Kolmogorov widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of many variables
We establish exact-order estimates for the Kolmogorov widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of many variables in the spaces $L_q,\; 1 \leq q \leq \infty$.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1867 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507745880375296 |
|---|---|
| author | Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. |
| author_facet | Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. |
| author_sort | Myronyuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:15Z |
| description | We establish exact-order estimates for the Kolmogorov widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of many variables in the spaces $L_q,\; 1 \leq q \leq \infty$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Миронюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
We establish exact-order estimates for the Kolmogorov widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of
many variables in the spaces Lq, 1 \leq q \leq \infty .
Установлены точные по порядку оценки колмогоровских поперечников анизотропных классов Бесова периодиче-
ских функций многих переменных в пространствах Lq, 1 \leq q \leq \infty .
Дану роботу присвячено дослiдженню наближення анiзотропних класiв Бєсова \BbbB \bfitR
p,\theta перiоди-
чних функцiй багатьох змiнних у просторах Lq для деяких спiввiдношень мiж параметрами p
та q. Роль апроксимативної характеристики вiдiграє колмогоровський поперечник.
Робота складається iз трьох пунктiв. У першому та другому пунктах означено основнi
задiянi об’єкти (функцiональнi простори, вiдповiднi їм функцiональнi класи та апроксиматив-
нi характеристики), а також наведено необхiднi допомiжнi твердження. Основний результат
роботи сформульовано та доведено у третьому пунктi.
1. Функцiональнi простори та класи. Нехай \BbbR d, d \geq 1, позначає d-вимiрний евклiдiв про-
стiр точок \bfitx = (x1, . . . , xd) з дiйсними координатами, i Lp = Lp(\pi d) — простiр 2\pi -перiодичних
по кожнiй змiннiй i сумовних у степенi p, 1 \leq p < \infty , на кубi \pi d =
\prod d
j=1[0, 2\pi ) (вiдповiд-
но суттєво обмежених при p = \infty ) функцiй f(\bfitx ) = f(x1, . . . , xd). Норма у цьому просторi
визначається таким чином:
\| f\| p =
\left\{
\biggl(
1
(2\pi )d
\int
\pi d
| f(\bfitx )| pd\bfitx
\biggr) 1/p
, 1 \leq p < \infty ,
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfitx \in \pi d
| f(\bfitx )| , p = \infty .
Для функцiї f \in Lp в точцi \bfitx означимо кратну рiзницю \Delta l
h,jf(\bfitx ) порядку l \in \BbbN за змiнною
xj з кроком h \in \BbbR згiдно з формулою
\Delta l
h,jf(\bfitx ) =
l\sum
k=0
( - 1)k+lCk
l f(\bfitx + kh\bfite \bfitj ),
де Ck
l — бiномiальнi коефiцiєнти, \{ \bfite \bfitj \} dj=1 — стандартний векторний базис у просторi \BbbR d.
Базуючись на поняттi кратної рiзницi \Delta l
h,jf, означимо вiдповiдний модуль неперервностi
l-го порядку функцiї f \in Lp за змiнною xj згiдно з формулою
\omega l(f, \bfite \bfitj , t)p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Delta l
h,jf
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
.
Означення 1. Нехай \bfitl = (l1, . . . , ld) \in \BbbN d, \bfitR = (r1, . . . , rd) \in \BbbR d i 0 < rj < lj , j = 1, d.
Тодi нормований простiр B\bfitR
p, \theta , 1 \leq p, \theta \leq \infty , визначається таким чином:
B\bfitR
p,\theta =
\left\{ f \in Lp : \| f\| B\bfitR
p,\theta
= \| f\| p +
d\sum
j=1
| f |
B
rj
p,\theta ,j
< \infty
\right\} ,
c\bigcirc В. В. МИРОНЮК, 2016
634 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА . . . 635
де
| f |
B
rj
p,\theta ,j
=
\left\{
\Biggl( \int +\infty
0
\biggl(
\omega lj (f, \bfite \bfitj , t)p
trj
\biggr) \theta
dt
t
\Biggr) 1/\theta
, 1 \leq \theta < \infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t>0
\omega lj (f, \bfite \bfitj , t)p
trj
, \theta = \infty .
