficient conditions for the existence of $\upsilon$ -density for zeros of $f$ in terms of the asymptotic behavior of the logarithmic derivative F and regular growth of the
Fourier coefficients of $F$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
М. В. Заболоцький, М. Р. Мостова (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ДОСТАТНI УМОВИ IСНУВАННЯ КУТОВОЇ \bfitupsilon -ЩIЛЬНОСТI НУЛIВ
ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ НУЛЬОВОГО ПОРЯДКУ
We select the subclasses of zero-order entire functions f for which we present sufficient conditions for the existence of
\upsilon -density for zeros of f in terms of the asymptotic behavior of the logarithmic derivative F and regular growth of the
Fourier coefficients of F .
Выделены подклассы целых функций f нулевого порядка, для которых в терминах асимптотического поведения
логарифмической производной F и регулярного роста коэффициентов Фурье F приведены достаточные условия
существования \upsilon -плотности нулей f .
1. Вступ. Нехай f — цiла функцiя скiнченного додатного порядку \rho , 0 < \rho < +\infty , \rho (r) — її
уточнений порядок [1, с. 47, 48, 69]. Цiлу функцiю f називаємо функцiєю цiлком регулярного
зростання (ц. р. зр.) в розумiннi Левiна – Пфлюгера [1, с. 183], якщо iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\ast
z\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{n} | f(rei\theta )|
r\rho (r)
= hf (\theta )
для всiх \theta \in [0, 2\pi ]. Тут \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\ast
z\rightarrow \infty означає, що z = rei\theta \rightarrow \infty , z /\in E, де E — деяка C1
0 -множина.
Клас функцiй ц. р. зр. позначатимемо через H\ast
+(\rho (r)). Будемо говорити, що множина E \subset \BbbC є
C\alpha
0 -множиною, 0 < \alpha \leq 2, i писати E \in C\alpha
0 , якщо її можна покрити злiченною послiдовнiстю
кругiв \{ z : | z - zj | < rj\} , j = 1, 2, . . . , zj \rightarrow \infty , таких, що
\sum
| zj | \leq rr
\alpha
j = o(r\alpha ), r \rightarrow +\infty .
Вiдомо, що у випадку нецiлого порядку \rho ц. р. зр. функцiї f еквiвалентне iснуванню кутової
щiльностi її нулiв вiдносно функцiї порiвняння r\rho (r) [1, с. 119, 205].
Позначимо через F (z) = z
f \prime (z)
f(z)
логарифмiчну похiдну функцiї f . У [2, 3] показано, що f \in
\in H\ast
+(\rho (r)) тодi i лише тодi, коли iснують функцiя g \in L1[0, 2\pi ] i множина E\in C\alpha
0 , 1 < \alpha \leq 2,
такi, що
F (rei\theta ) = g(\theta )r\rho (r) + o(r\rho (r)), r \rightarrow +\infty , rei\theta /\in E.
Якщо для цiлої функцiї нульового порядку аналогiчно ввести поняття ц. р. зр., то, як
показано в [4], знайдеться така множина E \in C1
0 , що
\mathrm{l}\mathrm{n} | f(rei\theta )| = N(r, 0, f) + o(r\rho (r)), r \rightarrow +\infty , rei\theta /\in E,
де N(r, 0, f) = N(r) =
\int r
1
n(t)/t dt, n(r) = n(r, 0, f) — кiлькiсть нулiв f у крузi \{ z : | z| \leq r\} .
Звiдси видно, що ц. р. зр. функцiї f не залежить вiд аргументiв її нулiв, а тiльки вiд їх модулiв. У
[5] було введено поняття сильно регулярного зростання (с. р. зр.) для цiлих функцiй нульового
порядку, яке має властивостi, подiбнi до властивостей цiлих функцiй ц. р. зр.
Нехай L — клас невiд’ємних неспадних необмежених неперервно диференцiйовних на
[0,+\infty ) функцiй \upsilon таких, що r\upsilon \prime (r)/\upsilon (r) \rightarrow 0 при 0 < r0 \leq r \rightarrow +\infty . Вiдомо [6, с. 15],
що з точнiстю до еквiвалентних функцiй клас L збiгається з класом повiльно зростаючих
функцiй. Через H0(\upsilon ), \upsilon \in L, позначимо клас цiлих функцiй f нульового порядку, для яких
0 < \Delta = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty n(r)/\upsilon (r) < +\infty . Не зменшуючи загальностi вважатимемо, що f(0) = 1.
c\bigcirc М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, М. Р. МОСТОВА, 2016
506 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ДОСТАТНI УМОВИ IСНУВАННЯ КУТОВОЇ \upsilon -ЩIЛЬНОСТI НУЛIВ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ . . . 507
Будемо говорити, що нулi f \in H0(\upsilon ), \upsilon \in L, мають кутову \upsilon -щiльнiсть, якщо iснує границя
\Delta (\alpha , \beta ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
n(r, \alpha , \beta )
\upsilon (r)
для всiх \alpha i \beta , що не належать деякiй не бiльш нiж злiченнiй множинi з [0, 2\pi ]. Тут n(r, \alpha , \beta ) —
кiлькiсть нулiв an функцiї f , якi лежать у секторi \{ z : | z| \leq r, \alpha \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z < \beta \} , 0 \leq \alpha < \beta < 2\pi .
