On the solvability of a class of discrete matrix equations with a cubic nonlinearity
We study and solve one class of discrete matrix equations with cubic nonlinearity. The existence of two parametric families of monotone and bounded solutions is proved. Under certain additional conditions, we establish the asymptotic behavior of the constructed solutions. The obtained results are ex...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/186 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860506981770461184 |
|---|---|
| author | Khachatryan, Kh. A. Andriyan, S. M. Хачатрян, Х. А. Андриян, С. М. Хачатрян, Х. А. Андріян, С. М. |
| author_facet | Khachatryan, Kh. A. Andriyan, S. M. Хачатрян, Х. А. Андриян, С. М. Хачатрян, Х. А. Андріян, С. М. |
| author_sort | Khachatryan, Kh. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-01-20T13:10:05Z |
| description | We study and solve one class of discrete matrix equations with cubic nonlinearity. The existence of two parametric families of monotone and bounded solutions is proved. Under certain additional conditions, we establish the asymptotic behavior of the constructed solutions. The obtained results are extended to the corresponding inhomogeneous discrete matrix equations and to certain more general cases of nonlinearity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:02:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.988.63+512.625.5
Х. А. Хачатрян (Ин-т математики НАН Армении, Ереван),
С. М. Андриян (Нац. аграр. ун-т Армении, Ереван)
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИСКРЕТНЫХ МАТРИЧНЫХ
УРАВНЕНИЙ С КУБИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ*
We study and solve one class of discrete matrix equations with cubic nonlinearity. The existence of two parametric families
of monotone and bounded solutions is proved. Under certain additional conditions, we establish the asymptotic behavior of
the constructed solutions. The obtained results are extended to the corresponding inhomogeneous discrete matrix equations
and to certain more general cases of nonlinearity.
Статтю присвячено вивченню i розв’язанню одного класу дискретних матричних рiвнянь iз кубiчною нелiнiйнiстю.
Доведено iснування двопараметричної сiм’ї монотонних i обмежених розв’язкiв. При деяких додаткових умовах
встановлено асимптотичну поведiнку побудованих розв’язкiв. Отриманi результати поширено на вiдповiдне неод-
норiдне дискретне матричне рiвняння i деякi бiльш загальнi випадки нелiнiйностi.
1. Введение. Рассматривается нелинейное матричное уравнение вида
cXcube + (1 - c)X = AXB (1)
относительно матрицы X =(xij)i,j\in \BbbZ , где Xcube =
\bigl(
x3ij
\bigr)
i,j\in \BbbZ — матрица с соответствующими
элементами искомой матрицы X, возведенными в куб, A = (a\ast mi)m,i\in \BbbZ и B =
\bigl(
b\ast jn
\bigr)
n,j\in \BbbZ —
матрицы Теплица с элементами a\ast mi := am - i, m, i \in \BbbZ , и b\ast jn := bn - j , n, j \in \BbbZ , соответственно,
c \in (0, 1] — числовой параметр.
Уравнение (1) в раскрытой форме запишется в виде следующей бесконечной системы:
cx3mn + (1 - c)xmn =
\infty \sum
i= - \infty
am - i
\infty \sum
j= - \infty
bn - j xij , (m,n) \in \BbbZ \times \BbbZ . (1\prime )
Предположим, что числовые последовательности \{ ak\} +\infty
k= - \infty и \{ bs\} +\infty
s= - \infty удовлетворяют сле-
дующим условиям:
ak, bs > 0 \forall k, s \in \BbbZ ,
+\infty \sum
k= - \infty
ak = 1,
+\infty \sum
s= - \infty
bs = 1, (2a)
a - k = ak, b - s = bs \forall k, s \in \BbbN , ak, bs \downarrow на \BbbZ + \equiv \BbbN \cup \{ 0\} . (2b)
Заметим, что из условий (2a) следует, что
0 < a0 < 1, 0 < b0 < 1. (2c)
* Выполнена при финансовой поддержке ГКН МОН РА в рамках научного проекта № SCS 18T-1A004.
c\bigcirc Х. А. ХАЧАТРЯН, С. М. АНДРИЯН, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12 1667
1668 Х. А. ХАЧАТРЯН, С. М. АНДРИЯН
Система уравнений (1\prime ) возникает в дискретных задачах в p-адической теории струн (см., на-
пример, [1 – 3]). При этом физический интерес представляют только вещественные решения
системы (1\prime ). Непосредственной проверкой можно убедиться, что матрицы с постоянными
элементами вида
xmn \equiv 0, xmn \equiv \pm 1, (m,n) \in \BbbZ \times \BbbZ ,
являются тривиальными решениями уравнения (1).
Следует отметить, что при c = 0 нелинейная система (1\prime ) преобразуется в линейную,
которая в пространстве ограниченных последовательностей имеет только тривиальные реше-
ния. Трудности исследования и построения нетривиального решения системы (1\prime ) возникают
особенно для значений c, близких к нулю.
Целью настоящей работы является построение и исследование поведения нетривиальных
решений
- 1 < xmn < 1, (m,n) \in \BbbZ \times \BbbZ ,
при любом c \in (0, 1].
Полученные результаты могут иметь также прикладной интерес при исследовании соответ-
ствующего непрерывного аналога как двумерного, так и одномерного (см. [1 – 7]). Отметим, что
одномерному непрерывному аналогу, имеющему важное физическое применение, будет соот-
ветствовать уравнение (1) относительно вектора-столбца X = (. . . , - x2, - x1, x0, x1, x2, . . .)
T
с единичной матрицей B (и, следовательно, нет необходимости рассматривать матрицу B). В
одномерном случае соответствующая линейная система исследовалась в работе [8].
2. Вспомогательные факты. Сначала докажем две леммы, которые играют ключевую роль
при дальнейшем изложении, а затем еще четыре леммы о некоторых дополнительных свойствах
элементов матриц A и B, используемые при доказательстве основной теоремы.
2.1. Сведение системы (1\prime ) к системе, определенной на \BbbZ + \times \BbbZ +. Сведем систему урав-
нений (1\prime ) со всей целочисленной решеткой \BbbZ \times \BbbZ на ее четверть \BbbZ + \times \BbbZ +. Непосредственной
проверкой можно убедиться в справедливости следующих двух лемм.
Лемма 1. Если (ymn)m\in \BbbZ
n\in \BbbZ +
— решение системы нелинейных уравнений
cy3mn + (1 - c)ymn =
\infty \sum
i= - \infty
am - i
\infty \sum
j=0
(bn - j - bn+j) yij , (m,n) \in \BbbZ \times \BbbZ +, (3)
то
xmn =
\left\{ ymn, если n \in \BbbZ +,
- ym( - n), если n \in \BbbZ \setminus \BbbZ +,
m \in \BbbZ , (4)
— нечетное решение системы уравнений (1\prime ).
Лемма 2. Если (zmn)m,n\in \BbbZ + — решение системы нелинейных уравнений
cz3mn + (1 - c)zmn =
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)
\infty \sum
j=0
(bn - j - bn+j) zij , (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +, (5)
то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИСКРЕТНЫХ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1669
ymn =
\left\{ zmn, если m \in \BbbZ +,
- z - mn, если m \in \BbbZ \setminus \BbbZ +,
n \in \BbbZ +, (6)
— нечетное решение системы (3).
Итак, решение системы (1\prime ) сведено к решению системы (5) и к соотношениям (4), (6).
2.2. Априорные оценки. Основной целью этого подпункта является получение оценок
для элементов бесконечных матриц A и B (лемма 6), доказательство которых проводится на
основании нижеприведенных лемм.