Простори B\bfitR
p,\theta (а також їхнi аналоги в неперiодичному випадку), з дещо iншою заданою у
них нормою, вперше було розглянуто О. В. Бєсовим [1]. У випадку \theta = \infty вони збiгаються з
просторами H\bfitR
p , якi увiв С. М. Нiкольський [2]. Такi функцiональнi простори прийнято нази-
вати анiзотропними, оскiльки гладкiснi властивостi функцiй iз цих просторiв, взагалi кажучи,
неоднаковi по кожнiй змiннiй. Якщо ж \bfitR = (r, . . . , r) \in \BbbR d i 0 < r < l, l \in \BbbN , то B\bfitR
p,\theta
називають iзотропними просторами Нiкольського – Бєсова (далi будемо позначати їх Br
p,\theta ).
Для вектора \bfitR iз означених вище просторiв B\bfitR
p,\theta покладемо
g(\bfitR ) =
\left( d\sum
j=1
1
rj
\right) - 1
,
\bfitrho =
g(\bfitR )
\bfitR
=
\biggl(
g(\bfitR )
r1
, . . . ,
g(\bfitR )
rd
\biggr)
= (\rho 1, . . . , \rho d),
2\bfitrho n = (2\rho 1n, . . . , 2\rho dn), n \in \BbbZ +,
[2\bfitrho n] = ([2\rho 1n], . . . , [2\rho dn]) ,
де запис [a] позначає цiлу частину числа a \in \BbbR .
Пiд поняттям „класи \BbbB \bfitR
p,\theta ” будемо розумiти одиничнi кулi у просторах B\bfitR
p,\theta , тобто
\BbbB \bfitR
p,\theta =
\Bigl\{
f \in Lp : \| f\| B\bfitR
p,\theta
\leq 1
\Bigr\}
.
Вiдповiдно одиничнi кулi у просторах H\bfitR
p та Br
p,\theta позначатимемо \BbbH \bfitR
p та \BbbB r
p,\theta .
Далi запис A \asymp B означає, що iснують додатнi сталi C1 та C2, якi не залежать вiд одного
iстотного по контексту параметра у величинах A та B (наприклад, у наведеному нижче спiв-
вiдношеннi (1) — вiд функцiї f ) i такi, що C1A \leq B \leq C2A. Якщо B \leq C2A (B \geq C1A), то
пишемо B \ll A (B \gg A).
У наведених нижче мiркуваннях нам буде зручно використовувати еквiвалентне означення
норми функцiй iз просторiв B\bfitR
p,\theta .
Отже, нехай Vn, n \in \BbbN , позначає одновимiрне ядро Валле Пуссена:
Vn(t) = 1 + 2
n\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ 2
2n - 1\sum
k=n+1
2m - k
m
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt, t \in \BbbR .
Тодi в точцi \bfitx \in \BbbR d означимо багатовимiрне ядро Валле Пуссена V\bfitN (\bfitx ), \bfitN \in \BbbN d, згiдно з
формулою
V\bfitN (\bfitx ) =
d\prod
j=1
VNj (xj).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
636 В. В. МИРОНЮК
Далi через \BbbV \bfitN (f) позначатимемо згортку функцiї f \in Lp, 1 \leq p \leq \infty , з багатовимiрним ядром
V\bfitN , тобто
\BbbV \bfitN (f,\bfitx ) = (f \ast V\bfitN ) (\bfitx ) =
1
(2\pi )d
\int
\pi d
f(\bfitt )V\bfitN (\bfitx - \bfitt )d\bfitt ,
i для функцiї f \in Lp, 1 \leq p \leq \infty , покладемо
\sigma 0(f,\bfitR ,\bfitx ) = \BbbV 1(f,\bfitx ), \sigma s(f,\bfitR ,\bfitx ) = \BbbV [2\bfitrho s](f,\bfitx ) - \BbbV [2\bfitrho (s - 1)](f,\bfitx ), s \in \BbbN .
В прийнятих позначеннях простори B\bfitR
p,\theta можна означити еквiвалентним чином. А саме,
має мiсце таке твердження.
