Topological stability of the averagings of functions
We present sufficient conditions for the topological stability of the averagings of piecewise smooth functions $f : R \rightarrow R$ with finitely many extrema with respect to discrete measures with finite supports.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1866 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507745909735424 |
|---|---|
| author | Maksimenko, S. I. Marunkevych, O. V. Максименко, С. І. Марункевич, О. В. |
| author_facet | Maksimenko, S. I. Marunkevych, O. V. Максименко, С. І. Марункевич, О. В. |
| author_sort | Maksimenko, S. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:15Z |
| description | We present sufficient conditions for the topological stability of the averagings of piecewise smooth functions $f : R \rightarrow R$ with finitely many extrema with respect to discrete measures with finite supports. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 515.126.2; 51 – 74
С. I. Максименко, О. В. Марункевич (Iн-т математики НАН Українi, Київ)
ТОПОЛОГIЧНА СТАБIЛЬНIСТЬ УСЕРЕДНЕНЬ ФУНКЦIЙ
We present sufficient conditions for the topological stability of the averagings of piecewise smooth functions f : \BbbR \rightarrow \BbbR
with finitely many extrema with respect to discrete measures with finite supports.
Получены достаточные условия для топологической устойчивости усреднений кусочно-дифференцируемых функ-
ций f : \BbbR \rightarrow \BbbR с конечным числом экстремумов относительно дискретных мер с конечными носителями.
1. Вступ. У прикладних задачах обробки сигналiв, наприклад при вiдновленнi i оцифровуваннi
зображень, видаленнi шумiв та iн., важливу роль вiдiграють так званi лiнiйнi фiльтри. Якщо
x(t) — деякий сигнал, то результатом дiї на нього лiнiйного фiльтра з iмпульсною перехiдною
функцiєю h(t) є сигнал, який визначається згорткою x\ast h цих функцiй, тобто сигнал визначено
за формулою
x \ast h(t) =
T\int
0
x(t - \tau )h(\tau )d\tau .
У випадку, коли носiй h є досить малим i
\int T
0
h(\tau )d\tau = 1, функцiю h можна розглядати як
щiльнiсть деякої мiри, а згортку — як усереднення функцiї x за цiєю мiрою. Такi усереднення
широко використовуються в застосуваннях (див., наприклад, [1 – 3]).
Зауважимо, що «форма» сигналу y може суттєво вiдрiзнятися вiд «форми» сигналу x.
Наприклад, якщо x має один максимум, то y може мати їх багато. Збереження форми сигналу є
принциповою вимогою до фiльтрiв у проблемах видалення шумiв, обчислень ентропiї часових
рядiв (див., наприклад, [4, 5] та наведену там бiблiографiю).
З математичної точки зору «однаковiсть форм» сигналiв означає їх топологiчну еквiвален-
тнiсть як функцiй вiд часу (див. означення 1, 2).
В данiй роботi ми наводимо широкi достатнi умови для топологiчної стiйкостi усереднень
кусково-диференцiйовних функцiй f : \BbbR \rightarrow \BbbR зi скiнченним числом екстремумiв вiдносно
дискретних мiр зi скiнченими носiями (див. теореми 1, 2).
Цi умови гарантують, що усереднення сигналiв за допомогою фiльтрiв iз дискретною iм-
пульсною перехiдною функцiєю «зберiгають форму».
2. Усереднення функцiй. Нехай \mu — довiльна ймовiрнiсна мiра на вiдрiзку [ - 1, 1], тобто
невiд’ємна \sigma -адитивна мiра така, що \mu [ - 1, 1] = 1, визначена на борелiвськiй алгебрi множин
вiдрiзка [ - 1, 1]. Тодi для кожної вимiрної функцiї f : \BbbR \rightarrow \BbbR та числа \alpha > 0 можна визначити
нову вимiрну функцiю f\alpha : \BbbR \rightarrow \BbbR за формулою
f\alpha (x) =
1\int
- 1
f(x - t\alpha )d\mu . (1)
Цю функцiю називатимемо \alpha -усередненням функцiї f вiдносно мiри \mu .
c\bigcirc С. I. МАКСИМЕНКО, О. В. МАРУНКЕВИЧ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5 625
626 С. I. МАКСИМЕНКО, О. В. МАРУНКЕВИЧ
Зазначимо, що якщо f визначено лише на деякому iнтервалi (a, b), до того ж 2\alpha < b - a,
то формула (1) визначає функцiю f\alpha на iнтервалi (a+ \alpha , b - \alpha ). Бiльш того,
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y\in [x - \alpha ,x+\alpha ]
f(y) \leq f\alpha (x) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in [x - \alpha ,x+\alpha ]
f(y). (2)
Розглянемо кiлька простих випадкiв.