Лемма 3. Пусть выполняются условия (2a) и (2b). Тогда для любых чисел c \in (0, 1] и q > 1
характеристические уравнения относительно p
\infty \sum
i= - \infty
aiq
- p| i| = \varepsilon и
\infty \sum
j= - \infty
bjq
- p| j| = \varepsilon , (7)
где
\varepsilon =
1 +\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
a0, b0,
\surd
1 - c
\bigr\}
2
, 0 < \varepsilon < 1, (8)
имеют единственные положительные решения p1 \equiv p1(c) и p2 \equiv p2(c) соответственно.
Доказательство. Рассмотрим функцию \chi 1(p) \equiv
\sum \infty
i= - \infty
aiq
- p| i| - \varepsilon , p \in \BbbR + \equiv [0,+\infty ).
В предположениях леммы имеем
+\infty \sum
k= - \infty
ak = a0 + 2
\infty \sum
k=1
ak = 1. (9)
С учетом (8) и (9) нетрудно убедиться в следующих свойствах функции \chi 1 :
1) \chi 1 \in C(\BbbR +);
2) \chi 1(p) \downarrow по p на \BbbR + ;
3) \chi 1(0) =
\sum +\infty
k= - \infty
ak - \varepsilon =
1 - \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
a0, b0,
\surd
1 - c
\bigr\}
2
> 0;
4) \chi 1(+\infty ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}p\rightarrow +\infty \chi 1(p) = a0 -
1 + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
a0, b0,
\surd
1 - c
\bigr\}
2
\leq a0 -
1 + a0
2
=
a0 - 1
2
< 0
(последнее неравенство выполняется в силу условия (2c)). Тогда на основании теоремы Больца-
но – Коши и вследствие убывания функции \chi 1 на \BbbR + существует единственное положительное
число p1 \equiv p1(c), являющееся корнем уравнения \chi 1(p) = 0, откуда приходим к завершению
доказательства леммы 3.
Зафиксируем число c \in (0, 1]
\bigl(
а следовательно, и числа p1 \equiv p1(c), p2 \equiv p2(c)
\bigr)
для
дальнейшего изложения.
В связи с тем, что элементы матриц A и B имеют одинаковые свойства (см. (2a), (2b)),
доказательство утверждений нижеприведенных лемм будет проведено только для матрицы A.
Как утверждения, так и их доказательства для матрицы B получаются заменой элементов
матрицы A на элементы B и числа p1 \equiv p1(c) на p2 \equiv p2(c).
Лемма 4. Если выполняются условия (2a) и (2b), а число \varepsilon определено формулой (8), то
справедлива следующая оценка снизу:
m\sum
i= - \infty
aiq
p1i + q2p1m
\infty \sum
i=m+1
aiq
- p1i \geq \varepsilon \forall m \in \BbbZ +. (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1670 Х. А. ХАЧАТРЯН, С. М. АНДРИЯН
Лемма 5. В условиях леммы 4 справедлива оценка
1 + am - 2
\infty \sum
i=m
ai - q - p1m
m\sum
i= - \infty
aiq
p1i + qp1m
\infty \sum
i=m
aiq
- p1i \geq \varepsilon
\bigl(
1 - q - p1m
\bigr)
\forall m \in \BbbZ +. (11)
Доказательство (лемма 4 доказывается аналогично). Рассмотрим последовательность
\{ Sm\} \infty m=0 :
Sm = 1 + am - 2
\infty \sum
i=m
ai - q - p1m
m\sum
i= - \infty
aiq
p1i + qp1m
\infty \sum
i=m
aiq
- p1i - \varepsilon
\bigl(
1 - q - p1m
\bigr)
, m \in \BbbZ +.
С учетом (9) и (2a), (2b) заметим, что S0 = 2
\Bigl(
a0 +
\sum \infty
k=1
ak
\Bigr)
- 2
\sum \infty
i=0
ai = 0. При m \geq 1
после несложных преобразований получаем
Sm+1 - Sm \geq (qp1 - 1) q - p1(m+1)
\Biggl(
m\sum
i= - \infty
aiq
p1i + q2p1m
\infty \sum
i=m+1
aiq
- p1i - \varepsilon
\Biggr)
\geq 0
в силу оценки (10) и предположения, что q > 1. Итак, последовательность \{ Sm\} \infty m=0 неубыва-
ющая, откуда следует, что Sm \geq S0 = 0 \forall m \in \BbbZ +.
Лемма 6. Пусть выполняются все условия леммы 5. Тогда справедлива оценка
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)(1 - q - p1i) \geq \varepsilon (1 - q - p1m), m \in \BbbZ +. (12)
Доказательство проводится простейшими преобразованиями с использованием неравен-
ства am - i - am+i \geq 0 \forall m, i, n, j \in \BbbZ + (см. (2a), (2b)) и оценки (11).
3. О разрешимости вспомогательной граничной задачи для системы (5). 3.1. Построе-
ние последовательных приближений для системы (5). Ограниченность и монотонность
итераций. Перейдем к построению нетривиального решения следующей вспомогательной
граничной задачи для (5):
cz3mn + (1 - c)zmn =
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)
\infty \sum
j=0
(bn - j - bn+j) zij ,
0 \leq zmn < 1 \forall (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +, zmn \not \equiv 0, (5\prime )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
zmn = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
zmn = 1.
Заметим, что zmn = 0 при m \cdot n = 0
\bigl(
(m,n) \in \BbbZ +\times \BbbZ +
\bigr)
, т. е. z0n = zm0 = z00 = 0 \forall m, n \in \BbbN .
Введем в рассмотрение последовательные приближения
c
\Bigl(
z(k+1)
mn
\Bigr) 3
+ (1 - c)z(k+1)
mn =
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)
\infty \sum
j=0
(bn - j - bn+j)z
(k)
ij , k = 0, 1, 2, . . . ,
z(0)mn = 1, (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +.
(13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИСКРЕТНЫХ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1671
Индукцией по k докажем, что последовательность
\Bigl\{
z
(k)
mn
\Bigr\} \infty
k=0
при (m,n) \in \BbbZ +\times \BbbZ + ограничена
сверху:
z(k)mn \leq 1, k = 0, 1, 2, . . . . (14)
Действительно, при k = 0 в (14) имеет место равенство в силу определения нулевого прибли-
жения (13). Предполагая, что (14) выполняется при некотором k \in \BbbN , и используя неравенства
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i) = 1 + am - 2
\infty \sum
i=m
ai \leq 1,
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)
\infty \sum
j=0
(bn - j - bn+j) \leq 1,
получаем c
\Bigl(
z
(k+1)
mn
\Bigr) 3
+ (1 - c)z
(k+1)
mn \leq 1, откуда следует, что
\Bigl(
z(k+1)
mn - 1
\Bigr) \biggl(
c
\Bigl(
z(k+1)
mn
\Bigr) 2
+ cz(k+1)
mn + 1
\biggr)
\leq 0. (15)
Выделяя из второго сомножителя (15) полный квадрат и учитывая, что c \in (0, 1], имеем
c
\biggl(
z(k+1)
mn +
1
2
\biggr) 2
+ 1 - c
4
\geq 1 - c
4
> 0,
поэтому согласно (15) первый сомножитель неположителен: z(k+1)
mn - 1 \leq 0, откуда z
(k+1)
mn \leq 1.
Следовательно, неравенство (14) имеет место при любых k \in \BbbN и (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +.
