Classification of finite nilsemigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable semigroup
A semigroup $S$ is called permutable if $\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho$ for any pair of congruences $\rho$, $\sigma$ on $S$. A local automorphism of the semigroup $S$ is defined as an isomorphism between two subsemigroups of this semigroup. The set of all local automorphisms of a semi...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1865 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507745567899648 |
|---|---|
| author | Derech, V. D. Дереч, В. Д. |
| author_facet | Derech, V. D. Дереч, В. Д. |
| author_sort | Derech, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:15Z |
| description | A semigroup $S$ is called permutable if $\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho$ for any pair of congruences $\rho$, $\sigma$ on $S$. A local automorphism of the semigroup $S$ is defined as an isomorphism between two subsemigroups of this semigroup. The set of all local automorphisms of a semigroup $S$ with respect to an ordinary operation of composition of binary relations forms an inverse monoid of local automorphisms. In the proposed paper, we present a classification of all finite nilsemigroups for which the
inverse monoid of local automorphisms is permutable.
Полугруппа $S$ называется перестановочной, если для любой пары конгруэнций $\rho$, $\sigma$ на $S$ имеет место равенство $\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.534.5
В. Д. Дереч (Вiнниц. нац. техн. ун-т)
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ НIЛЬНАПIВГРУП,
ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД ЛОКАЛЬНИХ АВТОМОРФIЗМIВ
Є ПЕРЕСТАВНОЮ НАПIВГРУПОЮ
A semigroup S is called permutable if \rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho for any pair of congruences \rho , \sigma on S. A local automorphism
of the semigroup S is defined as an isomorphism between two subsemigroups of this semigroup. The set of all local
automorphisms of a semigroup S with respect to an ordinary operation of composition of binary relations forms an inverse
monoid of local automorphisms. In the proposed paper, we present a classification of all finite nilsemigroups for which the
inverse monoid of local automorphisms is permutable.
Полугруппа S называется перестановочной, если для любой пары конгруэнций \rho , \sigma на S имеет место равенство
\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho . Локальным автоморфизмом полугруппы S называют изоморфизм между двумя еe подполугруппами.
Множество всех локальных автоморфизмов полугруппы S относительно обычной операции композиции бинарных
отношений образует инверсный моноид локальных автоморфизмов. В данной статье приведена классификация
конечных нильполугрупп, для которых инверсный моноид локальных автоморфизмов является перестановочным.
Напiвгрупа S називається iнверсною, якщо для будь-якого елемента a iснує єдиний елемент
a - 1 такий, що aa - 1a = a i a - 1aa - 1 = a - 1. Вiдомо (див. [1]), що напiвгрупа є iнверсною тодi
i лише тодi, коли вона регулярна i два її довiльнi iдемпотенти комутують. Напiвгрупа назива-
ється моноїдом, якщо вона мiстить одиницю. Найбiльш природним чином iнверсний моноїд
з’являється у виглядi моноїда всiх локальних автоморфiзмiв тiєї чи iншої математичної стру-
ктури. (Пiд локальним автоморфiзмом математичної структури розумiють iзоморфiзм мiж її
пiдструктурами.) Нехай S — довiльна напiвгрупа. Через L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) позначимо iнверсний моноїд
всiх локальних автоморфiзмiв напiвгрупи S. У бiльшостi статей, що стосуються напiвгрупи
L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S), розглядається проблема опису таких напiвгруп B, що L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(B) \sim = L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) для да-
ної напiвгрупи S. Важливою також є проблема знаходження взаємозв’язкiв мiж властивостями
напiвгрупи S i властивостями iнверсної напiвгрупи L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S). Зокрема, у статтi [2] (крiм iншо-
го) знайдено структуру групи G, для якої iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G) є клiффордовим. У роботi
[3] дано опис iнверсних напiвгруп S, для яких iнверсний моноїд всiх локальних автоморфiзмiв
мiж iнверсними пiднапiвгрупами напiвгрупи S є цiлком напiвпростим або фундаментальним. У
статтях [4] i [5] вiдповiдно класифiковано скiнченнi комутативнi напiвгрупи, для яких iнверсний
моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним, i скiнченнi комутативнi напiвгрупи, для яких
iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є \Delta -напiвгрупою (тобто напiвгрупою, конгруенцiї
якої утворюють ланцюг вiдносно включення).
Основний результат даної статтi — це повна класифiкацiя скiнченних нiльнапiвгруп, для
яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним (див. теорему 6).
1. Означення. Термiнологiя. Формулювання потрiбних результатiв. Напiвгрупа на-
зивається переставною, якщо для будь-яких двох її конгруенцiй \rho i \sigma виконується рiвнiсть
\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho , де \circ — позначення композицiї бiнарних вiдношень.
Комутативну напiвгрупу, кожний елемент якої є iдемпотентом, називають напiврешiткою.
Нетривiальну напiврешiтку називають примiтивною, якщо кожний її ненульовий елемент є
атомом.
c\bigcirc В. Д. ДЕРЕЧ, 2016
610 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ НIЛЬНАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 611
Нехай S — довiльна напiвгрупа. Iзоморфiзм мiж пiднапiвгрупами напiвгрупи S називають
локальним автоморфiзмом напiвгрупи S. Множина всiх локальних автоморфiзмiв напiвгрупи
S вiдносно звичайної операцiї композицiї бiнарних вiдношень утворює iнверсний моноїд, який
ми позначимо через L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S). Якщо \xi \in L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S), то через \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\xi ) i \mathrm{i}\mathrm{m}(\xi ) будемо позначати
вiдповiдно область визначення i множину значень локального автоморфiзму \xi .
Нехай S — довiльна напiвгрупа. Решiтку всiх її пiднапiвгруп будемо позначати через \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S).
Якщо напiвгрупа S мiстить найменшу непорожню пiднапiвгрупу (наприклад, одинична пiдгру-
па в групi), то найменшим елементом \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) вважається саме ця пiднапiвгрупа. Якщо ж
найменшої непорожньої пiднапiвгрупи в S не iснує, то найменшим елементом \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) будемо
вважати порожню множину \varnothing , i в цьому випадку порожнє перетворення є нулем iнверсного
моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S). Якщо A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S), то через \Delta A позначимо вiдношення рiвностi на пiднапiв-
групi A. Зрозумiло, що \Delta A є iдемпотентом моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S). Кожний iдемпотент напiвгрупи
L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) має таку форму. Якщо A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S), то через h(A) будемо позначати висоту пiднапiв-
групи A в решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S).
Нехай S — довiльна iнверсна напiвгрупа перетворень скiнченної множини. Якщо f \in S,
то згiдно з класичним означенням \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{f}) = | \mathrm{i}\mathrm{m}(\mathrm{f})| . Таке означення рангу перетворення в
багатьох випадках є цiлком прийнятним. Проте (взагалi кажучи) воно має низку недолiкiв.
По-перше, при такому означеннi ранг не зберiгається при автоморфiзмi. Для прикладу на мно-
жинi \{ 1, 2, 3\} розглянемо такi перетворення: \alpha =
\biggl(
1
1
\biggr)
, \beta =
\biggl(
2 3
2 3
\biggr)
, \varnothing . Тодi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\alpha ) = 1,
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\beta ) = 2, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\varnothing ) = 0. Зрозумiло, що \Psi =
\biggl(
\varnothing \alpha \beta
\varnothing \beta \alpha
\biggr)
є автоморфiзмом напiврешiтки
\{ \varnothing , \alpha , \beta \} . Як ми бачимо, (\alpha )\Psi = \beta , але 1 = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\alpha ) \not = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\beta ) = 2. По-друге, таке означе-
ння не застосовується, якщо мова йде про iнверсну напiвгрупу всiх локальних автоморфiзмiв
скiнченного лiнiйного простору. Тобто воно не є унiверсальним навiть для скiнченної iнверсної
напiвгрупи перетворень. По-третє, якщо iнверсна напiвгрупа мiстить 0, то доцiльно вимага-
ти, щоб \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(0) = 0. Проте для класичного означення це не так. Розглянемо для прикладу
iнверсну напiвгрупу всiх локальних автоморфiзмiв скiнченної групи G. Зрозумiло, що пере-
творення
\biggl(
e
e
\biggr)
(де e — одиниця групи G) є нулем iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G). За класичним
означенням рангу \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\biggl( \biggl(
e
e
\biggr) \biggr)
= 1. всi перелiченi недолiки класичного означення рангу зни-
кають, якщо дати таке означення (див. [7]). Отже, нехай S — iнверсна напiвгрупа скiнченної
довжини (вiдносно звичайного канонiчного порядку на S). Якщо a \in S, то (за означенням)
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{a}) = \mathrm{h}(\mathrm{a}\mathrm{a} - 1), де h(aa - 1) — висота iдемпотента aa - 1 у напiврешiтцi E(S). Легко перевi-
рити, що при такому означеннi рангу елемента виконується характеристична нерiвнiсть, а саме:
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{a} \cdot \mathrm{b}) \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{a}), \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{b})\} . Зазначимо, що таке означення рангу елемента iнверсної
напiвгрупи скiнченної довжини в багатьох випадках (наприклад, у випадку скiнченної симе-
тричної iнверсної напiвгрупи) тотожне класичному означенню. Конкретизуємо наше означення
рангу для iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) у випадку, коли S — скiнченна напiвгрупа. Отже, нехай
f \in L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S), тодi (за означенням) \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{f}) = \mathrm{h}(\mathrm{i}\mathrm{m}(\mathrm{f})), де h(\mathrm{i}\mathrm{m}(\mathrm{f})) — висота пiднапiвгрупи
\mathrm{i}\mathrm{m}(\mathrm{f}) у решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S).