Теорема A [7]. Нехай \upsilon \in L, f \in H0(\upsilon ) i нулi функцiї f мають кутову \upsilon -щiльнiсть. Тодi
iснує така множина E \in C\alpha
0 , 1 < \alpha \leq 2, що
F (rei\theta ) = \Delta \upsilon (r) + o(\upsilon (r)) = n(r) + o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty , rei\theta /\in E. (1)
Зауваження. У статтi [7] наведено приклад цiлої функцiї f \in H0(\upsilon ) такої, що
F (z) = n(r) + o(1), r \rightarrow +\infty , z /\in E, E \in C2
0 ,
i нулi f не мають кутової \upsilon -щiльностi.
Позначимо через ck(r, F ) коефiцiєнти Фур’є функцiї F, \Omega = \{ | an| : n \in \BbbN \} , де an — нулi
f \in H0(\upsilon ).
Теорема B [7]. Нехай \upsilon \in L, f \in H0(\upsilon ) i виконується спiввiдношення (1). Тодi iснує
множина E \subset \BbbR +, mes\{ E \cap [0, r)\} /r \rightarrow 0, r \rightarrow +\infty , така, що для k \in \BbbZ iснують границi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
c0(r, F )
\upsilon (r)
= \Delta , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty ,r /\in E
ck(r, F )
\upsilon (r)
= 0, k \not = 0. (2)
У теоремах А, В спiввiдношення (1), (2) є необхiдними умовами для iснування кутової
\upsilon -щiльностi нулiв f . У цiй статтi буде видiлено пiдкласи цiлих функцiй f класу H0(\upsilon ), для
яких в термiнах логарифмiчної похiдної та у термiнах коефiцiєнтiв Фур’є функцiї F вказано
достатнi умови для iснування кутової \upsilon -щiльностi нулiв f.
2. Формулювання основних результатiв. Позначимо через
\Gamma m =
m\bigcup
j=1
\{ z : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z=\theta j\} =
m\bigcup
j=1
l\theta j , - \pi \leq \theta 1 < \theta 2 < . . . < \theta m < \pi ,
скiнченну систему променiв, n(r, \theta j ; f) = n(r, \theta j) — кiлькiсть нулiв функцiї f \in H0(\upsilon ), що
лежать на променi l\theta j = \{ z : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z = \theta j\} , модулi яких не перевищують r. Нехай hj(\theta ) =
= (\theta - \pi - \theta j), \theta j < \theta < \theta j + 2\pi , а \widehat hj(\theta ) — її перiодичне продовження з (\theta j , \theta j + 2\pi ) на \BbbR ,
j = 1,m. Для \widetilde \upsilon \in L покладемо
\upsilon (r) =
r\int
0
\widetilde \upsilon (t)
t
dt.
Легко бачити, що \upsilon \in L i \widetilde \upsilon (r) = o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty .
Теорема 1. Нехай \widetilde \upsilon \in L, f \in H0(\upsilon ), нулi функцiї f розташованi на скiнченнiй системi
променiв \Gamma m i для кожного j = 1,m
n(r, \theta j) = \Delta j\upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)), r \rightarrow +\infty . (3)
Тодi для \theta \not = \theta j
F (rei\theta ) = \Delta \upsilon (r) + iHf (\theta )\widetilde \upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)), r \rightarrow +\infty ,
де \Delta =
\sum m
j=1
\Delta j , Hf (\theta ) =
\sum m
j=1
\Delta j
\widehat hj(\theta ), \Delta j \geq 0, j = 1,m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
508 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, М. Р. МОСТОВА
Теорема 2. Нехай G \in L1[0, 2\pi ], \Delta > 0, \widetilde \upsilon \in L, f \in H0(\upsilon ), нулi функцiї f розташованi на
скiнченнiй системi променiв \Gamma m i
F (rei\theta ) = \Delta \upsilon (r) + iG(\theta )\widetilde \upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)), r \rightarrow +\infty . (4)
Тодi нулi f мають кутову \upsilon -щiльнiсть, причому для всiх \alpha , \beta \in [ - \pi , \pi )\setminus
\Bigl\{ \bigcup m
j=1
\theta j
\Bigr\}
виконується
\Delta (\alpha , \beta ) =
1
2\pi
(G(\alpha ) - G(\beta ) + \Delta (\beta - \alpha )) . (5)
Теорема 3. Нехай \widetilde \upsilon \in L, f \in H0(\upsilon ), нулi функцiї f розташованi на скiнченнiй системi
променiв \Gamma m i виконуються спiввiдношення (3). Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
c0(r, F ) - \Delta \upsilon (r)\widetilde \upsilon (r) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty ,r /\in \Omega
ck(r, F )\widetilde \upsilon (r) = \delta k, k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} ,
де \delta k = - 1
k
\sum m
j=1
\Delta je
- ik\theta j .
