On the classification of functions integrable on a segment
The problem of classification of functions integrable on a segment is considered. Estimates for the integral moduli of continuity of functions from generalized Potapov’s classes are obtained.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1868 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507748000595968 |
|---|---|
| author | Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Sedunova, V. V. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Седунова, В. В. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Седунова, В. В. |
| author_facet | Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Sedunova, V. V. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Седунова, В. В. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Седунова, В. В. |
| author_sort | Motornaya, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:15Z |
| description | The problem of classification of functions integrable on a segment is considered. Estimates for the integral moduli of continuity of functions from generalized Potapov’s classes are obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
О. В. Моторная (Киев. нац. ун-т им Т. Шевченко),
В. П. Моторный (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины),
В. В. Седунова (Днепропетр. нац. ун-т им. О. Гончара)
О КЛАССИФИКАЦИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИЙ
The problem of classification of functions integrable on a segment is considered. Estimates for the integral moduli of
continuity of functions from generalized Potapov’s classes are obtained.
Розглянуто питання класифiкацiї интегровних на сегментi функцiй. Отримано оцiнки iнтегральних модулiв непере-
рвностi функцiй з класу, що є узагальненням класу М. К. Потапова.
Известно, что если функция f принадлежит пространству Lp
[ - 1;1], 1 \leq p < \infty , то величина
1 - u\int
- 1
| f(x+ u) - f(x)| pdx, 0 < u \leq 2, (1)
стремится к нулю при u \rightarrow 0. Это свойство называется непрерывностью функции в среднем,
и, в частности, используется для классификации интегрируемых функций. Наиболее известная
классификация принадлежит С. М. Никольскому, — функция f \in H\alpha
P , 0 < \alpha \leq 1, если выпол-
няется условие \omega (f, h)p \leq h\alpha , где \omega (f, h)p — интегральный модуль непрерывности функции f,
определяющийся равенством
\omega (f, h)p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<u\leq h
\left\{
1 - u\int
- 1
| f(x+ u) - f(x)| pdx
\right\}
1/p
, 0 < h < 2.
Классы H\alpha
P называются H-классами Никольского [1, с. 64]. В работах М. К. Потапова [1,
2] для классификации интегрируемых на сегменте [ - 1, 1] функций выбрана величина\left\{
1\int
- 1
| f(x
\surd
1 - h2 - h
\surd
1 - x2) - f(x)| p
(
\surd
1 - x2 + | h| )\beta p
dx
\right\}
1/p
, (2)
где | h| \leq 1, 0 \leq \beta \leq 1, с помощью которой определены классы Потапова A\beta ,\alpha
p : функция
f \in Lp
[ - 1;1], 1 \leq p \leq \infty , принадлежит классу A\beta ,\alpha
p , если выполняется условие\left\{
1\int
- 1
| f(x
\surd
1 - h2 - h
\surd
1 - x2) - f(x)| p
(
\surd
1 - x2 + | h| )\beta p
dx
\right\}
1/p
\leq | h| \alpha ,
где | h| \leq 1, \alpha < 1. В случае \alpha = \beta класс A\alpha ,\alpha
p будем обозначать через A\alpha
p . В отличие от
интеграла (1) величина (2) может для некоторых функций из пространства Lp
[ - 1;1], 1 \leq p < \infty ,
не существовать, точнее, функция f(x
\surd
1 - h2 - h
\surd
1 - x2) может оказаться неинтегрируемой.
Имеет место следующая теорема.
c\bigcirc О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ, В. В. СЕДУНОВА, 2016
642 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
О КЛАССИФИКАЦИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИЙ 643
Теорема 1. Для того чтобы функция f(x
\surd
1 - h2 - h
\surd
1 - x2) была интегрируемой, необ-
ходимо и достаточно, чтобы существовал интеграл
1\int
- 1
| f(x)| p dx\surd
1 - x2
. (3)
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) такова, что существует интеграл
1\int
- 1
| f(x
\sqrt{}
1 - h2 - h
\sqrt{}
1 - x2)| pdx.
Полагая x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t, t \in [0;\pi ] и h = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v, v \in [ - \pi /2;\pi /2], убеждаемся в существованиир
интеграла
\int \pi
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+v)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt. Пусть v \in (0;\pi /2). Поскольку на интервале (\pi /2 - v;\pi - v)
функция \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \geq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi /2 - v)\} , существует интеграл
\pi - v\int
\pi /2 - v
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v)| p dt.
Выполняя в этом интеграле сначала замену переменной t+ v = u, а затем \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u = x, получаем
интеграл
0\int
- 1
| f(x)| p dx\surd
1 - x2
.
