Verification of the hypotheses on the equality of densities of distributions
We construct new criteria for the verification of the hypotheses that $p \geq 2$ independent samplings have identical densities of distributions (homogeneity hypothesis) or identically defined densities of distributions (compatibility hypothesis). We determine the ultimate powers of the constructed...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1863 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507741287612416 |
|---|---|
| author | Babilua, P. Nadaraya, E. Sokhadze, G. A. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. Сохадзе, Г. А. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. Сохадзе, Г. А. |
| author_facet | Babilua, P. Nadaraya, E. Sokhadze, G. A. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. Сохадзе, Г. А. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. Сохадзе, Г. А. |
| author_sort | Babilua, P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:15Z |
| description | We construct new criteria for the verification of the hypotheses that $p \geq 2$ independent samplings have identical densities of distributions (homogeneity hypothesis) or identically defined densities of distributions (compatibility hypothesis). We determine the ultimate powers of the constructed criteria for some local “close” alternatives. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
П. К. Бабилуа, Э. А. Надарая, Г. А. Сохадзе (Тбил. гос. ун-т им. Ив. Джавахишвили, Грузия)
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
We construct new criteria for the verification of the hypotheses that p \geq 2 independent samplings have identical densities
of distributions (homogeneity hypothesis) or identically defined densities of distributions (compatibility hypothesis). We
determine the ultimate powers of the constructed criteria for some local “close” alternatives.
Побудовано критерiї перевiрки гiпотез про те, що p \geq 2 незалежних вибiрок мають однаковi щiльностi розподiлу
(гiпотеза однорiдностi) або однакову визначену щiльнiсть розподiлу (гiпотеза згоди). Знайдено граничну потужнiсть
побудованих критерiїв при деяких локальних „близьких” альтернативах.
Пусть X(i) = (X
(i)
1 , . . . , X
(i)
ni ), i = 1, . . . , p, — независимые выборки объемов n1, n2, . . . , np из
p \geq 2 генеральных совокупностей с плотностями распределения f1(x), . . . , fp(x). Требуется,
основываясь на выборках X(i), i = 1, . . . , p, проверить две гипотезы: гипотезу однородности
H0 : f1(x) = . . . = fp(x) (1)
и гипотезу согласия
H \prime
0 : f1(x) = . . . = fp(x) = f0(x), (2)
где f0(x) — вполне определенная функция плотности. В случае гипотезы H0 общая плотность
распределения f0(x) неизвестна.
В работе строятся критерии для проверки гипотез H0 и H \prime
0 для последовательности „близ-
ких” альтернатив [1, 2]:
H1 : fi(x) = f0(x) + \alpha (n0)\varphi i
\biggl(
x - \ell i
\gamma (n0)
\biggr)
(\alpha (n0), \gamma (n0) - \rightarrow 0 ) ,\int
\varphi i(x) dx = 0, n0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(n1, . . . , np) - \rightarrow \infty .
Мы рассматриваем критерий проверки гипотез H0 и H \prime
0, основанный на статистике
T (n1, n2, . . . , np) =
p\sum
i=1
Ni
\int \left[ \widehat fi(x) - 1
N
p\sum
j=1
Nj
\widehat fj(x)
\right] 2
r(x) dx, (3)
где \widehat fi(x) — ядерная оценка Розенблатта – Парзена плотности распределения fi(x):
\widehat fi(x) = ai
ni
ni\sum
j=1
K
\Bigl(
ai(x - X
(i)
j )
\Bigr)
, Ni =
ni
ai
, N = N1 + . . .+Np.
Частный случай p = 2 рассматривался в работах [3, 4]. В этом случае статистика T прини-
мает наиболее наглядный вид
T (n1, n2) =
N1N2
N1 +N2
\int \Bigl( \widehat f1(x) - \widehat f2(x)\Bigr) 2 r(x) dx.
c\bigcirc П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ, Г. А. СОХАДЗЕ, 2016
586 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 587
1. В настоящем пункте найдено предельное распределение статистики (3) при гипотезе H1
в случае, когда ni неограниченно возрастают, так что ni = nki, где n\rightarrow \infty , а ki — постоянные.
Пусть a1 = a2 = . . . = ap = an, причем an \rightarrow \infty при n\rightarrow \infty .
Для получения предельного закона распределения функционала Tn = T (n1, . . . , np) введем
предположения относительно функций K(x), f0(x), \varphi i(x), i = 1, . . . , p, и r(x):
(i) K(x) \geq 0 — функция с ограниченным изменением,\int
K(x) dx = 1,
\int
x2K(x) dx <\infty .
(ii) Функция плотности f0(x) ограничена и положительна на ( - \infty ,\infty ) либо ограничена и
положительна в некотором конечном интервале [c, d]. Кроме того, она имеет в области поло-
жительности ограниченную производную.
(iii) Функции \varphi j(x), j = 1, . . . , p, ограничены и имеют ограниченные производные первого
порядка, причем \varphi i(x) и \varphi (1)
i (x) \in L1( - \infty ,\infty ).
