On the optimal reconstruction of the convolution of $n$ functions according to the linear information
We determine the optimal linear information and the optimal method of its application to the recovery of convolution of $n$ functions on some convex and centrally symmetric classes of $2\pi$ -periodic functions.
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1862 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507739573190656 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Gun’ko, M. S. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. |
| author_facet | Babenko, V. F. Gun’ko, M. S. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:15Z |
| description | We determine the optimal linear information and the optimal method of its application to the recovery of convolution of $n$ functions on some convex and centrally symmetric classes of $2\pi$ -periodic functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко, М. С. Гунько (Днепропетр. нац. ун-т им. О. Гончара)
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ СВЕРТКИ \bfitn ФУНКЦИЙ
ПО ЛИНЕЙНОЙ ИНФОРМАЦИИ
We determine the optimal linear information and the optimal method of its application to the recovery of convolution of n
functions on some convex and centrally symmetric classes of 2\pi -periodic functions.
Знайдено оптимальну лiнiйну iнформацiю та оптимальний метод її використання для вiдновлення згортки n функцiй
на деяких опуклих центрально-симетричних множинах 2\pi -перiодичних функцiй.
Пусть C и Lp, 1 \leq p \leq \infty , — пространства 2\pi -периодических функций x : \BbbR \rightarrow \BbbR с соответ-
ствующими нормами \| \cdot \| C и \| \cdot \| Lp . Пусть также M1,M2, . . . ,Mn \subset L1 — некоторые классы
функций; x1 \in M1, x2 \in M2, . . . , xn \in Mn;
(x1 \ast x2)(\tau ) =
2\pi \int
0
x1(\tau - t)x2(t)dt
— свертка двух функций x1 и x2, а
(x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn)(\tau ) = (x1 \ast (x2 \ast . . . \ast xn))(\tau ) =
=
2\pi \int
0
\cdot \cdot \cdot
2\pi \int
0
x1(\tau - t1 - . . . - tn - 1)x2(t1) . . . xn(tn - 1)dt1dt2 . . . dtn - 1
— свертка n функций x1, x2, . . . , xn.
Будем предполагать, что для j = 1, . . . , n на множествах \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Mj) заданы наборы Tj ,
Tj = (Tj,1, Tj,2, . . . , Tj,mj ), линейных непрерывных функционалов
Tj,l : \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Mj) \rightarrow \BbbR , l = 1, . . . ,mj .
Векторы
Tj(xj) = (Tj,1(xj), Tj,2(xj), . . . , Tj,mj (xj)) \in \BbbR mj , xj \in Mj , j = 1, . . . , n,
будем называть линейной информацией об x1, x2, . . . , xn типа (m1,m2, . . . ,mn) (или (m1,m2, . . .
. . . ,mn)-информацией). Произвольное отображение
\Phi : \BbbR m1 \times \BbbR m2 \times . . .\times \BbbR mn \rightarrow Lp
будем называть методом восстановления свертки x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn по (m1,m2, . . . ,mn)-информа-
ции в пространстве Lp.
Положим
R(x1, x2, . . . , xn;T1, T2, . . . , Tn; \Phi )(t) =
c\bigcirc В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5 579
580 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО
= (x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn)(t) - \Phi (T1(x1), T2(x2), . . . , Tn(xn))(t),
R(M1,M2, . . . ,Mn;T1, T2, . . . , Tn; \Phi ;Lp) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
xj\in Mj
j=1,...,n
\| R(x1, x2, . . . , xn;T1, T2, . . . , Tn; \Phi )(\cdot )\| Lp , (1)
R(M1,M2, . . . ,Mn;T1, T2, . . . , Tn;Lp) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Phi
R(M1,M2, . . . ,Mn;T1, T2, . . . , Tn; \Phi ;Lp), (2)
Rm1,m2,...,mn(M1,M2, . . . ,Mn;Lp) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
T1,T2,...,Tn
R(M1,M2, . . . ,Mn;T1, T2, . . . , Tn;Lp) (3)
(\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Phi
берется по всевозможным методам восстановления, а \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
T1,T2,...,Tn
— по всевозможным набо-
рам функционалов, дающим (m1,m2, . . . ,mn)- информацию об (x1, x2, . . . , xn);
RN (M1,M2, . . . ,Mn;Lp) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
m1+m2+...+mn=N
Rm1,m2,...,mn(M1,M2, . . . ,Mn;Lp). (4)
Величину (1) назовем погрешностью метода \Phi восстановления свертки n функций x1\ast x2\ast . . .\ast
xn на классах M1,M2, . . . ,Mn по информации T1, T2, . . . , Tn в пространстве Lp; величину (2)
— оптимальной погрешностью восстановления x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn на классах M1,M2, . . . ,Mn
по заданной информации типа (m1,m2, . . . ,mn), величину (3) — оптимальной погрешно-
стью восстановления x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn на M1,M2, . . . ,Mn по (m1,m2, . . . ,mn)-информации,
и, наконец, величину (4) — оптимальной погрешностью восстановления x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn на
M1,M2, . . . ,Mn по информации суммарного объема N.