Напiвгрупа називається унiпотентною, якщо вона мiстить точно один iдемпотент.
Напiвгрупу S, що мiстить 0, називають нiльнапiвгрупою, якщо для довiльного x \in S iснує
таке натуральне число n, що xn = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
612 В. Д. ДЕРЕЧ
Нехай S — нiльнапiвгрупа. Визначимо на нiй бiнарне вiдношення \leq таким чином: x \leq y \leftrightarrow
\leftrightarrow S1xS1 \subseteq S1yS1. Легко перевiрити, що вiдношення \leq є порядком (не обов’язково стабiль-
ним). Цей порядок назвемо канонiчним.
Нехай \scrH — скiнченна множина, що мiстить щонайменше 4 елементи. Нехай 0 i z два рiзнi
фiксованi елементи з множини \scrH . Визначимо операцiю на \scrH таким чином:
a) 0 \ast x = x \ast 0 = 0 для довiльного x \in \scrH ;
b) x \ast x = 0 для будь-якого x \in \scrH ;
c) якщо x \not = y i \{ x, y\} \cap \{ 0, z\} = \varnothing , то x \ast y = y \ast x = z;
d) x \ast z = z \ast x = 0 для довiльного x \in \scrH .
Легко перевiрити, що (\scrH , \ast ) є нiльнапiвгрупою. Клас таких напiвгруп позначимо через \scrN .
Тепер сформулюємо кiлька тверджень, якi ми будемо застосовувати у данiй статтi.
Твердження 1 (див. [6], теорема 2). Нехай S — iнверсна напiвгрупа скiнченного рангу з
нулем. Тодi S є переставною в тому i лише в тому випадку, коли виконуються такi умови:
1) якщо \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{a}) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{b}) для будь-яких a, b \in S, то SaS = SbS;
2) для будь-якого e \in E(S)(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{e}) \geq 2) iснують iдемпотенти f i g такi, що f \not = g, f < e,
g < e i \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{f}) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{g}) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{e}) - 1.
Зауваження 1 (див. [6], теорема 1). Якщо ранг довiльного елемента нетривiальної iнвер-
сної напiвгрупи S з нулем не перевищує 1, то напiвгрупа S переставна тодi i лише тодi, коли
вона є напiвгрупою Брандта.
Зауваження 2 (див. [7], теорема 2). Зазначимо, що умова 1 твердження 1 еквiвалентна лi-
нiйнiй впорядкованостi (вiдносно включення)множини iдеалiв напiвгрупи S .
Зауваження 3 (див. [6], лема 1). Умовою 2 часто зручнiше користуватися в еквiвалентнiй
формi. А саме: якщо u < v, де u, v \in E(S) i \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{u}) \geq 1, то iснує елемент w \in E(S) такий,
що u \not = w,w < v i \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{u}) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{w}).
Твердження 2 (див. [8], теорема 1). Нехай S — скiнченна напiвгрупа. Множина iдеалiв на-
пiвгрупи L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) лiнiйно впорядкована вiдносно включення тодi i тiльки тодi, коли в решiтцi
\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) неiзоморфнi пiднапiвгрупи мають рiзнi висоти.
2. Скiнченна в’язка, для якої iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є перестав-
ним. Напiвгрупа, кожний елемент якої є iдемпотентом, називається в’язкою. В цьому пунктi
ми класифiкуємо скiнченнi в’язки, для яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є пе-
реставним.
Лема 1. Якщо скiнченна напiвгрупа S мiстить щонайменше два iдемпотенти i iнверсний
моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним, то кожний елемент напiвгрупи S є iдемпотентом.
Доведення. Насамперед зазначимо, що найменшим елементом решiтки \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) є порожня
множина, тому висота кожного iдемпотента напiвгрупи S у решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) дорiвнює одиницi.
Припустимо, що напiвгрупа S мiстить елемент a, який не є iдемпотентом. Тодi в решiтцi
\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) висота циклiчної напiвгрупи \langle a\rangle не менша за два. Вiдомо, що кожна скiнченна циклiчна
напiвгрупа мiстить точно один iдемпотент. Позначимо через e iдемпотент, що належить \langle a\rangle .
Згiдно з твердженням 1 (див. також зауваження 3 i твердження 2), iснує така пiднапiвгрупа
B \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S), що B \subset \langle a\rangle , B \not = \{ e\} i B \sim = \{ e\} . Отже, пiднапiвгрупа B є одноелементною i цей
елемент є iдемпотентом, який вiдмiнний вiд e. Таким чином, циклiчна напiвгрупа \langle a\rangle мiстить
бiльш ниж один iдемпотент. Суперечнiсть.
Лему 1 доведено.
У статтi [8] доведено таку теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ НIЛЬНАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 613
Теорема 1. Нехай S — скiнченна в’язка. Iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним в таких
i лише в таких випадках:
(1) S — лiнiйно впорядкована напiврешiтка;
(2) S — примiтивна напiврешiтка;
(3) S — напiвгрупа правих нулiв;
(4) S — напiвгрупа лiвих нулiв.
Из теореми 1 i леми 1 випливає такий результат.
Теорема 2. Нехай скiнченна напiвгрупа S мiстить щонайменше два iдемпотенти. Її iн-
версний моноїд локальних автоморфiзмiв L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним тодi i лише тодi, коли S:
(1) або лiнiйно впорядкована напiврешiтка;
(2) або примiтивна напiврешiтка;
(3) або напiвгрупа правих нулiв;
(4) або напiвгрупа лiвих нулiв.
3. Скiнченна нiльнапiвгрупа, що мiстить пiднапiвгрупуK1 i для якої iнверсний моноїд
локальних автоморфiзмiв є переставним. Наступнi двi леми ми вiднесемо до математичного
фольклору i сформулюємо без доведення.
Лема 2. Якщо S— скiнченна нiльнапiвгрупа, то S - S2 є найменшою (вiдносно включення)
твiрною множиною напiвгрупи S.
Лема 3. Якщо S — скiнченна нiльнапiвгрупа i S = S2, то S = \{ 0\} .
Лема 4. Нехай S — скiнченна нiльнапiвгрупа. Якщо пiднапiвгрупа Ak мiстить k + 1 еле-
мент, то h(Ak) = k.
Доведення. Доведення проведемо методом математичної iндукцiї за порядком пiднапiвгру-
пи. Очевидно, що h(\{ 0\} ) = 0. Припустимо, що для довiльної пiднапiвгрупи Ak - 1, що мi-
стить k елементiв, h(Ak - 1) = k - 1. Нехай пiднапiвгрупа Ak мiстить k + 1 елемент. Якщо
ak \in Ak - A2
k, то (за припущенням) h(Ak - \{ ak\} ) = k - 1. Отже, h(Ak) \geq k. Крiм того,
очевидно, що h(Ak) \ngtr k. Таким чином, h(Ak) = k.
Лему 4 доведено.