(iv) Весовая функция r(x) кусочно-непрерывна, ограничена и интегрируема, причем r(\ell k) \not =
\not = 0, k = 1, . . . , p, где \ell k — некоторые фиксированные точки непрерывности r(x).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть выполняются условия (i) – (iv), причем fi(x) \geq 0, x \in ( - \infty ,\infty ). Если
na
- 1/2
n \alpha 2
n\gamma n \rightarrow c0 \not = 0, an\gamma n \rightarrow \infty , \alpha n\gamma n = o(n - 1/2) (\alpha n = \alpha (n0), \gamma n = \gamma (n0)), na
- 2
n \rightarrow \infty
и a2n\alpha n\gamma n \rightarrow 0, то случайная величина a1/2n (Tn - \mu ) при гипотезе H1 распределена в пределе
нормально с математическим ожиданием A(\varphi ) и дисперсией \sigma 2, где
A(\varphi ) = c0
p\sum
i=1
\biggl(
ki -
k2i
k
\biggr)
r(\ell i)
\int
\varphi 2
i (x) dx,
\sigma 2 = 2(p - 1)
\int
f20 (x)r
2(x) dx R(K0), K0 = K \ast K,
\mu = (p - 1)
\int
f0(x)r(x) dx R(K), R(g) =
\int
g2(x) dx,
k = k1 + . . .+ kp, p \geq 2.
Доказательство. Представим Tn в виде суммы
Tn = T (1)
n +A1n +A2n,
где
T (1)
n =
n
an
p\sum
i=1
ki
\int \left[ \widehat fi(x) - E \widehat fi(x) - 1
k
p\sum
j=1
kj
\Bigl( \widehat fj(x) - E \widehat fj(x)\Bigr)
\right] 2
r(x) dx,
A1n = 2
n
an
p\sum
i=1
ki
\int \Bigl[ \widehat fi(x) - E \widehat fi(x)\Bigr]
\left[ E \widehat fi(x) - 1
k
p\sum
j=1
kjE \widehat fj(x)
\right] r(x) dx,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
588 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ, Г. А. СОХАДЗЕ
A2n =
n
an
p\sum
i=1
ki
\int \left[ E \widehat fi(x) - 1
k
p\sum
j=1
kjE \widehat fj(x)
\right] 2
r(x) dx.
Здесь и далее E( \cdot ) — математическое ожидание относительно гипотезы H1.
Нетрудно видеть, что
E \widehat fi(x) = f0(x) + \alpha n\varphi i
\biggl(
x - \ell i
\gamma n
\biggr)
-
- \alpha n
an\gamma n
\int
tK(t)
1\int
0
\varphi
(1)
i
\biggl(
x - \ell i
\gamma n
- tz
an\gamma n
\biggr)
dz dt,
где
f0(x) = an
\int
K (an(x - u)) f0(u) du.
Поэтому
\surd
anA2n = An(\varphi ) + 2
n\alpha 2
n\surd
an
p\sum
i=1
ki
\int
Ai(x)Bi(x)r(x) dx+
+
n\alpha 2
n\surd
an
p\sum
i=1
ki
\int
B2
i (x)r(x) dx = An(\varphi ) + L1n + L2n.
Здесь
An(\varphi ) =
n\alpha 2
n\surd
an
p\sum
i=1
ki
\int \left[ \varphi i
\biggl(
x - \ell i
\gamma n
\biggr)
- 1
k
p\sum
j=1
kj\varphi j
\biggl(
x - \ell j
\gamma n
\biggr) \right] 2
r(x) dx,
Ai(x) =
\left[ \varphi i
\biggl(
x - \ell i
\gamma n
\biggr)
- 1
k
p\sum
j=1
kj\varphi j
\biggl(
x - \ell j
\gamma n
\biggr) \right] ,
Bi(x) =
1
an\gamma n
\left[ 1
k
p\sum
j=1
kj
\int
| t| K(t)
1\int
0
\varphi (1)
\biggl(
x - \ell j
\gamma n
- tz
an\gamma n
\biggr)
dt dz -
-
\int
| t| K(t)
1\int
0
\varphi
(1)
i
\biggl(
x - \ell i
\gamma n
- tz
an\gamma n
\biggr)
dt dz
\right] .
В силу условия (iii) имеем
L1n \leq c1
n\alpha 2
n
a
3/2
n
,
а в силу обобщенного неравенства Минковского [5] и условия (iii) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 589
L2n \leq c2
n\alpha 2
n
a
5/2
n \gamma n
.
Таким образом,
\surd
anA2n = An(\varphi ) +O
\Biggl(
n\alpha 2
n
a
3/2
n
\Biggr)
+O
\Biggl(
n\alpha 2
n
a
5/2
n \gamma n
\Biggr)
. (4)
Поскольку
O
\Bigl(
n\alpha 2
na
- 3/2
n
\Bigr)
= O
\Biggl(
n\alpha 2
na
- 1/2
n \gamma n
an\gamma n
\Biggr)
= O
\biggl(
1
an\gamma n
\biggr)
и
O
\Biggl(
n\alpha 2
n
a
5/2
n \gamma n
\Biggr)
= O
\biggl(
1
(an\gamma n)2
\biggr)
,
то из (4) находим
a1/2n A2n = An(\varphi ) +O
\biggl(
1
an\gamma n
\biggr)
. (5)
Выясним теперь асимптотический вид An(\varphi ). Согласно теореме Лебега о мажорируемой
сходимости с учетом того, что \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}| x| \rightarrow \infty \varphi i(x) = 0 [6, стр. 429], легко установить, что при
n\rightarrow \infty
1
\gamma n
\int
\varphi 2
i
\biggl(
x - \ell i
\gamma n
\biggr)
r(x) dx - \rightarrow r(\ell i)
\int
\varphi 2
i (x) dx,
1
\gamma n
\int
\varphi i
\biggl(
x - \ell i
\gamma n
\biggr)
\varphi j
\biggl(
x - \ell j
\gamma n
\biggr)
r(x) dx - \rightarrow 0, i \not = j.
