Global attractors of impulsive infinite-dimensional systems
We study the existence of global attractors in discontinuous infinite-dimensional dynamical systems, which may have trajectories with infinitely many impulsive perturbations. We also select a class of impulsive systems for which the existence of a global attractor is proved for weakly nonlinear para...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1857 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507733380300800 |
|---|---|
| author | Kapustyan, O. V. Perestyuk, N. A. Капустян, О. В. Перестюк, Н. А. Капустян, О. В. Перестюк, Н. А. |
| author_facet | Kapustyan, O. V. Perestyuk, N. A. Капустян, О. В. Перестюк, Н. А. Капустян, О. В. Перестюк, Н. А. |
| author_sort | Kapustyan, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:54Z |
| description | We study the existence of global attractors in discontinuous infinite-dimensional dynamical systems, which may have
trajectories with infinitely many impulsive perturbations. We also select a class of impulsive systems for which the
existence of a global attractor is proved for weakly nonlinear parabolic equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. В. Капустян, М. О. Перестюк (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ГЛОБАЛЬНI АТРАКТОРИ
IМПУЛЬСНИХ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ СИСТЕМ*
We study the existence of global attractors in discontinuous infinite-dimensional dynamical systems, which may have
trajectories with infinitely many impulsive perturbations. We also select a class of impulsive systems for which the
existence of a global attractor is proved for weakly nonlinear parabolic equations.
Исследуются глобальные аттракторы бесконечномерных рaзрывных динамических систем, которые могут иметь
траектории с бесконечным числом импульсных возмущений. Выделен класс импульсных систем, в котором для
слабонелинейного параболического уравнения доказано существование глобального аттрактора.
Вступ. Розривнi динамiчнi системи, тобто автономнi системи, що зазнають iмпульсних збу-
рень при досягненнi траєкторiєю деякої пiдмножини фазового простору, є важливим пiдкласом
систем з iмпульсним збуренням [1, 2]. Рiзним аспектам якiсної теорiї для таких систем у
скiнченновимiрному випадку присвячено багато робiт (див. [1 – 11] i наведену там бiблiогра-
фiю). Зокрема, одержано важливi результати щодо перiодичних рухiв, стiйкостi та топологiчних
властивостей \omega -граничних множин траєкторiй. Проте в цих роботах основну увагу придiле-
но або системам звичайних диференцiальних рiвнянь, або системам зi скiнченною кiлькiстю
iмпульсних збурень вздовж траєкторiй. Зокрема, в [10], виходячи з такого припущення, за-
пропоновано означення глобального атрактора [12, 13] для iмпульсної динамiчної системи як
компактної iнварiантної рiвномiрно притягуючої множини фазового простору, що не перети-
нається з множиною iмпульсного збурення. В данiй роботi, виходячи з вiдповiдного означення
для неавтономних систем [14 –18], глобальний атрактор вводиться як компактна мiнiмальна
рiвномiрно притягуюча множина. Таке означення видається бiльш природним для систем iз
нескiнченною кiлькiстю iмпульсних збурень, оскiльки в найпростiших випадках глобальний
атрактор таких систем не є iнварiантною множиною i перетинає множину iмпульсного збурен-
ня. Основним результатом роботи є доведення iснування глобального атрактора для достатньо
широкого класу нескiнченновимiрних iмпульсних систем, що допускають нескiнченну кiль-
кiсть iмпульсних збурень.
Основнi результати. Нехай (X, \rho ) — метричний простiр, \beta (X) — обмеженi пiдмножини X .
Пiд динамiчною системою (ДС) будемо розумiти пару (X,G), де вiдображенняG : R+\times X \mapsto \rightarrow X
задовольняє напiвгрупову властивiсть
\forall x \in X : G(0, x) = x, G(t+ s, x) = G(t, G(s, x)) \forall t, s \geq 0.
Зауважимо, що на вiдмiну вiд класичного означення ДС [12, 13] на G не накладаються умови
неперервностi.
Означення. A \subset X називається глобальним атрактором ДС (X,G), якщо
1) A — компакт;
2) A — рiвномiрно притягуюча множина, тобто dist(G(t, B), A) \rightarrow 0 \forall B \in \beta (X), t\rightarrow \infty ;
3) A — мiнiмальна множина у класi замкнених множин, що задовольняють п. 2.
* Виконано при пiдтримцi Державного фонду фундаментальних дослiджень України (грант № Ф62/94-2015).
c\bigcirc О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4 517
518 О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК
Зауважимо, що якщо для ДС (X,G) iснує глобальний атрактор у класичному сенсi, тобто
iснує множина \widetilde A \subset X, що задовольняє пп. 1, 2 i G(t, \widetilde A) = \widetilde A \forall t \geq 0, то A = \widetilde A.
Наступний результат дає критерiй iснування глобального атракторa для дисипативних ДС.