Наступна лема дає критерiй, за яким ми можемо встановити чи утворюють iдеали iнверсного
моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) (де S — скiнченна нiльнапiвгрупа) ланцюг вiдносно включення чи нi.
Лема 5. Нехай S — скiнченна нiльнапiвгрупа. Множина iдеалiв iнверсного моноїдаL\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S)
лiнiйно впорядкована вiдносно включення тодi i лише тодi, коли пiднапiвгрупи напiвгрупи S з
однаковою кiлькiстю елементiв є iзоморфними.
Доведення. Безпосередньо випливає з твердження 2 i леми 4.
Лема 6. Нехай S — скiнченна нiльнапiвгрупа. Iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) задовольняє умову
2 твердження 1 тодi i лише тодi, коли для довiльного x \in S виконується рiвнiсть x2 = 0.
Доведення. Припустимо, що x2 = 0 для будь-якого елемента x \in S. Нехай A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S),
до того ж | A| \geq 3. Тодi A не є циклiчною пiднапiвгрупою напiвгрупи S, а отже, твiрна
множина A - A2 (див. лему 2) мiстить щонайменше два рiзнi елементи a1 i a2. Очевидно, що
пiднапiвгрупи A - \{ a1\} i A - \{ a2\} такi, що A - \{ a1\} \not = A - \{ a2\} , A - \{ a1\} \subset A, A - \{ a2\} \subset A
i | A - \{ a1\} | = | A - \{ a2\} | = | A| - 1. Тобто для iдемпотентiв iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S)
виконується умова 2 твердження 1.
Нехай тепер напiврешiтка \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) задовольняє умову 2 твердження 1. Покажемо, що x2 = 0
для будь-якого елемента x \in S. Припустимо протилежне, тобто iснує елемент a такий, що
циклiчна напiвгрупа \langle a\rangle мiстить щонайменше три елементи. Позначимо пiднапiвгрупу \langle a\rangle - \{ a\}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
614 В. Д. ДЕРЕЧ
через C. Тодi iснує (див. зауваження 3) пiднапiвгрупа B \subset \langle a\rangle така, що B \not = C i | B| = | C| .
Оскiльки B \subset \langle a\rangle i B \not = \langle a\rangle , то B \subset \langle a\rangle - \{ a\} = C. Звiдси B = C. Суперечнiсть.
Лему 6 доведено.
Леми 5 i 6 дають нам можливiсть сформулювати наступне твердження.
Твердження 3. Нехай S — скiнченна нiльнапiвгрупа. Iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є пере-
ставним тодi i лише тодi, коли виконуються такi умови:
(i) для довiльного елемента x має мiсце рiвнiсть x2 = 0;
(ii) пiднапiвгрупи з однаковою кiлькiстю елементiв є iзоморфними.
Лема 7. Якщо скiнченна напiвгрупа S є унiпотентною i iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є
переставним, то напiвгрупа S є або групою або нiльнапiвгрупою.
Доведення. Позначимо через K найменший iдеал напiвгрупи S. Вiдомо, що K є простою
напiвгрупою. Проста скiнченна напiвгрупа є регулярною. Як вiдомо, регулярна напiвгрупа
з єдиним iдемпотентом є групою. Якщо K — одноелементна група, то S є нiльнапiвгрупою.
Припустимо тепер, що | K| \geq 2 iK \not = S. Тодi, згiдно з твердженням 1 (див. також зауваження 3),
iснує пiднапiвгрупа B така, що K \not = B i K \sim = B. Позначимо через e iдемпотент напiвгрупи
S. Зрозумiло, що e \in K \cap B. Оскiльки B — група, то для довiльного елемента b \in B маємо
be = eb = b. Оскiльки e \in K, то b \in K. Звiдси B = K. Суперечнiсть. Таким чином, у цьому
випадку K = S, тобто S — група.
Лему 7 доведено.
Далi ми зосередимося на вивченнi структури скiнченних нiльнапiвгруп, для яких iнвер-
сний моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним. Перше питання, яке виникає: чи iснує
скiнченна некомутативна нiльнапiвгрупа, що задовольняє умови (i) i (ii) (див. тверждення 3)?
Вiдповiдь є ствердною. Наведемо приклад.
Приклад. Розглянемо множини K1 = \{ 0, a, x, y\} i K2 = \{ 0, a, b, x, y\} . На цих множинах
задамо операцiї \ast i \star за допомогою вiдповiдно таблиць множення.
\ast 0 a x y
0 0 0 0 0
a 0 0 0 0
x 0 0 0 a
y 0 0 0 0
\star 0 a b x y
0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0
b 0 0 0 0 0
x 0 0 0 0 a
y 0 0 0 b 0
Легко перевiрити, що (K1, \ast ) i (K2, \star ) є некомутативними нiльнапiвгрупами. Перелiчимо
пiднапiвгрупи визначених напiвгруп. Список пiднапiвгруп напiвгрупи K1: 0 = \{ 0\} , \alpha = \{ 0, x\} ,
\beta = \{ 0, a\} , \xi = \{ 0, y\} , \eta = \{ 0, x, a\} , \tau = \{ 0, y, a\} , \sigma = \{ 0, x, y, a\} . (Дiаграму решiтки \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(K1)
див. на рис. 1.)
Список пiднапiвгруп напiвгрупи K2: 0 = \{ 0\} , \chi = \{ 0, x\} , \alpha = \{ 0, a\} , \beta = \{ 0, b\} , \upsilon = \{ 0, y\} ,
\eta = \{ 0, x, a\} , \tau = \{ 0, x, b\} , \omega = \{ 0, a, b\} , \lambda = \{ 0, y, a\} , \xi = \{ 0, y, b\} , \rho = \{ 0, x, a, b\} , \varphi =
= \{ 0, y, a, b\} , \sigma = \{ 0, x, y, a, b\} . (Дiаграму решiтки \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(K2) див. на рис. 2.)
Легко перевiрити, що кожна власна пiднапiвгрупа напiвгруп K1 i K2 є напiвгрупою з
нульовим множенням. Звiдси зрозумiло, що двi власнi пiднапiвгрупи з однаковою кiлькiстю
елементiв є iзоморфними, тобто виконується умова (ii) твердження 3. Також очевидно, що
виконується i умова (i). Отже, iнверснi моноїди L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(K1) i L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(K2) є переставними.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ НIЛЬНАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 615
s
s s
s
ss
s
0
Рис. 1
\sigma
\tau \eta
\alpha
\beta
\xi
�
�
��
�
�
��
@
@
@@
s���
�
@
@
@@
@
@
@@
s
0
Рис. 2
s s\upsilon s \beta s\chi
s\omega s\lambda s \xi s \tau s\eta
\alpha
s\varphi s\rho
s\sigma
�
�
�
�
�
@
@
@
@
@
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
@
@
@
@
@
@
@
��
��
�
@
@
@
@
@
��
��
��
�
PP
PP
PP
P ��
��
�
HH
HH
H
HH
HH
H
Твердження 4. Нехай некомутативна скiнченна нiльнапiвгрупа S така, що iнверсний мо-
ноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним. Тодi напiвгрупа S мiстить або пiднапiвгрупу, яка iзоморфна
напiвгрупi K1 або напiвгрупу, яка iзоморфна напiвгрупi K2.
Доведення. Оскiльки за умовою напiвгрупа S є некомутативною, то iснують елементи x i
y такi, що xy \not = yx.
1-й випадок: xy = 0 або yx = 0.
Для конкретностi нехай yx = 0. Тодi чотириелементна множина \{ 0, x, y, xy\} утворює пiд-
напiвгрупу, яка iзоморфна напiвгрупi K1.
2-й випадок: xy \not = 0 i yx \not = 0.
Покажемо, що xyx = 0. Припустимо, що xyx \not = 0. Тодi легко переконатися, що множина
A = \{ 0, x, xy, xyx\} утворює пiднапiвгрупу, яка iзоморфна K1.
Тепер розглянемо множину B = \{ 0, xy, yx, xyx\} . Легко перевiрити, що B — напiвгрупа з
нульовим множенням. Оскiльки | A| = | B| , то, згiдно з лемою 5, A \sim = B. Суперечнiсть. Таким
чином, xyx = 0.