Если при заданных T1, T2, . . . , Tn существует метод \Phi \ast , реализующий \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Phi
в правой части
(2), то будем называть \Phi \ast оптимальным методом использования данной информации. Если
существуют T \ast
1 , T
\ast
2 , . . . , T
\ast
n , реализующие нижнюю грань в правой части (3), то будем их на-
зывать оптимальной (m1,m2, . . . ,mn)-информацией для восстановления x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn на
M1,M2, . . . ,Mn в пространстве Lp.
Числа m0
1,m
0
2, . . . ,m
0
n, реализующие \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} в (4), будем называть оптимальными объемами
информации об x1, x2, . . . , xn, а оптимальную (m0
1,m
0
2, . . . ,m
0
n)-информацию — оптимальной
информацией суммарного объема N об x1, x2, . . . , xn.
Будем изучать следующую задачу оптимального восстановления свертки n функций по
линейной информации о сворачиваемых функциях.
Пусть заданы классы функций M1,M2, . . . ,Mn и p \in [1,\infty ], N \in \BbbN . Требуется найти
величину (4), оптимальные объемы m\ast
1,m
\ast
2, . . . ,m
\ast
n информации (m\ast
1 +m\ast
2 + . . . +m\ast
n = N ),
оптимальную (m\ast
1,m
\ast
2 . . . ,m
\ast
n)-информацию T \ast
1 , T
\ast
2 , . . . , T
\ast
n , а также оптимальный метод \Phi \ast ее
использования.
Задача об оптимальном восстановлении свертки двух функций из различных функциональ-
ных классов была рассмотрена в [1]. Там же приведены первые результаты по ее решению. По
поводу дальнейших результатов в этом направлении см. [2].
Определим множества Mj(Tj) так:
Mj(Tj) = \{ xj \in Mj : Tj(xj) = 0\} , j = 1, . . . , n,
и пусть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ СВЕРТКИ n ФУНКЦИЙ . . . 581
M(Tj) : =M1 \times M2 \times . . .\times Mj - 1 \times Mj(Tj)\times Mj+1 \times . . .\times Mn, j = 1, . . . , n.
Оценку снизу для величины (1), а, следовательно, и величины (2), дает следующая лемма.
Лемма 1. Пусть множества M1,M2, . . . ,Mn выпуклы и центрально- симметричны. Тог-
да для любых наборов функционалов T1, T2, . . . , Tn и любого метода восстановления \Phi
R(M1,M2, . . . ,Mn;T1, T2, . . . , Tn; \Phi ;Lp) \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=1,...,n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x1,x2,...,xn)\in M(Tj)
\| (x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn)(\cdot )\| Lp .
Доказательство. Покажем, что
R(M1,M2, . . . ,Mn;T1, T2, . . . , Tn; \Phi ;Lp) \geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x1,x2,...,xn)\in M(T1)
\| (x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn)(\cdot )\| Lp .
Имеем (ниже \theta — нулевой элемент пространства \BbbR m1)
R(M1,M2, . . . ,Mn;T1, T2, . . . , Tn; \Phi ;Lp) \geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x1,x2,...,xn)\in M(T1)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn)(\cdot ) - \Phi (\theta , T2(x2), . . . , Tn(xn))(\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
\geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x1,x2,...,xn)\in M(T1)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| (x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn)(\cdot ) - \Phi (\theta , T2(x2), . . . , Tn(xn))(\cdot )
\bigm\| \bigm\|
Lp
,
\bigm\| \bigm\| - (x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn)(\cdot ) - \Phi (\theta , T2(x2), . . . , Tn(xn))(\cdot )
\bigm\| \bigm\|
Lp
\Bigr\}
\geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x1,x2,...,xn)\in M(T1)
\bigm\| \bigm\| (x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn)(\cdot )\bigm\| \bigm\| Lp .
