Boundary-value problem with mixed conditions for linear typeless partial differential equations
In the domain obtained as the Cartesian product of a segment $0 \leq t \leq T$ by a $p$-dimensional torus in variables $x_1, ..., x_p$, $p \geq 1$, we study the problem with mixed boundary conditions in the variable $t$ for general (no restrictions are imposed on the type) linear partial differen...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1870 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507752551415808 |
|---|---|
| author | Ptashnik, B. I. Repetylo, S. M. Пташник, Б. Й. Репетило, C. М. |
| author_facet | Ptashnik, B. I. Repetylo, S. M. Пташник, Б. Й. Репетило, C. М. |
| author_sort | Ptashnik, B. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:15Z |
| description | In the domain obtained as the Cartesian product of a segment $0 \leq t \leq T$ by a $p$-dimensional torus in variables $x_1, ..., x_p$, $p \geq 1$, we study the problem with mixed boundary conditions in the variable $t$ for general (no restrictions are imposed on
the type) linear partial differential equations of high order with constant coefficients isotropic with respect to the order of differentiation for all independent variables. We establish conditions for the unique solvability of the problem in various functional spaces and construct its solution in the form of a series with respect to systems of orthogonal functions of the
variables $x_1, ..., x_p$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
Б. Й. Пташник, C. М. Репетило
(Iн-т прикладних проблем механiки i математики iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, Львiв)
КРАЙОВА ЗАДАЧА З МIШАНИМИ УМОВАМИ
ДЛЯ ЛIНIЙНИХ БЕЗТИПНИХ РIВНЯНЬ З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ
In the domain obtained as the Cartesian product of a segment 0 \leq t \leq T by a p-dimensional torus in variables x1, . . . , xp,
p \geq 1, we study the problem with mixed boundary conditions in the variable t for general (no restrictions are imposed on
the type) linear partial differential equations of high order with constant coefficients isotropic with respect to the order of
differentiation for all independent variables. We establish conditions for the unique solvability of the problem in various
functional spaces and construct its solution in the form of a series with respect to systems of orthogonal functions of the
variables x1, . . . , xp.
В области, являющейся декартовым произведением отрезка 0 \leq t \leq T на p-мерный тор переменных x1, . . . , xp,
p \geq 1, исследована задача со смешанными граничными условиями по переменной t для общих (без ограниче-
ний на тип) линейных уравнений с частными производными высокого порядка с постоянными коэффициентами,
изотропных относительно порядка дифференцирования по всем независимым переменным. Определены условия
однозначной разрешимости задачи в различных функциональных пространствах и построено ее решение в виде
ряда по системе ортогональных функций переменных x1, . . . , xp.
1. Вступ. Крайовi задачi з даними на всiй межi областi (зокрема, з умовами Дiрiхле, Неймана та
мiшаними крайовими умовами) досить повно вивченi для елiптичних рiвнянь i систем рiвнянь
(див., наприклад, [1 – 11] та наведену там бiблiографiю). Разом iз цим для гiперболiчних i
загальних (без обмежень на тип) рiвнянь i систем рiвнянь з частинними похiдними аналогiчнi
задачi вивченi порiвняно мало; це, очевидно, зумовлено тим, що вказанi задачi є, взагалi, умовно
коректними, а їхня розв’язнiсть у багатьох випадках пов’язана з проблемою малих знаменникiв
(див., наприклад, [12 – 27] та наведену там бiблiографiю).
У данiй статтi (де розширено i уточнено результати [20]) в областi, що є декартовим до-
бутком вiдрiзка 0 \leq t \leq T на p-вимiрний тор змiнних x1, . . . , xp, p \geq 1, дослiджено крайову
задачу з мiшаними умовами на межi областi для лiнiйного безтипного рiвняння з частинними
похiдними порядку 2n, n \geq 1, зi сталими комплексними коефiцiєнтами. Встановлено умови
однозначної розв’язностi задачi у рiзних функцiональних просторах та побудовано її розв’язок
у виглядi ряду за системою ортогональних функцiй змiнних x1, . . . , xp. Для оцiнок знизу ма-
лих знаменникiв, що виникли при побудовi розв’язку задачi, використано метричний пiдхiд.
Розглянуто також частиннi випадки дослiджуваної задачi.
2. Основнi позначення та допомiжнi вiдомостi. Далi використовуємо такi позначення:
\BbbZ p
+ — множина точок \BbbR p з цiлими невiд’ємними координатами; s = (s1, . . . , sp) \in \BbbZ p
+, | s| =
= s1 + . . .+ sp, \^s = (s0, s1, . . . , sp) \in \BbbZ p+1
+ , | \^s| = s0 + s1 + . . .+ sp; | \^s| \ast = 2s0 + s1 + . . .+ sp;
x = (x1, . . . , xp) \in \BbbR p; (0) = (0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{}
p
); k = (k1, . . . , kp) \in \BbbZ p, | k| = | k1| + . . . + | kp| , \| k\| =
=
\sqrt{}
k21 + . . .+ k2p; (k, x) = k1x1 + . . .+ kpxp; i — уявна одиниця; cj , j = 0, 1, 2, . . . , — додатнi
сталi, якi не залежать вiд k \in \BbbZ p; \Omega p — p-вимiрний тор (\BbbR /2\pi \BbbZ )p; D =
\bigl\{
(t, x) : t \in (0, T ), x \in
\in \Omega p
\bigr\}
;
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}m\BbbR B — мiра Лебега в \BbbR m вимiрної множини B \subset \BbbR m, m \in \BbbN ;
c\bigcirc Б. Й. ПТАШНИК, C. М. РЕПЕТИЛО, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5 665
666 Б. Й. ПТАШНИК, C. М. РЕПЕТИЛО
\scrT — простiр скiнченних тригонометричних полiномiв v (x) =
\sum
| k| \leq N
vk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(ik, x), N \in
\in \BbbN , з комплексними коефiцiєнтами, в якому збiжнiсть визначається так: vn
\scrT \rightarrow
n\rightarrow \infty
v, якщо,
починаючи з деякого номера, степенi всiх полiномiв vn, n \in \BbbN , не перевищують деякого
фiксованого числа N1 i vnk \rightarrow
n\rightarrow \infty
vk для кожного k;
\scrT \prime — простiр усiх антилiнiйних неперервних функцiоналiв над \scrT зi слабкою збiжнiстю
(який збiгається з простором формальних тригонометричних рядiв [28] (гл. 2, § 6);
Cr
\bigl(
[0, T ]; \scrT
\bigr) \bigl(
Cr([0, T ]; \scrT \prime )
\bigr)
, r \in \BbbZ +, — простiр функцiй v(t, x) =
\sum
| k| \geq 0
vk(t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(ik, x),
vk \in Cr
\bigl(
[0, T ]
\bigr)
, k \in \BbbZ p, таких, що при кожному фiксованому t \in [0, T ] \partial jv
\big/
\partial tj \in \scrT (\scrT \prime ),
j \in \{ 0, 1, . . . , r\} ;
Hq(\Omega
p), q \in \BbbR , — гiльбертiв перiодичний простiр Соболєва порядку q на торi \Omega p, отриманий
шляхом поповнення простору \scrT за нормою \| v;Hq(\Omega
p)\| :=
\sqrt{} \sum \infty
k= - \infty
\bigl(
1 + | k| 2
\bigr) q| vk| 2;
Cr
\bigl(
[0, T ], Hq(\Omega
p)
\bigr)
, q \in \BbbR , r \in \BbbZ +, — банахiв простiр функцiй v таких, що для кожного
t \in [0, T ] функцiї \partial jv
\big/
\partial tj , j \in \{ 0, 1, . . . , r\} , належать простору Hq - j (\Omega
p) та є неперервними
по t у нормi цього простору;\bigm\| \bigm\| v;Cr
\bigl(
[0, T ], Hq(\Omega
p)
\bigr) \bigm\| \bigm\| :=
r\sum
j=0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq t\leq T
\bigm\| \bigm\| \partial jv
\big/
\partial tj ;Hq - j(\Omega
p)
\bigm\| \bigm\| .
Наведемо формулювання деяких вiдомих тверджень, що використовуються у статтi при
дослiдженнi оцiнок знизу малих знаменникiв.
Лема 1 [17, с. 15]. Нехай функцiя f(x) є n+1 раз неперервно диференцiйовною на вiдрiзку
[a, b] i для всiх x \in [a, b] виконується нерiвнiсть | f (n)(x)| \geq C1 > 0. Тодi мiра Лебега множини
тих x, для яких | f (n)(x)| < \varepsilon < C1, не перевищує C2
n
\sqrt{}
\varepsilon /C1, де C2 = C2(n).
Лема 2 (Борель – Кантеллi, [29, с. 10]). Нехай Aq, q \in \BbbN , — послiдовнiсть вимiрних мно-
жин iз \BbbR n, причому
\sum \infty
q=1
| Aq| < \infty . Тодi мiра Лебега множини точок iз \BbbR n, якi потрапляють
у нескiнченну кiлькiсть множин Aq, дорiвнює нулю.
Лема 3 [17, с. 17]. Нехай \Phi (k) \equiv \Phi (k1, . . . , kp) — обмежена послiдовнiсть дiйсних чисел.
Тодi нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Phi (k) - la
\| k\| \sigma
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 1
| k| p+\sigma +\varepsilon
, 0 < \varepsilon < 1, \sigma > 0, для майже всiх (щодо мiри
Лебега в \BbbR ) чисел a > 0 має не бiльш, нiж скiнченну кiлькiсть розв’язкiв у цiлих числах
l, k1, . . . , kp, l \not = 0, | k| \not = 0.
Теорема 1 [30]. Нехай m, n — додатнi цiлi числа, f(x) — додатна неперервна функцiя,
визначена при x > c, xn - 1fm(x) — монотонно спадна функцiя, причому xnfm(x) \rightarrow
x\rightarrow \infty
0. Тодi
для майже всiх точок \omega = (\omega jr), j \in \{ 1, . . . ,m\} , r \in \{ 1, . . . , n\} , mn-вимiрного евклiдового
простору система нерiвностей
| \omega j1a1 + . . .+ \omega jnan - bj | < f(a), a = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq r\leq n
| ar| , j \in \{ 1, . . . ,m\} , (1)
має нескiнченну кiлькiсть розв’язкiв у цiлих числах a1, . . . , an, b1, . . . , bm, якщо iнтеграл
\infty \int
c
xn - 1fm(x)dx (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З МIШАНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ ЛIНIЙНИХ БЕЗТИПНИХ . . . 667
є розбiжним; навпаки, система нерiвностей (1) має для майже всiх \omega не бiльш, нiж скiнченну
кiлькiсть розв’язкiв у цiлих числах a1, . . . , an, b1, . . . , bm, якщо iнтеграл (2) збiгається.
3. Формулювання задачi. В областi D розглянемо задачу
P
\biggl(
\partial 2
\partial t2
,
\partial
\partial x
\biggr)
u (t, x) :=
\sum
| \^s| \ast \leq 2n
A\^s
\partial | \^s| \ast u (t, x)
\partial t2s0\partial xs11 . . . \partial x
sp
p
= 0, (t, x) \in D, A\^s \in \BbbC , A(n,0,...,0) = 1,
(3)\bigl(
\partial 2r - 2u (t, x)/\partial t2r - 2
\bigr) \bigm| \bigm|
t=0
= \varphi r(x),
(4)\bigl(
\partial 2r - 1u (t, x)/\partial t2r - 1
\bigr) \bigm| \bigm|
t=T
= \varphi n+r(x), r \in \{ 1, . . . , n\} , x \in \Omega p.
Вигляд областi D накладає умови 2\pi -перiодичностi за змiнними x1, . . . , xp на функцiї u та
\varphi j , j \in \{ 1, . . . , 2n\} . Якщо n = 1, то умови (4) є умовами Дiрiхле – Неймана. Нехай \varphi j \in \scrT \prime ,
\varphi j(x) =
\sum
| k| \geq 0
\varphi jk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(ik, x), \varphi jk = (2\pi ) - p
\int
\Omega p
\varphi j(x) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - ik, x)dx, j \in \{ 1, . . . , 2n\} . (5)
Означення 1. Розв’язком задачi (3), (4) з простору C2n
\bigl(
[0, T ], \scrT \prime \bigr) називатимемо функцiю
u(t, x) =
\sum
| k| \geq 0
uk(t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(ik, x) (6)
таку, що кожен з коефiцiєнтiв uk(t), k \in \BbbZ p, належить простору C2n
\bigl(
[0, T ]
\bigr)
i справджує,
вiдповiдно, рiвностi
P
\biggl(
\partial 2
\partial t2
, ik
\biggr)
uk(t) :=
\sum
| \^s| \ast \leq 2n
A\^s(ik1)
s1 . . . (ikp)
sp d
2s0uk (t)
dt2s0
= 0, t \in (0, T ), (7)
u
(2r - 2)
k (0) = \varphi rk, u
(2r - 1)
k (T ) = \varphi n+r,k, r \in \{ 1, . . . , n\} . (8)
Отже, розв’язок задачi (3), (4) з простору C2n
\bigl(
[0, T ], \scrT \prime \bigr) шукаємо у виглядi ряду (6), де
uk(t), k \in \BbbZ p, є розв’язком вiдповiдної задачi (7), (8).
Поряд з умовами (4), (8) розглядатимемо вiдповiднi їм однорiднi умови\bigl(
\partial 2r - 2u (t, x)
\big/
\partial t2r - 2
\bigr) \bigm| \bigm|
t=0
= 0,
\bigl(
\partial 2r - 1u (t, x)
\big/
\partial t2r - 1
\bigr) \bigm| \bigm|
t=T
= 0, r \in \{ 1, . . . , n\} , (9)
u
(2r - 2)
k (0) = 0, u
(2r - 1)
k (T ) = 0, r \in \{ 1, . . . , n\} . (10)
4. Єдинiсть розв’язку задачi. Для кожного k \in \BbbZ p рiвнянню (7) вiдповiдає характеристич-
не рiвняння \sum
| \^s| \ast \leq 2n
A\^s (ik1)
s1 . . . (ikp)
sp \eta 2s0 = 0, (11)
\eta -коренi якого є такими:
\eta j := \eta j(k) =
\sqrt{}
| \lambda j(k)| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda j(k)/2) , \eta n+j := \eta n+j(k) = - \eta j(k), j\in \{ 1, . . . , n\} ,
(12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
668 Б. Й. ПТАШНИК, C. М. РЕПЕТИЛО
де \lambda 1(k), . . . , \lambda n(k) — коренi рiвняння
P (\lambda , ik) :=
\sum
| \^s| \ast \leq 2n
A\^s(ik1)
s1 . . . (ikp)
sp\lambda s0 = 0. (13)
Припустимо, що для кожного k \in \BbbZ p коренi \eta 1(k), . . . , \eta n(k), - \eta 1(k), . . . , - \eta n(k) рiвнян-
ня (11) є рiзними, а отже, вiдмiнними вiд нуля; не порушуючи загальностi, надалi демо вважати,
що \mathrm{R}\mathrm{e} \eta j(k) \geq 0, j \in \{ 1, . . . , n\} , k \in \BbbZ p.
Рiвняння (7) для кожного k \in \BbbZ p має фундаментальну систему розв’язкiв\bigl\{
ukj(t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl(
\eta j(k)t
\bigr)
, uk,n+j(t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl(
- \eta j(k)t
\bigr)
, j \in \{ 1, . . . , n\}
\bigr\}
.
Характеристичний визначник [31, c. 26] задачi (7), (8) є таким:
\Delta (k, T ) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 \cdot \cdot \cdot 1 1 . . . 1
\eta 21 . . . \eta 2n \eta 21 . . . \eta 2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
\eta
2(n - 1)
1 . . . \eta
2(n - 1)
n \eta
2(n - 1)
1 . . . \eta
2(n - 1)
n
\eta 1e
\eta 1T . . . \eta ne
\eta nT - \eta 1e
- \eta 1T . . . - \eta ne
- \eta nT
\eta 31e
\eta 1T . . . \eta 3ne
\eta nT - \eta 31e
- \eta 1T . . . - \eta 3ne
- \eta nT
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
\eta 2n - 1
1 e\eta 1T . . . \eta 2n - 1
n e\eta nT - \eta 2n - 1
1 e - \eta 1T . . . - \eta 2n - 1
n e - \eta nT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
.
Щоб обчислити характеристичний визначник \Delta (k, T ) , перетворимо його, вiднявши вiд j -
го стовпця (n+ j)-й стовпець, j \in \{ 1, . . . , n\} , а потiм застосуємо теорему Лапласа та формулу
для обчислення визначника Вандермонда [32] (гл. I, § 1). Тодi отримаємо
\Delta (k, T ) = ( - 1)n
\prod
1\leq s<l\leq n
\bigl(
\eta 2l - \eta 2s
\bigr) 2 n\prod
j=1
\bigl(
(e\eta jT + e - \eta jT )\eta j
\bigr)
, k \in \BbbZ p. (14)
Вiдомо [31, c. 16], що задача (7), (8) для кожного k \in \BbbZ p не може мати два рiзних розв’язки
тодi i лише тодi, коли \Delta (k, T ) \not = 0.
Теорема 2. Для єдиностi розв’язку задачi (3), (4) у просторi C2n
\bigl(
[0, T ], \scrT \prime \bigr) необхiдно i
достатньо, щоб справджувались умови
(\forall k\in \BbbZ p, \forall m\in \BbbZ ) i\eta j(k)T \not =\pi (m+ 1/2) , j\in \{ 1, . . . , n\} . (15)
Доведення. Необхiднiсть. Припустимо, що хоча б одна з умов (15) (нехай при j = j0,
1 \leq j0 \leq n) порушується, тобто для деяких k0 \in \BbbZ p та m0 \in \BbbZ справджується рiвнiсть
i\eta j0(k0)T = \pi (m0 + 1/2) . Тодi \Delta (k0, T ) = 0
\bigl(
оскiльки e\eta j0 (k0)T + e - \eta j0 (k0)T = 0
\bigr)
та iснують
нетривiальнi розв’язки задачi (3), (9) u0(t, x) = A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
(2m0 + 1)\pi t/(2T )
\bigr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(ik0, x), де A —
довiльна стала. Тому розв’язок задачi (3), (4), якщо вiн iснує, не буде єдиним.
Достатнiсть. Нехай задача (3), (4) має два рiзних розв’язки u1, u2 з простору C2n
\bigl(
[0, T ], \scrT \prime \bigr) .
Тодi функцiя u1 - u2 = \=u \in C2n
\bigl(
[0, T ], \scrT \prime \bigr) є розв’язком задачi (3), (9) i зображується рядом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З МIШАНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ ЛIНIЙНИХ БЕЗТИПНИХ . . . 669
вигляду (6), в якому кожен коефiцiєнт \=uk(t), k \in \BbbZ p, є розв’язком задачi (7), (10), яка для
кожного k \in \BbbZ p за умов (15) має лише тривiальний розв’язок. Таким чином, \=uk(t) \equiv 0, k \in \BbbZ p,
тобто u1k(t) \equiv u2k(t), k \in \BbbZ p. Враховуючи, що u1, u2 \in C2n
\bigl(
[0, T ], \scrT \prime \bigr) , отримуємо, що для
кожного t \in [0, T ] функцiї u1 i u2 збiгаються мiж собою.
Теорему доведено.
Зауваження 1. Очевидно, що j -та умова, j \in \{ 1, . . . , n\} , iз (15) виконується, якщо справд-
жується хоча б одна з таких умов
(\forall k \in \BbbZ p, \forall m \in \BbbZ ) - \mathrm{I}\mathrm{m} \eta j(k)T \not =\pi (m+ 1/2) (16)
або
(\forall k \in \BbbZ p) \mathrm{R}\mathrm{e} \eta j(k)T \not = 0. (17)
5. Iснування розв’язку задачi.
Теорема 3. Нехай справджуються умови (15). Якщо \varphi j \in \scrT \prime (\scrT ), j \in \{ 1, . . . , 2n\} , то
iснує єдиний розв’язок задачi (3), (4) з простору C2n
\bigl(
[0, T ]; \scrT \prime \bigr) \bigl( C2n
\bigl(
[0, T ]; \scrT
\bigr) \bigr)
; цей розв’язок
визначає формула
u(t, x) =
\sum
| k| \geq 0
uk(t)e
(ik,x) :=
:=
\sum
| k| \geq 0
n\sum
q,j=1
S
(q)
n - j
\varphi jk\eta q(e
- \eta qt + e - 2\eta qT+\eta qt) + \varphi n+j,k(e
\eta qt - \eta qT - e - \eta qt - \eta qT )
( - 1)n+j\eta q(1 + e - 2\eta qT )
\prod n
s=1,s \not =q
\bigl(
\eta 2q - \eta 2s
\bigr) e(ik,x), (18)
де S
(q)
l , l \in \{ 1, . . . , n - 1\} , — сума всiх можливих добуткiв елементiв \eta 21, . . . , \eta
2
q - 1, \eta
2
q+1, . . . , \eta
2
n,
по l у кожному добутку, S(q)
0 \equiv 1.
Доведення теореми ґрунтується на теоремi 6.2 з [28, с. 111] (згiдно з якою у просто-
рi \scrT \prime довiльний тригонометричний ряд є збiжним) i на тому фактi, що простiр \scrT неперервно
вкладається у простiр \scrT \prime [28, с. 110]; при цьому безпосередньо перевiряється, що коефiцiєнти
uk(t) ряду (18) задовольняють рiвностi (7) i (8).
Для iнших просторiв, зокрема для шкали просторiв C2n
\bigl(
[0, T ], Hq
\bigl(
\Omega p
\bigr) \bigr)
, q \in \BbbR , iснуван-
ня розв’язку задачi (3), (4) пов’язане, взагалi, з проблемою малих знаменникiв, бо модулi
виразiв \eta r(k), \eta
2
r (k) - \eta 2s(k), 1 + e - 2\eta rT , r, s \in \{ 1, . . . , n\} , r \not = s, якi входять множниками у
знаменники членiв ряду (18), будучи вiдмiнними вiд нуля, можуть ставати як завгодно малими
для нескiнченної кiлькостi векторiв k \in \BbbZ p.
Для \lambda -коренiв рiвняння (13) (див. [33, с. 101]) отримуємо оцiнки\bigm| \bigm| \lambda j(0)
\bigm| \bigm| \leq c0,
\bigm| \bigm| \lambda j(k)
\bigm| \bigm| \leq c1| k| 2, k\in \BbbZ p\setminus \{ (0)\} , j\in \{ 1, . . . , n\} , (19)
де
c0 = 2 \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s0\in \{ 0,...,n - 1\}
n - s0
\sqrt{} \bigm| \bigm| A(s0,0,...,0)
\bigm| \bigm| , c1 = 2 \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s0\in \{ 0,...,n - 1\}
n - s0
\sqrt{} \sum
| s| \leq 2(n - s0)
\bigm| \bigm| A(s0,s1,...sp)
\bigm| \bigm| .
З формули (12) та оцiнок (19) випливає, що
| \eta j(0)| \leq
\surd
c0, | \eta j(k)| \leq
\surd
c1| k| , k\in \BbbZ p\setminus \{ (0)\} , j\in \{ 1, . . . , n\} . (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
670 Б. Й. ПТАШНИК, C. М. РЕПЕТИЛО
Теорема 4. Нехай справджуються умови (15) та iснують такi додатнi сталi c2, c3, c4,
\alpha 1, \alpha 2, \alpha 3, що для всiх векторiв k \in \BbbZ p правильними є оцiнки\bigm| \bigm| \eta r(k)\bigm| \bigm| \geq c2
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - \alpha 1 , r \in \{ 1, . . . , n\} , (21)
n\prod
s=1,s \not =r
\bigm| \bigm| \eta 2r (k) - \eta 2s(k)
\bigm| \bigm| \geq c3
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - \alpha 2 , r \in \{ 1, . . . , n\} , (22)
\bigm| \bigm| 1 + e - 2\eta r(k)T
\bigm| \bigm| \geq c4
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - \alpha 3 , r \in \{ 1, . . . , n\} . (23)
Якщо \varphi s \in H\chi +q(\Omega
p) , \varphi n+s \in H\chi +\alpha 1+q(\Omega
p) , s\in \{ 1, . . . , n\} , \chi = 2n - 2 + \alpha 2 + \alpha 3, q \in \BbbR , то
iснує єдиний розв’язок задачi (3), (4) з простору C2n
\bigl(
[0, T ], Hq(\Omega
p)
\bigr)
. Цей розв’язок задовольняє
нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| u;C2n([0, T ], Hq(\Omega
p))
\bigm\| \bigm\| \leq c5
\Biggl(
n\sum
s=1
\| \varphi s;H\chi +q(\Omega
p)\| ++
2n\sum
s=n+1
\| \varphi s;H\chi +\alpha 1+q(\Omega
p)\|
\Biggr)
,
де c5 = c5(A\^s, | \^s| \ast \leq 2n;n, c2, c3, c4).
Доведення. На пiдставi формули (18) та оцiнок (20) – (23) для кожного k\in \BbbZ p отримуємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq t\leq T
\bigm| \bigm| \bigm| u(q)k (t)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq c6
\Biggl( \bigl(
1 + | k|
\bigr) h1+q
n\sum
s=1
| \varphi sk| + c - 1
2
\bigl(
1 + | k|
\bigr) h2+q
2n\sum
s=n+1
| \varphi sk|
\Biggr)
, q \in \{ 0, 1, . . . , 2n\} , (24)
де h1 = 2n - 2 + \alpha 2 + \alpha 3, h2 = h1 + \alpha 1, c6 = n
\bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ c0, c1\}
\bigr) n - 1+q/2
(c3c4)
- 1 .
На пiдставi формули (18), оцiнок (24) i того факту, що середнє арифметичне додатних
чисел не перевищує їхнього середнього квадратичного, отримуємо оцiнку для норми розв’язку
задачi (3), (4):\bigm\| \bigm\| u;C2n ([0, T ] , Hq (\Omega
p))
\bigm\| \bigm\| :=
2n\sum
r=0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq t\leq T
\sqrt{} \sum
| k| \geq 0
\bigm| \bigm| \bigm| u(r)k (t)
\bigm| \bigm| \bigm| 2 (1 + | k| 2)q - r \leq
\leq
2n\sum
r=0
\sqrt{} \sum
| k| \geq 0
c26
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigl( 1 + | k|
\bigr) h1+r
n\sum
s=1
| \varphi sk| + c - 1
2
\bigl(
1 + | k|
\bigr) h2+r
2n\sum
s=n+1
| \varphi sk|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
(1 + | k| 2)q - r \leq
\leq (2n+ 1)
\surd
2c6
\left(
\sqrt{} \sum
| k| \geq 0
(1 + | k| 2)h1+q
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n\sum
s=1
| \varphi sk|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
+
+c - 1
2
\sqrt{} \sum
| k| \geq 0
(1 + | k| 2)h2+q
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2n\sum
s=n+1
| \varphi sk|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
\right) \leq
\leq (2n+ 1)
\surd
2c6
\left( \sqrt{} n
\sum
| k| \geq 0
n\sum
s=1
| \varphi sk| 2(1 + | k| 2)h1+q+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З МIШАНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ ЛIНIЙНИХ БЕЗТИПНИХ . . . 671
+c - 1
2
\sqrt{} n
\sum
| k| \geq 0
2n\sum
s=n+1
| \varphi sk| 2 (1 + | k| 2)h2+q
\right) \leq
\leq c7
\left( n\sum
s=1
\sqrt{} \sum
| k| \geq 0
| \varphi sk| 2(1 + | k| 2)h1+q+
2n\sum
s=n+1
\sqrt{} \sum
| k| \geq 0
| \varphi sk| 2(1 + | k| 2)h2+q
\right) =
= c7
\Biggl(
n\sum
s=1
\bigm\| \bigm\| \varphi s;Hh1+q(\Omega
p)
\bigm\| \bigm\| + 2n\sum
s=n+1
\bigm\| \bigm\| \varphi s;Hh2+q(\Omega
p)
\bigm\| \bigm\| \Biggr) ,
де c7 = c6
\surd
2n(2n+ 1)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
1, c - 1
2
\bigr\}
.
З отриманої нерiвностi випливає доведення теореми.
Вияснимо можливiсть виконання оцiнок (21) – (23). Позначимо через b = (b1, . . . , b\beta )\in \BbbR \beta та
d = (d1, . . . , d\beta ) \in \BbbR \beta вектори, складенi, вiдповiдно, iз дiйсних та уявних частин коефiцiєнтiв
A(0,s) рiвняння (3), де \beta — кiлькiсть розв’язкiв у цiлих невiд’ємних числах нерiвностi s1 +
+ s2 + . . . + sp \leq 2n, а через l = (l1, . . . , l\gamma )\in \BbbR \gamma та h = (h1, . . . , h\gamma ) \in \BbbR \gamma вектори, складенi,
вiдповiдно, iз дiйсних та уявних частин коефiцiєнтiв A(s0,s) рiвняння (3), де \gamma — кiлькiсть
розв’язкiв у цiлих невiд’ємних числах нерiвностi 2s0 + s1 + s2 + . . .+ sp \leq 2n.
Лема 4. Для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \beta ) векторiв b i довiльного фiксованого
вектора d або для довiльного фiксованого вектора b i майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \beta )
векторiв d нерiвностi (21) виконуються для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p
при \alpha 1>n+ p/2 - 1, причому стала c2 не залежить вiд T.
Доведення. Оскiльки, згiдно з припущенням, | \eta j(k)| =
\sqrt{}
| \lambda j(k)| \not = 0 для всiх k \in \BbbZ p,
j \in \{ 1, . . . , n\} , то i вiльний член P0(k) рiвняння (13) є вiдмiнним вiд нуля. При цьому
P0(k) :=
\sum
| s| \leq 2n
A(0,s) (ik1)
s1 . . . (ikp)
sp = ( - 1)nA(0,2n,0,...,0)k
2n
1 +R0(k) =
= ( - 1)n\mathrm{R}\mathrm{e} A(0,2n,0,...,0)k
2n
1 +\mathrm{R}\mathrm{e} R0(k)+
+i
\bigl[
( - 1)n \mathrm{I}\mathrm{m} A(0,2n,0,...,0)k
2n
1 + \mathrm{I}\mathrm{m} R0(k)
\bigr]
, k\in \BbbZ p, (25)
де вираз R0(k) не мiстить коефiцiєнта A(0,2n,0,...,0) := b1 + id1.
Покажемо спочатку, що для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \beta ) векторiв b та довiльного
фiксованого вектора d нерiвнiсть
| \mathrm{R}\mathrm{e} P0(k)| \geq
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - p - \varepsilon
, 0 < \varepsilon < 1, (26)
справджується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p. Скористаємось схемою
доведення теореми 4.4 з [17, с. 61].
Позначимо через \Psi множину тих векторiв b, що належать деякому паралелепiпеду \Pi \beta =
= [x1, y1]\times \Pi \beta - 1, \Pi \beta - 1 = [x2, y2]\times . . .\times [x\beta , y\beta ], для яких нерiвнiсть
| \mathrm{R}\mathrm{e} P0(k)| <
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - p - \varepsilon
, 0 < \varepsilon < 1, (27)
має нескiнченну кiлькiсть розв’язкiв k \in \BbbZ p, а через \Psi k(b2, . . . , b\beta ) — множину тих чисел b1 \in
\in [x1, y1], для яких нерiвнiсть (27) справджується для фiксованого k \in \BbbZ p\setminus \{ (0)\} та фiксованих
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
672 Б. Й. ПТАШНИК, C. М. РЕПЕТИЛО
bj \in [xj , yj ], j \in \{ 2, . . . , \beta \} . Нехай b1 \not = 0 i k1 \not = 0, що, звичайно, не обмежує загальностi. Iз
(25), (27) випливає, що
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\BbbR 1 \Psi k(b2, . . . , b\beta ) < 2
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - p - \varepsilon | k1| - 2n \leq 2
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - p - \varepsilon
, 0 < \varepsilon < 1. (28)
Зiнтегрувавши оцiнку (28) по паралелепiпеду \Pi \beta - 1, отримаємо, що для мiри множини \Psi (k)
тих векторiв b \in \Pi \beta , для яких виконується нерiвнiсть (27) при фiксованому k, справджується
оцiнка
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\BbbR \beta \Psi (k) < 2V
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - p - \varepsilon
, 0 < \varepsilon < 1, (29)
де V — об’єм паралелепiпеда \Pi \beta - 1. Оскiльки ряд
\sum
k\in \BbbZ p
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - p - \varepsilon
збiгається, то з (29)
i леми 2 випливає, що \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\BbbR \beta \Psi = 0, тобто для майже всiх векторiв b \in \Pi \beta та довiльного
фiксованого вектора d нерiвнiсть (26) виконується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв
k \in \BbbZ p.
Аналогiчно доводиться, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p нерiвнiсть\bigm| \bigm| \mathrm{I}\mathrm{m} P0(k)
\bigm| \bigm| \geq \bigl( 1 + | k|
\bigr) - p - \varepsilon
, 0 < \varepsilon < 1, (30)
виконується для довiльного фiксованого вектора b та майже всiх
\bigl(
щодо мiри Лебега в \BbbR \beta
\bigr)
векторiв d. Таким чином, для майже всiх
\bigl(
щодо мiри Лебега в \BbbR \beta
\bigr)
векторiв b i довiльного
фiксованого вектора d або для довiльного фiксованого вектора b i майже всiх
\bigl(
щодо мiри
Лебега в \BbbR \beta
\bigr)
векторiв d оцiнка
| P0(k)| \geq
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - p - \varepsilon
, 0 < \varepsilon < 1, (31)
справджується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k\in \BbbZ p.
На пiдставi теореми Вiєта отримуємо, що коренi рiвняння (13) задовольняють рiвностi
| \lambda r(k)| =
| P0(k)|
| \lambda 1(k) . . . \lambda r - 1(k)\lambda r+1(k) . . . \lambda n(k)|
, r \in \{ 1, . . . , n\} . (32)
З рiвностей (32), оцiнок (19), (31) та формул (12) отримуємо доведення леми.
Лема 5. Для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \gamma ) векторiв l i довiльного фiксованого
вектора h або для довiльного фiксованого вектора h i майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \gamma )
векторiв l нерiвностi (22) виконуються для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p
при \alpha 2>(n - 1)(p/2 - 2), причому стала c3 не залежить вiд T.
Доведення. Для дискримiнанта D (P ) полiнома P := P (\lambda , ik) з параметром k\in \BbbZ p спра-
ведливим є зображення [34, с. 265]
D (P ) =
\prod
n\geq i>j\geq 1
(\lambda i(k) - \lambda j(k))
2 , (33)
де \lambda r(k), r \in \{ 1, . . . , n\} , — коренi рiвняння (13).
Аналогiчно, як при доведеннi теореми 4.5 iз [17, с. 62], встановлюємо, що для всiх (крiм
скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p нерiвнiсть
| \mathrm{R}\mathrm{e} D (P )| \geq
\bigl(
1 + | k|
\bigr) (n - 1)(2n - p) - \varepsilon
, 0 < \varepsilon < 1, (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З МIШАНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ ЛIНIЙНИХ БЕЗТИПНИХ . . . 673
виконується для довiльного фiксованого вектора h та майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \gamma )
векторiв l, а нерiвнiсть\bigm| \bigm| \mathrm{I}\mathrm{m} D(P )
\bigm| \bigm| \geq \bigl( 1 + | k|
\bigr) (n - 1)(2n - p) - \varepsilon
, 0 < \varepsilon < 1, (35)
— для довiльного фiксованого вектора l та майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \gamma ) векторiв h.
Таким чином, для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \gamma ) векторiв l i довiльного фiксованого
вектора h або для довiльного фiксованого вектора l i майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \gamma )
векторiв h оцiнка \bigm| \bigm| D(P )
\bigm| \bigm| \geq \bigl( 1 + | k|
\bigr) (n - 1)(2n - p) - \varepsilon
, 0 < \varepsilon < 1, (36)
виконується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k\in \BbbZ p.
На пiдставi формули (33), оцiнок (19) та (36) отримуємо, що для майже всiх (щодо мiри
Лебега в \BbbR \gamma ) векторiв l i довiльного фiксованого вектора h або для довiльного фiксованого
вектора l i майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \gamma ) векторiв h оцiнка\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n\prod
s=1,
s \not =r
\bigl(
\lambda r(k) - \lambda s(k)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\prod
n\geq i>j\geq 1
\bigl(
\lambda i(k) - \lambda j(k)
\bigr)
\prod
n\geq i>j\geq 1
i,j \not =r
\bigl(
\lambda i(k) - \lambda j(k)
\bigr)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq c9
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - (n - 1)(p/2 - 2) - \varepsilon /2
, (37)
де 0 < \varepsilon < 1, r \in \{ 1, . . . , n\} , виконується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p;
при цьому враховано, що знаменник у формулi (37) мiстить (n - 1)(n - 2)/2 множникiв. Iз
оцiнок (37) та формул (12) випливає доведення леми.
Лема 6. Для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR ) чисел T та майже всiх (щодо мiри
Лебега в \BbbR \beta ) векторiв b i довiльного фiксованого вектора d (або для майже всiх векторiв
d i довiльного фiксованого вектора b) нерiвностi (23) виконуються для всiх (крiм скiнченної
кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p при \alpha 3 > \alpha 1 + p, де \alpha 1 > n + p/2 - 1, причому стала c4 не
залежить вiд T та коефiцiєнтiв рiвняння (3).
Доведення. Розглянемо r-ту нерiвнiсть з (23), r \in \{ 1, . . . , n\} , i позначимо h(T, k) := (1 +
+ e - 2\eta r(k)T ). Легко показати, що для кожного T \in (0,+\infty ) i кожного k \in \BbbZ p справджується
рiвнiсть
h(T, k) +
\partial h(T, k)
\partial T
\bigl(
2\eta r(k)
\bigr) - 1
= 1, (38)
з якої випливає, що
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| h(T, k)| ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial h(T, k)\partial T
\bigl(
2\eta r(k)
\bigr) - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr\} \geq 1
2
, T \in (0,+\infty ), k \in \BbbZ p. (39)
Розглянемо функцiю
z(T, k) := | h(T, k)| -
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial h(T, k)\partial T
(2\eta r(k))
- 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , T \in (0,+\infty ), k \in \BbbZ p, (40)
як функцiю змiнної T i параметра k, та встановимо кiлькiсть її нулiв на промiжку (0,+\infty ).
На пiдставi (38) i (40) отримуємо, що нулi функцiї z збiгаються з нулями функцiї z1(T, k) :=
:= h(T, k) - \partial h(T, k)
\partial T
\bigl(
2\eta r(k)
\bigr) - 1
= 2e - 2\eta r(k)T + 1. Зауважимо, що рiвняння 2e - 2\eta r(k)T + 1 = 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
674 Б. Й. ПТАШНИК, C. М. РЕПЕТИЛО
еквiвалентне системi рiвнянь
\mathrm{R}\mathrm{e}(2\eta r(k)T ) = \mathrm{l}\mathrm{n} 2,
k \in \BbbZ p, (41)
\mathrm{I}\mathrm{m}(2\eta r(k)T ) = \pi + 2\pi m, m \in \BbbZ .
Очевидно, що система (41) має вiдносно T розв’язок, до того ж єдиний, лише при тих
значеннях векторного параметра k \in \BbbZ p, для яких \mathrm{R}\mathrm{e} \eta r(k) \not = 0, а
\mathrm{l}\mathrm{n} 2 \mathrm{I}\mathrm{m} \eta r(k)
\pi \mathrm{R}\mathrm{e} \eta r(k)
є непарним
цiлим числом; множину таких векторiв k \in \BbbZ p позначимо через K. Розв’язок системи (41) є
додатним i має вигляд \~T (k) =
\mathrm{l}\mathrm{n} 2
2\mathrm{R}\mathrm{e} \eta r(k)
, k \in K.
Розглянемо iнтервал (0, T0], де 0 < T0 < +\infty , i введемо такi позначення: E(T0) — множина
тих значень T \in (0, T0], для яких нерiвнicть
| h(T, k)| < c4
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - \alpha 3 , 0 < c4 < 1/2, (42)
виконується для нескiнченної кiлькостi векторiв k \in \BbbZ p; E
\bigl(
T0, \=k
\bigr)
— множина тих значень
T \in (0, T0], для яких нерiвнiсть (42) справджується при фiксованому k = \=k \in \BbbZ p; E1(T0, \=k)
та E2(T0, \=k) — множини тих значень T \in
\bigl(
0, T0], для яких нерiвностi | \mathrm{R}\mathrm{e}h(T, k)| < c4
\bigl(
1 +
+ | k|
\bigr) \bigr) - \alpha 3 та | \mathrm{I}\mathrm{m}h(T, k)| < c4
\bigl(
1+ | k|
\bigr) - \alpha 3 , вiдповiдно, виконуються при фiксованому k = \=k \in
\in \BbbZ p; K1 =
\bigl\{
k \in K : \~T (k) \geq T0
\bigr\}
; K2 = (\BbbZ p\setminus K)
\bigcup
K1.
Якщо \=k \in K2, то на iнтервалi (0, T0] функцiя z не має нулiв. Позначимо K3 =
\bigl\{
k \in K2 :
z(T, k) > 0, T \in (0, T0]
\bigr\}
. Якщо \=k \in K3, то на пiдставi (39), (40) отримуємо\bigm| \bigm| h(T, \=k)\bigm| \bigm| \geq 1
2
, T \in (0, T0]. (43)
Таким чином,
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\BbbR (E(T0, \=k)) = 0, \=k \in K3. (44)
Якщо \=k \in K2\setminus K3, то z(T, \=k) < 0 для всiх T \in (0, T0]. Тодi на пiдставi (39), (40) одержуємо,
що \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial h(T, \=k)\partial T
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq \bigm| \bigm| \eta r(\=k)\bigm| \bigm| , T \in (0, T0], \=k \in K2\setminus K3. (45)
З оцiнки (45) та леми 4 випливає, що для майже всiх
\bigl(
щодо мiри Лебега в \BbbR \beta
\bigr)
векторiв b
i довiльного фiксованого вектора d (або для майже всiх векторiв d i довiльного фiксованого
вектора b) для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \=k справджується одна з нерiвностей\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \partial T \bigl( \mathrm{R}\mathrm{e}h(T, \=k)\bigr)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq c2\surd
2
\bigl(
1+
\bigm| \bigm| \=k\bigm| \bigm| \bigr) - \alpha 1 ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \partial T \bigl( \mathrm{I}\mathrm{m}h(T, \=k)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq c2\surd
2
\bigl(
1+
\bigm| \bigm| \=k\bigm| \bigm| \bigr) - \alpha 1 , (46)
де T \in (0, T0], \=k \in K2\setminus K3. Згiдно з лемою 1, на пiдставi оцiнок (46), отримуємо, що для
майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \beta ) векторiв b i довiльного фiксованого вектора d (або для
майже всiх векторiв d i довiльного фiксованого вектора b) для всiх (крiм скiнченної кiлькостi)
векторiв \=k справджується одна з нерiвностей
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З МIШАНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ ЛIНIЙНИХ БЕЗТИПНИХ . . . 675
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\BbbR E1(T0, \=k) \leq c10
\bigl(
1 + | \=k|
\bigr) - (\alpha 3 - \alpha 1),
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\BbbR E2(T0, \=k) \leq c10
\bigl(
1 + | \=k|
\bigr) - (\alpha 3 - \alpha 1), \=k \in K2\setminus K3.
(47)
Оскiльки
E(T0, \=k) \subset E1(T0, \=k), E(T0, \=k) \subset E2(T0, \=k), \=k \in K2\setminus K3, (48)
то на пiдставi нерiвностей (47) отримуємо
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\BbbR E(T0, \=k) \leq c10
\bigl(
1 + | \=k|
\bigr) - (\alpha 3 - \alpha 1), \=k \in K2\setminus K3. (49)
Iз (44) i (49) випливає, що для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \beta ) векторiв b i довiльного
фiксованого вектора d (або для майже всiх векторiв d i довiльного фiксованого вектора b) для
всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \=k, \=k \in K2 виконується оцiнка
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\BbbR E(T0, \=k) \leq c10
\bigl(
1 + | \=k|
\bigr) - (\alpha 3 - \alpha 1), \=k \in K2. (50)
Якщо \=k \in K\setminus K1, тобто функцiя z має один нуль T = \~T (\=k), що належить iнтервалу
(0, T0], то iнтервал (0, T0] розбиваємо на iнтервали J1 = (0, \~T (\=k)) i J2 = ( \~T (\=k), T0]. На
кожному з них функцiя z не має нулiв. Провiвши на кожному з iнтервалiв J1 i J2 викладки,
аналогiчнi наведеним вище, отримуємо, що для майже всiх
\bigl(
щодо мiри Лебега в \BbbR \beta
\bigr)
векторiв
b i довiльного фiксованого вектора d (або для майже всiх векторiв d i довiльного фiксованого
вектора b) для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \=k, \=k \in K\setminus K1, справджується оцiнка
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\BbbR E(T0, \=k) \leq 2c10
\bigl(
1 + | \=k|
\bigr) - (\alpha 3 - \alpha 1), \=k \in K\setminus K1. (51)
Пiдсумовуючи оцiнки (50) i (51) по k \in K2 i k \in K\setminus K1 вiдповiдно, отримуємо\sum
k\in \BbbZ p
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\BbbR E(T0, k) \leq c11
\sum
k\in \BbbZ p
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - (\alpha 3 - \alpha 1). (52)
Якщо \alpha 3 - \alpha 1 > p, тобто якщо \alpha 3 > \alpha 1 + p, то ряд у правiй частинi нерiвностi (52) є
збiжним, тому \sum
k\in \BbbZ p
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\BbbR E(T0, k) < \infty . (53)
Iз (53) та леми 2 випливає, що \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\BbbR E(T0) = 0, тобто для майже всiх T \in (0, T0] та майже
всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \beta ) векторiв b i довiльного фiксованого вектора d (або для майже
всiх векторiв d i довiльного фiксованого вектора b) виконується нерiвнiсть, протилежна до
нерiвностi (42), для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p. Враховуючи той факт, що
промiжок (0,+\infty ) можна покрити злiченною кiлькiстю iнтервалiв довжиною T0, отримуємо
доведення леми.
Iз теореми 4 та лем 4 – 6 випливає наступне твердження.
Теорема 5. Якщо \varphi s \in Hq+\chi (\Omega
p) , \varphi n+s \in Hq+\chi +p/2+n - 1 (\Omega
p) , \chi >(pn)/2 + n+ p - 1,
q \in \BbbR , s \in \{ 1, . . . , n\} , то, за умов (15) для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR ) чисел T та
майже всiх коефiцiєнтiв рiвняння (3) у просторi C2n
\bigl(
[0, T ], Hq(\Omega
p)
\bigr)
iснує єдиний розв’язок
задачi (3), (4); цей розв’язок задовольняє нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| u;C2n([0, T ], Hq(\Omega
p))
\bigm\| \bigm\| \leq c12
\Biggl(
n\sum
s=1
\| \varphi s;Hq+\chi (\Omega
p)\| +
2n\sum
s=n+1
\| \varphi s;Hq+\chi +p/2+n - 1(\Omega
p)\|
\Biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
676 Б. Й. ПТАШНИК, C. М. РЕПЕТИЛО
6. Частиннi випадки задачi (3), (4). Наведемо частиннi випадки рiвняння (3) (порядку 2n),
для яких отримано кращi оцiнки знизу малих знаменникiв (починаючи з деякого номера n), нiж
у лемах 4 i 5, а отже, i слабшi умови на вихiднi данi у теоремах iснування розв’язку задачi (3),
(4) зi шкали просторiв C2n
\bigl(
[0, T ], Hq(\Omega
p)
\bigr)
, q \in \BbbR .
6.1. Рiвняння з факторизованим оператором. Розглянемо задачу з умовами (4) для рiв-
няння
n\prod
j=1
\left[ \partial 2
\partial t2
-
\Biggl(
p\sum
s=1
ajs
\partial
\partial xs
+ bj
\Biggr) 2
\right] u (t, x) = 0, (t, x) \in D, ajs, bj \in \BbbC . (54)
Позначимо
a
(1)
js = \mathrm{R}\mathrm{e} ajs, a
(2)
js = \mathrm{I}\mathrm{m} ajs, b
(1)
j = \mathrm{R}\mathrm{e} bj , b
(2)
j = \mathrm{I}\mathrm{m} bj , j \in \{ 1, . . . , n\} , s \in \{ 1, . . . , p\} ,
\=a1 =
\Bigl(
a
(1)
11 /b
(2)
1 , . . . , a
(1)
1p /b
(2)
1 , a
(1)
21 /b
(2)
2 , . . . , a
(1)
2p /b
(2)
2 , . . . , a
(1)
n1 /b
(2)
n , . . . , a(1)np /b
(2)
n
\Bigr)
,
\=a2 =
\Bigl(
a
(2)
11 /b
(1)
1 , . . . , a
(2)
1p /b
(1)
1 , a
(2)
21 /b
(1)
2 , . . . , a
(2)
2p /b
(1)
2 , . . . , a
(2)
n1 /b
(1)
n , . . . , a(2)np /b
(1)
n
\Bigr)
.
Iз теореми 2 випливає наступне твердження.
Наслiдок 1. Для єдиностi розв’язку задачi (4), (54) у просторi C2n ([0, T ] , \scrT \prime ) необхiдно i
достатньо, щоб справджувались умови
(\forall k \in \BbbZ p, \forall m \in \BbbZ ) bj + i
p\sum
s=1
ajsks \not = i\pi (m+ 1/2) /T , j \in \{ 1, . . . , n\} . (55)
Очевидно, що j -та умова, j \in \{ 1, . . . , n\} , iз (55) виконується, якщо справджується хоча б
одна з умов
(\forall k \in \BbbZ p, \forall m \in \BbbZ ) b
(2)
j +
p\sum
s=1
a
(1)
js ks \not = \pi (m+ 1/2) /T (56)
або
(\forall k \in \BbbZ p) b
(1)
j -
p\sum
s=1
a
(2)
js ks \not = 0. (57)
Для задачi (4), (54) (за умов (55)) є справедливими теореми 3, 4, у яких слiд \eta j(k) замiнити
на \eta \ast j (k) := bj + i
\sum p
s=1
ajsks, j\in \{ 1, . . . , n\} , а також наступнi леми.
Лема 7. Для довiльного фiксованого вектора \=a1 для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR np)
векторiв \=a2 або для довiльного фiксованого вектора \=a2 та для майже всiх (щодо мiри Лебега
в \BbbR np) векторiв \=a1 нерiвностi\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| bj + i
p\sum
s=1
ajsks
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq c13
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - \alpha 1 , j \in \{ 1, . . . , n\} , (58)
виконуються для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p при \alpha 1 > p/n, причому
стала c13 не залежить вiд T та коефiцiєнтiв рiвняння (54).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З МIШАНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ ЛIНIЙНИХ БЕЗТИПНИХ . . . 677
Доведення. Очевидно, що
| \eta \ast j (k)| \geq | \mathrm{R}\mathrm{e} \eta \ast j (k)| =
\bigm| \bigm| \bigm| b(1)j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a
(2)
j1
b
(1)
j
k1 + . . .+
a
(2)
jp
b
(1)
j
kp - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
\bigm| \bigm| \eta \ast j (k)\bigm| \bigm| \geq \bigm| \bigm| \mathrm{I}\mathrm{m} \eta \ast j (k)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| b(2)j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| a
(1)
j1
b
(2)
j
k1 + . . .+
a
(1)
jp
b
(2)
j
kp + 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , j \in \{ 1, . . . , n\} .
На пiдставi теореми 1, враховуючи збiжнiсть iнтеграла
\int \infty
c
xp - 1 (1 + x) - \alpha 1n dx при \alpha 1 > p/n,
отримуємо, що для майже всiх векторiв \=a1 \in \BbbR np (\=a2 \in \BbbR np) система нерiвностей\bigm| \bigm| \mathrm{R}\mathrm{e} \eta \ast j (k)
\bigm| \bigm| \geq c14
\bigl(
1+| k|
\bigr) - \alpha 1
\bigl(
| \mathrm{I}\mathrm{m} \eta \ast j (k)| \geq c14
\bigl(
1+| k|
\bigr) - \alpha 1
\bigr)
, j\in \{ 1, . . . , n\} , c14 = c14(p, n),
справджується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p при \alpha 1 > p/n.
Отже, нерiвностi (58) виконуються для довiльного фiксованого вектора \=a2 та майже всiх
(щодо мiри Лебега в \BbbR np) векторiв \=a1 або для довiльного фiксованого вектора \=a1 та майже всiх
(щодо мiри Лебега в \BbbR np) векторiв \=a2 для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p при
\alpha 1 > p/n.
Лему доведено.
Очевидно, що оцiнка параметра \alpha 1 в лемi 7 краща, нiж у лемi 4, при n \geq 2.
Лема 8. Для довiльного фiксованого вектора \=a2 та для майже всiх
\bigl(
щодо мiри Лебега в
\BbbR (n - 1)p
\bigr)
векторiв \=a1 або для довiльного фiксованого вектора \=a1 та для майже всiх
\bigl(
стосовно
мiри Лебега в \BbbR (n - 1)p
\bigr)
векторiв \=a2 нерiвностi
n\prod
j=1,
j \not =m
\bigm| \bigm| (\eta \ast j (k))2 - (\eta \ast m(k))2
\bigm| \bigm| =
=
n\prod
j=1
j \not =m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggl(
bj - bm+ i
p\sum
s=1
(ajs - ams) ks
\Biggr) \Biggl(
bj + bm+ i
p\sum
s=1
(ajs+ams) ks
\Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq
\geq c15
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - \alpha 2 , m \in \{ 1, . . . , n\} , (59)
виконуються для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p при \alpha 2 > 2p, причому стала
c15 не залежить вiд T та коефiцiєнтiв рiвняння (54).
Доведення проводиться за схемою доведення леми 7.
Зауважимо, що оцiнка параметра \alpha 2 в лемi 8 краща, нiж у лемi 5, при n \geq 6 i p >
4(n - 1)(n - 5) - 1.
Лема 9. Для майже всiх
\bigl(
щодо мiри Лебега в \BbbR
\bigr)
чисел T та майже всiх (стосовно мiри
Лебега в \BbbR np)
\bigr)
векторiв \=a1 i довiльного фiксованого вектора \=a2 або для майже всiх
\bigl(
щодо
мiри Лебега в \BbbR np)
\bigr)
векторiв \=a2 i довiльного фiксованого вектора \=a1 нерiвностi\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl[
- 2T
\Biggl(
bj+i
p\sum
s=1
ajsks
\Biggr) \Biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq c16
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - \alpha 3 , q \in \{ 1, . . . , n\} , (60)
виконуються для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p при \alpha 3 > \alpha 1+p, де \alpha 1 > p/n,
причому стала c16 не залежить вiд T та коефiцiєнтiв рiвняння (54).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
678 Б. Й. ПТАШНИК, C. М. РЕПЕТИЛО
Доведення проводиться за схемою доведення леми 6 з використанням леми 7.
Легко бачити, що оцiнка параметра \alpha 3 в лемi 9 краща, нiж у лемi 6, при n \geq 2.
Твердження 1. Нехай справджуються умови (55). Якщо функцiї \varphi s \in Hq+\chi (\Omega
p) , \varphi n+s \in
\in Hq+\chi +p/n (\Omega
p) , q \in \BbbR , \chi > 2n+3p+p/n - 2, s \in \{ 1, . . . , n\} , то для майже всiх
\bigl(
щодо мiри
Лебега в \BbbR
\bigr)
чисел T та майже всiх коефiцiєнтiв рiвняння (54) у просторi C2n ([0, T ] , Hq (\Omega
p))
iснує єдиний розв’язок задачi (4), (54). Цей розв’язок задовольняє нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| u;C2n
\bigl(
[0, T ], Hq(\Omega
p)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \leq c17
\Biggl( \sum n
s=1
\| \varphi s;Hq+\chi (\Omega
p)\| +
2n\sum
s=n+1
\bigm\| \bigm\| \varphi s;Hq+\chi +p/n(\Omega
p)
\bigm\| \bigm\| \Biggr) .
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 4 з використанням лем 7 – 9.
Зауважимо, що умови на функцiї \varphi j , j \in \{ 1, . . . , n\} , у твердженнi 1 є слабшими, нiж у
теоремi 5, при n \geq 5 i p > 2n(n - 1)(n2 - 4n - 2) - 1, а на функцiї \varphi n+j , j \in \{ 1, . . . , n\} , — при
n \geq 5 i довiльному p \in \BbbN .
6.2. Рiвняння, гiперболiчне за Гордiнгом. Розглянемо задачу (3), (4), коли рiвняння (3) є
гiперболiчним за Гордiнгом [35]. Тодi, згiдно з припущенням iз п. 4, коренi \eta j(k), j \in \{ 1, . . . , n\} ,
рiвняння (11) задовольняють оцiнки
0 \leq \mathrm{R}\mathrm{e} \eta j(k) \leq H, j \in \{ 1, . . . , n\} , k \in \BbbZ p. (61)
У цьому випадку справджуться теореми 1 – 3 та леми 4, 5, а також наступна лема.
Лема 10. Для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR ) чисел T та фiксованих коефiцiєнтiв
гiперболiчного за Гордiнгом рiвняння (3) нерiвностi (23) виконуються для всiх (крiм скiнченної
кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p при \alpha 3 > p, причому стала c4 не залежить вiд коефiцiєнтiв
рiвняння.
Доведення. На пiдставi оцiнок (61) отримуємо\bigm| \bigm| \bigm| 1 + e - 2\eta j(k)T
\bigm| \bigm| \bigm| \geq e - HT
\bigm| \bigm| \bigm| e\eta j(k)T + e - \eta j(k)T
\bigm| \bigm| \bigm| , j \in \{ 1, . . . , n\} . (62)
Легко показати, що для кожного j \in \{ 1, . . . , n\} \bigm| \bigm| \bigm| e\eta j(k)T + e - \eta j(k)T
\bigm| \bigm| \bigm| =\sqrt{} (\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (T \mathrm{R}\mathrm{e} \eta j(k)) - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - T \mathrm{R}\mathrm{e} \eta j(k)))
2 + 4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 (T \mathrm{I}\mathrm{m} \eta j(k)). (63)
Якщо виконується умова (16), то з формули (63), враховуючи елементарну нерiвнiсть \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x \geq
\geq 2x/\pi , x \in [0, \pi /2] , для кожного j \in \{ 1, . . . , n\} отримуємо оцiнку\bigm| \bigm| \bigm| e\eta j(k)T + e - \eta j(k)T
\bigm| \bigm| \bigm| > 2 | \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (T \mathrm{I}\mathrm{m} \eta j(k))| = 2 | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} | T \mathrm{I}\mathrm{m} \eta j(k) - \pi /2 - mj(k)\pi | | \geq
\geq 2T | k|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 \mathrm{I}\mathrm{m} \eta j(k)
\pi | k|
- (2mj(k) + 1) /T
| k|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (64)
де mj(k) \in \BbbZ таке, що | T \mathrm{I}\mathrm{m} \eta j(k) - \pi /2 - mj(k)\pi | \leq \pi /2. На пiдставi оцiнок (20) для
кожного j \in \{ 1, . . . , n\} послiдовнiсть \Phi j(k) =
2 \mathrm{I}\mathrm{m} \eta j(k)
\pi | k|
є обмеженою. Тому на пiдставi леми
3 для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR ) чисел 1/T нерiвностi\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 \mathrm{I}\mathrm{m} \eta j(k)
\pi | k|
- (2mj(k) + 1) /T
| k|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq 1
| k| p+1+\varepsilon
, j \in \{ 1, . . . , n\} , 0 < \varepsilon < 1, (65)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З МIШАНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ ЛIНIЙНИХ БЕЗТИПНИХ . . . 679
справджуються для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p.
Враховуючи (64), (65) та неперервнiсть функцiї y (T ) = 1/T при T > 0, отримуємо, що
нерiвностi \bigm| \bigm| \bigm| e\eta j(k)T + e - \eta j(k)T
\bigm| \bigm| \bigm| \geq 2T
\bigl(
1 + | k|
\bigr) - (p+\varepsilon )
, j \in \{ 1, . . . , n\} , 0 < \varepsilon < 1, (66)
справджуються для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR ) чисел T для всiх (крiм скiнченної
кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p .
Множина чисел T, для яких умова (16) не справджується, є злiченною множиною, i її мiра
Лебега дорiвнює нулевi.
Iз викладеного вище та оцiнок (62), (66) випливає доведення леми.
Очевидно, що оцiнка параметра \alpha 3 в лемi 10 краща, нiж у лемi 6, для довiльних n i p iз \BbbN .
Твердження 2. Нехай рiвняння (3) є гiперболiчним за Гордiнгом i справджуються умо-
ви (15). Якщо \varphi s \in Hq+\chi (\Omega
p), \varphi n+s \in Hq+\chi +p/2+n - 1(\Omega
p), q \in \BbbR , \chi > 2(n - 1) + p/2(n + 1),
s \in \{ 1, . . . , n\} , то для майже всiх
\bigl(
щодо мiри Лебега в \BbbR
\bigr)
чисел T та майже всiх коефiцiєнтiв
рiвняння (3) у просторi C2n
\bigl(
[0, T ], Hq(\Omega
p)
\bigr)
iснує єдиний розв’язок задачi (3), (4). Цей розв’язок
задовольняє нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| u;C2n([0, T ], Hq(\Omega
p))
\bigm\| \bigm\| \leq c18
\Biggl(
n\sum
s=1
\| \varphi s;Hq+\chi (\Omega
p)\| +
2n\sum
s=n+1
\bigm\| \bigm\| \varphi s;Hq+\chi +p/2+n - 1(\Omega
p)
\bigm\| \bigm\| \Biggr) .
Останнє твердження є безпосереднiм наслiдком теореми 4 та лем 4, 5 i 10. Зазначимо, що
у ньому умови на функцiї \varphi j , j \in \{ 1, . . . , 2n\} , є слабшими, нiж у теоремi 5.
6.3. Рiвняння, строго гiперболiчне за Петровським. Розглянемо задачу з умовами (4) для
рiвняння \sum
| \^s| \ast =2n
A\^s
\partial 2nu (t, x)
\partial t2s0\partial xs11 . . . \partial x
sp
p
= 0, (t, x) \in D, A\^s \in \BbbR , A(n,0,...,0) = 1. (67)
Припустимо, що рiвняння (67) є строго гiперболiчним за Петровським [36] (§ 16, п. 6),
тобто для довiльного дiйсного \xi = (\xi 1, . . . , \xi p) всi коренi \mu (\xi ) рiвняння\sum
| \^s| \ast =2n
A\^s\mu
2s0\xi s11 . . . \xi
sp
p = 0 (68)
є дiйсними i рiзними. З вигляду рiвняння (68) видно, що всi його коренi \mu (\xi ) є вiдмiнними вiд
нуля для довiльного \xi \not = (0).
Розв’язок задачi (4), (67) з простору C2n ([0, T ] , \scrT \prime ) шукаємо у виглядi ряду (6), при цьому
кожна з функцiй uk (t) , k \in \BbbZ p , є розв’язком задачi з умовами (8) для рiвняння\sum
| \^s| \ast =2n
A\^s (ik1)
s1 . . . (ikp)
sp d2s0uk (t)
dt2s0
= 0, t \in (0, T ) . (69)
Якщо k = (0), то рiвняння (69) має вигляд
d2nuk(t)
dt2n
= 0, а його фундаментальна система
розв’язкiв є такою:
\bigl\{
u0j(t) = tj - 1, j \in \{ 1, . . . , 2n\}
\bigr\}
. При цьому характеристичний визначник
задачi (8), (69) обчислюється за формулою \Delta (0, T ) = 1!2! . . . (2n - 1)!.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
680 Б. Й. ПТАШНИК, C. М. РЕПЕТИЛО
Якщо k \not = (0), то рiвняння (69) має фундаментальну систему розв’язкiв\bigl\{
ukj(t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\eta j(k)t), uk,n+j(t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \eta j(k)t), j \in \{ 1, . . . , n\}
\bigr\}
,
де \eta j(k) = i\| k\| \mu j(k), j \in \{ 1, . . . , n\} ; \mu j(k), j \in \{ 1, . . . , n\} , — додатнi коренi рiвняння\sum
| \^s| \ast =2n
A\^s
\biggl(
k1
| | k| |
\biggr) s1
. . .
\biggl(
kp
| | k| |
\biggr) sp
\mu 2s0 = 0, (70)
якi є обмеженими як функцiї аргументу k \in \BbbZ p\setminus \{ (0)\} i справджують оцiнки
c19 \leq \mu r(k) \leq c20, c21 \leq | \mu 2
s(k) - \mu 2
r(k)| \leq c22,
(71)
s, r \in \{ 1, . . . , n\} , s \not = r, k \in \BbbZ p\setminus \{ (0)\} .
Покладаючи у формулi (14) \eta j(k) = i\| k\| \mu j(k), j \in \{ 1, . . . , n\} , отримуємо формулу для
обчислення характеристичного визначника задачi (8), (69) при k \not = (0) :
\Delta (k, T )=( - 2i)n | | k| | 2n
2 - n
\prod
1\leq s<t\leq n
\bigl(
\mu 2
s(k) - \mu 2
t (k)
\bigr) 2 n\prod
j=1
(\mu j(k)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (| | k| | \mu j(k)T )) , k \in \BbbZ p\setminus \{ (0)\} .
З викладеного вище та теореми 2 випливає, що для єдиностi розв’язку задачi (4), (67) у
просторi C2n([0, T ] ,\scrT \prime ) необхiдно i достатньо, щоб виконувались умови
(\forall k \in \BbbZ p\setminus \{ (0)\} , \forall m \in \BbbZ +) | | k| | \mu j(k) \not =
\pi
T
(m+ 1/2) , j \in \{ 1, . . . , n\} . (72)
Якщо \varphi j \in \scrT \prime , j \in \{ 1, . . . , 2n\} , то за умов (72) розв’язок задачi (4), (67) iз простору
C2n ([0, T ] , \scrT \prime ) зображується у виглядi ряду
u (t, x) = u0(t)+
+
\sum
| k| >0
n\sum
r,j=1
S
(r)
n - j [\varphi jk | | k| | \mu r(k) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (| | k| | \mu r(k) (T - t)) - \varphi n+j,k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (| | k| | \mu r(k)t)]
( - 1)n+j | | k| | \mu r(k) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (| | k| | \mu rr(k)T )
\prod n
s=1,s \not =r (\mu
2
s(k) - \mu 2
r(k))
e(ik,x), (73)
де u0(t) — розв’язок задачi (8), (69) при k = (0), який є многочленом степеня (2n - 1); S
(r)
l ,
l \in \{ 1, . . . , n - 1\} , — сума всiх можливих добуткiв елементiв \mu 2
1(k), . . . , \mu
2
r - 1(k), \mu
2
r+1(k), . . .
. . . , \mu 2
n(k), по l у кожному добутку, S
(q)
0 \equiv 1. Зауважимо, що формально формула (73) є
наслiдком формули (18).
На пiдставi елементарної нерiвностi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x \geq 2x/\pi , x \in [0, \pi /2] , для кожного r \in \{ 1, . . . , n\}
отримуємо оцiнку
| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\| k\| \mu r(k)T )| = | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} | \| k\| \mu r(k)T - \pi /2 - mr(k)\pi | | \geq
\geq T\| k\|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mu r(k)
\pi
- (2mr(k) + 1) /T
\| k\|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (74)
де mr(k) \in \BbbZ таке, що | \| k\| \mu r(k)T - \pi /2 - mr(k)\pi | \leq \pi /2.
Iз (74), враховуючи неперервнiсть функцiї y (T ) = 1/T при T > 0 та обмеженiсть \mu r(k),
r \in \{ 1, . . . , n\} , як функцiй аргументу k \in \BbbZ p\setminus \{ (0)\} , на пiдставi леми 3 отримуємо, що для
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З МIШАНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ ЛIНIЙНИХ БЕЗТИПНИХ . . . 681
майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR ) чисел T нерiвностi
| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (| | k| | \mu r(k)T )| \geq T | k| - p - \varepsilon , r \in \{ 1, . . . , n\} , 0 < \varepsilon < 1, (75)
виконуються для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k \in \BbbZ p\setminus \{ (0)\} .
На пiдставi формули (73), оцiнок (71) та (75) отримуємо наступне твердження.
Твердження 3. Нехай справджуються умови (72). Якщо \varphi s \in H\chi (\Omega
p), \varphi n+s \in H\chi - 1 (\Omega
p) ,
\chi > q+ p, q \in \BbbR , s \in \{ 1, . . . , n\} , то для майже всiх
\bigl(
щодо мiри Лебега в \BbbR
\bigr)
чисел T
та фiксованих коефiцiєнтiв строго гiперболiчного за Петровським рiвняння (67) у просторi
C2n
\bigl(
[0, T ], Hq(\Omega
p)
\bigr)
iснує єдиний розв’язок задачi (4), (67). Цей розв’язок задовольняє нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| u;C2n ([0, T ] , Hq (\Omega
p))
\bigm\| \bigm\| \leq c23
\Biggl(
n\sum
s=1
\| \varphi s;H\chi (\Omega
p)\| +
2n\sum
s=n+1
\| \varphi s;H\chi - 1(\Omega
p)\|
\Biggr)
.
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 4.
Результати роботи можна поширити на випадок, коли задача (3), (4) розглядається в областi
[0, T ]\times \BbbR p, а її розв’язок шукають у класi функцiй, майже перiодичних за змiнними x1, . . . , xp.
Лiтература
1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. – М.: Изд-во
иностр., лит., 1962. – 104 с.
2. Агранович М. С. К теории задач Дирихле и Неймана для линейных сильно эллиптических систем в липшицевых
областях // Функцион. анализ и его прил. – 2007. – 41, № 4. – С. 1 – 21.
3. Бурский В. П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравнений. – Киев: Наук.
думка, 2002. – 315 с.
4. Вишик М. И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений // Тр. Моск. мат.
о-ва. – 1952. – 1. – С. 187 – 246.
5. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго
порядка. – М.: Наука, 1989. – 464 с.
6. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми
точками // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1967. – 16. – С. 209 – 292.
7. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. – М.: Наука,
1973. – 576 с.
8. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. – М.: Изд-во иностр., лит., 1957. –
256 с.
9. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1976. – 391 с.
10. Sybil Yu. The mixed Dirichlet-Neumann problem for the elliptic equation of the second order in domain with thin
inclusion // J. Numer. and Appl. Math. – 2012. – 109, № 3. – P. 133 – 138.
11. Yuanyuan Li, Bernhard Ruf, Qianqiao Guo, Pengcheng Niu. Positive solutions for singular elliptic equations with
mixed Dirichlet – Neumann boundary conditions // Math. Nachr. – 2013. – P. 1 – 24. / DOI 10.1002/mana.201100351
12. Бiлусяк Н. I., Комарницька Л. I., Пташник Б. Й. Задача типу Дiрiхле для систем рiвнянь iз частинними
похiдними, нерозв’язних вiдносно старшої похiдної за часом // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 12. – С. 1592 –
1602.
13. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Крайова задача для слабко нелiнiйних рiвнянь iз нерозв’язною вiдносно старшої
похiдної лiнiйною частиною // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2005. – 48, № 3. – С. 7 – 15.
14. Бобик I. О., Симотюк М. М. Задача з двома кратними вузлами для лiнiйних факторизованих рiвнянь з
частинними похiдними // Вiсн. Нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. – 2010. – Вип. 687. – С. 11 – 19.
15. Мельник О. М., Миколик А. Д., Пташник Б. Й. Задача типу Дiрiхле для неiзотропних рiвнянь iз частинними
похiдними // Вiсн. Нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. – 2000. – Вип. 211. – С. 248 – 253.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
682 Б. Й. ПТАШНИК, C. М. РЕПЕТИЛО
16. Павленко В. Н., Петраш Т. А. Периодические решения уравнения колебаний струны с граничными условиями
Неймана и Дирихле и разрывной нелинейностью // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2012. – 18,
№ 2. – С. 199 – 204.
17. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными произво-
дными. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с.
18. Пташник Б. Й., Iлькiв B. C., Кмiть I. Я., Полiщук В. М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними
похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 416 с.
19. Пташник Б. Й., Репетило С. М. Задача Дiрiхле – Неймана у смузi для гiперболiчних рiвнянь зi сталими
коефiцiєнтами // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2013. – 56, № 3. – C. 15 – 28.
20. Пташник Б. Й., Репетило С. М. Задача Дiрiхле – Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними
похiдними зi сталими коефiцiєнтами // Доп. НАН України. – 2015. – № 2. – С. 24 – 31.
21. Gentile G., Mastropietro V., Procesi M. Periodic solutions for completely resonant nonlinear wave equations with
Dirichlet boundary conditions // Communs Math. Phys. – 2005. – 256, № 2. – P. 437 – 490.
22. Kengne E. Nonlocal boundary value-problem for partial differential equations with variable coefficients // Focus Afr.
Diaspora math. – 2008. – P. 97 – 108.
23. Kilbas A. A., Repin O. A. Solvability of a boundary value problem for a mixed-type equation with a partial Riemann –
Liouville fractional derivative // Different. Equat. – 2010. – 46, № 10. – P. 1457 – 1464.
24. Rebbani F., Boussetila N., Zouyed F. Boundary value problem for a partial differential equation with non-local
boundary conditions // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. – 2001. – 10. – С. 122 – 125.
25. Rudakov I. A. A nontrivial periodic solution of the nonlinear wave equation with homogeneous boundary conditions //
Different. Equat. – 2005. – 41, № 10. – P. 1467 – 1475.
26. Rudakov I. A. Periodic solutions of a nonlinear wave equation with Neumann and Dirichlet boundary conditions //
Rus. Math. – 2007. – 51, № 2. – P. 44 – 52.
27. Zikirov O. S. A non-local boundary value problem for third-order linear partial differential equation of composite
type // Math. Modelling and Anal. – 2009. – 47, № 3. – P. 407 – 421.
28. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1984. – 284 с.
29. Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. – М.: Наука, 1977. – 144 с.
30. Грошев А. В. Теорема о системе линейных форм // Докл. АН СССР. – 1988. – 19, № 3. – С. 151 – 152.
31. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969. – 526 с.
32. Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра. – М.: Наука, 1965. – 300 с.
33. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1972. – 304 с.
34. Кострыкин А. И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977. – 495 с.
35. Гординг Л. Прямое решение задачи Коши для гиперболических уравнений // Математика (пер.). – 1958. – 2,
№ 1. – С. 81 – 96.
36. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Физматгиз, 1961. – 400 с.
Одержано 09.02.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1870 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:18Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a7/f4df74c3c70a164c3d0d0d2ba7b5efa7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18702019-12-05T09:30:15Z Boundary-value problem with mixed conditions for linear typeless partial differential equations Крайова задача з мішаними умовами для лінійних безтип них рівнянь з частинними похідними Ptashnik, B. I. Repetylo, S. M. Пташник, Б. Й. Репетило, C. М. In the domain obtained as the Cartesian product of a segment $0 \leq t \leq T$ by a $p$-dimensional torus in variables $x_1, ..., x_p$, $p \geq 1$, we study the problem with mixed boundary conditions in the variable $t$ for general (no restrictions are imposed on the type) linear partial differential equations of high order with constant coefficients isotropic with respect to the order of differentiation for all independent variables. We establish conditions for the unique solvability of the problem in various functional spaces and construct its solution in the form of a series with respect to systems of orthogonal functions of the variables $x_1, ..., x_p$. В области, являющейся декартовым произведением отрезка $0 \leq t \leq T$ на $p$-мерный тор переменных $x_1, ..., x_p$, $p \geq 1$, исследована задача со смешанными граничными условиями по переменной $t$ для общих (без ограничений на тип) линейных уравнений с частными производными высокого порядка с постоянными коэффициентами, изотропных относительно порядка дифференцирования по всем независимым переменным. Определены условия однозначной разрешимости задачи в различных функциональных пространствах и построено ее решение в виде ряда по системе ортогональных функций переменных $x_1, ..., x_p$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1870 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 5 (2016); 665-682 Український математичний журнал; Том 68 № 5 (2016); 665-682 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1870/852 Copyright (c) 2016 Ptashnik B. I.; Repetylo S. M. |
| spellingShingle | Ptashnik, B. I. Repetylo, S. M. Пташник, Б. Й. Репетило, C. М. Boundary-value problem with mixed conditions for linear typeless partial differential equations |
| title | Boundary-value problem with mixed conditions for linear typeless partial differential equations |
| title_alt | Крайова задача з мішаними умовами для лінійних безтип
них рівнянь з частинними похідними |
| title_full | Boundary-value problem with mixed conditions for linear typeless partial differential equations |
| title_fullStr | Boundary-value problem with mixed conditions for linear typeless partial differential equations |
| title_full_unstemmed | Boundary-value problem with mixed conditions for linear typeless partial differential equations |
| title_short | Boundary-value problem with mixed conditions for linear typeless partial differential equations |
| title_sort | boundary-value problem with mixed conditions for linear typeless partial differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1870 |
| work_keys_str_mv | AT ptashnikbi boundaryvalueproblemwithmixedconditionsforlineartypelesspartialdifferentialequations AT repetylosm boundaryvalueproblemwithmixedconditionsforlineartypelesspartialdifferentialequations AT ptašnikbj boundaryvalueproblemwithmixedconditionsforlineartypelesspartialdifferentialequations AT repetilocm boundaryvalueproblemwithmixedconditionsforlineartypelesspartialdifferentialequations AT ptashnikbi krajovazadačazmíšanimiumovamidlâlíníjnihbeztipnihrívnânʹzčastinnimipohídnimi AT repetylosm krajovazadačazmíšanimiumovamidlâlíníjnihbeztipnihrívnânʹzčastinnimipohídnimi AT ptašnikbj krajovazadačazmíšanimiumovamidlâlíníjnihbeztipnihrívnânʹzčastinnimipohídnimi AT repetilocm krajovazadačazmíšanimiumovamidlâlíníjnihbeztipnihrívnânʹzčastinnimipohídnimi |