Аналогiчно можна довести, що yxy = 0. Тепер ми можемо стверджувати, що \{ 0, x, y, xy,
yx\} — п’ятиелементна пiднапiвгрупа напiвгрупи S. Легко перевiрити, що вона iзоморфна на-
пiвгрупi K2.
Зазначимо, що напiвгрупа K2 мiстить чотириелементну пiднапiвгрупу з нульовим множе-
нням. Тому ситуацiя, коли напiвгрупа S мiстить i пiднапiвгрупу, що iзоморфна K1, i пiднапiв-
групу, яка iзоморфна K2, є неможливою.
Твердження 4 доведено.
Лема 8. Нехай скiнченна нiльнапiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу K1 i iнверсний моноїд
L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним. Якщо xy = yx, то xy = 0.
Доведення. Якщо x = 0 або y = 0, то твердження леми є очевидним. Якщо x = y, то
xy = x2 = 0. Нехай тепер x \not = 0 i y \not = 0. Припустимо, що xy \not = 0. Розглянемо множину
\{ 0, x, y, xy\} . Очевидно, що xy \not = x i xy \not = y. Тобто множина \{ 0, x, y, xy\} є чотириелементною.
Вона утворює комутативну пiднапiвгрупу. Отже, \{ 0, x, y, xy\} \ncong K1, що суперечить тверджен-
ню 3.
Лему 8 доведено.
Лема 9. Нехай скiнченна нiльнапiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу K1, S
2 = \{ 0, a\} i iнвер-
сний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним. Якщо x, y /\in S2 i x \not = y, то виконується еквiвалентнiсть
xy = a\leftrightarrow yx = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
616 В. Д. ДЕРЕЧ
Доведення. Нехай xy = a. За умовою yx = 0 або yx = a. Якщо припустити, що yx = a,
то xy = yx = a, що суперечить лемi 8. Отже, yx = 0.
Нехай тепер yx = 0. Доведемо, що xy = a. Припустимо протилежне, тобто xy = 0. Тодi
\{ 0, a, x, y\} — пiднапiвгрупа з нульовим множенням. Отже, \{ 0, a, x, y\} \ncong K1, що суперечить
твердженню 3.
Лему 9 доведено.
Лема 10. Нехай скiнченна нiльнапiвгрупа S складається щонайменше з п’яти елементiв i
мiстить пiднапiвгрупу, що iзоморфна K1. Крiм того, iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є перестав-
ним. Тодi | S - S2| \geq 3.
Доведення. Згiдно з лемою 2 множина S - S2 є найменшою твiрною множиною напiвгрупи
S. Розглянемо можливi випадки.
1-й випадок: | S - S2| = 1. Тодi напiвгрупа S є моногенною. Оскiльки за лемою 5 для
довiльного x маємо x2 = 0, то в даному випадку | S| = 2. Суперечнiсть.
2-й випадок: | S - S2| = 2. Нехай S - S2 = \{ x, y\} . Тодi S = \{ 0, x, y, xy, yx, xyx, yxy\} .
Якщо припустити, що xy = 0 або yx = 0, то S = \{ 0, x, y, xy\} або S = \{ 0, x, y, yx\} , тобто
| S| \leq 4. Суперечнiсть.
Нехай тепер xy \not = 0 i yx \not = 0. Покажемо, що xyx = 0 i yxy = 0. Припустимо, що xyx \not = 0.
Розглянемо множину \{ 0, xy, yx, xyx\} . Згiдно з лемою 8 xy \not = yx. Крiм того, xy \not = xyx i yx \not =
\not = xyx. Отже, A = \{ 0, xy, yx, xyx\} — чотириелементна пiднапiвгрупа з нульовим множенням.
За умовою напiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу, яка iзоморфна K1. Крiм того, | K1| = 4. Отже,
згiдно з твердженням 3 A \sim = K1. Суперечнiсть. Аналогiчно одержуємо суперечнiсть, якщо
припустити, що yxy \not = 0.
Якщо ж xyx = yxy = 0, то \{ 0, x, xy, yx\} — чотириелементна пiднапiвгрупа з нульовим
множенням. Очевидно, вона не iзоморфна K1, що суперечить твердженню 3.
Лему 10 доведено.
Нехай скiнченна нiльнапiвгрупа Pm така, що:
| Pm| = m+ 4, де m \geq 1;
iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(Pm) є переставним;
напiвгрупа Pm мiстить пiднапiвгрупу, яка iзоморфна K1.
Виконаємо такi дiї:
1) з напiвгрупи Pm вилучимо довiльний елемент zm, що належить твiрнiй множинi
Pm - P 2
m; одержимо пiднапiвгрупу Pm - 1;
2) з напiвгрупи Pm - 1 вилучимо довiльний елемент zm - 1, що належить Pm - 1 - P 2
m - 1;
отримаємо пiднапiвгрупу Pm - 2.
Аналогiчно дiємо i далi, аж поки не дiйдемо до чотириелементної пiднапiвгрупи \{ 0, a, x, y\} ,
яка iзоморфна K1. (Далi пiднапiвгрупу \{ 0, a, x, y\} позначатимемо через K1.)
Розглянемо п’ятиелементну напiвгрупу P1 = \{ 0, a, x, y, z1\} . Зазначимо, що K1 є iдеалом
напiвгрупи P1.
Лема 11. У напiвгрупi P1 виконується рiвнiсть az1 = z1a = 0.
Доведення. Якщо az1 = x, то az1y = xy = a. Звiдси a = 0. Суперечнiсть.
Якщо az1 = y, то xaz1 = xy = a. Звiдси x2az21 = xaz1 = a = 0. Суперечнiсть.
Аналогiчно доводимо, що z1a \not = x i z1a \not = y. Крiм того, az1 \not = z1, az1 \not = a, z1a \not = z1,
z1a \not = a.
Отже, az1 = z1a = 0.
Лема 12. P 2
1 = \{ 0, a\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ НIЛЬНАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 617
Доведення. Згiдно з лемою 10 | P1 - P 2
1 | \geq 3. Зрозумiло, що 0 /\in P1 - P 2
1 i a /\in P1 - P 2
1 .
Звiдси P1 - P 2
1 = \{ x, y, z1\} . Отже, P 2
1 = \{ 0, a\} .
Лема 13. Якщо P 2
k - 1 = \{ 0, a\} , де k \geq 2, то P 2
k = \{ 0, a\} .
Доведення. Очевидно, що \{ 0, a\} \subset P 2
k . Доведемо зворотне включення. Нехай u, v \in Pk.
Згiдно з лемою 10 | Pk - P 2
k | \geq 3. Отже, iснує такий елемент w \in Pk - P 2
k , що w \not = u i
w \not = v. Пiднапiвгрупу Pk - \{ w\} позначимо через B. Оскiльки | Pk - 1 \cap B| \geq 4, то iснують
такi x1, x2 \in Pk - 1 \cap B, що x1x2 = a i x2x1 = 0 (див. лему 9). Отже, \{ 0, a\} \subset B2. Позаяк
| Pk - 1| = | B| , то, згiдно з твердженням 3, Pk - 1
\sim = B. Звiдси випливає, що | P 2
k - 1| = | B2| .
Оскiльки P 2
k - 1 = \{ 0, a\} \subset B2, то B2 = \{ 0, a\} . Отже, uv \in \{ 0, a\} . Тобто P 2
k \subset \{ 0, a\} . Таким
чином, P 2
k = \{ 0, a\} .
Лема 14. P 2
m = \{ 0, a\} .
Доведення. Згiдно з лемою 12 P 2
1 = \{ 0, a\} . Крiм того, з умови P 2
k - 1 = \{ 0, a\} випливає
P 2
k = \{ 0, a\} (див. лему 13). Використовуючи iндукцiю, одержуємо P 2
m = \{ 0, a\} .
Нехай п’ятиелементна нiльнапiвгрупа S = \{ 0, a, x, y, z\} така, що:
(i) \{ 0, a, x, y\} \sim = K1 (де K2
1 = \{ 0, a\} );
(ii) iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним.
Згiдно з лемою 14 S2 = \{ 0, a\} . Тому множина \{ 0, a, z\} є пiднапiвгрупою, яка (згiдно з твер-
дженням 3) iзоморфна пiднапiвгрупi \{ 0, a, x\} . Оскiльки \{ 0, a, x\} — напiвгрупа з нульовим мно-
женням, то az = za = 0.