Теорема 1 [14 – 17]. Нехай для ДС (X,G) виконано умову дисипативностi
\exists B0 \in \beta (X) \forall B \in \beta (X) \exists T = T (B) \forall t \geq T : G(t, B) \subset B0. (1)
ДС (X,G) має глобальний атрактор тодi i тiльки тодi, коли G є асимптотично компактною,
тобто виконано умову
\forall \{ xn\} \in \beta (X) \forall \{ tn \nearrow \infty \} послiдовнiсть \{ G(tn, xn)\} є передкомпактною. (2)
При цьому для глобального атрактора A справджується рiвнiсть
A = \omega (B0) :=
\bigcap
T>0
\bigcup
t\geq T
G(t, B0). (3)
Важливим класом таких ДС є iмпульснi (або розривнi) ДС [1 – 7, 9, 10]. Нехай у фазовому
просторi X задано напiвгрупу V : R+ \times X \mapsto \rightarrow X, непорожню замкнену множину M \subset X i
вiдображення I : M \mapsto \rightarrow X . Фазова точка x(t), рухаючись по траєкторiяx V, у момент \tau досягнен-
ня множини M зазнає iмпульсного впливу i опиняється в положеннi Ix(\tau ). Для коректного
задання траєкторiї такої системи будемо вважати виконаними наступнi умови:
\forall x \in X функцiя t \mapsto \rightarrow V (t, x) є неперервною на [0,+\infty ), (4)
M \cap I(M) = \varnothing , (5)
\forall x \in M \exists \tau = \tau (x) > 0 \forall t \in (0, \tau ) : V (t, x) \not \in M. (6)
Введемо позначення [5]
Ix = x+ \forall x \in M,
M+(x) =
\Biggl( \bigcup
t>0
V (t, x)
\Biggr)
\cap M \forall x \in X.
Тодi [9], якщо M+(x) \not = \varnothing , iснує момент часу s := \phi (x) > 0 такий, що
V (t, x) \not \in M \forall t \in (0, s), V (s, x) \in M.
За допомогою введених позначень iмпульсна ДС (X, \~V ) описується таким чином. Нехай x \in X
— фiксоване.
Якщо M+(x) = \varnothing , то \~V (t, x) = V (t, x) \forall t \geq 0.
Якщо M+(x) \not = \varnothing , то для s0 = \phi (x), x1 = V (s0, x)
\~V (t, x) =
\Biggl\{
V (t, x), 0 \leq t < s0,
x+1 , t = s0.
Якщо M+(x+1 ) = \varnothing , то \~V (t, x) = V (t - s0, x
+
1 ) \forall t \geq s0.
Якщо M+(x+1 ) \not = \varnothing , то для s1 = \phi (x+1 ), x2 = V (s1, x
+
1 )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ГЛОБАЛЬНI АТРАКТОРИ IМПУЛЬСНИХ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ СИСТЕМ 519
\~V (t, x) =
\Biggl\{
V (t - s0, x
+
1 ), s0 \leq t < s0 + s1,
x+2 , t = s0 + s1,
i т. д.
В результатi маємо скiнченну або нескiнченну кiлькiсть iмпульсних точок \{ x+n \} n\geq 1 та
вiдповiдних їм моментiв часу \{ sn\} n\geq 0,
V (s0, x) = x1, V (sn, x
+
n ) = xn+1, n \geq 1.
Будемо вважати виконаною таку умову:
\forall x \in X \forall t \in [0,+\infty ) \~V (t, x) є визначеною, (7)
тобто або кiлькiсть iмпульсних точок не бiльш нiж скiнченна, або
\sum \infty
n=0
sn = \infty . Тодi [4, 5, 9]
вiдображення \~V : R+ \times X \mapsto \rightarrow X задовольняє напiвгрупову властивiсть i нас буде цiкавити
глобальний атрактор ДС (X, \~V ). Виходячи з класичних прикладiв розривних ДС [1 – 3], будемо
розглядати iмпульснi збурення двох типiв iз параметрами a > 0, \mu > 0:
а) X — нормований простiр, M = \{ x \in X| \| x\| = a\} , Ix = (1 + \mu )x;
б) X — гiльбертiв простiр, \{ \psi k\} \infty k=1 — ортонормований базис , M = \{ x \in X| (\psi 1, x) = a\}
для x =
\sum \infty
k=1
ck\psi k, Ix = (1 + \mu )c1\psi 1 +
\sum \infty
k=2
ck\psi k.
Спочатку покажемо, що як завгодно мале iмпульсне збурення типу а) в найпростiшому
нескiнченновимiрному випадку руйнує глобальний атрактор.
В обмеженiй областi \Omega \subset Rp, p \geq 1, розглядається задача
\partial y
\partial t
= \Delta y, (t, x) \in (0,\infty )\times \Omega ,
y| \partial \Omega = 0.
(8)
Далi через \{ \psi i\} \infty i=1 будемо позначати ортонормований базис у L2(\Omega ) такий, що - \Delta \psi i =
= \lambda i\psi i, \psi i \in H1
0 (\Omega ), 0 < \lambda 1 \leq \lambda 2 \leq . . . , \lambda i \rightarrow \infty , i\rightarrow \infty .
Задача (8) у фазовому просторi X = L2(\Omega ) з нормою \| \cdot \| i скалярним добутком (\cdot , \cdot )
породжує ДС (X,V ), де для y0 =
\sum \infty
i=1
ci\psi i
V (t, y0) = y(t) =
\infty \sum
i=1
cie
- \lambda it\psi i. (9)
Оскiльки
\| y(t)\| \leq e - \lambda 1t\| y0\| \forall t \geq 0, (10)
то глобальним атрактором ДС (X,V ) є A = \{ 0\} .
Тепер розглянемо iмпульсну ДС (X, \~V ), де
M = \{ y \in X| \| y\| = \varepsilon \} , Iy = (1 + \mu )y, \varepsilon > 0, \mu > 0. (11)
Лема 1. Для будь-яких \varepsilon > 0, \mu > 0 задача (8), (11) породжує iмпульсну ДС (X, \~V ), що
задовольняє умови (1), (4) – (7), але не має глобального атрактора.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
520 О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК
Доведення. Виконання умов (4) – (6) випливає з (9) – (11). Встановимо властивiсть (7).