Теорема 4. Нехай \widetilde \upsilon \in L, f \in H0(\upsilon ), нулi функцiї f розташованi на скiнченнiй системi
променiв \Gamma m i для m послiдовних цiлих чисел k = k0, k0 +m - 1, k0 \in \BbbZ , iснують границi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
c0(r, F )
\upsilon (r)
= \Delta , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty ,r /\in \Omega
ck(r, F )\widetilde \upsilon (r) = \delta k, k \not = 0. (6)
Тодi нулi функцiї f мають кутову \upsilon -щiльнiсть.
3. Допомiжнi результати. При доведеннi теорем 1 – 4 використовуватимемо результати,
якi сформулюємо у виглядi лем.
Лема 1. Нехай \upsilon \in L, \varepsilon — довiльна неперервна на [0,+\infty ) функцiя така, що \varepsilon (r) \rightarrow 0 при
r \rightarrow +\infty . Тодi для z = rei\theta , - \pi < \theta < \pi ,
z
+\infty \int
0
\varepsilon (t)\upsilon (t)
(t+ z)2
dt = o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty .
Покладемо ak(r) =
\int r
0
tk\widetilde \upsilon (t)dt, bk(r) = \int +\infty
r
t - k - 2\widetilde \upsilon (t)dt, \widetilde \upsilon \in L.
Лема 2. Нехай \widetilde \upsilon \in L. Тодi для z = rei\theta , - \pi < \theta < \pi , виконується
z
r\int
0
\upsilon (t)
(t+ z)2
dt =
1
1 + ei\theta
\upsilon (r) + \Sigma 1, (7)
z
+\infty \int
r
\upsilon (t)
(t+ z)2
dt =
ei\theta
1 + ei\theta
\upsilon (r) + \Sigma 2, (8)
де \Sigma 1 = -
\sum +\infty
k=0
( - 1)kak(r)
zk+1
, \Sigma 2 =
\sum +\infty
k=0
( - 1)kzk+1bk(r).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ДОСТАТНI УМОВИ IСНУВАННЯ КУТОВОЇ \upsilon -ЩIЛЬНОСТI НУЛIВ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ . . . 509
Лема 3. Нехай \widetilde \upsilon \in L, \Sigma 1 i \Sigma 2 такi, як у лемi 2. Тодi для z = rei\theta , - \pi < \theta < \pi ,
\Sigma 1 +\Sigma 2 = i\theta \widetilde \upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)), r \rightarrow +\infty . (9)
Доведення лем 1 – 3 проводяться за схемою доведення вiдповiдних тверджень iз робiт [8, 9].
Нагадаємо, що множина E \subset \BbbR + називається E0-множиною, якщо E — вимiрна множина i
mes(E \cap [0, r]) = o(r), r \rightarrow +\infty . З результатiв роботи [5] отримуємо наступне твердження.
Лема 4. Нехай \upsilon \in L, f \in H0(\upsilon ). Тодi iснує E0-множина E така, що для довiльного \delta > 0
r
\theta +\delta \int
\theta - \delta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (rei\varphi )
f(rei\varphi )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\varphi = O(\upsilon (r))
\biggl(
\delta + \delta \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
1
\delta
\biggr) \biggr)
, r \rightarrow +\infty , r /\in E.
Нехай an = | an| ei\alpha n — нулi f \in H0(\upsilon ). Покладемо nk(r) =
\sum
| an| \leq r
e - ik\alpha n , k \in \BbbZ .
Лема 5 [7, 10]. Нехай \upsilon \in L, f \in H0(\upsilon ). Тодi
ck(r, F ) = nk(r) - krk
+\infty \int
r
nk(t)
tk+1
dt, ck(r, \mathrm{l}\mathrm{n} f) = - rk
+\infty \int
r
nk(t)
tk+1
dt, k \in \BbbN ,
ck(r, F ) = nk(r) + krk
r\int
0
nk(t)
tk+1
dt, ck(r, \mathrm{l}\mathrm{n} f) = rk
r\int
0
nk(t)
tk+1
dt, k \in \BbbZ - ,
c0(r, F ) = n(r, 0, f) = n(r).
Лема 6 [6, с. 63 – 66]. Нехай \upsilon \in L. Тодi для k \in \BbbN
rk
+\infty \int
r
\upsilon (t)
tk+1
dt =
1
k
\upsilon (r) + o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty ,
r - k
r\int
0
\upsilon (t)
t - k+1
dt =
1
k
\upsilon (r) + o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty .
Лема 7. Нехай \upsilon \in L, \varepsilon (t) — локально iнтегровна на [1,+\infty ), \varepsilon (t) \rightarrow 0 при t \rightarrow +\infty . Тодi
для k \in \BbbN
rk
+\infty \int
r
\varepsilon (t)\upsilon (t)
tk+1
dt = o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty ,
r - k
r\int
0
\varepsilon (t)\upsilon (t)
t - k+1
dt = o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
510 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, М. Р. МОСТОВА
Для невiд’ємної локально iнтегровної на [1,+\infty ) функцiї \gamma покладемо
Ik(r; \gamma ) =
\left\{
- rk
+\infty \int
r
\gamma (t)
tk+1
dt, k \in \BbbN ,
rk
r\int
1
\gamma (t)
tk+1
dt, k = - 1, - 2, . . . ,
Jk(r; \gamma 1, . . . , \gamma m) =
m\sum
p=1
akpIk(r; \gamma p), k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} , J0(r; \gamma 1, . . . , \gamma m) =
m\sum
p=1
\gamma p(r),
де akp \in \BbbC , a0p = 1, p = 1,m.
