On weakly periodic Gibbs measures for the Potts model with external field on the Cayley tree
We study the Potts model with external field on the Cayley tree of order $k \geq 2$. For the antiferromagnetic Potts model with external field and $k \geq 6$ and $q \geq 3$, it is shown that the weakly periodic Gibbs measure, which is not periodic, is not unique. For the Potts model with external...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1858 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507735428169728 |
|---|---|
| author | Rakhmatullaev, M. M. Рахматуллаев, М. М. Рахматуллаев, М. М. |
| author_facet | Rakhmatullaev, M. M. Рахматуллаев, М. М. Рахматуллаев, М. М. |
| author_sort | Rakhmatullaev, M. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:54Z |
| description | We study the Potts model with external field on the Cayley tree of order $k \geq 2$. For the antiferromagnetic Potts model with external field and $k \geq 6$ and $q \geq 3$, it is shown that the weakly periodic Gibbs measure, which is not periodic, is not
unique. For the Potts model with external field equal to zero, we also study weakly periodic Gibbs measures. It is shown that, under certain conditions, the number of these measures cannot be smaller than $2^q - 2$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98+530.1
М. М. Рахматуллаев (Ин-т математики при Нац. ун-те Узбекистана, Ташкент)
О СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИХ МЕРАХ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ПОТТСА
С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ
We study the Potts model with external field on the Cayley tree of order k \geq 2. For the antiferromagnetic Potts model
with external field and k \geq 6 and q \geq 3, it is shown that the weakly periodic Gibbs measure, which is not periodic, is not
unique. For the Potts model with external field equal to zero, we also study weakly periodic Gibbs measures. It is shown
that, under certain conditions, the number of these measures cannot be smaller than 2q - 2.
Вивчається модель Поттса iз зовнiшнiм полем на деревi Келi порядку k \geq 2. Для антиферомагнiтної моделi Поттса
iз зовнiшнiм полем при k \geq 6 i q \geq 3 показано неєдинiсть слабко перiодичної мiри Гiббса, що не є перiодичною.
Також вивчено слабко перiодичнi мiри Гiббса для моделi Поттса з нульовим зовнiшнiм полем. Доведено, що при
деяких умовах кiлькiсть таких мiр може бути не меншою за 2q - 2.
1. Введение. Понятие меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли вводится обычным
образом (см. [1 – 4]). В работе [5] изучена ферромагнитная модель Поттса с тремя состоя-
ниями на дереве Кэли второго порядка и показано существование критической температуры
Tc такой, что при T < Tc существуют три трансляционно-инвариантные и несчетное число
не трансляционно-инвариантных мер Гиббса. В работе [6] обобщены результаты работы [5]
для модели Поттса с конечным числом состояний на дереве Кэли произвольного (конечного)
порядка.
В работе [7] доказано, что на дереве Кэли трансляционно-инвариантная мера Гиббса анти-
ферромагнитной модели Поттса с внешним полем единственна. Работа [8] посвящена модели
Поттса со счетным числом состояний и c ненулевым внешним полем на дереве Кэли. Доказано,
что эта модель имеет единственную трансляционно-инвариантную меру Гиббса.
В работе [9] найдены все трансляционно-инвариантные меры Гиббса и, в частности, пока-
зано, что при достаточно низких температурах их количество равно 2q - 1. Доказано, что суще-
ствуют [q/2] критических температур, и дано точное количество трансляционно-инвариантных
мер Гиббса для каждой промежуточной температуры. Более того, существуют работы, обоб-
щающие модель Поттса с конкурирующими взаимодействиями (см. [14, 20, 21]).
В работах [10, 11] вводится понятие слабо периодической меры Гиббса и для модели Изинга
найдены некоторые такие меры. В работе [19] также изучены слабо периодические меры Гиббса
для модели Изинга и найдены слабо периодические меры Гиббса, отличные от мер, полученных
в работах [10, 11]. В работе [12] для модели Поттса изучены слабо периодические основные
состояния и слабо периодические меры Гиббса. Полученные слабо периодические мери Гиббса
в работе [12] также являются трансляционно-инвариантными.
В работе [13] доказано существование слабо периодических мер Гиббса для модели Поттса,
не являющихся трансляционно-инвариантными.
Данная работа посвящена слабо периодическим (непериодическим) мерам Гиббса для моде-
ли Поттса с внешним полем на дереве Кэли. Во втором пункте введены основные определения
и известные факты; в пункте 3 приведены результаты о слабо периодических мер Гиббса.
Доказательства всех результатов приведены в пункте 4.
c\bigcirc М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4 529
530 М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ
a a
3 1 a a
3 2
a
1 3
a
a
1 3
a a
2
a
1 1
a a
2
a
1 1
a a
3
a
1 2
a a
3
a
2 1
a
a a
2 3
a a a
2 3 1
a a
2 2
a
3
a a a
2 1 2
a a a
2 1 3
e
a
1
a
2
a
1
a
2
a
3
Дерево Кэли \tau 2 и элементы группового представления вершин.
2. Определения и известные факты. Пусть \tau k = (V,L), k \geq 1, — дерево Кэли порядка k,
т. е. бесконечное дерево, из каждой вершины которого выходит ровно k + 1 ребро, где V —
множество вершин, L — множество ребер \tau k.
Пусть Gk — свободное произведение k + 1 циклической группы \{ e, ai\} второго порядка с
образующими a1, a2, . . . , ak+1 соответственно, т. е. a2i = e.
Существует взаимно однозначное соответствие между множеством вершин V дерева Кэли
порядка k и группой Gk (см. [7, 15, 16]).