Якщо \| y0\| \leq \varepsilon , то внаслiдок (10) вiдповiдна траєкторiя задачi (8) не зазнає iмпульсних збурень
i \| y(t)\| \rightarrow 0, t \rightarrow \infty . Нехай \| y0\| > \varepsilon . Якщо y0 =
\sum \infty
i=1
ci\psi i, то позначимо через i = i0
номер першої ненульової координати, тобто y0 =
\sum \infty
i=i0
ci\psi i. Згiдно з (10) iснує s0 = \phi (y0)
таке, що
\sum \infty
i=i0
c2i e
- 2\lambda is0 = \varepsilon 2, звiдки s0 \geq 1
\lambda i0
\mathrm{l}\mathrm{n}
| ci0 |
\varepsilon
. Далi для моменту s1 маємо рiвнiсть\sum \infty
i=i0
c2i (\mu +1)2e - 2\lambda is0e - 2\lambda is1 = \varepsilon 2, звiдки s0+ s1 \geq
1
\lambda i0
\mathrm{l}\mathrm{n}
| ci0 |
\varepsilon
+
1
\lambda i0
\mathrm{l}\mathrm{n}(\mu +1) i т. д. На k-му
кроцi будемо мати
k\sum
i=0
si \geq
1
\lambda i0
\mathrm{l}\mathrm{n}
| ci0 |
\varepsilon
+
k
\lambda i0
\mathrm{l}\mathrm{n}(\mu + 1) \rightarrow \infty , k \rightarrow \infty ,
отже, iмпульсна ДС (X, \~V ) задовольняє умову (7). Крiм того, ДС (X, \~V ) задовольняє умову
дисипативностi (1) з B0 = \{ y| \| y\| \leq \varepsilon (\mu + 1)\} . Дiйсно, для \| y0\| \leq \varepsilon це випливає з (10). Для
\| y0\| \geq \varepsilon , \| y0\| \leq R маємо s0 \leq
1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
R
\varepsilon
. Таким чином,
\forall BR = \{ y| \| y\| \leq R\} \exists T (R) = 1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
R
\varepsilon
\forall t \geq T (R) : \~V (t, BR) \subset B0.
Згiдно з теоремою 1 лему буде доведено, якщо покажемо, що \~V не є асимптотично компактною.
Вiзьмемо \Omega = (0, \pi ). Тодi
\lambda i = i2, \psi i(x) =
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ix, i \geq 1.
Розглянемо у множинi \{ y| \| y\| = \varepsilon (\mu + 1)\} \in \beta (X) початковi точки
\Bigl\{
y
(n)
0 = \varepsilon (\mu + 1)\psi n
\Bigr\} \infty
n=1
.
Тодi для \{ tn = n \mathrm{l}\mathrm{n}(\mu + 1)\} \infty n=1 маємо \~V (tn, y
(n)
0 ) = y
(n)
0 \forall n \geq 1, але
\Bigl\{
y
(n)
0
\Bigr\} \infty
n=1
не є передком-
пактною в L2(0, \pi ), що i доводить лему.
Тепер розглянемо задачу (8) з iмпульсним збуренням типу б), тобто
M = \{ y \in X| (y, \psi 1) = a\} , I : M \mapsto \rightarrow L2(\Omega ), (12)
Iy = (\mu + 1)c1\psi 1 +
\infty \sum
i=2
ci\psi i для y =
\infty \sum
i=1
ci\psi i, a > 0, \mu > 0.
Лема 2. Для будь-яких a > 0, \mu > 0 задача (8), (12) породжує iмпульсну ДС (X, \~V ), що
задовольняє умови (1), (4) – (7) i має у просторi X = L2(\Omega ) глобальний атрактор
A =
\bigcup
t\in [0,ln(1+\mu )]
\bigl\{
(1 + \mu )ae - t\psi 1
\bigr\}
\cup \{ 0\} . (13)
Доведення. Для будь-якого розв’язку задачi (8) справджується рiвнiсть
(y(t), \psi 1) = e - \lambda 1t(y0, \psi 1) \forall t \geq 0. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ГЛОБАЛЬНI АТРАКТОРИ IМПУЛЬСНИХ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ СИСТЕМ 521
Отже, згiдно з (12), (14) виконуються (4) – (6). Для y0, (y0, \psi 1) \leq a вiдповiдна траєкторiя (8) не
зазнає iмпульсних збурень i згiдно з (10) \| y(t)\| \rightarrow 0, t\rightarrow \infty . Для y0, (y0, \psi 1) > a
s0 = \phi (y0) =
1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
(y0, \psi 1)
a
, s = si =
1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + \mu ), i \geq 1,
отже, умову (7) виконано. Доведемо, що iмпульсна ДС (X, \~V ) дисипативна з B0 = \{ y| \| y\| \leq
\leq a(\mu + 1) + 1\} . Для y0, \| y0\| \leq a маємо (y0, \psi 1) \leq a i згiдно з (10)
\| y(t)\| \leq ae - \lambda 1t \leq a \forall t \geq 0. (15)
Нехай \| y0\| \leq R, (y0, \psi 1) > a. Тодi за час s0 \leq T1(R) =
1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
R
a
фазова точка досягає
поверхнi M i опиняється в точцi y+1 = Iy(s0) \in \{ y| (y, \psi 1) = a(\mu + 1)\} :
\| y+1 \| \leq (1 + \mu )\| y(s0)\| \leq (1 + \mu )\| y0\| .
Нехай y+1 = a(1 + \mu )\psi 1 +
\sum \infty
i=2
ci\psi i. Тодi
y+2 = a(1 + \mu )\psi 1 +
\infty \sum
i=2
ci(1 + \mu )
- \lambda i
\lambda 1 \psi i,
y+k+1 = a(1 + \mu )\psi 1 +
\infty \sum
i=2
ci(1 + \mu )
- k\lambda i
\lambda 1 \psi i, k \geq 2.