Лема 8. Нехай \scrI = \{ k1, k2, . . . , km\} \in \BbbZ m, \widetilde Jk(r; \gamma 1, . . . , \gamma m) = rJ \prime
k(r; \gamma 1, . . . , \gamma m) -
- k Jk(r; \gamma 1, . . . , \gamma m), k \in \scrI , де Jk(r; \gamma 1, . . . , \gamma m) такi, як вище, i матриця A = (akp), k \in \scrI ,
1 \leq p \leq m, є невиродженою. Тодi iснують bkp \in \BbbC такi, що
\gamma p(r) =
\sum
k\in \scrI
bkp \widetilde Jk(r; \gamma 1, . . . , \gamma m), p = 1,m. (10)
Доведення. Для k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} маємо
rJ \prime
k(r; \gamma 1, . . . , \gamma m) =
m\sum
p=1
akp(kIk(r; \gamma p) + \gamma p(r)) = kJk(r; \gamma 1, . . . , \gamma m) +
m\sum
p=1
akp\gamma p(r).
Звiдси
m\sum
p=1
akp\gamma p(r) = \widetilde Jk(r; \gamma 1, . . . , \gamma m), k \in \scrI ,
де
a0p = 1, p = 1,m, \widetilde J0(r; \gamma 1, . . . , \gamma m) = J0(r; \gamma 1, . . . , \gamma m),
\widetilde Jk(r; \gamma 1, . . . , \gamma m) = rJ \prime
k(r; \gamma 1, . . . , \gamma m) - kJk(r; \gamma 1, . . . , \gamma m).
Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A \not = 0, то, обчисливши bkp за правилом Крамера, отримуємо (10), а отже, лему
доведено.
4. Доведення результатiв. Нехай \Gamma m — скiнченна система променiв така, як вище, \widetilde l\theta j =
= \{ z : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z = \theta j , | z| \geq rj > 0\} , де rj — найменший модуль нуля, що лежить на променi l\theta j ,
j = 1,m, D = \BbbC \setminus
\Bigl( \bigcup m
j=1
\widetilde l\theta j\Bigr) — однозв’язна область. Через \mathrm{l}\mathrm{n} f позначимо однозначну гiлку
функцiї Ln f в областi D таку, що \mathrm{l}\mathrm{n} f(0) = 0. Легко бачити, що
\mathrm{l}\mathrm{n} f(z) =
z\int
0
f \prime (w)
f(w)
dw, z \in D,
де iнтеграл береться вздовж вiдрiзка [0, z].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ДОСТАТНI УМОВИ IСНУВАННЯ КУТОВОЇ \upsilon -ЩIЛЬНОСТI НУЛIВ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ . . . 511
Доведення теореми 1. Нехай \widetilde \upsilon \in L, f \in H0(\upsilon ), нулi функцiї f розташованi на вiд’ємному
променi l - \pi , тобто
f(z) =
+\infty \prod
k=1
\biggl(
1 +
z
ak
\biggr)
,
де 0 < an \nearrow +\infty . Якщо n(r, - \pi ) = n(r) = \upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)), r \rightarrow +\infty , то для z = rei\theta ,
- \pi < \theta < \pi , маємо \mathrm{l}\mathrm{n} f(z) =
\sum +\infty
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
z
ak
\biggr)
i
F (z) = z
f \prime (z)
f(z)
= z
+\infty \sum
k=1
1
z + ak
= z
+\infty \int
0
1
z + t
dn(t) = z
+\infty \int
0
n(t)dt
(z + t)2
=
= z
+\infty \int
0
n(t) - \upsilon (t)
(z + t)2
dt+ z
+\infty \int
0
\upsilon (t)
(z + t)2
dt = I1 + I2. (11)
Враховуючи умову (3) та лему 1, для z = rei\theta , - \pi < \theta < \pi , отримуємо
I1 = z
+\infty \int
0
\varepsilon (t)\widetilde \upsilon (t)
(z + t)2
dt = o(\widetilde \upsilon (r)), r \rightarrow +\infty , (12)
де \varepsilon (r) = (n(r) - \upsilon (r))/\widetilde \upsilon (r) \rightarrow 0, r \rightarrow +\infty .
За лемою 2 маємо
I2 = z
r\int
0
\upsilon (t)
(z + t)2
dt+ z
+\infty \int
r
\upsilon (t)
(z + t)2
dt =
1
1 + ei\theta
\upsilon (r) +
ei\theta
1 + ei\theta
\upsilon (r) + \Sigma 1 +\Sigma 2 =
= \upsilon (r) + \Sigma 1 +\Sigma 2, (13)
де \Sigma 1, \Sigma 2 такi, як у (7), (8).
