Multiple Haar basis and m-term appriximations for functions from the Besov classes. I
We describe the isotropic Besov spaces of functions of several variables in the terms of conditions imposed on the Fourier – Haar coefficients.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1860 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507738080018432 |
|---|---|
| author | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. |
| author_facet | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. |
| author_sort | Romanyuk, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:54Z |
| description | We describe the isotropic Besov spaces of functions of several variables in the terms of conditions imposed on the Fourier – Haar coefficients. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
В. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА и \bfitm -ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССОВ БЕСОВА. I
We describe the isotropic Besov spaces of functions of several variables in the terms of conditions imposed on the
Fourier – Haar coefficients.
Описано iзотропнi простори Бєсова функцiй багатьох змiнних у термiнах умов на коефiцiєнти Фур’є – Хаара цих
функцiй.
Введение. Работа состоит из двух взаимосвязанных частей, оформленных в виде отдельных
статей с общим названием. Первая часть посвящена описанию изотропных пространств Бесова
функций из Lp(\BbbI d), 1 \leq p \leq \infty , в терминах условий на их коэффициенты Фурье по кратному
базису Хаара.
В первом пункте приведены основные обозначения и определения. Во втором пункте опре-
деляются базисные системы функций \mathrm{H}d
0, \BbbH d
0 и базис Хаара – Шаудера \mathrm{H}d, а также кратная
система функций Хаара \scrH d. Здесь же проводится структурирование системы \mathrm{H}d
0 по определен-
ным свойствам ее элементов. В третьем пункте доказана теорема об эквивалентном представ-
лении нормы (элементов f ) изотропного пространства Бесова B\alpha
p,\theta посредством выражений от
коэффициентов Фурье – Хаара функций f по системе \mathrm{H}d. При этом мы существенно исполь-
зуем результаты из [1] (см. также [2], § 3), касающиеся свойств системы \mathrm{H}d
0, равносильно —
базиса \mathrm{H}d.
Пусть X — банахово пространство с нормой \| \cdot \| X и \frakA = \{ u\alpha \} \alpha \in \Omega — система элементов
из X такая, что \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\frakA = X . Здесь \Omega — счетное множество индексов, в частности \Omega = \BbbZ d —
множество целочисленных точек (векторов) в \BbbR d, d \geq 1.
Величина наилучшего m-членного, m \in \BbbN , приближения элемента f \in X по системе \frakA
определяется следующим образом:
\sigma m(f ;\frakA ;X ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Lambda \subset \Omega
\sharp \Lambda =m
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
c\alpha \in \BbbR
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
\alpha \in \Lambda
c\alpha u\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
.
Этой величиной устанавливается наименьшая погрешность аппроксимации f линейными ком-
бинациями произвольных m элементов системы \frakA . Полагаем также \sigma 0(f ;\frakA ;X ) = \| f\| X .
Если F — некоторое фиксированное подмножество в X , то определяем
\sigma m(F ;\frakA ;X ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\sigma m(f ;\frakA ;X ).
Одной из первостепенных в теории нелинейной аппроксимации является задача установ-
ления асимптотики (по крайней мере, слабой) величин \sigma m(F ;\frakA ;X ) для заданных X , \frakA и F.
Дополняющей и более важной, с точки зрения практических приложений, является задача о
построении алгоритма, на основании которого определяется множество \Lambda f \subset \Omega , \sharp \Lambda f = m для
f \in F и коэффициенты c\alpha (f), \alpha \in \Lambda f , такие, что
c\bigcirc В. С. РОМАНЮК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4 551
552 В. С. РОМАНЮК
\sigma m(F ;\frakA ;X ) \asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
\alpha \in \Lambda f
c\alpha (f)u\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
.
В некоторых случаях решение этой задачи довольно простое. Например, если X = H —
сепарабельное гильбертово пространство и \frakA — ортонормированный базис в H , то значение
величины \sigma m(f ;\frakA ;H ) с нормой \| \cdot \| H , индуцированной скалярным произведением в H , реа-
лизуется при приближении так называемыми жадными аппроксимантами, а соответствующий
алгоритм их построения называется чисто жадным алгоритмом и обозначается PGA.
В основе PGA (в упрощенном варианте) лежит выбор m наибольших по модулю коэффи-
циентов Фурье c\alpha (f) элемента f по системе \frakA (и этим, как следствие, определяется соответ-
ствующее множество \Lambda f ). Понятно, что жадные аппроксиманты таким образом, вообще говоря,
определяются неоднозначно, но все они дают одно и то же значение приближения элемента f
в H .
В общем случае использование PGA в качестве построения аппарата „хорошей” нелинейной
аппроксимации элемента f \in F обусловливается свойствами системы \frakA . Например, если X =
= Lp(\BbbT d), 1 \leq p \leq \infty , \BbbT d :=
\prod d
i=1
[0; 2\pi ], \scrT = \{ ei(k,x)\} k\in \BbbZ d , то жадные аппроксиманты
функции f \in Lp(\BbbT d) имеют вид
Gm(f, x) =
m\sum
j=1
\widehat f(kj)ei(kj ,x),
где | \widehat f(k1)| \geq | \widehat f(k2)| \geq . . . \geq | \widehat f(km)| \geq . . . — упорядоченные по модулям коэффициенты Фурье
функции f по системе \scrT .