Теорема А [3]. Функцiя f належить простору B\bfitR
p,\theta , 1 \leq p \leq \infty , 1 \leq \theta < \infty , тодi i
тiльки тодi, коли \Biggl( \infty \sum
s=0
2sg(\bfitR )\theta \| \sigma s(f,\bfitR )\| \theta p
\Biggr) 1/\theta
< \infty ,
до того ж
\| f\| B\bfitR
p,\theta
\asymp
\Biggl( \infty \sum
s=0
2sg(\bfitR )\theta \| \sigma s(f,\bfitR )\| \theta p
\Biggr) 1/\theta
. (1)
Вiдповiдно функцiя f належить простору B\bfitR
p,\infty , 1 \leq p \leq \infty , тодi i тiльки тодi, коли
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbZ +
2sg(\bfitR )\| \sigma s(f,\bfitR )\| p < \infty ,
до того ж
\| f\| B\bfitR
p,\infty
\asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbZ +
2sg(\bfitR )\| \sigma s(f,\bfitR )\| p.
Зазначимо, що з урахуванням нерiвностей
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbZ +
| \nu s| \leq
\Biggl( \infty \sum
s=0
| \nu s| \theta
\prime
\Biggr) 1/\theta \prime
\leq
\Biggl( \infty \sum
s=0
| \nu s| \theta
\Biggr) 1/\theta
, 1 \leq \theta < \theta \prime < \infty ,
якi виконується для будь-якої послiдовностi чисел \{ \nu s\} \infty s=0 (див., наприклад, [4, c. 149]), iз
теореми А випливають вкладення
B\bfitR
p,1 \subset B\bfitR
p,\theta \subset B\bfitR
p,\theta \prime \subset B\bfitR
p,\infty \equiv H\bfitR
p , 1 < \theta < \theta \prime < \infty . (2)
2. Апроксимативнi характеристики та допомiжнi твердження. У цьому пунктi наведемо
означення апроксимативних характеристик, що дослiджуються у роботi, а також сформулюємо
кiлька допомiжних тверджень, якi знадобляться нам при доведеннi отриманого результату.
Нехай \scrX — нормований простiр, \scrL m(\scrX ) — сукупнiсть усiх лiнiйних пiдпросторiв \scrX роз-
мiрностi не бiльшої за m i \Phi — центрально-симетрична пiдмножина в \scrX .
Означення 2. Колмогоровським поперечником множини \Phi у просторi \scrX називається ве-
личина
dm(\Phi ,\scrX ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Lm\in Lm(\scrX )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \Phi
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in Lm
\| f - u\| \scrX .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА . . . 637
Поперечник dm(\Phi ,\scrX ) було введено у 1936 р. А. М. Колмогоровим [5]. Значення цiєї ве-
личини є теоретично найкращою точнiстю, з якою можна наблизити множину \Phi лiнiйними
пiдпросторами Lm розмiрностi m у метрицi простору \scrX . Якщо iснує пiдпростiр L\ast
m, на яко-
му досягається точна нижня межа (або принаймнi її порядок вiдносно параметра m), то його
називають екстремальним пiдпростором.
Для вектора \bfitN = (N1, . . . , Nd) \in \BbbN d розглянемо множини
\scrK (\bfitN , d) =
\Bigl\{
\bfitk = (k1, . . . , kd) \in \BbbZ d : | kj | \leqslant Nj , j = 1, d
\Bigr\}
i
T (\bfitN , d) =
\left\{ g : g(\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in \scrK (\bfitN ,d)
c\bfitk e
i(\bfitk ,\bfitx ), c\bfitk \in \BbbC ,\bfitx \in \BbbR d
\right\} ,
де (\bfitk ,\bfitx ) = k1x1 + . . .+ kdxd.
Якщо \BbbF \subset Lq, 1 \leq q \leq \infty , — деякий функцiональний клас, то покладемо
E\bfitN (\BbbF )q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbF
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
g\in T(\bfitN ,d)
\| f - g\| q.
Теорема Б (див., наприклад, [4, с. 33]). Для функцiй \varphi \in L1 i f \in Lp, 1 \leq p \leq \infty , має
мiсце нерiвнiсть
\| f \ast \varphi \| p \leq \| \varphi \| 1\| f\| p, (3)
де
(f \ast \varphi )(\bfitx ) = 1
(2\pi )d
\int
\pi d
f(\bfitt )\varphi (\bfitt - \bfitx )d\bfitt
— згортка функцiй f i \varphi .