Аналогично доказывается, что для произвольного j = 2, . . . , n
R(M1,M2, . . . ,Mn;T1, T2, . . . , Tn; \Phi ;Lp) \geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x1,x2,...,xn)\in M(Tj)
\bigm\| \bigm\| (x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn)(\cdot )\bigm\| \bigm\| Lp .
Отсюда и следует утверждение леммы.
Лемма доказана.
Пусть Fp — единичный шар в Lp, K \in L1,
\int 2\pi
0
Kdt \not = 0. Через K \ast Fp обозначим класс
функций вида x = K \ast \psi , \psi \in Fp. В дальнейшем будем предполагать, что Mj = Kj \ast Fpj ,
j = 1, . . . , n, где Kj \in L1.
Пусть dN (M,C) обозначает n-поперечник по Колмогорову множества M в пространстве
C (см., например, [3, с. 109]).
Теорема 1. Пусть K1,K2, . . . ,Kn \in L1. Тогда для любых наборов функционалов Tj =
= (Tj,1, Tj,2, . . . , Tj,mj ), j = 1, . . . , n, Tj,l : \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Kj \ast F1) \rightarrow \BbbR , l = 1, . . . ,mj , и любого метода
восстановления \Phi
R(K1 \ast F1,K2 \ast F1, . . . ,Kn \ast F1;T1, T2, . . . , Tn; \Phi ;L1) \geq
\geq dmin\{ m1,m2,...,mn\} ((K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) \ast F\infty , C).
Доказательство. Пусть, для определенности, \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ m1,m2, . . . ,mn\} = m1. В силу леммы 1
достаточно установить неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
582 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО
A1 : = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1\in (K1\ast F1)(T1)
x2\in K2\ast F1,...,xn\in Kn\ast F1
\| (x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn)(\cdot )\| L1
\geq dm1(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \ast F\infty , C).
Имеем
A1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\psi j\in F1,j=1,...,n
T1(K\ast \psi 1)=\theta
\bigm\| \bigm\| (K1 \ast \psi 1) \ast (K2 \ast \psi 2) \ast . . . \ast (Kn \ast \psi n)(\cdot )
\bigm\| \bigm\|
L1
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\psi j\in F1,j=1,...,n
T1(K\ast \psi 1)=\theta
\bigm\| \bigm\| (K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \ast \psi 1 \ast \psi 2 \ast . . . \ast \psi n)(\cdot )
\bigm\| \bigm\|
L1
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\psi j\in F1,j=1,...,n
T1(K\ast \psi 1)=\theta
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in F\infty
2\pi \int
0
(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \ast \psi 1 \ast \psi 2 \ast . . . \ast \psi n)(t)\phi (t)dt =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in F\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\psi j\in F1,j=1,...,n
T1(K\ast \psi 1)=\theta
2\pi \int
0
((K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) \ast \phi )(u)(\psi 1 \ast \psi 2 \ast . . . \ast \psi n)(u)du =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in F\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\psi j\in F1,j=1,...,n - 1
T1(K\ast \psi 1)=\theta
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
2\pi \int
0
((K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) \ast \phi )(u)(\psi 1 \ast \psi 2 \ast . . . \ast \psi n - 1)(u - t)du =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in F\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\psi j\in F1,j=1,...,n - 1
T1(K\ast \psi 1)=\theta
2\pi \int
0
((K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) \ast \phi )(u)(\psi 1 \ast \psi 2 \ast . . . \ast \psi n - 1)(u)du = . . . =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in F\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\psi j\in F1,j=1,2
T1(K\ast \psi 1)=\theta
2\pi \int
0
((K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) \ast \phi )(u)(\psi 1 \ast \psi 2)(u)du =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in F\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\psi j\in F1
T1(K\ast \psi 1)=\theta
2\pi \int
0
((K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) \ast \phi )(u)\psi 1(u)du.
