Necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps
We establish necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps in the case of arbitrary Banach spaces. We establish conditions for the existence and uniqueness of bounded and almost periodic solutions of nonlinear differential and difference equations.
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1861 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507739101331456 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:29:54Z |
| description | We establish necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps in the case of arbitrary Banach spaces. We establish conditions for the existence and uniqueness of bounded and almost periodic solutions of nonlinear differential and difference equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.988.63
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
НЕОБХIДНI I ДОСТАТНI УМОВИ ОБОРОТНОСТI
НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ
We establish necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps in the case of arbitrary
Banach spaces. We establish conditions for the existence and uniqueness of bounded and almost periodic solutions of
nonlinear differential and difference equations.
Приведены необходимые и достаточные условия обратимости нелинейных дифференцируемых отображений в
случае произвольных банаховых пространств. Получены условия существования и единственности ограниченных
и почти периодических решений нелинейных дифференциальных и разностных уравнений.
1. Загальнi теореми про оборотнiсть диференцiйовних вiдображень. Спочатку наведемо
допомiжнi результати про умови оборотностi нелiнiйного вiдображення F : X \rightarrow Y, де X i Y
— довiльнi банаховi простори над полем \BbbR або \BbbC з нормами \| \cdot \| X i \| \cdot \| Y вiдповiдно.
1.1. Диференцiйовнi вiдображення та дифеоморфiзми класу \bfitC \bfitk . Зазначимо, що потрiбнi
для подальшого позначення та означення запозичено в [1, 2].
Використаємо банаховий простiр L(X,Y ) лiнiйних неперервних операторiв A : X \rightarrow Y
з операторною нормою. Позначимо через Lk(X,Y ), k \in \BbbN , банаховий простiр неперервних
k-лiнiйних вiдображень iз X в Y. Очевидно, що Lk+1(X,Y ) = L(X,Lk(X,Y )) i L1(X,Y ) =
= L(X,Y ).
Нехай U \subset X i V \subset Y — вiдкритi множини i (Df)x — похiдна Фреше вiдображення f :
U \rightarrow V в точцi x \in U. Вiдображення f називається C1-вiдображенням, якщо f диференцiйовне
в кожнiй точцi x \in U i природне вiдображення Df : U \rightarrow L(X,Y ) є неперервним. Аналогiчно,
вiдображення f називається Ck+1-вiдображенням, якщо Dkf диференцiйовне в кожнiй точцi
x \in U i вiдображення Dk+1f : U \rightarrow Lk+1(X,Y ) є неперервним. Ck+1-вiдображення f ще
називають диференцiйовним вiдображенням класу Ck+1. Нарештi, f — C\infty -вiдображення, якщо
це вiдображення є Ck-вiдображенням для кожного k \in \BbbN .
Вiдображення f : U \rightarrow V називається Ck-дифеоморфiзмом або дифеоморфiзмом класу Ck,
якщо f гомеоморфно вiдображає U на V i вiдображення f та f - 1 є Ck-вiдображеннями.
Локальним Ck-дифеоморфiзмом у точцi x \in X називається вiдображення f : X \rightarrow Y , для
якого iснує такий окiл U \subset X точки x, що звуження f | U вiдображення f на U встановлює
Ck-дифеоморфiзм мiж U i вiдкритою пiдмножиною простору Y.
1.2. Теорема про обернену функцiю. Важливою для з’ясування умов оборотностi нелiнiйних
диференцiйовних вiдображень є теорема про обернену функцiю.
Теорема 1. Нехай X i Y — банаховi простори, U \subset X — вiдкрита множина i k \in \BbbN .
Ck-вiдображення F : U \rightarrow Y є локальним Ck-дифеоморфiзмом у точцi x0 \in U тодi i
тiльки тодi, коли похiдна (DF )x0 : X \rightarrow Y є неперервно оборотним оператором.
Обґрунтування твердження цiєї теореми наведено в [3].
Теорема 1 спрощує отримання умов оборотностi диференцiйовних вiдображень.
1.3. Умови оборотностi диференцiйовних вiдображень. Основними у цьому пiдпунктi є
такi два твердження.
c\bigcirc В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4 563
564 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Теорема 2. Нехай X i Y — банаховi простори, k \in \BbbN i F : X \rightarrow Y — Ck-вiдображення.
Вiдображення F : X \rightarrow Y є Ck-дифеоморфiзмом тодi i тiльки тодi, коли:
1) вiдображення F сур’єктивне;
2) вiдображення F iн’єктивне;
3) вiдображення F є локальним Ck-дифеоморфiзмом у кожнiй точцi x \in X.
Теорема 3. Нехай X i Y — банаховi простори, k \in \BbbN i F : X \rightarrow Y — Ck-вiдображення.
Вiдображення F : X \rightarrow Y є Ck-дифеоморфiзмом тодi i тiльки тодi, коли:
1) вiдображення F сур’єктивне;
2) вiдображення F iн’єктивне;
3) похiдна (DF )x : X \rightarrow Y є неперервно оборотним оператором для кожної точки x \in X.
Завдяки теоремi 1 теореми 2 i 3 є рiвносильними.
Доведення теореми 2. Нехай вiдображення F є Ck-дифеоморфiзмом. Тодi це вiдображен-
ня має неперервне обернене вiдображення, i тому виконуються умови 1 i 2. Умова 3 також
виконується, оскiльки вiдображення F є Ck-дифеоморфiзмом. Отже, iз Ck-дифеоморфiзму
вiдображення F випливає виконання умов теореми.