Теорема В [4, c. 159]. Якщо 1 \leq p \leq q \leq \infty , то для довiльного тригонометричного
полiнома g \in T (\bfitN , d), має мiсце нерiвнiсть
\| g\| q \leq 3d
\left( d\prod
j=1
Nj
\right) 1
p
- 1
q
\| g\| p. (4)
Нерiвнiсть (4) називають нерiвнiстю рiзних метрик Нiкольського.
Теорема Г [3]. Нехай 1 \leq p, q \leq \infty i g(\bfitR ) >
\biggl(
1
p
- 1
q
\biggr)
+
. Тодi при 1 \leq \theta < \infty має мiсце
порядкова оцiнка
E[2\bfitrho n](\BbbB \bfitR
p,\theta )q \asymp 2
- n
\biggl(
g(\bfitR ) -
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr)
+
\biggr)
,
де a+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a, 0\} .
Теорема Д [3]. Нехай 1 \leq q \leq p \leq \infty i g(\bfitR ) > 0. Тодi при 1 \leq \theta < \infty має мiсце
порядкова оцiнка
dm(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq) \asymp m - g(\bfitR ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
638 В. В. МИРОНЮК
3. Колмогоровськi поперечники класiв \BbbB \bfitR
\bfitp ,\bfittheta у просторах \bfitL \bfitq .
Теорема 1. Якщо 1 < p < q \leq \infty i 1 \leq \theta < \infty , то має мiсце порядкова оцiнка
dm(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq) \asymp
\left\{
m
- g(\bfitR )+ 1
p
- 1
q при 1 < p < q \leq 2, g(\bfitR ) >
1
p
- 1
q
,
m
- g(\bfitR )+ 1
p
- 1
2 при 1 < p < 2 < q \leq \infty , g(\bfitR ) >
1
p
,
m - g(\bfitR ) при 2 \leq p < q \leq \infty , g(\bfitR ) >
1
2
.
(5)
Доведення. Внаслiдок вкладення (2) оцiнки зверху випливають iз вiдомих оцiнок колмого-
ровських поперечникiв для класiв Нiкольського \BbbH \bfitR
p (див. [6], роздiл 2).
Оцiнки знизу внаслiдок вкладення (2), достатньо встановити у випадку \theta = 1, тобто для
класiв \BbbB \bfitR
p,1. В залежностi вiд того, яких значень набувають параметри p та q, розглянемо кiлька
випадкiв.
Випадок 1: 1 < p < q = 2. За заданим числом m \in \BbbN пiдберемо натуральне число n = n(m)
так, щоб виконувались спiввiдношення 2m \leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}T ([2\bfitrho n], d) i m \asymp 2n. Тодi, з одного боку,
згiдно з означенням колмогоровського поперечника
dm(\BbbB \bfitR
p,1, L2) \geq dm(\BbbB \bfitR
p,1 \cap T ([2\bfitrho n], d), L2). (6)
З iншого боку, якщо Pn — оператор ортогонального проектування на T ([2\bfitrho n], d), то для f \in
\in T ([2\bfitrho n], d) i u \in L2, з урахуванням того, що простiр L2 є гiльбертовим, маємо
\| f - Pnu\| 2 = \| Pn(f - u)\| 2 \leq \| f - u\| 2. (7)
Таким чином, беручи до уваги (6) та (7), отримуємо
dm(\BbbB \bfitR
p,1, L2) \geq dm(\BbbB \bfitR
p,1 \cap T ([2\bfitrho n], d), L2 \cap T ([2\bfitrho n], d)). (8)
Для подальшої оцiнки знизу правої частини (8) побудуємо екстремальну сiм’ю функцiй iз
\BbbB \bfitR
p,1 \cap T ([2\bfitrho n], d), тобто множину W \subset \BbbB \bfitR
p,1 \cap T ([2\bfitrho n], d) таку, що
dm(W,L2 \cap T ([2\bfitrho n], d)) \gg m
- g(\bfitR )+ 1
p
- 1
2 .