З рiвностей (9), (11) – (13) отримуємо
F (z) = \upsilon (r) + i\theta \widetilde \upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)), z \rightarrow \infty .
У випадку, коли нулi функцiї f лежать на променi l\theta j = \{ z : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z = \theta j\} , - \pi < \theta j < \pi , для
\theta j < \theta < 2\pi + \theta j i n(r, \theta j) = \Delta j\upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)), r \rightarrow +\infty , одержуємо (\Delta j \geq 0)
F (rei\theta ) = \Delta j\upsilon (r)+ i\Delta j(\theta - \theta j - \pi )\widetilde \upsilon (r)+ o(\widetilde \upsilon (r)) = \Delta j\upsilon (r)+ i\Delta jhj(\theta )\widetilde \upsilon (r)+ o(\widetilde \upsilon (r)), z \rightarrow \infty .
Нехай f задовольняє умови теореми 1, тобто нулi функцiї f розташованi на скiнченнiй
системi променiв \Gamma m i виконується (3). Запишемо f у виглядi добутку f = f1 . . . fm, де fj —
цiла функцiя з нулями на променi l\theta j . Тодi для z \in D маємо \mathrm{l}\mathrm{n} f(z) = \mathrm{l}\mathrm{n} f1(z) + . . .+ \mathrm{l}\mathrm{n} fm(z)
i, використавши останнє спiввiдношення для \theta \in [ - \pi , \pi ) \setminus
\Bigl\{ \bigcup m
j=1
\theta j
\Bigr\}
, отримуємо
F (rei\theta ) = rei\theta
m\sum
j=1
f \prime
j(re
i\theta )
fj(rei\theta )
= \Delta \upsilon (r) + i
m\sum
j=1
\Delta j
\widehat hj(\theta )\widetilde \upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)), r \rightarrow +\infty ,
де \widehat hj(\theta ) такi, як вище.
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
512 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, М. Р. МОСТОВА
Доведення теореми 2. Нехай \widetilde \upsilon \in L, f \in H0(\upsilon ), нулi функцiї f лежать на системi променiв
\Gamma m. Покладемо Sr(\alpha , \beta ) = \{ z : | z| \leq r, \alpha \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z \leq \beta \} , - \pi \leq \theta 1 < . . . < \theta k0 - 1 < \alpha < \theta k0 < . . .
. . . < \theta l0 < \beta < \theta l0+1 < . . . < \theta m < \pi , r /\in \Omega , \partial S+
r (\alpha , \beta ) = Ir(\alpha )
\bigcup
Cr(\alpha , \beta )
\bigcup
I - r (\beta ) — додатна
орiєнтацiя межi сектора Sr(\alpha , \beta ), де
Ir(\alpha ) = \{ z1(t) = tei\alpha , 0 \leq t \leq r\} , Ir(\beta ) = \{ z2(t) = tei\beta , 0 \leq t \leq r\} ,
Cr(\alpha , \beta ) = \{ z3(t) = reit, \alpha \leq t \leq \beta \} .
Нехай z = \widetilde f(t), a \leq t \leq b, — однозначна гiлка багатозначної функцiї Arg f(z) на кривiй
\partial S+
r (\alpha , \beta ). Тодi за принципом аргументу функцiї f маємо
n(r, \alpha , \beta ) =
1
2\pi
\Delta \partial S+
r (\alpha ,\beta )
\widetilde f(t) = 1
2\pi
\Bigl(
\Delta Ir(\alpha )
\widetilde f(t) + \Delta Cr(\alpha ,\beta )
\widetilde f(t) - \Delta Ir(\beta )
\widetilde f(t)\Bigr) . (14)
Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{n} f(z) = \mathrm{l}\mathrm{n} | f(z)| + i \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(z) — аналiтична функцiя в областi D, то з умов Кошi –
Рiмана випливає, що
\partial \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(rei\theta )
\partial r
= - 1
r
\partial \mathrm{l}\mathrm{n} | f(rei\theta )|
\partial \theta
= - 1
r
Re
\biggl(
\partial \mathrm{l}\mathrm{n} f(rei\theta )
\partial \theta
\biggr)
=
1
r
Im F (rei\theta ).
За умови (4) отримуємо (\widetilde \upsilon (t) = t\upsilon \prime (t))
\Delta Ir(\alpha )
\widetilde f(t) = \Delta Ir(\alpha ) \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(z1(t)) =
r\int
0
\partial \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(tei\alpha )
\partial t
dt =
r\int
0
1
t
Im F (tei\alpha )dt =
=
r\int
0
\bigl(
G(\alpha )\upsilon \prime (t) + o(\upsilon \prime (t))
\bigr)
dt = G(\alpha )\upsilon (r) + o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty , (15)
i, аналогiчно,
\Delta Ir(\beta )
\widetilde f(t) = G(\beta )\upsilon (r) + o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty . (16)
Оскiльки завдяки умовам Кошi – Рiмана виконується
\partial \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(rei\theta )
\partial \theta
=r
\partial \mathrm{l}\mathrm{n} | f(rei\theta )|
\partial r
=rRe
\biggl(
\partial \mathrm{l}\mathrm{n} f(rei\theta )
\partial r
\biggr)
=Re F (rei\theta ),
то
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(rei\theta )
\partial \theta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (rei\theta )
f(rei\theta )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
З останньої нерiвностi та леми 4 випливає, що iснує E0-множина E така, що для \delta > 0
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta Cr(\theta j - \delta ,\theta j+\delta )
\widetilde f(t)\bigm| \bigm| \bigm| \leq r
\theta j+\delta \int
\theta j - \delta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (reit)
f(reit)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt = O (\upsilon (r))
\biggl(
\delta + \delta \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
1
\delta
\biggr) \biggr)
, r \rightarrow +\infty , r /\in E.
Покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ДОСТАТНI УМОВИ IСНУВАННЯ КУТОВОЇ \upsilon -ЩIЛЬНОСТI НУЛIВ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ . . . 513
Cr(\delta ) = Cr(\alpha , \theta k0 - \delta )
\bigcup \left( l0\bigcup
j=k0
Cr(\theta j + \delta , \theta j+1 - \delta )
\right) \bigcup
Cr(\theta l0 + \delta , \beta )
i нехай
0<\delta <\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
\theta k0 - \alpha
2
,
\beta - \theta l0
2
,
\theta j+1 - \theta j
2
\biggr\}
, де j = k0, l0 - 1.
Тодi
\Delta Cr(\delta )
\widetilde f(t) = \Delta Cr(\delta ) \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(z3(t)) =
\left( \theta k0 - \delta \int
\alpha
+
l0 - 1\sum
j=k0
\theta j+1 - \delta \int
\theta j+\delta
+
\beta \int
\theta l0+\delta
\right) \partial \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(z3(t))
\partial t
dt =
=
\left( \theta k0 - \delta \int
\alpha
+
l0 - 1\sum
j=k0
\theta j+1 - \delta \int
\theta j+\delta
+
\beta \int
\theta l0+\delta
\right) ReF (reit)dt =
=
\left( \theta k0 - \delta \int
\alpha
+
l0 - 1\sum
j=k0
\theta j+1 - \delta \int
\theta j+\delta
+
\beta \int
\theta l0+\delta
\right) (\Delta \upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)))dt =
= \Delta (\beta - \alpha - 2\delta (l0 - k0 + 1))\upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)), r \rightarrow +\infty ,
а отже,
\Delta Cr(\alpha ,\beta )
\widetilde f(t) = \Delta Cr(\delta )
\widetilde f(t) + l0\sum
j=k0
\Delta Cr(\theta j - \delta ,\theta j+\delta )
\widetilde f(t) = \Delta (\beta - \alpha - 2\delta (l0 - k0 + 1))\upsilon (r)+
+O (\upsilon (r))
\biggl(
\delta + \delta \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
1
\delta
\biggr) \biggr)
+ o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty , r /\in E. (17)
З (14) – (17), спрямовуючи \delta до нуля, маємо
n(r, \alpha , \beta ) =
1
2\pi
(G(\alpha ) - G(\beta ) + \Delta (\beta - \alpha )) \upsilon (r) + o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty , r /\in E.
Нехай r \in E \cup \Omega . Тодi iснують такi r\prime , r\prime \prime , що r/2 < r\prime < r < r\prime \prime < 2r, r\prime /\in E, r\prime \prime /\in E.
Оскiльки
n(r\prime , \alpha , \beta )
\upsilon (r\prime )
\upsilon (r\prime )
\upsilon (r)
\leq n(r, \alpha , \beta )
\upsilon (r)
\leq n(r\prime \prime , \alpha , \beta )
\upsilon (r\prime \prime )
\upsilon (r\prime \prime )
\upsilon (r)
,
\upsilon (r\prime ) \sim \upsilon (r\prime \prime ) \sim \upsilon (r), r \rightarrow +\infty ,
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
n(r, \alpha , \beta )
\upsilon (r)
=
1
2\pi
(G(\alpha ) - G(\beta ) + \Delta (\beta - \alpha )) ,
що доводить теорему 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
514 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, М. Р. МОСТОВА
Наслiдок. Нехай виконуються умови теореми 2 з
G(\theta ) =
m\sum
j=1
\Delta j
\widehat hj(\theta ), \Delta =
m\sum
j=1
\Delta j , \Delta j \geq 0.
Тодi
\Delta (\alpha , \beta ) =
l0\sum
j=k0
\Delta j ,
де - \pi \leq \theta 1 < . . . < \theta k0 - 1 < \alpha < \theta k0 < . . . < \theta l0 < \beta < \theta l0+1 < . . . < \theta m < \pi .
Доведення. Для \theta \in [ - \pi , \pi ) маємо
\widehat hj(\alpha ) = \Biggl\{
\alpha - \theta j - \pi , 1 \leq j \leq k0 - 1,
\alpha - \theta j + \pi , k0 \leq j \leq m,
\widehat hj(\beta ) = \Biggl\{
\beta - \theta j - \pi , 1 \leq j \leq l0,
\beta - \theta j + \pi , l0 + 1 \leq j \leq m.