Далее, покажем ограниченность снизу итераций (13). Прежде всего заметим, что 0 <
<
\sqrt{}
\varepsilon 2 + c - 1
c
< 1, так как c \in (0; 1] и 1 > \varepsilon >
\surd
1 - c+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl(
a0,
\surd
1 - c
\bigr)
2
\geq
\surd
1 - c.
Теперь убедимся, что все члены последовательности
\Bigl\{
z
(k)
mn
\Bigr\} \infty
k=0
при (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +
удовлетворяют следующей оценке снизу:
z(k)mn \geq (1 - q - p1m)(1 - q - p2n)
\sqrt{}
\varepsilon 2 + c - 1
c
, k = 0, 1, 2, . . . . (16)
Неравенство, очевидно, справедливо при mn = 0 в силу второго условия (5\prime ). Пусть (m,n) \in
\in \BbbN \times \BbbN . При k = 0 оценка (16) справедлива согласно определению нулевого приближения (13).
Пусть (16) выполняется при некотором k \in \BbbN . Тогда с использованием оценки (12) для любой
пары (m,n) \in \BbbN \times \BbbN из (13) имеем
c
\Bigl(
z(k+1)
mn
\Bigr) 3
+ (1 - c)z(k+1)
mn \geq
\sqrt{}
\varepsilon 2 + c - 1
c
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)(1 - q - p1i)\times
\times
\infty \sum
j=0
(bn - j - bn+j)(1 - q - p2j) \geq \varepsilon 2
\Biggl(
(1 - q - p1m)(1 - q - p2n)
\sqrt{}
\varepsilon 2 + c - 1
c
\Biggr)
.
С учетом того, что c \in (0, 1], q > 1, 0 < 1 - q - pis < 1 \forall s \in \BbbN , i = 1, 2, и неравенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1672 Х. А. ХАЧАТРЯН, С. М. АНДРИЯН
c
\Bigl( \bigl(
1 - q - p1m
\bigr) \bigl(
1 - q - p2n
\bigr) \Bigr) 2 \varepsilon 2 + c - 1
c
+ 1 - c < c
\varepsilon 2 + c - 1
c
+ 1 - c = \varepsilon 2 \forall m, n \in \BbbN ,
получаем
c
\Bigl(
z(k+1)
mn
\Bigr) 3
+ (1 - c)z(k+1)
mn \geq c
\Biggl( \bigl(
1 - q - p1m
\bigr) \bigl(
1 - q - p2n
\bigr) \sqrt{} \varepsilon 2 + c - 1
c
\Biggr) 3
+
+(1 - c)
\Biggl( \bigl(
1 - q - p1m
\bigr) \bigl(
1 - q - p2n
\bigr) \sqrt{} \varepsilon 2 + c - 1
c
\Biggr)
.
Поскольку c принадлежит (0, 1] и кубическая функция
H(t) = ct3 + (1 - c)t, t \in \BbbR , (17)
монотонна на всей действительной оси: H(t) \uparrow по t на \BbbR , из полученного выше неравенства
получаем оценку (16).
Индукцией по k также можно доказать монотонность итераций:
z(k)mn \downarrow по k, (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +, k = 0, 1, 2, . . . ; (18)
при фиксированном m \in \BbbZ +
z(k)mn \uparrow по n на \BbbZ +, k = 0, 1, 2, . . . (19)
при фиксированном n \in \BbbZ +
z(k)mn \uparrow по m на \BbbZ +, k = 0, 1, 2, . . . (20)\Bigl(
последовательность
\Bigl\{
z
(k)
mn
\Bigr\} \infty
k=0
неубывающая на \BbbZ + \times \BbbZ +, k = 0, 1, 2, . . .
\Bigr)
.
3.2. Существование предела итераций. Из (14), (16) и (18) следует, что при k \rightarrow +\infty
последовательность
\Bigl\{
z
(k)
mn
\Bigr\} \infty
k=0
имеет предел (см. [9]) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow +\infty z
(k)
mn = zmn(m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +,
причем элементы предельной матрицы (zmn)m,n\in \BbbZ + удовлетворяют системе (5) и для них имеет
место двусторонняя оценка
\bigl(
1 - q - p1m
\bigr) \bigl(
1 - q - p2n
\bigr) \sqrt{} \varepsilon 2 + c - 1
c
\leq zmn \leq 1 \forall (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +. (21)
С другой стороны, согласно (14), (19) и (20) существует предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
zmn = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
zm+\infty = \lambda , 0 <
\sqrt{}
\varepsilon 2 + c - 1
c
\leq \lambda < +\infty ,
причем из представления системы уравнений (5) и условий, наложенных на нее, следует, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow +\infty \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow +\infty zmn = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow +\infty z+\infty n = \lambda . Записывая систему уравнений (5) в виде
cz3mn + (1 - c)zmn =
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)
\left( \infty \sum
j=0
bn - j zij -
\infty \sum
j=n
bj zi j - n
\right) , (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИСКРЕТНЫХ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1673
и при фиксированном m \in \BbbZ + переходя к пределу при n \rightarrow +\infty с учетом непрерывности
кубической функции (17), известного предельного соотношения (см. [10])
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\infty \sum
j=0
bn - j xj = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
xj
+\infty \sum
s= - \infty
bs
и 0 <
\sum \infty
j=n
bjzi j - n \leq
\sum \infty
j=n
bj - - - - - \rightarrow
n\rightarrow +\infty
0 \forall i \in \BbbZ + (в силу (14) и (2a)), имеем
cz3m +\infty + (1 - c)zm +\infty =
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)zi +\infty . (22)
Затем в полученной системе уравнений устремляя m к +\infty , аналогично находим c\lambda 3 + (1 -
- c)\lambda = \lambda . Поскольку \lambda > 0, из последнего равенства получаем \lambda = 1. Следовательно, для
решения граничной задачи (5\prime ) справедлива указанная асимптотика.
3.3. Об одном дополнительном свойстве решения системы (5). Пусть
l1(\BbbZ +) \equiv
\Biggl\{
h = (h0, h1, . . . , hn, . . .) :
\infty \sum
i=0
| hi| < +\infty
\Biggr\}
,
l1(\BbbZ - ) \equiv
\Biggl\{
\~h = (. . . , \~h - n, . . . , \~h - 2, \~h - 1) :
- 1\sum
i= - \infty
| \~hi| < +\infty
\Biggr\}
.
Сначала докажем, что если, дополнительно, предположить, что
ma \equiv 2
\infty \sum
i=0
(i+ 1)ai < \infty , mb \equiv 2
\infty \sum
j=0
(j + 1)bj < \infty , (23)
то имеют место включения
U (k) :=
\Bigl(
1 - z
(k)
0+\infty , 1 - z
(k)
1+\infty , 1 - z
(k)
2+\infty , . . .
\Bigr)
\in l1(\BbbZ +), (24)
V (k) :=
\Bigl(
1 - z
(k)
+\infty 0, 1 - z
(k)
+\infty 1, 1 - z
(k)
+\infty 2, . . .
\Bigr)
\in l1(\BbbZ +). (25)
Индукцией по k докажем включение (24). С этой целью для системы (22) рассмотрим после-
довательные приближения
c
\Bigl(
z
(k+1)
m+\infty
\Bigr) 3
+ (1 - c)z
(k+1)
m+\infty =
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)z
(k)
i+\infty , k = 0, 1, . . . ,
(26)
z
(0)
m+\infty = 1, m \in \BbbZ +.