Всього п’ятиелементних нiльнапiвгруп, що задовольняють умови (i) та (ii), буде чотири.
Наведемо їх:
\ast 1 0 a x y z
0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0
x 0 0 0 a 0
y 0 0 0 0 a
z 0 0 a 0 0
\ast 2 0 a x y z
0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0
x 0 0 0 a a
y 0 0 0 0 0
z 0 0 0 a 0
\ast 3 0 a x y z
0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0
x 0 0 0 a a
y 0 0 0 0 a
z 0 0 0 0 0
\ast 4 0 a x y z
0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0
x 0 0 0 a 0
y 0 0 0 0 0
z 0 0 a a 0
Лема 15. 1. Напiвгрупи (S, \ast 2), (S, \ast 3), (S, \ast 4) попарно iзоморфнi.
2. (S, \ast 1) \ncong (S, \ast 4).
Доведення. Позначимо через \psi i,j вiдображення з напiвгрупи (S, \ast i) у напiвгрупу (S, \ast j).
Перевiрка показує, що функцiї \psi 4,2 =
\biggl(
0 a x y z
0 a z y x
\biggr)
i \psi 4,3 =
\biggl(
0 a x y z
0 a y z x
\biggr)
є iзоморфiзма-
ми.
Також легко перевiрити, що (S, \ast 1) \ncong (S, \ast 4).
Нiльнапiвгрупу (S, \ast 1) позначимо через B1. Покажемо, що напiвгрупа B1 має екстремальну
властивiсть. А саме, має мiсце таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
618 В. Д. ДЕРЕЧ
Твердження 5. Якщо нiльнапiвгрупа S мiстить власну пiднапiвгрупу, iзоморфну B1, то
iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) не є переставним.
Доведення. Припустимо протилежне, тобто iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним.
Нехай \{ 0, a, x, y, z\} — множина всiх елементiв напiвгрупи B1, до того ж B2
1 = \{ 0, a\} i B1 \subset S.
Виберемо довiльний елемент u \in S такий, що u /\in B1. Згiдно з лемою 14 S2 = \{ 0, a\} .
Звiдси випливає, що множина A = \{ 0, a, x, y, u\} є пiднапiвгрупою напiвгрупи S. Розглянемо
всi вiдображення \psi з B1 в A такi, що (0)\psi = 0 i (a)\psi = a. Таких буде 6. Легко перевiрити, що
вiдображення
\psi 1 =
\Biggl(
0 a x y z
0 a x u y
\Biggr)
, \psi 2 =
\Biggl(
0 a x y z
0 a y x u
\Biggr)
, \psi 3 =
\Biggl(
0 a x y z
0 a u y x
\Biggr)
не є iзоморфiзмами. Припустимо, що \psi 4 =
\biggl(
0 a x y z
0 a x y u
\biggr)
— iзоморфiзм, тодi yu = a. Роз-
глянемо пiднапiвгрупу C = \{ 0, a, y, z, u\} . Переглянувши всi шiсть вiдображень \xi : B1 \rightarrow C
таких, що (0)\xi = 0 i (a)\xi = a переконуємося, що B1 \ncong C. Одержуємо суперечнiсть з твердже-
нням 3. Отже, вiдображення \psi 4 не є iзоморфiзмом. Аналогiчними мiркуваннями приходимо до
суперечностi з твердженням 3, припустивши, що
\psi 5 =
\Biggl(
0 a x y z
0 a y u x
\Biggr)
або \psi 6 =
\Biggl(
0 a x y z
0 a u x y
\Biggr)
є iзоморфiзмами. Отже, всi шiсть вiдображень \psi 1, \psi 2, \psi 3, \psi 4, \psi 5, \psi 6 не є iзоморфiзмами. Тобто
A \ncong B1, що суперечить твердженню 3.
Твердження 5 доведено.
Перелiчимо всi пiднапiвгрупи напiвгрупиB1: \{ 0\} , \{ 0, a\} , \{ 0, x\} , \{ 0, y\} , \{ 0, z\} , \{ 0, a, x\} , \{ 0, a, y\} , \{ 0, a, z\} , \{ 0, a, x, y\} , \{ 0, a, x, z\} , \{ 0, a, y, z\} , \{ 0, a, x, y, z\} .
Легко перевiрити, що будь-якi двi пiднапiвгрупи з однаковою кiлькiстю елементiв є iзоморфни-
ми. Iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(B1) мiстить 47 елементiв. Група автоморфiзмiв напiвгрупи B1
(тобто група одиниць моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(B1)) триелементна:\Biggl(
0 a x y z
0 a x y z
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a x y z
0 a y z x
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a x y z
0 a z x y
\Biggr)
.
Вище ми вже показали, що iснують лише двi (з точнiстю до iзоморфiзму) п’ятиелементнi
нiльнапiвгрупи, якi мiстять напiвгрупу K1 i у яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв
є переставним. В сенсi твердження 5 нiльнапiвгрупа B1 є максимальною. Тепер розглянемо
нiльнапiвгрупу (S, \ast 4), яка iзоморфна (див. лему 15) напiвгрупам (S, \ast 2) i (S, \ast 3).
Конструкцiя 1
Зафiксуємо двоелементну множину \{ 0, a\} . Нехай скiнченна множинаX така, що \{ 0, a\} \cap X = \varnothing
i | X| \geq 3.НаX задаємо строгий лiнiйний порядок< . Визначимо бiнарну операцiю на множинi
\{ 0, a\} \cup X:
0y = y0 = 0 для будь-якого y \in \{ 0, a\} \cup X;
ay = ya = 0 для будь-якого y \in \{ 0, a\} \cup X;
якщо xk, xm \in X i xk < xm, то xkxm = 0 i xmxk = a;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ НIЛЬНАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 619
z2 = 0 для довiльного z \in \{ 0, a\} \cup X.
Вiдносно визначеної операцiї множина \{ 0, a\} \cup X стає нiльнапiвгрупою, яка включає в себе
напiвгрупу, що iзоморфна нiльнапiвгрупi (S, \ast 4).
Щоб переконатися, що iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв напiвгрупи \{ 0, a\} \cup X
є переставним, потрiбно перевiрити виконання умов (i) та (ii) (див. твердження 3). Виконання
умови (i) забезпечується за означенням. Щоб перевiрити виконання умови (ii), зазначимо, що
всi дво- i триелементнi пiднапiвгрупи напiвгрупи \{ 0, a\} \cup X є напiвгрупами з нульовим мно-
женням. Очевидно, що такi напiвгрупи з однаковою кiлькiстю елементiв є iзоморфними. Далi,
якщо рiвнопотужнi пiднапiвгрупи \{ 0, a, xi1, xi2, . . . , xim\} i \{ 0, a, xk1, xk2, . . . , xkm\} мiстять що-
найменше по чотири елемента, до того ж xi1 < xi2 < . . . < xim i xk1 < xk2 < . . . < xkm, то,
як легко перевiрити, вiдображення
\biggl(
0 a xi1 xi2 . . . xim
0 a xk1 xk2 . . . xkm
\biggr)
є iзоморфiзмом. Отже, згiдно з
твердженням 3 iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\{ 0, a\} \cup X) є переставним.
Лема 16. Нехай скiнченна нiльнапiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу, що iзоморфна (S, \ast 4) i
iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним. Тодi напiвгрупа S має структуру, опис якої дано в
конструкцiї 1.
Доведення. Згiдно з лемою 14 S2 = \{ 0, a\} . На множинi S - S2 визначимо бiнарне вiдноше-
ння \Omega таким чином: (x, y) \in \Omega \leftrightarrow xy = 0. Покажемо, що вiдношення \Omega є лiнiйним порядком.
Оскiльки для довiльного елемента x \in S маємо x2 = 0 (див. твердження 3), то вiдношення \Omega
рефлексивне. З леми 9 безпосередньо випливає, що \Omega є антисиметричним бiнарним вiдноше-
нням. Доведемо транзитивнiсть вiдношення \Omega . Отже, нехай xy = 0 i yz = 0. Покажемо, що
xz = 0. Якщо x = y або y = z, то, очевидно, xz = 0. Припустимо, що x \not = y i y \not = z. Якщо при-
пустити, що xz = a, то легко встановити iзоморфiзм пiднапiвгрупи \{ 0, a, x, y, z\} i напiвгрупи
(S, \ast 1). За умовою напiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу, що iзоморфна (S, \ast 4). Згiдно з лемою 15
(S, \ast 1) \ncong (S, \ast 4). Тобто напiвгрупа S мiстить двi неiзоморфнi рiвнопотужнi пiднапiвгрупи, що
суперечить твердженню 3. Таким чином, ми встановили транзитивнiсть бiнарного вiдношення
\Omega . Отже, \Omega — порядок. З леми 9 безпосередньо випливає, що \Omega є лiнiйним порядком. Отже,
нiльнапiвгрупа S має саме таку структуру, опис якої наведено в конструкцiї 1.