В [3] доказано, что для любой функции f \in Lp(\BbbT d)\bigm\| \bigm\| f(\cdot ) - Gm(f ; \cdot )
\bigm\| \bigm\|
p
\leq
\bigl(
1 + 3m| 1/2 - 1/p| \bigr) \sigma m\bigl( f ; \scrT ;Lp(\BbbT d)
\bigr)
, 1 \leq p \leq \infty .
В [4] установлены оценки величины \sigma m(F ; \scrT ;Lp(\BbbT d)) для некоторых классов F гладких
функций (в частности, классов типа Никольского – Бесова), которые в сочетании с оценками
величин \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}f\in F \| f(\cdot ) - Gm(f ; \cdot )\| p, полученными в [3], показывают, что при определенных
предположениях имеет место соотношение
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\bigm\| \bigm\| f(\cdot ) - Gm(f ; \cdot )
\bigm\| \bigm\|
p
\asymp \sigma m
\bigl(
F ; \scrT ;Lp(\BbbT d)
\bigr)
.
Определяющим условием в построении и использовании простых жадных аппроксимант
для приближения в Lp(\BbbT d), 1 < p < \infty , является равномерная ограниченность базиса \frakA , в
частности базиса \scrT , участвующего в PGA, т. е.
1
M
\leq \| u\alpha \| 1 \leq \| u\alpha \| p \leq \| u\alpha \| \infty \leq M.
Заметим, что это влечет равенство по порядку каждого слагаемого \| \langle f ;u\alpha \rangle u\alpha \| p и модулей
| \langle f ;u\alpha \rangle | — коэффициентов Фурье \langle f ;u\alpha \rangle , \alpha \in \Omega , функции f \in Lp(\BbbT d) по системе \frakA .
Примером систем, не подчиняющихся условию равномерной ограниченности
\bigl(
в функци-
ональных пространствах Lp(\BbbI d), 1 \leq p < 2
\bigr)
, являются кратная базисная система Хаара \scrH d =
= \{ \mathrm{H}I\} I\in \BbbD d (см. [5]) и система Хаара \BbbH d
0 = \{ hk\} k\in \BbbZ d функций от d переменных (определение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА и m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССОВ БЕСОВА. I 553
этих систем в единых терминах дается в п. 2). Как показано в [2] (см. также [1]), система \BbbH d
0
после надлежащего упорядочивания является базисом в Lp(\BbbI d), 1 \leq p < \infty , который обознача-
ется через \mathrm{H}d.
Отметим, что a priori в случае d = 1 обе системы совпадают, т. е. \scrH 1 \equiv \BbbH 1
0, и являются
базисной системой (базисом Хаара – Шаудера) в Lp(\BbbI ), 1 \leq p < \infty [6] (гл. 3).
Поскольку \mathrm{H}d = (hi)
\infty
i=1 — ортонормированный базис Шаудера в Lp(\BbbI d), 1 \leq p < \infty , то
каждая функция f \in Lp(\BbbI d) допускает представление (см. [2])
f(x) =
\infty \sum
i=1
(f, hi)hi(x) (1)
(ряд сходится в Lp(\BbbI d), 1 \leq p < \infty ), где (f, hi) =
\int
\BbbI d
f(x)hi(x)dx — коэффициенты Фурье –
Хаара функции f.
Известно, что даже в случае d = 1 при 1 \leq p < 2 для некоторой функции f \in Lp(\BbbI d),
возможно, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}i\rightarrow \infty | (f, hi)| = +\infty . Поэтому практически осуществить построение простых
жадных аппроксимант согласно PGA для каждой функции f из Lp(\BbbI d) не представляется воз-
можным. Однако из разложения (1) следует, что \| (f, hi)hi\| p \rightarrow 0 при i \rightarrow \infty , поэтому можно
определить аппарат нелинейного приближения f с помощью так называемого жадного алго-
ритма Gp, по-видимому, впервые примененного в [7] в случае d = 1 и в [5] в случае d \geq 1 при
приближении аппаратами, построенными по кратной системе Хаара \scrH d, — тензорного произ-
ведения известных одномерных систем Хаара \BbbH . Отметим, что в упомянутых работах понятие
„жадных аппроксимант” укладывается в термин „жадный алгоритм”.
Итак, для функции f \in Lp(\BbbI d) и системы \mathrm{H}d \equiv \BbbH d
0 полагаем
Gp
m(f ; \mathrm{H}d)(x) :=
\sum
k\in \Lambda max
f
(f, hk)hk(x), x \in \BbbI d,
где \Lambda max
f \subset \BbbZ d
+ зависит от функции f и определяется так, что \sharp \Lambda max
f = m и
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
\| (f, hk)hk\| p, k \in \Lambda max
f
\bigr\}
\geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\| (f, hk)hk\| p, k \in \BbbZ d
+\setminus \Lambda max
f
\bigr\}
.
Для f \in Lp(\BbbI d), 1 \leq p \leq \infty , погрешность приближения жадными аппроксимантами Gp
m(f ; \mathrm{H}d)
измеряется величиной
gm
\bigl(
f ; \mathrm{H}d;Lp(\BbbI d)
\bigr)
:= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Lambda max
f
\subset \BbbZ d+
\sharp \Lambda max
f
=m
\bigm\| \bigm\| f - Gp
m(f ; \mathrm{H}d)
\bigm\| \bigm\|
p
.
При m = 0 полагаем g0
\bigl(
f ; \mathrm{H}d;Lp(\BbbI d)
\bigr)
:= \| f\| p.