Таким чином, для s0 + ks \leq t < s0 + (k + 1)s маємо оцiнку
\| \~V (t, y0)\| 2 \leq \| y+k+1\|
2 = a2(\mu + 1)2 +
\infty \sum
i=2
c2i (1 + \mu )
- 2k\lambda i
\lambda 1 \leq
\leq a2(\mu + 1)2 + (1 + \mu )
- 2k\lambda 2
\lambda 1
\infty \sum
i=2
c2i \leq a2(\mu + 1)2 + (1 + \mu )
- 2k\lambda 2
\lambda 1 (1 + \mu )2\| y0\| 2, (16)
з якої i випливає шукана дисипативнiсть.
Тепер нехай \{ y(n)0 \} — довiльна обмежена послiдовнiсть початкових даних. Якщо для деякої
пiдпослiдовностi (y(n)0 , \psi 1) \leq a, то внаслiдок (10) для довiльної tn \nearrow \infty
\~V (t, y
(n)
0 ) = V (t, y
(n)
0 ) \rightarrow 0, n\rightarrow \infty , (17)
i маємо (2). Отже, будемо вважати, що \| y(n)0 \| \leq R, (y
(n)
0 , \psi 1) > a. Тодi
s
(n)
0 =
1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
(y
(n)
0 , \psi 1)
a
\leq 1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
R
a
,
y
(n)+
1 = a(1 + \mu )\psi 1 +
\infty \sum
i=2
c
(n)
i \psi i.
Для tn \nearrow \infty iснують k(n) \geq 1, k(n) \rightarrow \infty , n\rightarrow \infty , такi, що
s
(n)
0 + k(n)s \leq tn < s
(n)
0 + (k(n) + 1)s.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
522 О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК
Тодi згiдно з (16) маємо сильну збiжнiсть
y
(n)+
k(n)+1 = a(\mu + 1)\psi 1 +
\infty \sum
i=2
c
(n)
i (1 + \mu )
- k(n)\lambda i
\lambda 1 \psi i \rightarrow a(\mu + 1)\psi 1, n\rightarrow \infty .
Крiм того, оскiльки \tau n = tn - s
(n)
0 - k(n)s \in [0, s], то по пiдпослiдовностi \tau n \rightarrow \tau \in [0, s],
n\rightarrow \infty , отже, для \xi n = \~V (tn, y
(n)
0 ) по пiдпослiдовностi маємо сильну збiжнiсть
\xi n \rightarrow a(\mu + 1)\psi 1e
- \lambda 1\tau , (18)
що i доводить асимптотичну компактнiсть, а отже, iснування глобального атрактора. З фор-
мули (3) випливає, що глобальний атрактор складається з граничних точок послiдовностей
\~V (tn, y
(n)
0 ), де \{ y(n)0 \} \subset B0. Тодi з (17), (18) виводимо (13).
Лему 2 доведено.
Зауваження. З формули (13) випливає, що A \cap M \not = \varnothing i \~V (t, \xi ) = a\psi 1e
- \lambda 1t \not \in A для
\xi = a\psi 1 \in A \cap M, тобто \~V (t, A) \not \subset A \forall t > 0.
Основним результатом роботи є доведення того факту, що атрактор зберiгається при малих
збуреннях задачi (8).
В обмеженiй областi \Omega \subset Rp, p \geq 1, розглядається задача
\partial y
\partial t
= \Delta y - \varepsilon f(y), (t, x) \in (0,\infty )\times \Omega ,
y| \partial \Omega = 0,
(19)
де \varepsilon > 0 — малий параметр, f \in C1(R), f(0) = 0,
\exists C > 0 \forall y \in R : f \prime (y) \geq - C, | f(y)| \leq C. (20)
Умови (20) гарантують [14], що для довiльних y0 \in X = L2(\Omega ) задача (19) має єдиний розв’язок
y\varepsilon \in C([0,+\infty );X), y\varepsilon (0) = y0, для якого справджується оцiнка
\| y\varepsilon (t)\| \leq e - (\lambda 1 - C\varepsilon )t\| y0\| \forall t \geq 0. (21)
Нехай Xw — простiр X зi слабкою топологiєю, \varepsilon n \rightarrow \varepsilon 0 \geq 0, y
(n)
0 , y0 — початковi данi, y(n),
y — розв’язки задачi (19) з \varepsilon n i \varepsilon 0 вiдповiдно, y(n)(0) = y
(n)
0 , y(0) = y0. Тодi на довiльному
скiнченному промiжку [0, T ] має мiсце така властивiсть регулярностi [16 – 18]:
якщо y
(n)
0 \rightarrow y0 в Xw, то y(n) \rightarrow y в C([0, T ];Xw) \cap C([\tau , T ];X) \forall \tau > 0, (22)
якщо y
(n)
0 \rightarrow y0 в X, то y(n) \rightarrow y в C([0, T ];X). (23)
Для розв’язкiв задачi (19) розглядається iмпульсне збурення типу (12) для a > 0, \mu > 0:
M = \{ y \in X| (y, \psi 1) = a\} , I : M \mapsto \rightarrow X, (24)
Iy = (\mu + 1)c1\psi 1 +
\infty \sum
i=2
ci\psi i для y =
\infty \sum
i=1
ci\psi i.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ГЛОБАЛЬНI АТРАКТОРИ IМПУЛЬСНИХ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ СИСТЕМ 523
Теорема 2. Для будь-яких a > 0, \mu > 0 та для достатньо малих \varepsilon > 0 задача (19), (24)
породжує iмпульсну ДС (X, \~V\varepsilon ), що має глобальний атрактор A(\varepsilon ), причому
dist(A(\varepsilon ), A) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0, (25)
де A задається формулою (13).