З цiєю метою покладемо
f(\bfitx ) = C32
- n
\Bigl(
g(\bfitR )+1 - 1
p
\Bigr)
D[2\bfitrho n](\bfitx ), C3 > 0,
де
D[2\bfitrho n](\bfitx ) =
d\prod
j=1
D[2\rho jn](xj) =
d\prod
j=1
\left( 1
2
+
[2\rho jn]\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kxj
\right)
— багатовимiрне ядро Дiрiхле.
Покажемо, що при деякому виборi сталої C3 > 0 функцiя f належить класу \BbbB \bfitR
p,1.
Оскiльки
\sigma s(f,\bfitR ) = f \ast
\Bigl(
V[2\bfitrho s] - V[2\bfitrho (s - 1)]
\Bigr)
,
то внаслiдок ортогональностi тригонометричної системи функцiй \sigma s(f,\bfitR ) = 0 для довiльної
функцiї f, „номери” гармонiк якої не належать множинi \scrK (2[2\bfitrho s], d) \setminus \scrK ([2\bfitrho (s - 1)], d). Звiдси,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА . . . 639
зокрема, \sigma s(f,\bfitR ) = 0 при s \geqslant n + 1. Але тодi, використовуючи спiввiдношення (1) та (3), а
також враховуючи, що (див., наприклад, [6], роздiл 1)
\| D[2\bfitrho n]\| p \asymp 2
n
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr)
, 1 < p < \infty ,
маємо
\| f\| \BbbB \bfitR
p,1
\asymp
\infty \sum
s=0
2sg(\bfitR )\| \sigma s(f,\bfitR )\| p =
n\sum
s=0
2sg(\bfitR )\| \sigma s(f,\bfitR )\| p \ll
\ll
n\sum
s=0
2(s - n)g(\bfitR )2
n
\Bigl(
1
p
- 1
\Bigr)
\| D[2\bfitrho n]\| p \asymp
n\sum
s=0
2(s - n)g(\bfitR ) = C4, C4 > 0.
Звiдси випливає, що при деякому виборi сталої C3 > 0 функцiя f належить класу \BbbB \bfitR
p,1.
Нехай, далi, Mn = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}T ([2\bfitrho n], d) — кiлькiсть елементiв множини \scrK ([2\bfitrho n], d) i \scrU = \{ uj\} Mn
j=1
— довiльна ортонормована система функцiй у просторi L2 \cap T ([2\bfitrho n], d). Тодi
ei(\bfitk ,\bfitx ) =
Mn\sum
j=1
aj\bfitk uj(\bfitx ), \bfitk \in \scrK ([2\bfitrho n], d),
i
uj(\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in \scrK ([2\bfitrho n],d)
aj\bfitk e
i(\bfitk ,\bfitx ), j = 1,Mn, (9)
де aj\bfitk — коефiцiєнти Фур’є експоненти ei(\bfitk ,\bfitx ) за системою \{ uj\} Mn
j=1, а aj\bfitk — комплексно-
спряжене до aj\bfitk число. Оскiльки система функцiй \{ ei(\bfitk ,\bfitx )\} \bfitk \in \scrK ([2\bfitrho n],d) є ортонормованою у
просторi L2, то згiдно з рiвнiстю Парсеваля iз (9) отримуємо\sum
\bfitk \in \scrK ([2\bfitrho n],d)
| aj\bfitk |
2 = 1. (10)
Розглянемо вiдхилення функцiї D[2\bfitrho n](\bfitx + \bfity ) вiд її частинної суми Фур’є порядку m за
системою \{ uj\} Mn
j=1. Маємо
Rm(\bfitx ,\bfity ) = D[2\bfitrho n](\bfitx + \bfity ) - S\scrU
mD[2\bfitrho n](\bfitx + \bfity ) =
=
\sum
\bfitk \in \scrK ([2\bfitrho n],d)
ei(\bfitk ,\bfity )
Mn\sum
j=m+1
aj\bfitk uj(\bfitx ) =
Mn\sum
j=m+1
\left( \sum
\bfitk \in \scrK ([2\bfitrho n],d)
aj\bfitk e
i(\bfitk ,\bfity )
\right) uj(\bfitx ).