(6)
Далее, принимая во внимание (6), имеем
1
\gamma n
p\sum
j=1
kj
\int
\varphi i
\biggl(
x - \ell i
\gamma n
\biggr)
\varphi j
\biggl(
x - \ell j
\gamma n
\biggr)
r(x) dx - \rightarrow kir(\ell i)
\int
\varphi 2
i (u) du,
1
\gamma n
\int \left( p\sum
j=1
kj\varphi j
\biggl(
x - \ell j
\gamma n
\biggr) \right) 2
r(x) dx - \rightarrow
p\sum
i=1
k2i r(\ell i)
\int
\varphi 2
j (u) du.
(7)
Из определения An(\varphi ) и (7) следует, что при n\rightarrow \infty
An(\varphi ) - \rightarrow A(\varphi ).
Следовательно,
a1/2n A2n - \rightarrow A(\varphi ). (8)
Теперь покажем, что a
1/2
n A1n - \rightarrow 0 по вероятности. Для этого достаточно показать, что
a
1/2
n E| A1n| - \rightarrow 0 при n\rightarrow \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
590 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ, Г. А. СОХАДЗЕ
Имеем
E| A1n| \leq (EA2
1n)
1/2 = 2
n
an
\Biggl\{
p\sum
i=1
k2iE
\biggl[ \int \Bigl( \widehat fi(x) - E \widehat fi(x)\Bigr) Ai(x)r(x) dx
\biggr] 2\Biggr\} 1/2
,
где
Ai(x) = E \widehat fi(x) - 1
k
p\sum
j=1
kjE \widehat fj(x).
Далее, нетрудно видеть, что
E
\biggl[ \int \Bigl( \widehat fi(x) - E \widehat fi(x)\Bigr) Ai(x)r(x) dx
\biggr] 2
=
=
a2n
kin
E
\biggl[ \int
K
\Bigl(
an(x1 - X
(i)
1 )
\Bigr)
Ai(x1)r(x1) dx1 -
- E
\int
k
\Bigl(
an(x1 - X
(i)
1 )
\Bigr)
Ai(x1)r(x1) dx1
\biggr] 2
\leq
\leq a2n
kin
E
\biggl[ \int
K
\Bigl(
an(x - X
(i)
1 )
\Bigr)
Ai(x)r(x) dx
\biggr] 2
.
Поэтому
E| A1n| \leq c3
\surd
n
\Biggl\{
p\sum
i=1
ki
\int
fi(u) du
\biggl[ \int
K(an(x1 - u))Ai(x1)r(x1) dx1
\biggr] 2\Biggr\} 1/2
\leq
\leq c4
\surd
n\alpha n \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq p
\Biggl\{ \int
fi(u) du
\biggl[ \int
K1(an(u - v)
\bigm| \bigm| \bigm| \varphi i
\biggl(
v - \ell i
\gamma n
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| dv\biggr] 2\Biggr\} 1/2
\leq
\leq c5
\surd
n\alpha n
an
\left[ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq p
\biggl\{ \int
fi(u)\varphi
2
i
\biggl(
v - \ell i
\gamma n
\biggr)
du
\biggr\} 1/2
+
+
1
an\gamma n
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq p
\left\{
\int
fi(u) du
\left[ \int 1\int
0
| t| K1(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \varphi (1)
i
\biggl(
u - \ell i
\gamma n
- zt
an\gamma n
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| dz dt
\right] 2
\right\}
1/2
\right] \leq
\leq c6
\Biggl( \surd
n\alpha n\gamma
1/2
n
an
+
\surd
n\alpha n\gamma
1/2
n
a2n\gamma n
\Biggr)
,
где
K1(x) =
\int
K(t)K(t - x) dt.
Таким образом,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 591
a1/2n E| A1n| \leq c7
\biggl( \surd
n\alpha n\gamma
1/2
n a
- 1/4
n
a
1/4
n
+
\surd
n\alpha na
- 1/4
n \gamma
1/2
n
(an\gamma n)a
1/4
n
\biggr)
= O(a - 1/4
n ). (9)
Рассмотрим теперь функционал
T (1)
n =
n
an
p\sum
i=1
ki
\int \left[ \widehat fi(x) - E \widehat fi(x) - 1
k
p\sum
j=1
ki
\Bigl( \widehat fj(x) - E \widehat fj(x)\Bigr)
\right] 2
r(x) dx,
где k = k1 + . . .+ kp.
После простого преобразования получим
T (1)
n =
\int \left[ p\sum
i=1
\biggl( \sqrt{}
ni
an
\Bigl( \widehat fi(x) - E \widehat fi(x)\Bigr) \biggr) 2
-
\left( p\sum
j=1
\alpha j
\sqrt{}
nj
an
\Bigl( \widehat fj(x) - E \widehat fj(x)\Bigr)
\right) 2\right] r(x) dx,
где \alpha 2
i =
ki
k1 + . . .+ kp
.
Пусть
\BbbZ (x) = (Z1(x), . . . , Zp(x))
— вектор с компонентами
Zi(x) =
\sqrt{}
ni
an
\Bigl( \widehat fi(x) - E \widehat fi(x)\Bigr) , i = 1, . . . , p.
Тогда
T (1)
n =
\int \left[ | Z(x)| 2 -
\left( p\sum
j=1
\alpha jZj(x)
\right) 2\right] r(x) dx,
где | a| — длина вектора a = (a1, . . . , ap).