Доведення. Для будь-якого розв’язку задачi (19) y\varepsilon (\cdot ), y\varepsilon (0) = y0 справджується рiвнiсть
(y\varepsilon (t), \psi 1) = e - \lambda 1t(y0, \psi 1) - \varepsilon
t\int
0
e - \lambda 1(t - p)(f(y\varepsilon (p)), \psi 1)dp \forall t \geq 0. (26)
Виконання умов (4), (5) випливає з постановки задачi. Нехай y0 \in M . Тодi для
f\varepsilon (t) = ae - \lambda 1t - \varepsilon
t\int
0
e - \lambda 1(t - p)(f(y\varepsilon (p)), \psi 1)dp
маємо f\varepsilon (0) = a, f
\prime
\varepsilon (0) = - a\lambda 1 - \varepsilon (f(y0), \psi 1) \leq - a\lambda 1 + \varepsilon C| \Omega |
1
2 . Таким чином, якщо
\varepsilon \in
\Biggl(
0,
a\lambda 1
C| \Omega |
1
2
\Biggr)
, (27)
то iснує \tau = \tau (y0, \varepsilon ) > 0 таке, що (y\varepsilon (t), \psi 1) < a \forall t \in (0, \tau ), тобто виконується умова (6).
Встановимо умову (7). Нехай \| y0\| \leq R, R > a i
\varepsilon \in
\biggl(
0,
\lambda 1
C
\biggr)
. (28)
Тодi, якщо y\varepsilon (t) не зазнає iмпульсного збурення при t \geq 0, внаслiдок (21), (28)
\| y\varepsilon (t)\| \rightarrow 0, t \rightarrow \infty . Тепер нехай (y\varepsilon (t), \psi 1) \not = a \forall t \in (0, T ), (y\varepsilon (T ), \psi 1) = a. Тодi вна-
слiдок (26)
a \leq Re - \lambda 1T +
\varepsilon C| \Omega |
1
2
\lambda 1
,
T \leq 1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
R
a - \varepsilon C| \Omega |
1
2
\lambda 1
.
(29)
Лема 3. Iснує \varepsilon 1 \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\left\{ \lambda 1C ,
a\lambda 1
C| \Omega |
1
2
\right\} таке, що для всiх \varepsilon \in (0, \varepsilon 1) i всiх початкових
даних y0, (y0, \psi 1) = a(1 + \mu ), iснує t\varepsilon > 0 — розв’язок рiвняння
a = a(1 + \mu )e - \lambda 1t\varepsilon - \varepsilon
t\varepsilon \int
0
e - \lambda 1(t\varepsilon - p) (f(y\varepsilon (p)), \psi 1) dp, (30)
де y\varepsilon — розв’язок задачi (19) на (0, t\varepsilon ), y\varepsilon (0) = y0. При цьому iснує стала K > 0, що залежить
лише вiд сталих задачi (19), (24), така, що\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| t\varepsilon - 1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + \mu )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K\varepsilon \forall \varepsilon \in (0, \varepsilon 1). (31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
524 О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК
Доведення. Розглянемо функцiю
F (\varepsilon , t) = a - a(1 + \mu )e - \lambda 1t + \varepsilon
t\int
0
e - \lambda 1(t - p) (f(y\varepsilon (p)), \psi 1) dp
i застосуємо до неї в околi \varepsilon 0 = 0, t0 =
1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + \mu ), 0 = F (\varepsilon 0, t0) теорему про неявну
функцiю. З оцiнок
| F (\varepsilon , t0) - F (\varepsilon 0, t0)| \leq \varepsilon
C| \Omega |
1
2
\lambda 1
,\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| F (\varepsilon , t\prime ) - F (\varepsilon , t
\prime \prime
) - \partial F
\partial t
(\varepsilon 0, t0)(t
\prime - t
\prime \prime
)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial F\partial t (\varepsilon , \theta t\prime + (1 - \theta )t
\prime \prime
) - \partial F
\partial t
(\varepsilon 0, t0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| t\prime - t
\prime \prime
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\biggl(
\lambda 21a(1 + \mu )
\Bigl(
| t0 - t
\prime | + | t0 - t
\prime \prime |
\Bigr)
+ 2C| \Omega |
1
2 \varepsilon
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| t\prime - t
\prime \prime
\bigm| \bigm| \bigm|
випливає, що iснують сталi K > 0, \varepsilon 1 > 0, якi залежать лише вiд сталих у правих частинах
вищенаведених нерiвностей, та функцiя t(\cdot ) : ( - \varepsilon 1, \varepsilon 1) \mapsto \rightarrow R такi, що
t(0) = t0, F (\varepsilon , t(\varepsilon )) = 0 \forall \varepsilon \in (0, \varepsilon 1), | t(\varepsilon ) - t(0)| \leq K\varepsilon .
Покладаючи t\varepsilon = t(\varepsilon ), отримуємо (30), (31).
Лему 3 доведено.