При k = 0 включение (24), очевидно, справедливо. Допустим, (26) имеет место при некотором
k \in \BbbN . Тогда с учетом (2a), (2b), (14) и (26) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1674 Х. А. ХАЧАТРЯН, С. М. АНДРИЯН
0 \leq 1 - z
(k+1)
m+\infty \leq
\Bigl(
1 - z
(k+1)
m+\infty
\Bigr) \biggl(
1 + cz
(k+1)
m+\infty + c
\Bigl(
z
(k+1)
m+\infty
\Bigr) 2\biggr)
=
= 1 -
\biggl(
c
\Bigl(
z
(k+1)
m+\infty
\Bigr) 3
+ (1 - c)z
(k+1)
m+\infty
\biggr)
= 1 -
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)z
(k)
i+\infty \leq
\leq
\infty \sum
i=m+1
ai +
\infty \sum
i=0
am - i
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr)
+
\infty \sum
i=m
ai \leq 2
\infty \sum
i=m
ai +
\infty \sum
i=0
am - i
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr)
.
Поскольку в силу (23) и (2a) имеем соответственно
\sum \infty
m=0
\sum \infty
i=m
ai =
ma
2
и
\infty \sum
m=0
\infty \sum
i=0
am - i
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr)
=
\infty \sum
i=0
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr) \infty \sum
m=0
am - i \leq
\infty \sum
i=0
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr)
< +\infty ,
то 1 - z
(k+1)
m+\infty \in l1(\BbbZ +).
Заметим, что существуют такие натуральные числа r1 и r2, что
\rho 1 \equiv
r1\sum
i= - \infty
ai < 1, \rho 2 \equiv
r2\sum
j= - \infty
bj < 1. (27)
Зафиксируем r1 и r2. Воспользовавшись (16) и доказанным выше неравенством
\Bigl(
1 - z
(k+1)
m+\infty
\Bigr) \Biggl(
1 + c
\bigl(
1 - q - p1m
\bigr) \sqrt{} \varepsilon 2 + c - 1
c
+
\bigl(
1 - q - p1m
\bigr) 2\bigl(
\varepsilon 2 + c - 1
\bigr) \Biggr)
\leq
\leq
\Bigl(
1 - z
(k+1)
m+\infty
\Bigr) \biggl(
1 + cz
(k+1)
m+\infty + c
\Bigl(
z
(k+1)
m+\infty
\Bigr) 2\biggr)
\leq 2
\infty \sum
i=m
ai +
\infty \sum
i=0
am - i
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr)
,
k = 0, 1, 2, . . . , m \in \BbbZ +,
с учетом (23), (27) и (2a) оценим следующую сумму сверху:
\infty \sum
m=0
\Bigl(
1 - z
(k+1)
m+\infty
\Bigr) \Biggl(
1 + c
\bigl(
1 - q - p1m
\bigr) \sqrt{} \varepsilon 2 + c - 1
c
+
\bigl(
1 - q - p1m
\bigr) 2\bigl(
\varepsilon 2 + c - 1
\bigr) \Biggr)
\leq
\leq 2
\infty \sum
m=0
\infty \sum
i=m
ai +
\infty \sum
m=0
\infty \sum
i=0
am - i
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr)
\leq
\leq ma +
\infty \sum
m=0
r1\sum
i=0
am - i
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr)
+
\infty \sum
m=0
\infty \sum
i=r1+1
am - i
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr)
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИСКРЕТНЫХ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1675
\leq ma +
r1\sum
i=0
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr) i\sum
k= - \infty
ak +
\infty \sum
i=r1+1
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr)
\leq
\leq ma + \rho 1
r1\sum
i=0
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr)
+
\infty \sum
i=r1+1
\Bigl(
1 - z
(k)
i+\infty
\Bigr)
.
Отсюда имеем
r1\sum
m=0
\Bigl(
1 - z
(k+1)
m+\infty
\Bigr) \Bigl(
1 - \rho 1 +
\bigl(
1 - q - p1m
\bigr) \sqrt{}
c(\varepsilon 2 + c - 1) +
\bigl(
1 - q - p1m
\bigr) 2\bigl(
\varepsilon 2 + c - 1
\bigr) \Bigr)
+
+
\infty \sum
m=r1+1
\Bigl(
1 - z
(k+1)
m+\infty
\Bigr) \Bigl( \bigl(
1 - q - p1m
\bigr) \sqrt{}
c(\varepsilon 2 + c - 1) +
\bigl(
1 - q - p1m
\bigr) 2\bigl(
\varepsilon 2 + c - 1
\bigr) \Bigr)
\leq ma.
Из полученного неравенства следует, что\biggl( \Bigl(
1 - q - p1(r1+1)
\Bigr) \sqrt{}
c(\varepsilon 2 + c - 1) +
\Bigl(
1 - q - p1(r1+1)
\Bigr) 2\bigl(
\varepsilon 2 + c - 1
\bigr) \biggr) \infty \sum
i=m+1
\Bigl(
1 - z
(k+1)
m+\infty
\Bigr)
+
+(1 - \rho 1)
r1\sum
m=0
\Bigl(
1 - z
(k+1)
m+\infty
\Bigr)
\leq ma.
Полагая
\delta 1 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl\{
1 - \rho 1;
\Bigl(
1 - q - p1(r1+1)
\Bigr) \sqrt{}
c(\varepsilon 2 + c - 1) +
\Bigl(
1 - q - p1(r1+1)
\Bigr) 2\bigl(
\varepsilon 2 + c - 1
\bigr) \Bigr\}
,
из последнего неравенства получаем
\sum \infty
m=0
\Bigl(
1 - z
(k+1)
m+\infty
\Bigr)
\leq ma
\delta 1
\forall k = 0, 1, . . . . Отсюда, пе-
реходя к пределу при k \rightarrow \infty , имеем
\sum \infty
m=0
(1 - zm+\infty ) \leq ma
\delta 1
, следовательно,
U :=(1 - z0+\infty , 1 - z1+\infty , 1 - z2+\infty , . . .) \in l1(\BbbZ +). (28)
Доказательство включения (25) проводится аналогично. Повторяя те же выкладки, прихо-
дим к оценке
\sum \infty
n=0
(1 - z+\infty n) \leq
mb
\delta 2
, где mb задано формулой (23) и
\delta 2 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1 - \rho 2;
\Bigl(
1 - q - p2(r2+1)
\Bigr) \sqrt{}
c(\varepsilon 2 + c - 1) +
\Bigl(
1 - q - p2(r2+1)
\Bigr) 2\bigl(
\varepsilon 2 + c - 1
\bigr) \biggr\}
.
Следовательно,
V :=(1 - z+\infty 0, 1 - z+\infty 1, 1 - z+\infty 2, . . .) \in l1(\BbbZ +). (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1676 Х. А. ХАЧАТРЯН, С. М. АНДРИЯН
4. Двупараметрическое семейство ограниченных решений нелинейной системы (1\prime ).
Основная теорема. Справедлива следующая лемма.
Лемма 7. Пусть выполняются условия (2a) и (2b). Тогда если при любом c \in (0, 1] матрица
(xmn)m,n\in \BbbZ является решением уравнения (1), то при любых \tau 1, \tau 2 \in \BbbZ матрицы сдвигов
X\tau 1\tau 2 =(x\tau 1\tau 2mn )m,n\in \BbbZ с элементами вида
x\tau 1\tau 2mn = xm+\tau 1n+\tau 2 (30)
также являются решениями уравнения (1).
Доказательство проводится непосредственной подстановкой (30) в левую часть систе-
мы (1\prime ).