Лему 16 доведено.
Пiдсумуємо результати третього пункту у виглядi теореми.
Теорема 3. Нехай нiльнапiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу, яка iзоморфна K1. Iнверсний
моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним в таких i лише таких випадках:
нiльнапiвгрупа S iзоморфна K1;
нiльнапiвгрупа S iзоморфна B1;
нiльнапiвгрупа S має структуру, опис якої дано у кострукцiї 1.
4. Скiнченна нiльнапiвгрупа, що мiстить пiднапiвгрупуK2 i для якої iнверсний моноїд
локальних автоморфiзмiв є переставним.
Лема 17. Нехай скiнченна нiльнапiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу, яка iзоморфна K2, i
iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним. Якщо xy = yx, то xy = 0.
Доведення. Твердження леми є тривiальним у випадку, коли x = 0 або y = 0, а також у
випадку, коли x = y. Припустимо тепер, що x \not = 0, y \not = 0 i x \not = y. Якщо припустити, що xy \not = 0,
то множина \{ 0, x, y, xy\} — чотириелементна пiднапiвгрупа напiвгрупи S. Легко перевiрити, що
будь-яка чотириелементна пiднапiвгрупа напiвгрупи K2 є напiвгрупою з нульовим множен-
ням. Позаяк пiднапiвгрупа \{ 0, x, y, xy\} не є напiвгрупою з нульовим множенням, отримуємо
суперечнiсть з твердженням 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
620 В. Д. ДЕРЕЧ
Лема 18. Нехай скiнченна нiльнапiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу, яка iзоморфна K2, i
iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним. Крiм того, S2 = \{ 0, a, b\} . Якщо x, y \in S - S2 i
x \not = y, то xy = a\leftrightarrow yx = b.
Доведення. Нехай xy = a. Покажемо, що yx = b. Припустимо, що yx \not = b, тодi yx = 0 або
yx = a. Нехай yx = a, тодi xy = yx. Отже, згiдно з лемою 17 xy = 0. Суперечнiсть.
Тепер припустимо, що yx = 0. Легко перевiрити, що \{ 0, x, y, xy\} — чотириелементна пiд-
напiвгрупа, яка не є напiвгрупою з нульовим множенням. Оскiльки будь-яка чотириелементна
пiднапiвгрупа напiвгрупиK2 є напiвгрупою з нульовим множенням, то одержуємо суперечнiсть
з твердженням 3. Отже, yx = b.
Припускаючи yx = b, аналогiчними мiркуваннями одержуємо рiвнiсть xy = a.
Лема 19. Нехай скiнченна нiльнапiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу, що iзоморфна K2,
i iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним. Якщо пiднапiвгрупа C напiвгрупи S така, що
| C| = | S| - 1 i | C2| = 3, то S2 = C2.
Доведення. Нехай S = C \cup \{ z\} , C = \{ 0, a, b, x1, x2, . . . , xk\} , C2 = \{ 0, a, b\} .
1. Якщо xiz = z, то 0 = x2i z = xiz = z. Суперечнiсть. Аналогiчно приходимо до супере-
чностi у випадках, коли xiz = xi, zxi = xi, zxi = z.
2. Припустимо, що xiz = xj , де xi \not = xj . Згiдно з твердженням 3 пiднапiвгрупа \{ 0, a, b, xi, xj\}
iзоморфна K2. Звiдси xixj = a i xjxi = b (або xjxi = a i xixj = b). Позаяк xiz = xj , то
0 = x2i z = xixj = a. Суперечнiсть. Аналогiчно отримуємо суперечнiсть, якщо zxi = xj . Отже,
для довiльного xi, i = 1, 2, . . . , k, zxi \in C2 i xiz \in C2.
3. Припустимо, що az = xi. Якщо xixj = a, то azxj = xixj = a. Звiдси 0 = a(zxj)
2 =
= azxj = a. Суперечнiсть. Припустимо тепер, що xixj = b. Тодi azxj = xixj = b. Оскiльки
zxj \in C2, то b = 0. Суперечнiсть. Аналогiчно приходимо до суперечностi у випадку, коли
za \in \{ x1, x2, . . . , xk\} , або bz \in \{ x1, x2, . . . , xk\} , або zb \in \{ x1, x2, . . . , xk\} .
Робимо остаточний висновок: S2 = C2 = \{ 0, a, b\} .
Лема 20. Нехай скiнченна нiльнапiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу, яка iзоморфна K2, i
iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним. Тодi | S2| = 3.
Доведення. Нехай S = Sn, до того ж | Sn| = 5 + n (де n \geq 0). З напiвгрупи Sn вилучаємо
елемент an (де an \in Sn - S2
n ). Одержуємо пiднапiвгрупу Sn - 1. З пiднапiвгрупи Sn - 1 вилучаємо
елемент an - 1 (де an - 1 \in Sn - 1 - S2
n - 1 ). Одержуємо пiднапiвгрупу Sn - 2. I так далi. Таким
чином отримуємо ланцюг пiднаiвгруп: S0 \subset S1 \subset S2 \subset . . . \subset Sn - 1 \subset Sn = S, де S0 \sim = K2,
| Si| = | Si - 1| + 1, i = 1, 2, . . . , n. Далi застосовуємо лему 19. Одержуємо S2 = S2
0 . Отже,
| S2| = 3.
Лема 21. Нехай скiнченна нiльнапiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу, яка iзоморфна K2, i
iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним. Тодi S3 = \{ 0\} .
Доведення. Згiдно з лемою 20 S2 = \{ 0, a, b\} . Легко показати, що для будь-якого x \in S
рiвностi ax = a, xa = a, xb = b, bx = b неможливi. Припустимо, що ax = b. Оскiльки a \in S2,
то iснують такi u, v \in S, що a = uv. Отже, (uv)x = u(vx) = b. Припустимо, що vx = b,
то ub = b. Звiдси 0 = u2b = ub = b. Суперечнiсть. Якщо vx = a, то b = ax = vx2 = 0.
Суперечнiсть. Тобто ax \not = b. Аналогiчно доводимо, що xa \not = b, xb \not = a, bx \not = a. Таким чином,
\{ 0, a, b\} \cdot S = S \cdot \{ 0, a, b\} = \{ 0\} .
Нехай шестиелементна нiльнапiвгрупа S = \{ 0, a, b, x, y, z\} така, що:
1) \{ 0, a, b, x, y\} \sim = K2 (де K2
2 = \{ 0, a, b\} );
2) iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ НIЛЬНАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 621
Згiдно з лемою 21 az = za = zb = bz = 0. Далi, припустимо, що xz = 0. Тодi (згiдно з лемою
18) zx = 0.Отже, \{ 0, a, b, x, z\} є напiвгрупою з нульовим множенням. Тобто \{ 0, a, b, x, z\} \ncong K2,
що суперечить твердженню 3. Таким чином, xz \in \{ a, b\} . Аналогiчно, yz \in \{ a, b\} . Подiбним
чином ми також доводимо, що zx \in \{ a, b\} i zy \in \{ a, b\} . Звiдси робимо висновок: iснують
чотири шестиелементнi нiльнапiвгрупи, що задовольняють умови 1 i 2, a саме:
\star 1 0 a b x y z
0 0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0 0
b 0 0 0 0 0 0
x 0 0 0 0 a a
y 0 0 0 b 0 a
z 0 0 0 b b 0
\star 2 0 a b x y z
0 0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0 0
b 0 0 0 0 0 0
x 0 0 0 0 a b
y 0 0 0 b 0 a
z 0 0 0 a b 0
\star 3 0 a b x y z
0 0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0 0
b 0 0 0 0 0 0
x 0 0 0 0 a b
y 0 0 0 b 0 b
z 0 0 0 a a 0
\star 4 0 a b x y z
0 0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0 0
x 0 0 0 0 a a
y 0 0 0 b 0 b
z 0 0 0 b a 0
Лема 22. 1. Напiвгрупи (S, \star 1), (S, \star 3), (S, \star 4) попарно iзоморфнi.