Как известно, существует ортогональная матрица \bfC = \| cij\| , i, j = 1, . . . , p, зависящая
только от k1, k2, . . . , kp, для которой
cpi = \alpha i =
\sqrt{}
ki
k1 + . . .+ kp
, i = 1, . . . , p.
Поскольку при ортогональном преобразовании длина вектора не меняется, то
T (1)
n =
\int \left[ | \BbbC \BbbZ | 2 -
\left( p\sum
j=1
\alpha jZj(x)
\right) 2\right] r(x) dx =
p - 1\sum
i=1
\int \left( p\sum
j=1
cijZj(x)
\right) 2
r(x) dx. (10)
Известно [2, 7], что
Zi(x) =
\sqrt{}
ni
an
\Bigl( \widehat fi(x) - E \widehat fi(x)\Bigr) = \xi i(x) +Op
\Biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}n\sqrt{}
na - 1
n
\Biggr)
(11)
равномерно по x, где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
592 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ, Г. А. СОХАДЗЕ
\xi i(x) = a1/2n
\int
K(an(x - u)) dW 0
i (Fi(u)), i = 1, . . . , p,
а W 0
i (t) — независимые броуновские мосты, зависящие соответственно только от X(i) =
= (X
(i)
1 , . . . , X
(i)
ni ), Fi(u) — функция распределения случайной величины X
(i)
1 .
Тогда согласно (11) запишем
p\sum
j=1
cijZj(x) =
p\sum
j=1
cij\xi j(x) +O
\Biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}n\sqrt{}
na - 1
n
\Biggr)
. (12)
Далее, оценим дисперсию величины
Yi =
\int p\sum
j=1
cij\xi j(x)r(x) dx.
Вследствие независимости W 0
i , i = 1, . . . , p, получим
\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}Yi =
p\sum
j=1
c2ij
\int \int
E\xi j(x)\xi j(y)r(x)r(y) dx dy.
\xi j(x) можно представить так:
\xi i(x) = a1/2n
\int \biggl[
K(an(x - t)) -
\int
K(an(x - u)) dFj(u)
\biggr]
dWj(Fj),
где Wj(t), j = 1, . . . , p — независимые стандартные винеровские процессы на [0, 1].
Поэтому
E\xi j(x)\xi j(y) = an
\biggl[ \int
K(an(x - u))K(an(y - u))fj(u) du -
-
\int
K(an(x - u))fj(u) du
\int
K(an(y - u)fj(u) du
\biggr]
.
Отсюда после несложных преобразований получаем\int \int
E\xi j(x)\xi j(y)r(x)r(y) dx dy = O(a - 1
n ).
Следовательно,
\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}Yj = O(a - 1
n ), j = 1, . . . , p. (13)
Из представлений (10) и (12), а также соотношения (13) находим
T (1)
n =
p - 1\sum
i=1
\int \left( p\sum
j=1
cij\xi j(t)
\right) 2
r(t) dt+Op
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}2 n
na - 1
n
\biggr)
= T (2)
n +Op
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}2 n
na - 1
n
\biggr)
, (14)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 593
T (2)
n =
p - 1\sum
i=1
\int \left( p\sum
j=1
cij\xi j(t)
\right) 2
r(t) dt.
Обозначим
\eta i(t) = a1/2n
\int
K(an(t - u)) dWi(Fi(u)),
T (3)
n =
p - 1\sum
i=1
\int \biggl( p\sum
j=1
cij\eta j(t)
\biggr) 2
r(t) dt,
\varepsilon i(t) = a1/2n Wi(1)
\int
K(an(t - u))fi(u) du.
Тогда
a1/2n
\Bigl(
T (2)
n - T (3)
n
\Bigr)
= op(1). (15)
Действительно,
E
\bigm| \bigm| T (2)
n - T (3)
n
\bigm| \bigm| \leq 2
p - 1\sum
i=1
E
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \int p\sum
j=1
cij\eta j(t)
p\sum
r=1
cir\varepsilon r(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| r(t) dt+
+
p - 1\sum
i=1
E
\int \left( p\sum
j=1
cij\varepsilon j(t)
\right) 2
r(t) dt = B(1)
n +B(2)
n . (16)
Нетрудно видеть, что
B(2)
n =
p - 1\sum
i=1
E
\int p\sum
j=1
c2ij\varepsilon
2
j (t)r(t) dt =
= an
p - 1\sum
i=1
p\sum
j=1
c2ijEW
2
j (1)
\int \biggl[ \int
K(an(t - u))fj(u) du
\biggr] 2
r(t) dt \leq c5a
- 1
n .
Оценим теперь B(1)
n . Имеем
B(1)
n \leq 2
p - 1\sum
i=1
\left[ p\sum
j,r
| cijcir| E| Wr(1)|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \int \biggl[ \int \Psi r(t)K(an(t - u))r(t) dt
\biggr]
dWj(Fj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\right] \leq
\leq 2
p - 1\sum
i=1
\left[ p\sum
j=1
p\sum
r=1
| cijcir| E1/2W 2
r (1)E
1/2
\biggl\{ \int \biggl[ \int
\Psi r(t)K(an(t - u))r(t) dt
\biggr]
dWj(Fj)
\biggr\} 2
\right] =
= 2
p - 1\sum
i=1
p\sum
j=1
p\sum
r=1
| cijcir|
\Biggl\{ \int \biggl( \int
\Psi r(t)K(an(t - u))r(t) dt
\biggr) 2
dFj(u)
\Biggr\} 1/2
\leq c6a
- 1
n ,
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
594 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ, Г. А. СОХАДЗЕ
\Psi r(t) =
\int
K(z)fr(t - za - 1
n ) dz.