Функционалы T1,1, T1,2, . . . , T1,m1 допускают непрерывные продолжения T \prime
1,1, T
\prime
1,2, . . . , T
\prime
1,m1
на все пространство L1. Пусть функционалы T \prime
1,j имеют вид
T \prime
1,j(x1) =
2\pi \int
0
x1(t)g1,j(t)dt, j = 1, . . . ,m1,
где g1,j — фиксированные функции из L\infty .
Условие T1(K1 \ast \psi 1) = \theta означает, что для j = 1, . . . ,m1
2\pi \int
0
(K1 \ast \psi 1)(t)g1,j(t)dt = 0,
или
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ СВЕРТКИ n ФУНКЦИЙ . . . 583
2\pi \int
0
2\pi \int
0
K1(t - \tau )\psi 1(\tau )d\tau g1,j(t)dt = 0,
или
2\pi \int
0
\psi 1(\tau )
2\pi \int
0
K1(t - \tau )g1,j(t)dtd\tau = 0.
Таким образом, условие T1(K1 \ast \psi 1) = \theta означает, что \psi 1 \bot K1( - \cdot ) \ast g1,j для любого
j = 1, . . . ,m1. Поэтому, учитывая теорему двойственности С. М. Никольского (см. [3, с. 120],
предложение 3.4.4), получаем
A1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in F\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\psi 1\in F1
\psi 1\bot K1( - \cdot )\ast g1,j , j=1,...,m1
2\pi \int
0
((K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) \ast \phi )(u)\psi 1(u)du =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in F\infty
E((K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) \ast \phi );H(T1))C ,
где E(x;H(T1))C — наилучшее приближение функции x подпространством
H(T1) = \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} \{ K1( - \cdot ) \ast g1,1,K1( - \cdot ) \ast g1,2, . . . ,K1( - \cdot ) \ast g1,m1\}
в пространстве C.
Поскольку \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H(T1) \leq m1, учитывая определения поперечника по Колмогорову, имеем
A1 \geq dm1((K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) \ast F\infty , C).
Теорема 1 доказана.
Обозначим через HT
2s - 1, s \in \BbbN , множество тригонометрических полиномов порядка не
выше s - 1. Непрерывнoе на (0, 2\pi ) и не являющeeся тригонометрическим полиномом ядро K
будем называть CV D-ядром (и писать K \in CV D), если \nu (K \ast \phi ) \leq \nu (\phi ) для любых \phi \in C, где
\nu (g) — число перемен знака функции g на периоде. Ряд вопросов теории CV D ядер изложен
в [4, 5].
Пусть K \in CV D. Тогда это ядро удовлетворяет условиям теоремы 4.1 из [6] и, следова-
тельно, если \varphi s(t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} st, \sigma — точка абсолютного максимума или абсолютного минимума
функции K \ast \varphi s, то существует единственный полином Ps = Ps(K) \in HT
2s - 1, интерполиру-
ющий K(t) в точках \sigma +
m\pi
s
, m \in \BbbZ , если все точки \sigma +
m\pi
s
, m \in \BbbZ , являются точками
непрерывности K. Если же K разрывно в нуле и 0 \in
\Bigl\{
\sigma +
m\pi
s
\bigm| \bigm| \bigm| m \in \BbbZ
\Bigr\}
, то существует един-
ственный полином Ps = Ps(K) \in HT
2s - 1, интерполирующий K((t) в точках \sigma +
m\pi
s
\not \equiv 0
(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2\pi ). Полином Ps = Ps(K) (см. [6], теоремы 2.4, 4.2 и § 5, [7]) является полиномом
наилучшего L1 приближения для K и при этом
\| K - Ps\| L1 = \| K( - \cdot ) - Ps( - \cdot )\| L1 = \| K \ast \varphi s\| \infty =
= d2s - 1(K \ast F\infty ;C) = d2s - 1(K( - \cdot ) \ast F\infty ;C). (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
584 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО
Ниже, рассматривая задачу оптимального восстановления свертки x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn, где
x1 \in K1 \ast F1, x2 \in K2 \ast F1, . . . , xn \in Kn \ast F1, будем предполагать, что ядра K1,K2, . . . ,Kn
таковы, что K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \in CV D.
Пусть aj(x), bj(x) — коэффициенты Фурье функции x \in L1, т. е.
aj(x) =
1
\pi
2\pi \int
0
x(t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jtdt, bj(x) =
1
\pi
2\pi \int
0
x(t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} jtdt,
cj(x) =
aj(x) - ibj(x)
2
, c - j(x) =
aj(x) + ibj(x)
2
, j = 0, 1, . . . .