Аналогично, если v \in ( - \pi /2; 0), то существует интеграл
\pi /2 - v\int
- v
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v)| pdt.
Выполнив в последнем интеграле замену переменной \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v) = x, получим
\pi /2 - v\int
- v
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v)| p dt =
1\int
0
| f(x)| p dx\surd
1 - x2
.
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть интеграл (3) существует. Полагая x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t и используя свойства
интеграла от периодических четных функций, получаем
1\int
- 1
| f(x)| p dx\surd
1 - x2
=
\pi \int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)| pdt = 1
2
\pi \int
- \pi
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)| pdt = 1
2
\pi \int
- \pi
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v))| pdt \geq
\geq 1
2
\pi \int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v))| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt = 1
2
1\int
- 1
| f(x
\sqrt{}
1 - h2 - h
\sqrt{}
1 - x2)| pdx,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
644 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ, В. В. СЕДУНОВА
где x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t, h = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v, v \in [ - \pi /2;\pi /2].
Теорема доказана.
Таким образом, если f \in A\alpha
p , то необходимо, чтобы существовал интеграл (3).
Обозначим через A\omega
p класс функций, для которых интеграл (3) существует и выполняется
условие \left\{
1\int
- 1
| f(x
\surd
1 - h2 - h
\surd
1 - x2) - f(x)| p
\omega p(
\surd
1 - x2| h| + h2)
dx
\right\}
1/p
\leq 1, (4)
где 0 < | h| \leq 1, \omega (h) — заданный модуль непрерывности. Будем предполагать, что
\omega (t)
t
не
возрастает, ибо в противном случае модуль непрерывности \omega (t) можно заменить [3, с. 112]
модулем непрерывности
\omega \star (t) = t \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<x\leq t
\omega (x)
x
,
для которого величина
\omega \star (t)
t
не возрастает и, в силу неравенств
\omega \star (t) \leq \omega (t) \leq 2\omega \star (t),
имеет тот же порядок стремления к нулю при t \rightarrow 0, что и \omega (t). Для \omega (t) = t\alpha , 0 < \alpha < 1,
класс A\omega
p совпадает с классом A\alpha
p , 0 < \alpha < 1, М. К. Потапова. Известны и другие способы
классификации интегрируемых на отрезке функций (см., например, [4]).
Полагая x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t, t \in [0;\pi ] и h = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v, v \in [ - \pi /2;\pi /2], условие (4) можно представить в
виде \left\{
\pi \int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)| p
\omega p(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v| + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 v)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt
\right\}
1/p
\leq 1,
и, так как | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v| \leq | v| , для любой функции из класса A\omega
p и h \geq | v| имеет место неравенство\left\{
\pi \int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)| p
\omega p(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t h+ h2)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt
\right\}
1/p
\leq 1, (5)
Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.
Теорема 2. Для любой функции f \in A\omega
p имеет место неравенство
\omega (f ;h)p \leq C\omega (h) \mathrm{l}\mathrm{n}1/p
2
h
, 0 < h \leq 1, (6)
где C — некоторая константа.
Замечание 1. Здесь и в дальнейшем буквой C будем обозначать абсолютные константы.
При этом в разных формулах они могут иметь разные значения.
Замечание 2. Теорема 2 в случае \omega (t) = t\alpha , 0 < \alpha < 1, анонсирована в работе [5].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
О КЛАССИФИКАЦИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИЙ 645
Замечание 3. В работе [6, с. 882 – 884] для любого h \in (0; 1) построена такая функция
\phi h(x) \in A\alpha
p , 0 < \alpha < 1, что
1 - h\int
- 1
| \phi h(x+ h) - \phi h(x)| pdx > C\alpha h
p\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}
2
h
,
где C\alpha — некоторая величина, зависящая от \alpha . При этом, если 0 < \alpha \leq \gamma < 1, существует такая
величина d\gamma > 0, что C\alpha \geq d\gamma . Поэтому для всех модулей непрерывности \omega (t) и функций
f \in A\omega
p в правой части неравенства (6) \mathrm{l}\mathrm{n}
2
| h|
опустить нельзя.
Чтобы доказать теорему 2, рассмотрим некоторые вспомогательные понятия и утверждения.