Если F \subset Lp(\BbbI d), то определяем
gm
\bigl(
F ; \mathrm{H}d;Lp(\BbbI d)
\bigr)
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
gm
\bigl(
f ; \mathrm{H}d;Lp(\BbbI d)
\bigr)
.
В дальнейшем будем использовать аналогичные определения и для подсистем \scrK в \mathrm{H}d,
определяющихся сужением множества индексов \BbbZ d
+ на некоторое множество \Omega , а также для
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
554 В. С. РОМАНЮК
других систем и с иной индексацией их элементов. Одним из основных, во всех случаях,
является условие, чтобы количество слагаемых в приближающем агрегате равнялось m.
Отметим, что в случае d > 1 жадные аппроксиманты Gp
m(f ; \mathrm{H}d) и Gp
m(f ;\scrH d) имеют, вообще
говоря, различные возможности при приближении индивидуальной функции f \in Lp(\BbbI d), 1 \leq
\leq p \leq \infty , в сравнении с соответствующими наилучшими m-членными приближениями. Так,
известно, что при 1 \leq p \leq \infty не для каждой функции f \in Lp(\BbbI d) выполняется порядковое
равенство
gm
\bigl(
f ;\scrH d;Lp(\BbbI d)
\bigr)
\asymp \sigma m
\bigl(
f ;\scrH d;Lp(\BbbI d)
\bigr)
.
Подробнее об этом см. в [7].
В противоположность отмеченному базис \mathrm{H}d, d > 1, наследует многие структурные и ап-
проксимационные свойства одномерного базиса Хаара \mathrm{H}1 = \BbbH . Например, для любой функции
f \in Lp(\BbbI d), 1 < p < \infty , имеет место соотношение (см. теорему 1)
gm
\bigl(
f ; \mathrm{H}d;Lp(\BbbI d)
\bigr)
\asymp \sigma m
\bigl(
f ; \mathrm{H}d;Lp(\BbbI d)
\bigr)
,
которое в случае d = 1 установлено В. Н. Темляковым [7]. Этот факт позволил в полном объеме
получить решение упомянутых в начале работы задач по отношению к величине \sigma m(F ;\frakA ;X )
в случаях, когда:
1) F = SB\alpha
p,\theta , 1 \leq p, \theta < \infty , 0 < \alpha < 1, — единичный шар в изотропном пространстве
Бесова функций из Lp(\BbbI d) и/или F = SB\Lambda
\theta (Lp), 1 \leq p, \theta \leq \infty , — единичный шар в пространстве
типа Никольского – Бесова (точное определение см. ниже);
2) \frakA = \mathrm{H}d — кратный базис Хаара в Lq(\BbbI d), 1 \leq q < \infty ;
3) X = Lq(\BbbI d), 1 < q < \infty , — пространство Лебега функций d переменных.
Уточненные ограничения на параметры p, q, \theta , \alpha и \Lambda указаны в формулировках соответ-
ствующих теорем.
Что касается базиса Хаара \mathrm{H} функций одной переменной, отметим следующее. Системное
изучение рядов по системе \mathrm{H} восходит к работе П. Л. Ульянова [8]. В статье Б. И. Голубо-
ва [9] получены фундаментальные результаты, характеризующие аппроксимативные свойства
системы \mathrm{H} по отношению к функциям из пространств Lq([0, 1]), 1 \leq q < \infty , и C([0, 1]) в
задачах линейной аппроксимации. Основное содержание этих результатов составляют прямые
и обратные теоремы.
1. Основные обозначения и определения. Через \BbbN , \BbbR , \BbbR +, \BbbZ , \BbbZ + обозначаются соответ-
ственно множества натуральных, вещественных, вещественных неотрицательных, целых, це-
лых неотрицательных чисел; \BbbI — отрезок [0, 1]; Ad =
\prod d
i=1
A, d \in \BbbN , — декартово произведение
d множеств A, где A — одно из множеств \BbbN , \BbbR , \BbbR +, \BbbZ , \BbbZ + или отрезок [a; b] \subset \BbbR ;
d\bigotimes
i=1
\frakM (i) — тен-
зорное произведение некоторых множеств \frakM (i), i = 1, d, в частности функциональных; \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}A
обозначает количество элементов произвольного конечного множества A, а \sharp A — количество
точек конечного множества A \subset \BbbZ d; | A| или \mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l} \mathrm{A} — объем (мера Лебега) множества A \subset \BbbR d;
B — замыкание множества B \subset X по норме \| \cdot \| X банахова пространства X ; \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ \varphi i, i \in A\}
— линейная оболочка системы элементов \{ \varphi i, i \in A\} ; \gamma X := \{ f \in X : \| f\| X \leq \gamma \} , \gamma > 0, где
X — банахово пространство; SX := 1X — единичный шар в X .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА и m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССОВ БЕСОВА. I 555
X \lhook \rightarrow \scrY означает, что для банаховых пространств X и \scrY справедливо вложение X \subset \scrY
и \| x\| \scrY \leq C\| x\| X \forall x \in X , C > 0. Через a = (an)
\infty
n=1 обозначается последовательность эле-
ментов некоторого пространства, а через b = \{ b\alpha \} \alpha \in \Omega — счетная (конечная) система элементов
некоторого пространства.
Одной и той же буквой в разных шрифтах с определенными индексами и без них мы
обозначаем различные системы функций Хаара.
Через C(p, q), C1(p, q), C2(r, \theta , p) обозначаются величины, зависящие, возможно, только
от указанных в скобках параметров, положительные при всех допустимых значениях этих
параметров, а через C, C1, C2, . . . — абсолютные положительные постоянные, необязательно
одинаковые в разных местах текста.