Итак, подставляя оценки для выражений B(1)
n и B(2)
n в (16), находим
a1/2n
\Bigl(
T (1)
n - T (3)
n
\Bigr)
= op(1) +Op
\Biggl(
a
3/2
n \mathrm{l}\mathrm{n}2 n
n
\Biggr)
, (17)
откуда следует справедливость (15).
Обозначим
\eta 0i (t) = a1/2n
\int
K(an(t - x)) dWi(F0),
где F0(x) — функция распределения с плотностью f0(x). Поскольку Fi(x) = F0(x) +O(\alpha n\gamma n),
то
E
\bigm| \bigm| \eta i(t) - \eta 0i (t)
\bigm| \bigm| 2 = O(an\alpha n\gamma n),
а в силу ограниченности f0(x) имеем
E(\eta 0i (t))
2 = O(1), i = 1, 2, . . . , p,
равномерно по x \in ( - \infty ,\infty ).
Действительно,
E
\bigl(
\eta i(t) - \eta 0i (t)
\bigr) 2
= anE
\biggl( \int \biggl[
Wi
\biggl(
Fi
\biggl(
t - z
an
\biggr) \biggr)
- Wi
\biggl(
F0
\biggl(
t - z
an
\biggr) \biggr) \biggr]
dK(z)
\biggr) 2
\leq
\leq an
\int
E
\biggl[
Wi
\biggl(
Fi
\biggl(
t - z
an
\biggr) \biggr)
- Wi
\biggl(
F0
\biggl(
t - z
an
\biggr) \biggr) \biggr] 2
| dK(z)|
\int
| dK(z)| \leq
\leq an
\int \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Fi
\biggl(
t - z
an
\biggr)
- F0
\biggl(
t - z
an
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | dK(z)|
\int
| dK(z)| \leq
\leq c8an\alpha n\gamma n.
Далее,
E| \eta 0n(t)| 2 = an
\int
K2(an(t - z))f0(z) dz \leq
\int
K2(u)f0
\biggl(
t - u
an
\biggr)
du \leq c9.
Обозначим
T (4)
n =
p - 1\sum
i=1
\int \left( p\sum
j=1
cij\eta
0
j (t)
\right) 2
r(t) dt.
Тогда из неравенства Коши – Шварца имеем
\surd
anE| T (3)
n - T (4)
n | \leq 2
\surd
an
n\sum
i=1
p\sum
j1,j2=1
| cij1cij2 |
\int
E| \eta 0j1(t)|
\bigm| \bigm| \eta j2(t) - \eta 0j2(t)
\bigm| \bigm| r(t) dt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 595
+
\surd
an
p - 1\sum
i=1
\int
E
\left( p\sum
j=1
cij
\bigl(
\eta j(t) - \eta 0j (t)
\bigr) \right) 2
r(t) dt \leq
\leq c10an
\surd
\alpha n\gamma n + c11a
3/2
n \alpha n\gamma n - \rightarrow 0. (18)
Перейдем к изучению предельного распределения функционала
T (4)
n =
p - 1\sum
i=1
\int \left( p\sum
j=1
cij\eta
0
j (t)
\right) 2
r(t) dt.
Ясно, что процессы \eta 0i (t), i = 1, . . . , p, независимые и гауссовские, так что новые про-
цессы
\sum p
j=1
cij\eta
0
j (t), i = 1, . . . , p, также независимые и гауссовские в силу ортогональности
матрицы \| cij\| . Поэтому для нахождения предельного распределения T (4)
n осталось установить
предельное распределение функционала
U (i)
n =
\int \left( p\sum
j=1
cij\eta
0
j (t)
\right) 2
r(t) dt
при каждом фиксированном i, i = 1, . . . , p - 1.
Ковариационная функция R(i)
n (t1, t2) гауссовского процесса
\sum p
j=1
cij\eta
0
j (t) имеет вид
R(i)
n (t1, t2) =
p\sum
j=1
c2ijE\eta
0
j (t1)\eta
0
j (t2).
Однако
E\eta 0j (t1)\eta
0
j (t2) =
\int
K(u)K(an(t1 - t2) + u)f0(t1 - a - 1
n u) du =
= f0(t1)K0(an(t1 - t2)) +O(a - 1
n ), (19)
причем оценка O( \cdot ) равномерна по t1, t2 и K0 = K \ast K.
Из (19) следует, что
R(i)
n (t1, t2) = f0(t1)K0 (an(t1 - t2)) +O(a - 1
n ). (20)
Семиинвариант \chi (i)
n (s) порядка s случайной величины U
(i)
n дается формулой [8]
\chi (i)
n
(s) = (s - 1)! 2s - 1
\int
. . .
\int
R(i)
n (x1, x2)R
(i)
n (x2, x3) . . . R
(i)
n (xs, x1)\times
\times r(x1)r(x2) . . . r(xs) dx1 dx2 . . . dxs. (21)
Из (20) и (21) нетрудно установить, что
EU (i)
n = \chi (i)
n
(1) = R(K)
\int
f0(x)r(x) dx+O(a - 1
n ),
\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}U (i)
n = \chi (i)
n
(2) = 2R(K0)a
- 1
n
\int
f20 (x)r
2(x) dx+ o(a - 1
n ),
(22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
596 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ, Г. А. СОХАДЗЕ
и s-й семиинвариант \chi (i)
n
(s) с точностью до членов высшего порядка малости равен [8]
(s - 1)! 2s - 1(a - 1
n )s - 1[K \ast K](s)(0)
\int
fs0 (x)r
s(x) dx, (23)
где (s) обозначает s-кратную свертку K0(x) с самим собой.