Пусть n = 22k0 , где k0 — натуральное число; hk =
\pi \surd
n2k
, k = 1, 2, . . . , k0; Sk = \{ tki \}
\surd
n2k
i=0 ,
k = 2, 3, . . . , k0, где tki =
\biggl\{
\pi i\surd
n2k
\biggr\}
. Далее рассмотрим точки z0 = 0, z1 =
\pi
4
\surd
n
, zk =
= zk - 1+ jkhk, где натуральное число jk выбрано так, что \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} zk \leq 2k\pi
4
\surd
n
и \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(zk +hk) >
2k\pi
4
\surd
n
,
k = 2, 3, . . . , k0. Вместе с точками zk будем рассматривать точки, симметричные точкам zk
относительно \pi /2, т. е. точки \pi - zk. Положим ak = - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} zk, k = 1, 2, . . . , k0, a - k = - ak,
k = 1, 2, . . . , k0, и, наконец, xki = - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tki . Будем использовать следующие свойства выбранных
точек.
Свойство 1. Расстояние между точками zk и zk+1 не меньше 2hk+1, т. е. jk \geq 2 для любого
k = 1, 2, . . . , k0 - 1.
Из неравенств
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(zk + 2hk+1) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(zk + hk) < \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} zk + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}hk <
2k\pi
4
\surd
n
+
\pi \surd
n2k
\leq 2k+1\pi
4
\surd
n
следует, что либо zk+1 = zk + 2hk+1, либо zk+1 > zk + 2hk+1.
Свойство 2. Точки zk и \pi - zk принадлежат множеству Sk.
Это свойство очевидно.
Свойство 3. Для любого k = 1, 2, . . . , k0 имеет место неравенство
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} zk - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(zk + hk+1) >
1
2n
и, следовательно, расстояние между любыми соседними точками xk+1
i , попавших в сегмент
[zk; zk+1], больше
1
2n
.
Действительно, так как jk \geq 2, то
zk = zk - 1 + jkhk \geq zk - 1 + 2hk = zk - 1 + hk - 1
и следовательно,
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} zk \geq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(zk - 1 + hk - 1) >
2k - 1\pi
4
\surd
n
.
Поэтому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
646 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ, В. В. СЕДУНОВА
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} zk - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(zk + hk+1) > hk+1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} zk >
\pi 2
16n
>
1
2n
.
Пусть для любого k = 2, 3, . . . , k0
\rho hk
(t) =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\omega p(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} thk + h2k)
, t \in [0;\pi ],
\phi hk
(t) =
1
hk
t+hk\int
t
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du, t \in [0;\pi - hk].
Интеграл существует, так как сходится интеграл (3).
Лемма 1. Для любой функции f \in A\omega
p и k = 2, 3, . . . , k0 выполняется неравенство
I1 =
\pi - hk\int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - \phi hk
(t)| p\rho hk
(t)dt \leq 1.
Доказательство. Представляя функцию \phi hk
(t) в виде
\phi hk
(t) =
1
hk
hk\int
0
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ t)) du
и полагая p > 1, получаем
I1 =
\pi - hk\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - 1
hk
hk\int
0
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ t)) du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
\rho hk
(t) dt =
=
1
hpk
\pi - hk\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
hk\int
0
[f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ t))] du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
\rho hk
(t) dt.
Сначала к внутреннему интегралу применим неравенство Гельдера, а затем поменяем порядок
интегрирования:
I1 \leq
1
hk
hk\int
0
\pi \int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ t))| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\omega p(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t hk + h2k)
dt du \leq 1.
Если p = 1, то доказательство упрощается — нет необходимости применять неравенство Гель-
дера.
Пусть f \in A\omega
p , Lk
i =
1
hk
\int tki+1
tki
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du. Положим \Phi k(t) = Lk
i , t \in [tki ; t
k
i+1), i =
= 1, 2, . . . , 2k
\surd
n - 2, и \Phi k(t) =
1
hk
\int 2hk
hk
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du, t \in [0, hk], \Phi k(t) =
1
hk
\int \pi - hk
\pi - 2hk
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du,
t \in [\pi - hk, \pi ], k = 2, 3, . . . , k0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
О КЛАССИФИКАЦИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИЙ 647
Лемма 2. Для любой функции f \in A\omega
p и k = 2, 3, . . . , k0 выполняется неравенство
I2 =
\pi - hk\int
hk
| \phi hk
(t) - \Phi k(t)| p\rho hk
(t)dt \leq 2p+1. (7)
Доказательство. В случае p > 1, применяя неравенство Гельдера, получаем
I2 =
1
hpk
2k
\surd
n - 2\sum
i=1
tki+1\int
tki
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t+hk\int
t
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du -
tki+1\int
tki
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
\rho hk
(t)dt =
=
1
hpk
2k
\surd
n - 2\sum
i=1
tki+1\int
tki
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t+hk\int
tki+1
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du -
t\int