Согласно пп. 2.1 матрица (xmn)m,n\in \BbbZ , являющаяся нечетным продолжением посредством
формул (4) и (6) на всю целочисленную решетку \BbbZ \times \BbbZ решения (zmn)m,n\in \BbbZ + граничной
задачи (5\prime ), является решением уравнения (1), при этом наследуя свойства монотонности и
ограниченности ее элементов, а также соответствующее асимптотическое поведение в беско-
нечности. Тогда на основании леммы 7 при любых \tau 1, \tau 2 \in \BbbZ для матриц X\tau 1\tau 2 =(x\tau 1\tau 2mn )m,n\in \BbbZ
с элементами вида (30) согласно включениям (24) и (25) имеем\bigl(
1\mp x\tau 1\tau 2\pm \infty 0, 1\mp x\tau 1\tau 1\pm \infty 1, 1\mp x\tau 1\tau 2\pm \infty 2, . . .
\bigr)
\in l1(\BbbZ \pm ),
\bigl(
1\mp x\tau 1\tau 20 \pm \infty , 1\mp x\tau 1\tau 21 \pm \infty , 1\mp x\tau 1\tau 22 \pm \infty , . . .
\bigr)
\in l1(\BbbZ \pm ),
(31)\bigl(
. . . , 1\mp x\tau 1\tau 2\mp \infty - 3, 1\mp x\tau 1\tau 2\mp \infty - 2, 1\mp x\tau 1\tau 2\mp \infty - 1
\bigr)
\in l1(\BbbZ \pm ),
\bigl(
. . . , 1\mp x\tau 1\tau 2 - 3\mp \infty , 1\mp x\tau 1\tau 2 - 2\mp \infty , 1\mp x\tau 1\tau 2 - 1\mp \infty
\bigr)
\in l1(\BbbZ \pm ).
Итак, справедлива следующая основная теорема.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (2a) и (2b). Тогда при любом значении параметра
c \in (0, 1] задача для уравнения (1) с граничными условиями
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| m| \rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| n| \rightarrow \infty
xmn = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| n| \rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| m| \rightarrow \infty
xmn =
\left\{ 1, если mn \geq 0,
- 1, если mn < 0,
имеет двупараметрическое семейство решений X\tau 1\tau 2 =(x\tau 1\tau 2mn )m,n\in \BbbZ , \tau 1, \tau 2 \in \BbbZ , с монотонно
возрастающими и ограниченными элементами вида (30), в котором (xmn)m,n\in \BbbZ — нечетное
продолжение решения граничной задачи (5\prime ) на всю целочисленную решетку \BbbZ \times \BbbZ посредством
формул (4) и (6). Более того, если, дополнительно, имеют место условия (23), то при любых
\tau 1, \tau 2 \in \BbbZ имеют место включения (31).
5. О разрешимости соответствующего неоднородного уравнения с кубический нели-
нейностью. 5.1. О разрешимости граничной задачи для неоднородной системы, соот-
ветствующей системе (5\prime ). Пусть выполняются условия (2a), (2b) и c \in (0, 1]. Рассмотрим
относительно неизвестной матрицы F = (fmn)m,n\in \BbbZ + неоднородное уравнение
cFcube + (1 - c)F = G+AFB, (32)
в котором матрица Fcube = (f3
mn)m,n\in \BbbZ + , а G = (gmn)m,n\in \BbbZ + имеет следующие свойства:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИСКРЕТНЫХ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1677
gmn \geq 0 на \BbbZ + \times \BbbZ +, причем gmn = 0, если mn = 0, (33a)
gmn \uparrow по m и n на \BbbZ + \times \BbbZ +, (33b)
gmn ограничены на \BbbZ + \times \BbbZ + : существуетK > 0 такое, что gmn \leq K \forall (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +,
(33c)
\infty \sum
m=0
(c0 - gm+\infty ) < \infty ,
\infty \sum
n=0
(c0 - g+\infty n) < \infty , (33d)
где
gm+\infty := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
gmn, g+\infty n := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
gmn , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
gm+\infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
g+\infty n \equiv c0 < +\infty . (34)
Введем в рассмотрение характеристическое уравнение
cx3 - cx = c0 (35)
относительно x \in \BbbR +. Заметим, что при любом значении параметра c \in (0, 1] уравнение (35)
имеет единственное решение c\ast , причем c\ast \geq 1. Действительно, рассматривая функцию h(x) \equiv
\equiv cx3 - cx - c0, x \in \BbbR +, нетрудно проверить, что
h(0) = h(1) = - c0, h(+\infty ) = +\infty ,
h\prime (x) \leq 0, если x \in
\biggl[
0,
1\surd
3
\biggr]
, h\prime (x) \geq 0, если x \in
\biggl[
1\surd
3
,+\infty
\biggr)
.
Отсюда следует существование единственного корня c\ast \geq 1 уравнения h(x) = 0. Следователь-
но,
c \cdot c3\ast - c \cdot c\ast = c0, c\ast \geq 1. (36)
Запишем уравнение (32) в раскрытом виде
cf3
mn + (1 - c)fmn = gmn +
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)
\infty \sum
j=0
(bn - j - bn+j) fij , (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +, (32\prime )
и построим следующие последовательные приближения:
c
\Bigl(
f (k+1)
mn
\Bigr) 3
+ (1 - c)f (k+1)
mn = gmn +
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)
\infty \sum
j=0
(bn - j - bn+j)f
(k)
ij ,
f (0)
mn = c\ast , (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +, k = 0, 1, 2, . . . .
(37)
Сначала убедимся, что
f (k)
mn \downarrow по k \forall (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +. (38)
Применим индукцию. Докажем, что f
(1)
mn \leq f
(0)
mn \forall (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +. Из свойств (33a) – (33c),
(34) свободного члена системы следует, что gmn \leq c0 \forall (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +. Тогда с учетом
очевидного неравенства
\sum \infty
i=0
(am - i - am+i) \leq 1 и (36) из (37) имеем
c
\Bigl(
f (1)
mn
\Bigr) 3
+ (1 - c)f (1)
mn \leq c0 + c\ast = c \cdot c3\ast - c \cdot c\ast + c\ast = c \cdot c3\ast + (1 - c) \cdot c\ast , (39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1678 Х. А. ХАЧАТРЯН, С. М. АНДРИЯН
а в силу монотонности и непрерывности кубической функции H (см. (17)) из (39) получаем
f
(1)
mn \leq c\ast = f
(0)
mn, (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +. Тогда в предположении, что f
(k)
mn \leq f
(k - 1)
mn при некотором
натуральном k, снова с использованием монотонности функции H нетрудно получить, что
f
(k+1)
mn \leq f
(k)
mn, (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +.
Как и при доказательстве утверждений (16) – (20) для системы уравнений (13), нетрудно
проверить, что последовательность
\Bigl\{
f
(k)
mn
\Bigr\} \infty
k=0
является
ограниченной: для всех k = 0, 1, 2, . . .
(1 - q - p1m)(1 - q - p2n)
\sqrt{}
\varepsilon 2 + c - 1
c
\leq f (k)
mn \leq c\ast \forall (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +, (40)
неубывающей: при любом k = 0, 1, 2, . . . и
при фиксированном m \in \BbbZ + f (k)
mn \uparrow по n на \BbbZ +, (41)
при фиксированном n \in \BbbZ + f (k)
mn \uparrow по m на \BbbZ + (42)\Bigl(
последовательность
\Bigl\{
f
(k)
mn
\Bigr\} \infty
k=0
неубывающая на \BbbZ + \times \BbbZ +, k = 0, 1, 2, . . .