Звiдси завдяки (5) отримуємо
\Delta (\alpha , \beta ) =
1
2\pi
m\sum
j=1
\Delta j(\widehat hj(\alpha ) - \widehat hj(\beta ) + (\beta - \alpha )) =
1
2\pi
\left( k0 - 1\sum
j=1
\Delta j(\alpha - \theta j - \pi )+
+
m\sum
j=k0
\Delta j(\alpha - \theta j + \pi ) -
l0\sum
j=1
\Delta j(\beta - \theta j - \pi ) -
m\sum
j=l0+1
\Delta j(\beta - \theta j + \pi ) + \Delta (\beta - \alpha )
\right) =
=
1
2\pi
\left( k0 - 1\sum
j=1
\Delta j(\alpha - \beta ) +
l0\sum
j=k0
\Delta j(\alpha - \beta + 2\pi ) +
m\sum
j=l0+1
\Delta j(\alpha - \beta ) - \Delta (\alpha - \beta )
\right) =
=
1
2\pi
\left( \Delta (\alpha - \beta ) + 2\pi
l0\sum
j=k0
- \Delta (\alpha - \beta )
\right) =
l0\sum
j=k0
\Delta j .
Доведення теореми 3. Оскiльки
nk(r) =
m\sum
j=1
e - ik\theta jn(r, \theta j) =
\left( m\sum
j=1
\Delta je
- ik\theta j
\right) \upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)) = - k\delta k\upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)),
n0(r) = n(r) = \Delta \upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)), r \rightarrow +\infty ,
то за лемами 5 – 7 для k > 0 маємо
ck(r, F ) = - k\delta k\upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)) + k2\delta kr
k
+\infty \int
r
\upsilon (t) + o(\widetilde \upsilon (r))
tk+1
dt = - k\delta k\upsilon (r) + k2\delta kr
k\times
\times
\left( \upsilon (r)
krk
+
+\infty \int
r
t\upsilon \prime (t)
ktk+1
dt
\right) + o(\widetilde \upsilon (r)) = k\delta kr
k
+\infty \int
r
\widetilde \upsilon (t)
tk+1
dt+ o(\widetilde \upsilon (r)) = \delta k\widetilde \upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r))
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ДОСТАТНI УМОВИ IСНУВАННЯ КУТОВОЇ \upsilon -ЩIЛЬНОСТI НУЛIВ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ . . . 515
при r \rightarrow +\infty , r /\in \Omega i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
c0(r, F ) - \Delta \upsilon (r)\widetilde \upsilon (r) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
n(r) - \Delta \upsilon (r)\widetilde \upsilon (r) = 0.
Аналогiчно, для k < 0 отримуємо ck(r, F ) = \delta k\widetilde \upsilon (r) + o(\widetilde \upsilon (r)), r \rightarrow +\infty .
Доведення теореми 4. Не зменшуючи загальностi вважаємо, що умови теореми виконано
для k0 = 0. Оскiльки для коефiцiєнтiв Фур’є ck(r, \mathrm{l}\mathrm{n} f) функцiї \mathrm{l}\mathrm{n} f справджуються рiвностi
ck(r, \mathrm{l}\mathrm{n} f) =
r\int
0
ck(t, F )
t
dt, k \in \BbbZ ,
то з умов (6) одержуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty ,r /\in \Omega
ck(r, \mathrm{l}\mathrm{n} f)
\upsilon (r)
= \delta k, k = 1,m - 1. (18)
За лемою 5 у випадку розташування нулiв на скiнченнiй системi променiв \Gamma m маємо
c0(r, F ) = J0(r;n(r, \theta 1), . . . , n(r, \theta m)),
ck(r, \mathrm{l}\mathrm{n} f) = Jk(r;n(r, \theta 1), . . . , n(r, \theta m)), k = 1,m - 1.
Оскiльки
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 1 . . . 1
e - i\theta 1 e - i\theta 2 . . . e - i\theta m
. . . .
e - i(m - 1)\theta 1 e - i(m - 1)\theta 2 . . . e - i(m - 1)\theta m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \not = 0,
то за лемою 8 отримуємо
n(r, \theta j) =
m - 1\sum
k=0
bkj \widetilde Jk(r;n(r, \theta 1, . . . , \theta m)), bkj \in \BbbC , j = 1,m. (19)
Завдяки умовам (6), (18) i спiввiдношенню \widetilde \upsilon (r) = o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty (k = 1,m - 1),
\widetilde Jk(r;n(r, \theta 1, . . . , \theta m)) = kck(r, \mathrm{l}\mathrm{n} f) - ck(r, F ) = (1 + o(1))k\delta k\upsilon (r) + o(\upsilon (r)), r \rightarrow +\infty ,
\widetilde J0(r;n(r, \theta 1, . . . , \theta m)) = J0(r;n(r, \theta 1, . . . , \theta m)) = (1 + o(1))\Delta \upsilon (r), r \rightarrow +\infty .
Звiдси з урахуванням спiввiдношень (19) отримуємо, що для j = 1,m iснують границi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
n(r, \theta j)
\upsilon (r)
= \Delta j ,
а отже, нулi функцiї f мають кутову \upsilon -щiльнiсть.