tki
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
\rho hk
(t)dt =
=
1
hpk
2k
\surd
n - 2\sum
i=1
tki+1\int
tki
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
tki
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk))du -
t\int
tki
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
\rho hk
(t)dt \leq
\leq 1
hpk
2k
\surd
n - 2\sum
i=1
tki+1\int
tki
\left[
tki+1\int
tki
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| du
\right]
p
\rho hk
(t)dt \leq
\leq 1
hk
2k
\surd
n - 2\sum
i=1
tki+1\int
tki
tki+1\int
tki
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| pdu\rho hk
(t)dt = I3. (8)
Продолжим доказательство при условии, что сегмент [tki ; t
k
i+1] находится на сегменте [0;\pi /2]
(в случае, когда сегмент [tki ; t
k
i+1] находится на сегменте [\pi /2;\pi ], рассуждения аналогичны). В
этом случае воспользуемся неравенствами
1 \leq \rho hk
(u)
\omega p(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tki+1 hk + h2k)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tki
, (9)
tki+1\int
tki
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\omega p(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t hk + h2k)
dt \leq hk
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tki+1
\omega p(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tki hk + h2k)
, (10)
\omega (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tki+1 hk + h2k)
\omega (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tki hk + h2k)
\leq 2. (11)
Неравенство (9) является следствием возрастания \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t на сегменте [0;\pi /2] и монотонности
модуля непрерывности. По тем же причинам имеет место неравенство (10). Неравенство (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
648 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ, В. В. СЕДУНОВА
следует из того, что
\omega (t)
t
не возрастает и из того, что
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tki+1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tki
< 2, если [tki ; t
k
i+1] находится на
сегменте [0;\pi /2]. Чтобы оценить I3, используя неравенство (9), проинтегрируем по переменной
u, а затем, учитывая неравенство (10), по переменной t. Наконец, применяя неравенство (11),
получаем
I3 \leq 2p+1
2k
\surd
n - 2\sum
i=1
tki+1\int
tki
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| p\rho hk
(u)du \leq
\leq
\pi \int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| p
\omega p(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}uhk + h2k)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}udu \leq 2p+1. (12)
Из (8) и (12) следует (7). Если p = 1, то доказательство упрощается — нет необходимости
применять неравенство Гельдера.
Лемма 3. Для любой функции f \in A\omega
p и k = 2, 3, . . . , k0 выполняется неравенство
I4 =
\left\{
\pi - hk\int
hk
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - \Phi k(t)| p\rho hk
(t)dt
\right\}
1/p
\leq 21+1/p + 1. (13)
Доказательство. Применяя неравенство Минковского и леммы 1, 2, имеем
I4 =
\left\{
\pi - hk\int
hk
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - \phi k(t) + \phi k(t) - \Phi k(t)| p\rho hk
(t)dt
\right\}
1/p
\leq
\leq
\left\{
\pi - hk\int
hk
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - \phi k(t)| p\rho hk
(t)dt
\right\}
1/p
+
+
\left\{
\pi - hk\int
hk
| \phi k(t) - \Phi k(t)| p\rho hk
(t)dt
\right\}
1/p
\leq 21+1/p + 1.
В случае весовой функции, равной 1, леммы 1, 2 получены в работе [7], лемма 3 установлена
в [5, 8], а леммы 1 – 3 с некоторой интегрируемой весовой функцией доказаны в [9].
Пусть Ek = [zk - 1; zk) \cup (\pi - zk;\pi - zk - 1], k = 1, 2, . . . , k0 - 1, Ek0 = [zk0 - 1;\pi - zk0 - 1).
Следствие 1. Для любой функции f \in A\omega
p и k = 2, 3, . . . , k0выполняется неравенство\left\{
\int
Ek
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - \Phi k(t)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt
\right\}
1/p
\leq C\omega
\biggl(
1
n
\biggr)
. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
О КЛАССИФИКАЦИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИЙ 649
Доказательство. Для k = 2, 3, . . . , k0 - 1, используя (13), получаем
21+1/p + 1 \geq
\left\{
\pi - hk\int
hk
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - \Phi k(t)| p\rho hk
(t)dt
\right\}
1/p
\geq
\geq
\left\{
\int
Ek
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - \Phi k(t)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt
\omega p(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t hk + h2k)
\right\}
1/p
\geq
\geq
\left\{
\int
Ek
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - \Phi k(t)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt
\right\}
1/p
1
\omega (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} zk hk + h2k)
. (15)
В силу свойств точек zk и чисел hk имеем \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} zk hk +h2k \leq \pi 2/2n. Аналогично, если k = k0, то\left\{
\int
Ek0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - \Phi k0(t)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt
\right\}
1/p
\leq C\omega (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} zk0 hk0 + h2k0). (16)
Из неравенств (15), (16) следует (14).