\Bigr)
.
Из (38) и (40) следует, что при k \rightarrow +\infty последовательность
\Bigl\{
f
(k)
mn
\Bigr\} \infty
k=0
имеет предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow +\infty f
(k)
mn = fmn, (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +, причем предельная матрица F = (fmn)m,n\in \BbbZ + удов-
летворяет уравнению (32), а для ее элементов справедлива следующая двусторонняя оценка:
\bigl(
1 - q - p1m
\bigr) \bigl(
1 - q - p2n
\bigr) \sqrt{} \varepsilon 2 + c - 1
c
\leq fmn \leq c\ast \forall (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +. (43)
Далее, согласно (40) – (43) заключаем, что существует предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
fmn = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
fmn = \zeta , 0 <
\sqrt{}
\varepsilon 2 + c - 1
c
\leq \zeta < +\infty .
Покажем, что \zeta = c\ast . Действительно, как и пп. 3.2, из (32\prime ) получаем c\zeta 3+(1 - c)\zeta = c0+\zeta
или c\zeta 3 - c\zeta = c0. Поскольку \zeta > 0, из (35) и (36) получаем \zeta = c\ast или
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow +\infty \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow +\infty fmn = c\ast .
Пусть выполняются условия (23), (27) и (33d). Тогда, как и при доказательстве теоремы 1,
вводя обозначения
fm+\infty := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
fmn, f+\infty n := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
fmn,
{\ae}1 \equiv
\infty \sum
m=0
(c0 - gm+\infty ) + (1 + c\ast )
ma
2
, {\ae}2 \equiv
\infty \sum
n=0
(c0 - g+\infty n) + (1 + c\ast )
mb
2
,
\vargamma 1 \equiv \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl\{
1 - \rho 1; c\ast
\Bigl(
1 - q - p1(r1+1)
\Bigr) \sqrt{}
c(\varepsilon 2 + c - 1) +
\Bigl(
1 - q - p1(r1+1)
\Bigr) 2\bigl(
\varepsilon 2 + c - 1
\bigr) \Bigr\}
,
\vargamma 2 \equiv \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl\{
1 - \rho 2; c\ast
\Bigl(
1 - q - p2(r2+1)
\Bigr) \sqrt{}
c(\varepsilon 2 + c - 1) +
\Bigl(
1 - q - p2(r2+1)
\Bigr) 2\bigl(
\varepsilon 2 + c - 1
\bigr) \Bigr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИСКРЕТНЫХ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1679
для любого k = 0, 1, . . . получаем следующие равномерные оценки:
\infty \sum
m=0
(c\ast - fm+\infty ) \leq {\ae}1
\vargamma 1 + c(c2\ast - 1)
,
\infty \sum
n=0
(c\ast - f+\infty n) \leq
{\ae}2
\vargamma 2 + c(c2\ast - 1)
.
Отсюда следует, что
U :=(c\ast - f0+\infty , c\ast - f1+\infty , c\ast - f2+\infty , . . .) \in l1(\BbbZ +), (44)
V :=(c\ast - f+\infty 0, c\ast - f+\infty 1, c\ast - f+\infty 2, . . .) \in l1(\BbbZ +). (45)
5.2. Нечетное продолжение решения задачи на \BbbZ \times \BbbZ . Построим нечетное продолжение
на всю целочисленную решетку \BbbZ \times \BbbZ решения задачи (32). По аналогии с задачей для урав-
нения (1) заметим, что если матрица F =(fmn)m,n\in \BbbZ + — решение уравнения (32), то матрица
W = (wmn)m,n\in \BbbZ с элементами вида
wmn \equiv
\left\{ f| m| | n| , если mn \geq 0,
- f| m| | n| , если mn < 0,
(46)
является решением уравнения
cWcube + (1 - c)W = V +AWB, (47)
где Wcube = (w3
mn)m,n\in \BbbZ , V = (vmn)m,n\in \BbbZ — матрица с элементами
vmn =
\left\{ g| m| | n| , если mn \geq 0,
- g| m| | n| , если mn < 0.
(48)
Тогда с учетом (44), (45) из (46) непосредственно следуют включения
(c\ast \mp w0\pm \infty , c\ast \mp w1\pm \infty , c\ast \mp w2\pm \infty , . . .) \in l1(\BbbZ \pm ),
(c\ast \mp w\pm \infty 0, c\ast \mp w\pm \infty 1, c\ast \mp w\pm \infty 2, . . .) \in l1(\BbbZ \pm ),
(49)
(. . . , c\ast \mp w\mp \infty - 3, c\ast \mp w\mp \infty - 2, c\ast \mp w\mp \infty - 1) \in l1(\BbbZ \pm ),
(. . . , c\ast \mp w - 3\mp \infty , c\ast \mp w - 2\mp \infty , c\ast \mp w - 1\mp \infty ) \in l1(\BbbZ \pm ).
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть элементы матриц A и B удовлетворяют условиям (2a) и (2b), элемен-
ты матрицы G — условиям (33a) – (33c), а матрица V задана согласно (48). Тогда при любом
значении параметра c \in (0, 1] матричное уравнение (47) имеет решение W с ограниченными и
определенными по формуле (46) элементами, являющимися нечетным продолжением решения
системы (32) на всю целочисленную решетку \BbbZ \times \BbbZ , причем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| m| \rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| n| \rightarrow \infty
wmn = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| n| \rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| m| \rightarrow \infty
wmn =
\left\{ c\ast , если mn \geq 0,
- c\ast , если mn < 0,
где предел c\ast \geq 1 определен согласно (36). Более того, если, дополнительно, выполняются
условия (23) и (33d), то имеют место включения (49).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1680 Х. А. ХАЧАТРЯН, С. М. АНДРИЯН
6. Некоторые обобщения полученных результатов. Рассмотрим более общую по срав-
нению с (1\prime ) нелинейную систему
Q(\widehat xmn) =
\infty \sum
i= - \infty
am - i
\infty \sum
j= - \infty
bn - j\widehat xij , (m,n) \in \BbbZ \times \BbbZ , (50)
относительно матрицы \widehat X =(\widehat xij)i,j\in \BbbZ , элементы которой удовлетворяют граничным условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| m| \rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| n| \rightarrow \infty
\widehat xmn = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| n| \rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| m| \rightarrow \infty
\widehat xmn =
\left\{ \eta , если mn \geq 0,
- \eta , если mn < 0,
\eta > 0. (51)
Пусть выполняются условия (2a), (2b), а Q — нечетная и непрерывная на \BbbR функция, для
которой существуют такие числа \delta \in
\bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
a20, b
2
0,
\bigr\}
, 1
\bigr)
и \xi \in (0, \eta ), что
0 \leq Q(u) \leq \delta u, u \in [0, \xi ] и Q(u) \uparrow по u на отрезке [0, \eta ] и Q(\eta ) = \eta , (52)
где \eta — первый положительный корень уравнения Q(u) = u.
Построим нетривиальные решения уравнения (50). Сначала отметим, что по аналогии с до-
казательствами лемм 3 – 6 можно показать, что справедливы соответственно следующие леммы.
Лемма 8. В условиях (2a) и (2b) при любом q > 1 характеристические уравнения
\infty \sum
i= - \infty
aiq
- p| i| =
\surd
\delta и
\infty \sum
j= - \infty
bjq
- p| j| =
\surd
\delta
относительно p имеют единственные положительные решения p\ast 1 и p\ast 2 соответственно.