Из соотношений (22), (23) следует, что (см. также [2, 8])
a1/2n
\biggl(
U (i)
n - R(K)
\int
f0(x)r(x) dx
\biggr)
распределена в пределе нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией
2R(K0)
\int
f20 (u)r
2(u) du
и, следовательно,
\surd
an (T
(4)
n - \mu ) распределена в пределе нормально с математическим ожида-
нием 0 и дисперсией \sigma 2.
Наконец, принимая во внимание (5), (8), (9), (14), (15), (18) и представление
a1/2n (Tn - \mu ) = a1/2n (T (4)
n - \mu )+
+An(\varphi ) +O
\biggl(
1
an\gamma n
\biggr)
+ op(1) +Op
\Biggl(
a
3/2
n \mathrm{l}\mathrm{n}2 n
n
\Biggr)
+Op
\Bigl(
(a2n\alpha n\gamma n)
1/2
\Bigr)
,
заключаем, что a1/2n (Tn - \mu ) распределена в пределе нормально с математическим ожиданием
A(\varphi ) и дисперсией \sigma 2.
Условия теоремы 1 относительно an, \alpha n и \gamma n выполняются, например, если положить
an = n\delta , \alpha n = n - \alpha , \gamma n = n - \beta при
\delta
2
= 1 - 2\alpha - \beta , \alpha +\beta > 1
2
, 0 < \delta <
1
2
, 0 < \beta < \delta , а условия
на \alpha , \beta и \delta выполняются, например, если
\delta =
1
4
, \beta =
1
5
, \alpha =
27
80
; \delta =
2
9
, \beta =
1
6
, \alpha =
13
36
;
\delta =
1
5
, \beta =
1
6
, \alpha =
11
30
и т. д.
Из теоремы 1 следуют два утверждения.
Следствие 1. Пусть выполняются условия (i), (ii) и (iv) относительно K(x), f0(x) и r(x).
Если na - 2
n \rightarrow \infty , то случайная величина a1/2n (Tn - \mu ) при гипотезе H \prime
0 распределена в пределе
нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией \sigma 2.
С помощью следствия можно построить критерий для проверки гипотезы H \prime
0; критическая
область для проверки этой гипотезы устанавливается неравенством
Tn \geq dn(\alpha ), (24)
где
dn(\alpha ) = \mu + a - 1/2
n \sigma \lambda \alpha ,
\lambda \alpha — квантиль уровня 1 - \alpha , 0 < \alpha < 1, стандартного нормального распределения \Phi (x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 597
Следствие 2. При условиях теоремы 1 локальное поведение мощности PH1 (Tn \geq dn(\alpha ))
таково: при n\rightarrow \infty
PH1 (Tn \geq dn(\alpha )) - \rightarrow 1 - \Phi
\biggl(
\lambda \alpha - A(\varphi )
\sigma
\biggr)
.
2. Введем обозначения
f\ast n(x) =
1
k
p\sum
j=1
kj \widehat fj(x),
\mu n =
\int
f\ast n(x)r(x) dx,
\Delta 2
n =
1
k
p\sum
i=1
ki\Delta
2
in, \Delta 2
in =
\int \widehat f2i (x)r2(x) dx.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1. Тогда случайная величина
a1/2n (Tn - \mu n)\sigma
- 1
n ,
где
\mu n = (p - 1)R(K)\mu n, \sigma 2n = 2(p - 1)R(K0)\Delta
2
n,
при гипотезе H1 распределена в пределе нормально с математическим ожиданием A(\varphi )\sigma - 1
и дисперсией 1.
Доказательство. Очевидно,
a1/2n (Tn - \mu n)\sigma
- 1
n = a1/2n (Tn - \mu )\sigma - 1(\sigma \sigma - 1
n ) + a1/2n (\mu - \mu n)\sigma
- 1
n .
Поэтому достаточно показать, что
a1/2n
\biggl(
\mu n -
\int
f0(x)r(x) dx
\biggr)
= op(1) (25)
и
\Delta 2
n -
\int
f20 (x)r
2(x) dx = op(1). (26)
Но (26) непосредственно следует из теоремы 2.1 [9] (см. также [2, 10]).
Докажем (25). Имеем
a1/2n E
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \int f\ast n(x)r(x) dx -
\int
f0(x)r(x) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq a1/2n E
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \int (f\ast n(x) - Ef\ast n(x)) r(x) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + a1/2n
\int \bigm| \bigm| Ef\ast n(x) - f0(x)
\bigm| \bigm| r(x) dx = A1n +A2n.
Нетрудно убедиться, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
598 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ, Г. А. СОХАДЗЕ
E \widehat fi(x) = f0(x) +O
\biggl(
1
an
\biggr)
+ \alpha n
\int
K(t)\varphi i
\biggl(
x - \ell i
\gamma n
- t
an\gamma n
\biggr)
dt,
где O( \cdot ) равномерно по x \in ( - \infty ,\infty ). Поэтому
Ef\ast n(x) = f0(x) +O
\biggl(
1
an
\biggr)
+ \alpha n
1
k
p\sum
j=1
kj
\int
K(t)\varphi j
\biggl(
x - \ell j
\gamma n
- t
an\gamma n
\biggr)
dt.
Следовательно,
A2n \leq c12a
- 1/2
n + c13a
1/2
n \alpha n\gamma n.