Лемма 4. Пусть [a; b] \subset [0;\pi ] и | v| \leq h. Для любой функции f \in A\omega
p выполняется нера-
венство
b\int
a
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt \leq \omega p(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t0 h+ h2),
где t0 — точка сегмента [a; b], в которой функция \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t достигает наибольшего значения. В
частности, если [a; b] = [0;h2], 0 < v \leq 2h2, то
h2\int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt \leq C\omega p
\biggl(
1
n
\biggr)
. (17)
Аналогично, если [a; b] = [\pi - h2;\pi ], 0 < v \leq 2h2, то
\pi \int
\pi - h2
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt \leq C\omega p
\biggl(
1
n
\biggr)
. (18)
Доказательство. Воспользуемся неравенством (5):
1 \geq
\pi \int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)| p
\omega p(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t h+ h2)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt \geq
\int b
a
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt
\omega p(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t0 h+ h2)
.
В частности, если [a; b] = [0;h2], 0 < v \leq 2h2, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
650 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ, В. В. СЕДУНОВА
h2\int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+ v)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt \leq \omega p(2h2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}h2 + 4h22) \leq C\omega p
\biggl(
1
n
\biggr)
.
Неравенство (17) доказано, аналогично получаем неравенство (18).
Лемма доказана.
Лемма 5. Для любой функции f \in A\omega
p выполняется неравенство
I5 =
h2\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - 1
h2
2h2\int
h2
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)dz
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ydy \leq C\omega p
\biggl(
1
n
\biggr)
.
Доказательство. Выполнив замену переменной u = z + h2, представим I5 в виде
I5 =
1
hp2
h2\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
h2\int
0
[f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(z + h2))]dz
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ydy,
а затем к внутреннему интегралу применим неравенство Гельдера, положим x = u + y и
поменяем порядок интегрирования:
I5 \leq
1
hp2
h
p/q
2
h2\int
0
h2 - y\int
- y
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ y + h2))| pdu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ydy =
=
1
h2
0\int
- h2
h2\int
- u
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ y + h2))| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ydydu+
+
1
h2
h2\int
0
h2 - u\int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ y + h2))| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ydydu.
В первом интеграле положим - v = u. Тогда
I5 \leq
1
h2
h2\int
0
h2\int
v
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y - v + h2))| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ydydv+
+
1
h2
h2\int
0
h2 - u\int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ y + h2))| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ydydu.
Применяя лемму 4 и учитывая значение числа h2 и свойства модуля непрерывности, получаем
I5 \leq \omega (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}h2 h2 + h22) + \omega (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}h2 2h2 + 4h22) \leq C\omega p
\biggl(
1
n
\biggr)
.
Аналогично доказывается следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
О КЛАССИФИКАЦИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИЙ 651
Лемма 6. Для любой функции f \in A\omega
p , n = 22k0 , выполняется неравенство
\pi \int
\pi - h2
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - 1
h2
\pi - h2\int
\pi - 2h2
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)dz| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ydy \leq C\omega p
\biggl(
1
n
\biggr)
.
Определим на сегменте [ - 1, 1] кусочно-постоянную функцию Fn(x) равенством Fn(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) =
= \Phi k(y), если y \in Ek, k = 2, 3, . . . , k0, и положим Fn(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) = \Phi 2(y), если y \in E1.
Лемма 7. Для любой функции f \in A\omega
p выполняется неравенство\left\{
1\int
- 1
| f(x) - Fn(x)| pdx
\right\}
1/p
\leq C\omega
\biggl(
1
n
\biggr)
\mathrm{l}\mathrm{n}1/p n. (19)
Доказательство. Сделав замену переменной x = - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y, представим интеграл, стоящий в
левой части неравенства (24) в виде
\pi \int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - Fn( - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ydy =
k0\sum
k=2
\int
Ek
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - \Phi k(y)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ydy+
+
h2\int
0
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - 1
h2
2h2\int
h2
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)dz| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ydy+
+
\pi \int
\pi - h2
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - 1
h2
\pi - h2\int
\pi - 2h2
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)dz| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ydy.
В силу следствия 1 каждое слагаемое суммы не превышает C\omega p
\biggl(
1
n
\biggr)
, а последние два
интеграла, благодаря леммам 5, 6, также не превышают C\omega p(1/n), где C — некоторая константа.
Следствие 2. Для любой функции f \in A\omega
p выполняется неравенство\left\{
1 - h\int
- 1
| f(x+ h) - Fn(x+ h)| pdx
\right\}
1/p
\leq C\omega
\biggl(
1
n
\biggr)
\mathrm{l}\mathrm{n}1/p n. (20)
Неравенство (20) непосредственно следует из (19).