Далее a \asymp b означает, что для неотрицательных величин a и b, определяемых некоторой
совокупностью параметров, существует положительная величина C, не зависящая от одного,
обозначенного контекстом параметра, такая, что C - 1a \leq b \leq Ca; если только b \leq Ca
\bigl(
b \geq
\geq C - 1a
\bigr)
, то пишем b \ll a (b \gg a).
Наконец, приведем определения и обозначения базовых объектов, используемых в работе.
Lq(\Omega ), 1 \leq q \leq \infty , — пространство функций \varphi : \Omega \rightarrow \BbbR , измеримых на измеримом
множестве \Omega \subset \BbbR d с конечной нормой
\| \varphi \| Lq(\Omega ) =
\left( \int
\Omega
| \varphi (x)| qdx
\right) 1/q
, 1 \leq q < \infty ,
\| \varphi \| L\infty (\Omega ) = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \Omega
| \varphi (x)| ;
Lq := Lq(\BbbI d), \| \cdot \| q := \| \cdot \| Lq(\BbbI d), 1 \leq q \leq \infty ;
Bp :=
\bigl\{
f \in Lp(\BbbI d) : \| \varphi \| p \leq 1
\bigr\}
— единичный шар в пространстве Lp(\BbbI d);
\omega (\varphi ; t)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} 0\leq \lambda i<t\leq 1
i=1,d
\| \Delta \lambda (f ; \cdot )\| Lp(\BbbI d\lambda )
— модуль непрерывности
\bigl(
p-интегральный при
1 \leq p < \infty
\bigr)
функции \varphi \in Lp(\BbbI d), \lambda := (\lambda 1, . . . , \lambda d) \in \BbbR d
+, \BbbI d\lambda :=
\prod d
i=1
[0; 1 - \lambda i] и \Delta \lambda (f ;x) :=
:= f(x+ \lambda ) - f(x) при x, x+ \lambda \in \BbbI d;
lmp , 0 < p \leq \infty , m \in \BbbN , — пространство векторов x = (x1, . . . , xm) \in \BbbR m, снабженное
квазинормой (нормой при 1 \leq p \leq \infty )
\| x\| lmp =
\Biggl(
m\sum
i=1
| xi| p
\Biggr) 1/p
, 0 < p < \infty ,
\| x\| lm\infty = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq i\leq m | xi| , p = \infty ;
Bm
p (r) := \{ x \in lmp : \| x\| lmp \leq r\} , r > 0; Bm
p \equiv Bm
p (1).
2. Определение функциональных систем \bfH \bfitd
\bfzero , \BbbH
\bfitd
\bfzero , \bfH
\bfitd и \bfscrH \bfitd . В 1909 г. А. Хааром [10]
была построена ортонормированная на отрезке [0, 1] полная в пространстве L1([0, 1]) система
функций (hn(x))
\infty
n=0, x \in [0, 1], ряды Фурье по которой для непрерывных функций сходятся к
ним равномерно на [0, 1]. Напомним определение этой системы в обозначениях, дополняющих
уже принятые.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
556 В. С. РОМАНЮК
Обозначим через Dj , j = 1, 2, . . . , множество двоичных интервалов j-го уровня отрезка
\BbbI := [0, 1] :
Dj =
\bigl\{
Isj : s = 0, 1, . . . , 2j - 1 - 1
\bigr\}
,
где Isj = (s2 - j+1, (s+ 1)2 - j+1). Положим также I00 := \BbbI и D0 = \{ I00\} .
Определим функции Хаара, положив
\mathrm{H}I00
(t) = 1, t \in \BbbI ,
и для j = 1, 2, . . . , s = 0, 1, . . . , 2j - 1 - 1
\mathrm{H}Isj
(t) =
\left\{
| Isj | - 1/2, t \in
\biggl(
s2 - j+1,
\biggl(
s+
1
2
\biggr)
2 - j+1
\biggr)
,
- | Isj | - 1/2, t \in
\biggl( \biggl(
s+
1
2
\biggr)
2 - j+1, (s+ 1)2 - j+1
\biggr)
,
0, t \in \BbbI \setminus Isj ,
где | Isj | = 2 - j+1 — длина интервала Isj , а Isj — его замыкание.
Во всех внутренних (по отношению к отрезку \BbbI ) точках разрыва функции \mathrm{H}Isj
(t) полагаются
равными полусумме их пределов слева и справа, а в конечных точках отрезка [0, 1] — их
предельным значениям изнутри отрезка.
Система \BbbH = \{ \mathrm{H}I00
\}
\bigcup
\{ \mathrm{H}Isj
\} j=1,2,...
s=0,1,...,2j - 1 - 1
называется базисной системой Хаара.
Упорядочим систему \BbbH следующим образом. Положим h0(t) = 1, t \in I00 , и h2j - 1+s(t) =
= hsj(t) = \mathrm{H}Isj
(t) для 0 \leq s < 2j - 1, j = 1, 2, . . . . Полученную последовательность hn, n =
= 0, 1, . . . , обозначим через \mathrm{H}.
В 1928 г. Й. Шаудер [11] показал, что система \mathrm{H} = (hn)
\infty
n=0 является базисом в простран-
ствах Лебега Lq
\bigl(
[0, 1]
\bigr)
, 1 \leq q < \infty .