Это соответствие строится следующим образом. Произвольной фиксированной вершине
x0 \in V поставим в соответствие единичный элемент e группыGk. Поскольку рассматриваемый
граф без ограничения общности можно считать плоским, то каждой соседней вершине точки
x0 (т. е. e) поставим в соответствие образующую ai, i = 1, 2, . . . , k + 1 по положительному
направлению (см. рисунок).
Теперь в каждой вершине ai определим слово длины два aiaj соседних вершин ai. Посколь-
ку одна из соседних вершин вершины ai есть e, положим aiai = e, и тогда нумерация остальных
соседних вершин ai проводится однозначно по вышеприведенному правилу нумерации. Далее,
для соседних вершин вершины aiaj определим слово длины три следующим образом. Так как
одна из соседних для aiaj вершин есть ai, положим aiajaj = ai, и тогда нумерация остальных
соседних вершин проводится однозначно и имеет вид aiajal, i, j, l = 1, 2, . . . , k + 1. Это соот-
ветствие согласуется с предыдущим шагом, так как aiajaj = aia
2
j = ai. Таким образом, можно
установить взаимно однозначное соответствие между множеством вершин дерева Кэли \tau k и
группой Gk.
Представление, построенное выше, называется правым, так как в этом случае, если x и y
— соседние вершины, а g и h \in Gk — соответствующие им элементы группы, то либо g = hai,
либо h = gaj для некоторых i или j. Аналогично определяется левое представление.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
О СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИХ МЕРАХ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ПОТТСА С ВНЕШНИМ . . . 531
Рассмотрим в группе Gk (соответственно на дереве Кэли) преобразование левого (правого)
сдвига, определяемое следующим образом: для g \in Gk положим
Tg(h) = gh, (Tg(h) = hg) \forall h \in Gk.
Совокупность всех левых (правых) сдвигов на Gk изоморфна группе Gk.
Любое преобразование S группыGk индуцирует преобразование \widehat S на множестве вершин V
дерева Кэли \tau k. Поэтому мы отождествляем V и Gk.
Теорема 1. Группа левых (правых) сдвигов на правом (левом) представлении дерева Кэли
является группой трансляций (см. [7, 16]).
Для произвольной точки x0 \in V положим Wn = \{ x \in V | d(x0, x) = n\} , Vn =
n\bigcup
m=0
Wm,
Ln =
\bigl\{
\langle x, y\rangle \in L | x, y \in Vn
\bigr\}
, где d(x, y) — расстояние между x и y на дереве Кэли, т. е. число
ребер пути, соединяющего x и y .
Обозначим через S(x) множество „прямых потомков” точки x \in Gk, т. е. если x \in Wn, то
S(x) = \{ y \in Wn+1 : d(x, y) = 1\} .
Мы рассмотрим модель, где спиновые переменные принимают значения из множества
\Phi = \{ 1, 2, . . . , q\} , q \geq 2, и расположены на вершинах дерева. Тогда конфигурация \sigma на V
определяется как функция x \in V \rightarrow \sigma (x) \in \Phi . Аналогично определяются конфигурации
\sigma n и \omega n на Vn и Wn соответственно. Множество всех конфигураций на V (соответственно
Vn,Wn) совпадает с \Omega = \Phi V
\bigl(
соответственно \Omega Vn = \Phi Vn , \Omega Wn = \Phi Wn
\bigr)
. Легко видеть, что
\Phi Vn = \Phi Vn - 1 \times \Phi Wn . Объединение конфигураций \sigma n - 1 \in \Phi Vn - 1 и \omega n \in \Phi Wn определяется
следующей формулой (см. [14]):
\sigma n - 1 \vee \omega n =
\bigl\{
\{ \sigma n - 1(x), x \in Vn - 1\} , \{ \omega n(y), y \in Wn\}
\bigr\}
.
Гамильтониан модели Поттса с внешним полем \alpha определяется так:
H(\sigma ) = - J
\sum
\langle x,y\rangle \in L
\delta \sigma (x)\sigma (y) - \alpha
\sum
x\in V
\delta 1\sigma (x), (1)
где J, \alpha \in \BbbR .
Определим конечномерное распределение вероятностной меры \mu в объеме Vn как
\mu n(\sigma n) = Z - 1
n \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
- \beta Hn(\sigma n) +
\sum
x\in Wn
h\sigma (x),x
\Biggr\}
, (2)
где \beta = 1/T, T > 0 — температура, Z - 1
n — нормирующий множитель,
\bigl\{
hx = (h1,x, . . . , hq,x) \in
\in Rq, x \in V
\bigr\}
— совокупность векторов и
Hn(\sigma n) = - J
\sum
\langle x,y\rangle \in Ln
\delta \sigma (x)\sigma (y) - \alpha
\sum
x\in Vn
\delta 1\sigma (x).
Говорят, что вероятностное распределение (2) согласованно, если для всех n \geq 1 и \sigma n - 1 \in
\in \Phi Vn - 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
532 М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ\sum
\omega n\in \Phi Wn
\mu n(\sigma n - 1 \vee \omega n) = \mu n - 1(\sigma n - 1). (3)
Здесь \sigma n - 1\vee \omega n — объединение конфигураций, т. е. \sigma n - 1\vee \omega n \in \Phi Vn такое, что (\sigma n - 1\vee \omega n) | Vn - 1=
= \sigma n - 1 и (\sigma n - 1 \vee \omega n) | Wn= \omega n. В этом случае существует единственная мера \mu на \Phi V такая,
что для всех n и \sigma n \in \Phi Vn
\mu
\bigl(
\{ \sigma | Vn= \sigma n\}
\bigr)
= \mu n(\sigma n).