Лемма 8 [10, с. 136]. Для любой функции f \in A\omega
p имеет место неравенство
I6 =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
hk+1
zk+hk+1\int
zk
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du - 1
hk
zk\int
zk - hk
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 1
hk+1
zk\int
zk - hk
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk+1) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| du.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
652 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ, В. В. СЕДУНОВА
Доказательство. Используя аддитивность интеграла и выполня соответствующую замену
переменной, получаем
I6 =
1
hk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
zk+hk+1\int
zk
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du+
zk+hk+1\int
zk
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du -
-
zk - hk+1\int
zk - hk
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du -
zk\int
zk - hk+1
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
1
hk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
zk\int
zk - hk+1
[f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk+1)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)]du+
+
zk - hk+1\int
zk - hk
[f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk+1))+
+f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk+1) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)]du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
1
hk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
zk\int
zk - hk+1
[f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk+1)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)]du +
+
zk - hk+1\int
zk - hk
[f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk+1)) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)]du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 1
hk+1
zk\int
zk - hk
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk+1) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| du.
Аналогично доказывается следующее утверждение.
Лемма 9 [10, с. 137]. Для любой функции f \in A\omega
p имеет место неравенство\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
hk - 1
\pi - zk - 1+hk - 1\int
\pi - zk - 1
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du - 1
hk
\pi - zk - 1\int
\pi - zk - 1 - hk
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 1
hk
\pi - zk - 1+hk\int
\pi - zk - 1 - hk
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| du.
Лемма 10. Пусть 1/4n \leq h \leq 1/2n. Для любой функции f \in A\omega
p выполняется неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
О КЛАССИФИКАЦИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИЙ 653
\left\{
1 - h\int
- 1
| Fn(x+ h) - Fn(x)| pdx
\right\}
1/p
\leq C \mathrm{l}\mathrm{n}1/p n\omega
\biggl(
1
n
\biggr)
. (21)
Доказательство. Если t = 2h2 =
\pi
2
\surd
n
, n \geq 2, то из неравенства 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t >
t2
2!
- t4
4!
следует
оценка 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t >
1
n
. Поэтому длина сегмента [ - 1; - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2h2] больше
1
n
, а так как функция
функция Fn(x) равна константам на сегментах [ - 1; - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2h2] и [\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2h2; 1], то Fn(x + h) -
- Fn(x) = 0, если x \in [ - 1; - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2h2+h]\cup [\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2h2; 1 - h]. Следовательно, чтобы доказать (21),
достаточно рассмотреть интеграл
I7 =
cos 2h2\int
- cosh2
| Fn(x+ h) - Fn(x)| pdx.
Представим I7 в виде
I7 =
k0 - 1\sum
k=2
ak\int
ak - 1
| Fn(x+ h) - Fn(x)| pdx+
+
- ak0 - 1\int
ak0 - 1
| Fn(x+ h) - Fn(x)| pdx+
k0 - 1\sum
k=3
- ak - 1\int
- ak
| Fn(x+ h) - Fn(x)| pdx+
+
cos 2h2\int
- a2
| Fn(x+ h) - Fn(x)| pdx = J1 + J2 + J3 + J4.
и оценим каждый интеграл.
Для любого k = 2, 3, . . . , k0 - 1 рассмотрим интеграл группы J1:
I8 =
ak\int
ak - 1
| Fn(x+ h) - Fn(x)
pdx =
\sum
i : xk
i \in [ak - 1;ak)
xk
i+1\int
xk
i
| Fn(x+ h) - Fn(x)| pdx.
Поскольку длина сегментов [xki ;x
k
i+1], содержащихся в сегменте [ak - 1; ak], больше 1/2n, а
h \leq 1/2n, величина | Fn(x+ h) - Fn(x)| равна нулю, если точки x, x+ h находятся в сегменте
[xki ;x
k
i+1], в противном случае
| Fn(x+ h) - Fn(x)| =
1
hk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
tki+2\int
tki+1
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du -
tki+1\int
tki
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (22)
если zk - 1 < tki+1 < zk, и в силу леммы 8
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
654 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ, В. В. СЕДУНОВА
| Fn(x+ h) - Fn(x)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
hk+1
zk+hk+1\int
zk
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du - 1
hk
zk\int
zk - hk
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 1
hk+1
zk\int
zk - hk
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk+1) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| du, (23)
если tki+1 = zk. Оценка интеграла I8 только усилится, если будем считать, что для величины
| Fn(x+ h) - Fn(x)| выполняются соотношения (22), (23) если tki+1 \in (zk - 1; zk]. Тогда
xk
i+1\int
xk
i
| Fn(x+ h) - Fn(x)| pdx \leq (xki+1 - xki )
1
hpk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
tki+1\int
tki
[f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)]du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
,
если ak - 1 < xki+1 < ak, и
ak\int
- cos(zk - hk)
| Fn(x+ h) - Fn(x)| pdx \leq
\leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(zk - hk) - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} zk
hpk+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
zk\int
zk - hk
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk+1) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
,
если xki+1 = ak.