З (31) випливає, що \~V\varepsilon задовольняє умову (7). Крiм того, оскiльки\bigm| \bigm| e - \lambda 1t\varepsilon - e - \lambda 1t0
\bigm| \bigm| \leq \lambda 1| t\varepsilon - t0| \leq \lambda 1K\varepsilon ,
то
e - \lambda 1t\varepsilon \leq e - \lambda 1t0 + \lambda 1K\varepsilon =
1
1 + \mu
(1 + \lambda 1K(\mu + 1)\varepsilon ) . (32)
Встановимо для iмпульсної ДС (X, \~V\varepsilon ) властивiсть дисипативностi. Згiдно з (21), (29) до-
статньо дослiдити iмпульсну траєкторiю y\varepsilon (\cdot ), y\varepsilon (0) = y0, з (y0, \psi 1) = a(1 + \mu ). Тодi з леми 3
маємо, що iснують \{ si = si(\varepsilon )\} \infty i=1 — розв’язки рiвняння (30) такi, що траєкторiя в момен-
ти \{ s1, s1 + s2, . . .\} зазнає iмпульсного збурення, а мiж ними задовольняє умову (21). Нехай
y\varepsilon (s1) = a\psi 1 +
\sum \infty
i=2
ci\psi i. Тодi
\| y\varepsilon (s1)\| 2 = a2 +
\infty \sum
i=2
c2i \leq e - 2\delta s1\| y0\| 2, \delta := \lambda 1 - C\varepsilon > 0,
Iy\varepsilon (s1) = a(1 + \mu )\psi 1 +
\infty \sum
i=2
ci\psi i,
\| Iy\varepsilon (s1)\| 2 = a2(1 + \mu )2 +
\infty \sum
i=2
c2i = \| y\varepsilon (s1)\| 2 + a2\mu (2 + \mu ) \leq e - 2\delta s1\| y0\| 2 + a2\mu (2 + \mu ),
\| y\varepsilon (s1 + s2)\| 2 \leq e - 2\delta s2\| Iy\varepsilon (s1)\| 2 \leq e - 2\delta (s1+s2)\| y0\| 2 + a2\mu (2 + \mu )e - 2\delta s2 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ГЛОБАЛЬНI АТРАКТОРИ IМПУЛЬСНИХ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ СИСТЕМ 525
\| Iy\varepsilon (s1 + s2)\| 2 \leq \| y\varepsilon (s1 + s2)\| 2 + a2\mu (2 + \mu ) \leq e - 2\delta (s1+s2)\| y0\| 2 + a2\mu (2 + \mu )
\Bigl(
1 + e - 2\delta s2
\Bigr)
i т. д.
На k-тому кроцi маємо
\| Iy\varepsilon (s1 + . . .+ sk)\| 2 \leq e - 2\delta (s1+...+sk)\| y0\| 2+
+a2\mu (2 + \mu )
\Bigl(
1 + e - 2\delta sk + e - 2\delta (sk+sk - 1) + . . .+ e - 2\delta (sk+sk - 1+...+s2)
\Bigr)
. (33)
Згiдно з (32)
e - 2\delta sk \leq
\biggl(
1 + \lambda 1K(\mu + 1)\varepsilon
1 + \mu
\biggr) 2\delta
\lambda 1
, \delta = \lambda 1 - C\varepsilon . (34)
Отже, iснує \varepsilon 2 \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
\varepsilon 1,
\mu
\lambda 1K(\mu + 1)
\biggr\}
таке, що для будь-яких \varepsilon \in (0, \varepsilon 2) i R > a iснує
T = T (R, \varepsilon ) таке, що для будь-якого y0, \| y0\| \leq R, для розв’язку y\varepsilon (\cdot ), y\varepsilon (0) = y0, iмпульсної
задачi (19), (24) має мiсце оцiнка
\| y\varepsilon (t)\| 2 \leq 1 + 2a2\mu (2 + \mu ) \forall t \geq T, (35)
з якої випливає шукана дисипативнiсть.
Доведемо асимптотичну компактнiсть. Нехай \{ y(n)0 \} — довiльна обмежена послiдовнiсть
початкових даних. Якщо по деякiй пiдпослiдовностi вiдповiднi розв’язки задачi (19) не зазнають
iмпульсних збурень при t \geq 0, то для tn \nearrow \infty з (21) маємо
\~V\varepsilon
\bigl(
tn, y
(n)
0
\bigr)
= V\varepsilon
\bigl(
tn, y
(n)
0
\bigr)
\rightarrow 0, n\rightarrow \infty , (36)
де V\varepsilon — напiвгрупа, що породжується розв’язками задачi (19). Отже, будемо вважати, що\bigm\| \bigm\| y(n)0
\bigm\| \bigm\| \leq R i для будь-якого n \geq 1 траєкторiя розв’язку yn(\cdot ), yn(0) = y
(n)
0 , задачi (19) в момент
часу T (n) уперше зустрiчається з множиною M, причому з (29) випливає, що послiдовнiсть
\{ T (n)\} є обмеженою, а з (21) — що послiдовнiсть
\bigl\{
yn(T
(n))
\bigr\}
є обмеженою в X . Таким чином,
потрiбно довести передкомпактнiсть послiдовностi \xi n = \~V (tn, zn), де (zn, \psi 1) = a(1 + \mu ),
\| zn\| \leq R.
Нехай
\bigl\{
T
(n)
i = T
(n)
i (\varepsilon )
\bigr\} \infty
i=1
— моменти iмпульсного збурення траєкторiї, що виходить з
точки zn,
\bigl\{
\eta
(n)+
i
\bigr\} \infty
i=1
\subset IM — вiдповiднi iмпульснi точки. Згiдно з (31)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| T (n)
i - i
1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + \mu )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K\varepsilon \forall i \geq 1.
Доведемо, що множина точок
\bigl\{
\eta
(n)+
i
\bigm| \bigm| i \geq 1, n \geq 1
\bigr\}
— передкомпакт в X.