Теорему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
516 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, М. Р. МОСТОВА
Лiтература
1. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гостехиздат, 1956. – 632 с.
2. Гольдберг А. А., Коренков Н. Е. Асимптотика логарифмической производной целой функции вполне регуляр-
ного роста // Сиб. мат. журн. – 1980. – 21, № 3. – С. 63 – 79.
3. Гольдберг А. А., Строчик Н. Н. Асимптотическое поведение мероморфных функций вполне регулярного
роста и их логарифмических производных // Сиб. мат. журн. – 1985. – 26, № 6. – С. 29 – 38.
4. Гольдберг А. А., Заболоцкий Н. В. Индекс концентраций субгармонической функции нулевого порядка // Мат.
заметки. – 1983. – 34, № 2. – С. 227 – 236.
5. Заболоцкий Н. В. Сильно регулярный рост целых функций нулевого порядка // Мат. заметки. – 1998. – 63,
№ 2. – С. 196 – 208.
6. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 142 с.
7. Заболоцький М. В., Мостова М. Р. Логарифмiчна похiдна i кутова щiльнiсть нулiв цiлої функцiї нульового
порядку // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 4. – С. 473 – 481.
8. Заболоцький М. В. Теореми типу Валiрона та Валiрона – Тiтчмарша для цiлих функцiй нульового порядку //
Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 3. – С. 315 – 325.
9. Заболоцький М. В. Асимптотика логарифмiчної похiдної цiлої функцiї нульового порядку // Укр. мат. журн. –
1999. – 51, № 1. – С. 32 – 40.
10. Боднар О. В., Заболоцький М. В. Критерiї регулярностi зростання логарифма модуля та аргументу цiлої
функцiї // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 7. – С. 885 – 893.
Одержано 06.05.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1856 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:00Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5a/7354de400f0402825cb26a1a81a8a35a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18562019-12-05T09:29:54Z Sufficient conditions for the existence of the $\upsilon$ -density for zeros of entire function of order zero Достатні умови існування кутової $\upsilon$ -щільності нулів цілої функції нульового порядку Zabolotskii, N. V. Mostova, M. R. Заболоцький, М. В. Мостова, М. Р. We select the subclasses of zero-order entire functions $f$ for which we present sufficient conditions for the existence of $\upsilon$ -density for zeros of $f$ in terms of the asymptotic behavior of the logarithmic derivative F and regular growth of the Fourier coefficients of $F$. Выделены подклассы целых функций $f$ нулевого порядка, для которых в терминах асимптотического поведения логарифмической производной $F$ и регулярного роста коэффициентов Фурье $F$ приведены достаточные условия существования $\upsilon$ -плотности нулей $f$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1856 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 4 (2016); 506-516 Український математичний журнал; Том 68 № 4 (2016); 506-516 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1856/838 Copyright (c) 2016 Zabolotskii N. V.; Mostova M. R. |
| spellingShingle | Zabolotskii, N. V. Mostova, M. R. Заболоцький, М. В. Мостова, М. Р. Sufficient conditions for the existence of the $\upsilon$ -density for zeros of entire function of order zero |
| title | Sufficient conditions for the existence of the $\upsilon$ -density for zeros of entire function of order zero |
| title_alt | Достатні умови існування кутової $\upsilon$ -щільності нулів
цілої функції нульового порядку |
| title_full | Sufficient conditions for the existence of the $\upsilon$ -density for zeros of entire function of order zero |
| title_fullStr | Sufficient conditions for the existence of the $\upsilon$ -density for zeros of entire function of order zero |
| title_full_unstemmed | Sufficient conditions for the existence of the $\upsilon$ -density for zeros of entire function of order zero |
| title_short | Sufficient conditions for the existence of the $\upsilon$ -density for zeros of entire function of order zero |
| title_sort | sufficient conditions for the existence of the $\upsilon$ -density for zeros of entire function of order zero |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1856 |
| work_keys_str_mv | AT zabolotskiinv sufficientconditionsfortheexistenceoftheupsilondensityforzerosofentirefunctionoforderzero AT mostovamr sufficientconditionsfortheexistenceoftheupsilondensityforzerosofentirefunctionoforderzero AT zabolocʹkijmv sufficientconditionsfortheexistenceoftheupsilondensityforzerosofentirefunctionoforderzero AT mostovamr sufficientconditionsfortheexistenceoftheupsilondensityforzerosofentirefunctionoforderzero AT zabolotskiinv dostatníumoviísnuvannâkutovoíupsilonŝílʹnostínulívcíloífunkcíínulʹovogoporâdku AT mostovamr dostatníumoviísnuvannâkutovoíupsilonŝílʹnostínulívcíloífunkcíínulʹovogoporâdku AT zabolocʹkijmv dostatníumoviísnuvannâkutovoíupsilonŝílʹnostínulívcíloífunkcíínulʹovogoporâdku AT mostovamr dostatníumoviísnuvannâkutovoíupsilonŝílʹnostínulívcíloífunkcíínulʹovogoporâdku |