Навпаки, нехай виконуються умови теореми. З умов 1 i 2 теореми випливає, що вiдобра-
ження F має обернене вiдображення F - 1. Тому на пiдставi умови 3 теореми вiдображення F
гомеоморфно вiдображає X на Y, а вiдображення F i F - 1 є Ck-вiдображеннями.
Таким чином, iз умов теореми випливає, що вiдображення F : X \rightarrow Y є Ck-дифеоморфiзмом.
Теорему 2 доведено.
1.4. Iнтегральна умова iн’єктивностi диференцiйовного вiдображення. Корисними є нас-
тупнi умови iн’єктивностi вiдображення F.
Зафiксуємо довiльнi точки x1, x2 \in X. Позначимо через \Omega (x1, x2, X) множину всiх C1-вi-
дображень x : J \rightarrow X
\bigl(
J — довiльний iнтервал, що мiстить у собi вiдрiзок [0, 1]
\bigr)
, для кожного
з яких
x(0) = x1
i
x(1) = x2.
Очевидно, що для довiльних вiдображення x \in \Omega (x1, x2, X) i числа t \in [0, 1]
(DF )x(t)x
\prime (t) =
dF (x(t))
dt
,
i тому на пiдставi формули Ньютона – Лейбнiца
1\int
0
(DF )x(t)x
\prime (t) dt = F (x2) - F (x1). (1)
Отже, завдяки (1) справджується наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
НЕОБХIДНI I ДОСТАТНI УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 565
Теорема 4. Якщо вiдображення F : X \rightarrow Y є iн’єктивним, то для будь-яких точок
x1, x2 \in X, x1 \not = x2, i вiдображення z \in \Omega (x1, x2, X) виконується спiввiдношення
1\int
0
(DF )z(t)z
\prime (t) dt \not = 0. (2)
Якщо для будь-яких точок x1, x2 \in X, x1 \not = x2, i вiдображення z \in \Omega (x1, x2, X) виконується
спiввiдношення (2), то вiдображення F : X \rightarrow Y є iн’єктивним.
Зауваження 1. У теоремi 4 можна обмежитися використанням лише одного C1-вiдобра-
ження, що визначається формулою
z = x1 + t(x2 - x1), t \in [0, 1].
Тодi спiввiдношення (2) набирає вигляду
1\int
0
(DF )x1+t(x2 - x1)(x2 - x1) dt \not = 0. (3)
Зауваження 2. Виконання спiввiдношення (3) аналогiчне виконанню для лiнiйного непе-
рервного оператора A : X \rightarrow Y спiввiдношення \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A = \{ 0\} (у теоремi Банаха про обернений
оператор [4]). Якщо F (x) = Ax, то (DF )x = A для всiх x \in X, i тому
1\int
0
(DF )x1+t(x2 - x1)(x2 - x1) dt = A(x2 - x1).
Отже, якщо
\int 1
0
(DF )x1+t(x2 - x1)(x2 - x1) dt \not = 0 для всiх x1, x2 \in X, x1 \not = x2, то \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A = \{ 0\} , i
навпаки.
1.5. Достатнi умови сур’єктивностi та iн’єктивностi неперервного вiдображення. Ви-
користаємо поняття вiдкритого вiдображення, тобто вiдображення, що кожну вiдкриту множину
вiдображає у вiдкриту множину.
Cправджується наступне твердження.
Теорема 5. Нехай для неперервного вiдображення H : X \rightarrow Y, де X i Y — банаховi про-
стори, виконуються такi умови:
1) справджується спiввiдношення
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x1,x2\in X; x1 \not =x2
\| Hx1 - Hx2\| Y
\| x1 - x2\| X
> 0;
2) вiдображення H : X \rightarrow Y є вiдкритим.
Тодi вiдображення H : X \rightarrow Y є сур’єктивним та iн’єктивним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
566 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Доведення. Спочатку покажемо, що множина значень R(H) вiдображення H є замкненою.
Розглянемо довiльну фундаментальну послiдовнiсть (yn)n\geq 1 елементiв множини R(H), тобто
послiдовнiсть, для якої \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n,m\rightarrow \infty \| yn - ym\| Y = 0. Використаємо послiдовнiсть (xn)n\geq 1 еле-
ментiв простору X, для якої Hxn = yn, n \geq 1. Завдяки першiй умовi теореми \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n,m\rightarrow \infty \| xn -
- xm\| X = 0, тобто послiдовнiсть (xn)n\geq 1 є фундаментальною. Тому на пiдставi повноти
простору X iснує елемент x0 \in X, для якого \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty xn = x0. Тодi внаслiдок неперервностi
вiдображення H справджується рiвнiсть \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty Hxn = Hx0, тобто \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty yn = Hx0.
Отже, множина R(H) є замкненою.
Далi покажемо, що
R(H) = Y. (4)
Припустимо, що це спiввiдношення не виконується.
Зафiксуємо довiльнi точки y\ast \in R(H) i y\ast \ast \in Y \setminus R(H). Розглянемо вiдрiзок прямої, що
з’єднує цi точки, тобто множину P = \{ y\ast + t(y\ast \ast - y\ast ) : t \in [0, 1]\} . Ця множина, як i множина
R(H), є замкненою.
Тодi виконується спiввiдношення
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
v\in R(H)\cap P
\| v - y\ast \ast \| E > 0. (5)
Справдi, якщо деяка послiдовнiсть vn \in R(H) \cap P, n \geq 1, збiгається до y\ast \ast , то завдяки
замкненостi множини R(H) \cap P виконується включення y\ast \ast \in R(H), що неможливо.