Такая мера называется расщепленной гиббсовской мерой, соответствующей гамильтониану (1)
и векторнозначной функции hx, x \in V.
Следующее утверждение описывает условие на hx, обеспечивающее согласованность \mu n(\sigma n).
Теорема 2 [7]. Вероятностное распределение \mu n(\sigma n), n = 1, 2, . . . , в (2) является согла-
сованным тогда и только тогда, когда для любого x \in V
hx =
\sum
y\in S(x)
F (hy, \theta , \alpha ), (4)
где F : h = (h1, . . . , hq - 1) \in \BbbR q - 1 \rightarrow F (h, \theta , \alpha ) = (F1, . . . , Fq - 1) \in \BbbR q - 1 определяется как
Fi = \alpha \beta \delta 1i + \mathrm{l}\mathrm{n}
\left( (\theta - 1)ehi +
\sum q - 1
j=1
ehj + 1
\theta +
\sum q - 1
j=1
ehj
\right)
и \theta = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(J\beta ), S(x) — множество прямых потомков точки x.
Пусть Gk/G
\ast
k = \{ H1, . . . ,Hr\} — фактор-группа, где G\ast
k — нормальный делитель конечного
индекса r \geq 1.
Определение 1. Совокупность векторов h = \{ hx, x \in Gk\} называетсяG\ast
k-периодической,
если hyx = hx \forall x \in Gk, y \in G\ast
k; Gk-периодические совокупности называются трансляционно-
инвариантными.
Для x \in Gk обозначим x\downarrow = \{ y \in Gk : \langle x, y\rangle \} \setminus S(x).
Определение 2. Совокупность векторов h = \{ hx, x \in Gk\} называется G\ast
k-слабо перио-
дической, если hx = hij при x \in Hi, x\downarrow \in Hj \forall x \in Gk.
Определение 3. Мера \mu называется G\ast
k-периодической (слабо периодической), если она
соответствует G\ast
k-периодической (слабо периодической) совокупности векторов h.
3. Слабо периодические меры. Степень трудности задачи описания слабо периодических
мер Гиббса зависит от структуры и индекса нормального делителя, относительно которого
налагается условие периодичности. В работе [17] доказано, что в группе Gk не существует
нормального делителя нечетного индекса, отличного от 1. Поэтому мы рассмотрим нормальные
делители четного индекса. В настоящей работе ограничимся случаем индекса 2.
Пусть q — произвольное, т. е. \sigma : V \rightarrow \Phi = \{ 1, 2, 3, . . . , q\} . В данной работе рассмотрим
случай q \geq 2. Пусть A \subset \{ 1, 2, . . . , k+1\} . Известно, что любой нормальный делитель индекса 2
группы Gk имеет вид HA =
\Bigl\{
x \in Gk :
\sum
i\in A
wx(ai) — четно
\Bigr\}
, где wx(ai) — число букв ai в
слове x \in Gk [7]. Заметим, что в случае | A| = k + 1 (где | A| обозначает число элементов мно-
жества A), т. е. A = Nk, понятие слабой периодичности совпадает с обычной периодичностью.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
О СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИХ МЕРАХ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ПОТТСА С ВНЕШНИМ . . . 533
Действительно, при | A| = k + 1 имеем HA =
\Bigl\{
x \in Gk :
\sum
i\in A
wx(ai) — четно
\Bigr\}
=
\bigl\{
x \in Gk :
| x| — четно
\bigr\}
= G
(2)
k . Тогда x\downarrow \in Gk \setminus G(2)
k , если x \in G
(2)
k , и x\downarrow \in G
(2)
k , если x \in Gk \setminus G(2)
k .
Отсюда с учетом определений 1 – 3 следует, что в этом случае понятие слабой периодичности
совпадает с обычной периодичностью. Поэтому рассмотрим A \subset Nk такие, что A \not = Nk.
Пусть Gk/HA = \{ HA, Gk \setminus HA\} — фактор-группа. Для простоты обозначим H0 = HA,
H1 = Gk \setminus HA. HA-слабо периодические совокупности векторов h = \{ hx \in Rq - 1 : x \in Gk\}
имеют вид
hx =
\left\{
h1, если x\downarrow \in H0, x \in H0,
h2, если x\downarrow \in H0, x \in H1,
h3, если x\downarrow \in H1, x \in H0,
h4, если x\downarrow \in H1, x \in H1.
Здесь hi = (hi1, hi2, . . . , hiq - 1), i = 1, 2, 3, 4. Тогда в силу (4) имеем
h1 = (k - | A| )F (h1, \theta ) + | A| F (h2, \theta ),
h2 = (| A| - 1)F (h3, \theta ) + (k + 1 - | A| )F (h4, \theta ),
(5)
h3 = (| A| - 1)F (h2, \theta ) + (k + 1 - | A| )F (h1, \theta ),
h4 = (k - | A| )F (h4, \theta ) + | A| F (h3, \theta ).