Положим
\alpha j =
cj(Pn,\sigma (K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn))
cj(K1)cj(K2) . . . cj(Kn)
, j = 0,\pm 1, . . . ,\pm (s - 1).
Отметим, что из предположения K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \in CV D следует, что все коэффициенты
cj(K1), cj(K2), . . . , cj(Kn) при любом j \in \BbbZ отличны от нуля.
Пусть
Tl
\ast (xl) = (a0(xl), a1(xl), . . . , aN - 1(xl), b1(xl), . . . , bN - 1(xl)), l = 1, . . . , n, (6)
\Phi \ast (T1
\ast (x1), T2
\ast (x2), . . . , Tn
\ast (xn))(t) =
s - 1\sum
j= - (s - 1)
\alpha jcj(x1)cj(x2) . . . cj(xn)e
ijt. (7)
Тогда, если x1 = K1 \ast \psi 1 \in K1 \ast F1, x2 = K2 \ast \psi 2 \in K2 \ast F1, . . . , xn = Kn \ast \psi n \in Kn \ast F1, то
учитывая тот факт, что для g1, g2, . . . , gn \in L1
cj(g1 \ast g2 \ast . . . \ast gn) = (2\pi )n - 1cj(g1)cj(g2) . . . cj(gn), j \in \BbbZ ,
и действуя, как при преобразовании величины A1 в доказательстве теоремы 1, получаем
\| x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn - \Phi \ast (T1
\ast (x1), T2
\ast (x2), . . . , Tn
\ast (xn))\| L1 =
= \| K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \ast \psi 1 \ast \psi 2 \ast . . . \ast \psi n -
- Ps(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn) \ast \psi 1 \ast \psi 2 \ast . . . \ast \psi n\| L1 =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in F\infty
2\pi \int
0
[(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \ast \psi 1 \ast \psi 2 \ast . . . \ast \psi n)(t) -
- Ps(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn) \ast \psi 1 \ast \psi 2 \ast . . . \ast \psi n]\phi (t)dt =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in F\infty
2\pi \int
0
([(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) -
- (Ps(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn))( - \cdot )] \ast \phi )(t) \cdot (\psi 1 \ast \psi 2 \ast . . . \ast \psi n)(t)dt.
Отсюда следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ СВЕРТКИ n ФУНКЦИЙ . . . 585
\| x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn - \Phi \ast (T1
\ast (x1), T2
\ast (x2), . . . , Tn
\ast (xn))\| L1 \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in F\infty
\| [(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) -
- (Ps(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn))( - \cdot )] \ast \phi \| C\| \psi 1 \ast \psi 2 \ast . . . \ast \psi n\| L1 \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\phi \in F\infty
\| [(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) - (Ps(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn))( - \cdot )] \ast \phi \| C \leq
\leq \| (K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)( - \cdot ) - (Ps(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn))( - \cdot )\| L1 \leq
\leq \| K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn - Ps(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn)\| L1 .
Учитывая соотношения (5), имеем
\| x1 \ast x2 \ast . . . \ast xn - \Phi \ast (T1
\ast (x1), T2
\ast (x2), . . . , Tn
\ast (xn)\| L1 \leq
\leq d2s - 1(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \ast F\infty ;C).
Таким образом,
R(K1 \ast F1,K2 \ast F1, . . . ,Kn \ast F1;T1, T2, . . . , Tn; \Phi
\ast ;L1) \leq
\leq d2s - 1(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \ast F\infty ;C) = \| K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \ast \varphi s\| C .
Учитывая оценку снизу, даваемую теоремой 1 и монотонное невозрастание поперечников
dm(M,C) с ростом m, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.
Теорема 2. Пусть ядра K1,K2, . . . ,Kn таковы, что K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \in CV D, пусть
s \in \BbbN и пусть N = n(2s - 1). Тогда
Rn(2s - 1)(K1 \ast F1,K2 \ast F1, . . . ,Kn \ast F1;L1) =
= R2s - 1,...,2s - 1(K1 \ast F1,K2 \ast F1, . . . ,Kn \ast F1;L1) =
= d2s - 1(K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \ast F\infty , C) = \| K1 \ast K2 \ast . . . \ast Kn \ast \varphi s\| C .