Далее, имеем
A1n \leq a1/2n E1/2
\biggl( \int
(f\ast n(x) - Ef\ast n(x)) r(x) dx
\biggr) 2
\leq
\leq c14a
1/2
n \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq p
\Biggl\{
1
n
\int
fj(u) du
\biggl( \int
K(t)r
\biggl(
u - t
an
\biggr)
dt
\biggr) 2
\Biggr\} 1/2
\leq
\leq c15
\Bigl( an
n
\Bigr) 1/2
.
Таким образом,
A1n +A2n \leq c16
\biggl(
a - 1/2
n +
\surd
an \alpha n\gamma n +
\Bigl( an
n
\Bigr) 1/2\biggr)
- \rightarrow 0,
так как
\surd
an \alpha n\gamma n \leq a2n\alpha n\gamma n \rightarrow 0 и
an
n
\rightarrow 0.
Из теоремы 2 вытекают два следствия.
Следствие 3. Случайная величина
a1/2n (Tn - \mu n)\sigma
- 1
n
при гипотезе H0 распределена в пределе нормально с математическим ожиданием 0 и дис-
персией 1.
Этот результат позволяет построить асимптотический критерий проверки гипотезы H0 :
f1(x) = . . . = fp(x) (гипотезы однородности); критическая область устанавливается неравен-
ством
Tn \geq \widetilde dn(\alpha ) = \mu n + a - 1/2
n \sigma n\lambda \alpha , (27)
где \lambda \alpha — квантиль уровня 1 - \alpha стандартного нормального распределения \Phi (x).
Следствие 4. При условиях теоремы 2 локальное поведение мощности PH1 (Tn \geq \widetilde dn(\alpha ))
таково:
PH1(Tn \geq \widetilde dn(\alpha )) - \rightarrow 1 - \Phi
\bigl(
\lambda \alpha - A(\varphi )\sigma - 1
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 599
Замечание 1. При альтернативе H1 имеем
Fi(x) = F0(x) + \alpha n\gamma nUi
\biggl(
x - \ell i
\gamma n
\biggr)
, Ui(u) =
u\int
- \infty
\varphi i(x) dx,
и по условию теоремы 1 \alpha n\gamma n = o
\biggl(
1\surd
n
\biggr)
. Поэтому можно записать
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x
\bigm| \bigm| Fi(x) - F0(x)
\bigm| \bigm| = o
\biggl(
1\surd
n
\biggr)
. (28)
Известно, что критерии, основанные на отклонении между выборочными функциями рас-
пределения, как, например, критерии типа Колмогорова – Смирнова и критерии Крамера –
Мизеса – Смирнова (аналог таких критериев при p \geq 2 был построен Кифером [11]), отличают
близкие альтернативы от нулевой гипотезы, если Fi(x) - F0(x) = O
\biggl(
1\surd
n
\biggr)
равномерно по
x \in ( - \infty ,\infty ), а в случае (28) перечисленные критерии не могут асимптотически отличать
такие гипотезы от основной (предельное значение мощности будет совпадать с предельным
уровнем критерия). Однако тесты (24) и (27), основанные на оценках плотности распреде-
ления, в пределе более мощны (при гипотезе H1), нежели тесты, основанные на выборочных
функциях распределения (аналогичные вопросы для одной выборки рассмотрены в работе
Розенблатта [1]).
Замечание 2. Критерии (24) и (27) проверки гипотез H \prime
0 и H0 соответственно при альтер-
нативе H1 являются асимптотически строго несмещенными, ибо A(\varphi ) > 0 и равно 0 тогда и
только тогда, когда \varphi i(x) = 0 почти всюду, i = 1, . . . , p.
Замечание 3 (примеры функции \varphi (x)). Пусть \varphi (x)— финитная функция с носителем [0, A],\int
\varphi (x) dx = 0, удовлетворяет условиям (iii) и f0(x) > 0, x \in ( - \infty ,\infty ), тогда
f(x) = f0(x) + \alpha n\varphi
\biggl(
x - \ell
\gamma n
\biggr)
\geq 0, \gamma n \downarrow 0,
при подходящем выбором \alpha n. Действительно, f(x) совпадает с f0(x) всюду, кроме, возможно,
интервала I = [\ell , \ell + A\gamma 1]. Пусть \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}x\in I f0(x) \geq \mu > 0. Обозначим через L минимальное
значение \varphi (x) в этом же интервале. Если мы выберем \alpha n так, что \mu +L\alpha n > 0, то будем иметь
f(x) \geq 0.
Приведем конкретный пример. Пусть
f0(x) =
1\surd
2\pi
e -
x2
2 ,
\psi 1(x) =
\left\{ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- 1
1 - (x - 0, 5)2
\Bigr\}
, 0 < x < 1,
0, x \leq 0, x \geq 1,
\psi 2(x) =
\left\{ - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- 1
1 - 4(x - 1, 5)2
\Bigr\}
, 1 < x < 2,
0, x \leq 1, x \geq 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
600 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ, Г. А. СОХАДЗЕ
и
\psi (x) = \psi 1(x) + \psi 2(x).
Пусть, далее, \ell = 0, \gamma n = n -
1
5 . Тогда A = 2, \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
x
\varphi (x) = - e - 1 и \mu =
1
e2
\surd
2\pi
. В качестве \alpha n
выберем последовательность положительных чисел, сходящихся к нулю, и \alpha n <
1
e
\surd
2\pi
. На-
пример, \alpha n = 10 - 1n -
27
80 (см. условия теоремы 1 относительно an, \alpha n и \gamma n).