Введем следующие обозначения: ehij = zij , i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, . . . , q - 1. Тогда послед-
нюю систему уравнений можно записать следующим образом:
z1j = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\alpha \beta \delta 1j)
\left( (\theta - 1)z1j +
\sum q - 1
i=1
z1i + 1\sum q - 1
i=1
z1i + \theta
\right) k - | A| \left( (\theta - 1)z2j +
\sum q - 1
i=1
z2i + 1\sum q - 1
i=1
z2i + \theta
\right) | A|
,
z2j = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\alpha \beta \delta 1j)
\left( (\theta - 1)z3j +
\sum q - 1
i=1
z3i + 1\sum q - 1
i=1
z3i + \theta
\right) | A| - 1\left( (\theta - 1)z4j +
\sum q - 1
i=1
z4i + 1\sum q - 1
i=1
z4i + \theta
\right) k+1 - | A|
,
(6)
z3j = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\alpha \beta \delta 1j)
\left( (\theta - 1)z2j +
\sum q - 1
i=1
z2i + 1\sum q - 1
i=1
z2i + \theta
\right) | A| - 1\left( (\theta - 1)z1j +
\sum q - 1
i=1
z1i + 1\sum q - 1
i=1
z1i + \theta
\right) k+1 - | A|
,
z4j = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\alpha \beta \delta 1j)
\left( (\theta - 1)z4j +
\sum q - 1
i=1
z4i + 1\sum q - 1
i=1
z4i + \theta
\right) k - | A| \left( (\theta - 1)z3j +
\sum q - 1
i=1
z3i + 1\sum q - 1
i=1
z3i + \theta
\right) | A|
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
534 М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ
где j = 1, 2, 3, . . . , q - 1.
Рассмотрим отображение A : \BbbR 4(q - 1) \rightarrow \BbbR 4(q - 1), определенное в виде
z\prime 1j = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\alpha \beta \delta 1j)
\left( (\theta - 1)z1j +
\sum q - 1
i=1
z1i + 1\sum q - 1
i=1
z1i + \theta
\right) k - | A| \left( (\theta - 1)z2j +
\sum q - 1
i=1
z2i + 1\sum q - 1
i=1
z2i + \theta
\right) | A|
,
z\prime 2j = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\alpha \beta \delta 1j)
\left( (\theta - 1)z3j +
\sum q - 1
i=1
z3i + 1\sum q - 1
i=1
z3i + \theta
\right) | A| - 1\left( (\theta - 1)z4j +
\sum q - 1
i=1
z4i + 1\sum q - 1
i=1
z4i + \theta
\right) k+1 - | A|
,
(7)
z\prime 3j = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\alpha \beta \delta 1j)
\left( (\theta - 1)z2j +
\sum q - 1
i=1
z2i + 1\sum q - 1
i=1
z2i + \theta
\right) | A| - 1\left( (\theta - 1)z1j +
\sum q - 1
i=1
z1i + 1\sum q - 1
i=1
z1i + \theta
\right) k+1 - | A|
,
z\prime 4j = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\alpha \beta \delta 1j)
\left( (\theta - 1)z4j +
\sum q - 1
i=1
z4i + 1\sum q - 1
i=1
z4i + \theta
\right) k - | A| \left( (\theta - 1)z3j +
\sum q - 1
i=1
z3i + 1\sum q - 1
i=1
z3i + \theta
\right) | A|
,
где j = 1, 2, 3, . . . , q - 1.
Введем обозначения
Im =
\bigl\{
(z1, z2, . . . , zq - 1) \in \BbbR q - 1 : z1 = z2 = . . . = zm, zm+1 = . . . = zq - 1 = 1
\bigr\}
, (8)
Mm =
\bigl\{
(z(1), z(2), z(3), z(4)) \in \BbbR 4(q - 1) : z(i) \in Im, i = 1, 2, 3, 4
\bigr\}
. (9)
Здесь m = 1, 2, . . . , q - 1.
Лемма 1. 1. При \alpha \not = 0 множество M1 является инвариантным относительно отобра-
жения A.
2. При \alpha = 0 множестваMm,m = 1, 2, . . . , q - 1, являются инвариантными относительно
отображения A.
Сначало рассмотрим случай \alpha \not = 0. Введем обозначения zi = zi1, i = 1, 2, 3, 4, и \lambda =
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\alpha \beta ). Тогда на инвариантном множестве M1 система уравнений (6) сводится к следую-
щей системе уравнений:
z1 = \lambda
\biggl(
\theta z1 + q - 1
\theta + q - 2 + z1
\biggr) k - | A| \biggl( \theta z2 + q - 1
\theta + q - 2 + z2
\biggr) | A|
,
z2 = \lambda
\biggl(
\theta z3 + q - 1
\theta + q - 2 + z3
\biggr) | A| - 1\biggl( \theta z4 + q - 1
\theta + q - 2 + z4
\biggr) k+1 - | A|
,
(10)
z3 = \lambda
\biggl(
\theta z2 + q - 1
\theta + q - 2 + z2
\biggr) | A| - 1\biggl( \theta z1 + q - 1
\theta + q - 2 + z1
\biggr) k+1 - | A|
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
О СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИХ МЕРАХ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ПОТТСА С ВНЕШНИМ . . . 535
z4 = \lambda
\biggl(
\theta z4 + q - 1
\theta + q - 2 + z4
\biggr) k - | A| \biggl( \theta z3 + q - 1
\theta + q - 2 + z3
\biggr) | A|
.
Обозначим
f(z) =
\theta z + q - 1
\theta + q - 2 + z
.
Легко доказать следующую лемму.
Лемма 2. При 0 < \theta < 1 функция f(z) является строго убывающей, а при 1 < \theta — строго
возрастающей.
Утверждение 1. Пусть z = (z1, z2, z3, z4) — решение системы уравнений (10). Если zi = zj
при некоторых i \not = j, то z1 = z2 = z3 = z4.
Рассмотрим антиферромагнитную модель Поттса с внешним полем, т. е. 0 < \theta < 1. Пред-
положим, что | A| = k, тогда система уравнений (10) примет вид
z1 = \lambda
\bigl(
f(z2)
\bigr) k
,
z2 = \lambda
\bigl(
f(z3)
\bigr) k - 1\bigl(
f(z4)
\bigr)
,
(11)
z3 = \lambda
\bigl(
f(z2)
\bigr) k - 1\bigl(
f(z1)
\bigr)
,
z4 = \lambda
\bigl(
f(z3)
\bigr) k
.