Для довiльного розв’язку задачi (19) iснують сталi C1 > 0, \delta 1 > 0, що залежать лише вiд
параметрiв задачi (19) i не залежать вiд \varepsilon , такi, що для t > 0
d
dt
\| \nabla y(t)\| 2 \leq C1, (37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
526 О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК
d
dt
\| y(t)\| 2 + \delta 1\| \nabla y(t)\| 2 \leq 0. (38)
Тодi з (21), (37), (38) i рiвномiрної леми Гронуолла [12] випливає, що
\| \nabla y(t+ r)\| 2 \leq 2
r\delta 1
\| y(0)\| 2 + C1 \forall t > 0 \forall r > 0. (39)
На пiдставi (33) iснує стала C(R), що не залежить вiд \varepsilon , така, що
\| \eta (n)+i \| \leq C(R) \forall i \geq 1 \forall n \geq 1.
Тодi з (31) i (39) для всiх i \geq 1, n \geq 1 випливає оцiнка\bigm\| \bigm\| \nabla \eta (n)+i
\bigm\| \bigm\| 2 \leq (1 + \mu )2
\bigm\| \bigm\| \nabla \eta (n)i
\bigm\| \bigm\| 2 \leq (1 + \mu )2
\biggl(
4\lambda 1
\delta 1 \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + \mu )
C2(R) + C1
\biggr)
, (40)
з якої внаслiдок компактностi вкладення H1
0 (\Omega ) \subset L2\Omega ) випливає шукана передкомпактнiсть
множини
\bigl\{
\eta
(n)+
i
\bigm| \bigm| i \geq 1, n \geq 1
\bigr\}
в X . Далi для послiдовностi \xi n = \~V (tn, zn) для кожного n \geq 1
iснує номер i = i(n), i(n) \rightarrow \infty , n\rightarrow \infty , такий, що
tn \in
\Bigl[
T
(n)
i(n), T
(n)
i(n)+1
\Bigr)
.
Отже,
\xi n = V\varepsilon
\Bigl(
tn - T
(n)
i(n), \eta
(n)+
i(n)
\Bigr)
. (41)
Тодi по пiдпослiдовностi
\tau n := tn - T
(n)
i(n) \rightarrow \tau , \eta
(n)+
i(n) \rightarrow \eta в X, n\rightarrow \infty ,
i передкомпактнiсть \{ \xi n\} випливає з (23). Тепер з теореми 1 виводимо iснування глобального
атрактора
A(\varepsilon ) =
\bigcap
T>0
\bigcup
t\geq T
\~V\varepsilon (t, B0), (42)
в якому множина дисипативностi B0 визначається з (35) i не залежить вiд \varepsilon . Отже, з (37), (40),
(41) маємо обмеженiсть множин A(\varepsilon ) у просторi H1
0 (\Omega ) рiвномiрно по \varepsilon .
Доведемо збiжнiсть (25). Для цього достатньо показати, що \xi (k) \in A(\varepsilon k) для \varepsilon k \rightarrow 0 по
пiдпослiдовностi
\xi (k) \rightarrow \xi \in A в X, k \rightarrow \infty . (43)
З (42) випливає iснування послiдовностей \{ tk \nearrow \infty \} , \{ zk\} \subset B0 таких, що
\| \xi (k) - \~V\varepsilon k(tk, zk)\| \leq 1
k
\forall k \geq 1.
Для \xi k = \~V\varepsilon k(tk, zk) з урахуванням (41) маємо зображення
\xi k = V (\tau k, \eta
+
k ),
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
ГЛОБАЛЬНI АТРАКТОРИ IМПУЛЬСНИХ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ СИСТЕМ 527
\tau k = tk - T
(k)+
i(k) \in
\biggl[
0,
1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + \mu ) +K\varepsilon k
\biggr]
,
\eta +k = \eta
(k)+
i(k) , i(k) \rightarrow \infty , k \rightarrow \infty .
При цьому внаслiдок (40) i умов регулярностi (23) можемо вважати, що
\tau k \rightarrow \tau \in
\biggl[
0,
1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + \mu )
\biggr]
,
\eta +k \rightarrow \eta , \xi k \rightarrow \xi = V (\tau , \eta ) в X,
де V — напiвгрупа, що породжується задачею (8). Тодi (43) буде доведено, якщо покажемо, що
\eta = a(1 + \mu )\psi 1, тобто для \eta +k = a(1 + \mu )\psi 1 +
\sum \infty
j=2
c
(k)
j \psi j виконується
c
(k)
j = (\eta +k , \psi j) \rightarrow 0 \forall j \geq 2, k \rightarrow \infty .
Для кожного розв’язку задачi (19) справджується рiвнiсть
d
dt
(y\varepsilon (t), \psi j) + \lambda j(y\varepsilon (t), \psi j) + \varepsilon (f(y\varepsilon (t)), \psi j) = 0. (44)
Враховуючи (32), можемо вважати, що iснує стала \gamma \in (0, 1) така, що для всiх достатньо малих
\varepsilon > 0 для моментiв iмпульсного збурення si = si(\varepsilon ) справджується оцiнка
e - \lambda jsi \leq \gamma \forall i \geq 1.
Тодi, враховуючи дисипативнiсть, з (44) отримуємо
| (y\varepsilon (si), \psi j)| \leq R\gamma i +
C| \Omega |
1
2 \varepsilon
1 - \gamma
.
Отже,
\bigm| \bigm| (\eta +k , \psi j)
\bigm| \bigm| \leq R\gamma i(k) +
C| \Omega |
1
2 \varepsilon k
1 - \gamma
\rightarrow 0, k \rightarrow \infty ,
i теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Самойленко А. М., Перестюк М. О. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – Киев: Вища
шк., 1987. – 287 с.
2. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. – Singapore: World Sci., 1995. – 462 p.
3. Pavlidis T. Stability of a class of discontinuous dynamical systems // Inform. and Contr. – 1996. – 9. – P. 298 – 322.