1. Нехай \mu — дискретна мiра зi скiнченним носiєм. Це означає, що знайдеться така скiн-
ченна зростаюча послiдовнiсть точок tk < tk - 1 < . . . < t2 < t1 \in [ - 1, 1], що для довiльної
борелiвської пiдмножини A \subset [ - 1, 1] її мiра задається формулою
\mu (A) =
\sum
ti\in A
\mu (ti).
Тодi усереднення функцiї f : \BbbR \rightarrow \BbbR визначатиметься так:
f\alpha (x) =
k\sum
i=1
f(x - ti\alpha )\mu (ti). (3)
Зокрема, якщо k = 2, t1 = - 1, t2 = +1 i \mu ( - 1) = \mu (1) =
1
2
, то
f\alpha (x) =
f(x+ \alpha ) + f(x - \alpha )
2
. (4)
2. Припустимо, що мiра \mu є абсолютно неперервною, тобто iснує така вимiрна функцiя
p : [ - 1, 1] \rightarrow [0,\infty ), що \mu (A) =
\int
A
p(t)dt. Тодi усереднення функцiї f : \BbbR \rightarrow \BbbR визначатиметься
за формулою
f\alpha (x) =
1\int
- 1
f(x - t\alpha )p(t)dt.
Лема 1. Вiдповiднiсть f \mapsto \rightarrow f\alpha є лiнiйним оператором на просторi неперервних функцiй
C(\BbbR ,\BbbR ). Припустимо, що f \in C(\BbbR ,\BbbR ) має одну з наступних властивостей: є строго дода-
тною, невiд’ємною, (строго) зростає, (строго) спадає, є (строго) опуклою вгору або вниз. Тодi
таку ж саму властивiсть має функцiя f\alpha для кожного \alpha > 0.
Доведення. Ми розглянемо лише випадки (строго) зростаючих та опуклих вгору функцiй.
Всi iншi твердження або є очевидними, або доводяться аналогiчно.
1. Припустимо, що f зростає. Тодi для довiльних x < y \in \BbbR , t \in [ - 1, 1] та \alpha > 0 маємо,
що f(x - t\alpha ) \leq f(y - t\alpha ), а тому
f\alpha (x) =
1\int
- 1
f(x - t\alpha )d\mu \leq
1\int
- 1
f(y - t\alpha )d\mu = f\alpha (y),
тобто f\alpha також зростає.
2. Якщо ж f строго зростає, то q(t) = f(y - t\alpha ) - f(x - t\alpha ) > 0 для всiх t \in [ - 1, 1], а отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ТОПОЛОГIЧНА СТАБIЛЬНIСТЬ УСЕРЕДНЕНЬ ФУНКЦIЙ 627
f\alpha (y) - f\alpha (x) =
1\int
- 1
q(t)d\mu > 0,
тому що мiра \mu є невiд’ємною. Звiдси випливає, що f\alpha також строго зростає.
3. Припустимо, що f — опукла функцiя, тобто для довiльних x, y \in \BbbR та s \in [0, 1] маємо
f(sx+ (1 - s)y) \leq sf(x) + (1 - s)f(y).
Тодi
f\alpha (sx+ (1 - s)y) =
1\int
- 1
f(sx+ (1 - s)y - t\alpha )d\mu \leq
\leq s
1\int
- 1
f(x - t\alpha )d\mu + (1 - s)
1\int
- 1
f(y - t\alpha )d\mu =
= sf\alpha (x) + (1 - s)f\alpha (y).
Лему доведено.
Лема 2. Нехай f : (a,+\infty ) \rightarrow \BbbR — неперервна строго монотонна функцiя. Тодi для до-
вiльного \alpha > 0 маємо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow +\infty f\alpha (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow +\infty f(x).
Доведення. Для визначеностi вважатимемо, що f строго монотонно зростає. Тодi з форму-
ли (2) випливає, що для x > \alpha виконуються такi нерiвностi:
f(x - \alpha ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y\in [x - \alpha ,x+\alpha ]
f(y) \leq f\alpha (x) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in [x - \alpha ,x+\alpha ]
f(y) = f(x+ \alpha ),
а тому \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow +\infty f\alpha (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow +\infty f(x).
3. Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй. Для подальшого викладу зручно використову-
вати поняття паростка неперервної функцiї в точцi.
Нехай a \in \BbbR , U — окiл точки a i f, g : U \rightarrow \BbbR — двi неперервнi функцiї. Скажемо, що f та
g визначають один i той же паросток у точцi a, якщо f = g в деякому околi V \subset U точки a.