Изучение системы уравнений (11) сводится к изучению системы уравнений
z2 = \lambda
\bigl(
f(z3)
\bigr) k - 1
f
\Bigl(
\lambda (f(z3))
k
\Bigr)
,
z3 = \lambda
\bigl(
f(z2)
\bigr) k - 1
f
\Bigl(
\lambda (f(z2))
k
\Bigr)
.
(12)
Обозначим
\psi (z) = \lambda (f(z))k - 1 f
\Bigl(
\lambda (f(z))k
\Bigr)
. (13)
Тогда систему уравнений (12) можно записать в виде образом
z2 = \psi (z3),
z3 = \psi (z2).
(14)
Система уравнений (14) имеет столько решений, сколько решений имеет уравнение \psi (\psi (z)) =
= z. Справедлива следующая лемма.
Лемма 3. Пусть \gamma : [0, 1] \rightarrow [0, 1] — непрерывная функция с неподвижной точкой \xi \in
\in (0, 1). Предположим, что функция \gamma дифференцируема в точке \xi \in (0, 1) и \gamma \prime (\xi ) < - 1.
Тогда существуют такие x0, x1, что 0 \leq x0 < \xi < x1 \leq 1 и \gamma (x0) = x1, \gamma (x1) = x0 (см.
[18, с. 70]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
536 М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ
Заметим, что уравнение z = \lambda fk(z) имеет единственное решение z\ast (см. [4, с. 109]).
Утверждение 2. При k \geq 6 и \lambda \in (\lambda 1, \lambda 2) система уравнений (14) имеет три решения
вида (z\ast , z\ast ), (z
\ast
2 , z
\ast
3), (z
\ast
3 , z
\ast
2), где \lambda i = bki , i = 1, 2, и
b1 =
(k - 1 -
\surd
k2 - 6k + 1)(1 - \theta )(\theta + q - 1)z
(k - 1)/k
\ast
2(\theta + q - 2 + z\ast )2
,
b2 =
(k - 1 +
\surd
k2 - 6k + 1)(1 - \theta )(\theta + q - 1)z
(k - 1)/k
\ast
2(\theta + q - 2 + z\ast )2
.
(15)
В результате в силу теоремы 2 справедлива следующая теорема.
Теорема 3. При | A| = k, k \geq 6, и \alpha \in (\alpha 1, \alpha 2) для антиферромагнитной модели Поттса
с внешним полем существует не менее двух HA-слабо периодических (непериодических) мер
Гиббса, где \alpha i = kT \mathrm{l}\mathrm{n} bi, T — температура.
Замечание 1. 1. Условие k \geq 6 необходимо для того, чтобы выполнялось k2 - 6k+1 \geq 0.
Поэтому в случаях 2 \leq k \leq 5 использованный в этой работе метод не подходит и задача
остается открытой.
2. Задача изучения слабо периодических (непериодических) мер Гиббса для нормальных
делителей других четных индексов для модели Поттса с ненулевым внешним полем является
открытой.
Рассмотрим случай \alpha = 0. Тогда система уравнений (6) на инвариантном множестве Mm
сводится к системе уравнений
z1 =
\biggl(
(\theta +m+ 1)z1 + q - m
mz1 + \theta + q - m - 1
\biggr) k - | A| \biggl( (\theta +m+ 1)z2 + q - m
mz2 + \theta + q - m - 1
\biggr) | A|
,
z2 =
\biggl(
(\theta +m+ 1)z3 + q - m
mz3 + \theta + q - m - 1
\biggr) | A| - 1\biggl( (\theta +m+ 1)z4 + q - m
mz4 + \theta + q - m - 1
\biggr) k+1 - | A|
,
(16)
z3 =
\biggl(
(\theta +m+ 1)z2 + q - m
mz2 + \theta + q - m - 1
\biggr) | A| - 1\biggl( (\theta +m+ 1)z1 + q - m
mz1 + \theta + q - m - 1
\biggr) k+1 - | A|
,
z4 =
\biggl(
(\theta +m+ 1)z4 + q - m
mz4 + \theta + q - m - 1
\biggr) k - | A| \biggl( (\theta +m+ 1)z3 + q - m
mz3 + \theta + q - m - 1
\biggr) | A|
.
Обозначим
fm(z) =
(\theta +m+ 1)z + q - m
mz + \theta + q - m - 1
.
Легко доказать, что при 0 < \theta < 1 функция fm(z) является строго убывающей, а при 1 < \theta
— строго возрастающей.
Аналогично утверждению 1 можно доказать следующее утверждение.
Утверждение 3. Пусть z = (z1, z2, z3, z4) — решение системы уравнений (16). Если zi = zj
при некоторых i \not = j, то z1 = z2 = z3 = z4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
О СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИХ МЕРАХ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ПОТТСА С ВНЕШНИМ . . . 537
Рассмотрим случай 0 < \theta < 1 и | A| = k, тогда система уравнений (16) принимает вид
z1 = (fm(z2))
k ,
z2 = (fm(z3))
k - 1 (fm(z4)) ,
(17)
z3 = (fm(z2))
k - 1 (fm(z1)) ,
z4 = (fm(z3))
k .