Определим теперь кратную базисную систему Хаара \mathrm{H}d
0 функций, заданных на единичном
кубе \BbbI d, d \geq 2. Обозначим через Qj :=
\bigotimes d
i=1Dj , j = 1, 2, . . . , множество кубов I двоичного
разбиения куба \BbbI d объемом | I| = 2( - j+1)d, т. е.
Qj =
\Biggl\{
I lj =
d\prod
i=1
I lij : l = (l1, . . . , ld), 0 \leq li < 2j - 1, i = 1, d
\Biggr\}
,
а через Q :=
\bigcup \infty
j=1Qj множество всех кубов двоичного разбиения \BbbI d. Положим
\mathrm{H}d
0 := \{ \mathrm{H}\BbbI d\} \cup \{ \mathrm{H}I\} I\in Q,
где функция
\mathrm{H}\BbbI d(x) = 1, x \in \BbbI d,
и для j \in \BbbN и I \in Qj
\Bigl(
т. е. I =
\prod d
i=1
Isij
\Bigr)
\mathrm{H}I(x1, . . . , xd) =
\prod
i\in E
\mathrm{H}I
si
j
(xi)\times
\prod
i\in \BbbT \setminus E
| \mathrm{H}I
si
j
(xi)| . (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА и m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССОВ БЕСОВА. I 557
Здесь E — произвольное непустое подмножество множества \BbbT := \{ 1, 2, . . . , d\} , в том числе
допускается E = \BbbT и в этом случае множитель
\prod
i\in \BbbT \setminus E заменяется единицей.
Заметим, что совокупностью всех подмножеств E с заданным числом \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}E \not = d и мно-
жеством E = \BbbT c помощью формулы (2) определяется 2d - 1 функция с носителями на фикси-
рованном кубе I \in Qj , а значит на каждом кубе I lj =
\prod d
i=1
I lij , l = (l1, . . . , ld), 0 \leq li < 2j - 1,
i = 1, d. Соответствующие множества таких функций обозначим через \mathrm{H}(j, \=l).
Теперь представим систему \mathrm{H}d
0, d \geq 2, другим способом, исходя из одномерного базиса
Хаара \mathrm{H} и используя при этом векторную нумерацию входящих в эту систему функций. С
этой целью разобьем множество \BbbZ d
+ на непересекающиеся подмножества Z0,d := Y0,d и Zj,d :=
:= Yj,d \setminus Yj - 1,d, j = 1, 2, . . . , где
Y0,d = \{ 0\} = \{ (0, 0, . . . , 0)\} \in \BbbZ d
+,
Yj,d =
\Bigl\{
k = (k1, . . . , kd) \in \BbbZ d
+ : 0 \leq ki < 2j , i = 1, d
\Bigr\}
, j = 1, 2, . . . .
Понятно, что \BbbZ d
+ =
\bigcup \infty
j=0 Zj,d. Отметим также, что \sharp Yj,d = 2jd и \sharp Zj,d = (2d - 1)2(j - 1)d \asymp 2jd.
Итак, определим систему функций с d переменными
\BbbH d
0 = \{ h\=k\} \=k\in \BbbZ d
+
:=
\infty \bigcup
j=0
\{ h\=k\} \=k\in Zj,d
,
положив
h0 =
d\bigotimes
i=1
h0,
и для k \in Zj,d, j = 1, 2, . . . ,
h\=k =
\bigotimes
i\in E
hki \otimes
\bigotimes
i\in \BbbT \setminus E
| h2j - 1+ki | ,
где E =
\bigl\{
i \in \BbbT : 2j - 1 \leq ki < 2j
\bigr\}
, причем если E = \BbbT , то полагаем h\=k =
\bigotimes
i\in \BbbT hki .
Понятно, что \BbbH d
0 = \mathrm{H}d
0, т. е. множества \{ h\=k\} \=k\in \BbbZ d
+
и \mathrm{H}d
0 совпадают. Более того, между
индексацией двоичными кубами из Qj функций множества \mathrm{H}d
0 и индексацией векторами
из Zj,d функций множества \BbbH d
0 устанавливается взаимно однозначное соответствие так, что
\{ hI\} I\in Qj = \{ h\=k\} \=k\in Zj,d
, j = 1, 2, . . . . Множество индексов k \in Zj,d функций hk \in \mathrm{H}(j, l)
обозначим через Zj,d(l).
Упорядочим векторы k = (k1, . . . , kd) множества \BbbZ d
+, расположив их в виде последователь-
ности k
(1)
, k
(2)
, . . . , k
(m)
, . . . так, что k
(1)
= (0, 0, . . . , 0) \in \BbbZ d
+ и для i = 2, 3, . . .
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
k
(i)
j : j = 1, d
\Bigr\}
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
k
(i+1)
j : j = 1, d
\Bigr\}
.
Соответствующую такому упорядочиванию последовательность
\bigl(
h\=k(i)
\bigr) \infty
i=1
функций системы
\BbbH d
0 обозначим через \mathrm{H}d.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
558 В. С. РОМАНЮК
Заметим, что в таком случае, если для некоторого номера i выполняется неравенство
\sharp Zj - 1,d < i \leq \sharp Zj,d с j \in \BbbN , то k
(i)
= k для некоторого k \in Zj,d, а если k \in Yn,d, то при
некотором 1 \leq i \leq \sharp Yn,d будет k = k
(i)
и k
(i) \in Yn,d.