Используя оценки xki+1 - xki < hk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(i+1/2)hk = hk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t
k
i +hk/2), \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(zk - hk) - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} zk <
< hk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(zk - hk/2) и неравенство Гельдера, получаем
I8 \leq
\sum
i : zk - 1<tki+1<zk
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(tki + hk/2)
tki+1\int
tki
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u| pdu+ 2p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(zk - hk/2)\times
\times
zk\int
zk - hk
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk+1) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| pdu.
Поскольку [zk - 1; zk] \subset [0;\pi /2], то 1 \leq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u/ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tki , если u \in [tki ; t
k
i+1], и 1 \leq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(zk - hk)
,
если u \in [zk - hk; zk]. Тогда
I8 \leq
\sum
i : zk - 1<tki+1<zk
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(tki + hk/2)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tki
tki+1\int
tki
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}udu+
+
2p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(zk - hk/2)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(zk - hk)
zk\int
zk - hk
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk+1) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}udu.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
О КЛАССИФИКАЦИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИЙ 655
Из неравенств
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(tki + hk/2)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tki
\leq 2,
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(zk - hk/2)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(zk - hk)
\leq 2 и леммы 4 следует неравенство
I8 \leq C\omega p
\biggl(
1
n
\biggr)
.
Интеграл J2 и интегралы групы J3 оцениваются аналогично, только вместо леммы 8 следует
воспользоваться леммой 9. Рассмотрим интеграл
J4 =
cos 2h2\int
- a2
| Fn(x+ h) - Fn(x)| pdx =
\sum
i : x2
i\in [ - a2;cos 2h2)
x2
i+1\int
x2
i
| Fn(x+ h) - Fn(x)| p dx.
Как и в случае интеграла I8, можно считать, что
| Fn(x+ h) - Fn(x)| =
1
h2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t2i+2\int
t2i+1
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du -
t2i+1\int
t2i
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
если x2i \leq x \leq x2i+1. Произведем в первом интеграле замену переменной u = t+ h2. Тогда
x2
i+1\int
x2
i
| Fn(x+ h) - Fn(x)| pdx = (x2i+1 - x2i )
1
hp2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t2i+1\int
t2i
[f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ h2) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)]du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
,
если - a2 < xki+1 \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2h2. Используя оценки x2i+1 - x2i < h2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t
2
i + h2/2) и неравенство
Гельдера, получаем
J4 \leq
\sum
i : 2h2<t2i+1\leq z2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t2i + h2/2)
t2i+1\int
t2i
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ hk) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| pdu.
Из неравенств 1 \leq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u/ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t2i , если u \in [t2i ; t
2
i+1] \subset [0;\pi /2], следует
J4 \leq
\sum
i : 2h2<t2i+1\leq z2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t2i + h2/2)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t2i
t2i+1\int
t2i
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ h2) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}udu.
Применяя неравенство \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t2i + h2/2)/ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
2
i < 2, лемму 4 и учитывая, что h2 = \pi /4
\surd
n, имеем
J4 \leq 2
z2\int
2h2
| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u+ h2) - f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)| p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}udu \leq C\omega p(h2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2h2 + h22) \leq C\omega p
\biggl(
1
n
\biggr)
.
Лемма 10 доказана.
Доказательство теоремы 2. Пусть f \in A\omega
p и число h удовлетворяет условию 1/4n \leq h \leq
\leq 1/2n. Тогда, применяя неравенство Минковского и неравенства (19) – (21), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
656 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ, В. В. СЕДУНОВА
\left\{
1 - h\int
- 1
| f(x+ h) - f(x)| pdx
\right\}
1/p
\leq
\left\{
1 - h\int
- 1
| f(x+ h) - Fn(x+ h)| pdx
\right\}
1/p
+
+
\left\{
1 - h\int
- 1
| Fn(x+ h) - Fn(x)| pdx
\right\}
1/p
+
\left\{
1 - h\int
- 1
| Fn(x) - f(x)| pdx
\right\}
1/p
\leq C \mathrm{l}\mathrm{n}1/p n\omega
\biggl(
1
n
\biggr)
.