Це є вiдношенням еквiвалентностi, а вiдповiдний клас еквiвалентностi функцiї f називається
паростком у точцi a i позначаєтьcя f : (\BbbR , a) \rightarrow \BbbR , або f : (\BbbR , a) \rightarrow (\BbbR , f(a)), якщо потрiбно
пiдкреслити якого значення набуває f у точцi a.
Нагадаємо також, що гомеоморфiзм \phi : (a, b) \rightarrow (c, d) — це те ж саме, що неперервна
сюр’єктивна строго монотонна функцiя. При цьому якщо \phi зростає (спадає), то кажуть, що вiн
зберiгає (змiнює) орiєнтацiю.
Означення 1. Нехай a, b \in \BbbR i f : (\BbbR , a) \rightarrow \BbbR та g : (\BbbR , b) \rightarrow \BbbR — два паростки неперерв-
них функцiй у точках a та b вiдповiдно. Тодi f та g називаються топологiчно еквiвалентними,
якщо iснують такi паростки зберiгаючих орiєнтацiю гомеоморфiзмiв h : (\BbbR , a) \rightarrow (\BbbR , b) та
\phi : (\BbbR , f(a)) \rightarrow (\BbbR , g(b)), що \phi \circ f = g \circ h.
Зауваження 1. В означеннi топологiчної еквiвалентностi не обов’язково вимагати, щоб \phi
та h зберiгали орiєнтацiю, але в данiй роботi ми завжди накладаємо таку умову.
Наступна лема легко доводиться.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
628 С. I. МАКСИМЕНКО, О. В. МАРУНКЕВИЧ
Лема 3. Нехай f : (\BbbR , a) \rightarrow \BbbR та g : (\BbbR , b) \rightarrow \BbbR — два паростки неперервних функцiй.
Припустимо також, що виконується одна з таких умов:
1) f та g строго монотоннi в околах точок a та b вiдповiдно;
2) точки a та b є iзольованими локальними максимумами (мiнiмумами) функцiй f та g
вiдповiдно.
Тодi f та g топологiчно еквiвалентнi.
Означення 2. Двi неперервнi функцiї f : (a, b) \rightarrow \BbbR та g : (c, d) \rightarrow \BbbR називаються топо-
логiчно еквiвалентними, якщо iснують такi зберiгаючi орiєнтацiю гомеоморфiзми
h : (a, b) \rightarrow (c, d), \phi : \BbbR \rightarrow \BbbR ,
що \phi \circ f = g \circ h, тобто дiаграма
(a, b)
f - - - - \rightarrow \BbbR
h
\downarrow \downarrow \phi
(c, d)
g - - - - \rightarrow \BbbR
є комутативною.
Нагадаємо результати про класифiкацiю функцiй на числовiй прямiй iз точнiстю до топо-
логiчної еквiвалентностi.
Означення 3 [6]. Узагальненою змiйкою довжини k, або просто k-змiйкою називатимемо
довiльну послiдовнiсть з k чисел \{ A1, . . . , Ak\} . Двi k-змiйки \{ A1, . . . , Ak\} та \{ B1, . . . , Bk\}
назвемо еквiвалентними, якщо виконано таку умову: Ai < Aj тодi i тiльки тодi, коли Bi < Bj .
Очевидно, що з цiєї умови випливає, що Ai = Aj тодi i тiльки тодi, коли Bi = Bj .
Нехай f : \BbbR \rightarrow \BbbR — неперервна функцiя, що має лише скiнченну кiлькiсть локальних
екстремумiв x1, . . . , xn i є строго монотонною на доповнювальних iнтервалах. Зокрема, iснують
скiнченнi або нескiнченнi границi A0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow - \infty f(x) i An+1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow +\infty f(x). Позначимо
Ai = f(xi), i = 1, . . . , n. Тодi послiдовнiсть чисел \xi (f) = \{ A0, . . . , An+1\} називатимемо
змiйкою, асоцiйованою з f .
Наступне твердження є вiдомим i легко доводиться. Воно неявно сформульване у [6, 7].
Лема 4. Нехай f, g : \BbbR \rightarrow \BbbR — неперервнi функцiї, кожна з яких має рiвно k локальних
екстремумiв для деякого k \geq 0, i є строго монотонними на доповнювальних iнтервалах.
Функцiї f та g будуть топологiчно еквiвалентними тодi i лише тодi, коли вiдповiднi змiйки
\xi (f) та \xi (g) є еквiвалентними.
Означення 4. Нехай f : \BbbR \rightarrow \BbbR — неперервна функцiя i \mu — ймовiрнiсна мiра на [ - 1, 1].