Теперь, занумеровав функции системы \mathrm{H}d согласно соответствию k
(i) \rightarrow i, будем писать
\mathrm{H}d = (hi)
\infty
i=1.
В заключение этого пункта определим кратную систему функций Хаара \scrH d как тензор-
ное произведение базисных систем Хаара \BbbH функций одной переменной с соответствующей
индексацией функций параллелепипедами множества \BbbD d двоичного разбиения куба \BbbI d :
\scrH d =
d\bigotimes
i=1
\BbbH = \{ \mathrm{H}I\} I\in \BbbD d .
Таким образом, для заданных j = (j1, . . . , jd) \in \BbbZ d
+ и s = (s1, . . . , sd), sk = 0, . . . , 2jk - 1 - 1,
k = 1, d, а также I =
\prod d
k=1
Iskjk
\bigl(
Iskjk \in Djk , k = 1, d
\bigr)
полагаем
\mathrm{H}I(x1, . . . , xd) :=
d\prod
k=1
\mathrm{H}I
sk
jk
(xk).
Из относительно краткого списка работ, в которых при d \geq 2 изучены свойства системы
\scrH d, в том числе аппроксимационные свойства, кроме упомянутой работы [5] выделим также
работу [12], близкую по постановке задач к настоящей. В этой работе решены задачи о ли-
нейном и нелинейном приближении полиномами по системе \scrH d функций из единичных шаров
неизотропных пространств Никольского Hr
p , 0 < r < 1, определяемых по типу пространств
Бесова B\alpha
p,\theta при \theta = \infty условиями на смешанный p-модуль гладкости порядка k (предполагает-
ся также, что функции представимы в виде ряда Фурье – Хаара по системе \scrH d, сходящегося в
Lq(\BbbI d)). В частности, найдены порядковые оценки величин \sigma m(Hr
p ;\scrH d;Lq(\BbbI d)) при различных
значениях тройки параметров p, q, r : 1 \leq p, q < \infty , r >
1
p
. Эти результаты получили развитие
в виде их распространения, с одной стороны, на более широкую шкалу пространств H\Omega
p [13], а
с другой — на шкалу пространств типа Бесова \bfM \bfB r
p,\theta [14, 15], содержащую и пространства Hr
p .
3. Об эквивалентном представлении нормы в пространстве \bfitB \bfitalpha
\bfitp , \bfittheta . Приведем вначале
определение известных пространств Бесова B\alpha
p, \theta функций, определенных на \BbbI d (см. [16]).
Определение 1. Для заданных параметров \alpha , p, \theta , 0 < \alpha < 1 и 1 \leq p, \theta < \infty , нормиро-
ванное пространство B\alpha
p, \theta — это множество функций \varphi , удовлетворяющих условиям
\varphi \in Lp(\BbbI d),
\| \varphi \| (\alpha )p,\theta := \| \varphi \| p + | \varphi | (\alpha )p,\theta < \infty ,
где полунорма | \varphi | \alpha p,\theta определяется соотношением
| \varphi | (\alpha )p,\theta :=
\left[ 1\int
0
\biggl(
\omega (\varphi ; t)p
t\alpha
\biggr) \theta dt
t
\right] 1/\theta
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА и m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССОВ БЕСОВА. I 559
B\alpha
p, \theta — сепарабельное банахово пространство для любой тройки параметров \alpha , p, \theta : 0 <
< \alpha < 1, 1 \leq p, \theta < \infty . Заметим, что при \alpha >
d
p
пространство B\alpha
p, \theta является подпространством
банахова пространства C(\BbbI d) функций, непрерывных на \BbbI d с равномерной метрикой.
Теорема 1. Пусть 1 \leq p, \theta < \infty и 0 < \alpha <
1
p
. Тогда для f \in B\alpha
p, \theta , f \not = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},
| f | (\alpha )p, \theta \asymp
\left( \infty \sum
j=0
\left[ 2j\bigl( \alpha - d
p+
d
2
\bigr) \left( \sum
k\in Zj,d
| bk|
p
\right) 1/p
\right]
\theta \right)
1/\theta
, (3)
где bk = (f, hk) :=
\int
\BbbI d
f(x)hk(x) dx, k \in \BbbZ d
+, — коэффициенты Фурье – Хаара функции f.
Доказательство. Заметим вначале, что для f \in B\alpha
p, \theta
1\int
0
\biggl(
\omega (f ; t)p
t\alpha
\biggr) \theta dt
t
=
\infty \sum
k=0
2 - k\int
2 - k - 1
\biggl(
\omega (f ; t)p
t\alpha
\biggr) \theta dt
t
. (4)
Положим a(t) := t - \alpha \omega (f ; t)p. Поскольку для p-модуля непрерывности \omega (f ; t)p выполняется
неравенство \omega (f ;\lambda t)p \leq (\lambda + 1)\omega (f ; t)p, \lambda > 0, и \omega (f ; t)p не убывает на [0;\infty ), то для любых
1 \leq p < \infty и t \in [2 - k - 1; 2 - k], k \in \BbbZ +,
1
2
a(2 - k) \leq a(t) \leq 2\alpha a(2 - k).