Оскiльки замкнена множина R(H)\cap P — пiдмножина множини P i P — компактна множина,
то множина R(H) \cap P також є компактною. Тому iснує точка z \in R(H) \cap P, для якої
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
v\in R(H)\cap P
\| v - y\ast \ast \| E = \| z - y\ast \ast \| E .
Звiдси та з (5) отримуємо \bigl\{
z + t(y\ast \ast - z) : t \in (0, 1]
\bigr\}
\subset Y \setminus R(H). (6)
Нехай u — така точка простору X, що Hu = z. Завдяки другiй умовi теореми для кожної
вiдкритої множини G, що мiстить точку u, множина HG мiстить точку z i є вiдкритою, а це
суперечить (6).
Отже, припущення про невиконання спiввiдношення (4) є хибним.
Таким чином, вiдображення H : X \rightarrow Y є сур’єктивним.
Iн’єктивнiсть вiдображення H, очевидно, випливає з першої умови теореми.
Теорему 5 доведено.
Зауваження 3. З умов теореми, очевидно, випливає не тiльки сур’єктивнiсть та iн’єк-
тивнiсть неперервного вiдображення H : X \rightarrow Y, а i неперервнiсть оберненого вiдображен-
ня H - 1. Отже, H гомеоморфно вiдображає X на Y.
Застосуємо наведенi вище результати до дослiдження нелiнiйних диференцiальних i рiзни-
цевих рiвнянь та вiдповiдних операторiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
НЕОБХIДНI I ДОСТАТНI УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 567
2. Умови обмеженостi та майже перiодичностi розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних
i рiзницевих рiвнянь. У цьому пунктi ми розглянемо випадок, коли F є диференцiальним або
рiзницевим оператором.
2.1. \bfitC 1-залежнiсть розв’язкiв рiвняння \bfitF \bfitx = \bfity вiд \bfity . Для вiдображення F : X \rightarrow Y , що
дослiджувалось у пiдпунктах 1.2 – 1.4, розглянемо функцiональне рiвняння
Fx = y, (7)
де y — довiльний елемент простору Y.
Припустимо, що рiвняння (7) для кожного y \in Y має єдиний розв’язок x \in X. Очевидно,
що в цьому випадку оператор F : X \rightarrow Y має обернений F - 1, а розв’язок x рiвняння (7) є
функцiєю вiд y \in Y, тобто
x = x(y). (8)
Якщо вiдображення x : Y \rightarrow X, що визначається за допомогою (8), є C1-вiдображенням, то
залежнiсть розв’язку x рiвняння (7) вiд y називатимемо C1-залежнiстю. Очевидно, що iснує
оператор By \in L(Y,X), неперервно залежний вiд y \in Y, такий, що виконується спiввiдношення\bigm\| \bigm\| x(y + h) - x(y) - Byh
\bigm\| \bigm\|
X
= o
\bigl(
\| h\| Y
\bigr)
при h \rightarrow 0 для всiх y \in Y. Оскiльки x(y) = F - 1y, то справджується наступне твердження.
Теорема 6. C1-залежнiсть розв’язку x рiвняння (7) вiд y рiвносильна C1-дифференцiйов-
ностi вiдображення F - 1.
Очевидно, що By =
\bigl(
DF - 1
\bigr)
y
.
Аналогiчним чином можна визначити Ck-залежнiсть x вiд y, якщо k \in \BbbN \setminus \{ 1\} .
У подальшому поняття C1-залежностi розв’язкiв рiвняння (7) вiд y використаємо при до-
слiдженнi диференцiальних i рiзницевих рiвнянь.
2.2. Умови iснування та єдиностi обмежених i майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь. Нехай E — довiльний банаховий простiр. Позначимо через C0(\BbbR , Z)
банаховий простiр обмежених i неперервних на \BbbR функцiй x = x(t) зi значеннями в банаховому
просторi Z з нормою
\| x\| C0(\BbbR ,Z) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR
\| x(t)\| Z ,
а через C1(\BbbR , Z) банаховий простiр функцiй x \in C0(\BbbR , Z), для кожної з яких
dx
dt
\in C0(\BbbR , Z),
з нормою
\| x\| C1(\BbbR ,Z) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
\| x\| C0(\BbbR ,Z),
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxdt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C0(\BbbR ,Z)
\Biggr\}
.
У випадку Z = E простори C0(\BbbR , Z) i C1(\BbbR , Z) будемо позначати через C0 i C1 вiдповiдно.
У просторi C0 визначимо оператор зсуву Sh, h \in \BbbR , за допомогою спiввiдношення
(Shx)(t) = x(t+ h), t \in \BbbR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
568 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Елемент y \in Ck, k = \{ 0, 1\} , називається майже перiодичним (див. [5]), якщо замикання
множини \{ Shy : h \in \BbbR \} у просторi Ck є компактною пiдмножиною цього простору.
Множини B0 i B1 майже перiодичних елементiв просторiв C0 i C1 є пiдпросторами цих
просторiв вiдповiдно з нормами
\| x\| B0 = \| x\| C0
i
\| x\| B1 = \| x\| C1 .
Оператор A \in L(Ci, Cj), i, j \in \{ 0, 1\} , називається майже перiодичним, якщо замикання
множини \{ S\tau AS - \tau : \tau \in \BbbR \} у просторi L(Ci, Cj) є компактним у цьому просторi.