Литература
1. Rosenblatt M. A quadratic measure of deviation of two-dimensional density estimates and a test of independence //
Ann. Statist. – 1975. – 3. – P. 1 – 14.
2. Nadaraya E. A. Nonparametric estimation of probability densities and regression curves // Math. and its Appl. (Soviet
Series). – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. Group, 1989. – 20.
3. Nadaraya E. A. Limit distribution of the quadratic deviation of two nonparametric estimators of the density of a
distribution (in Russian) // Soobshch. Akad. Nauk Gruz.SSR. – 1975. – 78. – P. 25 – 28.
4. Anderson N. H., Hall P., Titterington D. M. Two-sample test statistics for measuring discrepancies between two
multivariate probability density functions using kernel-based density estimates // J. Multivar. Anal. – 1994. – 50,
№ 1. – P. 41 – 54.
5. Nikol’skii S. M. Approximation of functions of several variables and imbedding theorems (in Russian). – Moscow:
Nauka,1969.
6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976.
7. Hall P. Limit theorems for stochastic measures of the accuracy of density estimators // Stochast. Process. and Appl. –
1982. – 13, №. 1. – P. 11 – 25.
8. Bickel P. J., Rosenblatt M. On some global measures of the deviations of density function estimates // Ann. Statist. –
1973. – 1. – P. 1071 – 1095.
9. Bhattacharyya G. K., Roussas G. G., Estimation of a certain functional of a probability density function // Skand.
Aktuarietidskr. – 1969. – 1969. – P. 201 – 206.
10. Mason D. M., Nadaraya E. A., Sokhadze G. A. Integral functionals of the density // Nonparametrics and Robustness
in Modern Statistical Inference and Time Series Analysis: a Festschrift in honor of Professor Jana Jurečková. –
Beachwood, OH: Inst. Math. Statist., 2010. – P. 153–168.
11. Kiefer J. K-sample analogues of the Kolmogorov – Smirnov and Cramér – V. Mises tests // Ann. Math. Statist. –
1959. – 30. – P. 420 – 447.
Получено 03.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1863 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:08Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7c/8410675e5155e42f4d94c6b3ab79b67c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18632019-12-05T09:30:15Z Verification of the hypotheses on the equality of densities of distributions Проверка гипотез о равенстве плотностей распределения Babilua, P. Nadaraya, E. Sokhadze, G. A. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. Сохадзе, Г. А. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. Сохадзе, Г. А. We construct new criteria for the verification of the hypotheses that $p \geq 2$ independent samplings have identical densities of distributions (homogeneity hypothesis) or identically defined densities of distributions (compatibility hypothesis). We determine the ultimate powers of the constructed criteria for some local “close” alternatives. Побудовано критерiї перевiрки гiпотез про те, що $p \geq 2$ незалежних вибiрок мають однаковi щiльностi розподiлу (гiпотеза однорiдностi) або однакову визначену щiльнiсть розподiлу (гiпотеза згоди). Знайдено граничну потужнiсть побудованих критерiїв при деяких локальних „близьких” альтернативах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1863 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 5 (2016); 586-600 Український математичний журнал; Том 68 № 5 (2016); 586-600 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1863/845 Copyright (c) 2016 Babilua P.; Nadaraya E.; Sokhadze G. A. |
| spellingShingle | Babilua, P. Nadaraya, E. Sokhadze, G. A. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. Сохадзе, Г. А. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. Сохадзе, Г. А. Verification of the hypotheses on the equality of densities of distributions |
| title | Verification of the hypotheses on the equality of
densities of distributions |
| title_alt | Проверка гипотез о равенстве плотностей распределения |
| title_full | Verification of the hypotheses on the equality of
densities of distributions |
| title_fullStr | Verification of the hypotheses on the equality of
densities of distributions |
| title_full_unstemmed | Verification of the hypotheses on the equality of
densities of distributions |
| title_short | Verification of the hypotheses on the equality of
densities of distributions |
| title_sort | verification of the hypotheses on the equality of
densities of distributions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1863 |
| work_keys_str_mv | AT babiluap verificationofthehypothesesontheequalityofdensitiesofdistributions AT nadarayae verificationofthehypothesesontheequalityofdensitiesofdistributions AT sokhadzega verificationofthehypothesesontheequalityofdensitiesofdistributions AT babiluapk verificationofthehypothesesontheequalityofdensitiesofdistributions AT nadaraâéa verificationofthehypothesesontheequalityofdensitiesofdistributions AT sohadzega verificationofthehypothesesontheequalityofdensitiesofdistributions AT babiluapk verificationofthehypothesesontheequalityofdensitiesofdistributions AT nadaraâéa verificationofthehypothesesontheequalityofdensitiesofdistributions AT sohadzega verificationofthehypothesesontheequalityofdensitiesofdistributions AT babiluap proverkagipotezoravenstveplotnostejraspredeleniâ AT nadarayae proverkagipotezoravenstveplotnostejraspredeleniâ AT sokhadzega proverkagipotezoravenstveplotnostejraspredeleniâ AT babiluapk proverkagipotezoravenstveplotnostejraspredeleniâ AT nadaraâéa proverkagipotezoravenstveplotnostejraspredeleniâ AT sohadzega proverkagipotezoravenstveplotnostejraspredeleniâ AT babiluapk proverkagipotezoravenstveplotnostejraspredeleniâ AT nadaraâéa proverkagipotezoravenstveplotnostejraspredeleniâ AT sohadzega proverkagipotezoravenstveplotnostejraspredeleniâ |