Далi двiчi використовуючи рiвнiсть Парсеваля та спiввiдношення (10), одержуємо
1
(2\pi )d
\int
\pi d
\| Rm(\cdot ,\bfity )\| 22d\bfity =
1
(2\pi )d
\int
\pi d
Mn\sum
j=m+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
\bfitk \in \scrK ([2\bfitrho n],d)
aj\bfitk e
i(\bfitk ,\bfity )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
d\bfity =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
640 В. В. МИРОНЮК
=
Mn\sum
j=m+1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfitk \in \scrK ([2\bfitrho n],d)
aj\bfitk e
i(\bfitk ,\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
2
=
Mn\sum
j=m+1
\sum
\bfitk \in \scrK ([2\bfitrho n],d)
| aj\bfitk |
2 = Mn - m \geq m.
З останнього спiввiдношення, згiдно з теоремою про середнє значення визначеного iнтеграла,
випливає, що iснує принаймнi одне \bfity \ast \in \pi d таке, що
\| Rm(\cdot ,\bfity \ast )\| 2 \geq m
1
2 . (11)
Покладемо W = \{ fy\ast : fy\ast (\bfitx ) = f(\bfitx - \bfity \ast )\} .
Таким чином, використовуючи оцiнки (8) та (11), з урахуванням того, що простiр L2 є
гiльбертовим, отримуємо
dm(\BbbB \bfitR
p,1, L2) \geq dm(\BbbB \bfitR
p,1 \cap T ([2\bfitrho n], d), L2 \cap T ([2\bfitrho n], d) \gg
\gg dm(W,L2 \cap T ([2\bfitrho n], d) \gg \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ uj\} Mn
j=1
\| f(\bfitx - \bfity \ast ) - S\scrU
mf(\bfitx - \bfity \ast )\| 2 =
= 2
- n
\Bigl(
g(\bfitR )+1 - 1
p
\Bigr)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ uj\} Mn
j=1
\| Rm(\cdot ,\bfity \ast )\| 2 \geq 2
- n
\Bigl(
g(\bfitR )+1 - 1
p
\Bigr)
m
1
2 \asymp m
- g(\bfitR )+ 1
p
- 1
2 .
Випадок 2: 1 < p < q < 2. Нехай \scrU = \{ uj\} mj=1 — довiльна система функцiй в Lp i
Em(f,\scrU )q = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
cj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
m\sum
j=1
cjuj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
, cj \in \BbbC .
Розглянемо систему функцiй \scrV = \{ vj\} mj=1, де vj = \BbbV [2\bfitrho n]uj , j = 1,m, а числа m та
n пов’язанi мiж собою, як у попередньому випадку. Тодi для довiльної функцiї f \in \BbbB \bfitR
p,1 \cap
\cap T ([2\bfitrho n], d) з урахуванням (3) маємо
Em(f,\scrV )q = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
cj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
m\sum
j=1
cjvj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
cj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \BbbV [2\bfitrho n]f -
m\sum
j=1
cj\BbbV [2\bfitrho n]uj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
=
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
cj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( f -
m\sum
j=1
cjuj
\right) \ast V[2\bfitrho n]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll Em(f,\scrU )q. (12)
З iншого боку, для довiльної функцiї f \in \BbbB \bfitR
p,1 \cap \mathrm{T}([2\bfitrho n], d), використовуючи нерiвнiсть рiзних
метрик Нiкольського (4), одержуємо
Em(f,\scrV )2 \ll 2
n
\Bigl(
1
q
- 1
2
\Bigr)
Em(f,\scrV )q. (13)
Таким чином, беручи до уваги спiввiдношення (8), (12) та (13), отримуємо
dm(\BbbB \bfitR
p,1, Lq) \geq dm(\BbbB \bfitR
p,1 \cap T ([2\bfitrho n], d), Lq \cap T ([2\bfitrho n], d)) \gg
\gg 2
- n
\Bigl(
1
q
- 1
2
\Bigr)
dm(\BbbB \bfitR
p,1 \cap T ([2\bfitrho n], d), L2 \cap T ([2\bfitrho n], d)) \asymp
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА . . . 641
\asymp 2
- n
\Bigl(
1
q
- 1
2
\Bigr)
m
- g(\bfitR )+ 1
p
- 1
2 \asymp m
- g(\bfitR )+ 1
p
- 1
q .