Лемма 9. При условиях леммы 8 справедливы следующие оценки снизу:
m\sum
i= - \infty
aiq
p\ast 1i + q2p
\ast
1m
\infty \sum
i=m+1
aiq
- p\ast 1i \geq
\surd
\delta ,
n\sum
j= - \infty
bjq
p\ast 2j + q2p
\ast
2j
\infty \sum
j=n+1
bjq
- p\ast 2j \geq
\surd
\delta \forall m, n \in \BbbZ +.
Лемма 10. При условиях леммы 9 справедливы оценки
1 + am - 2
\infty \sum
i=m
ai - q - p\ast 1m
m\sum
i= - \infty
aiq
p\ast 1i + qp1m
\infty \sum
i=m
aiq
- p\ast 1i \geq
\surd
\delta
\Bigl(
1 - q - p\ast 1m
\Bigr)
\forall m \in \BbbZ +,
1 + bn - 2
\infty \sum
j=n
bj - q - p\ast 2n
n\sum
j= - \infty
bjq
p\ast 2j + qp2n
\infty \sum
j=n
bjq
- p\ast 2j \geq
\surd
\delta
\Bigl(
1 - q - p\ast 2n
\Bigr)
\forall n \in \BbbZ +.
Лемма 11. Пусть выполняются все условия леммы 10. Тогда при любых m,n \in \BbbZ + спра-
ведливы оценки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИСКРЕТНЫХ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1681
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)(1 - q - p\ast 1i) \geq
\surd
\delta (1 - q - p\ast 1m),
\infty \sum
j=0
(bn - j - bn+j)(1 - q - p\ast 2j) \geq
\surd
\delta (1 - q - p\ast 2n).
Далее, рассмотрим вспомогательную систему
Q(\widehat zmn) =
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)
\infty \sum
j=0
(bn - j - bn+j)\widehat zij , (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +, (53)
относительно тождественно ненулевой матрицы \widehat Z =(\widehat zmn)m,n\in \BbbZ + с элементами 0 \leq \widehat zmn < \eta ,
удовлетворяющими граничным условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\widehat zmn = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
\widehat zmn = \eta . (54)
Введем для (53) последовательные приближения
Q
\Bigl( \widehat z(k+1)
mn
\Bigr)
=
\infty \sum
i=0
(am - i - am+i)
\infty \sum
j=0
(bn - j - bn+j)\widehat z(k)ij ,
\widehat z(0)mn \equiv \eta , (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +, k = 0, 1, 2, . . . .
(55)
Поскольку Q — нечетная и непрерывная на \BbbR функция со свойствами (52), аналогично доказа-
тельству теоремы 1, с использованием леммы 11 можно проверить справедливость следующих
свойств последовательности
\Bigl\{ \widehat z(k)mn
\Bigr\} \infty
k=0
:
\widehat z(k)mn \downarrow по k, (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +, (56)
\widehat z(k)mn \uparrow по m (и n) на \BbbZ +, k = 0, 1, 2, . . . , (57)
\xi
\Bigl(
1 - q - p\ast 1m
\Bigr) \Bigl(
1 - q - p\ast 2n
\Bigr)
\leq \widehat z(k)mn \leq \eta , k = 0, 1, 2, . . . , (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +. (58)
Из (56) – (58) следует, что при k \rightarrow +\infty последовательность
\Bigl\{ \widehat z(k)mn
\Bigr\} \infty
k=0
имеет предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
\widehat z(k)mn = \widehat zmn, (m,n) \in \BbbZ + \times \BbbZ +,
причем предельная матрица \widehat Z = (\widehat zmn)m,n\in \BbbZ + удовлетворяет уравнению (53) и \widehat zmn = 0 при
mn = 0 \forall (m,n) \in \BbbZ +\times \BbbZ +, \widehat zmn \uparrow по m (иn) на \BbbZ + и 0 < \xi
\bigl(
1 - q - p\ast 1m
\bigr) \bigl(
1 - q - p\ast 2n
\bigr)
\leq \widehat zmn \leq \eta ,
(m,n) \in \BbbN \times \BbbN . Следовательно, существует предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\widehat zmn = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
\widehat zmn = \nu , (59)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1682 Х. А. ХАЧАТРЯН, С. М. АНДРИЯН
0 < \xi \leq \nu \leq \eta . (60)
Наконец, установим, что \nu = \eta , т. е. имеет место граничное условие (54). Действительно, с
одной стороны, используя непрерывность функции Q и (59), имеем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
Q(\widehat zmn) = Q
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\widehat zmn
\biggr)
= Q(\nu ),
а, с другой, повторяя рассуждения, проведенные в пп. 3.2, находим
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\left( \infty \sum
i=0
(am - i - am+i)
\infty \sum
j=0
(bn - j - bn+j)\widehat zij
\right) = \nu .
Отсюда на основании (50) имеем Q(\nu ) = \nu . Тогда, имея в виду (60) и предположение, что \eta —
первый положительный корень уравнения Q(u) = u, получаем \nu = \eta .
Итак, справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть выполняются условия (2a) и (2b), а Q — нечетная и непрерывная на \BbbR
функция, удовлетворяющая условиям (52). Тогда граничная задача (50) и (51) имеет двупара-
метрическое семейство решений \~X\tau 1\tau 2 =(\~x\tau 1\tau 2mn )m,n\in \BbbZ с элементами вида \widehat x\tau 1\tau 2mn = \widehat xm+\tau 1 n+\tau 2 ,
\tau 1, \tau 2 \in \BbbZ , где (\widehat xmn)m,n\in \BbbZ — нечетное продолжение решения граничной задачи (53), (54) на
всю целочисленную решетку \BbbZ \times \BbbZ :
\widehat xmn \equiv
\left\{ \widehat z| m| | n| , если mn \geq 0,
- \widehat z| m| | n| , если mn < 0,
(m,n) \in \BbbZ \times \BbbZ .
Более того, если, дополнительно, имеют место условия (23), a функция Q удовлетворяет
условию 0 < Q(u) \leq cu3
\eta 2
+ (1 - c)u, c \in (0, 1], u \in [0, \eta ] (более сильному, чем первое усло-
вие (52)), то при любых \tau 1, \tau 2 \in \BbbZ имеют место включения\bigl(
\eta \mp \widehat x\tau 1\tau 2\pm \infty 0, \eta \mp \widehat x\tau 1\tau 1\pm \infty 2, \eta \mp \widehat x\tau 1\tau 2\pm \infty 2, . . .
\bigr)
\in l1(\BbbZ \pm ),
\bigl(
\eta \mp \widehat x\tau 1\tau 20\pm \infty , \eta \mp \widehat x\tau 1\tau 21\pm \infty , \eta \mp \widehat x\tau 1\tau 22\pm \infty , . . .
\bigr)
\in l1(\BbbZ \pm ),
\Bigl(
. . . , \eta \mp \widehat x\tau 1\tau 2(\mp \infty ) - 3, \eta \mp \widehat x\tau 1\tau 2\mp \infty - 2, \eta \mp \widehat x\tau 1\tau 2\mp \infty - 1
\Bigr)
\in l1(\BbbZ \pm ),
\bigl(
. . . , \eta \mp \widehat x\tau 1\tau 2 - 3\mp \infty , \eta \mp \widehat x\tau 1\tau 2 - 2 \mp \infty , \eta \mp \widehat x\tau 1\tau 2 - 1\mp \infty
\bigr)
\in l1(\BbbZ \pm ).
Доказательство проводится аналогично доказательству второй части теоремы 1 и лем-
мы 7.