2. (S, \star 1) \ncong (S, \star 2).
Доведення. Позначимо через \xi i,j вiдображення з напiвгрупи (S, \star i) у напiвгрупу (S, \star j).
Перевiрка показує, що функцiї \xi 1,3 =
\biggl(
0 a b x y z
0 a b z x y
\biggr)
, \xi 1,4 =
\biggl(
0 a b x y z
0 a b x z y
\biggr)
є iзомор-
фiзмами.
Також легко перевiрити, що (S, \star 1) \ncong (S, \star 2).
Нiльнапiвгрупу (S, \star 2) позначимо через B2.
Твердження 6. Якщо нiльнапiвгрупа S мiстить власну пiднапiвгрупу, яка iзоморфна B2,
то iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) не є переставним.
Доведення. Припустимо протилежне, тобто iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним.
Нехай \{ 0, a, b, x, y, z\} — всi елементи напiвгрупи B2, до того ж B2
2 = \{ 0, a, b\} i B \subset S.
Виберемо довiльний елемент u \in S такий, що u /\in B2. Згiдно з лемою 20 S2 = \{ 0, a, b\} . Звiдси
випливає, що множини A = \{ 0, a, b, x, y, u\} i C = \{ 0, a, b, x, z, u\} є пiднапiвгрупами напiвгрупи
S. Якщо вiдображення таке, що (\{ 0, a, b\} )\varphi \not = \{ 0, a, b\} , то \varphi /\in L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S). Розглянемо частковi
перестановки:
\xi 1 =
\Biggl(
0 a b x y z
0 a b x y u
\Biggr)
, \xi 2 =
\Biggl(
0 a b x y z
0 a b x u y
\Biggr)
, \xi 3 =
\biggl(
0 a b x y z
0 a b y x u
\biggr)
,
\xi 4 =
\Biggl(
0 a b x y z
0 a b y u x
\Biggr)
, \xi 5 =
\Biggl(
0 a b x y z
0 a b u x y
\Biggr)
, \xi 6 =
\biggl(
0 a b x y z
0 a b u y x
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
622 В. Д. ДЕРЕЧ
Легко перевiрити, що вiдображення \xi 2, \xi 3, \xi 6 не є iзоморфiзмами. Припустимо, що \xi 1 — iзо-
морфiзм. Тодi xu = b i yu = a. Переглянувши всi 12 вiдображень \eta : B2 \rightarrow C таких, що
(0)\eta = 0 i (\{ a, b\} )\eta = \{ a, b\} , переконуємося, що кожне з них не є iзоморфiзмом. Тобто B2 \ncong C,
що суперечить твердженню 3. Отже, вiдображення \xi 1 не є iзоморфiзмом. Таким же чином ми
переконуємося, що \xi 4 /\in L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) i \xi 5 /\in L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S). Отже, вiдображення \xi 1, \xi 2, \xi 3, \xi 4, \xi 5, \xi 6 не є
iзоморфiзмами. Далi, розглянемо такi вiдображення:
\lambda 1 =
\Biggl(
0 a b x y z
0 b a u y x
\Biggr)
, \lambda 2 =
\Biggl(
0 a b x y z
0 b a y u x
\Biggr)
, \lambda 3 =
\Biggl(
0 a b x y z
0 b a u x y
\Biggr)
,
\lambda 4 =
\Biggl(
0 a b x y z
0 b a x u y
\Biggr)
, \lambda 5 =
\Biggl(
0 a b x y z
0 b a y x u
\Biggr)
, \lambda 6 =
\Biggl(
0 a b x y z
0 b a x y u
\Biggr)
.
Безпосередня перевiрка показує, що вiдображення \lambda 2, \lambda 3, \lambda 6 не є iзоморфiзмами. Припустимо,
що \lambda i, i = 1, 4, 5, є iзоморфiзмом, тодi (як легко перевiрити) \xi i, i = 1, 4, 5, — iзоморфiзм.
Суперечнiсть. Таким чином, B2 \ncong A, що суперечить твердженню 3.
Твердження 6 доведено.
Перелiчимо всi пiднапiвгрупи нiльнапiвгрупи B2: \{ 0\} , \{ 0, a\} , \{ 0, b\} , \{ 0, x\} , \{ 0, y\} , \{ 0, z\} ,
\{ 0, a, b\} , \{ 0, a, x\} , \{ 0, a, y\} , \{ 0, a, z\} , \{ 0, b, x\} , \{ 0, b, y\} , \{ 0, b, z\} , \{ 0, a, b, x\} , \{ 0, a, b, y\} , \{ 0, a, b, z\} ,
\{ 0, a, b, x, y\} , \{ 0, a, b, x, z\} , \{ 0, a, b, y, z\} , \{ 0, a, b, x, y, z\} . Зазначимо, що всi пiднапiвгрупи, по-
рядок яких не перевищує 4, є напiвгрупами з нульовим множенням. Легко перелiчити всi iзо-
морфiзми мiж такими пiднапiвгрупами. Список локальних iзоморфiзмiв, ранг яких дорiвнює 4,
є таким:\Biggl(
0 a b x y
0 a b x y
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x y
0 b a y x
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x y
0 a b y z
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x y
0 b a z y
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x y
0 a b z x
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x y
0 b a x z
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x z
0 a b x z
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x z
0 b a z x
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x z
0 a b y x
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x z
0 b a x y
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x z
0 a b z y
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x z
0 b a y z
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b y z
0 a b y z
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b y z
0 b a z y
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b y z
0 a b x y
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b y z
0 b a y x
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b y z
0 a b z x
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b y z
0 b a x z
\Biggr)
.
Перелiчимо всi автоморфiзми напiвгрупи B2:\Biggl(
0 a b x y z
0 a b x y z
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x y z
0 a b y z x
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x y z
0 a b z x y
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x y z
0 b a y x z
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x y z
0 b a z y x
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a b x y z
0 b a x z y
\Biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ НIЛЬНАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 623
Група \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(B2) некомутативна i мiстить шiсть елементiв. Отже, вона iзоморфна симетричнiй
групi S3. Iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(B2) мiстить 202 елементи.
Вище ми вже показали, що iснують лише двi (з точнiстю до iзоморфiзму) шестиелементнi
нiльнапiвгрупи, якi мiстять напiвгрупу K2 i у яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв
є переставним. У сенсi твердження 6 нiльнапiвгрупа B2 є максимальною. Тепер розглянемо
нiльнапiвгрупу (S, \star 1), яку далi позначатимемо через D1.
Конструкцiя 2
Зафiксуємо триелементну множину \{ 0, a, b\} . Нехай скiнченна множина X така, що \{ 0, a, b\} \cap
\cap X = \varnothing i | X| \geq 3. На X задаємо строгий лiнiйний порядок < . Визначимо бiнарну операцiю
на множинi \{ 0, a, b\} \cup X:
0y = y0 = 0 для будь-якого y \in \{ 0, a, b\} \cup X;
ay = ya = 0 для будь-якого y \in \{ 0, a, b\} \cup X;
by = yb = 0 для будь-якого y \in \{ 0, a, b\} \cup X;
якщо xk, xm \in X i xk < xm, то xkxm = a i xmxk = b;
z2 = 0 для довiльного z \in \{ 0, a, b\} \cup X.
Вiдносно визначеної операцiї множина \{ 0, a, b\} \cup X стає нiльнапiвгрупою, яка включає в
себе напiвгрупу, що iзоморфна нiльнапiвгрупi D1.
Для того щоб переконатися, що iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв напiвгрупи
\{ 0, a, b\} \cup X є переставним, потрiбно перевiрити виконання умов (i) та (ii) (див. твердження 3).