Значит,
2 - k\int
2 - k - 1
(a(t))\theta
dt
t
\asymp
\bigl(
a(2 - k)
\bigr) \theta
=
\bigl(
2k\alpha \omega (f ; 2 - k)p
\bigr) \theta
и, как следствие,
| f | (\alpha )p, \theta \asymp
\Biggl[ \infty \sum
k=0
\Bigl(
2k\alpha \omega (f ; 2 - k)p
\Bigr) \theta \Biggr] 1/\theta
. (5)
В дальнейшем, в процессе приведения соотношения (5) к виду (3), потребуется использовать
дискретное неравенство Харди (см. [17], гл. 2, \S 3, лемма 3.4): если для двух последовательнос-
тей a = (ak)k\in \BbbZ и b = (bk)k\in \BbbZ неотрицательных действительных чисел при некоторых C0 > 0
и \mu > 0 выполняется одно из двух условий
(a) bk \leq C0
\Bigl( \sum \infty
j=k
a\mu j
\Bigr) 1/\mu
,
(b) bk \leq C02
- k\lambda
\biggl( \sum k
j= - \infty
(2j\lambda aj)
\mu
\biggr) 1/\mu
, \lambda > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
560 В. С. РОМАНЮК
то выполняется неравенство (для любого \theta > 0)\Biggl[ \sum
k\in \BbbZ
(2k\alpha bk)
\theta
\Biggr] 1/\theta
\leq CC0
\Biggl[ \sum
k\in \BbbZ
(2k\alpha ak)
\theta
\Biggr] 1/\theta
, C = C(\alpha , \theta ), (6)
при 0 < \alpha < \infty в случае (a) и при 0 < \alpha < \lambda в случае (b).
Итак, продолжим эквивалентные (в смысле отношения \asymp ) преобразования правой части
соотношения (5). Будем следовать схеме, предложенной в работе [18].
Для f \in Lp(\BbbI d) и \BbbH d
0 = \{ h\=k\} \=k\in \BbbZ d
+
(см. п. 2) положим
Pnf(x) =
\sum
\=k\in Yn,d
(f, h\=k)h\=k(x), Rkf(x) =
\sum
\=k\in Zk,d
(f, h\=k)h\=k(x).
Пусть f \in Lp(\BbbI d), 1 \leq p \leq \infty . Исходя из равенства f = f - Pnf +
\sum n
k=0
Rkf, согласно
лемме 2 из [1] и с учетом неравенства \omega (\varphi ; \delta )p \leq 2\| \varphi \| p, \delta > 0, при n \in \BbbN имеем
\omega (f ; 2 - n)p \leq \omega (f - Pnf ; 2
- n)p +
n\sum
k=0
\omega (Rkf ; 2
- n)p \leq
\leq 2
\Biggl(
\| f - Pnf\| p + 2 - n/p
n\sum
k=1
2k/p\| Rkf\| p
\Biggr)
(7)
(здесь учтено, что \omega (R0f ; 2
- n)p = 0).
Обозначим dn(f)p := \| f - Pnf\| p. Тогда, поскольку Rkf = (f - Pk - 1f) - (f - Pkf), k \in
\in Z+, P - 1f := 0 и
\| Rkf\| p \leq dk - 1(f)p + dk(f)p, (8)
следствием неравенства (7) является неравенство
\omega (f ; 2 - n)p \leq C02
- n/p
n\sum
k=0
2k/pdk(f)p, (9)
где C0 > 0 — некоторая постоянная (можно выбрать ее не зависящей от p).
Из условия (9) (ср. с условием (b) при \mu = 1, положив bn = \omega (f ; 2 - n)p, an = dn(f)p,
n \in \BbbZ +, и bn = an = 0 при n \in \BbbZ \setminus \BbbZ +), в силу дискретного неравенства Харди (6), приходим
к неравенству \Biggl( \infty \sum
k=0
\Bigl(
2k\alpha \omega (f ; 2 - k)p
\Bigr) \theta \Biggr) 1/\theta
\leq C0C
\Biggl( \infty \sum
k=0
\Bigl(
2k\alpha dk(f)p
\Bigr) \theta \Biggr) 1/\theta
, (10)
которое выполняется при 1 \leq \theta < \infty и 0 < \alpha <
1
p
.
Сопоставляя (10) и (5), получаем неравенство
| f | (\alpha )p,\theta \ll
\Biggl( \infty \sum
k=0
\Bigl(
2k\alpha dk(f)p
\Bigr) \theta \Biggr) 1/\theta
(11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА и m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССОВ БЕСОВА. I 561
при 0 < \alpha <
1
p
.
Далее, для любой функции f \in Lp(\BbbI d) справедливо разложение f = Pnf +
\sum \infty
k=n+1
Rkf
со сходимостью правой части к f по норме пространства Lp(\BbbI d). Поэтому
dn(f)p = \| f - Pnf\| p \leq
\infty \sum
k=n
\| Rk+1f\| p. (12)
Неравенство (12) также влечет выполнение дискретного неравенства Харди, т. е. при 1 \leq
\leq \theta < \infty и \alpha > 0 \Biggl( \infty \sum
k=0
\Bigl(
2k\alpha dk(f)p
\Bigr) \theta \Biggr) 1/\theta
\leq C
\Biggl( \infty \sum
k=0
\Bigl(
2k\alpha \| Rkf\| p
\Bigr) \theta \Biggr) 1/\theta
. (13)
Сопоставляя (13) с (11), получаем, что при 0 < \alpha <
1
p
справедливо соотношение
| f | (\alpha )p,\theta \ll
\Biggl[ \infty \sum
k=0
\Bigl(
2k\alpha \| Rkf\| p
\Bigr) \theta \Biggr] 1/\theta
. (14)
С другой стороны, на основании (8) и леммы 2 из [1]
\| Rkf\| p \leq C(d, p)\omega (f ; 2 - k)p,
что в сочетании с соотношением (5) влечет неравенство\Biggl[ \infty \sum
k=0
\Bigl(
2k\alpha \| Rkf\| p
\Bigr) \theta \Biggr] 1/\theta
\ll | f | (\alpha )p,\theta . (15)
Наконец, эквивалентность (3) является следствием соотношений (14) и (15) в сочетании с
леммой 1 из [1] и справедлива при любых 1 \leq \theta < \infty , 1 \leq p < \infty , 0 < \alpha <
1
p
.