Замечание. Теорема 3 обобщает теорему 1
\biggl(
\delta = \varepsilon 2, \xi =
\sqrt{}
\varepsilon 2 + c - 1
c
, \eta = 1
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИСКРЕТНЫХ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1683
Литература
1. Жуковская Л. В. Итерационный метод решения нелинейных интегральных уравнений, описывающих роллин-
говые решения в теории струн // Теор. и мат. физика. – 2006. – 146, № 3. – С. 402 – 409.
2. Владимиров В. С., Волович Я. И. О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны // Теор. и
мат. физика. – 2004. – 138, № 3. – С. 355 – 368.
3. Frampton P. H., Okada Yasuhiro. Effective scalar field theory of p-adic string // Phys. Rev. D. – 1989. – 37, № 10. –
P. 3077 – 3079.
4. Brekke Lee, Freund P. G. O. p-Adic numbers in physics // Phys. Rep. – 1993. – 233, № 1. – P. 1 – 66.
5. Volovich I. V. p-Adic string // Classical Quantum Gravity. – 1987. – 4, № 4. – P. L83 – L87.
6. Хачатрян Х. А. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории p-
адической струны // Изв. РАН. Сер. мат. – 2018. – 82, № 2. – С. 172 – 193.
7. Хачатрян Х. А. О разрешимости одной граничной задачи в p-адической теории струн //Тр. Моск. мат. о-ва. –
2018. – 79, № 1. – С. 117 – 132.
8. Арабаджян Л. Г. Об одной бесконечной алгебраической системе в нерегулярном случае // Мат. заметки. –
2011. – 89, № 1. – С. 3 – 11.
9. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Физматгиз, 1966. – Т. 2. –
800 с.
10. Арабаджян Л. Г., Хачатрян А. С. Об одном классе интегральных уравнений типа свертки // Мат. сб. – 2007. –
198, № 7. – С. 45 – 62.
Получено 05.07.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-186 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:02:03Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/06/98b2d38b0fa2cb6170202ba3b5239106.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-1862020-01-20T13:10:05Z On the solvability of a class of discrete matrix equations with a cubic nonlinearity О разрешимости одного класса дискретных матричных уравнений с кубической нелинейностью Про можливості розв'язання одного класу дискретних матричних рівнянь з кубічною нелінійністью Khachatryan, Kh. A. Andriyan, S. M. Хачатрян, Х. А. Андриян, С. М. Хачатрян, Х. А. Андріян, С. М. бесконечная матрица, граничная задача, последовательные приближения, монотонность, предел нескінченна матриця, гранична задача, послідовні наближення, монотонність, межа infinite matrix, boundary value problem, successive approximations, monotonicity, limit We study and solve one class of discrete matrix equations with cubic nonlinearity. The existence of two parametric families of monotone and bounded solutions is proved. Under certain additional conditions, we establish the asymptotic behavior of the constructed solutions. The obtained results are extended to the corresponding inhomogeneous discrete matrix equations and to certain more general cases of nonlinearity. Работа посвящена изучению и решению одного класса дискретных матричных уравнений с кубической нелинейностью. Доказано существование двухпараметрического семейства монотонных и ограниченных решений. При некоторых дополнительных условиях устанавливается асимптотическое поведение построенных решений. Полученные результаты распространены на соответствующее неоднородное дискретное матричное уравнение и на некоторые более общие случаи нелинейности. Статтю присвячено вивченню і розв'язанню одного класу дискретних матричних рівнянь із кубічною нелінійністю. Доведено існування двопараметричної сім'ї монотонних і обмежених розв'язків. При деяких додаткових умовах встановлено асимптотичну поведінку побудованих розв'язків. Отримані результати поширено на відповідне неоднорідне дискретне матричне рівняння і деякі більш загальні випадки нелінійності. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/186 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 12 (2019); 1667-1683 Український математичний журнал; Том 71 № 12 (2019); 1667-1683 1027-3190 uk rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/186/1525 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/186/1526 Copyright (c) 2019 Х. А. Хачатрян,С. М. Андріян |
| spellingShingle | Khachatryan, Kh. A. Andriyan, S. M. Хачатрян, Х. А. Андриян, С. М. Хачатрян, Х. А. Андріян, С. М. On the solvability of a class of discrete matrix equations with a cubic nonlinearity |
| title | On the solvability of a class of discrete matrix equations with a cubic nonlinearity |
| title_alt | О разрешимости одного класса дискретных матричных уравнений с кубической нелинейностью Про можливості розв'язання одного класу дискретних матричних рівнянь з кубічною нелінійністью |
| title_full | On the solvability of a class of discrete matrix equations with a cubic nonlinearity |
| title_fullStr | On the solvability of a class of discrete matrix equations with a cubic nonlinearity |
| title_full_unstemmed | On the solvability of a class of discrete matrix equations with a cubic nonlinearity |
| title_short | On the solvability of a class of discrete matrix equations with a cubic nonlinearity |
| title_sort | on the solvability of a class of discrete matrix equations with a cubic nonlinearity |
| topic_facet | бесконечная матрица граничная задача последовательные приближения монотонность предел нескінченна матриця гранична задача послідовні наближення монотонність межа infinite matrix boundary value problem successive approximations monotonicity limit |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/186 |
| work_keys_str_mv | AT khachatryankha onthesolvabilityofaclassofdiscretematrixequationswithacubicnonlinearity AT andriyansm onthesolvabilityofaclassofdiscretematrixequationswithacubicnonlinearity AT hačatrânha onthesolvabilityofaclassofdiscretematrixequationswithacubicnonlinearity AT andriânsm onthesolvabilityofaclassofdiscretematrixequationswithacubicnonlinearity AT hačatrânha onthesolvabilityofaclassofdiscretematrixequationswithacubicnonlinearity AT andríânsm onthesolvabilityofaclassofdiscretematrixequationswithacubicnonlinearity AT khachatryankha orazrešimostiodnogoklassadiskretnyhmatričnyhuravnenijskubičeskojnelinejnostʹû AT andriyansm orazrešimostiodnogoklassadiskretnyhmatričnyhuravnenijskubičeskojnelinejnostʹû AT hačatrânha orazrešimostiodnogoklassadiskretnyhmatričnyhuravnenijskubičeskojnelinejnostʹû AT andriânsm orazrešimostiodnogoklassadiskretnyhmatričnyhuravnenijskubičeskojnelinejnostʹû AT hačatrânha orazrešimostiodnogoklassadiskretnyhmatričnyhuravnenijskubičeskojnelinejnostʹû AT andríânsm orazrešimostiodnogoklassadiskretnyhmatričnyhuravnenijskubičeskojnelinejnostʹû AT khachatryankha promožlivostírozv039âzannâodnogoklasudiskretnihmatričnihrívnânʹzkubíčnoûnelíníjnístʹû AT andriyansm promožlivostírozv039âzannâodnogoklasudiskretnihmatričnihrívnânʹzkubíčnoûnelíníjnístʹû AT hačatrânha promožlivostírozv039âzannâodnogoklasudiskretnihmatričnihrívnânʹzkubíčnoûnelíníjnístʹû AT andriânsm promožlivostírozv039âzannâodnogoklasudiskretnihmatričnihrívnânʹzkubíčnoûnelíníjnístʹû AT hačatrânha promožlivostírozv039âzannâodnogoklasudiskretnihmatričnihrívnânʹzkubíčnoûnelíníjnístʹû AT andríânsm promožlivostírozv039âzannâodnogoklasudiskretnihmatričnihrívnânʹzkubíčnoûnelíníjnístʹû |