Виконання умови (i) забезпечується за означенням. Щоб перевiрити виконання умови (ii), зазна-
чимо, що всi пiднапiвгрупи напiвгрупи \{ 0, a, b\} \cup X, що мiстять не бiльше чотирьох елементiв,
є напiвгрупами з нульовим множенням. Очевидно, що такi напiвгрупи з однаковою кiлькiстю
елементiв є iзоморфними. Далi, якщо рiвнопотужнi пiднапiвгрупи \{ 0, a, b, xi1, xi2, . . . , xim\} i
\{ 0, a, b, xk1, xk2, . . . , xkm\} мiстять щонайменше п’ять елементiв, до того ж xi1 < xi2 < . . . <
< xim i xk1 < xk2 < . . . < xkm, то легко перевiрити, що вiдображення\Biggl(
0 a b xi1 xi2 . . . xim
0 a b xk1 xk2 . . . xkm
\Biggr)
є iзоморфiзмом. Отже, згiдно з твердженням 3 iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\{ 0, a, b\} \cup X) є пере-
ставним.
Лема 23. Нехай скiнченна нiльнапiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу, що iзоморфна (S, \star 1),
i iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним. Тодi напiвгрупа S має структуру, опис якої дано
в конструкцiї 2.
Доведення. Вище ми вже домовилися нiльнапiвгрупу (S, \star 1) позначати через D1. Нехай
\{ 0, a, b, x, y, z\} — елементи напiвгрупи D1. Згiдно з лемою 20 S2 = \{ 0, a, b\} . На множинi S - S2
визначимо бiнарне вiдношення таким чином: (u, v) \in \eta \leftrightarrow uv = a. Покажемо транзитивнiсть
вiдношення \eta . Отже, нехай uv = a i vw = a. Доведемо, що uw = a. Припустимо протилежне,
тобто uw \not = a. Тодi uw = 0 або uw = b. Якщо uw = 0, то \{ 0, a, b, u, w\} \ncong K2, що суперечить
твердженню 3. Припустимо, що uw = b. Розглянемо всi вiдображення f : D1 \rightarrow \{ 0, a, b, u, v, w\}
такi, що (0)f = 0, (a)f = a, (b)f = b. Таких вiдображень буде 6. Легко переконатися, що кожне
таке вiдображення не є iзоморфiзмом. Також легко перевiрити, що кожне вiдображення \xi :
D1 \rightarrow \{ 0, a, b, u, v, w\} , де (0)\xi = 0, (a)\xi = b, (b)\xi = a, не є iзоморфiзмом. Отже, ми одержуємо
суперечнiсть з твердженням 3. Таким чином, бiнарне вiдношення \eta є транзитивним. На пiдставi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
624 В. Д. ДЕРЕЧ
леми 18 зазначимо ще одну властивiсть вiдношення \eta : якщо (l, r) \in \eta , то (r, l) /\in \eta . Отже,
бiнарне вiдношення \eta \cup \bigtriangleup , де \bigtriangleup — вiдношення рiвностi на S - S2, є лiнiйним порядком. Таким
чином, нiльнапiвгрупа S має саме таку структуру, опис якої дано в конструкцiї 2.
Лему 23 доведено.
Пiдсумуємо результати пункту у виглядi теореми.
Теорема 4. Нехай скiнченна нiльнапiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу, яка iзоморфна K2.
Iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним в таких i лише таких випадках:
1) нiльнапiвгрупа S iзоморфна K2;
2) нiльнапiвгрупа S iзоморфна B2;
3) нiльнапiвгрупа S має структуру, опис якої дано у кострукцiї 2.
Враховуючи результат основної теореми статтi [4], отримуємо повну класифiкацiю скiнчен-
них нiльнапiвгруп, для яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним.
Теорема 5. Нехай S — скiнченна нiльнапiвгрупа. Iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним
в таких i лише в таких випадках:
1) нiльнапiвгрупа S є напiвгрупою з нульовим множенням;
2) нiльнапiвгрупа S належить класу \scrN (див. п. 1);
3) нiльнапiвгрупа S iзоморфна K1;
4) нiльнапiвгрупа S iзоморфна B1;
5) нiльнапiвгрупа S має структуру, опис якої дано у кострукцiї 1;
6) нiльнапiвгрупа S iзоморфна K2;
7) нiльнапiвгрупа S iзоморфна B2;
8) нiльнапiвгрупа S має структуру, опис якої дано у кострукцiї 2.
Лiтература
1. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: в 2 т. – М.: Мир, 1972. – Т.1. – 286 с. – Т.2. –
422 с.
2. Либих А. Л. Инверсные полугруппы локальных автоморфизмов абелевых групп // Исследования по алгебре. –
1973. – Вып. 3. – С. 25 – 33.
3. Goberstein S. M. Inverse semigroups with certain types of partial automorphism monoids // Glasgow Math. J. – 1990.
– 32. – P. 189 – 195.
4. Дереч В. Д. Класифiкацiя скiнченних комутативних напiвгруп, для яких iнверсний моноїд локальних автомор-
фiзмiв є переставним // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 2. – С. 176 – 184.
5. Дереч В. Д. Класифiкацiя скiнченних комутативних напiвгруп, для яких iнверсний моноїд локальних автомор-
фiзмiв є \Delta -напiвгрупою // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 7. – С. 895 – 901.
6. Дереч В. Д. Характеристика напiврешiтки iдемпотентiв переставної iнверсної напiвгрупи скiнченного рангу з
нулем // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 10. – С. 1353 – 1362.
7. Дереч В. Д. Конгруенцiї переставної iнверсної напiвгрупи скiнченного рангу // Укр. мат. журн. – 2005. – 57,
№ 4. – С. 469 – 473.
8. Дереч В. Д. Структура скiнченної комутативної iнверсної напiвгрупи i скiнченної в’язки, для яких iнверсний
моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1218 – 1226.
Одержано 19.08.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1865 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:12Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c1/1d15f9f7a8fc16a30397d79615dbfcc1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18652019-12-05T09:30:15Z Classification of finite nilsemigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable semigroup Класифікація скінченних нільнапівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є переставною напівгрупою Derech, V. D. Дереч, В. Д. A semigroup $S$ is called permutable if $\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho$ for any pair of congruences $\rho$, $\sigma$ on $S$. A local automorphism of the semigroup $S$ is defined as an isomorphism between two subsemigroups of this semigroup. The set of all local automorphisms of a semigroup $S$ with respect to an ordinary operation of composition of binary relations forms an inverse monoid of local automorphisms. In the proposed paper, we present a classification of all finite nilsemigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable. Полугруппа $S$ называется перестановочной, если для любой пары конгруэнций $\rho$, $\sigma$ на $S$ имеет место равенство $\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho$. Полугруппа $S$ называется перестановочной, если для любой пары конгруэнций $\rho, \sigma$ на $S$ имеет место равенство $\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho$. Локальным автоморфизмом полугруппы $S$ называют изоморфизм между двумя еe подполугруппами. Множество всех локальных автоморфизмов полугруппы $S$ относительно обычной операции композиции бинарных отношений образует инверсный моноид локальных автоморфизмов. В данной статье приведена классификация конечных нильполугрупп, для которых инверсный моноид локальных автоморфизмов является перестановочным. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1865 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 5 (2016); 610-624 Український математичний журнал; Том 68 № 5 (2016); 610-624 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1865/847 Copyright (c) 2016 Derech V. D. |
| spellingShingle | Derech, V. D. Дереч, В. Д. Classification of finite nilsemigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable semigroup |
| title | Classification of finite nilsemigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable semigroup |
| title_alt | Класифікація скінченних нільнапівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є переставною напівгрупою |
| title_full | Classification of finite nilsemigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable semigroup |
| title_fullStr | Classification of finite nilsemigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable semigroup |
| title_full_unstemmed | Classification of finite nilsemigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable semigroup |
| title_short | Classification of finite nilsemigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable semigroup |
| title_sort | classification of finite nilsemigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable semigroup |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1865 |
| work_keys_str_mv | AT derechvd classificationoffinitenilsemigroupsforwhichtheinversemonoidoflocalautomorphismsispermutablesemigroup AT derečvd classificationoffinitenilsemigroupsforwhichtheinversemonoidoflocalautomorphismsispermutablesemigroup AT derechvd klasifíkacíâskínčennihnílʹnapívgrupdlââkihínversnijmonoídlokalʹnihavtomorfízmívêperestavnoûnapívgrupoû AT derečvd klasifíkacíâskínčennihnílʹnapívgrupdlââkihínversnijmonoídlokalʹnihavtomorfízmívêperestavnoûnapívgrupoû |