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Пусть | A| = k и k \geq 6. Если выполняется одно из следующих условий:
1)
4k
k + 1 +
\surd
k2 - 6k + 1
\leq q <
4k
k + 1 -
\surd
k2 - 6k + 1
и 0 < \theta < \theta 2;
2) q \leq 4k
k + 1 +
\surd
k2 - 6k + 1
и \theta 1 < \theta < \theta 2,
то существует не менее 2q - 2 слабо периодических (непериодических) мер Гиббса, где
\theta 1 =
4 k - kq - q - q
\surd
k2 - 6 k + 1
4k
, \theta 2 =
4 k - kq - q + q
\surd
k2 - 6 k + 1
4k
.
Замечание 2. 1. Функционирующие в теоремах 3 и 4 HA-слабо периодические меры
являются новыми и дают возможность описать континуум множества непериодических гибб-
совских мер, отличных от известных ранее.
2. Если вместо (9) рассматриватьMq - 1, то теорема 4 совпадает с теоремой 3 из работы [13].
3. В случае q = 2 модель Поттса описывает модель Изинга. При | A| = k, q = 2 теорема 4
совпадает с теоремой 4 из работы [19], а случай | A| = 1, q = 2 изучен в работах [10, 11].
4. Задача изучения слабо периодических (непериодических) мер Гиббса для нормальных
делителей других четных индексов для модели Поттса с нулевым внешним полем является
открытой.
4. Доказательства. Доказательство леммы 1. 1. Пусть z = (z(1), z(2), z(3), z(4)) \in M1.
Тогда z(i) \in I1, i = 1, 2, 3, 4. По обозначению (8) имеем z(i) = (zi, 1, 1, . . . , 1), где zi \not = 1,
i = 1, 2, 3, 4. Отсюда и из (7) получаем
z\prime 1j =
\biggl(
\theta + q - 2 + z1
\theta + q - 2 + z1
\biggr) k - | A| \biggl( \theta + q - 2 + z2
\theta + q - 2 + z2
\biggr) | A|
= 1, j = 2, 3, . . . , q - 1,
z\prime 2j =
\biggl(
\theta + q - 2 + z3
\theta + q - 2 + z3
\biggr) | A| - 1\biggl( \theta + q - 2 + z4
\theta + q - 2 + z4
\biggr) k+1 - | A|
= 1, j = 2, 3, . . . , q - 1,
z\prime 3j =
\biggl(
\theta + q - 2 + z2
\theta + q - 2 + z2
\biggr) | A| - 1\biggl( \theta + q - 2 + z4
\theta + q - 2 + z4
\biggr) k+1 - | A|
= 1, j = 2, 3, . . . , q - 1,
z\prime 4j =
\biggl(
\theta + q - 2 + z4
\theta + q - 2 + z4
\biggr) k - | A| \biggl( \theta + q - 2 + z3
\theta + q - 2 + z3
\biggr) | A|
= 1, j = 2, 3, . . . , q - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
538 М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ
Следовательно, A(z) \in L1.
Вторая часть леммы доказывается аналогично.
Доказательство утверждения 1. Из системы уравнений (10) получаем cледующие равен-
ства:
z1
z2
=
\biggl(
f(z1)
f(z4)
\biggr) k - | A| \biggl( f(z2)
f(z3)
\biggr) | A| - 1\biggl( f(z2)
f(z4)
\biggr)
, (18)
z1
z3
=
\biggl(
f(z2)
f(z1)
\biggr)
, (19)
z1
z4
=
\biggl(
f(z1)
f(z4)
\biggr) k - | A| \biggl( f(z2)
f(z3)
\biggr) | A|
, (20)
z2
z3
=
\biggl(
f(z3)
f(z2)
\biggr) | A| - 1\biggl( f(z4)
f(z1)
\biggr) k - | A| +1
, (21)
z2
z4
=
\biggl(
f(z4)
f(z3)
\biggr)
, (22)
z3
z4
=
\biggl(
f(z1)
f(z4)
\biggr) k - | A| \biggl( f(z2)
f(z3)
\biggr) | A| - 1\biggl( f(z1)
f(z3)
\biggr)
. (23)
Пусть z = \{ z1, z2, z3, z4\} — решение системы уравнений (10) и z1 = z2. Тогда из строгой
монотонности функции f(z) и из равенства (19) имеем z1 = z2 = z3. В этом случае из (21)
получаем z1 = z4, следовательно, z1 = z2 = z3 = z4.
Пусть z1 = z3. Тогда из строгой монотонности функции f(z) и из равенства (19) находим
z1 = z2 = z3. В этом случае из (21) получаем z1 = z4, следовательно, z1 = z2 = z3 = z4.
Пусть z1 = z4. Тогда из строгой монотонности функции f(z) и из равенства (20) имеем
z2 = z3. В этом случае из (22) получаем равенства
z2f(z2) = z4f(z4). (24)
Рассмотрим функцию \phi (z) = zf(z) = z
\theta z + q - 1
\theta + q - 2 + z
и вычислим ее производную:
\phi \prime (z) =
\theta z2 + 2\theta (\theta + q - 2)z + (q - 1)(\theta + q - 2)
(\theta + q - 2 + z)2
.
Из \theta > 0, z > 0 и q \geq 2 следует, что функция \phi (z) является строго возрастающей. Следова-
тельно, (24) выполняется только при z2 = z4.
Остальные случаи доказываются аналогично.
Утверждение доказано.
Доказательство утверждения 2. Легко видеть, что для функции (13) справедливы следую-
щие утверждения:
1) \psi (z\ast ) = z\ast ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
О СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИХ МЕРАХ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ПОТТСА С ВНЕШНИМ . . . 539
2) функция \psi (z) определена на \BbbR +,
3) \psi (z) является ограниченной и дифференцируемой в точке z\ast .