Розглянемо нелiнiйне диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
+ g(t, x(t)) = y(t), t \in \BbbR , (9)
де y \in C0 i g : \BbbR \times E \rightarrow E — неперервне вiдображення, що задовольняє умови:
1) функцiя z = g(t, x(t)) є елементом простору C0 для кожного x \in C1;
2) для кожної точки (t, z) \in \BbbR \times E iснує частинна похiдна (Dxg)(t,z) вiдображення g =
= g(t, x) у точцi (t, z) по змiннiй x;
3) частинна похiдна (Dxg)(t,z) неперервна на \BbbR \times E i задовольняє спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR
\bigm\| \bigm\| (Dxg)(t,u(t))
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
< \infty
для кожної функцiї u \in C1;
4) для кожної функцiї u \in C1 виконується спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR
\bigm\| \bigm\| g(t, u(t) + h(t)) - g(t, u(t)) - (Dxg)(t,u(t))h(t)
\bigm\| \bigm\|
E
= o
\bigl(
\| h\| C1
\bigr)
при h \rightarrow 0;
5) вiдображення T : C1 \rightarrow C0(\BbbR , L(E,E)), що визначається формулою
(Tu)(t) = (Dxg)(t,u(t)), t \in \BbbR ,
неперервне в кожнiй точцi u \in C1.
Розглянемо задачу про умови iснування та єдиностi обмежених (або майже перiодичних)
розв’язкiв рiвняння (9) для кожної функцiї y \in C0 (або y \in B0), а також C1-залежностi цих
розв’язкiв вiд y.
Зазначимо, що розв’язання цiєї задачi є нетривiальним навiть у лiнiйному випадку (див.,
наприклад, [6 – 15]).
Для розв’язання поставленої задачi розглянемо допомiжне вiдображення H : C1 \rightarrow C0, що
визначається лiвою частиною рiвняння (9), тобто спiввiдношенням
(Hx)(t) =
dx(t)
dt
+ g(t, x(t)), t \in \BbbR . (10)
За допомогою цього вiдображення рiвняння (9) можна записати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
НЕОБХIДНI I ДОСТАТНI УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 569
(Hx)(t) = y(t), t \in \BbbR . (11)
Зауважимо, що вiдображення H : C1 \rightarrow C0 є C1-вiдображенням завдяки умовам 1 – 5 i для
похiдної Фреше цього вiдображення виконується спiввiдношення
((DH)ux)(t) =
dx(t)
dt
+ (Dxg)(t,u(t))x(t), t \in \BbbR , (12)
для всiх u \in C1.
Отже, до рiвнянь (9) i (11) застосовна теорема 3.
На пiдставi теорем 3 i 6 справджується наступне твердження.
Теорема 7. Нехай для вiдображення g : \BbbR \times E \rightarrow E виконуються умови 1 – 5.
Для того щоб диференцiальне рiвняння (9) для кожної функцiї y \in C0 мало єдиний розв’язок
x \in C1 i мала мiсце C1-залежнiсть цього розв’язку вiд y, необхiдно i достатньо, щоб:
1) рiвняння (9) для кожної функцiї y \in C0 мало хоча б один розв’язок x \in C1;
2) для всiх функцiй x1, x2 \in C1, x1 \not = x2, виконувалося спiввiдношення
dx1(t)
dt
+ g(t, x1(t)) \not \equiv
dx2(t)
dt
+ g(t, x2(t)); (13)
3) для кожної функцiї u \in C1 дiючий iз простору C1 у простiр C0 оператор
(Luz)(t) =
dz(t)
dt
+ (Dxg)(t,u(t))z(t) (14)
мав неперервний обернений.
Зауваження 4. У теоремi 7 замiсть спiввiдношення (13) можна використовувати спiввiд-
ношення
d(x2(t) - x1(t))
dt
+
1\int
0
(Dxg)(t,x1(t)+\tau (x2(t) - x1(t)))(x2(t) - x1(t)) d\tau \not \equiv 0, (15)
аналогiчне (3). Спiввiдношення (15) — наслiдок спiввiдношень (3) i (12). У деяких випад-
ках перевiрка виконання спiввiдношення (15) може бути простiшою, нiж перевiрка виконання
спiввiдношення (13), що пiдтверджується наступним прикладом.
Приклад. За допомогою теореми 7 дослiдимо нелiнiйне диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
+ f(x(t)) = y(t), t \in \BbbR . (16)
Тут y \in C0(\BbbR ,\BbbR ) i f : \BbbR \rightarrow \BbbR — C\infty -вiдображення, що визначається рiвнiстю
f(x) = x+
500\sum
k=0
1001!
(2k + 1)!
x2k+1\mathrm{c}\mathrm{h} x -
500\sum
k=0
1001!
(2k)!
x2k\mathrm{s}\mathrm{h} x, (17)
де
\mathrm{c}\mathrm{h} x =
ex + e - x
2
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
570 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
\mathrm{s}\mathrm{h} x =
ex - e - x
2
.
Легко перевiрити, що
(Df)x = f \prime (x) = 1 + x1001\mathrm{s}\mathrm{h} x, (18)
f \prime (x) \geqslant 1 (19)
для кожного x \in \BbbR i вiдображення (Df)y : C0(\BbbR ,\BbbR ) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbR ), що визначається спiввiдно-
шенням
((Df)yz)(t) = f \prime (y(t))z(t), t \in \BbbR ,
неперервно залежить вiд y \in C1(\BbbR ,\BbbR ).