Випадок 3: 1 < p < 2 < q \leq \infty або 2 \leq p < q \leq \infty . На пiдставi вiдомої нерiвностi
\| \cdot \| 2 \leq \| \cdot \| q з урахуванням розглянутого випадку 1 та теореми Д можемо записати
dm(\BbbB \bfitR
p,1, Lq) \geq dm(\BbbB \bfitR
p,1, L2) \asymp
\Biggl\{
m
- g(\bfitR )+ 1
p
- 1
2 , 1 < p < 2 < q \leq \infty ,
m - g(\bfitR ), 2 \leq p < q \leq \infty .
Теорему доведено.
Порiвнюючи результати теореми Г i теореми 1, отримаємо наступне твердження.
Наслiдок 1. Якщо 1 < p < q \leq 2 i g(\bfitR ) >
1
p
- 1
q
, то пiдпростiр T ([2\bfitrho n], d) є екстре-
мальним (у сенсi порядку) пiдпростором для наближення функцiй iз класiв \BbbB \bfitR
p,\theta .
Зауваження. 1. У випадку \theta = \infty , який не охоплено в теоремi 1, тобто для класiв \BbbH \bfitR
p ,
порядковi оцiнки колмогоровських поперечникiв було встановлено В. М. Темляковим [6], (роз-
дiл 2).
2. Для iзотропних класiв \BbbB r
p,\theta порядкову оцiнку (5) отримав А. С. Романюком [7].
3. Теорема 1 доповнює оцiнки колмогоровських поперечникiв класiв \BbbB \bfitR
p,\theta у просторах Lq,
якi були встановленi у роботi [3] (див. теорему Д), для iнших спiввiдношень мiж параметрами
p та q.
Лiтература
1. Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и
продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – C. 42 – 81.
2. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
3. Миронюк В. В. Тригонометричнi наближення та колмогоровськi поперечники анiзотропних класiв Бєсова
перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 8. – С. 1117 – 1132.
4. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 c.
5. Kolmogoroff A. Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse // Ann. Math. – 1936. –
37, № 1. – P. 107 – 110.
6. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 272 p.
7. Романюк А. С. Билинейные приближения и колмогоровские поперечники периодических классов Бесова //
Теорiя операторiв, диференцiальнi рiвняння i теорiя функцiй: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2009. – 6, № 1. – С. 222 – 236.
Одержано 14.07.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1867 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:12Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/64/701c5796629bdae689e0befa4b322164.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18672019-12-05T09:30:15Z Kolmogorov widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of many variables Колмогоровські поперечники анізотропних класів Бєсова періодичних функцій багатьох змінних Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. We establish exact-order estimates for the Kolmogorov widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of many variables in the spaces $L_q,\; 1 \leq q \leq \infty$. Установлены точные по порядку оценки колмогоровских поперечников анизотропных классов Бесова периодических функций многих переменных в пространствах $L_q,\; 1 \leq q \leq \infty$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1867 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 5 (2016); 634-643 Український математичний журнал; Том 68 № 5 (2016); 634-643 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1867/849 Copyright (c) 2016 Myronyuk V. V. |
| spellingShingle | Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. Kolmogorov widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of many variables |
| title | Kolmogorov widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of many variables |
| title_alt | Колмогоровські поперечники анізотропних класів Бєсова періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full | Kolmogorov widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of many variables |
| title_fullStr | Kolmogorov widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of many variables |
| title_full_unstemmed | Kolmogorov widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of many variables |
| title_short | Kolmogorov widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of many variables |
| title_sort | kolmogorov widths of the anisotropic besov classes of periodic functions of many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1867 |
| work_keys_str_mv | AT myronyukvv kolmogorovwidthsoftheanisotropicbesovclassesofperiodicfunctionsofmanyvariables AT mironûkvv kolmogorovwidthsoftheanisotropicbesovclassesofperiodicfunctionsofmanyvariables AT myronyukvv kolmogorovsʹkípoperečnikianízotropnihklasívbêsovaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT mironûkvv kolmogorovsʹkípoperečnikianízotropnihklasívbêsovaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |