On the completely integrable calogero-type discretizations of Lax-integrable nonlinear dynamical systems and related coadjoint Markov-type orbits
The Calogero-type matrix discretization scheme is applied to THE construction of Lax-type integrable discretizations of one sufficiently wide class of nonlinear integrable dynamical systems on functional manifolds. Their Lie-algebraic structure and complete integrability related to the coadjoint orb...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1869 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507750762545152 |
|---|---|
| author | Prykarpatsky, A. K. Прикарпатський, А. К. |
| author_facet | Prykarpatsky, A. K. Прикарпатський, А. К. |
| author_sort | Prykarpatsky, A. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:15Z |
| description | The Calogero-type matrix discretization scheme is applied to THE construction of Lax-type integrable discretizations of one sufficiently wide class of nonlinear integrable dynamical systems on functional manifolds. Their Lie-algebraic structure
and complete integrability related to the coadjoint orbits on the Markov coalgebras is discussed. It is shown that the set of conservation laws and the associated Poisson structure can be obtained as a byproduct of the proposed approach. Based on the quasirepresentation property of Lie algebras, the limiting procedure of finding nonlinear dynamical systems on the corresponding functional spaces is demonstrated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. К. Прикарпатський (Ун-т науки i технологiй Гiрничо-металургiйної акад. м. Кракова, Польща;
Держ. пед. ун-т iм. I. Франка, Дрогобич Львiвської обл., Україна)
ПРО ЦIЛКОМ IНТЕГРОВНI ДИСКРЕТИЗАЦIЇ ТИПУ КАЛОДЖЕРО
IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ НЕЛIНIЙНИХ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ
I ПОВ’ЯЗАНI З НИМИ КОПРИЄДНАНI ОРБIТИ ТИПУ МАРКОВА*
The Calogero-type matrix discretization scheme is applied to THE construction of Lax-type integrable discretizations of
one sufficiently wide class of nonlinear integrable dynamical systems on functional manifolds. Their Lie-algebraic structure
and complete integrability related to the coadjoint orbits on the Markov coalgebras is discussed. It is shown that the set
of conservation laws and the associated Poisson structure can be obtained as a byproduct of the proposed approach. Based
on the quasirepresentation property of Lie algebras, the limiting procedure of finding nonlinear dynamical systems on the
corresponding functional spaces is demonstrated.
Схема матричной дискретизации типа Калоджеро применяется для построения интегрируемые по Лаксу дискрети-
заций одного достаточно широкого класса нелинейных интегрируемых динамических систем на функциональных
многообразиях. Исследуются их Ли-алгебраическая структура и полная интегрируемисть, связанная с коприсоеди-
нениными орбитами на коалгебрах Маркова. Показано, что в пределах данного подхода можно получить связанные
множество законов сохранения и пуaссоновскую структуру. На основании квазипредставлений алгебры Ли про-
демонстрирована процедура нахождения нелинейных динамических систем на соответствующих функциональных
пространствах.
1. Вступ: дискретизацiя i пов’язаний розклад алгебри Маркова. Розпочнемо з означення.
Одновимiрною дiйснозначною дискретною нелiнiйною динамiчною системою на многовидi
M \subset l2(\BbbZ ;\BbbR m) для деякого скiнченного m \in \BbbZ + є довiльне еволюцiйне рiвняння, яке можна
записати у виглядi
du
dt
= K[u], (1)
де t \in \BbbR — еволюцiйний параметр, u \in M i K : M \rightarrow T (M) — достатньо гладке вiдображення
[2, 4] на многовидi M. Дуже часто рiвняння (1) можна отримати як стандартну дискретизацiю
[1, 9, 11, 16, 20] заданої гладкої нелiнiйної диференцiальної системи
d\mathrm{u}
d
t = \scrK [\mathrm{u}] (2)
на функцiональному пiдмноговидi \scrM \subset L2(\BbbR ;\BbbR m), породженому векторним полем \scrK : \scrM \rightarrow
\rightarrow T (\scrM ). А саме, iснують такi попарно вiдмiннi точки сiтки xj \in \BbbR для j \in \BbbZ , що вiдповiднi
вектор \{ \mathrm{u}(xj) \in \BbbR m : j \in \BbbZ \} = u \in M i дискретизацiя для (2) збiгаються з виразом (1).
Iнший пiдхiд до дискретизацiї системи (2) ґрунтується на схемi Калоджеро [8, 9] конструю-
вання скiнченновимiрних квазiзображень для нескiнченновимiрної алгебри Гейзенберга – Вейля
операторiв h :=\{ \^x,Dx, \^1 : x \in \BbbR \} , де Dx :=
\partial
\partial x
у деякому функцiональному пiдмноговидi \scrM 0
\subset C\infty ([a, b];\BbbR ) \cap L2([a, b];\BbbR ) диференцiйовних функцiй, оскiльки за вiдомою теоремою фон
Неймана [21, 31] не iснує точних зображень h у скiнченновимiрному функцiональному пiдпро-
сторi \scrM N
0 \subset \scrM 0 для будь-якого N \in \BbbZ +. Наприклад, будь-яку скалярну функцiю f \in \scrM 0 на
iнтервалi [a, b] \subset \BbbR можна iнтерполювати [8, 31] у полiномiальному виглядi
* Частково пiдтримано Унiверситетом науки i технологiй Гiрничо-металургiйної академiї м. Кракова.
c\bigcirc А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5 657
658 А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
f(x) \rightarrow fN (x) :=
N\sum
j=1
(f(xj)\rho
- 1
j )ej(x),
ej(x) :=
\prod
i=1,N,i\not =j
(x - xi), \rho j :=
\prod
i=1,N,i\not =j
(xj - xi),
а також її похiдну
Dxf(x) \rightarrow DxfN (x) =
\sum
i,j=1,N
Zij(f(xj)\rho
- 1
j )ei(x)),
де fN (x) \in \scrM N
0 розглядається вiдносно полiномiальної бази \{ ej(x) \in \scrM N
0 : j = 1, N\} . Тодi
вiдоме квазiзображення Калоджеро [8, 12, 13, 18, 22] алгебри Гейзенберга – Вейля h отримується
наступним чином:
\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\scrM 0) \ni \^x \rightarrow X := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ x1, x2, . . . , xN\} \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} l2(\BbbZ N ;\BbbR ),
\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\scrM 0) \ni \^1 \rightarrow I := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ 1, 1, . . . , 1\} \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} l2(\BbbZ N ;\BbbR ), (3)
\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\scrM 0) \ni Dx \rightarrow Z :=
\Bigl\{
Zij := (xi - xj)
- 1, i \not = j = 1, N ;
Zii :=
N\sum
j=1,j \not =i
(xi - xj)
- 1 : i = 1, N
\Bigr\}
\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} l2(\BbbZ N ;\BbbR ),
де точки сiтки iнтерполяцiї xi \not = xj \in \BbbR , i \not = j = 1, N, є рiзними i задовольняють у спецi-
ально визначеному скiнченновимiрному гiльбертовому просторi l2(\BbbZ N ;\BbbR ) у сильнiй границi
канонiчне Лi-алгебраїчне спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
([Z,X] - I) = 0. (4)
Матричнi квазiзображення (3) дозволяють побудувати примiтивну матричну дискретизацiю
нелiнiйної динамiчної системи
fracdU (m)dt=\scrK
\Biggl(
U (m), [Z(m), U (m)], [Z(m), [Z(m), U (m)]], . . . [Z(m), . . . , [Z(m), U (m)]]
(p-разiв)
\Biggr)
, (5)
де матрицi
U (m) := u(X(m)) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (u(x1), u(x2), . . . , u(xN )) \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} l2(\BbbZ N ;\BbbR )\otimes m,
Z(m) := Z \otimes Z \otimes . . .\otimes Z
(m-разiв)
\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} l2(\BbbZ N ;\BbbR )\otimes m
належать до тензорного добутку матричних просторiв
\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} l2(\BbbZ N ;\BbbR )\otimes m := \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} l2(\BbbZ N ;\BbbR )\otimes \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} l2(\BbbZ N ;\BbbR )\otimes . . .\otimes
(m - i)
\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} l2(\BbbZ N ;\BbbR ).
При виведеннi матричного рiвняння (5), ми врахували, що \scrK [\mathrm{u}]:= \scrK (\mathrm{u},Dx\mathrm{u},D
2
x\mathrm{u}, . . .D
p
x\mathrm{u}) для
деякого фiксованого p \in \BbbZ + i для довiльного операторного вiдображення \varphi N (\^x) : \scrM N
0 \rightarrow \scrM N
0
використали властивiсть квазiзображень Калоджеро
\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} (\scrM 0) \ni (Dn
x\varphi N )(\^x) \rightarrow [Z, [Z, [Z,
(n-разiв)
. . . , [Z,\varphi (X)]]] . . .] \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d} l2(\BbbZ N ;\BbbR ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ПРО ЦIЛКОМ IНТЕГРОВНI ДИСКРЕТИЗАЦIЇ ТИПУ КАЛОДЖЕРО IНТЕГРОВНИХ. . . 659
яка має мiсце для довiльних операторних похiдних (Dn
x\varphi N )(\^x) : \scrM N
0 \rightarrow \scrM N
0 , n \in \BbbZ +.
Нижче ми врахуємо той факт [19], що квазiзображення (3) належать вiдповiдно до марков-
ського розкладу загальної алгебри Лi у пряму суму \mathrm{g}\mathrm{l} (N ;\BbbR ) := g = \mathrm{M}(g)\oplus \mathrm{E} (g):
I,X \in \mathrm{E}(g), Z \in \mathrm{M}(g),
де, за означенням, лiнiйнi пiдпростори
\mathrm{M}(g) := \{ \mathrm{M}(A) \in g : \mathrm{M}(A) = A - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (eA)\} ,
\mathrm{E}(g) := \{ \mathrm{E}(A) \in g : \mathrm{E}(A) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (eA)\} , e := (1, 1, . . . , 1) \in l2(\BbbZ N ;\BbbR )\ast ,
(6)
є пiдалгебрами Лi алгебри Лi g. Введемо, за означенням, проекцiї \mathrm{P}M(g) : g = \mathrm{M}(g) \subset g,
\mathrm{P}E(g) : g = \mathrm{E}(g) \subset g. Тодi згiдно зi стандартним \mathrm{R}-матричним пiдходом [5, 6, 14, 27, 29] вираз
[X,Y ]R := [\mathrm{R}X,Y ] + [X,\mathrm{R}Y ], \mathrm{R} :=
1
2
(\mathrm{P}M(g) - \mathrm{P}E(g)),
для довiльних X,Y \in g задає на g новий комутатор Лi, який породжує на просторi \scrD (g)
деформовану дужку Лi – Пуассона
\{ \gamma , \eta \} R(\alpha ) := \langle \alpha , [\nabla \gamma (\alpha ),\nabla \eta (\alpha )]R\rangle =
\bigl\langle
\alpha , [\mathrm{P}M(g)\nabla \gamma (\alpha ),\mathrm{P}M(g)\nabla \eta (\alpha )]
\bigr\rangle
(7)
для \gamma , \eta \in \scrD (g) i будь-якого \alpha \in g\ast , що узагальнює класичну дужку Лi – Пуассона
\{ \gamma , \eta \} (\alpha ) := \langle \alpha , [\nabla \gamma (\alpha ),\nabla \eta (\alpha )]\rangle = \langle \alpha , [\nabla \gamma (\alpha ),\nabla \eta (\alpha )]\rangle (8)
на g. Тут бiлiнiйний \mathrm{t}\mathrm{r}-функцiонал на g
\langle X,Y \rangle := \mathrm{t}\mathrm{r} (XY ), X, Y \in g, (9)
є невиродженим та Ad-iнварiантним. Оскiльки вiдносно цього \mathrm{t}\mathrm{r}-функцiонала (9) g \simeq g\ast , дужка
Пуассона (7) породжує для будь-якої гамiльтонової функцiї H \in \scrD (g) таку динамiчну систему
на довiльному \alpha \in g:
d\alpha
dt
= \mathrm{P}E(g)\bot [\mathrm{P}M(g)\nabla H(\alpha ), \alpha ],
де \mathrm{P}\ast
M(g) \simeq \mathrm{P}E(g)\bot та \mathrm{P}\ast
E(g) \simeq \mathrm{P}M(g)\bot . Ця конструкцiя спрощується у випадку, коли гамiльто-
нова функцiя H \in \mathrm{I}(g) є функцiєю Казимира вiдносно класичної дужки Лi – Пуассона (8), яка
задовольняє умову
[\alpha ,\nabla H(\alpha )] = 0
для будь-якого \alpha \in g.
Серед нелiнiйних диференцiальних динамiчних систем (2) iснує широкий клас нелiнiнйних
еволюцiйних рiвнянь, якi є iнтегровними за Лаксом [5, 9, 14, 20, 23, 27] i дискретизацiї яких
є часто дуже важливими для їх числового аналiзу та рiзних застосувань. Однак у загальному
випадку безпосередньо дискретизована матрична динамiчна система (5) не успадковує a priori
iнтегровнiсть за Лаксом для (2). Тому природно виникає питання: як побудувати a priori iнте-
гровну за Лаксом матричну дискретизацiю заданої iнтегровної за Лаксом нелiнiйної динамiчної
системи (2)?
Оскiльки зображення Лакса iмовiрно iнтегровних динамiчних систем (2) залежать вiд до-
вiльного спектрального параметра \lambda \in \BbbC , то варто вивчити їхнi вiдповiднi матричнi квазiзобра-
ження, що також залежать вiд спектрального параметра \lambda \in \BbbC , як i базовi оператори матричних
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
660 А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
зображень, якi належать вiдповiдно до розкладу у пряму суму Маркова загальної алгебри Лi
gl(N ;\BbbR ) := g = \mathrm{M}(g) \oplus \mathrm{E}(g). Це можна зробити ефективно за допомогою метризованої ал-
гебри петель [5, 6, 14, 27] \~g := g\otimes \BbbC [[\lambda , \lambda - 1]] i вiдповiдних пов’язаних iнтегровних за Лаксом
пуассонових потокiв на нiй.
Нижче ми вiдповiмо на поставлене питання у випадку спецiального класу iнтегровних за
Лаксом нелiнiйних динамiчних систем на функцiональних многовидах з використанням схеми
дискретизацiї типу Калоджеро i проаналiзуємо коприєднанi орбiти типу Маркова за допомогою
пов’язаних Лi-алгебраїчних пiдходiв.
2. Лi-алгебраїчнi основи та лiнiйнi матричнi спектральнi задачi типу Калоджеро. Вве-
демо метризовану алгебру петель \~g := g\otimes \BbbC [[\lambda , \lambda - 1]], породжену алгеброю Лi g : = gl(N ;\BbbR ) i
рядами Лорана
\~g : =
\left\{ X(\lambda ) =
\sum
j\ll \infty
Xj\lambda
j : Xj \in g, \BbbZ \ni j \ll \infty , \lambda \in \BbbC
\right\} ,
де j \ll \infty означає змiну iндексу вiд - \infty до будь-якого скiнченного цiлого числа. Її надiлено
стандартною матричною дужкою Лi
[X(\lambda ), Y (\lambda )] :=
\sum
s\ll \infty
\lambda s
\left( \sum
j+k=s
[Xj , Yk]
\right) , (10)
визначеною для будь-якого X(\lambda ), Y (\lambda ) \in \~g, i найпростiший Ad-iнварiантний скалярний добу-
ток
\langle X(\lambda ), Y (\lambda )\rangle - 1 = \mathrm{T}\mathrm{r} (X(\lambda )Y (\lambda )) := \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s} \mathrm{t}\mathrm{r} (X(\lambda )Y (\lambda ))
задовольняє для всiх X(\lambda ), Y (\lambda ) i Z(\lambda ) \in \~g умову
\langle X(\lambda ), [Y (\lambda ), Z(\lambda )]\rangle - 1 = \langle [X(\lambda ), Y (\lambda )], Z(\lambda )\rangle - 1 .
Розглянемо введений вище розклад Маркова (6) алгебри Лi g:
g := \mathrm{M}(g)\oplus \mathrm{E}(g), (11)
де для будь-якого X \in g
\mathrm{M}(X) := X - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (eX), \mathrm{E}(X) := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (eX), e := (1, 1, . . . , 1) \in l2(\BbbZ N )\ast ,
i складовi \mathrm{M}(g)\subset g i \mathrm{E}(g) \subset g є такими матричними пiдалгебрами Лi, що [\mathrm{M}(g),\mathrm{M}(g)] \subset \mathrm{M}(g)
i [\mathrm{E}(g),\mathrm{E}(g)] = 0 \in \mathrm{E}(g).
Наступне спостереження є ключовим для нашого аналiзу: алгебра петель \~g успадковує
розклад Маркова (11) у двi пiдалгебри Лi:
\~g = \~g+ \oplus \~g - , (12)
де проекцiя P+\~g := \~g+,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ПРО ЦIЛКОМ IНТЕГРОВНI ДИСКРЕТИЗАЦIЇ ТИПУ КАЛОДЖЕРО IНТЕГРОВНИХ. . . 661
\~g+ :=
\left\{ X(\lambda ) =
\sum
j\in \BbbZ +
Xj\lambda
j : X0 \in \mathrm{M}(g), Xj \in g,\BbbN \ni j \ll \infty , \lambda \in \BbbC
\right\} , (13)
та проекцiя \mathrm{P} - \~g = \~g - ,
\~g - :=
\left\{ X(\lambda ) =
\sum
j\in \BbbZ -
Yj\lambda
j : Y0 \in \mathrm{E} (g), Yj \in g, j \in \BbbZ - \setminus \{ 0\} , \lambda \in \BbbC
\right\} , (14)
задовольняють комутаторнi спiввiдношення [\~g+, \~g+] \subset \~g+ i [\~g - , \~g - ] \subset \~g - . Неважко встановити,
що спряженi простори \~g\ast + i \~g\ast - до пiдалгебр Лi (13) i (14) мають вигляд
\~g\ast + \simeq \~g\intercal - =
\left\{ Y (\lambda ) =
\sum
j\in \BbbZ -
Yj\lambda
j : Y0 \in \mathrm{E}(g)\bot , Yj \in g, j \in \BbbZ - \setminus \{ 0\} , \lambda \in \BbbC
\right\} ,
\~g\ast - \simeq \~g\intercal + =
\left\{ X(\lambda ) =
\sum
j\in \BbbZ +
Xj\lambda
j : X0 \in \mathrm{M}(g)\bot , Xj \in g, \BbbN \ni j \ll \infty , \lambda \in \BbbC
\right\} ,
де враховано, що
\mathrm{M}(g)\ast \simeq \mathrm{E} (g)\bot = \{ Y \in g : \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (Y ) = 0\} ,
\mathrm{E} (g)\ast \simeq \mathrm{M}(g)\bot = \{ X \in g : X = q \otimes e, e := (1, 1, . . . , 1) \in l2(\BbbZ N ;\BbbR )\ast , q \in l2(\BbbZ N ;\BbbR )\} .
Розклад (12) дозволяє ввести класичну \mathrm{R}-структуру на алгебрi петель \~g : для будь-якого
X(\lambda ), Y (\lambda ) \in \~g комутатор
[X(\lambda ), Y (\lambda )]R := ([\mathrm{R}X(\lambda ), Y (\lambda )] + [X(\lambda ),\mathrm{R}Y (\lambda )])
задовольняє властивiсть комутатора на алгебрi Лi, де лiнiйно-просторовий гомоморфiзм \mathrm{R} :
\~g \rightarrow \~g визначено для довiльного X(\lambda ) \in \~g таким чином:
\mathrm{R}X(\lambda ) :=
1
2
(\mathrm{P}+X(\lambda ) - \mathrm{P} - X(\lambda )).
Має мiсце така класична теорема (див., наприклад, [3, 5, 6, 15, 27, 30]).
Теорема (Адлера – Костанта – Саймза). Нехай гладкi функцiонали \gamma , \eta : \~g\ast \rightarrow \BbbR є функцiо-
налами Казимира вiдносно дужки Пуассона (10), тобто
[\nabla \gamma (l(\lambda )), l(\lambda )] = 0 = [\nabla \eta (l(\lambda )), l(\lambda )]
для будь-якого l(\lambda ) \in g\ast . Тодi для модифiкованої дужки Лi – Пуассона
\{ \gamma , \eta \} := \langle l(\lambda ), [\nabla \gamma (l(\lambda )),\nabla \eta (l(\lambda ))]R\rangle - 1 (15)
маємо
\{ \gamma , \eta \} = 0
на усьому просторi \~g\ast .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
662 А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
На основi розкладу (12) неважко знайти дiї приєднаних операторiв \mathrm{P}\ast
+ : \~g \rightarrow \~g\intercal - \subset \~g - i \mathrm{P}\ast
- :
\~g \rightarrow \~g\intercal + \subset \~g+. Зокрема, в силу ототожнень \~g \simeq \~g\ast отримуємо рiвностi
\mathrm{P}\ast
+ = \mathrm{P}\~g\intercal -
: \~g \rightarrow \~g\intercal - \subset \~g - (16)
та
\mathrm{P}\ast
- = \mathrm{P}\~g\intercal +
: \~g \rightarrow \~g\intercal + \subset \~g+. (17)
Теорема 1 та рiвностi (16), (17) дозволяють побудувати широкий клас iнтегровних за Лiу-
вiллем динамiчних систем [6, 27] на матричному пiдпросторi Маркова \mathrm{E}(g), якщо редукувати
гамiльтонове векторне поле
d
dt
\alpha (\lambda ) := \{ H,\alpha (\lambda \} = [\mathrm{P}+\nabla H(\alpha (\lambda )), \alpha (\lambda )] (18)
на елементi \alpha (\lambda ) \in \~g \simeq \~g\ast , породжене спецiально вибраним функцiоналом Казимира H : \~g \rightarrow
\rightarrow \BbbR . Останнiй розглядається вiдносно стандартної дужки Лi – Пуассона
\{ \gamma , \eta \} Lie := \langle l(\lambda ), [\nabla \gamma (l(\lambda )),\nabla \eta (l(\lambda ))]\rangle - 1 (19)
для будь-яких гладких функцiоналiв \gamma , \eta \in \scrD (\~g).
3. Дискретна апроксимацiя iнтегровних за Лаксом еволюцiйних рiвнянь. Розглянемо
гладкi функцiонали \gamma
(k)
n : \~g\ast \rightarrow \BbbR , n, k \in \BbbZ +, де
\gamma (k)n :=
1
(n+ 1)
\biggl\langle \Bigl(
\alpha (\lambda )\lambda - | \alpha (\lambda )|
\Bigr) n+1
, \lambda k+| \alpha (\lambda )|
\biggr\rangle
- 1
=
=
1
(n+ 1)
\mathrm{T}\mathrm{r}
\Bigl(
\lambda k+| \alpha (\lambda )|
\Bigl(
\alpha (\lambda )\lambda - | \alpha (\lambda )|
\Bigr) n\Bigr)
i \alpha (\lambda ) \in \~g \simeq \~g\ast , до того ж | \alpha (\lambda )| означає \lambda -порядок полiнома \alpha (\lambda ). Очевидно, що вони є
функцiоналами Казимира вiдносно дужки Пуассона (19). Вiдповiднi градiєнти мають вигляд
\nabla \gamma (k)n (\alpha (\lambda )) = (\alpha (\lambda )\lambda - | \alpha (\lambda )| )n\lambda k.
Таким чином, можна побудувати нескiнченну iєрархiю нелiнiйних матричних динамiчних сис-
тем
d\alpha (\lambda )
dt
(k)
n
:=
\Bigl[
\mathrm{P}+((\alpha (\lambda )\lambda
- | \alpha (\lambda )| )n\lambda k), \alpha (\lambda )
\Bigr]
,
якi, внаслiдок їх алгебраїчної структури, слiд розглядати як дискретнi апроксимацiї вiдповiдних
еволюцiйних диференцiальних рiвнянь на функцiональному многовидi M.
Приклад. Нехай n = 2 i k = 4. Наступне значення елемента \mathrm{P}+\nabla \gamma
(4)
2 (\alpha (\lambda )) \in \~g+ на
елементi \alpha (\lambda ) = \lambda 3I + \lambda 2U + \lambda V + Z дорiвнює
\mathrm{P}+\nabla \gamma
(4)
2 (\lambda 3I + \lambda 2U + \lambda V + Z) = \lambda 4I + 2\lambda 3U+
+\lambda 2(2V + U2) + \lambda (2Z + UV + V U) +\mathrm{M}(ZU + UZ).
З комутаторного спiввiдношення (18) отримуємо, що для будь-якого параметра \lambda \in \BbbC має мiсце
матричне рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ПРО ЦIЛКОМ IНТЕГРОВНI ДИСКРЕТИЗАЦIЇ ТИПУ КАЛОДЖЕРО IНТЕГРОВНИХ. . . 663
d
dt
(\lambda 2U + \lambda V + Z) = [2\lambda 3U + \lambda 2(2V + U2)+
+\lambda (2Z + UV + V U) +\mathrm{M}(ZU + UZ), \lambda 2U + \lambda V + Z]. (20)
Функцiонали Hm := \mathrm{T}\mathrm{r} (\lambda 3I+\lambda 2U+\lambda V +Z)m/3, m \in \BbbZ +, є нетривiальними та iнволютивними
вiдносно дужки Пуассона (15) законами збереження дискретних матричних динамiчних систем
типу Рiмана
dU
dt
= - [Z,U2],
dZ
dt
= 0, (21)
dV
dt
= - [Z, V U + UV ] + [UZ + ZU, V ],
що випливає з (20). Дискретна матрична динамiчна система (21), як наслiдок з (4), є цiлком
iнтегровною дискретною апроксимацiєю в граничному переходi при N \rightarrow \infty гiдродинамiчних
рiвнянь типу Рiмана в частинних похiдних
du
d
t = - 2uux,
dv
dt
= - 2ux v. (22)
Таким чином, щодо динамiчної системи (22) можна сформулювати наступне твердження.
Твердження. Динамiчна система (22) допускає для будь-якого N \in \BbbZ + цiлком iнтегровну
матричну дискретизацiю (21) iз зображенням Лакса (20).
Як простий наслiдок з твердження, отримана вище динамiчна система (22) є також iнте-
гровною за Лаксом. Згiдно iз зображенням (20) гiдродинамiчна система рiвнянь типу Бюргерса
має скалярне зображення Лакса, спектральна частина якого задається лiнiйною „спектральною”
задачею
df
dx
+ (\lambda 3 + \lambda 2u+ \lambda v)f = 0, (23)
де можна вважати, що для (u, v)\intercal \in M i всiх t \in \BbbR f(\cdot , \lambda ) \in L\infty (\BbbR ;\BbbC ) для \lambda \in \BbbC .
Враховуючи лiнiйну „спектральну” задачу (23) i нещодавнiй аналiз в [7], ми отримали,
що гiдродинамiчна система рiвнянь (22) належить до класу так званих iнтегровних за Лаксом
„темних” рiвнянь, якi вивчались ранiше Б. Купершмiдтом у [17] i мають у загальному випадку
скiнченну кiлькiсть законiв збереження, але нескiнченну iєрархiю комутуючих симетрiй. У
наступних публiкацiях будуть вивчатись їхнi властивостi та застосування розробленого вище
пiдходу на основi дискретних апроксимацiй типу Калоджеро до рiзних iнтегровних за Лаксом
нелiнiйних динамiчних систем.
4. Висновки. Спостереження, що дискретизацiя типу Калоджеро алгебри Гейзенберга –
Вейля пов’язана з розкладом Маркова загальної алгебри Лi \mathrm{g}\mathrm{l} (N ;\BbbR ), N \in \BbbZ +, є цiкавим i
корисним для аналiтичного конструювання цiлком iнтегровних дискретизацiй iнтегровних за
Лаксом нелiнiйних динамiчних систем на функцiональних многовидах. Показано, що в межах
розвиненого пiдходу можна отримати пов’язанi множину законiв збереження та пуассонову
структуру. ґрунтуючись на квазiзображеннях алгебри Лi, продемонстровано процедуру знахо-
дження нелiнiйних динамiчних систем на вiдповiдних функцiональних просторах.
Автор висловлює подяку проф. Я. Цєсьлiньскєму (Унiверситет Бялостока, Польща) за спiв-
працю та обговорення, а також проф. Ф. Калоджеро (Унiверситет Рима "La Sapienza”, Iталiя)
за увагу до статтi та кориснi коментарi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
664 А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
Лiтература
1. Ablowitz M., Ladik J. Nonlinear differential-difference equations // J. Math. Phys. – 1975. – 16, № 3. – P. 598 – 603
2. Abraham R., Marsden J. Foundation of mechanics. – Masachusets: The Benjamin/Cummings Publ. Co., 1978.
3. Adler M. On a trace functional for formal pseudo-differential operators and the symplectic structures of a Korteweg –
de Vries Equation // Invent. Math. – 1979. – 50. – P. 219 – 248.
4. Arnold V. I. Mathematical methods of classical mechanics. – New York: Springer, 1978.
5. Blaszak M. Multi-hamiltonian theory of dynamical systems. – Springer, 1998.
6. Blackmore D., Prykarpatsky A. K., Samoylenko V. Hr. Nonlinear dynamical systems of mathematical physics: spectral
and differential-geometrical integrability analysis. – New York: World Sci. Publ., 2012.
7. Blackmore D., Prykarpatsky A. K. Dark equations and their light integrability // J. Nonlinear Math. Phys. – 2014. –
21, № 3. – P. 407 – 428.
8. Calogero F., Franco E. Numerical tests of a novel technique to compute the eigenvalues of differential operators //
Nuovo cim. B. – 1985. – 89. – P. 161 – 208.
9. Calogero F., Degasperis A. Spectral transform and solitons. – Amsterdam: North-Holland, 1982. – 378 p.
10. Cavalcante J., Mc. Kean H. P. The classical shallow water equations // Physica D. – 1982. – 4, № 2. – P.253 – 260.
11. Cieslinski J. L., Prykarpatski A. K. Discrete approximations on functional classes for the integrable nonlinear
Schredinger dynamical system: A symplectic finite-dimensional reduction approach // J. Math. Anal. and Appl. –
2015. – 430, № 1. – P. 279 – 295.
12. Contesou E. La \BbbC \ast -algebra d’une quasi-representation. C. r. Acad. sci. A. – 1997. – 324. – P. 293 – 295.
13. Connes A., Gromov M., Moscovici H. Conjecture de Novikov et fibres presque plats // C. r. Acad. sci. A. – 1990. –
310. – P. 273 – 277.
14. Faddeev L. D., Takhtajan L. A. Hamiltonian method in the theory of solitons. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag,
1987.
15. Kostant B. The solutions to a generalized Toda lattice and representation theory // Adv. Math. – 1979. – 34. –
P. 195 – 338.
16. Kupershmidt B. A. Discrete Lax equations and differential-difference calculus // Asterisque. – 1985. – 123. – P. 5 – 212.
17. Kupershmidt B. A. Dark equations // J. Nonlinear Math. Phys. – 2001. – 8 – P. 363 – 445.
18. Lebedev A. V. Quasi-crossed products and an isomorphism theorem for C\ast -algebras, associated with discrete group
representations // Doklady AN SSSR. – 1996. – 10, № 5. – P. 40 – 43 (in Russian).
19. Menon G. Complete integrability of Shock Clustering and Burgers turbulence // Arch. Ration. Mech. and Anal. –
2012. – 203. – P. 853 – 882.
20. Newell A. Solitons in mathematics and physics. – Philadelphia: SIAM, 1986. – 250 p.
21. von Neumann J. Mathematische Grundlagen der Quanten Mechanik. – Berlin: Springer, 1932.
22. Lustyk M., Janus J., Pytel-Kudela M., Prykarpatsky A. K. The solution existence and convergence analysis for linear
and nonlinear differential-operator equations in Banach spaces within the Calogero type projection-algebraic scheme
of discrete approximations // Cent. Eur. J. Math. – 2009. – 7, № 3. – P. 775 – 786.
23. Novikov S. P. (Editor). Theory of solitons. – Springer, 1984.
24. Olver P. Applicatons of Lie groups in Differential equations – Springer, 1986.
25. Prykarpatsky A., Blackmore D., Bogolubov N. Hamiltonian structure of Benney type hydrodynamic and Boltzmann –
Vlasov equations on an axis and applications to manufacturing science // Open Syst. and Inform. dynamics – 1999. –
6, № 2. – P. 335 – 373.
26. Prykarpatsky Ya. A. Finite dimensional local and nonlocal reductions of one type hydrodynamic systems // Rept.
Math. Phys. – 2002. – 50. – P. 349 – 360.
27. Prykarpatsky A. K., Mykytyuk I. V. Algebraic integrability of nonlinear dynamical systems on manifolds: classical
and quantum aspects. – Netherlands: Kluwer Acad. Publ., 1998.
28. Pugh M. C., Shelley M. J. Singularity formation in thin jets with surface tension // Communs Pure and Appl. Math. –
1998. – 51. – 733 p.
29. Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky. Integrable systems (in Russian). – Moscow; Izhevsk: R&C-Dynamics, 2003.
30. Symes W. Systems of Toda type, inverse-spectral problems and representation theory // Invent. Math. – 1980. – 59. –
P. 13 – 51.
31. Zeidler E. Applied functional analysis. – Springer, 1995.
Одержано 13.06.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1869 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:17Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/28/9b6d16c6f6cf16cd935dad2bc27f3328.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18692019-12-05T09:30:15Z On the completely integrable calogero-type discretizations of Lax-integrable nonlinear dynamical systems and related coadjoint Markov-type orbits Про цілком інтегровні дискретизації типу калоджеро інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем і пов’язані з ними коприєднані орбіти типу Маркова Prykarpatsky, A. K. Прикарпатський, А. К. The Calogero-type matrix discretization scheme is applied to THE construction of Lax-type integrable discretizations of one sufficiently wide class of nonlinear integrable dynamical systems on functional manifolds. Their Lie-algebraic structure and complete integrability related to the coadjoint orbits on the Markov coalgebras is discussed. It is shown that the set of conservation laws and the associated Poisson structure can be obtained as a byproduct of the proposed approach. Based on the quasirepresentation property of Lie algebras, the limiting procedure of finding nonlinear dynamical systems on the corresponding functional spaces is demonstrated. Схема матричной дискретизации типа Калоджеро применяется для построения интегрируемые по Лаксу дискретизаций одного достаточно широкого класса нелинейных интегрируемых динамических систем на функциональных многообразиях. Исследуются их Ли-алгебраическая структура и полная интегрируемисть, связанная с коприсоединениными орбитами на коалгебрах Маркова. Показано, что в пределах данного подхода можно получить связанные множество законов сохранения и пуaссоновскую структуру. На основании квазипредставлений алгебры Ли продемонстрирована процедура нахождения нелинейных динамических систем на соответствующих функциональных пространствах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1869 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 5 (2016); 657-664 Український математичний журнал; Том 68 № 5 (2016); 657-664 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1869/851 Copyright (c) 2016 Prykarpatsky A. K. |
| spellingShingle | Prykarpatsky, A. K. Прикарпатський, А. К. On the completely integrable calogero-type discretizations of Lax-integrable nonlinear dynamical systems and related coadjoint Markov-type orbits |
| title | On the completely integrable calogero-type discretizations of Lax-integrable nonlinear dynamical systems and related coadjoint Markov-type orbits |
| title_alt | Про цілком інтегровні дискретизації типу калоджеро інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем і пов’язані з ними коприєднані орбіти типу Маркова |
| title_full | On the completely integrable calogero-type discretizations of Lax-integrable nonlinear dynamical systems and related coadjoint Markov-type orbits |
| title_fullStr | On the completely integrable calogero-type discretizations of Lax-integrable nonlinear dynamical systems and related coadjoint Markov-type orbits |
| title_full_unstemmed | On the completely integrable calogero-type discretizations of Lax-integrable nonlinear dynamical systems and related coadjoint Markov-type orbits |
| title_short | On the completely integrable calogero-type discretizations of Lax-integrable nonlinear dynamical systems and related coadjoint Markov-type orbits |
| title_sort | on the completely integrable calogero-type discretizations of lax-integrable nonlinear dynamical systems and related coadjoint markov-type orbits |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1869 |
| work_keys_str_mv | AT prykarpatskyak onthecompletelyintegrablecalogerotypediscretizationsoflaxintegrablenonlineardynamicalsystemsandrelatedcoadjointmarkovtypeorbits AT prikarpatsʹkijak onthecompletelyintegrablecalogerotypediscretizationsoflaxintegrablenonlineardynamicalsystemsandrelatedcoadjointmarkovtypeorbits AT prykarpatskyak procílkomíntegrovnídiskretizacíítipukalodžeroíntegrovnihzalaksomnelíníjnihdinamíčnihsistemípovâzaníznimikopriêdnaníorbítitipumarkova AT prikarpatsʹkijak procílkomíntegrovnídiskretizacíítipukalodžeroíntegrovnihzalaksomnelíníjnihdinamíčnihsistemípovâzaníznimikopriêdnaníorbítitipumarkova |