Теорема 1 доказана.
Литература
1. Романюк В. С. Кратный базис Хаара и его свойства // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 9. – С 1253 – 1264.
2. Романюк В. С. Базисная система Хаара функций многих переменных и ее аппроксимационные свойства на
классах Бесова и их аналогах. – Киев, 2012. – 44 с. – (Препринт/ НАН Украины. Ин-т математики; 2012.2).
3. Temlyakov V. N. Greedy algorithm and m-term trigonometric approximation // Constr. Approxim. – 1998. – 14, № 4. –
P. 569 – 587.
4. De Vore R., Temlyakov V. Nonlinear approximation by trigonometric sums // J. Fourier Anal. Appl. – 1995. – 2,
№ 1. – P. 29 – 48.
5. Temlyakov V. N. Non-linear m-term approximation with regard to the multivariate Haar system // E. J. Appoxim. –
1998. – 4, № 1. – P. 87 – 106.
6. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 496 с.
7. Temlyakov V. N. The best m-term approximation and greedy algorithms // Adv. Comput. Math. – 1998. – 8, № 3. –
P. 249 – 265.
8. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара // Мат. сб. – 1964. – 63, № 3. – С 357 – 391.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
562 В. С. РОМАНЮК
9. Голубов Б. И. Наилучшие приближения функций в метрике Lq полиномами Хаара и Уолша // Мат. сб. – 1972. –
87, № 2. – С. 254 – 274.
10. Haar A. Zur Theorie der ortohogonalen Funktionensysteme // Math. Ann. – 1910. – 69. – P. 331 – 371.
11. Chauder I. S. Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems // Math. Z. – 1928. – 28. – S. 317 – 320.
12. Андрианов А. В. Приближение функций из классов MHr
q полиномами Хаара // Мат. заметки. – 1999. – 66,
№ 3. – С. 323 – 335.
13. Стасюк С. А. Приближение функций многих переменных классов H\Omega
p полиномами по системе Хаара // Anal.
Math. – 2009. – 35, № 4. – P. 257 – 271.
14. Стасюк С. А. Наилучшее m-членное приближение классов B r
\infty , \theta функций многих переменных полиномами
по системе Хаара // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 4. – С. 549 – 555.
15. Стасюк С. А. Приближения классов \bfM \bfB r
p,\theta периодических функций многих переменных полиномами по
системе Хаара // Укр. мат. вiсн. – 2015. – 12, № 1. – С. 97 – 109.
16. Бесов О. В. Исследования одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и
продолжения // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – С. 42 – 61.
17. De Vore R. A., Lorentz G. G. Constructive approximation. – New York: Springer-Verlag, 1994. – 449 p.
18. Ciesielski Z. Constructive function theory and spline systems // Stud. Math. – 1975. – 53, № 2. – P. 277 – 302.
Получено 10.07.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1860 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:05Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/90/063a8ed35ec87a766411214d52893790.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18602019-12-05T09:29:54Z Multiple Haar basis and m-term appriximations for functions from the Besov classes. I Кратный базис Хаара и $m$-членные приближения функций из классов Бесова. I Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. We describe the isotropic Besov spaces of functions of several variables in the terms of conditions imposed on the Fourier – Haar coefficients. Описано iзотропнi простори Бєсова функцiй багатьох змiнних у термiнах умов на коефiцiєнти Фур’є – Хаара цих функцiй. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1860 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 4 (2016); 551-562 Український математичний журнал; Том 68 № 4 (2016); 551-562 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1860/842 Copyright (c) 2016 Romanyuk V. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. Multiple Haar basis and m-term appriximations for functions from the Besov classes. I |
| title | Multiple Haar basis and m-term appriximations for functions from the Besov
classes. I |
| title_alt | Кратный базис Хаара и $m$-членные приближения функций из классов Бесова. I |
| title_full | Multiple Haar basis and m-term appriximations for functions from the Besov
classes. I |
| title_fullStr | Multiple Haar basis and m-term appriximations for functions from the Besov
classes. I |
| title_full_unstemmed | Multiple Haar basis and m-term appriximations for functions from the Besov
classes. I |
| title_short | Multiple Haar basis and m-term appriximations for functions from the Besov
classes. I |
| title_sort | multiple haar basis and m-term appriximations for functions from the besov
classes. i |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1860 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukvs multiplehaarbasisandmtermappriximationsforfunctionsfromthebesovclassesi AT romanûkvs multiplehaarbasisandmtermappriximationsforfunctionsfromthebesovclassesi AT romanûkvs multiplehaarbasisandmtermappriximationsforfunctionsfromthebesovclassesi AT romanyukvs kratnyjbazishaaraimčlennyepribliženiâfunkcijizklassovbesovai AT romanûkvs kratnyjbazishaaraimčlennyepribliženiâfunkcijizklassovbesovai AT romanûkvs kratnyjbazishaaraimčlennyepribliženiâfunkcijizklassovbesovai |