Отже, оператор Ly : C1(\BbbR ,\BbbR ) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbR ), що визначається спiввiдношенням
(Lyz)(t) =
dz(t)
dt
+ f \prime (y(t))z(t), t \in \BbbR ,
має неперервний обернений L - 1
y для кожної функцiї y \in C1(\BbbR ,\BbbR ). Легко перевiрити, що
\bigl(
L - 1
y h
\bigr)
(t) =
t\int
- \infty
e -
\int t
s f \prime (y(\tau )) d\tau h(s) ds, t \in \BbbR ,
для кожної функцiї h \in C0(\BbbR ,\BbbR ). Тому для диференцiального рiвняння (16) виконується третя
умова теореми 7.
Перевiримо для рiвняння (16) виконання другої умови теореми 7.
Очевидно, що перевiрка виконання спiввiдношення (13) для всiх x1, x2 \in C1(\BbbR ,\BbbR ), x1 \not = x2,
— важка задача завдяки (17). На пiдставi (18) простiше перевiрити виконання спiввiдношен-
ня (15).
У випадку рiвняння (16) спiввiдношення (15) набирає вигляду
d(x2(t) - x1(t))
dt
+
1\int
0
f \prime (x1(t) + \tau (x2(t) - x1(t)))(x2(t) - x1(t)) d\tau \not \equiv 0 (20)
для всiх x1, x2 \in C1(\BbbR ,\BbbR ), x1 \not = x2.
Припустимо, що це спiввiдношення не виконується, тобто для деяких x\ast 1, x
\ast
2 \in C1(\BbbR ,\BbbR ),
x\ast 1 \not = x\ast 2,
d(x\ast 2(t) - x\ast 1(t))
dt
+
1\int
0
f \prime
\Bigl(
x\ast 1(t) + \tau
\bigl(
x\ast 2(t) - x\ast 1(t)
\bigr) \Bigr)
(x\ast 2(t) - x\ast 1(t)) d\tau \equiv 0.
Помноживши обидвi частини цiєї тотожностi на x\ast 2(t) - x\ast 1(t) i врахувавши, що
d(x\ast 2(t) - x\ast 1(t))
dt
(x\ast 2(t) - x\ast 1(t)) =
1
2
d(x\ast 2(t) - x\ast 1(t))
2
dt
,
отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
НЕОБХIДНI I ДОСТАТНI УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 571
d(x\ast 2(t) - x\ast 1(t))
2
dt
+ 2
1\int
0
f \prime (x\ast 1(t) + \tau (x\ast 2(t) - x\ast 1(t)))(x
\ast
2(t) - x\ast 1(t))
2 d\tau \equiv 0.
Звiдси, iз нерiвностi x\ast 1 \not = x\ast 2 i (19) випливає, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
(x\ast 2(t) - x\ast 1(t))
2 = +\infty .
Ця рiвнiсть суперечить обмеженостi функцiй x\ast 1 i x\ast 2.
Отже, припущення про невиконання спiввiдношення (20) є хибним.
Таким чином, для рiвняння (16) друга умова теореми 7 виконується.
Перша умова теореми 7 також виконується, оскiльки на пiдставi (19) множина значень
функцiї f збiгається з \BbbR , а ця властивiсть f є необхiдною i достатньою для того, щоб рiвнян-
ня (16) мало хоча б один розв’язок x \in C1 для кожної функцiї y \in C0 (див. [16 – 18]).
Очевидно, що для вiдображення f : \BbbR \rightarrow \BbbR умови 1 – 5 виконуються.
Таким чином, завдяки теоремi 7 диференцiальне рiвняння (16) для кожної функцiї y \in C0
має єдиний розв’язок x \in C1 i має мiсце C1-залежнiсть цього розв’язку вiд y.
Зазначимо, що на пiдставi теореми 6 теорема 7 рiвносильна наступнiй теоремi про умови,
коли диференцiальний оператор H : C1 \rightarrow C0 є C1-дифеоморфiзмом.
Теорема 8. Нехай для вiдображення g : \BbbR \times E \rightarrow E виконуються умови 1 – 5.
Вiдображення H : C1 \rightarrow C0, що визначається рiвнiстю (10), є C1-дифеоморфiзмом тодi i
тiльки тодi, коли:
1) вiдображення H є сур’єктивним;
2) вiдображення H є iн’єктивним;
3) оператор Lu : C1 \rightarrow C0, що визначається рiвнiстю (14), є неперервно оборотним опе-
ратором для кожної точки u \in C1.
Зауваження 5. Умови оборотностi лiнiйного диференцiального оператора Lu у теоремах 7
i 8 можна знайти, наприклад, у [8, 12 – 15].
Далi наведемо аналоги теорем 7 i 8 у випадку майже перiодичного рiвняння (9).
Оскiльки в теоремi 3 банаховi простори X i Y довiльнi, то на пiдставi цiєї теореми i
теореми 6 справджуються наступнi твердження.
Теорема 9. Нехай для вiдображення g : \BbbR \times E \rightarrow E виконуються умови 1 – 5, Hz \in B0 для
кожної функцiї z \in B1 i оператор Gy : C1 \rightarrow C0, що визначається спiввiдношенням
(Gyu)(t) = (Dxg)(t,y(t))u(t), (21)
є майже перiодичним елементом простору L(C1, C0) для всiх y \in B1.
Для того щоб диференцiальне рiвняння (9) для кожної функцiї y \in B0 мало єдиний розв’язок
x \in B1 i мала мiсце C1-залежнiсть цього розв’язку вiд y, необхiдно i достатньо, щоб:
1) рiвняння (9) для кожної функцiї y \in B0 мало хоча б один розв’язок x \in B1;
2) для всiх функцiй x1, x2 \in B1, x1 \not = x2, виконувалося спiввiдношення (13) (або рiвносильне
йому спiввiдношення (15));
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
572 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
3) для кожної функцiї u \in B1 дiючий iз простору B1 у простiр B0 оператор
(Luz)(t) =
dz(t)
dt
+ (Dxg)(t,u(t))z(t)
мав неперервний обернений.