4. Рожко В. Ф. Устойчивость по Ляпунову в рaзрывных динамических системах // Дифференц. уравнения. –
1975. – 11, № 6. – С. 1005 – 1012.
5. Kaul S. K. On impulsive semidynamical system // J. Math. Anal. and Appl. – 1990. – 150, № 1. – P. 120 – 128.
6. Kaul S. K. Stability and asymptotic stability in impulsive semidynamical systems // J. Appl. Stochast. Anal. – 1994. –
7, № 4. – P. 509 – 523.
7. Ciesielski K. On stability in impulsive dynamical systems // Bull. Pol. Acad. Sci. Math. – 2004. – 52. – P. 81 – 91.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
528 О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК
8. Akhmet M. U. Perturbation and Hopf bifurcation of the planar discontinuous dynamical system // Nonlinear Anal. –
2005. – 60. – P. 163 – 178.
9. Bonotto E. M. Flows of characteristic 0+ in impulsive semidynamical systems // J. Math. Anal. and Appl. – 2007. –
332. – P. 81 – 96.
10. Bonotto E. M., Demuner D. P. Attractors of impulsive dissipative semidynamical systems // Bull. Sci. Math. – 2013. –
137. – P. 617 – 642.
11. Перестюк Ю. М. Розривнi коливання в однiй iмпульснiй системi // Нелiнiйнi коливання. – 2012. – 15, № 4. –
С. 494 – 503.
12. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. – New York: Springer, 1988. – 500 p.
13. Чуешов И. Д. Введение в теорию бесконечномерных диссипативных систем. – Харьков: ACTA, 1999. – 418 c.
14. Chepyzhov V. V., Vishik M. I. Attractors for equations of mathematical physics. – Amer. Math. Soc., 2002. – 363 p.
15. Kapustyan O. V., Perestyuk M. O. Global attractor for an evolution inclusion with pulse influence at fixed moments
of time // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 8. – С. 1283 – 1294.
16. Iovane G., Kapustyan O. V., Valero J. Asymptotic behavior of reaction-diffusion equations with non-dumped impulsive
effects // Nonlinear Anal. – 2008. – 68. – P. 2516 – 2530.
17. Perestyuk M. O., Kapustyan O. V. Long-time behaviour of evolution inclusion with non-dumped impulsive effects //
Mem. Different. Equat. and Math. Phys. – 2012. – 56. – P. 89 – 113.
18. Kapustyan O. V., Kasyanov P. O., Valero J., Zgurovsky M. Z. Structure of uniform global attractor for general
non-autonomous reaction-diffusion system // Contin. and Distrib. Syst. – 2014. – 211. – P. 163 – 180.
Одержано 30.05.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1857 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:00Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/df/bf19203435e121168280b962a02691df.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18572019-12-05T09:29:54Z Global attractors of impulsive infinite-dimensional systems Глобальні атрактори імпульсних нескінченновимірних систем Kapustyan, O. V. Perestyuk, N. A. Капустян, О. В. Перестюк, Н. А. Капустян, О. В. Перестюк, Н. А. We study the existence of global attractors in discontinuous infinite-dimensional dynamical systems, which may have trajectories with infinitely many impulsive perturbations. We also select a class of impulsive systems for which the existence of a global attractor is proved for weakly nonlinear parabolic equations. Исследуются глобальные аттракторы бесконечномерных рaзрывных динамических систем, которые могут иметь траектории с бесконечным числом импульсных возмущений. Выделен класс импульсных систем, в котором для слабонелинейного параболического уравнения доказано существование глобального аттрактора. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1857 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 4 (2016); 517-528 Український математичний журнал; Том 68 № 4 (2016); 517-528 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1857/839 Copyright (c) 2016 Kapustyan O. V.; Perestyuk N. A. |
| spellingShingle | Kapustyan, O. V. Perestyuk, N. A. Капустян, О. В. Перестюк, Н. А. Капустян, О. В. Перестюк, Н. А. Global attractors of impulsive infinite-dimensional systems |
| title | Global attractors of impulsive infinite-dimensional systems |
| title_alt | Глобальні атрактори імпульсних нескінченновимірних
систем |
| title_full | Global attractors of impulsive infinite-dimensional systems |
| title_fullStr | Global attractors of impulsive infinite-dimensional systems |
| title_full_unstemmed | Global attractors of impulsive infinite-dimensional systems |
| title_short | Global attractors of impulsive infinite-dimensional systems |
| title_sort | global attractors of impulsive infinite-dimensional systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1857 |
| work_keys_str_mv | AT kapustyanov globalattractorsofimpulsiveinfinitedimensionalsystems AT perestyukna globalattractorsofimpulsiveinfinitedimensionalsystems AT kapustânov globalattractorsofimpulsiveinfinitedimensionalsystems AT perestûkna globalattractorsofimpulsiveinfinitedimensionalsystems AT kapustânov globalattractorsofimpulsiveinfinitedimensionalsystems AT perestûkna globalattractorsofimpulsiveinfinitedimensionalsystems AT kapustyanov globalʹníatraktoriímpulʹsnihneskínčennovimírnihsistem AT perestyukna globalʹníatraktoriímpulʹsnihneskínčennovimírnihsistem AT kapustânov globalʹníatraktoriímpulʹsnihneskínčennovimírnihsistem AT perestûkna globalʹníatraktoriímpulʹsnihneskínčennovimírnihsistem AT kapustânov globalʹníatraktoriímpulʹsnihneskínčennovimírnihsistem AT perestûkna globalʹníatraktoriímpulʹsnihneskínčennovimírnihsistem |