Тогда по лемме 1 при \psi \prime (z\ast ) < - 1 система уравнений (14) имеет три решения вида (z\ast , z\ast ),
(z\ast 2 , z
\ast
3), (z
\ast
3 , z
\ast
2). Неравенство \psi \prime (z\ast ) < - 1 эквивалентно следующему неравенству:
k
(1 - \theta )2(\theta + q - 1)2z
2
k - 1
k
\ast
(\theta + z\ast + q - 2)4
+ b(k - 1)
(1 - \theta )(\theta + q - 1)z
k - 1
k
\ast
(\theta + z\ast + q - 2)2
+ b2 < 0,
где b = k
\surd
\lambda . Следовательно,
(b - b1)(b - b2) < 0,
где b1, b2 определены в (15).
Утверждение 2 доказано.
Доказательство теоремы 4. Изучение системы уравнений (17) сводится к изучению си-
стемы уравнений
z2 =
\bigl(
fm(z3)
\bigr) k - 1
fm
\bigl(
(fm(z3))
k
\bigr)
,
z3 =
\bigl(
fm(z2)
\bigr) k - 1
fm
\bigl(
(fm(z2))
k
\bigr)
.
(25)
Если ввести обозначение
\varphi (z) = (fm(z))k - 1 fm((fm(z))k), (26)
то система уравнений (25) сводится к системе уравнений
z2 = \varphi (z3),
z3 = \varphi (z2).
(27)
Легко видеть, что для функции (26) справедливы следующие утверждения:
1) \varphi (1) = 1,
2) функция \varphi (z) определена на \BbbR +,
3) \varphi (z) является ограниченной и дифференцируемой в точке z = 1.
Тогда по лемме 3 при \varphi \prime (1) < - 1 система уравнений (27) имеет три решения вида (1, 1),
(z\ast 2 , z
\ast
3), (z
\ast
3 , z
\ast
2). Неравенство \varphi \prime (1) < - 1 эквивалентно неравенству
k
(\theta - 1)2
(\theta + q - 1)2
+ (k - 1)
\theta - 1
\theta + q - 1
+ 1 < 0. (28)
Следовательно,
2k(\theta - \theta 1)(\theta - \theta 2) < 0,
где \theta 1, \theta 2 определены в (12).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
540 М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ
Ясно, что если k < 5, то \theta 1, \theta 2 являются комплексными, а если k = 5, то \theta 1 = \theta 2 и
неравенство (28) не имеет решения.
Теперь рассмотрим случай k \geq 6. Предположим, что \theta 1, \theta 2 одновременно отрицательные,
тогда (28) не имеет решения. Если \theta 1 \leq 0, 0 < \theta 2 < 1, т. е.
4k
k + 1 +
\surd
k2 - 6k + 1
\leq q <
4k
k + 1 -
\surd
k2 - 6k + 1
,
то неравенство (28) имеет решение \theta \in (0, \theta 2). Это доказывает первый пункт теоремы 3.
Теперь докажем второй пункт. Пусть 0 \leq \theta 1 < 1, 0 < \theta 2 < 1, тогда выполняется неравенство
q \leq 4k
k + 1 +
\surd
k2 - 6k + 1
.
В этом случае неравенство (28) имеет решение \theta 1 < \theta < \theta 2. Легко проверить, что \theta 1, \theta 2 не
могут быть больше, чем 1. В результате в силу теоремы 2 при каждом m и при выполнении
условий теоремы 4 получим две слабо периодические (непериодические) меры Гиббса. Из (8)
видно, что m — количество отличных от 1 координат вектора из \BbbR q - 1. Очевидно, что количест-
во таких векторов равно
\sum q - 1
m=1
Cm
q - 1 = 2q - 1 - 1. Следовательно, при выполнении условий
теоремы 4 получим 2(2q - 1 - 1) = 2q - 2 слабо периодические (непериодические) меры Гиббса.
Теорема 4 доказана.
Автор выражает глубокую признательность профессору У. А. Розикову за постановку задачи
и полезные советы.
Литература
1. Георги Х. О. Гиббсовские меры и фазовые переходы. – M.: Мир, 1992. – 624 c.
2. Preston C. J. Gibbs states on countable sets // Cambridge Tracts Math. – 1974. – 68.
3. Синай Я. Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. – M.: Мир, 1980. – 208 c.
4. Rozikov U. A. Gibbs measures on Cayley trees. – World Sci., 2013. – 385 p.
5. Ганиходжаев Н. Н. О чистых фазах ферромагнитной модели Поттса с тремя состояниями на решетке Бете
второго порядка // Теор. и мат. физика. – 1990. – 85, № 2. – С. 163 – 175.
6. Ганиходжаев Н. Н. О чистых фазах ферромагнитной модели Поттса на решетке Бете // Докл. Республики
Узбекистан. – 1992. – 6-7. – С. 4 – 7.
7. Ганиходжаев Н. Н., Розиков У. А. Описание периодических крайних гиббсовских мер некоторых решеточных
моделей на дереве Кэли // Теор. и мат. физика. – 1997. – 111, № 1. – С. 109 – 117.
8. Ganikhodjaev N. N., Rozikov U. A. The Potts model with countable set of spin values on a Cayley tree // Lett. Math.
Phys. – 2006. – 75, № 2. – P. 99 – 109.
9. Külske C., Rozikov U. A., Khakimov R. M. Description of translation-invariant splitting Gibbs measures for the Potts
model on a Cayley tree // J. Statist. Phys. – 2014. – 156, № 1. – P. 189 – 200.
10. Розиков У. А., Рахматуллаев М. М. Описание слабо периодических мер Гиббса модели Изинга на дереве
Кэли // Теор. и мат. физика. – 2008. – 156, № 2. – С. 292 – 302.