При этом оптимальная информация определяется равенством (6), а оптимальный метод ее
использования — равенством (7).
Литература
1. Бабенко В. Ф. Оптимальные вычисления сверток функций из различных классов // Тез. междунар. конф. по
конструктивной теории функций (Варна, май 1989 г.). – София: Изд-во БАН, 1989. – C. 5 – 6.
2. Бабенко В. Ф., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении сверток и скалярных произведений функций
из различных классов // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 10. – С. 1305 – 1310.
3. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. – М.: Наука, 1984. – 352 с.
4. Mairhuber J. C., Schoenberg I. J., Williamson R. E. On variation diminishing transformations on the circle // Rend.
Circ. mat. Polermo. – 1959. – 8, № 2. – P. 241 – 270.
5. Karlin S. Total positivity. – Stranford, Calif.: Stanford univ. Press, 1968. – Vol. I. – 540 p.
6. Бабенко В. Ф. Приближение классов сверток // Сиб. мат. журн. – 1987. – 28, № 5. – С. 6 – 21.
7. Pinkus A. On n-width of periodic functions // J. Anal. Math. – 1979. – 35. – P. 209 – 235.
Получено 10.05.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1862 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:06Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/aa/80e079561e09365b62987b59fe04d5aa.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18622019-12-05T09:30:15Z On the optimal reconstruction of the convolution of $n$ functions according to the linear information Об оптимальном восстановлении свертки $n$ функций по линейной информации Babenko, V. F. Gun’ko, M. S. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. We determine the optimal linear information and the optimal method of its application to the recovery of convolution of $n$ functions on some convex and centrally symmetric classes of $2\pi$ -periodic functions. Знайдено оптимальну лiнiйну iнформацiю та оптимальний метод її використання для вiдновлення згортки $n$ функцiй на деяких опуклих центрально-симетричних множинах $2\pi$ -перiодичних функцiй. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1862 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 5 (2016); 579-585 Український математичний журнал; Том 68 № 5 (2016); 579-585 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1862/844 Copyright (c) 2016 Babenko V. F.; Gun’ko M. S. |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Gun’ko, M. S. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. On the optimal reconstruction of the convolution of $n$ functions according to the linear information |
| title | On the optimal reconstruction of the convolution of $n$ functions according to the linear information |
| title_alt | Об оптимальном восстановлении свертки $n$ функций по линейной информации |
| title_full | On the optimal reconstruction of the convolution of $n$ functions according to the linear information |
| title_fullStr | On the optimal reconstruction of the convolution of $n$ functions according to the linear information |
| title_full_unstemmed | On the optimal reconstruction of the convolution of $n$ functions according to the linear information |
| title_short | On the optimal reconstruction of the convolution of $n$ functions according to the linear information |
| title_sort | on the optimal reconstruction of the convolution of $n$ functions according to the linear information |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1862 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf ontheoptimalreconstructionoftheconvolutionofnfunctionsaccordingtothelinearinformation AT gunkoms ontheoptimalreconstructionoftheconvolutionofnfunctionsaccordingtothelinearinformation AT babenkovf ontheoptimalreconstructionoftheconvolutionofnfunctionsaccordingtothelinearinformation AT gunʹkoms ontheoptimalreconstructionoftheconvolutionofnfunctionsaccordingtothelinearinformation AT babenkovf ontheoptimalreconstructionoftheconvolutionofnfunctionsaccordingtothelinearinformation AT gunʹkoms ontheoptimalreconstructionoftheconvolutionofnfunctionsaccordingtothelinearinformation AT babenkovf oboptimalʹnomvosstanovleniisvertkinfunkcijpolinejnojinformacii AT gunkoms oboptimalʹnomvosstanovleniisvertkinfunkcijpolinejnojinformacii AT babenkovf oboptimalʹnomvosstanovleniisvertkinfunkcijpolinejnojinformacii AT gunʹkoms oboptimalʹnomvosstanovleniisvertkinfunkcijpolinejnojinformacii AT babenkovf oboptimalʹnomvosstanovleniisvertkinfunkcijpolinejnojinformacii AT gunʹkoms oboptimalʹnomvosstanovleniisvertkinfunkcijpolinejnojinformacii |