Теорема 10. Нехай для вiдображення g : \BbbR \times E \rightarrow E виконуються умови 1 – 5, Hz \in B0
для кожної функцiї z \in B1 i оператор Gy : C1 \rightarrow C0, що визначається спiввiдношенням (21),
є майже перiодичним елементом простору L(C1, C0).
Вiдображення H : B1 \rightarrow B0, що визначається рiвнiстю (10), є C1-дифеоморфiзмом тодi i
тiльки тодi, коли:
1) вiдображення H є сур’єктивним;
2) вiдображення H є iн’єктивним;
3) оператор Lu : B1 \rightarrow B0, що визначається рiвнiстю (14), є неперервно оборотним
оператором для кожної точки u \in B1.
Зауваження 6. Умови оборотностi лiнiйного майже перiодичного оператора Lu в теоре-
мах 9 i 10 можна знайти, наприклад, в [7 – 11, 15].
Зауваження 7. Iншi умови iснування обмежених i майже перiодичних розв’язкiв нелiнiй-
них диференцiальних рiвнянь можна знайти в [19 – 26].
2.3. Умови iснування та єдиностi обмежених i майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних
рiзницевих рiвнянь. Цей пiдпункт — дискретний аналог попереднього пiдпункту.
Нехай En, n \in \BbbZ , — банаховi простори, \| \cdot \| En — норма в En i \frakM — банаховий простiр
обмежених двостороннiх послiдовностей \bfx = (xn), для кожної з яких xn \in En, n \in \BbbZ , з
нормою
\| \bfx \| \frakM = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| xn\| En .
Позначимо через \frakN банаховий простiр обмежених двостороннiх послiдовностей \bfA = (An),
для кожної з яких An \in L(En - 1, En), n \in \BbbZ , з нормою
\| \bfA \| \frakN = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| An\| L(En - 1,En).
Розглянемо рiвняння
xn + gn(xn - 1) = yn, n \in \BbbZ , (22)
де \bfy = (yn) \in \frakM i gn : En - 1 \rightarrow En, n \in \BbbZ , — C1-вiдображення, що задовольняють умови:
а) двостороння послiдовнiсть \bfz = (gn(xn - 1)) є елементом простору \frakM для кожного \bfx =
= (xn) \in \frakM ;
б) похiдна Фреше (Dgn)x вiдображення gn у точцi x \in En - 1 задовольняє спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| (Dgn)un\| L(En - 1,En) < \infty
для кожного елемента \bfu = (un) \in \frakM ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
НЕОБХIДНI I ДОСТАТНI УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 573
в) для кожної послiдовностi \bfu = (un) \in \frakM виконується спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\| gn(un + hn) - gn(un) - (Dgn)unhn\| En = o (\| \bfh \| \frakM )
при \bfh \rightarrow \bfzero , де \bfzero — нульовий елемент простору \frakM ;
г) вiдображення T : \frakM \rightarrow \frakN , що визначається за допомогою формули
(T\bfu )n = (Dgn)un , n \in \BbbZ ,
неперервне в кожнiй точцi \bfu = (un) \in \frakM .
Розглянемо задачу про умови iснування та єдинiсть у просторi \frakM розв’язкiв рiвняння (22)
для кожної послiдовностi \bfy \in \frakM , а також C1-залежнiсть цих розв’язкiв вiд \bfy . Зауважимо, що
цю задачу у випадку лiнiйного рiвняння (22) розв’язано в [27].
Для розв’язання поставленої задачi розглянемо допомiжне вiдображення \Phi : \frakM \rightarrow \frakM , що
визначається спiввiдношенням
(\Phi \bfx )n = xn + gn(xn - 1), n \in \BbbZ .
За допомогою цього вiдображення рiвняння (22) можна записати у виглядi
(\Phi \bfx )n = yn, n \in \BbbZ . (23)
Зауважимо, що в силу умов а) – г) вiдображення \Phi : \frakM \rightarrow \frakM є C1-вiдображенням i для похiдної
Фреше цього вiдображення у точцi \bfu \in \frakM виконується спiввiдношення
((D\Phi )u\bfx )n = xn + (Dgn)un - 1xn - 1, n \in \BbbZ . (24)
Отже, до рiвнянь (22) i (23) застосовна теорема 3.
Враховуючи теорему 3 i те, що C1-залежнiсть розв’язку \bfx рiвняння (22) вiд \bfy рiвносильна
C1-диференцiйовностi вiдображення \Phi - 1 : \frakM \rightarrow \frakM (див. теорему 6), приходимо до наступного
твердження.
Теорема 11. Нехай для C1-вiдображень gn : \frakM \rightarrow \frakM , n \in \BbbZ , виконуються умови а) – г).
Рiзницеве рiвняння (22) для кожної послiдовностi \bfy \in \frakM має єдиний розв’язок \bfx \in \frakM i має
мiсце C1-залежнiсть цього розв’язку вiд \bfy тодi i тiльки тодi, коли:
1) рiвняння (22) для кожної послiдовностi \bfy \in \frakM має хоча б один розв’язок \bfx \in \frakM ;
2) для всiх послiдовностей \bfx \ast = (x\ast n), \bfx
\ast \ast = (x\ast \ast n ) \in \frakM , \bfx \ast \not = \bfx \ast \ast , виконується спiввiдно-
шення
x\ast n + gn(x
\ast
n - 1) \not \equiv x\ast \ast n + gn(x
\ast \ast
n - 1); (25)
3) лiнiйний рiзницевий оператор (D\Phi )u : \frakM \rightarrow \frakM має неперервний обернений для кожної
послiдовностi \bfu \in \frakM .