Из неравенств 1/4n \leq h \leq 1/2n следует оценка
\mathrm{l}\mathrm{n}1/p n\omega (1/n) \leq C \mathrm{l}\mathrm{n}1/p
1
h
\omega (h).
Теорема 2 доказана.
Литература
1. Потапов М. К. О приближении непериодических функций алгебраическими многочленами // Вестн. Моск.
ун-та. – 1960. – № 4. – C. 14 – 25.
2. Потапов М. К. О приближении алгебраическими полиномами в метрике Lp // Исследования по современным
проблемам конструктивной теории функций. – М., 1961.
3. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. –М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
4. Ditzian Z., Totik V. Moduli of smoothness. – Berlin etc.: Springet, 1993. – 225 p.
5. Моторный В. П. Некоторые вопросы приближения функций алгебраическими многочленами в интегральной
метрике // Докл. АН СССР. – 1967. – 172, № 3. – С. 537 – 540.
6. Моторный В. П. Приближение функций алгебраическими полиномами в метрике Lp // Изв. АН СССР. Cер.
мат. – 1971. – 35, № 4. – C. 874 – 899.
7. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара // Мат. сб. – 1964. – 63, № 3. – С. 356 – 391.
8. Ульянов П. Л. Вложение некоторых классов функций H\omega
p // Изв. АН СССР, Сер. мат. – 1968. – 32, № 3. –
С. 649 – 686.
9. Гончаров С. В. О приближении функций алгебраическими полиномами в метрике Lp
\rho // Вiсн. Днiпропетр.
ун-ту. Математика. – 2009. – 17, вип. 14. – C. 48 – 59.
10. Моторний В. П., Седунова В.В. Властивостi деяких модулiв неперервностi iнтегрованих функцiй // Вiсн.
Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2013. – 21, вип. 18. – C. 132 – 140.
Получено 17.07.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1868 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:14Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/34/cfdbc74f5b0e069b6cd406fb0cf09e34.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18682019-12-05T09:30:15Z On the classification of functions integrable on a segment О классификации интегрируемых на отрезке функций Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Sedunova, V. V. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Седунова, В. В. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Седунова, В. В. The problem of classification of functions integrable on a segment is considered. Estimates for the integral moduli of continuity of functions from generalized Potapov’s classes are obtained. Розглянуто питання класифiкацiї интегровних на сегментi функцiй. Отримано оцiнки iнтегральних модулiв неперервностi функцiй з класу, що є узагальненням класу М. К. Потапова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1868 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 5 (2016); 642-656 Український математичний журнал; Том 68 № 5 (2016); 642-656 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1868/850 Copyright (c) 2016 Motornaya O. V.; Motornyi V. P.; Sedunova V. V. |
| spellingShingle | Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Sedunova, V. V. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Седунова, В. В. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Седунова, В. В. On the classification of functions integrable on a segment |
| title | On the classification of functions integrable on
a segment |
| title_alt | О классификации интегрируемых на отрезке функций |
| title_full | On the classification of functions integrable on
a segment |
| title_fullStr | On the classification of functions integrable on
a segment |
| title_full_unstemmed | On the classification of functions integrable on
a segment |
| title_short | On the classification of functions integrable on
a segment |
| title_sort | on the classification of functions integrable on
a segment |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1868 |
| work_keys_str_mv | AT motornayaov ontheclassificationoffunctionsintegrableonasegment AT motornyivp ontheclassificationoffunctionsintegrableonasegment AT sedunovavv ontheclassificationoffunctionsintegrableonasegment AT motornaâov ontheclassificationoffunctionsintegrableonasegment AT motornyjvp ontheclassificationoffunctionsintegrableonasegment AT sedunovavv ontheclassificationoffunctionsintegrableonasegment AT motornaâov ontheclassificationoffunctionsintegrableonasegment AT motornyjvp ontheclassificationoffunctionsintegrableonasegment AT sedunovavv ontheclassificationoffunctionsintegrableonasegment AT motornayaov oklassifikaciiintegriruemyhnaotrezkefunkcij AT motornyivp oklassifikaciiintegriruemyhnaotrezkefunkcij AT sedunovavv oklassifikaciiintegriruemyhnaotrezkefunkcij AT motornaâov oklassifikaciiintegriruemyhnaotrezkefunkcij AT motornyjvp oklassifikaciiintegriruemyhnaotrezkefunkcij AT sedunovavv oklassifikaciiintegriruemyhnaotrezkefunkcij AT motornaâov oklassifikaciiintegriruemyhnaotrezkefunkcij AT motornyjvp oklassifikaciiintegriruemyhnaotrezkefunkcij AT sedunovavv oklassifikaciiintegriruemyhnaotrezkefunkcij |