Скажемо, що f є топологiчно стiйкою вiдносно усереднень за мiрою \mu , якщо iснує \varepsilon > 0, таке
що для всiх \alpha \in (0, \varepsilon ) функцiї f та f\alpha є топологiчно еквiвалентними.
Аналогiчно можна дати означення локальної топологiчної стiйкостi усереднень вiдносно
мiри \mu . Нехай f : (\BbbR , a) \rightarrow \BbbR — паросток неперервної функцiї в точцi a \in \BbbR . Це означає, що f
— неперервна функцiя, визначена на iнтервалi (a - \varepsilon , a+\varepsilon ) для деякого \varepsilon . Тодi якщо \alpha < \varepsilon /2, то
з формули (1) випливає, що усереднення f\alpha коректно визначене на iнтервалi (a - \varepsilon /2, a+ \varepsilon /2).
Бiльш того, його паросток у точцi a, очевидно, залежить тiльки вiд паростка f у цiй точцi.
Зауваження 2. Паростки f та f\alpha в точцi a, взагалi кажучи, не є топологiчно еквiвалентни-
ми. Наприклад, якщо a — iзольована точка мiнiмуму для f, то f\alpha також може мати iзольовану
точку мiнiмуму b, близьку до a, але вiдмiнну вiд a. Тодi паростки f та f\alpha в точцi a не є то-
пологiчно еквiвалентними, але, згiдно з лемою 3, обмеження f на деякий окiл (c1, c2) точки a
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ТОПОЛОГIЧНА СТАБIЛЬНIСТЬ УСЕРЕДНЕНЬ ФУНКЦIЙ 629
буде топологiчно еквiвалентним обмеженню f\alpha на деякий окiл (d1, d2) точки b. Цi мiркування
приводять до такого означення.
Означення 5. Скажемо, що паросток f : (\BbbR , a) \rightarrow \BbbR є топологiчно стiйким вiдносно
усереднень за мiрою \mu , якщо iснує таке \varepsilon > 0, що для кожного \alpha \in (0, \varepsilon ) виконується
наступна умова:
iснують c1, c2, d1, d2 \in (a - \varepsilon , a + \varepsilon ), залежнi вiд \alpha i такi, що c1 < a < c2, d1 < d2, а
обмеження
f | (c1,c2) : (c1, c2) \rightarrow \BbbR , f\alpha | (d1,d2) : (d1, d2) \rightarrow \BbbR
є топологiчно еквiвалентними.
У данiй роботi отримано достатнi умови для топологiчної стiйкостi усереднень кусково-
диференцiйовних функцiй f : \BbbR \rightarrow \BbbR зi скiнченним числом екстремумiв вiдносно дискретних
мiр зi скiнченними носiями.
Наступна теорема показує, що для функцiй «загального положення» зi скiнченним числом
локальних екстремумiв iз локальної стiйкостi в околах екстремумiв випливає глобальна стiй-
кiсть.
Теорема 1. Нехай \mu — ймовiрнiсна мiра на [ - 1, 1] i f : \BbbR \rightarrow \BbbR — неперервна функцiя, що
має лише скiнченну кiлькiсть локальних екстремумiв x1, . . . , xn. Як i вище, позначимо
A0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow - \infty
f(x), Ai = f(xi), i = 1, . . . , n, An+1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
f(x).
Припустимо, що виконуються такi умови:
1) числа A1, . . . , An попарно рiзнi i також вiдрiзняються вiд A0 та An+1;
2) для кожного i = 1, . . . , n паросток f : (\BbbR , xi) \rightarrow \BbbR у точцi xi є топологiчно стiйким
вiдносно усереднень за мiрою \mu .
Тодi функцiя f також є топологiчно стiйкою вiдносно усереднень за мiрою \mu .
Доведення. Достатньо знайти таке \varepsilon > 0, щоб змiйки \xi (f) та \xi (f\alpha ) були еквiвалентними
для всiх \alpha \in (0, \varepsilon ). Тодi з леми 3 випливатиме, що f та f\alpha є топологiчно еквiвалентними, а
тому f буде топологiчно стiйкою вiдносно усереднень за мiрою \mu .
Оскiльки f має лише скiнченне число локальних екстремумiв, то з умови 2 та леми 1
випливає iснування такого \varepsilon > 0, що для всiх \alpha \in (0, \varepsilon ) усереднення f\alpha також має рiвно n
локальних екстремумiв. Нехай \xi (f\alpha ) = \{ B0, B1, . . . , Bn+1\} — змiйка для f\alpha .
Згiдно з лемою 2, A0 = B0 i An+1 = Bn+1. Бiльш того, з нерiвностей (2) випливає, що
можна зменшити \varepsilon так, щоб з умови Ai < Aj випливало Bi < Bj для всiх i \not = j.
Але за умовою 1 числа A1, . . . , An попарно рiзнi i також вiдрiзняються вiд A0 та An+1.
Тому з Ai < Aj (вiдповiдно, Ai = Aj) випливає Bi < Bj (вiдповiдно, Bi = Bj) для всiх
i = 0, . . . , n+ 1. Таким чином, змiйки \xi (f) та \xi (f\alpha ) еквiвалентнi, що i потрiбно було довести.
4. Топологiчна стiйкiсть паросткiв вiдносно усереднень. Нехай \varepsilon > 0 i f : ( - \varepsilon , \varepsilon ) \rightarrow \BbbR —
така неперервна функцiя, що 0 є iзольованим локальним мiнiмумом, до того ж f строго спадає
на ( - \varepsilon , 0] та строго зростає на [0, \varepsilon ). Позначимо
fL = f | ( - \varepsilon ,0] : ( - \varepsilon , 0] - \rightarrow \BbbR , fR = f | [0,\varepsilon ) : [0, \varepsilon ) - \rightarrow \BbbR .
Лема 5. Нехай \mu — ймовiрнiсна мiра на [ - 1, 1]. Тодi кожна з наступних умов гарантує,
що паросток f у точцi 0 є локально стiйким вiдносно усереднень за мiрою \mu :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
630 С. I. МАКСИМЕНКО, О. В. МАРУНКЕВИЧ
1) f є строго опуклою;
2) f належить класу C1 на ( - \varepsilon , 0) \cup (0,+\varepsilon ) i f \prime строго зростає на ( - \varepsilon , 0) \cup (0,+\varepsilon );
3) f належить класу C2 в околi 0 i f \prime \prime (0) > 0.
Доведення. Очевидно, що мають мiсце iмплiкацiї 3) \Rightarrow 2) \Rightarrow 1), тому достатньо довести
умову 1.
Нехай \alpha < 2\varepsilon . Згiдно з лемою 1, усереднення f\alpha також є строго опуклою функцiєю, а тому
має єдину точку мiнiмуму, як i f . Тодi, згiдно з лемою 3, f та f\alpha є топологiчно еквiвалентними,
а отже, паросток f у точцi 0 є топологiчно стiйким вiдносно усереднень за мiрою \mu .
Зауваження 3. За умови 3 леми 5 гомеоморфiзми h та \phi такi, що \phi \circ f = f\alpha \circ h можна
вважати дифеоморфiзмами. Дiйсно, нехай f належить класу C2 в околi 0 i f \prime \prime (0) > 0. Тодi для
досить малих \alpha > 0 функцiя f\alpha також належить класу C2, має єдину точку мiнiмуму i f \prime \prime
\alpha > 0.
Це означає, що f та f\alpha є функцiями Морса, а тому, згiдно з лемою Морса, h та \phi можна вибрати
дифеоморфiзмами (див. [8], теорема II.6.9, твердження III.2.2).
5. Основний результат. Нехай \mu — дискретна ймовiрнiсна мiра зi скiнченним носiєм
tk < tk - 1 < . . . < t1 на [ - 1, 1]. Покладемо pi = \mu (ti), i = 1, . . . , k. Тодi pi > 0 i pk+. . .+p1 = 1.
Далi вважатимемо, що функцiя f : ( - \varepsilon , \varepsilon ) \rightarrow \BbbR належить класу C1 на ( - \varepsilon , 0) \cup (0,+\varepsilon ), до
того ж iснують скiнченнi або нескiнченнi границi
L = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0 - 0
f \prime
L(x), R = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0+0
f \prime
R(x). (5)
Якщо L та R є скiнченними, то для кожного j = 1, . . . , k - 1 покладемо
Xj =L(p1 + . . .+ pj) +R(pj+1 + . . .+ pk),
Тодi
L < Xk - 1 < Xk - 2 < . . . < X1 < R.
Теорема 2. Припустимо, що виконується одна з таких умов:
(a) обидвi границi L та R є скiнченними, i Xj \not = 0, j = 1, . . . , k - 1;
(b) одна з границь L або R є нескiнченною, а друга — скiнченною.
Тодi паросток f у точцi 0 є топологiчно стiйким вiдносно усереднень за мiрою \mu .
Щоб зробити доведення теореми 2 бiльш прозорим, ми спочатку сформулюємо i доведемо
частинний випадок.
Лема 6. Нехай \mu — така дискретна мiра на [ - 1, 1], що \mu ( - 1) = \mu (1) =
1
2
, а отже
f\alpha (x) =
f(x+ \alpha ) + f(x - \alpha )
2
=
1
2
\cdot
\left\{
fL(x+ \alpha ) + fL(x - \alpha ), x \in ( - \varepsilon + \alpha , - \alpha ),
fL(x+ \alpha ) + fR(x - \alpha ), x \in [ - \alpha , \alpha ],
fR(x+ \alpha ) + fR(x - \alpha ), x \in (\alpha , \varepsilon - \alpha ),
див. (4). Припустимо, що обидвi границi L та R є скiнченними, до того ж L, R та L + R
не дорiвнюють 0. Тодi паросток f у точцi 0 є топологiчно стiйким вiдносно усереднень за
мiрою \mu .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ТОПОЛОГIЧНА СТАБIЛЬНIСТЬ УСЕРЕДНЕНЬ ФУНКЦIЙ 631
Зауважимо, що за умов на мiру \mu в лемi 6 маємо k = 2, p2 = p1 =
1
2
, а отже,
X1 =
1
2
(L+R) \not = 0. (6)
Тому лема 6 дiйсно є частинним випадком теореми 2.
Доведення леми 6. Досить знайти таке \delta > 0, що для всiх \alpha \in (0, \delta /2) функцiя f\alpha матиме
єдину точку мiнiмуму, як i f . Тодi за лемою 3 f та f\alpha будуть топологiчно еквiвалентними.
Оскiльки границi (5) є скiнченними, то похiднi f \prime
L та f \prime
R неперервно продовжуються на
вiдрiзки [ - \varepsilon , 0] та [0, \varepsilon ] вiдповiдно, так що f \prime
L(0) = L та f \prime
R(0) = R. Тодi з (6) i неперервностi
f \prime
L та f \prime
R випливає iснування такого \delta \in (0, \varepsilon ), що для довiльних x, y \in (0, \delta ) виконується
нерiвнiсть
f \prime
L( - x) + f \prime
R(y) \not = 0.
За умовою fL монотонно спадає на ( - \varepsilon , 0), а fR монотонно зростає на (0, \varepsilon ). Тому, згiдно з
лемою 1, f\alpha монотонно спадає на ( - \varepsilon +\alpha , - \alpha ) i монотонно зростає на (\alpha , \varepsilon - \alpha ). Ми покажемо,
що f\alpha є строго монотонною на ( - \alpha , \alpha ), а тому f\alpha матиме єдину точку мiнiмуму на одному з
кiнцiв [ - \alpha , \alpha ] в залежностi вiд знака виразу L+R.
Для визначеностi вважатимемо, що L + R > 0, а отже, f \prime
L( - x) + f \prime
R(y) > 0 для всiх x,
y \in (0, \delta ). Тодi якщо \alpha \in (0, \delta /2) i x \in ( - \alpha , \alpha ) \subset ( - \delta /2, \delta /2), то
- \delta < x - \alpha < 0 < x+ \alpha < \delta ,
а тому
f \prime
\alpha (x) = f \prime
L(x+ \alpha ) + f \prime
R(x - \alpha ) > 0.
Таким чином, f\alpha строго зростає на [ - \alpha , \alpha ]. З iншого боку, f\alpha строго спадає на [ - \varepsilon + \alpha , - \alpha ] i
строго зростає на [\alpha , \varepsilon - \alpha ], а отже, f\alpha має єдину точну мiнiмуму x = - \alpha .
Лему 6 доведено.
Покажемо, що умова (6) є суттєвою.
Контрприклад. Нехай f(x) = | x| . Тодi fL(x) = - x, fR(x) = x, L = f \prime
L(0) = - 1 i
R = f \prime
R(0) = +1, а отже,
L+R = - 1 + 1 = 0,
тобто умова (6) не виконується. В цьому випадку для довiльного \alpha > 0
f\alpha (x) =
1
2
\bigl(
| x+ \alpha | + | x - \alpha |
\bigr)
=
\left\{
- x, x \in ( - \infty , - \alpha ),
\alpha , x \in [ - \alpha , \alpha ],
x, x \in (\alpha ,+\infty ).
Таким чином, f\alpha є сталою на iнтервалi [ - \alpha , \alpha ], а отже, вона не є топологiчно еквiвалентною f .
6. Доведення теореми 2. Якщо k = 1, то f\alpha (x) = f(x - t1\alpha ), а тому f та f\alpha є топологiчно
еквiвалентними.
Отже, вважатимемо, що k \geq 2. Досить показати, що iснує таке \delta > 0, що при \alpha \in (0, \delta /2)
функцiя f\alpha має єдину точку мiнiмуму, як i f . Тодi за лемою 3 f та f\alpha будуть топологiчно
еквiвалентними.
Очевидно, що f\alpha задається формулoю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
632 С. I. МАКСИМЕНКО, О. В. МАРУНКЕВИЧ
f\alpha (x) =
\left\{
k\sum
i=1
fL(x - ti\alpha )pi, x \in ( - \varepsilon + \alpha , tk\alpha ),
j\sum
i=1
fL(x - ti\alpha )pi +
k\sum
i=j+1
fR(x - ti\alpha )pi, x \in [tj+1\alpha , tj\alpha ),
k - 1 \geq j \geq 1,
k\sum
i=1
fR(x - ti\alpha )pi, x \in [t1\alpha , \varepsilon - \alpha ).
(7)
Дiйсно, з умови x \in ( - \varepsilon + \alpha , tk\alpha ) випливає, що x - tk\alpha < 0, а отже, x - ti\alpha < 0 для всiх
i = 1, . . . , k. Тому значення f\alpha (x) визначається першим рядком формули (7).
Далi, умова x \in [tj+1\alpha , tj\alpha ) рiвносильна тому, що x - tj\alpha < 0 \leq x - tj+1\alpha , а отже,
x - t1\alpha < . . . < x - tj\alpha < 0 \leq x - tj+1\alpha < . . . < x - tk\alpha .
Звiдси випливає, що f\alpha (x) визначається другим рядком формули (7).
Аналогiчно з умови x \in [t1\alpha , \varepsilon - \alpha ) випливає, що x - ti\alpha \geq 0 для всiх i = 1, . . . , k, а тому
значення f\alpha (x) визначається третiм рядком формули (7).
За припущенням fL монотонно спадає на ( - \varepsilon , 0), а fR монотонно зростає на (0, \varepsilon ). Тому,
згiдно з лемою 1, f\alpha монотонно спадає на ( - \varepsilon + \alpha , tk\alpha ) i монотонно зростає на (t1\alpha , \varepsilon - \alpha ).
Ми покажемо, що для деякого m \in \{ 1, . . . , k\} функцiя f\alpha строго спадає на (tk\alpha , tm\alpha ) i строго
зростає на (tm\alpha , t1\alpha ). Звiдси випливатиме, що f\alpha має єдину точку мiнiмуму в tm\alpha .
Для кожного j = k - 1, . . . , 2, 1 визначимо функцiю gj : (0, \varepsilon )k \rightarrow \BbbR за формулою
gj(x1, . . . , xk) =
j\sum
i=1
f \prime
L( - xi) pi +
k\sum
i=j+1
f \prime
R(xi) pi.
Лема 7. Припустимо, що iснують такi \delta \in (0, \varepsilon ) i m \in \{ 1, . . . , k\} ,що для всiх (x1, . . . , xk) \in
\in (0, \delta )k виконуються нерiвностi
gj(x1, . . . , xk) < 0, j \geq m,
gj(x1, . . . , xk) > 0, j < m.
(8)
Тодi для довiльного \alpha \in (0, \delta /2) функцiя f\alpha має єдину точку мiнiмуму x = tm\alpha .
Доведення. Нехай \alpha \in (0, \delta /2), j \in \{ 1, . . . , k - 1\} i x \in (tj+1\alpha , tj\alpha ). Тодi, згiдно з форму-
лою (7),
f \prime
\alpha (x) =
j\sum
i=1
f \prime
L(x+ ti\alpha )pi +
k\sum
i=j+1
f \prime
R(x+ ti\alpha )pi =
= gj
\bigl(
- x - t1\alpha , . . . , - x - tj\alpha , x+ tj+1\alpha , . . . , x+ tk\alpha
\bigr)
.
Зауважимо, що | x| < \alpha , а отже,
| x - ti\alpha | \leq | x| + \alpha < 2\alpha < \delta , i = 1, . . . , k.
Тому з (8) випливає, що f \prime
\alpha (x) < 0 для x < tm\alpha i f \prime
\alpha (x) > 0 для x > tm\alpha .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ТОПОЛОГIЧНА СТАБIЛЬНIСТЬ УСЕРЕДНЕНЬ ФУНКЦIЙ 633
Таким чином, похiдну f \prime
\alpha визначено на (tk\alpha , t1\alpha ), за винятком, можливо, скiнченного числа
точок вигляду ti\alpha , i = 1, . . . , k; i подхiдна набуває вiд’ємних значень на (tk\alpha , tm\alpha ) i додатних
на (tm\alpha , t1\alpha ). Тому f\alpha має єдину точку мiнiмуму x = tm\alpha , що i треба було довести.