Зауваження 8. У теоремi 11, як i в теоремi 7, замiсть спiввiдношення (25) можна викорис-
товувати спiввiдношення
x\ast \ast n - x\ast n +
1\int
0
(Dgn)x\ast
n - 1+\tau (x\ast \ast
n - 1 - x\ast
n - 1)
(x\ast \ast n - 1 - x\ast n - 1) d\tau \not \equiv \bfzero , (26)
аналогiчне спiввiдношенню (3) (спiввiдношення (26) випливає з (3) i (24)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
574 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Зазначимо, що на пiдставi теореми 4 теорема 11 рiвносильна наступнiй теоремi про умови,
коли рiзницевий оператор \Phi : \frakM \rightarrow \frakM є C1-дифеоморфiзмом.
Теорема 12. Нехай для C1-вiдображень gn : \frakM \rightarrow \frakM , n \in \BbbZ , виконуються умови а) – г).
Рiзницевий оператор \Phi : \frakM \rightarrow \frakM , що визначається рiвнiстю (23), є C1-дифеоморфiзмом
тодi i тiльки тодi, коли:
1) вiдображення \Phi є сур’єктивним;
2) вiдображення \Phi є iн’єктивним;
3) вiдображення (D\Phi )u : \frakM \rightarrow \frakM є неперервно оборотним вiдображенням для кожної
точки \bfu \in \frakM .
Далi розглянемо випадок майже перiодичного рiвняння (22).
Припустимо, що всi банаховi простори En, n \in \BbbZ , збiгаються з банаховим простором E.
Для довiльного m \in \BbbZ визначимо оператор зсуву Sm : \frakM \rightarrow \frakM за допомогою спiв-
вiдношення
(Sm\bfx )n = xn+m, n \in \BbbZ .
Послiдовнiсть \bfx \in \frakM називається майже перiодичною, якщо замикання множини \{ Sm\bfx :
m \in \BbbZ \} у просторi \frakM компактне у цьому просторi.
Очевидно, що множина \frakB всiх майже перiодичних елементiв простору \frakM є банаховим
простором з нормою
\| \bfx \| \frakB = \| \bfx \| \frakM .
Оператор A \in L(\frakM ,\frakM ) називається майже перiодичним, якщо замикання множини
\{ SmAS - m : m \in \BbbZ \} у просторi L(\frakM ,\frakM ) компактне у цьому просторi.
Оскiльки в теоремi 3 банаховi простори X i Y довiльнi, то на пiдставi цiєї теореми i теореми
4 справджуються наступнi твердження.
Теорема 13. Нехай En = E для всiх n \in \BbbZ , вiдображення gn : E \rightarrow E, n \in \BbbZ , задовольня-
ють умови а) – г), послiдовнiсть \bfu = (gn(zn)) є майже перiодичною для всiх \bfz = (zn) \in \frakB i
оператор Gy : \frakB \rightarrow \frakB , що визначається спiввiдношенням
(Gy\bfu )n = (Dgn)yn - 1un, (27)
є майже перiодичним елементом простору L(\frakB ,\frakB ) для всiх \bfy = (yn) \in \frakB .
Рiзницеве рiвняння (22) для кожної послiдовностi \bfy \in \frakB має єдиний розв’язок \bfx \in \frakB i має
мiсце C1-залежнiсть цього розв’язку вiд \bfy тодi i тiльки тодi, коли:
1) рiвняння (22) для кожної послiдовностi \bfy \in \frakB має хоча б один розв’язок \bfx \in \frakB ;
2) для всiх послiдовностей \bfx \ast = (x\ast n), \bfx
\ast \ast = (x\ast \ast n ) \in \frakB , \bfx \ast \not = \bfx \ast \ast , виконується спiввiдно-
шення (25) (або рiвносильне йому спiввiдношення (26));
3) лiнiйний рiзницевий оператор
(Ru\bfz )n = zn + (Dgn)un - 1zn - 1,
що дiє у просторi \frakB , має неперервний обернений для кожної послiдовностi \bfu \in \frakB .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
НЕОБХIДНI I ДОСТАТНI УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 575
Теорема 14. Нехай En = E для всiх n \in \BbbZ , вiдображення gn : E \rightarrow E, n \in \BbbZ , задовольня-
ють умови а) – г), послiдовнiсть \bfu = (gn(zn)) є майже перiодичною для всiх \bfz = (zn) \in \frakB i
оператор Gy : \frakB \rightarrow \frakB , що визначається спiввiдношенням (27), є майже перiодичним елемен-
том простору L(\frakB ,\frakB ) для всiх \bfy = (yn) \in \frakB .
Рiзницевий оператор \Phi : \frakB \rightarrow \frakB , що визначається рiвнiстю (23), є C1-дифеоморфiзмом
тодi i тiльки тодi, коли:
1) вiдображення \Phi є сур’єктивним;
2) вiдображення \Phi є iн’єктивним;
3) вiдображення (D\Phi )u : \frakB \rightarrow \frakB є неперервно оборотним вiдображенням для кожної
точки \bfu \in \frakB .
Зауваження 9. Умови оборотностi лiнiйного майже перiодичного рiзницевого оператораRu
в теоремах 13 i 14 можна знайти, наприклад, у [27].