11. Розиков У. А., Рахматуллаев М. М. Слабо периодическиe основные состояния и меры Гиббса для модели
Изинга с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли // Теор. и мат. физика. – 2009. – 160, № 3. –
С. 507 – 516.
12. Рахматуллаев М. М. Cлабо периодические меры Гиббса и основные состояния для модели Поттса с конкури-
рующими взаимодействиями на дереве Кэли // Теор. и мат. физика. – 2013. – 176, № 3. – С. 477 – 493.
13. Рахматуллаев М. М. Существование слабо периодических мер Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли //
Теор. и мат. физика. – 2014. – 180, № 3. – С. 1018 – 1028.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
О СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИХ МЕРАХ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ПОТТСА С ВНЕШНИМ . . . 541
14. Ganikhodjaev N. N., Mukhamedov F. M., Mendes J. F. F. On the three state Potts model with competing interactions
on the Bethe lattice // J. Statist. Mech. – 2006. – 29 p.
15. Ганиходжаев Н. Н., Розиков У. А. Групповое представление леса Кэли и его некоторые применения // Изв.
РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 1. – С. 21 – 32.
16. Ганиходжаев Н. Н Групповое представление и автоморфизмы дерева Кэли // Докл. Республики Узбекистан. –
1994. – 4. – С. 3 – 5.
17. Норматов Э. П., Розиков У. А. Описание гармонических функций с применением свойств группового пред-
ставления дерева Кэли // Мат. заметки. – 2006. – 79, № 3. – С. 434 – 444.
18. Kesten H. Quadratic transformations: a model for population growth.I // Adv. Appl. Probab. – 1970. – 2. – P. 1 – 82.
19. Рахматуллаев М. М. О новых слабо периодических гиббсовских мерах модели Изинга на дереве Кэли // Изв.
вузов. Математика. – 2015. – № 11. – С. 54 – 63.
20. Mukhamedov F., Rozikov U., Mendes J. F. F. On contour arguments for the three state Potts model with competing
interactions on a semi-infinite Cayley tree // J. Math. Phys. – 2007. – № 1. – 14 p.
21. Ostilli M., Mukhamedov F. Continuous- and discrete-time Glauber dynamics. First- and second-order phase transitions
in mean-field Potts models // Eur. Phys. Lett. – 2013. – 101.
Получено 07.04.15,
после доработки — 08.09.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1858 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:02Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d5/9f84260391a2873accb4ecdcc4fb20d5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18582019-12-05T09:29:54Z On weakly periodic Gibbs measures for the Potts model with external field on the Cayley tree О слабо периодических мерах Гиббса для модели Поттса с внешним полем на дереве Кэли Rakhmatullaev, M. M. Рахматуллаев, М. М. Рахматуллаев, М. М. We study the Potts model with external field on the Cayley tree of order $k \geq 2$. For the antiferromagnetic Potts model with external field and $k \geq 6$ and $q \geq 3$, it is shown that the weakly periodic Gibbs measure, which is not periodic, is not unique. For the Potts model with external field equal to zero, we also study weakly periodic Gibbs measures. It is shown that, under certain conditions, the number of these measures cannot be smaller than $2^q - 2$. Вивчається модель Поттса iз зовнiшнiм полем на деревi Келi порядку $k \geq 2$. Для антиферомагнiтної моделi Поттса iз зовнiшнiм полем при $k \geq 6$ i $q \geq 3$ показано неєдинiсть слабко перiодичної мiри Гiббса, що не є перiодичною. Також вивчено слабко перiодичнi мiри Гiббса для моделi Поттса з нульовим зовнiшнiм полем. Доведено, що при деяких умовах кiлькiсть таких мiр може бути не меншою за $2^q - 2$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1858 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 4 (2016); 529-541 Український математичний журнал; Том 68 № 4 (2016); 529-541 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1858/840 Copyright (c) 2016 Rakhmatullaev M. M. |
| spellingShingle | Rakhmatullaev, M. M. Рахматуллаев, М. М. Рахматуллаев, М. М. On weakly periodic Gibbs measures for the Potts model with external field on the Cayley tree |
| title | On weakly periodic Gibbs measures for the Potts model with external field on the Cayley tree |
| title_alt | О слабо периодических мерах Гиббса для модели Поттса с внешним полем на дереве Кэли |
| title_full | On weakly periodic Gibbs measures for the Potts model with external field on the Cayley tree |
| title_fullStr | On weakly periodic Gibbs measures for the Potts model with external field on the Cayley tree |
| title_full_unstemmed | On weakly periodic Gibbs measures for the Potts model with external field on the Cayley tree |
| title_short | On weakly periodic Gibbs measures for the Potts model with external field on the Cayley tree |
| title_sort | on weakly periodic gibbs measures for the potts model with external field on the cayley tree |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1858 |
| work_keys_str_mv | AT rakhmatullaevmm onweaklyperiodicgibbsmeasuresforthepottsmodelwithexternalfieldonthecayleytree AT rahmatullaevmm onweaklyperiodicgibbsmeasuresforthepottsmodelwithexternalfieldonthecayleytree AT rahmatullaevmm onweaklyperiodicgibbsmeasuresforthepottsmodelwithexternalfieldonthecayleytree AT rakhmatullaevmm oslaboperiodičeskihmerahgibbsadlâmodelipottsasvnešnimpolemnaderevekéli AT rahmatullaevmm oslaboperiodičeskihmerahgibbsadlâmodelipottsasvnešnimpolemnaderevekéli AT rahmatullaevmm oslaboperiodičeskihmerahgibbsadlâmodelipottsasvnešnimpolemnaderevekéli |