Залишилося перевiрити, що кожна з умов a) та b) теореми 2 гарантує виконання нерiвно-
стей (8).
a) Припустимо, що границi L та R є скiнченними i
Xj = L(p1 + . . .+ pj) +R(pj+1 + . . .+ pk) \not = 0 (9)
для всiх j = 1, . . . , k - 1. Iз скiнченностi L та R випливає, що похiднi f \prime
L та f \prime
R неперервно
продовжуються на вiдрiзки [ - \varepsilon , 0] та [0, \varepsilon ] вiдповiдно, так що f \prime
L(0) = L та f \prime
R(0) = R. Тодi
знайдеться таке m \in \{ 1, . . . , k - 1\} , що
L < Xk < . . . < Xm+1 < 0 < Xm < . . . < X1 < R. (10)
Очевидно, що
Xj = gj(0, . . . , 0),
а тому нерiвностi (8) випливають з (9), (10) та неперервностi f \prime
L та f \prime
R.
b) Припустимо, що | L| < \infty , а R = +\infty . Тодi можна знайти таке \delta > 0, що gj(x1, . . . , xk) >
> 0 для всiх (x1, . . . , xk) \in (0, \delta )k i j = 1, . . . , k - 1. Це означає, що виконуються умови леми 7
для m = k, а отже, f\alpha матиме єдину точку мiнiмуму x = tk\alpha .
Аналогiчно у випадку L = - \infty i | R| < \infty функцiя f\alpha матиме єдину точку мiнiмуму x = t1\alpha .
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. – М.: – Наука,
1981. – 640 с.
2. Crounse Kenneth R. Methods for image processing and pattern formation in celluar neurai networks: a tutorial //
Trans. Circ. and Systems-1: Fundam. Theory and Appl. – 1995. – 42, № 10. – P. 583 – 601.
3. Milanfar P. A tour of modern image filtering: new insights and methods, both practical and theoretical // Signal
Proc. Mag. – 2013. – 30(1). – P. 106 – 128.
4. Bandt C., Pompe B. Permutation entropy: A natural complexity measure for time series // Phys. Rev. Lett. – 2002.
– 88. –№ 17.
5. Antoniouk A., Keller K., Maksymenko S. Kolmogorov – Sinai entropy via separation properties of order-generated
\sigma -algebras // Discrete Contin. Dynam. Syst. – 2014. – 34, № 5. – P. 1793 – 1809.
6. Арнольд В. И. Исчисление змей и комбинаторика чисел Бернулли, Эйлера и Спрингера групп Кокстера //
Успехи мат. наук. – 1992. – 47, № 1(283). – С. 3 – 45.
7. Thom R. L’équivalence d’une fonction différentiable et d’un polynome // Topology. – 1965. – 3, № 2 (suppl). –
P. 297 – 307.
8. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. – М.: Мир, 1977. – 292 с.
Одержано 31.08.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1866 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:12Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2c/4c70831c462ce79e4abba15efd1c212c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18662019-12-05T09:30:15Z Topological stability of the averagings of functions Топологічна стабільність усереднень функцій Maksimenko, S. I. Marunkevych, O. V. Максименко, С. І. Марункевич, О. В. We present sufficient conditions for the topological stability of the averagings of piecewise smooth functions $f : R \rightarrow R$ with finitely many extrema with respect to discrete measures with finite supports. Получены достаточные условия для топологической устойчивости усреднений кусочно-дифференцируемых функций $f : R \rightarrow R$ с конечным числом экстремумов относительно дискретных мер с конечными носителями. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1866 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 5 (2016); 625-633 Український математичний журнал; Том 68 № 5 (2016); 625-633 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1866/848 Copyright (c) 2016 Maksimenko S. I.; Marunkevych O. V. |
| spellingShingle | Maksimenko, S. I. Marunkevych, O. V. Максименко, С. І. Марункевич, О. В. Topological stability of the averagings of functions |
| title | Topological stability of the averagings of functions |
| title_alt | Топологічна стабільність усереднень функцій |
| title_full | Topological stability of the averagings of functions |
| title_fullStr | Topological stability of the averagings of functions |
| title_full_unstemmed | Topological stability of the averagings of functions |
| title_short | Topological stability of the averagings of functions |
| title_sort | topological stability of the averagings of functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1866 |
| work_keys_str_mv | AT maksimenkosi topologicalstabilityoftheaveragingsoffunctions AT marunkevychov topologicalstabilityoftheaveragingsoffunctions AT maksimenkosí topologicalstabilityoftheaveragingsoffunctions AT marunkevičov topologicalstabilityoftheaveragingsoffunctions AT maksimenkosi topologíčnastabílʹnístʹuserednenʹfunkcíj AT marunkevychov topologíčnastabílʹnístʹuserednenʹfunkcíj AT maksimenkosí topologíčnastabílʹnístʹuserednenʹfunkcíj AT marunkevičov topologíčnastabílʹnístʹuserednenʹfunkcíj |