Зауваження 10. Iншi умови iснування обмежених i майже перiодичних розв’язкiв нелi-
нiйних рiзницевих рiвнянь можна знайти у [28 – 31].
Лiтература
1. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. – М.: Мир, 1967. – 204 с.
2. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. – М.: Мир, 1977. – 292 с.
3. Слюсарчук В. Ю. Оборотнiсть теореми про обернену функцiю для диференцiйовних функцiй // Бук. мат.
журн. – 2014. – 2, № 4. – С. 112 – 113.
4. Колмогоров А. М., Фомiн С. В. Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу. – Київ: Вища шк., 1974. –
456 с.
5. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen // Math. Ann. – 1927. – 96. – I Teil. – P. 119 – 147. – II Teil. –
P. 383 – 409.
6. Массера Х. Л., Шеффер Х. Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. –
М.: Мир, 1970. – 456 с.
7. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. – М.: Наука,
1970. – 352 с.
8. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве. – М.: Наука, 1970. – 535 с.
9. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций //
Мат. заметки. – 1972. – 11, № 3. – С. 269 – 274.
10. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. – М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1978. – 205 с.
11. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов // Мат. сб. –
1981. – 116(158), № 4(12). – С. 483 – 501.
12. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат. сб. –
1986. – 130(172), № 1(5). – С. 86 – 104.
13. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. – 1987. – 42, № 2. – С. 262 – 267.
14. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости равномерно c-непрерывных
функционально-дифференциальных операторов // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 2. – С. 201 – 205.
15. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследования дихотомии линейных систем дифферен-
циальных уравнений с помощью функций Ляпунова. – Киев: Наук. думка, 1990. – 272 с.
16. Слюсарчук В. Е. Условия существования ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений //
Успехи мат. наук. – 1999. – 54, № 4. – С. 181 – 182.
17. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных реше-
ний нелинейных дифференциальных уравнений // Нелiнiйнi коливання. – 1999. – 2, № 4. – С. 523 – 539.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
576 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
18. Slyusarchuk V. E. Necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of bounded and almost-periodic
solutions of nonlinear differential equations // Acta Appl. Math. – 2001. – 65, № 1-3. – P. 333 – 341.
19. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. – М.: Наука,
1974. – 319 с.
20. Трубников Ю. В., Перов А. И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. – Минск: Наука
и техника, 1986. – 200 с.
21. Слюсарчук В. Е. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних диференцi-
альних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – С. 1541 – 1556.
22. Слюсарчук В. Е. Метод локальной линейной аппроксимации в теории нелинейных дифференциально-функ-
циональных уравнений // Мат. сб. – 2010. – 201, № 8. – С. 103 – 126.
23. Слюсарчук В. Е. Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних диференцiальних операторiв слабко
регулярними операторами // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 12. – С. 1685 – 1698.
24. Слюсарчук В. Е. Ограниченные и периодические решения нелинейных дифференциально-функциональных
уравнений // Мат. сб. – 2012. – 203, № 5. – С. 135 – 160.
25. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati // Ann.
mat. pura ed appl. – 1955. – 39, № 2. – P. 97 – 119.
26. Слюсарчук В. Е. Исследование нелинейных почти периодических дифференциальных уравнений, не исполь-
зующее \scrH -классы этих уравнений // Мат. сб. – 2014. – 205, № 6. – С. 139 – 160.
27. Слюсарчук В. Е. Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем // Укр. мат. журн. – 1983. – 35,
№ 1. – С. 109 – 115.
28. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих
рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. – 2009. – 12, № 3. – С. 368 – 378.
29. Слюсарчук В. Ю. Експоненцiально дихотомiчнi рiзницевi рiвняння з нелiпшицевими збуреннями // Нелiнiйнi
коливання. – 2011. – 14, № 4. – С. 536 – 555.
30. Слюсарчук В. Ю. Нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей // Нелi-
нiйнi коливання. – 2012. – 15, № 4. – С. 528 – 538.
31. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з дискретним
аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 3. – С. 416 – 425.
Одержано 07.07.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1861 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:06Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2b/89d3a54d7121cc41402b3a94702e7e2b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18612019-12-05T09:29:54Z Necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps Необхідні і достатні умови оборотності нелінійних диференційовних відображень Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. We establish necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps in the case of arbitrary Banach spaces. We establish conditions for the existence and uniqueness of bounded and almost periodic solutions of nonlinear differential and difference equations. Приведены необходимые и достаточные условия обратимости нелинейных дифференцируемых отображений в случае произвольных банаховых пространств. Получены условия существования и единственности ограниченных и почти периодических решений нелинейных дифференциальных и разностных уравнений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1861 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 4 (2016); 563-576 Український математичний журнал; Том 68 № 4 (2016); 563-576 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1861/843 Copyright (c) 2016 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps |
| title | Necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps |
| title_alt | Необхідні і достатні умови оборотності нелінійних диференційовних відображень |
| title_full | Necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps |
| title_fullStr | Necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps |
| title_full_unstemmed | Necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps |
| title_short | Necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps |
| title_sort | necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable maps |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1861 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu necessaryandsufficientconditionsfortheinvertibilityofnonlineardifferentiablemaps AT slûsarčukvû necessaryandsufficientconditionsfortheinvertibilityofnonlineardifferentiablemaps AT slyusarchukvyu neobhídníídostatníumovioborotnostínelíníjnihdiferencíjovnihvídobraženʹ AT slûsarčukvû neobhídníídostatníumovioborotnostínelíníjnihdiferencíjovnihvídobraženʹ |